«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΓΕΩΡΓΟΥΣΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή -Γενικά για το µηδέν σελίδα 3 2. Συµβολισµός σελίδα 5 -Σουµέριοι -Μάγια -Ελλάδα -Ινδία -Κίνα 3. Συµβολισµός σελίδα 9 -Ινδία -Δύση -Άραβες -Ελληνικές επιρροές 4. Επίλογος σελίδα Βιβλιογραφία σελίδα 13 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗΔΕΝ Το µηδέν εµφανίζεται ως ένα είδος αριθµού που δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Δεν είναι ούτε θετικός αριθµός ούτε αρνητικός. Είναι όµως το πιο στενό εκείνο κοµµάτι που διαχωρίζει τα δύο αυτά διαφορετικά σύνολα αλλά και τα συνδέει ταυτόχρονα διατηρώντας την ισορροπία ανάµεσά τους. Κρύβει την έννοια της έλλειψης, της απουσίας, του κενού. Από τις διάφορες µορφές που παίρνει είναι φανερό ότι δεν εµφανίζεται µόνο ως αριθµός αλλά και ως µια µεταφορά, ως ένα µυστήριο ανάµεσα στα άλλα µυστήρια, ως ένα τίποτα που στην πραγµατικότητα είναι κάτι. Έχουν διατυπωθεί πολλές διαφορετικές απόψεις σχετικά µε το µηδέν. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, για παράδειγµα, το µηδέν θεωρούνταν ως έργο του διαβόλου, καθώς πίστευαν ότι αναιρούσε και ακύρωνε κάθε νόηµα και σηµασία. Ακόµα, αυτός ο κενός κύκλος που αποτελεί το σύµβολο του µηδενός αντιπροσώπευε την ανωνυµία και το φόβο των ανθρώπων να µην υπάρχει διαφορά ανάµεσά τους και γενικά στον κόσµο. Γι αυτό το λόγο, την ίδια εποχή, όλοι όσοι ήταν εγκληµατίες ή άνθρωποι χωρίς αξίες, περιττοί χαρακτηρίζονταν ως µηδενικά της κοινωνίας. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η φυλή των Μάγια. Πίστευαν στο χρόνο, ένιωθαν ότι οι ζωές τους εξαρτώνται από αυτόν και ο µεγαλύτερος φόβος τους ήταν ότι κάποια στιγµή θα σταµατήσει. Γι αυτόν το λόγο υπολόγιζαν τον χρόνο θεωρώντας ως αρχική µέρα του σύµπαντος (zero day) την 13 η Αυγούστου του π.χ. αλλά, αντί να µετράνε τις µέρες, χώριζαν το χρόνο σε έτη των 18 µηνών (uninal) µε 12 µέρες (kin) ο καθένας. Ο θεός που επέβλεπε αυτά τα γεγονότα λεγόταν Μηδέν. Οι εννέα άρχοντες της νύχτας, δηλαδή οι θεοί του κάτω κόσµου στους οποίους πίστευαν οι Μάγια, βρίσκονταν υπό την εξουσία του θεού του θανάτου, ο οποίος ήταν ο θεός Μηδέν. Αυτός θα αποφάσιζε για τη µέρα που ίσως θα σταµατούσε ο χρόνος, για το τέλος του κύκλου της ζωής, για την επίφοβη παύση. Πίστευαν ακόµα ότι αν βρισκόταν κάποιος άνθρωπος που θα αναλάµβανε το Μηδέν και πέθαινε µε τελετουργικό τρόπο, τότε ο θεός του θανάτου θα πέθαινε. Έτσι, είχαν ένα τελετουργικό παιχνίδι ανάµεσα σε έναν παίχτη-ήρωα και σε έναν άλλο που υποδυόταν το θεό του Μηδενός. Σε αυτήν την ιεροτελεστία συµµετείχε ένας όµηρος (συνήθως ήταν ένας ηττηµένος βασιλιάς που κρατούνταν δεµένος για πολλά χρόνια), τον οποίο χτυπούσαν και οι δύο παίχτες µέχρι θανάτου. Πάντα ο παίχτης στο ρόλο του ήρωα κέρδιζε το θεό του µηδενός. Σε άλλα παρόµοια τελετουργικά όποιος έχανε στο τέλος θυσιαζόταν στο θεό. Όµως, ποτέ δεν 3

4 αρκούσε η νίκη απέναντι στο θεό του θανάτου. Θεωρούσαν ότι έπρεπε να κάποιος να θυσιαστεί και γι αυτό προσέφεραν στο θεό του Μηδενός αίµα, παρθένες κοπέλες και καρδιές ζωντανών θυµάτων ώστε ο θεός να καθυστερήσει τη µέρα που θα σταµατήσει ο χρόνος. Οµοίως, οι Ινδοί της Κεντρικής Αµερικής, που προσηλυτίστηκαν από ένα Γάλλο ιεραπόστολο, θεωρούσαν το µηδέν ως το θεό του θανάτου. Η ιστορία του µηδενός, τα διάφορα ονόµατα και σύµβολα που χρησιµοποιήθηκαν για να αποδοθεί η έννοια και η σηµασία του εξελίσσονται κατά την πάροδο των αιώνων. Στην εξέλιξη αυτή συνέβαλαν θετικά πολλοί λαοί µε πρώτους τους Σουµέριους, στη συνέχεια ακολούθησε µεγάλη συνεισφορά από τους Έλληνες, τους Ινδοί, τους Άραβες και αργότερα από τον δυτικό πολιτισµό του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης (Newton, Copernicus, Galileo, Kepler, Descartes, Pierre de Fermat, Guillaume Francois Antoine Marquis de l Hopital, Johann Bernoulli). 4

5 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Το µηδέν (0) εµφανίζεται για πρώτη φορά στην ιστορία περίπου χρόνια πριν µαζί µε τους Σουµέριους, το λαό που κατοίκησε στη Μεσοποταµία. Οι Σουµέριοι χρησιµοποιούσαν εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης και έγραφαν χαράζοντας κύκλους και ηµικύκλια σε πλάκες από υγρό πηλό, τις οποίες στη συνέχεια έψηναν προκειµένου να διατηρηθούν. Μετά από πολλές ασάφειες που δηµιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια χιλιάδων ετών, µεταξύ του 6 ου και 3 ου αιώνα π.χ. άρχισε να χρησιµοποιείται το σύµβολο και λειτουργούσε ως τελεία, διαχώριζε τις λέξεις από τους ορισµούς τους ή σε δίγλωσσα κείµενα αποτελούσε τη µετάβαση από τη µία γλώσσα στην άλλη. Στην πραγµατικότητα, το σύµβολο αυτό αντικαθιστούσε και δήλωνε γενικά το «τίποτα (δηλαδή το κενό) σ αυτήν τη στήλη». Όπως είναι αναµενόµενο, υπήρχαν ποικίλοι τρόποι γραφής του µηδενός όπως: και και ή. Σε µία πλάκα που ανακαλύφθηκε στην περιοχή Kish και αποδίδεται χρονολογικά περίπου στο 700 π.χ., παρουσιάζονται δύο διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν που µοιάζουν µε το συµβολισµό των αριθµών τριάντα (30) και δέκα (10) αντίστοιχα (κάτι που δείχνει ότι δεν απείχε πολύ η πρώτη χρήση ενός ξεχωριστού συµβόλου για το µηδέν αλλά και η γνώση της έννοιας και της σηµασίας του). Το σύµβολο του µηδενός τοποθετούνταν µόνο στη µέση ενός αριθµού και ποτέ στο τέλος. Σύµφωνα µε τον ιστορικό των µαθηµατικών Karl Lang-Kirnberg, το π.χ. το σύµβολο που χρησιµοποιούσαν οι Σουµέριοι για το δέκα (10) το εξής αποτύπωµα: Ο, το οποίο έκανε τον αριθµό που βρισκόταν στα αριστερά του δέκα φορές µεγαλύτερο. Συνεπώς, αυτό το σύµβολο αντιπροσώπευε το µηδέν. 5

6 ΜΑΓΙΑ (Maya) Η φυλή των Μάγια ( από το 300 π.χ. µέχρι το 900 µ.χ. ) είχε µεγάλη ποικιλία συµβόλων για το µηδέν. Το πιο χαρακτηριστικό από αυτά είναι ένας άνδρας µε τατουάζ στο σώµα του που γέρνει το κεφάλι του προς τα πίσω. ΕΛΛΑΔΑ (Αλεξανδρινή Εποχή) Κατά τη διάρκεια της Οµηρικής και Κλασικής εποχής στην Ελλάδα (πριν από τα Αλεξανδρινά χρόνια) δεν υπάρχουν ίχνη ή ενδείξεις της χρήσης του µηδενός ή κάποιου συµβόλου του. Οι Έλληνες υπό την κυριαρχία του Μεγάλου Αλεξάνδρου ανακάλυψαν τον κρίσιµο ρόλο που είχε το µηδέν στους υπολογισµούς όταν εισέβαλλαν στη Βαβυλωνιακή αυτοκρατορία το 331 π.χ. και το µετέφεραν µαζί τους στην Ελλάδα µαζί µε το χρυσό και τα υπόλοιπα λάφυρα. Έχει βρεθεί ότι τον 3 ο αιώνα π.χ. χρησιµοποιούνταν το σύµβολο 0 για το µηδέν, δηλαδή ένας κενός κύκλος. Η πιο πιθανή εξήγηση είναι ότι το 0 προήλθε από το ελληνικό όµικρον, το πρώτο γράµµα της λέξης «οὐδέν», όπως το όνοµα του Οδυσσέα «Οὔτις», ή από τη λέξη «οὐκ». Πολύ αργότερα στην Ελλάδα το «οὐδέν» έγινε «µηδέν» και τότε στα Βυζαντινά κείµενα του 15 ου αιώνα µ.χ. υπάρχει ένα σύµβολο για το µηδέν που µοιάζει µε το γράµµα µ ( ) και αντικαθιστά το 0. Το σύµβολο του µηδενός, κατά την εξέλιξή του, είχε πάντα στην πάνω πλευρά του κάποιο οριζόντιο σηµάδι:,, και κάποιες φορές. Παρόλο που στα Βυζαντινά χειρόγραφα τα σηµάδια αυτά πάνω από τους αριθµούς παραµένουν, πολλές φορές λείπουν από το µηδέν, γεγονός που δείχνει ότι το µηδέν ήταν ακόµα διακεκριµένο από τους υπόλοιπους αριθµούς. Το σύµβολο αυτό 0 δείχνει την απουσία ενός είδους µέτρου (όπως λεπτά, δευτερόλεπτα, βαθµοί θερµοκρασίας), αλλά ακόµα δεν έχει αρχίσει να χρησιµοποιείται µαζί µε άλλους αριθµούς για να σχηµατίσει έναν αριθµό. Ο Αρχιµήδης (287 π.χ.) σε µία από τις σηµαντικότερες δουλειές του προσπάθησε να εξηγήσει στο βασιλιά των Συρακουσών πώς να υπολογίζει και να ονοµάζει ποσότητες µεγαλύτερες από τον αριθµό των κόκκων της άµµου. Δούλευε µε τα ονόµατα των αριθµών και όχι µε τα ψηφία τους, παραδείγµατος χάριν ονοµάζει «αἱ µυριακισµυριοστᾶς περιόδου µυριακισµυριοστῶν ἀριθµῶν µυριάδας» τον αριθµό Με το να µη χρησιµοποιεί το µηδέν, ο Αρχιµήδης έδωσε µια ζωτικότητα στην απεραντοσύνη. 6

7 Ο Διόφαντος ονοµάζει το µηδέν αριθµό και διευκρινίζει ότι περιέχει ένα αόριστο πλήθος µονάδων. Το σύµβολό του είναι κάποιες φορές το βυζαντινό σύµβολο, αλλά πολλές φορές σχηµατίζεται από τα δύο πρώτα ή τελευταία γράµµατά του και έχει τη µορφή ς ή ς ή κάποιες φορές µόνο. (Αυτό το τελευταίο σύµβολο έχει βρεθεί σε πάπυρο από το 154 µ.χ.) ΙΝΔΙΑ Η ιστορία του µηδενός συνεχίζεται στην Ινδία µε την εισβολή του Μεγάλου Αλεξάνδρου το 326 π.χ. και αργότερα µε το εµπόριο από την Αλεξάνδρεια, όπου οι Έλληνες µετέφεραν το δώρο των Βαβυλωνίων, το µηδέν. Η πρώτη γραπτή εµφάνιση του συµβόλου του µηδενός στην Ινδία είναι σε µία πλάκα που χρονολογείται στο 876 µ.χ.. Σ αυτήν την πλάκα καταγράφονται οι λεπτοµέρειες ενός δώρου των ανθρώπων του Gwalior στο ναό του Vishnu. Πρόκειται για έναν κήπο µε διαστάσεις (hastas), από τον οποίο κάθε µέρα θα συλλέγονται 50 στεφάνια µε λουλούδια. Όπως φαίνεται και από άλλες χάλκινες πινακίδες, το σύµβολο του µηδενός ήταν ένα µικρό ο που χρονολογείται από τον 6 ο αιώνα µ.χ.. Πολλοί υποστηρίζουν ότι ο κενός κύκλος (0) ως σύµβολο του µηδενός προέρχεται από την Ινδία. Το επιχείρηµά τους στηρίζεται στο παλιό σύµβολο για το 10 το οποίο ήταν και σύµφωνα µε επιγραφές του 2 ου αιώνα π.χ. σε µια σπηλιά στο Nanaghat στην περιοχή Poona και και που βρέθηκαν σε ιερές σπηλιές της περιοχής Nasik και ανήκουν στον 1 ο ή 2 ο αιώνα µ.χ.. Το επιχείρηµα αυτό συνεχίζεται µε την άποψή τους ότι αν το 10 είναι ο πρώτος αριθµός της δεύτερης σειράς αρίθµησης τότε το ανάλογό του (δηλαδή ο πρώτος αριθµός της πρώτης σειράς αρίθµησης) που είναι το µηδέν (αφού το 1 είναι το αντίστοιχο του 11) θα γράφεται µε το σύµβολο του 10 ( δηλαδή ) χωρίς τις δύο πλαϊνές γραµµές. Συνεπώς, κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι το σύµβολο του µηδενός ήταν ο κενός κύκλος Ο. (Για να ισχύει όµως αυτή η υπόθεση απαραίτητη προϋπόθεση είναι το 1 να συµβολίζεται < ή ή = ενώ στην πραγµατικότητα ο τρόπος γραφής του ήταν: ή _ ) Η Ινδία είχε επηρεαστεί σε µεγάλο βαθµό από την Ελλάδα σχετικά µε το µηδέν και τον τρόπο συµβολισµού του. Οι Ινδοί µαθηµατικοί είχαν το ίδιο σύµβολο (δηλαδή την τελεία) για το µηδέν και το άγνωστο διότι θεωρούσαν 7

8 ότι και τα δύο µοιάζουν µε άδεια ( µη γεµάτα) δοχεία. Οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν την τελεία για να συµβολίσουν το µηδέν αλλά το ίδιο εφάρµοσαν και για το άγνωστο, καθώς είχαν το ίδιο σύµβολο και για τα δύο. Η διαφορά είναι ότι στην Ελλάδα το σύµβολο αυτό είναι περισσότερο κύκλος παρά τελεία ενώ στην Ινδία περισσότερο τελεία και όχι κύκλος. ΚΙΝΑ Το µηδέν έφτασε στην Κίνα µαζί µε τους Άραβες έµπορους καρυκευµάτων και ελεφαντόδοντου και τους Βουδιστές και Ινδουιστές ταξιδιώτες. Η Κίνα δέχτηκε πολλές επιρροές από την Ινδία όσον αφορά το συµβολισµό και την ονοµασία του µηδενός. Ως σύµβολό του χρησιµοποιούσαν διάφορες µορφές, όπως τελείες, τέλειους κύκλους, ακόµα και κύκλους µέσα σε άλλους κύκλους. Η επιρροή από την Ινδία φαίνεται και στη κινέζικη λέξη ling. Πρόκειται για ένα χαρακτήρα που χρησιµοποιούνταν για το µηδέν και φέρει την έννοια αυτού που έµεινε πίσω, όπως οι σταγόνες της βροχής µετά από µία καταιγίδα. Αυτό σε συνδυασµό µε τα συνώνυµα που είχε ο Mahavira στην Ινδία για το µηδέν, δηλαδή τις λέξεις nabhas (που σηµαίνει υδρατµός) και bindu (που σηµαίνει και σταγονίδιο), επιβεβαιώνει την προηγούµενη άποψη για την άµεση επίδραση που άσκησε η Ινδία στην Κίνα σχετικά µε το µηδέν. Γενικά, οι άνθρωποι έδωσαν στο κενό σύνολο την έννοια της ύπαρξης και γι αυτό το λόγο είχαν πάντα κάποιο σύµβολο για αυτό, όπως δύο αγκύλες χωρίς όµως να υπάρχει τίποτα ανάµεσά τους { } ή το σύµβολο του κενού συνόλου Ø, που δείχνουν την εξέλιξη από το µεσαιωνικό φ (phi) το οποίο ακολούθησε το θ ως σύµβολο του µηδενός. 8

9 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΙΝΔΙΑ Ένα από τα πιο συνηθισµένα ονόµατα της Ινδίας για το µηδέν ήταν η λέξη kha (αυτή τη λέξη χρησιµοποιούσε ο Aryabhata στο Ujjain). Αρχικά αυτή η λέξη χρησιµοποιούνταν για να περιγράψει έναν άδειο χώρο και αργότερα για να αποδώσει το νόηµα του άδειου αριθµού, του µηδενός. Ο Varahamihira, 50 χρόνια µετά τον Aryabhata, αν και δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν χρησιµοποίησε διάφορα ονόµατα, όπως ambara (που σηµαίνει ουρανός ), akasa (που δηλώνει την έννοια της ατµόσφαιρας ), bindu (δηλαδή τελεία ) και sunya (που µεταφράζεται ως άδειο ). Η λέξη sunya πολύ σύντοµα έγινε το πιο συνηθισµένο όνοµα του µηδενός. Μετά από 100 χρόνια στο Ujjain, ο Brahmagupta δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν αλλά το ονόµαζε κυρίως kha και κάποιες φορές akasa και sunya. Αν µεταφερθούµε 200 χρόνια µπροστά στο 830 µ.χ. και 700 µίλια νότια στο Mysore βρίσκουµε τον Mahavira και το βιβλίο του Ganita-Sara-Sagraha, το οποίο ανανεώνει και διορθώνει το αντίστοιχο του Brahmagupta. Στο βιβλίο του ασχολείται πολύ µε το µηδέν, παρά το γεγονός ότι δε χρησιµοποιεί κάποιο σύµβολο γι αυτό. Ακόµα, δεν το ονοµάζει sunya αλλά διατηρεί την παλιά λέξη kha. Αυτό είναι πιθανό να οφείλεται στο ζήλο του να διορθώσει το Brahmagupta. Όσον αφορά τον αριθµό των συνωνύµων του µηδενός, ο Mahavira έχει ξεπεράσει τον Varahamihira, καθώς υπάρχει µεγάλη ποικιλία συνώνυµων λέξεων που σχετίζονται µε τα είδη και τις ιδιότητες του ουρανού και του χώρου: βάθος, ουράνιος θόλος, το άπειρο, λέξεις όπως jaladharapatha, likediv και περίπου δώδεκα (12) συνώνυµα για τη λέξη ουρανός. ΔΥΣΗ Ο µοναχός Gerbert d Aurillac το 967 µ.χ., πριν να γίνει ο Πάπας Sylvester ǁ (στη Γαλλία), στους υπολογισµούς που έκανε σε ειδικούς πίνακες χρησιµοποιούσε ένα σύµβολο για το µηδέν, το. Το σύµβολο αυτό το ονόµαζε sipos που µοιάζει µε την ελληνική λέξη ψήφος. Το 950 µ.χ. στη Μαυριτανική Ισπανία υπάρχουν νούµερα-στοιχεία που οι Άραβες τα ονοµάζουν huruf al gobar δηλαδή dust numerals (νούµερα της σκόνης). Πρόκειται για τους αριθµούς από το 1 έως το 9 χωρίς το µηδέν. Αυτοί οι αριθµοί έχουν ένα είδος σκόνης γύρω τους, µία βροχή από τελείες που δείχνουν την αξία που έχουν. Δηλαδή λειτουργούν όπως το µηδέν και πιθανότατα αποτελούν µια παραλλαγή ή ένα αρχικό στάδιο της εξέλιξης του συµβόλου του, του κενού κύκλου. Μία απόδειξη ότι ο κύκλος ακολούθησε την τελεία είναι η άποψη του Bhaskara (1150 µ.χ.) ότι η τελεία και ο κύκλος 9

10 έζησαν µαζί, καθώς ο ίδιος είπε ότι «ο χώρος όπου κανένα από τους εννέα αριθµούς δεν ανήκει αποτυπώνεται µε ένα κενό (sunya), το οποίο για να αποφευχθούν τυχόν λάθη δηλώνεται µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο». ΑΡΑΒΕΣ Όσον αφορά τους Άραβες, το µηδέν γραφόταν µε τελεία, καθώς ο κενός κύκλος αντιστοιχούσε στον αριθµό πέντε (5). Το 270 µ.χ. ο Sphujidhvaja έγραψε το βιβλίο Yavanajataka, το οποίο ανακαλύφθηκε το 1978 µ.χ.. Σ αυτό το βιβλίο αναφέρεται δύο φορές ο αριθµός 60, ως sat binduyutani την πρώτη φορά και ως sat khayutani. Επειδή τα ονόµατα αυτά σηµαίνουν έξι (6) µαζί µε το µηδέν, όπως είναι λογικό, φαίνεται ότι η λέξη για το µηδέν είναι bindu στην πρώτη ονοµασία και kha στη δεύτερη. Όσον αφορά τη λέξη sunya, δεν έχει να κάνει τόσο µε την έννοια της κενής θέσης αλλά µε κάτι που µοιάζει κενό εσωτερικά και είναι έτοιµο να πρηστεί και όντως προέρχεται από τη ρίζα svi που σηµαίνει πρήξιµο. Η λέξη kha προέρχεται από το ρήµα σκάβω και συνεπώς φέρει την έννοια της τρύπας : κάτι που µπορεί να γεµίσει. Επιπροσθέτως, δύο ακόµα ονόµατα για το Brahman (µέλος της ανώτερης τάξης Ινδουιστών) εµφανίζονται και ως ονόµατα για το µηδέν. Πρόκειται για τις λέξεις akasa (που χρησιµοποιείται από τον Varahamihira, τον Brahmagupta και τον Mahavira) και purna (που χρησιµοποιείται στο Bhaskara). ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΡΡΟΗ Το σύµβολο του Gerbert εµφανίζεται ξανά µετά από χρόνια στην εποχή του Μεσαίωνα, που πλέον µοιάζει περισσότερο µε το ελληνικό γράµµα θ (θήτα) και λεγόταν theca. (Παραδείγµατος χάριν, έχει βρεθεί ότι κατά το 13 ο αιώνα αυτό το σύµβολο το χρησιµοποιούσε ο φιλόσοφος Algus). Σε µεταφράσεις από τα αραβικά που έγιναν σε δεκατρία βιβλία και πλάκες του Al-Khowarizmi εντοπίστηκαν τρία διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν: θ (θήτα), και που το ονόµασε teca. Η λέξη teca δεν είναι κάποια παραλλαγή της λέξης θήτα (theta), αλλά προέρχεται από την ελληνική λέξη θήκη. Το πρώτο γράµµα της λέξης ΘΗΚΗ µοιάζει µε µια τελεία µέσα σε ένα κύκλο. Ο Radulph του Laon περίπου το 1100 µ.χ. το περιγράφει ως ένα στοιχείο που δηλώνει την απουσία αριθµού και το ονοµάζει sipos (όπως και ο Gerbert), όπως η ελληνική λέξη ψήφος. Την ίδια εποχή ο Rabbi ben Ezra το ονοµάζει sifra, galgal (που στα εβραϊκά σηµαίνει τροχός ) και kha (που 10

11 ακόµα σηµαίνει την τρύπα στο κεντρικό κλίτος του τροχού απ όπου περνά ο άξονάς του). Το 12 ο αιώνα µ.χ. στην Ινδία ο Bhaskara απέδωσε την εφεύρεση των εννιά ψηφίων στο δηµιουργό του σύµπαντος αλλά ξεχώρισε από αυτά τη δική του εφεύρεση που κάνει τα ψηφία αυτά να σχηµατίζουν όλους τους αριθµούς, µαζί µε το µηδέν που το συµβόλιζε µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο. Μία από τις πιο συνηθισµένες λέξεις που χρησιµοποιούσε για το µηδέν είναι null και προκύπτει από τη µεσαιωνική λατινική nulla figura η οποία σηµαίνει όχι αριθµός. (Κάθε αριθµός αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων, ενώ το µηδέν σε κανένα απολύτως πράγµα.) Το µηδέν ήρθε στη Δύση το 970 µ.χ., ίσως έναν αιώνα νωρίτερα, µε ονόµατα από διάφορες πηγές, τα οποία προκύπτουν είτε από τη σηµασία και την έννοιά του είτε από τη µορφή του συµβόλου του. Ειδικά κατά την περίοδο της Αναγέννησης µε τα αραβικά νούµερα και την άνθιση τεχνών και επιστηµών το µηδέν έγινε απαραίτητο ώστε να γίνονται σωστά οι διάφοροι υπολογισµοί. Ο πρόγονος όλων των δυτικών ονοµάτων για το µηδέν ήταν η αραβική λέξη sifr ή as-sifr. Πρόκειται για µια µετάφραση της ινδικής λέξης sunya (που σηµαίνει κενό ). Στην εξέλιξη του ονόµατος του µηδενός συνέβαλαν επίσης οι ελληνικές λέξεις ψήφος και θήκη καθώς και πολλές µεσαιωνικές λατινικές λέξεις σχετικά µε τον κύκλο (όπως rotula και circulus) και το κενό (όπως nulla και nihil). Ακόµα, η λέξη για τον άτονο δυτικό άνεµο (zephyrs=ζέφυρος), που δέχτηκε επιδράσεις και από την Ιταλία (κυρίως από τη Βενετία), εξελίχθηκε σε zefiro, zefro, zevero µέχρι που πήρε την τελική µορφή zero που ισχύει και στις µέρες µας. 11

12 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Γίνεται φανερό ότι το µηδέν δεν αποτελεί το στοιχείο εκείνο που κλείνει έναν κύκλο αλλά αποτελεί µία πύλη. Ενώ το ίδιο το µηδέν δεν έχει καµία αξία, µε την παρουσία του δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Ταυτόχρονα, αποτελεί το σηµείο ισορροπίας ανάµεσα στο σύνολο των θετικών αριθµών και σε αυτό των αρνητικών αριθµών. Για πολύ καιρό δεν είχε όνοµα γιατί τα ονόµατα ανήκουν σε συγκεκριµένα πράγµατα, ενώ το µηδέν αντιπροσωπεύει το τίποτα, το κενό και µετρά το σύνολο αυτών που δεν υπάρχουν, σε αντίθεση µε τους υπόλοιπους αριθµούς που ο καθένας αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων. Όµως, παρά το γεγονός ότι σχετίζεται µε το κενό και την απουσία συνόλου πραγµάτων αποτελεί µία πύλη προς τη γνώση. Αυτό προκύπτει από τη µοναδική του ικανότητα όταν συνδυάζεται µε αριθµούς να σχηµατίζει άλλους αριθµούς και ακόµα να µεταβάλλει την αξία τους µόνο µε την παρουσία του. Λόγω της µεγάλης σηµασίας που έχει για τους υπολογισµούς κρίθηκε από πολλούς µαθηµατικούς και ιστορικούς σηµαντική η έρευνα και αναζήτηση της ιστορίας του και των σταδίων της εξέλιξής του ανά τους αιώνες. Ακόµα, λόγω της σηµασίας του πολλοί µαθηµατικοί ασχολήθηκαν µε τις ιδιότητες του µηδενός και τη συµπεριφορά του όταν βρίσκεται µαζί µε άλλους αριθµούς. Άλλωστε, ο Νεύτωνας όταν ασχολήθηκε µε τη µελέτη της βαρύτητας αποφάσισε να σταµατήσει να ψάχνει τι είναι και άρχισε να αναζητά το πώς συµπεριφέρεται. Συνεπώς, προκειµένου να κατανοήσουµε την έννοια που φέρει το µηδέν απαραίτητη προϋπόθεση είναι να µελετήσουµε τη γενικότερη αντίληψη και ιδέα του µηδενός καθώς και τον τρόπο λειτουργίας και συµπεριφοράς του. 12

13 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. The nothing that is: A natural history of zero, του Robert Kaplan (Oxford University Press 2000) 13

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός;

Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός; Ιωάννης 1[α ]:1 --- Θεός ή «κάποιος θεός»; 1 Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός; Εδώ θα εξετάσουμε το εδάφιο Ιωάννης 1[α ]:1 το οποίο, σύμφωνα με το κείμενο λέει, «Εν αῤχη

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή;

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Γιατί μελετούμε την Αγία Γραφή; Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Είναι ένα σπουδαίο βιβλίο Το πιο πολυδιαβασμένο στον κόσμο. Το πρώτο που τυπώθηκε από τον Γουτεμβέργιο

Διαβάστε περισσότερα

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 1. Τι ήταν και γιατί γράφτηκαν οι επιστολές του αποστόλου Παύλου; Ήταν γράμματα που έστελνε ο απόστολος στις χριστιανικές κοινότητες που είχε ιδρύσει.

Διαβάστε περισσότερα

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ 3-10-2012 ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ Τάνγκραµ Το τάνγκραµ είναι ένα παλιό κινέζικο παιχνίδι που χρονολογείται πριν το 18 ο αιώνα. Οι πρώτες δηµοσιεύσεις

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι στις ρίζες «Άραγε τι μπορεί να κρύβεται εδώ;»

Ταξίδι στις ρίζες «Άραγε τι μπορεί να κρύβεται εδώ;» Ταξίδι στις ρίζες Είχε φτάσει πια η μεγάλη ώρα για τα 6 αδέρφια Ήταν αποφασισμένα να δώσουν απάντηση στο ερώτημα που τόσα χρόνια τα βασάνιζε! Η επιθυμία τους ήταν να μάθουν την καταγωγή τους και να συλλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι Οι διδακτικοί στόχοι για τη διδασκαλία της εισαγωγής προσδιορίζονται στο βιβλίο για τον καθηγητή, Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων. ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ)!"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.!"σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Στη διερεύνησή μας μετρήθηκε ο χρόνος που χρειάστηκαν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ 1. Πτωχοπρόδρομος - Το κείμενο έχει πολλές διαφορετικές γραφές στα χειρόγραφα που διασώζεται, λόγω του σχετικά δημώδους αλλά και σκωπτικού του χαρακτήρα. Δυσχεραίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΑΡΧΑΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥΣ ΣΕ ΟΣΤΡΑΚΑ ΠΗΛΙΝΩΝ ΑΓΓΕΙΩΝ Μεσοποταμία-Σουμέριοι Μέσα 4ης χιλιετίας π.χ. Σφηνοειδής γραφή Τρόπος γραφής που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO Αγγελόπουλος Βασίλης Το γκράφιτι βρίσκεται πολλά χρόνια στην ζωή μας. Είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι οι τοίχοι γύρω μας είναι γεμάτοι από αυτά δίνοντας χρώμα και ζωντάνια

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ. Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις στις τρεις (3). Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με τέσσερις (4) μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ. Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις στις τρεις (3). Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με τέσσερις (4) μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ Μάθημα: Μεσαιωνική και Νεότερη Ιστορία Τάξη: Β Γυμνασίου Ενότητα: Οι πρώτοι αιώνες του Βυζαντίου Χρόνος εξέτασης: 45 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12)

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ Α ΟΜΑΔΑ: 1 1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16),0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12),0 3. Ποιοι είναι οι μαθητές του

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ.

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Οι κατακτήσεις του Μ. Αλεξάνδρου και η πολιτική ενοποίηση του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος ΤΑΞΗ Δ ΜΑΘΗΜΑ : ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κύριλλος και Μεθόδιος : Ιεραπόστολοι στους σλαβικούς λαούς. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ 1. Να αντιληφθούν οι μαθητές ότι μέσα από την ιεραποστολή του Κυρίλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Τα γραφικά του παιχνιδιού ήταν στην ουσία χαρακτήρες ASCII, προσεκτικά προγραµµατισµένοι ώστε να σχηµατίζουν αντικείµενα και να ξεγελούν το ανθρώπινο

Τα γραφικά του παιχνιδιού ήταν στην ουσία χαρακτήρες ASCII, προσεκτικά προγραµµατισµένοι ώστε να σχηµατίζουν αντικείµενα και να ξεγελούν το ανθρώπινο Τα αρχικά παιχνίδια είχαν ένα βασικό χαρακτηριστικό : Ήταν απλές ιδέες υλοποιηµένες πολύπλοκα. Αυτό αργότερα έδωσε τη δυνατότητα στους προγραµµατιστές να δηµιουργήσουν πολύπλοκες ιδέες µε πολύπλοκη υλοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 ΕΝΑ ΓΟΗΤΕΥΤΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΑ ΧΡΟΝΙΑ, ΓΕΜΑΤΟ ΕΚΠΛΗΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ. 33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 Εικόνα 1 Εικόνα 2 Ρωμαϊκές λεγεώνες

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

Το συγκλονιστικό άρθρο. του Γλέζου στη Welt. Διαβάστε το συγκλονιστικό άρθρο του Μανώλη Γλέζου στη 1 / 5

Το συγκλονιστικό άρθρο. του Γλέζου στη Welt. Διαβάστε το συγκλονιστικό άρθρο του Μανώλη Γλέζου στη 1 / 5 άρθρο του Μανώλη Γλέζου στη γερμανική εφημερίδα Die Welt, στο οποίο εξηγεί στους Γερμανούς Το συγκλονιστικό άρθρο του Γλέζου στη Welt Διαβάστε το συγκλονιστικό άρθρο του Μανώλη Γλέζου στη 1 / 5 γερμανική

Διαβάστε περισσότερα

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός κεφάλαιο 6 ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΩΣΗ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΩΣ ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΗΣ ΒΕΣΤΦΑΛΙΑΣ (1453-1648) 2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός Ορισμός Πρόκειται για μια γενικότερη πνευματική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ 1. Από τη Γραμμική Β στην εισαγωγή του αλφαβήτου - Στον ελληνικό χώρο, υπήρχε ένα σύστημα γραφής μέχρι το 1200 π.χ. περίπου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη

ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη 1 ΤΑ ΦΥΛΑ ΠΡΟ ΤΗΣ ΠΤΩΣΗΣ Η συγκλίνουσα άποψη των ερμηνευτών πατέρων της εκκλησίας μας είναι ότι κατά το σχέδιο του Θεού, αν δεν συνέβαινε

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας

Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας Τμήμα Πολιτισμικής Τεχνολογίας και Επικοινωνίας Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Αναφορά Εργασίας 1 Καραγκούνη Κατερίνα Α.Μ : 1312008050 Το παιχνίδι καρτών «Σκέψου και Ταίριαξε!», το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Ιουδαϊσµός. α) Παρουσίαση θρησκείας:

Ιουδαϊσµός. α) Παρουσίαση θρησκείας: Ιουδαϊσµός α) Παρουσίαση θρησκείας: Ο Ιουδαϊσµός είναι η παραδοσιακή θρησκεία των Εβραίων. Σύµφωνα µε τον ορθόδοξο Ιουδαϊσµό και τους βαθιά θρησκευόµενους Εβραίους, ο βιβλικός πατριάρχης Αβραάµ ήταν ο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

α) «άτοµα» β) «απεικάσµατα» γ) «επιθυµητικό». Μονάδες 12

α) «άτοµα» β) «απεικάσµατα» γ) «επιθυµητικό». Μονάδες 12 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004-05-25 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΕΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΟΜΑ Α Α Α.1 Να µεταφέρετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Τα Κάνα τα οποία αποτελούνται από δύο συλλαβάρια,τα χιραγκάνα και τα κατακάνα:

Τα Κάνα τα οποία αποτελούνται από δύο συλλαβάρια,τα χιραγκάνα και τα κατακάνα: Το γιαπωνέζικο αλφάβητο Το γιαπωνέζικο αλφάβητο ως έννοια διαφέρει από το δικό μας και γενικά τα δυτικά αλφάβητα τα οποία βασίζονται στο λατινικό. Δεν είναι ενιαίο αλλά πρόκειται για έναν συνδυασμό τριών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Α'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Α'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. ιάταξη φυσικών αριθµών 2. Στρογγυλοποίηση 3. Πρόσθεση-Αφαίρεση-Πολλαπλασιασµός 4. υνάµεις 5. Ευκλείδεια ιαίρεση 6. ιαιρετότητα-μκ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Επίσκεψη στην Αρχαία Αγορά

Επίσκεψη στην Αρχαία Αγορά Επίσκεψη στην Αρχαία Αγορά Η Αγορά ήταν η μεγαλύτερη πλατεία της πόλης. Η πλατεία άρχισε να χρησιμοποιείται ως δημόσιος χώρος από τα αρχαϊκά χρόνια. Μέχρι τότε στην περιοχή υπήρχαν σπίτια και τάφοι. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000

Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Α Περίοδος Διαχειρίζομαι αριθμούς έως το 10.000 Στο μάθημα αυτό θα ασχοληθούμε με την εκτίμηση υπολογισμών, δηλαδή με την εύρεση ενός αποτελέσματος στο «περίπου» ή «κατ εκτίμηση» ή «πάνω-κάτω» ή «χοντρά-χοντρά»,

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. Έτος: 2013-2014 Τάξη: Γ1 Μάθηµα: Πληροφορική Άθλοι του Ηρακλή

Σχ. Έτος: 2013-2014 Τάξη: Γ1 Μάθηµα: Πληροφορική Άθλοι του Ηρακλή Σχ. Έτος: 2013-2014 Τάξη: Γ1 Μάθηµα: Πληροφορική Άθλοι του Ηρακλή 1. Λιοντάρι Νεµέας 2. Λερναία Ύδρα (Λίµνη Λέρνη Πελοπόννησος) 3. Κάπρος του Ερύµανθου (βουνό Ερύµανθος Πελοπόννησος) 4. Ελάφι µε χρυσά

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

Αντιαιρετικόν Εγκόλπιον www.egolpion.com

Αντιαιρετικόν Εγκόλπιον www.egolpion.com Αντιαιρετικόν Εγκόλπιον www.egolpion.com ΤΟ ΤΕΤΡΑΓΡΑΜΜΑΤΟ ΟΝΟΜΑ ΤΟΥ ΘΕΟΥ ΣΑΛΤΑΟΥΡΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Η παρούσα μελέτη σκοπό έχει να ανασκευάσει μια τεράστια πλάνη των λεγομένων Μαρτύρων του Ιεχωβά σχετικά με το

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς

Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς Βίκινγκς Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς Οι Βίκινγκς ζούσαν στους βόρειους λαούς της Ευρώπης: στη Νορβηγία, τη Σουηδία, τη Δανία και την Ισλανδία. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, εμφανίστηκαν ως εξερευνητές, πειρατές,

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247

Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247 Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247 Κείμενο [Η επίδραση της τηλεόρασης στην ανάγνωση] Ένα σημαντικό ερώτημα που αφορά τις σχέσεις τηλεόρασης και προτιμήσεων του κοινού συνδέεται

Διαβάστε περισσότερα

Το ταξίδι στην 11η διάσταση

Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το ταξίδι στην 11η διάσταση Το κείμενο αυτό δεν αντιπροσωπεύει το πώς παρουσιάζονται οι 11 διστάσεις βάση της θεωρίας των υπερχορδών! Είναι περισσότερο «τροφή για σκέψη» παρά επιστημονική άποψη. Οι σκέψεις

Διαβάστε περισσότερα

29 Μαΐου 1453: Η ΠΟΛΙΣ ΕΑΛΩ!

29 Μαΐου 1453: Η ΠΟΛΙΣ ΕΑΛΩ! Κωνσταντίνα Ευείδη 29 Μαΐου 1453: Η ΠΟΛΙΣ ΕΑΛΩ! Η χιλιόχρονη αυτοκρατορία έπεσε. Ο θρύλος λέει ότι «ήτανε θέλημα Θεού». Από τότε το φρόνημα των Ελλήνων το κρατάνε ζωντανό ακριβώς αυτοί οι θρύλοι για την

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

Γίνε επιστήµονας του Κασίνι για µια µέρα (Cassini Scientist for a Day Essay)

Γίνε επιστήµονας του Κασίνι για µια µέρα (Cassini Scientist for a Day Essay) ΦΘΙΝΟΠΩΡΟ 2012 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ: Γίνε επιστήµονας του Κασίνι για µια µέρα (Cassini Scientist for a Day Essay) Για µαθητές από 10-18 ετών Καλωσορίσατε στην 3 η Ελληνική έκδοση και 11 η διεθνή του µαθητικού διαγωνισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εγκατάσταση του προγράμματος 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Οδηγίες χρήσης προγράμματος με παράδειγμα 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αντιγραφή Α.Π.Δ. προηγούμενης περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

1:Layout 1 10/2/2009 11:00 μ Page 1. το αρχαιολογικό μουσείο ιωαννίνων

1:Layout 1 10/2/2009 11:00 μ Page 1. το αρχαιολογικό μουσείο ιωαννίνων 1:Layout 1 10/2/2009 11:00 μ Page 1 το αρχαιολογικό μουσείο ιωαννίνων 1:Layout 1 10/2/2009 11:00 μ Page 2 1:Layout 1 10/2/2009 11:00 μ Page 3 ΒΑΣΙΛΕΥΣ ΠΥΡΡΟΣ αντίγραφο από πρωτότυπο του 3ου π.χ. αι. της

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά.

x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. 1 x ν+1 =ax ν (1-x ν ) ή αλλιώς η απλούστερη περίπτωση ακολουθίας αριθμών με χαοτική συμπεριφορά. Πριν λίγα χρόνια, όταν είχε έρθει στην Ελλάδα ο νομπελίστας χημικός Ilya Prigogine (πέθανε πρόσφατα), είχε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά

Χριστούγεννα. Ελάτε να ζήσουμε τα. όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Ελάτε να ζήσουμε τα όπως πραγματικά έγιναν όπως τα γιορτάζει η εκκλησία μας όπως τα νιώθουν τα μικρά παιδιά Χριστούγεννα (μέσα από ιστορίες και χριστουγεννιάτικα παιχνίδια) 1 Στόχοι: Μέσα από διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007

1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007 1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο

Διαβάστε περισσότερα

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ»

«ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» «ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΜΑΣ» ΤΑΞΗ Γ1 2 ο Δ Σ ΓΕΡΑΚΑ ΔΑΣΚ:Αθ.Κέλλη ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Κατά τη διάρκεια της περσινής σχολικής χρονιάς η τάξη μας ασχολήθηκε με την ανάγνωση και επεξεργασία λογοτεχνικών βιβλίων

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-484-159-2

ISBN 978-960-484-159-2 Η ΠΡΩΤΗ ΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ Ο Μέγας Αλέξανδρος Κείμενο: Φίλιππος Μανδηλαράς Επιμέλεια κειμένου: Ράνια Ζωίδη Εικονογράφηση: Ναταλία Καπατσούλια Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2010, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα.

Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα. Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα. Μέσα από τα πολύχρωµα σύννεφα του ουρανού της Μυθοχώρας ξεπροβάλλει ο Πήγασος, το φτερωτό άλογο που χάρισε ο θεός της θάλασσας, ο Ποσειδώνας, στο γιο του τον Βελλερεφόντη.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ.

Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 1. Οι φυσικοί αριθμοί. Όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 και μετά λέγονται φυσικοί αριθμοί π.χ. 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,..., 100,..., 1.000,..., 10.0000,10.001,..., 100.000, 100.001, 100.002,..., 200.000,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ 2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ Συμπλήρωση κενών ακόλουθες λέξεις (τρεις λέξεις περισσεύουν): βιβλιοθήκη, Βαλκανική, ανθρωπιστικός, πανεπιστήμιο, χειρόγραφο, Ιταλική, τυπογραφία, σπάνιος. Η Αναγέννηση και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του

Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του A A N A B P Y T A ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 9 5 0 Προσδιορισμός ενός επίπεδου απλού αρμονικού κύματος από τις ταλαντώσεις σημείων του Περιεχόμενα Εισαγωγή και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Σώμα Πρoσκόπων Κύπρου. Κλάδος Λυκοπούλων Γ.Ε. Παιχνίδι Προσκοπικής Χρονιάς 2014-2015. ΧΑΛΚΙΝΗ Αγέλη Λυκοπούλων ΑΡΧΕΙΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ.

Σώμα Πρoσκόπων Κύπρου. Κλάδος Λυκοπούλων Γ.Ε. Παιχνίδι Προσκοπικής Χρονιάς 2014-2015. ΧΑΛΚΙΝΗ Αγέλη Λυκοπούλων ΑΡΧΕΙΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ. Σώμα Πρoσκόπων Κύπρου Κλάδος Λυκοπούλων Γ.Ε. Παιχνίδι Προσκοπικής Χρονιάς 2014-2015 ΧΑΛΚΙΝΗ Αγέλη Λυκοπούλων ΑΡΧΕΙΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙΟΥ Αγέλη Λυκοπούλων ΧΑΛΚΙΝΗ ΑΓΕΛΗ ΛΥΚΟΠΟΥΛΩΝ 103ov Σύστημα Ναυτοπροσκόπων Κισσόνεργας

Διαβάστε περισσότερα