5. GAIA Solido zurruna

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. GAIA Solido zurruna"

Transcript

1 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161

2 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak) ondorio baliagarria du: solidoaren higidura orokorra translazio baten eta biraketa baten konposizioa da. Hasteko, ardatz finko baten inguruko higidura erraza berrikusiko dugu. Zinematika aztertzean inertzia-tentsorearen kontzeptua sartu eta aztertu beharko dugu: fisikan tentsoreek duten erabilgarritasunaren adibiderik errazena da hau. Dinamika egiteko Euler-en ekuazioak oso baliagarriak izango dira, solidoaren sisteman inertzia-tentsorea konstantea baita. 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak Partikula-sistema bat solido zurruna dela esaten da bere partikulen arteko distantziak aldatzen ez badira: r 2 r 1 = ktea. Azter ditzagun definizio-baldintza honek dituen zenbait ondorio Askatasun-graduak Solido zurrunaren askatasun-graduak (hau da, solidoaren puntu guztien posizioa zehazteko ezagutu behar diren magnitudeen kopurua) gehienez 6 direla ikusteko, kontsidera dezagun solidoarekin batera higitzen eta biratzen den erreferentzia-sistema bat. Sistema horretan, solidoaren definizioaren ondorioz, partikula bakoitzaren posizio-bektorea eta bere osagaiak konstanteak dira higiduran zehar. Beraz, sistemaren konfigurazioa beste erreferentzia-sistema batean ezagutzeko nahikoa da horretan solidoaren sistemaren posizio eta orientazio erlatiboak ezagutzea eta, 2.3 atalean frogatu genuenez, horretarako aski dira 6 koordenatu: adibidez, jatorriaren posizioa zehazten duten 3 koordenatu cartesiarrak eta orientazio erlatiboa ematen duten Euler-en 3 angeluak. 5.2 IRUDIA Solido zurrunaren konfigurazioa ezagutzeko metodoa. Era zuzenean era ikus dezakegu nola eman daitezkeen (aldiune batean) solidoaren puntu guztien posizioak. 1. P puntu baten posizioa ezagutzeko, erreferentzia-sistema batean neurtutako r = OP posizio-bektorearen hiru osagai independenteak behar dira. 2. Bigarren puntu baten posizioa ezagutzeko nahikoa da bi koordenatu gehiagorekin, aurreko puntutik neurtutako distantzia konstantea baita. Izan ere, bigarren puntua P bada, PP distantzia ezagututa, PP zuzenaren norabidea eta noranzkoa zehaztu behar dugu bakarrik, eta horretarako ê = PP / PP bektore unitarioaren bi osagai behar dira: hirugarrena ê 2 = e 2 x + e2 y + e2 z = 1 baldintzak emandakoa izango da.

3 5.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak Bi punturen posizioak ezagunak badira, geratzen den askatasun-gradu bakarra puntu horiek definituriko zuzenaren inguruko biraketei dagokiena da, eta biraketa horren balioa angelu bakarraren bidez deskribatzen da. 5.3 IRUDIA Solido zurruna eta bi erreferentzia-sistemak Abiadura-eremua Kontsidera ditzagun solidoaren bi partikula edo solidorekin batera higitzen diren bi puntu geometriko 1. Solidoarekin batera higitzen eta biratzen den S sisteman puntu horien r 1 eta r 2 bektoreak konstanteak dira: ṙ 1 = ṙ 2 = 0. Beste S erreferentzia-sistema batean hauxe dugu, (2.74) eta (2.75) emaitzen arabera: r 1 = r 1 + R, (5.1) r 2 = r 2 + R, (5.2) ṙ 1 = ṙ 1 + Ṙ + ω r 1 = Ṙ + ω r 1, (5.3) ṙ 2 = ṙ 2 + Ṙ + ω r 2 = Ṙ + ω r 2, (5.4) non R eta ω bektoreek S sistemaren S sistemarekiko posizioa eta abiadura angeluarra ematen dituzten. Ekuazio horien ondorio zuzenak honako hauek dira: Azken emaitzak hiru gauza frogatzen ditu: r 2 r 1 = r 2 r 1, (5.5) ṙ 2 ṙ 1 = ω (r 2 r 1 ) = ω (r 2 r 1 ). (5.6) 1. Solidoaren edozein bi punturen arteko higidura erlatiboa biraketa hutsa da. Izan ere, hau ez da harrigarria: posizio erlatiboaren modulua, r 2 r 1 distantzia, konstantea denez, alda daitekeen gauza bakarra posizio erlatiboaren orientazioa da. 2. Solidoaren edozein bi punturen arteko abiadura angeluar erlatiboa berbera da: solidoaren abiadura angeluarra. Hau ez da hain nabaria, pentsa genezake (5.6) emaitzan agertzen den abiadura angeluarra aukeraturiko puntu bikotearen menpekoa dela, baina frogatu dugu ez dela horrelakoa. Gainera guztiak desagertu dira: S-rekiko abiadura angeluarra ez da erabili dugun tarteko solidoaren S sistemaren menpekoa. 1 Adibidez, masa-zentroa solidoarekin batera higitzen da, jakina, baina ez du zertan solidoaren partikula baten posizioan egon. Pentsa ezazu non dagoen masa-zentroa esfera huts baten kasuan.

4 164 5 Solido zurruna 3. Honela kalkulatzen da solidoaren puntu baten abiadura bigarren puntu batena ezagutzen bada: ṙ 2 = ṙ 1 + ω (r 2 r 1 ). (5.7) Ondorioz, solidoaren higidura orokorra translazio baten eta biraketa baten konposizioa da. 5.1 ARIKETA Nolakoak dira 1 puntuaren abiadura angeluarra 2-rekiko eta azken honen abiadura angeluarra 1-ekiko? Higidura-ekuazioak Ohi bezala, Newton-en hirugarren legea betetzen dela suposatzen badugu, partikula-sistema honen eboluzio-ekuazio kolektiboetan ez dira barne-indarrak agertzen eta, beraz, hauexek dira momentu lineal eta angeluar osoen deribatuak: Ṗ = F L = N N i=1 N i=1 F (k) i, (5.8) r i F (k) i, (5.9) non F eta N kanpo-indar osoa eta kanpo-indarren momentu osoa diren. Notazio hau erabiliko dugu gai osoan, ez da barne-indarrik inondik agertuko eta, hortaz, ez da beharrezkoa behin eta berriro F (k) eta N (k) idaztea. Solidoaren askatasun-graduak 6 direnez, (5.8) (5.9) ekuazioak nahikoak dira, printzipioz, solido zurrunaren higidura osoa kalkulatzeko, hastapen-baldintzak ezagutzen badira. (Hori ez da egia izango askatasun-gradu gehiagoko partikula-sistemetan.) Hemen inplizituki suposatu dugu solidoa erreferentzia-sistema inertzial batean aztertzen genuela; baina, dakigunez, partikula-sistemen kasuan masa-zentroarena oso erabilgarria da. Izan ere, (5.8) ekuazioak masa-zentroaren translazio-higidura ematen du. Masa-zentroaren sisteman momentu lineal osoa nulua da, P = 0, eta, translazio-higidura kenduta, masa-zentroaren inguruko biraketa geratzen da bakarrik. Higidura horrek 3 askatasun-gradu ditu (gehienez) eta dagokion eboluzio-ekuazioa (2.11) da: L = N. (5.10) (Gogoratu bestelako erreferentzia-sistema ez inertzialetan inertzia-indarren momentua ere kontuan hartu behar dela.) 5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura Eman dezagun solido zurruna ardatz finko bat duela eta, hortaz, egin dezakeen higidura bakarra ardatzaren inguruko biraketa dela. Analisia errazteko, biraketa-ardatzean aukeratuko dugu erreferentzia-sistemako OZ ardatza. Solidoaren partikula baten posizioa, koordenatu zilindrikoetan, r = ρ ˆρ + z k (5.11) izango da eta abiadura (B.2 taulan esandakoaren arabera) ṙ = ρ ˆρ + ρ ϕ ˆϕ + ż k. (5.12)

5 5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura IRUDIA Ardatz finko baten inguruko biraketa. Baina zurruna denez, partikula eta ardatzaren arteko ρ distantzia konstantea da, eta gauza bera gertatzen da z koordenatuarekin. Bestalde, ϕ angelua partikularen menpekoa izan arren, bere deribatua ω = ϕ ez da aldatzen puntu batetik bestera (baina bai, oro har, denborarekin) partikula guztiak batera biratzen ari direlako. Puntu baten abiadura, beraz, hauxe da: non ṙ = ρω ˆϕ = ω r, (5.13) ω ω k (5.14) bektorea solidoaren abiadura angeluarra den. Ageri denez, (5.13) emaitza (5.6) adierazpen orokorraren kasu partikularra da Momentu angeluarra eta inertzia-momentua r posizioan dagoen «partikula», puntu horren inguruko elementu infinitesimal bat izango da, dv bolumena eta dm masa dituena. (Puntu horretan masa-dentsitatea µ bada, dm = µ dv dugu, noski.) Elementu honen momentu angeluarra hauxe da: dl = r dmṙ = ωρ 2 dmk ωρz dm ˆρ (5.15) da eta ˆρ bektorea, k ez bezala, puntuaren menpekoa denez, solidoarena L = V [ ] [ ] dl = ω ρ 2 dm k ω zρ ˆρ dm. (5.16) V V Lehen batugaian mako artean agertzen den I V ρ 2 dm (5.17) magnitudea ardatzarekiko inertzia-momentua dela esaten da: ez da O puntuaren menpekoa (puntua ardatzean badago behintzat), definizioan bakarrik agertzen baita ardatzetik neurtutako distantzia. Bestalde, ρ ˆρ = xi + y j denez, [ ] [ ] L = Iω ω xz dm i ω yz dm j (5.18) V V

6 166 5 Solido zurruna dugu eta, ondorioz, momentu angeluarra ez da, oro har, abiadura angeluarraren paraleloa: L Iω, L z = Iω = I ϕ. (5.19) Jakina, kasu berezi batzuetan (simetriagatik edo) gerta daiteke (5.18) adierazpeneko azken bi gaietako integralak zero izatea eta, ondorioz, momentu eta abiadura angeluarrak elkarren paraleloak. Horixe gertatuko da ardatzaren inguruko biraketa-simetria badu gorputzak, zeren orduan (x, y, z) posizioko elementu bakoitzeko ( x, y, z) puntuan simetriko berdin bat baitago. Baina, oro har, ez da hori gertatuko. Ikus dezagun adibide bat. 5.5 IRUDIA Hagatxo birakorra. 5.5 irudiko hagatxoa masa gabekoa da eta ardatz bertikalaren inguruan biratzen ari da ω abiadura angeluarraz. Problema honek duen simetria ez da lehen aipatu duguna, zentroaren inguruko alderanzketa baizik: (x, y, z) ( x, y, z). Zentro horretan kokaturiko erreferentzia-sisteman bi partikulen posizio-bektoreak elkarren kontrakoak izango dira eta goikoaren koordenatu zilindrikoak (l/2 sin θ, ϕ, l/2 cosθ) badira, bestearenak (l/2 sin θ, ϕ + π, l/2 cosθ) ditugu. 5.2 ARIKETA Egiaztatu problema honetan hurrengo balioak ditugula: I = 1 2 ml2 sin 2 θ, (5.20) L = Iω 1 2 ml2 ω sin θ cosθ ˆρ +, (5.21) non ˆρ + = (xi + y j)/ x 2 + y 2 goiko partikulari dagokiona den. Biraketa-ardatzaren inguruko simetrikoak diren θ = 0, π/2 kasuetan izan ezik, beraz, momentu angeluarra ez da abiadura angeluarraren paraleloa Indar-momentua Momentu angeluarraren eboluzio-ekuazioa (5.9)-tik lortzen dugu: N = L I ω, N z = L z = I ω = I ϕ. (5.22) Abiadura angeluarra konstantea bada, N z = 0 izango da; baina, L = Iω kasu berezian izan ezik, N 0 izango da eta sistemak kanpo-momentu bat pairatzen du. Goiko hagatxoaren adibidean, ω konstantea denean ere, biraketa-ardatzak eta hagatxoak definituriko planoan dago momentu angeluarra eta, ondorioz, hagatxoarekin batera biratzen ari da: ez da konstantea. Adibidez, ω eta θ konstanteak badira, L modulua ez da aldatzen, baina bai bere norabidea: N = L = ω L ω. (5.23)

7 5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura 167 Beraz, sistemaren gainean ardatzak (edo, nahiago bada, honen gainean bere euskarriek) indar- -momentu bat egiten du, hagatxoak horizontalera joateko duen joeraren kontrakoa: N = L = 1 2 ml2 ω 2 sin θ cosθ ˆϕ +, ( ˆϕ + = ) y i + xj. (5.24) x2 + y ARIKETA Egiaztatu azken emaitza Biraketa-erradioa Solidoaren biraketa-erradioaren definizioa K I/m da, I = V ρ 2 dm = mk 2 (5.25) betetzeko moduan. Hau da, problema baliokide batean inertzia-momentua solidoarenarena izateko, m masa puntual bat non kokatu behar den neurtzen du biraketa-erradioak. 5.4 ARIKETA Zein da 5.5 irudiko hagatxo birakorraren biraketa-erradioa? Energia zinetikoa dm elementuaren energia zinetikoa dt = 1 2 dmṙ2 = 1 2 dm ρ2 ω 2 (5.26) denez, solidoarena hauxe da: T = V dt = 1 2 [ V ] ρ 2 dm ω 2 (5.27) = 1 2 Iω2 (5.28) = 1 2 mk2 ϕ 2 (5.29) = 1 L ω. (5.30) ARIKETA Zein da 5.5 irudiko hagatxo birakorraren energia zinetikoa? Pendulu fisikoa Adibidez, kanpo-indarra pisua bada eta ardatz finkoa horizontala, 5.6 irudiko pendulu fisikoa da gure solido zurruna. Momentu angeluarrak eta indar-momentuak ardatzaren norabidean dituzten proiekzioak erraz kalkulatzen dira, OX ardatza bertikalean eta beherantz aukeratuz: L z = I ϕ = mk 2 ϕ, (5.31) N z = mga sin ϕ, (5.32)

8 168 5 Solido zurruna 5.6 IRUDIA Pendulu fisikoa. non a delakoa ardatzaren eta masa-zentroaren arteko esekidura-distantzia den. Hortaz, N z = L z higidura-ekuazioa honela idazten da: ϕ + ga sin ϕ = 0. (5.33) K2 Pendulu matematiko baliokidearen luzera, beraz, l = K 2 /a da. Jakina adierazpen hauetan agertzen den K biraketa erradioa esekidura-ardatzarekiko definitua da probleman biraketa-ardatzaren eta masa-zentroaren inguruko biraketa-erradioen arteko erlazioa hurrengoa dela frogatuko dugu: K 2 = K 2 + a 2. (5.34) 5.7 IRUDIA Solidoaren higidura bere puntu baten inguruan. 5.3 Inertzia-tentsorea Lehenago ikusi dugunez, simetria handiko kasu berezietan izan ezik, momentu eta abiadura angeluarrak ez dira elkarren proportzionalak. Atal honetan, aipaturiko magnitudeen arteko erlazioa argitzeko, solidoarekin batera higitzen den O puntu bat aukeratuko dugu. Adibidez, solidoaren puntu finko bat izan daiteke, edo puntu geometriko bat, hala nola masa-zentroa atalean ikusi genuenez, beste edozein puntu, solidoaren ω abiadura angeluarraz ari da biratzen aukeratu dugunaren inguruan eta azken honetatik neurtutako haren posizio-bektorea r bada, bere abiadura erlatiboa ṙ = ω r izango da. Solidoaren elementu infinitesimal baten momentu angeluarra aipaturiko puntuarekiko dl = r dmṙ = [r (ω r)] dm = [ r 2 ω (r ω)r ] dm (5.35)

9 5.3 Inertzia-tentsorea 169 denez, solidoarena hauxe dugu: L = V dl = V [ r 2 ω (r ω)r ] dm. (5.36) L eta ω ez dira, oro har, elkarren paraleloak baina haien arteko erlazioa lineala da, tentsore baten bidez emandakoa. Hau ikusteko, aukera dezagun puntu berean triedro bat (kalkulua aldiune batean egingo dugunez, berdin da aipaturiko triedro erreferentzia-sistema inertzial batekoa den edo ez). 2.2 ataleko notazioa erabiliz, posizio-bektorea r = 3 j=1 x j ê j da eta momentu angeluarraren osagaiak hurrengoak: 3 3 [ ( ) ] L i = dl i = r 2 ω i x i x j ω j dm = r 2 δ ij x i x j dm ω j, (5.37) V V j=1 non Kronecker-en delta erabili dugun. Emaitza hau modu honetan ere idazten da: L i = I ij j=1 V 3 I ij ω j, (5.38) j=1 ( ) r 2 δ ij x i x j dm. (5.39) I ij elementuekin 3 3 inertzia-matrizea defini daiteke, aurreko emaitza V L = I ω (5.40) modu laburrean edo L x V (y2 + z 2 ) dm V xy dm V xz dm L y = V xy dm V (x2 + z 2 ) dm V yz dm L z V xz dm V yz dm V (x2 + y 2 ) dm ω x ω y ω z (5.41) modu esplizituan idazteko. Inertzia-matrizearen diagonaleko elementuak ardatz cartesiarrekiko inertzia-momentuak dira, jakina, eta diagonalaren kanpokoak inertzia-biderkadurak deitzen dira. Elementu infinitesimalaren energia zinetikoa dt = 1 2 dmṙ2 = 1 2 dm (ω r)2 = 1 2 denez, solidoarena honela idazten da: T = 1 2 L ω = i,j=1 [ r 2 ω 2 (r ω) 2] dm = 1 dl ω, (5.42) 2 I ij ω i ω j = 1 2 ω I ω, (5.43) non, ohi bezala, ω errenkada-matrizea ω zutabe-matrizearen iraulia den Tentsoreak I inertzia-«matrizea» dela esan dugu, baina triedro guztietan betetzen da goiko adierazpen oro. Bektore baten kasuan, triedro bakoitzean osagai batzuk lortuko dira, eta hauen bidez zutabe- -matrize bat eraiki daiteke, baina bektorea bera triedroaren independentea da. Orobat, (5.40) adierazpenean, L eta ω bektoreez gain, beste objektu matematiko bat dugu, triedroaren independentea

10 170 5 Solido zurruna den I tentsorea. Triedro bakoitzean inertzia-tentsore horrek 9 osagai ditu; baina, gehienez, 6 izango dira desberdinak, inertzia-tentsorea simetrikoa baita:i ij = I ji. Triedroa aldatzean bektoreen eta tentsoreen osagaiak aldatu egiten dira, baina ez edonola, orain ikusiko dugun modu zehatzean baizik. Eman dezagun S eta S triedroen oinarrietako bektore unitarioak ê i eta ê i direla, hurrenez hurren. 2.2 atalean ikusi genuenez, lehen sistematik bigarrenera joateko R ij ê i ê j elementuak dituen R biraketa-matrizea erabili behar da eta u bektore bati dagozkion matrizeak U eta U badira, euren arteko erlazioa U = R U edota U = R U da. 5.6 ARIKETA Ondorioztatu inertzia-tentsorearen matrizeen arteko erlazioa hurrengo antzekotasun-transformazioa dela: ( I ij) = R (I ij ) R. (5.44) Zein da alderantzizko transformazioa? Inertzia-ardatz nagusiak Askotan esan dugunez, oro har, momentu eta abiadura angeluarrak ez dira paraleloak; baina paraleloak diren kasu berezietan bektore horiek kasu horretan definitzen duten norabidea inertzia-ardatz nagusia (edo inertzia-norabide nagusia) deitzen da. Baina bete behar den L ω baldintza I ω ω denez, ardatz nagusirik existitzen den jakiteko ebatzi behar den problema inertzia-matrizearen balio eta bektore propioen problema da: Balio propioen problema I ω = λω. (5.45) Gogora dezagun nola ebazten den I tentsore simetriko baten λ balioen eta u bektore propioen problema: 3 I u = λu I ij u j = λu i, (I ij = I ji ). (5.46) j=1 Hasteko, hurrengo ekuazio karakteristikoaren λ = λ 1, λ 2 eta λ 3 soluzioak, balio propioak alegia, aurkitu behar dira: I λ1 = I 11 λ I 12 I 13 I 21 I 22 λ I 23 I 31 I 32 I 33 λ = 0. (5.47) Balio propioak errealak dira eta I u = λ i u (I 11 λ i )u 1 + I 12 u 2 + I 13 u 3 = 0, I 21 u 1 + (I 22 λ i )u 2 + I 23 u 3 = 0, I 31 u 1 + I 32 u 2 + (I 33 λ i )u 3 = 0 (5.48) sistema linealean ordezkatzen badira, hiru bektore propio ortonormal (u = u 1,u 2 eta u 3 ) aurki daitezke: R 11 R 12 R 13 U 1 = R 21, U 2 = R 22, U 3 = R 23, (5.49) R 31 R 32 R 33

11 5.3 Inertzia-tentsorea 171 u i u j = δ ij U i U j = δ ij, (5.50) non U i zutabe-matrizea u i = 3 j=1 R ij ê j bektoreari dagokiona den. Bektore propioen osagaiekin honako R matrize ortogonal hau osatzen da: R = (u 1,u 2,u 3 ) = R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 R 31 R 32 R 33, (5.51) R R = R R = 1 Ondoko biraketa hau eginez, 3 3 R ki R kj = R ik R jk = δ ij. (5.52) k=1 k=1 3 U = R U u i = R ji u j, (5.53) ê i = u i bektore propio unitarioek definituriko erreferentzia-sistema lortzen dugu eta bertan I tentsorea diagonala da, ( I ij ) = R (I ij ) R = j=1 λ λ λ 3. (5.54) I tentsorea erdidefinitu positiboa bada, (u I u = U (I ij ) U = U (I ij) U 0, u), balio propio guztiak positiboak edo nuluak dira Inertzia-momentu nagusiak Inertzia-matrizea simetrikoa denez, hiru bektore propio elkarren perpendikular ditu. Jakina, bektore propioaren proportzionalak diren beste guztiak ere propioak izango dira eta denak daude norabide nagusi batean. Norabide hori adierazteko, dagokion ê i bektore unitarioa aukeratzen badugu, beraz, I ê i = I i ê i (5.55) dugu, eta I i balio propioa inertzia-momentu nagusia deitzen da. Beraz, momentu eta abiadura angeluarrak elkarren paraleloak izango dira baldin eta soilik baldin ω solidoaren norabide nagusi batean badaude: I ω = I i ω atalean gogoratu dugunez, triedroa aldatzen badugu orain ardatzak nagusiak izateko, hau da, triedro nagusia deitzen den S triedro berria eraikitzeko ardatz cartesiarrak ê i bektore propioen norabideetan aukeratzen baditugu, han inertzia-matrizea diagonala da, ( ) I ij = I I I 3, (5.56) eta momentu angeluarraren eta energia zinetikoaren adierazpenak erraztu egiten dira: L i = I i ωi, (5.57) T = 1 3 I i ω 2 i. (5.58) 2 i=1

12 172 5 Solido zurruna Hasierako triedrotik nagusira joateko erabili behar den matrizea R da. Bestalde, (5.56) adierazpenean ikusten dugu zer diren inertzia-momentu nagusiak: ardatz nagusiekiko inertzia-momentuak alegia. Hiru inertzia-momentu nagusiak desberdinak badira, hiru norabide nagusiak modu bakarrean daude definiturik, bektore propio ortonormalak aukeratzeko modu bakarra baitago. Baina bi inertzia-momentu berdinak direnean, I 1 = I 2, bi bektore nagusien konbinazio lineal guztiak ere propioak dira eta definitzen duten inertzia-plano nagusian dauden norabide oro nagusia da. Kasu horretan solidoa ziba simetrikoa dela esaten da, eta aipaturiko jostailua da adibiderik ezagunena. Hiru inertzia-momentu nagusiak berdinak badira, I 1 = I 2 = I 3 I, bektore guztiak propioak dira eta norabide guztiak nagusiak. Solidoa ziba esferikoa dela esaten da eta L = Iω eta T = 1 2 Iω2 adierazpen errazak betetzen dira beti. 5.8 IRUDIA Hagatxo arin batez loturiko bi masa. Adibide moduan, 5.8 irudiko sistema aztertuko dugu OXY Z triedroan. Masa osoa x = ± l 2 cosϕ, y = ± l sin ϕ, z = 0 (5.59) 2 puntuetan dagoenez, inertzia-matrizea zuzenean kalkulatzen da: I = 1 sin 2 ϕ sin ϕ cosϕ 0 2 ml2 sin ϕ cosϕ cos 2 ϕ 0. (5.60) Ekuazioa karakteristikoa, a 1 2 ml2 definizioarekin, a sin 2 ϕ λ a sin ϕ cosϕ 0 a sin ϕ cosϕ a cos 2 ϕ λ a λ = λ(λ a) 2 = 0 (5.61) da eta inertzia-momentu nagusiak I 1 = 0, I 2 = I 3 = 1 2 ml2. Ziba simetrikoa da, beraz, solido hau. 5.7 ARIKETA Egiaztatu bektore propio unitarioak, norabide nagusiak ematen dituztenak, hurrengo moduan aukera daitezkeela: ê 1 = cosϕ sin ϕ, ê 2 = sinϕ cosϕ, ê 3 = 0 0. (5.62) Ondorioz, ardatz nagusitzat irudiko OX, OY eta OZ aukera daitezke. Izan ere, ziba simetrikoa denez, OY Z planoa nagusia da eta bertako edozein norabide, nagusia da zentrotik pasatzen bada.

13 5.3 Inertzia-tentsorea ARIKETA Kalkulatu triedro nagusira pasatzeko biraketa-matrizea eta egiaztatu han inertzia- -tentsorea diagonala dela. Ardatz nagusiak aurkitzeko inertzia-tentsorearen balio eta bektore propioen problema ebatzi behar da (ikus atala), baina goiko adibidea bezalako kasu erraz askotan informazio interesgarria lor daiteke problemaren simetriaz baliatuz, solidoa homogeneoa (hau da, dentsitate konstantekoa) denean: 5.9 IRUDIA OY Z simetria-planoa da eta OZ simetria-ardatza. 1. Kontsideratzen dugun puntutik pasatzen den simetria-plano oro ardatz nagusi baten perpendikularra da. Beraz, badakigu plano baten inguruko alderanzketekiko aldaezina bada solidoa, planoaren perpendikularra norabide nagusia dela. Izan ere, simetria-planoa OY Z izateko moduan aukeratzen badugu erreferentzia-sistema (5.9 irudian bezala), aipaturiko simetria honela idazten da µ masa-dentsitateaz 2 baliatuz: µ( x, y, z) = µ(x, y, z) (5.63) eta, ondorioz, I xy = I yx = xy dm = xyµ dv = 0 (5.64) V V integrakizuna bakoitia baita. Arrazoi beragatik I xz = I zx = 0 dugu eta, beraz, (I ij ) = I xx I yy I yz 0 I yz I zz. (5.65) Argi dago i bektorea eta OX ardatza (simetria-planoaren perpendikularrak direnak) nagusiak direla. 2. Kontsideratzen dugun puntutik pasatzen den simetria-ardatz oro nagusia da. Gainera, simetria-ardatzaren ordena 3 edo handiagoa bada, plano perpendikularreko norabide guztiak ere nagusiak dira: ziba simetrikoa da. Beraz, solidoa ardatz baten inguruan biratzean bi posizio baliokide baditu aipaturiko ardatza nagusia da. Posizio baliokideak hiru edo gehiago (edo infinitu) badira, ardatza eta bere plano perpendikularra nagusiak dira. 2 ρ koordenatu zilindrikoarekin ez nahasteko, hemen µ letra erabiliko dugu dentsitatea adierazteko.

14 174 5 Solido zurruna Hau frogatzeko har dezagun OZ ardatza simetria-ardatzean (ikus 5.9 irudia). Simetria- -ardatzaren ordena n bada, hauxe dugu koordenatu polar zilindrikoetan: µ(ρ, ϕ, z) = µ(ρ, ϕ + α, z), α = 2π n. (5.66) Hortaz, I xz = I zx = xz dm = xzµ dv = µ(ρ, ϕ, z) ρz cosϕdρ dϕ dz (5.67) V V V dugu eta ϕ-rekiko integrala egitean 2π 0 µ(ρ, ϕ, z) cosϕdϕ = = [ α 0 α 0 2α ] 2π µ(ρ, ϕ, z) cosϕdϕ α (n 1)α µ(ρ, ϕ, z) [cosϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + + cos(ϕ + (n 1)α)]dϕ = 0 (5.68) dugu, (B.106) emaitzaren ondorioz. Arrazoi beragatik I yz = I zy = 0 dugu eta, beraz, OZ ardatza nagusia da: I xx I yz 0 (I ij ) = I xy I yy 0. (5.69) 0 0 I zz Adibidez, 5.9 irudiko kasuan OY Z planoa simetriazkoa denez, OX ardatza nagusia da. OZ ardatza nagusia da 2 ordenako simetria-ardatza delako. OY ardatza ere nagusia da beste bien ortogonala delako (edo, nahiago bada, OXZ simetria-planoaren perpendikularra delako). Kontsidera dezagun orain paralelepipedo angeluzuzen baten (edo 5.13 irudiko tenis-erraketaren) ardatzeko puntu batekiko inertzia-tentsorea. Bi simetria-plano pasatzen dira handik eta beraz, bakoitzaren perpendikularra den (eta bestean dagoen) norabide nagusi bat dago. Hirugarren ardatz nagusia aurrekoen perpendikularra da: bi simetria-planoen ebakiduran dago. Azken emaitza hau goiko bigarren araua erabiliz ere lortzen da, simetria-planoen arteko ebakidura simetria-ardatza baita. Bestalde, nahikoa da paralelepipedoaren oinarria triangelu aldekidea (edo karratua,... ) izatea, ardatzaren perpendikularra den plano bat nagusia izateko: ez da beharrezkoa oinarria zirkularra izatea. Era berean esfera homogeneoak eta simetria esferikoa duten bestelako gorputzak (hala nola esfera hutsak) ez dira ziba esferiko bakarrak: horrelakoak dira, adibidez, kubo homogeneo guztiak, euren zentrotik pasatzen diren ardatz guztiekiko inertzia-momentuak berdinak baitira. (Azken baieztapena frogatzeko, nahikoa da kontuan hartzea hiru simetria-ardatzak baliokideak direla.) 482. orriko A.6 taulan erakusten dira solido homogeneo batzuen masa-zentroarekiko ardatz eta inertzia-momentu nagusiak. Beste puntuen inguruko inertzia-momentu nagusiak aurkitzeko, ariketako ardatz paraleloen teorema erabil daiteke. 5.4 Ziba simetrikoaren prezesioa Kontsidera dezagun puntu finko bat duen ziba simetriko bat higitzen ari dela grabitatearen eraginpean, 5.10 irudian erakusten den moduan. Azterketa errazteko, simetria-ardatzaren inguruan

15 5.5 Euler-en ekuazioak 175 oso arin biratzen ari dela suposatuko dugu. Hortaz, abiadura angeluar osoa OZ ardatz nagusiaren paraleloa da hurbilketa onean: L = I z ω k = I z ω R, (5.70) non R masa-zentroaren posizio-bektorea den IRUDIA Ziba simetriko arina grabitate-eremuan. Kanpoko S sistema inertzialean, (5.75) higidura-ekuazioa N = R mg = mg R = mrg L L = L (5.71) edota N = Ω L = L (5.72) moduan idatz daiteke. Momentu angeluarra, beraz, Ω = mrg L = mgr Iω k (5.73) abiadura angeluar konstantez ari da biratzen, bere modulua aldatu gabe: prezesioa deritzo horrelako higidura bati. Jakina, modu bertsuan higituko da momentu angeluarraren proportzionala den abiadura angeluarra: ω = Ω ω. (5.74) Gogoratu behar da hemen Ω ω hipotesia egin dela: izan ere, (5.73) adierazpenean ikusten dugunez, ω oso handia denean Ω txikia da. Hemengo hipotesia ez da egiten (baina bai beste bat) probleman. Kasu orokorrean higidura aztertzeko, 5.5 ataleko Euler-en ekuazioez baliatu behar da (ikus, esaterako, [10]). Adibidez, benetako ziba batean erraz ikusten da nutazioa: θ angelua, konstantea izan beharrean, oszilatu egiten da. 5.5 Euler-en ekuazioak Atal honetan, berriro ere, puntu baten inguruko solidoaren higidura aztertuko dugu, baina orain aukeratutako puntua puntu finko bat edo masa-zentroa izango da. Lehen kasuan puntuaren higidura ezaguna da (geldi dago) eta bestean (1.153) higidura-ekuazioa ebatziz lor daiteke,

16 176 5 Solido zurruna 5.11 IRUDIA Laborategiko, espazioaren eta solidoaren sistemak. printzipioz. Hasteko, puntuaren inguruko dinamika aztertzeko, bertan kokaturiko S erreferentzia-sistema bat aukeratuko dugu eta bere ardatzak ez direla sistema inertzialetan biratzen suposatzen da: espazioaren sistema deitzen da. Puntua finkoa bada, S inertziala izango da, baina ez nahitaez masa-zentroa denean. Hala ere bi kasuetan espazioaren S sisteman higidura-ekuazioa N = L (5.75) da, non L eta N bektoreak puntuarekiko momentu angeluarra eta kanpo-indarren momentua diren. Hemen, (5.40) ordezkatzen badugu, N = İ ω + I ω (5.76) geratzen da. S sisteman solidoa biratzen ari denez, I inertzia-tentsorea aldakorra izango da. Hau ez da oso erosoa kalkuluak egiteko eta, arazo hau saihesteko, solidoarekin batera biratzen den S sistema bat aukeratuko dugu: solidoaren sistema. Han inertzia-tentsorea konstantea izango da, baina Coriolis-en (2.56) teorema erabiliz, ( dl dt lortzen da eta, beraz, (5.75) ekuazioa ) S = ( ) dl + ω L (5.77) dt S N = L + ω L (5.78) moduan idatzi behar da solidoaren S sisteman. Gainera, azken sistema honen ardatzak nagusiak izateko moduan aukeratuko ditugu (beti egin daiteke hori puntu batekiko inertzia-tentsoreak hiru norabide nagusi perpendikular onartzen baititu). Azpimarratu behar da (5.78) ekuazioko momentu angeluarra espazioaren sisteman neurtzen dena dela (solidoaren sisteman dena dago geldi eta ez dago momentu angeluarrik). (5.75) eta (5.78) ekuazioak baliokideak dira, bietan agertzen dira magnitude berdinak, baina puntuaren esangura desberdina da: lehenengoan espazioaren sisteman kalkulatutako deribatua adierazten du eta bigarrenean solidoaren sisteman kalkulatutakoa. Solidoaren sistema ez da erabiltzen magnitudeak definitzeko, euren osagaiak (inertzia-matrizearen elementuak eta momentu eta abiadura angeluarraren proiekzioak) kalkulatzeko baizik. Aukeratu dugun solidoaren S sistema nagusian inertzia-tentsorea diagonala eta konstantea izango da, eta beraz, (5.57)-ren ondorioz, L = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k (5.79)

17 5.5 Euler-en ekuazioak 177 momentua angeluarraren deribatua L = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k (5.80) izango da. Azken bi adierazpen hauek (5.78) ekuazioaren osagaietan ordezkatuz, Euler-en solidoaren higidura-ekuazioak lortzen dira: N x = I x ω x + (I z I y )ω y ω z, (5.81) N y = I y ω y + (I x I z ) ω x ω z, (5.82) N z = I z ω z + (I y I x )ω x ω y. (5.83) 5.9 ARIKETA Egiaztatu azken ekuazioak (5.78)-ren baliokideak direla. Adibidez, 5.4 ataleko kasuan, kalkuluak O X Y Z sistema inertzialean egin dira. Ikus dezagun zer gertatzen den solidoarekin batera biratzen ari den OXY Z sistema ez-inertzialean. (Simetria kontuan hartuz, berdin da nola aukeratzen diren OX eta OY ardatzak OXY plano nagusian.) Sistema hau inertziala ez denez, inertzia-indarren momentua hartu behar da kontuan eta higidura-ekuazioa ez da N = L. Izan ere solidoaren sistema honetan abiadura angeluar osoa ω + Ω da eta bertan L eta ω (eta ez bakarrik euren moduluak) konstanteak dira (lehen hurbilketan) eta N = L + (ω + Ω) L (5.84) higidura-ekuazioan L 0 eta ω L 0 erabiltzen badira, (5.72) berreskuratzen da Higidura askea Kontsidera dezagun orain kanpo-indarren momentu nulua pairatzen duen solidoaren higidura. Hori gerta daiteke kanpo-indarrik ez dagoenean edo, adibidez, eremu grabitatorio homogeneo batean jaisten ari den solidoaren higidura bere masa-zentroan kokaturiko solidoaren sisteman aztertzen dugulako. Euler-en ekuazioak kasu horretan hauexek ditugu: Dakigunez, solidoaren sisteman ekuazio hauek, I x ω x + (I z I y ) ω y ω z = 0, (5.85) I y ω y + (I x I z ) ω x ω z = 0, (5.86) I z ω z + (I y I x ) ω x ω y = 0. (5.87) L + ω L = 0 L = ω L (5.88) adierazpenaren osagaiak dira. Hortaz, solidoaren sisteman momentu angeluarra ω abiadura angeluarraz ari da biratzen, bere modulua aldatu gabe. Bestalde, espazioaren sisteman momentu angeluarra konstantea da eta abiadura angeluarra ari da biratzen bere inguruan. Ezezagunak ω i ω j gai koadratikoetan ere agertzen direnez, (5.85) (5.87) ekuazioak ez dira linealak. Hemen, hortaz, bakarrik aztertuko dira bi kasu berezi erraz. Lehengoan solidoa simetria handiagokoa izango da eta bigarrenean soluzio errazenak (konstanteak) eta euren egonkortasuna aztertuko dira.

18 178 5 Solido zurruna Ziba simetriko askea Ziba simetrikoa dela eta berdinak diren inertzia-momentu nagusiak I x = I y direla suposatzen badugu, higidura-ekuazioak hauexek dira: I x ω x + (I z I x ) ω y ω z = 0, (5.89) I x ω y + (I x I z )ω x ω z = 0, (5.90) Azken ekuazioan ω z osagaia higidura-konstantea dela ikusten dugu eta magnitude eskalarra eta I z ω z = 0. (5.91) Ω I z I x I x ω z (5.92) Ω Ωk = I z I x I x ω z k (5.93) bektorea ere higidura-konstanteak izango dira. Baina azken hau erabiliz, (5.89) (5.91) ekuazioak ω = Ω ω (5.94) moduan idazten dira: solidoaren sisteman ω abiadura angeluarra Ω abiadura angeluarraz ari da biratzen inertzia-plano nagusiaren perpendikularra den ardatz nagusiaren inguruan. Biraketa-higidura honen ondorioz, ω bektoreak kono bat sortuko du OZ ardatz nagusiaren inguruan: solidoaren konoa edo polodia. Abiadura angeluarraren ω modulua eta biraketa-ardatzean eta norabide perpendikularrean dituen ω z eta ωx 2 + ω2 y proiekzioak ez dira aldatuko higiduran. Emaitza hauek esplizituki egiazta daiteke, kasu honetan Euler-en ekuazioak erraz ebazten baitira. Izan ere, Ω-ren definizioarekin, ω x + Ωω y = 0, (5.95) ω y Ωω x = 0, (5.96) ω z = 0, (5.97) moduan idazten dira, eta bigarrenaren deribatuan lehenengoa ordezkatuz, osziladore harmonikoaren ekuazioa lortzen dugu: ω y Ω ω x = ω y + Ω 2 ω y = 0. (5.98) Ekuazio honen ω y = A sin (Ωt + ϕ 0 ) soluzio ezaguna gogoratu (1.112) emaitza (5.96) ekuazioan ordezkatuz, ω x kalkulatzen da. Hauexek dira, hortaz, Euler-en ekuazioen soluzioak: ω x = A cos (Ωt + ϕ 0 ), (5.99) ω y = A sin (Ωt + ϕ 0 ), (5.100) ω z = C, (5.101) non A, ϕ 0 eta C integrazio-konstanteak diren. ωx 2 + ω2 y = A2 dugu, beraz. Bestalde, solido aske orokorraren kasuan bezala, L momentu angeluarra ω abiadura angeluarraz ari da biratzen. Gainera, Ω, ω eta L bektoreak plano batean daude beti: Ω (ω L) = 0 0 Ω ω x ω y ω z L x L y L z Beraz, hiru bektoreak elkarrekin higitzen dira. = 0 0 Ω ω x ω y ω z I x ω x I x ω y I z ω z = 0. (5.102)

19 5.5 Euler-en ekuazioak ARIKETA Egiazatatu solidoaren sisteman modu honetan higitzen dela momentu angeluarra: L = ω L = Ω L. (5.103) 5.12 IRUDIA Solidoaren eta espazioaren konoak I x > I z eta I x < I z kasuetan. Espazioaren sisteman, berriz, L konstantea da eta ω bere inguruan biratzen da. Gainera, abiadura angeluarraren ω modulua eta momentu angeluarraren norabidean duen L ω = I x ω 2 x + I xω 2 y + I zω 2 z = I xa 2 + I z ω 2 z (5.104) proiekzioa konstanteak direnez, biraketa horretan ω bektoreak kono bat sortuko du L-ren inguruan: espazioaren konoa edo herpolodia. Espazioaren sisteman solidoaren konoa espazioaren konoaren gainazalean zehar biratzen da labaindu gabe, 5.12 irudian erakusten den bezala Higidura askea ardatz nagusi baten inguruan Atal honetan ez dugu emango solidoa ziba simetrikoa denik, baina suposatuko dugu ardatz nagusi baten inguruan higitzen dela. Hirugarren ardatzaren inguruan biratzen bada, ω x = ω y = 0 izango dugu eta, (5.87) ekuazioaren ondorioz, ω z = konstantea da. Horrelako higiduraren egonkortasuna aztertzeko, eman dezagun perturbazio txiki baten ondorioz, orain ω x eta ω y ez direla nuluak, baina bai oso txikiak, ω x, ω y ω z. (5.87) ekuazioan ω x ω y arbuiatzen bada, ω z (ia) konstantea dela ikusten dugu. Gainera, bigarrenaren deribatuan lehenengoa ordezkatu ondoren α (I x I z )(I y I z ) I x I y ω 2 z (5.105) konstantea definitzen bada, (5.85) (5.87) ekuazioak honela idazten dira: Bi kasu ditugu, beraz. ω y + αω y = 0, (5.106) I y ω y ω x =, (5.107) (I z I x )ω z ω z = 0. (5.108)

20 180 5 Solido zurruna 1. Biraketa ardatzarekiko I z inertzia-momentua handiena (I z > I x, I y ) edo txikiena (I z < I x, I y ) bada, α > 0 denez, (5.106) ekuazioa Ω α pultsazioa duen osziladore harmonikoaren ekuazioa da: ω y + Ω 2 ω y = 0 (5.109) Honen soluzioa eta (5.107) erabiliz, hauxe dugu: ω y = A sin (Ωt + ϕ 0 ), (5.110) I y AΩ ω x = cos (Ωt + ϕ 0 ). (5.111) (I z I x )ω z Ondorioz, hasieran ω x eta ω y txikiak baziren, horrelakoak izango dira betiko: ardatz nagusiaren inguruko biraketa egonkorra izango da. 2. I z inertzia-momentua tartekoa bada (I x < I z < I y edo I x > I z > I y ), ordea, λ α definizioarekin, (5.106) ekuazioa ω y λ 2 ω y = 0 (5.112) da, eta honen soluzioa erraz aurkitzen da ataleko metodoa erabiliz A eta B integrazio- -konstanteen bidez: ω y = Ae λt + Be λt, (5.113) I y λ ( ω x = Ae λt Be λt). (5.114) (I z I x )ω z Beraz, hasieran oso txikiak izan arren, ω x eta ω y handituz joango dira: ardatz horren inguruko biraketa ezegonkorra da ARIKETA Egiaztatu (5.112) ekuazioaren soluzioa dela (5.113) IRUDIA Tenis-erraketaren ardatz nagusiak. Emaitza hau tenis-erraketaren teorema deitzen da eta horrelako tresna (edo paralelepipedo batekin) oso erraz egiaztatzen da esperimentalki: inertzia-momentu handiena eta txikiena dituzten ardatz nagusien inguruan biraraztea oso erraza den arren, hirugarrenaren inguruko biraketa ezegonkorra da.

21 5.6 Problema ebatziak ARIKETA Tenis-erraketaren kasuan, zein ardatz nagusirekiko inertzia-momentua da handiena? Zeini dagokio txikiena? Zergatik? 5.6 Problema ebatziak Ardatz paraleloen teorema S erreferentzia-sistemaren eta masa-zentroaren S sistemaren ardatzak elkarren paralelo dira. Masa-zentroaren posizio-bektorea OO = R = 3 k=1 X k ê k bada, froga ezazu bi sistemetan neurturiko inertzia-matrizeen arteko erlazioa honako hau dela: I ij = I ij + m ( R 2 δ ij X i X j ). Galileo-ren transformazioen arabera, r = r + R, r 2 = r 2 + R 2 + 2r R, x i = x i + X i, x i x j = x i x j + X ix j + x i X j + x j X i, dugu eta, hortaz, inertzia-matrizearen osagaiak honako hauek dira: I ij = = V V + ( ) r 2 δ ij x i x j dm ( r 2 δ ij x i j) x dm + V ( 2r R δ ij x i X j X i x j V ( R 2 δ ij X i X j ) dm ) dm dugu. Azken adierazpeneko lehen integrala Iij da; bigarrenean integrakizuna konstantea da eta, V dm = m erabiliz, emaitzaren bigarren gaia berreskuratzen da; eta azken integrala nulua da, masa-zentroaren definizioaren ondorioz, masa-zentroaren sisteman masa-momentua zero baita: mr = V r dm = 0 mxi = x i V dm = Steiner-en teorema A eta A ardatz paraleloen arteko distantzia a da eta A delakoa masa-zentrotik pasatzen da. Froga ezazu ardatz hauekiko inertzia-momentuek I = I + ma 2 erlazioa betetzen dutela. Zein da biraketa-erradioen arteko erlazioa?

22 182 5 Solido zurruna OZ ardatz cartesiarra A eta A -ren paraleloa izateko moduan aukeraturik, bien perpendikularra dena OX bada, aurreko problemaren notazioan R = ai eta X 1 = a, X 2 = X 3 = 0 dugu. Gainera, aukera horrekin A eta A ardatzekiko inertzia-momentuak I 33 eta I33 dira, hurrenez hurren. Beraz, ardatz paraleloen ondorioz, honako hau geratzen zaigu: I = I 33 = I33 + m ( ) R 2 δ 33 X 3 X 3 = I + ma 2. Emaitza hau m-rekin zatituz, hauxe lortzen da: K 2 = K 2 + a Eraztuna Eraztun baten masa m da eta erradioa a. Haren zentroa R a erradioko zirkunferentzia batean zehar v abiadura eskalar konstantez higitzen ari da. Ez dago labainketarik eta α angelua konstantea da. Froga ezazu Ω ω dela. Aurki ezazu zoruak eragindako indarra. Eraztunaren masa-zentroarekiko momentu angeluarra ω abiadura angeluarrari dagokiona dela (eta, beraz, Ω prezesioari dagokiona arbuiagarria) jorik, froga ezazu hurrengo erlazioa betetzen dela: R = 2v2 g cotα. Labaindu gabe higitzen denez, masa-zentroaren abiadura hauxe da: v = ΩR = ωa. Beraz, R a baldintzatik Ω ω dela lortzen dugu. Zoruak eragindako indarra F bada, masa-zentroaren higidura-ekuazioa hurrengoa izango da ardatz bertikalaren inguruko koordenatu zilindrikoetan: F mg k = m v2 R ˆρ, eta, beraz, F = mg k m v2 R ˆρ. Prezesioari dagokion ekarpena arbuiatuz, honela adierazten da masa-zentroarekiko momentu angeluarra: L = ma 2 ω = mav (cosα ˆρ + sin αk). ˆρ = ϕ ˆϕ = Ω ˆϕ dela kontuan hartuz, zera lortzen dugu: L = Ωmav cos α ˆϕ = mav2 R cosα ˆϕ. Bestaldetik, masa-zentroaren sisteman F indarraren aplikazio-puntua r = a (sin α ˆρ cos αk)

23 5.6 Problema ebatziak 183 dela kontuan hartuz, indar-momentu osoa hauxe da: ( ) v 2 N = r F = ma cosα g sin α R ˆϕ. Momentu angeluarraren higidura-ekuazioa N = L denez, zuzenean ikusten da R = 2v 2 /g tanα erlazioa bete behar dela aztertutako higiduran Esferaerdi hutsa Kalkula itzazu esferaerdi huts batek hurrengo hiru puntuen inguruan dituen inertzia-tentsorea eta momentu nagusiak: (a) O zentroa. (b) Masa-zentroa. (c) Mugako P puntua. (a) Irudiko koordenatu esferikoetan θ eta θ + dθ bitarteko segmentu zirkularraren erradioa r = a sin θ da, esferaren erradioa a bada. Beraz, ϕ eta ϕ + dϕ bitarteko elementu infinitesimalaren oinarria, altuera eta azalera r dϕ = a sin θ dϕ, a dθ eta ds = a 2 sin θ dθ dϕ dira, hurrenez hurren. Masa, beraz, hauxe dugu: Inertzia-matrizea I O = dm = m 2πa ds = m sin θ dθ dϕ. 2 2π y 2 + z 2 xy xz xy x 2 + z 2 yz xz yz x 2 + y 2 dm = ma2 π/2 2π sin θ dθ dϕ 2π 0 0 sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ sin 2 θ cos ϕ sin ϕ sin θ cos θ cos ϕ sin 2 θ cosϕsin ϕ sin 2 θ cos 2 ϕ + cos 2 θ sin θ cosθ sin ϕ sin θ cos θ cos ϕ sin θ cosθ sin ϕ sin 2 θ da eta ϕ-rekiko integrala egiteko 2π 0 2π 0 sin ϕ dϕ = cos 2 ϕ dϕ = 2π emaitza erabilgarriaz baliatzen bagara, I O = 1 π/2 2 ma π 0 cos ϕ dϕ = 2π 0 sin ϕ cosϕdϕ = 0, 1 ± 2 cosϕ sin 2 ϕ dϕ = dϕ = π 2 sin 2 θ + 2 cos 2 θ sin 2 θ + 2 cos 2 θ sin 2 θ sin θ dθ.

24 184 5 Solido zurruna Orain, π/2 0 cos 2 θ sin θ dθ = 1 π/2 3, sin 3 θ dθ = integralak erabiliz, hauxe dugu: 0 π/2 0 3 sin θ sin 3θ 4 dθ = 2 3 I O = 2 3 ma Ziba esferikoa da, beraz, O zentroaren inguruan. Integrala egin gabe ere erraz kalkula zitekeen hau, 2m masako esfera hutsaren inertzia-matrizean bi erdien ekarpenak guztiz berdinak baitira. Bestalde, eraztunaren inertzia-momentuak, ardatz paraleloen teorema eta simetria erabiliz ere egin daiteke kalkulua. (b) Masa-zentroaren posizioa zuzenean kalkulatzen da: R = = a X 1 X 2 X 3 π/2 0 = 1 m 0 0 cos θ x y z sin θ dθ = Orain ardatz paraleloen teoremaz baliatuz: I = I O m ( R 2 δ ij X i X j ) = 2 3 ma dm = a 2π m a a/2 π/ π sin θ dθ dϕ 0 = 1 12 ma2 sin θ cosϕ sin θ sin ϕ cosθ (c) P puntuko triedroaren Y ardatza norabide erradial horizontalean eta kanporantz aukeratzen bada, X = 0, Y = a eta Z = a/2 erabili behar dira ardatz paraleloen teoreman: I P = I + m ( ) R 2 δ ij X i X j = ma ma 2 Erraz frogatzen da inertzia-momentu nagusiak = 1 6 ma I 1 = 5 3 ma2, I 2,3 = 7 ± 3 2 ma 2 6 direla eta norabide nagusiak i, eta ( 1 2 ) j + k bektoreek definiturikoak.

25 5.6 Problema ebatziak Esfera birakorra Irudiko esfera homogeneoaren erradioa a da eta ω abiadura angeluar konstantez ari da biratzen simetria-ardatz baten inguruan, azken hau Ω abiadura konstantez ardatz bertikalaren inguruan biratzen delarik. O puntua finkoa da. Marruskadura guztiak arbuiagarriak badira, zein da θ angelu konstantea? π/2 baino handiagoa izan daiteke? Oharra: Ebatzi problema Euler-en ekuazioen aldaera egokia erabiliz. Kanpo-indarren momentua konstantea izateko, solidoaren sistema baino egokiagoa izango da irudikoa: Ω abiaduraz ari da biratzen, OXZ planoa bi abiadura angeluarrek definiturikoa izateko moduan, baina ez da biratzen simetria ardatzaren inguruan. Triedro hau nagusia da eta bertan ω, Ω, I eta L higidura-konstanteak dira eta Coriolis-en teorema erabiliz hauxe dugu: N = L + Ω L = Ω L [ (Ω + ω) L ]. Beraz, O puntuaren eta esferaren zentroaren arteko distantzia R bada, solidoaren abiadura angeluar osoa Ω + ω dela kontuan hartuz, hauxe dugu: N y = mgr sin θ = Ω z L x Ω x L z = Ω z I x Ω x Ω x I z (Ω z + ω) Orain I z = I eta I x = I + mr 2 direnez, = Ω x Ω z (I x I z ) Ωω x I z = (I x I z ) Ω 2 sin θ cosθ I z Ωω sin θ. mgr sin θ = mr 2 Ω 2 sin θ cosθ I Ωω sin θ baldintza lortzen dugu eta θ-ren balioak hurrengoak izango dira: θ = 0, π, θ 0 arccos I Ωω mgr mr 2 Ω 2. Jakina, azken balioa bakarrik existitzen da honako hau betetzen denean: I Ωω mgr mr 2 Ω 2 1. Argi dago, bestaldetik, θ 0 > π/2 izango dela mgr > I Ωω denean.

26 186 5 Solido zurruna 5.7 Problemak 5.1 Solido lau mehea. Eman dezagun solidoa OXY planoan egoteko moduan aukeratzen dugula erreferentzia-sistema. Froga ezazu solidoaren perpendikularra den OZ norabidea nagusia dela eta dagokion inertzia-momentua beste bien batura: I 3 = I zz = I xx + I yy. Beste bi inertzia-momentu nagusiak I 1 eta I 2 badira, egia al da I 3 = I 1 + I 2 dela? 5.2 Kalkulatu 482. orriko taulan agertzen diren inertzia-momentuak. 5.3 Kater-en pendulua. Eman dezagun masa-zentrotik a eta b distantzia desberdinetara dauden bi puntutatik pendulu fisiko bat esekitzean oszilazio-periodo berdinak neurtzen ditugula. Froga ezazu pendulu matematiko baliokidearen luzera a + b dela. 5.4 Disko horizontal bat bere zentrotik pasatzen den ardatz bertikal leun baten inguruan ari da biratzen. Hasieran ertzean pausagunean zegoen euli bat zentrorantz abiatzen bada astiro-astiro, nolakoa izango da sistemaren energia zinetikoa: hasieran zuena baino handiagoa, txikiagoa ala berdina? 5.5 Jotze-zentroa. Irudiko hagatxo uniformea O puntuaren inguruan bira daiteke. Zein da pendulu matematiko baliokidearen luzera? Posizio bertikalean pausagunean dagoenean J bulkada horizontala aplikatzen bada, zein izango da hasierako abiadura angeluarra? Non aplikatu behar da J bulkada O puntuan erreakziorik ez izateko? 5.6 Kalkula ezazu kubo uniforme baten hurrengo puntuekiko inertzia-momentu eta norabide nagusiak: (a) Ertz baten erdiko puntua. (b) Erpin bat. 5.7 Irudiko xafla meheak m masa du eta ω abiadura angeluar konstantez ari da biratzen AB ardatzaren inguruan. Aurki ezazu A eta B euskarriek eragiten dioten indar-momentua. 5.8 Kono homogeneo bete baten altuera h da eta bere oinarriaren erradioa r. Kalkula itzazu erpinarekiko inertzia-momentu nagusiak. Nolakoa izan behar du h/r zatidurak erpinetik pasatzen diren ardatz guztiak nagusiak izateko? 5.9 Froga ezazu antzekotasun-transformazioek ez dutela matrizeen aztarna aldatzen. Oharra: Gogoratu A = (a ij ) matrizearen aztarna honela definitzen dela: 3 tra = a kk. k=1

27 5.7 Problemak Irudiko sokak puntu finko bat eta hagatxoaren mutur bat lotzen ditu. Froga ezazu soka eta hagatxoa ezin egon daitezkeela higidura osoan lerro zuzen berean (hagatxo bakar baten antzera) grabitatearen eragin hutsaren menpean. Iradokizuna: Suposa ezazu higidura hori gerta daitekeela eta azter ezazu nolakoa den sokak eragindako indarra Irudiko hagatxoaren muturrak zirkunferentzia bertikal finko batean zehar higi daitezke marruskadurarik gabe grabitatearen eraginpean. Hagatxoaren masa m bada, zein izango da oszilazio txikien maiztasuna? 5.12 S erreferentzia-sisteman solido baten inertzia-tentsorearen osagaiak honako hauek dira: A C 0 C B A + B Zeintzuk dira inertzia-momentu eta ardatz nagusiak? Zein da inertzia-tentsorea diagonaltzen duen antzekotasun-transformazioa? 5.13 Inertzia-tentsorea. Froga ezazu bi inertzia-momentu nagusiren batura ez dela inoiz ere hirugarren momentu nagusia baino txikiagoa. Noiz gertatuko da berdintasuna? Bertikalean geldirik dagoen hagatxo bat jausten hasten da marruskadurarik gabe. Zein izango da masa-zentroaren abiadura hagatxoa horizontalean dagoenean? Nola aldatzen da erantzuna orain hagatxoaren mutur bat ardatz leun baten bidez zoruan loturik badago? Zein kasutan helduko da lehenago posizio horizontalera? 5.15 Non jo behar du makila horizontalak billar-bola labaindu gabe abia dadin? 5.16 Irudiko kamioa geldirik dago eta atzeko atea irudian erakusten den posizioan. a azelerazio konstantez abiatzen bada, zenbateko denbora beharko du ateak ixteko? Zein izango da bere abiadura une horretan? Oharra: Erabili hurrengo integral eliptikoa (ikus B.4 atala): π/2 π/2 dϕ π = cosϕ 0 ( dθ π = 4F sin θ 4 )

28 188 5 Solido zurruna 5.17 a erradioko bola v abiaduraz higitzen da, labaindu gabe, h < a altuerako mailarekin topo egin arte. O jotze- -puntuan labainketarik ez badago, zein izan behar du v-ren balio minimoak maila igotzeko? 5.18 Irudiko sistema lauan hagatxoen masak arbuiagarriak dira. Abiadura angeluar konstantez biratzen bada, zein da A eta B euskarri leunek eragindako indar-momentua? Euskarriak kentzen badira, zein norabideren inguruan bira daiteke abiadura angeluar konstantez inolako indar- -momenturik pairatu gabe? 5.19 Irudiko xafla mehearen masa 3m da eta ardatz bertikalaren inguruan bira daiteke marruskadurarik gabe. Hasieran geldirik dago, baina norabide perpendikularrean datorren m masako partikulak jotzen du irudian erakusten den puntuan. Talka ondoren partikula norabide berean higitzen da. Kalkulatu partikularen abiadura talka ondoren, azken hau elastikoa izan dela jorik. Norantz higitzen da orain partikula? Grabitatea arbuiagarria bada, zer gertatuko litzateke ardatzik ez balego? 5.20 Kalkulatu 5.19 problemako xaflaren higidura talka ondoren, orain partikula itsatsita geratzen bada jotze-puntuan. Zer gertatuko litzateke grabitaterik gabe ardatzik ez balego? 5.21 Irudiko eraztunak eta disko homogeneoak masa eta erradio berdinak dituzte eta une berean altuera beretik askatzen dira pausagunetik. Plano aldapatsuan behera labaindu gabe badoaz, zein helduko da lehenago zorura? 5.22 Irudiko diskoaren masa, erradioa eta lodiera m, R eta d dira, hurrenez hurren. Diskoa ω abiadura angeluar konstantez biratzen ari da, perpendikularrarekin α angelua osatzen duen ardatz finko baten inguruan. Kalkulatu diskoaren momentu angeluarra eta ardatzak eragindako indar-momentua Irudiko partikula eta hagatxo artikulatuaren A muturra h altuera beretik askatzen dira. Kalkulatu partikularen eta A-ren abiadura bertikalak zorutik neurtutako z altuera guztietarako. Aurkitu zein den h-ren balio maximoa z guztietarako A muturraren abiadura bertikala partikularena baino handiagoa izateko.

29 5.7 Problemak IRUDIA Xafla eta bolatxoa (ikus 5.24 problema) Xafla mehe bateko zuloan bolatxo bat jartzen da eta handik hurbil ontzi txiki bat, 5.14 irudian erakusten den moduan. Mutur bat ertz batean jarri ondoren, bestea altxatzen da apur bat. Irudian erakutsitako posiziotik sistema askatzen bada, bolatxoa ontzian sartzen da. Erabili 5.23 problema esperimentu hau azaltzeko Plano aldapatsu batean behera, garaiera berdinetatik, lau gorputz askatzen dira: esfera huts bat, zilindro huts bat, esfera bete bat eta zilindro bete bat. Lau solidoak biraketa-simetriaren ardatz horizontalaren inguruan biratzen dira labaindu gabe. Zein izango da arinena? Eta bigarrena? Eta azkena? Gorputzen masen eta dimentsioen menpekoa da erantzuna? 5.26 m masako hagatxo horizontala A ardatz bertikalaren inguruan bira daiteke marruskadurarik gabe eta m masako bolatxo bat du mutur batean, irudian erakusten den moduan. Norabide horizontal perpendikularrean datorren m masako partikularen eta hagatxoaren artean talka elastiko bat gertatzen da. Talka ondoren, partikula norabide berean higitzen da. Nola aukeratu behar da d distantzia hagatxoaren abiadura angeluarra maximoa izateko? Eta minimoa izateko? Zeintzuk izango dira aipaturiko balio maximoa eta minimoa? Noiz etorriko da atzera partikula? Gerta daiteke talkan ardatzaren erreakzioa nulua izatea? Zer aldatzen da zure erantzunetan bolatxoa beste muturrean badago? Eta partikula hagatxoan itsatsita geratzen bada? 3 Ikus animazioa.

30 190 5 Solido zurruna 5.27 Irudiko kuboa eta zilindroa masa berekoak dira eta soka eta txirrikaren masak arbuiagarriak. Kuboaren eta plano horizontalaren arteko marruskadura dinamikoaren koefizientea µ B bada, zein da zilindroaren eta plano aldapatsuaren arteko marruskadura estatikoaren koefizientearen balio minimoa hura labaindu gabe joan dadin planoan behera? 5.28 Irudiko disko mehea ω 1 abiadura angeluar konstantez biratzen ari da simetria-ardatz horizontalaren inguruan. Ardatza bera ω 2 abiadura angeluar konstantez biratzen da bertikalaren inguruan. Aukeratu triedro egokia eta kalkulatu diskoaren momentu angeluarra eta euskarriek eragindako indar-momentua Simetria-ardatz horizontalaren inguruan ω 0 abiadura angeluarraz biratzen ari den a erradioko zilindro bat zoruan jartzen da. Argi dago hasieran labaindu egingo dela, baina marruskaduraren eraginez higitzen hasiko da. Idatzi zilindroaren higidura-ekuazioak eta kalkulatu abiadura linealaren eta angeluarraren arteko erlazioa. Frogatu une batean marruskadura desagertzen dela eta hortik aurrera abiadura konstantez higitzen dela. Zein da abiadura hori? Kalkulatu berriro amaierako abiadura konstantea kontserbazio-printzipio egoki bat erabiliz. Zilindro huts bat eta zilindro bete bat masa eta erradio berekoak badira, zein higituko da arinago? Zer gertatzen da masak desberdinak badira? Zein da marruskadura-indarrak egindako lan osoa? Zer da µ marruskadura dinamikoaren koefizientearen menpekoa zure erantzunetan? 5.30 L aldeko kubo homogeneo bat v abiaduraz labaintzen ari da mahai leun horizontal batean. Azken honetako ertzean dagoen koska txiki batekin topo egitean, bere inguruan biratzen hasten da. Zein izan behar du v abiaduraren balio minimoak, kuboa mahaitik eror dadin? 5.31 Irudiko disko homogeneoaren eta mahai horizontalaren arteko marruskadura estatikoaren koefizientea µ da. Nolakoa izan behar du M masak diskoa labaindu gabe higi dadin?

31 6. GAIA Mekanika analitikoa 6.1 IRUDIA Roberval-en enigma estatikoa: balantza honetan, beso berdinekoaren eta erromatarraren kasuetan ez bezala, besoetako edozein puntutan koka daitezke pisuak. 191

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA Higidura erlatiboa

2. GAIA Higidura erlatiboa 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

10. GAIA Ingurune jarraituak

10. GAIA Ingurune jarraituak 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa

5. GAIA Mekanismoen Analisi Dinamikoa HELBURUAK: HELBURUAK: sistema sistema mekaniko mekaniko baten baten oreka-ekuazioen oreka-ekuazioen ekuazioen planteamenduei planteamenduei buruzko buruzko ezagutzak ezagutzak errepasatu errepasatu eta

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a

1. INGENIARITZA INDUSTRIALA. INGENIARITZAREN OINARRI FISIKOAK 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a 1. Partziala 2009.eko urtarrilaren 29a ATAL TEORIKOA: Azterketaren atal honek bost puntu balio du totalean. Hiru ariketak berdin balio dute. IRAUPENA: 75 MINUTU. EZ IDATZI ARIKETA BIREN ERANTZUNAK ORRI

Διαβάστε περισσότερα

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula

Fisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea

DINAMIKA. c Ugutz Garitaonaindia Antsoategi Ingeniaritza Mekanikoa Saila Gasteizko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herriko Unibertsitatea DINAMIKA c Ugutz Gartaonanda Antsoateg Ingenartza Mekankoa Sala Gastezko I.I.T. eta T.I.T.U.E. Euskal Herrko Unbertstatea 2000/2001 kasturtea Índce 1. SARRERA 3 2. INDARRAK 3 3. ERREFERENTZIA SISTEMA DINAMIKAN.

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA

EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA EREMU NAGNETIKOA ETA INDUKZIO ELEKTROMAGNETIKOA Datu orokorrak: Elektroiaren masa: 9,10 10-31 Kg, Protoiaren masa: 1,67 x 10-27 Kg Elektroiaren karga e = - 1,60 x 10-19 C µ ο = 4π 10-7 T m/ampere edo 4π

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

MEKANIKA KLASIKOA. Juan M. Aguirregabiria. Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila eta Euskara Institutua. Universidad.

MEKANIKA KLASIKOA. Juan M. Aguirregabiria. Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila eta Euskara Institutua. Universidad. MEKANIKA KLASIKOA Juan M. Aguirregabiria Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila eta Euskara Institutua eman ta zabal zazu Universidad del País Vasco Euskal Herriko Unibertsitatea ii Mekanika Klasikoa

Διαβάστε περισσότερα

Gorputz geometrikoak

Gorputz geometrikoak orputz geometrikoak POLIEDROAK ELEMENTUAK EULERREN FORMULA PRISMAK ETA PIRAMIDEAK ELEMENTUAK MOTAK AZALERAK BIRAKETA-ORPUTZAK IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK BOLUMENAK CAVALIERIREN PRINTZIPIOA PRISMEN ETA PIRAMIDEEN

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:

Διαβάστε περισσότερα

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen

Διαβάστε περισσότερα

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa

4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,

Διαβάστε περισσότερα

I. ebazkizuna (1.75 puntu)

I. ebazkizuna (1.75 puntu) ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9

Magnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9 Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak

Διαβάστε περισσότερα

Kojineteak. Eskuarki, forma zilindrikoa izaten dute; jasan ditzaketen kargen arabera, bi motatan bereiz daitezke:

Kojineteak. Eskuarki, forma zilindrikoa izaten dute; jasan ditzaketen kargen arabera, bi motatan bereiz daitezke: KOJINETEAK Kojineteak Marruskadura-kojineteak Eskuarki, "kojinete" bakarrik esaten zaie. Haien helburua da ardatzei eta transmisio-ardatzei eustea eta biratzen uztea. Horretarako, ardatzetan ahokatzen

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK ASTRONOMIA PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK Jesus Arregi Ortzean planetak ezagutzeko, eskuarki, bi ohar eman ohi dira. Lehenengoa, izarrekiko duten posizioa aldatu egiten dutela, nahiz eta posizio-aldaketa

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da.

Uhin guztien iturburua, argiarena, soinuarena, edo dena delakoarena bibratzen duen zerbait da. 1. Sarrera.. Uhin elastikoak 3. Uhin-higidura 4. Uhin-higiduraren ekuazioa 5. Energia eta intentsitatea uhin-higiduran 6. Uhinen arteko interferentziak. Gainezarmen printzipioa 7. Uhin geldikorrak 8. Huyghens-Fresnelen

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

Materialen elastikotasun eta erresistentzia

Materialen elastikotasun eta erresistentzia Materialen elastikotasun eta erresistentzia Juan Luis Osa Amilibia EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren

Διαβάστε περισσότερα

du = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA

du = 0 dela. Ibilbide-funtzioekin, ordea, dq 0 eta dw 0 direla dugu. 2. TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA . TERMODINAMIKAREN LEHENENGO PRINTZIPIOA ETA BIGARREN PRINTZIPIOA.. TERMODINAMIKAREN LAN-ARLOA Energi eraldaketak aztertzen dituen jakintza-adarra termodinamika da. Materia tarteko den prozesuetan, natural

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science

Διαβάστε περισσότερα

Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina

Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina Unibertsitaera sartzeko hautaprobak 1995.eko Ekaina FISIKA Aukera itzazu probletna-niuítzo bar eta bi gaidera A MULTZOA (3p) 1.- 1.000 kg-tako suziri bat orbitaan jarri da Lurreko gaínazaletik 800 km-tara

Διαβάστε περισσότερα

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06 0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Oinarrizko estatistika

6. GAIA: Oinarrizko estatistika 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................

Διαβάστε περισσότερα

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK 1. GAIA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK Definizioak 1.1.1 MakinaetaMekanismoa 1.1.2 MailaedoElementua 1.1.3 PareZinematikoa 1.1.4 KateZinematikoa

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

Oinarrizko mekanika:

Oinarrizko mekanika: OINARRIZKO MEKANIKA 5.fh11 /5/08 09:36 P gina C M Y CM MY CY CMY K 5 Lanbide Heziketarako Materialak Oinarrizko mekanika: mugimenduen transmisioa, makina arruntak eta mekanismoak Gloria Agirrebeitia Orue

Διαβάστε περισσότερα