MECÁNICA CUÁNTICA 2. ORIXES DA TEORÍA CUÁNTICA: RADIACIÓN DO CORPO NEGRO. HIPÓTESE DE PLANCK

Transcript

1 MECÁNICA CUÁNTICA 1. INTRODUCIÓN No tema anterior vimos como a busca dun sistema de referencia privilexiado, en repouso absoluto, chocou de cheo cos postulados da Física Clásica e como os intentos de solucionalo contribuíron á aparición da teoría da relatividade. A comezos do século XX apareceron novos fenómenos físicos que eran difíciles de explicar dentro do marco da Física Clásica. Entre eles a emisión de radiación EM polos corpos ou o efecto fotoeléctrico. Os traballos de científicos como Planck, Einstein, Heisenberg,, permitiron a explicación destes fenómenos e abriron un novo campo de coñecementos, a Mecánica Cuántica, que dá una descrición máis probabilística á natureza, introducindo magnitudes discontinuas fronte á concepción continua da Mecánica Clásica. 2. ORIXES DA TEORÍA CUÁNTICA: RADIACIÓN DO CORPO NEGRO. HIPÓTESE DE PLANCK Sabemos que os corpos poden intercambiar enerxía porque toda a materia pode emitir e absorber calor en forma de radiación térmica. A radiación térmica é unha onda EM (da mesma natureza que a luz). A diferencia está en que os corpos que están a temperatura ambiente emiten radiación infravermella que non é visible. Se por exemplo, quentamos un ferro ponse vermello porque está emitindo radiación dentro do espectro visible coa frecuencia do vermello. Se aumentamos a temperatura tornará a tonos amarelos co que a radiación térmica emitida ten maior frecuencia (ou menor lonxitude de onda). Facendo un estudo desta radiación pode observarse que percorre un rango de lonxitudes de onda que van do infravermello ao ultravioleta pasando polo visible. Isto demostra que a radiación térmica emitida depende directamente da temperatura pero tamén doutras características como a composición química ou a forma da superficie. Para estudar as propiedades da radiación térmica sen que inflúan os anteriores factores, os físicos propuxeron un corpo ideal, o corpo negro. A característica física do corpo negro é que absorbe toda a radiación que lle chega, polo tanto non reflicte nada, e a cantidade e distribución de radiación só depende da temperatura. O corpo negro ideal non existe pero se pode conseguir unha boa aproximación fabricando unha cavidade cun pequeno burato e todas as paredes pintadas de negro. Calquera radiación que entre polo orificio reflictirase m ultiples veces, sendo absorbida polas paredes internas, existindo moi poucas posibilidades de que saia ao exterior polo burato. A radiación emitida por un corpo negro ven determinada por dúas leis: onde: 1. Lei de Stefan-Boltzmann: A enerxía que un corpo negro radia por unidade de tempo e superficie é directamente proporcional á cuarta potencia da súa temperatura absoluta I = σ T 4 I é a intensidade da radiación ou radiancia espectral, enerxía por unidade de tempo e superficie, que se mide en W/m 2 1

2 T é a temperatura absoluta e mídese en graos kelvin σ é a cte universal de Stefan de valor σ = 5' W m-2 k 2. Lei do desprazamento de Wien: A medida que a temperatura do corpo emisor aumenta, a lonxitude de onda para a que a enerxía radiada é máxima disminúe. Así, o produto da lonxitude de onda correspondente ao máximo de emisión pola temperatura absoluta é cte: λ max T = 2' m K temperatura a cor do ferro cambia do vermello ao amarelo. Na gráfica adxunta pode apreciarse a enerxia radiada en función da temperatura e da lonxitude de onda. Para unha temperatura fixa existe unha lonxitude de onda para a cal a enerxía radiada é máxima. Ese pico de enerxía máxima desprazase cara a lonxitudes de onda menores a medida que aumenta a temperatura. Isto explica porque a medida que aumenta a As leis anteriores foron obtidas de forma totalmente empírica e surxen como consecuencia dos datos rexistrados. O verdadeiro desafío estaba en explicar teoricamente a forma da curva para cada temperatura. Isto intentouse aplicando as leis da Física Clásica pero non puido lograrse. As teorías clásicas eran capaces de predicir o que ocorría para lonxitudes de onda largas pero non o decaimento que se producía na enerxía radiada para lonxitudes de onda pequenas. Este feito coñeceuse como catástrofe do ultravioleta. Con elo se quería indicar que a Física Clásica era capaz de explicar fenómenos para o rango das ondas de radio e microondas pero non cando se achega á zona ultravioleta do espectro. Max Planck, científico alemán, plantexou unha solución que se axustaba moi ben á curva experimental obtida para a radiación do corpo negro. Para isto tivo que introducir unha hipótese: A emisión de enerxía en forma de radiación térmica pola materia non ten lugar de forma continua senón mediante cantidades discretas ou cuantos de enerxía proporcionais á frecuencia da radiación E = h f 2

3 onde E é a cantidade de enerxía intercambiada entre a materia e a radiación, mídese en J f é a frecuencia da radiación, mídese en s -1 h é unha constante introducida por Planck de valor 6' J s. Esta cte coñecida como cte de Planck está considerada como unha das ctes máis importantes da natureza. Marca a fronteira que separa o noso mundo, macroscópico, do mundo cuántico. As expresións das que forma parte a cte de Planck involucran enerxías, distancias ou tempos moi pequenos nos que as leis da Física Clásica non funcionan. 3. O EFECTO FOTOELÉCTRICO A finais do século XIX Hertz descubriu que cando determinadas superficies metálicas se sometían á acción da luz (visible ou ultravioleta) se desprendían electróns, chamados fotoelectróns. Chamouse efecto fotoeléctrico. Isto podería explicarse supoñendo que os electróns do metal absorben enerxía da luz incidente e se esta enerxía é suficiente poden saltar do metal vencendo as forzas que os manteñen unidos. Observáronse as seguintes características: O efecto só aparece cando a frecuencia da radiación é superior a certo valor chamado frecuencia umbral. Esta frecuencia depende do metal. Por debaixo da frecuencia umbral non se emiten electróns aínda que se aumente a intensidade da luz. Isto non concorda coa teoría clásica xa que recordemos que, se a luz é unha onda: I = E/(t S) sendo E = 2π 2 ma 2 f 2 Ao iluminar con luz de frecuencia apropiada, isto é, maior ou igual á umbral, o número de fotoelectróns emitidos é proporcional á intensidade, sen embargo a enerxía cinética dos electróns emitidos é independente da intensidad (feito que non concorda coa teoría clásica) e esta enerxía cinética aumenta ao aumentar a frecuencia. Si se invirte a polaridade da fonte e se incrementa a tensión, a partir dun determinado valor, Vo, a corrente de electróns cesa. Ese potencial, chamado potencial de freado, permite calcular a enerxía cinética dos fotoelectróns emitidos, que será igual ao traballo realizado para frealos: 1/2 m v 2 = e Vo sendo e a carga do electrón 3

4 A explicación do efecto fotoeléctrico deuna Einstein, en 1905, aplicando á luz a teoría de Planck sobre a radiación térmica. Pero non limitou a aplicación da teoría á emisión e absorción de enerxía senón que o fixo coa propia natureza da luz. Einstein volveu a introducir a natureza corpuscular da luz. Segundo Einstein a luz estaría formada por multitude de cuantos de enerxía, chamados fotóns que se propagan en todas as direccións á velocidade da luz e teñen enerxía: E = h f sendo h a cte de Planck A explicación que dá Einstein ao efecto fotoeléctrico pode resumirse nos seguintes puntos: Un fotón pode ter enerxía suficiente para arrincar un eléctrón dun átomo. O electrón transforma a citada enerxía en traballo necesario para vencer a forza electrostática que o mantén unido ao átomo. Como os átomos de cada metal son diferentes, a enerxía tamén debe selo o cal explica que a frecuencia umbral dependa do metal. O traballo necesario para arrancar un electrón sería: W 0 = h f 0 (traballo de extracción) A enerxía dos fotóns incidentes pode ser maior que o traballo de extracción. Neste caso a enerxía restante se transforma en enerxía cinética que terá o electrón despois de ser arrancado do metal. Se a enerxía do fotón incidente é E = h f, cúmplese: E incidente = W extracción + E cinética h f = h f 0 + 1/2mv 2 A ecuación anterior chámase ecuación Einstein do efecto fotoeléctrico e explica porque non aumenta a enerxía cinética dos electróns cando aumenta a intensidade da luz. A enerxía dos electróns depende só da frecuencia umbral e da frecuencia da luz incidente. Un aumento de intensidade só indica un aumento de fotóns que chegan á superficie co cal o número de electróns arrancados sería maior pero non a súa enerxía. 4. EFECTO COMPTON A idea de Einstein de que a luz estaba formada por cuantos recibiu un forte apoio cando Compton en 1923 explicou o fenómeno de dispersión de raios X por electróns. Ao facer incidir raios X (radiación EM de alta frecuencia) sobre cristais de calcita observou que a radiación dispersada tiña menor frecuencia que a incidente. Este feito era inexplicable se se concebía a radiación como unha onda xa que estas non varían a súa frecuencia ao cambiar de medio. En cambio tiña fácil explicación se se interpretaba como un choque elástico entre partículas: un fotón incidente e un electrón da corteza dos átomos da calcita. En efecto o electrón gaña enerxía mentres que o fotón a perde. Se a enerxía do fotón é h f e perde enerxía, a radiación saínte terá menor frecuencia. 4

5 Compton atopou experimentalmente que a diferencia de lonxitudes de onda da radiación saínte e entrante non depende da lonxitude de onda da radiación incidente nin das propiedades da sustancia dispersora senón do ángulo de dispersión da radiación, θ, segundo a expresión: λ f λ i = h (1 cosθ)/(m e c) Onde λ c = h/(m e c) coñécese como lonxitude de onda Compton que foi determinada experimentalmente cun valor de 2' m A esta expresión pode chegarse facendo uso dos principios de conservación da cantidade do movemento e da enerxía, en termos relativistas (pola grande velocidade das partículas). 5. DUALIDADE ONDA-CORPÚSCULO. HIPÓTESE DE DE-BROGLIE Chegamos ao ano 1923 con fenómenos luminosos que son interpretados mediante unha teoría ondulatoria (interferencias, difracción,...) mentres que outros hai que interpretalos mediante a teoría corpuscular (efecto fotoeléctrico, efecto Compton,...). Os científicos encóntranse ante un dilema xa que uns experimentos indican que a luz se comporta como unha onda e outros como un chorro de corpúsculos, tendo que admitir que a luz presenta unha doble natureza segundo o fenómeno que se estude. Isto fixo pensar a De-Broglie se a materia podería comportarse como unha onda, é dicir, se toda partícula en movemento tería asociada unha onda. Calculemos a lonxitude de onda dun fotón a partir da enerxía Se consideramos a onda asociada ao fotón, segundo Planck: E = h f = h (c/λ) Se o consideramos como partícula pola ecuación de Einstein: E = m c 2 (sendo m a masa que se transforma en enerxía) Igualando ambas expresións: h (c/λ) = m c 2 λ = h/(m c) Esta fórmula, que é valida para o caso dos fotóns, foi xeneralizada por De-Broglie en 1924 a toda partícula en movemento, establecendo o seguinte principio: A toda partícula en movemento (electrón, protón, molécula,...) lle corresponde unha onda de lonxitude de onda, λ = h/(m v), sendo m a súa masa e v a velocidade que leva, e frecuencia f = E/h Esta suposición foi confirmada anos máis tarde por Davisson e Germer ao facer incidir un feixe de electróns sobre un metal obtendo imaxes de difracción cunha lonxitude de onda que corresponde coa obtida por De-Broglie. 5

6 6. PRINCIPIO DE INCERTEZA DE HEISENBERG O maior contraste entre a Mecánica Clásica e a Mecánica Cuántica demostrouno Heisenberg en 1927 investigando as implicacións do proceso de medida sobre un sistema obxecto de estudo No mundo macroscópico é posible observar un fenómeno e medir as súas propiedades utilizando instrumentos que non inflúen de forma apreciable no resultado da medida. Así, se introducimos un termómetro para medir a temperatura da auga dunha piscina, o feito de introducir o termómetro na auga non causa un erro apreciable na medida. Sen embargo no mundo atómico resulta imposible non perturbar cando realizamos unha medida: medir é perturbar e esta perturbación produce unha reducción no noso coñecemento do sistema. Heisenberg realizou un experimento mental que consistía nun canón capaz de lanzar horizontalmente electróns. Para observar a traxectoría dos mesmos dispoñía dunha fonte que emitía fotóns de lonxitude de onda determinada. Segundo a Mecánica Clásica o electrón seguiría unha traxectoria parabólica, pero para ver o electrón era preciso que incidise sobre el un fotón de momento lineal p = h/ λ fotón. Isto segundo o efecto Compton provoca un cambio na traxectoria e polo tanto na velocidade do electrón o cal supón unha variación na cantidade de movemento do electrón. Se intentamos minimizar este efecto utilizando fotóns de menor enerxía,ao aumentar λ tamén aumenta a difracción co cal sería difícil observar ao electrón, é dicir, determinar a súa posición. Xeneralizou este resultado no principio de incerteza ou indeterminación segundo o cal hai pares de magnitudes que ao medilas simultáneamente, a máxima precisión dunha delas xenera menor exactitude na medida da outra, de modo que o produto dos erros cometidos na medida simultánea de dúas magnitudes é maior ou igual que h/2π As magnitudes que cumplen o principio de incerteza son todas aquelas cuxo produto ten as unidades da cte de Planck x p h/2π E t h/2π Unha manifestación do principio de incerteza é a dualidade onda-corpúsculo da radiación e da materia. Como as ondas non se poden localizar no espazo, a posición dunha partícula con características ondulatorias está sometida a unha incerteza e a onda asociada á partícula representa só a probalidade de atopala nun punto do espazo. 6