Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ"

Transcript

1 Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηµατικής Λογοτεχνίας Τµήµατος Μαθηµατικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Η ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ HILBERT, ΜΕ ΜΙΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΦΕΤΗΡΙΑ του Ν. Καστάνη Θεσσαλονίκη εκέµβριος 2007

2 Η ΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ HILBERT, ΜΕ ΜΙΑ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΚΗ ΑΦΕΤΗΡΙΑ του Ν. Καστάνη Εισαγωγή Το 2006, κυκλοφόρησε το µυθιστόρηµα : Πυθαγόρεια εγκλήµατα, του Τεύκρου Μιχαηλίδη, το οποίο είχε µια µεγάλη εκδοτική επιτυχία. 2

3 Όπως δηλώνει ο συγγραφέας του, το βιβλίο αυτό είναι µια αστυνοµική περιπέτεια µε έντονο µαθηµατικό άρωµα. Κι όποιος ξεφυλλίσει, έστω για λίγο, το περιεχόµενό του θα διαπιστώσει ότι µια από τις κύριες ευωδιές του είναι το άρωµα του Hilbert. Ας αφήσουµε να µας µαγεύσει, η µεθυστική µοσχοβολιά του. Για το σκοπό αυτό, κάποια αποσπάσµατα από το συγκεκριµένο µυθιστόρηµα µπορούν να δηµιουργήσουν µια πρώτη µαθηµατική ευαισθησία. ιαβάζουµε σχετικά: Παρίσι, Τετάρτη 8 Αυγούστου Το αµφιθέατρο της Σορβόννης, κατάµεστο. Στην οµιλία του Χίλµπερτ δεν πέφτει ούτε καρφίτσα. [Σ]το ιεθνές Συνέδριο Μαθηµατικών του Παρισιού οµιλητής ήταν ο διάσηµος Ντάβιντ Χίλµπερτ και η οµιλία του είχε τον δελεαστικό τίτλο Σχετικά µε τα µελλοντικά προβλήµατα των µαθηµατικών. (σελ. 16) Ολόκληρο τον [προηγούµενο] χρόνο, η διάλεξη [του] Χίλµπερτ ήταν το κεντρικό θέµα συζήτησης στο Γκέτινγκεν.Ο Μινκόφσκι ήταν µάλλον [εκείνος] που έριξε πρώτος την ιδέα µιας οµιλίας-πανοράµατος των µαθηµατικών του µέλλοντος και καλούσε τον φίλο του να αντιπαραθέσει µια διάλεξη που θα αποτελούσε µεταξύ άλλων και ένα είδος πρόκλησης στην πρωτοκαθεδρία των γαλλικών µαθηµατικών. (σελ. 17, η υπογράµµιση είναι δική µου, Ν.Κ.) Ο Κλάιν, [ο πρόεδρος και ο ανερχόµενος αστέρας του µαθηµατικού τµήµατος στο Γκέτινγκεν], διατύπωσε σοβαρές επιφυλάξεις για το αν η απόφαση του νεότερου συναδέλφου του, να παρουσιάσει ανοιχτά προβλήµατα αντί για ολοκληρωµένες λύσεις, ήταν φρόνιµη εν έχετε παρά να παρουσιάσετε τα πρόσφατα επιτεύγµατα των γερµανικών µαθηµατικών, [του είπε] (σελ , η υπογράµµιση είναι δική µου, Ν.Κ.) Τον Απρίλιο του 1900 επισκέφτηκε [το Γκέτινγκεν] ο Χάινριχ Βέµπερ, καθηγητής στο Πανεπιστήµιο του Στρασβούργου (που µετά τον πόλεµο του 1870 ανήκε στη Γερµανία) Ο Χίλµπερτ, παλιός µαθητής του Βέµπερ από τα χρόνια του Κένιγκσµπεργκ, του είχε στείλει το χειρόγραφο της οµιλίας του Παρισιού Ο Βέµπερ συγχάρηκε τον Χίλµπερτ [και] δεν έχασε την ευκαιρία να [του] κάνει µια ιδιαίτερα κολακευτική[επισήµανση] : 3

4 ηµοσιεύοντας τα Θεµέλια της Γεωµετρίας, γίνατε ο σύγχρονος Ευκλείδης. Με αυτό το κείµενο διεκδικείτε τώρα και το ρόλο του σύγχρονου Αρχιµήδη (σελ. 23) Χωρίς αµφιβολία, η αίσθηση, που δηµιουργούν αυτά τα αποσπάσµατα, είναι έντονη - τόσο για την ακτινοβολία του Χίλµπερτ, όσο και για το γερµανικό παρασκήνιο, πίσω από τη µνηµειώδη οµιλία του, το 1900, στη Σορβόννη. David Hilbert ( ) Ένας προβληµατισµός, όµως, γεννιέται: Ο Χίλµπερτ ήταν µια µαθηµατική ιδιοφυία; που έλυσε σηµαντικά µαθηµατικά προβλήµατα και ανάπτυξε τα Μαθηµατικά; Ή, ήταν ένας πρωτοπόρος των γερµανικών µαθηµατικών; την εποχή της παγκόσµιας γερµανικής ισχυροποίησης; Η αντιδιαστολή αυτών των ερωτηµάτων προκαλεί µια ευαισθητοποίηση γύρω από τη σχέση µιας ιστορικής προσωπικότητας των Μαθηµατικών µε το πολιτιστικό περιβάλλον και την επιστηµονική δυναµική που την εξέθρεψε και την ανάδειξε. Συνήθως, οι ιστορικές προσωπικότητες παρουσιάζονται ως µεσσίες, ως προικισµένες αυθεντίες, που αποκαλύπτουν κρυµµένες αλήθειες, ανεξάρτητα του τόπου και του χρόνου, ή καλύτερα ανεξάρτητα της επιστηµονικής συγκυρίας των 4

5 επιτευγµάτων τους. Οι σύγχρονες, όµως, προσεγγίσεις δίνουν ιδιαίτερη προσοχή στην αλληλοεπίδραση των συλλογικών καταστάσεων της µαθηµατικής σκέψης και δραστηριότητας, από τη µια, των επιλογών και της δηµιουργικότητας των επιφανών µαθηµατικών, από την άλλη. Είναι αλήθεια, ότι η νέα αυτή σκοπιά του µαθηµατικού γίγνεσθαι µπορεί να προκαλέσει µια αµηχανία, σε όλους εκείνους που είναι εθισµένοι στους εσωτερικούς µηχανισµούς της διάρθρωσης και διαχείρισης των µαθηµατικών αληθειών και όχι στα ανθρωπολογικά πλαίσια µέσα από τα οποία αναδεικνύονται και καρποφορούν οι µαθηµατικές αλήθειες και οι αντίστοιχοι µηχανισµοί. Η αλλαγή στάσης, προϋποθέτει : ανοικτά µυαλά και κίνητρα. Τα Πυθαγόρεια εγκλήµατα και τα συγκεκριµένα αποσπάσµατα, ειδικότερα, προδιαθέτουν για µια βαθύτερη διείσδυση στον κόσµο των Μαθηµατικών, την περίοδο γύρω στο Στην προοπτική αυτή, αξίζει να αποκαλυφθεί, λίγο, το µαθηµατικό περιβάλλον του Γκέτινγκεν στο γύρισµα του 19 ου αιώνα. Ο Hilbert στη µαθηµατική συγκυρία του Göttingen Το µαθηµατικό περιβάλλον του Γκέτινγκεν αποτυπώνεται πολύ χαρακτηριστικά στη φωτογραφία του 1902 : Στο κέντρο, καθιστός, ο Felix Klein και δεξιά του ο David Hilbert 5

6 Το κτίριο που στεγαζόταν το Τµήµα Μαθηµατικών στο Γκέτινγκεν Ο Κλάιν ήταν, τότε, η ψυχή των σύγχρονων Μαθηµατικών στο Γκέτινγκεν και στη Γερµανία γενικότερα. Και δεν ήταν µόνο ο πνευµατικός πατέρας τους, αλλά και ένας πολιτικός καταλύτης των γερµανικών Μαθηµατικών και της επιστηµονικής δραστηριότητας γενικότερα. Felix Klein ( ) 6

7 Η µαθηµατική παράδοση που αναπτύχθηκε από τον Κλάιν και τον Χίλµπερτ στο Γκέτινγκεν αποτελεί µια σηµαντικότατη διάσταση των σύγχρονων µαθηµατικών. Είναι ένα επιστηµονικό κεφάλαιο της µαθηµατικής µας κληρονοµιάς. Κι αυτό είναι αρκετά γνωστό στους ιστορικούς των Μαθηµατικών, αλλά και ευρύτερα στους καλλιεργηµένους µαθηµατικούς. Ενδεικτικά, παρατίθεται ο τίτλος µιας σχετικής δηµοσίευση, ενός διακεκριµένου ιστορικού των Μαθηµατικών των ηµερών µας, ο οποίος είναι καθηγητής στο Τµήµα Μαθηµατικών του Mainz της Γερµανίας. Με αφορµή τις συγκεκριµένες επισηµάνσεις καλό θα είναι να φωτιστεί, λίγο, το επιστηµονικό και κοινωνικό παρασκήνιο της Γερµανίας, την εποχή εκείνη, για να φανεί το πραγµατικό υπόβαθρο της ανάδειξης κι απήχησης αυτής της τόσο σηµαντικής παράδοσης στο σύγχρονο κόσµο των µαθηµατικών. Στα τέλη του 19 ου αιώνα, η Γερµανία ήταν στην πρωτοπορία της δεύτερης βιοµηχανικής επανάστασης και η τεχνολογική, οικονοµική, στρατιωτική και επιστηµονική της δυναµική βρισκόταν στο αποκορύφωµά της. Αυτό σηµαίνει ότι η ανάπτυξη αυτών των τοµέων δεν µπορούσε να επιτευχθεί αυθόρµητα και τυχαία. Έπρεπε να προσανατολιστούν, να συντονιστούν και να στηριχθούν οι απαιτούµενες πρωτοβουλίες, οι αντίστοιχες προωθήσεις τους και οι σχετικές αξιοποιήσεις τους. Έτσι η πολιτική αντιµετώπιση της εξέλιξης αυτής σε συνδυασµό µε τα συµφέροντα και τις προσδοκίες των ισχυρών οικονοµικών παραγόντων της Γερµανίας διαπλέχτηκαν µε επιφανείς επιστήµονες, όπως και µε επιστηµονικούς φορείς. Σ αυτό το πολιτικό-οικονοµικό και επιστηµονικό σύµπλεγµα, ο Κλάιν ήταν ένας από τους κύριους επιστηµονικούς µοχλούς της γερµανικής προόδου. 7

8 Μια πολιτική γελοιογραφία, εκείνης της εποχής, απεικονίζει µε ιδιαίτερη σκωπτική έµφαση τη συνδιαλλαγή των ακαδηµαϊκών παραγόντων µε τους βιοµήχανους, κάτω από την ακτινοβολία του Κλάιν, µε τις ευλογίες του παντοδύναµου υπουργού της παιδείας και υπό το άγρυπνο βλέµµα του αυτοκράτορα. Πρόκειται για την εξής αναπαράσταση: Αναδηµοσιεύτηκε στο Europa, A Journal of Interdisciplinary Studies, 2(2), 1979, p Επειδή η συσχέτιση των Μαθηµατικών µε την, τότε, γενικότερη επιστηµονική και κοινωνική συγκυρία είναι, µάλλον, αόριστη και ασαφής σ ένα σηµερινό µαθηµατικό, καλό είναι να γίνουν κάποιες σχετικές επισηµάνσεις. Ο Κλάιν, στην εργασία του µε τίτλο: Σχετικά µε τη Θεωρία του Ρήµαν για τις Αλγεβρικές Εξισώσεις, που δηµοσιεύτηκε το 1882, παρουσίασε την αντίληψη του Ρήµαν για τις µιγαδικές συναρτήσεις και επισήµανε πως οι φυσικές θεωρήσεις µπορούν να επηρεάσουν ακόµη και το πιο λεπτεπίλεπτο είδος των µαθηµατικών (Struik, D.J.: Συνοπτική Ιστορία Μαθηµατικών, Αθήνα, 1982, σελ. 293). 8

9 Με τη νύξη αυτή διαφαίνεται µια συνειδητοποίηση των δεσµών που µπορεί να έχουν οι µιγαδικές συναρτήσεις µε τη Φυσική κι αντιστρόφως. Και µέσα σ αυτή την οπτική γωνία, δεν καθρεπτίζεται µόνο το καθαρά ερευνητικό ενδιαφέρον του Κλάιν και των φυσικοµαθηµατικών κύκλων, των, τότε, γερµανικών πανεπιστηµίων και ερευνητικών κέντρων, αλλά, υποδεικνύεται και µια τάση ανανέωσης του µαθηµατικού υπόβαθρου της Φυσικής. Είναι αλήθεια ότι, τις τελευταίες δεκαετίες του 19 ου αιώνα, δόθηκε µια ώθηση στη µαθηµατικοποίηση των επιστηµών και δηµιουργήθηκε ένας αναπροσανατολισµός των µαθηµατικών προσεγγίσεων στις Φυσικές Επιστήµες, υπερβαίνοντας το πρότυπο του Απειροστικού Λογισµού, που επικρατούσε έως τότε στη Θεωρητική Μηχανική, ανοίγοντας, έτσι, το δρόµο για την ανάπτυξη και αξιοποίηση της ιανυσµατικής Άλγεβρας, της ιανυσµατικής Ανάλυσης και άλλων κλάδων των σύγχρονων Μαθηµατικών, όπως π.χ. του Τανυστικού Λογισµού. Στην αλλαγή αυτή, καθοριστικό ρόλο έπαιζαν οι τεχνολογικές απαιτήσεις και ιδιαίτερα, οι ανάγκες εφαρµογών του ηλεκτρισµού και του ηλεκτροµαγνητισµού στη δηµιουργία κι ανάπτυξη των ηλεκτροκινητήρων, όπως και της θερµοδυναµικής για τους ατµοκινητήρες. 9

10 Από τον αναπροσανατολισµό των µαθηµατικών απαιτήσεων στις Φυσικές Επιστήµες και την Τεχνολογία, την περίοδο της βιοµηχανικής έκρηξης στη Γερµανία, χαλάρωσαν τα καθιερωµένα ακαδηµαϊκά στεγανά του µαθηµατικού τρόπου σκέψης και δόθηκε η ευκαιρία να αναπηδήσει και να καλλιεργηθεί ένα νέο µαθηµατικό πνεύµα. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αναπτύχθηκε, τότε, ένα διαφορετικό πρότυπο µαθηµατικής σκέψης και νοοτροπίας και δεν προστέθηκαν, απλά, κάποια καινούργια θεωρήµατα στον παραδοσιακό κορµό της µαθηµατικής γνώσης. Με δύο λόγια, επήλθε µια εννοιολογική αλλαγή στο γνωστικό υπόστρωµα των Μαθηµατικών. Το νέο µαθηµατικό πνεύµα σηµατοδοτείται, το 1872, µε το Πρόγραµµα Ερλάνγκεν του Κλάιν, όπου ενοποιήθηκαν οι διάφορες Γεωµετρίες µε τη βοήθεια των οµάδων µετασχηµατισµών και τη θεωρία των αναλλοίωτων. Αυτή η συστηµατοποίηση αναδείκνυε και επισηµοποιούσε τον δοµικό τρόπο σκέψης στα Μαθηµατικά. Με άλλα λόγια, ο τρόπος οργάνωσης, κατανόησης κι ανάπτυξης της µαθηµατικής γνώσης διαµορφώνεται µε βάση ένα πρότυπο σκέψης όπου διαπλέκονταν τρεις συνιστώσες : 1) η ολιστική (holistic) [σύµφωνα µ αυτή τη συνιστώσα, οι ολότητες είναι το γενετικό υλικό των Μαθηµατικών κι όχι οι µεµονωµένες έννοιες ή τα µεµονωµένα στοιχεία, π.χ. τα σύνολα αριθµών], 2) σχεσιακή (relational) [σύµφωνα µ αυτή τη διάσταση οι σχέσεις των στοιχείων µιας ολότητας προσδίδουν τον ιδιαίτερο χαρακτήρα της ολότητας, π.χ. οι πράξεις ενός αριθµητικού συστήµατος µε τις ιδιότητες και τους περιορισµούς τους καθορίζουν τη φύση του] και 3) η πλαισιοκρατική (contextual) [σύµφωνα µε την οποία, το πλαίσιο (δηλ. η ολότητα και οι σχέσεις της) δίνει έµµεσα νόηµα στα στοιχεία του, π.χ. ο ρητός αριθµός αποκτά το νόηµά του από το σύνολο του καρτεσιανού γινοµένου των ακεραίων, από τη σχέση ισοδυναµίας που τους προσδιορίζει και από τις πράξεις που διαµορφώνουν το λειτουργικό τους χαρακτήρα]. Αξίζει να σηµειωθεί ότι ο δοµικός τρόπος σκέψης έχει να κάνει µε το επιστηµολογικό και µεθοδολογικό υπόβαθρο της σκέψης κι όχι απλά µε τους προκαθορισµένους ορισµούς των δοµών, π.χ. της οµάδας, ή του διανυσµατικού χώρου. Αυτό σηµαίνει ότι ο δοµικός τρόπος σκέψης είναι κάτι βαθύτερο από τους γνωστικούς χειρισµούς κάποιων προκαθορισµένων δοµών. 10

11 Η προµετωπίδα του Προγράµµατος Ερλάνγκεν ηµοσίευση, όπου επισηµαίνεται ο δοµικός χαρακτήρας του Προγράµµατος Ερλάνγκεν Είναι αλήθεια ότι η επιστηµολογική αυτή στροφή, που ώθησε ο Κλάιν, δεν ήταν αστραπή εν αιθρία. Υπήρχαν διάφορα υπόγεια επιστηµονικά ρεύµατα που την υπέθαλψαν. Για παράδειγµα ο Γκέοργκ Ωµ (Georg Simon Ohm, ) καλλιέργησε τέτοιες ιδέες στη Φυσική, κάτι ανάλογο έκανε ο αδελφός του, Μάρτιν Ωµ (Martin Ohm, ), στα Μαθηµατικά και ο Χέρµαν Γκράσµαν (Hermann Grasmann, ) στα Μαθηµατικά και τη Φυσική. Αυτό σηµαίνει ότι η γονιµοποίηση του δοµικού τρόπου σκέψης είχε αρχίσει πριν από τον Κλάιν, αλλά η γέννηση του έγινε τις τελευταίες δεκαετίες του 19 ου αιώνα, µε τον Κλάιν κι άλλους επιστήµονες. Και έγινε τότε, γιατί οι τεχνολογία των νέων µηχανών και η βαριά βιοµηχανία είχαν ανάλογες υποδοµές κι έτσι διαµόρφωσαν τις ευνοϊκές συνθήκες για την αποδοχή και εδραίωση του δοµικού τρόπου σκέψης. Αξίζει να αναφερθεί ότι οι ηλεκτροκινητήρες και οι άλλες σύνθετες µηχανές, εκείνης της εποχής, δεν ήταν απλά συνάθροιση έξυπνων εξαρτηµάτων, όπως π.χ. το αργαλειό, αλλά, ήταν πολύπλοκοι µηχανισµοί µε µια εσωτερική αλληλεξάρτηση των λειτουργιών τους, που η αυτονοµία ενός µέρους τους ήταν [και είναι] χωρίς νόηµα. Το ίδιο ίσχυε και στην οργάνωση των µεγάλων εργοστασιακών επιχειρήσεων, όπου ο καταµερισµός 11

12 δουλειάς και η εξειδίκευση έπρεπε να αποτελούν συνέπεια του λειτουργικού τους συστήµατος, για τη µέγιστη αποτελεσµατικότητα του µηχανολογικού υπόβαθρού τους, κι όχι πρωταρχικοί παράγοντες πάνω στους οποίους θα προσαρµοστεί ο παραγωγικός εξοπλισµός τους. Ο δοµικός τρόπος σκέψης του Κλάιν όχι µόνο δεν αγνοήθηκε, αλλά συνυφάνθηκε µε ανάλογες τάσεις και πρωτοβουλίες σ άλλους τοµείς της γερµανικής επιστήµης και τεχνολογίας. Και το σηµαντικότερο άρχισε να εδραιώνεται ως η νέα ορθολογικότητα στην, τότε, µεταρρυθµιζόµενη γερµανική εκπαίδευση. Ο Χίλµπερτ, που ανήκε στη νεότερη γενιά απ αυτή του Κλάιν, δεν έµεινε αδιάφορος στις γνωστικές και επιστηµονικές τάσεις του περιβάλλοντός του. Ανάπτυξε µια ιδιαίτερα δυναµική δραστηριότητα στην µαθηµατική και γενικότερα στην επιστηµονική έρευνα. Ένας από τους πρώτους σταθµούς της επιστηµονικής του συµβολής ήταν το βιβλίο του : Τα Θεµέλια της Γεωµετρίας, που πρωτο-εκδόθηκε το Πρόκειται για µια επαναθεµελίωση της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, µε βάση τον δοµικό τρόπο σκέψης. Και µπορεί να χαρακτηριστεί ως ένα από τα ευαγγέλια των σύγχρονων Μαθηµατικών. 12

13 Το πεδίο των ερευνών του ήταν αρκετά ευρύ περιλαµβάνοντας διάφορους τοµείς των Μαθηµατικών, όπως τη θεωρία των αναλλοίωτων, τις ολοκληρωτικές εξισώσεις, τη θεωρία αριθµών, τη µαθηµατική λογική κ.ά. Επίσης ασχολήθηκε συστηµατικά µε τη θεµελίωση της σύγχρονης Φυσικής. Χωρίς αµφιβολία, ήταν ένας από τους επιφανέστερους µαθηµατικούς της εποχής του. Ο απόηχος των ιδεών του Χίλµπερτ σε διάφορους επιστηµονικούς τοµείς Η δύναµη των ιδεών ενός διακεκριµένου επιστήµονα είναι η διάδοσή τους και η ευρύτητα της επίδρασής τους. Στην προκειµένη περίπτωση, το µαθηµατικό έργο του Χίλµπερτ είχε και έχει µια µεγάλη επίδραση. Εκείνο όµως που έχει ένα ιδιαίτερο ειδικό βάρος στο σύγχρονο επιστηµονικό πολιτισµό µας είναι η διεισδυτικότητα των ιδεών του σε άλλους τοµείς, εκτός από την καθαρά µαθηµατική έρευνα. Η αξιωµατική θεµελίωση της σύγχρονης Φυσικής ήταν ένα από τα επιστηµονικά του ενδιαφέροντα και ένας από τους ερευνητικούς του προσανατολισµούς. Στην κατεύθυνση αυτή ασχολήθηκε, συστηµατικά, για τη θεµελίωση της Μηχανικής, της Θερµοδυναµικής, της Κινητικής Θεωρίας των Αερίων, της Ηλεκτροδυναµικής, του Ηλεκτροµαγνητισµού, της Θεωρίας της Σχετικότητας κ.ά. Μια σύγχρονη ιστορική ανάλυση της συµβολής του στον τοµέα αυτόν είναι το εξής βιβλίο: 13

14 Μια άλλη επιστηµονική περιοχή, που φάνηκε η γονιµότητα των ιδεών του είναι το ζήτηµα της αποτελεσµατικής υπολογισιµότητας (computability), δηλ. του λογικού υπόβαθρου της Θεωρητικής Πληροφορικής. Μια µελέτη τέτοιου είδους όπου αξιοποιούνται οι ιδέες του Χίλµπερτ αναπτύσσεται στο εξής: Πιο απροσδόκητη είναι η επίδραση του Χίλµπερτ στην θεµελίωση των Οικονοµικών Επιστηµών. Ένας τέτοιος προβληµατισµός αναπτύχθηκε, το 1998, στο περιοδικό The Economic Journal. Και ένα σχετικό βιβλίο, που υποστηρίζει τη σηµασία της αξιωµατικής µεθόδου του Χίλµπερτ στις Οικονοµικές Επιστήµες, είναι το εξής: 14

15 Αξίζει να αναφερθεί και ο απόηχος του Χίλµπερτ στη σχολική Γεωµετρία, την περίοδο της µεταρρύθµισης των σύγχρονων Μαθηµατικών, τις δεκαετίες 1960 και Πολύ χαρακτηριστική ήταν η αντίστοιχη ελληνική εµπειρία. Είχε ενταχθεί, επίσηµα, το αξιωµατικό σύστηµα του Χίλµπερτ ως βάση της σχολικής Γεωµετρίας του Λυκείου και προκάλεσε έντονες αντιδράσεις από τους µαθηµατικούς της εκπαίδευσης. Η αλήθεια είναι ότι οι ιθύνοντες εισήγαγαν τις συγκεκριµένες ιδέες µ ένα καθαρά δογµατικό τρόπο και µε µια πλήρως τεχνοκρατική αντίληψη. εν υπήρξε καµία διδακτική ή επιστηµολογική ανάλυση και προετοιµασία και καµία επιµορφωτική προσπάθεια των εκπαιδευτικών. Και το χειρότερο, δεν ήταν διαθέσιµες σχετικές δηµοσιεύσεις στην ελληνική βιβλιογραφία που να φωτίζουν το γνωστικό και διδακτικό παρασκήνιο αυτής της προσέγγισης στη σχολική µας Γεωµετρία. Μετά τις πολιτικές εξελίξεις του 1982, καταργήθηκε, µε µια λογική του τύπου : πονάει κεφάλι, κόβω κεφάλι! Από τότε υπάρχει µια νεφελώδης κατάσταση στην υποδοµή της σχολικής µας Γεωµετρίας, µε µια πολύ θολή και υπονοούµενη αντίληψη περί, δήθεν, ευκλείδειας υπόστασης της. 15

16 Το χειρότερο είναι ότι ούτε τότε, ούτε τώρα, υπάρχει κάποιο στοιχειώδες επίπεδο κατανόησης του επιστηµολογικού και διδακτικού υπόβαθρου των σύγχρονων προσανατολισµών της σχολικής Γεωµετρίας και των σύγχρονων Μαθηµατικών γενικότερα. Και δεν είναι καθόλου περιττό να αναφερθεί ότι το επίπεδο ανάλυσης και εµβάθυνσης των σχολικών Μαθηµατικών στην Ευρωπαϊκή Ένωση είναι αρκετά υψηλό, σ αντίθεση µε την αντίστοιχη ελληνική πραγµατικότητα. Υπάρχουν, δυστυχώς, στη χώρα µας πολύ µεγάλα εµπόδια για να µπορέσει ο έλληνας µαθηµατικός να κατανοήσει τη γεωµετρική σκέψη του Χίλµπερτ, αλλά και του Ευκλείδη. Ευτυχώς, η λογοτεχνία δίνει κάποια ερεθίσµατα και ίσως ανοίξει κι άλλες προοπτικές διείσδυσης στο επιστηµολογικό και κοινωνικό παρασκήνιο της µαθηµατικής σκέψης. Κι έτσι να καλύψει λίγο από τα ακαδηµαϊκά µας ελλείµµατα. Στην κατεύθυνση αυτή τα Πυθαγόρεια Εγκλήµατα του Τεύκρου Μιχαηλίδη έχουν κάποια ερείσµατα για την προώθηση της µαθηµατικής µας κουλτούρας. 16

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.) ΚΕΝΤΡΟ ΕΡΕΥΝΩΝ ΓΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (Κ.Ε.Θ.Ι.) ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΗΡΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (Π.Ι.Ε.)

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04)

ΠΕ60/70, ΠΕ02, ΠΕ03, ΠΕ04) «Επιµόρφωση εκπαιδευτικών στη χρήση και αξιοποίηση των ΤΠΕ στην εκπαιδευτική διδακτική διαδικασία» (Γ ΚΠΣ, ΕΠΕΑΕΚ, Μέτρο 2.1, Ενέργεια 2.1.1, Κατηγορία Πράξεων 2.1.1 θ) Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών για

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου

Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου Σύγκριση του ισχύοντος και του νέου ωρολογίου προγράμματος του Λυκείου ΙΣΧΥΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΩΡΕΣ ΝΕΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2011 1. Θρησκευτικά 2 Θρησκευτικά: 2 ώρες 2. Αρχαία Ελληνική Γλώσσα & Γραμματεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου

Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου Οδηγός Διαχείρισης του εκπαιδευτικού υλικού για τη Φυσική Α Λυκείου Το εκπαιδευτικό υλικό το οποίο αντιστοιχεί στο νέο Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών Φυσικής Α Λυκείου αποτελείται από: 1. Το βιβλίο μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Εισαγωγή Ν. Καστάνη Τα τελευταία 30 µε 40 χρόνια αναπτύσσεται, δυναµικά, µια νέα θεώρηση της Φιλοσοφίας της Επιστήµης και της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Νάκου Αλεξάνδρα Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Ο όρος ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ δημιουργεί μία αίσθηση ασάφειας αφού επιδέχεται πολλές εξηγήσεις. Υπάρχει συνεχής διάλογος και προβληματισμός ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΡΑΚΤΙΚΑ. 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΡΑΚΤΙΚΑ 2ης ΙΗΜΕΡΙ ΑΣ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ.Ε. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ - ΣΑΒΒΑΤΟ 21 και 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2000 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥΠΟΛΗ ΓΑΛΛΟΥ ΡΕΘΥΜΝΗΣ 2η ΙΗΜΕΡΙ Α Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική»

Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» Θέμα: «Τα Μαθηματικά στο Λύκειο στις αρχές του 21 ου Αιώνα: Επισημάνσεις με Βάση τις Εκπαιδευτικές θεωρίες και τη Διεθνή Πρακτική» ΕΠΕΔΙΜ, 9 Οκτωβρίου 2015 πηγές: Αναλυτικά προγράμματα «προηγμένων εκπαιδευτικά»

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr

Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Γεωργία Ε. Αντωνέλου Επιστημονικό Προσωπικό ΕΕΥΕΜ Μαθηματικός, Msc. antonelou@ecomet.eap.gr Θεμελίωση μιας λύσης ενός προβλήματος από μια πολύπλευρη (multi-faceted) και διαθεματική (multi-disciplinary)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ECTS ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΜΟΝΑ ΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ Στην υπ αριθµ. 361/30-11-2009 Γ.Σ. το Τµήµα Φυσικής του Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων υιοθέτησε, σε εναρµόνιση µε το

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες...

Οι μεγάλες εξισώσεις....όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Οι μεγάλες εξισώσεις. {...όχι μόνο σωστές αλλά και ωραίες... Ερευνητική εργασία μαθητών της Β λυκείου. E = mc 2 Στοιχεία ταυτότητας: Ε: ενέργεια (joule) m: μάζα (kg) c: ταχύτητα του φωτός στο κενό (m/s)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιμέλεια 7 o Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών 15 & 16 Μαρτίου 2008 Ομάδα Έρευνας της Μαθηματικής Εκπαίδευσης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ i ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος

Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα. Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Η διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών ως μεταπτυχιακό μάθημα Γιάννης Θωμαΐδης Δρ. Μαθηματικών Σχολικός Σύμβουλος Διαπανεπιστημιακό Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015 Α ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΑΘΗΜΑ Κατηγορία ECTS Εισαγωγή στην Παιδαγωγική Επιστήμη Υποχρεωτικό 6 Ελληνική Γλώσσα Υποχρεωτικό 6 Η Ιστορία και η Διδακτικής της Υποχρεωτικό 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A N A K O I N Ω Σ Η

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ A N A K O I N Ω Σ Η ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Θεσσαλονίκη 1-2013 A N A K O I N Ω Σ Η Τα μαθήματα του Προπτυχιακού Προγράμματος Σπουδών στο Τμήμα Μαθηματικών για το εαρινό

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ

ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΞΑΝΘΗ 2013, 2 ο ΣΕΚ ΞΑΝΘΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΗΣ : ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΟΥΤΙΔΗΣ Μαθηματικός www.kutidis.gr ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 Εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη)

160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη) 160 Επιστημών Εκπαίδευσης στην Προσχολική Ηλικία Θράκης (Αλεξανδρούπολη) Σκοπός Σκοπός του Τμήματος είναι η παιδαγωγική κατάρτιση ατόμων, που θα ασχοληθούν με την εκπαίδευση και αγωγή παιδιών προσχολικής

Διαβάστε περισσότερα

Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και

Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση Μένη Τσιτουρίδου Τμήμα Επιστημών Προσχολικής Αγωγής και Εκπαίδευσης Παιδαγωγική Σχολή Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Η Πληροφορική στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση - Γυμνάσιο Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

142 Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπαίδευσης Θράκης (Αλεξανδρούπολη)

142 Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπαίδευσης Θράκης (Αλεξανδρούπολη) 142 Παιδαγωγικό Δημοτικής Εκπαίδευσης Θράκης (Αλεξανδρούπολη) Σκοπός Τα Παιδαγωγικά Τμήματα Δημοτικής Εκπαίδευσης, σκοπό έχουν την ανάδειξη επιστημόνων που θα καλύψουν τις εκπαιδευτικές ανάγκες της Πρωτοβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ (µεγάλες τάξεις ηµοτικού) Σχεδιασµός σεναρίου µε θέµα «Αξονική συµµετρία» µε τη χρήση λογισµικών γενικής χρήσης, οπτικοποίησης, διαδικτύου και λογισµικών εννοιολογικής χαρτογράφησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015

ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο ΠΡΟΤΑΣΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΟΜΙΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 «Τα Μαθηµατικά µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης

Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Ανάπτυξη Χωρικής Αντίληψης και Σκέψης Clements & Sarama, 2009; Sarama & Clements, 2009 Χωρική αντίληψη και σκέψη Προσανατολισμός στο χώρο Οπτικοποίηση (visualization) Νοερή εικονική αναπαράσταση Νοερή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 3-4 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 ΗΜ/ΝΙΑ 1ο-2ο Φυσική Φυσικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ. Public Relations Management

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ. Public Relations Management ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ Public Relations Management Στόχος του Προγράμματος Το πρόγραμμα Διοίκηση Επικοινωνίας Δημοσίων Σχέσεων είναι ένα πλήρες και ολοκληρωμένο εκπαιδευτικό πρόγραμμα με

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΔΕΠΠΣ ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών ΔΕΠΠΣ Φ.Ε.Κ., 303/13-03-03, τεύχος Β Φ.Ε.Κ., 304/13-03-03, τεύχος Β Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην σύνταξη των ΔΕΠΠΣ Γενικότερες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο

Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Διδακτική των Φυσικών Επιστημών Ενότητα 2: Βασικό Εννοιολογικό Πλαίσιο Χρυσή Κ. Καραπαναγιώτη Τμήμα Χημείας Αντικείμενο και Αναγκαιότητα Μετασχηματισμός της φυσικοεπιστημονικής γνώσης στη σχολική της εκδοχή.

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΣΤΑ Α.Ε.Ι.

ΤΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΣΤΑ Α.Ε.Ι. ΤΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΣΤΑ Α.Ε.Ι. Με βάση το ελτίο Τύπου του Υπουργείου Παιδείας της 6.4.2015: Α. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ: ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Για να κατανοήσετε καλύτερα την προτεινόµενη

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων. Η ανάγκη τεκµηρίωσης και διαφύλαξης της σύγχρονης λαογραφικής και εθνογραφικής

Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων. Η ανάγκη τεκµηρίωσης και διαφύλαξης της σύγχρονης λαογραφικής και εθνογραφικής Μουσειοπαιδαγωγική αξιοποίηση Βιοµηχανικών Μουσείων ρ. Αναστασία Π. Βαλαβανίδου αρχιτέκτων µηχ.-µουσειολόγος Εφορεία Νεωτέρων Μνηµείων Κεντρικής Μακεδονίας, ΥΠΠΟΤ Ελένη Χρ. Οικονοµοπούλου αρχιτέκτων µηχ.,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ Η Κλασική Μηχανική σηµματοδοτεί την πρώτη µμεγάλη επανάσταση της ανθρώπινης σκέ- ψης στην πορεία της για την ερµμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη της Αυτογνωσίας και της ηµιουργικότητας. των Μαθητών του Λυκείου: Μία έρευνα ράση

Ανάπτυξη της Αυτογνωσίας και της ηµιουργικότητας. των Μαθητών του Λυκείου: Μία έρευνα ράση Ανάπτυξη της Αυτογνωσίας και της ηµιουργικότητας των Μαθητών του Λυκείου: Μία έρευνα ράση Στόχοι και άξονες της έρευνας-δράσης Στόχος του προγράµµατος ήταν η επιµόρφωση εκπαιδευτικών ευτεροβάθ- µιας εκπαίδευσης,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών

Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Αγγελόπουλος Ηρακλής - Γκούντας Ευάγγελος Σχολικοί Σύμβουλοι Ενδεικτικός προγραμματισμός για τη διδασκαλία των Μαθηματικών της Γ δημοτικού Α. Συνοπτικός πίνακας των μηνών διδασκαλίας οποιουδήποτε έτους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο

Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο Από την Α Λυκείου µέχρι το Πανεπιστήµιο Α ΛΥΚΕΙΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 η οµάδα προσανατολισµού ανθρωπιστικών σπουδών η οµάδα προσανατολισµού θετικών σπουδών 1 η οµάδα προσανατολισµού ανθρωπιστικών σπουδών 3 η οµάδα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ: 22378101- Φαξ:22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου

Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Ερευνώντας τις ερμηνείες φοιτητών και τις διδακτικές πρακτικές εκπαιδευτικών σε θέματα σχετικά με την έννοια της περιοδικότητας Χρυσαυγή Τριανταφύλλου Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια, ΑΣΠΑΙΤΕ Επιστημονική υπεύθυνη:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ Η ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΤΡΙΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Δημήτρης Μπαμπίλης www.chem.gr Α Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου Η Α Τάξη Ημερήσιου Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015*

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-2015* ΔΕΥΤΕΡΑ 19/1 ΤΡΙΤΗ 20/1 ΤΕΤΑΡΤΗ 21/1 ΠΕΜΠΤΗ 22/1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 23/1 ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΥΓΕΝΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ

Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Άλυτα προβλήματα μαθηματικών 1. Υπόθεση (Εικασία) του Πουανκαρέ Το πρόβλημα που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας Ανρί Πουανκαρέ αφορά την Τοπολογία, ένα κλάδο των Μαθηματικών που δεν ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΩΣ ΜΕΣΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΙΑΣ ΤΩΝ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΓΗΓΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΩΣ ΜΕΣΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΙΑΣ ΤΩΝ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΓΗΓΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΓΡΑΠΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΩΣ ΜΕΣΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΗΣ ΜΗ ΒΙΑΣ ΤΩΝ ΑΛΛΟΔΑΠΩΝ ΚΑΙ ΓΗΓΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ Νικόλαος Χ. Μπέκας Greek classroom of Masterστην "Κοινωνική Παιδαγωγική και μάχη ενάντια στη νεανική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ»

Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ» 1.1 Βασικές κατευθύνσεις Η αξιολόγηση ενός μαθήματος είναι αρχικά θέμα προσδιορισμού και κατανόησης της ταυτότητάς του. Θέματα όπως είναι ο τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΔΗΜΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΕΛΛΑΔΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΔΗΜΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΕΛΛΑΔΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Γ ΚΠΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟ ΠΡΟ ΓΡΑΜΜΑ «ΚΟΙΝΩΝΙΑ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟ ΦΟΡΙΑΣ» ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΝΩΣΗ ΔΗΜΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΟΤΗΤΩΝ ΕΛΛΑΔΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΥΤΟΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ o Ηγνωστική σύνδεση Η γνωστική σύνδεση, σύμφωνα με τον Ausebel, διαδραματίζει βασικότατο ρόλο στη διαδικασία της ουσιαστικής μάθησης, ηοποία σημαίνει τη διαδικασία σύνδεσης των νέων

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπα-πειραματικά σχολεία

Πρότυπα-πειραματικά σχολεία Πρότυπα-πειραματικά σχολεία 1. Τα πρότυπα-πειραματικά: ένα ιστορικό Τα πειραματικά σχολεία (στα οποία εντάχθηκαν με το Ν. 1566/85 και τα ιστορικά πρότυπα σχολεία) έχουν μακρά ιστορία στον τόπο μας. Τα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Για να κατανοήσετε καλύτερα την προτεινόμενη διαδικασία πρόσβασης στα ΑΕΙ και ΤΕΙ της χώρας θα προσπαθήσουμε αρχικά να σας περιγράψουμε συνοπτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΗΜΗΤΡΗΣ ΧΑΣΑΠΗΣ Επιµέλεια 6 o ιήµερο ιαλόγου για τη ιδασκαλία των Μαθηµατικών 17 & 18 Μαρτίου 2007 Οµάδα έρευνας της Μαθηµατικής Εκπαίδευσης Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε.

Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Επέκταση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος με χρήση Τ.Π.Ε. Ζαφειρόπουλος Χρήστος Μαθηματικός Γυμνασίου & Λυκείου Καράτουλα zafeiropouloschristos@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ξεκινώντας την ιστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗΡΙΟ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Επιστημονικός Υπεύθυνος Έρευνας : Καθηγητής Επαμεινώνδας Πανάς Θεσσαλονίκη, Σεπτέμβριος 2010 2 3 4 ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία Συνεργατικών Δικτύων Ανοιχτής Καινοτομίας Coopetitive Open Innovation Networks - COINs

Δημιουργία Συνεργατικών Δικτύων Ανοιχτής Καινοτομίας Coopetitive Open Innovation Networks - COINs Δημιουργία Συνεργατικών Δικτύων Ανοιχτής Καινοτομίας Coopetitive Open Innovation Networks - COINs «Στρατηγικές Ανάπτυξης Συνεργατικών Σχηματισμών στις Ελληνικές Περιφέρειες» Κωνσταντίνος Μπουρλετίδης Οικονομολόγος

Διαβάστε περισσότερα

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας 221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ιδρύθηκε το 1967 ως το πρώτο Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής. Ο αρχικός τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί ροµποτική; Ποιοι οι διδαχτικοί στόχοι; Πως θα υλοποιηθεί η όλη εργασία; Ποιο ροµπότ θα χρησιµοποιηθεί; Πως θα χρηµατοδοτηθεί;

Γιατί ροµποτική; Ποιοι οι διδαχτικοί στόχοι; Πως θα υλοποιηθεί η όλη εργασία; Ποιο ροµπότ θα χρησιµοποιηθεί; Πως θα χρηµατοδοτηθεί; Ερευνητική Εργασία Β Λυκείου «ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ» Βεζονιαράκης ηµήτρης καθηγητής ΠΕ19 4 ου ΓΕΛ ΚΟΡΙΝΘΟΥ 1 Μάθηµα ερευνητικής εργασίας «ροµποτική» Γιατί ροµποτική; Ποιοι οι διδαχτικοί στόχοι; Πως θα υλοποιηθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Γ Φάσης) ΜΙΧΑΗΛ ΣΚΟΥΜΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή.

Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή. 1 Ε ι σ α γ ω γ ή Μέχρι σήµερα πολλά έχουν αλλάξει στο Ελληνικό εκπαιδευτικό σύστηµα και κυρίως στο τρόπο των εξετάσεων, χωρίς όµως κάποια ουσιαστική αλλαγή. Όλα τα εκπαιδευτικά συστήµατα είχαν πάντα εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ. Κεφάλαιο 2 ο ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΛΑΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Κεφάλαιο 2 ο Η Επιστήμη της Διοίκησης των Επιχειρήσεων 2.1. Εισαγωγικές έννοιες Ο επιστημονικός κλάδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ. το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ. @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης.

ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ. το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ. @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης. ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ! Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ το ΠΑΙΔΙ ΚΑΙ Η ΑΝΑΓΝΩΣΗ ΣΤΑΣΕΙΣ, ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΙΣ, ΣΥΝΗΘΕΙΕΣ @ Επιστήμες της αγωγής Διευθυντής Μιχάλης Κασσωτάκης ί>ηγο^η 26 Επιστήμες της Αγωγής 26 ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Δ. ΜΑΛΑΦΑΝΤΗΣ ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΛΗΝΟΣ» Τμήμα Γενικής Αγωγής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΛΗΝΟΣ» Τμήμα Γενικής Αγωγής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΕΙΟ «ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΓΛΗΝΟΣ» Τμήμα Γενικής Αγωγής «Διδακτική της Ιστορίας» Διδάσκουσα: Μαρία Ρεπούση Ακαδημαϊκό έτος:

Διαβάστε περισσότερα

Μια καινοτομική διδακτική πρόταση για την τριβή, δομημένη σε στοιχεία από την Ιστορία της τριβής

Μια καινοτομική διδακτική πρόταση για την τριβή, δομημένη σε στοιχεία από την Ιστορία της τριβής Μια καινοτομική διδακτική πρόταση για την τριβή, δομημένη σε στοιχεία από την Ιστορία της τριβής Κ. Φραγκάκης, Εκπαιδευτικός ΔΕ Δ. Κολιόπουλος, Καθηγητής ΤΕΕΑΠΗ, Πανεπιστήμιο Πατρών Συνοπτική περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ.

ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ. ΙΙΙ. ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΞΕΝΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ. Είδαμε πως το 4.2% των μαθητών στο δείγμα μας δεν έχουν ελληνική καταγωγή. Θα μπορούσαμε να εξετάσουμε κάποια ειδικά χαρακτηριστικά αυτών των ξένων μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων

ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ. ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων ΤΟ ΝΕΟ ΛΥΚΕΙΟ ιάρθρωση Εκπαιδευτικών Προγραµµάτων Α Λυκείου Η Α Τάξη Γενικού Λυκείου αποτελεί τάξη αποκλειστικά γενικής παιδείας, στην οποία εφαρµόζεται πρόγραµµα µαθηµάτων τριάντα πέντε (35) συνολικά

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη της κουλτούρας και του κλίματος του σχολείου

Η ανάπτυξη της κουλτούρας και του κλίματος του σχολείου Η ανάπτυξη της κουλτούρας και του κλίματος του σχολείου Δρ Ανδρέας Κυθραιώτης Δρ Δημήτρης Δημητρίου Δρ Παναγιώτης Αντωνίου Πρόγραμμα Επιμόρφωσης Νεοπροαχθέντων. Διευθυντών Σχολείων Δημοτικής Εκπαίδευσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ

ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ ΑΛΛΑΓΕΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΙ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΒΑΣΗΣ Σύµφωνα µε άρθρα και πληροφορίες που δηµοσιεύτηκαν τύπο του σαββατοκύριακου δηµοσιοποιήθηκαν τα βασικά στοιχεία του σχεδίου του υπουργείου παιδείας για τις

Διαβάστε περισσότερα

Η σχέση Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Επιστημών με την Εκπαίδευση στις Φυσικές Επιστήμες Κωνσταντίνα Στεφανίδου, PhD

Η σχέση Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Επιστημών με την Εκπαίδευση στις Φυσικές Επιστήμες Κωνσταντίνα Στεφανίδου, PhD Η σχέση Ιστορίας και Φιλοσοφίας των Επιστημών με την Εκπαίδευση στις Φυσικές Επιστήμες Κωνσταντίνα Στεφανίδου, PhD Εργαστήριο Διδακτικής, Επιστημολογίας Φυσικών Επιστημών και Εκπαιδευτικής Τεχνολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα