Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian"

Transcript

1 Axiomatica Hilbert a spaţiului euclidian Mircea Crâşmăreanu Prezentare generală a sistemului axiomatic Hilbert Prin Geometrie Euclidiană se înţelege într-un sens general şi clasic acea geometrie ce are la bază, în mod esenţial, cele 13 cărţi ale operei Elemente a matematicianului grec Euclid ( î.h.). Aceste cunoştinţe foarte serioase de geometrie şi în general de matematică şi-au păstrat valabilitatea peste două milenii pentru că s-au bazat pe o gândire logică şi demonstraţii riguroase. O formă de prezentare noă şi chiar unele modificări de substanţă au fost totuşi necesare. O astfel de prezentare modernă i se datorează matematicianului german David Hilbert ( ), care, în 1899, a publicat lucrarea Grundlagen der Geometrie ( Bazele Geometriei ). Definiţia 0.1 i) Numim sistem axiomatic (pe scurt s.a.) un ansamblu S =< N, R, A > unde N este mulţimea noţiunilor primare, R cea a relaţiilor primare iar A cea a axiomelor unde: noţiunile şi relaţiile primare sunt simboluri (cuvinte şi semne) abstracte (deci nu se definesc!), axiomele sunt propoziţii construite pe baza noţiunilor şi relaţiilor primare şi adevărul lor nu se justifică (în cadrul teoriei construite!). ii) Numim teorie axiomatică a s.a. S ansamblul T (S) =< S, Consec(S) > format din S şi toate consecinţele sale adică: noţiuni şi relaţii derivate definite cu ajutorul elementelor lui S, propoziţii derivate, numite teoreme, obţinute prin aplicarea regulilor de deducţie logică noţiunilor şi relaţiilor primare şi derivate, axiomelor şi teo- 1

2 remelor anterior demonstrate. iii) Două sisteme axiomatice S şi S se numesc echuvalentedacă T (S) = T (S ). O analiză imediată a relaţiei introduse în iii) arată că aceasta este o relaţie de echivalenţă (de unde şi denumirea!). Suntem astfel conduşi la: Definiţia 0.2 O clasă de echivalenţă SM pe mulţimea sistemelor axiomatice o numim structură matematică. Dacă S este un reprezentant al lui SM i.e. SM = [S], spunem că SM este construită cu teoria axiomatică T (S) sau că este definită de s.a. S. În continuare presupunem cunoscute noţiuni elementare de teoria mulţimilor precum şi mulţimile numerice uzuale (a numerelor naturale, întregi, raţionale, reale) cu proprietăţile lor fundamentale. A Noţiunile primare ale s.a. Hilbert: puncte, drepte, plane. Punctele le notăm A, B, C,... iar mulţimea lor cu E 3. Dreptele le notăm a, b, c,... iar planele α, β, π,.... Atunci când va fi necesar vom folosi şi indici: A 1, d 2, π 3,.... B Relaţiile primare ale s.a. Hilbert: incidenţa sau apartenenţa punctelor la drepte cu notaţia A d, apartenenţa punctelor la plane cu notaţia A π, a fi între pentru 3 puncte cu notaţia A B C. După introducerea noţiunilor derivate de segment (notat [AB]) şi unghi (notat AOB) avem ultimele două relaţii primare: congruenţa segmentelor notată [AB] [A B ], congruenţa unghiurilor notată AOB A O B. C Axiomele s.a. Hilbert sunt împărţite în 5 grupe: I: axiomele de incidenţă, se referă la, II: axiomele de ordine, se referă la..., III: axiomele de congruenţă, se referă la, IV: axiomele de continuitate, V: axioma paralelelor. Definiţia 0.3 Sistemul axiomatic: SH =< E 3, drepte, plane,,,...,,, I V > se numeşte sistemul axiomatic Hilbert. T (SH) se numeşte geometria euclidiană a spaţiului iar structura matematică [SH] se numeşte spaţiul euclidian (3-dimensional). 2

3 1 Axiomele de incidenţă şi poziţiile relative ale punctelor, dreptelor şi planelor Pentru uşurinţa expunerii introducem: Definiţia 1.1 (i) Familia F de puncte le numim coliniare, respectiv coplanare, dacă d, respectiv π, a.î. A F avem A d, respectiv A π. Notăm F d respectiv F π. În caz contrar, punctele date le numim necoliniare, respectiv necoplanare. (ii) Date dreapta d şi planul π spunem că d aparţine lui π dacă A d avem A π. Notăm d π. Axiomele de incidenţă: I.1 A, B cu A B! d a.î. A, B d. Notăm d = AB. I.2 d A, B d cu A B. I.3 A, B, C necoliniare. I.4 A, B, C necoliniare! π a.î. A, B, C π. Notăm π = (ABC). I.5 π A π. I.6 Fie d şi π. Dacă A, B d a.î. A, B π atunci d π. I.7 Fie α, β şi A a.î. A α şi A β. Atunci B A a.î. B α şi B β. I.8 A, B, C, D necoplanare. Prezentăm câteva consecinţe importante ale acestor axiome: Poziţia relativă două puncte Fie A şi B. Avem una şi doar una din situaţiile următoare: 1) coincid: A = B, 2) sunt distincte: A B. Propoziţia 1.2 Fie d şi π. (i) A / d. (ii) B / π. Demonstraţie (i) RA contrazice I.3. (ii) RA contrazice I.8. Definiţia 1.3 A îl numim punct exterior dreptei d iar B îl numim punct exterior planului π. Poziţia relativă a unui punct faţă de o dreaptă Fie A şi d. Avem una şi doar una din situaţiile următoare: 1) A d, 2) A exterior lui d; notăm A / d. Poziţia relativă a unui punct faţă de un plan 3

4 Fie A şi π. Avem una şi doar una din situaţiile următoare: 1) A π, 2) A exterior lui π; notăm A / π. Propoziţia 1.4 Două drepte diferite au cel mult un punct comun. Demonstraţie RA, fie A, B d a.î. A, B d şi A B. Conform I.1 avem d = AB = d fals. Definiţia 1.5 Fie dreptele distincte d, d. (i) Dacă A este unicul punct comun al dreptelor date spunem că d, d sunt concurente sau secante în A iar A îl numim punctul de concurenţă sau de intersecţie al acestor drepte. (ii) Dacă dreptele date nu au puncte comune le numim nesecante. (iii) Dacă dreptele date sunt nesecante şi coplanare le numim paralele şi notăm d d cu negaţia d d. Poziţia relativă a două drepte Două drepte sunt în una singura din posibilităţile următoare: 1) coincid, 2) sunt concurente, 3) sunt nesecante în plane diferite. Uneori, astfel de drepte sunt numite antiparalele. 4) sunt paralele. Propoziţia 1.6 Fie dreapta d neinclusă în planul π. Atunci d şi π au cel mult un punct comun. Demonstraţie RA, pp. că d şi π au două puncte distincte comune A, B. Din I.1 d = AB iar din I.6 d π fals. Definiţia 1.7 Fie d şi π. (i) Dacă d şi π au comun doar punctul A spunem că d şi π sunt secante sau incidente în A iar A îl numim punctul de intersecţie dintre d şi π. (ii) Dacă d şi π nu au puncte comune spunem că sunt paralele şi notăm d π cu negaţia d π. Poziţia relativă a unei drepte faţă de un plan Dreapta d şi planul π sunt în una singură din variantele următoare: 1) d π, 2) sunt secante, 3) d π. Propoziţia 1.8 Fie planele π, π distincte şi punctul A comun. Atunci d A comună celor două plane. 4

5 Demonstraţie Cf. I.7 există punctul B A comun celor două plane. Fie d = AB conform I.1. Din I.6 avem concluzia. Definiţia 1.9 Fie planele distincte π, π. (i) Dacă cele două plane au dreapta d comună atunci le numim secante. (ii) Dacă cele două plane nu au puncte comune le numim paralele şi notăm π π cu negaţia π π. Poziţia relativă a două plane Planele π, π sunt în una singură din variantele următoare: a) π = π, b) sunt secante, c) π π. În continuare studiem alte configuraţii remarcabile de puncte, drepte şi plane. Propoziţia 1.10 Un plan are cel puţin 3 puncte necoliniare. Propoziţia 1.11 Date A şi d neincidente există şi este unic planul π care le conţine. Demonstraţie Conform I.2 fie B, C d distincte. Cum A nu-i incident cu d rezultă că A, B, C sunt necoliniare şi aplicând I.3 există un unic plan π ce le conţine. Din I.4 rezultă d π şi avem concluzia. Propoziţia 1.12 Date dreptele concurente d, d există un unic plan ce le conţine. Demonstraţie Fie A d ce nu aparţine lui d. Pentru A şi d aplicând propoziţia anterioară găsim π. Dacă B este punctul comun celor două drepte avem că B A şi B π ceea ce implică d π. Unicitatea lui π este consecinţa unicităţii amintite anterior. Propoziţia 1.13 (i) Planul dat de Propoziţia 1.14 este mulţimea punctelor pe drepte prin A ce sunt sau secante sau paralele cu d. (ii) Planul dat de Propoziţia 1.15 este mulţimea punctelor situate pe drepte ce intersectează pe d şi d sau intersectează pe d (sau d ) şi sunt paralele cu d (sau d). 2 Axiomele de ordine Ca şi în paragraful precedent introducem o serie de noţiuni ce simplifică expunerea: 5

6 Definiţia 2.1 Fie A, B distincte. (i) Mulţimea (AB) = {M; A M B} o numim segment deschis de capete A, B. Un punct M aparţinând lui (AB) îl numim punct interior segmentului iar un punct M diferit de A şi B ce nu-i interior îl numim punct exterior segmentului. (ii) Mulţimea [AB] = (AB) {A, B} o numim segment închis de capete A, B. (iii) Spunem că o dreaptă d separă punctele A, B dacă M d interior segmentului (AB). (iv) Fie şi C a.î. A, B, C sunt necoliniare. Mulţimea ABC = [AB] [BC] [CA] o numim triunghi cu vârfurile A, B, C şi laturile a = BC, b = CA, c = AB. Axiomele de ordine: II.1 Dacă are loc A B C atunci A, B, C sunt distincte, coliniare şi avem şi C B A. II.2 A, B cu A B C, D, E a.î. avem: C A B, A D B, A B E. Rezultă (AB). II.3 Fie A, B, C distincte şi coliniare. Există una şi doar una din situaţiile: A B C, C A B, A C B. II.4 (Axioma lui Pasch) Fie A, B, C necoliniare şi d (ABC) ce nu conţine vârfurile -ului ABC. Dacă d separă B şi C atunci d separă C şi A sau d separă A şi B. Consecinţe importante: Teorema 2.2 Fie d şi O d. Atunci există două mulţimi d d, d d şi numai două relativ la proprietăţile: i) d d = d \ O, ii) Fie A, B d şi C, D d perechi de puncte distincte. Atunci O / (AB), O / (CD) şi O (AC). Definiţia 2.3 i) Mulţimile d, d se numesc semidrepte deschise cu originea O. Notăm d = (OA, d = (OC. ii) Reunind O la o semidreaptă deschisă se obţine o semidreaptă închisă. Notăm [OA = (OA O, [OC = (OC O. iii) Despre punctele semidreptei (OA spunem că se găsesc de aceeaşi parte cu A faţă de O. Punctele A, C se găsesc de părţi opuse faţă de O. Semidreptele d, d le numim opuse. iv) O reuniune de semidrepte închise cu aceeaşi origine O o numim unghi 6

7 cu vârful O. Dacă semidreptele respective sunt (OA, (OB notăm unghiul AOB iar (OA, (OB le numim laturile unghiului. v) Dacă (OA = (OB spunem că AOB este unghiul nul iar dacă avem A B C spunem că AOB este unghiul alungit sau cu laturile în prelungire. Un unghi ce nu este nul sau alungit îl numim propriu. Teorema 2.4 Fie d π. Atunci există două mulţimi π π, π π şi numai două relativ la proprietăţile: i) π π = π \ {O}, ii) Fie A, B π şi C, D π perechi de puncte distincte. Atunci d nu separă a, B, nu separă C, D dar separă A, C. Definiţia 2.5 i) π, π se numesc semiplane deschise ale lui π determinate de d. Mai notăm π = (da, π = (dc. ii) Toate punctele lui π le numim de aceeaşi parte cu A faţă de d. Dacă M π şi N π spunem că M şi N sunt în părţi opuse faţă de d. Semiplanele π, π le numim opuse. iii) Fie AOB. Mulţimea Int AOB = (ab (ba unde a = OA, b = OB o numim interiorul unghiului dat. iv) Două unghiuri proprii, cu acelaşi vârf, o latură comună şi interioare disjuncte le numim adiacente. v) Două unghiuri adiacente cu laturile necomune opuse se numesc suplementare. vi) Pentru ABC unghiurile suplementare unghiurilor triunghiului se numesc unghiuri exterioare. vii) Două unghiuri cu acelaşi vârf şi laturile câte două opuse se numesc opuse la vârf. Teorema 2.6 Fie planul π. Există două mulţimi de puncte, S, S şi numai două relativ la proprietăţile următoare: i) S S = E 3 \ π, ii) Fie A, B S şi C, D S perechi de puncte distincte. Atucni nu există puncte comune pentru (AB) şi π, nici pentru (CD) şi π dar există puncte comune pentru (AC) şi π. Definiţia 2.7 i) S şi S se numesc semispaţii deschise definite de π. Mai notăm S = (πa, S = (πb. ii) Spunem că punctele din S sunt în părţi diferite faţă de punctele din S. iii) 7

8 3 Axiomele de congruenţă III.1 Dat segmentul [AB] şi semidreapta (A X,!B (A X a.î. [AB] [A B ]. III.2 Congruenţa segmentelor este o relaţie de echivalenţă i.e. satisface: a) reflexivitatea: [AB] [AB], b) simetria: [AB] [CD] [CD] [AB], c) tranzitivitatea: [AB] [CD] şi [CD] [EF ] [AB] [EF ]. III.3 (adunarea segmentelor) Dacă avem A B C si A B C a.î. [AB] [A B ] şi [BC] [B C ] atunci [AC] [A C ]. III.4 Fie unghiul AOB, dreapta d, semiplanul π delimitat de d în planul π şi semidreapta (O X pe d. Atunci! semidreapta (O Y în π a.î. AOB XO Y. III.5 Fie ABC, A B C a.î. [AB] [A B ], [AC] [A C ], A = A. Atunci B B. Consecinţe mai importante: Teorema 3.1 (Scăderea segmentelor) Fie A, B, C şi A, B, C a.î. avem A B C, A B C, [AB] [A B ], [AC] [A C ]. Avem atunci [BC] [B C ]. Demonstraţie 4 Axiomele de continuitate Definiţia 4.1 i) Date segmentele [AB], [CD] spunem că [AB] < [CD] dacă X (CD) a.î. [AB] [CX]. ii) Dat segmentul [AB] nenul şi n N prin n [AB] înţelegem segmentul [AB n ] unde B 1 = B, [AB 1 ] [B 1 B 2 ]... [B n 1 B n ] şi A B i B i+1 pentru 0 i n 1. Axiomele de continuitate: IV.1 (axioma lui Arhimede) Pentru orice A, B, C, D cu A B n N a.î. n [AB] > [CD]. IV.2 (axioma lui Cantor) Fie dreapta d şi pentru orice n N segmentul s n = [A n B n ] d. Dacă: i) s 0 s 1... s n..., ii) nu există un segment nenul [CD] inclus în toti s n, atunci!m interior tuturor segmentelor s n. 8

9 5 Axioma paralelelor V Dacă dreptele d 1, d 2 formează cu secanta d unghiuri interne având suma mai mică decât 2dr atunci d 1 şi d 2 se intersectează de aceea parte a lui d pentru care are loc inegalitatea precedentă. Afirmaţii echivalente cu axioma paralelelor: 1 (Varianta clasică) Fie A exterior dreptei d. Atunci există o unică paralelă prin A la d. 2 (Farkas Bolyai) O perpendiculară şi o oblică pe acceaşi dreaptă sunt concurente. 3 (Farkas Bolyai) Orice triunghi admite cerc circumscris. 4 Punctele situate în acelaşi semiplan determinat de dreapta d şi situate la distanţe egale faţă de d sunt coliniare. 5 Relaţia de paralelism este tranzitivă. 6 Teorema lui Pitagora a triunghiurilor dreptunghice. Evident, există şi alte câteva zeci de afirmaţii echivalente cu axioma paralelelor. În fapt, Euclid a formulat 5 postulate pe care le cităm după monografia: John G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Springer, 1994, pagina 1: 1) A straight line may be drawn from any point to any other point. 2) A finite straight line may be extended continuously in a straight line. 3) A circle may be drawn with any center and any radius. 4) All right angles are equal. 5) If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if extended indefinitely, meet on the side on which the angles are less than two right angles. 9

10 6 Seminarul 2. Perpendicularitate în spaţiu Definiţia 2.0 Dreapta d se numeşte perpendiculară pe planul π, şi notăm d π, dacă d este perpendiculară pe orice dreaptă din π. Criteriul lui Euclid de perpendicularitate în spaţiu Dacă dreapta d = OP este perpendiculară pe dreptele distincte OA, OB atunci d π = (OAB). Demonstraţie Fie a π arbitrară cu O π. Trebuie arătat că d a. Presupunem că d separă punctele A şi B, în caz contrar considerând simetricele lor faţă de O. Fie deci C = (AB) a. Deci trebuie arătat că P Q CO unde Q este simetricul lui P faţă de π. Cum CO este mediană în CP Q este suficient să arătăm că cest triunghi este isoscel cu CP CQ. Din ipoteză rezultă că în AP Q (respectiv BP Q) avem AO (respectiv BO) mediană şi înălţime; deci AP AQ (BP BQ). Din (AP AQ, BP BQ, AB AB) rezultă că AP B AQB (cazul LLL); deci P A QAC. Din (P A QA, AC AC, P AC QAC) rezultă P AC QAC (cazul LUL) deci CP CQ ceea ce voiam. E2.1 Fie d π cu {O} = d π şi a d cu O a. Atunci a π. Demonstraţie Cum două drepte secante determină în mod unic un plan, fie α planul determinat de a şi d. Cum O d rezultă O α; dar aveam şi O π. Deci π şi α au în comun o dreaptă b ce conţine O. În planul α avem doă perpendiculare în O d pe d şi anume a şi b; dar perpendiculara în plan este unică. Rezultă a = b π. E2.2 Fie O d. Atunci există un unic plan π cu O π a.î. d π. Demonstraţie Fie α, β plane distincte ce conţin pe d. Fie OA α, OB β perpendiculare în O pe d. Atunci π = (OAB) conţine pe O şi din criteriul Euclid avem d π. Din problema precedentă vem unicitatea. E2.3 Fie O π. Atunci există o unică dreaptă d conţinând O perpendiculară pe π. Demonstraţie Fie a, b π drepte concurente în O. Conform exerciţiului E2.2 fie α respectiv β planul prin O perpendicular pe b respectiv a. Cum planele date au punctul O comun rezultă că α şi β se intersectează dupaă 10

11 o dreaptă d. Avem d a, d b şi criteriul Euclid spune că d π. Unicitatea rezultă din construcţie. E2.4 Fie P / π, d π şi A d a.î. P A d. Fie B π a.î. AB d şi O α = (P AB) a.î. P O AB. Atunci P O π. Demonstraţie Fie Q simetricul lui P faţă de O. Ca la demonstraţia Criteriului Euclid avem AP [AQ]. Cum d AP, d AB şi AP, AB α, din Criteriul Euclid avem d α. Din A, Q α rezultă d AQ. Fie {M} d\{a}. Deoarece AP M AQM (dreptunghice, AP AQ) avem P M QM adică MP Q este isoscel. În acest triunghi isoscel avem OM mediană; deci OM P Q. În concluzie, P O MO, P O AO şi cum A, M, O π aplicând Criteriul Euclid avem P O π. E2.5 Dat punctul P şi planul π există o unică dreaptă prin P perpendiculară pe π. Demonstraţie Dacă P π aplicăm E2.3. Dacă P / π aplicăm E2.4 şi obţinem existenţa. Pentru unicitate, presupunem prin RA că există O π \O a.î. P O π. Avem punctele necoliniare P, O, O ce determină planul α; deci π α = OO. În acest plan α avem din P două perpendiculare distincte pe dreapta OO, fals. E2.6 Fie P / π, d π şi punctele A d, O π \ d. i) (Teorema celor 3 perpendiculare) Dacă P O π şi OA d atunci P A d. ii) (O reciprocă a th. celor 3 ) Dacă P O π şi P A d atunci OA d. Demonstraţie Din P O π rezultă P O d căci d π. i) d P O şi d OA implică d (P OA) deci d AP. ii) d P O şi d P A implică d (P OA) deci d OA. Observaţie O a doua reciprocă este E2.4 Aplicaţii la Teorema celor 3 Lucru individual Toate problemele din Manuale de clasa a VIII-a. References [1] Albu, A. C.; Obădeanu, V.; Popescu, I. P.; Radó, F.; Smaranda, D., Geometrie pentru perfecţionarea profesorilor, EDP, Bucureşti,

12 [2] Cîmpan, Florica T., Aventura geometriilor neeuclidiene, Ed. Albatros, Bucureşti, [3] Haimovici, Adolf; Borş, Constantin, Elemente de geometrie a spaţiului, EDP, Bucureşti, [4] Miron, Radu, Geometrie elementară, EDP, Bucureşti, Faculty of Mathematics University Al. I. Cuza Iaşi, 6600, Romania mcrasm@uaic.ro 12

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu, Iaşi Repere metodice ale predării asemănării în gimnaziu

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1. TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I

LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIŞOARA DEPARTAMENTUL PENTRU PREGĂTIREA PERSONALULUI DIDACTIC LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I Conducător ştiinţific : Conf. dr. Dorel Miheţ

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Conice şi cercuri tangente

Conice şi cercuri tangente Conice şi cercuri tangente Ioan POP 1 Abstract It proves how to obtain the non-degenerate conics, ellipse, hyperbola and parabola, of some basic tangent problems Keywords: circle, ellipse, hyperbola, parabola

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii...

Cuprins: Introducere De la geometria absolută la geometria hiperbolică Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii... Cuprins: Introducere... 1. De la geometria absolută la geometria hiperbolică... 2. Izometrii în planul hiperbolic, grupul de izometrii... 3. Grup discret de izometrii în plan, exemple... 4. Bibliografie

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare

Διαβάστε περισσότερα

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor: Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?

Διαβάστε περισσότερα