Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ"

Transcript

1 Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Η ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ HILBERT, ΜΕ ΜΙΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΦΕΤΗΡΙΑ του Ν. Καστάνη Θεσσαλονίκη εκέµβριος 2007

2 Η ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ HILBERT, ΜΕ ΜΙΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΦΕΤΗΡΙΑ του Ν. Καστάνη Εισαγωγή Το 2006, κυκλοφόρησε το µυθιστόρηµα : Πυθαγόρεια εγκλήµατα, του Τεύκρου Μιχαηλίδη, το οποίο είχε µια µεγάλη εκδοτική επιτυχία. 2

3 Όπως δηλώνει ο συγγραφέας του, το βιβλίο αυτό είναι µια αστυνοµική περιπέτεια µε έντονο µαθηµατικό άρωµα. Κι όποιος ξεφυλλίσει, έστω για λίγο, το περιεχόµενό του θα διαπιστώσει ότι µια από τις κύριες ευωδιές του είναι το άρωµα του Hilbert. Ας αφήσουµε να µας µαγεύσει, η µεθυστική µοσχοβολιά του. Για το σκοπό αυτό, κάποια αποσπάσµατα από το συγκεκριµένο µυθιστόρηµα µπορούν να δηµιουργήσουν µια πρώτη µαθηµατική ευαισθησία. ιαβάζουµε σχετικά: Παρίσι, Τετάρτη 8 Αυγούστου Το αµφιθέατρο της Σορβόννης, κατάµεστο. Στην οµιλία του Χίλµπερτ δεν πέφτει ούτε καρφίτσα. [Σ]το ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών του Παρισιού οµιλητής ήταν ο διάσηµος Ντάβιντ Χίλµπερτ και η οµιλία του είχε τον δελεαστικό τίτλο Σχετικά µε τα µελλοντικά προβλήµατα των µαθηµατικών. (σελ. 16) Ολόκληρο τον [προηγούµενο] χρόνο, η διάλεξη [του] Χίλµπερτ ήταν το κεντρικό θέµα συζήτησης στο Γκέτινγκεν.Ο Μινκόφσκι ήταν µάλλον [εκείνος] που έριξε πρώτος την ιδέα µιας οµιλίας-πανοράµατος των µαθηµατικών του µέλλοντος και καλούσε τον φίλο του να αντιπαραθέσει µια διάλεξη που θα αποτελούσε µεταξύ άλλων και ένα είδος πρόκλησης στην πρωτοκαθεδρία των γαλλικών µαθηµατικών. (σελ. 17, η υπογράµµιση είναι δική µου, Ν.Κ.) Ο Κλάιν, [ο πρόεδρος και ο ανερχόµενος αστέρας του µαθηµατικού τµήµατος στο Γκέτινγκεν], διατύπωσε σοβαρές επιφυλάξεις για το αν η απόφαση του νεότερου συναδέλφου του, να παρουσιάσει ανοιχτά προβλήµατα αντί για ολοκληρωµένες λύσεις, ήταν φρόνιµη εν έχετε παρά να παρουσιάσετε τα πρόσφατα επιτεύγµατα των γερµανικών µαθηµατικών, [του είπε] (σελ , η υπογράµµιση είναι δική µου, Ν.Κ.) Τον Απρίλιο του 1900 επισκέφτηκε [το Γκέτινγκεν] ο Χάινριχ Βέµπερ, καθηγητής στο Πανεπιστήµιο του Στρασβούργου (που µετά τον πόλεµο του 1870 ανήκε στη Γερµανία) Ο Χίλµπερτ, παλιός µαθητής του Βέµπερ από τα χρόνια του Κένιγκσµπεργκ, του είχε στείλει το χειρόγραφο της οµιλίας του Παρισιού Ο Βέµπερ συγχάρηκε τον Χίλµπερτ [και] δεν έχασε την ευκαιρία να [του] κάνει µια ιδιαίτερα κολακευτική[επισήµανση] : 3

4 ηµοσιεύοντας τα Θεµέλια της Γεωµετρίας, γίνατε ο σύγχρονος Ευκλείδης. Με αυτό το κείµενο διεκδικείτε τώρα και το ρόλο του σύγχρονου Αρχιµήδη (σελ. 23) Χωρίς αµφιβολία, η αίσθηση, που δηµιουργούν αυτά τα αποσπάσµατα, είναι έντονη - τόσο για την ακτινοβολία του Χίλµπερτ, όσο και για το γερµανικό παρασκήνιο, πίσω από τη µνηµειώδη οµιλία του, το 1900, στη Σορβόννη. David Hilbert ( ) Ένας προβληµατισµός, όµως, γεννιέται: Ο Χίλµπερτ ήταν µια µαθηµατική ιδιοφυία; που έλυσε σηµαντικά µαθηµατικά προβλήµατα και ανάπτυξε τα Μαθηµατικά; Ή, ήταν ένας πρωτοπόρος των γερµανικών µαθηµατικών; την εποχή της παγκόσµιας γερµανικής ισχυροποίησης; Η αντιδιαστολή αυτών των ερωτηµάτων προκαλεί µια ευαισθητοποίηση γύρω από τη σχέση µιας ιστορικής προσωπικότητας των Μαθηµατικών µε το πολιτιστικό περιβάλλον και την επιστηµονική δυναµική που την εξέθρεψε και την ανάδειξε. Συνήθως, οι ιστορικές προσωπικότητες παρουσιάζονται ως µεσσίες, ως προικισµένες αυθεντίες, που αποκαλύπτουν κρυµµένες αλήθειες, ανεξάρτητα του τόπου και του χρόνου, ή καλύτερα ανεξάρτητα της επιστηµονικής συγκυρίας των 4

5 επιτευγµάτων τους. Οι σύγχρονες, όµως, προσεγγίσεις δίνουν ιδιαίτερη προσοχή στην αλληλοεπίδραση των συλλογικών καταστάσεων της µαθηµατικής σκέψης και δραστηριότητας, από τη µια, των επιλογών και της δηµιουργικότητας των επιφανών µαθηµατικών, από την άλλη. Είναι αλήθεια, ότι η νέα αυτή σκοπιά του µαθηµατικού γίγνεσθαι µπορεί να προκαλέσει µια αµηχανία, σε όλους εκείνους που είναι εθισµένοι στους εσωτερικούς µηχανισµούς της διάρθρωσης και διαχείρισης των µαθηµατικών αληθειών και όχι στα ανθρωπολογικά πλαίσια µέσα από τα οποία αναδεικνύονται και καρποφορούν οι µαθηµατικές αλήθειες και οι αντίστοιχοι µηχανισµοί. Η αλλαγή στάσης, προϋποθέτει : ανοικτά µυαλά και κίνητρα. Τα Πυθαγόρεια εγκλήµατα και τα συγκεκριµένα αποσπάσµατα, ειδικότερα, προδιαθέτουν για µια βαθύτερη διείσδυση στον κόσµο των Μαθηµατικών, την περίοδο γύρω στο Στην προοπτική αυτή, αξίζει να αποκαλυφθεί, λίγο, το µαθηµατικό περιβάλλον του Γκέτινγκεν στο γύρισµα του 19 ου αιώνα. Ο Hilbert στη µαθηµατική συγκυρία του Göttingen Το µαθηµατικό περιβάλλον του Γκέτινγκεν αποτυπώνεται πολύ χαρακτηριστικά στη φωτογραφία του 1902 : Στο κέντρο, καθιστός, ο Felix Klein και δεξιά του ο David Hilbert 5

6 Το κτίριο που στεγαζόταν το Τµήµα Μαθηµατικών στο Γκέτινγκεν Ο Κλάιν ήταν, τότε, η ψυχή των σύγχρονων Μαθηµατικών στο Γκέτινγκεν και στη Γερµανία γενικότερα. Και δεν ήταν µόνο ο πνευµατικός πατέρας τους, αλλά και ένας πολιτικός καταλύτης των γερµανικών Μαθηµατικών και της επιστηµονικής δραστηριότητας γενικότερα. Felix Klein ( ) 6

7 Η µαθηµατική παράδοση που αναπτύχθηκε από τον Κλάιν και τον Χίλµπερτ στο Γκέτινγκεν αποτελεί µια σηµαντικότατη διάσταση των σύγχρονων µαθηµατικών. Είναι ένα επιστηµονικό κεφάλαιο της µαθηµατικής µας κληρονοµιάς. Κι αυτό είναι αρκετά γνωστό στους ιστορικούς των Μαθηµατικών, αλλά και ευρύτερα στους καλλιεργηµένους µαθηµατικούς. Ενδεικτικά, παρατίθεται ο τίτλος µιας σχετικής δηµοσίευση, ενός διακεκριµένου ιστορικού των Μαθηµατικών των ηµερών µας, ο οποίος είναι καθηγητής στο Τµήµα Μαθηµατικών του Mainz της Γερµανίας. Με αφορµή τις συγκεκριµένες επισηµάνσεις καλό θα είναι να φωτιστεί, λίγο, το επιστηµονικό και κοινωνικό παρασκήνιο της Γερµανίας, την εποχή εκείνη, για να φανεί το πραγµατικό υπόβαθρο της ανάδειξης κι απήχησης αυτής της τόσο σηµαντικής παράδοσης στο σύγχρονο κόσµο των µαθηµατικών. Στα τέλη του 19 ου αιώνα, η Γερµανία ήταν στην πρωτοπορία της δεύτερης βιοµηχανικής επανάστασης και η τεχνολογική, οικονοµική, στρατιωτική και επιστηµονική της δυναµική βρισκόταν στο αποκορύφωµά της. Αυτό σηµαίνει ότι η ανάπτυξη αυτών των τοµέων δεν µπορούσε να επιτευχθεί αυθόρµητα και τυχαία. Έπρεπε να προσανατολιστούν, να συντονιστούν και να στηριχθούν οι απαιτούµενες πρωτοβουλίες, οι αντίστοιχες προωθήσεις τους και οι σχετικές αξιοποιήσεις τους. Έτσι η πολιτική αντιµετώπιση της εξέλιξης αυτής σε συνδυασµό µε τα συµφέροντα και τις προσδοκίες των ισχυρών οικονοµικών παραγόντων της Γερµανίας διαπλέχτηκαν µε επιφανείς επιστήµονες, όπως και µε επιστηµονικούς φορείς. Σ αυτό το πολιτικό-οικονοµικό και επιστηµονικό σύµπλεγµα, ο Κλάιν ήταν ένας από τους κύριους επιστηµονικούς µοχλούς της γερµανικής προόδου. 7

8 Μια πολιτική γελοιογραφία, εκείνης της εποχής, απεικονίζει µε ιδιαίτερη σκωπτική έµφαση τη συνδιαλλαγή των ακαδηµαϊκών παραγόντων µε τους βιοµήχανους, κάτω από την ακτινοβολία του Κλάιν, µε τις ευλογίες του παντοδύναµου υπουργού της παιδείας και υπό το άγρυπνο βλέµµα του αυτοκράτορα. Πρόκειται για την εξής αναπαράσταση: Αναδηµοσιεύτηκε στο Europa, A Journal of Interdisciplinary Studies, 2(2), 1979, p Επειδή η συσχέτιση των Μαθηµατικών µε την, τότε, γενικότερη επιστηµονική και κοινωνική συγκυρία είναι, µάλλον, αόριστη και ασαφής σ ένα σηµερινό µαθηµατικό, καλό είναι να γίνουν κάποιες σχετικές επισηµάνσεις. Ο Κλάιν, στην εργασία του µε τίτλο: Σχετικά µε τη Θεωρία του Ρήµαν για τις Αλγεβρικές Εξισώσεις, που δηµοσιεύτηκε το 1882, παρουσίασε την αντίληψη του Ρήµαν για τις µιγαδικές συναρτήσεις και επισήµανε πως οι φυσικές θεωρήσεις µπορούν να επηρεάσουν ακόµη και το πιο λεπτεπίλεπτο είδος των µαθηµατικών (Struik, D.J.: Συνοπτική Ιστορία Μαθηµατικών, Αθήνα, 1982, σελ. 293). 8

9 Με τη νύξη αυτή διαφαίνεται µια συνειδητοποίηση των δεσµών που µπορεί να έχουν οι µιγαδικές συναρτήσεις µε τη Φυσική κι αντιστρόφως. Και µέσα σ αυτή την οπτική γωνία, δεν καθρεπτίζεται µόνο το καθαρά ερευνητικό ενδιαφέρον του Κλάιν και των φυσικοµαθηµατικών κύκλων, των, τότε, γερµανικών πανεπιστηµίων και ερευνητικών κέντρων, αλλά, υποδεικνύεται και µια τάση ανανέωσης του µαθηµατικού υπόβαθρου της Φυσικής. Είναι αλήθεια ότι, τις τελευταίες δεκαετίες του 19 ου αιώνα, δόθηκε µια ώθηση στη µαθηµατικοποίηση των επιστηµών και δηµιουργήθηκε ένας αναπροσανατολισµός των µαθηµατικών προσεγγίσεων στις Φυσικές Επιστήµες, υπερβαίνοντας το πρότυπο του Απειροστικού Λογισµού, που επικρατούσε έως τότε στη Θεωρητική Μηχανική, ανοίγοντας, έτσι, το δρόµο για την ανάπτυξη και αξιοποίηση της ιανυσµατικής Άλγεβρας, της ιανυσµατικής Ανάλυσης και άλλων κλάδων των σύγχρονων Μαθηµατικών, όπως π.χ. του Τανυστικού Λογισµού. Στην αλλαγή αυτή, καθοριστικό ρόλο έπαιζαν οι τεχνολογικές απαιτήσεις και ιδιαίτερα, οι ανάγκες εφαρµογών του ηλεκτρισµού και του ηλεκτροµαγνητισµού στη δηµιουργία κι ανάπτυξη των ηλεκτροκινητήρων, όπως και της θερµοδυναµικής για τους ατµοκινητήρες. 9

10 Από τον αναπροσανατολισµό των µαθηµατικών απαιτήσεων στις Φυσικές Επιστήµες και την Τεχνολογία, την περίοδο της βιοµηχανικής έκρηξης στη Γερµανία, χαλάρωσαν τα καθιερωµένα ακαδηµαϊκά στεγανά του µαθηµατικού τρόπου σκέψης και δόθηκε η ευκαιρία να αναπηδήσει και να καλλιεργηθεί ένα νέο µαθηµατικό πνεύµα. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αναπτύχθηκε, τότε, ένα διαφορετικό πρότυπο µαθηµατικής σκέψης και νοοτροπίας και δεν προστέθηκαν, απλά, κάποια καινούργια θεωρήµατα στον παραδοσιακό κορµό της µαθηµατικής γνώσης. Με δύο λόγια, επήλθε µια εννοιολογική αλλαγή στο γνωστικό υπόστρωµα των Μαθηµατικών. Το νέο µαθηµατικό πνεύµα σηµατοδοτείται, το 1872, µε το Πρόγραµµα Ερλάνγκεν του Κλάιν, όπου ενοποιήθηκαν οι διάφορες Γεωµετρίες µε τη βοήθεια των οµάδων µετασχηµατισµών και τη θεωρία των αναλλοίωτων. Αυτή η συστηµατοποίηση αναδείκνυε και επισηµοποιούσε τον δοµικό τρόπο σκέψης στα Μαθηµατικά. Με άλλα λόγια, ο τρόπος οργάνωσης, κατανόησης κι ανάπτυξης της µαθηµατικής γνώσης διαµορφώνεται µε βάση ένα πρότυπο σκέψης όπου διαπλέκονταν τρεις συνιστώσες : 1) η ολιστική (holistic) [σύµφωνα µ αυτή τη συνιστώσα, οι ολότητες είναι το γενετικό υλικό των Μαθηµατικών κι όχι οι µεµονωµένες έννοιες ή τα µεµονωµένα στοιχεία, π.χ. τα σύνολα αριθµών], 2) σχεσιακή (relational) [σύµφωνα µ αυτή τη διάσταση οι σχέσεις των στοιχείων µιας ολότητας προσδίδουν τον ιδιαίτερο χαρακτήρα της ολότητας, π.χ. οι πράξεις ενός αριθµητικού συστήµατος µε τις ιδιότητες και τους περιορισµούς τους καθορίζουν τη φύση του] και 3) η πλαισιοκρατική (contextual) [σύµφωνα µε την οποία, το πλαίσιο (δηλ. η ολότητα και οι σχέσεις της) δίνει έµµεσα νόηµα στα στοιχεία του, π.χ. ο ρητός αριθµός αποκτά το νόηµά του από το σύνολο του καρτεσιανού γινοµένου των ακεραίων, από τη σχέση ισοδυναµίας που τους προσδιορίζει και από τις πράξεις που διαµορφώνουν το λειτουργικό τους χαρακτήρα]. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο δοµικός τρόπος σκέψης έχει να κάνει µε το επιστηµολογικό και µεθοδολογικό υπόβαθρο της σκέψης κι όχι απλά µε τους προκαθορισµένους ορισµούς των δοµών, π.χ. της οµάδας, ή του διανυσµατικού χώρου. Αυτό σηµαίνει ότι ο δοµικός τρόπος σκέψης είναι κάτι βαθύτερο από τους γνωστικούς χειρισµούς κάποιων προκαθορισµένων δοµών. 10

11 Η προµετωπίδα του Προγράµµατος Ερλάνγκεν ηµοσίευση, όπου επισηµαίνεται ο δοµικός χαρακτήρας του Προγράµµατος Ερλάνγκεν Είναι αλήθεια ότι η επιστηµολογική αυτή στροφή, που ώθησε ο Κλάιν, δεν ήταν αστραπή εν αιθρία. Υπήρχαν διάφορα υπόγεια επιστηµονικά ρεύµατα που την υπέθαλψαν. Για παράδειγµα ο Γκέοργκ Ωµ (Georg Simon Ohm, ) καλλιέργησε τέτοιες ιδέες στη Φυσική, κάτι ανάλογο έκανε ο αδελφός του, Μάρτιν Ωµ (Martin Ohm, ), στα Μαθηµατικά και ο Χέρµαν Γκράσµαν (Hermann Grasmann, ) στα Μαθηµατικά και τη Φυσική. Αυτό σηµαίνει ότι η γονιµοποίηση του δοµικού τρόπου σκέψης είχε αρχίσει πριν από τον Κλάιν, αλλά η γέννηση του έγινε τις τελευταίες δεκαετίες του 19 ου αιώνα, µε τον Κλάιν κι άλλους επιστήµονες. Και έγινε τότε, γιατί οι τεχνολογία των νέων µηχανών και η βαριά βιοµηχανία είχαν ανάλογες υποδοµές κι έτσι διαµόρφωσαν τις ευνοϊκές συνθήκες για την αποδοχή και εδραίωση του δοµικού τρόπου σκέψης. Αξίζει να αναφερθεί ότι οι ηλεκτροκινητήρες και οι άλλες σύνθετες µηχανές, εκείνης της εποχής, δεν ήταν απλά συνάθροιση έξυπνων εξαρτηµάτων, όπως π.χ. το αργαλειό, αλλά, ήταν πολύπλοκοι µηχανισµοί µε µια εσωτερική αλληλεξάρτηση των λειτουργιών τους, που η αυτονοµία ενός µέρους τους ήταν [και είναι] χωρίς νόηµα. Το ίδιο ίσχυε και στην οργάνωση των µεγάλων εργοστασιακών επιχειρήσεων, όπου ο καταµερισµός 11

12 δουλειάς και η εξειδίκευση έπρεπε να αποτελούν συνέπεια του λειτουργικού τους συστήµατος, για τη µέγιστη αποτελεσµατικότητα του µηχανολογικού υπόβαθρού τους, κι όχι πρωταρχικοί παράγοντες πάνω στους οποίους θα προσαρµοστεί ο παραγωγικός εξοπλισµός τους. Ο δοµικός τρόπος σκέψης του Κλάιν όχι µόνο δεν αγνοήθηκε, αλλά συνυφάνθηκε µε ανάλογες τάσεις και πρωτοβουλίες σ άλλους τοµείς της γερµανικής επιστήµης και τεχνολογίας. Και το σηµαντικότερο άρχισε να εδραιώνεται ως η νέα ορθολογικότητα στην, τότε, µεταρρυθµιζόµενη γερµανική εκπαίδευση. Ο Χίλµπερτ, που ανήκε στη νεότερη γενιά απ αυτή του Κλάιν, δεν έµεινε αδιάφορος στις γνωστικές και επιστηµονικές τάσεις του περιβάλλοντός του. Ανάπτυξε µια ιδιαίτερα δυναµική δραστηριότητα στην µαθηµατική και γενικότερα στην επιστηµονική έρευνα. Ένας από τους πρώτους σταθµούς της επιστηµονικής του συµβολής ήταν το βιβλίο του : Τα Θεµέλια της Γεωµετρίας, που πρωτο-εκδόθηκε το Πρόκειται για µια επαναθεµελίωση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, µε βάση τον δοµικό τρόπο σκέψης. Και µπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα από τα ευαγγέλια των σύγχρονων Μαθηµατικών. 12

13 Το πεδίο των ερευνών του ήταν αρκετά ευρύ περιλαµβάνοντας διάφορους τοµείς των Μαθηµατικών, όπως τη θεωρία των αναλλοίωτων, τις ολοκληρωτικές εξισώσεις, τη θεωρία αριθµών, τη µαθηµατική λογική κ.ά. Επίσης ασχολήθηκε συστηµατικά µε τη θεµελίωση της σύγχρονης Φυσικής. Χωρίς αµφιβολία, ήταν ένας από τους επιφανέστερους µαθηµατικούς της εποχής του. Ο απόηχος των ιδεών του Χίλµπερτ σε διάφορους επιστηµονικούς τοµείς Η δύναµη των ιδεών ενός διακεκριµένου επιστήµονα είναι η διάδοσή τους και η ευρύτητα της επίδρασής τους. Στην προκειµένη περίπτωση, το µαθηµατικό έργο του Χίλµπερτ είχε και έχει µια µεγάλη επίδραση. Εκείνο όµως που έχει ένα ιδιαίτερο ειδικό βάρος στο σύγχρονο επιστηµονικό πολιτισµό µας είναι η διεισδυτικότητα των ιδεών του σε άλλους τοµείς, εκτός από την καθαρά µαθηµατική έρευνα. Η αξιωµατική θεµελίωση της σύγχρονης Φυσικής ήταν ένα από τα επιστηµονικά του ενδιαφέροντα και ένας από τους ερευνητικούς του προσανατολισµούς. Στην κατεύθυνση αυτή ασχολήθηκε, συστηµατικά, για τη θεµελίωση της Μηχανικής, της Θερµοδυναµικής, της Κινητικής Θεωρίας των Αερίων, της Ηλεκτροδυναµικής, του Ηλεκτροµαγνητισµού, της Θεωρίας της Σχετικότητας κ.ά. Μια σύγχρονη ιστορική ανάλυση της συµβολής του στον τοµέα αυτόν είναι το εξής βιβλίο: 13

14 Μια άλλη επιστηµονική περιοχή, που φάνηκε η γονιµότητα των ιδεών του είναι το ζήτηµα της αποτελεσµατικής υπολογισιµότητας (computability), δηλ. του λογικού υπόβαθρου της Θεωρητικής Πληροφορικής. Μια µελέτη τέτοιου είδους όπου αξιοποιούνται οι ιδέες του Χίλµπερτ αναπτύσσεται στο εξής: Πιο απροσδόκητη είναι η επίδραση του Χίλµπερτ στην θεµελίωση των Οικονοµικών Επιστηµών. Ένας τέτοιος προβληµατισµός αναπτύχθηκε, το 1998, στο περιοδικό The Economic Journal. Και ένα σχετικό βιβλίο, που υποστηρίζει τη σηµασία της αξιωµατικής µεθόδου του Χίλµπερτ στις Οικονοµικές Επιστήµες, είναι το εξής: 14

15 Αξίζει να αναφερθεί και ο απόηχος του Χίλµπερτ στη σχολική Γεωµετρία, την περίοδο της µεταρρύθµισης των σύγχρονων Μαθηµατικών, τις δεκαετίες 1960 και Πολύ χαρακτηριστική ήταν η αντίστοιχη ελληνική εµπειρία. Είχε ενταχθεί, επίσηµα, το αξιωµατικό σύστηµα του Χίλµπερτ ως βάση της σχολικής Γεωµετρίας του Λυκείου και προκάλεσε έντονες αντιδράσεις από τους µαθηµατικούς της εκπαίδευσης. Η αλήθεια είναι ότι οι ιθύνοντες εισήγαγαν τις συγκεκριµένες ιδέες µ ένα καθαρά δογµατικό τρόπο και µε µια πλήρως τεχνοκρατική αντίληψη. εν υπήρξε καµία διδακτική ή επιστηµολογική ανάλυση και προετοιµασία και καµία επιµορφωτική προσπάθεια των εκπαιδευτικών. Και το χειρότερο, δεν ήταν διαθέσιµες σχετικές δηµοσιεύσεις στην ελληνική βιβλιογραφία που να φωτίζουν το γνωστικό και διδακτικό παρασκήνιο αυτής της προσέγγισης στη σχολική µας Γεωµετρία. Μετά τις πολιτικές εξελίξεις του 1982, καταργήθηκε, µε µια λογική του τύπου : πονάει κεφάλι, κόβω κεφάλι! Από τότε υπάρχει µια νεφελώδης κατάσταση στην υποδοµή της σχολικής µας Γεωµετρίας, µε µια πολύ θολή και υπονοούµενη αντίληψη περί, δήθεν, ευκλείδειας υπόστασης της. 15

16 Το χειρότερο είναι ότι ούτε τότε, ούτε τώρα, υπάρχει κάποιο στοιχειώδες επίπεδο κατανόησης του επιστηµολογικού και διδακτικού υπόβαθρου των σύγχρονων προσανατολισµών της σχολικής Γεωµετρίας και των σύγχρονων Μαθηµατικών γενικότερα. Και δεν είναι καθόλου περιττό να αναφερθεί ότι το επίπεδο ανάλυσης και εµβάθυνσης των σχολικών Μαθηµατικών στην Ευρωπαϊκή Ένωση είναι αρκετά υψηλό, σ αντίθεση µε την αντίστοιχη ελληνική πραγµατικότητα. Υπάρχουν, δυστυχώς, στη χώρα µας πολύ µεγάλα εµπόδια για να µπορέσει ο έλληνας µαθηµατικός να κατανοήσει τη γεωµετρική σκέψη του Χίλµπερτ, αλλά και του Ευκλείδη. Ευτυχώς, η λογοτεχνία δίνει κάποια ερεθίσµατα και ίσως ανοίξει κι άλλες προοπτικές διείσδυσης στο επιστηµολογικό και κοινωνικό παρασκήνιο της µαθηµατικής σκέψης. Κι έτσι να καλύψει λίγο από τα ακαδηµαϊκά µας ελλείµµατα. Στην κατεύθυνση αυτή τα Πυθαγόρεια Εγκλήµατα του Τεύκρου Μιχαηλίδη έχουν κάποια ερείσµατα για την προώθηση της µαθηµατικής µας κουλτούρας. 16

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. 2010-2011 ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ Εισαγωγικά: Το σχέδιο περιλαµβάνει τον προτεινόµενο κατάλογο υποχρεωτικών µαθηµάτων µε τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Λέκκας Στάθης Μπαρμπούτσης Αλέξανδρος Μιαρίτης Άγγελος Μπούρας

Νίκος Λέκκας Στάθης Μπαρμπούτσης Αλέξανδρος Μιαρίτης Άγγελος Μπούρας ό ή Νίκος Λέκκας Στάθης Μπαρμπούτσης Αλέξανδρος Μιαρίτης Άγγελος Μπούρας ύ ς ί ς Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης γεννήθηκε το 1954 στην Αθήνα και κατάγεται από την Κύπρο. Είναι διδάκτωρ των μαθηματικών του Πανεπιστημίου

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας 1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων.

Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο. Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Σενάριο 5. Μετασχηµατισµοί στο επίπεδο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Α' Λυκείου. Συµµετρία ως προς άξονα. Σύστηµα συντεταγµένων. Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών. Συµµεταβολή σηµείων. Θέµα: Στο περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

Υ.Α Γ2/6646/ Επιµόρφωση καθηγητών στο ΣΕΠ και τη Επαγγελµατική Συµβουλευτική

Υ.Α Γ2/6646/ Επιµόρφωση καθηγητών στο ΣΕΠ και τη Επαγγελµατική Συµβουλευτική Υ.Α Γ2/6646/20-11-97 Επιµόρφωση καθηγητών στο ΣΕΠ και τη Επαγγελµατική Συµβουλευτική ΥΠΕΠΘ-Γ2/6646120.Ι 1.97 Ενηµέρωση για το πρόγραµµα επιµόρφωσης Καθηγητών στο Σχολικό Επαγγελµατικό Προσανατολισµό και

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04)

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04) «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διδακτική διαδικασία» (Γ ΚΠΣ, ΕΠΕΑΕΚ, Μέτρο 2.1, Ενέργεια 2.1.1, Κατηγορία Πράξεων 2.1.1 θ) Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών.

Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Μαθηματικά και Πληροφορική. Διδακτική Αξιοποίηση του Διαδικτύου για τη Μελέτη και την Αυτο-αξιολόγηση των Μαθητών. Α. Πέρδος 1, I. Σαράφης, Χ. Τίκβα 3 1 Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί perdos@kalamari.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.) ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.) ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (Π.Ι.Ε.)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας ιστορία νεότερη και σύγχρονη ΑΘΗΝΑ 2000 Οµάδα Σύνταξης Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

14 Δυσκολίες μάθησης για την ανάπτυξη των παιδιών, αλλά και της εκπαιδευτικής πραγματικότητας. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες και αιτιολογίες για τις

14 Δυσκολίες μάθησης για την ανάπτυξη των παιδιών, αλλά και της εκπαιδευτικής πραγματικότητας. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες και αιτιολογίες για τις ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι δυσκολίες μάθησης των παιδιών συνεχίζουν να απασχολούν όλους όσοι ασχολούνται με την ανάπτυξη των παιδιών και με την εκπαίδευση. Τους εκπαιδευτικούς, οι οποίοι, μέσα στην τάξη τους, βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΧΑΡΤΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΧΡΗΣΗ β. φιλιππακοπουλου 1 Αναλυτικό Πρόγραµµα 1. Εισαγωγή: Μια επιστηµονική προσέγγιση στη χαρτογραφική απεικόνιση και το χαρτογραφικό σχέδιο

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Εισαγωγή Ν. Καστάνη Τα τελευταία 30 µε 40 χρόνια αναπτύσσεται, δυναµικά, µια νέα θεώρηση της Φιλοσοφίας της Επιστήµης και της

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ - ΣΑΒΒΑΤΟ 21 και 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2000 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥΠΟΛΗ ΓΑΛΛΟΥ ΡΕΘΥΜΝΗΣ 2η ΙΗΜΕΡΙ Α Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου

Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Η διδασκαλία των Μαθηματικών στα νέα Προγράμματα Σπουδών Γυμνασίου & Λυκείου Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Νομού Κιλκίς Ομιλία στο Παράρτημα Κέρκυρας της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις

Ιστοσελίδα:  Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ Κατηγορία ECTS Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Επιστήμη Υποχρεωτικό 6 Ελληνική Γλώσσα Υποχρεωτικό 6 Η Ιστορία και η Διδακτικής της Υποχρεωτικό 6

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση

12 Ο ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ΧΟΡΟΣ στην εκπαιδευση προλογοσ Το βιβλίο αυτό αποτελεί καρπό πολύχρονης ενασχόλησης με τη θεωρητική μελέτη και την πρακτική εφαρμογή του παραδοσιακού χορού και γράφτηκε με την προσδοκία να καλύψει ένα κενό όσον αφορά το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Πριν όµως περάσω στο θέµα που µας απασχολεί, θα ήθελα µε λίγα λόγια να σας µιλήσω για το ρόλο του Επιµελητηρίου Μεσσηνίας.

Πριν όµως περάσω στο θέµα που µας απασχολεί, θα ήθελα µε λίγα λόγια να σας µιλήσω για το ρόλο του Επιµελητηρίου Μεσσηνίας. Οµιλία του Προέδρου του Επιµελητηρίου Μεσσηνίας κ. Γ. Καραµπάτου στο Α.Τ.Ε.Ι. Καλαµάτας µε θέµα: «Η ανάγκη συνεργασίας µεταξύ Επιµελητηρίου και Πανεπιστηµίων µέσω των γραφείων διασύνδεσης» Τρίτη, 30 Σεπτεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ

Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΞΑΝΘΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2017 Επιμορφωτικό Σεμινάριο Διδακτικής των Μαθηματικών με ΤΠΕ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr Διδακτική της Άλγεβρας με χρήση ψηφιακών τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί ότι η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στο ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας. ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ στο µάθηµα Γενικής Παιδείας ιστορία νεότερη και σύγχρονη (1789-1909) ΑΘΗΝΑ 1999 1ο Μέρος (κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική»

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» ΕΠΕΔΙΜ, 9 Οκτωβρίου 2015 πηγές: Αναλυτικά προγράμματα «προηγμένων εκπαιδευτικά»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-201 Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ Κατηγορία ECTS ΥΑ0007 Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Υποχρεωτικό Επιστήμη ΥΔ0001 Ελληνική Γλώσσα Υποχρεωτικό ΥΒ0003 Η Ιστορία και η Διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου

Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο αντιστοιχεί στο νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Φυσικής Α Λυκείου αποτελείται από: 1. Το βιβλίο μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Στην υπ αριθµ. 361/30-11-2009 Γ.Σ. το Τµήµα Φυσικής του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων υιοθέτησε, σε εναρµόνιση µε το

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Τεχνολογία - Πολυμέσα. Ελένη Περιστέρη, Msc, PhD

Εκπαιδευτική Τεχνολογία - Πολυμέσα. Ελένη Περιστέρη, Msc, PhD Εκπαιδευτική Τεχνολογία - Πολυμέσα Ελένη Περιστέρη, Msc, PhD Τι είναι η «Εκπαιδευτική Τεχνολογία» (1) Εκπαιδευτική Τεχνολογία είναι «η εφαρμογή τεχνολογικών διαδικασιών και εργαλείων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Βασίλης Καραγιάννης Η παρέμβαση πραγματοποιήθηκε στα τμήματα Β2 και Γ2 του 41 ου Γυμνασίου Αθήνας και διήρκησε τρεις διδακτικές ώρες για κάθε τμήμα. Αρχικά οι μαθητές συνέλλεξαν

Διαβάστε περισσότερα

Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και

Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση Μένη Τσιτουρίδου Τμήμα Επιστημών Προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης Παιδαγωγική Σχολή Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΤΟΧΟ ΤΗΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΤΩΝ Π.Π.Σ. Ανδρέας Πούλος Σχολικός Σύμβουλος Ανατολικής Θεσσαλονίκης, μέλος του ΕΠΕΣ του Π.Π.Σ.Π.Θ. 1. Η διατύπωση του εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες...

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Οι μεγάλες εξισώσεις. {...όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Ερευνητική εργασία μαθητών της Β λυκείου. E = mc 2 Στοιχεία ταυτότητας: Ε: ενέργεια (joule) m: μάζα (kg) c: ταχύτητα του φωτός στο κενό (m/s)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΟ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΣΧΕ ΙΟ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. 2010-2011 ΣΧΕ ΙΟ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ Εισαγωγικά: Το σχέδιο περιλαµβάνει τον προτεινόµενο κατάλογο υποχρεωτικών µαθηµάτων µε τις αντίστοιχες ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ. Ιδέες από το Αναπτυξιακό Συνέδριο

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ. Ιδέες από το Αναπτυξιακό Συνέδριο ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ Ιδέες από το Αναπτυξιακό Συνέδριο εκέµβριος 2005 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Από τη διενέργεια του Αναπτυξιακού Συνεδρίου της Περιφέρειας, αλλά και από τις επιµέρους συσκέψεις για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Α1. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Το κείµενο πραγµατεύεται τη σχέση του διαδικτύου µε τη διάδοση της γνώσης. Αρχικά, αναφέρεται ότι µέσω του διαδικτύου η πρόσβαση στη γνώση καθίσταται δυνατή για όλους.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος του Γιώργου Τσιάκαλου 25. ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ Εισαγωγή 29

Πρόλογος του Γιώργου Τσιάκαλου 25. ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ Εισαγωγή 29 Περιεχόµενα Πρόλογος του Γιώργου Τσιάκαλου 25 ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ Εισαγωγή 29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Κοινωνικός αποκλεισµός και εκπαίδευση Θεωρητικές προσεγγίσεις 30 1.1 Κοινωνικός αποκλεισµός 30 1.1.1 Η εκπαίδευση ως παράγοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΟ, ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ

ΦΥΛΟ, ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ Κογκίδου ήµητρα Χαιρετισµός στην ηµερίδα του Παιδαγωγικού Τµήµατος ηµοτικής Εκπαίδευσης στο Α.Π.Θ. ΦΥΛΟ, ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ Κατά τα δύο προηγούµενα ακαδηµαϊκά έτη το Α.Π.Θ. προσφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου

Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Οδηγίες για τη διδασκαλία µαθηµάτων Πληροφορικής του Ενιαίου Λυκείου Εγγραφο Γ2/4769/4-9-1998 ΣΧΕΤ. 2794/23-6-98 έγγραφο του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου Σας αποστέλλουµε οδηγίες για τη διδασκαλία των µαθηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ 2 5 +32 17 2= 1156 Μαθηματικά Β μέρος 8 9 15 Δ=2 δ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας

Διαβάστε περισσότερα

160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη)

160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη) 160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη) Σκοπός Σκοπός του Τμήματος είναι η παιδαγωγική κατάρτιση ατόμων, που θα ασχοληθούν με την εκπαίδευση και αγωγή παιδιών προσχολικής

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητικό ερώτημα: Η εξέλιξη της τεχνολογίας της φωτογραφίας μέσω διαδοχικών απεικονίσεων της Ακρόπολης.

Ερευνητικό ερώτημα: Η εξέλιξη της τεχνολογίας της φωτογραφίας μέσω διαδοχικών απεικονίσεων της Ακρόπολης. Περιγραφή της ερευνητικής εργασίας Βασικοί σκοποί της έρευνας: Η οικοδόμηση γνώσεων όσον αφορά στη λειτουργία των φωτογραφικών τεχνικών (αναλογικών ψηφιακών) διερευνώντας το θέμα κάτω από το πρίσμα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δελτίο Τύπου. Η Πρόταση του Ι.Ε.Π. για το Λύκειο που κατατέθηκε στην Επιτροπή Μορφωτικών Υποθέσεων της Βουλής

Δελτίο Τύπου. Η Πρόταση του Ι.Ε.Π. για το Λύκειο που κατατέθηκε στην Επιτροπή Μορφωτικών Υποθέσεων της Βουλής Δελτίο Τύπου Η Πρόταση του Ι.Ε.Π. για το Λύκειο που κατατέθηκε στην Επιτροπή Μορφωτικών Υποθέσεων της Βουλής Αθήνα, 25-01-2017 Εισαγωγικά Είναι κοινή παραδοχή ότι το Λύκειο ως βαθμίδα έχει σε μεγάλο βαθμό

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Η θέση της Πανελλήνιας Ένωσης Καθηγητών Πληροφορικής Επιμέλεια κειμένου: Δ.Σ. ΠΕΚαΠ κατόπιν δημόσιας διαβούλευσης των μελών της Ένωσης από 20/07/2010. Τελική έκδοση κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η

εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η εργαλείο δυναμικής διαχείρισης γεωμετρικών σχημάτων και αλγεβρικών παραστάσεων δυνατότητα δυναμικής αλλαγής των αντικειμένων : είναι δυνατή η μετακίνηση, περιστροφή, αυξομείωση, ανάκλαση και απόκρυψη του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικές Συναντήσεις

Μαθηματικές Συναντήσεις Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 1 / ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 16 Ενδεικτικά θέματα μαθηματικών για τις Α, Β και Γ τάξεις του Γενικού Λυκείου Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 «Τα Μαθηµατικά µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνικά δίκτυα (Web 2.0) και εκπαίδευση

Κοινωνικά δίκτυα (Web 2.0) και εκπαίδευση Κοινωνικά δίκτυα (Web 2.0) και εκπαίδευση Ο εικοστός πρώτος αιώνας θα µπορούσε εύκολα να χαρακτηριστεί ως τεχνολογικός αιώνας µιας και τα νέα δεδοµένα µαρτυρούν αύξηση της χρήσης του ηλεκτρονικού υπολογιστή,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΔΕΠΠΣ ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών ΔΕΠΠΣ Φ.Ε.Κ., 303/13-03-03, τεύχος Β Φ.Ε.Κ., 304/13-03-03, τεύχος Β Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην σύνταξη των ΔΕΠΠΣ Γενικότερες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ 20-05-2004 Α. Σύμφωνα με ξένο συγγραφέα παρατηρεί ο Παπανούτσοςο βασικός λόγος που ο άσκαλος επαναπαύεται στις πνευματικές του κατακτήσεις είναι ότι οι μαθητές του

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015*

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΔΕΥΤΕΡΑ 19/1 ΤΡΙΤΗ 20/1 ΤΕΤΑΡΤΗ 21/1 ΠΕΜΠΤΗ 22/1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 23/1 ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΥΓΕΝΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους...

Μεγάλοι μαθηματικοί. και το έργο τους... Μεγάλοι μαθηματικοί και το έργο τους... Eυκλείδης Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 350 π.χ. - 270 π.χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A N A K O I N Ω Σ Η

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A N A K O I N Ω Σ Η ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θεσσαλονίκη 1-2013 A N A K O I N Ω Σ Η Τα μαθήματα του Προπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών στο Τμήμα Μαθηματικών για το εαρινό

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ (ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ)

Α ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ (ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ) Ειδίκευση Α ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ (ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ) Η ειδίκευση προσφέρει στις φοιτήτριες και στους φοιτητές σε βάθος θεωρητική κατάρτιση σε ζητήματα διδακτικής της ελληνικής γλώσσας, εξετάζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Η Πληροφορική στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση - Γυμνάσιο Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπηρεσία Έρευνας και ιεθνών Σχέσεων, Γραφείο Κατάρτισης Προτάσεων Μάρτιος 2008 ΕΣΜΗ ΙΠΕ

Υπηρεσία Έρευνας και ιεθνών Σχέσεων, Γραφείο Κατάρτισης Προτάσεων Μάρτιος 2008 ΕΣΜΗ ΙΠΕ Υπηρεσία Έρευνας και ιεθνών Σχέσεων, Γραφείο Κατάρτισης Προτάσεων Μάρτιος 2008 ΕΣΜΗ 2008-2010 ΙΠΕ 1 ΑΞΟΝΑΣ ΙΙ ΑΞΟΝΑΣ ΙΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΥΝΑΜΙΚΟΥ 2 ΑΞΟΝΑΣ ΙΙ Η ΙΕΥΡΥΝΣΗ ΤΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ

ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΘΕΩΡΊΕς ΜΆΘΗΣΗς ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΆ ΔΟΜΕΣ Δομή Ομάδας Σύνολο Α και μια πράξη η πράξη είναι κλειστή ισχύει η προσεταιριστική ιδότητα υπάρχει ουδέτερο στοιχείο υπάρχει αντίστροφο στοιχείο ισχύει η αντιμεταθετική

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγίζοντας παιδαγωγικά τη γλώσσα της σύγχρονης τέχνης με τη χρήση πολυμεσικών εφαρμογών: Η περίπτωσης της Mec Art του Νίκου Κεσσανλή

Προσεγγίζοντας παιδαγωγικά τη γλώσσα της σύγχρονης τέχνης με τη χρήση πολυμεσικών εφαρμογών: Η περίπτωσης της Mec Art του Νίκου Κεσσανλή Προσεγγίζοντας παιδαγωγικά τη γλώσσα της σύγχρονης τέχνης με τη χρήση πολυμεσικών εφαρμογών: Η περίπτωσης της Mec Art του Νίκου Κεσσανλή Πανάγου Ελένη, Ερευνήτρια του Ινστιτούτου Πολιτιστικής & Εκπ/κής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη

Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Διδακτική οργάνωση και διαχείριση του μαθηματικού περιεχομένου και της διαπραγμάτευσης των δραστηριοτήτων στην τάξη Φαινόμενα Εμπειρίες φαινομένων Οργάνωση φαινομένων Νοούμενα (πρώτες μαθηματικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα-πειραματικά σχολεία

Πρότυπα-πειραματικά σχολεία Πρότυπα-πειραματικά σχολεία 1. Τα πρότυπα-πειραματικά: ένα ιστορικό Τα πειραματικά σχολεία (στα οποία εντάχθηκαν με το Ν. 1566/85 και τα ιστορικά πρότυπα σχολεία) έχουν μακρά ιστορία στον τόπο μας. Τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διδακτική παρέμβαση 2-3 ωρών στο μάθημα της Λογοτεχνίας της Β Λυκείου και συγκεκριμένα στο κείμενο «Ζάβαλη Μάϊκω» του Στρατή Μυριβήλη με αξιοποίηση ΤΠΕ (χρήση αρχείων power point, διαδικτύου και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής Διδακτική της Πληροφορικής ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ανδρέας Σ. Ανδρέου (Αναπλ. Καθηγητής ΤΕΠΑΚ - Συντονιστής) Μάριος Μιλτιάδου, Μιχάλης Τορτούρης (ΕΜΕ Πληροφορικής) Νίκος Ζάγκουλος, Σωκράτης Μυλωνάς (Σύμβουλοι Πληροφορικής)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων. Η ανάγκη τεκµηρίωσης και διαφύλαξης της σύγχρονης λαογραφικής και εθνογραφικής

Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων. Η ανάγκη τεκµηρίωσης και διαφύλαξης της σύγχρονης λαογραφικής και εθνογραφικής Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων ρ. Αναστασία Π. Βαλαβανίδου αρχιτέκτων µηχ.-µουσειολόγος Εφορεία Νεωτέρων Μνηµείων Κεντρικής Μακεδονίας, ΥΠΠΟΤ Ελένη Χρ. Οικονοµοπούλου αρχιτέκτων µηχ.,

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα