ΓΗΜΗΣΡΗ ΥΑΑΠΗ ΘΔΜΑΣΑ ΙΣΟΡΙΑ & ΦΙΛΟΟΦΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΓΗΜΗΣΡΗ ΥΑΑΠΗ ΘΔΜΑΣΑ ΙΣΟΡΙΑ & ΦΙΛΟΟΦΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ"

Transcript

1 ΓΗΜΗΣΡΗ ΥΑΑΠΗ ΘΔΜΑΣΑ ΙΣΟΡΙΑ & ΦΙΛΟΟΦΙΑ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ

2 ΘΔΜΑ ΣΡΙΣΟ ην Μεδέλ θαη ην Άπεηξν

3 Μεδέλ

4 Σν κεδέλ είλαη κηα ηδηόηππε καζεκαηηθή έλλνηα: είλαη θαη δελ είλαη αξηζκόο ωο ζύκβνιν δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο 105: 1 εθαηνληάδα Κακία δεθάδα 5 κνλάδεο ωο έλλνηα ζεκαίλεη θακία κνλάδα, θαλέλα κέγεζνο 0

5 O Rotman ππνγξακκίδεη ηελ αληηθαηηθόηεηα ηεο έλλνηαο ηνπ κεδελόο. Σν κεδέλ είλαη έλαο αξηζκόο, ν πξώηνο αξηζκόο ζηε ζεηξά ησλ αξηζκώλ, ν νπνίνο εθθξάδεη όκσο ηελ απνπζία κνλάδσλ. Παξάιιεια, ην κεδέλ δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδσλ κηαο ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο. ηελ δεύηεξε πεξίπησζε ην κεδέλ δελ είλαη αξηζκόο, αιιά έθθξαζε ηεο απνπζίαο ελόο αξηζκνύ, ελόο νηνλδήπνηε αξηζκνύ, είλαη έλαο κεηα-αξηζκόο αθνύ αλαθέξεηαη ζε άιινπο αξηζκνύο. Σν κεδέλ έρεη επνκέλσο δύν όςεηο. Δθθξάδεη ην θελό θαη ηαπηόρξνλα ζπκβνιίδεη ην ηίπνηα (Rotman Signifying Nothing: The Semiotics of Zero 1993, p. 13)

6 Σν κεδέλ αλήθεη ζην αξηζκεηηθό ζύζηεκα Αιιά ε απαξίζκεζε δελ αξρίδεη από ην 0 Πόζα είλαη?

7 Σν κεδέλ έρεη δηαθνξεηηθό ξόιν ζηηο αξηζκεηηθέο πξάμεηο: Πξόζζεζε = 1 νπδέηεξν ζηνηρείν Πνιιαπιαζηαζκόο 0 x 1 = 0 ζηνηρείν πνπ κεδελίδεη θάζε κέγεζνο Γηαίξεζε 1 : 0 = άπεηξν

8 Γηαίξεζε 1 / 0 = άπεηξν Αθνύ δελ κπνξνύκε λα δηαηξέζνπκε έλαλ αξηζκό κε ην 0, ηόηε ην 0 δελ κπνξεί λα ζεωξείηαη αξηζκόο Από ηελ νπηηθή απηή: Τν κεδέλ δελ είλαη αξηζκόο

9 Έρνπλ δηαηππωζεί ηξεηο δηαθνξεηηθέο, εμίζνπ αμηόπηζηεο, ηζηνξηθέο εθδνρέο γηα ηελ πξνέιεπζε ηνπ κεδελόο Πξώηε εθδνρή: Ο Brian Rotman ζην βηβιίν ηνπ Signifying Nothing: The Semiotics of Zero ππνζηεξίδεη όηη ην κεδέλ επηλνήζεθε από Ιλδνύο καζεκαηηθνύο θαη εηζάρζεθε ζηελ Δπξώπε από ηνπο Άξαβεο.

10 ηνπο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο ηωλ Ιλδώλ γύξω ζην 650 κ.υ. εληνπίδεηαη έλα ζύκβνιν γηα ην κεδέλ παξόκνην κε ην θαζηεξωκέλν ζήκεξα 0 ωο ζύκβνιν ηεο απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ηωλ Ιλδώλ. Ολνκαδόηαλ Pujyam, ιέμε ε νπνία ζήκαηλε θαη ηεξό. Ίζωο ην κεδέλ έρεη ηελ πξνέιεπζή ηνπ ζηελ Ιλδηθή κεηαθπζηθή, νπνία δέρνληαλ ηελ ύπαξμε ηνπ θελνύ ηεο αηωληόηεηαο (ληξβάλα). Παξάιιεια, όκωο, ε ρξήζε ηνπ κεδελόο ζηηο αξηζκεηηθέο πξάμεηο δειώλεη ηελ απνδνρή ηνπ ωο αξηζκνύ θαη όρη απιά ωο ζπκβόινπ απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην ζύζηεκα αξίζκεζεο.

11 Έρεη βξεζεί ζηελ Ιλδία κηα πέηξηλε επηγξαθή, ε νπνία ρξνλνινγείηαη ζην 876 κ.υ. Η επηγξαθή αλαθέξεηαη ζηελ πόιε Γθνπαιηόξ, 400 ρικ λόηηα ηνπ Γειρί όπνπ θαιιηεξγνύζαλ έλαλ θήπν δηαζηάζεωλ 187 επί 270 ράζηα ζηνλ νπνίν παξάγνληαλ άλζε γηα ηελ θαηαζθεπή 50 ζηεθαληώλ, ηα νπνία πξνζθέξνληαλ ζηνλ ηνπηθό λαό. Οη αξηζκνί 270 θαη 50 γξάθνληαη ζρεδόλ κε ηα ζεκεξηλά ζύκβνια.

12 Η απνδνρή ηνπ κεδελόο ωο αξηζκνύ θαη όρη απιά ωο ζπκβόινπ απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην ζύζηεκα αξίζκεζεο ηεθκεξηώλεηαη ζηα βηβιία ηωλ Ιλδώλ καζεκαηηθώλ ηεο ίδηαο πεξηόδνπ. Ο πην γλωζηόο αζηξνλόκνο θαη καζεκαηηθόο ηεο αξραίαο Ιλδίαο είλαη ν Βξαρκαγθνύπηα. ην βηβιίν ηνπ Brahmasphutasiddhanta (628 κ.υ.) εμεγεί όηη ην κεδέλ πξνθύπηεη όηαλ από έλαλ αξηζκό αθαηξεζεί ν ίδηνο ν αξηζκόο θαη δηαηππώλεη θαλόλεο πξάμεωλ νη νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ην κεδέλ. Π.ρ. ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο θαη ελόο αξλεηηθνύ αξηζκνύ είλαη αξλεηηθό, ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο θαη ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ είλαη ζεηηθό θαη ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο κε ην κεδέλ είλαη κεδέλ.

13 Γεύηεξε εθδνρή: Ο Charles Seife ζην βηβιίν ηνπ Zero: The Biography of a Dangerous Idea ππνζηεξίδεη όηη ην κεδέλ επηλνήζεθε από ηνπο Βαβπιώληνπο θαη κεηαθέξζεθε ζηελ Ιλδία όηαλ ηνλ 4 ν αηώλα π.υ. ν Μέγαο Αιέμαλδξνο εθζηξάηεπζε από ηελ Βαβπιώλα ζηελ Ιλδία.

14 ηνπο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο ηωλ Βαβπιωλίωλ δελ ρξεζηκνπνηείηαη ζύκβνιν γηα ην κεδέλ από ην 1700 κέρξη ην 700 π.υ. όπνπ ρξνλνινγνύληαη πήιηλεο πηλαθίδεο κε αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο πνπ έρνπλ βξεζεί ζην ζεκεξηλό Ιξάθ. ε πήιηλεο πηλαθίδεο πνπ ρξνλνινγνύληαη από ην 700 κέρξη ην 400 π.υ. εληνπίδνληαη ζύκβνια γηα ην κεδέλ ωο ζύκβνια απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην εμεθνληαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ηνπο γξακκέλν κε ηελ απνθιεζείζα ζθελνεηδή γξαθή.

15 Δμεθνληαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ηωλ Βαβπιωλίωλ γξακκέλν ζε ζθελνεηδή γξαθή. Πηλαθίδα ηνπ 300 π.υ. ηκήκαηα ηεο νπνίαο βξέζεθαλ ζηελ πόιε Οπξνύθ. Γξακκή 10 ηεο πηλαθίδαο : = (2,0,0,33,20) = (Ifrah, G. (1985) From One to Zero. R. R. Donnelly and Sons: America, p. 380, fig. 3).

16 Σξίηε εθδνρή: Ο Robert Kaplan ζην βηβιίν ηνπ The Nothing That Is: A Natural History Zero ζπκθσλεί κε ηελ πξνεγνύκελε εθδνρή κε δύν δηαθνξνπνηήζεηο: 1.Σνλίδεη ηελ αληηθαηηθόηεηα ησλ ζηνηρείσλ γηα ηελ πξνέιεπζε ηνπ κεδελόο θαη 2.Τπνγξακκίδεη όηη ε έλλνηα ηνπ κεδελόο εμειίρζεθε θαη δηαθνξνπνηήζεθε ηζηνξηθά από ηελ εκθάληζε ηνπ πξώηνπ ζπκβνιηζκνύ ηεο κέρξη ηε ζύγρξνλε επνρή.

17 Η έλλνηα ηνπ κεδελόο δεκηνπξγήζεθε από ηηο αλάγθεο ηωλ ππνινγηζκώλ θαη ηωλ αξηζκεηηθώλ πξάμεωλ θαη εμειίρζεθε κε ηε ρξήζε ηεο ζε δηαθνξεηηθά πιαίζηα. Καζνξηζηηθέο ζηηγκέο ηεο ηζηνξηθήο εμέιημεο ηεο έλλνηαο ηνπ κεδελόο ππήξμαλ -Η επηθξάηεζε ηνπ ζεζηαθνύ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο θαηά ηνλ 13 ν αηώλα, νπόηε ην 0 σο ζύκβνιν θαζηεξώλεηαη γηα λα δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδσλ κηαο ηάμεο, π.ρ Η κεηεμέιημε ηνπ λνήκαηνο ηωλ ιέμεωλ «κεδέλ» από εθθξάζεηο ηνπ «ηίπνηα» (νπδέλ) ζε αξηζκεηηθέο εθθξάζεηο «θακίαο κνλάδαο» ή όπσο ν Kaplan ην δηαηππώλεη «από ηην αποσζία αριθμού ζηην ιδέα ενός αριθμού για ασηή ηην αποσζία» (1999, p. 46)

18 ηελ θιαζζηθή Διιεληθή, όπωο θαη ζηε Ρωκαϊθή αξραηόηεηα ε καζεκαηηθή έλλνηα ηνπ «κεδελόο» δελ ήηαλ απνδεθηή ζηα καζεκαηηθά: δελ ππήξρε νύηε καζεκαηηθόο όξνο νύηε ζύκβνιν γηα ηελ έλλνηα ηνπ κεδελόο. Οη αζηξνλόκνη, όκσο, γηα ηηο αλάγθεο ησλ πνιύπινθσλ ππνινγηζκώλ ηνπο ρξεζηκνπνηνύζαλ έλα ζύκβνιν ηνπ κεδελόο, ην, ζηε γξαθή ησλ αξηζκώλ γηα λα δειώλεηαη ε απνπζία κνλάδσλ κηαο ηάμεο. Καηά πάζα πηζαλόηεηα πξόθεηηαη γηα έλαλ θύθιν, αθνύ ην γξάκκα Ο ζην Διιεληθό αιθαβεηηθό αξηζκεηηθό ζύζηεκα δειώλεη ηνλ αξηζκό 70.

19 1200 κ.υ. Leonardo Pisano IL LIBER ABBACI DI LEONARDO PISANO

20 Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur. 283 Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant.

21 Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur. Πόσα ζευγάρια κουνελιών γεννώνται από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο

22 Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret, quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum natura eorum sit per singulum mensem aliud par germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate germinant. Ένας άνθρωπος έχει ένα ζευγάρι κουνελιών μαζί σε έναν ορισμένο κλειστό χώρο και κάποιος θέλει να μάθει πόσα γεννώνται από αυτό το ζευγάρι σε ένα χρόνο: όταν από τη φύση τους σε ένα μήνα γεννούν ένα ζευγάρι. Και το δεύτερο μήνα αυτά που γεννήθηκαν γεννούν επίσης

23 284

24 Simon Stevin 1585

25

26

27 Η επηθξάηεζε ηνπ θεζιακού δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο θαηά ηνλ 13ν αηώλα ζηελ Δπξώπε ζπλνδεύηεθε από αληηπαξαζέζεηο κεηαμύ ησλ ππνζηεξηθηώλ ηνπ Ρσκατθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο (αβαθηζηώλ, αθνύ ε εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ απαηηνύζε άβαθα) θαη ησλ ππνζηεξηθηώλ ηνπ Ιλδν-αξαβηθνύ ζπζηήκαηνο αξίζκεζεο (αιγνξηζηώλ, αθνύ ε εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ βαζίδνληαλ ζε αιγνξίζκνπο ).

28 Τν Πλεύκα ηεο Αξηζκεηηθήο Υαξαθηηθό από ην βηβιίν ηνπ Gregorius Reisch «Margarita Philosophica» (1508), ην νπνίν απεηθνλίδεη ηελ αληίζεζε ησλ Αιγνξηζηώλ κε ηνπο Αβαθηζηέο ππό ην βιέκκα ηεο αλαπνθάζηζηεο Αξηζκεηηθήο

29 αίμπεξ, Βαζηιηάο Λεξ Ο Rotman ζεσξεί όηη ζην έξγν απηό εθθξάδνληαη νη επηθπιάμεηο γηα ην ξόιν ηεο έλλνηαο ηνπ κεδελόο ζηελ πξνζσπηθή θαη ζηελ θνηλσληθή δσή ησλ αλζξώπσλ ηελ επνρή ηεο εηζαγσγήο ηνπ ζηελ Δπξώπε σο ζηνηρείνπ ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο θαη ηελ ίδηα επνρή ηεο δηαδνρήο ηεο θενπδαξρίαο σο θνηλσληθνύ ζπζηήκαηνο από ηνλ εκπνξεπκαηηθό θαπηηαιηζκό. ηελ ηδενινγία ηνπ εκπνξεπκαηηθνύ θαπηηαιηζκνύ ην κεδέλ είλαη θαζνξηζηηθό ζηνηρείν ησλ εκπνξηθώλ ζπλαιιαγώλ, όπσο είλαη θαη ζήκεξα ησλ θαζνξηζηηθό ζηνηρείν ρξεκαηηζηεξηαθώλ αγνξώλ.

30 Η ιέμε «ηίπνηα» (nothing) αθνύγεηαη ζπλερώο ζην έξγν θαη ζρνιηάδεηαη ε ιαλζαζκέλε άπνςε ηνπ Βαζηιηά Λεξ όηη «ηίπνηα δελ κπνξεί λα πξνέιζεη από ην ηίπνηα» (I, i, 90) ή όηη «ηίπνηα δελ κπνξεί λα ππνζηεξηρηεί από ην ηίπνηα» (I, iv, 135). Σν απνηέιεζκα είλαη, όπσο ν Σξειόο ριεπάδεη, όηη ν Λεξ γίλεηαη «έλα 0 ρσξίο ςεθίν». «Δίκαη θαιιίηεξνο από ζέλα ηώξα: εγώ είκαη έλαο ηξειόο, εζύ είζαη έλα ηίπνηα» (I, iv, ). Έλα 0, ζρνιηάδεη ν Rotman ρσξίο ην αληίζηνηρν ςεθίν ην νπνίν ζα ηνπ απνδώζεη έλα λόεκα αμίαο, όπσο ζην 10 ή ζην 100 ή αθόκα θαη ζην 001 είλαη ε απνζέσζε ηνπ ηίπνηα, ην κεδέλ σο απόιπην θελό, όρη σο ζύκβνιν ηεο απνπζίαο κνλάδσλ κηαο ηάμεο ζηε γξαθή ελόο αξηζκνύ.

31 Οη ζπλέπεηεο ηεο επηλόεζεο θαη θαζηέξσζεο ηεο έλλνηαο ηνπ κεδελόο ππήξμαλ θαζνξηζηηθέο γηα ηελ εμέιημε ησλ καζεκαηηθώλ. Σν κεδέλ επέηξεςε ηελ αλάπηπμε ηεο άιγεβξαο (από ηελ αξαβηθή ιέμε al-jabr πνπ ζεκαίλεη απνθαηάζηαζε ησλ δηαρσξηζκέλσλ κεξώλ ), ηελ επηλόεζε ηνπ απεηξνζηηθνύ ινγηζκνύ θαη αξγόηεξα ηεο ζεσξίαο ζπλόισλ.

32 Άπεηξν

33 Γπλεηηθό άπεηξν Πξαγκαηηθό άπεηξν Γπλεηηθό άπεηξν Αο ζθεθηνύκε κηα δηαδηθαζία ε νπνία έρεη κηα ζπγθεθξηκέλε αξρή θαη ζπληειείηαη ζε ηειείωο δηαθξηηά θαη κεηξήζηκα βήκαηα, ρωξίο λα μέξνπκε εάλ θαη πνπ ηειεηώλεη. Σα βήκαηα ηεο δηαδηθαζίαο απηήο είλαη άπεηξα. Αξίζκεζε

34 Γπλεηηθό άπεηξν Πξαγκαηηθό άπεηξν Πξαγκαηηθό άπεηξν Οιόηεηεο κε πεπεξαζκέλεο έθηαζεο ή δηάξθεηαο Άπεηξν ζύλνιν Τν ζύλνιν ηωλ θπζηθώλ αξηζκώλ (1,2,3,.)

35 ηελ θιαζζηθή Διιεληθή αξραηόηεηα ε έλλνηα ηνπ απείξνπ εκθαλίδεηαη ζηνλ Αλαμίκαλδξν ( π.υ.) θαη γίλεηαη αληηθείκελν πξνβιεκαηηζκνύ από όινπο ζρεδόλ ηνπο θηινζόθνπο κέρξη ηνλ Αξηζηνηέιε ( π.υ.) θαη ηνλ Δπίθνπξν ( π.υ.) Γηακνξθώλνληαη δύν ζεσξήζεηο ηνπ απείξνπ: -Μηα αξλεηηθή ζηελ νπνία ην άπεηξν, ην απεξηόξηζην, ην απξνζδηόξηζην, ην αηειέο ηαπηίδνληαη θαη ην άπεηξν ζεσξείηαη πεγή ζύγρπζεο θαη πεξηπινθήο (Αξηζηνηέιεο). -Μηα ζεηηθή ζηελ νπνία ην άπεηξν είλαη κηα έλλνηα, ε νπνία πεξηιακβάλεη όιεο ηηο έλλνηεο (Δπίθνπξνο).

36 Ο Αξηζηνηέιεο ζηα νθηώ βηβιία ηνπ Φσζικά, θαη ηδίσο ζην Βιβλίο 3, κεθάλαια 4 έως 9, εμεηάδεη ζπζηεκαηηθά από θηινζνθηθή νπηηθή ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ θαη εηζάγεη ηελ δηάθξηζε δπλεηηθνύ θαη πξαγκαηηθνύ απείξνπ. Ο Αξηζηνηέιεο απνδέρεηαη κόλν ηελ έλλνηα ηνπ δπλεηηθνύ απείξνπ

37 Ο Αξηζηνηέιεο ζηα Φσζικά (203b 15-25) ππνζηεξίδεη όηη ην άπεηξν έρεη πέληε πεγέο πξνέιεπζεο: (1)Σν άπεηξν ηνπ ρξόλνπ (2)Σε δηαηξεηόηεηα ησλ κεγεζώλ (3)Σν γεγνλόο όηη ε γέλλεζε θαη ε θζνξά ζηε θύζε είλαη αέλαε (4)Σν γεγνλόο όηη θάζε ηη πεξηνξηζκέλν πεξηνξίδεηαη από θάηη άιιν θαη (5)Σν γεγνλόο όηη δελ ππάξρνπλ όξηα ζηε δύλακε ηεο αλζξώπηλεο ζθέςεο ηα νπνία ζα εκπόδηδαλ ηελ απόδνζε ηεο ηδηόηεηαο ηνπ απείξνπ ζηνπο αξηζκνύο, ζηα κεγέζε ή ζε νηηδήπνηε επί ηεο γεο.

38 Ο Δπθιείδεο ζηα Σηνηρεία ηνπ (300 π.υ.) πηνζεηεί ηε ζεώξεζε ηνπ Αξηζηνηέιε θαη παξαθάκπηεη ζπζηεκαηηθά ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ απνθεύγνληαο ηελ αλαθνξά ηνπ. BIBΛIO I - Αηηήκαηα BIBΛIO IX Πρόηαζη 20

39 Όπσο θαη ηνπ Αξηζηνηέιε ε ζηάζε όισλ ησλ θηινζόθσλ απέλαληη ζηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ ππήξμε επηθπιαθηηθή. Αθόκα θαη θηινζόθσλ, νη νπνίνη ππήξμαλ θαη θπζηθνί επηζηήκνλεο, όπσο ν Κνπέξληθνο, ν Κέπιεξ ή ν Νεύησλαο. Ο πξνβιεκαηηζκόο γηα ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ αλαπηύζζεηαη νπζηαζηηθά θαηά ηνλ 20 ν αηώλα από ηνπο θηινζόθνπο ηωλ καζεκαηηθώλ θαη ηωλ θπζηθώλ επηζηεκώλ, κε ζαθή δηάθξηζε ηωλ ελλνηώλ ηνπ απείξνπ ζηα καζεκαηηθά θαη ζηε θπζηθή.

40 Η έλλνηα ηνπ απείξνπ ζηα καζεκαηηθά ζπζρεηίδεηαη απνιύηωο κε ηελ έλλνηα ηωλ ζπλερώλ κεγεζώλ θαη ηωλ απεηξάξηζκωλ ζπλόιωλ θαη αληηκεηωπίδεηαη θαη αξρήλ επηθπιαθηηθά.

41 Ο Γθάνπο ζε έλα πεξίθεκν γξάκκα ηνπ πξνο ηνλ νπκάρεξ κε εκεξνκελία 12/07/1831 πξνηξέπεη λα κελ ρξεζηκνπνηείηαη ε έλλνηα ηνπ απείξνπ ζηα καζεκαηηθά: «Δηακαξηύξνκαη γηα ηε ρξήζε κηαο άπεηξεο πνζόηεηαο ωο πξαγκαηηθήο. Απηό ζηα καζεκαηηθά δελ επηηξέπεηαη πνηέ. Τν άπεηξν είλαη κόλν έλαο ηξόπνο ηνπ ιέγεηλ θαηά ηνλ νπνίν κπνξεί θαλείο λα κηιάεη γηα ηα όξηα ζηα νπνία νξηζκέλνη ιόγνη κπνξνύλ λα πιεζηάδνπλ όζν θνληά ζέινπκε, ελώ άιινη κπνξνύλ λα απμάλνληαη απεξηόξηζηα» Eves H., ΜΔΓΑΛΔ ΣΙΓΜΔ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ, εθδόζεηο Σξνραιία

42 Σελ καζεκαηηθή κειέηε ηνπ απείξνπ εγθαηληάδεη ν Georg Cantor ( ) κε ηελ δεκηνπξγία ηεο ζεωξίαο ηωλ ζπλόιωλ θαη ηωλ ππεξπεπεξαζκέλωλ αξηζκώλ (1870 έωο 1890). Νσξίηεξα (ην 1656) ν καζεκαηηθόο John Wallis είρε εηζάγεη ζηα καζεκαηηθά ην ζύκβνιν ηνπ απείξνπ

43 Βαζηθή έλλνηα ηωλ ζεωξηώλ ηνπ Cantor είλαη ε έλλνηα ζύλνιν, ηελ νπνία νξίδεη ωο θάζε ζπιινγή αληηθεηκέλωλ, πνπ πξνέξρεηαη από ην κπαιό µαο ή ηελ εκπεηξία µαο, είλαη θαιά νξηζκέλν θαη ηα αληηθείκελα μερωξίδνπλ ην έλα από ην άιιν δειαδή είλαη δηαθνξεηηθά. Σα αληηθείκελα απηά νλνκάδνληαη ζηνηρεία ή µέιε ηνπ ζπλόινπ.

44 Θεκειηώδεο είλαη, επίζεο, ε έλλνηα ηεο αληηζηνίρεζεο ηωλ ζπλόιωλ, ε νπνία απνδίδεη αθξηβέο λόεκα ζηελ ηζόηεηα ηνπ κεγέζνπο δύν ζπλόιωλ

45 Γύν ζύλνια έρνπλ ην ίδην πιήζνο ζηνηρείωλ (είλαη ηζνπιεζή) αλ ηα ζηνηρεία ηνπο κπνξεί λα ηεζνύλ έλα-πξνο-έλα ζε αληηζηνηρία. ηζνπιεζέο κε κεγαιύηεξν πιήζνο ηνπ

46 ηα απεηξάξηζκα ζύλνια όκωο Α Β Γ Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ηωλ επζπγξάκκωλ ηκεκάηωλ Α θαη Β έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείωλ.

47 Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ δύν επζπγξάκκωλ ηκεκάηωλ αλεμάξηεηα από ην κήθνο ηνπο έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ. Σν ζύλνιν ηωλ ξεηώλ αξηζκώλ θαη ην ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο αλεμάξηεηα από ην κήθνο ηνπ έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ.

48 Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ δύν πεξηθεξεηώλ αλεμάξηεηα από ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ, άξα θαη από ην κήθνο ηνπο (2πR), έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ.

49 ηα απεηξάξηζκα ζύλνια ην κέξνο ηζνύηαη κε ην όιν ΔΤΚΛΔΙΓΟΤ ΣΟΙΥΔΙΑ Κνηλέο έλλνηεο

50 Ξελνδνρείν Υίικπεξη κε άπεηξα δωκάηηα όια θαηεηιεκκέλα, όηαλ θηάλεη έλαο λένο πειάηεο Ο μελνδόρνο δεηάεη από θάζε πειάηε λα κεηαθνκίζεη ζην δηπιαλό ηνπ δωκάηην, νπόηε αδεηάδεη ην δωκάηην 1

51 Ξελνδνρείν Υίικπεξη κε άπεηξα δωκάηηα όια θαηεηιεκκέλα, όηαλ θηάλεη όκωο κηα νκάδα άπεηξωλ πειαηώλ? Ο μελνδόρνο δεηάεη από θάζε πειάηε λα κεηαθνκίζεη ζην δωκάηην κε αξηζκό δηπιάζην από ηνλ αξηζκό ηνπ δωκαηίνπ ηνπ Οπόηε αδεηάδνπλ όια ηα δωκάηηα κε πεξηηηό αξηζκό, άξα άπεηξα

52 Σν ζύλνιν ηωλ ξεηώλ αξηζκώλ είλαη ηζνπιεζέο κε ην ζύλνιν ηωλ θπζηθώλ αξηζκώλ, ην νπνίν είλαη ππνζύλνιν ηνπ Μπνξνύκε λα δηαηάμνπκε ζε κηα ζεηξά θαηά κέγεζνο ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο, αιιά όρη ηνπο ξεηνύο, αθνύ ζηνπο ξεηνύο δελ ππάξρεη έλαο κνλαδηθόο επόκελνο ελόο ξεηνύ αξηζκνύ. Ο Cantor απέδεημε όηη αλ αγλνήζνπκε ην κέγεζνο κπνξνύκε λα βάινπκε ζε κηα ζεηξά ηνπο ξεηνύο αξηζκνύο

53 Πωο? Κάζε ξεηόο αξηζκόο κπνξεί λα γξαθεί σο θιάζκα κε αξηζκεηή θαη παξνλνκαζηή θπζηθνύο αξηζκνύο p / q Βάδνπκε όινπο ηνπο ξεηνύο ζε κηα ζεηξά ηνπνζεηώληαο θαζέλαλ αξηζκό p/q ζηελ p ζηήιε θαη ζηελ q ζεηξά, π.ρ. ν 5/7 ηνπνζεηείηαη ζηελ 5 ε ζηήιε, 7 ε ζεηξά.

54 Όινη νη ζεηηθνί ξεηνί βξίζθνληαη ηόηε ζε κηα γξακκή δηθ-δαθ σο εμήο 1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5,.. Από ζεηξά απηή δηαγξάθνπκε ηνπο αξηζκνύο νη νπνίνη έρνπλ θνηλό δηαηξέηε, νπόηε ζηε ζεηξά ππάξρνπλ κόλν κηα θνξά νη αξηζκνί 1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5,...

55 Άξα ην ζύλνιν ησλ ζεηηθώλ Ρεηώλ είλαη αξηζκήζηκν, ηίζεηαη δειαδή ζε κηα-πξνο-κηα αληηζηνηρία κε ην ζύλνιν ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ. Σν ίδην ηζρύεη θαη γηα ην ζύλνιν ησλ αξλεηηθώλ Ρεηώλ κε ην κεδέλ. Άξα ην ζύλνιν ησλ Ρεηώλ αξηζκώλ είλαη αξηζκήζηκν θαη επνκέλσο είλαη ηζνπιεζέο κε ην ζύλνιν ησλ Φπζηθώλ αξηζκώλ. Γειαδή άπεηξν.

56 Ο Cantor απέδεημε όηη ην ζύλνιν ησλ Πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ δελ είλαη αξηζκήζηκν. Γελ είλαη, δειαδή, ηζνπιεζέο κε ην ζύλνιν ησλ Ρεηώλ θαη ην ζύλνιν ησλ Φπζηθώλ αξηζκώλ. Σν ζύλνιν ηωλ Πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ είλαη άπεηξν, κεγαιύηεξν, όκωο, από ηα ζύλνια ηωλ Ρεηώλ θαη ηωλ Φπζηθώλ αξηζκώλ.

57 Η απόδεημε ηνπ Cantor βαζίδεηαη ζηελ εμήο ηδέα: Γείρλεη όηη γηα θάζε αξηζκήζηκε αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ s1, s2,... κπνξεί λα βξεζεί πάληνηε έλα άιινο πξαγκαηηθόο αξηζκόο πνπ δελ αλήθεη ζε απηή. Άξα θακία αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ s1, s2,... δελ κπνξεί λα πεξηιάβεη όινπο ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο. Δπνκέλσο, νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί δελ απνηεινύλ έλα ζύλνιν αξηζκήζηκν.

58 Recall that any real number may be regarded as an infinite decimal of the form N. a1a2a3... where N denotes the integral part and the small letters the digits after the decimal point. Now suppose we are given an enumerated sequence s1, s2, s3,... of real numbers, with s1 = N1. a1a2a3... s2 = N2. b1b2b3... s3 = N3. c1c2c3... We proceed to construct, using what has become known as Cantor's diagonal process, a new real number which we show does not occur in the given sequence. To do this wefirst choose a digit a which differs from a1 and is neither 0 nor 9 (to avoid possible ambiguities which may arise from equalities like = ), then a digit b different from b2 and again unequal to 0 or 9, similarly c different from c3 and so on down the diagonal of the above array. (For example, we might choose a to be 1 unless a1 is 1, in which case we choose a to be 2, and similarly down the line for all the digits b, c, d,....) Now consider the infinite decimal x = 0.abcd... This new real number x then differs from any one of the numbers s1, s2, s3,...: it cannot be equal to s1 because the two differ at the first digit after the decimal point; it cannot be equal to s2 because these two differ at the second digit after the decimal point, and so on. Accordingly x does not occur in the given sequence, so that no given sequence can enumerate the totality of real numbers, which is therefore nonenumerable.

59 Ο Cantor ρξεζηκνπνίεζε ην ζύκβνιν ℵ (Άιεθ - πξώην γξάκκα ηνπ Δβξατθνύ αιθαβήηνπ) γηα ηα άπεηξα ζύλνια, ζπκβνιίδνληαο κε ℵ 0 ηνλ πιεζηθό αξηζκό ηνπ ζπλόινπ ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ θαη κε ℵ 1 ηνλ πιεζηθό αξηζκό ηνπ ζπλόινπ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ θαη όξηζε ην ℵ 1 = 2 ℵν.

60 Έλα ζύλνιν είλαη άπεηξν αλ δελ κεηαβάιιεηαη ην πιήζνο ηωλ ζηνηρείωλ ηνπ, νζαδήπνηε ζηνηρεία ηνπ θαη αλ αθαηξέζνπκε.

61 Kaplan, Robert (1999) The Nothing That Is: A Natural History of Zero, Oxford University Press, Oxford. Rotman, Brian (1993) Signifying Nothing: The Semiotics of Zero, Stanford University Press, Stanford. Seife, Charles (2000) Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin, Harmondsworth.

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 2011-12

ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 2011-12 1 ΔΠΑΓΓΔΛΜΑΣΗΚΟ ΛΤΚΔΗΟ ΤΠΟΣΖΡΗΚΣΗΚΖ ΓΗΓΑΚΑΛΗΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΤΝΟΠΣΗΚΔ ΖΜΔΗΩΔΗ ΘΔΩΡΗΑ ΚΑΗ ΑΚΖΔΗ ΥΟΛΗΚΟ ΔΣΟ 011-1 ΣΗΜΕΙΩΜΑ Οι παπακάηυ ζςνοπηικέρ ζημειώζειρ θευπίαρ και ενδεικηική ζςλλογή αζκήζευν απεςθύνονηαι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET)

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) 1 Έλλνηα ηνπ Ιζνινγηζκνύ Ο Ιζνινγηζκόο είλαη έλαο πίλαθαο πνπ δείρλεη ηελ νηθνλνκηθή θαηάζηαζε ηεο επηρείξεζεο ζε κηα δεδνκέλε ζηηγκή Σηνλ

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα.

Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ ζηεξεή, ζηελ πγξή θαη ζηελ αέξηα. Καηαζηάζεηο ηεο ύιεο 1 ΔΚΦΔ ΥΑΝΗΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΟΗ ΦΤΗΚΔ ΔΠΗΣΖΜΔ ΣΖΝ ΠΡΟΥΟΛΗΚΖ ΑΓΧΓΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 1: ΔΗΑΓΧΓΖ ΚΔΦΑΛΑΗΟ 4: ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ ΚΑΣΑΣΑΔΗ ΣΖ ΤΛΖ Ζ ύιε εκθαλίδεηαη ζε ηξεηο θαηαζηάζεηο: ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ

ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ ΘΕΜΑ: ΚΟΠΖ ΠΗΣΑ ΠΑΔΠΠΔ - ΔΔΓΑ Μεγάιε επηηπρία ζεκείωζε ε θνηλή εθδήιωζε γηα ηελ θνπή πίηαο γηα ην 2009, ηνπ Παλειιήληνπ πλδέζκνπ Δπηρεηξήζεωλ Πξνζηαζίαο Πεξηβάιινληνο (ΠΑΔΠΠΔ) θαη ηεο Διιεληθήο Δηαηξίαο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

Homework 3 Solutions

Homework 3 Solutions Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΩΡΙΑ ΤΝΟΛΩΝ Ιζηνξηθή Αλαζθόπεζε

ΘΔΩΡΙΑ ΤΝΟΛΩΝ Ιζηνξηθή Αλαζθόπεζε Γ ΗΜΗΣΡΗ Γ ΔΩΡΓΙΟΤ ΣΑΤΡΟ Η ΛΙΑΓΗ ΘΔΩΡΙΑ ΤΝΟΛΩΝ Ιζηνξηθή Αλαζθόπεζε Σύνηομη ιζηοπική αναζκόπηζη ηηρ Θεωπίαρ Σςνόλων Από ηελ αξραηόηεηα, νη θηιόζνθνη εμέηαδαλ ζύλνια αληηθεηκέλσλ θάπνηνπ είδνπο. Οη ζηνηρεηώδεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ 1 ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ ΝΟΗΠΚΝΠ 2 Τν πεηξέιαην, πνπ κεξηθέο θνξέο ζηελ θαζεκεξηλή γιώζζα απνθαιείηαη θαη μαύπορ σπςσόρ ή τσάι τος Ρέξαρ, είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Ζ Σπλέιεπζε (Σ) ηνπ Τκήκαηνο Βηνκεραληθήο Γηνίθεζεο θαη Τερλνινγίαο ηεο 18/5/2015 ελέθξηλε ηελ αλακόξθσζε ηνπ Πξνγξάκκαηνο Πξνπηπρηαθώλ Σπνπδώλ. Παξαθαινύληαη

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money)

Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Time Value of Money) Η ΥΡΟΝΙΚΗ ΑΞΊΑ ΣΟΤ ΥΡΗΜΑΣΟ (Te Value of Moey) Εηζαγωγή Η έλλνηα όηη ην ρξήκα έρεη ρξνληθή αμία είλαη κία από ηηο θεθαιαηώδεηο έλλνηεο ζηελ αλάιπζε θάζε πξντόληνο ηεο Κεθαιαηαγνξάο. Σν ρξήκα έρεη ρξνληθή

Διαβάστε περισσότερα

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ 14 Σεπηεκβξίνπ Ση γηνξηάδνπκε ηελ εκέξα ηεο ύςσζεο ηνπ Σηκίνπ ηαπξνύ (1/6) Τν έηνο 326 ε Αγία Ειέλε πήγε ζηελ Ιεξνπζαιήκ γηα λα πξνζθπλήζεη ηνπο Αγίνπο Τόπνπο θαη λα επραξηζηήζεη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ.

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΓΑΘΡΙΑ Π. 1,2, ΓΑΘΡΙΑΠ Θ. 1, ΚΖΡΠΗΝ- ΓΑΘΡΙΑ Γ. 1,3,4, ΘΑΡΠΗΑΟΓΑΛΖΠ Ι. 1,5, Α ΛΑΠΡΑΠΗΝ Α. 1,4,6, ΛΗΘΝΙΑΝΠ ΠΘΔΛΡΔΟΖΠ 6. 1. Δ Ρ Α Η Ο Δ Η Α Φ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

Πεγή:Boyer C., Fundamental steps in the development of numeration Isis, 35, p153-168, 1944

Πεγή:Boyer C., Fundamental steps in the development of numeration Isis, 35, p153-168, 1944 Η ανάπηςξη ηων απιθμηηικών ζςζηημάηων: Από ηο ιεπογλςθικό ηων Αιγςπηίων έωρ ηο Ιωνικό ηων Ελλήνων και ηοςρ εξαιπεηικούρ ςπολογιζμούρ ηος Απσιμήδη ζηο μνημειώδερ έπγο ηος Ψαμμίτης Σηηο αξραίεο θνηλσλίεο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΥΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ Οη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο είλαη κία ζεκαληηθή θιάζε ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ κηάο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο Τα βαζηθά ζεωξήκαηα ηωλ ζπλερώλ ζπλαξηήζεωλ ζε ζπλδπαζκό κε ηε κνλνηνλία, καο βνεζνύλ λα βγάινπκε

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS ΟΤΑ Επισειπηζιακή Νοημοζύνη: Οδεγίεο πξνο ηνπο εθπαηδεπόκελνπο γηα ηε ζύλδεζε κε ην ύζηεκα Γηαρείξηζεο Δπηρεηξεζηαθώλ Γηαδηθαζηώλ γηα ηελ εθηέιεζε ηωλ Πξαθηηθώλ Αζθήζεωλ ηωλ ππν(δλνηήηωλ) Bc1.1.4, Bc1.1.5,

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΝΗΜΗ ΚΑΙ ΜΙΚΡΟΕΛΕΓΚΤΕΣ Η ζεκεξηλή ξαγδαία εμέιημε ηεο ηερλνινγίαο ηεο κηθξνειεθηξνληθήο επέηξεςε ηελ θαηαζθεπή εηδηθώλ νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ απνζήθεπζεο δεδνκέλσλ θαη πιεξνθνξηώλ θαηαιακβάλνπλ

Διαβάστε περισσότερα

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ )

Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Γηαηάμεηο Αλίρλεπζεο Γηαξξνώλ (λεξνύ θαπζίκωλ ρεκηθώλ ) Τν πξόβιεκα - Γηαξξνή λεξνύ Αθόκε θαη κηα κηθξή δηαξξνή λεξνύ κπνξεί λα πξνθαιέζεη θαηαζηξνθή αλ δελ αληρλεπζεί εγθαίξσο Δηαξξνή κπνξεί λα πξνέιζεη

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι ηα Δθπαηδεπηήξηα Πάλνπ ππνζηεξίδνπκε ηελ άπνςε όηη ην «αεηθόξν ζρνιείν» είλαη έλα όξακα εθηθηό. Η εθπαίδεπζε γηα ηελ αεηθνξία δελ είλαη κάζεκα, αιιά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ 24 ο ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΚΟΙΝΧΝΙΚΗ ΠΑΙΓΙΑΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΑΓΧΓΗ ΣΗ ΤΓΔΙΑ ΠΙΝΟΤΛΑ ΔΤΡΤΓΙΚΗ ΒΑΡΚΑΡΗ ΠΟΛΤΚΡΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ DOM Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ Σηόρνο ηεο ώξαο Δμνηθείωζε κε ην DOM Γέληξν DOM: Γηάζρηζε Τξνπνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

HYUNDAI. Η δηαγλσζηηθή θίζζα ησλ Hyundai έρεη 12 επαθέο θαη ηνπνζεηείηαη ζηνλ ρώξν ηνπ θηλεηήξα

HYUNDAI. Η δηαγλσζηηθή θίζζα ησλ Hyundai έρεη 12 επαθέο θαη ηνπνζεηείηαη ζηνλ ρώξν ηνπ θηλεηήξα HYUNDAI ηα κνληέια ηεο Hyundai ππάξρνπλ ηέζζεξεηο δηαθνξεηηθνί ζπλδπαζκνί θσδηθώλ βιάβεο: κνλνςήθηνη, δηςήθηνη ηεηξαςήθηνη θαη θσδηθνί πνπ αθνινπζνύλ ηα πξσηόθνιια EOBD. Γιαγνωζηική Φίζζα Η δηαγλσζηηθή

Διαβάστε περισσότερα

Σηα παξαδείγκαηα πνπ αθνινπζνύλ ρξεζηκνπνηήζεθαλ ην JQUIZ, ην JCROSS θαη ην JMATCH, πνπ αλαιπηηθά πεξηγξάθνληαη παξαθάηω.

Σηα παξαδείγκαηα πνπ αθνινπζνύλ ρξεζηκνπνηήζεθαλ ην JQUIZ, ην JCROSS θαη ην JMATCH, πνπ αλαιπηηθά πεξηγξάθνληαη παξαθάηω. Τι είναι το Hotpotatoes; Τν παθέην HotPotatoes 6 πνπ ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηε δεκηνπξγία ηωλ αζθήζεωλ, είλαη έλα πξόγξακκα αλνηρηνύ ινγηζκηθνύ θαη κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ειεύζεξα από Παλεπηζηεκηαθά Ιδξύκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Δπώλπκν Όλνκα Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Σόπνο γελλήζεωο Ζκεξνκελία γελλήζεωο Ζκεξνκελία ζαλάηνπ Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Πξνζωπνγξαθίεο Μόληκε

Δπώλπκν  Όλνκα  Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Σόπνο γελλήζεωο  Ζκεξνκελία γελλήζεωο Ζκεξνκελία ζαλάηνπ Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Πξνζωπνγξαθίεο Μόληκε A.K. 0279 Δπώλπκν Υαξίδεκνο Όλνκα Γηώξγνο Ψεπδώλπκν/ Καιιηηερληθό όλνκα Υαξίηνο Σόπνο γελλήζεωο Κεθηζηά Ζκεξνκελία γελλήζεωο 1924 Ζκεξνκελία ζαλάηνπ 11 Απξηιίνπ 1996 Βηνγξαθηθά ζηνηρεία Ήηαλ ν πξωηόηνθνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ

ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ ΑΤΣΟΚΡΑΣΟΡΙΚΟ ΜΑΡΟΚΟ 7εκέξεο Εβδνκαδηαίεο αλαρσξήζεηο Ιαλνπάξηνο-Φεβξνπάξηνο 2012 1 ε εκέξα Αζήλα-Καδακπιάλθα-Μαξξαθέο πγθέληξσζε ζην αεξνδξόκην θαη πηήζε γηα ηελ Καδακπιάλθα κέζσ ζηαζκνύ. Άθημε θαη αθνινπζεί

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.)

ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ & ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ (Α.Α.Σ.) x t t Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (ρωξίο αξρηθ θάζε) Δμηζώζεηο Α.Α.Σ. (κε αξρηθ θάζε) Γύλακε ζηελ Α.Α.Σ. a a t α ρέζε επηηάρπλζεο απνκάθξπλζεο

Διαβάστε περισσότερα

Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα

Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα ΥΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ 8 Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα Α. Ψυχρά και Θερμά χρώματα Ο Ήλιος ο Ηλιάτορας Ο πετροπαιχνιδιάτορας... φωτιά ναι το πηγούνι του χρυσάφι το πηρούνι του Οδ. Ελύτης Σα χρώματα στη

Διαβάστε περισσότερα