ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΤΜΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ Καλά επιλύσιµες Περιπτώσεις για το Πρόβληµα του Περιοδεύοντος Πωλητή Επιβλέπων Καθηγητής : Μπότσαρης Χαράλαµπος Μεταπτυχιακός Φοιτητής : Πασσαλή Ελένη ΠΑΤΡΑ

2 Περιεχόµενα ΚΑΛΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΟ ΕΥΟΝΤΟΣ ΠΩΛΗΤΗ Εισαγωγή 1.1 Η γέννηση του περιπλανώµενου πωλητή 1.2 Εύκολα και δύσκολα προβλήµατα 1.3 Παρουσίαση του προβλήµατος Κεφάλαιο Το σταθερό TSP 2.2 Το µικρό TSP 2.3 Κυκλικοί πίνακες 2.4 Άνω τριγωνικοί πίνακες 2.5 Graded πίνακες Κεφάλαιο 3 3. Πυραµιδικά επιλύσιµες περιπτώσεις TSP Βελτιστοποίηση στις πυραµιδικές περιηγήσεις Η µέθοδος βελτίωσης περιήγησης (Tour-Improvement-Technique) για πυραµιδικα επιλύσιµα TSP Συµµετρικοί πίνακες Μη Συµµετρικοί πίνακες (Asymmetric) Πυραµιδικές περιηγήσεις για το max TSP Αναγνώριση των ειδικών δοµών των πινάκων Το πρόβληµα της κυρίαρχης περιήγησης Το TSP µορφής λαιµού µπουκαλιού (bottleneck TSP). Κεφάλαιο 4 4. Επιλύσιµες περιπτώσεις του Ευκλείδειου TSP Ειδικές περιπτώσεις που σχετίζονται µε κυρτά TSP Το TSP µε k-γραµµές Το TSP µε µορφή κολιέ (necklace) Γεωµετρικές ειδικές περιπτώσεις µε µη-ευκλείδειες αποστάσεις. Κεφάλαιο 5 5. Το TSP µε µετατειθέµενο Monge : Θεωρία Η στρατηγική των µπαλωµένων υποπεριηγήσεων (subtour-patching) Μπαλωµένες υποπεριηγήσεις µε µετατειθέµενους πίνακες Monge Spanning trees για το µπαλωµένο γράφηµα G φ Γενίκευση της διαδικασίας µπαλώµατος. Μια µεγαλύτερη κλάση πινάκων. Το TSP µε ρ περιπλανώµενους πωλητές. Σχετικά αποτελέσµατα Ειδικά δοµηµένα µπαλωµένα γραφήµατα Πολυµονοπάτια και πολυκύκλοι Πολυστάρ και πολυδένδρα. (Multistars & Multitrees) Το επικαλύπτων πρόβληµα του Gaikov. Ο αλγόριθµος του Gaikov για multistars. Ένας γρήγορος αλγόριθµος για τα πολυδένδρα. Κεφάλαιο 6 6. Το µετατειθέµενο Monge TSP : εφαρµογές. 2

3 6.1. Το ικανό για λύση αλλά χωρίς κρίση (heuristic) µπάλωµα υποπεριήγησης Το TSP µε πίνακες γινοµένου (product matrices) TSP µε πίνακες Gilmore Gomory Μια γενίκευση του µικρού TSP. Κεφάλαιο 7 7. ιάφορες ειδικές περιπτώσεις Καλά επιλύσιµες περιπτώσεις της LP relaxation Ειδικές περιπτώσεις του γραφικού TSP Το κυκλικό TSP Τα TSP µε πίνακες µε λιτές περιγραφές. Βιβλιογραφία 3

4 ΚΑΛΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΟ ΕΥΟΝΤΟΣ ΠΩΛΗΤΗ Εισαγωγή 1.1 Η γέννηση του περιπλανώµενου πωλητή Η πρώτη φορά που χρησιµοποιήθηκε ο όρος πρόβληµα περιπλανώµενου πωλητή στους µαθηµατικούς κύκλους µπορεί να ήταν το , όπως θα εξηγήσουµε παρακάτω. Αλλά το 1832, ένα βιβλίο εκτυπωνόταν στην Γερµανία µε τίτλο Der Handlungsreisende, wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glüklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiss zu sein. Von einem alten Commis-Voyageur ( O περιπλανώµενος πωλητής, πως θα πρέπει να είναι και τι πρέπει να κάνει για να πάρει Παραγγελίες και να είναι επιτυχηµένος στην δουλειά του. Από ένα βετεράνο Περιπλανώµενο Πωλητή ). Παρόλο που ήταν αφοσιωµένο στο µεγαλύτερο µέρος του σε άλλα ζητήµατα, το βιβλίο αγγίζει την έννοια του TSP στο τελευταίο του κεφάλαιο : Με σωστές επιλογές και σχεδιασµό της περιοδείας, κάποιος θα µπορούσε συχνά να κερδίσει τόσο πόλυ χρόνο που θα πρέπει να κάνουµε κάποιες συστάσεις... Η πιο σηµαντική πλευρά είναι να καλυφθούν όσες περισσότερες τοποθεσίες είναι δυνατόν χωρίς να επισκευτούµε µια τοποθεσία δύο φορές... [Voigt, 1831; Müller - Merbach, 1983]. εν ξέρουµε ποιος έφερε το όνοµα TSP στους µαθηµατικούς κύκλους, αλλά δεν υπάρχει αµφιβολία ότι ο Merrill Flood είναι ο πιο υπεύθυνος για την δηµοσιοποίηση του στην κοινότητα και επίσης τις διαδικασίες έρευνας στην αδελφότητα. Ο A. W. Tucker ανακαλεί ότι του έχουν µιλήσει για αυτό το 1937 όταν εγώ αγωνιζόµουν µε το πρόβληµα σε σχέση µε το δροµολόγιο σχολικού λεωφορείου στο New Jersey []Flood, 1956]. Ο Flood γράφει ότι ο Tucker θυµάται να άκουσε για αυτό από τον Hassler Whitney του Πανεπιστηµίου του Princeton. Ο Tucker είχε γράψει στους εκδότες αυτού του τόµου : εν µπορώ να επιβεβαιώσω ή να αρνηθώ την ιστορία που άκουσα για το TSP από τον Hassler Whitney του Πανεπιστηµίου του Princeton. Αν το είχα ακούσει (λέει ο Flood), αυτό θα είχε συµβεί το , τον πρώτο χρόνο του παλιού Fine Hall (τώρα Jones Hall). Εκείνη την χρονιά ο Whitney ήταν µεταδιδακτορικός εισηγητής στο Fine Hall δουλεύοντας στην Θεωρία Γράφων, ειδικά για την επιπεδότητα και άλλα παρακλάδια του προβλήµατος τεσσάρων χρωµάτων... Εγώ τελείωνα το διδακτορικό µου µε τον Lefschetz στα n-manifolds και ο Merrill Flood ήταν πρωτοετής µεταπτυχιακός φοιτητής. Το Fine Hall Common Room ήταν ένα πολύ ωραίο µέρος 24 ώρες την µέρα [Tucker, 1983]. Αυτό φαίνεται να θέτει τον Whitney τον επιχειρηµατία του TSP πιθανώς σαν αγγελιοφόρος του Menger αλλά ο Whitney δεν θυµάται καµία σύνδεση µεταξύ του εαυτού του και του TSP. Η δικιά µας κλίση, παρόλα αυτά, είναι να εµπιστευόµαστε την µνήµη του Flood, ακόµα και αν ο Tucker και ο Whitney δεν την επιβεβαιώνουν. Το TSP τώρα είχε ένα όνοµα και ξεκινώντας το λιγότερο στα τέλη του 1940 έναν συνεχή και αποτελεσµατικό υποστηρικτή στο πρόσωπο του Merrill Flood. Ό John Williams παρακινούσε τον Flood το 1948 να δηµοσιεύση το TSP στην RAND Corporation, τουλάχιστον εν µερη παρακινούµενος από το σκοπό του να δηµιουργήσει πνευµατικές προκλήσεις για µοντέλα έξω από την θεωρία αριθµών. Στην πραγµατικότητα, ένα βραβείο προσφερώταν για ένα σπουδαίο θεώρηµα που να είχε σχέση µε το TSP. εν υπήρχε αµφιβολία ότι η φήµη και η αυθεντικότητα του RAND, 4

5 το οποίο γρήγορα έγινε το πνευµατικό κέντρο για πολλές επιχειρήσεις θεωρίας έρευνας, ενίσχυσε την διαφήµιση του Flood. Ένας άλλος λόγος για την δηµοτικότητα του προβλήµατος ήταν η βαθιά σύνδεση του µε σηµαντικά θέµατα διαµάχης στα συνδυαστικά προβλήµατα που προέκυψαν στο νέο θέµα του γραµµικού προγραµµατισµού, που ονοµαζόταν το προσδιοριζόµενο πρόβληµα, και ένα πιο γενικό, το πρόβληµα µεταφοράς. Το TSP ήταν σαν όλα αυτά τα προβλήµατα, αλλά προφανώς πιο δύσκολο στην λύση του, και η πρόκληση έγινε τόσο ενδιαφέρων για άλλους όπως ήταν για τον Flood. Και φυσικά το TSP έγινε δηµοφιλές επειδή είχε ένα όνοµα το οποίο θύµιζε στον κόσµο άλλα πράγµατα. Ο περιπλανώµενος πωλητής ήταν µια από τις κλασσικές προσωπικότητες της Αµερικάνικης µυθολογίας, µε ένα ειδικό κεφάλαιο στα χρονικά του σόκιν χιούµορ, και κάποια από την δυσανάλογη προσοχή που το TSP δέχθηκε στον κόσµο της συνδυαστικής βελτιστοποίησης πρέπει σίγουρα να την κέρδισε από τον τίτλο του. 5

6 1.2 Έυκολα και ύσκολα Προβλήµατα Μέχρι τα τέλη του 1960, είχε καλά εκτιµηθεί ότι φαίνεται να υπάρχει µια σηµαντική διαφορά µεταξύ των δύσκολων προβληµάτων όπως το TSP, για τα οποία οι µόνοι διαθέσιµοι αλγόριθµοι βελτιστοποίησης είναι απαριθµητικής φύσεως, και τα εύκολα προβλήµατα όπως το προσδιοριζόµενο πρόβληµα και το πρόβληµα µεταφοράς, για τα οποία καλοί αλγόριθµοι υπήρχαν µια ονοµατολογία επινοήθηκε από τον Edmond [1965α] για να περιγράψει µεθόδους λύσης των οποίων ο χρόνος τρεξίµατος αυξανόταν το πολύ πολυωνυµικά µε το µέγεθος του προβλήµατος. Υπήρχαν εµπειρικές αποδείξεις ότι όλες οι απαριθµηµένες µέθοδοι που δηµιουργήθηκαν για το TSP και άλλα δύσκολα προβλήµατα συµπεριφέρονταν πολύ χειρότερα, και φαινόταν λογικό να εικάζουν για προβλήµατα σαν το TSP ότι είναι τέτοιας έµφυτης πολυπλοκότητας έτσι που το υπολογιστικό κόστος που απαιτούνταν από οποιαδήποτε µέθοδο για την λύση τους θα αυξανόταν υπέρπολυωνυµικά µε το µέγεθος του προβλήµατος. Αυτή η εικασία είναι ακόµα ανεπιβεβαίωτη, αλλά οι εξελίξεις στην θεωρητική υπολογιστική επιστήµη γύρω στα 1970 παρείχαν µια πολύ ισχυρή θεµελίωση για την τυποποίηση του όπως και επίσης µια πολύ καλύτερη κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο τα δύσκολα προβλήµατα συνδέονται µεταξύ τους. Για τρία θεµελιώδη paper [Cook, 1972; Karp, 1972; Levin, 1973], η διορατικότητα που αναδύθηκε ότι πολλά από τα προβλήµατα τα οποία υποψιαζόµασταν να είναι εκ φύσεως δύσκολα είναι όλα υπολογιστικώς ισοδύναµα, µε την έννοια ότι ένας πολυωνυµικός αλγόριθµος για ένα από αυτά µπορούσε να χρησιµοποιηθεί για να λύσει και τα υπόλοιπα σε πολυωνυµικό χρόνο επίσης. Πρόχειρα µιλώντας, ο τρόπος για να καθιερώσουµε αυτά τα αποτελέσµατα είναι πρώτα να δείξουµε ότι αυτά τα προβλήµατα όλα επιτρέπουν (πολυωνυµικά φραγµένα) τυποποιήσεις όπως τα ακέραια προβλήµατα προγραµµατισµού, και έπειτα να αποδείξουµε ότι ο ακέραιος προγραµµατισµός εναλλακτικά είναι µια ειδική περίπτωση από σίγουρα µοναδικά δύσκολά προβλήµατα (συµπεριλαµβανοµένου του TSP). Αυτά τα τελευταία προβλήµατα τα ονοµάζουµε NP hard. Οι σκέψεις για την θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας γέννησαν µεγάλο όγκο έρευνας κατα τη διάρκεια της δεκαετίας του 70. Μια εντυπωσιακή ανασκόπηση παρουσιάστηκε από τους Garey & Johnson [1979]. Παρόλο που η NP hardness του TSP δεν συνεπάγεται ότι οι εκθετικά χειρότεροι χρόνοι τρεξίµατος για την λύση του είναι αναπόφευκτοι, αυτό βοηθάει για να εντίνει την πίστη µας ότι η ύπαρξη πολυωνυµικού αλγόριθµου για το TSP είναι ιδιαίτερα απίθανη : οι συνέπειες ενός τέτοιου αλγορίθµου είναι δραµατικά πάνω από κάθε πιστεύω. Μια απόδειξη, παρόλα αυτά, δεν έχει φτάσει ακόµα τόσο µακρυά, και σαν αποτέλεσµα η εικασία αυτή κερδίζει σε κύρος και σεβασµό κάθε χρόνο. Φυσικά, η πιθανή απείθια του TSP δεν αποκλείει την πιθανότητα πολυωνυµικής λύσης για ειδικές περιπτώσεις του προβλήµατος. Στην πραγµατικότητα, µια από τις πιο εκπληκτικές πλευρές της θεωρίας υπολογιστικής πολυπλοκότητας είναι ότι ένα λεπτό σύνορο φαίνεται να υπάρχει που διαχωρίζει τα εύκολα προβλήµατα από τα δύσκολα. Από την µία πλευρά του συνόρου, κάποιος µπορεί να βρεί ειδικές περιπτώσεις των δύσκολων προβληµάτων τα οποία µπορούν να αποδειχθούν ότι είναι NP hard για τον εαυτό τους, όπως το Ευκλείδιο TSP, όπου οι πόλεις δίνονται σαν σηµεία στον διδιάστατο επίπεδο και οι αποστάσεις τους υπολογίζονται σύµφωνα µε την Ευκλείδια µετρική. Από την άλλη µεριά, κάποιος µπορεί να βρεί προβλήµατα τα οποία φαίνονται πολύ παρόµοια µε τα δύσκολα προβλήµατα αλλά τελικά καταλήγουν να είναι επιλύσιµα σε πολυωνυµικό χρόνο, όπως το TSP µε έναν άνω τριγωνικό πίνακα αποστάσεων. Το πρώτο ειδικό TSP του οποίου η κατασκευή οδήγησε σε πολυωνυµικό αλγόριθµο, ήταν ένα πρόβληµα ακολουθίας δουλειάς[gilmor & Gomory, 1964]. Τα 6

7 τελευταία χρόνια, ήταν αξιοσηµείωτη η Ρώσικη βιβλιογραφία η οποία συγκεντρώθηκε στην αναγνώριση άλλων εύκολων TSP. 7

8 1.3 Παρουσίαση του προβλήµατος Ένας πωλητής έχει να επισκεφτεί όλες τις πόλεις µιας λίστας µια φορά. Για να γίνει αυτό ξεκινάει από την πόλη του και στο τέλος πρέπει να επιστρέψει σ αυτή. Ο πωλητής µπορεί να επιλέξει την σειρά µε την οποία θα επισκεφτεί τις πόλεις έτσι ώστε η απόσταση που θα διανύσει να είναι η µικρότερη δυνατή. Προφανώς έτσι θα κερδίσει χρόνο και καύσιµο. Καθώς ο πωλητής προσπαθεί να βρει την συντοµότερη διαδροµή, αντιµετωπίζει το αποκαλούµενο πρόβληµα του πλανόδιου πωλητή TSP (Traveling Salesman Problem). Με ένα πιο µαθηµατική διατύπωση το TSP ορίζεται ως εξής: Για δοσµένο n x n πίνακα αποστάσεων C = (c ij ), βρες µια κυκλική µετάθεση π από το σύνολο {1, 2,, n} η οποία ελαχιστοποιεί την συνάρτηση: c( π ) = n ciπ () i i= 1 Η τιµή c(π) συνήθως αναφέρεται ως µήκος (ή κόστος ή βάρος) της π. Το TSP είναι ένα από τα στάνταρ προβλήµατα στη συνδυαστικής βελτιστοποίησης και έχει πολλές εφαρµογές όπως να βρίσκουµε υπολογιστικές ρουτίνες ή για τον προγραµµατισµό παραγωγής µε εξάρτηση δουλειάς µε χρόνο. Πολλές εφαρµογές που οδηγούν σε ειδικές περιπτώσεις θα δουλευτούν σε αυτή την εργασία, δες ιδιαίτερα στους τοµείς 6 και 7. Το TSP είναι επίσης ένα περιβόητο δύσκολο πρόβληµα της συνδυαστική βελτιστοποίηση, αφού είναι ένα NPhard. Εκτός από συνεπαγόµενες επαναλήψεις καµία άλλη µέθοδο επίλυσης δεν είναι γνωστή για να βρεθεί µια βέλτιστη λύση. Παρόλα αυτά υπάρχει ανάγκη για καλές µεθόδους υποβέλτιστων λύσεων και είναι σηµαντικό να ερευνήσουµε ειδικές περιπτώσεις οι οποίες µπορούν να λυθούν από πολυωνυµικούς αλγόριθµους. Αυτή η ανασκόπηση οργανώνεται ως εξής. Το κεφάλαιο 3 ασχολείται µε τις αποκαλούµενες πυραµιδοειδή περιηγήσεις. Περιγράφει µια ενοποιηµένη αποδειχτική µέθοδο, την µέθοδο βελτίωσης της περιήγησης (the tour improvement technique), για να παράγουµε αποτελέσµατα σ αυτό τον τοµέα. Σαν αποκορύφωµα, παρουσιάζεται µια απλή και περιεκτική απόδειξη στο γνωστό θεώρηµα του Demidenko. Στο τρίτο µέρος συζητάµε διάφορες κατηγορίες Ευκλείδειων παραδειγµάτων TSP. Μπορεί να δειχθεί ότι ειδικές γεωµετρικές ιδιότητες ενός Ευκλείδειου συνόλου σηµείων οδηγούν σε αλγόριθµους για TSP µε πολυωνυµικούς χρόνους. Τα µέρη 5 και 6 συνδέονται άµεσα. Το µέρος 5 ασχολείται µε την θεωρεία των µπαλωµένων υποπεριηγήσεων µε µετατεθειµένους πίνακες Monge. Για το κεντρικό θεώρηµα σ αυτό το µέρος δίνεται µία εύκολη γεωµετρική απόδειξη. Στο µέρος 6 εφαρµόζεται αυτή η θεωρεία σε αρκετές ειδικές περιπτώσεις. Στο 7 ο µέρος συλλέγονται αποτελέσµατα της χαλάρωσης του γραµµικού προγραµµατισµού (linear programming relaxation) του TSP, σε γραφικό TSP και σε ειδικές περιπτώσεις TSP µε πίνακες αποστάσεων µε σύντοµες περιγραφές. Για περισσότερο υλικό πάνω στα TSP, ο αναγνώστης παραπέµπεται στο γνωστό βιβλίο από τους Lawler, Lenstra, Rinnooy Kan, and Shmoys [74], The Traveling Salesman Problem-Aguided Tour of Combinatorial Optimization, και στο υπολογιστικά προσανατολισµένο άρθρο από τους Junger, Reinelt and Rinaldi [65]. Θα ολοκληρώσουµε αυτό το πρώτο µέρος µε µερικούς ορισµούς, προκαταρκτικές σκέψεις και στοιχειώδη συµπεράσµατα. Για το TSP, το σύνολο των πόλεων θα ορίζεται από το σύνολο {1, 2,, n}, δηλαδή το n καθορίζει πάντα το πλήθος των πόλεων. 8

9 Μια µετάθεση φ είναι µια ένα - προς - ένα απεικόνιση του συνόλου Ι = {1, 2,, n} στον εαυτό του. Μπορεί να γραφεί ως εξής: φ = n φ(1) φ(2).., φ( n) ή σε πιο συµπυκνωµένη µορφή µε καθορισµό των συνιστωσών. Ας θεωρήσουµε ότι i 1, i 2,..., i r είναι διάφορα στοιχεία από τα {1, 2,, n}. Αν φ(i k )=i k+1 για k=1, 2,, r+1 και φ(i r )=i 1 τότε το <i 1, i 2,..., i r > λέγεται κύκλος ή υπό-περιήγηση (factor or circle or subtour) της µετάθεσης φ. Ένας κύκλος µε r 2 θα λέγεται µη τετριµµένος κύκλος. Για παράδειγµα: φ = = (3,2,5,6,1,4,7) = <1,3,5> <2> <4,6> <7> έχει δύο µη τετριµµένους κύκλους. Όταν γράφουµε µία µετάθεση συνήθως οι τετριµµένοι κύκλοι παραλείπονται. Έτσι η παραπάνω µετάθεση φ µπορεί επίσης να γραφτεί: φ = <1,3,5> <4,6>. Μια κυκλική µετάθεση ή περιήγηση είναι µια µετάθεση που αποτελείται από ένα µόνο κύκλο. Η µετάθεση ε(i) = i για i=1, 2,, n λέγεται ταυτοτική µετάθεση. Μια µετάθεση µε ένα µόνο κύκλο της µορφής <j, k>, που απλά ανταλλάσσει τις j και k, ονοµάζεται αντιµετάθεση. Μια αντιµετάθεση <j, k> ονοµάζεται γειτονική αντιµετάθεση αν k = j + 1. Αν φ και ρ είναι µεταθέσεις του συνόλου {1, 2,, n}, τότε η σύνθεση (που θεωρείται και σαν πολλαπλασιασµό) µπορεί να δηλωθεί ως φ ο ρ και ορίζεται από: φορ(i) = φ(ρ(i)), για i=1,2,,n. σηµειώνουµε ότι και η σύνθεση είναι επίσης µετάθεση. Το πρόβληµα να ελαχιστοποιήσουµε την συνάρτηση c(π) στο σύνολο όλων των n! µεταθέσεων είναι γνωστό ως γραµµικά καθορισµένο πρόβληµα (linear assignment problem). Μια βέλτιστη λύση στο γραµµικά καθορισµένο πρόβληµα ονοµάζεται βέλτιστα καθορισµένη και µπορεί να προσδιοριστεί σε πολυωνυµικό χρόνο ( βλέπε π.χ., Lawler [73] ). Προφανώς στη περίπτωση που µια βέλτιστα καθορισµένη φ είναι µια κυκλική µετάθεση τότε η φ είναι επίσης µια βέλτιστη λύση για το TSP. Αυτό σηµαίνει ότι το µήκος µιας βέλτιστα καθορισµένης δίνει ένα κάτω όριο του µήκους της βέλτιστης περιήγησης. Με άλλα λόγια το γραµµικά καθορισµένο πρόβληµα είναι µία χαλάρωση του TSP. Κλείνουµε αναφέροντας δύο βασικές ιδιότητες του TSP. Η πρώτη είναι ότι το σύνολο των βέλτιστων περιηγήσεων για ένα TSP µε πίνακα αποστάσεων (c ij ) είναι το ίδιο και για το TSP µε πίνακα αποστάσεων (c ij + α i + b j ), όπου α i, b j δυο δοσµένα διανύσµατα. Η δεύτερη βασική ιδιότητα είναι ότι το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης για το TSP µε πίνακα αποστάσεων (c ij ) είναι το ίδιο και για το TSP µε πίνακα αποστάσεων (c σ(i)σ(j) ) π.χ. µεταθέτοντας τις γραµµές µε τις στήλες σε ένα πίνακα αποστάσεων σύµφωνα µε την ίδια µετάθεση σ δεν αλλάζει το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης. Μια βέλτιστη περιήγηση για το TSP µε πίνακα αποστάσεων (c σ(i)σ(j) ) µπορεί εύκολα να αποχτηθεί από µία βέλτιστη περιήγηση για το TSP µε πίνακα αποστάσεων (c ij ) αριθµώντας διαφορετικά σύµφωνα µε τη µετάθεση σ. 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το σταθερό TSP Σε αυτό το τµήµα θεωρούµε περιορισµούς στον πίνακα αποστάσεων C κάτω από τους οποίους όλοι οι Χαµιλτονιανοί κύκλοι έχουν το ίδιο µήκος. Για ένα τέτοιο σταθερό TSP, κάποιος πρέπει απλά να βρει έναν οποιοδήποτε Χαµιλτονιανό κύκλο στο υπογραµµισµένο δίκτυο. Έστω C να είναι το σύνολο όλων των n n πινάκων C τέτοιο ώστε η c(τ) να είναι σταθερή για για όλες τις κυκλικές µεταθέσεις τ των n πόλεων. Το C είναι αποδεδειγµένα ένας γραµµικός υποχώρος του χώρου των n n πινάκων. Κι αυτό ισχύει διότι, αν C 1, C 2 C, µε c 1 (τ) = α 1, c 2 (τ) = α 2, τότε ο C = λ 1 C 1 + λ 2 C 2 C, επειδή c (τ) = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 για όλες τις περιηγήσεις τ. Λήµµα 2.1 Η διάσταση του C είναι 2n 1. Απόδειξη Έστω Τ = {τ (1), τ (2),..., τ (ω) }, όπου ω = (n 1)!, να δηλώνει το σύνολο όλων των κυκλικών µεταθέσεων στις n πόλεις. Έστω ( k ) t = ij 1 αν τ (κ) (i) = j, 0 αλλιώς. Και ακολουθεί ότι n 1 ( k ) 1 = ij, n t k = 1, 2,..., ω. (1) i, j= 1 i j Προκειµένου ένας πίνακας C να ανήκει στον C, θα πρέπει να υπάρχει ένας αριθµός α τέτοιος ώστε n ( k ) tij cij i, j= 1 i j a = 0, k = 1, 2,..., ω. (2) Οι εξισώσεις (2) µας δίνουν ένα οµογενή σύστηµα µε n (n - 1) + 1 µεταβλητές (c 12, c 13,, c n,n-1, και α). Ο συντελεστής πίνακας για αυτό το σύστηµα έχει ω σειρές και n (n - 1) + 1 στήλες. Οι στήλες διανύσµατα θα συµβολίζονται µε t ij = (t ij (1), t ij (2),, t ij (ω) ) Τ (i, j = 1, 2,, n ; i j) και t α = (-1,..., -1) Τ. Από τις (1) βλέπουµε ότι t α είναι γραµµικός συνδυασµός των t ij. Επιπλέον, 1 =, k = 1, 2,..., n n ( k) ( k) ( k) 1h ij ih n 2 i, j= 2 i= 2 i j t t t ω 10

11 1 =, k = 1,2,..., n 2 n n ( k) ( k) ( k) t t t ω h1 ij hj i, j= 2 j= 2 i j έτσι ώστε τα t 1h και t h1, h = 2,..., n είναι γραµµικοί συνδυασµοί των t ij µε i, j 1. Υποστηρίζουµε ότι τα υπολειπόµενα (n - 1)(n - 2) διανύσµατα t ij (i, j = 2,..., n ; i j) είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. Για να υποθέσουµε ότι n ( k ) λ ijt ij i, j= 2 i j = 0, k = 1,2,..., ω Θεωρούµε την κυκλική µετάθεση τ (k) = (1, 2,..., n) µε ( k) ( k)... ( k) 1, ( k) t = 0 23 t = = 34 t = n 1, n t = ij διαφορετικά, και επίσης τις µεταθέσεις (1, 3, 4,., n 1, n, 2), (1, 4, 5,, n,2,3),, (1, n, 2,, n 3, n 2, n - 1). (Σηµειώστε ότι έχουµε εξαλείψει τα t 12, t n1 από το πρόβληµα.) Για αυτές τις µεταθέσεις παίρνουµε λ 23 + λ λ n-2,n-1 + λ n-1,n = 0, λ 34 + λ λ n-1,n + λ n,2 = 0,... λ n,2 + λ λ n-3,n-2 + λ n-2,n-1 = 0. Η πρόσθεση όλων αυτών των εξισώσεων µας δίνει λ 23 + λ λ n-1,n + λ n,2 = 0 Αφαιρώντας αυτή την εξίσωση από κάθεµία από τις παραπάνω δίνει λ 23 = λ 34 =... = λ n-1,n = λ n,2 = 0. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να αποδείξουµε ότι όλα τα λ ij = 0. Έτσι λοιπόν, ο βαθµός του συντελεστή πίνακα είναι (n - 1)(n - 2). Ακολουθεί ότι η διάσταση του C είναι n(n - 1) + 1 (n - 1)(n - 2) = 2n 1. ٱ Έστω ο n n πίνακας του οποίου η iκοστή γραµµή (jκοστή στήλη) περιέχει µονάδες και όλα τα άλλα στοιχεία είναι µηδέν. Λήµµα 2.2 Οποιοδήποτε υποσύνολο των 2n 1 πινάκων από το σύνολο {R 1, R 2,, R n, C 1,..., C n } είναι µια βάση του C. Απόδειξη Οι 2n πίνακες R 1, R 2,, R n, C 1,..., C n όλοι ανήκουν στο C, αλλά δεν είναι γραµµικώς ανεξάρτητοι, εφόσον 11

12 n R = C n i i= 1 j= 1 j Μπορούµε εύκολα να δούµε, παρόλα αυτά, ότι οποιοδήποτε από τα 2n 1 είναι γραµµικώς ανεξάρτητα και έτσι από το Λήµµα 1, φτιάχνουν µια βάση του C. ٱ Θεώρηµα 2.3 Οι µόνοι πίνακες C για τοις οποίους όλες οι κυκλικές µεταθέσεις στις n πόλεις έχουν το ίδιο µήκος είναι αυτές του τύπου c ij = α i + b j. Απόδειξη Προέρχεται απευθείας από το Λήµµα 2.2. ٱ Ας θεωρήσουµε έναν µετασχηµατισµό C = t(c) σε πίνακες αποστάσεων για τους οποίους υπάρχουν σταθερές α και β τέτοιες ώστε c (τ) = α + βc(τ) για όλες τις περιηγήσεις τ. Μια τέτοια µετάθεση λέγεται γραµµικός αποδεκτός µετασχηµατισµός ; που εξαρτάται από το σύµβολο β, ο οποίος συντηρεί ή αντιστρέφει τη συνολική διάταξη των περιηγήσεων σύµφωνα µε το µήκος. Θεώρηµα 2.4 Οι µόνοι γραµµικά αποδεκτοί µετασχηµατισµοί είναι αυτοί οι οποίοι αποκτιούνται µε την προσθήκη σταθερών α i στην iκοστή γραµµή και b j στην jκοστή στήλη του µονόµετρου πολλαπλάσιου του C. Απόδειξη Έστω ότι ο C = t(c) να είναι τέτοιος ώστε c (τ) = α + βc(τ) για όλες τις περιηγήσεις τ. Ορίζουµε ως C = C - βc, έχουµε ότι c (τ) = α για όλες τις τ. Από το Λήµµα 2.2, ο C είναι γραµµικός συνδυασµός των R 1, R 2,, R n, C 1,..., C n. Οπότε ο C = C + βc µπορεί να αποκτηθεί µε τον τρόπο που υποστηρίζει το Θεώρηµα. ٱ Τα θεωρήµατα 2.3 και 2.4 προκύπτουν από τα αποτελέσµατα του Berenguer [1979] το οποίο είχε αρχικά ορισθεί για το multisalesman πρόβληµα (δες επίσης Gabovich [1976]). Η απόδειξη για το Λήµµα 2.1 έχει παρθεί από τους Lenstra & Rinnooy Kan [1979]. Σηµειώστε ότι το Θεώρηµα 2.3 παραµένει αληθές αν ο πρόσθετος κυκλικός διαγραφεί. Οπότε, οι πίνακες του τύπου c ij = α i + b j είναι επίσης οι µόνοι για τους οποίους όλες οι µεταθέσεις, π.χ. κατανοµές, έχουν το ίδιο µήκος. Έστω ο G = (V, A) να είναι ένας αυθαίρετος δίγραφος και ο C να είναι πίνακας αποστάσεων τέτοιος ώστε c ij = α i + b j αν (i, j) Α + διαφορετικά. Έπειτα το TSP είναι απλά το πρόβληµα του να βρεθεί ένας από τους Χαµιλτονιανούς κύκλους, αν υπάρχει κάποιος στον G. Αν ο G έχει κάποια ειδική διάταξη, αυτό µπορεί να είναι εύκολο. Για παράδειγµα, αν ο G είναι ο line-δίγραφος ενός δίγραφου Euler τότε ο G είναι απαραιτήτως Χαµιλτόνιος και το πρόβληµα λύνεται εύκολα [Syslo, 1973]. 12

13 εν φαίνεται να είναι δυνατόν να έχεις τέτοιους απλούς περιορισµούς στον πίνακα C έτσι ώστε όλοι οι Χαµιλτονιανοί κύκλοι να έχουν το ίδιο λαιµό σε σχήµα µπουκαλιού. Όµως, ο αναγνώστης θα πρέπει να έχει κάποια απλά γεγονότα στο µυαλό, όπως φαίνεται από τις παρακάτω προτάσεις. Πρόταση 2.5 Προσθέτωντας µια σταθερά σε όλα τα στοιχεία του C προσθέτουµε την ίδια σταθερά στο µήκος bottleneck της κάθε περιήγησης. Πρόταση 2.6 Αν ο C και ο C είναι δύο πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι οµοίως ταξινοµηµένα, δηλ. c ij c kl αν και µόνο αν c ij c kl, τότε η ταξινόµηση των περιηγήσεων σύµφωνα µε το µήκος bottleneck είναι το ίδιο και για τους δύο πίνακες. Πρόταση 2.7 Έστω k c(*) τ, όπου τ* είναι µία βέλτιστη περιήγηση bottleneck. Επειτα αντικαθιστούµε τον C από τον C, όπου c ij = max {c ij, k} αφήνει το µήκος bottleneck όλων των περιηγήσεων αναλλοίωτο. Ας υποθέσουµε ότι η φ είναι µια βέλτιστη bottleneck κατανοµή για τον C. Τότε από τις προτάσεις 2.5 και 2.6, ο πίνακας C, όπου ' c = c ij c φ ij max{ ( ),0}, είναι µη αρνητικός και διαφυλάσσει την ταξινόµηση των περιηγήσεων µε σεβασµό στο κριτήριο bottleneck. 2.2 Το µικρό TSP Σε αυτό το µέρος εξετάζουµε το TSP για µικρούς πίνακες. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται είναι από τον Gabovich [1970]. Ονοµάζουµε έναν n x n πίνακα C µικρό αν υπάρχουν n διαστάεων διανύσµατα α και b τέτοια ώστε c ij = min{α i, b i }. Για απλοποίηση, υποθέτουµε ότι α 1 α 2... α n. Ένας µικρός πίνακας όπου όλα τα α i και b i είναι διακριτά λέµε ότι έχει διακριτές τιµές. Έστω οι d i να είναι οι µικρότερςες από τις δικριτές τιµές α i και b i και µετά έστω ότι D = {d 1, d 2,, d n }. Σε αντίθεση, έστω ότι d = i=1 n d i. Θεωρούµε ότι λύνουµε το TSP για τον πίνακα αποστάσεων C. Το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης µπορεί να βρεθεί εύκολα, και είναι περιορισµένο σε ένα ικανό αριθµό διαφορετικών τιµών. Θεώρηµα

14 Έστω C ένας µικρός πίνακας µε διακριτές τιµές. Το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης για τον C είναι η d αν και µόνο αν ισχύει ένας από τους τρεις περιορισµούς: (S1) για κάποια πόλη i, και τα α i και b i είναι στο D. (S2) D = {α 1, α 2,, α n } (S3) D = {b 1, b 2,, b n } Απόδειξη Ας υποθέσουµε ότι η (S1) ισχύει. Οι πόλεις µπορούν να χωριστούν σε τέσσερα σύνολα : σε αυτά που δεν έχουν ούτε α i ούτε b i στο D, σε αυτά που που έχουν και α i και b i στο D. Ονοµάζουµε αυτά τα σύνολα D O, D α, D b και D 2, αντίστοιχα. Από έναν πολύ απλό υπολογισµό, D O = D 2. Κατασκευάζουµε µια περιήγηση όπως παρακάτω. Ξεκινάµε µε µια πόλη από το D 2. Έπειτα, µε οποιαδήποτε σειρά, επισκεφτόµαστε τις πόλεις του D α. Ύστερα, πήγαινε σε µια πόλη στο D ο. Αυτό ακολουθείται µε επίσκεψη των πόλεων του D b, µε οποιαδήποτε σειρά. Η περιήγηση ολοκληρώνεται επισκέπτοντας τις πόλεις που αποµείναν από το D 2 και το D O, αντίστοιχα. Το οποίο σηµαίνει, µία από το D 2, ύστερα µία από το D O, και ούτω καθεξής. εν είναι δύσκολο να δούµε ότι το κόστος αυτής της περιήγησης είναι d. Εφόσον οι τιµές είναι διακριτές, κάθε τόξο µιας περιήγησης πρέπει να έχει διαφορετική τιµή, και οπότε το κόστος µιας οποιαδήποτε περιήγησης πρέπει να είναι τουλάχιστον d. Ύστερα υποθέτουµε ότι ισχύει η (S2). Τότε θα έχουµε ένα σταθερό TSP και το κόστος όποιας περιήγησης είναι d. Το ίδιο αληθεύει και για την (S3). Τέλος, υποθέτουµε ότι κανένας από τους περιορισµούς δεν ισχύει. Αυτό συνεπάγεται ότι D = {α 1, α 2,..., α κ, b κ + 1,, b n } για κάποια 1 κ n 1. Υποθέτουµε ότι µια περιήγηση µε µήκος d υπάρχει. Το κόστος των τόξων σε αυτή την περιήγηση πρέπει να ανταποκρίνεται ακριβώς µε το κόστος στο D. Εποµένως, σε αυτή την περιήγηση κάποια τόξα έχουν τιµές που αντιστοιχούν στις α τιµές και κάποια που αντιστοιχούν στις b τιµές. Οπότε, σε κάποιο σηµείο της περιήγησης ένα τόξο µε κόστος b i πρέπει να ακολουθείται από ένα µε κόστος α i. Αλλά για να συµβεί αυτό, το i πρέπει να είναι ίσο µε το j, το οποίο είναι αδύνατον. Ένα σύνολο από τιµές D = {d 1, d 2,, d n } επικρατεί ενός άλλου συνόλου από τιµές D = {d 1, d 2,, d n } αν υπάρχει µια µετάθεση σ τέτοια ώστε d σ(i) d i για i = 1, 2,, n. Επιπλέον, ένα σύνολο από τιµές D = {d 1, d 2,, d n } είναι εφικτό αν υπάρχει µια περιήγηση τ και µια µετάθεση σ τέτοια ώστε c i τ(i) = d σ(i) για i = 1, 2,.., n. Μια σχεδόν ίδια απόδειξη θα δώσει µια ελαφρώς µια πιο ισχυρή εκδοχή του Θεωρήµατος 2.3. Θεώρηµα 2.8 Έστω C ένας µικρός πίνακας µε διακριτές τιµές. Έστω D = {d 1, d 2,, d n } να είναι ένα υποσύνολο του συνόλου {α 1, α 2,, α n, b 1, b 2,, b n } τέτοιο ώστε κάθε άλλο υποσύνολο που επικρατεί να είναι µη πρακτικό. Έπειτα υπάρχει µια περιήγηση που χρησιµοποιεί ακριβώς αυτές τις τιµές τότε και µόνο τότε αν κάποιος από τους παρακάτω περιορισµούς ισχύει : (S1 ) για κάποια πόλη i, και οι τιµές α i και b i είναι στο D. (S2 ) D = {α 1, α 2,, α n } (S3 ) D = {b 1, b 2,, b n } Στο Θεώρηµα 2.8, δείξαµε ότι το d δεν µπορεί να επιτευχθεί κάτω από συγκεκριµένους όρους. Σε αυτή την περίπτωση, ποια είναι η βέλτιστη τιµή; Αυτό το ερώτηµα απαντάται από το επόµενο αποτέλεσµα. 14

15 Θεώρηµα 2.9 Έστω ο C ένας µικρός πίνακας µε διακριτές τιµές. Το µήκος της µικρότερης περιήγησης για το TSP που δίνεται από τον C είναι είτε d, είτε d d n + d n+1, ή το min{d d n + d n+2, d d n-1 + d n+1 }. Επιπλέον, ας υποθέσουµε ότι το βέλτιστο κόστος δεν είναι το d, τότε το βέλτιστο κόστος είναι µεγαλύτερο από d d n + d n+1 αν και µόνο αν κάποιος από τους τρεις περιορισµούς ισχύει : (S4) k = 1, d n = b 2, d n+1 = α 2. (S5) k = n - 1, d n = α n-1, d n+1 = b n-1. (S6) 2 k n - 2, είτε (d n = α k και d n+1 = b k ) είτε (d n = b k+1 και d n+1 = α k+1 ). Έδω το k είναι ο µεγαλύτερος δείκτης i τέτοιος ώστε α i D, το σύνολο των n µικρότερων τιµών. Απόδειξη Εφόσον η υπόθεση µιας βέλτιστης περιήγησης µήκους d χαρακτηρίσθηκε ολοκληρωτικά από το Θεώρηµα 2.8, υποθέτουµε ότι η βέλτιστη περιήγηση έχει κόστος πάνω από d. Η επόµενη βέλτιστη τιµή είναι d = d d n + d n-1, και για να δούµε αν αυτή µπορεί να επιτευχθεί, θεωρούµε το σύνολο D = D {d n+1 } {d n }. Από το Θεώρηµα 2.8, το d είναι εφικτό αν και µόνο αν το D ικανοποιεί τους (S1 ), (S2 ) ή (S3 ). Είναι πιθανό να καταγραφούν ακριβώς αυτές οι υποθέσεις όπου και οι τρεις από αυτούς τους περιορισµούς να αποτυγχάνουν. Όπως δείχθηκε και από το Θεώρηµα 2.8, αν η βέλτιστη τιµή δεν είναι η d, το D = {α 1, α 2,, α k, b k+1,, b n }. Πρώτον, παρατηρούµε ότι αν το d n = b i και το d n+1 = b j, ο περιορισµός (S1 ) ικανοποιείται. Οπότε για να αποτυγχάνουν και οι τρεις, ούτε το d n = α k, ούτε το d n+1 = α k+1. Υποθέτουµε ότι d n = α k, είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι ο περιορισµός (S1 ) ικανοποιείται, εκτός και αν d n+1 = b k. Αν το d n+1 είναι ίσο µε το b k, τότε το D = {α 1, α 2,, α k-1, b k,, b n }. Αν το k = 1, αυτό συνεπάγεται ότι ο (S3 ) ισχύει, αλλιώς οι (S1 ), (S2 ) και ο (S3 ) όλοι αποτυγχάνουν να ισχύουν. Τέλος, ας υποθέσουµε ότι d n+1 = α k+1. Πάλι, ο περιορισµός (S1 ) θα ισχύει εκτός και αν d n = b k+1. Σε αυτή την περίπτωση το D = {α 1, α 2,, α k+1, b k+2,, b n }. Αν k = n 1, τότε συνεπάγεται ότι ο (S2 ) θα ικανοποιείται, αλλιώς και οι τρεις περιορισµοί αποτυγχάνουν. Αυτές οι περιπτώσεις είναι ακριβώς αυτές που εγγυούνται από τις (S4), (S5) και (S6). Για να ολοκληρώσουµε την απόδειξη του θεωρήµατος, ας υποθέσουµε ότι το d δεν είναι εφικτό. Είναι άµεσο να δείξουµε ότι οι περιορισµοί που βάλθηκαν στα d n και d n+1 βεβαιώνουν ότι και τα δύο D - {d n+1 } {d n+2 } και D - {d n-1 } {d n+1 } πρέπει να ικανοποιούν έναν από τους όρους (S1 ), (S2 ) και (S3 ). Εφόσον και τα δύο d - d n+1 + d n+2 και d - d n-1 + d n+1 είναι εφικτά, το βέλτιστο είναι απλά το ελάχιστο από τις δύο τιµές. Είναι ενδιαφέρον να αναλογιστούµε την υπόθεση όπου οι τιµές α i και b i δεν είναι απαραιτήτως διακριτά. Θεώρηµα 2.10 Θεωρούµε ένα παράδειγµα από το TSP δοσµένο από ένα µικρό πίνακα αποστάσεων. Το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης είναι ίσο µε το D αν και µόνο αν κάποιος από τους παρακάτω τέσσερις περιορισµούς ισχύει : (S7) (S8) (S1), (S2) ή (S3) ισχύει. d n = d n+1, κανένας από τους (S4), (S5) και (S6) ισχύει 15

16 (S9) d n = d n+1 = d n+2 (S10) d n-1 = d n = d n Κυκλικοί πίνακες Σε αυτό το τµήµα θα δείξουµε πως βρίσκουµε ένα ελάχιστο Χαµιλτονιανό µονοπάτι στην περίπτωση που ο C είναι κυκλικός πίνακας. Παρόλο που δεν ξέρουµε πολυωνυµικό αλγόριθµο για το TSP για κυκλικούς πίνακες, τα αποτελέσµατα από το Χαµιλτονιανό µονοπάτι µας επιτρέπουν να αποκτήσουµε µια προσσεγγιστική λύση η οποία είναι αρκετά κοντά στο βέλτιστο για πολλές περιπτώσεις. Ένας κυκλικός πίνακας είναι ένας n x n πίνακας του τύπου c c c c c c c c c c c c c c c n-2 n-1 n n-3 n-2 n-2 n-1 0 n-4 n-3 c c c c c n-1 0 Τα κελιά (i, j) τέτοια ώστε (j - i) = k (modn) έχουν την ίδια αξία c k, αυτά τα κελιά περιέχουν την kοστή stripe του C. Σηµειώνουµε ότι κάθε stripe αποδίδει µια εφικτή λύση στο προσδιορισµένο πρόβληµα που ορίστηκε από τον C. Θεώρηµα 2.11 [Garfinkel, 1977] Ο αριθµός των υποπεριηγήσεων στο προσδιορισµένο πρόβληµα που δίνεται από την kοστή stripe είναι gcd(k,n). Απόδειξη Οι πόλεις i και j είναι στην ίδια υποπεριήγηση τότε και µόνο τότε όταν υπάρχουν ακέραιοι m 1, m 2 τέτοιοι ώστε j i = m 1 k + m 2 n. Τότε συνεπάγεται από στοιχειώδης θεωρία ότι οι i και j είναι στην ίδια υποπεριήγηση τότε και µόνο τότε αν i = j(mod g), όπου g = gcd(k, n). Έτσι υπάρχουν gcd(k, n) υποπεριηγήσεις, κάθεµία από τις οποίες περιέχεί n/gcd(k, n) πόλεις. Πόρισµα 2.12 Αν gcd(k, n) = 1, τότε το kιοστό stripe περιέχει ένα Χαµιλτονιανό κύκλο. Πόρισµα 2.13 Αν n είναι ακµή τότε κάθε stripe, εκτός από το 0ικοστό, περιέχει ένα Χαµιλτονιανό κύκλο. Έστω c k(0) c k(1) c k(2) c k(n - 1) και έστω g 9 = gcd(k(0), n), g i+1 = gcd(k(i +1), g i ). Λήµµα 2.14 Ένα ελάχιστο φράγµα του µήκους του µικρότερου Χαµιλτονιανού µονοπατιού δίνεται από 16

17 (n g o )c k(0) + (g 0 g 1 )c k(1) + + (g n 2 g n - 1 )c k(n - 1). Απόδειξη Αγνοούµε τις κατευθύνσεις των ακµών και θεωρούµε τον µη κατευθυνόµενο πολυγράφο που προκύπτει. Οι ακµές από το stripe k(0), µε κόστος c k(0), αποδίδουν έναν υπογράφο µε g 0 συνδεδεµένα συστατικά. Οι ακµές από τα stripe k(0) και k(1) ενδίδουν έναν υπογράφο µε g 1 συνδεδεµένα συστατικά, και συνεχίζεται κατα τον ίδιο τρόπο. Τώρα φαίνεται ότι ένα συντοµότερο spanning tree, όπως αυτό που προκύπτει από τον αλγόριθµο του Kruskal, έχει µήκος ίσο µε το ελάχιστο φράγµα που ζητάµε. Εφόσον κάθε Χαµιλτονιανό µονοπάτι είναι ένα spanning tree, το µήκος του συντοµότερου spanning tree είναι ένα ελάχιστο φράγµα στο µήκος του συντοµότερου Χαµιλτονιανού µονοπατιού. Θεώρηµα 2.15 [Bach, Luby & Goldwasser, 1982] Ο κοντινότερος γειτονικός κανόνας, ξεκινώντας από οποιαδήποτε πόλη, ενδίδει ένα σύντοµο Χαµιλτονιανό µονοπάτι. Πόρισµα 2.16 Ο κοντινότερος γειτονικός κανόνας, ξεκινώντας από οποιαδήποτε πόλη, ενδίδει µια περιήγηση που διαφέρει σε µήκος από το βέλτιστο όχι περισσότερο από c k(n - 1) c k(0). Απόδειξη Καµία περιήγηση δεν µπορεί να είναι συντοµότερη από ότι το µήκος ενός Χαµιλτονιανού µονοπατιού συν το c k(0). Ο συντοµότερος γειτονικός κανόνας διαλέγει ένα τόξο σε αντίθεση µε το συντοµότερο Χαµιλτονιανό µονοπάτι του οποίου το µήκος δεν µπορεί να είναι περισσότερο από c k(n - 1). 2.4 Άνω Τριγωνικοί Πίνακες Λέµε ότι ο C είναι άνω τριγωνικός πίνακας αν i j συνεπάγεται ότι c ij = 0. Σε αυτό το τµήµα θα δείξουµε ότι το TSP για άνω τριγωνικούς πίνακες είναι στην ουσία τόσο εύκολο όσο το προσδιορισµένο πρόβληµα [Lawler, 1971]. Λήµµα 2.16 Έστω ο C να είναι ένας άνω τριγωνικός πίνακας και φ ένας προσδιορισµός ο οποίος είναι βέλτιστος σε σχέση µε τον περιορισµό φ(n) = 1. Τότε το c(φ) είναι ένα κάτω φράγµα κατά µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης. Απόδειξη Θεωρούµε ένα τόξο (i, j) backward αν i j, για ένα τέτοιο τόξο c ij = 0. Μεταφέρουµε κάθε backward τόξο από το µέρος της τ που επεκτείνεται από την πόλη n στην πόλη 1. Το αποτέλεσµα είναι ένα σύνολο από µονοπάτια, που το κάθε ένα εκτείνεται από την πόλη j στην πόλη i, µε j i. Τώρα µετατρέπουµε κάθε ένα από αυτά τα µονοπάτια σε κύκλο µε το να προσθέσουµε ένα backward τόξο από το i στο j. Το αποτέλεσµα είναι ένας προσδιορισµός φ µε φ(n) = 1 και c(φ) = c(τ). Θεώρηµα 2.17 Έστω C ένας άνω τριγωνικός πίνκας και φ ένας προσδιορισµός που είναι βέλτιστος σχετικά µε τον περιορισµό φ(n) = 1. Τότε το c(φ) είναι ίσο µε το µήκος µιας βέλτιστης περιήγησης τ που µπορεί εύκολα να κατασκευαστεί από τον φ. 17

18 Απόδειξη Έστω φ ένας προσδιορισµός που είναι βέλτιστος σχετικά µε τον περιορισµό ότι φ(n) = 1. Αν ο φ δεν είναι περιήγηση τότε περιέχει s υποπεριηγήσεις, όπου s 2, κάθεµία από τις οποίες περιέχει το λιγότερο ένα backward τόξο (όπως ορίστικε στην απόδειξη του Λήµµατος 2.16). Απαλέιφουµε το τόξο (n, 1) από την υποπεριήγηση που περιέχει τις πόλεις 1 και n και οποιοδήποτε backward τόξο από κάθεµία από τις υπόλοιπες υποπεριηγήσεις. Το αποτέλεσµα είναι ένα σύνολο από µονοπάτια, που ένα εκτείνεται από την πόλη 1 στην πόλη n, και τα άλλα από την j 1, στις i 1, i 2 και οι i 2,, j s-1 στην i s-1, όπου j 1 > j 2 > > j s-1 και i 1 j 1 > j 2, i 2 j 2 > j 3,, i s-1 j s-1 > 1. Τώρα προσθέτουµε backward τόξα (n, j 1 ), (i 1, j 2 ),, (i s-2, j s-1 ), (i s-1, 1) για να πάρουµε µια περιήγηση τ µε c(τ) = c(φ). Εφόσον, από το Λήµµα 2.16, η c(φ) είναι ένα κάτω όριο του µήκους µιας βέλτιστης περιήγησης, η τ είναι βέλτιστη. Παρατηρούµε ότι ένας προσδιορισµός φ που είναι βέλτιστος σε σχέση µε τον περιορισµό φ(n) = 1 εύκολα αποκτιέται µε την εφαρµογή οποιουδήποτε αλγορίθµου για το πρόβληµα προσδιορισµού στον (n - 1) x (n - 1) πίνακα C ο οποίος προέρχεται από την διαγραφή της στήλης 1 και της γραµµής n από τον C. Βασικοί αλγόριθµοι προσδιορισµού δεν απαιτούν πάνω από Ο(n 3 ) χρόνο. Η κατασκευή µιας βέλτιστης περιήγησης, όπως σηµειώθηκε στην Απόδειξη του Θεωρήµατος 2.17, απαιτεί αξιοσηµείωτα λιγότερο χρόνο, ο οποίος δεν είναι περισσότερο από Ο(n). Σαν απλό παράδειγµα, έστω ότι έχουµε Έπειτα C= C' = και µια βέλτιστη λύση στο προσδιορισµένο πρόβληµα φαίνεται στα υπογραµµισµένα. Αυτό φαίνεται σε µια βέλτιστη λύση του TSP όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. 18

19 Εικόνα 1 : (α) βέλτιστη λύση στο πρόβληµα προσδιορισµού (β) βέλτιστη λύση στο TSP 2.5 Graded πίνακες Λέµε ότι ένας πίνακας C είναι graded κατά µήκος των γραµµών του αν c ij c i,j+1 για όλα τα i, j, και graded πάνω στις στήλες του αν c ij c i+1,j για όλα τα i, j. Ένας πίνακας είναι διπλά graded αν είναι graded και κατά µήκος των γραµµών του και πάνω στις στήλες του. Το TSP είναι NP-hard για graded (ακόµα και για διπλά graded) πίνακες εφόσον κάθε πίνακας µπορεί να γίνει διπλά graded µέσω γραµµικού αποδεκτού µετασχηµατισµού, ο οποίος γίνεται προσθέτωντας σταθερές στις γραµµές και στις στήλες του. Εν τούτοις, είναι δυνατόν να αποκτηθεί ένα χρήσιµο προσεγγιστικό αποτέλεσµα για graded πίνακες, όπως θα δούµε παρακάτω. Θεώρηµα 2.18 Έστω ο πίνακας C να είναι µη αρνητικός και graded ως προς τις στήλες του. οσµένης µιας βέλτιστης κατανοµής φ είναι εύκολο να κατασκευαστεί µια περιήγηση τ τέτοια ώστε c(τ) c(φ) + max{c 1j }. j Απόδειξη Αν η φ είναι περιήγηση, έστω τ = φ. Αλλιώς διάλεξε µια πόλη από κάθεµία από τις m 2 υποπεριηγήσεις της φ, και έστω ότι αυτές οι πόλεις είναι i 1, i 2,, i m, µε i 1 < i 2 < i m. Μετακίνησε τα τόξα (i 1, φ(i 2 )),..., (i m-1, φ(i m-2 )), (i m, φ(i m-1 )) και (i 1, φ(i m )). Από τις 19

20 c c... c c, i φ( 1 i ) 1 i φ( ) 2 i1, i φ( ) ( ) 2 i c 2 i φ 3 i2 c i i i i φ( ) φ( ) m 1 m 1 m m 1, και ακολουθεί ότι c max c( τ) c( φ) + i i i i c( φ) + { }. φ ( ) φ ( ) 1 m m m j c c 1 j Σαν ένα πολύ απλό παράδειγµα, ας δούµε το C = µε µια βέλτιστη κατανοµή φ που υποδυκνύεται µε τους έντονους χαρακτήρες. Σηµειώνουµε ότι η φ έχει τρεις υποπεριηγήσεις : (1, 6), (2,5) και (3, 4). Έστω ότι i 1 = 1, i 2 = 2, i 3 = 3, µετατρέπουµε την φ σε µια περιήγηση τ όπως φαίνεται στην Εικόνα 2. Αυτό Μας δίνει c(τ) = c(φ) + c 31 c 61 = c(φ) + 3. Εικόνα 2. φ. (α) Η βέλτιστη κατανοµή φ. (b) Η υποπεριήγηση τ που προήλθε από την 20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Πυραµιδικά επιλύσιµες περιπτώσεις TSP. Μια περιήγηση φ = <1, i 1, i 2,, i r, n, j 1, j 2,,j n-r-2 > λέγεται περιήγηση µε πυραµιδική µορφή αν i 1 < i 2 < < i r και j 1 < j 2 < < j n-r-2. Με άλλα λόγια, ο πωλητής ξεκινάει από την πόλη 1, επισκέπτεται κάποιες πόλεις σε αύξουσα σειρά φτάνει στη πόλη n και µετά επιστρέφει στην πόλη 1 επισκεπτόµενος τις υπόλοιπες πόλεις σε φθίνουσα σειρά. Οι περιηγήσεις µε πυραµιδική µορφή έχουν δυο θετικές ιδιότητες. Πρώτα η πυραµιδική περιήγηση µε το χαµηλότερο κόστος µπορεί να καθοριστεί σε Ο(n 2 ) χρόνο παρόλο που ολόκληρος ο συνολικός αριθµός των πυραµιδικών περιηγήσεων n πόλεων είναι εκθετικός στο n. Έτσι, οι περιηγήσεις µε πυραµιδική µορφή αποτελούν ένα υποσύνολο εκθετικού µεγέθους από τις κυκλικές µεταθέσεις τις οποίες µπορούµε να βελτιστοποιήσουµε σε πολυωνυµικό χρόνο. εύτερον υπάρχει σίγουρα συνδυαστική δοµή των πινάκων αποστάσεων που εξασφαλίζει την ύπαρξη µιας συντοµότερης περιήγησης που είναι πυραµιδική. Έτσι, σε περίπτωση που ο πίνακας αποστάσεων έχει αυτή την συνδυαστική δοµή, το TSP ανάγεται στο πρόβληµα να βρούµε την κοντύτερη πυραµιδική περιήγηση και αυτό είναι επιλύσιµο σε πολυωνυµικό χρόνο. Το TSP περιορισµένο σε µια κλάση πινάκων Μ λέγεται πυραµιδικός επιλύσιµο αν για κάθε πίνακα της Μ υπάρχει µια βέλτιστη περιήγηση που είναι πυραµιδική. Στις δεκαετίες του 70 και του 80 λίγες περιπτώσεις πυραµιδικών επιλύσιµων κλάσεων TSP είχαν εντοπιστεί και ερευνηθεί. Σ αυτό το µέρος θα επαναλάβουµε την βιβλιογραφία αυτού του αντικειµένου και θα παράσχουµε κάποιες απλές αποδείξεις. Όλες αυτές οι αποδείξεις προέρχονται από µια ενωτική µέθοδος απόδειξης που λέγεται µέθοδος βελτίωσης της περιήγησης (Tour-Improvement Method). Επαναλαµβάνουµε τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις πινάκων των οποίων η συνδυαστική δοµή εξασφαλίζει την ύπαρξη µιας πυραµιδικής βέλτιστης περιήγησης : τους πίνακες Monge, Supnick, Demidenko, Kalmanson, Van der Veen και γενικά τους πίνακες διανοµής. Επιπλέον στις παραγράφους 3.3 και 3.4 απευθύνουµε την ερώτηση του να αναγνωρίσεις αυτές τις συνδυαστικές δοµές για ένα δεδοµένο πίνακα αποστάσεων. Τέλος, η παράγραφος 3.5 έχει να κάνει µε την πυραµιδικότητα στην έκδοση bottleneck (λαιµός µπουκαλιού) του TSP. 3.1 Βελτιστοποίηση στις πυραµιδικές περιηγήσεις. Ξεκινάµε µε το βασικό αποτέλεσµα που κάνουν τα πυραµιδικώς επιλύσιµα TSP ενδιαφέροντα. Το αποτέλεσµα είναι εύκολα αποδείξιµο µέσω δυναµικού προγραµµατισµού. Θεώρηµα 3.1 (Klyaus [68]; Gilmore, Lawler and Shmoys [59]) Για ένα nxn πίνακα αποστάσεων C = (c ij ), το πρόβληµα του να βρεις την συντοµότερη πυραµιδική περιήγηση µε σεβασµό στο πίνακα C, δηλαδή το πρόβληµα n c p είναι πυραµιδικ ή περιήγηση ip() i i= 1 min : } 21

22 είναι επιλύσιµο σε O(n 2 ) χρόνο. Φαινοµενικά το πρώτο paper που χρησιµοποιήθηκε πυραµιδική περιήγηση για ειδικές περιπτώσεις TSP ήταν των Aizenshtat και Kravchuk [4] το Ερευνήσανε τα TSP µε τους αποκαλούµενους διατεταγµένους πίνακες γινοµένων (ordered product matrices) της µορφής C = (c ij ) = (u i, υ j ), όπου ισχύει 0 u i u 2 u n και υ 1 υ 2 υ n 0. Οι διατεταγµένοι πίνακες γινοµένων σχηµατίζουν µια υποκλάση των πινάκων Monge. Ένας nxn πίνακας λέγεται Monge πίνακας αν: (2) c ij + c rs c is + c rj, για j i < r n, 1 j < s n. Oι Gilmore, Lawler και Shmoys [59] λέγανε τους πίνακες µε αυτήν την ιδιότητα πίνακες διανοµών (distribution matrices), αναφερόµενοι σε ένα τρόπο να δοµήσεις (κατασκευάσεις) τέτοιους πίνακες από δοσµένους µη αρνητικούς πίνακες που λέγονται (density matrices). Ο όρος «Monge matrix» επινοήθηκε από τον Hoffman [63] ο οποίος γενίκευσε µια παρατήρηση του Gaspard Monge [79] το 1781 (δες επίσης στην παράγραφο 3.1). Για περισσότερες πληροφορίες στους Monge πίνακες, ο αναγνώστης παραπέµπεται σε ένα άρθρο από τους Burkard, Klinz και Rudolf [17]. Το αποτέλεσµα από τον Aizenshtat και Kravchuk [4] είναι σηµαντικά συνδεδεµένο µε το παραπάνω θεώρηµα. Θεώρηµα 3.2 (δες Gilmore, Lawler and Shmoys [59] σελ. 101) Αν C είναι ένας Monge πίνακας, τότε υπάρχει µια βέλτιστη περιήγηση που είναι πυραµιδική. Η συνδυαστική δοµή των Monge πινάκων µας επιτρέπει να βελτιώσουµε την πολυπλοκότητα χρόνου του Θεωρήµατος 3.1. Ο Park [91] έδειξε ότι το TSP περιορισµένο σε Monge πίνακες λύνεται σε O(n) χρόνο. Αυτό γίνεται επιταχύνοντας το δυναµικό πρόγραµµα του Klyaus µε την βοήθεια µιας τεχνικής ανίχνευσης πινάκων που ανέπτυξαν οι Aggarwal, Klawe, Moran, Shor and Wilber [1] και ο Eppstein [48]. 3.2 Η µέθοδος βελτίωσης περιήγησης (Tour-Improvement Technique) για πυραµιδικά επιλύσιµα TSP. Σε αυτό το µέρος παρουσιάζεται µια ενωτική αποδειχτική µέθοδος για πυραµιδικά επιλύσιµα TSP. Αυτή η τεχνική αρχικά παρουσιάστηκε από τον Van der Veen [123] και αργότερα επιτυχώς εφαρµόστηκε από π.χ. τους Burkard και Van der Veen [19], Van der Veen Shierksma και Van Dal [125] και Van der Veen [124]. Η ιδέα είναι η εξής. Με σκοπό να αποδείξουµε ότι κάτω από ορισµένες συγκεκριµένες συνθήκες στον πίνακα αποστάσεων υπάρχει µια βέλτιστη περιήγηση η οποία είναι πυραµιδική, µια αποκαλούµενη (TI-technique) χρησιµοποιείτε. Ξεκινώντας από µια τυχαία αυθαίρετη περιήγηση τ, µια ακολουθία από περιηγήσεις τ 1, τ 2,, τ Τ κατασκευάζεται, µε τ 1 = τ, τέτοιο ώστε c(τ 1 ) c(τ 2 ) c(τ Τ ), 22

23 όπου c(τ t ) φανερώνει δηλώνει το µήκος της περιήγησης τ t (t = 1,, τ) και Τ = Τ(τ) είναι ο µικρότερος ακέραιος τέτοιος ώστε τ Τ να είναι πυραµιδική. Σηµειώνουµε ότι αν Τ(τ) < για κάθε περιήγηση τ, τότε υπάρχει πάντα µια βέλτιστη περιήγηση που είναι πυραµιδική. Η περιήγηση τ t+1 θα αποκτηθεί από την τ t µε ανταλλαγή ενός αριθµού ακµών τόξων. Αυτή η διαδικασία θα λέγεται µετατροπή. Μια µετατροπή θα λέγεται εφικτή αν οι συνθήκες του πίνακα αποστάσεων διαβεβαιώνουν ότι το ολικό µήκος από την εισαγόµενη ακµή τόξο δεν είναι µεγαλύτερο από το ολικό µήκος µε την ακµή τόξο που αποµακρύνθηκε. Ένα στοιχείο i {1,, n} είναι µια κορυφή της µετάθεσης τ αν i > max{τ - 1 (i), τ(i)} και µια κοιλάδα αν i > min{τ -1 (i), τ(i)}. Με P(τ), δηλώνουµε το σύνολο των κορυφών και µε V(τ) το σύνολο των κοιλάδων του τ. Προφανώς, για µια µετάθεση τ, ισχύει P ( τ ) = V ( τ ). Η µετάθεση τ είναι µια πυραµιδική περιήγηση αν και µόνο αν P(τ) = {n} ή ισοδύναµα αν και µόνο αν V(τ)={1}. Mε σκοπό να αποδείξουµε ότι η TI-technique τελειώνει µετά από ένα πεπερασµένο αριθµό βηµάτων (δηλαδή T(τ) < για όλες τις περιηγήσεις τ) θα χρησιµοποιήσουµε ένα είδος από συνάρτηση πιθανότητας (potential function): ο πυραµιδικός αριθµός Κ(τ) για µια περιήγηση τ ορίζεται από: Κ (): τ = ( ρ) ( υ) ρ Ρ( τ) υ V ( τ) Ένας εναλλακτικός τρόπος να υπολογίσουµε το Κ(τ) είναι ο ακόλουθος. Έστω k τ (i), i=1,, n - 1 φανερώνει τον αριθµό των ζευγαριών (u,τ(u)) τέτοια ώστε min {u,τ(u)} i i + 1 max { u,τ(u)}. Σηµειώνουµε ότι k τ (i) είναι ζυγός και το λιγότερο 2 για όλα τα n - 1}. Συνεπάγεται ότι: i {1,, 1 2 n 1 k τ i= 1 Κ () τ = () i Για παράδειγµα, η περιήγηση τ = < 1, 4, 5, 2, 6, 3 > έχει V(τ) = {1, 2}, P(τ) = {5, 6} και k τ (i)=2, 4, 4, 4 και 2 για i = 1, 2, 3, 4 και 5 αντίστοιχα. Έτσι, Κ(τ) = (5 + 6) (1 + 2) = 8 = ( ) / 2. Παρατηρούµε ότι κάθε περιήγηση τ ισχύει n 1 Κ( τ ) n n 2 2 Το πάνω όριο είναι (sharp) ακριβές για τις περιηγήσεις της µορφής <1, n, 2, n - 1, >. Επιπλέον, σηµειώνουµε ότι Κ(τ) = n 1 αν και µόνο αν τ είναι πυραµιδική περιήγηση. Έτσι, διαισθητικά, όσο µικρότερη είναι η τιµή του Κ(τ) τόσο κοντύτερα στην πυραµιδικότητα βρίσκεται η τ. Από τις παραπάνω σηµειώσεις συνεπάγεται ότι αν µπορεί να δεχθεί ότι Κ(τ t ) > K(τ t +1) για όλα τα t τότε αυτό είναι επαρκές για να αποδείξουµε ότι η TI µέθοδος έχει τέλος δηλαδή πεπερασµένο το πλήθος βήµατα. Στα παρακάτω θα δείξουµε πώς να εφαρµόσουµε την TI µέθοδο σε κλάσεις συµµετρικών (παράγραφος ) και µη συµµετρικών πινάκων (παράγραφος 23

24 3.2.2.). Και στις δύο περιπτώσεις η αφετηρία µας θα είναι η κλάση των πινάκων Monge, δηλαδή θα δειχθεί πως οι διάφορες πυραµιδικά επιλύσιµες περιπτώσεις σχετίζονται µε την κλάση των πινάκων Monge. Η παράγραφος έχει να κάνει µε την έκδοση µεγιστοποίησης των TSP Συµµετρικοί πίνακες. Ξεκινούµε θεωρώντας τους πίνακες Van der Veen. Αυτοί είναι συµµετρικοί nxn πίνακες C = (c ij ) που ικανοποιούν την ιδιότητα: c ij + c j+1,l c il + c j,j+1, για όλα 1 i < j < j + 1 < l n. Θεώρηµα 3.3. (δες Van der Veen [124]) Τα TSP περιορισµένα στους Van der Veen πίνακες είναι πυραµιδικώς επιλύσιµα. Σχεδιάγραµµα απόδειξης: Θεωρούµε ένα ζευγάρι ακµών ([α, b], [x, y]) µε ξεχωριστά µεταξύ τους α, b, x, y {1,, n} έτσι ώστε α = min {α, b, x, y} και x = min {x, y}. Ένα τέτοιο ζευγάρι ακµών λέγεται µετατρέψιµο ζευγάρι ακµών (Transformable Edge Pair) (ΤΕΡ) µιας περιήγησης τ αν: Οι ακµές [a, b] και [x, y] είναι ή και οι δύο στο σύνολο {[i, τ(i)] : τ(i) > i}, ή και οι δύο στο σύνολο {[i, τ(i)] : τ(i) < i}, και ή α < x < b < y και b x είναι ζυγός (even), ή α < x < y < b και το y x είναι περιττός (odd). Τα µετατρέψιµα ζευγάρια ακµών ΤΕΡs µιας περιήγησης παίζουν έναν σηµαντικό ρόλο στην ΤΙ µέθοδο για την κλάση των πινάκων Van der Veen. ΤΙ- µέθοδος Input: Μια περιήγηση τ. Output: Μια πυραµιδική περιήγηση. Βήµα 0: Θέτω τ 1 τ και t 1 Βήµα 1: Βρες ένα ΤΕΡ ([α, b];[x, y]) του τ t. Αν το τ t δεν περιέχει ένα ΤΕΡ τότε STOP: Η τ t είναι πυραµιδική περιήγηση Βήµα 2: Μετατροπή: Παίρνω το τ t+1 από το τ t αντικαθιστώντας τα [α, b] και [x, y] από τα [α, x] και [b, y]. Επέστρεψε στο Βήµα 1 µε t = t + 1. Από τον ορισµό του ΤΕΡ, η µετατροπή του Βήµατος 2 είναι εφικτή. Αφού Κ(τ t+1 ) - Κ(τ t ) = x - min{b,y} < 0, η ΤΙ - µέθοδος τελειώνει µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων - επαναλήψεων. Αποµένει να δειχθεί ότι µια περιήγηση περιέχει ΤΕΡ αν και µόνο αν δεν είναι πυραµιδική. Αν µια περιήγηση είναι πυραµιδική τότε δεν υπάρχει ζευγάρι ακµών ([α, b];[x, y]) µε α < x < b που να ικανοποιεί τη πρώτη προϋπόθεση στον ορισµό του ΤΕΡ, δηλαδή αν µια περιήγηση είναι πυραµιδική τότε δεν περιέχει ΤΕΡ. Το να δείξεις ότι µια µη πυραµιδική περιήγηση περιέχει ένα ΤΕΡ είναι λίγο πιο δύσκολο. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισµού βασίζεται σε δύο παρατηρήσεις. Η πρώτη παρατήρηση είναι η ακόλουθη. Ας υποθέσουµε ότι όλες οι πόλεις σε µια περιήγηση τ είναι ή µια κοιλάδα ή µια κορυφή. Ας υποθέσουµε ότι p 24

25 είναι η µικρότερη κορυφή, δηλαδή η πόλη στο Ρ(τ) µε το µικρότερο στοιχείο. Τότε συνεπάγεται ότι τ -1 (Ρ), τ(p) V(τ), τ -2 (p), τ 2 (p) P(τ), max(τ -1 (p), τ(p)) < p και min(τ - 2 (p), τ 2 (p)) > p. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι ή ([τ -1 (p), p], [τ(p), τ 2 (p)]) ή ([τ - 2 (p), τ -1 (p)], [p, τ(p)]) είναι ένα ΤΕΡ. Έτσι, αν κάθε πόλη µιας περιήγησης είναι ή κορυφή ή κοιλάδα τότε η περιήγηση περιέχει ΤΕΡ. Τώρα ερχόµαστε στη δεύτερη παρατήρηση. Ας υποθέσουµε ότι η περιήγηση τ είναι µη πυραµιδική. Αυτή η περιήγηση µπορεί να διαιρεθεί σε 2 Ρ(τ) µονοπάτια ως εξής. Υπάρχουν Ρ(τ) (= V(τ) ) µονοπάτια ξεκινώντας από µια πόλη στο V(τ) (κοιλάδα) και τερµατίζουν σε µια πόλη Ρ(τ) (κορυφή) και Ρ(τ) µονοπάτια ξεκινώντας από µια πόλη στο Ρ(τ) και τερµατίζοντας σε µια πόλη στο V(τ). Σηµειώνουµε ότι ένα τέτοιο µονοπάτι έχει ή την δοµή [υ, i 2,, i u, p] ή την δοµή [p, j 2,, j w,υ], όπου p είναι κορυφή, υ κοιλάδα, υ < i 2 < < i u < p και p > j 2 > > j w > υ. Θεωρούµε την υποπεριήγηση που παίρνουµε από την τ αντικαθιστώντας όλα τα 2 Ρ(τ) µονοπάτια από ακµές µε το ίδιο σηµείο τερµατισµού όπως στα µονοπάτια. Προφανώς κάθε πόλη η οποία επισκέπτεται σ αυτή την υποπεριήγηση είναι ή κοιλάδα ή κορυφή. Έτσι από την πρώτη παρατήρηση αυτή η υποπεριήγηση περιέχει ένα ΤΕΡ. Έστω [α, b] και [x, y] ότι είναι οι δύο ακµές της υποπεριήγησης που σχηµατίζουν το ΤΕΡ. Η δεύτερη παρατήρηση είναι λέει ότι υπάρχουν 2 ακµές στα µονοπάτια οι οποίες αντιστοιχούν σε αυτές τις δυο ακµές που σχηµατίζουν το TEP οι οποίες από µόνες τους σχηµατίζουν ένα TEP, δηλαδή αν υπάρχουν δύο µονοπάτια [υ 1, i 12, i 13, i 1u, p 1 ] και [υ 2, i 22, i 23, i 1w, p 2 ] στην περιήγηση τ και ([υ 1, p 1 ] ; [υ 2, p 2 ]) είναι ένα ΤΕΡ στην υποπεριήγηση που αντιστοιχεί στην τ, τότε υπάρχει ένα k {1,, u} και ένα t {1,, w} τέτοιο ώστε ([i 1k, i 1, k+1 ] ; [i 2t, i 2,t+1 ]) είναι ένα ΤΕΡ στην τ. Από αυτές τις δύο παρατηρήσεις προκύπτει ότι κάθε µη πυραµιδική περιήγηση περιέχει ένα ΤΕΡ. Πρόσφατες έρευνες έχουν εστιασθεί σε TSP περιορισµένα σε συµµετρικούς πίνακες Demidenko οι οποίοι περιέχουν την κλάση των συµµετρικών πινάκων Monge σαν υποκλάση. Ένας συµµετρικός πίνακας C = (c ij ) λέγεται ένας συµµετρικός πίνακας Demidenko αν: c ij + c j+1, l c i,j+1 + c jl για όλα 1 i < j < j + 1 < l n. Σηµειώνουµε ότι η κλάση των πινάκων Van der Veen ούτε περιέχουν ούτε περιέχονται στην κλάση των συµµετρικών πινάκων Demidenko. Ωστόσο από τον ορισµό, ο συµµετρικός πίνακας Demidenko περιέχεται στην γενικευµένη κλάση των µη συµµετρικών πινάκων Demidenko (παράγραφος και Θεώρηµα 2.8.). Έτσι µπορούµε να εισάγουµε την ακόλουθη πρόταση. Πρόταση 3.4. Το TSP περιορισµένο σε συµµετρικούς πίνακες Demidenko είναι πυραµιδικά επιλύσιµο. Ένας συµµετρικός nxn πίνακας C = (c ij ) λέγεται πίνακας Supnick αν: (4) c ij + c j+1, l c i,j+1 + c jl c i,l + c j,j+1 για όλα 1 i < j < j+1 < l n. Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι ο πίνακας Supnick είναι ένα είδος από τους συµµετρικούς πίνακες Monge µε τυχαίες διαγώνιες εισαγωγές (για µια πιο ακριβή 25

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS

ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΑΣ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ ANT COLONY OPTIMIZATION METHODS Χρήστος Δ. Ταραντίλης Αν. Καθηγητής ΟΠΑ ACO ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Η ΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΛΥΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΑΤΑΞΗΣ (1/3) Ε..Ε. ΙΙ Oι ACO

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή

τέτοιες συναρτήσεις «πραγµατικές συναρτήσεις µε µία πραγµατική µεταβλητή». Σε αυτή Κεφάλαιο Ορίζουσες Η Συνάρτηση Ορίζουσα Είµαστε όλοι εξοικειωµένοι µε συναρτήσεις όπως η f(x) sin x και η f(x) x οι οποίες αντιστοιχίζουν έναν πραγµατικό αριθµό f(x) σε κάθε πραγµατική τιµή της µετα- ϐλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. Ανάλυση προβλήµατος

1. Ανάλυση προβλήµατος 1. Ανάλυση προβλήµατος 1.1 Η έννοια πρόβληµα. ΕΣΕΠ06-Θ1Α1 Να δώσετε τον ορισµό του προβλήµατος. 1.2 Κατανόηση προβλήµατος. ΕΣ02-Θ1Α2 Με τον όρο δεδοµένο αναφέρεται οποιοδήποτε γνωσιακό στοιχείο προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Q = (2 3 5... P) + 1.

Q = (2 3 5... P) + 1. Η ΑΠΟΛΟΓΙΑ ΕΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ G.H. Hardy ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ Η Η ΦΑΝΕΡΟ ότι, αν θέλουµε να έχουµε οποιαδήποτε πιθανότητα να προχωρήσει η συζήτηση, οφείλω να δώσω παραδείγµατα «πραγµατικών» µαθηµατικών θεωρηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα