Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 2008"

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΤΙ ΥΠΟΥΡΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΣ & /ΘΜΙΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΡΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών Ταχ. /νση : Μονοφατσίου 8 Ταχ. Κώδικας : ΗΡΚΛΕΙΟ Τηλ. υπηρεσίας : Τηλ. Κατοικίας : Κιν. : Πληροφορίες : Άννα Μακρή Τηλέφωνο - FAX : Ηράκλειο, 7 Νοεµβρίου 008 ρ. Πρωτ.: 388 Προς : Τους κ. κ. ιευθυντές και Kαθηγητές Μαθηµατικών των Λυκείων του Ν. Ρεθύµνου και Ν. Ηρακλείου αρµοδιότητάς µου. Κοιν.: κ.προϊσταµένη Επιστηµονικής & Παιδαγωγικής Καθοδήγησης /θµιας Εκπ/σης Κρήτης. ΘΕΜ : «ειγµατικές ιδασκαλίες Σχέδια ιδασκαλίας Λυκείου» Συνάδελφοι, Τον περασµένο µήνα πραγµατοποιήθηκαν πολλές δειγµατικές διδασκαλίες στα πλαίσια της επιµόρφωσης των νεοδιόριστων καθηγητών. Οι περισσότεροι συνάδελφοι τις πραγµατοποίησαν µε προθυµία, αλλά και όσοι είχαν φόβους ή δισταγµούς στο τέλος εκφράσανε την χαρά τους και την θέλησή τους να κάνουν και άλλες. Είναι γνωστά τα οφέλη του Καθηγητή από την πραγµατοποίηση και την παρακολούθηση δειγµατικών διδασκαλιών. κόµα και το ξεπέρασµα του ενδεχόµενου «φόβου» της παρουσίας άλλων συναδέλφων έχει την αξία του για την ενδυνάµωση της διδακτικής προσωπικότητας και παρουσίας του Καθηγητή στη τάξη. Θα σας πρότεινα λοιπόν από φέτος να αρχίσουµε µια πιο στενή συνεργασία µε στόχο την πραγµατοποίηση δειγµατικών διδασκαλιών. Ευχής έργο θα ήταν να πραγµατοποιηθεί µια τουλάχιστον δειγµατική διδασκαλία σε κάθε Λύκειο την οποία να παρακολουθήσουν αν είναι δυνατόν όλοι οι καθηγητές Μαθηµατικών του Λυκείου αυτού. Κάθε καθηγητής που θα διδάξει - σε τρέχουσα διδακτική ενότητα - µπορεί να ακολουθήσει τον τρόπο διδασκαλίας που επιθυµεί, συνεργαζόµενος αν το επιθυµεί µαζί µου. Η σχετική συζήτηση που θα ακολουθεί, θα επικεντρώνεται στην διδακτική µεθόδευση της Μαθηµατικής ύλης και τον τρόπο διδασκαλίας και όχι στο διδάσκοντα. Παρακαλώ λοιπόν όσοι συνάδελφοι θέλουν να κάνουν δειγµατική διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το δηλώσουν µε ή τηλεφωνικά. ν σε ένα σχολείο δεν υπάρξει προθυµία από καθηγητές του σχολείου, η διδασκαλία θα γίνει από εµένα σε

2 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά όποιο χρόνο καταστεί αυτό εφικτό. ν όµως κάποιοι συνάδελφοι εκφράσουν την επιθυµία να παρακολουθήσουν κατά προτεραιότητα δική µου διδασκαλία στο σχολείο τους, να µου το γνωστοποιήσουν το συντοµότερο δυνατόν. Παρακάτω σας επισυνάπτω µερικά σχέδια διδασκαλίας (Σ..) Τα Σ.. µπορούν να χρησιµοποιηθούν αυτούσια µετά ίσως από κάποιες προσαρµογές, αλλά ο κύριος λόγος που σας τα στέλνω είναι για µελέτη και εξοικείωση. Η µελέτη αυτή θα εµπλουτίσει το ρεπερτόριο του Καθηγητή και θα τον κάνει περισσότερο ικανό να φτιάχνει τα δικά του Σ.. προσαρµοσµένα πλέον στο δικό του στυλ και στο επίπεδο των µαθητών του, βασιζόµενα ασφαλώς στις βασικές αρχές της µάθησης και της διδασκαλίας. ια τα Σ.. σας έχω στείλει αναλυτικό υλικό πέρυσι ( ). Μερικά από τα Σ.. συνοδεύονται από φύλλα εργασίας, τα οποία δεν είναι πάντα απαραίτητα, όπως τα Σ..-απλά ή σύνθετα- αλλά σε σηµαντικές διδακτικές ενότητες και ιδίως όταν έχουµε «αδύνατους» ή «ζωηρούς» µαθητές είναι πολύ χρήσιµα, αφού εθίζουν τους µαθητές στην αυτενέργεια. ια το θέµα αυτό θα µας δοθεί η ευκαιρία να πούµε περισσότερα σε κάποια συνάντησή µας.

3 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 3 1. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΛΕΡ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ρέθυµνο 5/3/008 ιδακτική ενότητα.3: ραφική παράσταση συνάρτησης η συνάρτηση. f(x) = αx+β. Σχολείο : ο Λύκειο Ρεθύµνου, Τάξη 3. ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν τι είναι η γραφική παράσταση (γ. π. ) µιας συνάρτησης («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να σχεδιάζουν την γ.π. της συνάρτησης («Νοητικές δεξιότητες») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να αναγνωρίζουν την γ.π. µιας συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να βρίσκουν τα κοινά σηµεία της γ.π. µιας συνάρτησης µε τους άξονες.(«νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Συνδυασµός επαγωγικής - παραγωγικής µεθόδου. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες, τετραγωνισµένο χαρτί. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων ιατεταγµένα ζεύγη αριθµών και σηµεία του επιπέδου. Συµµετρίες. Εύρεση κρυµµένου θησαυρού Θ(χ, χ) που απέχει από το σηµείο (0, 7) απόσταση 5µ. Τι λέµε συνάρτηση από το σύνολο στο σύνολο ;. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Πληροφόρηση Οι πίνακες, τα διαγράµµατα µας δίνουν µε απλό και όµορφο τρόπο πολλές πληροφορίες παρά ένα µακρόσυρτο µονότονο κείµενο. Τον ίδιο λόγο εξυπηρετούν και οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων, δηλαδή µεγεθών που εξαρτώνται από άλλα. ι αυτές θα µιλήσουµε εισαγωγικά σήµερα. 3. νάκληση προηγουµένων γνώσεων Πως παριστάνουµε ένα ζευγάρι αριθµών (χ, ψ) στο επίπεδο; Χαρακτηριστικό των σηµείων του χ, ψ-άξονα.

4 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 4 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Έννοια της γ.π. η f(x) = αχ + β. Να βρείτε τις τιµές της συνάρτησης φ(χ) = χ+4, όταν χ {-1,-, 0, 1,}. Πίνακας τιµών. Φτιάξτε ένα σύστηµα συντεταγµένων στο τετρ. χαρτί σας και σηµειώστε τα σηµεία (χ, φ(χ)), χ {-1,-, 0, 1,}. Τι γίνεται όταν το χ παίρνει τιµές σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης φ(χ) = χ + 4 ; Ορισµός γ. π. Εξίσωση γ.π. ενικά η f(x) = αχ + β. Σε ποιο σηµείο τέµνει τον ψ-άξονα; Να κάνετε τη γ.π. της y = -χ +.. Χαρακτηριστικό γ. π. συνάρτησης. Οποιαδήποτε καµπύλη µπορεί να είναι γ.π. κάποιας συνάρτησης; Eίναι δυνατόν τα σηµεία (1, ), (1, 5) να ανήκουν στην γ. π, µιας συνάρτησης; (σχετική άσκηση µε διάφορες καµπύλες) 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. A. Σηµείο σε γ. π. Πότε ένα σηµείο (κ, λ) θα ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης y = g(x). Να εξετάσετε αν το σηµείο (, -1) είναι σηµείο της γ. π. της συνάρτησης y = 3x - 4. Σηµεία τοµής µε άξονες. Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης χ(t) = t - 3 µε τους άξονες. Συµπέρασµα. 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Nα βρείτε το α ώστε το σηµείο (α, 1) να ανήκει στη γ.π. της συνάρτησης ψ = 3χ+4 x ρείτε τα κοινά σηµεία της γ. π. της συνάρτησης φ(χ) = 1 x+ x µε τους άξονες. Να βρείτε το λ ώστε το σηµείο (-1, ) να ανήκει στην γ.π. της συνάρτησης χ(α) = 5α - λ α- 4λ. Εργασία στο σπίτι : i) σκήσεις βιβλίου 9(i), 10 (iii), (iv),11. ii) Nα κάνετε την γ. π. της συνάρτησης ψ = 3χ +3 µε τους άξονες. Προαιρετική : φού πρώτα βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 4 t 3t 4 ψ(t) = στην συνέχεια να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της t παράστασης µε τους άξονες.

5 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Πειραµατικό Λύκειο Ηρακλείου, Τάξη, ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ. Σ.) Μάθηµα: εωµετρία Λυκείου, 3 η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 9.4, Kατανόηση και εφαρµογή των θεωρηµάτων Ι, ΙΙ (γενίκευσης του Πυθ. Θεωρήµατος ) και Πορίσµατος (κριτηρίου γωνιών) - Νόµος συνηµιτόνων - σκήσεις. Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης.. Να κατανοήσουν οι µαθητές τα θεωρήµατα Ι, ΙΙ και το Πόρισµα και να αποκτήσουν την ικανότητα να τα χρησιµοποιούν στην λύση ασκήσεων και προβληµάτων. («Νοητικές δεξιότητες», «νωστική στρατηγική»). Να είναι σε θέση να αναφέρουν τον νόµο των συνηµιτόνων και να τον χρησιµοποιούν σε υπολογιστικά και θεωρητικά προβλήµατα. («Πληροφορίες», «Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρ. κιµωλίες. 1. νάκληση προηγουµένων γνώσεων. V. ιδακτικές ενέργειες Έλεγχος γνώσεων προηγουµένου µαθήµατος (θεωρήµατα Ι, ΙΙ, Πόρισµα) και προ προηγούµενου (Π. Θ.) ενίκευση του Πυθ. Θεωρήµατος ν β γ < α τότε το τρίγωνο είναι οξυγώνιο Σ - Λ Σε αµβλυγώνιο τρίγωνο ισχύει α > β + γ Σ - Λ ν α + β = γ τότε.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε α=5θ, β = 6θ, γ = 7θ (θ > 0).. Πληροφόρηση Σήµερα θα µάθουµε να χρησιµοποιούµε τα θεωρήµατα επέκτασης του Π. Θ. και το πόρισµα κριτήριο σε εφαρµογές, ασκήσεις και προβλήµατα. Επίσης θα δούµε τον «νόµο των συνηµιτόνων» σε τρίγωνο και εφαρµογές του. 3. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση.. Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές (κ = 6cm, λ = 80mm, µ =1dm). Να βρείτε το είδος του τριγώνου µε πλευρές α = 5, β = 10, γ = 4. i) Να βρείτε το είδος του τριγώνου ΚΛΜ µε πλευρές κ = 14, λ = 10, µ = 6 ii) Nα υπολογίσετε την προβολή της πλευράς ΛΜ στην ευθεία ΚΛ. Επίσης το ύψος από την κορυφή Μ.

6 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 6 4. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Ένας Μηχανικός έπρεπε να υπολογίσει το µήκος ΛΜ µιας λίµνης. ια τον σκοπό αυτό τοποθέτησε τρεις πασσάλους,, όπως στο σχήµα. Μέτρησε την γωνία = 60 ο µε το γωνιόµετρο και τις αποστάσεις = 30m, = 50m. Μπορεί άραγε τώρα να βρει τη απόσταση (και εποµένως την ΛΜ;) Λ 50 m Μ 60 ο m 30 m 5. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση. Πως θα υπολογίσουµε την ; Ποια είναι τα δεδοµένα; Προσπαθήστε να εκφράσετε το τετράγωνο της = α συναρτήσει των πλευρών β, γ και της γωνίας ( περιπτώσεις). α = β + γ γ = α = β + γ + γ = Ποιες δυνατότητες µας δίνει ο νόµος των συνηµιτόνων; 6. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Να βρείτε το µήκος της λίµνης. Σε ένα τρίγωνο είναι α = 5θ, β =7θ, γ=3θ, θ > 0, να υπολογίσετε την µεγαλύτερη γωνία του. β - γ α =, α + β - γ =., αβσυν = Εφαρµογή στην Φυσική (παραλληλόγραµµο δυνάµεων). 7. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. νακεφαλαίωση. Έστω ισοσκελές τραπέζιο µε //. Να εκφραστεί η διαγώνιος συναρτήσει των πλευρών του ( = + ). Έστω ηµικύκλιο διαµέτρου = ρ και µια τυχαία χορδή του. Στην προέκταση της θεωρούµε τυχαίο σηµείο. Να αποδειχθεί ότι + = + 4ρ. ν γ = α + β + αβ να βρείτε το είδος του τριγώνου και την γωνία. ν σε τρίγωνο ισχύει συν = α/γ να βρείτε το είδος του τριγώνου. ν α, β, γ πλευρές τριγώνου τότε β + α - γ αβ. (*) Εκτός τριγώνου κατασκευάζουµε τα τετράγωνα Ε, ΖΗ και ΘΙ. Να αποδείξετε ότι το ΕΗ + Ι + ΘΖ = 3(α + β + γ ). Εργασία στο σπίτι : σκήσεις: Εµπέδωσης 4, αποδεικτικές 1, 5. Προαιρετική : α) ιβλίου Συνθ. Θέµατα. ή 3 και ίσως η (* ).

7 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 7 3. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΡΜΤΟΣ Τάξη: ιδακτική ενότητα:. Η έννοια της συνάρτησης. Πέραµα : 14/3/007 Καθηγητής: Επαναληπτικές γνώσεις: Η σχέση µεταξύ µεγεθών ή ποσοτήτων ώστε η µεταβολή του ενός να επηρεάζει το άλλο. ίνουµε το παράδειγµα: Το εµβαδόν ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, δίνεται από τον τύπο Ε =πρ ή τα χρήµατα που θα πληρώσουµε αν αγοράσουµε φρούτα µε τιµή,5 /κιλό. Κάνουµε έναν υποτυπώδη πίνακα τιµών για τη συνάρτηση αυτή: y=,5x. Ορισµός της συνάρτησης. Τα χαρακτηριστικά της. Πεδίο ορισµού, σύνολο τιµών =f(a).μια συνάρτηση θεωρείται ορισµένη καλά όταν ξέρουµε τον τύπο, το πεδίο ορισµού και επίσης µπορούµε να βρούµε το σύνολο τιµών της. νεξάρτητη εξαρτηµένη µεταβλητή. ίνουµε έµφαση στη µοναδικότητα της εικόνας για κάθε τιµή της µεταβλητής µας. Παράδειγµα συνάρτησης. Η συνάρτηση f µε τύπο f (x) = x + 1. ίνουµε ={-1, 0, 1, 3, 5}. Σχεδιάζουµε το διάγραµµα Venn και κάνουµε την αντιστοίχιση f :A B. Μηχανισµός αντιστοίχισης. ρίσκουµε για κάθε x Aτο y= f (x) και στη συνέχεια κατασκευάζουµε το σύνολο {( x, y) / x A, y= f (x)}. Άλλα παραδείγµατα διαγραµµάτων που δείχνουν ή όχι συνάρτηση. Ο τύπος της συνάρτησης f. Συµβολίζεται µε f (x) και ταυτόχρονα παριστάνει και την τιµή της συνάρτησης για κάθε τιµή που παίρνει το x (γι αυτό και γράφουµε y= f (x) ). Παραδείγµατα που µπορεί να έχει ο µηχανισµός αντιστοίχισης. Παράδειγµα πολλαπλής µορφής στην παρακάτω Άσκηση 1: Να βρεθεί η παράσταση A = f ( 1) 3f (1) + f () + f (0), αν x+ 1, αν x 3 f (x) =. x, αν x< 3 αx+ 3, αν x Άσκηση : ίνεται ότι f (x) =. Να βρείτε τον α. 3 αx, αν x Πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Άλλοτε θα µας δίνεται κι άλλοτε όχι. Όταν δεν µας δίνεται, θα παίρνουµε το να είναι το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του Rώστε το f (x) να έχει νόηµα. Πώς το βρίσκουµε όταν δε δίνεται; Θέτουµε περιορισµούς: A ν υπάρχει κλάσµα (ένα η περισσότερα) στον τύπο της f, θα πρέπει B 0. B x (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = ). x 1 ν υπάρχει ρίζα (µια ή περισσότερες) ν A στον τύπο της f, θα πρέπει A 0. (Παράδειγµα η συνάρτηση f (x) = x+ ). ν δεν υπάρχει κανείς τέτοιος περιορισµός, ως πεδίο ορισµού θα θεωρείται το R.

8 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 8 Επιπλέον παραδείγµατα: 1 f (x) =, x x g(x) =, x 1 h(x) = x x x 1 ια τη λύση τους, θα χρειαστεί ενδεχοµένως να επαναλάβουµε τις ιδιότητες των απολύτων τιµών, τη λύση εξισώσεων και ανισώσεων και τη συναλήθευση αυτών. Σηµειώσεις 1.Στόχοι της διδασκαλίας: α. Να µπορούν οι µαθητές να αναφέρουν τι λέµε συνάρτηση του συνόλου στο σύνολο, πως παρίσταται, τι λέµε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών της. β. Ν µπορούν οι µαθητές να αναγνωρίζουν πότε µια αντιστοιχία είναι συνάρτηση.. Να µπορούν να αναφέρουν τι λέµε τιµή µιας συνάρτησης για µια ορισµένη τιµή της ανεξάρτητης µεταβλητής, να την συµβολίζουν και να µπορούν να την βρίσκουν.. Να µπορούν να βρίσκουν το πεδίο ορισµού απλών συναρτήσεων.. Κίνητρα µάθησης. Την εξάρτηση ενός µεγέθους από άλλα την συναντάµε σε µεγάλο πλήθος µεγεθών. Καλή η σχέση µε το εµβαδόν κύκλου, αλλά να επισηµανθεί ότι από αυτήν προκύπτει ότι το Ε εξαρτάται από την ακτίνα, δηλ. όταν µεταβάλλεται η ακτίνα µεταβάλλεται και το εµβαδόν, το εµβαδόν είναι συνάρτηση της ακτίνας. Η Συνάρτηση ενός µεγέθους από άλλο ή άλλα εκφράζει πρακτικά µια (ορισµένη ) εξάρτηση του από αυτά. Άλλο παράδειγµα : εµβαδόν ορθογωνίου E=ab (εξάρτηση από δυο µεταβλητές), από τη φυσική: F=G r mm (εξάρτηση από 3 µεταβλητές). Πληροφόρηση : εµείς στο Λύκειο θα ασχοληθούµε µε συναρτήσεις µιας µεταβλητής και θα δούµε τον Μαθηµατικό ορισµό της συνάρτησης. 3. Στον ορισµό συνάρτησης. Μπορούν να χρησιµοποιηθούν τα 4 σχήµατα (διαγράµµατα Venn) της σελίδας 65 ή άλλα για την κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Επίσης να ερωτηθούν αν είναι συναρτήσεις ορισµένες αντιστοιχίες, π.χ.: ) του συνόλου Μ των µαθητών του σχολείου στο σύνολο Σ των σπιτιών τους κλπ ) του συνόλου Θ των θρανίων της τάξης στο σύνολο Μ των µαθητών κλπ Να αναφέρουν µια δική τους αντιστοιχία που να είναι συνάρτηση 4. Στο παράδειγµα συνάρτησης: αρκεί να βρουν το σύνολο τιµών f(a) και να φτιάξουν τον πίνακα τιµών. εν υπάρχει λόγος να γίνει τώρα αναφορά στο σύνολο {(x, y), x, y = f(x)}. 5. Η άσκηση 1 αρκεί για την κατανόηση του πολλαπλού τύπου. 6.ια το πεδίο ορισµού : στο πρώτο µάθηµα µόνο σε απλές συναρτήσεις, π.χ. F(x)= -3x 5 x 4 5α+ +7, φ(χ) =, f(x)=, φ(λ)= λ 8, Σ(α) = x κλπ. 1 α 3α+ σκήσεις όπως η g(x) µπορούν να δοθούν ως εργασία στο σπίτι ή να γίνουν στο επόµενο µάθηµα.h h(x) ίσως είναι δύσκολη, ας δοθεί προαιρετικά. 7. Καλό είναι όπου είναι δυνατόν οι µαθητές να εργαστούν για λίγο µόνοι τους.

9 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 9 4. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ Σχολείο: Λύκειο Aγίας αρβάρας, Τάξη, 7 Νοεµβρίου 008 ιδάσκων : ηµ. Μπουνάκης (Σ.Σ.) Μάθηµα: εωµετρία A Λυκείου, η διδ. ώρα. ιδακτική ενότητα: 3.6. Kριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν (µε λόγια) τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων και τα δυο πορίσµατα. («πληροφορίες»). Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν τα κριτήρια αυτά στην λύση ασκήσεων-προβληµάτων που αναφέρονται σε σύγκριση τριγώνων, τµηµάτων και γωνιών. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Καθοδηγούµενη αυτενέργεια - ερωτηµατικός διάλογος. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµ. µαρκαδόροι. χάρτινα ορθ. τρίγωνα. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος κατανόησης προηγουµένου µαθήµατος και ανάκληση προηγουµένων γνώσεων (γενικά κριτήρια τριγώνων) Με ερωτήσεις προς τους µαθητές.. ηµιουργία κινήτρων µάθησης Λέγεται ότι ο Θαλής (600 π.χ.) για να βρει την απόσταση ενός πλοίου από την παραλία έκανε τα εξής Π λοίο Θ ά λ α σ σ α Ο Π α ρ α λ ί α Πως ήταν σίγουρος ο Θαλής ότι Π = ;

10 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων, τα οποία µαζί µε τα γενικά κριτήρια στα τρίγωνα είναι πάρα πολύ χρήσιµα στη εωµετρία. Επίσης θα µάθετε δυο χρήσιµες προτάσεις στο ισοσκελές τρίγωνο και το κύκλο. 4. Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Συγκρίνετε τα τρίγωνα Λ Σχήµα ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρές Κ Μ. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 Ζ ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Μ Σχήµα 4 Κ Ρ

11 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 11 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε ιατύπωση κριτηρίων µε πλευρά και γωνία. Ζ 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Τι άλλο (το λιγότερο) πρέπει να έχουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (αν επί πλέον έχουν και µια οξεία γωνία ίση; ) Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια 1 υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 Επίδειξη κατασκευής από χαρτόνια πάντηση στο αρχικό πρόβληµα (Θαλή). νακεφαλαίωση. 7. Μεταφορά µάθησης. Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. (Τα πορίσµατα θα τεθούν υπό προβληµατική (και όχι αποδεικτική) µορφή και καταβληθεί προσπάθεια να λυθούν, όπως και η άσκηση, από τους µαθητές.) 8. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης,3,4,5 (µόνο προφορικά ). σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1.

12 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 1 (1) η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές και δυο οξείες γωνίες ίσες, αλλά δεν είναι ίσα (ψευδοίσα): το ένα έχει υποτείνουσα 0 cm και µια κάθετη 15,7 cm και το άλλο κάθετες πλευρές 0 cm και 15,7 cm. () η κατασκευή αυτή αναφέρεται σε δυο ορθ. τρίγωνα που έχουν µια κάθετη πλευρά ίση και µια οξεία γωνία, η οποία στο ένα είναι απέναντι στη κάθετη και στο άλλο προσκείµενη. Τέτοια τρίγωνα κατασκευάζονται π.χ. αν φέρουµε το ύψος ενός µη ισοσκελούς ορθ. τριγώνου από τη κορυφή της ορθής γωνίας. (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

13 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 13 ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. Κριτήρια µε πλευρές i.προσέξτε τα ορθογώνια τρίγωνα Είναι ίσα ; Ποια άλλα στοιχεία τους θα έχουν ίσα; Ε Σχήµα 1 Ζ ii. Τι σχέση έχουν άραγε τα ορθογώνια τρίγωνα (σύντοµη απόδειξη) Λ Σχήµα Συµπληρώνω : Κ Μ ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δυο. ίσες µια προς µια, τότε είναι. Κριτήρια µε πλευρά και γωνία. i.συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Ε Σχήµα 3 ii.είναι ίσα τα τρίγωνα Λ Ζ Κ Ρ Σχήµα 4

14 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 14 iii. Συγκρίνετε τα ορθογώνια τρίγωνα Σχήµα 5 Ε Ζ Συµπληρώνω: ν δυο ορθογώνια τρίγωνα έχουν µια.... ίση και µια. στη πλευρά αυτή. αντίστοιχα ίσες µια προς µια τότε είναι.. 6. Άσκηση: Τι άλλο (το λιγότερο) θέλουν τα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα για να είναι ίσα; Η Κ Σχήµα 6 Λ Μ 7.. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δυο πλευρές ίσες µια προς µια είναι ίσα; Η απάντηση ενός µαθητή ήταν ναι, είναι (πάντα) ίσα.συµφωνείτε; (Τι συµβαίνει αν έχουν ακόµη και δυο γωνίες ίσες);. υο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µια πλευρά και µια οξεία γωνία ίσες µια προς µια είναι ίσα; Συµφωνείτε; Προσέξτε τα παρακάτω τρίγωνα. Σχήµα 7 8. υο πορίσµατα: Πόρισµα Ι: το ύψος ισοσκελούς τριγώνου από την κορυφή είναι. Πόρισµα ΙΙ: Η κάθετη από το κέντρο ενός κύκλου Άσκηση: Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου από τα άκρα της βάσης του είναι ίσα. Εργασία στο σπίτι :. Ερωτήσεις κατανόησης, 3, 4, 5 (µόνο προφορικά).. σκήσεις: εµπέδωσης, 4, αποδεικτικές την 1. Πρόβληµα (προαιρετικό) Να βρείτε το είδος των ορθογωνίων τριγώνων µε την ιδιότητα: µια ευθεία που διέρχεται από µια κορυφή τους τα χωρίζει σε δυο ίσα τρίγωνα. (µπορείτε να χρησιµοποιήσετε το θεώρηµα της 3.10).-

15 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 15 νάλυση Λυκείου 5. ΣΧΕ ΙΟ Ι ΣΚΛΙΣ ιδακτική ενότητα : Θεώρηµα του olzano Ι. ιδακτικοί στόχοι - Ταξινόµηση σε είδη µάθησης 1. Να είναι σε θέση οι µαθητές να αναφέρουν α) τo Θ. Bolzano (Θ..), β) το πόρισµά του το σχετικό µε την διατήρηση προσήµου συνάρτησης. («πληροφορίες»). Να κατανοήσουν την εποπτικογεωµετρική του «απόδειξη» καθώς και ότι δεν ισχύει το αντίστροφό του. («Νοητικές δεξιότητες- κατανόηση») 3. Να αποκτήσουν την ικανότητα να χρησιµοποιούν το Θ.. στις εξισώσεις για την ύπαρξη ριζών. 4. Να αποκτήσουν την ικανότητα να εφαρµόζουν το σχετικό πόρισµα διατήρησης προσήµου συνεχούς συνάρτησης. («Νοητικές δεξιότητες») ΙΙ. Μορφή διδασκαλίας: Ερωτηµατικός διάλογος. - Καθοδηγούµενη αυτενέργεια. ΙΙΙ. ιδακτική Μέθοδος : Παραγωγική. ΙV. Εποπτικά µέσα: Πίνακας, χρωµατιστές κιµωλίες. V. ιδακτικές ενέργειες 1. Έλεγχος προηγουµένων γνώσεων εωµετρική συνέπεια της συνέχειας µιας συνάρτησης. Συνέχεια σε διάστηµα [α, β].. ηµιουργία κινήτρων µάθησης - Να λύσετε την εξίσωση χ 3 + χ = 1... Τι θα κάνουµε τελικά µε την εξίσωση αυτή; 3. Πληροφόρηση: Σήµερα θα µάθετε ένα πολύ σηµαντικό θεώρηµα των συνεχών συναρτήσεων. 4.Κατεύθυνση προσοχής µαθητών-παροχή οδηγιών για νέα µάθηση.. Πρώτη ενορατική προσπέλαση: Σχεδιάστε µια ευθεία στο επίπεδο. Πάρετε ένα σηµείο στο ένα ηµιεπίπεδο και ένα σηµείο στο άλλο. Προσπαθήστε να γράψετε µε το στυλό σας µια «συνεχόµενη» καµπύλη γραµµή που να αρχίζει από το και να καταλήγει στο χωρίς να συναντήσει την ευθεία (και χωρίς να σηκώσετε το στυλό!) (Μπορείτε να αντικαταστήσετε την ευθεία µε ένα ποτάµι και τα σηµεία µε χωριά ).. εύτερη ενορατική προσπέλαση. Προσέξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων.

16 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά 16 C f 4 C g 7 χ C h C φ ρ ρ 1 ρ 3 4 α β. i) ιατύπωση του Θ.....(διευκρίνιση επ ευκαιρία της έννοιας του «υπάρχει» στα Μαθηµατικά και επισήµανση του ότι το θεώρηµα µας δίνει απλά την πληροφορία ότι υπάρχει ρίζα, στο εσωτερικό ενός διαστήµατος, δεν µας λέει αν είναι µοναδική, ούτε την υπολογίζει). ii) Θ. Bolzano : Λίγα ιστορικά και πληροφοριακά στοιχεία (βλ. «ιδακτικό υλικό : Όρια Συνέχεια», , σελ.4) iii) Tο αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; (βλ. σχήµα C φ και η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο ικανή για να υπάρχει ρίζα (όχι αναγκαία). Τι δυνατότητες µας δίνει το Θ..; i) Nα διαπιστώνουµε τη ύπαρξη ρίζας εξίσωσης συνάρτησης σε δεδοµένο ανοικτό διάστηµα και γενικά πολλών ριζών σε διάφορα (ξένα) διαστήµατα. ii) οκιµάζοντας διάφορα κλειστά διαστήµατα να εντοπίζουµε εκείνο στο (εσωτερικό) του οποίου υπάρχει ρίζα (αν οι τιµές στα άκρα του διαστήµατος είναι οµόσηµες δεν αποκλείεται να υπάρχει και σ αυτό ρίζα.) iii) Οι ισοδυναµίες g(χ) = α g(χ) - α = 0, g(χ) = h(χ) g(χ) - h(χ) = 0 µας επιτρέπουν να χρησιµοποιούµε το Θ.. και για άλλες µορφές εξισώσεων θεωρώντας κατάλληλη συνάρτηση. 5. Εκτέλεση ενεργειών µαθητών επανατροφοδότηση εκτίµηση. Ι. Έστω η εξίσωση χ 3 + χ = 1, χ R. α) Να αποδείξετε ότι έχει µια ρίζα στο διάστηµα (0, 1). β) Μήπως είναι µοναδική (νύξη στη µονοτονία και µοναδικότητα); 1 3 γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα, 4 (η επανειληµµένη χρήση του Θ.. σε διαστήµατα που προκύπτουν µε διχοτόµηση µας δίνει τη δυνατότητα να εγκλωβίζουµε τη ρίζα σε όσο στενά διαστήµατα θέλουµε και έτσι να την υπολογίσουµε, µε τη βοήθεια και των Η.Υ., µε όση προσέγγιση θέλουµε).

17 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 17 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; ΙΙ. Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 6. Ενίσχυση της συγκράτησης των νέων στοιχείων - Μεταφορά µάθησης. Τι συµβαίνει µε το πρόσηµο των τιµών µιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και δεν µηδενίζεται στο εσωτερικό του (βλ. π.χ. τα τµήµατα µεταξύ των ριζών της C h ). ιατύπωση και απόδειξη του σχετικού πορίσµατος. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. νακεφαλαίωση. Εργασία στο σπίτι : 1. σκήσεις βιβλίου, σελ.198, άσκηση 6,7 (ii), 8, 9(iv).. Άσκηση: Να δείξετε ότι η γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων φ(χ) = χ + χηµχ, γ(χ) = συνχ, x R, τέµνονται σε δυο τουλάχιστον σηµεία. Προαιρετικό πρόβληµα Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση φ στο R µε την ιδιότητα; φ (χ) = 008+χ 4, για κάθε χ R και φ(0) < 0. Χωρίς την συνθήκη φ(0) < 0 πόσες συναρτήσεις υπάρχουν. Πόσες συναρτήσεις θα υπήρχαν χωρίς την υπόθεση της συνέχειας της φ; (ακολουθεί φύλλο εργασίας)

18 H ζωή αξίζει για δυο πράγµατα : για να ανακαλύπτεις Μαθηµατικά ΦΥΛΛΟ ΕΡΣΙΣ. C g C f 4 7 C φ C h ρ ρ 1 ρ 3 4 α β 3.. θεώρηµα Bolzano: Υποθέσεις: Συµπέρασµα:. Το αντίστροφο (µε δεδοµένο f συνεχή στο [α, β]) ισχύει; Προσέχω το σχήµα C φ. Π.χ. η συνάρτηση φ(χ) = χ -1 στο διάστηµα [-, ] µε οµόσηµες τιµές στα άκρα. Άρα η συνθήκη f(α)f(β) < 0 είναι µόνο...για να υπάρχει ρίζα και όχι 4. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση χ 3 + χ 1= 0 έχει µια ρίζα τουλάχιστον στο διάστηµα (0, 1). Λύση Θεωρούµε την (αντίστοιχη) συνάρτηση f(χ) =., χ, Ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θ..; ρίσκω τα πρόσηµα των τιµών f( ), f( ). f( ) =, f( ) =

19 και να διδάσκεις Μαθηµατικά: S. D. Poisson 19 β) Εξετάσετε η ρίζα αν είναι µοναδική. γ) Να αποδείξετε ότι η ρίζα αυτή ανήκει στο διάστηµα Εργαστείτε ανάλογα 1 3, 4. 1 δ) Μπορεί να έχει ρίζα και στο διάστηµα 0, ; πάντηση ε) Η συνάρτηση φ είναι ορισµένη στο διάστηµα [0, 1] και είναι φ(χ) < 0 για κάθε χ [0, 1].Τότε η φ στο διάστηµα [0, 1] είναι:. ν. αύξουσα. ν. φθίνουσα. συνεχής.. Συνεχής Ε.Άλλο 5. Nα βρεθεί το πρόσηµο της συνάρτησης Σ(χ) = (ηµχ συνχ)e χ στο διάστηµα [0, π] δεδοµένου ότι οι µοναδικές ρίζες της στο διάστηµα αυτό είναι π/4, 5π/4. Σ(χ) χ 0 π/4 5π/4 π ρίσκω τα.των τιµών Σ( ) = Σ( ) = Σ( ) =.. κaι συµπληρώνω τον πίνακα... Υ.. Ένα αντίγραφο να τοποθετηθεί και στο φάκελο «ιδακτικής Μαθηµατικών» του σχολείου. ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Ι ΚΘΗΗΤΕΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ Σ Χ Ε Δ Ι Δ Ι Δ Σ Κ Λ Ι Σ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 2010 ΘΕΜ : ΔΙΔΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟΥ : ΣΧΕΔΙ ΔΙΔΣΚΛΙΣ Συνάδελφοι,

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ

3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ 1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ

Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A

1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A 1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :

5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) : 5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης

3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης .5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Γ ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 90 Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.

1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα. 1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 2007 Σχ. Έτος ΤΑΞΗ Γ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέματα Γραπτών Απολυτήριων Εξετάσεων Στο Μάθημα των Μαθηματικών Περιόδου Μαΐου-Ιουνίου 007 Σχ. Έτος 006-007 ΤΑΞΗ Γ ΘΕΩΡΙΑ 1. α.) Να συμπληρώσετε τις ταυτότητες : 3 ( α + β ) = ( β ) = α 3 3 3 β.) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β

10.5. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. ΑΒΓ =λ. ύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν υ β = υ β και =. β ποιος είναι ο λόγος β 0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μυλωνάκης Κων/νος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολείο: Ημερομηνία: / / Α Λυκείου τμήμα.. Καθηγητής/τρια: Α) Το θέμα και το μαθησιακό περιβάλλον. 1) Το γνωστικό αντικείμενο της διδασκαλίας είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

/νσεων /θµιας Εκπ/σης) ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.:

/νσεων /θµιας Εκπ/σης) ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα