Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες

Transcript

1 Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες 2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής Θεωρίας Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Χειμερινο Εξαμηνο Iωαννης E. Aντωνιου Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο 54124, Θεσσαλονικη iantonio@math.auth.gr

2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής θεωρίας. Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Μαθηματικα Μοντελα και Επιστημονικη Ερευνα Δομη Μαθηματικων Μοντελων Κλασσικα και Κβαντικα Συστηματα

3 Μαθηματικα Μοντελα και Επιστημονικη Ερευνα Eμπειρια Μετρηση Επεξεργασια Δεδομενων Εμπειρικοι Νομοι Διαισθηση Κepler Στατιστικη Εκτιμηση Πιθανοτητας, Εκτιμηση Συσχετισεων Εκτιμηση Αιτιοτητας Ληψη Αποφασεων Παιγνια Μαθηση Εξελικτικες Στρατηγικες, Γενετικοι Αλγοριθμοι

4 Δομη Μαθηματικων Μοντελων Ο Xωρος Y των Καταστασεων Η Αλγεβρα A των Παρατηρησιμων Μεγεθων (ΠM) Η Λογικη L των Στοιχειωδων Ερωτησεων Χρονικη Μεταβολη: ως λυση του Δυναμικου Μοντελου (Νομος) Διαφορικη Εξισωση, Εξισωση Διαφορων Ολοκληρωτικη Εξισωση Αρχη Ακροτατου Προβλεψη 1) Εκτιμηση της Τιμης των ΠΜ, από τη διαθεσιμη γνωση της Καταστασης του Συστηματος 2) Εκτιμηση της Τιμης των ΠΜ την χρονικη στιγμη t, από τη διαθεσιμη γνωση της Καταστασης του Συστηματος την αρχικη στιγμη t=0 Πληροφορια και Εντροπια I 1) Εκτιμηση της Πληροφοριας των Παρατηρησεων (των ΠΜ) του Συστηματος, 2) Εκτιμηση της χρονικης μεταβολης της Πληροφοριας των Παρατηρησεων (των ΠΜ) του Συστηματος

5 Xωρος Καταστασεων Y ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α1 Οι καταστασεις (ονομαζονται και Φασεις) ειναι Σημεια y ενός Μετρησιμου Τοπολογικου Χωρου (ΜΤΧ) Y ΣΧΟΛΙΑ 1) Η Δομη του ΜΤΧ Y προσδιοριζεται απο τη φυση του Προβληματος-Μοντελου 2) Στα Δυναμικα Συστηματα Ν- διαστασεων: Y υποσυνολο του Eυκλειδιου Χωρου R Ν 3) Στα Συστηματα Ηamilton (Κλασσικη Μηχανικη) οι καταστασεις y είναι οι γενικευμενες θεσεις q= (q 1, q 2,, q N ) και οι γενικευμενες ορμες p = (p 1, p 2,, p N ) y = (q,p) = (q 1, q 2,, q N, p 1, p 2,, p N ) Y R 2Ν 4) Ο Χωρος Y γενικωτερα μπορει να ειναι Απειροδιαστατος διακριτος η συνεχης, Επιφανεια (Riemann, Lorentz, Symplectic Manifold) ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α1 Οι καταστασεις (ονομαζονται και Κυματοσυναρτησεις) ειναι Διανυσματα ψ ενος Μιγαδικου Διανυσματικου Χωρου (ΔΧ) Y ΣΧΟΛΙΑ 1) Η Δομη του ΔΧ Y προσδιοριζεται απο τη φυση του Προβληματος-Μοντελου 2) Στα πλαισια του Μαθηματος περιοριζομαστε στην απλη περιπτωση: ψ Y C Ν = H 3) Στη θεμελιωση κατα Von Neumann: Y = H, Xωρος Hilbert (XH), συνηθως l 2 = ο XH των τετραγωνικα αθροισιμων (μιγαδικων) ακολουθιων L 2 = ο XH των τετραγωνικα ολοκληρωσιμων (μιγαδικων) συναρτησεων 4) Ο Χωρος Y γενικωτερα μπορει να ειναι Rigged Hilbert Space Dual Pair Locally Convex Topological Vector Space Συνθεση N Συστηματων Y= Y1 x Y2 x x YN Συνθεση N Συστηματων Y= Y1 Y2 YN

6 Αλγεβρα των Παρατηρησιμων Μεγεθων (ΠΜ) A ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α2 Η Αλγεβρα A των ΠΜ ειναι η Γραμμικη Αλγεβρα των Πραγματικων Συναρτησεων στον ΜΤΧ Y (Τυχαιων Μεταβλητων) Α: Y R : y Α(y) Στα Συστηματα Ηamilton (Κλασσικη Μηχανικη) Α: R 2Ν R : y Α(y)=Α(q,p) = Α(q 1, q 2,, q N, p 1, p 2,, p N ) Α2 Η Αλγεβρα των ΠΜ ειναι η Γραμμικη Αλγεβρα των (Γραμμικων) Τελεστων στον ΔΧ Y Στην απλουστερη περιπτωση Y C Ν τα ΠΜ ειναι ΝxN Πινακες Α: C Ν C Ν : Α 11 Α 1Ν ψ 1 y Α(ψ) Αψ = Α Ν1 Α ΝΝ ψ Ν Μετρησιμες Τιμες: στα Πεδια Τιμων των συναρτησεων Α, Β,... Μετρησιμες Τιμες: οι Φασματικες τιμες των Τελεστων Α, Β,... στα Πεδια Ιδιοτιμων των Τελεστων Α, Β,... Θ1 Η Αλγεβρα A των Πραγματικων Συναρτησεων Ν Μεταβλητων είναι Μεταθετικη Προσεταιριστικη Γραμμικη Αλγεβρα. Η Αλγεβρα A των Πραγματικων Συναρτησεων 2Ν Μεταβλητων είναι Μεταθετικη Γραμμικη Αλγεβρα Poisson-Lie Θ1 Η Αλγεβρα A των Τελεστων ειναι Μη-Μεταθετικη Γραμμικη Αλγεβρα Poisson-Lie

7 Λογικη L των Στοιχειωδων Ερωτησεων ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο1 Στοιχειωδης Ερωτησις Ανηκει η κατασταση y στο Mετρησιμο συνολο (ελεγχου) Δ? L {1 Δ Δ Mετρησιμο Υποσυνολο του R Ν } 1, y Δ 1 Δ (y)= 0, y Δ η Δεικτρια Συναρτηση του συνολου Δ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο1 Στοιχειωδης Ερωτησις Ανηκει η κατασταση ψ στον Διανυσματικο Υποχωρο (ελεγχου) D? L { P D D Διανυσματικος Υποχωρος του H} P D : H D ο Τελεστης Προβολης στον Διανυσματικο Υποχωρο (ΔΥ) D του H L Subsets (R Ν )= το Δυναμοσυνολο του R Ν Θ2 1) Η Λογικη των πεπερασμενων Στοιχειωδων Ερωτησεων ειναι Αλγεβρα Boole 2) Η Λογικη των απειρων Στοιχειωδων Ερωτησεων ειναι σ-αλγεβρα Boole L SubVS (H) = η κλασση των ΔΥ του H Θ2 1) Η Λογικη των πεπερασμενων Στοιχειωδων Ερωτησεων ειναι Modular Orthocomplemented Lattice, αν dim H<+ OrthoModular Lattice, αν dim H<+ 2) Η Λογικη των απειρων Στοιχειωδων Ερωτησεων ειναι σ- Complete Orthomodular Lattice

8 Χρονικη Μεταβολη t η μεταβλητη του μετρουμενου Χρονου t T το πεδιο τιμων του Χρονου ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α3 Νομος Χρονικης μεταβολης: S t : Y Y: y S t (y)= S t y=y t, Για συνεχη χρονο t T R, S t λυση της Διαφορικης Εξισωσης : dy t = Z (y t) dt Στην Κλασσικη Μηχανικη η ΔΕ Ηamilton: d dt q p = H p H q Η=Η(q,p) η Συναρτηση Ηamilton (Ενεργεια) Για διακριτο χρονο t T Z, S t λυση της Εξισωσης Διαφορων : y t+1 = y t + Z (y t ) = S[y t ] ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α3 Νομος Χρονικης μεταβολης: U t : H H: ψ U t (ψ)= U t ψ = ψ t, t συνεχης, t R, U t η λυση της Διαφορικης Εξισωσης Schroedinger: dψ t dt = iηψ t Παραδειγμα: Oι ΔΕ Sturm-Liouville: dψ = 2 ψ + V(x)ψ, dt x 2 Ηψ = i 2 ψ x2 + iv(x)ψ o Τελεστης Ηamilton (Ενεργεια) V(x) η Δυναμικη Ενεργεια του Συστηματος

9 Προβλεψη Εκτιμηση της Τιμης των ΠΜ, από τη διαθεσιμη γνωση της Καταστασης του Συστηματος ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α4.1 Αν η διαθεσιμη γνωση Α4.1 Αν η διαθεσιμη γνωση της καταστασης του Συστηματος της καταστασης του Συστηματος ειναι η εκτιμηση-προσεγγιση y Y, ειναι η εκτιμηση-προσεγγιση ψ Y Τοτε η Προβλεψη για την τιμη του ΠΜ Α Τοτε η Προβλεψη για την τιμη του ΠΜ Α (ΓΤ) (ΤΜ) ειναι: < Α > ψ = Ε ψ [Α] = Ν a=1 p a a Είναι η τιμη: οπου: Α(y) (Deterministic Prediction) p α η πιθανοτητα το διανυσμα ψ να ανηκει στον α-ιδιοχωρο H α του H Δηλαδη η μετρηση του ΠΜ Α είναι η ιδιοτιμη α με πιθανοτητα p α (Intrinsic Probabilistic Prediction of QM) ΣΧΟΛΙΟ Αν ψ ιδιοδιανυσμα του Τελεστη Α με ιδιοτιμη α: Αψ = αψ Τοτε η τιμη του ΠΜ Α ειναι με βεβαιοτητα η ιδιοτιμη α (Deterministic Prediction of QM)

10 Θ3 < ψ, Αψ > < Α > ψ = ψ 2 = trp ψ Α < Α > ψ = < ψ, Αψ >, αν ψ = 1 Αποδ. < Α > ψ = Ν <ψ,p a=1 p a a = Ν α ψ> a=1 a = ψ 2 = <ψ, Ν a=1 αp a ψ > = <ψ,αψ > ψ 2 ψ οεδ 2 < Α > ψ = Ν a=1 p a a = Ν tr(p ψ P α ) a=1 Ν = trp ψ ap α a=1 οπου: p a = <ψ,p αψ> ψ 2 = tr(pψ Pα) ΛΗΜΜΑ από τη θεωρια των ΧΗ a = trp ψ Α Pα : H Hα = ο Τελεστης Προβολης στον α-ιδιοχωρο Hα του H Ν Α = a=1 αp a το Φασματικο Αναπτυγμα του Α (Spectral Decomposition)

11 ΣΧΟΛΙΟ O τυπος : < Α > ψ = <ψ,αψ> = trp ψ 2 ψ Α εμπεριεχει την Deterministic Prediction Αν Αψ = αψ, τοτε: < Α > ψ = < ψ, Αψ > ψ 2 = < ψ, αψ > ψ 2 = α < ψ, ψ > ψ 2 = α Α4.2 Αν η διαθεσιμη γνωση της καταστασης του Συστηματος ειναι η κατανομη πιθανοτητος ρ(y) στις καταστασεις Τοτε η Προβλεψη για την ΤΜ Α ειναι η Μεση Τιμη: <Α> ρ = Y dy ρ(y)α(y) (Probabilistic Prediction) Α4.2 Αν η διαθεσιμη γνωση της καταστασης του Συστηματος ειναι οι πιθανοτητες w 1, w 2,..., w n το διανυσμα ψ να κειται στους αξονες φ 1, φ 2,..., φ n αντιστοιχα, n dim Y Τοτε η Προβλεψη για την τιμη του ΠΜ Α ειναι η Μεση Τιμη: <Α> w = n ν=1 w ν < Α > ν οπου: < Α > ν =< Α > φν = <φ ν,αφ ν > φ ν 2 = trp ν Α η προβλεπομενη τιμη του Α στην κατασταση φ ν

12 Θ4 <Α> w = tr (ρα) οπου: ρ= n ν=1 w ν P ν o Τελεστης Πυκνοτητος η Στατιστικος Τελεστης του Μειγματος (wν, φν), ν=1,2,,n Η Kβαντικη Πιθανοτητα Αποδειξη <Α>w = n ν=1 w ν < Α > ν = n ν=1 w ν tr(p ν Α) = n = tr( ν=1 w ν P ν )Α = = tr (ρα) Ε ρ [ ]: A R : A Ε ρ [Α] = (ρ Α) = Y dy ρ(y)α(y) the Εxpectation (Linear) Functional Ε ρ [ ]: A R : A Ε ρ [Α] = (ρ Α) = tr (ρα) the Εxpectation (Linear) Functional (QM) (Probabilistic Prediction of QM) ΣΧΟΛΙΟ Απο την Mεση Τιμη υπολογιζουμε τις άλλες στατιστικες παραμετρους (Ροπες, Διασπορα, Συσχετιση, Συνδιασπορα) ΣΧΟΛΙΟ 1) Για ρ=p ψ προκυπτει ο τυπος της Μεσης Τιμης του Θ3 2) Απο την Mεση Τιμη υπολογιζουμε τις άλλες στατιστικες παραμετρους (Ροπες, Διασπορα, Συσχετιση, Συνδιασπορα)

13 Προβλεψη σε βαθος Χρονου Εκτιμηση της Τιμης των ΠΜ την χρονικη στιγμη t, από τη διαθεσιμη γνωση της Καταστασης του Συστηματος την αρχικη στιγμη t=0 ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α5.1 Αν η διαθεσιμη γνωση της αρχικης (t=0) καταστασης του Συστηματος ειναι η εκτιμηση-προσεγγιση y Y, Τοτε η Προβλεψη για το ΠΜ Α (ΤΜ) τη χρονικη στιγμη t, ειναι η Τιμη: Α(S t y) = Αt(y) (Deterministic Prediction) V t : A A : A Α t : Α t (y)= V t A(y)= Α(S t y) H Eξελιξη των ΠΜ The Κoopman Evolution of Observables ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α5.1 Αν η διαθεσιμη γνωση της αρχικης (t=0) καταστασης του Συστηματος ειναι η εκτιμηση-προσεγγιση ψ Y Τοτε η Προβλεψη για την τιμη του ΠΜ Α (ΓΤ) τη χρονικη στιγμη t, ειναι η Τιμη: < Α > ψt = < ψ t, Αψ t > = < U t ψ, ΑU t ψ > = =< ψ, U t ΑU t ψ > = < ψ, A t ψ > a t : A A : A Α t = a t A = U t Α U t H Eξελιξη των ΠΜ The Heisenberg Evolution of Observables

14 ΠΡΟΤΑΣΗ Αν η αρχικη κατασταση ψ ειναι ιδιοδιανυσμα του Τελεστη Η με ιδιοτιμη ε: Ηψ = εψ, Τοτε η Προβλεψη για την τιμη του Τελεστη H τη χρονικη στιγμη t, ειναι η ιδιοτιμη ε. Η ψ καλειται Στασιμη κατασταση (Deterministic Prediction of QM) Αποδ < H > ψt = < ψ t, Hψ t > ψ 2 = < U tψ, HU t ψ > ψ 2 = < U tψ, U t Hψ > ψ 2 = =< Η > ψ = ε < ψ, Hψ > ψ 2 = ΣΧΟΛΙΟ H t =U t H U t = U t U t H = H Η Ενεργεια διατηρειται, ειναι αναλλοιωτο ΠΜ

15 Α5.2 Αν η διαθεσιμη γνωση της αρχικης (t=0) καταστασης του Συστηματος ειναι η κατανομη πιθανοτητος ρ(y) στις καταστασεις Τοτε η Προβλεψη για το ΠΜ Α (ΤΜ) τη χρονικη στιγμη t, ειναι η Μεση Τιμη: <Α t > ρ = Ε ρ [Α t ] = (ρ Α t ) = (ρ V t Α) <Α t > ρ = Y dy ρ(y)α t (y) = Y dy ρ(y)α(s t y) (Probabilistic Prediction) Α5.2 Αν η διαθεσιμη γνωση της αρχικης (t=0) καταστασης του Συστηματος ειναι οι πιθανοτητες w 1, w 2,..., w n το διανυσμα ψ να κειται στους αξονες φ 1, φ 2,..., φ n αντιστοιχα, Τοτε η Προβλεψη για το ΠΜ Α (ΓΤ) τη χρονικη στιγμη t, ειναι η Μεση Τιμη: <Αt>ρ = Ερ[Αt]=(ρ Αt) =(ρ a t Α) = n ν=1 w ν < Α t > ν = tr (ρα t ) οπου: ρ= n ν=1 w ν P ν o Τελεστης Πυκνοτητος του Μειγματος (wν, φν), ν=1,2,,n (Probabilistic Prediction of QM)

16 Πληροφορια και Εντροπια I Εκτιμηση της Πληροφοριας των Παρατηρησεων (των ΠΜ) του Συστηματος ΚΛΑΣΣΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΚΒΑΝΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Α6.1 H Πληροφορια Α6.1.1 H Πληροφορια Shannon (Εντροπια Shannon-Gibbs-Boltzmann) απο την Μετρηση του ΠΜ Α απο την Μετρηση του ΠΜ Α στην κατασταση ψ: n με κατανομη πιθανοτητος p στις καταστασεις: I(Α, ψ) = p α lnp α I = I[Α,p] = n p[ξ ν ]ldp[ξ ν ] οπου: ν=1 n = p ν ldp ν ν=1 Ξ ν τα κελια της διαμερισης που οριζει η ΤΜ Α α=1 n = < ψ, P αψ > ψ 2 ln < ψ, P αψ > ψ 2 α=1 οπου: p a = <ψ,p αψ> ψ 2 η Πιθανοτητα η ψ να ανηκει στον α-ιδιοχωρο H α του H P α : H H α ο Τελεστης Προβολης στον α-ιδιοχωρο H α του H Ν Α = a=1 αp a το Φασματικο Αναπτυγμα του τελεστη A

17 Α6.1.2 H Πληροφορια Shannon απο την Μετρηση του ΠΜ Α, αν η διαθεσιμη πληροφορια για την κατασταση του Συστηματος ειναι οι πιθανοτητες w 1, w 2,..., w n το διανυσμα ψ να κειται στους αξονες φ 1, φ 2,..., φ n αντιστοιχα, n dim Y I(Α, ρ) = p α lnp α n α=1 n = tr(ρp α )lntr(ρp α ) α=1 οπου: ρ= n ν=1 w ν P ν o Τελεστης Πυκνοτητος του Μειγματος (wν, φν), ν=1,2,,n p α = tr (ρ P α ) η πιθανοτητα η ψ να ειναι στον Υποχωρο P α N N α=1 tr (ρ P α ) = tr ρ( α=1 P α ) = tr ρ I=1

18 Α6.2 H Πληροφορια του Κλασσικου Συστηματος απο την Μετρηση των ΠΜ Α,Β, με κατανομη πιθανοτητος p στις καταστασεις, είναι η Kοινη Πληροφορια των ΠΜ Α,Β, I = I[p] = n ρ[ξ ν ]ldρ[ξ ν ] ν=1 n = ρ ν ldρ ν ν=1 I = I[p] = Υdyρ(y)lnρ(y) οπου: Ξ ν τα κελια της διαμερισης που οριζουν οι ΤΜ Α,Β, Θ6 Η Πληροφορια του Κβαντικου Συστηματος απο την Μετρηση των ΠΜ Α,Β, με Τελεστη Πυκνοτητος ρ= n ν=1 w ν P ν είναι η Κοινη Πληροφορια των ΠΜ Α,Β, εάν και μονον τα Α,Β, μετατιθενται: [Α,Β]=0. Α6.2 Ως Πληροφορια του Κβαντικου Συστηματος Προτεινεται η μεγιστη Πληροφορια: I(ρ) = Θ7 I(ρ) = tr(ρldρ) n inf I(Α, ρ) A A I(ρ) = ν=1 w ν ldw ν, αν οι πιθανοτητες w 1, w 2,..., w n είναι ιδιοτιμες του Τελεστη Πυκνοτητος ρ Η Πληροφορια Von Neumann - Shannon