Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΣ & /ΘΜΙΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΡΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : ΗΡΚΛΕΙΟ Τηλ. υπηρεσίας : Τηλ. Κατοικίας : Κιν. : Πληροφορίες : Άννα Μακρή Τηλέφωνο - FAX : Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 008 ρ. Πρωτ.: 388 Προς : Τους κ. κ. ιευθυντές και Kαθηγητές Μαθηµατικών των Λυκείων του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: κ.προϊσταµένη Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜ : «ειγµατικές ιδασκαλίες Σχέδια ιδασκαλίας Λυκείου» Συνάδελφοι, Τον περασµένο µήνα πραγµατοποιήθηκαν πολλές δειγµατικές διδασκαλίες στα πλαίσια της επιµόρφωσης των νεοδιόριστων καθηγητών. Οι περισσότεροι συνάδελφοι τις πραγµατοποίησαν µε προθυµία, αλλά και όσοι είχαν φόβους ή δισταγµούς στο τέλος εκφράσανε την χαρά τους και την θέλησή τους να κάνουν και άλλες. Είναι γνωστά τα οφέλη του Καθηγητή από την πραγµατοποίηση και την παρακολούθηση δειγµατικών διδασκαλιών. κόµα και το ξεπέρασµα του ενδεχόµενου «φόβου» της παρουσίας άλλων συναδέλφων έχει την αξία του για την ενδυνάµωση της διδακτικής προσωπικότητας και παρουσίας του Καθηγητή στη τάξη. Θα σας πρότεινα λοιπόν από φέτος να αρχίσουµε µια πιο στενή συνεργασία µε στόχο την πραγµατοποίηση δειγµατικών διδασκαλιών. Ευχής έργο θα ήταν να πραγµατοποιηθεί µια τουλάχιστον δειγµατική διδασκαλία σε κάθε Λύκειο την οποία να παρακολουθήσουν αν είναι δυνατόν όλοι οι καθηγητές Μαθηµατικών του Λυκείου αυτού. Κάθε καθηγητής που θα διδάξει - σε τρέχουσα διδακτική ενότητα - µπορεί να ακολουθήσει τον τρόπο διδασκαλίας που επιθυµεί, συνεργαζόµενος αν το επιθυµεί µαζί µου. Η σχετική συζήτηση που θα ακολουθεί, θα επικεντρώνεται στην διδακτική µεθόδευση της Μαθηµατικής ύλης και τον τρόπο διδασκαλίας και όχι στο διδάσκοντα. Παρακαλώ λοιπόν όσοι συνάδελφοι θέλουν να κάνουν δειγµατική διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το δηλώσουν µε ή τηλεφωνικά. ν σε ένα σχολείο δεν υπάρξει προθυµία από καθηγητές του σχολείου, η διδασκαλία θα γίνει από εµένα σε

2 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά όποιο χρόνο καταστεί αυτό εφικτό. ν όµως κάποιοι συνάδελφοι εκφράσουν την επιθυµία να παρακολουθήσουν κατά προτεραιότητα δική µου διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το γνωστοποιήσουν το συντοµότερο δυνατόν. Παρακάτω σας επισυνάπτω µερικά σχέδια διδασκαλίας (Σ..) Τα Σ.. µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυτούσια µετά ίσως από κάποιες προσαρµογές, αλλά ο κύριος λόγος που σας τα στέλνω είναι για µελέτη και εξοικείωση. Η µελέτη αυτή θα εµπλουτίσει το ρεπερτόριο του Καθηγητή και θα τον κάνει περισσότερο ικανό να φτιάχνει τα δικά του Σ.. προσαρµοσµένα πλέον στο δικό του στυλ και στο επίπεδο των µαθητών του, βασιζόµενα ασφαλώς στις βασικές αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας. ια τα Σ.. σας έχω στείλει αναλυτικό υλικό πέρυσι ( ). Μερικά από τα Σ.. συνοδεύονται από φύλλα εργασίας, τα οποία δεν είναι πάντα απαραίτητα, όπως τα Σ..-απλά ή σύνθετα- αλλά σε σηµαντικές διδακτικές ενότητες και ιδίως όταν έχουµε «αδύνατους» ή «ζωηρούς» µαθητές είναι πολύ χρήσιµα, αφού εθίζουν τους µαθητές στην αυτενέργεια. ια το θέµα αυτό θα µας δοθεί η ευκαιρία να πούµε περισσότερα σε κάποια συνάντησή µας.

3 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 3 1. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΛΕΡ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ρέθυµνο 5/3/008 ιδακτική ενότητα.3: ραφική παράσταση συνάρτησης η συνάρτηση. f(x) = αx+β. Σχολείο : ο Λύκειο Ρεθύµνου, Τάξη 3. ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν τι είναι η γραφική παράσταση (γ. π. ) µιας συνάρτησης («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να σχεδιάζουν την γ.π. της συνάρτησης («Νοητικές δεξιότητες») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να αναγνωρίζουν την γ.π. µιας συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να βρίσκουν τα κοινά σηµεία της γ.π. µιας συνάρτησης µε τους άξονες.(«νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Συνδυασµός επαγωγικής - παραγωγικής µεθόδου. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες, τετραγωνισµένο χαρτί. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων ιατεταγµένα ζεύγη αριθµών και σηµεία του επιπέδου. Συµµετρίες. Εύρεση κρυµµένου θησαυρού Θ(χ, χ) που απέχει από το σηµείο (0, 7) απόσταση 5µ. Τι λέµε συνάρτηση από το σύνολο στο σύνολο ;. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Πληροφόρηση Οι πίνακες, τα διαγράµµατα µας δίνουν µε απλό και όµορφο τρόπο πολλές πληροφορίες παρά ένα µακρόσυρτο µονότονο κείµενο. Τον ίδιο λόγο εξυπηρετούν και οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, δηλαδή µεγεθών που εξαρτώνται από άλλα. ι αυτές θα µιλήσουµε εισαγωγικά σήµερα. 3. νάκληση προηγουµένων γνώσεων Πως παριστάνουµε ένα ζευγάρι αριθµών (χ, ψ) στο επίπεδο; Χαρακτηριστικό των σηµείων του χ, ψ-άξονα.

4 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 4 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Έννοια της γ.π. η f(x) = αχ + β. Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης φ(χ) = χ+4, όταν χ {-1,-, 0, 1,}. Πίνακας τιµών. Φτιάξτε ένα σύστηµα συντεταγµένων στο τετρ. χαρτί σας και σηµειώστε τα σηµεία (χ, φ(χ)), χ {-1,-, 0, 1,}. Τι γίνεται όταν το χ παίρνει τιµές σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης φ(χ) = χ + 4 ; Ορισµός γ. π. Εξίσωση γ.π. ενικά η f(x) = αχ + β. Σε ποιο σηµείο τέµνει τον ψ-άξονα; Να κάνετε τη γ.π. της y = -χ +.. Χαρακτηριστικό γ. π. συνάρτησης. Οποιαδήποτε καµπύλη µπορεί να είναι γ.π. κάποιας συνάρτησης; Eίναι δυνατόν τα σηµεία (1, ), (1, 5) να ανήκουν στην γ. π, µιας συνάρτησης; (σχετική άσκηση µε διάφορες καµπύλες) 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. A. Σηµείο σε γ. π. Πότε ένα σηµείο (κ, λ) θα ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης y = g(x). Να εξετάσετε αν το σηµείο (, -1) είναι σηµείο της γ. π. της συνάρτησης y = 3x - 4. Σηµεία τοµής µε άξονες. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης χ(t) = t - 3 µε τους άξονες. Συµπέρασµα. 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Nα βρείτε το α ώστε το σηµείο (α, 1) να ανήκει στη γ.π. της συνάρτησης ψ = 3χ+4 x ρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης φ(χ) = 1 x+ x µε τους άξονες. Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο (-1, ) να ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης χ(α) = 5α - λ α- 4λ. Εργασία στο σπίτι : i) σκήσεις βιβλίου 9(i), 10 (iii), (iv),11. ii) Nα κάνετε την γ. π. της συνάρτησης ψ = 3χ +3 µε τους άξονες. Προαιρετική : φού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 4 t 3t 4 ψ(t) = στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της t παράστασης µε τους άξονες.

5 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου, Τάξη, ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Μάθηµα: εωµετρία Λυκείου, 3 η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 9.4, Kατανόηση και εφαρµογή των θεωρηµάτων Ι, ΙΙ (γενίκευσης του Πυθ. Θεωρήµατος ) και Πορίσµατος (κριτηρίου γωνιών) - Νόµος συνηµιτόνων - σκήσεις. Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης.. Να κατανοήσουν οι µαθητές τα θεωρήµατα Ι, ΙΙ και το Πόρισµα και να αποκτήσουν την ικανότητα να τα χρησιµοποιούν στην λύση ασκήσεων και προβληµάτων. («Νοητικές δεξιότητες», «νωστική στρατηγική»). Να είναι σε θέση να αναφέρουν τον νόµο των συνηµιτόνων και να τον χρησιµοποιούν σε υπολογιστικά και θεωρητικά προβλήµατα. («Πληροφορίες», «Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρ. κιµωλίες. 1. νάκληση προηγουµένων γνώσεων. V. ιδακτικές ενέργειες Έλεγχος γνώσεων προηγουµένου µαθήµατος (θεωρήµατα Ι, ΙΙ, Πόρισµα) και προ προηγούµενου (Π. Θ.) ενίκευση του Πυθ. Θεωρήµατος ν β γ < α τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο Σ - Λ Σε αµβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει α > β + γ Σ - Λ ν α + β = γ τότε.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε α=5θ, β = 6θ, γ = 7θ (θ > 0).. Πληροφόρηση Σήµερα θα µάθουµε να χρησιµοποιούµε τα θεωρήµατα επέκτασης του Π. Θ. και το πόρισµα κριτήριο σε εφαρµογές, ασκήσεις και προβλήµατα. Επίσης θα δούµε τον «νόµο των συνηµιτόνων» σε τρίγωνο και εφαρµογές του. 3. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές (κ = 6cm, λ = 80mm, µ =1dm). Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές α = 5, β = 10, γ = 4. i) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ µε πλευρές κ = 14, λ = 10, µ = 6 ii) Nα υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΛΜ στην ευθεία ΚΛ. Επίσης το ύψος από την κορυφή Μ.

6 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 6 4. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Ένας Μηχανικός έπρεπε να υπολογίσει το µήκος ΛΜ µιας λίµνης. ια τον σκοπό αυτό τοποθέτησε τρεις πασσάλους,, όπως στο σχήµα. Μέτρησε την γωνία = 60 ο µε το γωνιόµετρο και τις αποστάσεις = 30m, = 50m. Μπορεί άραγε τώρα να βρει τη απόσταση (και εποµένως την ΛΜ;) Λ 50 m Μ 60 ο m 30 m 5. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Πως θα υπολογίσουµε την ; Ποια είναι τα δεδοµένα; Προσπαθήστε να εκφράσετε το τετράγωνο της = α συναρτήσει των πλευρών β, γ και της γωνίας ( περιπτώσεις). α = β + γ γ = α = β + γ + γ = Ποιες δυνατότητες µας δίνει ο νόµος των συνηµιτόνων; 6. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Να βρείτε το µήκος της λίµνης. Σε ένα τρίγωνο είναι α = 5θ, β =7θ, γ=3θ, θ > 0, να υπολογίσετε την µεγαλύτερη γωνία του. β - γ α =, α + β - γ =., αβσυν = Εφαρµογή στην Φυσική (παραλληλόγραµµο δυνάµεων). 7. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. νακεφαλαίωση. Έστω ισοσκελές τραπέζιο µε //. Να εκφραστεί η διαγώνιος συναρτήσει των πλευρών του ( = + ). Έστω ηµικύκλιο διαµέτρου = ρ και µια τυχαία χορδή του. Στην προέκταση της θεωρούµε τυχαίο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι + = + 4ρ. ν γ = α + β + αβ να βρείτε το είδος του τριγώνου και την γωνία. ν σε τρίγωνο ισχύει συν = α/γ να βρείτε το είδος του τριγώνου. ν α, β, γ πλευρές τριγώνου τότε β + α - γ αβ. (*) Εκτός τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα Ε, ΖΗ και ΘΙ. Να αποδείξετε ότι το ΕΗ + Ι + ΘΖ = 3(α + β + γ ). Εργασία στο σπίτι : σκήσεις: Εµπέδωσης 4, αποδεικτικές 1, 5. Προαιρετική : α) ιβλίου Συνθ. Θέµατα. ή 3 και ίσως η (* ).

7 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 7 3. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΜΤΟΣ Τάξη: ιδακτική ενότητα:. Η έννοια της συνάρτησης. Πέραµα : 14/3/007 Καθηγητής: Επαναληπτικές γνώσεις: Η σχέση µεταξύ µεγεθών ή ποσοτήτων ώστε η µεταβολή του ενός να επηρεάζει το άλλο. ίνουµε το παράδειγµα: Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο Ε =πρ ή τα χρήµατα που θα πληρώσουµε αν αγοράσουµε φρούτα µε τιµή,5 /κιλό. Κάνουµε έναν υποτυπώδη πίνακα τιµών για τη συνάρτηση αυτή: y=,5x. Ορισµός της συνάρτησης. Τα χαρακτηριστικά της. Πεδίο ορισµού, σύνολο τιµών =f(a).μια συνάρτηση θεωρείται ορισµένη καλά όταν ξέρουµε τον τύπο, το πεδίο ορισµού και επίσης µπορούµε να βρούµε το σύνολο τιµών της. νεξάρτητη εξαρτηµένη µεταβλητή. ίνουµε έµφαση στη µοναδικότητα της εικόνας για κάθε τιµή της µεταβλητής µας. Παράδειγµα συνάρτησης. Η συνάρτηση f µε τύπο f (x) = x + 1. ίνουµε ={-1, 0, 1, 3, 5}. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα Venn και κάνουµε την αντιστοίχιση f :A B. Μηχανισµός αντιστοίχισης. ρίσκουµε για κάθε x Aτο y= f (x) και στη συνέχεια κατασκευάζουµε το σύνολο {( x, y) / x A, y= f (x)}. Άλλα παραδείγµατα διαγραµµάτων που δείχνουν ή όχι συνάρτηση. Ο τύπος της συνάρτησης f. Συµβολίζεται µε f (x) και ταυτόχρονα παριστάνει και την τιµή της συνάρτησης για κάθε τιµή που παίρνει το x (γι αυτό και γράφουµε y= f (x) ). Παραδείγµατα που µπορεί να έχει ο µηχανισµός αντιστοίχισης. Παράδειγµα πολλαπλής µορφής στην παρακάτω Άσκηση 1: Να βρεθεί η παράσταση A = f ( 1) 3f (1) + f () + f (0), αν x+ 1, αν x 3 f (x) =. x, αν x< 3 αx+ 3, αν x Άσκηση : ίνεται ότι f (x) =. Να βρείτε τον α. 3 αx, αν x Πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Άλλοτε θα µας δίνεται κι άλλοτε όχι. Όταν δεν µας δίνεται, θα παίρνουµε το να είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του Rώστε το f (x) να έχει νόηµα. Πώς το βρίσκουµε όταν δε δίνεται; Θέτουµε περιορισµούς: A ν υπάρχει κλάσµα (ένα η περισσότερα) στον τύπο της f, θα πρέπει B 0. B x (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = ). x 1 ν υπάρχει ρίζα (µια ή περισσότερες) ν A στον τύπο της f, θα πρέπει A 0. (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = x+ ). ν δεν υπάρχει κανείς τέτοιος περιορισµός, ως πεδίο ορισµού θα θεωρείται το R.

8 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 8 Επιπλέον παραδείγµατα: 1 f (x) =, x x g(x) =, x 1 h(x) = x x x 1 ια τη λύση τους, θα χρειαστεί ενδεχοµένως να επαναλάβουµε τις ιδιότητες των απολύτων τιµών, τη λύση εξισώσεων και ανισώσεων και τη συναλήθευση αυτών. Σηµειώσεις 1.Στόχοι της διδασκαλίας: α. Να µπορούν οι µαθητές να αναφέρουν τι λέµε συνάρτηση του συνόλου στο σύνολο, πως παρίσταται, τι λέµε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της. β. Ν µπορούν οι µαθητές να αναγνωρίζουν πότε µια αντιστοιχία είναι συνάρτηση.. Να µπορούν να αναφέρουν τι λέµε τιµή µιας συνάρτησης για µια ορισµένη τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής, να την συµβολίζουν και να µπορούν να την βρίσκουν.. Να µπορούν να βρίσκουν το πεδίο ορισµού απλών συναρτήσεων.. Κίνητρα µάθησης. Την εξάρτηση ενός µεγέθους από άλλα την συναντάµε σε µεγάλο πλήθος µεγεθών. Καλή η σχέση µε το εµβαδόν κύκλου, αλλά να επισηµανθεί ότι από αυτήν προκύπτει ότι το Ε εξαρτάται από την ακτίνα, δηλ. όταν µεταβάλλεται η ακτίνα µεταβάλλεται και το εµβαδόν, το εµβαδόν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Η Συνάρτηση ενός µεγέθους από άλλο ή άλλα εκφράζει πρακτικά µια (ορισµένη ) εξάρτηση του από αυτά. Άλλο παράδειγµα : εµβαδόν ορθογωνίου E=ab (εξάρτηση από δυο µεταβλητές), από τη φυσική: F=G r mm (εξάρτηση από 3 µεταβλητές). Πληροφόρηση : εµείς στο Λύκειο θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις µιας µεταβλητής και θα δούµε τον Μαθηµατικό ορισµό της συνάρτησης. 3. Στον ορισµό συνάρτησης. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν τα 4 σχήµατα (διαγράµµατα Venn) της σελίδας 65 ή άλλα για την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Επίσης να ερωτηθούν αν είναι συναρτήσεις ορισµένες αντιστοιχίες, π.χ.: ) του συνόλου Μ των µαθητών του σχολείου στο σύνολο Σ των σπιτιών τους κλπ ) του συνόλου Θ των θρανίων της τάξης στο σύνολο Μ των µαθητών κλπ Να αναφέρουν µια δική τους αντιστοιχία που να είναι συνάρτηση 4. Στο παράδειγµα συνάρτησης: αρκεί να βρουν το σύνολο τιµών f(a) και να φτιάξουν τον πίνακα τιµών. εν υπάρχει λόγος να γίνει τώρα αναφορά στο σύνολο {(x, y), x, y = f(x)}. 5. Η άσκηση 1 αρκεί για την κατανόηση του πολλαπλού τύπου. 6.ια το πεδίο ορισµού : στο πρώτο µάθηµα µόνο σε απλές συναρτήσεις, π.χ. F(x)= -3x 5 x 4 5α+ +7, φ(χ) =, f(x)=, φ(λ)= λ 8, Σ(α) = x κλπ. 1 α 3α+ σκήσεις όπως η g(x) µπορούν να δοθούν ως εργασία στο σπίτι ή να γίνουν στο επόµενο µάθηµα.h h(x) ίσως είναι δύσκολη, ας δοθεί προαιρετικά. 7. Καλό είναι όπου είναι δυνατόν οι µαθητές να εργαστούν για λίγο µόνοι τους.

9 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 9 4. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Λύκειο Aγίας αρβάρας, Τάξη, 7 Νοεµβρίου 008 ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ.Σ.) Μάθηµα: εωµετρία A Λυκείου, η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 3.6. Kριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν (µε λόγια) τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και τα δυο πορίσµατα. («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν τα κριτήρια αυτά στην λύση ασκήσεων-προβληµάτων που αναφέρονται σε σύγκριση τριγώνων, τµηµάτων και γωνιών. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµ. µαρκαδόροι. χάρτινα ορθ. τρίγωνα. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος κατανόησης προηγουµένου µαθήµατος και ανάκληση προηγουµένων γνώσεων (γενικά κριτήρια τριγώνων) Με ερωτήσεις προς τους µαθητές.. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Λέγεται ότι ο Θαλής (600 π.χ.) για να βρει την απόσταση ενός πλοίου από την παραλία έκανε τα εξής Π λοίο Θ ά λ α σ σ α Ο Π α ρ α λ ί α Πως ήταν σίγουρος ο Θαλής ότι Π = ;

10 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα οποία µαζί µε τα γενικά κριτήρια στα τρίγωνα είναι πάρα πολύ χρήσιµα στη εωµετρία. Επίσης θα µάθετε δυο χρήσιµες προτάσεις στο ισοσκελές τρίγωνο και το κύκλο. 4. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Συγκρίνετε τα τρίγωνα Λ Σχήµα ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρές Κ Μ. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 Ζ ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Μ Σχήµα 4 Κ Ρ

11 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 11 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρά και γωνία. Ζ 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Τι άλλο (το λιγότερο) πρέπει να έχουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (αν επί πλέον έχουν και µια οξεία γωνία ίση; ) Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια 1 υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια πάντηση στο αρχικό πρόβληµα (Θαλή). νακεφαλαίωση. 7. Μεταφορά µάθησης. Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. (Τα πορίσµατα θα τεθούν υπό προβληµατική (και όχι αποδεικτική) µορφή και καταβληθεί προσπάθεια να λυθούν, όπως και η άσκηση, από τους µαθητές.) 8. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης,3,4,5 (µόνο προφορικά ). σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1.

12 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 1 (1) η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές και δυο οξείες γωνίες ίσες, αλλά δεν είναι ίσα (ψευδοίσα): το ένα έχει υποτείνουσα 0 cm και µια κάθετη 15,7 cm και το άλλο κάθετες πλευρές 0 cm και 15,7 cm. () η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν µια κάθετη πλευρά ίση και µια οξεία γωνία, η οποία στο ένα είναι απέναντι στη κάθετη και στο άλλο προσκείµενη. Τέτοια τρίγωνα κατασκευάζονται π.χ. αν φέρουµε το ύψος ενός µη ισοσκελούς ορθ. τριγώνου από τη κορυφή της ορθής γωνίας. (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

13 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 13 ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα ; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Τι σχέση έχουν άραγε τα ορθογώνια τρίγωνα (σύντοµη απόδειξη) Λ Σχήµα Συµπληρώνω : Κ Μ ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δυο. ίσες µια προς µια, τότε είναι. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Λ Ζ Κ Ρ Σχήµα 4

14 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 14 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε Ζ Συµπληρώνω: ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν µια.... ίση και µια. στη πλευρά αυτή. αντίστοιχα ίσες µια προς µια τότε είναι.. 6. Άσκηση: Τι άλλο (το λιγότερο) θέλουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 7.. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (Τι συµβαίνει αν έχουν ακόµη και δυο γωνίες ίσες);. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 8. υο πορίσµατα: Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Άσκηση: Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης, 3, 4, 5 (µόνο προφορικά).. σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1. Πρόβληµα (προαιρετικό) Να βρείτε το είδος των ορθογωνίων τριγώνων µε την ιδιότητα: µια ευθεία που διέρχεται από µια κορυφή τους τα χωρίζει σε δυο ίσα τρίγωνα. (µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το θεώρηµα της 3.10).-

15 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 15 νάλυση Λυκείου 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ιδακτική ενότητα : Θεώρηµα του olzano Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν α) τo Θ. Bolzano (Θ..), β) το πόρισµά του το σχετικό µε την διατήρηση προσήµου συνάρτησης. («πληροφορίες»). Να κατανοήσουν την εποπτικογεωµετρική του «απόδειξη» καθώς και ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του. («Νοητικές δεξιότητες- κατανόηση») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να χρησιµοποιούν το Θ.. στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών. 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν το σχετικό πόρισµα διατήρησης προσήµου συνεχούς συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων εωµετρική συνέπεια της συνέχειας µιας συνάρτησης. Συνέχεια σε διάστηµα [α, β].. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Να λύσετε την εξίσωση χ 3 + χ = 1... Τι θα κάνουµε τελικά µε την εξίσωση αυτή; 3. Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα των συνεχών συναρτήσεων. 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Πρώτη ενορατική προσπέλαση: Σχεδιάστε µια ευθεία στο επίπεδο. Πάρετε ένα σηµείο στο ένα ηµιεπίπεδο και ένα σηµείο στο άλλο. Προσπαθήστε να γράψετε µε το στυλό σας µια «συνεχόµενη» καµπύλη γραµµή που να αρχίζει από το και να καταλήγει στο χωρίς να συναντήσει την ευθεία (και χωρίς να σηκώσετε το στυλό!) (Μπορείτε να αντικαταστήσετε την ευθεία µε ένα ποτάµι και τα σηµεία µε χωριά ).. εύτερη ενορατική προσπέλαση. Προσέξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

16 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 16 C f 4 C g 7 χ C h C φ ρ ρ 1 ρ 3 4 α β. i) ιατύπωση του Θ.....(διευκρίνιση επ ευκαιρία της έννοιας του «υπάρχει» στα Μαθηµατικά και επισήµανση του ότι το θεώρηµα µας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήµατος, δεν µας λέει αν είναι µοναδική, ούτε την υπολογίζει). ii) Θ. Bolzano : Λίγα ιστορικά και πληροφοριακά στοιχεία (βλ. «ιδακτικό υλικό : Όρια Συνέχεια», , σελ.4) iii) Tο αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; (βλ. σχήµα C φ και η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα (όχι αναγκαία). Τι δυνατότητες µας δίνει το Θ..; i) Nα διαπιστώνουµε τη ύπαρξη ρίζας εξίσωσης συνάρτησης σε δεδοµένο ανοικτό διάστηµα και γενικά πολλών ριζών σε διάφορα (ξένα) διαστήµατα. ii) οκιµάζοντας διάφορα κλειστά διαστήµατα να εντοπίζουµε εκείνο στο (εσωτερικό) του οποίου υπάρχει ρίζα (αν οι τιµές στα άκρα του διαστήµατος είναι οµόσηµες δεν αποκλείεται να υπάρχει και σ αυτό ρίζα.) iii) Οι ισοδυναµίες g(χ) = α g(χ) - α = 0, g(χ) = h(χ) g(χ) - h(χ) = 0 µας επιτρέπουν να χρησιµοποιούµε το Θ.. και για άλλες µορφές εξισώσεων θεωρώντας κατάλληλη συνάρτηση. 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Ι. Έστω η εξίσωση χ 3 + χ = 1, χ R. α) Να αποδείξετε ότι έχει µια ρίζα στο διάστηµα (0, 1). β) Μήπως είναι µοναδική (νύξη στη µονοτονία και µοναδικότητα); 1 3 γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα, 4 (η επανειληµµένη χρήση του Θ.. σε διαστήµατα που προκύπτουν µε διχοτόµηση µας δίνει τη δυνατότητα να εγκλωβίζουµε τη ρίζα σε όσο στενά διαστήµατα θέλουµε και έτσι να την υπολογίσουµε, µε τη βοήθεια και των Η.Υ., µε όση προσέγγιση θέλουµε).

17 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 17 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; ΙΙ. Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Τι συµβαίνει µε το πρόσηµο των τιµών µιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και δεν µηδενίζεται στο εσωτερικό του (βλ. π.χ. τα τµήµατα µεταξύ των ριζών της C h ). ιατύπωση και απόδειξη του σχετικού πορίσµατος. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. νακεφαλαίωση. Εργασία στο σπίτι : 1. σκήσεις βιβλίου, σελ.198, άσκηση 6,7 (ii), 8, 9(iv).. Άσκηση: Να δείξετε ότι η γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ(χ) = χ + χηµχ, γ(χ) = συνχ, x R, τέµνονται σε δυο τουλάχιστον σηµεία. Προαιρετικό πρόβληµα Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση φ στο R µε την ιδιότητα; φ (χ) = 008+χ 4, για κάθε χ R και φ(0) < 0. Χωρίς την συνθήκη φ(0) < 0 πόσες συναρτήσεις υπάρχουν. Πόσες συναρτήσεις θα υπήρχαν χωρίς την υπόθεση της συνέχειας της φ; (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

18 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. C g C f 4 7 C φ C h ρ ρ 1 ρ 3 4 α β 3.. θεώρηµα Bolzano: Υποθέσεις: Συµπέρασµα:. Το αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; Προσέχω το σχήµα C φ. Π.χ. η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο...για να υπάρχει ρίζα και όχι 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 3 + χ 1= 0 έχει µια ρίζα τουλάχιστον στο διάστηµα (0, 1). Λύση Θεωρούµε την (αντίστοιχη) συνάρτηση f(χ) =., χ, Ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ..; ρίσκω τα πρόσηµα των τιµών f( ), f( ). f( ) =, f( ) =

19 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 19 β) Εξετάσετε η ρίζα αν είναι µοναδική. γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα Εργαστείτε ανάλογα 1 3, 4. 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; πάντηση ε) Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 5. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. Σ(χ) χ 0 π/4 5π/4 π ρίσκω τα.των τιµών Σ( ) = Σ( ) = Σ( ) =.. κaι συµπληρώνω τον πίνακα... Υ.. Ένα αντίγραφο να τοποθετηθεί και στο φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών» του σχολείου. ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Ι ΚΘΗΗΤΕΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ Σ Χ Ε Δ Ι Δ Ι Δ Σ Κ Λ Ι Σ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 2010 ΘΕΜ : ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟΥ : ΣΧΕΔΙ ΔΙΔΣΚΛΙΣ Συνάδελφοι,

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 2010 ΘΕΜΑ : ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΣΧΕΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Σενάριο τεσσάρων 2ωρων μαθημάτων διδασκαλίας της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τίτλος σεναρίου: Διερεύνηση Θεωρήματος Bolzano (Θ.Β.) και Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.) Τάξη : Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα