Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά."

Transcript

1 Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

2 Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις του ίδιου γράφου

3 Σηµασιολογία Ένας γράφος συµβολίζεται µε G=(V,E) Όπου V={1,,n} ένα σύνολο από κορυφές (vertices) E V V ένα σύνολο από πλευρές ή ακµές (edges) e = ( u, v) E συµβολίζουµε µια πλευρά n= V το πλήθος των κορυφών V V m= E το πλήθος των πλευρών Παρατηρήσεις: Οι πλευρές είναι ένα διατεταγµένο ζέυγος µε στοιχεία κορυφές δηλαδή εν γένει (1,2) δεν είναι το ίδιο µε το (2,1) Θα γράφουµε (u,v) και θα εννοούµε οτι η κορυφή u επικοινωνεί µε την κορυφή v.

4 Μη κατευθυνόµενος γράφος Ένας µη κατευθυνόµενος γράφος (undirected graph), είναι ένας γράφος για τον οποίο ισχύει (u,v) αν και µόνο αν (v,u) Οι κορυφές u και v λέγονται άκρα της (u,v) Οι κορυφές u και v λέγονται γείτονες αν υπάρχει η (u,v). Αν η u έχει d γείτονες τότε λέµε πως έχει βαθµό d.

5 Κατευθυνόµενος γράφος Σε ένα κατευθυνόµενο γράφο (directed graph) τα επόµενα δεν είναι (εν γένει) ισοδύναµα ( u, v) ( v, u) Πχ. Υπάρχει η ακµή (1,2) ενώ δεν υπάρχει η ακµή (2,1) Στη κατευθυνόµενη πλέον πλευρά (u,v) η κορυφή u λέγεται πηγή (origin) και η v προορισµός (destination). Η κορυφή v είναι γείτονας της u αν υπάρχει η κατευθυνόµενη πλευρά (u,v). έχει out-degree= d, αν έχει d γείτονες. έχει in-degree= d, αν είναι ο γείτονας d κορυφών.

6 Γράφος µε βάρη Θεωρούµε µια συνάρτηση βάρους w : E R Το wµπορεί να µοντελοποιεί βάρος, απόσταση, µήκος, χρόνο, κόστος, χωρητικότητα κ.ά. (επιτρέπονται και αρνητικά βάρη). AC AB + BC Γενικά τα βάρη δεν ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα

7 Απλός γράφος (simple) Απλός γράφος λέγεται ο γράφος που δεν έχει παράλληλες πλευρές Self loops (πλευρές µε του τύπου (u,u)) Σε απλό µη κατευθυνόµενο γράφο υπάρχουν το πολύ m n( n 1) 2 πλευρές. Σε απλό κατευθυνόµενο γράφο υπάρχουν το πολύ m=n(n-1) πλευρές. Πυκνός γράφος: m=θ(n 2 ) Αραιός γράφος: m=θ(n) = n 2 =

8 Ισοµορφισµός µεταξύ γράφων ύο γράφοι G 1 και G 2 λέγονται ισοµορφικοί αν υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία των κορυφών τους έτσι ώστε ένα ζεύγος κορυφών του G 1 συνδέεται µε µια ακµή αν και µόνο αν το αντίστοιχο ζεύγος κορυφών του G 2 συνδέεται µε µια ακµή

9 Γράφος µε ετικέτες (labelled) Σε γράφο µε ετικέτες κάθε κορυφή έχει µια µοναδική ετικέτα (ID) που τη χαρακτηρίζει µονοσήµαντα. (Συνήθως 1..n) Για ένα γράφο µε ετικέτες µε n κορυφές υπάρχουν n 2 µη ισοµορφικοί του. 2 Π.χ. Για n=3 υπάρχουν 8 τέτοιοι γράφοι

10 Μονοπάτια (paths) και κύκλοι (cycles) Μονοπάτι P=(v 0, v 1,,v k ) µήκους k είναι µια ακολουθία απο κορυφές έ.ώ. να υπάρχει πλευρά (v i, v i+1 ) για 0<=i<=k-1 (µε όλες τις πλευρές διαφορετικές) Κύκλος C=(v 0, v 1,,v k-1, v 0 ) µήκους k είναι ένα µονοπάτι που ξεκινά και τελειώνει µε την ίδια κορυφή. Απλό µονοπάτι: όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές Απλός κύκλος: όλες οι κορυφές είναι διαφορετικές εκτός από την αρχική και τελική που είναι ίσες

11 Οι γέφυρες του Königsberg Πρόβληµα : Είναι δυνατόν να διασχίσει κανείς και τις 7 γέφυρες περνώντας µια φορά από κάθε µια, ξεκινώντας και τελειώνοντας σε οποιοδήποτε σηµείο;

12 Euler & Hamilton (paths & cycles) Euler µονοπάτι (Euler tour): µονοπάτι που περιέχει µια φορά ακριβώς όλες τις ακµές. Euler κύκλος: κύκλος που περιέχει µια φορά ακριβώς όλες τις ακµές. Hamilton µονοπάτι (Hamilton tour): απλό µονοπάτι που περιέχει µια φορά ακριβώς όλες τις κορυφές. Hamilton κύκλος: απλό κύκλος που περιέχει µια φορά ακριβώς όλες τις κορυφές.

13 Συνεκτικός γράφος Ένας µη κατευθυνόµενος γράφος θα λέγεται συνεκτικός αν για κάθε ζεύγος κορυφών του υπάρχει µονοπάτι που τις συνδέει. Ένας κατευθυνόµενος γράφος θα λέγεται ισχυρά συνεκτικός (strongly connected) αν για κάθε ζεύγος κορυφών του υπάρχει κατευθυνόµενο µονοπάτι που τις συνδέει. Ένας κατευθυνόµενος γράφος θα λέγεται ασθενά συνεκτικός (weakly connected) αν ο αντίστοιχος µη κατευθυνόµενος γράφος είναι συνεκτικός. Σε απλό συνεκτικό µη κατευθυνόµενο γράφο υπάρχουν τουλάχιστον m=n-1 πλευρές. Σε απλό ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόµενο γράφο υπάρχουν τουλάχιστον m=n πλευρές.

14 Υπογράφος Ο γράφος G =(V,E ) θα λέγεται υπογράφος ενός γράφου G=(V,E) αν: V ' V E' E

15 Πλήθος Πλευρών Θεώρηµα: Έστω G ένας απλός µη κατευθυνόµενος γράφος και k το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών τότε: n k m ( n k)( n k + 1) 2 Πρόταση: Ένας απλός µη κατευθυνόµενος γράφος µε n κορυφές είναι συνεκτικός αν έχει m πλευρές µε: ( n 1)( n 2) m > δηλαδή να έχει περισσότερες από τις ακµές του πλήρους γράφου n-1 ακµών. 2

16 Θεώρηµα 4 χρωµάτων Είναι δυνατόν να χρωµατίσουµε ένα χάρτη µε 4 χρώµατα ώστε γειτονικές χώρες να έχουν διαφορετικό χρώµα; Ή είναι δυνατόν να χρωµατίσουµε τις κορυφές του γράφου µε το πολύ 4 χρώµατα; Μπορεί να χρωµατιστεί ένας επίπεδος γράφος µε το πολύ 4 χρώµατα; Θεώρηµα 4-χρωµάτων (4-coloring theorem) Το ελάχιστο πλήθος χρωµάτων που απαιτείται για το χρωµατισµό ενός επίπεδου γράφου είναι 4.

17 ιάφορα Προβλήµατα Ταιριάσµατος (matching) Περιπλανώµενου (πλανόδιου) πωλητή (TSP) Κάλυψης κορυφών (vertex cover) Ισοµορφισµού (subgraph-isomorphism) Κλίκας (clique)

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ0 Ε ρ γ α σ ί α η Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. (1) Να διατυπώστε αλγόριθµο που θα υπολογίζει το ν-οστό όρο της ακολουθίας a ν : ν = 1,,3,..., όπου a 1 = 1, a

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική»

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική» Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίηλος Διαηριβής Θεωρία γραφημάτων: Επίπεδα γραφήματα Ειδικές μορφές γραφημάτων - Χρωματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικά Γραφήματα Π Π Δ Ε. Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα. Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ

Χρονικά Γραφήματα Π Π Δ Ε. Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα. Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ . Π Π Δ Ε Χρονικά Γραφήματα Συγγραφέας: Ελένη Ακρίδα Επιβλέπων: Παύλος Σπυράκης, Κ Υποβάλλεται προς εκπλήρωση των απαιτήσεων για το Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στο Τμήμα Μαθηματικών 4 Ιουνίου 2013

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Διπλωματική Εργασία στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Νεφέλη Δήμητρα Ζώττου Επιβλέπων Καθηγητής: Αλεβίζος Παναγιώτης

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΙΛΟΓΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (1995)

P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (1995) ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 8ο Εξάμηνο ΕΡΓΑΣΙΑ P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (995) CHAPTER (μέχρι και..) Scheduling with Communication

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1

Κεφάλαιο 14. οµές Ευρετηρίων για Αρχεία. ιαφάνεια 14-1 ιαφάνεια 14-1 Κεφάλαιο 14 οµές Ευρετηρίων για Αρχεία Copyright 2007 Ramez Elmasri and Shamkant B. NavatheΕλληνικήΈκδοση, ιαβλος, Επιµέλεια Μ.Χατζόπουλος 1 Θα µιλήσουµε για Τύποι Ταξινοµηµένων Ευρετηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. παθητικά: προκαλούν την απώλεια ισχύος ενός. ενεργά: όταν τροφοδοτηθούν µε σήµα, αυξάνουν 1. Εισαγωγικά στοιχεία ηλεκτρονικών - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 1. ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ Ηλεκτρικό στοιχείο: Κάθε στοιχείο που προσφέρει, αποθηκεύει και καταναλώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης mos@it.tith.gr www.it.tith.gr/~mos Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα

Διαβάστε περισσότερα

3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1. Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής. ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν ΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1. Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής. ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν ΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ 3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 3. ΙΟ ΟΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΙΟ ΩΝ Kρυσταλλοδίοδος ή δίοδος επαφής ίοδος: συνδυασµός ηµιαγωγών τύπου Ρ και Ν 3. ίοδος-κυκλώµατα ιόδων - Ι.Σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας 7 η Διάλεξη: Δρομολόγηση & Προγραμματισμός (Routing & Scheduling) 015 Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Ατζέντα Εισαγωγή στις έννοιες Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου

21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ

ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΥΝΑΜΙΚΑ ΛΕΞΙΚΑ ΙΣΟΖΥΓΙΣΜΕΝΑ ΕΝ ΡΑ ενδρικές οµές για Υλοποίηση υναµικών Λεξικών υναµικά λεξικά λειτουργίες LookUp( ), Insert( ) και Delete( ) Αναζητούµε δένδρα για την αποτελεσµατική υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0

Κεφάλαιο 3 Πίνακες. χρησιµοποιώντας µόνο την ακόλουθη διάταξη αριθµών 1 1 2 1 2 5 1 0 Σελίδα από 53 Κεφάλαιο 3 Πίνακες Περιεχόµενα 3 Ορισµοί Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 3 3 Πράξεις µε Πίνακες Πρόσθεση Πινάκων Πολλαπλασιασµός Πίνακα µε Αριθµό Πολλαπλασιασµός Πινάκων ιωνυµικό Ανάπτυγµα

Διαβάστε περισσότερα

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης

Κωδικοποίηση Πηγής. Δρ. Α. Πολίτης Κωδικοποίηση Πηγής Coder Decoder Μεταξύ πομπού και καναλιού παρεμβάλλεται ο κωδικοποιητής (coder). Έργο του: η αντικατάσταση των συμβόλων πληροφορίας της πηγής με εναλλακτικά σύμβολα ή λέξεις. Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ 6. ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ e-book ΛΟΓΙΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ- ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ 1 ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΟΙΚΟΥΜΕΝΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΑΣΗΜΑΚΗΣ-ΒΟΥΡΒΟΥΛΑΚΗΣ-ΚΑΚΑΡΟΥΝΤΑΣ-ΛΕΛΙΓΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων

Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Κατανεµηµένα Συστήµατα 1, Μάθηµα Βασικής Επιλογής Χειµερινού Εξαµήνου Τοµέας Εφαρµογών και Θεµελιώσεων Απόστολος Φίλιππας Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής 10 Ιανουαρίου, 2011 Κατανεµηµένα Συστήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών

Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Παρουσία µηδενιστών στη θεωρία τοπολογικών αλγεβρών Μαρίνα Χαραλαµπίδου Τµήµα Μαθηµατικών Τοµέας Αλγεβρας και Γεωµετρίας Πανεπιστηµίο Αθηνών Σεµινάριο Τοµέα Αλγεβρας και Γεωµετρίας 11/12/2012 1 / 47 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1-3 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε FET s 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΝΙΣΧΥΤΗΣ 1 1-1 Κέρδος Τάσης του ιαφορικού Ενισχυτή µε BJT s 1 και ιπλή Έξοδο Ανάλυση µε το Υβριδικό Ισοδύναµο του Τρανζίστορ 2 Ανάλυση µε βάση τις Ενισχύσεις των Βαθµίδων CE- 4

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της συνάρτησης Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται µια διαδικασία (κανόνας τρόπος ), µε την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου

Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Δραστηριότητα για µαθητές Γυµνασίου Παρουσίαση: Τεύκρος Μιχαηλίδης ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ Επικοινωνία info@thalesandfriends.org Ιστοσελίδα www.thalesandfriends.org Το τρίγωνο του Sierpinski Α Β Γ ΘΑΛΗΣ+ΦΙΛΟΙ 2 Στο

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Αρχοντία Χ. Γιαννοπούλου Μερικές Διατάξεις και Αλγόριθμοι σε Γραφήματα Διδακτορική Διατριβή Επιβλέπων Καθηγητής: Δημήτριος Μ. Θηλυκός Τμήμα Μαθηματικών Οκτώβριος 2012 Περίληψη iii Περίληψη Στις εργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο

Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο Άσκηση Η4 Μέτρηση αντιστάσεων Εφόσον στα άκρα ενός στοιχείου σύνδεσης εφαρμόζεται η τάση U και εφόσον το στοιχείο σύνδεσης διαρρέεται από ρεύμα έντασης I, τότε το πηλίκο U I είναι η αντίσταση του U στοιχείου.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης

ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Πανεπιστήµιο Κρήτης Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-460 Συστήµατα ιαχείρισης Βάσεων εδοµένων ηµήτρης Πλεξουσάκης Βασίλης Χριστοφίδης Ονοµατεπώνυµο: Αριθµός Μητρώου: Επαναληπτική Εξέταση (3 ώρες) Ηµεροµηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Εκπαιδευτική Πλατφόρμα, Διαδραστικά Βιβλία και Αποθετήριο Μαθησιακών Αντικειμένων

Ψηφιακή Εκπαιδευτική Πλατφόρμα, Διαδραστικά Βιβλία και Αποθετήριο Μαθησιακών Αντικειμένων Ψηφιακή Εκπαιδευτική Πλατφόρμα, Διαδραστικά Βιβλία και Αποθετήριο Μαθησιακών Αντικειμένων ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΤΟ ΦΩΤΟΔΕΝΤΡΟ Για να αναζητήσετε Μαθησιακά Αντικείμενα στο Φωτόδεντρο χρησιμοποιείστε το πεδίο εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες

ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες ΕΚΠ 413 / ΕΚΠ 606 Αυτόνοµοι (Ροµ οτικοί) Πράκτορες Πιθανοτική Συλλογιστική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Αβεβαιότητα πεποιθήσεων πράκτορας θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ).

ΤΕΙ - ΧΑΛΚΙ ΑΣ. διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και. 2. τρανζίστορ πυριτίου (Si ). 7. Εισαγωγή στο διπολικό τρανζίστορ-ι.σ. ΧΑΛΚΙΑ ΗΣ διαφάνεια 1 7. TΟ ΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ Ανάλογα µε το υλικό διπολικά τρανζίστορ διακρίνονται σε: 1. τρανζίστορ γερµανίου (Ge) και 2. τρανζίστορ πυριτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος

ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό λέγεται το σύµβολο ν %, όπου ν ένας Φυσικός αριθµός. Είναι η λογιστική γραφή του κλάσµατος ν 100 80 Από συνήθεια λέµε «80 τοις εκατό» και γράφουµε

Διαβάστε περισσότερα

Oδηγοί - Eγχειρίδια. «Προδιαγραφές γραφικής απεικόνισης του ευρωπαϊκού συµβόλου», Eυρωπαϊκή Eπιτροπή

Oδηγοί - Eγχειρίδια. «Προδιαγραφές γραφικής απεικόνισης του ευρωπαϊκού συµβόλου», Eυρωπαϊκή Eπιτροπή Oδηγοί - Eγχειρίδια 5. «Προδιαγραφές γραφικής απεικόνισης του ευρωπαϊκού συµβόλου», Eυρωπαϊκή Eπιτροπή 169 ΠΛHPOΦOPHΣH & HMOΣIOTHTA ΣTO KΠΣ 2000-2006: Oδηγοί - Eγχειρίδια «Προδιαγραφές γραφικής απεικόνισης

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΙΩΞΗΣ - ΙΑΦΥΓΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΙΩΞΗΣ - ΙΑΦΥΓΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑ ΙΩΞΗΣ ΙΑΦΥΓΗΣ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 4ο Συνδυασμοί 2 2.3 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Έστω Χ= {x 1, x 2,..., x ν } ένα πεπερασμένο σύνολο με ν στοιχεία x 1, x 2,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση

Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικό Επίπεδο ΕνσύρµαταΜέσαΜετάδοσης. Ενότητα Γ

Φυσικό Επίπεδο ΕνσύρµαταΜέσαΜετάδοσης. Ενότητα Γ Ιόνιο Πανεπιστήµιο Τµήµα Αρχειονοµίας - Βιβλιοθηκονοµίας ίκτυα Η/Υ Φυσικό Επίπεδο ΕνσύρµαταΜέσαΜετάδοσης Ενότητα Γ ρ. Ε. Μάγκος Φυσικά Μέσα Μετάδοσης bit: Ηλεκτροµαγνητικό κύµα που µεταδίδεται σε ένα.

Διαβάστε περισσότερα