dx T0 (t) 2 T rect ( t sinc = 1 2 sinc ( k

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Επαναληπτικά Θέµατα. Βρείτε το ανάπτυγµα σε εκθετική σειρά Fourier του σήµατος στο Σχήµα.. x(t -T -T -T/ T/ T t Σχήµα : Τραπεζοειδές σήµα Άσκησης Ο αναλυτικός υπολογισµός της σειράς µέσω των τύπων είναι χρονοβόρος. Μπορούµε να πάµε µέσω του Μετασχ. Fourier. Γνωστό ϑεώρηµα λέει ότι η εύρεση των συντελεστών της εκθετικής σειράς Fourier µπορεί να γίνει µέσω του µετασχ. Fourier σε µια περίοδο, δηλ. X k = X T ( ( T = k =k T όπου X T ( είναι ο µετασχ. Fourier του σήµατος σε µια περίοδο (δηλ. ϑεωρούµε το σήµα ως µη περιοδικό, κρατώντας µόνο µια περίοδό του. Προφανώς η περίοδος του σήµατος είναι T = 3T. Εστω x T (t η µια περίοδος του x(t. Ο µετασχ. Fourier αυτού του σήµατος µπορεί να υπολογιστεί αρκετά εύκολα µέσω της ιδιότητας των παραγώγων : F { dx T (t } jπx T ( ( Παραγωγίζοντας λοιπόν το σήµα, παίρνουµε το σήµα του Σχήµατος. Αυτο µπορει να γραφεί ως : dx T (t = T rect ( t + 3T 4 T T rect ( t 3T 4 T F { dx T (t } = T ( T T sinc e jπ 3T T ( T 4 T sinc e jπ 3T 4 ( T ( = sinc (e jπ 3T 4 e jπ 3T T ( 4 = sinc j sin π 3T 4 ( T ( jπ X( = sinc j sin π 3T (3 4 X( = 3T ( sinc 3T ( sinc T (4 Άρα τελικά X k = X T ( T = k T = k 3T = sinc ( k ( k sinc 6 (5

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις dx(t/ /T -T -T/ T/ T t -/T Σχήµα : Παράγωγος του τραπεζοειδούς σήµατος Άσκησης Οπότε η εκθετική σειρά Fourier µπορεί να γραφεί ως εξής : που είναι και το Ϲητούµενο. x(t = X k e jπ k 3T t = ( k ( k sinc sinc e jπ k 3T t (6 6. Εστω πραγµατικό σήµα x(t µε µετασχ. Fourier όπως στο παρακάτω Σχήµα 3αʹ. Το σήµα αυτό περνάει X( H( (αʹ Φάσµα X( Άσκησης (ϐʹ Φίλτρο H( Άσκησης Σχήµα 3: Άσκηση : Φάσµατα από το σύστηµα του Σχήµατος 4 µε το H( όπως στο Σχήµα 3βʹ και y(t x(t x H( x w(t ~ cos(π t δ Ts (t Σχήµα 4: Σύστηµα Άσκησης

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 (αʹ Βρείτε το y(t µέσω του Y( δ Ts (t = + δ(t kt s (ϐʹ Βρείτε το w(t και σχεδιάστε το ϕάσµα του. Ποιά γνωστή σας διαδικασία σας ϑυµίζει η κατασκευη του w(t; (γʹ Βρείτε την ελάχιστη συχνότητα δειγµατοληψίας s για να µπορεί να ανακατασκευαστεί το y(t από το w(t. (αʹ Είναι ( u(t = x(t cos(π t U( = X( δ( + + δ( U( = X( + + X( από γνωστή ιδιότητα της συνέλιξης σήµατος µε συναρτήσεις έλτα. Το παραπάνω λέει ουσιαστικά ότι το ϕάσµα του U( αποτελείται απ το ϕάσµα του X( µετατοπισµένο γύρω απ τη συχνότητα = και γύρω απ τη συχνότητα =, µε πλάτος / το καθένα. Σχηµατικά, ϕαίνεται στο Σχήµα 5. Ο πολλαπλασιασµός των δυο σηµάτων, U( και H(, στη συχνότητα U( / - Σχήµα 5: Το ϕάσµα του σήµατος U( Άσκησης ϑα µας δώσει το Y ( όπως ϕαίνεται στο Σχήµα 6. Πρέπει να ϐρούµε τώρα το Y (. Υπάρχουν δυο τρόποι Y( - Σχήµα 6: Το ϕάσµα του σήµατος H(U( Άσκησης για να το κάνουµε αυτό. ος τρόπος : Παρατηρούµε ότι το ϕάσµα αποτελείται από δυο τετραγωνικούς παλµούς (παράθυρα, που έχουν κέντρο τη συχνότητα c = ±( + +. Άρα χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της µετατόπισης στη συχνότητα, x(te ±jπct X( c

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 4 καθώς και την ιδιότητα της δυικότητας, ϑα έχουµε ότι : Y ( = ( + c rect x(t X( X(t x( ( c + rect y(t = ( sinc(( te jπct + ( sinc(( te jπct ος τρόπος : Ενας δεύτερος τρόπος είναι να παρατηρήσουµε ότι τα δυο παράθυρα µπορούν να προκύψουν αν ϑεωρήσουµε ένα µεγάλο παράθυρο που ξεκινάει από το ( + και τελειώνει στο +, και από αυτό να αφαιρέσουµε ένα λίγο µικρότερο, που ξεκινάει από το ( + και τελειώνει στο +. Αυτό ϑα µας δώσει : ( ( Y ( = rect rect ( + ( + y(t = ( + sinc(( + t ( + sinc(( + t (ϐʹ Είναι w(t = δ Ts (ty(t = y(t δ(t kt s = y(kt s δ(t kt s Ο πολλαπλασιασµός ενός σήµατος µε µια άπειρη σειρά από συναρτήσεις δέλτα, οι οποίες ισαπέχουν µεταξύ τους κατά χρόνο T s, είναι η γνωστή µας διαδικασία της δειγµατοληψίας. Περίοδος δειγµατοληψίας είναι η T s και συχνότητα δειγµατοληψίας η s = T s. Για να ϐρούµε το ϕάσµα, έχουµε : W ( = Y ( F {δ Ts (t} = Y ( T s + δ( k s = T s + Y ( k s λόγω της γνωστής ιδιότητας X( δ( = X(. Αυτό µας λέει ότι το ϕάσµα του W ( είναι το ϕάσµα του Y ( επαναλαµβανόµενο γύρω από τις συχνότητες k s, που ϑα µπορούσαµε να το εξάγουµε κατέυθείαν από τη ϑεωρία µας σχετικά µε τη δειγµατοληψία - απλά εδώ το δείξαµε και µε µαθηµατικά. Αν το s είναι αρκετά µεγάλο, τότε το ϕάσµα ϑα είναι όπως στο Σχήµα 7, όπου τα χρωµατιστά ϕάσµατα αναπαριστούν τις περιοδικές επαναλήψεις του ϐασικού (µπλέ ϕάσµατος. W( /T s - s - s s s Σχήµα 7: Το ϕάσµα του σήµατος W ( Άσκησης (γʹ Σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Shannon, για να µπορεί να ανακατασκευαστεί ένα σήµα από τη δειγµατοληπτηµένη µορφή του, ϑα πρέπει η συχνότητα δειγµατοληψίας να είναι µεγαλύτερη από τη διπλάσια µέγιστη συχνότητα του σήµατος που πρόκειται να δειγµατοληπτηθεί. Αν κοιτάξουµε το ϕάσµα του Y (, ϐλέπουµε ότι η µέγιστη συχνότητά του είναι η max = +. Άρα η s πρέπει να είναι γνήσια µεγαλύτερη µε ( +, για να µπορεί να ανακτηθεί το σήµα από τα δείγµατά του. Άρα πρέπει s > ( +.

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 5 3. Εστω H(s = s e s (s (s 3 το οποίο έχει αντίστρ. µετασχ. Laplace ένα h(t που είναι αµφίπλευρο σήµα. Βρείτε την περιοχή σύγκλισης και το h(t. Αφού το H(s είναι αµφίπλευρο και έχει πόλους, το πεδίο σύγκλισής του ϑα είναι µια \λωρίδα"στο µιγαδικό επίπεδο. Οι πόλοι είναι στις ϑέσεις s =, s = 3, άρα το πεδίο σύγκλισης (από τα 3 πιθανά ϑα είναι το ROC : < R{s} < 3 Είναι µε H(s = s e s (s (s 3 = s (s (s 3 e s = G(se s h(t = g(t G(s = s (s (s 3 Οπότε αρκεί να ϐρούµε το g(t και να αντικαταστήσουµε. Θα κάνουµε ανάλυση σε µερικά κλάσµατα στο G(s λοιπόν. Παρατηρώντας το G(s, ϐλέπουµε ότι ο ϐαθµός του πολυωνύµου του παρονοµαστή είναι ίσος µε τον ϐαθµό του αριθµητή, άρα δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε αµέσως ανάλυση σε µερικά κλάσµατα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να έχουµε ϐαθµό πολυωνύµου παρονοµαστή > ϐαθµό πολυωνύµου αριθµητή. Για να έρθουµε σε µια τέτοια περίπτωση, ϑα κάνουµε διαίρεση των πολυωνύµων. Οπότε ϑα έχουµε : µε G(s = s (s (s 3 = + 5s 6 (s (s 3 = + A s + B s 3 A = B = 5s 6 (s (s 3 (s s= = 4 5s 6 (s (s 3 (s 3 s=3 = 9 άρα τελικά Ξέρουµε ότι και G(s = 4 s + 9 s 3 < R{s} < 3 R{s} > R{s} < 3 Προφανώς το πρώτο πεδίο αντιστοιχεί στον πρώτο όρο και το δεύτερο πεδίο στο δεύτερο όρο. πίνακες µε τα Ϲεύγη των µετασχ. Laplace, καταλήγουµε ότι : Κοιτώντας τους Οπότε τελικά ϑα έχουµε : που είναι το Ϲητούµενο. G(s = 4 s + 9 s 3 g(t = δ(t 4et ɛ(t 9e 3t ɛ( t (7 h(t = g(t = δ(t 8e (t ɛ(t 8e 3(t ɛ( t + (8

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 6 4. Εστω h(t πραγµατικό σήµα, που έχει ϱητό µετασχ. Laplace µε 4 πόλους εκ των οποίων ένας είναι στο s = + j, και δυο στο s =. Επίσης, έχει δυο µηδενικά στο s =. Τέλος, γνωρίζουµε οτι h(t =. Να ϐρεθούν : (αʹ το H(s. (ϐʹ τα πιθανά πεδία σύγκλισης. (γʹ πότε το H(s είναι ευσταθές ; Από εκφώνηση, ξέρουµε ότι H(s = A(s (s (s ( + j(s s 3 (αʹ Επειδή το σήµα h(t είναι πραγµατικό, οι πόλοι είναι σε συζυγή ϑέση, άρα ο τέταρτος πόλος είναι ο s 3 = s = j. Άρα ϑα είναι H(s = Επίσης, από το ολοκλήρωµα της εκφώνησης, ισχύει ότι H( = Άρα τελικά το H(s ϑα είναι A(s (s (s ( + j(s ( j A( ( ( ( + j( ( j = A 8 = A = 8 H(s = 8(s (s (s ( + j(s ( j (9 (ϐʹ Τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι τα R{s} >, < R{s} <, ή R{s} <. (γʹ Το H(s είναι ευσταθές µόνον αν < R{s} < γιατί µόνο τότε το πεδίο σύγκλισης περιλαµβάνει το ϕανταστικό άξονα. 5. Βρείτε το Μετασχηµατισµό Fourier του σήµατος : { t, t < x(t = t + 6, t < 3 µε χρήση παραγώγων. Παραγωγίζοντας το σήµα, έχουµε dx(t = {, t <, t < 3 Παρατηρούµε οτι η παράγωγος δεν περιλαµβάνει καµία συνάρτηση έλτα, καθώς το αρχικό σήµα x(t είναι συνεχές σε κάθε σηµείο του. Άρα η παράγωγος γράφεται ως dx(t F { dx(t ( t ( t 5 = rect rect } = sinc(e jπ sinc(e j 5 π jπx( = sinc(e jπ sinc(e j5π X( = e j(π+π/ π sinc( e j(5π+π/ sinc( ( π

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 7 6. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση : d y(t + 5 dy(t + 6y(t = dx(t + x(t µε αρχικές συνθήκες y( =, y ( = και είσοδο x(t = e 4t ɛ(t. Εφαρµόζοντας το µετασχ. Laplace και στα δυο µέλη, έχουµε : L{ d y(t } + L{5 dy(t } + L{6y(t} = L{ dx(t } + L{x(t} s Y (s sy( y ( + 5sY (s 5y( + 6Y (s = sx(s x( + X(s s Y (s s + 5sY (s + 6Y (s = sx(s + X(s Y (s(s + 5s + 6 s = X(s(s + Y (s(s + 5s + 6 s = s + s + 4 Y (s(s + 5s + 6 = s + + s + Y (s = Y (s = s s + s+ s+4 s + 5s + 6 s + s + 45 (s + (s + 3(s + 4 ( Μπορούµε να εφαρµόσουµε Ανάπτυγµα σε Μερικά Κλάσµατα, µια και η τάξη του πολυωνύµου του παρονοµαστή είναι µεγαλύτερη της τάξης του αριθµητή. Οπότε µε Y (s = s + s + 45 (s + (s + 3(s + 4 = A s + + B s C s + 4 A = Y (s(s + = s + s + 45 = 3 s= (s + 3(s + 4 s= B = Y (s(s + 3 = s + s + 45 = 3 s= 3 (s + (s + 4 s= 3 C = Y (s(s + 4 = s + s + 45 = 3 s= 4 (s + (s + 3 s= 4 Άρα τελικά Y (s = 3 Οπότε πηγαίνοντας πίσω στο χρόνο, ϑα είναι s + 3 s s + 4 y(t = 3 e t ɛ(t 3e 3t ɛ(t 3 e 4t ɛ(t (

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 8 7. είξτε ότι sinc (kt = k Από το ϑεώρηµα του Parseval, έχουµε Γνωρίζουµε ότι x (t = X( d ( t rect T sinc(t sinc(t t ( T T rect T Άρα που είναι και το Ϲητούµενο. sinc (kt = k rect ( d = k/ k k d = k/ k k/ = k/ k (3 8. ίδεται το παρακάτω σύστηµα του Σχήµατος 8, το οποίο χρησιµοποιείται για voice scrambling, ώστε να παρέχει προστασία από υποκλοπές. Ας υποτεθεί ότι το ϕάσµα της ϕωνής έχει µετασχηµατισµό X( Z( -B B -B B y(t x(t x h (t x h (t z(t ~ cos(π t ~ cos(π t H ( H ( 4 - -B B Σχήµα 8: Voice Scrambler Άσκησης 8 Fourier X( που ϕαίνεται στο Σχήµα. Το ιδανικό υψιπερατό ϕίλτρο H ( επιτρέπει τη διέλευση µόνο των ϕασµατικών συνιστωσών µε συχνότητα µεγαλύτερη της. Το ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο H ( επιτρέπει τη διέλευση µόνο των ϕασµατικών συνιστωσών µε συχνότητα µικρότερη της B. Στην έξοδο του όλου συστήµατος, το σήµα έχει ϕάσµα µε ανεστραµµένο ϕασµατικό περιεχόµενο που το καθιστά σχεδόν ακατάληπτο.

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 9 (αʹ Να δείξετε ότι x(t cos(π t = x(t cos(π t X( + X( +. (ϐʹ Να σχεδιάσετε το ϕάσµα Y(. (γʹ Να ϐρείτε την τιµή της ως συνάρτηση της B και της ώστε το Z( να έχει τη µορφή που δίνεται στο Σχήµα. Υποθέστε ότι >. Θα έχουµε : (αʹ Είναι ( x(t cos(π t X( δ( + + δ( = X( + + X( (4 και ϕαίνεται στο Σχήµα 9. / - -Β - - +B -Β +Β Σχήµα 9: Φάσµα x(t cos(π t Άσκησης 8 (ϐʹ Πρέπει να ϐρούµε το Y (. Το Y ( προκύπτει αν περάσουµε το σήµα που ϐρήκαµε στο προηγούµενο ερώτηµα µέσα από το σύστηµα-ϕίλτρο H (. Είναι Το αποτέλεσµα ϕαίνεται στο Σχήµα. ( Y ( = X( + + X( H ( (5 / - -Β - +Β Σχήµα : Φάσµα Y ( Άσκησης 8 (γʹ Ας υποθέσουµε µια τυχαία >>. Ο πολλαπλασιασµός του ϕάσµατος του Σχήµατος µε cos(π t ϑα µας δώσει το Σχήµα. Προφανώς, για να πάρουµε το Z( που δίνεται στην εκφώνηση, πρέπει τα / Β B - - -Β B Σχήµα : Φάσµα y(t cos(π t Άσκησης 8

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις / Β Σχήµα : Ζητούµενο ϕάσµα y(t cos(π t Άσκησης 8 ϕάσµατα να µην είναι όπως στο Σχήµα, όπου τα ϕάσµατα είναι µακριά µεταξύ τους, αλλά όπως ϕαίνονται στο Σχήµα. Οπότε, µετά από την εφαρµογή του ϕίλτου H (, όπως αυτό δίνεται στην εκφώνηση, ϑα αποµείνει το ϕάσµα του Σχήµατος 3. Άρα, η σχέση που συνδέει τη συχνότητα µε την και τη B είναι - -B B αυτή που ϕαίνεται και στο Σχήµα, δηλ. Σχήµα 3: Φάσµα Z( Άσκησης 8 B = = + B (6 9. Εστω το σύστηµα s H(s = s 3 + s (7 s Σχολιάστε την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήµατος, για κάθε πιθανό ROC που µπορεί να προκύψει, χωρίς να υπολογίσετε το h(t. Αν πολλαπλασιάσουµε το H(s µε e s, τι αλλάζει σχετικά µε την ευστάθεια και την αιτιατότητα ; Είναι µε H(s = s = s 3 + s s = s (s (s + (s + = (s + (s + = A s + + B s + A = H(s(s + = = s= s + s= B = H(s(s + = = s= s + s=

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις και άρα H(s = s + s + Τα πιθανά πεδία σύγκλισης είναι τα < R{s} <, R{s} <, R{s} >. < R{s} < : το σήµα είναι µη ευσταθές, γιατί δεν περιλαµβάνεται ο ϕανταστικός άξονας στο πεδίο σύγκλισης, ενώ είναι αµφίπλευρο και άρα µη αιτιατό. R{s} < : το σήµα είναι µη ευσταθές, γιατί δεν περιλαµβάνεται ο ϕανταστικός άξονας στο πεδίο σύγκλισης, ενώ είναι αριστερόπλευρο και άρα µη αιτιατό. R{s} > : το σήµα είναι ευσταθές, γιατί ο ϕανταστικός άξονας περιλαµβάνεται στο πεδίο σύγκλισης, ενώ είναι δεξιόπλευρο και αιτιατό, γιατί αποτελείται από απλά κλάσµατα χωρίς καθυστέρηση. Ο πολλαπλασιασµός µε e s δίνει το σήµα h(t +. εν αλλάζει τίποτα όσον αφορά την ευστάθεια, αφού τα πεδία σύγκλισης δεν αλλάζουν, αφού δεν άλλαξαν οι πόλοι. Οσον αφορά την αιτιατότητα, το σήµα δεν είναι αιτιατό σε καµία περίπτωση.. Βρείτε τους συντελεστές του δίπλευρου αναπτύγµατος σε σειρά Fourier του περιοδικού σήµατος του Σχήµατος 4. x(t... -3T -T T 3T t Σχήµα 4: Περιοδικό Τριγωνικό Σήµα Άσκησης Θα ϐρούµε πρώτα το µετασχ. Fourier µιας περιόδου του σήµατος x(t και µετά ϑα δειγµατοληπτήσουµε το ϕάσµα για να ϐρούµε τους συντελεστές Fourier. Είναι ( t x(t, T = tri X(, T = T sinc (T T Η περίοδος του περιοδικού σήµατος είναι T = T, άρα οι συντελεστές Fourier ϑα είναι X k = X(, T = T = k T T T sinc( k T T = sinc ( k που είναι και το Ϲητούµενο. (8. Αποδείξτε ότι ένα σήµα δεν µπορεί να είναι πεπερασµένο στο χώρο του χρόνου και, ταυτόχρονα, πεπε- ϱασµένο στο χώρο της συχνότητας. Εστω ότι ένα σήµα x(t είναι ταυτοχρόνως πεπερασµένο και στους δυο χώρους. Στο χώρο της συχνότητας, ϑα είναι : X( =, > B

12 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις Τότε, µπορούµε να γράψουµε το σήµα αυτό ως Μεταφερόµενοι στο χώρο του χρόνου, ϑα είναι ( X ( = X(rect B ( X ( = X(rect x (t = x(t Bsinc(Bt B Η παραπάνω σχέση µας λέει ότι το x (t (και άρα και το x(t δεν µπορεί να είναι πεπερασµένο στο χρόνο, γιατί η συνάρτηση sinc έχει άπειρη διάρκεια. Άρα άτοπο, οπότε δε γίνεται να υπάρξει σήµα πεπερασµένο και στους δυο χώρους.. Να ϐρεθεί η ελάχιστη συχνότητα δειγµατοληψίας για το σήµα ( at x(t = sinc π Γνωρίζουµε ότι ( t Arect AT sinc(t T Επίσης γνωρίζουµε από την ιδιότητα της δυικότητας ότι Εφαρµόζοντας αυτή τη σχέση, ϑα έχουµε : Βλέπουµε ότι για T = a π αφού η συνάρτηση rect είναι άρτια. x(t X( τότε X(t x( ( T sinc(tt rect T sinc(tt ( T rect T έχουµε τη σχέση της εκφώνησης, άρα ( at sinc π π a rect ( a π Προφανώς το παραπάνω rect [ ορίζεται στη συχνότητα στο a ] π, οπότε η µέγιστη συχνότητά του είναι η max = a π. Οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγµατοληψίας για την πλήρη αναπαράσταση του σήµατος από τα δείγµατά του είναι η s = max = a (9 π που ειναι και το Ϲητούµενο. π, a 3. Μοντελοποιούµε ένα καµπαναριό ως ένα σύστηµα όπου το σφυρί (που χτυπά την καµπάνα είναι η είσοδος, η καµπάνα είναι το σύστηµα, και ο ήχος της καµπάνας είναι η έξοδος. Απαντήστε µε µικρές, συνοπτικές προτάσεις στις ακόλουθες ερωτήσεις. (αʹ Είναι το σύστηµα γραµµικό ; Είναι χρονικά αµετάβλητο ; (ϐʹ Είναι το σύστηµα ευσταθές ; (γʹ ώστε µια µαθηµατική έκφραση (σε µια γραµµή που πιστεύετε ότι εκφραζει την κρουστική απόκριση, h(t, του συστήµατος. ικαιολογήστε την απάντησή σας.

13 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Λυµένες Ασκήσεις 3 (αʹ Το σύστηµα είναι γραµµικό, γιατί αν χτυπήσουµε δυο ϕορές την καµπάνα µε διαφορετικό τρόπο, αυτό που ϑα ακούσουµε ϑα είναι το άθροισµα των ήχων, αν τη χτυπούσαµε ξεχωριστά, µε διαφορετικό τρόπο. Επίσης, ειναι χρονικά αµετάβλητο, γιατί αν καθυστερήσουµε να χτυπήσουµε την καµπάνα t δευτερόλεπτα, τότε ο ήχος της ϑα καθυστερήσει να ακουστεί επίσης t δευτερόλεπτα. (ϐʹ Το σύστηµα είναι ευσταθές, γιατί για οποιοδήποτε, οσο δυνατό, χτύπο του σφυριού, ο ήχος που ϑα ακουστεί ϑα σβήσει µε την πάροδο του χρόνου. Άρα για ϕραγµένη είσοδο, ϑα πάρουµε ϕραγµένη έξοδο. (γʹ Θα µπορούσε κανεις να περιγράψει την κρουστική απόκριση (δηλ. τον ήχο που ϑα ακουστεί από την καµπάνα όταν τη χτυπήσουµε ακαριαία, σαν να εφαρµόζουµε µια δ(t ως είσοδο ως ένα εκθετικά ϕθίνον συνηµίτονο συχνότητας. Άρα h(t = e at cos(π tɛ(t, a >