Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku"

Transcript

1 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Nepokretne tacke za parove preslikavanja Master rad Student: Sanela Paunović Mentor: dr Dejan Ilić Niš, April 2015.

2 Sadržaj I Predgovor 2 1 Uvod Uvodni pojmovi Fiksna tacka za parove preslikavanja Rezultati Jungcka Rezultati Dasa i Naika Teoreme o postojanju fiksnih tačaka za parove skupovno vrednosnih preslikavanja na metričkom prostoru Teoreme o postojanju fiksnih tačaka za parove preslikavanja koja zadovoljavaju opšti kontraktivni uslov integralnog tipa Teoreme o postojanju zajedničkih fiksnih tačaka za parove podkompatibilnih preslikavanja Istorijski pregled i uvodni pojmovi Opšta teorema o zajedničkoj fiksnoj tački Teorema o zajedničkoj fiksnoj tački za preslikavanja Greguš tipa Teorema o zajedničkoj fiksnoj tački za skoro kontraktivna preslikavanja Neke diskusije o postojanju zajedničke fiksne tačke za par preslikavanja Uvodna pitanja Rezultati Teoreme o zajedničkoj fiksnoj tački Zaključak 67 5 Biografija 71 1

3 Part I Predgovor Teorija fiksne tačke je jedna od glavnih grana nelinearne analize, i ova grana matematike se bavi problemima egzistencije, odredjivanja i konstrukcije fiksne tačke preslikavanja. Ima primenu pri rešavanju sistema od n jednačina, pri rešavanju diferencijalnih i integralnih jednačina u matematici, kao i mnogih problema u fizici, hemiji i biologiji. U ovom master radu će biti razmatrano postojanje fiksnih tačaka za više preslikavanja različitih tipova i daćemo neke glavne rezultate iz ove oblasti. Rad je podeljen u tri glave, u svakoj od njih ima više poglavlja. U prvoj glavi dat je prikaz osnovnih pojmova i tvrdjenja iz teorije fiksne tačke. Uveden je pojam kontrakcije i dati su uslovi egzistencije fiksne tačke. U drugoj glavi će biti razmatrani rezultati do kojih su dosli Jungck godine u radu [2] i Das i Naik godine u radu [7], a koji se odnose na postojanje zajedničke fiksne tačke za dva preslikavanja koja komutiraju, zatim ćemo razmatrati pod kojim uslovima postoji zajednička fiksna tačka za parove skupovno vrednosnih preslikavanja, za parove preslikavanja koja zadovoljavaju opšti kontraktivni uslov integralnog tipa, kao i za preslikavanja Greguš tipa. U trečoj glavi ćemo dati jednu diskusiju koja se odnosi na postojanje zajedničke fiksne tačke za par preslikavanja. Zahvaljujem se mentoru, prof. dr Dejanu Ilicu na podršci i pomoći pri izradi rada. 2

4 1 Uvod Uvedimo prvo osnovne pojmove koje ćemo koristiti u daljem tekstu. 1.1 Uvodni pojmovi Ako je f : X X i postoji x X tako da je f(x) = x, tada se kaže da je x fiksna (nepokretna) tačka preslikavanja f. Izučavanjem fiksnih tačaka preslikavanja bavi se matematička disciplina Teorija o fiksim tačkama. Teorija fiksnih tačaka je jedna od glavnih grana nelinearne analize. Brojna pitanja fizike, hemije, biologije i drugih nauka vode do različitih diferencijalnih i integralnih jednačina. Ako zanemarimo konkretnu formu tih jednačina, možemo ih svesti na apstraktne operatorske jednačine čime je rešavanje polaznih jednačina poistovećeno sa odreďjivanjem fiksnih tačaka operatora. Definicija Neka je X i d : X X [0, ) tako da važe sledeći uslovi: (M0) d(x, y) 0 (M1) d(x, y) = 0 x = y (M2) za svako x, y X, d(x, y) = d(y, x) (simetričnost) (M3) za svako x, y, z X, važi nejednakost d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (nejednakost trougla) Tada kažemo da je preslikavanje d metrika na skupu X a par (X, d) metrički prostor. Definicija Neka je X neprazan skup i f : X X. Kaže se da funkcija f ima fiksnu (nepokretnu) tačku ako postoji x X tako da je f(x) = x. Tada se element x naziva fiksna (nepokretna) tačka funkcije f. Skup svih fiksnih tačaka funkcije f označavamo sa F ixf ili F f. Navescemo nekolioko primera: 1) Neka je X = R i f(x) = x 2 + 5x + 4. Tada funkcija f ima samo jednu fiksnu tačku, tj. F f = { 2}. 3

5 2) Za preslikavanje f(x) = x 2 x, gde je X = R, skup svih fiksnih tačaka F f = {0, 2}. 3) Za X = R i f(x) = x + 2 je F f =. 4) Ako je X = R i f(x) = x, skup fiksnih tačaka preslikavanja f je cela realna prava, tj. F f = R. Teorija fiksnih tačaka proučava pod kojim uslovima fiksne tačke postoje (jedna ili više), metode za njihovu aproksimaciju u slučaju kada postoje i strukturu skupa F f. U sledećoj teoremi navedena je klasa funkcija koje imaju fiksnu tačku. Teorema Neka je < a < b < i f : [a, b] [a, b] neprekidna funkcija. Tada f ima fiksnu tačku na intervalu [a, b]. Dokaz: Neka je F (x) = x f(x). Ako je a = f(a) ili b = f(b), tada je a odnosno b fiksna tačka. U suprotnom je a < f(a) i b > f(b), pa je F (a) = a f(a) < 0 F (b) = b f(b) > 0. Pošto je F neprekidna funkcija, postoji u (a, b) takvo da je F (u) = 0 tj. u = f(u).. Ova teorema pokazuje da neprekidna i ograničena funkcija ima fiksnu tačku. Definicija Neka je (X, d) metrički prostor. Preslikavanje f : X X je (a) Lipschitzovo (L-Lipschitzovo) ako postoji L 0 tako da je d(fx, fy) L d(x, y), za svako x, y X; (b) kontrakcija (a-kontrakcija) ako je f a-lipschitzovo, za a [0, 1), tj. d(fx, fy) a d(x, y), za svako x, y X; (c) neekspanzivno ako je f 1-Lipschitzovo; 4

6 (d) kontraktivno ako je d(fx, fy) < d(x, y), za svako x, y X, x y; (e) izometrija ako je d(fx, fy) = d(x, y), za svako x, y X Navešcemo nekoliko primera ovih preslikavanja. + 3 je kon- Primer Preslikavanje f : R R definisano sa f(x) = x 2 trakcija pri čemu je F f = {6}. Primer Preslikavanje f : [1, ) [1, ), f(x) = x+ 1 x i F f = je kontraktivno Primer Primer preslikavanja koje je izometrija dato je na sledeći način: f : R R, f(x) = x + 5. U tom slučaju je F f =. Primetimo da je preslikavanje koje zadovoljava Lipschitzov uslov neprekidno. Navešćemo sad par teorema koje nam govore o postojanju fiksne tačke za jedno preslikavanje. Teorema (Banach [1]) Neka je (X, d) kompletan metrički prostor i f : X X kontrakcija. Tada preslikavanje f ima samo jednu fiksnu tačku. Dokaz: Neka je x 0 X proizvoljna tačka prostora X. Formirajmo niz (x n ) tačaka prostora X pomoču x n = f(x n 1 ), n = 1, Dokažimo da je taj niz konvergentan. S obzirom da je po predpostavci metrički prostor X kompletan, dovoljno je dokazati da je niz (x n ) Cauchyev. Neka je a = d(x 0, x 1 ). Iz d(x n, x n+1 ) = d(f(x n 1 ), f(x n )) q d(x n 1, x n )... q n d(x 0, x 1 ) = a q n, za m > n sledi d(x n, x m ) m 1 k=n d(x k, x k+1 ) a m 1 k=n q k a q k q n = a 1 q k=n (1.1.1) Odatle, zato što je 0 q < 1, sledi da je (x n ) Cauchyev niz. Pema tome, postoji x X tako da niz (x n ) konvergira ka x. Dokazimo da je x fiksna tačka preslikavanja f. Zaista, iz 0 d(x n, f(x)) = d(f(x n 1 ), f(x)) q d(x n 1, x), 5

7 a kako x n x, sledi x n f(x), kad n, te je f(x) = x. Dokazimo jedinstvenost fikse tačke. Ako bi postojala jos jedna fiksna tačka y X, y x, sa svojstvom f(y) = y, tada iz d(x, y) = d(f(x), f(y)) q d(x, y) sledi (1 q)d(x, y) 0, sto je suprotno predpostavci, jer je 0 q < 1. Dokaz Banachovog principa kontrakcije daje metod za nalaženje fiksne tačke x kontrakcije f. On se obično zove metod sukcesivnih aproksimacija, a sastoji se u tome da se polazeći od proizvolje tačke x 0 X ( nule aproksimacije ) formira niz x n = f(x n 1 ) koji konvergira ka x. Osim toga, kad u (1.1.1) uzmemo da m, sledi d(x n, x) a q n 1 q, gde je a = d(x 0, x 1 ), što daje procenu greške koja se čini ako se tačno rešenje x jednačine f(z) = z zameni približnom vrednošću x n. Sada ćemo navesti neke posledice Banachove teoreme. Posledica Neka je S zatvoren podskup kompletnog metričkog prostora (X, d) i neka je F : S S kontrakcija. Ako je x 0 S proizvoljna tačka i x n+1 = f(x n ), n 0, onda niz {x n } konvergira ka fiksnoj tački preslikavanja f. Posledica Neka je f : X X q-kontrakcija kompletnog metričkog prostora X i z X fiskna tačka preslikavanja f. Tada je: 1) niz {f n (x)} konvergentan za svako x X, i konvergira ka z; 2) d(x, z) d(x,fx) 1 q ; 3) d(f n x, z) qn d(x, fx); 1 q 4) d(f n+1 x, z) q d(fx, x); 5) d(f n+1 x, z) q 1 q d(f n x, f n+1 x). 6

8 Posledica Neka je (X, d) kompletan metrički prostor i f : X X preslikavanje tako da je f n kontrakcija za neko n 1. Tada jednačina fx = x ima jedinstveno resenje. Teorema (Brouwer) Svako neprekidno preslikavanje zatvorene jedinične kugle f : K[0, 1] K[0, 1], K[0, 1] R n ima fiksnu tačku. Teorema (Schauder) Svako neprekidno preslikavanje f : K K, kompaktnog, konveksnog podskupa K Banachovog prostora X ima fiksnu tačku. Proučavanje egzistencije zajedničkih fiksnih tačaka za dva ili više preslikavanja koja zadovoljavaju odredjene kontraktivne uslove ima veliki značaj. Jungck je godine u [2] dokazao teoremu o zajedničkoj fiksnoj tački za dva preslikavanja koja komutiraju i time uopštio Banachov princip kontrakcije. Potom, Das i Naik su u [7] uopštili rezultate Jungcka [2] i Ćirića [9]. Sessa [8] je godine uveo pojam slabo komutirajućih preslikavanja, čime je uopštio rezultate Jungcka [2] i Dasa i Naika [7]. Definicija Neka je (X, d) metrički prostor. Za dva preslikavanja f i g : X X kažemo da su slabo komutirajuća (komutativna) ako je d(fgx, gfx) d(fx, gx), za svako x X. 7

9 2 Fiksna tacka za parove preslikavanja 2.1 Rezultati Jungcka Već smo rekli da je Jungck prvi izložio teoremu o zajedničkoj fiksnoj tački za dva preslikavanja koja komutiraju, i upravo naredna teorema predstavlja taj rezultat. Teorema (Jungck [2]) Neka je f : X X neprekidno preslikavanje na kompletnom metričkom prostoru (X, d). Tada f ima fiksnu tačku u X ako i samo ako postoji λ (0, 1) i preslikavanje g : X X koje komutira sa f i zadovoljava uslove g(x) f(x) i d(g(x), g(y)) λd(f(x), f(y)), za svako x, y X (2.1.1) Osim toga, ako je ispunjen uslov (2.1.1), preslikavanja f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: Da bismo videli da je navedeni uslov potreban, pretpostavimo da je f(a) = a za neko a X. Definišimo preslikavanje g : X X sa g(x) = a za svako x X. Tada je g(f(x)) = a i f(g(x)) = a, x X. Prema tome, f(g(x)) = g(f(x)) za svako x X i g komutira sa f. Osim toga, g(x) = a = f(a) za svako x X, te je g(x) f(x). Ako je λ (0, 1) sledi d(g(x), g(y)) = d(a, a) = 0 λd(f(x), f(y)), x, y X te je uslov (2.1.1) ispunjen. Pretpostavimo sada da postoji preslikavanje g : X X koje komutira sa f i da je ispunjen uslov (2.1.1). Pokazaćemo da f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Neka je x 0 X. Iz g(x) f(x) sledi da postoji x 1 X tako da je f(x 1 ) = g(x 0 ). Definišimo niz x n tako da je Iz (2.1.1) i (2.1.2) sledi f(x n ) = g(x n 1 ) (2.1.2). d(gx n, gx n 1 ) = d(f(x n+1 ), f(x n )) λd(f(x n ), f(x n 1 )), n N Zato je f(x n ) Cauchyjev niz, i postoji t X tako da f(x n ) t (2.1.3) 8

10 Sada iz (2.1.2) sledi g(x n ) t (2.1.4) Kako je f neprekidno preslikavanje, iz (2.1.1) sledi da je i g neprekidna funkcija. Iz (2.1.3) i (2.1.4) sledi g(f(x n )) g(t) i f(g(x n )) f(t). Kako f i g komutiraju, sledi g(f(x n )) = f(g(x n )) za svako n. Zato je f(t) = g(t), a zbog komutativnosti imamo f(f(t)) = f(g(t)) = g(g(t)). Prema tome d(g(t), g(g(t))) λd(f(t), f(g(t))) = λd(g(t), g(g(t))), odnosno, g(t) = g(g(t)) = f(g(t)), tj. g(t) je zajednička fiksna tačka za f i g. Dokažimo da f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Pretpostavimo da je x = f(x) = g(x) i y = f(y) = g(y). Tada iz (2.1.1) sledi d(x, y) = d(g(x), g(y)) λd(f(x), f(y)) = λd(x, y), odnosno x = y. Posledica Neka su f, g : X X komutativna preslikavanja na kompletnom metričkom prostoru (X, d). Pretpostavimo da je f neprekidno i g(x) f(x). Ako postoji λ (0, 1) i k N tako da je d(g k (x), g k (y)) λd(f(x), f(y)), x, y X, tada f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: Očigledno g k komutira sa f i g k (X) g(x) f(x). Iz Teoreme sledi da postoji jedinstveno a X tako da je a = f(a) = g k (a). Zato što f i g komutiraju, sledi g(a) = f(g(a)) = g k (g(a)), te je g(a) zajednička fiksna tačka za f i g k. Iz jedinstvenosti a, sledi a = g(a) = f(a). Napomena: Banachov princip kontrakcije dobijamo iz prethodne posledice za k = 1 i ako je f = i identično preslikavanje i(x) = x, x X. Primetimo da se u Posledici ne zahteva neprekidnost funkcije g. Posledica Neka je n N i K > 1 realan broj. Ako je (X, d) kompletan metrički prostor, g : X X neprekidno preslikavanje i preslikavanje na, tako da je d(g n (x), g n (y)) Kd(x, y) za svako x, y X, tada g ima jedinstvenu fixnu tačku. 9

11 Dokaz: Dokaz sledi kad u Teoremi uzmemo λ = 1 K i f = gn+1. Posmatrajmo sada jedan primer u kome je Jungck [2] definisao dva preslikavanja tako da nijedno od njih nije kontrakcija. Samim tim, Banachova teorema nije primenjiva na njih. Osim toga, nijedno od tih preslikavanja nije ekspanzivno u smislu Posledice (za n=1). Medjutim, ta preslikavanja zadovoljavaju uslove Teoreme 2.1.1, pa imaju zajedničku fiksnu tačku. Primer ( Jungck[2]) Neka je X = R 2 Euklidov dvodimenzionalni prostor sa uobičajenom metrikom d. Za p = (x, y) X definišimo preslikavanja f, g : X X sa, g(p) = (7x, y + 4) i f(p) = (11x, y + 3). Tada je 3 2 f(g(p)) = (77x, y + 5) = g(f(p)), i zato f i g komutiraju. Može se dokazati 6 da je d(f(p), f(q)) 3 d(g(p), g(q)). 2 Prema tome, ako u Teoremi uzmemo λ = 2, sledi f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu 3 tačku. 2.2 Rezultati Dasa i Naika Das i Naik su godine u radu [7] uopštili pojedine rezultate Jungcka [2] i Ćirića [9], i neke od tih rezultata ćemo izložiti u ovoj sekciji. Nadalje pretpostavimo sledeće: Neka je (X, d) kompletan metrički prostor, f, g : X X i g(x) f(x). (2.2.1) Ako x 0 X izaberimo x 1 X tako da je g(x 0 ) = f(x 1 ), i definišimo niz x n X tako da je g(x n ) = f(x n+1 ), n = 0, 1, Neka je y n = g(x n ) = f(x n+1 ), n = 0, 1, 2..., O(y k ; n) = {y k, y k+1,..., y k+n } i δ(e) = diam(e) diametar podskupa E X. Pretpostavimo da postoji konstanta λ (0, 1) tako da je za svako x, y X, d(gx, gy) λ max{d(fx, fy), d(fx, gx), d(fx, gy), d(fy, gy), d(fy, gx)}. (2.2.2) Lema Za k 0 i n N, pretpostavimo da je δ(o(y k ; n)) > 0. Tada postoji j N, k < j k + n, tako da je δ(o(y k, n)) = d(y k, y j ). Osim toga δ(o(y k ; n)) λδ(o(y k 1 ; n + 1)) (k 1). (2.2.3) 10

12 Dokaz: Neka je 1 i < j. Tada je d(y i, y j ) = d(gx i, gx j ) λ max{d(fx i, fx j ), d(fx i, gx i ), d(fx j, gx j ), d(fx i, gx j ), d(fx j, gx i )} = λ max{d(y i 1, y j 1 ), d(y i 1, y i ), d(y j 1, y j ), d(y i 1, y j ), d(y j 1, y i )}. Sledi d(y i, y j ) λδ(o(y i 1, j i + 1)). (2.2.4) Primetimo da je δ(o(y k ; n)) = d(y i, y j ), gde i, j N i k i < j k + n. Ako je i > k, iz (2.2.4) sledi δ(o(y k ; n)) λδ(o(y i 1 ; j i + 1)) za i 1 k i j k + n. Prema tome δ(o(y k ; n)) λδ(o(y k ; n)), što je kontradikcija. Sledi i = k. Osim toga, δ(o(y k ; n)) = d(y k, y j ) λδ(o(y k 1 ; j k + 1)) λδ(o(y k 1 ; n + 1)). Lema Ako važe pretpostavke prethodne leme, tada je δ(o(y k ; n)) λk 1 λ d(y 0, y 1 ). (2.2.5) Dokaz: Za j 1 + m važi δ(o(y l ; m)) = d(y l, y j ) d(y l, y 1+l ) + d(y 1+l, y j ) d(y l, y 1+l ) + δ(o(y 1+l ; m 1)), Prema tome, iz (2.2.4) sledi δ(o(y l ; m)) d(y l, y 1+l ) + λδ(o(y l ; m)), 11

13 odnosno Iz (2.2.3) sledi δ(o(y l ; m)) 1 1 λ d(y l, y 1+l ). (2.2.6) δ(o(y k ; n)) λ k δ(o(y 0 ; n + k)), a iz (2.2.6) za l = 0, m = n + k, sledi (2.2.5). Teorema (Das i Naik [7]) Neka je X kompletan metrički prostor, f : X X neprekidno preslikavanje i g : X X preslikavanje koje komutira sa f. Pretpostavimo da je g(x) f(x) i da postoji konstanta λ (0, 1) tako da je za svako x, y X, gde je d(gx, gy) λ M(x, y), (2.2.7) M(x, y) = max{d(fx, fy), d(fx, gx), d(fx, gy), d(fy, gy), d(fy, gx)}. Tada f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: Dovoljno je pokazati da postoji y X tako da je f(y) = g(y). U tom slučaju, iz d(ggy, gy) λ max{d(fgy, gy), d(fgy, ggy), d(fy, gy), d(fgy, gy), d(fy, ggy)} = λd(ggy, gy) sledi g(y) je fiksna tačka za g. Kako je f(gy) = g(fy) = g(gy) = g(y), to je g(y) takodje fiksna tačka i za f. Ako je za neko n i k, δ(o(y k ; n)) = 0, sledi y k = y k+1, tj. f(x k+1 ) = g(x k+1 ). Neka je δ(o(y k, n)) > 0. Za dato ϵ > 0, neka je n 0 N tako da je λ n 0 d(y 0, y 1 ) < (1 λ)ϵ. Sada iz Leme 2.2.2, za m > n n 0 sledi d(y m, y n ) δ(o(y n0 ; m n 0 )) < ϵ. Prema tome, {y n } je Cauchyev niz na kompletnom metričkom prostoru, pa je konvergentan. Neka je y njegova granica. Na osnovu neprekidnosti funkcije f, {f(y n )} konvergira ka f(y). Kako je g(y n ) = f(y n+1 ), n N, sledi lim n g(y n ) = f(y). Iz d(fy n+1, gy) = d(gy n, gy) λ max{d(fy n, fy), d(fy n, gy n ), d(fy, gy), d(fy n, gy), d(fy n, gy n )} 12

14 kad n, sledi d(fy, gy) λd(fy, gy), odnosno, fy = gy. Jedinstvenost zajedničke fiksne tačke sledi neposredno iz (2.2.7). Teorema Neka je (X, d) kompletan metrički prostor. Neka f : X X i neka je f 2 neprekidno preslikavanje. Neka g : f(x) X, gf(x) f 2 (X) (2.2.8) i f(g(x)) = g(f(x)) uvek kada su obe strane jednakosti definisane. Dalje, neka postoji broj λ (0, 1) takav da važi (2.2.7) za svako x, y X. Onda f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: Polazeći od proizvoljne tačke x 0 f(x) i koristeći uslov (2.2.8), konstruišemo niz tačaka {x n } iz f(x) takav da je f(x n+1 ) = g(x n ) = y n. Primetimo da je f(y n ) = f(g(x n )) = g(f(x n )) = g(y n 1 ) = z n. Iz Leme i Leme sledi δ(o(z k ; n)) λk 1 λ d(z 0, z 1 ), k 0, n N. Zato je {z n } Cauchyev niz u X, i prema tome postoji z X tako da je lim n z n = z. Iz neprekidnosti f 2, sledi lim n f 2 (z n ) = f 2 (z). Osim toga iz gf(z n ) = gf(f 2 x n+1 ) = f 2 (f(gx n+1 )) = f 2 (z n+1 ) sledi lim n gf(z n ) = f 2 (z). Kad n iz d(f 2 z n+1, gfz) = d(gfz n, gfz) λ max{d(f 2 z n, f 2 z), d(f 2 z n, gfz n ), d(f 2 z, gfz), d(f 2 z n, gfz), d(f 2 z, gfz n )} sledi d(f 2 z, gfz) λd(f 2 z, gfz), odnosno f 2 z = gfz. Sada je d(g(gfz), gfz) λ max{d(fgfz, f 2 z), d(fgfz, ggfz), d(f 2 z, gfz), d(fgfz, gfz), d(f 2 z, ggfz)} λd(g(gfz), gfz), odnosno g(gfz) = gfz. Zato je f(gfz) = (fg)(fz) = (gf)(fz) = g(f 2 z) = g(gfz) = gfz, te je gfz fiksna tačka preslikavanja f. Prema tome f i g imaju zajedničku fiksnu tačku. Jedinstvenost sledi iz (2.2.7). Kao posledicu dobijamo sledeću teoremu. 13

15 Teorema (Das i Naik [7]) Neka važe sve pretpostavke Teoreme osim uslova neprekidnosti preslikavanja f. Neka je f 2 neprekidno preslikavanje. Tada f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: Iz f(x) g(x) sledi f 2 (X) f(g(x)) = g(f(x)), te je ispunjen uslov (2.2.8). Kako je i uslov (2.2.7) ispunjen, dokaz sledi iz prethodne teoreme. Sledeći primer pokazuje da su Das i Naik zaista uopštili rezultat Jungcka. Primer Neka je X = (, ) sa uobičajenom metrikom. Definišimo funkcije f, g : X X sa 1, x (, 1], f(x) = x, x ( 1, 1), 1, x [1, ). i 1+x, x ( 1, 0), 2 1 x g(x) =, x (0, 1), 2 0, x (, 1] [1, ). Očigledno je f prekidna funkcija, i sve ostale pretpostavke iz Teoreme su ispunjene. Prema tome, Jungckova teorema se ne može primeniti, ali kako je f 2 neprekidna funkcija, to jedinstvena zajednička fiksna tačka za funkcije f i g postoji na osnovu Teoreme i to je broj 1 3. Na sličan način dokazujemo i sledeću teoremu. Teorema Neka je (X,d) kompletan metrički prostor, f : X X, i m N tako da je f m neprekidna funkcija. Neka je g : f m 1 (X) X, g(f m 1 (X)) f m (X) i neka f i g komutiraju. Pretpostavimo još da postoji λ (0, 1) tako da je uslov (2.2.7) ispunjen za svako x, y f m 1 (X). Tada f i g imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. 2.3 Teoreme o postojanju fiksnih tačaka za parove skupovno vrednosnih preslikavanja na metričkom prostoru U ovoj sekciji izložićemo dve teoreme o postojanju fiksnih tačaka za parove skupovno vrednosnih preslikavanja na metričkom prostoru: 14

16 (i) kada je prostor kompletan i preslikavanja zadovoljavaju opšti kontraktivni uslov i (ii) kada je prostor kompaktan i preslikavanja zadovoljavaju odredjeni kontraktivni uslov. Prva teorema je uopštenje teoreme Fishera [10] za preslikavanja. Nadalje u ovoj sekciji pretpostavimo sledeće: (1) (X, d) je metrički prostor; (2) B(X) je skup svih nepraznih ograničenih podskupova od X; (3) F, G : X B(X); (4) Za neprazni podskup A skupa X: F (A) = x A F x i F n A = x F n 1 (A) (5) Za neprazne podskupove A, B skupa X: (6) Za a X i neprazan B X, δ(a, B) = sup{d(x, y) x A, y B}; δ(a, B) = δ(b, a) = δ({a}, B); F x (n = 2, 3,...); (7) Za A X i ϵ > 0: A ϵ = {x X d(x, a) < ϵ za neko a X} i Ā je zatvorenje od A; (8) R + je skup svih nenegativnih realnih brojeva; (9) Za sve neprazne podskupove A, B, C skupa X jednostavno se pokazuje da važi: δ(a, B) = δ(b, A) i δ(a, B) δ(a, C) + δ(c, B). Definicija (Fisher [11]) Niz {A n } podskupova skupa X konvergira ka podskupu A X ako: 15

17 (i) za dato a X postoji niz {a n } u X tako da a n A n, n = 1,2,... i {a n } konvergira ka a. (ii) za dato ϵ > 0 postoji prirodan broj N tako da je A n A ϵ, n N. Lema (Fisher [11]) Ako nizovi {A n } i {B n } iz B(X) konvergiraju ka skupovima A i B iz B(X), respektivno, tada niz {δ(a n, B n )} konvergira ka δ(a, B). Definicija (Fisher [11]) Preslikavanje F je neprekidno u tački x X ako za svaki niz tačaka {x n } iz X koji konvergira ka tački x niz {F x n } konvergira ka F x. F je neprekidno preslikavanje na skupu X ako je neprekidno u svakoj tački tog skupa. Definicija Za prirodan broj α, preslikavanje F α je neprekidno u tački x X ako za svaki niz tačaka {x n } koji je konvergentan u X i čija je granica x niz {F α x n } konvergira ka F α x i niz {F α x n } je u B(X). Definicija (Kaulgud i Pai [12]) Tačka x X je fiksna tačka preslikavanja F ako je x F x. Teorema Pretpostavimo da je (X, d) kompletan metrički prostor i δ(f p x, G q y) ϕ(max{δ(f r x, G s y) 0 r p, 0 s q}) (2.3.1) za svako x, y X, pri čemu su p i q fiksirani prirodni brojevi i ϕ : [0, ) [0, ) rastuća funkcija za koju je ϕ(t+) < t, t (0, ), ϕ( ) = i lim t [t ϕ(t)] =. Pretpostavimo još da postoje x 0, y 0 X takvi da su nizovi {F n x 0 } i {G n y 0 } u B(X). Tada postoji jedinstvena tačka z X takva da nizovi {δ(f n x, z)} i {δ(g n y, z)} konvergiraju ka nuli za svako x, y X za koje su {F n x} i {G n y} u B(X). Važe i sledeća tvrdjenja: (1) Ako w F w i {F n w} je u B(X) tada je w = z. (2) Ako je p = 1 tada je F z = {z}. (3) Ako je F α neprekidno u tački z za neki prirodan broj α i F i z B(X) za i = 2,..., α 1 tada je F z = {z}. (4) Tvrdjenja (1),(2) i (3) važe kada se p i F zamene sa q i G, respektivno. 16

18 Dokaz: Neka su x, y X takvi da su nizovi {F n x} i {G n y} u B(X). Neka je β n = max{δ(f i x, G q y) 0 i n} (n = 0, 1, 2,...) i α 1 = max{δ(g s x, G q y) 0 s q}. Za i p iz izraza (2.3.1) imamo δ(f i x, G q y) ϕ(max{δ(f r x, G s y) i p r i, 0 s q}). Kako je δ(f r x, G s y) δ(f r x, G q y) + δ(g q y, G s x), iz prethodnog sledi Dalje δ(f i x, G q y) ϕ(β n + α 1 ) za p i n. β n ϕ(β n + α 1 ) + β p 1 (n = 0, 1, 2,...). Pošto je lim t [t ϕ(t)] =, iz gore navedenog sledi da je {β n } ograničen. Odavde je sup{δ(f i x, G q y) i 0} < +. Na sličan način se može pokazati da je Dakle, Neka je sup{δ(f p x, G j y) j 0} < +. sup{δ(f i x, G j y) i 0, j 0} < +. γ n = sup{δ(f i x, G j y) i, j n} (n = 1, 2,...). Tada je {γ n } opadajući niz nenegativnih realnih brojeva i sledi da {γ n } konvergira ka nekom nenegativnom realnom broju γ. Za i p i j q, iz izraza (2.3.1) imamo δ(f i x, G j y) ϕ(max{δ(f r x, G s y) i p r i, j q s j}). Sledi γ n ϕ(γ n N ), n N, gde je N = max{p, q}. Uzimajući graničnu vrednost sa obe strane kad n dobijamo γ ϕ(γ+). S obzirom da je ϕ(t+) < t, t (0, ), mora biti γ = 0. Neka su {u n }, {v n } nizovi u X takvi da je u n F n x 0 i v n G n y 0 (n = 0, 1, 2,...). 17

19 Dobijamo d(u n, u m ) d(u n, v n ) + d(v n, u m ) δ(f n x 0, G n x 0 ) + δ(f m x 0, G n x 0 ). Kako δ(f n x 0, G m x 0 ) 0 kada n, m sledi da je {u n } Cauchyev niz. Pošto je (X, d) kompletan metrički prostor, niz {u n } konvergira ka nekom z iz X. S obzirom da {d(u n, v n )} konvergira ka nuli, zaključujemo da i niz {v n } konvergira ka z. Imamo δ(f n x, z) δ(f n x, v n ) + d(v n, z) δ(f n x, G n y 0 ) + d(v n, z) Sledi {δ(f n x, z)} konvergira ka nuli za svako x X za koje je {F n x} u B(X). Slično se pokazuje da {δ(g n y, z)} teži nuli. Jedinstvenost z je očigledna. 1. Pretpostavimo da je w F w i {F n w} u B(X). Tada w F n w za svako n = 1,2,... i {δ(f n w, z)} konvergira ka nuli. Sledi da je w = z. 2. Pretpostavimo p = 1. Tada za j q, iz izraza (2.3.1) imamo δ(f z, G j y 0 ) ϕ(max{δ(z, G s y 0 ), δ(f z, G s y 0 ) j q s j}). Uzimajući u prethodnom izrazu graničnu vrednost sa obe strane kada n dobijamo δ(f z, z) ϕ(δ(f z, z)+) odakle zaključujemo da je δ(f z, z) = 0. Sledi F z = {z}. 3. Neka je α prirodan broj. Pošto je u n F n x 0 B(X) za svako n N, imamo da je F α u n F n α x 0 B(X) za svako n N. Iz činjenice da {δ(f n x 0, z)} konvergira ka nuli sledi da {δ(f α u n, z)} konvergira ka nuli. Odatle sledi da {F α u n } konvergira ka {z}. Pretpostavimo da je F α neprekidno u z. Tada {F α u n } konvergira ka F α z. Zaključujemo da mora da važi F α z = {z}. Sada pretpostavimo da F i z B(X) za i = 2,..., α 1. Tada {F n z} leži u B(X) i još sledi da {δ(f n z, z)} konvergira ka nuli. Ali F nα+1 z = F z, n = 1,2,..., pa mora biti F z = {z}. Napomena: Koristeći (1) Teoreme može se pokazati da postoji jedinstveno z X takvo da nizovi {δ(f n A, z)} i {δ(g n B, z)} konvergiraju ka nuli za sve podskupove A, B od X za koje važi da su {F n A} i {G n B} u B(X). 18

20 Posledica Neka je (X, d) kompletan metrički prostor i f, g : X X takva da je d(f p x, g q y) ϕ(max{d(f r x, g s y) 0 r p, 0 s q}) za svako x, y X, pri čemu su p, q fiksirani prirodni brojevi i ϕ : R + R + rastuća funkcija za koju važi ϕ(t+) < t, t (0, ) i lim t [t ϕ(t)] =. Tada postoji jedinstveno z X takvo da nizovi {f n x} i {g n y} konvergiraju ka z za svako x X. Važe i sledeća tvrdjenja. (1) Ni f ni g nemaju drugu fiksnu tačku osim z. (2) Ako je p = 1 ili je f k neprekidno u tački z za neki prirodan broj k, tada je fz = z. (3) Ako je q = 1 ili je g k neprekidno u tački z za neki prirodan broj k, tada je gz = z. Naredni primer pokazuje da je u Posledici neophodan uslov lim t [t ϕ(t)] = i da se ne može odbaciti čak ni kada je f = g i p = q = 1. Primer Neka je X = [1, ) sa uobičajenom metrikom. Definišimo f : X X sa fx = 2x i ϕ : R + R + sa ϕ(t) = 2t 1 + 2t t. Tada je ϕ rastuća neprekidna funkcija na R + i Još je ϕ(t) < t t (0, ) i lim t [t ϕ(t)] = 1 2 ; fx fy ϕ(max{ x y, fx y, x fy }) x, y X. Ali, za svako x X, niz {f n x} divergira ka +. Naredni primer pokazuje da se u Posledici ne može pokazati postojanje fiksne tačke za f u odsustvu uslova neprekidnosti za f k, ukoliko je p > 1, čak i ako je f = g i ϕ(t) = (1/2)t (t R + ). 19

21 Primer Neka je X = { 1, 0, 1, 1/2, 1/2 2,...} sa uobičajenom metrikom. Definišimo f : X X sa Tada je f( 1) = 1 2, f(0) = 1, f( 1 2 ) = 1 (n = 0, 1, 2,...). n 2n+1 f 2 x f 2 y 1 max({ x y, fx y, x fy }) 2 za svako x, y X. Očigledno, f nema fiksnu tačku. Posmatraćemo još jedan primer u kome se pokazuje da se uslov F i z B(X), i = 2,..., α 1 u uslovu (3) Teoreme ne može odbaciti čak i kada je F = G i ϕ(t) = (t/2)(t R + ). Primer takodje pokazuje da se uslov {F n w} je u B(X) ne može odbaciti iz uslova (1) Teoreme Primer Neka je X = [0, ) sa uobičajenom metrikom. Definišimo F : X B(X) sa [1, 2], ako je x = 0, { x }, ako je 0 < x < 1, 2 [3, 7], ako je x = 1, F x = 7 [3, ], ako je 1 < x 2, x 1 [1, 3], ako je 2 < x < 3, {0}, ako je 3 x <. Tada je δ(f 3 x, F 3 y) 1 2 max{δ(f r x, F s y) 0 r, s 3} za svako x, y X. {F n x} je u B(X) ako i samo ako je 0 < x < 1 i {δ(f n x, 0)} konvegira ka nuli za svako x (0, 1). F 3 je neprekidno u nuli. F 2 0 = [3, ) i F 3 0 = {0}. Sada ćemo dokazati teoremu analognu Teoremi na kompaktnim metričkim prostorima. Pre toga ćemo dokazati sledeću lemu. Lema Pretpostavimo da je (X,d) kompaktan metrički prostor i F neprekidno na X. Neka je {A n } niz u B(X) koji konvergira ka nekom A iz B(X). Tada {F A n } konvergira ka F A. Dokaz: Neka je y F A. Tada x A y F x. Pošto niz {A n } konvergira ka A, postoji niz {x n } iz X takav da x n A n, za svako n N 20

22 i {x n } konvergira ka x. Kako je F neprekidno na X, {F x n } konvergira ka F x. Sledi da postoji niz {y n } iz X tako da y n F x n, za svako n N i {y n } konvergira ka y. Dakle, za svaku tačku y iz F A, postoji niz {y n } iz X tako da je y n F A n, za svako n N i {y n } konvergira ka y. Pretpostavimo sada da {F A n } ne konvergira ka F A. Tada postoji ϵ > 0 i strogo rastući niz {η k } prirodnih brojeva tako da je F A ηk (F A) ϵ (k = 1, 2,...). Sledi da postoje nizovi {x k } i {y k } iz X, takvi da je x k A ηk, y k F x k i y k (F A) ϵ (k = 1, 2,...). Kako je po pretpostavci (X, d) kompaktan metrički prostor, nizovi {x k } i {y k } imaju konvergentne podnizove. Bez gubljenja opštosti možemo pretpostaviti da su {x k } i {y k } konvergentni i da su njihove granične vrednosti x i y, respektivno. S obzirom na to da {A n } konvergira ka A, jasno je da x A. Kako je još F neprekidno na X, niz {F x k } konvergira ka F x. Sledi da y F x F (A). Opet, zbog neprekidnosti F imamo da je F (A) F (A). Sledi y F (A) i još y k (F A) ϵ za svako dovoljno veliko k. To je kontradikcija sa pretpostavkom. Zaključujemo, {F A n } konvergira ka F A. Teorema Pretpostavimo da je (X, d) kompaktan metrički prostor, F i G neprekidne na X i δ(f p x, G q y) < max{δ(f r x, G s y) 0 r p, 0 s q} (2.3.2) za svako x, y iz X za koje je desna strana izraza (2.3.2) pozitivna, pri čemu su p, q fiksirani prirodni brojevi. Tada postoji jedinstveno z X takvo da je F z = {z} i Gz = {z}. Dalje ako je ili F w = {w} ili Gw = {w} onda je w = z. Dokaz: Slučaj (i). Postoji konstanta c [0, 1) takva da je δ(f p x, G q y) c max{δ(f r x, G s y) 0 r p, 0 s q} za svako x, y X. U tom slučaju, dokaz sledi direktno iz Teoreme Slučaj (ii). Ne važi slučaj (i). Tada postoji rastući niz {c n } nenegativnih realnih brojeva koji konvergira ka 1 i nizovi {u n } i {v n } iz X takvi da je δ(f p u n, G q v n ) c n max{δ(f r u n, G s v n ) 0 r p, 0 s q} (2.3.3) 21

23 za svako n = 1, 2,.... Kako je (X, d) kompaktan metrički prostor, nizovi {u n } i {v n } imaju konvergentne podnizove. Bez gubljenja opštosti, možemo pretpostaviti da su {u n } i {v n } konvergentni i da su njihove granične vrednosti u i v, respektivno. Pošto su F i G neprekidne na X i (X, d) je kompaktan, iz Leme sledi da su F i i G j neprekidne na X za prirodne brojeve i i j. Dalje, uzimajući graničnu vrednost sa obe strane (2.3.3) kad n, dobijamo δ(f p u, G q v) max{δ(f r u, G s v) 0 r p, 0 s q}. Sada iz pretpostavke sledi da je desna strana gore navedene nejednakosti nula. Sledi {u} = Gv = F u = {v}, F z = {z} = Gz, gde je z = u = v. Pretpostavimo F w = {w}. Tada za x = w i y = z, izrazi sa obe strane nejednakosti (2.3.2) su jednaki d(w, z), dakle d(w, z) = 0. Sledi w = z. Na sličan način dokazujemo da je w = z kada je Gw = {w}. 2.4 Teoreme o postojanju fiksnih tačaka za parove preslikavanja koja zadovoljavaju opšti kontraktivni uslov integralnog tipa U ovoj sekciji predstavićemo opšti uslov koji omogućava jednostavno formiranje teorema fiksnih tačaka za parove preslikavanja koja zadovoljavaju kontraktivnu nejednakost integralnog tipa. Branciari [13] je pokazao postojanje fiksne tačke za preslikavanja koja zadovoljavaju uslov analogan Banachovom principu kontrakcije za nejednakost integalnog tipa. Rhoades [14] je dokazao dve teoreme o fiksnim tačkama koje uključuju opštije kontraktivne uslove. U ovoj sekciji ćemo uspostaviti opšti princip, koji omogućava dokazivanje mnogih teorema o fiksnim tačkama za parove preslikavanja integralnog tipa. Definišimo Φ = {φ : φ : R + R} gde je φ nenegativan, Lebegov integral i zadovoljava uslov ϵ 0 φ(t)dt > 0 za svako ϵ > 0. (2.4.1) 22

24 Neka je ψ : R + R + takva da važi (i) ψ je nenegativna i neopadajuća na R +, (ii) ψ(t) < t za svako t > 0, (iii) n=1 ψn (t) < za svako fiksirano t > 0. Definišimo Ψ = {ψ : ψzadovoljava(i) (iii)}. Lema Neka je (X,d) metrički prostor i S, T : X X data preslikavanja. Pretpostavimo da postoji niz {x n } X definisan sa x 0 X, x 2n+1 := Sx 2n, x 2n+2 := T x 2n+1, tako da je {x n } kompletan i postoji k [0, 1) tako da važi d(sx,t y) d(x,y) φ(t)dt ψ( φ(t)dt) (2.4.2) 0 za svako x, y {x n }, x y koji zadovoljavaju ili x = T y ili y = Sx, pri čemu su φ Φ, ψ Ψ. Tada, ili (a) S ili T ima fiksnu tačku u {x n } ili (b) {x n } konvergira ka nekoj tački p X i 0 d(xn,p) 0 φ(t)dt ψ i (d) za n > 0, (2.4.3) i=n gde je d := d(x0,x 1 ) 0 φ(t)dt. (2.4.4) Dokaz: Pretpostavimo da je x 2n+1 = x 2n za neko n. Tada je x 2n = x 2n+1 = Sx 2n, i x 2n je fiksna tačka preslikavanja S. Slično, ako je x 2n+2 = x 2n+1 za neko n, tada je x 2n+1 fiksna tačka preslikavanja T. Sada pretpostavimo da je x n x n+1 za svako n. Za x = x 2n i y = x 2n+1 iz (2.4.2) sledi d(x2n+1,x 2n+2 ) 0 φ(t)dt ψ( d(x2n,x 2n+1 ) 0 φ(t)dt). (2.4.5) 23

25 Zamenom x = x 2n i y = x 2n 1, iz (2.4.2) sledi d(x2n+1,x 2n ) Tako, za svako n 0, imamo d(xn,x n+1 ) 0 0 φ(t)dt ψ( φ(t)dt ψ( d(xn 1,x n) 0 d(x2n,x 2n 1 ) 0 φ(t)dt). (2.4.6) φ(t)dt)... ψ n (d). (2.4.7) Neka su m, n N, m > n. Tada, koristeći nejednakost trougla imamo da je d(x n, x m ) Indukcijom se može pokazati da važi d(xn,x m ) 0 φ(t)dt Korišćenjem (2.4.7) i (2.4.9) dobijamo m 1 i=n m 1 i=n d(x i, x i+1 ). (2.4.8) d(xi,x i+1 ) 0 φ(t)dt. (2.4.9) d(xn,x m ) 0 φ(t)dt ψ i (d) i=n ψ i (d). (2.4.10) i=n Uzimajući graničnu vrednost u izrazu (2.4.10) kada m, n i koristeći uslov (iii) za ψ, zaključujemo da je niz {x n } Cauchyev, dakle konvergentan, jer je X kompletan. Neka je p granična vrednost tog niza. Kada u izrazu (2.4.10) pustimo da m dobijamo (2.4.3). Teorema Neka je (X, d) kompletan metrički prostor i S, T : X X data preslikavanja tako da za svako x, y X, x y važi d(sx,t y) 0 φ(t)dt ψ( pri čemu je k [0, 1), φ Φ, ψ Ψ, i M(x, y) := max{d(x, y), d(x, Sx), d(y, T y), M(x,y) Tada S i T imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. 0 φ(t)dt), (2.4.11) [d(x, T y) + d(y, Sx)] }. (2.4.12) 2 24

26 Dokaz: Prvo ćemo pokazati da svaka fiksna tačka od S je i fiksna tačka od T, i obrnuto. Neka je p = Sp. Tada M(p, p) = max{0, 0, d(p, T p), i tada iz (2.4.11) sledi d(p,t p) iz koje, iz (2.4.1), sledi p = T p. Slično, p = T p povlači p = Sp. 0 φ(t)dt ψ( d(p, T p) } = d(p, T p), (2.4.13) 2 d(p,t p) Sada ćemo pokazati da S i T zadovoljavaju uslov (2.4.2). M(x, Sx) = max{d(x, Sx), d(x, Sx), d(sx, T Sx), Iz nejednakosti trougla je 0 φ(t)dt), (2.4.14) [d(x, T Sx) + 0] }. (2.4.15) 2 d(x, T Sx) 2 Stoga, (2.4.11) postaje [d(x, Sx) + d(sx, T Sx)] 2 max{d(x, Sx), d(sx, T Sx)}. (2.4.16) d(sx,t Sx) 0 φ(t)dt k a to je kontradikcija u odnosu na (2.4.1). d(sx,t Sx) 0 φ(t)dt, (2.4.17) Zato, za svako x X, M(x, Sx) = d(x, Sx), i (2.4.2) važi. Ako važi uslov (a) Leme 2.4.1, onda S ili T ima fiksnu tačku. Medjutim, pokazali smo da svaka fiksna tačka od S je ujedno i fiksna tačka od T, i obrnuto. Stoga, možemo zaključiti da S i T imaju zajedničku fiksnu tačku. Pretpostavimo sada da važi uslov (b) Leme Tada, iz (2.4.3) sledi d(sx2n,t p) 0 φ(t)dt ψ( d(x2n,p) što ukazuje da je, pošto je X kompletan, lim d(sx 2n, T p) = 0. 0 φ(t)dt), (2.4.18) 25

27 Sledi da je d(p, T p) d(p, Sx 2n ) + d(sx 2n, T p) 0, (2.4.19) i p je fiksna tačka za T, samim tim i fiksna tačka za S. Jedinstvenost fiksne tačke sledi neposredno iz uslova (2.4.11). Svakom kontraktivnom uslovu integralnog tipa automatski možemo pridružiti odgovarajući kontraktivni uslov koji ne uključuje integrale, stavljajući da je φ(t) 1 na R +. Postoje mnogi kontraktivni uslovi integralnog tipa koji zadovoljavaju (2.4.2). Tu se nalaze i analozi mnogih kontraktivnih uslova koji uključuju racionalne izraze i/ili proizvod rastojanja. Posledica Neka je (X,d) kompletan metrički prostor i S, T : X X data preslikavanja takva da za svako x, y X, x y važi gde je φ Φ, k [0, 1),i d(sx,t y) 0 n(x, y) := max{ φ(t)dt k n(x,y) 0 φ(t)dt, (2.4.20) d(y, T y)[1 + d(x, Sx)], d(x, y)}. (2.4.21) 1 + d(x, y) Tada S i T imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: n(x, Sx) = max{d(sx, T Sx), d(x, Sx)}. (2.4.22) Kao u dokazu Teoreme 2.4.2, jednostavno je pokazati da je svaka fiksna tačka od S ujedno i fiksna tačka od T, i obrnuto. Ako je n(x, Sx) = d(sx, T Sx), tada argument sličan onom u Teoremi dovodi do kontradikcije. Zato je n(x, Sx) = d(x, Sx), i ili S i T imaju zajedničku fiksnu tačku ili je uslov (2.4.3) zadovoljen. U poslednjem slučaju, gde je lim x n = p, n(p, p) = 0, tako da iz (2.4.20) sledi da je p fiksna tačka za S, samim tim i od T. Jedinstvenost p se lako pokazuje. Posmatraćemo sad jedan primer. Primer Neka je X := {1/n : n N {0}} sa Euklidskom metrikom i S, T : X X preslikavanja definisana sa S( 1 1 ako je n neparan, n ) = n+1 1, ako je n paran, n+2 0, ako je n =, 26

28 T ( 1 n ) = 1 ako je n paran, n+1 1 n+2, ako je n neparan, 0, ako je n =, (2.4.23) Za svako n, definišimo x 2n+1 = Sx 2n,x 2n+2 = T x 2n+1. Za x 0 = 1, neka O(1) označava orbitu za x 0 = 1, tj. O(1) = {1, 1/2, 1/3,...} i O(1) = O(1) {0} = X. Za x, y O(1), y = 1/m, m paran i x = 1/n = T y = 1/(m + 1), Sx = 1/(m + 2), tako da d(sx, T y) = 1 m m + 1 = 1 m m + 2 = 1 (m + 1)(m + 2), d(x, y) = 1 n 1 m = 1 m n = 1 m 1 m + 1 = 1 m(m + 1) Dakle d(sx, T y) d(x, y) = m m + 2 (2.4.24) 1. (2.4.25) Takodje je d(sx, T y) sup = 1, (2.4.26) n N d(x, y) tako da ne postoji broj c [0, 1) tako da je d(sx, T y) cd(x, y) za x, y O(1) i x = T y. Primetimo, pretpostavka Leme je zadovoljena. Kako bismo to pokazali, pokazaćemo da je uslov (2.4.2) zadovoljen za neko φ Φ. Prvo ćemo pokazati da za bilo koje x = 1/n, y = 1/m O(1) koje zadovoljava ili x = T y ili y = Sx, d(sx, T y) 1 n m + 1. (2.4.27) Postoje 4 slučaja. Slučaj 1. y = 1/m, m paran, x = 1/n = T y = 1/(m + 1), i Sx = 1/(m + 2). Tada je d(sx, T y) = 1 m m + 1 = 1 n m + 1. (2.4.28) Slučaj 2. y = 1/m, m neparan, x = 1/n = T y = 1/(m + 2), i Sx = 1/(m + 3). Tada je d(sx, T y) = 1 m m + 2 = 1 m m

29 1 m m + 3 = 1 n m + 1. (2.4.29) Slučaj 3. x = 1/n, n paran, y = 1/m = Sx = 1/(n+2), i T y = 1/(n+3). Tada je d(sx, T y) = 1 n n + 3 = 1 n n n n + 3 = 1 n n + 3. (2.4.30) Slučaj 4. x = 1/n, n neparan, y = 1/m = Sx = 1/(n + 1), i T y = 1/(n + 2). Tada je d(sx, T y) = 1 n n + 2 = 1 n m + 1. (2.4.31) Sledi da je u svim slučajevima uslov (2.4.20) zadovoljen. Definišimo φ sa φ(t) = t 1/2 2 [1 log t] za t > 0 i φ(0) = 0. Tada, za svako τ > 0, i φ Φ. τ Korišćenjem [[13], Primer3.6], d(sx,t y) 0 1 n m n 1 m 0 φ(t)dt = τ 1/τ, (2.4.32) 1/d(Sx,T y) φ(t)dt d(sx, T y) 1/ (1/n) (1/m) 1/ (1/n+1) (1/m+1) = d(x, y) 1/d(x,y) (2.4.33) za svako x, y kao u Lemi i uslov (2.4.2) je zadovoljen za ψ(t) = t/ Teoreme o postojanju zajedničkih fiksnih tačaka za parove podkompatibilnih preslikavanja U ovoj sekciji ćemo predstaviti novi koncept podkompatibilnosti i podsekvencijalnu neprekidnost koja je slabija od obične slabe kompatibilnosti i 28

30 od recipročne neprekidnosti, respektivno. Uz pomoć njih ćemo definisati teoremu o postojanju zajedničke fiksne tačke četiri preslikavanja u metričkom prostoru koja poboljšava skorije rezultate do kojih su došli Jungck i Rhoades [5]. Definisaćemo još i teoremu o postojanju zajedničke fiksne tačke za dva para podkompatibilnih preslikavanja Greguš tipa koja proširuje rezultate iz rada [15] i [16]. Ovu sekciju završavamo predstavljanjem trećeg rezultata koji generalizuje rezultate rada [19] Istorijski pregled i uvodni pojmovi Neka je (X, d) metrički prostor i neka su f i g dva preslikavanja iz (X, d) u sebe. f i g komutiraju ako je fgx = gfx za svako x X. Kako bi generalizovali pojam komutirajućih preslikavanja, podsetimo da je Sessa [8] uveo koncept slabokomutirajućih preslikavanja. Po njegovoj definiciji f i g slabo komutiraju ako važi d(fgx, gfx) d(fx, gx) za svako x X. Očigledno, komutirajuća preslikavanja su slabokomutirajuća, ali obrnuto nije tačno godine Jungck [3] je dao uopštenje komutirajućih i slabokomutirajućih preslikavanja, i nazvao ih kompatibilnim preslikavanjima. Preslikavanja f i g se nazivaju kompatibilnim ako lim d(fgx n, gfx n ) = 0 ( ) n kad god je {x n } niz u X za koji je lim n fx n = lim n gx n = t za neko t X. Jasno, slabokomutirajuća preslikavanja su kompatibilna, ali ne važi i obrnuto. U radu [6] je uvedeno još jedno uopštenje slabokomutirajućih preslikavanja uvodjenjem pojma kompatibilnih preslikavanja tipa (A). Prethodno pomenuti f i g su kompatibilna preslikavanja tipa (A) ako umesto ( ) važe sledeća dva uslova: lim d(fgx n, g 2 x n ) = 0 i lim d(gfx n, f 2 x n ) = 0. n n Jasno se vidi da su slabokomutirajuća preslikavanja kompatibilna preslikavanja tipa (A). Obrnuto ne važi. Pathak i Khan su u [18] proširili preslikavanja tipa (A) uvodjenjem pojma kompatibilnih preslikavanja tipa (B) i porede ova preslikavanja sa kompatibilnim i kompatibilnim preslikavanjima tipa (A) u normiranim prostorima. 29

31 Da bi f i g bili kompatibilna preslikavanja tipa (B) umesto uslova ( ) treba da zadovolje sledeće nejednakosti: lim d(fgx n, g 2 x n ) 1 n 2 [ lim d(fgx n, ft) + lim d(ft, f 2 x n )] n n i lim d(gfx n, f 2 x n ) 1 n 2 [ lim d(gfx n, gt) + lim d(gt, g 2 x n )]. n n Jasno je da su kompatibilna prelikavanja tipa (A) kompatibilna preslikavanja tipa (B), dok obrnuto ne važi. Dalje, u radu [16] je dato još jedno uopštenje preslikavanja tipa (A), i to uvodjenjem pojma kompatibilnih preslikavanja tipa (C). Naime, f i g su kompatibilna preslikavanja tipa (C) ako zadovoljavaju sledeće nejednakosti: lim d(fgx n, g 2 x n ) 1 n 3 [ lim d(fgx n, ft) + lim d(ft, f 2 x n ) + lim d(ft, g 2 x n )] n n n i lim n d(gfx n, f 2 x n ) 1 2 [ lim n d(gfx n, gt)+ lim n d(gt, g 2 x n )+ lim n d(gt, f 2 x n )]. U radu [16] su data nekoliko primera kako bi pokazali da kompatibilna preslikavanja tipa (C) ne moraju da budu kompatibilna preslikavanja niti kompatibilna preslikavanja tipa (A) (odnosno tipa (B)). U radu [17] je uveden i pojam kompatibilnih preslikavanja tipa (P). Preslikavanja f i g su kompatibilna preslikavanja tipa (P) ako umesto ( ) važi: lim d(f 2 x n, g 2 x n ) = 0. n Primetimo da su kompatibilnost, kompatibilnost tipa (A) (odnosno (B),(C) i (P)) ekvivalentni ukoliko su preslikavanja f i g neprekidna. Jungck je u [4] uopštio kompatibilnost, kompatibilnost tipa (A) (odnosno (B),(C) i (P)) uvodjenjem pojma slabe kompatibilnosti. Po njemu, f i g su slabo kompatibilna ako iz ft = gt za neko t X sledi da je fgt = gft. Poznato je da svi prethodno navedeni pojmovi kompatibilnosti označavaju pojam slabe kompatibilnosti, ali postoje slabo kompatibilna preslikavanja koja nisu ni kompatibilna, niti kompatibilna tipa (A), (B), (C) i (P). Al - Thagafi i Shahzad [20] su oslabili pojam slabo kompatibilnih preslikavanja uvodenjem novog pojma povremeno slabih kompatibilnih preslikavanja (PSP). Dva preslikavanja f, g : X X su PSP ako i samo ako postoji tačka 30

32 x X koja je tačka koincidencije za f i g u kojoj f i g komutiraju; tj. postoji tačka x X tako da je fx = gx i fgx = gfx. U ovom radu, oslabljen je gore pomenuti pojam, uvodjenjem novog pojma pod nazivom podkompatibilna preslikavanja. Definicija Neka je (X, d) metrički prostor. Preslikavanja f, g : X X su podkompatibilna ako i samo ako postoji niz {x n } iz X tako da je lim n fx n = lim n gx n = t, t X i koji zadovoljava lim n d(fgx n, gfx n ) = 0. Očigledno dva PSP preslikavanja su podkompatibilna iako obrnuto u opštem slučaju ne važi. Posmatrajmo primer koji pokazuje da podkompatibilna preslikavanja ne moraju biti PSP preslikavanja. Primer Neka je X = [0, ) sa uobičajenom metrikom d. Definišimo f i g na sledeći način: { x + 2 ako je x [0, 4] [9, ), fx = x 2 i gx = x + 12, ako je x [4, 9]. Neka je {x n } niz u X definisan sa x n = za n N = {1, 2,...}. Tada n je lim fx n = lim x 2 n = 4 = lim gx n = lim (x n + 2), n n n n i fgx n = f(x n + 2) = (x n + 2) 2 16, gfx n = g(x 2 n) = x 2 n , n n odakle je lim n d(fgx n, gfx n ) = 0; tj. f i g su podkompatibilna preslikavanja. Sa druge strane, imamo fx = gx ako i samo ako je x = 2 i fg(2) = f(4) = 4 2 = 16 gf(2) = g(4) = = 6. Dakle, f(2) = 4 = g(2) ali fg(2) = 16 6 = gf(2), odakle zaključujemo da preslikavanja f i g nisu PSP. Implikacije izmedju prethodnih pojmova date su sledećom listom: Komutirajuća preslikavanja Slabo komutirajuća preslikavanja; 31

33 Slabo komutirajuća preslikavanja Kompatibilna preslikavanja; (A); Slabo komutirajuća preslikavanja Kompatibilna preslikavanja tipa Kompatibilna preslikavanja tipa (A) Kompatibilna preslikavanja tipa (B); Kompatibilna preslikavanja tipa (A) Kompatibilna preslikavanja tipa (C); Kompatibilna preslikavanja (respektivno i kompatibilna tipa (A),(B),(C),(P)) Slabo kompatibilna preslikavanja; Slabo kompatibilna preslikavanja Povremeno slaba kompatibilna preslikavanja; Povremeno slaba kompatibilna preslikavanja Podkompatibilna preslikavanja. Pant u radu [21] uvodi pojam recipročne neprekidnosti na sledeći način: Preslikavanja f, g : X X definisana na metričkom prostoru (X, d) su recipročno neprekidna ako i samo ako lim n fgx n = ft i lim n gfx n = gt kad god je {x n } X takav da važi lim n fx n = lim n gx n = t X. Jasno, svaki neprekidan par preslikavanja je recipročno neprekidan, dok obrnuto u opštem slučaju ne važi. Naš drugi cilj je da uvedemo novi pojam koji se naziva podsekvencijalna neprekidnost preslikavanja koji oslabljuje pojam neprekidnosti i recipročne neprekidnosti preslikavanja prethodno definisan. Definicija Dva preslikavanja f, g : X X definisana na metričkom prostoru (X, d) su podsekvencijalno neprekidna ako i samo ako postoji niz {x n } iz X takav da je lim n fx n = lim n gx n = t za neko t X i zadovoljava jednakosti lim n fgx n = ft i lim n gfx n = gt. Ako su f i g obe neprekidne ili recipročno neprekidne tada su one obavezno i podsekvencijalno neprekidne. Posmatrajmo jedan primer koji pokazuje da postoje podsekvencijalno neprekidna preslikavanja koja nisu ni neprekidna ni recipročno neprekidna. Primer Neka je X = [0, ) sa uobičajenom metrikom d i definišimo 32

34 preslikavanja f, g : X X sa: { 1 + x, ako je 0 x 1, fx = 2x 1, ako je 1 < x <. i gx = { 1 x, ako je 0 x < 1, 3x 2, ako je 1 x <. Očigledno, f i g su prekidna u tački x = 1. Razmotrimo niz x n = 1 n za n = 1,2,.... Imamo i fx n = 1 + x n 1 = t kada n, gx n = 1 x n 1 = t kada n, fgx n = f(1 x n ) = 2 x n 2 = f(1), gfx n = g(1 + x n ) = 1 + 3x n 1 = g(1), sledi, f i g su podsekvencijalno neprekidna. i Sada, neka je (x n ) = (1 + 1 ) za n=1,2,... Imamo n fx n = 2x n 1 1 = t, gx n = 3x n 2 1 = t, fgx n = f(3x n 2) = 6x n = f(1), pa f i g nisu recipročno neprekidna. Na dalje, pokazaćemo važnost ove dve definicije prikazivanjem tri glavna rezultata Opšta teorema o zajedničkoj fiksnoj tački Počećemo sa opštom teoremom o zajedničkoj fiksnoj tački. Teorema Neka su f, g, h, k : X X četiri preslikavanja definisana na metričkom prostoru (X, d). Ako su parovi preslikavanja (f, h) i (g, k) podkompatibilna i recipročno neprekidna, tada (a) f i h imaju tačku koincidencije; 33

35 (b) g i k imaju tačku koincidencije. Dalje, neka je φ : (R + ) 6 R neprekidno preslikavanje koje zadovoljava sledeće uslove: (φ 1 ) : φ(u, u, 0, 0, u, u) > 0, u > 0. Pretpostavimo da (f, h) i (g, k) zadovoljavaju, za svako x i y iz X, (φ 2 ) : φ(d(fx, gy), d(hx, ky), d(fx, hx), d(gy, ky), d(hx, gy), d(ky, fx)) 0. Tada, f, g, h i k imaju jedinstvenu zajedničku fiksnu tačku. Dokaz: S obzirom da su parovi preslikavanja (f, h) i (g, k) podkompatibilni i recipročno neprekidni, to postoje dva niza {x n } i {y n } iz X takva da važi. lim fx n = lim hx n = t za neko t X i koje zadovoljava n n lim d(fhx n, hfx n ) = d(ft, ht) = 0; n lim gy n = lim ky n = z za neko z X i koje zadovoljava n n lim d(gky n, kgy n ) = d(gz, kz) = 0; n Tada je ft = ht i gz = kz; tj. t je tačka koincidencije za f i h, i z je tačka koincidencije za g i k. Sada ćemo dokazati da je t = z. Koristeći (φ 2 ) imamo da je: φ(d(fx n, gy n ), d(hx n, ky n ), d(fx n, hx n ), d(gy n, ky n ), d(hx n, gy n ), d(ky n, fx n )) 0. Kako je φ neprekidno, uzimajući graničnu vrednost kada n, dobijamo φ(d(t, z), d(t, z), 0, 0, d(t, z), d(z, t)) 0 što je kontradikcija sa (φ 1 ) ako je t z. Sledi t = z. Takodje, važi da je ft = t. Zaista, ako je ft t, koristeći (φ 2 ), imamo φ(d(ft, gy n ), d(ht, ky n ), d(ft, ht), d(gy n, ky n ), d(ht, gy n ), d(ky n, ft)) 34

36 0. φ je neprekidno, pa uzimajući graničnu vrednost kad n dobijamo φ(d(ft, t), d(ft, t), 0, 0, d(ft, t), d(t, ft)) 0 što je kontradikcija sa (φ 1 ). Sledi, t = ft = ht. Slično, ako pretpostavimo da je gt t, koristeći (φ 2 ) dobijamo φ(d(ft, gt), d(ht, kt), d(ft, ht), d(gt, kt), d(ht, gt), d(kt, ft)) = φ(d(t, gt), d(t, gt), 0, 0, d(t, gt), d(gt, t)) 0 a ovo je kontradikcija u odnosu na (φ 1 ). Zato je t = gt = kt. Sledi da je t = ft = gt = ht = kt, to jest t = z je zajednička fiksna tačka za preslikavanja f, g, h i k. Ostaje još da pokažemo jedinstvenost zajedničke fiksne tačke. Pretpostavimo da postoji još jedna zajednička fiksna tačka w za preslikavanja f, g, h i k tako da je w t. Tada, iz (φ 2 ) imamo φ(d(ft, gw), d(ht, kw), d(ft, ht), d(gw, kw), d(ht, gw), d(kw, ft)) = φ(d(t, w), d(t, w), 0, 0, d(t, w), d(w, t)) 0 što je kontradikcija sa (φ 1 ). Sledi w = t. Ako u prethodnoj teoremi stavimo da je f = h i g = k dobijamo sledeću posledicu: Posledica Neka je (X, d) metrički prostor i f, h : X X data preslikavanja tako da su f i h podkompatibilna i recipročno neprekidna. Tada, f i h imaju tačku koincidencije. Dalje, neka je φ : (R + ) 6 R neprekidno preslikavanje koje zadovoljava uslov (φ 1 ) i φ(d(fx, fy), d(hx, hy), d(fx, hx), d(fy, hy), d(hx, fy), d(hy, fx)) 0 za svako x, y X. Tada postoji jedinstvena tačka t X tako da je ft = ht = t. Ukoliko stavimo da je h = k, dobijamo sledeći rezultat: Posledica Neka je (X, d) metrički prostor i f, g, h : X X data preslikavanja. Pretpostavimo da su parovi preslikavanja (f, h) i (g, h) podkompatibilna i recipročno neprekidna. Tada: 35

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački

Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Nepokretna tačka za kontraktivna preslikavanja lokalnog tipa u tački Master rad Mentor: Prof.dr Dejan Ilić Student: Sanja Randelović

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Granične vrednosti funkcija

3.1. Granične vrednosti funkcija 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora

Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Univerzitet u Nišu Prirodno matematički fakultet Departman za matematiku Spektralna teorija ograničenih linearnih operatora Mentor prof. Dragana Cvetković Ilić Niš, oktobar 2013. Student Maja Ţivković

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990. PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

4 Izvodi i diferencijali

4 Izvodi i diferencijali 4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije

Διαβάστε περισσότερα

1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo

1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1

TEORIJA REDOVA. n u k (n N) (2) k=1. u k. lim S n = S, kažemo da zbir (suma) reda. k=1 S = k=1 TEORIJA REDOVA NUMERIČKI REDOVI. OSNOVNI POJMOVI DEFINICIJA. Neka je {u n } n N realan niz. Izraz oblika k= u k = u + u 2 + + u n + () naziva se beskonačan red, ili kraće red. Broj u n naziva se opšti

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori

Nermin Okičić Vedad Pašić. Metrički prostori Å Ì Å ÌÁÃ Nermin Okičić Vedad Pašić Metrički prostori 2016 Å Ì Å ÌÁÃ Sadržaj 1 Metrički prostori 1 1.1 Metrika i osobine......................... 2 1.2 Konvergencija u metričkim prostorima.............

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα