ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA

Transcript

1 ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA

2 Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako sarbidea: Matematika Atala Iraupena: 60 ordu 1

3 AURKIBIDEA 1. MATEMATIKA ATALAREN HASTAPENAK. MODULUA: MATEMATIKA Edukiak 1. MULTZOA: ZENBAKIZKO KALKULUA ETA KALKULU ALJEBRAIKOA (18 ordu) Ezagutza-adierazleak. MULTZOA: GEOMETRIA ETA NEURRIA (15 ordu) Ezagutza-adierazleak. MULTZOA: FUNTZIOAK (15 ordu) Ezagutza-adierazleak 4. MULTZOA: ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA (1 ordu) Ezagutza-adierazleak

4 1. MATEMATIKA ATALERAKO SARRERA Zenbakiak erabiltzeko eta erlazionatzeko (oinarrizko eragiketak, sinboloak, eta matematikako adierazpideak eta arrazonamenduak), informazio-mota ezberdinak sortu eta interpretatzeko, errealitatearen alderdi kuantitatibo nahiz espazialak ezagutzeko eta bizitzako arazoak ebazteko gaitasunak ematen ditu matematikako eskuduntzak. Probaren bidez neurtuko diren eskuduntzaren alderdiak: Informazioa, datuak eta argudioak interpretatzeko eta argi adierazteko gaitasuna izatea. Eguneroko bizitzako egoera simulatuetan matematikaren oinarrizko elementuak (zenbaki-mota ezberdinak, neurriak, sinboloak, elementu geometrikoak, etab.) ezagutzea eta erabiltzen jakitea; eta arazoen ebazpenerako edo informazioa lortzeko arrazonamendu-prozesuak abian jartzea. Hala behar duten eguneroko bizimoduko egoerei aurre egiterakoan matematikako elementu eta arrazonamenduak erabiltzea. Horrela, egoera horiek identifikatzea, arazoak ebazteko estrategiak aplikatzea, eta eskuragarri dagoen informaziotik abiatuta errealitatea kalkulatu, irudikatu eta interpretatzeko teknika egokiak hautatzen jakitea. Argudio matematikoak ulertzeko eta lengoaia matematikoan adierazi eta komunikatzeko gai izatea, horretarako beharrezkoak diren tresnak erabilita, eta matematikako ezagutzak bestelako ezagutzekin bat egitean biziak dituen maila askotako zailtasunei aurre egin ahal izatea. Zenbakiak erabiltzeko eta erlazionatzeko (oinarrizko eragiketak, sinboloak, eta matematikako adierazpideak edo arrazonamenduak), informazio-mota ezberdinak sortu eta interpretatzeko, errealitatearen alderdi kuantitatibo nahiz espazialak ezagutzeko eta bizitzako arazoak ebazteko gaitasuna izatea. Taulak, grafikoak eta eredu matematikoak erabiliz aldagaien arteko harremanak eta adierazpen grafikoak erabiltzea, ekonomiako, gizarteko eta naturako zenbait fenomeno deskribatu, interpretatu, aurresan eta adierazteko. Eduki hauek egoera jakin bat adierazteko erabiltzen dira: hitzezkoa, zenbakizkoa, geometrikoa edo adierazpen literala eta adierazpide bat lengoaia batetik bestera itzultzeko dauden moduak. Modu berean, funtzio-mota ezberdinen ezaugarriak bereizteko gai izatea nahi da, egoera errealak eredutzat hartuta. Estatistikaren eta ausazko fenomeno soilen erabilera (esperimentuen bidez) eta datu estatistikoen tratamendua (taula eta grafikoen bidez), informazio estatistikoak askotan izaten dituen gezurrezko presentazioen eta interpretazioen azterketa kritikoa egin ahal izateko.. MODULUA: MATEMATIKA Hainbat jakintzek osatzen dute Matematika, eta jakintza horiek oso lotura estua duten hainbat multzotan biltzen dira. Honako hauek dira lanbide-trebakuntzaren berezko heldutasunarekin gehien lotzen diren Matematikaren multzoak: Zenbakizko kalkulua eta kalkulu aljebraikoa. Geometria eta neurria. Funtzioak. Estatistika eta Probabilitatea.

5 Sortzen den informazioa ulertu ahal izateko eta nolabaiteko segurtasunez eta trebetasunez moldatzen jakiteko, gaur egungo gizarteak herritarrei eskatzen dien ezagutza matematikoan oinarritzen dira Matematika arloaren edukiak. Zenbakizko kalkulua eta kalkulu aljebraikoa deituriko multzoak izaera instrumentala du. Ikasleari autonomo izateko beharrezko operatibitatea ematen dio, baita errealitatea behar bezala kuantifikatu ahal izateko beharrezko tresnak ere. Era berean, eduki matematikoak komunikatzeko beharrezko hiztegia eskaintzen du. Geometria eta neurria, Funtzioak eta Estatistika eta Probabilitatea multzoak garrantzi handikoak dira gaur egun hedabideek erabiltzen duten informazioa ulertu eta aztertzeko tresna gisa. Grafikoak irakurtzea eta egitea (estatistikoak zein funtzionalak), zoriaren tratamendua, eta estatistika garrantzi handiko alderdiak dira. Izan ere, datu asko esku hartzen duten edo ausazko portaera duten fenomenoen aurrean, informazioa interpretatzeko eta aurreikuspenak egiteko tresna gisa aukeratutako edukietan agertzen dira. Moduluaren planteamenduak batez ere praktikoa eta funtzionala izan beharko du. Ez dugu ahaztu behar zer helburu lortu nahi den, eta prestakuntza zein hartzaile-profilari zuzentzen zaion. Moduluaren funtsezko xedea instrumentala da, hau da, matematika lanbide-ikasketerako oinarrizko eta funtsezko tresna gisa izango da baliagarria. Modulu honen eskaintza aintzat hartuko duen edozein prestakuntza-prozesuetarako programazioa egitean, ondoren zerrendatzen diren edukiak hartu beharko dira kontuan, eta ezagutza-adierazleak atalean deskribatzen diren maila eta hedadura izan beharko da aintzat. Izatez, azken horiek ebaluazio-irizpideak dira, eta, eduki-multzo bakoitzerako gai eta ereduzko ariketa diren aldetik, pertsonek jakin behar duten edo egiten jakin behar duten alderdirik funtsezko eta kritikoenak adierazi nahi dituzte. EDUKIAK: 1. MULTZOA: ZENBAKIZKO KALKULUA ETA KALKULU ALJEBRAIKOA (18 ordu) Zenbaki naturalak, osoak, hamartarrak, zatikiarrak eta irrazionalak. Eragiketak zenbaki-motekin: Batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketa eta erroketa. Oinarrizko algoritmoak eta kalkulu-tresnak: Eragiketen hierarkia. Parentesien erabilera. Kalkulagailu zientifikoa eta bere erabilera. Zenbakien arteko erlazioa: Zuzeneko zenbakien ordena eta irudikapena. Hamartarren eta zatikien arteko erlazioa, eta ehunekoen kalkulua. Zatigarritasuna: irizpideak, zenbaki lehenak, zatitzaile komunetako handiena, eta multiplo komunetako txikiena. Hurbilketa eta kantitateak kalkulatzea. Proportziozko magnitudeak: Zuzeneko proportzionaltasuna. Alderantzizko proportzionaltasuna. Proportzionaltasunari buruzko arazoak. Ehunekoak. 4

6 Hizkuntza aljebraikoa: Zenbakiak irudikatzeko letren esanahia eta erabilera. Formulak: zenbakizko balioa eta baliokidetasunak. Lehen mailako eta bigarren mailako ekuazioa. Soluzioa. Lehen mailako ekuazio-sistemak (x). Problemak planteamendu aljebraiko bidez ebaztea. Problemak ebaztea: Problemak ebazteko gehien erabiltzen diren teknika heuristikoak erabiltzea. EZAGUTZA ADIERAZLEAK: 1.1. Zenbaki osoekin kalkuluak egitea, eragiketen propietateak eta hierarkia, parentesiak, zeinuen erregela, biderkadura nabarmenak eta abar erabiliz. 1.. Zatikiekin eta hamartarrekin kalkuluak egitea. 1.. Hamartarrak, zatikiak eta ehunekoak erlazionatzea eta alderatzea Zatigarritasunari buruzko problemak ebaztea Zuzeneko eta alderantzizko proportzionaltasunari buruzko problemak ebaztea Ohiko hizkuntzako, hizkuntza aritmetikoko eta hizkuntza geometrikoko esaldietan hizkuntza aljebraikoa erabiltzea Ekuazioak ebaztea, baita lehen mailako ekuazio-sistemak ere Bigarren mailako ekuazio-sistemak ebaztea Problemak sistema linealen bitartez planteatzea eta ebaztea Problemak lehen eta bigarren mailako ekuazioen bitartez planteatzea eta ebaztea Estrategia egokienak aplikatuta ebaztea problemak.. MULTZOA: GEOMETRIA ETA NEURRIA (15 ordu) Elementu geometrikoak planoan eta espazioan, eta horien arteko erlazioak: Elkarzutasuna, paralelismoa eta eragina. Erreferentziazko sistemak: Koordenatu cartesiarrak planoan eta espazioan. Irudiak eta gorputzak: Irudien eta gorputzen sailkapena, hainbat irizpideren arabera. Poligono, poliedro eta gorputz biribilen elementu bereizgarriak. Triangeluen eta laukien azterketa, bere angeluen eta aldeen arabera. Pitagorasen teorema. Irudi eta gorputz geometrikoen azalerak eta bolumenak kalkulatzeko formulak. Sistema Metriko Hamartarra. Funtsezko unitateen multiploak eta azpimultiploak. Angeluen neurria: sistema hirurogeitarra. Antzeko irudiak. Eskalako irudikapena. Thalesen teorema. Antzekotasunaren arrazoia. Planoak, mapak eta maketak. Trigonometriako hastapenak. Oinarrizko arrazoi trigonometrikoak: Problemak trigonometria erabiliz ebaztea. 5

7 EZAGUTZA ADIERAZLEAK:.1. Irudi eta gorputz geometrikoen luzeren, azaleren eta bolumenen neurriak kalkulatzeko formula egokiak erabiltzea... Triangelu eta laukien problema geometrikoak ebaztea... Problema geometrikoak Pitagorasen Teoremaren bidez ebaztea..4. Irudi eta gorputz geometrikoak ezagutzea, baita beren elementu garrantzitsuenak ere..5. Sistema Metriko Hamartarrarekin lotzen diren problemak ebaztea..6. Antzekotasunarekin lotzen diren problema geometrikoak ebaztea..7. Problema trigonometrikoak ebazteko kalkulagailua erabiltzea (triangelu angeluzuzenak).. MULTZOA: FUNTZIOAK (15 ordu) Funtzioak eta grafikoak: Funtzioa, aldi berean aldatzen diren bi magnituderen arteko erlazioa gisa. Funtzioaren kontzeptua. Funtzioa azaltzeko hainbat modu: ahozkoa, grafikoa, taula bidezkoa eta aljebraikoa. Hainbat fenomenoren funtzio-grafikoen azterketa intuitiboa. Funtzio-motak: Funtzio linealak. Funtzio koadratikoak. EZAGUTZA ADIERAZLEAK:.1. Hizkuntza grafikoa hizkuntza aljebraikoarekin lotzea (kasu sinpleetan)... Grafiko linealak marraztea, baita horietako puntu nabarmenetako batzuk ere... Ardatz koordenatu batzuen gainean bigarren mailako funtzioak irudikatzea eta interpretatzea..4. Grafiko baten ezaugarri orokorrak aztertzea..5. Testuinguru erreal bateko funtzioak interpretatzea. 4. MULTZOA: ESTATISTIKA ETA PROBABILITATEA (1 ordu) Dimentsio bakarreko banaketa estatistikoak: Maiztasun-taulak. Grafiko estatistikoak: sektoreen diagrama, histogramak eta maiztasuneko poligonoak. Parametro estatistikoak: batez bestekoa, moda, mediana eta desbideratze tipikoa. Parametro estatistikoen kalkulua. Ausazko esperientziak. Gertakariak. Maiztasuna eta probabilitatea. Gertakarien probabilitatea lortzea. Laplaceren legea. EZAGUTZA ADIERAZLEAK: 4.1. Taula estatistikoak interpretatzea eta ondorioak ateratzea. 4.. Datu batzuetatik abiatuta, taula eta grafiko estatistikoak egitea. 4.. Grafiko estatistikoak interpretatzea eta ondorioak ateratzea. 6

8 4.4. Parametro estatistikoak kalkulatzea: moda, batez bestekoa, mediana eta desbideratze tipikoa Probabilitateko problema sinpleak Laplaceren legearen bitartez ebaztea. 7

9 EDUKI BLOKEEN EZAGUTZA ADIERAZLEEI DAGOZKIEN ARIKETEN ADIBIDEAK BLOKEA EZAGUTZA ADIERAZLEAK ADIBIDEAK Zenbaki osoekin kalkuluak egitea, eragiketen propietateak eta hierarkia, parentesiak, zeinuen erregela, biderkadura nabarmenak eta abar erabiliz. 1, 9, 10, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0, 1, Zatikiekin eta hamartarrekin kalkuluak egitea.,, 4, 5,6, 8,15, 16, 0 1, Hamartarrak, zatikiak eta ehunekoak erlazionatzea eta, 5, 6, 18, alderatzea. 19, Zatigarritasunari buruzko problemak ebaztea Zuzeneko eta alderantzizko proportzionaltasunari buruzko 8, 9, 10, 17, 18, problemak ebaztea Ohiko hizkuntzako, hizkuntza aritmetikoko eta hizkuntza 11, 1, 1, 0, geometrikoko esaldietan hizkuntza aljebraikoa erabiltzea Ekuazioak ebaztea, baita lehen mailako ekuazio-sistemak 14, 15, 16, 0, ere Bigarren mailako ekuazio-sistemak ebaztea 15, Problemak sistema linealen bitartez planteatzea eta 0 ebaztea Problemak lehen eta bigarren mailako ekuazioen bitartez 1, 1 planteatzea eta ebaztea Problemak estrategia egokienak aplikatuz ebaztea. 19,0.1. Irudi eta gorputz geometrikoen luzeren, azaleren eta bolumenen neurriak kalkulatzeko formula egokiak erabiltzea.,, 4, 5, 6, 7, 9, 1.. Triangelu eta laukien problema geometrikoak ebaztea. 6, 7, 9, 1.. Problema geometrikoak Pitagorasen Teoremaren bidez,4, 6, 7, ebaztea Irudi eta gorputz geometrikoak ezagutzea, baita beraien 8 elementu garrantzitsuenak ere..5. Sistema Metriko Hamartarrarekin lotzen diren problemak,, 4, 5, ebaztea. 6, 7, 9, 0, 1,.6. Antzekotasunarekin lotzen diren problema geometrikoak ebaztea..7. Problema trigonometrikoak ebazteko kalkulagailua erabiltzea (triangelu angeluzuzenak)..1. Hizkuntza grafikoa hizkuntza aljebraikoarekin lotzea (kasu 4 sinpleetan)... Grafiko linealak marraztea, baita horietako puntu 5, 7 nabarmenetako batzuk ere... Ardatz koordenatu batzuen gainean bigarren mailako 6, 7 funtzioak irudikatzea eta interpretatzea..4. Grafiko baten ezaugarri orokorrak aztertzea. 4,5,7,8.5. Testuinguru erreal bateko funtzioak interpretatzea Taula estatistikoak interpretatzea eta ondorioak ateratzea. 9 1

10 4.1. Taula estatistikoak interpretatzea eta ondorioak ateratzea Datu Grafiko batzuetatik estatistikoak abiatuta, interpretatzea taula eta eta grafiko ondorioak estatistikoak 40 4 ateratzea Parametro estatistikoak kalkulatzea: moda, batez 40, 41, 4 bestekoa, mediana eta desbideratze tipikoa Probabilitateko problema sinpleak Laplaceren legearen bitartez ebaztea. 44

11 1. Zein da hurrengo zenbakizko adierazpenaren balio zehatza? A = ( 5 +.) 10 + ( a) A= 148 c) A= 164 b) A= 9 d) A= 1 4). Ondorengo bi baliootan zein da handiena? = A edo 1 B = a) A handiagoa da b) B handiagoa da c) A eta B berdinak dira. Ondorengo zatiki-bikoteetan proportzio bat osatzen dutenak zeintzuk diren adierazi eta kasu bakoitza azaldu. a) eta c) eta b) eta d) eta Kalkula itzazu ondorengo adierazpenak: ( c) ( ).( + ) = 4 5 a) 0,5) (1 + 0,5) = b) + = d) ( + ). = 5. Adieraz itzazu ondorengo ehunekoak frakzio laburtezinak erabiliz: a) % 5 = d) % 5 = b) % 75 = e) % 1 = c) % = f) % 8 = 6. Handienetik txikienera ordena itzazu ondorengo zenbakiak: a) 0,0 ; b) 1000 ; c) d) ren % zenbakiaren eta 64 zenbakiaren zatitzaile guztiak kalkula itzazu. Kalkulatu ZKH(100, 64) eta mkt(100 y 64)

12 8. 90 km/h abiaduran dabilen auto batek 75 km egitean 4,5 litro gasolina gastatzen ditu. Abiadura berdina mantentzen badu, zenbatekoa izango da kontsumoa 50 km ibiltzean? oilo dituen baserritarrak 0 egunez elikatzeko adina gari bildu du. 5 oilo saltzen baditu, zenbat egunez elika ditzake gari horrekin gainontzeko oiloak? langilek obra bat 5 egunetan burutu dezaketela badakigu. Obra berdina 4 egunetan egin nahi badugu, zenbat langile beharko ditugu? 11. Ondorengo esaldiak lengoaia algebraikoaren bidez adierazi: a) Zenbaki baten bikoitza. b) Zenbaki baten erdia. c) Hurrengo zenbakia. d) Zenbaki baten laurdena. e) Zenbaki baten herenaren eta laurdenaren arteko batura. f) Zenbaki baten erdiaren hiru bostenak. g) Zenbaki baten seirena ken zenbaki beraren bi herenak. h) Zenbaki baten laukoitzaren seirena. i) Zenbaki baten karratua gehi bere erdia. j) Zenbaki bat ken hurrengo zenbakiaren karratua k) Aurreko zenbakiaren karratuaren laurdena. 1. Ontzi batek besteak baino ur kopuru bikoitza du. Beteenetik 40 litro eta hutsenetik 10 litro ateratzen baditugu biak parekatuko genituzke. Zenbat litro du ontzi bakoitzak? 1. Laukizuzen baten perimetroa 88 cm-koa da. Oinarria altueraren bikoitza jakinda, zeintzuk dira laukizuzenaren dimentsioak? 14. Ebatz itzazu ondorengo ekuazioa eta sistema: a) b) x 1+ 5( x 1) = x y = 11 x + y = Ebatz itzazu ondorengo bigarren mailako ekuazioak: a) 4. x + x 1 = 0 b) x + 1 x( x + 1) = 4

13 16. Ebatz itzazu ondorengo ekuazioak ( x ) 4 x + 4 (1 x) 8 A) + 1 = x B). x + 5x = 17. Bi anaien artean euro banatu behar dira, eta banaketa honek, anaiek duten adinarekiko proportzionala izan behar du: 14 eta 11 urte. 18. Produktu jakin batek euro balio du, BEZ barne. Aplikatu zaigun BEZ % 16 bada, zein da produktu horren balioa BEZ aplikatu gabe? 19. Denda batek, erosketaren lehenengo 0 euroengatik % 6ko beherapena egiten du, eta % 4koa gainontzeko zenbatekoan. Pertsona batek 7 euro balio duen objektua erosten badu, zenbatekoa da egingo zaion beherapena? Zenbat ordainduko du objektu hori eskuratzeko? 0. 1 eta 50 zentimoko txanponak ditu poltsa batek. Guztira 5 txanpon dituela eta balio osoa 8,5 dela jakinda, mota bakoitzeko zenbat txanpon dago poltsan? 1. Familia batean aitak, amak eta semeetako batek lan egiten dute, eta guztien artean.600 euro irabazten dute. Amaren irabaziak aitarenaren / dira, eta semearen irabaziak amarenaren 1/ dira. Zenbat euro irabazten du bakoitzak?. Ondorengo dimentsioak ditu igerileku batek Kalkula ezazu igerilekuan sartzen den ur-litro kopurua. Iturri batek minutuko 5 litro ur isurtzen baditu, zenbat denbora beharko dugu igerilekua betetzeko? 5

14 . Kalkula ezazu ondorengo lau angeluko piramidearen azalera osoa eta bolumena, piramidearen altuerak 10 cm neurtzen duela jakinda. 4. Kalkula itzazu ondorengo prismaren azalera osoa, bolumena eta AC eta EB diagonalen neurriak. 5. Zubi bat 10 cm-ko diametroa eta 0 m-ko altuera duten hormigoizko sei zutabe zilindrikok eusten dute. Zenbat metro kubiko hormigoi behar izango dira sei zutabeak egiteko? 6. Lau angeluko zutabe honen perimetroa eta azalera kalkula itzazu. 6

15 7. Ondorengo triangelua isoszelea bada, kalkula itzazu barruko hiru angeluak, bere perimetroa, altuera eta triangeluaren barruan gelditzen den azalera. 8. Ondorengo grafikoetan hiru poliedro erregular eta euren garapena agertzen dira. Ba al dakizu poliedro bakoitzaren izena? Zenbat aurpegi, ertz eta erpin ditu poliedro bakoitzak? A) B) C) 9. Hurrenez hurren 80 eta 60 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera kalkula ezazu. Zein da erronbo horren aldea?. Egin ezazu marrazki bat 0. Ebatz itzazu ondorengo galderak: a) Zenbat falta zaio 174 cm-ri Dm eta 5 dm izatera iristeko? b) Ardo Hl batek 90 euro balio badu, zein da Dl-ren balioa? c) Zenbat metro gehitu behar zaizkio 9 Dm, 7 m eta 6 dm-ri Hm-ra iritseko? d) Auzo-bide batek hiru atal ditu: lehenengoak 8 Hm eta 6 m neurtzen du; bigarrenak 56 Dm; eta hirugarrenak 1 Km, 6 Dm eta 5 m. Zenbat metro ditu guztira bide horrek? e) Salgai jakin bateko metro erosteko 165 euro ordaindu da. Zein da 4 cm-ren balioa? 7

16 1. Soro laukizuzen batetik bi triangelu angeluzuzen kendu zaizkio (irudian ageri den moduan), eta nekazaritzarako erabiliko den ABCD saila gelditu zaigu. Zein da nekazaritzarako sail horren azalera Ha-tan neurtuta? Nekazaritzarako saila. Zein da bi herriren arteko benetako distantzia, 1: eskalako mapa batean euren arteko distantzia mm-koa bada? Eman erantzuna km-tan.. Kalkula itzazu ondorengo triangelu angeluzuzenaren hiru aldeak, sen0º = 0,5 dela jakinik 4. Esan zein adierazpen algebraikori dagokion ondoko grafikoa: a) y = y c) y = y + 1 b) y y = d) y = y Adieraz itzazu ondorengo grafikoak koordenatu-ardatz batean: a) y = -x-1 b) y = x Zein puntutan ebakitzen egiten dute topo bi grafikoek? 8

17 6. Adieraz ezazu ondorengo funtzioa koordenatu-ardatz batean y = ( x 1) + Zein da funtzio horren erpina? 1 Funtzioa bigarren mailako ekuazio bat denez, parabola bat da. Funtzioaren minimoarekin bat etortzen da bere erpina: V(1, 1) 7. Ondorengo irudian adierazten diren y = x x + 1 eta y =5x-1, funtzioak kontuan hartuta, Kalkula itzazu bi funtzioen arteko ebakidura-puntu zehatzak. 9

18 8. Bidaiatzeko asmoz etxetik irten da Rosa. Bere etxetik tren-geltokira motorrean joan da. Geltokian pixka bat itxoin behar izan du. Trenean igo eta azken 10 minutuetan trenak polikiago joan behar izan du trenbidean lanak egiten ari baitira. Espazioa (km) Denbora (minutuak) a) Zenbat denbora pasa da Rosa etxetik irten zenetik? b) Zenbat denboraz itxoin behar izan zuen trena atera arte? c) Zenbat denboraz egon zen trenean? d) Zein izan zen trenbideko lanengatik trenak zeraman abiadura? 9. Ikasleek Institutura heltzeko behar izaten duten denbora adierazten digu ondorengo grafiko estatistikoak. Ikasle kopurua Denbora (minututan) Zenbat ikaslek behar izaten dute 10 minutu baino gehiago Institutura iristeko? 40. Etxebizitza-bloke bateko familiek dituzten seme-alaba kopurua hau da: Seme-alaba kopurua Familia kopurua Kalkula itzazu: a) Familiako seme-alaba kopuruaren batezbesteko aritmetikoa. b) Familia bakoitzeko seme-alaba kopuruaren moda. c) Adieraz ezazu banaketa estatistikoa, grafiko egoki baten bitartez. 10

19 41. 5 azterketen multzoan ikasle batek lortu duen batez besteko aritmetikoa 6 puntukoa izan da. Lehenengo lau azterketetako notak hauek izan dira: 4, 7, 6 eta 5 puntu. Zein izan zen azken azterketako nota? jokalarik osatzen dute saskibaloi-talde bat. Hauek dira euren garaierak: 185 cm, 190 cm, 00 cm, 198 cm, 190 cm, 0 cm, 196 cm, 194 cm, 01 cm eta 188 cm. Kalkula itzazu garaiera-banaketa honi dagozkion moda, mediana eta batezbesteko aritmetikoa. 4. Honela banatu ditu nekazari batek bere lurrak: frutasoroa, baratza eta zerealak. Guztira 0 ha-ko azalera badu, adieraz ezazu nekazariak landatu duen sail bakoitzaren azalera. huerta 11% campos frutales % cereales 66% bonbillen sortatik zoriz 50 hautatu ziren egiaztatzeko. Lagineko bonbillen artean akastunak suertatu baziren, zenbat bonbilla akastun izango dira sorta osoan? Zein da bonbilla akastuna tokatzeko probabilitatea? 11

20 EDUKI BLOKEEN EZAGUTZA ADIERAZLEEI DAGOZKIEN ARIKETEN ADIBIDEEN ERANTZUNAK 1. Zein da hurrengo zenbakizko adierazpenaren balio zehatza? A = ( 5 +.) 10 + ( a) A= 148 c) A= 164 b) A= 9 d) A= 1 4) A = + + = + = = (5.) 10 ( 4) ( ) Ondorengo bi baliootan zein da handiena? = A edo 1 B = a) A handiagoa da b) B handiagoa da c) A eta B berdinak dira A = + + = + + = B = 1 + = + = Handiagoa zein den jakiteko beraien arteko kenketa egin: Beraz, A handiagoa da B baino A B = = > 0, Ondorengo zatiki-bikoteetan proportzio bat osatzen dutenak zeintzuk diren adierazi eta kasu bakoitza azaldu. a) eta c) eta b) eta d) eta Badakigu a c y b d zatiki-bikoteak proportzio bat osatzen badute a. d b. c = egiaztatuko dugula. Arau honen arabera c) eta d) bikoteek bakarrik osatzen dute proportzio bat. 1

21 4. Kalkula itzazu ondorengo adierazpenak: ( c) ( ).( + ) = 4 5 a) 0,5) (1 + 0,5) = b) + = d) ( + ). = a) ( 0,5) (1 + 0,5) = 1,5 1,5 = 0 b) = 7 = 6 = c) ( 1 1 ).( + 1 ) = 1. 9 = d) ( + ). =. = = Adieraz itzazu ondorengo ehunekoak frakzio laburtezinak erabiliz: a) % 5 = d) % 5 = b) % 75 = e) % 1 = c) % = f) % 8 = 1 5% = 4 75% = 4 % = % = 0 1 1% = = % = = Handienetik txikienera ordena itzazu ondorengo zenbakiak: a) 0,0 ; b) 1000 ; c) d) ren % 0,0 = 0,0009 = 0, % de = = = 0, 0000 Eta beraz, hau izango da orden zuzena: >0,00>0,0009>0,0000

22 zenbakiaren eta 64 zenbakiaren zatitzaile guztiak kalkula itzazu. Kalkulatu ZKH(100, 64) eta mkt(100 y 64) 100en zatitzaileak = 1,, 4, 5, 10,0, 5, 50 eta en zatitzaileak = 1,, 4, 8, 16, eta 64 ZKH(100,64) = 4 mkt(100,64)= km/h abiaduran dabilen auto batek 75 km egitean 4,5 litro gasolina gastatzen ditu. Abiadura berdina mantentzen badu, zenbatekoa izango da kontsumoa 50 km ibiltzean? Erlazio hau zuzenki proportzionala da: 15 litro kontsumituko du oilo dituen baserritarrak 0 egunez elikatzeko adina gari bildu du. 5 oilo saltzen baditu, zenbat egunez elika ditzake gari horrekin gainontzeko oiloak? Baserritarra 0 oilorekin geratzen denez, egun gehiagoz elikatu ahal izango ditu. Erlazio hau alderantziz proportzionala da. 67 egun eta erdirako janaria izango du langilek obra bat 5 egunetan burutu dezaketela badakigu. Obra berdina 4 egunetan egin nahi badugu, zenbat langile beharko ditugu? Erlazio hau alderantziz proportzionala da. Zenbat eta langile gehiago izan, egun gutxiagotan burutuko dugu obra. 15 langile behar izango dira. 11. Ondorengo esaldiak lengoaia algebraikoaren bidez adierazi: a) Zenbaki baten bikoitza. b) Zenbaki baten erdia. c) Hurrengo zenbakia. d) Zenbaki baten laurdena. e) Zenbaki baten herenaren eta laurdenaren arteko batura. f) Zenbaki baten erdiaren hiru bostenak. g) Zenbaki baten seirena ken zenbaki beraren bi herenak. h) Zenbaki baten laukoitzaren seirena. i) Zenbaki baten karratua gehi bere erdia. j) Zenbaki bat ken hurrengo zenbakiaren karratua k) Aurreko zenbakiaren karratuaren laurdena. Respuesta: a) Zenbaki baten bikoitza = x b) Zenbaki baten erdia =x/ c) Hurrengo zenbakia = x+1 d) Zenbaki baten laurdena = x/4 e) Zenbaki baten herenaren eta laurdenaren arteko batura = f) Zenbaki baten erdiaren hiru bostenak = x. 5 g) Zenbaki baten seirena ken zenbaki beraren bi herenak = x x + 4 x x 6

23 h) Zenbaki baten laukoitzaren seirena = x i) Zenbaki baten karratua gehi bere erdia = x + j) Zenbaki bat ken hurrengo zenbakiaren karratua = x x ( x + 1) 1. Ontzi batek besteak baino ur kopuru bikoitza du. Beteenetik 40 litro eta hutsenetik 10 litro ateratzen baditugu biak parekatuko genituzke. Zenbat litro du ontzi bakoitzak? Ekuazio hau plantea dezakegu: x-40 = x+10, eta hortik x = 50. Beraz, ontzi batek 100 litro ditu eta besteak 50 litro. 1. Laukizuzen baten perimetroa 88 cm-koa da. Oinarria altueraren bikoitza jakinda, zeintzuk dira laukizuzenaren dimentsioak? Ekuazio hau plantea dezakegu: (x + x) = 88, eta hortik x = 48 cm Beraz, laukizuzenaren dimentsioak 48 cm eta 96 cm dira 14. Ebatz itzazu ondorengo ekuazioa eta sistema: a) b) x 1+ 5( x 1) = x y = 11 x + y = 10 1 a) 4x + 10x 10 = 1, eta hortik 1 x = 14 b) Hiru metodoetako edozein erabilita: x = - 1 eta y = Ebatz itzazu ondorengo bigarren mailako ekuazioak: a) 4. x + x 1 = 0 b) x + 1 x( x + 1) = a) Hauek dira bi emaitzak: x = -1, x =1/4 b) Hauek dira bi emaitzak: x = /, x= -1 4

24 16. Ebatz itzazu ondorengo ekuazioak ( x ) 4 x + 4 (1 x) 8 A) + 1 = x B). x + 5x = a) x = /1 b) x = -1, x = -/ 17. Bi anaien artean euro banatu behar dira, eta banaketa honek, anaiek duten adinarekiko proportzionala izan behar du: 14 eta 11 urte : 5= x 14 = x 11= Produktu jakin batek euro balio du, BEZ barne. Aplikatu zaigun BEZ % 16 bada, zein da produktu horren balioa BEZ aplikatu gabe? : 1,16 = 7.41, Denda batek, erosketaren lehenengo 0 euroengatik % 6ko beherapena egiten du, eta % 4koa gainontzeko zenbatekoan. Pertsona batek 7 euro balio duen objektua erosten badu, zenbatekoa da egingo zaion beherapena? Zenbat ordainduko du objektu hori eskuratzeko? Erantzuna Beherapenak bi zati ditu: lehenengoak 0 arte eragiten du eta bigarrenak gainontzekoan. 0 x 0,94 = 8, 4 x 0,96 = 41,8 Ordaindu beharrekoa = 69,48 Beherapena =, eta 50 zentimoko txanponak ditu poltsa batek. Guztira 5 txanpon dituela eta balio osoa 8,5 dela jakinda, mota bakoitzeko zenbat txanpon dago poltsan? Ondorengo sistema plantea dezakegu: x + y = 5 x + 0,5y = 8,5 ebazten badugu: x (euro bateko txanponak)=; y (0,5 euroko txanponak)= 1 5

25 1. Familia batean aitak, amak eta semeetako batek lan egiten dute, eta guztien artean.600 euro irabazten dute. Amaren irabaziak aitarenaren / dira, eta semearen irabaziak amarenaren 1/ dira. Zenbat euro irabazten du bakoitzak? Amak irabazten duen diru kopuruari x deitzen badiogu, ondorengo ekuazioa idatz dezakegu: x x + + x =.600, eta hortik: Amak =1.00, Aitak =1.800, Semeak = 600. Ondorengo dimentsioak ditu igerileku batek Kalkula ezazu igerilekuan sartzen den ur-litro kopurua. Iturri batek minutuko 5 litro ur isurtzen baditu, zenbat denbora beharko dugu igerilekua betetzeko? Igerilekua, berez, bi irudik osatzen dute: paralelepipedo batek eta beste baten erdiak 1 V = (0,8).(4).(,4) + (1,1).(4).(, 4) = 18,6m litro: 5 minutu = 74, 4 minutu.. Kalkula ezazu ondorengo lau angeluko piramidearen azalera osoa eta bolumena, piramidearen altuerak 10 cm neurtzen duela jakinda. 6

26 x = = 116 = 10, 77cm 8.10 V = cm 10,77).(8).(4) A = ( ) + 64 = 6,cm 4. Kalkula itzazu ondorengo prismaren azalera osoa, bolumena eta AC eta EB diagonalen neurriak. [ ] cm A =. (6.4) + (1.4) + (1.6) = 88 V = = 88cm AC = + = (1 4 ) 1,65 EB = + + = (1 6 4 ) 14 cm cm 5. Zubi bat 10 cm-ko diametroa eta 0 m-ko altuera duten hormigoizko sei zutabe zilindrikok eusten dute. Zenbat metro kubiko hormigoi behar izango dira sei zutabeak egiteko? Zutabe zilindrikoetako batek bolumen hau dauka: Beraz, sei zutabeen bolumen osoa: V = π.0,6.0 =,608m 15,648m 7

27 6. Lau angeluko zutabe honen perimetroa eta azalera kalkula itzazu. Trapezioaren alde ezezagunaren neurria topatuko dugu lehenengo: c = + = ,81 cm P = ,81 = 69,81cm 8 + A =.9 = 51 cm 7. Ondorengo triangelua isoszelea bada, kalkula itzazu barruko hiru angeluak, bere perimetroa, altuera eta triangeluaren barruan gelditzen den azalera. Triangelua isoszelea denez, bi alde eta bi angelu berdin ditu. C = 180º 64º 64º = 5º h = = 5,9, 6 5, 8 cm P = 5, 4 + 5,9 + 5,9 = 17, 04cm (5,4).(5,8) A = = 1,8cm 8

28 8. Ondorengo grafikoetan hiru poliedro erregular eta euren garapena agertzen dira. Ba al dakizu poliedro bakoitzaren izena? Zenbat aurpegi, ertz eta erpin ditu poliedro bakoitzak? A) B) C) Objektua Gorputza Erpin kopurua Ertz kopurua A Tetraedroa B Kuboa C Oktaedroa Aurpegi kopurua 9. Hurrenez hurren 80 eta 60 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera kalkula ezazu. Zein da erronbo horren aldea?. Egin ezazu marrazki bat l = + = cm A = =.400cm 0. Ebatz itzazu ondorengo galderak: a) Zenbat falta zaio 174 cm-ri Dm eta 5 dm izatera iristeko? b) Ardo Hl batek 90 euro balio badu, zein da Dl-ren balioa? c) Zenbat metro gehitu behar zaizkio 9 Dm, 7 m eta 6 dm-ri Hm-ra iritseko? d) Auzo-bide batek hiru atal ditu: lehenengoak 8 Hm eta 6 m neurtzen du; bigarrenak 56 Dm; eta hirugarrenak 1 Km, 6 Dm eta 5 m. Zenbat metro ditu guztira bide horrek? e) Salgai jakin bateko metro erosteko 165 euro ordaindu da. Zein da 4 cm-ren balioa? Oso kalkulu errazak dira 9

29 1. Soro laukizuzen batetik bi triangelu angeluzuzen kendu zaizkio (irudian ageri den moduan), eta nekazaritzarako erabiliko den ABCD saila gelditu zaigu. Zein da nekazaritzarako sail horren azalera Ha-tan neurtuta? Nekazaritzarako saila Galdera hau ebatzi ahal izateko, laukizuzenaren azalerari bi triangeluen azalerak kendu behar zaizkio A = = 4.76,5m = 0, 47Ha. Zein da bi herriren arteko benetako distantzia, 1: eskalako mapa batean euren arteko distantzia mm-koa bada? Eman erantzuna km-tan. Herrien arteko distantzia: () = mm = 5, 75Km 10

30 . Kalkula itzazu ondorengo triangelu angeluzuzenaren hiru aldeak, sen0º = 0,5 dela jakinik a 1 sen0º = = 0 a = 15cm b = = = , cm 4. Esan zein adierazpen algebraikori dagokion ondoko grafikoa: a) y = y c) y = y + 1 b) y y = d) y = y + 1 Zuzenaren malda negatiboa da, eta gainera ordenatu-ardatza 1 puntuan ebakitzen du. Beraz, hau da adierazpen posible bakarra: d) y = y Adieraz itzazu ondorengo grafikoak koordenatu-ardatz batean: a) y = -x-1 b) y = x Zein puntutan ebakitzen egiten dute topo bi grafikoek? 11

31 Bi grafikoen arteko ebakidura-puntua ezagutzeko, ekuazio-sistema askatu beharko dugu. Emaitza: P (-1/5, -/5) 6. Adieraz ezazu ondorengo funtzioa koordenatu-ardatz batean y = ( x 1) + Zein da funtzio horren erpina? 1 Funtzioa bigarren mailako ekuazio bat denez, parabola bat da. Funtzioaren minimoarekin bat etortzen da bere erpina: V(1, 1) 7. Ondorengo irudian adierazten diren y = x x + 1 eta y =5x-1, funtzioak kontuan hartuta, Kalkula itzazu bi funtzioen arteko ebakidura-puntu zehatzak. 1

32 Ebakidura-puntu zehatzak ezagutzeko, bigarren mailako ekuazio hau ebatzi behar dugu: x x x + 1 = 5 1 Beraz, bi ebakidura-puntu izango ditu, eta horietako bat irudian ikusten da. 8. Bidaiatzeko asmoz etxetik irten da Rosa. Bere etxetik tren-geltokira motorrean joan da. Geltokian pixka bat itxoin behar izan du. Trenean igo eta azken 10 minutuetan trenak polikiago joan behar izan du trenbidean lanak egiten ari baitira. Espazioa (km) a) Zenbat denbora pasa da Rosa etxetik irten zenetik? b) Zenbat denboraz itxoin behar izan zuen trena atera arte? c) Zenbat denboraz egon zen trenean? d) Zein izan zen trenbideko lanengatik trenak zeraman abiadura? a) 50 minutu b) 10 minutu (0 eta 0. minutuen bitartean) c) 0 minutu (0 eta 50. minutuen bitartean) d) 90 km/h (15 m 10 minututan) Denbora (minutuak) 9. Ikasleek Institutura heltzeko behar izaten duten denbora adierazten digu ondorengo grafiko estatistikoak. Ikasle kopurua Denbora (minututan) Zenbat ikaslek behar izaten dute 10 minutu baino gehiago Institutura iristeko? 1

33 5 ikaslek 11 eta 15 minutu bitartean behar izaten dute, eta beste k 16 eta 0 minutu bitartean. Beraz, guztira 7 ikasle dira. 40. Etxebizitza-bloke bateko familiek dituzten seme-alaba kopurua hau da: Seme-alaba kopurua Familia kopurua Kalkula itzazu: a) Familiako seme-alaba kopuruaren batezbesteko aritmetikoa. b) Familia bakoitzeko seme-alaba kopuruaren moda. c) Adieraz ezazu banaketa estatistikoa, grafiko egoki baten bitartez. A) Ondorengo formularen bidez kalkulatuko dugu batezbestekoa: = B) Gehien errepikatzen den balioa da moda. Kasu honetan: azterketen multzoan ikasle batek lortu duen batezbesteko aritmetikoa 6 puntukoa izan da. Lehenengo lau azterketetako notak hauek izan dira: 4, 7, 6 eta 5 puntu. Zein izan zen azken azterketako nota? Ezagutzen ez dugun balioari x izena ematen badiogu baldintza hau betetzen da: x 5 =, eta hortik 0 = x, hau da, azken azterketako nota: x = jokalarik osatzen dute saskibaloi-talde bat. Hauek dira euren garaierak: 185 cm, 190cm, 00 cm, 198cm, 190cm, 0cm, 196cm, 194 cm, 01cm eta 188cm. Kalkula itzazu garaiera-banaketa honi dagozkion moda, mediana eta batezbesteko aritmetikoa. Batezbestekoa= Moda = 190 cm Mediana = = 194,4cm = 195cm 14

34 4. Honela banatu ditu nekazari batek bere lurrak: frutasoroa, baratza eta zerealak. Guztira 0 ha-ko azalera badu, adieraz ezazu nekazariak landatu duen sail bakoitzaren azalera. baratza % 11 frutasoroak % zerealak % 66 Landatutakoaren arabera: Baratza = 0 x % 11 =, ha. Fruta-soroa = 0 x % = 4, 6 ha. Zerealak = 0 x % 66 = 1, ha bonbillen sortatik zoriz 50 hautatu ziren egiaztatzeko. Lagineko bonbillen artean akastunak suertatu baziren, zenbat bonbilla akastun izango dira sorta osoan? Zein da bonbilla akastuna tokatzeko probabilitatea? Bonbilla akastuna tokatzeko probabilitatea: /50 = 0,04 Beraz, bonbillen artean 1.00 akastunak izango direla espero da. 15

35 PROGRAMAZIOA ETA IKASKETARAKO BALIABIDEAK PROGRAMAZIOA MODULUAREN IKUSPEGI OROKORRA Hamar ikasketa-unitatetan antolatu da modulu hau. Lau eduki-blokeetan agertzen diren eduki guztiak jorratzen dira ikasketa-unitateotan. Lehenengo hiru unitateak oinarrizkoak eta funtsezkoak dira gainontzekoak ulertzeko: zenbakien eta aljebraren alderdiak sakontzen dira. Hurrengo hiru unitateetan neurriaren gaia jorratzen da, zuzenean nahiz zeharka, eta geometriarekin duen lotura; neurriarekin duen loturaren bitartez eragiketa geometrikoak ebaztea lortu nahi da. Hurrengo bi unitateetan funtzioak eta funtzioen aplikazioak aztertuko dira, eta funtzioek izan ditzaketen aldaera ezberdinei (hitzezkoa, tabularra, grafikoa eta aljebraikoa) garrantzi handia emango zaio, funtzio linealen eta koadratikoen erabileran trebatuz. Azken bi unitateetan estatistikaren eta zoriaren inguruko edukiak landuko dira, matematikan nahiz gure inguruan garrantzia hartzen ari diren esparruak baitira. Moduluaren zentzua guztiz praktikoa da, eta funtzio anitzekoa. Ariketen ebazpenean oinarritutakoa da. Modulu honetako jarduerak azaltzerakoan kontuan izan behar dugu matematika dela beste hainbat esparrutan sakontzeko oinarrizko tresna: fisikan, kimikan, teknologian eta matematikan, noski. Jarraian laburki azaltzen dira ikasketa-unitateak. Eduki-blokeak Ikasketa Ordu Izendapena Unitateak kopurua 1. Zenbakizko kalkulua eta IU 1 Zenbakiak eta eragiketak 8 ordu aljebra IU Lengoaia aljebraikoa eta 6 ordu aplikazioak IU Zenbakizko 4 ordu proportzionaltasuna. Geometria eta neurriak IU 4 Irudi eta gorputz geometrikoak 4 ordu IU 5 Antzekotasun geometrikoa eta aplikazioak 5 ordu IU 6 Irudien eta gorputzen neurriak 6 ordu. Funtzioak IU 7 Funtzioen mundua 6 ordu IU 8 Funtzio-motak: linealak eta 9 ordu koadratikoak 4. Estatistika eta IU 9 Estatistika 6 ordu probabilitatea IU 10 Probabilitatea 6 ordu 1. Ikasketa Unitatea: ZENBAKIAK ETA ERAGIKETAK (8 ordu) Geroko garapenerako funtsezkoa da unitate hau. Bertan lantzen diren zenbakiak eta euren arteko erlazioak trebetasunez erabiltzea da helburuetako bat. Garrantzizkoa da zatikizko zenbakiak eta hamartarrekin edo portzentajeekin duten lotura ongi ezagutzea, beste ikasketaunitate batzuetarako funtsezkoak izango baitira, adibidez, proportzionaltasunerako eta estatistika edo zoriaren inguruko ariketetarako. Gainera, garrantzitsua izango da ikasleek zenbakizko magnitudeen ordenari buruzko gaitasuna garatzea; horrela, oso zenbaki handiekin edo oso txikiekin lan egiteko notazio zientifikoa erabiltzen irakatsi behar zaie. Estimazioarekin eta hurbilketarekin lotutako teknikak ere ikasi beharko dituzte ikasleek, matematika gutxi jakinda ere, teknika horiekin egoera asko ebatzi ahal izango baitute. 1

36 Zenbakiekin egindako oinarrizko eragiketak (batuketa, kenketa, biderketa, zatiketa, berreketa eta erro karratua) segurtasun eta konfiantza osoz egitera iritsiko dira. Kasu guztietan ez da beharrezkoa izango eragiketen kalkuluetako algoritmoak arkatzez paperean egitea. Kalkulagailua zentzuz erabiliz gero kalkulu asko aurreztuko dizkigu, eta bestelako prozesuetan buru-belarri jardun ahal izango dugu. Ariketa-mota anitz ebazteko balio behar du unitate honek, horrela, zenbakizko zentzua deitutakoa aberasteko. Matematikan aurrera egiteko beharrezkoak diren oinarrizko tresnez hornitzea da unitate honen helburua.. Ikasketa Unitatea: LENGOAIA ALJEBRAIKOA ETA APLIKAZIOAK (6 ordu) Aljebraren eta bere metodoen lehenengo hurbilketa garrantzitsua da unitate hau. Aritmetikaren luzapen moduan sortu zen aljebra. Unitatea hasteko, gure lengoaiaren eta aljebrako lengoaiaren arteko loturak aztertuko dira. Gero adierazpen aljebraikoak eta adierazpenen zenbakizko balioak aztertuko dira, hau da, ekuazioa eta bere soluzioak. Unitatearen azken atala ekuazioen ebazpenak burutzeko utzi da. Ekuazioa ebazteak zer esan nahi duen eta ebazteko teknikak zeintzuk diren jakitea oso garrantzitsua da. Unitate honetako zentzua oso instrumentala da, hau da, ekuazioak (lehenengo eta bigarren mailakoak) ebazteko tresna ahaltsua da aljebra, baita planteamendu aljebraikoak dituzten ariketen ebazpenerako ere. Ariketak ebazterakoan alferrik galdu behar ez dugun tresna ahaltsua da aljebra.. Ikasketa Unitatea: ZENBAKIZKO PROPORTZIONALTASUNA (4 ordu) Zenbakizko proportzionaltasunarekin (zuzenekoa nahiz alderantzizkoa) lotutako gaiak jorratuko dira unitate honetan. Zenbakizko arrazoia eta proportzioa kontzeptuak aztertuko dituzten egoerak proposatuko dugu lehenik, eta zuzenki proportzionalak diren magnitudeen ezaugarriak aztertuko dira. Zenbakizko proportzioaren kontzeptuak oso argi gelditu behar du. Geroago aztertuko dira hiruko erregela bakuna, banaketa zuzenki proportzionalak, eta portzentajeen inguruko arazoak, ahal dela eguneroko bizimoduan agertzen diren egoerekin lotutakoak. Unitateko azken atalean alderantzizko proportzionaltasunak eta horien ebazpenak jorratuko dira. Moduluaren garapenean oso unitate garrantzitsua da, maila honetako prozesu matematiko askotan proportzionaltasunaren (zuzenekoa nahiz alderantzizkoa) ideiaren erabilera iaioa behar izaten baita. Ikasketa-unitateokin lotura handia du unitate honek: 1, 5 eta Ikasketa Unitatea: IRUDI ETA GORPUTZ GEOMETRIKOAK (4 ordu) Iraupen motza du unitate honek (4 ordu). Helburua, geometriaren munduan murgildu eta lengoaia gure egitea da: paralelotasuna, elkarzutasuna, ebakidurak, berdintasunak, ertzak, angeluak, planoak, poligonoak, poliedroak, etab. Gainera, zenbait poligonoren (triangeluak eta laukizuzenak bereziki) eta poliedroren (erregularrak) ikasketan sakonduko dugu, berauetako propietate aritmetiko eta geometriko jakin batzuk jorratzeko. Izaera kontzeptual garbia du unitate honek. Lantzeko, inguruan ditugun elementu geometrikoak aztertuko ditugu. Hurrengo ikasketa-unitatearekin lotutakoa da unitate hau.

37 5. Ikasketa Unitatea: ANTZEKOTASUN GEOMETRIKOA ETA APLIKAZIOAK (5 ordu) Proportzionaltasun geometrikoaren inguruko guztia aztertzen da unitate honetan: Tales-en Teorema, antzekotasunak eta eskalak. Unitatearen hasieran Tales-en Teoremarekin lan egingo dugu, triangeluen kasuetan aplikatuz. Triangelu antzekoak zer diren argi izan behar dugu. Gero, poligono antzekoak landuko dira, euren arteko antzekotasun-arrazoia bilatuz. Unitatearen amaieran planoetako eta mapetako eskalak aztertuko dira, hainbat ariketen bidez. Hurrengo ikasketa-unitatean aztertuko diren trigonometriaren inguruko gaiak ulertzeko funtsezkoa da antzekotasun geometrikoan azaltzen diren kontzeptuak jakitea. 6. Ikasketa Unitatea: IRUDIEN ETA GORPUTZEN NEURRIAK (6 ordu) Zenbakizko eta geometriazko kontzeptuak garatu eta finkatzeko aproposa da unitate hau. Hasteko, Sistema Metriko Hamartarraren oinarrizko unitateen multiplo eta azpimultiploak landu behar dira, baita angeluen neurriak ere, sistema hirurogeitarraren bidez. Unitate honen funtsezko helburua perimetroa, azalera eta bolumena kontzeptuak ulertzea da, baita ohikoenak diren azalerak eta bolumenak kalkulatzeko formulen bidez, eta neurri ezberdinak erabiliz, zeharkako kalkuluak egitea ere. Irudi eta gorputz zehatzen azaleraren eta bolumenaren kalkuluari dagokionez, laukizuzenaren azaleraz baliatuz (eta eraldaketa txiki batzuk eginez) beste poligono batzuen azalera kalkulatu daitekeela azpimarratu behar da; bolumenen kasuan, aldiz, prismen ikerketa ezinbestekoa da beste oinarrizko poliedro batzuen neurriak ebatzi ahal izateko. Unitatearen azken atalean Pitagoras-en Teorema aztertuko da, eta teorema horrekin lotutako neurriei buruzko ariketak burutuko dira. Amaitzeko, Trigonometriaren esparrua eta metrikaren inguruko ariketen ebazpena gainetik ikusiko ditugu trigonometriako kontzeptuak aztertuz eta kalkulagailu zientifikoak erabiliz. 7. Ikasketa Unitatea: FUNTZIOEN MUNDUA (6 ordu) Grafikoen mundura hurbilduko gaitu unitate honek. Gaia ongi ikasteko, grafikoetako zenbait lengoaia (hitzezkoa, tabularra, grafikoa eta aljebraikoa) eta lengoaia batetik bestera itzultzeko gaitasuna trebatu behar dira. Funtzioek aldi berean aldatzen diren bi magnituderen arteko lotura ematen dutela argi geratu behar zaigu unitate honetan. Modu berean, grafikoetako ezaugarri orokorrak (hazkundea, beherapena, jarraitasuna, etab.) aljebra erabili gabe aztertzea ere komenigarria da. Unitate honetan kualitatiboki aztertuko dira funtzioak, eta ahal dela, errealitatean gerta daitezkeen testuinguruekin lotutakoak izango dira. 8. Ikasketa Unitatea: FUNTZIO-MOTAK: LINEALAK ETA KOADRATIKOAK (9 ordu) Bi funtzio-mota sakonean aztertzen dira ikasketa-unitate honetan: funtzio linealak eta funtzio koadratikoak. Oso garrantzizkoa da funtzio linealak aurreko unitateetan aztertutako proportzionaltasunarekin lotzea. Zuzenen malda kontzeptua ere oinarrizko kontzeptu trigonometrikoekin batera aplikatu ahal izango dugu. Maldaren bidez funtzio linealen hazkundea edo beherapena aztertu ahal izango dugu. Bi puntu zehatzetatik pasatzen diren zuzenen ekuazioak (funtzio linealak) kalkulatzen ere jakin beharko dugu, eta puntuak/malda ekuazioarekin lotuko ditugu. Funtzio koadratikoak bigarren mailako ekuazioak direnez, kontzeptuon ezagutza praktikoa gomendagarria da: erroak eta erpina. Bi funtzio-mota hauek aztertzeak Fisikako edo Teknologiako hainbat kontzeptu ulertzen lagunduko digu.

38 9. Ikasketa Unitatea: ESTATISTIKA (6 ordu) Estatistikaren esparruan moduluak biltzen dituen kontzeptu guztiak azaltzen dira unitate honetan. Maiztasun-taulen bidez datu estatistikoak bildu eta antolatzea jorratuko da unitate honen hasieran. Gero, estatistikako grafikoak aztertuko dira: histogramak, barra-diagramak, sektore-diagramak, etab. Estatistikaren parametroak sakonean aztertuko dira, batez besteko aritmetikoa eta desbideratze estandarra bereziki. Kalkuluak, ahal dela, kalkulagailuaren bidez egingo dira. Parametro horien alderdi kuantitatiboa nahiz kualitatiboa garrantzizkoak dira: batez besteko aritmetikoa izango da balio nagusia, eta desbideratze estandarrak batez besteko horretatik dagoen desbideratzea adieraziko digu. Komunikabideetatik ateratako datuekin lan egiteko unitate aproposa da. Unitatearen azken atalean bi dimentsiotako estatistikaren edukiak aztertuko dira. 10. Ikasketa Unitatea: PROBABILITATEA (6 ordu) Probabilitatearen esparruan moduluak biltzen dituen kontzeptu guztiak azaltzen dira unitate honetan. Zoriaren lengoaia ezagutzea eta neurri batean menperatzea beharrezkoa da: ausazko saiakuntza, gertaera, etab. Geroago, gertaeren maiztasuna eta probabilitatea kontzeptuak aztertuko dira. Probabilitatearen kontzeptuak argi gelditu behar du, eta horretarako, ausazko saiakuntza asko proposatu eta gertakarien probabilitatea kalkulatu behar dira (oinarrizkoak izanik ala ez izanik), intuizioa erabilita egiten bada ere. Unitatearen azken atalean Laplace-ren legea aztertzen da, zenbait gertakari konplexuagoetako probabilitatea kalkulatu ahal izateko. Unitatea praktikoa izango da guztiz, eta ongi aukeratutako jarduera esanguratsuen ebazpenak burutuko dira. 4

39 Ikasketa Unitateen eta ezagutza-adierazleen arteko elkarrekikotasunak. Adierazi berri ditugun IU bakoitzerako ariketak ezagupenen adierazlearen araberakoak izango dira, eta horien arteko lotura beheko taulan adierazitakoa da: Ikasketa Unitateak Izendapena Ezagupenen adierazleak IU 1 Zenbakiak eta eragiketak 1.1; 1.; 1.;1.4 eta 1.11 IU Lengoaia aljebraikoa eta aplikazioak 1.6; 1.7; 1.8; 1.9; 1.10 eta 1.11 IU Zenbakizko proportzionaltasuna 1.; 1.; 1.5 eta 1.11 IU 4 Irudi eta gorputz geometrikoak. eta.4 IU 5 Antzekotasun geometrikoa eta aplikazioak. eta.6 IU 6 Irudien eta gorputzen neurriak.1;.;.;.5;.6 eta.7 IU 7 Funtzioen mundua.1;.4 eta.5 IU 8 Funtzio-motak: linealak eta koadratikoak.;. eta.5 IU 9 Estatistika 4.1; 4.; 4. eta 4.4 IU 10 Probabilitatea 4.5 Ikasketa-unitateetan aplikatu beharreko metodologia Ongi aukeratutako ariketen ebazpenean oinarrituko da unitate guztietako metodologia. IKASKETARAKO BALIABIDEAK Gai hauek prestatzen laguntzeko (prestaketa autodidakta nahiz zuzendua), baliabide eta euskarri didaktikoak erabiltzea ezinbestekoa da, eta liburuak izaten dira horien artean erabilienak. Modulu hau prestatzeko, Derrigorrezko Bigarren Hezkuntzan erabiltzen den matematikari buruzko edozein liburu erabil dezakegu. Horrela, gure gomendioa: - Matemáticas de 1º a 4º de la ESO. Argit.: ANAYA. Egileak: José Colera eta beste hainbat. - Matemáticas de º y 4º de la ESO. Argit: SANTILLANA. Serie Práctica - Matemáticas: Adaptación curricular. º y 4º de la ESO. Argit: SANTILLANA. (Problemak ebazteko bereziki) - Matemáticas Educación Secundaria de Adultos (ESA) Argit: MC GRAW HILL Egileak: Miguel Castillo eta beste hainbat. - Matemáticas Colección Eduforma: para Graduado en Educación Secundaria (Proba libreak eta LHko Erdi Mailako Heziketa Zikloetarako sarbide-probak) MAD Argitaletxea 5