«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "«Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»"

Transcript

1 ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ» ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΓΕΩΡΓΟΥΣΑΚΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή -Γενικά για το µηδέν σελίδα 3 2. Συµβολισµός σελίδα 5 -Σουµέριοι -Μάγια -Ελλάδα -Ινδία -Κίνα 3. Συµβολισµός σελίδα 9 -Ινδία -Δύση -Άραβες -Ελληνικές επιρροές 4. Επίλογος σελίδα Βιβλιογραφία σελίδα 13 2

3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΗΔΕΝ Το µηδέν εµφανίζεται ως ένα είδος αριθµού που δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Δεν είναι ούτε θετικός αριθµός ούτε αρνητικός. Είναι όµως το πιο στενό εκείνο κοµµάτι που διαχωρίζει τα δύο αυτά διαφορετικά σύνολα αλλά και τα συνδέει ταυτόχρονα διατηρώντας την ισορροπία ανάµεσά τους. Κρύβει την έννοια της έλλειψης, της απουσίας, του κενού. Από τις διάφορες µορφές που παίρνει είναι φανερό ότι δεν εµφανίζεται µόνο ως αριθµός αλλά και ως µια µεταφορά, ως ένα µυστήριο ανάµεσα στα άλλα µυστήρια, ως ένα τίποτα που στην πραγµατικότητα είναι κάτι. Έχουν διατυπωθεί πολλές διαφορετικές απόψεις σχετικά µε το µηδέν. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, για παράδειγµα, το µηδέν θεωρούνταν ως έργο του διαβόλου, καθώς πίστευαν ότι αναιρούσε και ακύρωνε κάθε νόηµα και σηµασία. Ακόµα, αυτός ο κενός κύκλος που αποτελεί το σύµβολο του µηδενός αντιπροσώπευε την ανωνυµία και το φόβο των ανθρώπων να µην υπάρχει διαφορά ανάµεσά τους και γενικά στον κόσµο. Γι αυτό το λόγο, την ίδια εποχή, όλοι όσοι ήταν εγκληµατίες ή άνθρωποι χωρίς αξίες, περιττοί χαρακτηρίζονταν ως µηδενικά της κοινωνίας. Ένα άλλο χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι η φυλή των Μάγια. Πίστευαν στο χρόνο, ένιωθαν ότι οι ζωές τους εξαρτώνται από αυτόν και ο µεγαλύτερος φόβος τους ήταν ότι κάποια στιγµή θα σταµατήσει. Γι αυτόν το λόγο υπολόγιζαν τον χρόνο θεωρώντας ως αρχική µέρα του σύµπαντος (zero day) την 13 η Αυγούστου του π.χ. αλλά, αντί να µετράνε τις µέρες, χώριζαν το χρόνο σε έτη των 18 µηνών (uninal) µε 12 µέρες (kin) ο καθένας. Ο θεός που επέβλεπε αυτά τα γεγονότα λεγόταν Μηδέν. Οι εννέα άρχοντες της νύχτας, δηλαδή οι θεοί του κάτω κόσµου στους οποίους πίστευαν οι Μάγια, βρίσκονταν υπό την εξουσία του θεού του θανάτου, ο οποίος ήταν ο θεός Μηδέν. Αυτός θα αποφάσιζε για τη µέρα που ίσως θα σταµατούσε ο χρόνος, για το τέλος του κύκλου της ζωής, για την επίφοβη παύση. Πίστευαν ακόµα ότι αν βρισκόταν κάποιος άνθρωπος που θα αναλάµβανε το Μηδέν και πέθαινε µε τελετουργικό τρόπο, τότε ο θεός του θανάτου θα πέθαινε. Έτσι, είχαν ένα τελετουργικό παιχνίδι ανάµεσα σε έναν παίχτη-ήρωα και σε έναν άλλο που υποδυόταν το θεό του Μηδενός. Σε αυτήν την ιεροτελεστία συµµετείχε ένας όµηρος (συνήθως ήταν ένας ηττηµένος βασιλιάς που κρατούνταν δεµένος για πολλά χρόνια), τον οποίο χτυπούσαν και οι δύο παίχτες µέχρι θανάτου. Πάντα ο παίχτης στο ρόλο του ήρωα κέρδιζε το θεό του µηδενός. Σε άλλα παρόµοια τελετουργικά όποιος έχανε στο τέλος θυσιαζόταν στο θεό. Όµως, ποτέ δεν 3

4 αρκούσε η νίκη απέναντι στο θεό του θανάτου. Θεωρούσαν ότι έπρεπε να κάποιος να θυσιαστεί και γι αυτό προσέφεραν στο θεό του Μηδενός αίµα, παρθένες κοπέλες και καρδιές ζωντανών θυµάτων ώστε ο θεός να καθυστερήσει τη µέρα που θα σταµατήσει ο χρόνος. Οµοίως, οι Ινδοί της Κεντρικής Αµερικής, που προσηλυτίστηκαν από ένα Γάλλο ιεραπόστολο, θεωρούσαν το µηδέν ως το θεό του θανάτου. Η ιστορία του µηδενός, τα διάφορα ονόµατα και σύµβολα που χρησιµοποιήθηκαν για να αποδοθεί η έννοια και η σηµασία του εξελίσσονται κατά την πάροδο των αιώνων. Στην εξέλιξη αυτή συνέβαλαν θετικά πολλοί λαοί µε πρώτους τους Σουµέριους, στη συνέχεια ακολούθησε µεγάλη συνεισφορά από τους Έλληνες, τους Ινδοί, τους Άραβες και αργότερα από τον δυτικό πολιτισµό του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης (Newton, Copernicus, Galileo, Kepler, Descartes, Pierre de Fermat, Guillaume Francois Antoine Marquis de l Hopital, Johann Bernoulli). 4

5 ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΣΟΥΜΕΡΙΟΙ Το µηδέν (0) εµφανίζεται για πρώτη φορά στην ιστορία περίπου χρόνια πριν µαζί µε τους Σουµέριους, το λαό που κατοίκησε στη Μεσοποταµία. Οι Σουµέριοι χρησιµοποιούσαν εξηνταδικό σύστηµα αρίθµησης και έγραφαν χαράζοντας κύκλους και ηµικύκλια σε πλάκες από υγρό πηλό, τις οποίες στη συνέχεια έψηναν προκειµένου να διατηρηθούν. Μετά από πολλές ασάφειες που δηµιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια χιλιάδων ετών, µεταξύ του 6 ου και 3 ου αιώνα π.χ. άρχισε να χρησιµοποιείται το σύµβολο και λειτουργούσε ως τελεία, διαχώριζε τις λέξεις από τους ορισµούς τους ή σε δίγλωσσα κείµενα αποτελούσε τη µετάβαση από τη µία γλώσσα στην άλλη. Στην πραγµατικότητα, το σύµβολο αυτό αντικαθιστούσε και δήλωνε γενικά το «τίποτα (δηλαδή το κενό) σ αυτήν τη στήλη». Όπως είναι αναµενόµενο, υπήρχαν ποικίλοι τρόποι γραφής του µηδενός όπως: και και ή. Σε µία πλάκα που ανακαλύφθηκε στην περιοχή Kish και αποδίδεται χρονολογικά περίπου στο 700 π.χ., παρουσιάζονται δύο διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν που µοιάζουν µε το συµβολισµό των αριθµών τριάντα (30) και δέκα (10) αντίστοιχα (κάτι που δείχνει ότι δεν απείχε πολύ η πρώτη χρήση ενός ξεχωριστού συµβόλου για το µηδέν αλλά και η γνώση της έννοιας και της σηµασίας του). Το σύµβολο του µηδενός τοποθετούνταν µόνο στη µέση ενός αριθµού και ποτέ στο τέλος. Σύµφωνα µε τον ιστορικό των µαθηµατικών Karl Lang-Kirnberg, το π.χ. το σύµβολο που χρησιµοποιούσαν οι Σουµέριοι για το δέκα (10) το εξής αποτύπωµα: Ο, το οποίο έκανε τον αριθµό που βρισκόταν στα αριστερά του δέκα φορές µεγαλύτερο. Συνεπώς, αυτό το σύµβολο αντιπροσώπευε το µηδέν. 5

6 ΜΑΓΙΑ (Maya) Η φυλή των Μάγια ( από το 300 π.χ. µέχρι το 900 µ.χ. ) είχε µεγάλη ποικιλία συµβόλων για το µηδέν. Το πιο χαρακτηριστικό από αυτά είναι ένας άνδρας µε τατουάζ στο σώµα του που γέρνει το κεφάλι του προς τα πίσω. ΕΛΛΑΔΑ (Αλεξανδρινή Εποχή) Κατά τη διάρκεια της Οµηρικής και Κλασικής εποχής στην Ελλάδα (πριν από τα Αλεξανδρινά χρόνια) δεν υπάρχουν ίχνη ή ενδείξεις της χρήσης του µηδενός ή κάποιου συµβόλου του. Οι Έλληνες υπό την κυριαρχία του Μεγάλου Αλεξάνδρου ανακάλυψαν τον κρίσιµο ρόλο που είχε το µηδέν στους υπολογισµούς όταν εισέβαλλαν στη Βαβυλωνιακή αυτοκρατορία το 331 π.χ. και το µετέφεραν µαζί τους στην Ελλάδα µαζί µε το χρυσό και τα υπόλοιπα λάφυρα. Έχει βρεθεί ότι τον 3 ο αιώνα π.χ. χρησιµοποιούνταν το σύµβολο 0 για το µηδέν, δηλαδή ένας κενός κύκλος. Η πιο πιθανή εξήγηση είναι ότι το 0 προήλθε από το ελληνικό όµικρον, το πρώτο γράµµα της λέξης «οὐδέν», όπως το όνοµα του Οδυσσέα «Οὔτις», ή από τη λέξη «οὐκ». Πολύ αργότερα στην Ελλάδα το «οὐδέν» έγινε «µηδέν» και τότε στα Βυζαντινά κείµενα του 15 ου αιώνα µ.χ. υπάρχει ένα σύµβολο για το µηδέν που µοιάζει µε το γράµµα µ ( ) και αντικαθιστά το 0. Το σύµβολο του µηδενός, κατά την εξέλιξή του, είχε πάντα στην πάνω πλευρά του κάποιο οριζόντιο σηµάδι:,, και κάποιες φορές. Παρόλο που στα Βυζαντινά χειρόγραφα τα σηµάδια αυτά πάνω από τους αριθµούς παραµένουν, πολλές φορές λείπουν από το µηδέν, γεγονός που δείχνει ότι το µηδέν ήταν ακόµα διακεκριµένο από τους υπόλοιπους αριθµούς. Το σύµβολο αυτό 0 δείχνει την απουσία ενός είδους µέτρου (όπως λεπτά, δευτερόλεπτα, βαθµοί θερµοκρασίας), αλλά ακόµα δεν έχει αρχίσει να χρησιµοποιείται µαζί µε άλλους αριθµούς για να σχηµατίσει έναν αριθµό. Ο Αρχιµήδης (287 π.χ.) σε µία από τις σηµαντικότερες δουλειές του προσπάθησε να εξηγήσει στο βασιλιά των Συρακουσών πώς να υπολογίζει και να ονοµάζει ποσότητες µεγαλύτερες από τον αριθµό των κόκκων της άµµου. Δούλευε µε τα ονόµατα των αριθµών και όχι µε τα ψηφία τους, παραδείγµατος χάριν ονοµάζει «αἱ µυριακισµυριοστᾶς περιόδου µυριακισµυριοστῶν ἀριθµῶν µυριάδας» τον αριθµό Με το να µη χρησιµοποιεί το µηδέν, ο Αρχιµήδης έδωσε µια ζωτικότητα στην απεραντοσύνη. 6

7 Ο Διόφαντος ονοµάζει το µηδέν αριθµό και διευκρινίζει ότι περιέχει ένα αόριστο πλήθος µονάδων. Το σύµβολό του είναι κάποιες φορές το βυζαντινό σύµβολο, αλλά πολλές φορές σχηµατίζεται από τα δύο πρώτα ή τελευταία γράµµατά του και έχει τη µορφή ς ή ς ή κάποιες φορές µόνο. (Αυτό το τελευταίο σύµβολο έχει βρεθεί σε πάπυρο από το 154 µ.χ.) ΙΝΔΙΑ Η ιστορία του µηδενός συνεχίζεται στην Ινδία µε την εισβολή του Μεγάλου Αλεξάνδρου το 326 π.χ. και αργότερα µε το εµπόριο από την Αλεξάνδρεια, όπου οι Έλληνες µετέφεραν το δώρο των Βαβυλωνίων, το µηδέν. Η πρώτη γραπτή εµφάνιση του συµβόλου του µηδενός στην Ινδία είναι σε µία πλάκα που χρονολογείται στο 876 µ.χ.. Σ αυτήν την πλάκα καταγράφονται οι λεπτοµέρειες ενός δώρου των ανθρώπων του Gwalior στο ναό του Vishnu. Πρόκειται για έναν κήπο µε διαστάσεις (hastas), από τον οποίο κάθε µέρα θα συλλέγονται 50 στεφάνια µε λουλούδια. Όπως φαίνεται και από άλλες χάλκινες πινακίδες, το σύµβολο του µηδενός ήταν ένα µικρό ο που χρονολογείται από τον 6 ο αιώνα µ.χ.. Πολλοί υποστηρίζουν ότι ο κενός κύκλος (0) ως σύµβολο του µηδενός προέρχεται από την Ινδία. Το επιχείρηµά τους στηρίζεται στο παλιό σύµβολο για το 10 το οποίο ήταν και σύµφωνα µε επιγραφές του 2 ου αιώνα π.χ. σε µια σπηλιά στο Nanaghat στην περιοχή Poona και και που βρέθηκαν σε ιερές σπηλιές της περιοχής Nasik και ανήκουν στον 1 ο ή 2 ο αιώνα µ.χ.. Το επιχείρηµα αυτό συνεχίζεται µε την άποψή τους ότι αν το 10 είναι ο πρώτος αριθµός της δεύτερης σειράς αρίθµησης τότε το ανάλογό του (δηλαδή ο πρώτος αριθµός της πρώτης σειράς αρίθµησης) που είναι το µηδέν (αφού το 1 είναι το αντίστοιχο του 11) θα γράφεται µε το σύµβολο του 10 ( δηλαδή ) χωρίς τις δύο πλαϊνές γραµµές. Συνεπώς, κατέληξαν στο συµπέρασµα ότι το σύµβολο του µηδενός ήταν ο κενός κύκλος Ο. (Για να ισχύει όµως αυτή η υπόθεση απαραίτητη προϋπόθεση είναι το 1 να συµβολίζεται < ή ή = ενώ στην πραγµατικότητα ο τρόπος γραφής του ήταν: ή _ ) Η Ινδία είχε επηρεαστεί σε µεγάλο βαθµό από την Ελλάδα σχετικά µε το µηδέν και τον τρόπο συµβολισµού του. Οι Ινδοί µαθηµατικοί είχαν το ίδιο σύµβολο (δηλαδή την τελεία) για το µηδέν και το άγνωστο διότι θεωρούσαν 7

8 ότι και τα δύο µοιάζουν µε άδεια ( µη γεµάτα) δοχεία. Οι Έλληνες χρησιµοποιούσαν την τελεία για να συµβολίσουν το µηδέν αλλά το ίδιο εφάρµοσαν και για το άγνωστο, καθώς είχαν το ίδιο σύµβολο και για τα δύο. Η διαφορά είναι ότι στην Ελλάδα το σύµβολο αυτό είναι περισσότερο κύκλος παρά τελεία ενώ στην Ινδία περισσότερο τελεία και όχι κύκλος. ΚΙΝΑ Το µηδέν έφτασε στην Κίνα µαζί µε τους Άραβες έµπορους καρυκευµάτων και ελεφαντόδοντου και τους Βουδιστές και Ινδουιστές ταξιδιώτες. Η Κίνα δέχτηκε πολλές επιρροές από την Ινδία όσον αφορά το συµβολισµό και την ονοµασία του µηδενός. Ως σύµβολό του χρησιµοποιούσαν διάφορες µορφές, όπως τελείες, τέλειους κύκλους, ακόµα και κύκλους µέσα σε άλλους κύκλους. Η επιρροή από την Ινδία φαίνεται και στη κινέζικη λέξη ling. Πρόκειται για ένα χαρακτήρα που χρησιµοποιούνταν για το µηδέν και φέρει την έννοια αυτού που έµεινε πίσω, όπως οι σταγόνες της βροχής µετά από µία καταιγίδα. Αυτό σε συνδυασµό µε τα συνώνυµα που είχε ο Mahavira στην Ινδία για το µηδέν, δηλαδή τις λέξεις nabhas (που σηµαίνει υδρατµός) και bindu (που σηµαίνει και σταγονίδιο), επιβεβαιώνει την προηγούµενη άποψη για την άµεση επίδραση που άσκησε η Ινδία στην Κίνα σχετικά µε το µηδέν. Γενικά, οι άνθρωποι έδωσαν στο κενό σύνολο την έννοια της ύπαρξης και γι αυτό το λόγο είχαν πάντα κάποιο σύµβολο για αυτό, όπως δύο αγκύλες χωρίς όµως να υπάρχει τίποτα ανάµεσά τους { } ή το σύµβολο του κενού συνόλου Ø, που δείχνουν την εξέλιξη από το µεσαιωνικό φ (phi) το οποίο ακολούθησε το θ ως σύµβολο του µηδενός. 8

9 ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΙΝΔΙΑ Ένα από τα πιο συνηθισµένα ονόµατα της Ινδίας για το µηδέν ήταν η λέξη kha (αυτή τη λέξη χρησιµοποιούσε ο Aryabhata στο Ujjain). Αρχικά αυτή η λέξη χρησιµοποιούνταν για να περιγράψει έναν άδειο χώρο και αργότερα για να αποδώσει το νόηµα του άδειου αριθµού, του µηδενός. Ο Varahamihira, 50 χρόνια µετά τον Aryabhata, αν και δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν χρησιµοποίησε διάφορα ονόµατα, όπως ambara (που σηµαίνει ουρανός ), akasa (που δηλώνει την έννοια της ατµόσφαιρας ), bindu (δηλαδή τελεία ) και sunya (που µεταφράζεται ως άδειο ). Η λέξη sunya πολύ σύντοµα έγινε το πιο συνηθισµένο όνοµα του µηδενός. Μετά από 100 χρόνια στο Ujjain, ο Brahmagupta δεν είχε κάποιο σύµβολο για το µηδέν αλλά το ονόµαζε κυρίως kha και κάποιες φορές akasa και sunya. Αν µεταφερθούµε 200 χρόνια µπροστά στο 830 µ.χ. και 700 µίλια νότια στο Mysore βρίσκουµε τον Mahavira και το βιβλίο του Ganita-Sara-Sagraha, το οποίο ανανεώνει και διορθώνει το αντίστοιχο του Brahmagupta. Στο βιβλίο του ασχολείται πολύ µε το µηδέν, παρά το γεγονός ότι δε χρησιµοποιεί κάποιο σύµβολο γι αυτό. Ακόµα, δεν το ονοµάζει sunya αλλά διατηρεί την παλιά λέξη kha. Αυτό είναι πιθανό να οφείλεται στο ζήλο του να διορθώσει το Brahmagupta. Όσον αφορά τον αριθµό των συνωνύµων του µηδενός, ο Mahavira έχει ξεπεράσει τον Varahamihira, καθώς υπάρχει µεγάλη ποικιλία συνώνυµων λέξεων που σχετίζονται µε τα είδη και τις ιδιότητες του ουρανού και του χώρου: βάθος, ουράνιος θόλος, το άπειρο, λέξεις όπως jaladharapatha, likediv και περίπου δώδεκα (12) συνώνυµα για τη λέξη ουρανός. ΔΥΣΗ Ο µοναχός Gerbert d Aurillac το 967 µ.χ., πριν να γίνει ο Πάπας Sylvester ǁ (στη Γαλλία), στους υπολογισµούς που έκανε σε ειδικούς πίνακες χρησιµοποιούσε ένα σύµβολο για το µηδέν, το. Το σύµβολο αυτό το ονόµαζε sipos που µοιάζει µε την ελληνική λέξη ψήφος. Το 950 µ.χ. στη Μαυριτανική Ισπανία υπάρχουν νούµερα-στοιχεία που οι Άραβες τα ονοµάζουν huruf al gobar δηλαδή dust numerals (νούµερα της σκόνης). Πρόκειται για τους αριθµούς από το 1 έως το 9 χωρίς το µηδέν. Αυτοί οι αριθµοί έχουν ένα είδος σκόνης γύρω τους, µία βροχή από τελείες που δείχνουν την αξία που έχουν. Δηλαδή λειτουργούν όπως το µηδέν και πιθανότατα αποτελούν µια παραλλαγή ή ένα αρχικό στάδιο της εξέλιξης του συµβόλου του, του κενού κύκλου. Μία απόδειξη ότι ο κύκλος ακολούθησε την τελεία είναι η άποψη του Bhaskara (1150 µ.χ.) ότι η τελεία και ο κύκλος 9

10 έζησαν µαζί, καθώς ο ίδιος είπε ότι «ο χώρος όπου κανένα από τους εννέα αριθµούς δεν ανήκει αποτυπώνεται µε ένα κενό (sunya), το οποίο για να αποφευχθούν τυχόν λάθη δηλώνεται µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο». ΑΡΑΒΕΣ Όσον αφορά τους Άραβες, το µηδέν γραφόταν µε τελεία, καθώς ο κενός κύκλος αντιστοιχούσε στον αριθµό πέντε (5). Το 270 µ.χ. ο Sphujidhvaja έγραψε το βιβλίο Yavanajataka, το οποίο ανακαλύφθηκε το 1978 µ.χ.. Σ αυτό το βιβλίο αναφέρεται δύο φορές ο αριθµός 60, ως sat binduyutani την πρώτη φορά και ως sat khayutani. Επειδή τα ονόµατα αυτά σηµαίνουν έξι (6) µαζί µε το µηδέν, όπως είναι λογικό, φαίνεται ότι η λέξη για το µηδέν είναι bindu στην πρώτη ονοµασία και kha στη δεύτερη. Όσον αφορά τη λέξη sunya, δεν έχει να κάνει τόσο µε την έννοια της κενής θέσης αλλά µε κάτι που µοιάζει κενό εσωτερικά και είναι έτοιµο να πρηστεί και όντως προέρχεται από τη ρίζα svi που σηµαίνει πρήξιµο. Η λέξη kha προέρχεται από το ρήµα σκάβω και συνεπώς φέρει την έννοια της τρύπας : κάτι που µπορεί να γεµίσει. Επιπροσθέτως, δύο ακόµα ονόµατα για το Brahman (µέλος της ανώτερης τάξης Ινδουιστών) εµφανίζονται και ως ονόµατα για το µηδέν. Πρόκειται για τις λέξεις akasa (που χρησιµοποιείται από τον Varahamihira, τον Brahmagupta και τον Mahavira) και purna (που χρησιµοποιείται στο Bhaskara). ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΠΙΡΡΟΗ Το σύµβολο του Gerbert εµφανίζεται ξανά µετά από χρόνια στην εποχή του Μεσαίωνα, που πλέον µοιάζει περισσότερο µε το ελληνικό γράµµα θ (θήτα) και λεγόταν theca. (Παραδείγµατος χάριν, έχει βρεθεί ότι κατά το 13 ο αιώνα αυτό το σύµβολο το χρησιµοποιούσε ο φιλόσοφος Algus). Σε µεταφράσεις από τα αραβικά που έγιναν σε δεκατρία βιβλία και πλάκες του Al-Khowarizmi εντοπίστηκαν τρία διαφορετικά σύµβολα για το µηδέν: θ (θήτα), και που το ονόµασε teca. Η λέξη teca δεν είναι κάποια παραλλαγή της λέξης θήτα (theta), αλλά προέρχεται από την ελληνική λέξη θήκη. Το πρώτο γράµµα της λέξης ΘΗΚΗ µοιάζει µε µια τελεία µέσα σε ένα κύκλο. Ο Radulph του Laon περίπου το 1100 µ.χ. το περιγράφει ως ένα στοιχείο που δηλώνει την απουσία αριθµού και το ονοµάζει sipos (όπως και ο Gerbert), όπως η ελληνική λέξη ψήφος. Την ίδια εποχή ο Rabbi ben Ezra το ονοµάζει sifra, galgal (που στα εβραϊκά σηµαίνει τροχός ) και kha (που 10

11 ακόµα σηµαίνει την τρύπα στο κεντρικό κλίτος του τροχού απ όπου περνά ο άξονάς του). Το 12 ο αιώνα µ.χ. στην Ινδία ο Bhaskara απέδωσε την εφεύρεση των εννιά ψηφίων στο δηµιουργό του σύµπαντος αλλά ξεχώρισε από αυτά τη δική του εφεύρεση που κάνει τα ψηφία αυτά να σχηµατίζουν όλους τους αριθµούς, µαζί µε το µηδέν που το συµβόλιζε µε µία τελεία ή µε ένα µικρό κύκλο. Μία από τις πιο συνηθισµένες λέξεις που χρησιµοποιούσε για το µηδέν είναι null και προκύπτει από τη µεσαιωνική λατινική nulla figura η οποία σηµαίνει όχι αριθµός. (Κάθε αριθµός αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων, ενώ το µηδέν σε κανένα απολύτως πράγµα.) Το µηδέν ήρθε στη Δύση το 970 µ.χ., ίσως έναν αιώνα νωρίτερα, µε ονόµατα από διάφορες πηγές, τα οποία προκύπτουν είτε από τη σηµασία και την έννοιά του είτε από τη µορφή του συµβόλου του. Ειδικά κατά την περίοδο της Αναγέννησης µε τα αραβικά νούµερα και την άνθιση τεχνών και επιστηµών το µηδέν έγινε απαραίτητο ώστε να γίνονται σωστά οι διάφοροι υπολογισµοί. Ο πρόγονος όλων των δυτικών ονοµάτων για το µηδέν ήταν η αραβική λέξη sifr ή as-sifr. Πρόκειται για µια µετάφραση της ινδικής λέξης sunya (που σηµαίνει κενό ). Στην εξέλιξη του ονόµατος του µηδενός συνέβαλαν επίσης οι ελληνικές λέξεις ψήφος και θήκη καθώς και πολλές µεσαιωνικές λατινικές λέξεις σχετικά µε τον κύκλο (όπως rotula και circulus) και το κενό (όπως nulla και nihil). Ακόµα, η λέξη για τον άτονο δυτικό άνεµο (zephyrs=ζέφυρος), που δέχτηκε επιδράσεις και από την Ιταλία (κυρίως από τη Βενετία), εξελίχθηκε σε zefiro, zefro, zevero µέχρι που πήρε την τελική µορφή zero που ισχύει και στις µέρες µας. 11

12 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Γίνεται φανερό ότι το µηδέν δεν αποτελεί το στοιχείο εκείνο που κλείνει έναν κύκλο αλλά αποτελεί µία πύλη. Ενώ το ίδιο το µηδέν δεν έχει καµία αξία, µε την παρουσία του δίνει αξία σε άλλους αριθµούς. Ταυτόχρονα, αποτελεί το σηµείο ισορροπίας ανάµεσα στο σύνολο των θετικών αριθµών και σε αυτό των αρνητικών αριθµών. Για πολύ καιρό δεν είχε όνοµα γιατί τα ονόµατα ανήκουν σε συγκεκριµένα πράγµατα, ενώ το µηδέν αντιπροσωπεύει το τίποτα, το κενό και µετρά το σύνολο αυτών που δεν υπάρχουν, σε αντίθεση µε τους υπόλοιπους αριθµούς που ο καθένας αφορά σε ένα συγκεκριµένο σύνολο πραγµάτων. Όµως, παρά το γεγονός ότι σχετίζεται µε το κενό και την απουσία συνόλου πραγµάτων αποτελεί µία πύλη προς τη γνώση. Αυτό προκύπτει από τη µοναδική του ικανότητα όταν συνδυάζεται µε αριθµούς να σχηµατίζει άλλους αριθµούς και ακόµα να µεταβάλλει την αξία τους µόνο µε την παρουσία του. Λόγω της µεγάλης σηµασίας που έχει για τους υπολογισµούς κρίθηκε από πολλούς µαθηµατικούς και ιστορικούς σηµαντική η έρευνα και αναζήτηση της ιστορίας του και των σταδίων της εξέλιξής του ανά τους αιώνες. Ακόµα, λόγω της σηµασίας του πολλοί µαθηµατικοί ασχολήθηκαν µε τις ιδιότητες του µηδενός και τη συµπεριφορά του όταν βρίσκεται µαζί µε άλλους αριθµούς. Άλλωστε, ο Νεύτωνας όταν ασχολήθηκε µε τη µελέτη της βαρύτητας αποφάσισε να σταµατήσει να ψάχνει τι είναι και άρχισε να αναζητά το πώς συµπεριφέρεται. Συνεπώς, προκειµένου να κατανοήσουµε την έννοια που φέρει το µηδέν απαραίτητη προϋπόθεση είναι να µελετήσουµε τη γενικότερη αντίληψη και ιδέα του µηδενός καθώς και τον τρόπο λειτουργίας και συµπεριφοράς του. 12

13 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. The nothing that is: A natural history of zero, του Robert Kaplan (Oxford University Press 2000) 13

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης

ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO. Αγγελόπουλος Βασίλης ΤΟ ΧΡΩΜΑ ΣΤΟ GRAFFITI ΚΑΙ ΣΤΟ TATTOO Αγγελόπουλος Βασίλης Το γκράφιτι βρίσκεται πολλά χρόνια στην ζωή μας. Είτε το καταλαβαίνουμε είτε όχι οι τοίχοι γύρω μας είναι γεμάτοι από αυτά δίνοντας χρώμα και ζωντάνια

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ.

Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Η γλώσσα της Κ.Δ. είναι η «κοινή» ελληνιστική, δηλαδή η δημώδης και η γλώσσα που ομιλείτο από τον 3 ο αι. π.χ. μέχρι τον 3 ο αι. μ.χ. Οι κατακτήσεις του Μ. Αλεξάνδρου και η πολιτική ενοποίηση του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ. Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΕΚΔΟΣΗ: ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΙΕΡΟΥ ΝΑΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΙΣΤΡΙΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΑΓΚΑΛΟΣ Συντροφιά με την Κιθάρα ΑΘΗΝΑ 2011 Έκδοση: c Πνευματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247

Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247 Τράπεζα θεμάτων Νέας Ελληνικής Γλώσσας Β Λυκείου GI_V_NEG_0_18247 Κείμενο [Η επίδραση της τηλεόρασης στην ανάγνωση] Ένα σημαντικό ερώτημα που αφορά τις σχέσεις τηλεόρασης και προτιμήσεων του κοινού συνδέεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12)

1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16) Βαθ. 1,0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ Α ΟΜΑΔΑ: 1 1. Ποιος μαθητής πήγε στους Αρχιερείς; Τι του έδωσαν; (Μτ 26,14-16),0 2. Πόσες μέρες έμεινε στην έρημο; (Μκ 1,12),0 3. Ποιοι είναι οι μαθητές του

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει Η Γέννηση του Ιησού Χριστού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:M. Maillot Διασκευή:E. Frischbutter; Sarah S. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς

Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς Βίκινγκς Ποιοι ήταν οι Βίκινγκς Οι Βίκινγκς ζούσαν στους βόρειους λαούς της Ευρώπης: στη Νορβηγία, τη Σουηδία, τη Δανία και την Ισλανδία. Κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα, εμφανίστηκαν ως εξερευνητές, πειρατές,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα. Οδηγίες

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013. Χρόνος: 1 ώρα. Οδηγίες ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΛΕΥΚΩΣΙΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΑΞΗ Α ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΔΙΑΓΝΩΣΤΙΚΟ 19/05/2013 Χρόνος: 1 ώρα Οδηγίες 1. Έλεγξε ότι το γραπτό που έχεις μπροστά σου αποτελείται από τις σελίδες 1-11. 2. Όλες τις

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Θ.Ε.: ΕΠΟ 11 Κοινωνική και οικονομική ιστορία της Ευρώπης 2 η εργασία 2012 13 ΘΕΜΑ: «Στις παραμονές της λεγόμενης βιομηχανικής επανάστασης,

Διαβάστε περισσότερα

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό.

Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Ένας άθεος καθηγητής της φιλοσοφίας συζητά με έναν φοιτητή του, για την σχέση μεταξύ επιστήμης και πίστης στον Θεό. Καθηγητής: Λοιπόν, πιστεύεις στον Θεό; Φοιτητής: Βεβαίως, κύριε. Καθ.: Είναι καλός ο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύο επιχειρήσεις Α και Β, μοιράζονται το μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς για ένα συγκεκριμένο προϊόν. Καθεμία σχεδιάζει τη νέα της στρατηγική για τον επόμενο χρόνο, προκειμένου να αποσπάσει πωλήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 1

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 1 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 1 Εισαγωγή στη διοίκηση των λειτουργιών Αθήνα 2012 τετράδιο 1 Εισαγωγή στη διοίκηση των λειτουργιών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη

ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη ΤΑ ΔΥΟ ΦΥΛΑ... Η άποψη της Εκκλησίας Η κοινωνική, ιατρική άποψη 1 ΤΑ ΦΥΛΑ ΠΡΟ ΤΗΣ ΠΤΩΣΗΣ Η συγκλίνουσα άποψη των ερμηνευτών πατέρων της εκκλησίας μας είναι ότι κατά το σχέδιο του Θεού, αν δεν συνέβαινε

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολόγοι, κοινωνικοί επιστήµονες και κοινωνικοί λειτουργοί

Κοινωνιολόγοι, κοινωνικοί επιστήµονες και κοινωνικοί λειτουργοί Κοινωνιολόγοι, κοινωνικοί επιστήµονες και κοινωνικοί λειτουργοί Εισαγωγή Τα παραδείγµατα γυναικών επιστηµόνων, που ακολουθούν, επιλέχθηκαν µετά από έρευνα στο διαδίκτυο. Ο κατάλογος δεν είναι φυσικά πλήρης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου)

(Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Εν αρχή ην ο Λόγος. (Εξήγηση του τίτλου και της εικόνας που επέλεξα για το ιστολόγιό μου) Στις νωπογραφίες της οροφής της Καπέλα Σιξτίνα φαίνεται να απεικονίζονται μέρη του ανθρώπινου σώματος, όπως ο εγκέφαλος,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΣ ΓΡΑΦΗΣ. Η γραφή στον πάπυρο γινόταν σε παράλληλες στήλες κατά μήκος της λωρίδας του παπύρου από αριστερά προς τα δεξιά.

ΤΡΟΠΟΣ ΓΡΑΦΗΣ. Η γραφή στον πάπυρο γινόταν σε παράλληλες στήλες κατά μήκος της λωρίδας του παπύρου από αριστερά προς τα δεξιά. ΤΡΟΠΟΣ ΓΡΑΦΗΣ Η γραφή στον πάπυρο γινόταν σε παράλληλες στήλες κατά μήκος της λωρίδας του παπύρου από αριστερά προς τα δεξιά. Το σύγγραμμα άρχιζε να γράφεται από το εσωτερικό άκρο (το δεμένο στο κοντάρι)

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ

2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ 2. ΑΝΑΓΕΝΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΣΜΟΣ Συμπλήρωση κενών ακόλουθες λέξεις (τρεις λέξεις περισσεύουν): βιβλιοθήκη, Βαλκανική, ανθρωπιστικός, πανεπιστήμιο, χειρόγραφο, Ιταλική, τυπογραφία, σπάνιος. Η Αναγέννηση και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ; Ιστορική Εξέλιξη & Κοινωνική Ανάλυση

ΕΙΝΑΙ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ; Ιστορική Εξέλιξη & Κοινωνική Ανάλυση ΕΙΝΑΙ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΓΕΝΟΥΣ ΘΗΛΥΚΟΥ; Ιστορική Εξέλιξη & Κοινωνική Ανάλυση ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ & ΦΥΛΟ Μυστήριο αποτελεί τα τελευταία 20 χρόνια η συνεχής µείωση της συµµετοχής του γυναικείου φύλου στην επιστήµη των

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα Λόγια Για Την Αγιογράφο

Λίγα Λόγια Για Την Αγιογράφο Αγιογράφος Ραλλού Λιόλιου Κούση Βυζαντινές Εικόνες Οι βυζαντινές εικόνες είναι ιεροί πνευματικοί θησαυροί του Ανατολικού Ορθόδοξου Χριστιανισμού. Η βυζαντινή ζωγραφική είναι ένα από τα πιο σημαντικά επιτεύγματα

Διαβάστε περισσότερα

Περπατώντας τις εποχές του Βυζαντίου

Περπατώντας τις εποχές του Βυζαντίου Στην Αγορά των αρχαίων Αθηναίων (με τον Κ. Βέτση), Γνώση, Αθήνα 19893, Καλειδοσκόπιο, Αθήνα 20064 (έκδοση αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη) Αρχαιολογία Ένα ταξίδι στο παρελθόν, οδηγός για παιδιά, Κέδρος,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δραστηριότητα 8 ης εβδομάδας ΟΜΑΔΑΣ Α: Γ. Πολυμέρης, Χ. Ηλιούδη, Ν. Μαλλιαρός και Δ. Θεοτόκης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ για το Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Περιγραφή Η συγκεκριμένη δραστηριότητα αποτελεί μια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜ ΕΦΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙ ΠΙΓΝΙΩΝ Εξετάσεις 13 Φεβρουαρίου 2004 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες (13:00-15:00) ΘΕΜ 1 ο (2.5) α) Για δύο στρατηγικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Παρακαλούμε όποιον γνωρίζει το που μπορούμε να βρούμε ολόκληρα τα κείμενα στα ελληνικά, να μας ενημερώσει.

Παρακαλούμε όποιον γνωρίζει το που μπορούμε να βρούμε ολόκληρα τα κείμενα στα ελληνικά, να μας ενημερώσει. Η μετάφραση των κειμένων στα ελληνικά, που παρατίθεται εδώ, είναι βασισμένη στις μεταφράσεις από τα κοπτικά και ελληνικά στα αγγλικά των: Wesley W. Isenberg, Stephen Patterson, Marvin Meyer, Thomas O.

Διαβάστε περισσότερα

Χρήση. Αποκρυπτογράφηση

Χρήση. Αποκρυπτογράφηση Εύρεση Ανακαλύφθηκε στις αρχές του εικοστού αιώνα στην Κνωσό από τον Άρθουρ Έβανς, που την ονόμασε έτσι επειδή χρησιμοποιούσε γραμμικούς χαρακτήρες (και όχι εικονιστικούς, όπως η μινωική ιερογλυφική γραφή)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΙΝΗ ΔΙΑΘΗΚΗ

ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΚΑΙΝΗ ΔΙΑΘΗΚΗ Ο όρος διαθήκη Οι Εβδομήντα μεταφράζουν την εβραϊκή λέξη berith στα ελληνικά διαθήκη Απαντάται στις εκφράσεις παλαιά διαθήκη και καινή διαθήκη. Σημαίνει συμφωνία (γάμου), που συντελέσθηκε ανάμεσα στο Θεό

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα.

ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ. Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. ΔΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ 2 ου ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΗΦΙΣΙΑΣ Το θέλαμε πολύ και τελικά το καταφέραμε. «Διακτινιστήκαμε» στο CERN!Μαζί μας έξι ακόμα γυμνάσια και λύκεια απ όλη την Ελλάδα. Μέχρι πριν από κάποια χρόνια αυτό θα ήταν

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο

Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο Αρχαία Ελληνική Γλώσσα Α Γυμνασίου Ενότητα 1 : Το ταξίδι των λέξεων στον χρόνο 1 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Διαφάνειες Οι Έλληνες και η ελληνική γλώσσα 3-4 Η καταγωγή του ελληνικού αλφαβήτου 5-7 Οι διάλεκτοι της Αρχαίας

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ημερομηνία : 3/4/2013. Μετάφραση : Βαλέρια Αντωνοπούλου ... [1]

Ημερομηνία : 3/4/2013. Μετάφραση : Βαλέρια Αντωνοπούλου ... [1] Ημερομηνία : 3/4/2013 Μετάφραση : Βαλέρια Αντωνοπούλου Εξώφυλλο Το κράτος τα έκλεισε τα σχολεία, όχι οι Ρωµιοί Πώς πραγµατοποιήθηκε η εθνική εκκαθάριση στην Ίµβρο (İmroz) Η ελληνική εκπαίδευση στην Ίµβρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές απαντήσεις θα αναρτηθούν μετά την παραλαβή των γραπτών από όλα τα εξεταστικά κέντρα.

Ενδεικτικές απαντήσεις θα αναρτηθούν μετά την παραλαβή των γραπτών από όλα τα εξεταστικά κέντρα. Ενδεικτικές απαντήσεις θα αναρτηθούν μετά την παραλαβή των γραπτών από όλα τα εξεταστικά κέντρα. Ε Όνομα και Επώνυμο:.. Όνομα Πατέρα: Όνομα Μητέρας:.. Δημοτικό Σχολείο:.. Τάξη/Τμήμα:.. Εξεταστικό Κέντρο:....

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»;

Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»; Τι σημαίνει ο όρος «βυζαντινόν»; Ο όρος«βυζαντινόν» αναφέρεται στο Μεσαιωνικό κράτος που εδιοικείτο από την Κωνσταντινούπολη, τη μεγάλη πόλη των ακτών του Βοσπόρου. Οι ιστορικοί χρησιμοποιούν τον όρο αυτόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ. Μαθαίνω να σχηµατίζω απλές προτάσεις... 7. Μαθαίνω να οµορφαίνω τις προτάσεις µου... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ. Μαθαίνω να σχηµατίζω απλές προτάσεις... 7. Μαθαίνω να οµορφαίνω τις προτάσεις µου... 17 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α ΜΕΡΟΣ Μαθαίνω να σχηµατίζω απλές προτάσεις................ 7 Μαθαίνω να οµορφαίνω τις προτάσεις µου.............. 17 Μαθαίνω να µεγαλώνω τις προτάσεις µου............... 25 Μαθαίνω να γράφω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Απο: Mitch Altman (Συγκ/τική γνώση) Βήμα προς Βήμα. Andie Nordgren (Προσαρμογή εικόνων) Jeff Keyzer (Διάταξη και επεξεργασία) F.

Απο: Mitch Altman (Συγκ/τική γνώση) Βήμα προς Βήμα. Andie Nordgren (Προσαρμογή εικόνων) Jeff Keyzer (Διάταξη και επεξεργασία) F. Οδηγός Για Εύκολη Συγκόλληση Βήμα προς Βήμα Απο: Mitch Altman (Συγκ/τική γνώση) Andie Nordgren (Προσαρμογή εικόνων) Jeff Keyzer (Διάταξη και επεξεργασία) F.Ν (Μετάφραση) Η ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΗ είναι ένα χρήσιμο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ. Μιχάλης Αρφαράς

ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ. Μιχάλης Αρφαράς ΙΑΚΟΠΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Μιχάλης Αρφαράς «ΤΟ ΦΕΓΓΑΡΙ ΓΕΝΝΑΕΙ ΤΙΣ ΜΕΓΑΛΕΣ ΣΚΙΕΣ, Ο ΗΛΙΟΣ ΤΙΣ ΕΠΙΜΟΝΕΣ.» Η προσωπική διαδροµή του Μιχάλη Αρφαρά έχει να κάνει µε τη ΣΚΙΑ. Η γέννησή του σε µια χώρα σαν την Ελλάδα,

Διαβάστε περισσότερα

Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της.

Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της. Η Βοιωτία θεωρείται από αρχαίους και συγχρόνους ιστορικούς καθώς και γεωγράφους, περιοχή ευνοημένη από τη φύση και τη γεωπολιτική θέση της. Βρίσκεται στο κέντρο σχεδόν της ελληνικής χερσονήσου, πάνω στο

Διαβάστε περισσότερα

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Χωρίς αµφιβολία οι αρχαίοι Έλληνες στοχαστές, ποιητές και φιλόσοφοι πρώτοι έχουν αναπτύξει τις αξίες πάνω στις οποίες θεµελιώνεται η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΛΑΝΤΑ. Τρίγωνα, κάλαντα σκόρπισαν παντού. κάθε σπίτι μια φωλιά του μικρού Χριστού. ήρθαν τα Χριστούγεννα κι η Πρωτοχρονιά

ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΛΑΝΤΑ. Τρίγωνα, κάλαντα σκόρπισαν παντού. κάθε σπίτι μια φωλιά του μικρού Χριστού. ήρθαν τα Χριστούγεννα κι η Πρωτοχρονιά ΤΡΙΓΩΝΑ ΚΑΛΑΝΤΑ Τρίγωνα, κάλαντα, σκόρπισαν παντού κάθε σπίτι μια φωλιά του μικρού Χριστού, τρίγωνα κάλαντα μες στη γειτονιά ήρθαν τα Χριστούγεννα κι η Πρωτοχρονιά Άστρο φωτεινό, θα βγει γιορτινό μήνυμα

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΑ - ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μιλάς ελληνικά; Γεια σου Απόστολε! Μιλάς γαλλικά; Όχι, δεν μιλάω καθόλου γαλλικά. Μιλάω γερμανικά.

ΚΕΙΜΕΝΑ - ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Μιλάς ελληνικά; Γεια σου Απόστολε! Μιλάς γαλλικά; Όχι, δεν μιλάω καθόλου γαλλικά. Μιλάω γερμανικά. ΕΝΟΤΗΤΑ 6 - Μιλάς ελληνικά; A ΜΕΡΟΣ Α. ΔΙΑΛΟΓΟΣ Ειρήνη: Αλέξανδρος: Ελένη: Σοφία: Βασιλική: Πολ: Κωνσταντίνος: Απόστολος: Βασιλική: Μπρους: ΚΕΙΜΕΝΑ - ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μιλάς ελληνικά; Γεια σου Αλέξανδρε!

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος Νο3 «SimSafety» Σενάριο Παιχνιδιού: «Κλοπή» (Theft)

Σχέδιο Μαθήματος Νο3 «SimSafety» Σενάριο Παιχνιδιού: «Κλοπή» (Theft) Σχέδιο Μαθήματος Νο3 «SimSafety» Σενάριο Παιχνιδιού: «Κλοπή» (Theft) 1. Μάθημα (κατά το οποίο μπορεί να διδαχτεί η συγκεκριμένη δραστηριότητα): Αγγλικά, Πληροφορική, Ευέλικτη ζώνη στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΕΠΟ 10: 2 η Εργασία 2012-2013 ΕΠΟ 10: 2 Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2012-2013 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Επιμέλεια: Μαρία Μοσχόβου 1 ΕΠΟ10: 2 η Εργασία 2012-2013 Σημειώσεις για την ΕΠΟ 10 2 η εργασία «Τον 15ο και τον 16ο αιώνα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αν και η πρόσβαση στις υπηρεσίες υγείας εθεωρείτο στο παρελθόν, ως κοινωνικό αγαθό, σήµερα βασίζεται σε ιδιωτικοοικονοµικά κριτήρια και στην ύπαρξη ασφάλισης. Είναι λοιπόν φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com

Μιχάλης Μακρή EFIAP. www.michalismakri.com Μιχάλης Μακρή EFIAP www.michalismakri.com Γιατί κάποιες φωτογραφίες είναι πιο ελκυστικές από τις άλλες; Γιατί κάποιες φωτογραφίες παραμένουν κρεμασμένες σε γκαλερί για μήνες ή και για χρόνια για να τις

Διαβάστε περισσότερα

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού

Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει. ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού Η Βίβλος για Παιδιά παρουσιάζει ΟΟυρανός, το Υπέροχο Σπίτι του Θεού Συγγραφέας: Edward Hughes Εικονογράφηση:Lazarus Διασκευή:SarahS. Μετάφραση: Evangelia Zyngiri Παραγωγός: Bible for Children www.m1914.org

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΛΑΜΠΑΚΑ-ΜΕΤΕΩΡΑ ΜΕΤΕΩΡΑ

ΚΑΛΑΜΠΑΚΑ-ΜΕΤΕΩΡΑ ΜΕΤΕΩΡΑ ΚΑΛΑΜΠΑΚΑ-ΜΕΤΕΩΡΑ ΜΕΤΕΩΡΑ Στο δρόµο Τρικάλων- Καλαµπάκας, 3 χιλιόµετρα πριν από ταμετέωρα, ορθώνεται πάνω από το χωριό Θεόπετρα ένας βραχώδης ασβεστολιθικός όγκος, στη βορειοανατολική πλευρά του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ

ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ ALBUM ΤΟ ΚΛΕΙΔΙ 2010 ΦΥΣΑΕΙ Μη µου µιλάς γι' αυτά που ξεχνάω Μη µε ρωτάς για καλά κρυµµένα µυστικά Και µε κοιτάς... και σε κοιτώ... Κι είναι η στιγµή που δεν µπορεί να βγεί απ' το µυαλό Φυσάει... Κι είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012»

Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ. Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Εκπαιδευτήριο ΤΟ ΠΑΓΚΡΗΤΙΟΝ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ Χαρτογραφία στην Αρχαϊκή Εποχή και στο Ισλάμ Ανάτυπο από τον τόμο «ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ, ΣΤ, 2011-2012» Τάξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΙΣΜΟΣ

ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΙΣΜΟΣ ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΜΟΥΣΟΥΛΜΑΝΙΣΜΟΣ ΙΣΛΑΜ ) إسالم (αραβικά: Η αραβική λέξη «Ισλάμ» σημαίνει «υποταγή» και νοείται από τους μουσουλμάνους ως «υποταγή στον Θεό» εκείνοι που αποδέχονται την θρησκεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. 4.1 Σύνολο νοµού Αργολίδας. 4.1.1 Γενικές παρατηρήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ. Σύνολο νοµού Αργολίδας.. Γενικές παρατηρήσεις Γίνεται φανερό από την ανάλυση, που προηγήθηκε, πως η επίδοση των υποψηφίων του νοµού Αργολίδας, αλλά και η κατανοµή της βαθµολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ Π Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 5 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ

Διαβάστε περισσότερα

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο

Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω.

Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Το Jungle Speed είναι ένα παιχνίδι για 2 έως 10 παίκτες (ή και ακόμη περισσότερους!) ηλικίας 7 και άνω. Σκοπός σας είναι να είστε ο πρώτος παίκτης που θα ξεφωρτωθεί όλες του τις κάρτες. Το τοτέμ τοποθετείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ....3 ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 1. Ακαθάριστος κύκλος εργασιών....4 2. Λειτουργικό Κέρδος....7 3. Άποψη για την οικονομική κρίση... 10 4. Τα περισσότερο σημαντικά επιχειρησιακά

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα

2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα 2.2 Κατάταξη των στοιχείων (Περιοδικός Πίνακας) - Χρησιμότητα του Περιοδικού Πίνακα Θεωρία 9.1. Τι είναι ο περιοδικός πίνακας; Αποτελεί μία από τις σημαντικότερες ανακαλύψεις στης Χημείας. Πρόκειται για

Διαβάστε περισσότερα

Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος;

Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος; Σύντομη Περιγραφή Διερεύνησης Οξέα (Π. ΤΟΦΗ) Ποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματος; Στόχος της διερεύνησης ήταν να διαφανεί το αν κάποια υγρά επηρεάζουν μέρη του σώματός μας. Αρχικά, θελήσαμε να διερευνήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη»

Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη» Λένα Μαντά : «Προσπαθώ να μην πονέσω κάποιον, παρά να του οφείλω μια συγνώμη» Συνέντευξη στην Ελευθερία Καμπούρογλου Το «Μια συγνώμη για το τέλος» είναι η νέα συγγραφική δουλειά της Λένας Μαντά, που μόλις

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Ε λ Νίνιο (El Niño) ονοµάζεται το θερµό βόρειο θαλάσσιο ρεύµα που εµφανίζεται στις ακτές του Περού και του Ισηµερινού, αντικαθιστώντας το ψυχρό νότιο ρεύµα Humboldt. Με κλιµατικούς όρους αποτελει µέρος

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήλθατε στο εργαστήριο του GreekTrader!!!

Καλώς ήλθατε στο εργαστήριο του GreekTrader!!! Γνώμη των ειδικών www.traders-mag.gr 06.2013 Καλώς ήλθατε στο εργαστήριο του GreekTrader!!! 10 χρηματιστηριακά πειράματα Εγκαινιάζουμε μια σειρά άρθρων, αποκλειστικά για το αγαπημένο μας περιοδικό TRADERS,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ.

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ. Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ Πρόγραμμα Διαχείρισης Α.Π.Δ. Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εγκατάσταση του προγράμματος 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Οδηγίες χρήσης προγράμματος με παράδειγμα 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Αντιγραφή Α.Π.Δ. προηγούμενης περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Περίληψη ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Να αποδώσετε περιληπτικά το περιεχόµενο του κειµένου σε 100-120 λέξεις χωρίς δικά σας σχόλια. Το κείµενο αναφέρεται στις επιπτώσεις της

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα