Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΣ & /ΘΜΙΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΡΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : ΗΡΚΛΕΙΟ Τηλ. υπηρεσίας : Τηλ. Κατοικίας : Κιν. : Πληροφορίες : Άννα Μακρή Τηλέφωνο - FAX : Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 008 ρ. Πρωτ.: 388 Προς : Τους κ. κ. ιευθυντές και Kαθηγητές Μαθηµατικών των Λυκείων του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: κ.προϊσταµένη Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜ : «ειγµατικές ιδασκαλίες Σχέδια ιδασκαλίας Λυκείου» Συνάδελφοι, Τον περασµένο µήνα πραγµατοποιήθηκαν πολλές δειγµατικές διδασκαλίες στα πλαίσια της επιµόρφωσης των νεοδιόριστων καθηγητών. Οι περισσότεροι συνάδελφοι τις πραγµατοποίησαν µε προθυµία, αλλά και όσοι είχαν φόβους ή δισταγµούς στο τέλος εκφράσανε την χαρά τους και την θέλησή τους να κάνουν και άλλες. Είναι γνωστά τα οφέλη του Καθηγητή από την πραγµατοποίηση και την παρακολούθηση δειγµατικών διδασκαλιών. κόµα και το ξεπέρασµα του ενδεχόµενου «φόβου» της παρουσίας άλλων συναδέλφων έχει την αξία του για την ενδυνάµωση της διδακτικής προσωπικότητας και παρουσίας του Καθηγητή στη τάξη. Θα σας πρότεινα λοιπόν από φέτος να αρχίσουµε µια πιο στενή συνεργασία µε στόχο την πραγµατοποίηση δειγµατικών διδασκαλιών. Ευχής έργο θα ήταν να πραγµατοποιηθεί µια τουλάχιστον δειγµατική διδασκαλία σε κάθε Λύκειο την οποία να παρακολουθήσουν αν είναι δυνατόν όλοι οι καθηγητές Μαθηµατικών του Λυκείου αυτού. Κάθε καθηγητής που θα διδάξει - σε τρέχουσα διδακτική ενότητα - µπορεί να ακολουθήσει τον τρόπο διδασκαλίας που επιθυµεί, συνεργαζόµενος αν το επιθυµεί µαζί µου. Η σχετική συζήτηση που θα ακολουθεί, θα επικεντρώνεται στην διδακτική µεθόδευση της Μαθηµατικής ύλης και τον τρόπο διδασκαλίας και όχι στο διδάσκοντα. Παρακαλώ λοιπόν όσοι συνάδελφοι θέλουν να κάνουν δειγµατική διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το δηλώσουν µε ή τηλεφωνικά. ν σε ένα σχολείο δεν υπάρξει προθυµία από καθηγητές του σχολείου, η διδασκαλία θα γίνει από εµένα σε

2 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά όποιο χρόνο καταστεί αυτό εφικτό. ν όµως κάποιοι συνάδελφοι εκφράσουν την επιθυµία να παρακολουθήσουν κατά προτεραιότητα δική µου διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το γνωστοποιήσουν το συντοµότερο δυνατόν. Παρακάτω σας επισυνάπτω µερικά σχέδια διδασκαλίας (Σ..) Τα Σ.. µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυτούσια µετά ίσως από κάποιες προσαρµογές, αλλά ο κύριος λόγος που σας τα στέλνω είναι για µελέτη και εξοικείωση. Η µελέτη αυτή θα εµπλουτίσει το ρεπερτόριο του Καθηγητή και θα τον κάνει περισσότερο ικανό να φτιάχνει τα δικά του Σ.. προσαρµοσµένα πλέον στο δικό του στυλ και στο επίπεδο των µαθητών του, βασιζόµενα ασφαλώς στις βασικές αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας. ια τα Σ.. σας έχω στείλει αναλυτικό υλικό πέρυσι ( ). Μερικά από τα Σ.. συνοδεύονται από φύλλα εργασίας, τα οποία δεν είναι πάντα απαραίτητα, όπως τα Σ..-απλά ή σύνθετα- αλλά σε σηµαντικές διδακτικές ενότητες και ιδίως όταν έχουµε «αδύνατους» ή «ζωηρούς» µαθητές είναι πολύ χρήσιµα, αφού εθίζουν τους µαθητές στην αυτενέργεια. ια το θέµα αυτό θα µας δοθεί η ευκαιρία να πούµε περισσότερα σε κάποια συνάντησή µας.

3 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 3 1. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΛΕΡ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ρέθυµνο 5/3/008 ιδακτική ενότητα.3: ραφική παράσταση συνάρτησης η συνάρτηση. f(x) = αx+β. Σχολείο : ο Λύκειο Ρεθύµνου, Τάξη 3. ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν τι είναι η γραφική παράσταση (γ. π. ) µιας συνάρτησης («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να σχεδιάζουν την γ.π. της συνάρτησης («Νοητικές δεξιότητες») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να αναγνωρίζουν την γ.π. µιας συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να βρίσκουν τα κοινά σηµεία της γ.π. µιας συνάρτησης µε τους άξονες.(«νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Συνδυασµός επαγωγικής - παραγωγικής µεθόδου. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες, τετραγωνισµένο χαρτί. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων ιατεταγµένα ζεύγη αριθµών και σηµεία του επιπέδου. Συµµετρίες. Εύρεση κρυµµένου θησαυρού Θ(χ, χ) που απέχει από το σηµείο (0, 7) απόσταση 5µ. Τι λέµε συνάρτηση από το σύνολο στο σύνολο ;. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Πληροφόρηση Οι πίνακες, τα διαγράµµατα µας δίνουν µε απλό και όµορφο τρόπο πολλές πληροφορίες παρά ένα µακρόσυρτο µονότονο κείµενο. Τον ίδιο λόγο εξυπηρετούν και οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, δηλαδή µεγεθών που εξαρτώνται από άλλα. ι αυτές θα µιλήσουµε εισαγωγικά σήµερα. 3. νάκληση προηγουµένων γνώσεων Πως παριστάνουµε ένα ζευγάρι αριθµών (χ, ψ) στο επίπεδο; Χαρακτηριστικό των σηµείων του χ, ψ-άξονα.

4 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 4 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Έννοια της γ.π. η f(x) = αχ + β. Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης φ(χ) = χ+4, όταν χ {-1,-, 0, 1,}. Πίνακας τιµών. Φτιάξτε ένα σύστηµα συντεταγµένων στο τετρ. χαρτί σας και σηµειώστε τα σηµεία (χ, φ(χ)), χ {-1,-, 0, 1,}. Τι γίνεται όταν το χ παίρνει τιµές σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης φ(χ) = χ + 4 ; Ορισµός γ. π. Εξίσωση γ.π. ενικά η f(x) = αχ + β. Σε ποιο σηµείο τέµνει τον ψ-άξονα; Να κάνετε τη γ.π. της y = -χ +.. Χαρακτηριστικό γ. π. συνάρτησης. Οποιαδήποτε καµπύλη µπορεί να είναι γ.π. κάποιας συνάρτησης; Eίναι δυνατόν τα σηµεία (1, ), (1, 5) να ανήκουν στην γ. π, µιας συνάρτησης; (σχετική άσκηση µε διάφορες καµπύλες) 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. A. Σηµείο σε γ. π. Πότε ένα σηµείο (κ, λ) θα ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης y = g(x). Να εξετάσετε αν το σηµείο (, -1) είναι σηµείο της γ. π. της συνάρτησης y = 3x - 4. Σηµεία τοµής µε άξονες. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης χ(t) = t - 3 µε τους άξονες. Συµπέρασµα. 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Nα βρείτε το α ώστε το σηµείο (α, 1) να ανήκει στη γ.π. της συνάρτησης ψ = 3χ+4 x ρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης φ(χ) = 1 x+ x µε τους άξονες. Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο (-1, ) να ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης χ(α) = 5α - λ α- 4λ. Εργασία στο σπίτι : i) σκήσεις βιβλίου 9(i), 10 (iii), (iv),11. ii) Nα κάνετε την γ. π. της συνάρτησης ψ = 3χ +3 µε τους άξονες. Προαιρετική : φού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 4 t 3t 4 ψ(t) = στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της t παράστασης µε τους άξονες.

5 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου, Τάξη, ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Μάθηµα: εωµετρία Λυκείου, 3 η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 9.4, Kατανόηση και εφαρµογή των θεωρηµάτων Ι, ΙΙ (γενίκευσης του Πυθ. Θεωρήµατος ) και Πορίσµατος (κριτηρίου γωνιών) - Νόµος συνηµιτόνων - σκήσεις. Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης.. Να κατανοήσουν οι µαθητές τα θεωρήµατα Ι, ΙΙ και το Πόρισµα και να αποκτήσουν την ικανότητα να τα χρησιµοποιούν στην λύση ασκήσεων και προβληµάτων. («Νοητικές δεξιότητες», «νωστική στρατηγική»). Να είναι σε θέση να αναφέρουν τον νόµο των συνηµιτόνων και να τον χρησιµοποιούν σε υπολογιστικά και θεωρητικά προβλήµατα. («Πληροφορίες», «Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρ. κιµωλίες. 1. νάκληση προηγουµένων γνώσεων. V. ιδακτικές ενέργειες Έλεγχος γνώσεων προηγουµένου µαθήµατος (θεωρήµατα Ι, ΙΙ, Πόρισµα) και προ προηγούµενου (Π. Θ.) ενίκευση του Πυθ. Θεωρήµατος ν β γ < α τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο Σ - Λ Σε αµβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει α > β + γ Σ - Λ ν α + β = γ τότε.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε α=5θ, β = 6θ, γ = 7θ (θ > 0).. Πληροφόρηση Σήµερα θα µάθουµε να χρησιµοποιούµε τα θεωρήµατα επέκτασης του Π. Θ. και το πόρισµα κριτήριο σε εφαρµογές, ασκήσεις και προβλήµατα. Επίσης θα δούµε τον «νόµο των συνηµιτόνων» σε τρίγωνο και εφαρµογές του. 3. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές (κ = 6cm, λ = 80mm, µ =1dm). Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές α = 5, β = 10, γ = 4. i) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ µε πλευρές κ = 14, λ = 10, µ = 6 ii) Nα υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΛΜ στην ευθεία ΚΛ. Επίσης το ύψος από την κορυφή Μ.

6 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 6 4. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Ένας Μηχανικός έπρεπε να υπολογίσει το µήκος ΛΜ µιας λίµνης. ια τον σκοπό αυτό τοποθέτησε τρεις πασσάλους,, όπως στο σχήµα. Μέτρησε την γωνία = 60 ο µε το γωνιόµετρο και τις αποστάσεις = 30m, = 50m. Μπορεί άραγε τώρα να βρει τη απόσταση (και εποµένως την ΛΜ;) Λ 50 m Μ 60 ο m 30 m 5. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Πως θα υπολογίσουµε την ; Ποια είναι τα δεδοµένα; Προσπαθήστε να εκφράσετε το τετράγωνο της = α συναρτήσει των πλευρών β, γ και της γωνίας ( περιπτώσεις). α = β + γ γ = α = β + γ + γ = Ποιες δυνατότητες µας δίνει ο νόµος των συνηµιτόνων; 6. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Να βρείτε το µήκος της λίµνης. Σε ένα τρίγωνο είναι α = 5θ, β =7θ, γ=3θ, θ > 0, να υπολογίσετε την µεγαλύτερη γωνία του. β - γ α =, α + β - γ =., αβσυν = Εφαρµογή στην Φυσική (παραλληλόγραµµο δυνάµεων). 7. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. νακεφαλαίωση. Έστω ισοσκελές τραπέζιο µε //. Να εκφραστεί η διαγώνιος συναρτήσει των πλευρών του ( = + ). Έστω ηµικύκλιο διαµέτρου = ρ και µια τυχαία χορδή του. Στην προέκταση της θεωρούµε τυχαίο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι + = + 4ρ. ν γ = α + β + αβ να βρείτε το είδος του τριγώνου και την γωνία. ν σε τρίγωνο ισχύει συν = α/γ να βρείτε το είδος του τριγώνου. ν α, β, γ πλευρές τριγώνου τότε β + α - γ αβ. (*) Εκτός τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα Ε, ΖΗ και ΘΙ. Να αποδείξετε ότι το ΕΗ + Ι + ΘΖ = 3(α + β + γ ). Εργασία στο σπίτι : σκήσεις: Εµπέδωσης 4, αποδεικτικές 1, 5. Προαιρετική : α) ιβλίου Συνθ. Θέµατα. ή 3 και ίσως η (* ).

7 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 7 3. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΜΤΟΣ Τάξη: ιδακτική ενότητα:. Η έννοια της συνάρτησης. Πέραµα : 14/3/007 Καθηγητής: Επαναληπτικές γνώσεις: Η σχέση µεταξύ µεγεθών ή ποσοτήτων ώστε η µεταβολή του ενός να επηρεάζει το άλλο. ίνουµε το παράδειγµα: Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο Ε =πρ ή τα χρήµατα που θα πληρώσουµε αν αγοράσουµε φρούτα µε τιµή,5 /κιλό. Κάνουµε έναν υποτυπώδη πίνακα τιµών για τη συνάρτηση αυτή: y=,5x. Ορισµός της συνάρτησης. Τα χαρακτηριστικά της. Πεδίο ορισµού, σύνολο τιµών =f(a).μια συνάρτηση θεωρείται ορισµένη καλά όταν ξέρουµε τον τύπο, το πεδίο ορισµού και επίσης µπορούµε να βρούµε το σύνολο τιµών της. νεξάρτητη εξαρτηµένη µεταβλητή. ίνουµε έµφαση στη µοναδικότητα της εικόνας για κάθε τιµή της µεταβλητής µας. Παράδειγµα συνάρτησης. Η συνάρτηση f µε τύπο f (x) = x + 1. ίνουµε ={-1, 0, 1, 3, 5}. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα Venn και κάνουµε την αντιστοίχιση f :A B. Μηχανισµός αντιστοίχισης. ρίσκουµε για κάθε x Aτο y= f (x) και στη συνέχεια κατασκευάζουµε το σύνολο {( x, y) / x A, y= f (x)}. Άλλα παραδείγµατα διαγραµµάτων που δείχνουν ή όχι συνάρτηση. Ο τύπος της συνάρτησης f. Συµβολίζεται µε f (x) και ταυτόχρονα παριστάνει και την τιµή της συνάρτησης για κάθε τιµή που παίρνει το x (γι αυτό και γράφουµε y= f (x) ). Παραδείγµατα που µπορεί να έχει ο µηχανισµός αντιστοίχισης. Παράδειγµα πολλαπλής µορφής στην παρακάτω Άσκηση 1: Να βρεθεί η παράσταση A = f ( 1) 3f (1) + f () + f (0), αν x+ 1, αν x 3 f (x) =. x, αν x< 3 αx+ 3, αν x Άσκηση : ίνεται ότι f (x) =. Να βρείτε τον α. 3 αx, αν x Πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Άλλοτε θα µας δίνεται κι άλλοτε όχι. Όταν δεν µας δίνεται, θα παίρνουµε το να είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του Rώστε το f (x) να έχει νόηµα. Πώς το βρίσκουµε όταν δε δίνεται; Θέτουµε περιορισµούς: A ν υπάρχει κλάσµα (ένα η περισσότερα) στον τύπο της f, θα πρέπει B 0. B x (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = ). x 1 ν υπάρχει ρίζα (µια ή περισσότερες) ν A στον τύπο της f, θα πρέπει A 0. (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = x+ ). ν δεν υπάρχει κανείς τέτοιος περιορισµός, ως πεδίο ορισµού θα θεωρείται το R.

8 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 8 Επιπλέον παραδείγµατα: 1 f (x) =, x x g(x) =, x 1 h(x) = x x x 1 ια τη λύση τους, θα χρειαστεί ενδεχοµένως να επαναλάβουµε τις ιδιότητες των απολύτων τιµών, τη λύση εξισώσεων και ανισώσεων και τη συναλήθευση αυτών. Σηµειώσεις 1.Στόχοι της διδασκαλίας: α. Να µπορούν οι µαθητές να αναφέρουν τι λέµε συνάρτηση του συνόλου στο σύνολο, πως παρίσταται, τι λέµε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της. β. Ν µπορούν οι µαθητές να αναγνωρίζουν πότε µια αντιστοιχία είναι συνάρτηση.. Να µπορούν να αναφέρουν τι λέµε τιµή µιας συνάρτησης για µια ορισµένη τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής, να την συµβολίζουν και να µπορούν να την βρίσκουν.. Να µπορούν να βρίσκουν το πεδίο ορισµού απλών συναρτήσεων.. Κίνητρα µάθησης. Την εξάρτηση ενός µεγέθους από άλλα την συναντάµε σε µεγάλο πλήθος µεγεθών. Καλή η σχέση µε το εµβαδόν κύκλου, αλλά να επισηµανθεί ότι από αυτήν προκύπτει ότι το Ε εξαρτάται από την ακτίνα, δηλ. όταν µεταβάλλεται η ακτίνα µεταβάλλεται και το εµβαδόν, το εµβαδόν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Η Συνάρτηση ενός µεγέθους από άλλο ή άλλα εκφράζει πρακτικά µια (ορισµένη ) εξάρτηση του από αυτά. Άλλο παράδειγµα : εµβαδόν ορθογωνίου E=ab (εξάρτηση από δυο µεταβλητές), από τη φυσική: F=G r mm (εξάρτηση από 3 µεταβλητές). Πληροφόρηση : εµείς στο Λύκειο θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις µιας µεταβλητής και θα δούµε τον Μαθηµατικό ορισµό της συνάρτησης. 3. Στον ορισµό συνάρτησης. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν τα 4 σχήµατα (διαγράµµατα Venn) της σελίδας 65 ή άλλα για την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Επίσης να ερωτηθούν αν είναι συναρτήσεις ορισµένες αντιστοιχίες, π.χ.: ) του συνόλου Μ των µαθητών του σχολείου στο σύνολο Σ των σπιτιών τους κλπ ) του συνόλου Θ των θρανίων της τάξης στο σύνολο Μ των µαθητών κλπ Να αναφέρουν µια δική τους αντιστοιχία που να είναι συνάρτηση 4. Στο παράδειγµα συνάρτησης: αρκεί να βρουν το σύνολο τιµών f(a) και να φτιάξουν τον πίνακα τιµών. εν υπάρχει λόγος να γίνει τώρα αναφορά στο σύνολο {(x, y), x, y = f(x)}. 5. Η άσκηση 1 αρκεί για την κατανόηση του πολλαπλού τύπου. 6.ια το πεδίο ορισµού : στο πρώτο µάθηµα µόνο σε απλές συναρτήσεις, π.χ. F(x)= -3x 5 x 4 5α+ +7, φ(χ) =, f(x)=, φ(λ)= λ 8, Σ(α) = x κλπ. 1 α 3α+ σκήσεις όπως η g(x) µπορούν να δοθούν ως εργασία στο σπίτι ή να γίνουν στο επόµενο µάθηµα.h h(x) ίσως είναι δύσκολη, ας δοθεί προαιρετικά. 7. Καλό είναι όπου είναι δυνατόν οι µαθητές να εργαστούν για λίγο µόνοι τους.

9 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 9 4. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Λύκειο Aγίας αρβάρας, Τάξη, 7 Νοεµβρίου 008 ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ.Σ.) Μάθηµα: εωµετρία A Λυκείου, η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 3.6. Kριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν (µε λόγια) τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και τα δυο πορίσµατα. («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν τα κριτήρια αυτά στην λύση ασκήσεων-προβληµάτων που αναφέρονται σε σύγκριση τριγώνων, τµηµάτων και γωνιών. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµ. µαρκαδόροι. χάρτινα ορθ. τρίγωνα. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος κατανόησης προηγουµένου µαθήµατος και ανάκληση προηγουµένων γνώσεων (γενικά κριτήρια τριγώνων) Με ερωτήσεις προς τους µαθητές.. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Λέγεται ότι ο Θαλής (600 π.χ.) για να βρει την απόσταση ενός πλοίου από την παραλία έκανε τα εξής Π λοίο Θ ά λ α σ σ α Ο Π α ρ α λ ί α Πως ήταν σίγουρος ο Θαλής ότι Π = ;

10 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα οποία µαζί µε τα γενικά κριτήρια στα τρίγωνα είναι πάρα πολύ χρήσιµα στη εωµετρία. Επίσης θα µάθετε δυο χρήσιµες προτάσεις στο ισοσκελές τρίγωνο και το κύκλο. 4. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Συγκρίνετε τα τρίγωνα Λ Σχήµα ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρές Κ Μ. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 Ζ ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Μ Σχήµα 4 Κ Ρ

11 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 11 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρά και γωνία. Ζ 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Τι άλλο (το λιγότερο) πρέπει να έχουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (αν επί πλέον έχουν και µια οξεία γωνία ίση; ) Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια 1 υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια πάντηση στο αρχικό πρόβληµα (Θαλή). νακεφαλαίωση. 7. Μεταφορά µάθησης. Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. (Τα πορίσµατα θα τεθούν υπό προβληµατική (και όχι αποδεικτική) µορφή και καταβληθεί προσπάθεια να λυθούν, όπως και η άσκηση, από τους µαθητές.) 8. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης,3,4,5 (µόνο προφορικά ). σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1.

12 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 1 (1) η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές και δυο οξείες γωνίες ίσες, αλλά δεν είναι ίσα (ψευδοίσα): το ένα έχει υποτείνουσα 0 cm και µια κάθετη 15,7 cm και το άλλο κάθετες πλευρές 0 cm και 15,7 cm. () η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν µια κάθετη πλευρά ίση και µια οξεία γωνία, η οποία στο ένα είναι απέναντι στη κάθετη και στο άλλο προσκείµενη. Τέτοια τρίγωνα κατασκευάζονται π.χ. αν φέρουµε το ύψος ενός µη ισοσκελούς ορθ. τριγώνου από τη κορυφή της ορθής γωνίας. (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

13 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 13 ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα ; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Τι σχέση έχουν άραγε τα ορθογώνια τρίγωνα (σύντοµη απόδειξη) Λ Σχήµα Συµπληρώνω : Κ Μ ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δυο. ίσες µια προς µια, τότε είναι. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Λ Ζ Κ Ρ Σχήµα 4

14 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 14 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε Ζ Συµπληρώνω: ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν µια.... ίση και µια. στη πλευρά αυτή. αντίστοιχα ίσες µια προς µια τότε είναι.. 6. Άσκηση: Τι άλλο (το λιγότερο) θέλουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 7.. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (Τι συµβαίνει αν έχουν ακόµη και δυο γωνίες ίσες);. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 8. υο πορίσµατα: Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Άσκηση: Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης, 3, 4, 5 (µόνο προφορικά).. σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1. Πρόβληµα (προαιρετικό) Να βρείτε το είδος των ορθογωνίων τριγώνων µε την ιδιότητα: µια ευθεία που διέρχεται από µια κορυφή τους τα χωρίζει σε δυο ίσα τρίγωνα. (µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το θεώρηµα της 3.10).-

15 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 15 νάλυση Λυκείου 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ιδακτική ενότητα : Θεώρηµα του olzano Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν α) τo Θ. Bolzano (Θ..), β) το πόρισµά του το σχετικό µε την διατήρηση προσήµου συνάρτησης. («πληροφορίες»). Να κατανοήσουν την εποπτικογεωµετρική του «απόδειξη» καθώς και ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του. («Νοητικές δεξιότητες- κατανόηση») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να χρησιµοποιούν το Θ.. στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών. 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν το σχετικό πόρισµα διατήρησης προσήµου συνεχούς συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων εωµετρική συνέπεια της συνέχειας µιας συνάρτησης. Συνέχεια σε διάστηµα [α, β].. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Να λύσετε την εξίσωση χ 3 + χ = 1... Τι θα κάνουµε τελικά µε την εξίσωση αυτή; 3. Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα των συνεχών συναρτήσεων. 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Πρώτη ενορατική προσπέλαση: Σχεδιάστε µια ευθεία στο επίπεδο. Πάρετε ένα σηµείο στο ένα ηµιεπίπεδο και ένα σηµείο στο άλλο. Προσπαθήστε να γράψετε µε το στυλό σας µια «συνεχόµενη» καµπύλη γραµµή που να αρχίζει από το και να καταλήγει στο χωρίς να συναντήσει την ευθεία (και χωρίς να σηκώσετε το στυλό!) (Μπορείτε να αντικαταστήσετε την ευθεία µε ένα ποτάµι και τα σηµεία µε χωριά ).. εύτερη ενορατική προσπέλαση. Προσέξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

16 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 16 C f 4 C g 7 χ C h C φ ρ ρ 1 ρ 3 4 α β. i) ιατύπωση του Θ.....(διευκρίνιση επ ευκαιρία της έννοιας του «υπάρχει» στα Μαθηµατικά και επισήµανση του ότι το θεώρηµα µας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήµατος, δεν µας λέει αν είναι µοναδική, ούτε την υπολογίζει). ii) Θ. Bolzano : Λίγα ιστορικά και πληροφοριακά στοιχεία (βλ. «ιδακτικό υλικό : Όρια Συνέχεια», , σελ.4) iii) Tο αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; (βλ. σχήµα C φ και η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα (όχι αναγκαία). Τι δυνατότητες µας δίνει το Θ..; i) Nα διαπιστώνουµε τη ύπαρξη ρίζας εξίσωσης συνάρτησης σε δεδοµένο ανοικτό διάστηµα και γενικά πολλών ριζών σε διάφορα (ξένα) διαστήµατα. ii) οκιµάζοντας διάφορα κλειστά διαστήµατα να εντοπίζουµε εκείνο στο (εσωτερικό) του οποίου υπάρχει ρίζα (αν οι τιµές στα άκρα του διαστήµατος είναι οµόσηµες δεν αποκλείεται να υπάρχει και σ αυτό ρίζα.) iii) Οι ισοδυναµίες g(χ) = α g(χ) - α = 0, g(χ) = h(χ) g(χ) - h(χ) = 0 µας επιτρέπουν να χρησιµοποιούµε το Θ.. και για άλλες µορφές εξισώσεων θεωρώντας κατάλληλη συνάρτηση. 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Ι. Έστω η εξίσωση χ 3 + χ = 1, χ R. α) Να αποδείξετε ότι έχει µια ρίζα στο διάστηµα (0, 1). β) Μήπως είναι µοναδική (νύξη στη µονοτονία και µοναδικότητα); 1 3 γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα, 4 (η επανειληµµένη χρήση του Θ.. σε διαστήµατα που προκύπτουν µε διχοτόµηση µας δίνει τη δυνατότητα να εγκλωβίζουµε τη ρίζα σε όσο στενά διαστήµατα θέλουµε και έτσι να την υπολογίσουµε, µε τη βοήθεια και των Η.Υ., µε όση προσέγγιση θέλουµε).

17 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 17 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; ΙΙ. Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Τι συµβαίνει µε το πρόσηµο των τιµών µιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και δεν µηδενίζεται στο εσωτερικό του (βλ. π.χ. τα τµήµατα µεταξύ των ριζών της C h ). ιατύπωση και απόδειξη του σχετικού πορίσµατος. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. νακεφαλαίωση. Εργασία στο σπίτι : 1. σκήσεις βιβλίου, σελ.198, άσκηση 6,7 (ii), 8, 9(iv).. Άσκηση: Να δείξετε ότι η γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ(χ) = χ + χηµχ, γ(χ) = συνχ, x R, τέµνονται σε δυο τουλάχιστον σηµεία. Προαιρετικό πρόβληµα Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση φ στο R µε την ιδιότητα; φ (χ) = 008+χ 4, για κάθε χ R και φ(0) < 0. Χωρίς την συνθήκη φ(0) < 0 πόσες συναρτήσεις υπάρχουν. Πόσες συναρτήσεις θα υπήρχαν χωρίς την υπόθεση της συνέχειας της φ; (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

18 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. C g C f 4 7 C φ C h ρ ρ 1 ρ 3 4 α β 3.. θεώρηµα Bolzano: Υποθέσεις: Συµπέρασµα:. Το αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; Προσέχω το σχήµα C φ. Π.χ. η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο...για να υπάρχει ρίζα και όχι 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 3 + χ 1= 0 έχει µια ρίζα τουλάχιστον στο διάστηµα (0, 1). Λύση Θεωρούµε την (αντίστοιχη) συνάρτηση f(χ) =., χ, Ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ..; ρίσκω τα πρόσηµα των τιµών f( ), f( ). f( ) =, f( ) =

19 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 19 β) Εξετάσετε η ρίζα αν είναι µοναδική. γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα Εργαστείτε ανάλογα 1 3, 4. 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; πάντηση ε) Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 5. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. Σ(χ) χ 0 π/4 5π/4 π ρίσκω τα.των τιµών Σ( ) = Σ( ) = Σ( ) =.. κaι συµπληρώνω τον πίνακα... Υ.. Ένα αντίγραφο να τοποθετηθεί και στο φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών» του σχολείου. ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Ι ΚΘΗΗΤΕΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ Σ Χ Ε Δ Ι Δ Ι Δ Σ Κ Λ Ι Σ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 2010 ΘΕΜ : ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟΥ : ΣΧΕΔΙ ΔΙΔΣΚΛΙΣ Συνάδελφοι,

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ (ΤΡΠΖ ΘΜΤΩΝ) GI_V_GEO_2_18975 ίνεται τρίγωνο AB με AB=9, A=15. πό το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά B που τέμνει τις AB,A στα,e αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι A = 2 AB

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο

1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο 1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ

Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 2013-2014 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ Λύκειο Παραλιμνίου Σχολική Χρονιά 1-14 Γενικές ασκήσεις επανάληψης Γ κατ 1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = e ημ + ln. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης y = τοξημ( ) d y y = ημ θ. Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΕΠΑΛ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Κολλινιάτη Γιωργία Μιχαήλογλου Στέλιος Παπαθανάση Κέλλυ Πατσιμάς Ανδρέας Πατσιμάς Δημήτρης Ραμαντάνης Βαγγέλης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.

Θεώρημα Ι Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τα πιο κάτω θεωρήματα καθώς και το Θεώρημα Ι σ. 104 είναι SOS όχι μόνο για θεωρία αλλά και για χρήση στις ασκήσεις, οπότε πρέπει να κατανοήσετε τι λένε, να ξέρετε την απόδειξη και να είστε έτοιμοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα