«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΓΕΩΡΓΟΥΣΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή -Γενικά για το µηδέν σελίδα 3 2. Συµβολισµός σελίδα 5 -Σουµέριοι -Μάγια -Ελλάδα -Ινδία -Κίνα 3. Συµβολισµός σελίδα 9 -Ινδία -Δύση -Άραβες -Ελληνικές επιρροές 4. Επίλογος σελίδα Βιβλιογραφία σελίδα 13 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗΔΕΝ Το µηδέν εµφανίζεται ως ένα είδος αριθµού που δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Δεν είναι ούτε θετικός αριθµός ούτε αρνητικός. Είναι όµως το πιο στενό εκείνο κοµµάτι που διαχωρίζει τα δύο αυτά διαφορετικά σύνολα αλλά και τα συνδέει ταυτόχρονα διατηρώντας την ισορροπία ανάµεσά τους. Κρύβει την έννοια της έλλειψης, της απουσίας, του κενού. Από τις διάφορες µορφές που παίρνει είναι φανερό ότι δεν εµφανίζεται µόνο ως αριθµός αλλά και ως µια µεταφορά, ως ένα µυστήριο ανάµεσα στα άλλα µυστήρια, ως ένα τίποτα που στην πραγµατικότητα είναι κάτι. Έχουν διατυπωθεί πολλές διαφορετικές απόψεις σχετικά µε το µηδέν. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, για παράδειγµα, το µηδέν θεωρούνταν ως έργο του διαβόλου, καθώς πίστευαν ότι αναιρούσε και ακύρωνε κάθε νόηµα και σηµασία. Ακόµα, αυτός ο κενός κύκλος που αποτελεί το σύµβολο του µηδενός αντιπροσώπευε την ανωνυµία και το φόβο των ανθρώπων να µην υπάρχει διαφορά ανάµεσά τους και γενικά στον κόσµο. Γι αυτό το λόγο, την ίδια εποχή, όλοι όσοι ήταν εγκληµατίες ή άνθρωποι χωρίς αξίες, περιττοί χαρακτηρίζονταν ως µηδενικά της κοινωνίας. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η φυλή των Μάγια. Πίστευαν στο χρόνο, ένιωθαν ότι οι ζωές τους εξαρτώνται από αυτόν και ο µεγαλύτερος φόβος τους ήταν ότι κάποια στιγµή θα σταµατήσει. Γι αυτόν το λόγο υπολόγιζαν τον χρόνο θεωρώντας ως αρχική µέρα του σύµπαντος (zero day) την 13 η Αυγούστου του π.χ. αλλά, αντί να µετράνε τις µέρες, χώριζαν το χρόνο σε έτη των 18 µηνών (uninal) µε 12 µέρες (kin) ο καθένας. Ο θεός που επέβλεπε αυτά τα γεγονότα λεγόταν Μηδέν. Οι εννέα άρχοντες της νύχτας, δηλαδή οι θεοί του κάτω κόσµου στους οποίους πίστευαν οι Μάγια, βρίσκονταν υπό την εξουσία του θεού του θανάτου, ο οποίος ήταν ο θεός Μηδέν. Αυτός θα αποφάσιζε για τη µέρα που ίσως θα σταµατούσε ο χρόνος, για το τέλος του κύκλου της ζωής, για την επίφοβη παύση. Πίστευαν ακόµα ότι αν βρισκόταν κάποιος άνθρωπος που θα αναλάµβανε το Μηδέν και πέθαινε µε τελετουργικό τρόπο, τότε ο θεός του θανάτου θα πέθαινε. Έτσι, είχαν ένα τελετουργικό παιχνίδι ανάµεσα σε έναν παίχτη-ήρωα και σε έναν άλλο που υποδυόταν το θεό του Μηδενός. Σε αυτήν την ιεροτελεστία συµµετείχε ένας όµηρος (συνήθως ήταν ένας ηττηµένος βασιλιάς που κρατούνταν δεµένος για πολλά χρόνια), τον οποίο χτυπούσαν και οι δύο παίχτες µέχρι θανάτου. Πάντα ο παίχτης στο ρόλο του ήρωα κέρδιζε το θεό του µηδενός. Σε άλλα παρόµοια τελετουργικά όποιος έχανε στο τέλος θυσιαζόταν στο θεό. Όµως, ποτέ δεν 3

4 αρκούσε η νίκη απέναντι στο θεό του θανάτου. Θεωρούσαν ότι έπρεπε να κάποιος να θυσιαστεί και γι αυτό προσέφεραν στο θεό του Μηδενός αίµα, παρθένες κοπέλες και καρδιές ζωντανών θυµάτων ώστε ο θεός να καθυστερήσει τη µέρα που θα σταµατήσει ο χρόνος. Οµοίως, οι Ινδοί της Κεντρικής Αµερικής, που προσηλυτίστηκαν από ένα Γάλλο ιεραπόστολο, θεωρούσαν το µηδέν ως το θεό του θανάτου. Η ιστορία του µηδενός, τα διάφορα ονόµατα και σύµβολα που χρησιµοποιήθηκαν για να αποδοθεί η έννοια και η σηµασία του εξελίσσονται κατά την πάροδο των αιώνων. Στην εξέλιξη αυτή συνέβαλαν θετικά πολλοί λαοί µε πρώτους τους Σουµέριους, στη συνέχεια ακολούθησε µεγάλη συνεισφορά από τους Έλληνες, τους Ινδοί, τους Άραβες και αργότερα από τον δυτικό πολιτισµό του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης (Newton, Copernicus, Galileo, Kepler, Descartes, Pierre de Fermat, Guillaume Francois Antoine Marquis de l Hopital, Johann Bernoulli). 4

5 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Το µηδέν (0) εµφανίζεται για πρώτη φορά στην ιστορία περίπου χρόνια πριν µαζί µε τους Σουµέριους, το λαό που κατοίκησε στη Μεσοποταµία. Οι Σουµέριοι χρησιµοποιούσαν εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης και έγραφαν χαράζοντας κύκλους και ηµικύκλια σε πλάκες από υγρό πηλό, τις οποίες στη συνέχεια έψηναν προκειµένου να διατηρηθούν. Μετά από πολλές ασάφειες που δηµιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια χιλιάδων ετών, µεταξύ του 6 ου και 3 ου αιώνα π.χ. άρχισε να χρησιµοποιείται το σύµβολο και λειτουργούσε ως τελεία, διαχώριζε τις λέξεις από τους ορισµούς τους ή σε δίγλωσσα κείµενα αποτελούσε τη µετάβαση από τη µία γλώσσα στην άλλη. Στην πραγµατικότητα, το σύµβολο αυτό αντικαθιστούσε και δήλωνε γενικά το «τίποτα (δηλαδή το κενό) σ αυτήν τη στήλη». Όπως είναι αναµενόµενο, υπήρχαν ποικίλοι τρόποι γραφής του µηδενός όπως: και και ή. Σε µία πλάκα που ανακαλύφθηκε στην περιοχή Kish και αποδίδεται χρονολογικά περίπου στο 700 π.χ., παρουσιάζονται δύο διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν που µοιάζουν µε το συµβολισµό των αριθµών τριάντα (30) και δέκα (10) αντίστοιχα (κάτι που δείχνει ότι δεν απείχε πολύ η πρώτη χρήση ενός ξεχωριστού συµβόλου για το µηδέν αλλά και η γνώση της έννοιας και της σηµασίας του). Το σύµβολο του µηδενός τοποθετούνταν µόνο στη µέση ενός αριθµού και ποτέ στο τέλος. Σύµφωνα µε τον ιστορικό των µαθηµατικών Karl Lang-Kirnberg, το π.χ. το σύµβολο που χρησιµοποιούσαν οι Σουµέριοι για το δέκα (10) το εξής αποτύπωµα: Ο, το οποίο έκανε τον αριθµό που βρισκόταν στα αριστερά του δέκα φορές µεγαλύτερο. Συνεπώς, αυτό το σύµβολο αντιπροσώπευε το µηδέν. 5

6 ΜΑΓΙΑ (Maya) Η φυλή των Μάγια ( από το 300 π.χ. µέχρι το 900 µ.χ. ) είχε µεγάλη ποικιλία συµβόλων για το µηδέν. Το πιο χαρακτηριστικό από αυτά είναι ένας άνδρας µε τατουάζ στο σώµα του που γέρνει το κεφάλι του προς τα πίσω. ΕΛΛΑΔΑ (Αλεξανδρινή Εποχή) Κατά τη διάρκεια της Οµηρικής και Κλασικής εποχής στην Ελλάδα (πριν από τα Αλεξανδρινά χρόνια) δεν υπάρχουν ίχνη ή ενδείξεις της χρήσης του µηδενός ή κάποιου συµβόλου του. Οι Έλληνες υπό την κυριαρχία του Μεγάλου Αλεξάνδρου ανακάλυψαν τον κρίσιµο ρόλο που είχε το µηδέν στους υπολογισµούς όταν εισέβαλλαν στη Βαβυλωνιακή αυτοκρατορία το 331 π.χ. και το µετέφεραν µαζί τους στην Ελλάδα µαζί µε το χρυσό και τα υπόλοιπα λάφυρα. Έχει βρεθεί ότι τον 3 ο αιώνα π.χ. χρησιµοποιούνταν το σύµβολο 0 για το µηδέν, δηλαδή ένας κενός κύκλος. Η πιο πιθανή εξήγηση είναι ότι το 0 προήλθε από το ελληνικό όµικρον, το πρώτο γράµµα της λέξης «οὐδέν», όπως το όνοµα του Οδυσσέα «Οὔτις», ή από τη λέξη «οὐκ». Πολύ αργότερα στην Ελλάδα το «οὐδέν» έγινε «µηδέν» και τότε στα Βυζαντινά κείµενα του 15 ου αιώνα µ.χ. υπάρχει ένα σύµβολο για το µηδέν που µοιάζει µε το γράµµα µ ( ) και αντικαθιστά το 0. Το σύµβολο του µηδενός, κατά την εξέλιξή του, είχε πάντα στην πάνω πλευρά του κάποιο οριζόντιο σηµάδι:,, και κάποιες φορές. Παρόλο που στα Βυζαντινά χειρόγραφα τα σηµάδια αυτά πάνω από τους αριθµούς παραµένουν, πολλές φορές λείπουν από το µηδέν, γεγονός που δείχνει ότι το µηδέν ήταν ακόµα διακεκριµένο από τους υπόλοιπους αριθµούς. Το σύµβολο αυτό 0 δείχνει την απουσία ενός είδους µέτρου (όπως λεπτά, δευτερόλεπτα, βαθµοί θερµοκρασίας), αλλά ακόµα δεν έχει αρχίσει να χρησιµοποιείται µαζί µε άλλους αριθµούς για να σχηµατίσει έναν αριθµό. Ο Αρχιµήδης (287 π.χ.) σε µία από τις σηµαντικότερες δουλειές του προσπάθησε να εξηγήσει στο βασιλιά των Συρακουσών πώς να υπολογίζει και να ονοµάζει ποσότητες µεγαλύτερες από τον αριθµό των κόκκων της άµµου. Δούλευε µε τα ονόµατα των αριθµών και όχι µε τα ψηφία τους, παραδείγµατος χάριν ονοµάζει «αἱ µυριακισµυριοστᾶς περιόδου µυριακισµυριοστῶν ἀριθµῶν µυριάδας» τον αριθµό Με το να µη χρησιµοποιεί το µηδέν, ο Αρχιµήδης έδωσε µια ζωτικότητα στην απεραντοσύνη. 6

7 Ο Διόφαντος ονοµάζει το µηδέν αριθµό και διευκρινίζει ότι περιέχει ένα αόριστο πλήθος µονάδων. Το σύµβολό του είναι κάποιες φορές το βυζαντινό σύµβολο, αλλά πολλές φορές σχηµατίζεται από τα δύο πρώτα ή τελευταία γράµµατά του και έχει τη µορφή ς ή ς ή κάποιες φορές µόνο. (Αυτό το τελευταίο σύµβολο έχει βρεθεί σε πάπυρο από το 154 µ.χ.) ΙΝΔΙΑ Η ιστορία του µηδενός συνεχίζεται στην Ινδία µε την εισβολή του Μεγάλου Αλεξάνδρου το 326 π.χ. και αργότερα µε το εµπόριο από την Αλεξάνδρεια, όπου οι Έλληνες µετέφεραν το δώρο των Βαβυλωνίων, το µηδέν. Η πρώτη γραπτή εµφάνιση του συµβόλου του µηδενός στην Ινδία είναι σε µία πλάκα που χρονολογείται στο 876 µ.χ.. Σ αυτήν την πλάκα καταγράφονται οι λεπτοµέρειες ενός δώρου των ανθρώπων του Gwalior στο ναό του Vishnu. Πρόκειται για έναν κήπο µε διαστάσεις (hastas), από τον οποίο κάθε µέρα θα συλλέγονται 50 στεφάνια µε λουλούδια. Όπως φαίνεται και από άλλες χάλκινες πινακίδες, το σύµβολο του µηδενός ήταν ένα µικρό ο που χρονολογείται από τον 6 ο αιώνα µ.χ.. Πολλοί υποστηρίζουν ότι ο κενός κύκλος (0) ως σύµβολο του µηδενός προέρχεται από την Ινδία. Το επιχείρηµά τους στηρίζεται στο παλιό σύµβολο για το 10 το οποίο ήταν και σύµφωνα µε επιγραφές του 2 ου αιώνα π.χ. σε µια σπηλιά στο Nanaghat στην περιοχή Poona και και που βρέθηκαν σε ιερές σπηλιές της περιοχής Nasik και ανήκουν στον 1 ο ή 2 ο αιώνα µ.χ.. Το επιχείρηµα αυτό συνεχίζεται µε την άποψή τους ότι αν το 10 είναι ο πρώτος αριθµός της δεύτερης σειράς αρίθµησης τότε το ανάλογό του (δηλαδή ο πρώτος αριθµός της πρώτης σειράς αρίθµησης) που είναι το µηδέν (αφού το 1 είναι το αντίστοιχο του 11) θα γράφεται µε το σύµβολο του 10 ( δηλαδή ) χωρίς τις δύο πλαϊνές γραµµές. Συνεπώς, κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι το σύµβολο του µηδενός ήταν ο κενός κύκλος Ο. (Για να ισχύει όµως αυτή η υπόθεση απαραίτητη προϋπόθεση είναι το 1 να συµβολίζεται < ή ή = ενώ στην πραγµατικότητα ο τρόπος γραφής του ήταν: ή _ ) Η Ινδία είχε επηρεαστεί σε µεγάλο βαθµό από την Ελλάδα σχετικά µε το µηδέν και τον τρόπο συµβολισµού του. Οι Ινδοί µαθηµατικοί είχαν το ίδιο σύµβολο (δηλαδή την τελεία) για το µηδέν και το άγνωστο διότι θεωρούσαν 7

8 ότι και τα δύο µοιάζουν µε άδεια ( µη γεµάτα) δοχεία. Οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν την τελεία για να συµβολίσουν το µηδέν αλλά το ίδιο εφάρµοσαν και για το άγνωστο, καθώς είχαν το ίδιο σύµβολο και για τα δύο. Η διαφορά είναι ότι στην Ελλάδα το σύµβολο αυτό είναι περισσότερο κύκλος παρά τελεία ενώ στην Ινδία περισσότερο τελεία και όχι κύκλος. ΚΙΝΑ Το µηδέν έφτασε στην Κίνα µαζί µε τους Άραβες έµπορους καρυκευµάτων και ελεφαντόδοντου και τους Βουδιστές και Ινδουιστές ταξιδιώτες. Η Κίνα δέχτηκε πολλές επιρροές από την Ινδία όσον αφορά το συµβολισµό και την ονοµασία του µηδενός. Ως σύµβολό του χρησιµοποιούσαν διάφορες µορφές, όπως τελείες, τέλειους κύκλους, ακόµα και κύκλους µέσα σε άλλους κύκλους. Η επιρροή από την Ινδία φαίνεται και στη κινέζικη λέξη ling. Πρόκειται για ένα χαρακτήρα που χρησιµοποιούνταν για το µηδέν και φέρει την έννοια αυτού που έµεινε πίσω, όπως οι σταγόνες της βροχής µετά από µία καταιγίδα. Αυτό σε συνδυασµό µε τα συνώνυµα που είχε ο Mahavira στην Ινδία για το µηδέν, δηλαδή τις λέξεις nabhas (που σηµαίνει υδρατµός) και bindu (που σηµαίνει και σταγονίδιο), επιβεβαιώνει την προηγούµενη άποψη για την άµεση επίδραση που άσκησε η Ινδία στην Κίνα σχετικά µε το µηδέν. Γενικά, οι άνθρωποι έδωσαν στο κενό σύνολο την έννοια της ύπαρξης και γι αυτό το λόγο είχαν πάντα κάποιο σύµβολο για αυτό, όπως δύο αγκύλες χωρίς όµως να υπάρχει τίποτα ανάµεσά τους { } ή το σύµβολο του κενού συνόλου Ø, που δείχνουν την εξέλιξη από το µεσαιωνικό φ (phi) το οποίο ακολούθησε το θ ως σύµβολο του µηδενός. 8

9 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΙΝΔΙΑ Ένα από τα πιο συνηθισµένα ονόµατα της Ινδίας για το µηδέν ήταν η λέξη kha (αυτή τη λέξη χρησιµοποιούσε ο Aryabhata στο Ujjain). Αρχικά αυτή η λέξη χρησιµοποιούνταν για να περιγράψει έναν άδειο χώρο και αργότερα για να αποδώσει το νόηµα του άδειου αριθµού, του µηδενός. Ο Varahamihira, 50 χρόνια µετά τον Aryabhata, αν και δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν χρησιµοποίησε διάφορα ονόµατα, όπως ambara (που σηµαίνει ουρανός ), akasa (που δηλώνει την έννοια της ατµόσφαιρας ), bindu (δηλαδή τελεία ) και sunya (που µεταφράζεται ως άδειο ). Η λέξη sunya πολύ σύντοµα έγινε το πιο συνηθισµένο όνοµα του µηδενός. Μετά από 100 χρόνια στο Ujjain, ο Brahmagupta δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν αλλά το ονόµαζε κυρίως kha και κάποιες φορές akasa και sunya. Αν µεταφερθούµε 200 χρόνια µπροστά στο 830 µ.χ. και 700 µίλια νότια στο Mysore βρίσκουµε τον Mahavira και το βιβλίο του Ganita-Sara-Sagraha, το οποίο ανανεώνει και διορθώνει το αντίστοιχο του Brahmagupta. Στο βιβλίο του ασχολείται πολύ µε το µηδέν, παρά το γεγονός ότι δε χρησιµοποιεί κάποιο σύµβολο γι αυτό. Ακόµα, δεν το ονοµάζει sunya αλλά διατηρεί την παλιά λέξη kha. Αυτό είναι πιθανό να οφείλεται στο ζήλο του να διορθώσει το Brahmagupta. Όσον αφορά τον αριθµό των συνωνύµων του µηδενός, ο Mahavira έχει ξεπεράσει τον Varahamihira, καθώς υπάρχει µεγάλη ποικιλία συνώνυµων λέξεων που σχετίζονται µε τα είδη και τις ιδιότητες του ουρανού και του χώρου: βάθος, ουράνιος θόλος, το άπειρο, λέξεις όπως jaladharapatha, likediv και περίπου δώδεκα (12) συνώνυµα για τη λέξη ουρανός. ΔΥΣΗ Ο µοναχός Gerbert d Aurillac το 967 µ.χ., πριν να γίνει ο Πάπας Sylvester ǁ (στη Γαλλία), στους υπολογισµούς που έκανε σε ειδικούς πίνακες χρησιµοποιούσε ένα σύµβολο για το µηδέν, το. Το σύµβολο αυτό το ονόµαζε sipos που µοιάζει µε την ελληνική λέξη ψήφος. Το 950 µ.χ. στη Μαυριτανική Ισπανία υπάρχουν νούµερα-στοιχεία που οι Άραβες τα ονοµάζουν huruf al gobar δηλαδή dust numerals (νούµερα της σκόνης). Πρόκειται για τους αριθµούς από το 1 έως το 9 χωρίς το µηδέν. Αυτοί οι αριθµοί έχουν ένα είδος σκόνης γύρω τους, µία βροχή από τελείες που δείχνουν την αξία που έχουν. Δηλαδή λειτουργούν όπως το µηδέν και πιθανότατα αποτελούν µια παραλλαγή ή ένα αρχικό στάδιο της εξέλιξης του συµβόλου του, του κενού κύκλου. Μία απόδειξη ότι ο κύκλος ακολούθησε την τελεία είναι η άποψη του Bhaskara (1150 µ.χ.) ότι η τελεία και ο κύκλος 9

10 έζησαν µαζί, καθώς ο ίδιος είπε ότι «ο χώρος όπου κανένα από τους εννέα αριθµούς δεν ανήκει αποτυπώνεται µε ένα κενό (sunya), το οποίο για να αποφευχθούν τυχόν λάθη δηλώνεται µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο». ΑΡΑΒΕΣ Όσον αφορά τους Άραβες, το µηδέν γραφόταν µε τελεία, καθώς ο κενός κύκλος αντιστοιχούσε στον αριθµό πέντε (5). Το 270 µ.χ. ο Sphujidhvaja έγραψε το βιβλίο Yavanajataka, το οποίο ανακαλύφθηκε το 1978 µ.χ.. Σ αυτό το βιβλίο αναφέρεται δύο φορές ο αριθµός 60, ως sat binduyutani την πρώτη φορά και ως sat khayutani. Επειδή τα ονόµατα αυτά σηµαίνουν έξι (6) µαζί µε το µηδέν, όπως είναι λογικό, φαίνεται ότι η λέξη για το µηδέν είναι bindu στην πρώτη ονοµασία και kha στη δεύτερη. Όσον αφορά τη λέξη sunya, δεν έχει να κάνει τόσο µε την έννοια της κενής θέσης αλλά µε κάτι που µοιάζει κενό εσωτερικά και είναι έτοιµο να πρηστεί και όντως προέρχεται από τη ρίζα svi που σηµαίνει πρήξιµο. Η λέξη kha προέρχεται από το ρήµα σκάβω και συνεπώς φέρει την έννοια της τρύπας : κάτι που µπορεί να γεµίσει. Επιπροσθέτως, δύο ακόµα ονόµατα για το Brahman (µέλος της ανώτερης τάξης Ινδουιστών) εµφανίζονται και ως ονόµατα για το µηδέν. Πρόκειται για τις λέξεις akasa (που χρησιµοποιείται από τον Varahamihira, τον Brahmagupta και τον Mahavira) και purna (που χρησιµοποιείται στο Bhaskara). ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΡΡΟΗ Το σύµβολο του Gerbert εµφανίζεται ξανά µετά από χρόνια στην εποχή του Μεσαίωνα, που πλέον µοιάζει περισσότερο µε το ελληνικό γράµµα θ (θήτα) και λεγόταν theca. (Παραδείγµατος χάριν, έχει βρεθεί ότι κατά το 13 ο αιώνα αυτό το σύµβολο το χρησιµοποιούσε ο φιλόσοφος Algus). Σε µεταφράσεις από τα αραβικά που έγιναν σε δεκατρία βιβλία και πλάκες του Al-Khowarizmi εντοπίστηκαν τρία διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν: θ (θήτα), και που το ονόµασε teca. Η λέξη teca δεν είναι κάποια παραλλαγή της λέξης θήτα (theta), αλλά προέρχεται από την ελληνική λέξη θήκη. Το πρώτο γράµµα της λέξης ΘΗΚΗ µοιάζει µε µια τελεία µέσα σε ένα κύκλο. Ο Radulph του Laon περίπου το 1100 µ.χ. το περιγράφει ως ένα στοιχείο που δηλώνει την απουσία αριθµού και το ονοµάζει sipos (όπως και ο Gerbert), όπως η ελληνική λέξη ψήφος. Την ίδια εποχή ο Rabbi ben Ezra το ονοµάζει sifra, galgal (που στα εβραϊκά σηµαίνει τροχός ) και kha (που 10

11 ακόµα σηµαίνει την τρύπα στο κεντρικό κλίτος του τροχού απ όπου περνά ο άξονάς του). Το 12 ο αιώνα µ.χ. στην Ινδία ο Bhaskara απέδωσε την εφεύρεση των εννιά ψηφίων στο δηµιουργό του σύµπαντος αλλά ξεχώρισε από αυτά τη δική του εφεύρεση που κάνει τα ψηφία αυτά να σχηµατίζουν όλους τους αριθµούς, µαζί µε το µηδέν που το συµβόλιζε µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο. Μία από τις πιο συνηθισµένες λέξεις που χρησιµοποιούσε για το µηδέν είναι null και προκύπτει από τη µεσαιωνική λατινική nulla figura η οποία σηµαίνει όχι αριθµός. (Κάθε αριθµός αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων, ενώ το µηδέν σε κανένα απολύτως πράγµα.) Το µηδέν ήρθε στη Δύση το 970 µ.χ., ίσως έναν αιώνα νωρίτερα, µε ονόµατα από διάφορες πηγές, τα οποία προκύπτουν είτε από τη σηµασία και την έννοιά του είτε από τη µορφή του συµβόλου του. Ειδικά κατά την περίοδο της Αναγέννησης µε τα αραβικά νούµερα και την άνθιση τεχνών και επιστηµών το µηδέν έγινε απαραίτητο ώστε να γίνονται σωστά οι διάφοροι υπολογισµοί. Ο πρόγονος όλων των δυτικών ονοµάτων για το µηδέν ήταν η αραβική λέξη sifr ή as-sifr. Πρόκειται για µια µετάφραση της ινδικής λέξης sunya (που σηµαίνει κενό ). Στην εξέλιξη του ονόµατος του µηδενός συνέβαλαν επίσης οι ελληνικές λέξεις ψήφος και θήκη καθώς και πολλές µεσαιωνικές λατινικές λέξεις σχετικά µε τον κύκλο (όπως rotula και circulus) και το κενό (όπως nulla και nihil). Ακόµα, η λέξη για τον άτονο δυτικό άνεµο (zephyrs=ζέφυρος), που δέχτηκε επιδράσεις και από την Ιταλία (κυρίως από τη Βενετία), εξελίχθηκε σε zefiro, zefro, zevero µέχρι που πήρε την τελική µορφή zero που ισχύει και στις µέρες µας. 11

12 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Γίνεται φανερό ότι το µηδέν δεν αποτελεί το στοιχείο εκείνο που κλείνει έναν κύκλο αλλά αποτελεί µία πύλη. Ενώ το ίδιο το µηδέν δεν έχει καµία αξία, µε την παρουσία του δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Ταυτόχρονα, αποτελεί το σηµείο ισορροπίας ανάµεσα στο σύνολο των θετικών αριθµών και σε αυτό των αρνητικών αριθµών. Για πολύ καιρό δεν είχε όνοµα γιατί τα ονόµατα ανήκουν σε συγκεκριµένα πράγµατα, ενώ το µηδέν αντιπροσωπεύει το τίποτα, το κενό και µετρά το σύνολο αυτών που δεν υπάρχουν, σε αντίθεση µε τους υπόλοιπους αριθµούς που ο καθένας αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων. Όµως, παρά το γεγονός ότι σχετίζεται µε το κενό και την απουσία συνόλου πραγµάτων αποτελεί µία πύλη προς τη γνώση. Αυτό προκύπτει από τη µοναδική του ικανότητα όταν συνδυάζεται µε αριθµούς να σχηµατίζει άλλους αριθµούς και ακόµα να µεταβάλλει την αξία τους µόνο µε την παρουσία του. Λόγω της µεγάλης σηµασίας που έχει για τους υπολογισµούς κρίθηκε από πολλούς µαθηµατικούς και ιστορικούς σηµαντική η έρευνα και αναζήτηση της ιστορίας του και των σταδίων της εξέλιξής του ανά τους αιώνες. Ακόµα, λόγω της σηµασίας του πολλοί µαθηµατικοί ασχολήθηκαν µε τις ιδιότητες του µηδενός και τη συµπεριφορά του όταν βρίσκεται µαζί µε άλλους αριθµούς. Άλλωστε, ο Νεύτωνας όταν ασχολήθηκε µε τη µελέτη της βαρύτητας αποφάσισε να σταµατήσει να ψάχνει τι είναι και άρχισε να αναζητά το πώς συµπεριφέρεται. Συνεπώς, προκειµένου να κατανοήσουµε την έννοια που φέρει το µηδέν απαραίτητη προϋπόθεση είναι να µελετήσουµε τη γενικότερη αντίληψη και ιδέα του µηδενός καθώς και τον τρόπο λειτουργίας και συµπεριφοράς του. 12

13 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. The nothing that is: A natural history of zero, του Robert Kaplan (Oxford University Press 2000) 13

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

Το ρωμαϊκό κράτος κλονίζεται

Το ρωμαϊκό κράτος κλονίζεται Ι. Η ΜΕΤΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΡΩΜΑΪΚΟΥ ΚΡΑΤΟΥΣ 1. Από τη Ρώμη στη Νέα Ρώμη Ας διαβάσουμε τι θα μάθουμε στο σημερινό μάθημα: Σκοπός: Σκοπός του παρόντος μαθήματος είναι να απαντήσουμε σε ένα «γιατί»: Γιατί χρειάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx

Διαγράμματα. Νίκος Σκουλίδης, Σημειώσεις Φυσικής Α` Γυμνασίου, , Διαγράμματα_1_0.docx Διαγράμματα Στα περισσότερα από τα Φύλλα Εργασίας που εργαστήκατε και συμπληρώσατε, είχατε να σχεδιάσετε και ένα διάγραμμα. Ίσως ήταν η πρώτη φορά που ασχοληθήκατε με αυτό το αντικείμενο και να σας φάνηκε

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ Δ. Ε. ΧΙΩΤΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΖΕΡΒΟΥ ΦΕΒΡΩΝΙΑ ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2005 Μαγικά Τετράγωνα: ανακαλύπτοντας την ιστορία και την μαγεία τους. Τα μαγικά τετράγωνα από καιρό θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή;

Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Γιατί μελετούμε την Αγία Γραφή; Ποιες γνώμες έχετε ακούσει για τη Βίβλο; Τι θα θέλατε να μάθετε γι αυτή; Είναι ένα σπουδαίο βιβλίο Το πιο πολυδιαβασμένο στον κόσμο. Το πρώτο που τυπώθηκε από τον Γουτεμβέργιο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός;

Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός; Ιωάννης 1[α ]:1 --- Θεός ή «κάποιος θεός»; 1 Ιωάννης 1[α ]:1 και το οριστικό άρθρο «ο» --- Θεός ή κάποιος θεός; Εδώ θα εξετάσουμε το εδάφιο Ιωάννης 1[α ]:1 το οποίο, σύμφωνα με το κείμενο λέει, «Εν αῤχη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι Οι διδακτικοί στόχοι για τη διδασκαλία της εισαγωγής προσδιορίζονται στο βιβλίο για τον καθηγητή, Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι,

Διαβάστε περισσότερα

Οι συγγραφείς της Παλαιάς Διαθήκης: άνθρωποι εμπνευσμένοι από το Θεό.

Οι συγγραφείς της Παλαιάς Διαθήκης: άνθρωποι εμπνευσμένοι από το Θεό. Οι συγγραφείς της Παλαιάς Διαθήκης: άνθρωποι εμπνευσμένοι από το Θεό. Το διάγραμμα του χρόνου Εποχή Αβραάμ Θάνατος Μ. Αλεξάνδρου Γέννηση Ιησού Χριστού Άλωση Κων/πολης 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400

Διαβάστε περισσότερα

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη

4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 4. Η Καινή Διαθήκη Β : Οι Επιστολές και η Αποκάλυψη 1. Τι ήταν και γιατί γράφτηκαν οι επιστολές του αποστόλου Παύλου; Ήταν γράμματα που έστελνε ο απόστολος στις χριστιανικές κοινότητες που είχε ιδρύσει.

Διαβάστε περισσότερα

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ

3-10-2012 : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ. Τάνγκραµ 3-10-2012 ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΑΘΗΤΡΙΑΣ : ΒΙΟΛΕΤΑ ΚΑΝΤΕΣΑ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ :ΣΤΑΥΡΟΥΛΑ ΠΑΤΣΙΟΜΙΤΟΥ Τάνγκραµ Το τάνγκραµ είναι ένα παλιό κινέζικο παιχνίδι που χρονολογείται πριν το 18 ο αιώνα. Οι πρώτες δηµοσιεύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.

ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ) !Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων. ΒΛΑΣΤΗΣΗ (ΜΑΤΘΑΙΟΥ)!"Τίτλος διερεύνησης: Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το πόσο γρήγορα θα βλαστήσουν τα σπέρματα των οσπρίων.!"σύντομη περιγραφή διερεύνησης: Στη διερεύνησή μας μετρήθηκε ο χρόνος που χρειάστηκαν

Διαβάστε περισσότερα

Η Γη είναι ένας πλανήτης που κατοικούν εκατομμύρια άνθρωποι, αλλά και ο μοναδικός πλανήτης στον οποίο γνωρίζουμε ότι υπάρχει ζωή.

Η Γη είναι ένας πλανήτης που κατοικούν εκατομμύρια άνθρωποι, αλλά και ο μοναδικός πλανήτης στον οποίο γνωρίζουμε ότι υπάρχει ζωή. Το Ηλιακό Σύστημα. Ήλιος Ο Ήλιος είναι ο αστέρας του Ηλιακού μας Συστήματος και το λαμπρότερο σώμα του ουρανού. Είναι μια τέλεια σφαίρα με διάμετρο 1,4 εκατομμύρια χμ. Η σημασία του Ήλιου στην εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Eισαγωγή. H μεγαλύτερη ανακάλυψη της γενιάς μου είναι το γεγονός ότι ένας άνθρωπος μπορεί να αλλάξει τη ζωή του αλλάζοντας τη συμπεριφορά του.

Eισαγωγή. H μεγαλύτερη ανακάλυψη της γενιάς μου είναι το γεγονός ότι ένας άνθρωπος μπορεί να αλλάξει τη ζωή του αλλάζοντας τη συμπεριφορά του. Eισαγωγή H μεγαλύτερη ανακάλυψη της γενιάς μου είναι το γεγονός ότι ένας άνθρωπος μπορεί να αλλάξει τη ζωή του αλλάζοντας τη συμπεριφορά του. Oυίλιαμ Tζέϊμς Όποτε βρισκόμαστε αντιμέτωποι με άσχημα νέα,

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας

ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας ΝΕΥΤΩΝΑΣ... Λίνα Παπαεμμανουήλ Μάνος Ορφανίδης Άννα Σαμαρά Στέφανος Τζούμας Γνωρίζοντας τον Νεύτωνα... Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (Αγγλ. Sir Isaac Newton Σερ Άιζακ Νιούτον, 4 Ιανουαρίου 1643 31 Μαρτίου 1727) ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία»

Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» 3ο Γενικό Λύκειο Λάρισας Κύκλος Ερευνητικής Εργασίας: «Μαθηµατικά, Φυσικές Επιστήµες και Τεχνολογία» Θέµα Ερευνητικής Εργασίας: ιερεύνηση των εξισώσεων και ανισώσεων µέσα από την επίλυση καθηµερινών προβληµάτων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Ταξίδι στις ρίζες «Άραγε τι μπορεί να κρύβεται εδώ;»

Ταξίδι στις ρίζες «Άραγε τι μπορεί να κρύβεται εδώ;» Ταξίδι στις ρίζες Είχε φτάσει πια η μεγάλη ώρα για τα 6 αδέρφια Ήταν αποφασισμένα να δώσουν απάντηση στο ερώτημα που τόσα χρόνια τα βασάνιζε! Η επιθυμία τους ήταν να μάθουν την καταγωγή τους και να συλλέξουν

Διαβάστε περισσότερα

Θεός και Σύμπαν. Source URL:

Θεός και Σύμπαν. Source URL: Θεός και Σύμπαν Source URL: http://ghz.gr/forum Θεός και Σύμπαν Source URL: http://ghz.gr/forum Η ύπαρξη τού Θεού και η σχέση του με το σύμπαν, είναι ένα θέμα που απασχολεί πλήθος ανθρώπων σήμερα. Ο Θεός

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Scriptorium (Ταμπλό Αξίας Κατηγορίας) 5 εξάπλευρα ζάρια 87 κάρτες

Περιεχόμενα 1 Scriptorium (Ταμπλό Αξίας Κατηγορίας) 5 εξάπλευρα ζάρια 87 κάρτες Εισαγωγή Στο Biblios, αναλαμβάνετε το ρόλο ενός ηγούμενου, επικεφαλής ενός μοναστηριού την εποχή του Μεσαίωνα. Προσπαθώντας να δημιουργήσετε την εντυπωσιακότερη βιβλιοθήκη, συναγωνίζεστε με άλλους ηγούμενους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΙΙ 1 Επίλυση προβλημάτων με αριθμητικά και αλγεβρικά εργαλεία Από τους Βαβυλώνιους έως τον Euler Παρουσίαση : Ασημάκης Παναγιώτης Αθήνα, Ιούνιος 2012 Ορφανάκης Σπύρος Αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ. Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις στις τρεις (3). Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με τέσσερις (4) μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ. Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις στις τρεις (3). Κάθε ερώτηση βαθμολογείται με τέσσερις (4) μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ Μάθημα: Μεσαιωνική και Νεότερη Ιστορία Τάξη: Β Γυμνασίου Ενότητα: Οι πρώτοι αιώνες του Βυζαντίου Χρόνος εξέτασης: 45 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Από τις πέντε (5) ερωτήσεις να απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΙΑΛΕΞΗ ΕΝΔΕΚΑΤΗ ΚΕΙΜΕΝΑ ΥΣΤΕΡΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ 1. Πτωχοπρόδρομος - Το κείμενο έχει πολλές διαφορετικές γραφές στα χειρόγραφα που διασώζεται, λόγω του σχετικά δημώδους αλλά και σκωπτικού του χαρακτήρα. Δυσχεραίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πριν από πολλά χρόνια ζούσε στη Ναζαρέτ της Παλαιστίνης μια νεαρή κοπέλα, η Μαρία, ή Μαριάμ, όπως τη φώναζαν. Η Μαρία ήταν αρραβωνιασμένη μ έναν

Πριν από πολλά χρόνια ζούσε στη Ναζαρέτ της Παλαιστίνης μια νεαρή κοπέλα, η Μαρία, ή Μαριάμ, όπως τη φώναζαν. Η Μαρία ήταν αρραβωνιασμένη μ έναν Πριν από πολλά χρόνια ζούσε στη Ναζαρέτ της Παλαιστίνης μια νεαρή κοπέλα, η Μαρία, ή Μαριάμ, όπως τη φώναζαν. Η Μαρία ήταν αρραβωνιασμένη μ έναν άνδρα που τον έλεγαν Ιωσήφ. Οι γονείς της, ο Ιωακείμ και

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

...Μια αληθινή ιστορία...

...Μια αληθινή ιστορία... ...Μια αληθινή ιστορία... Στην αρχή ήταν μια άδεια σελίδα. Την είχε ο Καλός Ζωγράφος, που ήταν γνωστός για την ικανότητά του να ζωγραφίζει τέλειες εικόνες. Μια μέρα ο Ζωγράφος άρχισε να ζωγραφίζει αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 22.05.14 Χ. Χαραλάμπους Ο Argand (1768-1822) 1822) το 1814 δημοσίευσε μία απόδειξη του ΘΘΑ στην εργασία του Réflexions sur la nouvelle théorie d'analyse. Η απόδειξη του Argand βασιζόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π )

ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π ) ΣΥΝΟΠΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ της Χριστίνας Φίλη (Επίκουρη καθηγήτρια Ε.Μ.Π ) 3000-2000 π.χ Αίγυπτος Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών. Κατασκευή πυραμίδων. Πραγματεία Μεταθέσεων (yang-ying

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα

Σκοπός του παιχνιδιού. Περιεχόμενα Ένα συνεργατικό παιχνίδι μνήμης για 3 έως 6 παίκτες, 7 ετών και άνω. Ο Τομ σκαρφάλωσε στην κορυφή ενός δέντρου, για να δεί αν μπορούσε να ανακαλύψει κάτι. Κοιτάζοντας προς κάθε μεριά, είδε τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1)

6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) 6 η Δραστηριότητα στο MicroWorlds Pro (1) Προχωρημένος Προγραμματισμός με Logo Δομή επιλογής Αν & ΑνΔιαφορετικά Στην δραστηριότητα που ακολουθεί, θα προσπαθήσουμε να βρούμε την απόλυτη τιμή ενός αριθμού,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Ιουδαϊσµός. α) Παρουσίαση θρησκείας:

Ιουδαϊσµός. α) Παρουσίαση θρησκείας: Ιουδαϊσµός α) Παρουσίαση θρησκείας: Ο Ιουδαϊσµός είναι η παραδοσιακή θρησκεία των Εβραίων. Σύµφωνα µε τον ορθόδοξο Ιουδαϊσµό και τους βαθιά θρησκευόµενους Εβραίους, ο βιβλικός πατριάρχης Αβραάµ ήταν ο

Διαβάστε περισσότερα

Φάκελος Ερευνητικής Εργασίας Σχολείο:Γενικό Λύκειο Ζεφυρίου Τμήμα:Α 1-Α 2

Φάκελος Ερευνητικής Εργασίας Σχολείο:Γενικό Λύκειο Ζεφυρίου Τμήμα:Α 1-Α 2 Φάκελος Ερευνητικής Εργασίας Σχολείο:Γενικό Λύκειο Ζεφυρίου Τμήμα:Α 1-Α 2 Θέμα: Θρησκευτικές και επιστημονικές αντιλήψεις για την δημιουργία του σύμπαντος Ονοματεπώνυμα μαθητών: Αλέξανδρος Λάσκος, Γαρυφαλένια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια

Μεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΒΑΜΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014 ΑΡΧΑΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΦΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΠΕΙΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥΣ ΣΕ ΟΣΤΡΑΚΑ ΠΗΛΙΝΩΝ ΑΓΓΕΙΩΝ Μεσοποταμία-Σουμέριοι Μέσα 4ης χιλιετίας π.χ. Σφηνοειδής γραφή Τρόπος γραφής που

Διαβάστε περισσότερα

Πώς τον λένε τον θεό σου;

Πώς τον λένε τον θεό σου; Γιαν φον Χόλεμπεν Τζέιν Μπερ Κράουζε Πώς τον λένε τον θεό σου; Απορίες των παιδιών για πέντε θρησκείες Περιεχόμενα Ένας κόσμος, πολλές θρησκείες 10 Ο Θεός και η Ψυχή του Κόσμου 37 Πίστη και καθημερινότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τιμή Τιμή. σκορ. ζωές

Τιμή Τιμή. σκορ. ζωές Εισαγωγή στην έννοια των μεταβλητών Οι μεταβλητές Θα πρέπει να έχετε παρατηρήσει ότι έχουμε φτιάξει τόσα παιχνίδια μέχρι αυτό το σημείο και δεν έχουμε αναφερθεί πουθενά για το πως μπορούμε να δημιουργήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΙΚΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΤΏΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ

ΕΡΩΤΙΚΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΤΏΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ ΕΡΩΤΙΚΑ ΠΟΙΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΤΏΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΤΡΙΩΝ Στο πλαίσιο του μαθήματος της Νεοελληνικής Λογοτεχνίας της Γ Γυμνασίου οι μαθητές ήρθαν σε επαφή με ένα δείγμα ερωτικής ποίησης. Συγκεκριμένα διδάχτηκαν το ποίημα

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιήθηκαν. ο πίνακας και ένα χαρτόνι, όπου θα αναγράφονται κάποια προϊόντα.

Χρησιμοποιήθηκαν. ο πίνακας και ένα χαρτόνι, όπου θα αναγράφονται κάποια προϊόντα. Αποτίμηση της διδασκαλίας της Μελέτης Περιβάλλοντος Δ Τάξη Δημοτικού Ονοματεπώνυμο:. Ομάδα:Α Γενική εκτίμηση της διδασκαλίας: Πιστεύω ότι η διδασκαλία μου κινήθηκε σε αρκετά καλά πλαίσια. Οι στόχοι, που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1. Τα πολύ παλιά χρόνια, όταν οι άνθρωποι δημιούργησαν οικισμούς, άρχισαν να καλλιεργούν τη γη και να εκτρέφουν ζώα. Επειδή τα μέταλλα δεν είχαν ανακαλυφθεί ακόμα, οι συναλλαγές τους

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος

κάντε κλικ στη Τρίτη επιλογή : Οι Θεσσαλονικείς αδελφοί ισαπόστολοι Κύριλλος και Μεθόδιος ΤΑΞΗ Δ ΜΑΘΗΜΑ : ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κύριλλος και Μεθόδιος : Ιεραπόστολοι στους σλαβικούς λαούς. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ 1. Να αντιληφθούν οι μαθητές ότι μέσα από την ιεραποστολή του Κυρίλλου

Διαβάστε περισσότερα

Ο ον Κιχώτης και οι ανεµόµυλοι Μιγκέλ ντε Θερβάντες

Ο ον Κιχώτης και οι ανεµόµυλοι Μιγκέλ ντε Θερβάντες Ο ον Κιχώτης και οι ανεµόµυλοι Μιγκέλ ντε Θερβάντες (Ο ον Κιχώτης ήταν ένας άρχοντας πολύ φτωχός σε λεφτά αλλά πλούσιος σε φαντασία. Ζούσε στην Ισπανία, στην ξακουσµένη επαρχία της Μάντσας. Όταν έφτασε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. σύμβολα αριθμών. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών σύμβολα αριθμών επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 αναπαραστάσεις των αριθμών Εμπράγματες Υλικά αντικείμενα ($$$) Εικονικές (***) Λεκτικές (τρία) Συμβολικές, (3, τρία) Διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή. Οδηγός μελέτης

Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή. Οδηγός μελέτης Πατήρ Αβραάμ Μάθημα - Τρία Η ζωή του Αβραάμ: Σύγχρονη εφαρμογή Οδηγός μελέτης Περιεχόμενα Περίγραμμα Ένα περίγραμμα του μαθήματος, Σημειώσεις Το περίγραμμα το μαθήματος; με αποσπάσματα και περιλήψεις του

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΗΕποχήπουοΘεός Δημιούργησε τα Πάντα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΗΕποχήπουοΘεός Δημιούργησε τα Πάντα Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει ΗΕποχήπουοΘεός Δημιούργησε τα Πάντα Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:Byron Unger; Lazarus Διασκευή:Bob Davies; Tammy S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015

Ο αριθμός π και η ημέρα του π. Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ο αριθμός π και η ημέρα του π Μαρία-Δανάη Δάβου & Θανάση Αντζελίνο Άννα Δούκα, Αναστασία Δούλου, Κατερίνα Κούρκουλου Β2-7 ο ΓΕΛ Καλλιθέας 2015 Ημέρα του π- piday.org 14 Μαρτίου ή 14 / 3 ή όπως Αμερική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Ρευστά. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός. https://physicscourses.wordpress.com ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρευστά Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscourses.wordpress.com Βασικές έννοιες Πρώτη φορά συναντήσαμε τη φυσική των ρευστών στη Β Γυμνασίου. Εκεί

Διαβάστε περισσότερα

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1

33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 ΕΝΑ ΓΟΗΤΕΥΤΙΚΟ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΑ ΒΥΖΑΝΤΙΝΑ ΧΡΟΝΙΑ, ΓΕΜΑΤΟ ΕΚΠΛΗΞΕΙΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΓΕΓΟΝΟΤΑ. 33 Ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΣΥΛΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΙΟΥ ΤΜΗΜΑ Ε2 2013-2014 1 Εικόνα 1 Εικόνα 2 Ρωμαϊκές λεγεώνες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΩΣΗ ΘΕΣΕΩΝ ΗΜΟΣΙΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΤΟΥ ΗΜΟΣΙΟΥ TOMEΑ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ε ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΥΣΗΣ Ι

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΥΣΗΣ Ι ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΑΙΩΝΙΚΗΣ ΔΥΣΗΣ Ι Ενότητα #2: Βασικές Γνώσεις I Εισαγωγή Νικόλαος Καραπιδάκης Τμήμα Ιστορίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός

2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός κεφάλαιο 6 ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΩΣΗ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΗΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΕΙΣ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΧΩΡΩΝ ΩΣ ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΗΣ ΒΕΣΤΦΑΛΙΑΣ (1453-1648) 2. Αναγέννηση και ανθρωπισμός Ορισμός Πρόκειται για μια γενικότερη πνευματική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΪΚΗ ΕΠΟΧΗ (σελ.84-97) Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί

ΑΡΧΑΪΚΗ ΕΠΟΧΗ (σελ.84-97) Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί 1. Να αντιστοιχήσετε τις λέξεις της στήλης Α με αυτές της στήλης Β. Α Β Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί Β. Αριστοκρατία β. Κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12)

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ Α ΟΜΑΔΑ: 1 1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16),0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12),0 3. Ποιοι είναι οι μαθητές του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Y404. ΔΙΜΕΠΑ: ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΦΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΜΑΘΗΤΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΗΡΑΚΛΗΣ ΑΕΜ: 3734 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ 1. Από τη Γραμμική Β στην εισαγωγή του αλφαβήτου - Στον ελληνικό χώρο, υπήρχε ένα σύστημα γραφής μέχρι το 1200 π.χ. περίπου, η

Διαβάστε περισσότερα

1. Στα αποστολικά χρόνια, η Θεία Ευχαριστία γινόταν διαφορετικά από τον τρόπο που έγινε τη βραδιά του Μυστικού Δείπνου.

1. Στα αποστολικά χρόνια, η Θεία Ευχαριστία γινόταν διαφορετικά από τον τρόπο που έγινε τη βραδιά του Μυστικού Δείπνου. ΜΑΘΗΜΑ 22 ο ΙΔΡΥΣΗ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ Θ.ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΑΣ Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, σύμφωνα με την ιστορία της αρχαίας Εκκλησίας, γράφοντας δίπλα στον αριθμό κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;»

ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» ΕΡΕΥΝΑ ΠΕΔΙΟΥ- «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η έρευνα «ΠΟΣΟ ΚΑΛΑ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΟΝ ΜΑΝΟΛΗ ΑΝΔΡΟΝΙΚΟ;» πραγματοποιήθηκε τους μήνες Φεβρουάριο-Μάρτιο 2014 σε πέντε σχολεία της Θεσσαλονίκης

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα.

Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα. Θεογονία: Πώς ξεκίνησαν όλα. Μέσα από τα πολύχρωµα σύννεφα του ουρανού της Μυθοχώρας ξεπροβάλλει ο Πήγασος, το φτερωτό άλογο που χάρισε ο θεός της θάλασσας, ο Ποσειδώνας, στο γιο του τον Βελλερεφόντη.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO Αγγελόπουλος Βασίλης Το γκράφιτι βρίσκεται πολλά χρόνια στην ζωή μας. Είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι οι τοίχοι γύρω μας είναι γεμάτοι από αυτά δίνοντας χρώμα και ζωντάνια

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ.

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Οι κατακτήσεις του Μ. Αλεξάνδρου και η πολιτική ενοποίηση του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πλίνιος μάλιστα γράφει ότι η Κρήτη ήταν η πατρίδα δύο δένδρων με μεγάλη ιατρική χρησιμότητα του κρητικού πεύκου και του κρητικού κυπαρισσιού, από

Ο Πλίνιος μάλιστα γράφει ότι η Κρήτη ήταν η πατρίδα δύο δένδρων με μεγάλη ιατρική χρησιμότητα του κρητικού πεύκου και του κρητικού κυπαρισσιού, από ΤΑ ΒΟΤΑΝΑ ΣΤΟ ΧΡΟΝΟ Ο Ιπποκράτης υποστηρίζει πως η τροφή μπορεί να γίνει και φάρμακο. Τα βότανα χρησιμοποιήθηκαν σε θεραπευτικές πρακτικές ως φαρμακευτικά είδη αλλά και ως φορείς της θεϊκής ευλογίας. Οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά στοιχεία στην Παλαιά Διαθήκη

Εισαγωγικά στοιχεία στην Παλαιά Διαθήκη Εισαγωγικά στοιχεία στην Παλαιά Διαθήκη Οι φιλολογικές πηγές της Πεντατεύχου (Φιλολογικά στρώματα): Οι τέσσερις πηγές της Πεντατεύχου είναι: η Γιαχβική, η Ελωχειμική, το Δευτερονόμιο και ο Ιερατικός Κώδικας.

Διαβάστε περισσότερα