ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ: ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΨΕΥ ΟΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ: ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΨΕΥ ΟΑΝΑΛΟΓΙΑΣ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΩΝ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ - ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ " Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΙΑ ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ: ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΗΣ ΨΕΥ ΟΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Χριστίνα Καλαθά Α. Μ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΓΑΓΑΤΣΗΣ Καθηγητής Τµήµατος Επιστηµών Αγωγής Πανεπιστηµίου Κύπρου Αντιπρύτανης Πανεπιστηµίου Κύπρου

2 2

3 Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειδίκευσης που απονέµει το ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την 5 η Ιουλίου 2012 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούµενη από τους : Ονοµατεπώνυµο Βαθµίδα Υπογραφή 1) Αθανάσιος Γαγάτσης Καθηγητής. (επιβλέπων Καθηγητής) 2) Θεοδόσης Ζαχαριάδης Καθηγητής... 3) έσποινα Πόταρη Αναπλ.Καθηγήτρια... 3

4 4

5 Ευχαριστίες Στο τέλος αυτής της προσπάθειας θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά: Τον επιβλέποντα καθηγητή µου κο Α. Γαγάτση, για τη άριστη συνεργασία, την καθοδήγηση και την επιστηµονική βοήθεια που µου παρείχε σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωµατικής µου εργασίας. Τον καθηγητή του µεταπτυχιακού κο Θ. Ζαχαριάδη για την προθυµία του να συµµετέχει στη τριµελή εξεταστική επιτροπή και για την πολύτιµη βοήθειά του. Την καθηγήτρια του µεταπτυχιακού κα. Πόταρη για την καθοδήγησή, τις πολύτιµες συµβουλές και τις καίριες και ουσιαστικές της επισηµάνσεις. Τους διδάσκοντες του Μεταπτυχιακού Προγράµµατος «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» για την εποικοδοµητική συνεργασία και τις πολύτιµες γνώσεις που µου µετέδωσαν, για να µπορέσω να κάνω σωστά βήµατα στη διδασκαλία. Τη ιονυσία Μπακογιάννη που πάντα, µε σπάνια ευγένεια και προθυµία, φρόντιζε έγκαιρα για την διεκπεραίωση των γραφειοκρατικών θεµάτων. Τους συµφοιτητές και καλούς φίλους που απέκτησα κατά τη διάρκεια των µεταπτυχιακών σπουδών µου για τη στήριξη, τη συνεργασία και τις πολύ όµορφες στιγµές που περάσαµε µαζί τα τελευταία χρόνια. Ένα ιδιαίτερο «ευχαριστώ» στις συνοδοιπόρους µου Σοφία και Μαρία για τη συµπαράσταση και τις φιλικές συµβουλές τους. Τους συναδέλφους µαθηµατικούς, τους διευθυντές των σχολείων µα προπάντων τους µαθητές, που βοήθησαν στην διεξαγωγή της εµπειρικής έρευνας αυτής της εργασίας. Την οικογένειά µου, που στηρίζει µε αγάπη και κατανόηση κάθε µου προσπάθεια. 5

6 6

7 Αφιερωµένη στον Τάσο, την Αθηνά και την Έφη που στήριξαν την προσπάθειά µου, παρόλο που πολλές φορές στερήθηκαν την παρουσία µου. 7

8 Περιεχόµενα Περίληψη Abstract Εισαγωγή Ιστορική ανασκόπηση της έννοιας της αναλογίας Αιγυπτιακά Μαθηµατικά Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά Αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά Πυθαγόρειοι Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας Τα µη επιλύσιµα γεωµετρικά προβλήµατα της αρχαιότητας Ο διπλασιασµός του κύβου Η γενική θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου Η έννοια της αναλογίας. Χρήση αναλογιών Αραβικά, Ινδικά, Κινέζικα Μαθηµατικά Το πρόβληµα της διαίρεσης σε µέσο και άκρο λόγο Το πρόβληµα της Χρυσής Τοµής Μεσαίωνας και Αναγέννηση Vitruvius: Κανόνας ανθρώπινων αναλογιών Leonardo de Pisa: Ακολουθία Fibonacci Συνοψίζοντας Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας Εισαγωγή Ορισµός αναλογίας Επίλυση αριθµητικών λεκτικών προβληµάτων «Ψευδαίσθηση της αναλογίας», «Γραµµική παγίδα», «Γραµµικό εµπόδιο», «Γραµµική παρανόηση» Μαθηµατική αναλογική σκέψη Θεωρίες ανάπτυξης αναλογικής σκέψης Τύποι προβληµάτων αναλογιών Παράγοντες που επηρεάζουν την επίδοση των µαθητών στα αναλογικά προβλήµατα Το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας Περιπτώσεις ψευδοαναλογικών προβληµάτων Αναλογικά λάθη στη γεωµετρία

9 3.12. Έρευνες για τη ψευδαίσθηση της αναλογίας σε γεωµετρικά προβλήµατα Ψυχολογικοί παράγοντες που συνδέονται µε την αναλογικότητα Στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων αναλογίας Έρευνες σχετικά µε τη µάθηση της αναλογίας Προτεινόµενο µοντέλο µαθηµατικής αναλογικής σκέψης Αναλογικός συλλογισµός Μαθηµατικός αναλογικός συλλογισµός Μετα- αναλογική ενηµερότητα Η αναλογία ως επιστηµολογικό εµπόδιο Μια διαφορετική ερµηνεία του φαινοµένου Παρουσίαση της έννοιας της αναλογίας στα σχολικά εγχειρίδια Απαραίτητες προϋποθέσεις για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηµατικών Επιµέρους στόχοι της διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας Η έννοια της αναλογίας στο βιβλίο της Στ ηµοτικού Αναλυτική παρουσίαση µε επισηµάνσεις και σχόλια Η έννοια της αναλογίας στο βιβλίο της Α Γυµνασίου Αναλυτική παρουσίαση µε επισηµάνσεις και σχόλια Προτάσεις για προσανατολισµούς της διδασκαλίας των µαθηµατικών Σχολιάζοντας τα σχολικά βιβλία και τις διδακτικές πρακτικές Η εµπειρική µελέτη Οι στόχοι της εµπειρικής µελέτης Μέθοδος Συµµετέχοντες ιαδικασία συλλογής δεδοµένων Υλικό-Εργαλείο Αποτελέσµατα Αποτελέσµατα Περιγραφικής Στατιστικής για το ηµοτικό σχολείο Αποτελέσµατα Περιγραφικής Στατιστικής για το Γυµνάσιο Ένας προβληµατισµός Συγκριτικοί πίνακες συχνοτήτων Συγκριτικά ραβδογράµµατα Σχολιάζοντας Αποτελέσµατα Συνεπαγωγικής Ανάλυσης εδοµένων ιάγραµµα οµοιότητας Συνεπαγωγικά διαγράµµατα

10 6. Ποιοτική µελέτη του φαινοµένου της ψευδοαναλογίας Η συνέντευξη µε τον Αποστόλη Σχόλια για τη συζήτηση µε τον Αποστόλη Η συνέντευξη µε τη ήµητρα Σχόλια για τη συζήτηση µε τη ήµητρα Σχόλια, συµπεράσµατα, προτάσεις, εισηγήσεις Σχόλια για την επίλυση προβλήµατος Συµπεράσµατα, προβληµατισµοί ιδακτικές εισηγήσεις Συνοψίζοντας Βιβλιογραφία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

11 Περίληψη Η έννοια της αναλογίας είναι από τις πιο σηµαντικές έννοιες των σχολικών µαθηµατικών. Στην παρούσα διπλωµατική εργασία επιχειρείται µια πολυδιάστατη ανάλυση της µάθησης της έννοιας της αναλογίας. Σε αναλυτικό ιστορικό σηµείωµα δίνονται στοιχεία για την ανάπτυξη της έννοιας που χρησιµοποιείται εδώ και 4000 χρόνια ξεκινώντας από τους αρχαίους πολιτισµούς της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας, τους αρχαίους Έλληνες και φτάνοντας στη χρυσή τοµή και την ακολουθία Fibonacci. ίνονται στοιχεία για τον τρόπο που παρουσιάζονται οι αναλογίες στα σχολικά βιβλία της έκτης δηµοτικού και της πρώτης γυµνασίου καθώς και στοιχεία για τους τρόπους µάθησης και τα εµπόδια επιστηµολογικά και γνωστικά που οδηγούν τους µαθητές σε λάθη στα ψευδοαναλογικά έργα. Ερευνάται η επιµονή των µαθητών να χρησιµοποιούν αναλογικές στρατηγικές επίλυσης ακόµη και σε περιπτώσεις που δεν είναι κατάλληλες. Στηριζόµενοι στο µοντέλο περιγραφής της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης, που περιλαµβάνει τρεις πτυχές, δόθηκε ερωτηµατολόγιο σε 133 µαθητές ΣΤ τάξης και 166 µαθητές Α γυµνασίου που περιλαµβάνει λεκτικές και αριθµητικές αναλογίες, δυο αναλογικά έργα, δυο προβλήµατα που αφορούν τη µη αναλογική σχέση του εµβαδού και τέσσερα προβλήµατα ψευδοαναλογικά που είναι προσθετικού συλλογισµού, σταθερής κατάστασης, ασυνήθιστο και γραµµικό αλλά όχι αναλογικό. Τα αποτελέσµατα δείχνουν ότι η υπερεµπιστοσύνη στην αναλογικότητα είναι αρκετά υψηλή χωρίς µεγάλη διαφοροποίηση και στις δυο βαθµίδες εκπαίδευσης. Για το λόγο αυτό πρέπει να αποτραπεί ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας όποτε δίνονται στοιχεία διδακτικού µετασχηµατισµού που πρέπει ν αφορά την ικανότητα ανάλυσης των ποσοτήτων σε µια προβληµατική κατάσταση για να διαπιστωθεί πρώτιστα αν υπάρχει ανάµεσά τους αναλογική σχέση. Λέξεις κλειδιά: αναλογία, λεκτική αναλογία, µαθηµατική αναλογική σκέψη, µετα-αναλογική ενηµερότητα, προβλήµατα ψευδοαναλογίας. 11

12 Abstract Building on a previous research on proportional reasoning, this study focuses on the exploration of student s behavior on the solution of proportional and nonproportional situations that respond to the different aspects of proportional reasoning (analogical reasoning, routine proportionality and meta-analogical awareness). It also explores the development of students strategies from primary to secondary school when solving proportional and non-proportional problems This was impelled with the help of a written test involving the handling of proportional and non-proportional situations that were administered to 133 elementary and 166 secondary Greek school students. The results indicate a great discrepancy in student s achievement scores at the three aspects of proportional reasoning, indicating their different nature. The findings reveal that, when confronted with missing-value problems in different domain of mathematics, Greek school pupils irrespectively of their age group (12 or 13 years old) handle certain tasks similarly but due to the application of different solution strategies and they have a great tendency to apply proportional solution strategies also in cases where they are not applicable. Key words: problem solving, proportional reasoning, proportional strategies, meta-awareness, illusion of linearity. 12

13 1. Εισαγωγή Ο αναλογικός συλλογισµός αποτελεί θεµελιώδες µαθηµατικό µοντέλο που εφαρµόζεται τόσο στη διδασκαλία και τη µάθηση των µαθηµατικών όσο και στην καθηµερινή ζωή (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 1998). Από την απλή εφαρµογή της «µεθόδου των τριών» µέχρι τα γραµµικά µοντέλα, τον απειροστικό λογισµό και τη στατιστική ο αναλογικός συλλογισµός είναι εργαλείο ευρείας εφαρµογής για το χειρισµό φαινοµένων σε διάφορους τοµείς της ανθρώπινης δραστηριότητας (Freudenthal, 1983; De Bock et al., 1998). Χρησιµοποιείται δε µε τόσο αυτοµατοποιηµένο τρόπο από τους µαθητές σε βαθµό που τους απαλλάσσει από χρονική καθυστέρηση για να εξετάσουν αν ταιριάζει η εφαρµογή του σε µια δεδοµένη κατάσταση. Αρκετά λάθη στα µαθηµατικά έχουν σαν αφετηρία την τάση χρήσης του αναλογικού συλλογισµού σε όλες ανεξαιρέτως τις καταστάσεις οι οποίες πληρούν κάποιες άτυπες προϋποθέσεις. Οι µαθητές, ανεξάρτητα από την ηλικία τους, πετυχαίνουν στην επίλυση τυπικών αναλογικών προβληµάτων. Οι ίδιοι µαθητές όµως, αποτυχαίνουν στη διάκριση αναλογικών από µη αναλογικές καταστάσεις (Modestou & Gagatsis, 2004). Σαν αποτέλεσµα αυτής της αποτυχίας, δηµιουργείται στους µαθητές µια «ψευδαίσθηση» για την ύπαρξη αναλογίας, µε αποτέλεσµα να χρησιµοποιούν αναλογικές στρατηγικές για να λύσουν µη αναλογικά προβλήµατα. Για παράδειγµα ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών στο πρόβληµα: «Ο Χρίστος είναι 10 χρονών και έχει ύψος 1.50m. Πόσο ύψος θα έχει όταν γίνει 20 χρονών;» δίνουν απάντηση 3m χρησιµοποιώντας αναλογικό συλλογισµό έστω και αν η απάντηση δεν είναι αποδεκτή µε βάση την κοινή λογική σκέψη. Επίσης η τάση των µαθητών να απαντούν ότι το εµβαδόν του τετραγώνου τριπλασιάζεται όταν τριπλασιάζεται η πλευρά του είναι µια άλλη πτυχή αυτού του φαινοµένου. Ένα ακόµη παράδειγµα είναι η µαθητική παρανόηση ότι η πιθανότητα επιτυχίας σε ένα παιχνίδι τύχης είναι ανάλογη µε τον αριθµό των δοκιµών (π.χ. η πιθανότητα να φέρεις έξι σε ν ρίψεις ενός αµερόληπτου ζαριού είναι ν/6). Το φαινόµενο αυτό αναφέρεται στη βιβλιογραφία σα «ψευδαίσθηση της γραµµικότητας» (illusion of linearity), «παγίδα της γραµµικότητας» (linearity trap), «γραµµικό εµπόδιο» (linear obstacle). Οι άφθονες ιστορικές αναφορές για αντίστοιχα λάθη, δείχνουν πως το φαινόµενο των γραµµικών απαντήσεων, εκεί που δεν υπάρχει αναλογία, είναι διαχρονικό. Αναµφισβήτητα το πιο διάσηµο και το πιο συχνά αναφερόµενο παράδειγµα 13

14 προβλήµατος ψευδαίσθησης της αναλογίας βρίσκεται στο διάλογο «Μένωνας» του Πλάτωνα όπου αναφέρεται η συζήτηση που είχε ο Σωκράτης µε το νεαρό δούλο µε σκοπό να τον κάνει να "θυµηθεί" την απάντηση στο ερώτηµα του διπλασιασµού του τετραγώνου. Ο Σωκράτης ήθελε να αποδείξει ότι η γνώση είναι ανάµνηση και δεν είναι γνώση πραγµατική. Ο ούλος εφάρµοζε αυθόρµητα την ιδέα της γραµµικής σχέσης δηλαδή νόµιζε ότι θα διπλασιαστεί το εµβαδόν αν διπλασιαστεί η πλευρά του τετραγώνου. Στο τέλος αναθεώρησε όταν ο Σωκράτης, χρησιµοποιώντας τη µαιευτική µέθοδο, τον βοήθησε να διαγνώσει και να διορθώσει το λάθος του συλλογισµού του φέρνοντας τον αντιµέτωπο µε το σχέδιο του τετραγώνου. Έτσι ανακάλυψε ότι το τετράγωνο που έχει πλευρά ίση µε τη διαγώνιο ενός αρχικού τετραγώνου έχει εµβαδόν διπλάσιο του αρχικού. -Σωκράτης: Αν η πλευρά του τετραγώνου έχει µήκος δύο πόδια, πόσα πόδια είναι όλο το τετράγωνο; - ούλος: Τέσσερα, Σωκράτη. -Σωκράτης: Μπορείς να κατασκευάσεις ένα σχήµα όµοιο µε αυτό (τετράγωνο) που να έχει διπλάσιο εµβαδόν; - ούλος: Ναι. - Σωκράτης: Πόσων ποδών θα είναι; - ούλος: Οκτώ. - Σωκράτης: Τι µήκος θα έχει η πλευρά του νέου σχήµατος; - ούλος: Είναι δα φανερό Σωκράτη θα είναι διπλάσια. -Σωκράτης: Ισχυρίζεσαι ότι το διπλάσιο σχήµα έχει και διπλάσια πλευρά. Πρόσεξε πρέπει να είναι τετράγωνο. - ούλος: Έτσι νοµίζω. Κατόπιν ο Σωκράτης του φτιάχνει ένα τετράγωνο διπλασιάζοντας την πλευρά του αρχικού και του λέει ότι σε αυτό περιλαµβάνονται τέσσερα τετράγωνα σαν το αρχικό οπότε το εµβαδόν του θα είναι τετραπλάσιο του αρχικού και όχι διπλάσιο όπως του ζήτησε. -Σωκράτης: Εποµένως παιδί µου από την διπλάσια γραµµή δεν κατασκευάζεται διπλάσιο σχήµα αλλά τετραπλάσιο. Οι αναφορές σε λανθασµένες γραµµικές απαντήσεις δεν περιορίζονται µόνο στο χώρο της Γεωµετρίας. Τις συναντούµε και σε άλλα επιστηµονικά πεδία. Στο χώρο της Φυσικής, η πεποίθηση του Αριστοτέλη πως η ταχύτητα µε την οποία πέφτει ένα σώµα καθώς κάνει ελεύθερη πτώση είναι ανάλογη της µάζας του, είναι 14

15 παράδειγµα ψευδοαναλογίας. Ο ισχυρισµός αυτός διαψεύστηκε από το Γαλιλαίο το 1638, πολλούς αιώνες µετά τη διατύπωσή του. Ένα άλλο ιστορικό πρόβληµα είναι το «πρόβληµα των ζαριών» που έθεσε ο Chevalier de Mere στο φίλο του, το µαθηµατικό Pascal. Από την εµπειρία του ο de Mere γνώριζε ότι ισχύει το γεγονός: τουλάχιστον µια φορά έξι σε 4 ρίψεις ενός αµερόληπτου ζαριού. Οπότε συµπέρανε ότι ισχύει επίσης: τουλάχιστον µια φορά εξάρες σε 24 ρίψεις δυο αµερόληπτων ζαριών, αφού 4/6=24/36. Από τις 4 στις 24 ρίψεις ο αριθµός των ευκαιριών για να φθάσεις σε επιτυχηµένο αποτέλεσµα πολλαπλασιάζεται µε τον παράγοντα 6, όµως η αντίστοιχη πιθανότητα να πετύχεις µε τα δύο ζάρια αντί να πετύχεις µε το ένα ζάρι διαιρείται µε το 6 (από 1/6 γίνεται 1/36) κι έτσι το αποτέλεσµα παραµένει ίδιο. Αυτή η αναλογική συλλογιστική στη διωνυµική κατανοµή είναι εσφαλµένη γιατί η ανάλογη αύξηση της πιθανότητας µε τον αριθµό των δοκιµών οδηγεί σε πιθανότητες µεγαλύτερες της µονάδας. Το πρόβληµα αυτό προκάλεσε τα αιχµηρά σχόλια από το Freudenthal που είπε ότι ο de Mere χρησιµοποίησε τα µαθηµατικά που ήξερε από την παιδική του ηλικία και είναι γνωστά µε τον όρο µέθοδος των τριών. Ίσως θα είχε καλύτερες επιδόσεις αν είχε χρησιµοποιήσει µαθηµατικά που είχε δηµιουργήσει ο ίδιος (Freudenthal, 1973). Στο χώρο των πιθανοτήτων επίσης, ο Ιταλός µαθηµατικός της Αναγέννησης Cardano έπεσε στην πλάνη να θεωρήσει ότι αφού σε ταυτόχρονη ρίψη δύο ζαριών η πιθανότητα να φέρουµε δυο άσσους είναι 1, για να έχουµε 50% πιθανότητα να 36 φέρουµε δύο άσσους τουλάχιστον µία φορά, πρέπει να ρίξουµε δυο ζάρια 18 φορές. Επίσης είναι εντυπωσιακό ότι άτοµα διαφόρων ηλικιών και γνώσεων είναι πιθανό να πέσουν στην παγίδα λανθασµένων γραµµικών συλλογισµών. Τα ευρήµατα από ένα µεγάλο πλήθος ερευνών (De Bock et al., 1998, De Bock, Van Dooren, & Verschaffel, 2005; Fernandez & Llinares, 2008; Gagatsis & Kyriakides, 2000; Modestou & Gagatsis, 2004, 2007, 2010) τεκµηριώνουν την τάση των µαθητών να υπονοούν αναλογικές σχέσεις και να εφαρµόζουν τις ιδιότητές τους ακόµα κι εκεί που δεν υφίστανται. Οι σχετικές µελέτες πραγµατοποιήθηκαν µε µαθητές διαφόρων ηλικιών, από το νηπιαγωγείο ως το πανεπιστήµιο, σε διάφορες χώρες, µε διαφορετικά αναλυτικά προγράµµατα σπουδών και ανόµοιες διδακτικές προσεγγίσεις και τα θέµατα που διερευνήθηκαν κάλυψαν ένα ευρύ φάσµα µαθηµατικών περιοχών. Παρόλο που τα πλαίσια ήταν διαφορετικά, εµφανίστηκε αξιοπρόσεκτη συµφωνία στην τάση των µαθητών να αντιµετωπίζουν µη αναλογικές 15

16 καταστάσεις, ως αναλογικές. Η αδικαιολόγητη αυτή εµπιστοσύνη στις αναλογικές σχέσεις φαίνεται να είναι καλά εδραιωµένη στις πεποιθήσεις των µαθητών οπότε είναι δύσκολο να αντιµετωπιστεί. Οι γραµµικές σχέσεις έχουν πολλές εφαρµογές και χρησιµοποιούνται για την κατανόηση και επίλυση πολυάριθµων καθηµερινών προβληµάτων. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα η έννοια της αναλογίας και των αναλογικών σχέσεων να είναι πολύ σηµαντική και να συµπεριλαµβάνεται στα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών τόσο στην πρωτοβάθµια όσο και στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση. Ο τρόπος µε τον οποίο οι µαθητές διαχειρίζονται προβλήµατα αναλογίας ή αναγνωρίζουν αν ένα πρόβληµα είναι αναλογικό ή όχι εξαρτάται από το σχολείο ( ηµοτικό ή Γυµνάσιο) στο οποίο φοιτούν. Η µετάβαση των µαθητών από τη µια βαθµίδα στην άλλη επηρεάζει τον τρόπο σκέψης τους. Οι διαφορές ανάµεσα στις δυο βαθµίδες είναι πολλές: η ποσότητα της ύλης, τα διδακτικά εγχειρίδια, το είδος και το επίπεδο των µαθηµατικών που διδάσκονται, τα παραδείγµατα και οι δραστηριότητες που χρησιµοποιούνται, οι γνωστικές δυσκολίες των µαθητών, η παιδαγωγική λογική των διδακτικών ενεργειών. Αντιλαµβάνεται κανείς ότι υπάρχει διαφορά αντίληψης, τόσο στο επίπεδο της γνώσης, όσο και στην ιεράρχηση των προτεραιοτήτων στη διδασκαλία. Υπάρχουν διαφοροποιήσεις στις διδακτικές και επικοινωνιακές πρακτικές των εκπαιδευτικών κατά τη διδασκαλία και στον τρόπο που οι µαθητές αντιµετωπίζουν τη µάθηση στην κάθε βαθµίδα. Οι µαθητές αντιµετωπίζουν προβλήµατα µάθησης σε σηµαντικά θέµατα των Μαθηµατικών όπως τα κλάσµατα, οι δεκαδικοί και οι αναπαραστάσεις τους, η γεωµετρία και οι αναλογίες. Τα χαρακτηριστικά των ανάλογων σχέσεων µαζί µε την προσοχή που τους δίνεται κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης, µπορούν να οδηγήσουν στο φαινόµενο να εφαρµόζονται αυτές οι σχέσεις σε κάθε «παρόµοια» κατάσταση ακόµη κι αν δεν ισχύουν. Ο Freudenthal είχε πει σχετικά: «η αναλογικότητα είναι τόσο υποβλητική ιδιότητα σχέσεων, που µπορεί κάποιος πολύ εύκολα να παραπλανηθεί και να χειρίζεται οποιαδήποτε αριθµητική σχέση σαν αναλογική χωρίς να λαµβάνει υπόψη κάποιους λογικούς περιορισµούς» (Freudenthal, 1983). 16

17 Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να διερευνήσει το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας στο σηµερινό ελληνικό σχολείο. Με µια εµπειρική µελέτη προσπαθούµε να διαπιστώσουµε τον τρόπο σκέψης των µαθητών, της τελευταίας τάξης του ηµοτικού και της πρώτης τάξης του Γυµνασίου (ηλικίας χρόνων) σχετικά µε τις αναλογίες και τις στρατηγικές που αναπτύσσουν για την λύση προβληµάτων. Εξετάζεται η συµπεριφορά των µαθητών σε ψευδοαναλογικά προβλήµατα που αφορούν εµβαδά, που περιγράφουν σταθερές ή µη λογικές καταστάσεις, που απαιτούν προσθετικό κι όχι πολλαπλασιαστικό συλλογισµό. Μέσα από τη βιβλιογραφική ανασκόπηση αναζητούνται εξηγήσεις για τη γενίκευση του αναλογικού συλλογισµού. ιερευνάται η ύπαρξη σχέσης ανάµεσα στα αριθµητικά και τα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας και εξετάζεται πώς επιδρά ο αναλογικός τρόπος σκέψης στην επίλυση προβλήµατος και πόσο ισχυρή είναι η τάση των µαθητών να εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό ακόµα και σε περιπτώσεις που δεν ικανοποιούνται οι τυπικές προϋποθέσεις. 17

18 2. Ιστορική ανασκόπηση της έννοιας της αναλογίας Μια αναλογία σχηµατίζεται από λόγους και ένας λόγος είναι µια ποσοτική σύγκριση µεταξύ δυο µεγεθών και εκφράζεται µε το γενικό τύπο α:β ή ισοδύναµα α β. Η αναλογία είναι µια σχέση ισότητας µεταξύ δύο λόγων που εκφράζεται από το γενικό τύπο α = γ, δηλαδή τα µεγέθη α και γ είναι ανάλογα µε τα µεγέθη β και δ. Οι β δ όροι α και δ ονοµάζονται άκροι όροι, ενώ οι όροι β και γ ονοµάζονται µέσοι όροι. Η έννοια της αναλογίας χρησιµοποιείται εδώ και 4000 χρόνια. Το γεγονός ότι τη συναντάµε στους αρχαίους πολιτισµούς, αποκαλύπτει το θεµελιώδη χαρακτήρα της καθώς και τη σπουδαιότητά της για την επίλυση προβληµάτων της καθηµερινής ζωής του ανθρώπου. Η έννοια της αναλογίας ξεπερνά τα στενά µαθηµατικά πλαίσια και εµφανίζεται στη ζωγραφική, στη γλυπτική, στη µουσική και σε ένα ευρύ φάσµα καθηµερινών δραστηριοτήτων Αιγυπτιακά Μαθηματικά Στην αρχαία Αίγυπτο η ανάγκη µέτρησης γέννησε τα φυσικά κλάσµατα ,,, και 3, που διαµορφώθηκαν από άµεσες πρακτικές ανάγκες και είχαν 4 ιδιάζουσα ονοµασία και ιερογλυφικό συµβολισµό και τα αλγοριθµικά κλάσµατα που ήταν της µορφής 1 ν και εµφανίστηκαν ως προϊόν µαθηµατικής επεξεργασίας. Κάθε άλλο κλάσµα το ανήγαγαν σε κλασµατικές µονάδες όπως π. χ. 3 = εκτός από το κλάσµα 2 3 το οποίο δε χρειαζόταν αναγωγή στη µονάδα γιατί είχε τη δική του ονοµασία, «τα δύο µέρη». Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έλυναν τα πρακτικά καθηµερινά προβλήµατα τους χρησιµοποιώντας κλάσµατα και κατ επέκταση έκαναν χρήση αναλογιών, εξαιτίας του µη νοµισµατικού συστήµατος συναλλαγής. Ενέπλεκαν τις αναλογίες σε προβλήµατα όπως η διανοµή τροφής, ο τεµαχισµός εκτάσεων της γης, η ανάµειξη διάφορων συστατικών για την παρασκευή µπίρας ή ψωµιού και η πληρωµή για την απόκτηση αγαθών ή για την παρεχόµενη εργασία σε είδος. Ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι: «Εάν κάποιου άνδρα η περιουσία καταστρεφόταν εξαιτίας της ανόδου της στάθµης των νερών του ποταµού, ο Βασιλιάς θα έστελνε επιθεωρητές να 18

19 µετρήσουν την έκταση της απώλειας, προκειµένου ο θιγόµενος να πληρώσει στο µέλλον µια δίκαιη αναλογία του φόρου που αντιστοιχούσε στην εκτίµηση της περιουσίας του» (Χριστιανίδης, ιαλέτης, Παπαδόπουλος, & Γαβρόγλου, 2001). Η λεπτοµερής µελέτη των προβληµάτων που περιέχονται στον πάπυρο του Rhind, όπως αυτά περιγράφονται από τον Arnold Buffum Chace ( ) στο έργο του «The Rhind Mathematical Papyrus» (1927), µαρτυρά πως κατά την επίλυση πρακτικών προβληµάτων γινόταν χρήση των αναλογιών µε εµπειρικό τρόπο. Η µελέτη των ίδιων των προβληµάτων οδηγεί επίσης στο συµπέρασµα ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έλυναν τα προβλήµατα αναλογίας µε έναν διαισθητικό τρόπο επίλυσης που διαφέρει από τον δικό µας τρόπο σκέψης. Πράγµατι τα αριθµητικά προβλήµατα 62, 63, 65 και 68 του πάπυρου, αφορούν τη διανοµή ποσοτήτων διαφόρων αγαθών ανάµεσα σε σταθερό αριθµό ανδρών. Για παράδειγµα το πρόβληµα 65 λέει: «100 ψωµιά κατανέµονται µεταξύ 10 ανδρών στους οποίους συµπεριλαµβάνονται ένας βαρκάρης, ένας εργοδηγός κι ένας κλειδοκράτορας που λαµβάνουν διπλά µερίδια. Ζητείται να υπολογιστεί το µερίδιο του καθενός από τους 10 άνδρες». Μια άλλη κατηγορία προβληµάτων που συναντιούνται στον πάπυρο του Rhind (24-29, 35-38, 40,76) εµπλέκουν αναλογίες κι έχουν να κάνουν µε την επίλυση της γραµµικής εξίσωσης της µορφής: χ+αχ=β, χ+αχ+βχ=γ όπου α, β, γ θεωρούνται γνωστοί και χ θεωρείται άγνωστος που καλείται «αχά» και σηµαίνει ποσότητα, σωρός. Για παράδειγµα, το πρόβληµα 26 λέει: «Να υπολογιστεί µια ποσότητα δεδοµένου ότι το άθροισµα αυτής της ποσότητας και του ενός τετάρτου αυτής ισούται µε 15». Η αιγυπτιακή λύση αρχίζει ως εξής: «Λογάριασε µε το 4 και πάρε το τέταρτο µέρος αυτού δηλ. 1. Τότε το άθροισµα είναι 5. Κατόπιν εκτέλεσε τη διαίρεση 15:5=3 και τέλος τον πολλαπλασιασµό 43=12. Η ζητούµενη ποσότητα είναι λοιπόν 12, το τέταρτο µέρος είναι 3 και το άθροισµα τους 15». Σήµερα η µέθοδος επίλυσης τέτοιας µορφής προβληµάτων ονοµάζεται «µέθοδος της εσφαλµένης θέσης» ή «κανόνας του λάθους». Στην αρχή θεωρούµε µια υποθετική τιµή την οποία αντικαθιστούµε στη θέση του αγνώστου χ και κάνουµε τις πράξεις στο πρώτο µέλος της εξίσωσης. Η σχέση µεταξύ της τιµής που προκύπτει σαν αποτέλεσµα των πράξεων στο πρώτο µέλος της εξίσωσης µετά την αντικατάσταση του αγνώστου χ µε την υποθετική τιµή και του αριθµού που βρίσκεται στο δεύτερο µέλος της εξίσωσης ισούται µε τη σχέση της ζητούµενης τιµής του αγνώστου χ και της υποθετικής τιµής. Οι υπολογισµοί-αχά αποτελούν την κορωνίδα της αιγυπτιακής αριθµητικής. Οι Αιγύπτιοι µε την πρωτόγονη και επίπονη υπολογιστική τεχνική τους, δεν ήταν ικανοί να υπερβούν τις 19

20 γραµµικές εξισώσεις και τις διώνυµες εξισώσεις 2 ου βαθµού µε έναν άγνωστο. Όσο δε αφορά την αιγυπτιακή γεωµετρία είναι εφαρµοσµένη αριθµητική. Στα γεωµετρικά προβλήµατα ζητείται να υπολογιστούν εµβαδά και όγκοι. Όπως υποστηρίζει ο Chace, η διαδικασία υπολογισµού της ποσότητας αχά δείχνει να είναι πολύ κοντά στην έννοια της αναλογίας. Αναµφίβολα, αν και στις περισσότερες περιπτώσεις, οι τρόποι επίλυσης που περιγράφονται στα αιγυπτιακά κείµενα, δεν είναι οικείοι στο δικό µας τρόπο σκέψης, ωστόσο ενισχύουν την άποψη ότι είχε αναπτυχθεί ένας διαισθητικός τρόπος επίλυσης προβληµάτων αναλογίας (Γαγάτσης & Καφίδας, 1995) Βαβυλωνιακά Μαθηματικά Στην αρχαία Βαβυλώνα, ως αποτέλεσµα της ανάγκης µέτρησης, προέκυψαν τα σύµβολα για το 1 2, το 1 3 και το 2 που είναι ταυτόχρονα και σύµβολα δοχείων, 3 δηλαδή συγκεκριµένων µέτρων όγκου. Ο τρόπος που σκέπτονταν οι Βαβυλώνιοι ήταν πρωτίστως αλγεβρικός. Τους άγνωστους αριθµούς τους απεικόνιζαν µε γραµµές και επιφάνειες αλλά παρέµεναν πάντα αριθµοί. Οι Βαβυλώνιοι προσπαθούσαν να ανάγουν την επίλυση κάθε αλγεβρικής εξίσωσης στις ακόλουθες κανονικές µορφές: αχ=β, χ²=α, χ²+αχ=β, χ²-αχ=β, χ³=α, χ²(χ-1)=α τις οποίες έλυναν µε ευχέρεια. Μπορούσαν να λύσουν συστήµατα εξισώσεων µε δύο αγνώστους και είχαν αποδείξει γεωµετρικά τις ταυτότητες: (α+β)²=α²+2αβ+β², (α-β)²=α²-2αβ+β², (α+β)(α-β)= α²-β². Η εύρεση των αθροισµάτων αριθµητικών προόδων ήταν εύκολη δουλειά για τους βαβυλώνιους υπολογιστές όπως αποδεικνύουν πήλινες πλάκες που αναγράφουν προβλήµατα διανοµής χρηµατικών ποσών µεταξύ αδελφών σύµφωνα µε κάποια αριθµητική πρόοδο. Η ανακάλυψη πήλινων πλακών οδήγησε επίσης στο συµπέρασµα ότι οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν να υπολογίζουν εµπειρικά και πρακτικά τις αποστάσεις, τα ύψη και µεγέθη από τα όµοια τρίγωνα. Στα προβλήµατα αυτά οι λόγοι µήκους, πλάτους και διαγώνιου είναι: 3:4:5, 5:12:13, 8:15:17, 20:21:29. Οι πρακτικές αυτές γνώσεις επηρέασαν την Ελληνική σκέψη και ανέπτυξαν τα µαθηµατικά στην αρχαία Ελλάδα µια χιλιετία αργότερα. Μια πήλινη πλάκα, που βρέθηκε στο Ιράκ και χρονολογείται γύρω στο 2000 π. Χ. αποκαλύπτει διάφορες πτυχές των γνώσεων των Βαβυλωνίων µε αντικείµενο τα όµοια τρίγωνα. Το περιεχόµενο της συγκεκριµένης πλάκας παραπέµπει στο ακόλουθο θεώρηµα του Ευκλείδη: 20

21 «Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο φέρουµε την κάθετο από την κορυφή της ορθής γωνίας στην υποτείνουσα, τότε το καθένα από τα τρίγωνα που σχηµατίζονται είναι όµοιο προς το αρχικό τρίγωνο, ενώ συγχρόνως τα δυο καινούργια τρίγωνα είναι όµοια µεταξύ τους» (Γαγάτσης & Καφίδας, 1995). Σχήµα 1 Από αυτό το παράδειγµα προκύπτει ότι η γνώση της σχέσης α:β = γ:δ είχε καθιερωθεί ως µια πρακτική µέθοδος οικοδόµησης και µέτρησης. Επίσης σε ένα βαβυλωνιακό κείµενο από τη Λάρσα αναφέρεται το ακόλουθο πρόβληµα: «Ένα τρίγωνο του οποίου δίνεται η βάση β ίση µε 30, διαιρείται σε δύο µέρη µε µια ευθεία παράλληλη προς τη βάση, ήτοι στο τραπέζιο Κ µε ύψος υ και στο τρίγωνο Λ µε ύψος χ. ίνεται ότι Κ-Λ=7 και χ-υ=20. Να βρεθούν τα ύψη χ και υ καθώς και το µήκος του τµήµατος της ευθείας που τέµνει το τρίγωνο». Σχήµα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά Πυθαγόρειοι Στην Αρχαία Ελλάδα η έννοια της αναλογίας θεµελιώθηκε µαθηµατικά από τον Ευκλείδη και τον Εύδοξο (Kline, 1990; Sanford, 1958; Smith, 1953). Οι Αρχαίοι Έλληνες εφάρµοζαν κυρίως, τη µέθοδο των αναλογιών και τη µέθοδο των εµβαδών κατά την επίλυση απλών εξισώσεων. Εικάζεται ότι και οι δύο αυτές µέθοδοι 21

22 προέρχονται από τους Πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας είχε ταξιδέψει στις χώρες της ανατολής. Ο ρήτορας Ισοκράτης αναφέρει ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο όπου τον αιχµαλώτισε ο Πέρσης βασιλιάς Καµβύσης που τον πήρε µαζί του στη Βαβυλώνα. Ο Ιάµβλιχος αναφέρει ότι έµεινε εκεί επτά χρόνια και διδάχτηκε από τους ιερείς τη θεωρία των αριθµών, τη θεωρία της µουσικής κι άλλες επιστήµες. Επίσης έµαθε την «τελειότατη αναλογία» δηλαδή τη σχέση A:H=R:B όπου H είναι ο αρµονικός µέσος και R είναι ο γεωµετρικός µέσος των αριθµών Α και B. Ο Howard Eves στο βιβλίο του «Μεγάλες στιγµές των Μαθηµατικών» (1989) αναφέρει ότι η µέθοδος των αναλογιών οδηγεί κάποιον στην κατασκευή ενός ευθυγράµµου τµήµατος χ αν ισχύει α:β=γ:χ (σχήµα 3) ή α:χ=χ:β (σχήµα 4) όπου τα α, β, γ είναι γνωστά ευθύγραµµα τµήµατα. Σχήµα 3 Σχήµα 4 Κατά τη διάρκεια της περιόδου των Πυθαγορείων 6 ος -5 ος αιώνας π. Χ. οι λόγοι των µεγεθών θεωρούνταν σηµαντικοί. εν υπάρχουν όµως λεπτοµέρειες της θεωρίας τους σχετικά µε τις αναλογίες (Kline, 1972). Η αναλογία οριζόταν ως η ισότητα δύο λόγων και διακρινόταν σε τρεις τύπους: αριθµητική, γεωµετρική και αρµονική. Μια από τις σηµαντικότερες διαφορές της Ελληνικής µαθηµατικής παράδοσης από την Αιγυπτιακή και τη Βαβυλωνιακή είναι ότι τα προβλήµατα µέτρησης συνεχών µεγεθών τίθενται σε νέα θεωρητική βάση. Οι µαθηµατικοί αρχίζουν να αναζητούν µεθόδους µέτρησης µε βάση µια αφηρηµένη µονάδα µέτρησης µήκους, επιφάνειας ή 22

23 όγκου για την οποία απαιτείται απόδειξη της ύπαρξης. Το πρόβληµα της µέτρησης ενός µεγέθους Α µε τη βοήθεια της µονάδας Ε, συνίσταται αρχικά στο να βρεθεί πόσες φορές περιέχεται η µονάδα Ε στο Α, δηλαδή ζητείται αριθµός α τέτοιος ώστε Α= αε, όπου Α, Ε µεγέθη του ίδιου είδους. Ένα µέγεθος Χ είναι κοινό µέτρο των µεγεθών Α και Β, όταν περιέχεται ακέραιο αριθµό φορών στα µεγέθη αυτά δηλαδή: Α=αΧ, Β=βΧ οπότε τα µεγέθη λέγονται σύµµετρα. Οι αρχαίοι Έλληνες γεωµέτρες είχαν βρει µια αποτελεσµατική διαδικασία µε την οποία θα µπορούσαν να βρουν το κοινό µέτρο δυο µεγεθών Α και Β, αν υπάρχει. Πρόκειται για τη διαδικασία της ανθυφαίρεσης ή ανταναίρεσης, που είναι σήµερα γνωστή ως αλγόριθµος του Ευκλείδη, και η οποία εκτίθεται στις δυο πρώτες προτάσεις του βιβλίου VII των «Στοιχείων» του Ευκλείδη (Αργυρόπουλος, Βλάµος, Κατσούλης, Μαρκάτης, & Σιδέρης,, 2001). Η διαδικασία περιγράφεται µε τον παρακάτω τρόπο. Υποθέτουµε ότι Α> Β οπότε έχουµε: Α= κ Β+Β, Β <Β Β= κ Β +Β, Β <Β Β = κ Β +Β, Β <Β Β = ν κ ν + 2 Τότε το Χείναι το ζητούµενο κοινό µέτρο (Davis, 1993; Νεγρεπόντης, 2009). Αν ο αλγόριθµος δεν τερµατίζεται τα δυο µεγέθη είναι ασύµµετρα. Η ιδέα να εφαρµοστεί η ανθυφαίρεση σα κριτήριο ασυµµετρίας δυο µεγεθών πιθανότατα ανήκει στο Θεαίτητο. Το κριτήριο αυτό αποδεικνύεται στην πρόταση 2 του βιβλίου Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη. Η πρώτη θεωρία αναλογιών που ίσχυε για την περίπτωση των αριθµών και των συµµέτρων µεγεθών ανήκει στους Πυθαγόρειους. Ο ορισµός που αποτέλεσε τη βάση αυτής της θεωρίας είναι οεξής «Έστω α, β δύο σύµµετρα µεγέθη και γ, δ δύο άλλα σύµµετρα µεγέθη, όχι κατά ανάγκη οµοειδή προς τα α, β. Τότε a = γ αν και µόνο αν β δ το α είναι το ίδιο πολλαπλάσιο ή το ίδιο µέρος ή τα ίδια µέρη του β όπως το γ είναι του δ». H δεύτερη θεωρία αναλογιών είναι η ανθυφαιρετική θεωρία λόγων, η οποία ίσχυε και σε οµογενή ασύµµετρα µεγέθη. Ο ορισµός που αποτέλεσε τη βάση αυτής της θεωρίας είναι οεξής «Έστω α, β ένα ζεύγος οµογενών µεγεθών µε α>β και γ, δ ένα άλλο ζεύγος οµογενών µεγεθών µε γ>δ. Χ 23

24 Τότε α = γ αν και µόνο αν Ανθ(α, β)=ανθ(γ, δ)» (Νεγρεπόντης, 2009). β δ Οι Πυθαγόρειοι είχαν µαθηµατική αισθητική θεώρηση του σύµπαντος. Σύµφωνα µε τη διδασκαλία τους, ο Θεός είναι ενότητα και ο κόσµος είναι πολλαπλότητα που συνίσταται από αντιτιθέµενα στοιχεία. Η αρµονία δηµιουργεί την ενότητα ανάµεσα στα αντιτιθέµενα µέρη και τα συγκροτεί σε κόσµο (Van Der Waerden, 2000). ηλαδή υπάρχει µια σχέση ανάµεσα σε όλα τα στοιχεία, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µε ένα πλήθος αναλογιών. Εποµένως όλα τα στοιχεία του κόσµου διέπονται τελικά από το λόγο, την αρµονία και τον αριθµό καταλήγοντας σε µια συµφωνία, σε µια αρµονική σύνδεση των µερών µεταξύ τους και του όλου. Στη διαπίστωση αυτή στηρίχτηκε ο συµβολισµός και ο µυστικισµός που επηρέασε την ανθρώπινη σκέψη για τις επόµενες δυο χιλιετίες (Ευαγγελόπουλος, 2002). Ο Πυθαγόρας, που έζησε από το 580 π. Χ. µέχρι πιθανόν το 490 π. Χ., ήταν από τους πρώτους Έλληνες που ασχολήθηκε µε τους λόγους και τις αναλογίες των φυσικών αριθµών. Υπάρχει µια παράδοση που αναφέρει τον τρόπο µε τον οποίο ο Πυθαγόρας οδηγήθηκε σε αυτήν την έρευνα. Στην Αλεξάνδρεια, όπου έζησε αρκετά χρόνια, βρέθηκε µια µέρα κοντά σε κάποιο σιδηρουργείο, όπου τέσσερις τεχνίτες χτυπούσαν µε τα σφυριά τους ένα πυρακτωµένο µέταλλο. Ο ήχος από τα κτυπήµατα ήταν παράξενα µελωδικός. Αυτό κέντρισε την περιέργεια του Πυθαγόρα, που αναζήτησε το λόγο της απροσδόκητης µελωδίας αυτών των ήχων. Ζήτησε από τους τεχνίτες να εξετάσει τα σφυριά τους. Παρατήρησε ότι το βάρος τους δεν ήταν το ίδιο. Συγκρίνοντας το πιο βαρύ µε τα υπόλοιπα, βρήκε τους λόγους 3 2, 4 3 και 1 2 αντίστοιχα. Σκέφτηκε ότι οι λόγοι αυτοί, πιθανόν, να είχαν κάποια σχέση µε τους ήχους που άκουσε. Πήρε τότε τέσσερις µεταλλικές χορδές και τις τέντωσε έτσι ώστε, τα µήκη τους να έχουν αντίστοιχους λόγους. ηλαδή, η δεύτερη είχε µήκος ίσο µε τα 3 4 του µήκους της πρώτης, η τρίτη είχε µήκος ίσο µε τα 2 3 του µήκους της πρώτης και η τέταρτη είχε µήκος ίσο µε το 1 του µήκους της πρώτης. Έκρουσε τις χορδές και 2 διαπίστωσε ότι οι ήχοι είχαν την ίδια µελωδική σχέση µε αυτή που άκουσε στο σιδηρουργείο. Ήταν µια «αρµονία» ήχων (συγχορδία). Οι παλλόµενες χορδές όταν έχουν αναλογία µήκους 1/2, 2/3, 3/4 παράγουν «αρµονικές συγχορδίες» δηλαδή ζεύγη από νότες που ακούγονται ευχάριστα. Με τον τρόπο αυτό, ο Πυθαγόρας 24

25 ανακάλυψε τους αρµονικούς τόνους της µουσικής κλίµακας. Έτσι, οι λόγοι των φυσικών αριθµών ερµήνευαν για πρώτη φορά φαινόµενα που κανείς µέχρι τότε δεν µπόρεσε να συσχετίσει και να εξηγήσει. Ο δρόµος για την αναζήτηση της γνώσης είχε ανοίξει. Η έρευνα και η ερµηνεία των φαινόµενων της φύσης έχει ήδη διαµορφώσει στο νου των ανθρώπων ένα νέο κώδικα, µια νέα «παγκόσµια» γλώσσα: τα µαθηµατικά (Βανδουλάκης, Καλλιγάς, Μαρκάκης, & Φερεντίνος, 2007). εχόµενοι ότι όλα τα όντα και τα φαινόµενα είναι αριθµοί ή εκφράζονται µε αριθµούς, οι Πυθαγόρειοι µελέτησαν τις σχέσεις των µουσικών τόνων και των αρµονιών και ανακάλυψαν ότι αυτές εκφράζονται µε µεγάλη ακρίβεια µε απλούς αριθµητικούς λόγους 1:2:3:4. Τα ωραία ακούσµατά της µουσικής βασίζονται στη διαδοχή ήχων µε συγκεκριµένο λόγο συχνοτήτων (µουσικά διαστήµατα). ύο χορδές συνηχούν αρµονικά όταν έχουν λόγους µηκών 2:1, 3:2, 4:3 και 9:8. Σήµερα αυτό έχει επιβεβαιωθεί από τη Φυσική µε την ανάλυση Fourier και τις έρευνες του Helmholtz. Όταν δυο νότες συνηχούν, η αρµονία που παράγεται οφείλεται στη σύµπτωση των αρµονικών τους συνιστωσών που πραγµατοποιείται µόνο όταν ο λόγος συχνοτήτων τους είναι λόγος µικρών φυσικών αριθµών. Από το λόγο 2:1 προκύπτει το µουσικό διάστηµα που λέγεται οκτάβα, το διαπασών όπως το ονόµαζαν οι Πυθαγόρειοι.. Αν κρούσουµε δηλαδή µια χορδή και τη ξανακρούσουµε αφού δεσµευθεί η µισή χορδή οι δύο ήχοι που ακούγονται είναι πανοµοιότυποι αλλά σε διαφορετικό ύψος. Επίσης το µουσικό διάστηµα 2:3 είναι η πέµπτη και το µουσικό διάστηµα 3:4 η τέταρτη. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι αριθµοί µπορούν να εξηγήσουν τη δοµή του σύµπαντος, αφού «οι αριθµοί είναι η ουσία των όντων» και οι αναλογίες κυριαρχούν και διέπουν στην εκ του χάους δηµιουργία της µορφής του κόσµου (Χριστιανίδης κ.ά., 2001). Η πίστη αυτή τους οδήγησε στη µελέτη των αναλογιών που εµφανίζονται στη φύση. Από τη µελέτη των αριθµών και των ιδιοτήτων τους θεµελιώθηκε η Αριθµητική, η Θεωρία αριθµών. Στο πλαίσιο της ενασχόλησής τους µε την αιτία δηµιουργίας του κόσµου, το ζήτηµα της πρώτης αρχής, οι Πυθαγόρειοι µιλούσαν για το απόλυτο ΕΝΑ. Συγκεκριµένα η Μονάδα που εκφράζει το πέρας (το τέλειο, το τέλος) και η υάδα που εκφράζει το άπειρο (το ατελές) είναι οι αρχές των πάντων. Η αιτία του πέρατος και του απείρου είναι το ΕΝΑ, που δε θεωρήθηκε αριθµός αλλά δηµιουργός όλων των διαστάσεων, και αναπαρίστατο από το σηµείο (Ευαγγελόπουλος, 2002, Χριστιανίδης κ.ά., 2001). Στη συνέχεια διέκριναν τους αριθµούς σε περιττούς και άρτιους. Στους περιττούς απέδωσαν αρσενικές ιδιότητες και τους συσχέτισαν µε το φως και το καλό, ενώ στους άρτιους απέδωσαν θηλυκές 25

26 ιδιότητες και τους συσχέτισαν µε το σκοτάδι και το κακό. Το 2, ο πρώτος θηλυκός αριθµός αναπαριστά το ευθύγραµµο τµήµα και εκφράζει τη γνώµη και τη διαίρεση. Το 3, ο πρώτος αρσενικός αριθµός εκφράζει την αρµονία γιατί συνδυάζει την ενότητα (ένα) µε τη διαίρεση (δύο). Έχει αρχή, µέση και τέλος και γεωµετρικά εκφράζεται µε το τρίγωνο. Ο αριθµός 4 είναι ο αριθµός της δικαιοσύνης και της τάξης. Ο αριθµός 5 αντιπροσωπεύει απόλυτα τους Πυθαγορείους γιατί προέρχεται από την ένωση του πρώτου θηλυκού αριθµού 2 µε τον πρώτο αρσενικό αριθµό 3. Ο αριθµός 5 οδηγεί πιθανώς στην προέλευση της Χρυσής Τοµής, εκφράζεται µε το πεντάκτινο αστέρι που ήταν έµβληµα της σχολής τους και σύµβολο της αδελφότητας των Πυθαγορείων, το οποίο αποκαλούσαν «Υγεία». Εικάζεται ότι µπορούσαν να το κατασκευάσουν και η κατασκευή αυτή στηριζόταν στη διαίρεση ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο. Επιπλέον ανακάλυψαν την παραστατικότητα των αριθµών θεωρώντας ότι κάθε αριθµός µπορεί να οπτικοποιηθεί σε σχήµα. Έτσι διέκριναν τους αριθµούς σε: = + τρίγωνοι αριθµοί ν ν( ν 1) ν 1 = ν τετράγωνοι αριθµοί ( ) ν ν( ν 1) = + ορθογώνιοι αριθµοί = πεντάγωνοι αριθµοί ( 3ν 2) ν( 3ν 1) που προκύπτουν από αθροίσµατα απλών αριθµητικών προόδων. Το κλειδί για τη µελέτη των παραστατικών αριθµών είναι η έννοια του «γνώµονα» δηλαδή του φυσικού αριθµού ο οποίος αν προστεθεί σε έναν όρο της ακολουθίας παράγει τον επόµενο όρο της ακολουθίας (Χριστιανίδης κ. ά., 2001) Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας Αρχικά οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο κόσµος δοµείται µε τρόπο ρητό (Davis, 1993; Heath, 2001; Αργυρόπουλος κ. ά., 2001; Παπαδόπουλος, 1995). Όλες οι δοµικές σχέσεις του σύµπαντος είναι σχέσεις λόγων θετικών ακέραιων αριθµών. Ο λόγος οποιονδήποτε φυσικών ή γεωµετρικών µεγεθών µπορεί να εκφραστεί σα λόγος φυσικών αριθµών. Θεωρούσαν ότι όλα τα τµήµατα είναι σύµµετρα, δηλαδή για δύο τυχαία τµήµατα ΑΒ και Γ υπάρχει τµήµα ΕΖ που περιέχεται ακέραιο αριθµό φορών τόσο στο ΑΒ όσο και στο Γ. Όµως αυτή η πυθαγόρεια πίστη για τη σύµµετρη (ρητή) δοµή του κόσµου έµελλε να διαψευστεί από µία ανακάλυψη που έκαναν. 26

27 Είναι πιθανόν η ανακάλυψη της ύπαρξης ασύµµετρων µεγεθών να έγινε από τον πυθαγόρειο Ίππασο (500 π. Χ.). ε γνωρίζουµε µε βεβαιότητα ποιο ακριβώς πρόβληµα οδήγησε τους αρχαίους Έλληνες στην ανακάλυψη αυτή. Μπορεί να έγινε στη γεωµετρία, στο πρόβληµα της εύρεσης κοινού µέτρου της διαγώνιου προς την πλευρά τετραγώνου, ή κατά τη µελέτη του κανονικού δωδεκαέδρου, ή στη θεωρία της µουσικής στο πρόβληµα της διαίρεσης της οκτάβας, που ανάγεται στην εύρεση του γεωµετρικού µέσου των αριθµών 1 και 2, δηλαδή στην εύρεση αριθµού χ για τον οποίο: 1 χ χ 2 χ 2 = = 2 ή στην αριθµητική στο πρόβληµα του ορισµού του λόγου που το τετράγωνό του ισούται µε δύο. Η πρώτη µαρτυρία για την απόδειξη της ασυµµετρίας (αλλά όχι κατά ανάγκη και ιστορικά πρώτη απόδειξη) αναφέρεται στα «Αναλυτικά Ύστερα» του Αριστοτέλη όπου η απόδειξη της ασυµµετρίας της διαγώνιου µε την πλευρά τετραγώνου γίνεται µε τη µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, γιατί «αν υποτεθεί ότι η διάµετρος είναι σύµµετρη µε την πλευρά, τότε ο άρτιος θα ισούται µε τον περιττό». Σχήµα 5 Η πρόταση αυτή του Αριστοτέλη ερµηνεύεται ως εξής: Αν υποθέσουµε ότι η πλευρά ΑΒ είναι σύµµετρη προς τη διαγώνιο ΑΓ, τότε ο λόγος τους είναι λόγος ακέραιων αριθµών, δηλαδή ΑΒ α = όπου οι α, β δεν είναι και οι ΑΓ β δύο άρτιοι. Τότε από το Πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε: ΑΓ²=2ΑΒ² οπότε α β 2 2 ΑΒ 2 = 2 = ΑΓ 1 2 δηλαδή β²=2α². Αυτό σηµαίνει ότι ο β² είναι άρτιος εποµένως και ο β είναι άρτιος (δηλαδή της µορφής β=2λ). Τότε ο α πρέπει να είναι περιττός (αφού οι α, β δεν είναι και οι δύο άρτιοι). Όµως τότε (2λ)²=2α² ή 4λ²=2α² ή2λ²=α² οπότε ο α² είναι άρτιος, εποµένως και ο α είναι άρτιος που είναι άτοπο. Η απόδειξη αυτή έχει 27

28 καθαρά αριθµητικό χαρακτήρα και στηρίζεται στη θεωρία διαιρετότητας δια 2, που είχαν αναπτύξει οι Πυθαγόρειοι (Davis, 1993; Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Στη συνέχεια βρέθηκαν και άλλα ασύµµετρα τµήµατα. Ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος (τέλη του 5 ου αιώνα π. Χ.) ανακάλυψε ότι οι πλευρές των τετραγώνων µε εµβαδόν 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15 είναι ασύµµετρες µε τη διαγώνιο του τετραγώνου µε πλευρά τη µονάδα. Ο Θεαίτητος απέδειξε ότι αν το εµβαδόν τετραγώνου εκφράζεται µε έναν αριθµό Ν που δεν είναι τετράγωνος, τότε η πλευρά του είναι ασύµµετρη µε τη µονάδα. Με σύγχρονη ορολογία, αν 2 Ν α τότε Ν δεν είναι ρητός αριθµός. Ο Θεαίτητος συνέχισε τις έρευνές του και απέδειξε ότι όλοι οι αριθµοί της µορφής 3 Ν, Ν Nδεν είναι τέλειοι κύβοι. Η ανακάλυψη της ασυµµετρίας οδήγησε στην αντίληψη ότι ο λόγος της πλευράς ενός τετραγώνου προς τη διαγώνιό του δεν µπορεί να εκφραστεί εφόσον οι µόνοι αποδεκτοί αριθµοί είναι οι φυσικοί και τα κλάσµατα. Αν και η τετραγωνική ρίζα του 2 και του 5 ήταν γνωστοί άρρητοι, εντούτοις η ανακάλυψή τους οδήγησε στην αποφυγή αναλογιών οπουδήποτε κι αν εµφανίζονταν οπότε προκλήθηκε δυσκολία στην ανάπτυξη της γεωµετρίας. Αργότερα αποδείχτηκε ότι οι άρρητοι αριθµοί 2, 3, 5,...µπορούν να κατασκευαστούν µε τη βοήθεια του κανόνα και του διαβήτη (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Στο βιβλίο Χ πρόταση 2 των Στοιχείων του Ευκλείδη βρίσκεται ένα γεωµετρικό κριτήριο για την ασυµµετρία δύο ευθυγράµµων τµηµάτων: «Εάν δοθούν δύο άνισα µεγέθη και ανθυφαιρείται πάντοτε το µικρότερο από το µεγαλύτερο, το εκάστοτε δε υπόλοιπο ουδέποτε καταµετρεί το προηγούµενο αυτού, τα µεγέθη θα είναι ασύµµετρα» Η ιδέα της διαδοχικής ανθυφαίρεσης, αν εφαρµόζεται σε δύο αριθµούς υπολογίζει το µέγιστο κοινό διαιρέτη τους ενώ αν εφαρµόζεται σε δυο σύµµετρα µεγέθη οδηγεί στο µέγιστο κοινό µέτρο τους. Αν αυτή η διαδικασία δεν τερµατίζεται, τότε δεν υπάρχει κοινό µέτρο. Οπότε η ανακάλυψη της ασυµµετρίας σηµαίνει ότι υπάρχουν µεγέθη για τα οποία δε θα βρεθεί ποτέ κοινό µέτρο. Επιπλέον η ανακάλυψη της ασυµµετρίας, αποτέλεσε ένα πρόσθετο έναυσµα για τη φιλοσοφική προσέγγιση του ζητήµατος. Το γεγονός ότι η επιστήµη των Μαθηµατικών, µε την αφηρηµένη σκέψη, είναι σε θέση να ανακαλύπτει οντότητες που δε συναντιόνται στην ορατή πραγµατικότητα των αισθήσεων, όπως οι άρρητοι αριθµοί, οδήγησε τους αρχαίους Έλληνες στο φιλοσοφικό συµπέρασµα ότι πίσω και πάνω από την αισθητή πραγµατικότητα υπάρχει η νοητή. Αυτή είναι η βάση της Πλατωνικής φιλοσοφίας, που είχε και εξακολουθεί να έχει τεράστια επίδραση στην σκέψη. Ο Πλάτωνας, βαθειά 28

29 επηρεασµένος από τα µαθηµατικά, πίστευε στην ύπαρξη των Ιδεών, νοητών οντοτήτων ανώτερων από τον αισθητό κόσµο στον οποίο ζούµε (Heath, 2001) Τα μη επιλύσιμα γεωμετρικά προβλήματα της αρχαιότητας Τον 5 ο αιώνα διατυπώθηκαν στην αρχαία Ελλάδα τρία προβλήµατα που έµελλε να γίνουν πασίγνωστα. Πρόκειται για το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου, της τριχοτόµησης γωνίας και του τετραγωνισµού του κύκλου (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001; Χριστιανίδης κ. ά., 2001). Η ιστορία των προβληµάτων αυτών είναι πολύ µεγάλη αφού τα δύο πρώτα λύθηκαν στις αρχές του περασµένου αιώνα, ενώ το τρίτο στα τέλη του. Αποδείχτηκε ότι και τα τρία προβλήµατα δεν είναι επιλύσιµα µε τα µέσα που ορίζονται στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, δηλαδή µε κανόνα και διαβήτη. Τα προβλήµατα του διπλασιασµού του κύβου και της τριχοτόµησης της γωνίας αποδείχθηκε το 1837, µε τη βοήθεια της θεωρίας Galois, ότι είναι αδύνατο να επιλυθούν µε κανόνα και διαβήτη. Το αδύνατο της κατασκευής µε κανόνα και διαβήτη τετραγώνου µε εµβαδό ίσο µε δοθέντα κύκλο γνωστής ακτίνας αποδείχτηκε το 1882 από τον C. F. Von Lindemann. Η ιστορική σηµασία αυτών των προβληµάτων συνίσταται στο γεγονός ότι ήταν οι πρώτες αποδείξεις ύπαρξης κατασκευών µη επιλύσιµων στα µαθηµατικά. Ο διπλασιασμός του κύβου Αν συµβολίσουµε µε α την ακµή ενός κύβου τότε το πρόβληµα ζητά να βρεθεί η ακµή του κύβου που έχει διπλάσιο όγκο από τον αρχικό κύβο, δηλαδή ζητείται να 3 3 βρεθεί µέγεθος χ ώστε να ισχύει: χ = 2α. Η προέλευση του προβλήµατος δεν είναι ιστορικά εξακριβωµένη. Σύµφωνα µε ένα θρύλο που αναφέρει ο Πλούταρχος, οι Αθηναίοι το 430 π. Χ. στη ήλο ζήτησαν το χρησµό του Απόλλωνα για το πώς θα αντιµετωπίσουν µια επιδηµία. Εκείνος υπέδειξε πως για να σταµατήσει το πρόβληµα θα έπρεπε να διπλασιάσουν το µέγεθος του βωµού του. Για αυτό ονοµάζεται και ήλιο πρόβληµα. Ο πρώτος που το µελέτησε ήταν ο Ιπποκράτης ο Χίος (περίπου π. Χ.), ο οποίος ήταν εξοικειωµένος µε την έννοια της αναλογίας και γνώριζε ότι τα εµβαδά των όµοιων σχηµάτων είναι ανάλογα προς τα τετράγωνα των οµόλογων πλευρών τους. Γνώριζε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα αλλά και τη γενίκευσή του για οξυγώνια και αµβλυγώνια τρίγωνα. Επίσης µπορούσε να τετραγωνίσει ένα ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή να κατασκευάσει τετράγωνο µε την ίδια επιφάνεια. Γνώριζε πώς να κατασκευάζει ευθύγραµµα τµήµατα τα τετράγωνα των οποίων έχουν 29

30 λόγο 3:2 ή 6:1 ως προς το τετράγωνο δεδοµένου ευθύγραµµου τµήµατος. Ασχολήθηκε µε το πρόβληµα διπλασιασµού του κύβου που το ανήγαγε στην εύρεση δύο µέσων ανάλογων χ και ψ σε συνεχή αναλογία µεταξύ των µεγεθών α και 2α. α χ ψ Ζητείται δηλαδή να βρεθούν δύο µεγέθη χ και ψ ώστε να ισχύει: = = (1). χ ψ 2α 3 α Αν ισχύει η (1) τότε: 3 χ α =, όπου το α είναι γνωστό τµήµα. 2α Αργότερα ο Αρχύτας ο Ταραντίνος ( π. Χ.) έλυσε το πρόβληµα δια των ηµικυλίνδρων. Έδειξε ότι το µέγεθος χ µπορεί να βρεθεί ως τοµή ενός κώνου, ενός κυλίνδρου και της επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή µιας περιφέρειας περί την εφαπτοµένη της, δηλαδή της επιφάνειας «κρίκου» (torus) µηδενικού ανοίγµατος. Η λύση του Αρχύτα ξέφευγε από τα καθιερωµένα µέσα του κανόνα και του διαβήτη, αλλά αποδείκνυε την ύπαρξη δύο µέσων ανάλογων µεταξύ δύο οποιωνδήποτε µεγεθών (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Στο απόσπασµα για τη θεωρία των αριθµών του Αρχύτα, που παρατίθεται από το Βοήθιο, περιέχεται η απόδειξη ότι δεν υπάρχει µέση ανάλογος µεταξύ των αριθµών ν+1 και ν. Στη θεωρία της µουσικής αυτό σηµαίνει ότι η οκτάβα, η 5 η, η 4 η και ολόκληρος ο τόνος δεν αναλύονται σε δύο ή περισσότερα ίσα διαστήµατα. Αυτό το πρόβληµα των µέσων αναλόγων, σε γεωµετρική γλώσσα οδηγεί στο συµπέρασµα ότι υπάρχουν ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα (Van Der Waerden, 2000). Οι µεταγενέστερες αναζητήσεις στράφηκαν στην εύρεση εναλλακτικών τρόπων κατασκευής των µέσων ανάλογων των µεγεθών α και 2α όπως απαιτούσε η αναλογία στην οποία είχε αναγάγει το πρόβληµα ο Ιπποκράτης ο Χίος δηλαδή αψ=χ² ή χψ=α(2α) ή ψ²=(2α)χ. Η κατασκευή του σηµείου τοµής των δύο αυτών γεωµετρικών τόπων και η εύρεση των συντεταγµένων του δίνει τη λύση του προβλήµατος. Όµως η µελέτη τέτοιων τόπων δεν ήταν εφικτή στην αρχαιότητα. Αρχικά έπρεπε να αποδειχθεί ότι οι τόποι αυτοί ήταν συνεχείς καµπύλες για να έχει υπόσταση το σηµείο τοµής. Ο Μέναιχµος (περίπου το δεύτερο µισό του 4 ου αιώνα π. Χ.) κατάφερε να παραστήσει τους τόπους αυτούς ως επίπεδες τοµές κώνων εκ περιστροφής. Είναι πιθανό ο στερεοµετρικός αυτός προσδιορισµός του σηµείου τοµής να έπαιξε το ρόλο απόδειξης για την ύπαρξη και τη συνέχεια των υπό µελέτη γεωµετρικών τόπων. Οι αρχαίοι Έλληνες αντιµετώπισαν το πρόβληµα διπλασιασµού του κύβου από διάφορες σκοπιές. Ο Ευτόκιος (6 ος αιώνας µ.χ.) στα σχόλια του για την πραγµατεία του Αρχιµήδη «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» αναφέρει 12 προτεινόµενες λύσεις. Κάποιες 30

31 λύσεις είναι µηχανικές, όπως του Ερατοσθένη του Κυρηναίου ( π. Χ.) που πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια του «µεσολάβου» ενός µηχανικού οργάνου που επινόησε για αυτό το σκοπό. Άλλες λύσεις γίνονται µε την εισαγωγή νέων καµπύλων όπως οι λύσεις του Νικοµήδη (περίπου 200 π. Χ.) και του ιοκλή (περίπου 1 ος αιώνας µ. Χ.) που πραγµατοποιούνται µε τη βοήθεια των φερώνυµων καµπύλων δηλαδή της κογχοειδούς καµπύλης και της κισσοειδούς καµπύλης αντίστοιχα. Μέχρι την εποχή του Ευκλείδη (τέλη του 4 ου αιώνα π. Χ.) είχε εδραιωθεί η πεποίθηση για τη µη επιλυσιµότητα του προβλήµατος µε κανόνα και διαβήτη. Η γενίκευση του προβλήµατος διπλασιασµού του κύβου είναι κατά τον Πλάτωνα το κεντρικό πρόβληµα της στερεοµετρίας. Η δύναµη του διπλασιασµού είναι η πράξη του να διπλασιάζονται αριθµοί, εµβαδά, όγκοι, λόγοι. Ο επαναλαµβανόµενος διπλασιασµός ενός λόγου σχηµατίζει συνεχή αναλογία όπως: α:χ= χ:ψ=ψ:2α στην οποία ανάγεται ο διπλασιασµός του κύβου (Van Der Waerden, 2000). Θα δώσουµε τώρα τη λύση που αποδίδεται στον Πλάτωνα ( π. Χ.) µε παρεµβολή δυο µέσων αναλόγων. Έστω δυο κάθετοι άξονες που τέµνονται στο Ο. Στον ένα άξονα παίρνουµε τµήµα ΟΑ=α και στον άλλον τµήµα ΟΒ=2α. Φέρνουµε τώρα ΑΚ // ΒΛέτσι ώστε ΑΚ ΚΛ και ΒΛ ΚΛΤο. ζητούµενο τµήµα χ είναι το ΟΚ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΛ: Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΚΛ: 2 ΟΑ ΟΚ ΟΚ =ΟΑi ΟΛ = ΟΚ ΟΛ 2 ΟΚ ΟΛ ΟΛ =ΟΚi ΟΒ = ΟΛ ΟΒ Σχήµα 6 31

32 Άρα ΟΑ ΟΚ ΟΛ α χ ψ = = = =. Οπότε το ζητούµενο τµήµα χ=οκ= α 3 2. Η ΟΚ ΟΛ ΟΒ χ ψ 2α τεθλασµένη γραµµή ΑΚΛΒ µε ορθές γωνίες Κ και Λ µπορεί να επιτευχθεί µε ειδικό όργανο, όπου σε ένα µεταβλητό ορθογώνιο πλαίσιο ολισθαίνει µια πλευρά κάθετα σε δύο άλλες που είναι σταθερές. Η πρώτη προσπάθεια απόδειξης της µη επιλυσιµότητας της ειδικής περίπτωσης κυβικής εξίσωσης = 20, µε τη βοήθεια των τετραγωνικών άρρητων 3 2 χ χ χ του βιβλίου X των «Στοιχείων», έγινε από το Leonardo de Pisa. Μετά από αυτόν πέρασαν 400 χρόνια ώσπου ο Descartes να διατυπώσει το γενικό κριτήριο µη επιλυσιµότητας κυβικών εξισώσεων: Οι ρίζες µιας κυβικής εξίσωσης µε ρητούς συντελεστές µπορούν να κατασκευαστούν µε κανόνα και διαβήτη αν η εξίσωση είναι αναγώγιµη, έχει δηλαδή µια ρητή ρίζα (ο Descartes υπέθεσε ότι όλες οι ρίζες είναι πραγµατικές). Το 1637 διατύπωσε την υπόθεση ότι η λύση της εξίσωσης 3 3 χ = 2α για α=1 δηλαδή το µέγεθος χ = 3 2 δεν είναι δυνατόν να κατασκευαστεί µε κανόνα και διαβήτη. Τέλος το 1837 ο Pierre Laurent Wantzell ( ) απέδειξε τη µη επιλυσιµότητα του προβλήµατος µε κανόνα και διαβήτη (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001) Η γενική θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου. Ο ορισµός για την έννοια της αναλογίας που χρησιµοποιούσαν οι Πυθαγόρειοι µπορούσε να εφαρµοστεί µόνο σε σύµµετρα µεγέθη. Η ανακάλυψη της ύπαρξης ασύµµετρων µεγεθών περιθωριοποίησε την έννοια της αναλογίας και οδήγησε στη διατύπωση µιας νέας θεωρίας από τον Εύδοξο τον Κνίδιο ( π. Χ.) που ήταν µαθητής του Πλάτωνα. Η νέα θεωρία των αναλογιών εκτίθεται στο Βιβλίο V των «Στοιχείων» του Ευκλείδη. Ήταν µια προσεκτικά διατυπωµένη γεωµετρική θεωρία που στηρίζεται στη γενική έννοια του µεγέθους, περιλαµβάνοντας έτσι και τους αριθµούς και τα άλλα συνεχή µεγέθη (µήκη, επιφάνειες, όγκοι). Χαρακτηρίζεται ως «γενική» γιατί παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο για την απόδειξη αποτελεσµάτων που αναφέρονται σε κάθε είδους µεγέθη γεωµετρικά όπως ευθύγραµµα τµήµατα, επίπεδα χωρία, γωνίες αλλά και µη γεωµετρικά όπως χρόνοι, ανεξάρτητα αν είναι σύµµετρα ή ασύµµετρα (Heath, 2001; Χριστιανίδης κ. ά., 2001). Το βιβλίο V περιλαµβάνει 18 ορισµούς, 25 θεωρήµατα που αποδεικνύονται περιφραστικά µε βάση τους ορισµούς. Η έννοια της αναλογίας εισάγεται αξιωµατικά µε τη βοήθεια των Κοινών Εννοιών που διατυπώνονται στο Βιβλίο I που ορίζουν τις 32

33 σχέσεις ισότητας και ανισότητας. Ο Εύδοξος ορίζει πότε δύο ζεύγη Αρχιµήδειων µεγεθών α, β και γ, δ έχουν τον ίδιο λόγο µε τη βοήθεια των πολλαπλασίων αυτών των µεγεθών, δηλαδή: Ορισµός 5: Είναι α = γ δηλαδή τα µεγέθη α και γ έχουν τον ίδιο λόγο προς τα β δ µεγέθη β και δ αν όταν πολλαπλασιάσουµε τα α και γ µε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο µ και τα β και δ µε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο ν, τότε ισχύει: 1) µα > νβ συνεπάγεται ότι µ γ > ν δ ή 2) µα = νβ συνεπάγεται µ γ = ν δ ή 3) µα < νβ συνεπάγεται µ γ < ν δ. Ο λόγος α:β είναι ίσος µε το λόγο γ:δ αν όποια κι αν είναι η σχέση διάταξης µεταξύ δύο τυχαίων πολλαπλασίων του α και του β, η ίδια ακριβώς σχέση διάταξης θα υπάρχει µεταξύ των αντίστοιχων πολλαπλασίων του γ και του δ (Χριστιανίδης κ. ά., 2001). Τότε τα µεγέθη α, β, γ, δ λέγονται ανάλογα (ορισµός 6). Η σχέση της αναλογίας είναι σχέση τύπου ισότητας, δηλαδή συµµετρική και µεταβατική, και έτσι τα ζεύγη µεγεθών διαµερίζονται σε κλάσεις ισοδυναµίας ζευγών που έχουν τον ίδιο λόγο. Οπότε, ο λόγος µπορεί να εισαχθεί ως το κοινό χαρακτηριστικό που έχουν τα ζεύγη µεγεθών µιας κλάσης. Η γενική θεωρία των αναλογιών αποτελεί τη βάση της µεθόδου της εξάντλησης, η οποία εφαρµόστηκε από τους αρχαίους Έλληνες στη µέτρηση (µη στοιχειωδών) επιφανειών και όγκων. Στηρίζεται στην ιδέα ότι αν από κάποιο µέγεθος αφαιρέσουµε περισσότερο από το µισό, από το υπόλοιπο επίσης περισσότερο από το µισό του, και συνεχίσουµε έτσι, τότε µετά από πεπερασµένο αριθµό βηµάτων παίρνουµε υπόλοιπο µικρότερο από οποιοδήποτε δεδοµένο µέγεθος. Αυτή είναι η πρόταση 1 του βιβλίου Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη. Με άλλα λόγια, η διαφορά ανάµεσα σε µια µεταβλητή ποσότητα που τείνει σε ένα όριο, και στο όριο αυτό, µπορεί να γίνει όσο µικρή θέλουµε µε υποδιπλασιασµό της. Με τη βοήθεια της µεθόδου της εξάντλησης ο Εύδοξος απέδειξε τα παρακάτω θεωρήµατα: Τα εµβαδά δύο κύκλων έχουν λόγο ίσο προς το λόγο των τετραγώνων των διαµέτρων τους. Ο όγκος πυραµίδας ισούται µε το 1/3 του όγκου του πρίσµατος µε την ίδια βάση και ίσο ύψος. 33

34 Ο όγκος του κώνου ισούται µε το 1/3 του όγκου του κυλίνδρου µε την ίδια βάση και ίσο ύψος. Με την ίδια µέθοδο ο Αρχιµήδης βρήκε ένα πλήθος νέων εµβαδών και όγκων, όπως το εµβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας κυλίνδρου και κώνου, το εµβαδόν της επιφάνειας σφαίρας, τον όγκο της σφαίρας κ. ά. Για να ισχύει η θεωρία των αναλογιών πρέπει να ορίζεται ο λόγος ανάµεσα στα συγκρινόµενα µεγέθη α και β. Αυτό εξασφαλίζεται από τον ορισµό 4 του βιβλίου V των Στοιχείων. Ο λόγος ανάµεσα στα µεγέθη α και β ορίζεται αν υπάρχουν ακέραιοι µ και ν για τους οποίους ισχύει µα>β και νβ>α. Η συνθήκη αυτή ονοµάζεται αξίωµα του Ευδόξου ή αξίωµα Αρχιµήδη-Ευδόξου. Τα µεγέθη για τα οποία ικανοποιείται το αξίωµα αυτό λέγονται Αρχιµήδεια µεγέθη. Υπήρχαν και µη Αρχιµήδεια µεγέθη που ήταν γνωστά στην ελληνική αρχαιότητα όπως οι λεγόµενες κερατοειδείς γωνίες. Πρόκειται για την γωνία που σχηµατίζεται π.χ. από το τόξο περιφέρειας και την εφαπτόµενη στο ένα άκρο της, δηλαδή το µέρος του επιπέδου που περιέχεται µεταξύ του τόξου και της εφαπτοµένης στο σηµείο επαφής. Οσοδήποτε και αν µεγαλώσει µια τέτοια γωνία δεν µπορεί ποτέ να υπερβεί την γωνία που σχηµατίζεται από την εφαπτοµένη και οποιαδήποτε τέµνουσα του τόξου στο σηµείο τοµής. Ένα τέτοιο µέγεθος α, το οποίο όταν πολλαπλασιαστεί επί οποιονδήποτε πεπερασµένο αριθµό ν παραµένει πάντοτε µικρότερο του µεγέθους β, ονοµάζεται ενεργεία απειροστό ως προς το β, ή αντίθετα, το β λέγεται ενεργεία άπειρο µέγεθος ως προς το α (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001) Η έννοια της αναλογίας. Χρήση αναλογιών Ο Αριστοτέλης ( π. Χ.) που ήταν µαθητής του Πλάτωνα, πίστευε ότι τα µαθηµατικά βοηθούν στην εξήγηση και µελέτη των φυσικών φαινόµενων και ως εκ τούτου η µελέτη των αριθµητικών αναλογιών είναι αναγκαία για την εξήγηση των γεγονότων που σχετίζονται µε τη µουσική, την αρµονία και τη φύση. Οι διάφορες πτυχές της οµοιότητας ήταν γνωστές στους Βαβυλώνιους και προσαρµόστηκε στην αξιωµατική συµπερασµατική λογική των αρχαίων Ελλήνων µαθηµατικών (Heath, 2001; Παπαδόπουλος, 1995). Στο βιβλίο VII των Στοιχείων του Ευκλείδη καταγράφεται µελέτη των αναλογιών για αριθµούς. Ο τρόπος που οι αριθµητικές αναλογίες παρουσιάζονται και αντιµετωπίζονται σε αυτό το βιβλίο θεµελίωσαν την µελέτη των αριθµών σε συνεχείς αναλογίες και σε γεωµετρικές προόδους που παρουσιάζονται στο βιβλίο VIII. ιαπιστώνουµε δηλαδή, ότι ο 34

35 Ευκλείδης πρόσφερε µια συστηµατική µαθηµατική θεµελίωση της θεωρίας των αναλογιών, αφιερώνοντας τέσσερα βιβλία των «Στοιχείων» σε αυτή. Ανέπτυξε και απέδειξε πολλούς νόµους αναλογικότητας και παράλληλα επέκτεινε τη θεωρία αναλογιών σε ασύµµετρους λόγους, αν και απέφυγε άρρητους αριθµούς (Γαγάτσης & Καφίδας, 1995). Συµπερασµατικά, η έννοια της αναλογίας µελετήθηκε σε ένα ευρύ φάσµα στην αρχαία Ελλάδα και αυτό έπαιξε καθοριστικό ρόλο για τη θεµελίωση και την ανάπτυξη της έννοιας. Στο συµπλήρωµα των «Νόµων» του Πλάτωνα που είναι γνωστό σαν «Επινοµίς» και δηµοσιεύτηκε µετά το θάνατό του αναφέρονται: ύο αριθµοί αβ, γδ (θεωρούµενοι ως εµβαδά ορθογωνίων ) λέγονται όµοιοι αν οι πλευρές τους είναι ανάλογες δηλαδή αν ισχύει α:γ=β:δ. Κατά την πρόταση 18 του VIII βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη δύο αριθµοί είναι όµοιοι όταν υπάρχει µέση ανάλογος µεταξύ τους. Ακόµα κι αν δύο αριθµοί δεν είναι όµοιοι µπορεί να γίνουν µε τη βοήθεια της επιπεδοµετρίας που διδάσκει πώς να κατασκευάζουµε µια µέση ανάλογο µεταξύ δύο οποιονδήποτε ευθυγράµµων τµηµάτων και πώς να µετασχηµατίζουµε ένα ορθογώνιο σε τετράγωνο. Η «Επινοµίς» αναφέρει επίσης τους στερεούς αριθµούς που αποτελούνται από τρεις παράγοντες. Σε αυτό το πλαίσιο δύο αριθµοί αβγ, δεζ λέγονται όµοιοι αν οι πλευρές τους σχηµατίζουν συνεχή αναλογία δηλαδή αν ισχύει α:δ=β:ε=γ:ζ. Η στερεοµετρία διδάσκει πώς να κάνουµε όµοιους δύο αριθµούς που δεν είναι και πώς µετασχηµατίζουµε οποιονδήποτε αριθµό σε κύβο. Έχει ακόµη αντικείµενο την κατασκευή δύο κύβων που ο λόγος των όγκων τους ισούται µε τον λόγο δύο τυχαίων ακέραιων αριθµών (Van Der Waerden, 2000). Κατά την Αλεξανδρινή περίοδο ο Ερατοσθένης στη Θεωρία Αριθµών ανακάλυψε το γνωστό κόσκινο, µία µέθοδο που διαχωρίζει τους πρώτους αριθµούς. Μια άλλη αριθµητική θεωρία που του αποδίδεται είναι η παραγωγή όλων των µεσοτήτων από το γεωµετρικό µέσο και όλων των αναλογιών από την ισότητα, όπως εξηγούν ο Νικόµαχος, ο Θέων ο Σµυρνεύς, ο Πάππος. Ο Θέων αναφέρει: «Ο Ερατοσθένης υποστηρίζει ότι ο λόγος είναι η πηγή της αναλογίας και η αρχή για τη γέννηση κάθε πράγµατος το οποίο δηµιουργείται εν τάξει. Γιατί όλες οι αναλογίες προκύπτουν από λόγους και η πηγή όλων των λόγων είναι η ισότητα». Ο Πάππος αναφέρει: «Η αναλογία σύγκειται από λόγο και η ισότητα είναι η αρχή όλων των λόγων. Η γεωµετρική µεσότητα έχει, πράγµατι, την πρώτη αρχή της στην ισότητα. Αυτή παράγει τόσο τον εαυτό της όσο και τις υπόλοιπες µεσότητες. Μας 35

36 φανερώνει, όπως αναφέρεται στο διάλογο Πλατωνικός του Ερατοσθένη, ότι η αναλογία είναι η πηγή κάθε αρµονίας και κάθε λογικής και διατεταγµένης ύπαρξης. Γιατί λέει ότι ο µόνος συνδετικός κρίκος µεταξύ όλων των επιστηµών και η αιτία κάθε ύπαρξης και ο δεσµός όλων όσων έχουν γίνει είναι η θεϊκή φύση της αναλογίας». Οι µεσότητες, δηλαδή οι αναλογίες που χρησιµοποιήθηκαν από τους Πυθαγόρειους στα Μαθηµατικά και στη Μουσική ήταν συνολικά δέκα. Ο Πάππος αναφέρει ότι ορίζονται ως εξής: 1) Α Β = Β Γ ή Α+Γ = 2Β αριθµητική µεσότητα 2) Α : Β = Β : Γ ή Β² = ΑΓ γεωµετρική µεσότητα 3) (Α Β) : (Β Γ ) = Α : Γ αρµονική µεσότητα 4) (Α Β) : (Β Γ) = Γ : Α υπεναντία της αρµονικής µεσότητας 5) (Α Β) : (Β Γ) = Γ : Β πέµπτη µεσότητα 6) (Α Β) : (Β Γ) = Β : Α έκτη µεσότητα 7) (Α : Γ) : (Α : Β) = Β : Γ έβδοµη µεσότητα 8) (Α : Γ) : (Α: Β) = Α : Β όγδοη µεσότητα 9) (Α : Γ) : (Α : Β) = Α : Γ ένατη µεσότητα 10) (Α : Γ) : (Β : Γ) = Β : Γ δέκατη µεσότητα Η ανακάλυψη των τριών πρώτων αποδίδεται στον ίδιο τον Πυθαγόρα (αριθµητικός, γεωµετρικός και αρµονικός µέσος). Οι τρεις επόµενες µεσότητες πιστεύεται ότι ανακαλύφθηκαν από τους µαθητές του Πυθαγόρα Αρχύτα και Ίππασο ή όπως άλλοι πιστεύουν από τον Εύδοξο που ήταν µαθητής του Αρχύτα και κορυφαίος µαθηµατικός στην Ακαδηµία του Πλάτωνα. Οι τέσσερεις τελευταίες ανακαλύφθηκαν από τους Πυθαγόρειους Μυονείδη και Ευφράνωρα (Van Der Waerden, 2000). Η ελληνική άλγεβρα ήταν κατά βάθος γεωµετρική άλγεβρα, θεωρία ευθύγραµµων τµηµάτων και χωρίων, όχι αριθµών (Heath, 2001; Παπαδόπουλος, 1995). Αυτό ήταν αναπόφευκτο γιατί οι αριθµοί ήταν ή θεωρούνταν ρητοί ενώ οι λόγοι δεν εκφράζονταν πάντα µε ρητούς. Το δεδοµένο αυτό έθεσε όρια στην ελληνική άλγεβρα. Οι εξισώσεις 3 ου βαθµού λύνονται µε τη βοήθεια των αναλογιών. Ο Ιπποκράτης µετασχηµατίζει την εξίσωση χ³=α²β στην αναλογία α:χ=χ:ψ=ψ:β ενώ ο Αρχιµήδης γράφει την κυβική εξίσωση χ²(α-χ)=βγ² µε τη µορφή (α-χ):β=γ²:χ². 36

37 2.4. Αραβικά, Ινδικά, Κινέζικα Μαθηματικά Στους επόµενους αιώνες η έννοια χρησιµοποιήθηκε από έµπορους στην Ανατολή ως µέθοδος για να υπολογίζουν µε ασφάλεια τα αριθµητικά προβλήµατα που προέκυπταν µε τις συναλλαγές τους και τελικά κατέληξε στην γνωστή "µέθοδο των τριών". Για την προέλευση της µεθόδου αυτής οι απόψεις διίστανται: Ο Smith (1953) αναφέρει ότι προέρχεται από τους Ινδουιστές. Ενώ ο Joseph (1990) πιστεύει ότι η µέθοδος των τριών εφαρµόστηκε πρώτα στην Κίνα και επικαλείται ως αποδεικτικό στοιχείο το σηµαντικό κινέζικο κείµενο Chiou Chang από τον 1 ο αιώνα µ. Χ. Το τρίτο κεφάλαιο αυτού του κειµένου ασχολείται µε διαίρεση περιουσίας και χρηµάτων σύµφωνα µε διαδικαστικούς κανόνες που µοιάζουν να έχουν σχέση µε αριθµητικές και γεωµετρικές προόδους. Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβληµάτων δείχνει γνώση της µεθόδου των τριών. Η συµβολή των Ινδών στη συστηµατική διαπραγµάτευση της µεθόδου των τριών (Joseph, 1990) διακρίνεται καθαρά στο χειρόγραφο Bakhashali, όπου η µέθοδος διατυπώνεται ως εξής: «Αν το επιχείρηµα π αποφέρει φ τότε η απαίτηση ρ τι αποφέρει;». Οι τρεις ποσότητες δίνονται ως εξής: π φ ρ Το ζητούµενο αποτέλεσµα είναι: φρ δηλαδή η δεύτερη ποσότητα πολλαπλασιάζεται π µε την τρίτη και διαιρείται µε την πρώτη. Όπως αναφέρει η Sanford (1958) ένα παράδειγµα τυπικού προβλήµατος είναι: «Αν 100 λίβρες κανέλλα κοστίζουν 32 δουκάτα, πόσο κοστίζουν 987 λίβρες;». Η διαδικασία επίλυσης αυτού του προβλήµατος είναι να γραφτούν µε τη σειρά οι αριθµοί 100 λίβρες, 32 δουκάτα, 987 λίβρες και κατόπιν να πολλαπλασιαστεί το 32 µε το 987 και το γινόµενο να διαιρεθεί µε 100. Οι τυποποιηµένοι κανόνες επίλυσης αναφέρονται στο χειρόγραφο Bakhashali και συχνά συνοδεύονται από θεωρητικές διευκρινήσεις. Ένα παράδειγµα πιο δύσκολου προβλήµατος είναι: «Ένας βασιλιάς έστειλε 30 άνδρες στο δάσος να φυτέψουν δέντρα. Αν φύτεψαν 1000 δέντρα τις πρώτες 9 ηµέρες, σε πόσες ηµέρες 36 άνδρες θα φυτέψουν 4000 δένδρα;». Σύµφωνα µε τον Smith (1953) η ονοµασία "µέθοδος των τριών" δόθηκε από τον Brahmagupta (628 µ.χ.), τον Bhaskara (1150 µ.χ.) και άλλους Άραβες και Λατίνους συγγραφείς του Μεσαίωνα. H Sanford (1958) αναφέρει ότι παρόλο που η µέθοδος των τριών ήταν γνωστή από τον 7 ο αιώνα και χρησιµοποιήθηκε ευρύτατα για µεγάλη χρονική περίοδο, εντούτοις η σχέση ανάµεσα σε αυτή τη µέθοδο και την ισότητα 37

38 λόγων (αναλογιών) αγνοήθηκε µέχρι την Αναγέννηση, το τέλος του 15 ου αιώνα. Με το πέρασµα των αιώνων διατυπώθηκαν διάφοροι τρόποι αναπαράστασης αναλογιών, που έγιναν γνωστοί σε εµάς από τους Άραβες. Ο Omar Khayyam ( µ.Χ.), που ήταν Πέρσης ποιητής και αλγεβριστής, έκανε προσπάθειες να λύσει κυβικές εξισώσεις γεωµετρικά µε τον τρόπο του µέσου ανάλογου. Παρόλο που εντόπισε 13 περιπτώσεις κυβικών εξισώσεων, εντούτοις δεν κατόρθωσε να βρει µια γενική µέθοδο λύσης. Το ιστορικό σηµείωµα επιβεβαιώνει τη µεγάλη σηµασία της έννοιας της αναλογίας και ταυτόχρονα αποκαλύπτει τις δυσκολίες που προκύπτουν κατά την επίλυση προβληµάτων αναλογίας από διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικούς πολιτισµούς του παρελθόντος Το πρόβλημα της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο Η προέλευση του προβλήµατος της διαίρεσης ενός γνωστού ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ= α σε δύο µέρη χ και α-χ, έτσι ώστε το µεγαλύτερο τµήµα του να είναι µέση ανάλογος ανάµεσα σε ολόκληρο τµήµα και το µικρότερο τµήµα του δηλαδή να ισχύει α:χ = χ:(α-χ) δεν είναι ιστορικά εξακριβωµένη (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Στο βιβλίο II των Στοιχείων στην πρόταση 11 βρίσκεται το πρόβληµα αυτό, χωρίς να αναφέρεται η ορολογία άκρος και µέσος λόγος µε τη διατύπωση: «Να κατασκευαστεί ευθεία τέτοια ώστε το ορθογώνιο που περιέχεται από ολόκληρη την ευθεία και του ενός από τα τµήµατα, να είναι ίσο προς το τετράγωνο του υπόλοιπου τµήµατος» εννοώντας προφανώς: «Να χωριστεί ένα δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα α σε δύο µέρη χ και α-χ ώστε το ορθογώνιο που ορίζεται από τα τµήµατα α και α-χ να είναι ισοδύναµο µε το τετράγωνο που έχει πλευρά το τµήµα χ». Ο Ευκλείδης υπολόγισε το τµήµα χ γεωµετρικά στηριζόµενος στη χρήση εµβαδών. 38

39 Σχήµα 7 Στο προηγούµενο σχήµα (Σχήµα 7) είναι α1= α χ (Αργυράκης, Βουργανάς, Μεντής, Τσικοπούλου, & Χρυσοβέργης, 2007) Ορισµένοι ιστορικοί ανάγουν την προέλευσή του στην Πυθαγόρεια σχολή, συνδέοντας το µε τη µελέτη της τετραγωνικής εξίσωσης χ² + αχ = α², όπως εµφανίζεται σε γεωµετρική γλώσσα στο Βιβλίο II των «Στοιχείων» του Ευκλείδη ή µε την ανακάλυψη της ασυµµετρίας στην αρχαία Ελλάδα, και άλλοι µε την κατασκευή του πενταγώνου από το Θεαίτητο περί το 386 π. Χ. Στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη το πρόβληµα αυτό εµφανίζεται στα εξής Βιβλία: 1. Στο Βιβλίο II (Προτάσεις 5,6 και 11), που συνδέεται µε την «παραβολή των χωρίων» και κατά συνέπεια µε την εξίσωση χ² + αχ = α² 2. Στο Βιβλίο ΙV (Προτάσεις 10-11), κατά την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου, 3. Στο Βιβλίο VΙ (Ορισµός 3 και Προτάσεις 29-30), όπου ο Ευκλείδης χρησιµοποιεί έννοιες από τη γενική θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου που εκτίθεται στο Βιβλίο V. Μάλιστα ορίζεται για πρώτη φορά το σηµείο που διαιρεί ευθεία γραµµή σε άκρο και µέσο λόγο και στην πρόταση 30 του βιβλίου VI γίνεται εκ νέου η γεωµετρική κατασκευή του άκρου και µέσου λόγου. Επίσης γίνεται εφαρµογή των αναλογιών σε όµοια τρίγωνα. 4. Στο Βιβλίο ΧΙΙΙ (Προτάσεις 16 και 17), κατά την κατασκευή του κανονικού εικοσάεδρου και δωδεκαέδρου, στην οποία χρησιµοποιείται το πεντάγωνο. 39

40 Μετά τον Ευκλείδη το πρόβληµα της διαίρεσης σε µέσο και άκρο λόγο εµφανίζεται στο αποκαλούµενο «Συµπλήρωµα» ή Βιβλίο XIV των «Στοιχείων», που αποδίδεται στον Υψικλή (2ος αιώνας π. Χ.). Στο έργο του Ήρωνα εµφανίζεται σε σχέση µε τον προσδιορισµό της επιφάνειας του πενταγώνου και του δεκάγωνου, και στη «Συναγωγή» του Πάππου στην κατασκευή του εικοσάεδρου και του δωδεκαέδρου, καθώς και στα θεωρήµατα σύγκρισης των όγκων τους (Van Der Waerden, 2000). Στην Αραβική παράδοση δεν υπάρχουν ενδείξεις εισαγωγής της έννοιας της διαίρεσης ενός τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο, αν και στο έργο του Πέρση µαθηµατικού Al-Khwarizmi (περίπου µ.χ.) που έζησε στη Βαγδάτη, του Abul Kamil (περίπου µ.Χ.), του Abul Wafa ( µ.χ.) εξετάζονται συναφή προβλήµατα. Το 13ο αιώνα µ.χ. ο µεταφραστής στα λατινικά και σχολιαστής του Ευκλείδη Johannes Campanus of Novara ( µ.χ.) προσθέτει στο Βιβλίο XIII των «Στοιχείων» µία πρόταση που περιέχει µια αριθµητική απόδειξη της ασυµµετρίας ενός ευθύγραµµου τµήµατος και των δύο µερών του που λαµβάνονται από τη διαίρεση του σε µέσο και άκρο λόγο. Το 15ο-16ο αιώνα µ.χ. αναζωογονείται το ενδιαφέρον προς τη διαίρεση σε µέσο και άκρο λόγο σε σχέση µε τις εφαρµογές της στην Γεωµετρία και την αρχιτεκτονική. Στο πλαίσιο αυτό εισάγεται ο όρος «χρυσή τοµή» Το πρόβλημα της Χρυσής Τομής Η δέκατη αναλογία (µεσότητα) είναι σήµερα γνωστή µε τον όρο «χρυσή τοµή» που της έδωσε ο Kepler ( ) και σχετίζεται µε το πρόβληµα της διαίρεσης ενός ευθυγράµµου τµήµατος σε µέσο και άκρο λόγο. Η πρόταση διατυπώνεται ως εξής: «Να διαιρεθεί ένα τµήµα ΑΒ, σε δύο άνισα τµήµατα ΑΓ και ΓΒ ώστε το µεγαλύτερο από αυτά να είναι µέσο ανάλογο του µικρότερου και του αρχικού ευθύγραµµου τµήµατος». ηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: σηµείο Γ ονοµάζεται σηµείο της χρυσής τοµής του ΑΒ. Η απόδειξη είναι η εξής: ΑΒ ΑΓ = ΑΓ ΒΓ ή ισοδύναµα 2 ΑΓ =ΑΒ ΒΓ οπότε το 40

41 Θεωρούµε ότι το µήκος του τµήµατος ΑΒ είναι α και το µήκος του µεγαλύτερου τµήµατος ΑΓ είναι χ (σχήµα 8). Τότε το µήκος του ΓΒ είναι α-χ και θα πρέπει να ισχύει η σχέση ( ) 0 ( ) χ 2 = α α χ χ 2 + αχ α 2 = χ χ+ α = α 2. Στη γεωµετρική επίλυση για να κατασκευάσουµε το χ γράφουµε κύκλο (Ο, α/2) που εφάπτεται στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ στο σηµείο Β (το σηµείο Ο είναι το σηµείο που απέχει από το Β απόσταση α/2) και φέρνουµε την ΑΟ που τέµνει τον κύκλο στα 2 σηµεία και Ε. Τότε ισχύει: ΑΒ =Α ΑΕ=Α ( Α + Ε ) =Α ( Α +ΑΒ ) =Α Α + οπότε το Α έχει το ζητούµενο µήκος χ και το Γ είναι η 2 δηλαδή α ( α) τοµή του τµήµατος ΑΒ µε τον κύκλο (Α, Α ) (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Σχήµα 8 Στην αλγεβρική επίλυση η θετική ρίζα της εξίσωσης χ²+αχ-α²=0 είναι ( 5 1) α χ = από όπου προκύπτει ότι 2 α 2 α 5+ 1 = = χ χ 2 ( 5 1) δηλαδή α χ = που είναι η αναλογία της «χρυσής τοµής». Ο παραπάνω λόγος χ α χ συµβολίζεται διεθνώς µε το γράµµα φ. Ο συµβολισµός αυτός εισήχθη στις αρχές του 20 ου αιώνα από τον Αµερικανό µαθηµατικό Mark Barr και προέρχεται από το αρχικό γράµµα του ονόµατος του γλύπτη της κλασσικής αρχαιότητας Φειδία. Η αριθµητική 1+ 5 τιµή του είναι φ = = Ο λόγος αυτός είναι ίσος µε το λόγο της 2 διαγωνίου προς την πλευρά κανονικού πενταγώνου. Οι διαγώνιοι ενός κανονικού πενταγώνου σχηµατίζουν ένα αστεροειδές πεντάγωνο, την πεντάλφα, που ήταν διακριτικό γνώρισµα της Πυθαγόρειας σχολής (Van Der Waerden, 2000). 41

42 Σχήµα 9 AC AG Στο παραπάνω σχήµα ισχύει: = φ, = φ AG AF Το 1545 χρησιµοποιείται ο όρος «χρυσός κανόνας» στο βιβλίο του Gerolamo Cardano ( ) «Ars magna» (Η Μεγάλη Τέχνη) που διαπραγµατεύεται την επίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων. Ως «Χρυσή Τοµή» εµφανίζεται για πρώτη φορά στο βιβλίο «Die reine Elementar Mathematik» (Τα καθαρά στοιχειώδη µαθηµατικά) του Γερµανού µαθηµατικού Martin Ohm ( ), που ήταν αδερφός του διάσηµου φυσικού George Ohm. Από εκεί και ύστερα ο όρος (στα γερµανικά Goldene Schnitt) αρχίζει να εµφανίζεται επανειληµµένα στη βιβλιογραφία των Μαθηµατικών και της Ιστορίας της Τέχνης στη Γερµανία, µε αποκορύφωµα τη χρήση από τον Adolf Zeising ( ) το 1854 σα µια νέα θεωρία ανθρώπινων αναλογιών. Τον 20 ο αιώνα συναντάται στη βιβλιογραφία της Επιστήµης και της Τέχνης (Χρυσοχοίδου, 2010) Μεσαίωνας και Αναγέννηση Ο Μεσαίωνας προσδιορίζεται ως η ιστορική περίοδος που διαδέχεται την περίοδο της Αρχαιότητας και τελειώνει µε την εµφάνιση του κινήµατος της Αναγέννησης. ιήρκησε περίπου χρόνια µε συµβατική χρονολογία έναρξης το 476 µ. Χ, έτος κατάλυσης του υτικού ρωµαϊκού κράτους, και µε αποδεκτή χρονολογία λήξης το 1453 µ. Χ, έτος Άλωσης της Κωνσταντινούπολης από την Οθωµανική κυριαρχία. Στην Ευρώπη του Μεσαίωνα, η ανάγκη αναδιατύπωσης φυσικών νόµων και εικασιών µε πιο αυστηρό µαθηµατικό τρόπο, είχε σαν αποτέλεσµα την συστηµατική µελέτη λόγων και αναλογιών. Για παράδειγµα στις αρχές του 15 ου αιώνα η ταχύτητα 42

43 παύει να θεωρείται σταθερή ποσότητα και θεωρείται πλέον µετρήσιµη ποσότητα ανάλογη των αποστάσεων για διαφορετικές κινήσεις που πραγµατοποιούνται σε ίσους χρόνους. Σύµφωνα µε τον Smith (1953) µέχρι το 18 ο αιώνα οι αναλογίες χρησιµοποιούνται στον προσδιορισµό σειρών. Οι πιο γνωστές αναλογίες που λαµβάνονταν σα σειρές είναι: Αριθµητική: β α = δ γ, Γεωµετρική: β = δ, Αρµονική: 1 1 = 1 1 α γ β α δ γ Στην περίοδο µ. Χ, οι τέχνες έγιναν πρώτιστα εκδηλώσεις του υπερβολικού ιδεαλισµού, δηλ. της άποψης ότι οι έννοιες είναι πραγµατικές, και ότι τα πράγµατα είναι πλασµατικές µιµήσεις των εννοιών. Η άποψη αυτή συνδέεται µε την Πλατωνική Φιλοσοφία. Ειδικότερα η επιµονή στη χρήση συγκεκριµένων ζωγραφικών θεµάτων, συνοδεύεται από την επίµονη εφαρµογή ορισµένων γεωµετρικών σχηµάτων όπως το τετράγωνο, το τρίγωνο, το εξάγωνο, το οκτάγωνο και σαφέστατα το πεντάγωνο, εγγεγραµµένα συνήθως σε κύκλο. Στα µέσα του Μεσαίωνα, που αρχίζει το 12 ο αιώνα, στον προϋπάρχοντα πλατωνικό ιδεαλισµό, επιβάλλεται η αριστοτελική φυσιοκρατική άποψη ότι τα πράγµατα είναι πραγµατικά και ότι οι έννοιες είναι διανοητικά κατασκευάσµατα, σηµαντικά µεν, αλλά µη πραγµατικά. Μαζί µε την απόκτηση της Αριστοτελικής λογικής, δηµιουργήθηκε στις τέχνες µια σχεδόν άµεση και γρήγορη µετατόπιση προς το νατουραλισµό (Χρυσοχοίδου, 2010) Vitruvius: Κανόνας ανθρώπινων αναλογιών Η εξύψωση των γεωµετρικών µορφών σε υπερβατική υπόσταση προϋποθέτει τη σύνδεση µεταξύ τέτοιων µορφών και κάποιας «ιδανικής» ή «αρχικής» µορφής όπως αναφέρει ο Edmund Husserl, στο βιβλίο του «Origin of Geometry» (1978). Στο παραπάνω πλαίσιο, ο Ρωµαίος θεωρητικός της αρχιτεκτονικής Βιτρούβιος (περίπου 70 π. Χ-25 µ. Χ), στην πραγµατεία του «De Architectura libri decem» ( έκα βιβλία για την αρχιτεκτονική), υποστήριξε ότι ο Ευκλείδειος κύκλος και το τετράγωνο είναι ιδανικά για την ανάπτυξη της αρχιτεκτονικής, επειδή προσεγγίζουν τη γεωµετρία του ανθρώπινου σώµατος µε τα άκρα του τεντωµένα, ένα σώµα φτιαγµένο κατ εικόνα του Θεού. Αυτός είναι ο επονοµαζόµενος Βιτρουβιανός Κανόνας σύµφωνα µε τον οποίο, το ανθρώπινο σώµα γίνεται πρότυπο για την αρχιτεκτονική κατά τη σχεδίαση ναών: «Κανένας ναός δε µπορεί να επιτύχει λογική µορφή, χωρίς συµµετρία και αναλογία, εκτός αν τα στοιχεία του είναι σε ορισµένη αναλογία το ένα µε το άλλο, όπως τα άκρα ενός καλοσχηµατισµένου ανθρώπου». Ο κανόνας του Βιτρούβιου εξέφραζε µε 43

44 άλλα λόγια, το πώς πρέπει να είναι οι ιδανικές αναλογίες στο ανθρώπινο σώµα σύµφωνα µε τη συσσωρευµένη εµπειρία των δασκάλων της αρχαιότητας και την επικρατούσα αισθητική: «Το µήκος του κεφαλιού πρέπει να είναι το ένα όγδοο του συνολικού µήκους του ανθρώπου, το µήκος του προσώπου, το ένα δέκατο, και το πλάτος του στήθους, από ώµο σε ώµο, το ένα τέταρτο». Ο Βιτρούβιος παρουσιάζει όχι µόνο πρακτικές συµβουλές για το σχεδιασµό, τύπους κτιρίων, µορφές, τεχνικές αλλά και θεωρητικές σκέψεις για δηµιουργίες και για αισθητικές της αρχιτεκτονικής. Το έργο του «έκα Βιβλία για την Αρχιτεκτονική» θα επηρεάσει βαθειά, από την Αναγέννηση και µετά, καλλιτέχνες, στοχαστές και αρχιτέκτονες µεταξύ των οποίων και τους Leon Battista Alberti ( ), Leonardo da Vinci ( ), Daniele Barbaro ( ) και άλλους. Από εδώ ξεκινά η θεώρηση του ρόλου της χρυσής τοµής στην αρχιτεκτονική θεωρία, χωρίς όµως ο ίδιος ο Βιτρούβιος να έχει αναφερθεί ποτέ σε αυτή. Η section aurea (χρυσή τοµή) οφείλει τη φήµη της στις αριθµητικές της ιδιότητες και στο γεγονός ότι φαίνεται να ενυπάρχει συχνά, στη φύση, στο σύµπαν και στα ανθρώπινα καλλιτεχνικά δηµιουργήµατα. Κατά την περίοδο της πρώιµης Αναγέννησης το 1497 έγινε διάσηµη ως proportion divine (θεία αναλογία) µε το έργο του µαθηµατικού Luca Pacioli ( ) το οποίο εικονογραφήθηκε µε 60 σχέδια του Leonardo da Vinci. Το 1509 εκδίδεται η τριλογία «De Divina Proportione» (Περί της θείας αναλογίας) του Pacioli, που αποτελείται από τρία βιβλία. Περιέχει τα θεωρήµατα του Ευκλείδη που αφορούν το πρόβληµα της διαίρεσης σε µέσο και άκρο λόγο, µελετά τις ιδιότητες κανονικών πολυγώνων και ασχολείται µε το πλατωνικό δωδεκάεδρο οι έδρες του οποίου είναι κανονικά πεντάγωνα. Ο αριθµός φ παρουσιάζει και γεωµετρικά σηµαντικές ιδιότητες. Πιο σηµαντική από όλες είναι το «χρυσό ορθογώνιο». Ένα ορθογώνιο λέγεται χρυσό αν ο λόγος της µεγαλύτερης πλευράς του α προς τη µικρότερη πλευρά του β ισούται µε φ. Αν σχηµατίσουµε ένα ορθογώνιο µε β και α-β τότε προκύπτει ένα ακόµα «χρυσό ορθογώνιο». Αν συνεχίσουµε µε την ίδια διαδικασία, θα παράγουµε διαρκώς µικρότερα χρυσά ορθογώνια το ένα µέσα στο άλλο. Αν σε καθένα από αυτά σχεδιάσουµε ένα τεταρτηµόριο του κύκλου, θα προκύψει µια λογαριθµική σπείρα (σχήµα 10) η οποία εµφανίζεται συχνά στη φύση στο κέλυφος των µαλακίων, όπως ο ναυτίλος. 44

45 Σχήµα 10 Το ενδιαφέρον του Leonardo da Vinci γι αυτόν τον αισθησιακά ικανοποιητικό λόγο που αναφέρεται µε τον όρο «χρυσός λόγος» και ισούται α = β επηρεάζει β α β βαθιά τη δουλειά του διάσηµου καλλιτέχνη. Σχεδιάζει τα αριστουργήµατά του όπως Μόνα Λίζα, Ευαγγελισµός µε βάση το χρυσό ορθογώνιο και τη χρυσή αναλογία Η αναλογία της χρυσής τοµής θα συναρπάσει και το διάσηµο γάλλο αρχιτέκτονα του 20 ου αιώνα Le Corbusier που διατύπωσε το modylor (κλίµακα αναλογιών του ανθρωπίνου σώµατος όπου ο οµφαλός διαιρεί το ιδανικό ανθρώπινο σώµα σε λόγο της χρυσής τοµής) και ο οποίος σχεδίασε πολλά κτίρια µε βάση το χρυσό λόγο (Αργυράκης κ. ά., 2007). Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου (σχήµα 11) είναι ένα διάσηµο σχέδιο µε συνοδευτικές σηµειώσεις του Leonardo da Vinci, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ηµερολόγιά του. Απεικονίζει µία γυµνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλεπικαλυπτόµενες θέσεις µε τα µέλη του ανεπτυγµένα και συγχρόνως εγγεγραµµένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Το σχέδιο και το κείµενο συχνά ονοµάζονται Κανόνας των Αναλογιών. Σύµφωνα µε τις σηµειώσεις του καλλιτέχνη, οι οποίες είναι γραµµένες µε καθρεπτιζόµενη γραφή, το σχέδιο έγινε ως µελέτη των αναλογιών του (ανδρικού) ανθρώπινου σώµατος όπως περιγράφεται στην πραγµατεία του Ρωµαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου. Η επαναανακάλυψη των µαθηµατικών αναλογιών του ανθρώπινου σώµατος τον 15ο αιώνα από τον da Vinci και άλλους θεωρείται ένα από τα µεγάλα επιτεύγµατα που οδήγησαν στην Ιταλική Αναγέννηση. Το σχέδιο του da Vinci χρησιµοποιείται ως 45

46 ένα υπονοούµενο σύµβολο της ουσιώδους συµµετρίας του ανθρώπινου σώµατος, και κατά προέκταση του σύµπαντος ως σύνολο. Σχήµα Leonardo de Pisa: Ακολουθία Fibonacci Στην Ευρωπαϊκή παράδοση οι απαρχές της µελέτης των ιδιοτήτων της διαίρεσης σε µέσο και άκρο λόγο ανάγονται στον Leonardo of Pisa, γνωστό ως Fibonacci ( µ. Χ.). Ο Ιταλός µαθηµατικός συνέβαλε στη βιβλιογραφία της χρυσής τοµής, µέσα από το βιβλίο του «Practica Geometriae» (Πρακτική Γεωµετρία), όπου µεταξύ των άλλων παρουσίαζε νέες µεθόδους για τον υπολογισµό της πλευράς και της διαγώνιου του πενταγώνου και του δεκάγωνου. Επίσης εξέταζε προβλήµατα προσδιορισµού του όγκου του εικοσάεδρου και του δωδεκαέδρου. Όµως η κύρια αιτία της φήµης του και της συνεισφοράς του στη χρυσή τοµή, ήταν το βιβλίο του «Liber Abaci» (Βιβλίο του Άβακα), βασισµένο στην αριθµητική και την άλγεβρα που είχε συγκεντρώσει από τα ταξίδια του. Με το βιβλίο αυτό εισήγαγε το ινδό- αραβικό 46

47 δεκαδικό σύστηµα παράστασης αριθµών σε αντικατάσταση του ρωµαϊκού συστήµατος αρίθµησης καθώς και τη χρήση των αραβικών αριθµών στην Ευρώπη. Ο Fibonacci είναι περισσότερο γνωστός από το «πρόβληµα των κουνελιών», που εκτίθεται στο τρίτο κεφάλαιο του Liber abaci, αφορούσε την ανάπτυξη ενός υποθετικού πληθυσµού κουνελιών και ζητούσε: «Πόσα ζεύγη κουνελιών µπορούν να γεννηθούν µετά από n µήνες, από ένα ζευγάρι κουνέλια, δεδοµένου ότι τα ενήλικα κουνέλια παράγουν ένα ζευγάρι κουνελιών κάθε µήνα και ο απόγονος χρειάζεται ένα µήνα για να φθάσει στην αναπαραγωγική ωριµότητα». στο Σχήµα 12 Ο Fibonacci έδειξε ότι η λύση του προβλήµατος οδηγεί στη γένεση της ακολουθίας: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...στην οποία κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται µε το άθροισµα των δύο προηγούµενων όρων (Αργυρόπουλος κ. α., 2001; Αργυράκης κ. ά., 2007; Παπαδόπουλος, 1995). Η ιδιότητα αυτή ανακαλύφθηκε το 1611 από τον αστρονόµο Johannes Kepler, που συνέδεσε τους αριθµούς Fibonacci µε το φαινόµενο της φυλλοταξίας που παρατηρείται στη φύση. Η ακολουθία των αριθµών αυτών πήρε το όνοµά της το 19 ο αιώνα από το Γάλλο µαθηµατικό Francois Eduard Anatole Lucas, ( ). Στην πραγµατικότητα όµως εκφράστηκε πρώτα, το 1634, από τον επίσης Γάλλο µαθηµατικό Albert Girard. Σχηµατίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα: u0 = 1, u1 = 1, u = u 1+ u 2. Οι πρώτοι δεκαπέντε όροι της ακολουθίας ν ν ν Fibonacci παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα: 47

48 Πίνακας 1: Οι πρώτοι 15 όροι της ακολουθίας Fibonacci ν u ν Η ακολουθία αυτή σχετίζεται µε το πρόβληµα της διαίρεσης σε µέσο και άκρο λόγο uν + ως εξής: Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθµών Fibonacci, 1, ν 1προσεγγίζει όλο και u περισσότερο το φ όσο το ν αυξάνεται. Αν τώρα εξετάσουµε το λόγο δύο διαδοχικών αριθµών Fibonacci, διαιρώντας κάθε αριθµό της ακολουθίας µε τον επόµενό του, u u ν ν+ 1 τότε παρατηρούµε ότι ο λόγος προσεγγίζει τον αριθµό φ-1 όσο το ν αυξάνεται. Οι παρατηρήσεις αυτές φαίνονται στον παρακάτω πίνακα για τους πρώτους δεκαπέντε αριθµούς Fibonacci (το αποτέλεσµα έχει στρογγυλοποιηθεί στο όγδοο δεκαδικό ψηφίο). Πίνακας 2: Υπολογισµός του λόγου δυο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci u u ν+ 1 ν u u ν ν+ 1 1/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ν 48

49 uν 1 Παρατηρούµε ότι ισχύει: αν + 1 = φ τότε φ = + 1. u φ ν εν υπάρχουν ενδείξεις ότι ο Fibonacci γνώριζε τη σχέση αυτή, η οποία απαντάται αργότερα σε µαθηµατικούς του 16ου-17ου αιώνα όπως οι Kepler, Zirar, Simpson. Ο τύπος που συνδέει την ακολουθία Fibonacci µε τη Χρυσή Τοµή και υπολογίζει την τιµή του ν-οστού όρου της ακολουθίας Fibonacci είναι: u ν = ν+ 1 ν+ 1 για κάθε ν N. Καθιερώθηκε ως τύπος του Binet και δηµοσιεύτηκε το 1843 από το Γάλλο µαθηµατικό Jacques Philippe Marie Binet ( ) (Αργυρόπουλος κ. ά., 2001). Μια από τις πολλές και εκπληκτικές ιδιότητες της ακολουθίας αυτής είναι ότι το άθροισµα ενός περιττού αριθµού διαδοχικών αριθµών Fibonacci, ισούται µε το τετράγωνο του τελευταίου αριθµού. Το έργο των δύο στοχαστών της εποχής του Μεσαίωνα, το οποίο φαινοµενικά δεν έχει σχέση µε τη χρυσή τοµή, ούτε γίνεται νύξη από τους ίδιους σε αυτή αποτέλεσε το θεµέλιο λίθο πολλών µετέπειτα συσχετισµών και επιδράσεων στη θεωρία της τέχνης και της σχεδίασης. Ο Βιτρούβιος, από τη µια, θέτει τη βάση για την ανάπτυξη και την εφαρµογή µιας θεωρίας αναλογιών, µε µια πρώτη έκφραση στον αρχιτεκτονικό σχεδιασµό, η οποία τέθηκε σε νέα επιστηµονική βάση από τους επιστήµονες της Αναγέννησης, µετά από τη λήθη αρκετών αιώνων. Ο Fibonacci, από την άλλη, εν αγνοία του προσφέρει στον επιστηµονικό κόσµο µια ακολουθία που έχει την ιδιότητα: ο λόγος δυο διαδοχικών όρων της συγκλίνει στην αριθµητική τιµή της χρυσής τοµής. Η ακολουθία αυτή θα συνδεθεί µε τη συµµετρία στη φύση, τη φυλλοταξία καθώς και µε τη δυναµική συµµετρία του εικοστού αιώνα. Όσον αφορά τη γεωµετρία του Μεσαίωνα, γινόταν εκτενής χρήση του πενταγώνου ως σύµβολο της πλατωνικής πεµπτουσίας. Η κατασκευή του µε το διαβήτη, που ήταν αρκετά πολύπλοκη, ήταν ένα από τα µυστικά της τέχνης που διαφύλαγαν οι συντεχνίες της εποχής. Πάντως η µαθηµατική γνώση της εποχής ήταν στοιχειώδης περιορισµένη στους ρητούς αριθµούς και σε απλές σχέσεις, ώστε να είναι δυνατή η χρήση της χρυσής τοµής στην κατασκευή του πενταγώνου. 49

50 2.8. Συνοψίζοντας Στο πέρασµα των αιώνων βρέθηκαν παραδείγµατα εφαρµογής της «χρυσής τοµής» σχεδόν παντού, όχι µόνο στην αρχαία ελληνική αρχιτεκτονική, αλλά και στα σύγχρονα αριστουργήµατα της τέχνης. Ο Παρθενώνας εφόσον προστεθεί σε αυτόν το κατεστραµµένο του αέτωµα σχηµατίζει χρυσό ορθογώνιο. Αν και στο αριστούργηµα αυτό της τέχνης του 5 ου αιώνα π. Χ. ενσωµατώνονται πολλοί κανόνες γεωµετρικής ισορροπίας, είναι αµφίβολο αν οι αρχιτέκτονές του γνώριζαν τις «χρυσές αναλογίες». Το πλήθος των σκαλιών στο άνω και το κάτω διάζωµα του θεάτρου της Επιδαύρου έχει κατασκευαστεί (τέλος του 4 ου αιώνα π. Χ.) σύµφωνα µε το λόγο φ. Έχει διαπιστωθεί ότι όπου εµφανίζεται ο λόγος φ (αρχιτεκτονική, γλυπτική) δηµιουργεί την αίσθηση της αρµονίας. Η φυλλοταξία ενός τριαντάφυλλου, ενός ηλίανθου ή ενός κουκουναριού ικανοποιεί την ακολουθία Fibonacci. Αλλά δεν παρατηρούµε µόνο στα φυτά αυτήν την κανονικότητα αλλά και σε πάρα πολλές σπειροειδές µορφές στη φύση που ακολουθούν τη «λογαριθµική σπείρα» η οποία πρώτα µελετήθηκε από τον Αρχιµήδη και αποδεδειγµένα συνδέεται µε το λόγο της χρυσής τοµής. Η γεωµετρία του ανθρώπινου σώµατος συνδέεται µε το φ και πολλοί υποστηρίζουν ότι όσο οι λόγοι των συµµετριών που έχουµε είναι πιο κοντά στο φ τόσο πιο καλλίγραµµο σώµα διαθέτουµε. Ο µεγάλος Johannes Kepler ( ) έλεγε ότι: «Η Γεωµετρία έχει δύο µεγάλους θησαυρούς: ο ένας είναι το Πυθαγόρειο Θεώρηµα και ο άλλος η διαίρεση µιας γραµµής σε µέσο και άκρο λόγο. Το πρώτο µπορούµε να το συγκρίνουµε µε µια ποσότητα χρυσού. Το δεύτερο µπορούµε να το ονοµάσουµε πολύτιµο κόσµηµα». Είναι ευρέως διαδεδοµένη η άποψη ότι ο χρυσός λόγος συνδέεται µε την ανθρώπινη αντίληψη της καλαισθησίας. Πολλοί ψυχολόγοι που έχουν διενεργήσει πειράµατα, ισχυρίζονται ότι σχήµατα µε διαστάσεις που βασίζονται στο φ είναι πιο ευχάριστα στο ανθρώπινο µάτι από άλλα. Έτσι πολλοί ζωγράφοι, γλύπτες, αρχιτέκτονες, µουσικοί δηµιουργούν έργα που βασίζονται στο χρυσό λόγο. Η λίστα µε τις εµφανίσεις του χρυσού λόγου θα µπορούσε να είναι ατέλειωτη. Το ερώτηµα είναι αν τα µαθηµατικά είναι ανθρώπινη εφεύρεση ή προϋπήρχαν κι εµείς τα ανακαλύψαµε. Πάντως ένα πράγµα είναι σίγουρο: στα µαθηµατικά κρύβεται µια απαράµιλλη οµορφιά που τελικά αντικατοπτρίζει την ίδια τη φύση. Αυτό πρέπει να το δείξουµε στους µαθητές µας και να είµαστε αρωγοί στην προσπάθεια τους να το κατανοήσουν 50

51 3. Ανασκόπηση της βιβλιογραφίας 3.1. Εισαγωγή Ο αναλογικός συλλογισµός θεωρείται ένας από τους σηµαντικότερους µηχανισµούς της γνωστικής ανάπτυξης του ατόµου. Σχετίζεται άµεσα µε τη δηµιουργία και την τροποποίηση των γνωστικών δοµών του ατόµου, µέσω της αναθεώρησης των υπαρχόντων κανόνων και της δηµιουργίας νέων (Holland, Holyoak, Nisbett, & Thagard, 1989). Είναι επαγωγικός µηχανισµός αναγκαίος για την κατανόηση και ερµηνεία άγνωστων εννοιών, αλλά και για την ανάπτυξη της κριτικής σκέψης και την επίλυση προβλήµατος (Goswami, 1992). Αποτελεί απαραίτητο στοιχείο για την επιστήµη των µαθηµατικών. Εδώ και πολλούς αιώνες αποτελούσε και αποτελεί ένα σηµαντικό µαθηµατικό εργαλείο για το χειρισµό καταστάσεων σε διάφορα πεδία της ανθρώπινης ενασχόλησης όπως είναι η φυσική, η χηµεία, τα οικονοµικά, η αστρονοµία (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 1998; Freudenthal, 1973). Το γεγονός αυτό υποδηλώνει ότι είναι µοντέλο ευρείας εφαρµογής µε πολλή συχνή χρήση. Η σηµασία και η αξία του ως µαθηµατικό εργαλείο φαίνεται και από το γεγονός ότι χρησιµοποιείται µε τέτοιο αυτοµατοποιηµένο τρόπο που απαλλάσσει το άτοµο από τη χρονική σπατάλη για εξέταση της εφαρµογής του σε µια κατάσταση. Είναι λοιπόν εµφανές ότι ο αναλογικός συλλογισµός δεν αποτελεί µια απόλυτη ιδέα µε µονοσήµαντο νόηµα (Lamon, 1999). Οικοδοµείται µε την πάροδο του χρόνου και σαν «εργαλείο» έχει διπλό ρόλο. Από τη µία, χρησιµοποιώντας την αποκλειστικά αναλογική του πτυχή, µπορεί να αποτελέσει στοιχείο κλειδί στη διαχείριση προβληµατικών καταστάσεων µε τη µεταφορά υπάρχουσας γνώσης και δεξιοτήτων σε καινούρια έργα που παρουσιάζουν δοµικές οµοιότητες µε τα προηγούµενα. Από την άλλη, η µαθηµατική πτυχή του αναλογικού συλλογισµού είναι απαραίτητη για την επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων αναλογίας, όπου πρέπει να εντοπιστεί η δοµική οµοιότητα ανάµεσα στους αριθµούς και τα δεδοµένα της προβληµατικής κατάστασης. Η αναλογικότητα είναι θεµελιώδης έννοια της διδακτέας ύλης στα µαθηµατικά, καθώς διαδραµατίζει κριτικό ρόλο στη ανάπτυξη των µαθηµατικών δεξιοτήτων των µαθητών. Έχει περιγραφεί ως διαχωριστική γραµµή και ως ακρογωνιαίος λίθος των ανώτερων µαθηµατικών και ως επιστέγασµα των θεµελιωδών εννοιών (Lesh, Post, & Behr, 1988). 51

52 3.2. Ορισμός αναλογίας Ο λόγος (ratio) αναφέρεται σε µια κλασµατική σχέση α β δύο µεγεθών. Η αναλογία (proportional) αναφέρεται στην ισότητα µεταξύ δύο λόγων α = γ και είναι β δ µια σχέση δεύτερης τάξης που αποτελεί ισοδυναµία (Christou & Philippou, 2002). Σύµφωνα µε το Freudenthal (1983) ο λόγος είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού διατεταγµένα ζεύγη αριθµών ή ποσοτήτων. Οι σχέσεις µεταξύ των ποσοτήτων χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: τις σχέσεις «εντός» (within) δηλαδή σχέσεις αντίστοιχων ποσοτήτων ιδίου είδους (internal ratio) και τις σχέσεις «εκτός» (between) δηλαδή σχέσεις αντίστοιχων ποσοτήτων διαφορετικού είδους (external ratio). Για παράδειγµα στο πρόβληµα: «Αν πέντε κιλά µήλα κοστίζουν 6, πόσο κοστίζουν τα είκοσι κιλά;», oι σχέσεις «εντός» αναφέρονται στη σύγκριση οµοειδών ποσοτήτων (π.χ. κιλά µε κιλά και µε ) οπότε προκύπτουν οι λόγοι 5/20 και 6/χ ενώ οι σχέσεις «εκτός» αναφέρονται στη σύγκριση διαφορετικού είδους ποσοτήτων (π.χ. κιλά µε ) οπότε προκύπτουν οι λόγοι 5/6 και 20/χ (Modestou & Gagatsis, 2008). O Vergnaud (1983) θεωρεί ότι υπάρχουν δύο µετρικοί χώροι (των κιλών και των ) και ότι οι µετασχηµατισµοί µπορεί να γίνουν εντός ή εκτός των µετρικών χώρων που περιέχουν τις µεταβλητές-µέτρα. Οι µετασχηµατισµοί αυτοί καθορίζουν και το είδος της στρατηγικής που θα χρησιµοποιηθεί για την επίλυση των προβληµάτων (Karplus, Pulos, & Stage, 1983; Modestou & Gagatsis, 2009) Επίλυση αριθμητικών λεκτικών προβλημάτων Για πολλά χρόνια ο αναλογικός συλλογισµός θεωρούνταν συνώνυµο µε την ικανότητα λύσης αναλογικών προβληµάτων προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας (Cramer, Post, & Currier, 1993) και σύγκρισης (Noelting, 1980), όµως όχι τώρα πια. Κατά τη διδασκαλία της αναλογίας που ξεκινά από το δηµοτικό σχολείο οι µαθητές καλούνται να λύσουν αριθµητικά λεκτικά προβλήµατα προσδιορισµού µιας άγνωστης τιµής (missing value) τα οποία παρουσιάζονται µε τρείς ποσότητες α, β και γ και το ζητούµενο είναι να βρεθεί η άγνωστη ποσότητα χ ώστε α/β=γ/χ (Turniare & Pulos, 1985). Τα προβλήµατα αυτά συνήθως διατυπώνονται µε στερεότυπο τρόπο και δε λύνονται πάντα µε πολλαπλασιαστικές στρατηγικές, αφού πολυάριθµοι µαθητές έχουν τη τάση να χρησιµοποιούν στρατηγικές επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης. Η 52

53 τυποποιηµένη διατύπωση αυτής της µορφής των προβληµάτων συνδέεται µε την τάση των µαθητών να χρησιµοποιούν το µνηµονικό κανόνα του πολλαπλασιασµού χιαστί, που αποκλείει τη χρήση αναλογικού συλλογισµού (Lesh et al., 1988; Lamon, 1999). Η µέθοδος αυτή είναι δηµοφιλής στο ελληνικό σχολείο και παρουσιάζεται στα σχολικά βιβλία της έκτης δηµοτικού και της πρώτης γυµνασίου. Επιπλέον τα προβλήµατα αυτά σχετίζονται µε την «απλή µέθοδο των τριών» (Modestou & Gagatsis, 2008), σύµφωνα µε την οποία για να λυθεί ένα πρόβληµα προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας πολλαπλασιάζεται η δεύτερη ποσότητα του προβλήµατος µε την τρίτη και το γινόµενο διαιρείται µε την πρώτη ποσότητα. Στα πλαίσια της διδασκαλίας θεωρείται συχνά ότι τέτοια λεκτικά προβλήµατα ενεργούν σαν υποκατάστατο καθηµερινών καταστάσεων, στις οποίες οι µαθητές χρειάζονται συγκεκριµένες µαθηµατικές δεξιότητες (Verschaffel, Greer, & De Corte, 2000). Επίσης η σύνδεση των προβληµάτων προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας µε µηχανιστικές µεθόδους λύσης είναι κάτι που καλλιεργείται στο ελληνικό σχολείο. Τα αναλογικά προβλήµατα σύγκρισης, παρόλο που δε συνδέονται µε εφαρµογή επιφανειακών µνηµονικών κανόνων όπως τα αναλογικά έργα προσδιορισµού άγνωστης τιµής, χρησιµοποιούνται σπάνια. Στα αναλογικά προβλήµατα σύγκρισης οι τέσσερεις ποσότητες είναι δεδοµένες και οι µαθητές έχουν να συγκρίνουν τους λόγους. Για παράδειγµα µε µία αλλαγή διατύπωσης το προηγούµενο πρόβληµα γίνεται σύγκρισης: «Στο οπωροπωλείο Α τα πέντε κιλά µήλα κοστίζουν 6 ενώ στο οπωροπωλείο Β τα είκοσι κιλά πόσο κοστίζουν 30. Σε ποιο οπωροπωλείο είναι φθηνότερα;». Στην εποχή µας, δίνεται µεγάλη έµφαση στις αναλογικές σχέσεις µέσα από τα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών τόσο της ηµοτικής όσο και της Μέσης εκπαίδευσης. Η έννοια της αναλογίας υπάρχει µέσα σε όλο το µαθηµατικό οικοδόµηµα. Ξεκινά από τη διαδικασία µέτρησης ποσοτήτων, την έννοια των λόγων σε λεκτικά προβλήµατα πολλαπλασιασµού και διαίρεσης και σταδιακά αναπτύσσεται σε καταστάσεις που περιλαµβάνουν ισοδυναµία και σύγκριση κλασµάτων. Στη συνέχεια επεκτείνεται, για να αποτελέσει βασική γνώση, στη γραµµική άλγεβρα και στη χρήση γραµµικών µοντέλων στον απειροστικό λογισµό και τη στατιστική (Van Dooren, 2005). Οι µαθητές επίσης ανακαλύπτουν τη σπουδαιότητα της αναλογίας τόσο στο µαθηµατικό όσο και σε άλλα επιστηµονικά πλαίσια. Για παράδειγµα οι µαθητές µαθαίνουν ότι υπάρχει ανάλογη σχέση µεταξύ του µήκους και της περιµέτρου επίπεδου σχήµατος, µεταξύ της διαµέτρου και του µήκους του κύκλου, 53

54 µεταξύ της µάζας και του όγκου ενός αντικειµένου, µεταξύ της απόστασης που διανύει ένα κινητό µε σταθερή ταχύτητα και του χρόνου που χρειάζεται για να διανύσει αυτή την απόσταση. Παρόλη όµως τη µεγάλη χρησιµότητα του αναλογικού συλλογισµού και την ευρεία χρήση του στο πλαίσιο των σχολικών µαθηµατικών υπάρχει ένα σηµαντικό µειονέκτηµα. Η συνεχής ενασχόληση των µαθητών µε αναλογικά µοντέλα και η εµπειρία που αυτοί αποκοµίζουν µπορεί να τους οδηγήσει στη λαθεµένη αντίληψη ότι αυτό το µοντέλο έχει καθολική εφαρµογή κι έτσι να αναπτύξουν την τάση να χρησιµοποιούν τη γραµµικότητα σε κάθε αριθµητική σχέση χωρίς να εξετάσουν αν αυτή είναι αναλογική (Freudenthal, 1983; Gagatsis & Kyriakides, 2000) «Ψευδαίσθηση της αναλογίας», «Γραμμική παγίδα», «Γραμμικό εμπόδιο», «Γραμμική παρανόηση» Η βασική γλωσσική δοµή προβληµάτων που αφορούν την αναλογικότητα περιλαµβάνει τέσσερεις ποσότητες (α, β, γ, δ) από τις οποίες, στις περισσότερες των περιπτώσεων οι τρεις είναι γνωστές και η τέταρτη άγνωστη, καθώς και µία ένδειξη ότι η σχέση που συνδέει το α µε το β είναι η ίδια που συνδέει και το γ µε το δ. Στην περίπτωση που υπάρχει πραγµατική αναλογία η σχέση αυτή είναι ένας σταθερός λόγος (Behr, Harel, Post, & Lesh, 1992). Για παράδειγµα: «Μια µοδίστρα χρειάζεται 35 λεπτά για να ράψει ένα φόρεµα. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να ράψει τρία ίδια φορέµατα;» Στην περίπτωση αυτή υπάρχει πραγµατική αναλογία και η σωστή απάντηση είναι 353=105 λεπτά. Υπάρχει όµως και περίπτωση η δοµή ενός προβλήµατος να µοιάζει µε τη δοµή προβλήµατος αναλογίας αλλά το πρόβληµα να µην είναι αναλογικό. Για παράδειγµα: «Ένα φόρεµα χρειάζεται 35 λεπτά για να στεγνώσει όταν απλωθεί στο σχοινί µια ηλιόλουστη ηµέρα. Πόσο χρόνο χρειάζονται για να στεγνώσουν τρία ίδια φορέµατα όταν απλωθούν κάτω από τις ίδιες συνθήκες;» Στην περίπτωση αυτή οι µαθητές επηρεαζόµενοι από τη διατύπωση του προβλήµατος απαντούν λανθασµένα 353=105 λεπτά χωρίς να λαµβάνουν υπ όψιν τους ότι τα φορέµατα έχουν απλωθεί µαζί στο σχοινί άρα στεγνώνουν παράλληλα. Οπότε το πρόβληµα θεωρείται πρόβληµα «ψευδοαναλογίας». Η αναλογικότητα είναι τόσο σφηνωµένη στη σκέψη των µαθητών, ώστε εφαρµόζεται στις προβληµατικές καταστάσεις χωρίς καµία µελέτη για τους περιορισµούς της πραγµατικότητας (Verschaffel et al., 2000). 54

55 Πρόσφατες έρευνες για την ψευδαίσθηση της αναλογικότητας (De Bock et al., 1998; Ebersbach, Van Dooren, Goudrian, & Verschaffel, 2010; Fernandez & Llinares, 2009; Fernandez, Llinares, & Valls, 2008; Modestou & Gagatsis, 2007, 2010; Van Dooren, De Bock, Janssens, & Verschaffel, 2005) προτείνουν ο αναλογικός συλλογισµός να µην περιορίζεται µόνο στην ικανότητα λύσης προβληµάτων προσδιορισµού µιας άγνωστης τιµής αλλά να περικλείει και την ικανότητα διάκρισης αναλογικών από µη αναλογικά προβλήµατα. Οι έρευνες που υλοποιούν τα τελευταία χρόνια οι Modestou και Gagatsis (2007, 2009, 2010) προτείνουν ένα νέο µοντέλο µαθηµατικής αναλογικής σκέψης στο οποίο δεν περιλαµβάνεται µόνο η επιτυχία επίλυσης ποικιλίας προβληµάτων προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας ή προβληµάτων σύγκρισης αλλά επίσης εµπλέκονται λεκτικές και αριθµητικές αναλογίες καθώς και η ικανότητα διάκρισης µη αναλογικών καταστάσεων από άλλες. Από την άλλη, υπάρχουν έρευνες (Alatorre & Figueras, 2005; Christou & Philippou, 2002) που εστιάζουν στα χαρακτηριστικά ανάπτυξης της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης και στην επίδραση άλλων παραγόντων όπως αν ο λόγος είναι ακέραιος ή όχι (Cramer et al., 1993; Turniare & Pulos 1985) ή ακόµα αν οι µεταβλητές ποσότητες είναι συνεχείς ή διακριτές (Fernandez & Llinares, 2009). Παρόλα αυτά δεν υπάρχουν πληροφορίες για τις πιθανές αλλαγές στρατηγικής που χρησιµοποιούν οι µαθητές στη λύση των προβληµάτων σύµφωνα µε την ηλικία τους σαν αποτέλεσµα των προαναφερθέντων παραγόντων Μαθηματική αναλογική σκέψη Η θεµελιώδης σηµασία της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης στη ζωή του ανθρώπου είχε ως αποτέλεσµα να γίνουν από πολύ νωρίς συστηµατικές προσπάθειες ορισµού της (Kline, 1990). Στη βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές περιγραφές οι οποίες προσπαθούν να την ορίσουν. Είναι µια µορφή µαθηµατικού συλλογισµού που περιλαµβάνει την ικανότητα ταυτόχρονης επεξεργασίας πληροφοριών µέσα από πολλαπλές συγκρίσεις και συν-µεταβολές (Lesh et al., 1988). Το βασικό χαρακτηριστικό της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης είναι ότι εστιάζει στην περιγραφή, στην πρόβλεψη και στην αξιολόγηση της σχέσης ανάµεσα σε δυο άλλες σχέσεις, δηλαδή περιλαµβάνει µια δευτέρου βαθµού σχέση και όχι απλά µια σχέση ανάµεσα σε δυο διακριτά αντικείµενα ή έννοιες (Inhelder & Piaget, 1958). Η µαθηµατική αναλογική σκέψη είναι πιο πολύπλοκη από τις αρχικές πεποιθήσεις που υπήρχαν γι αυτή (Turniaire & Pulos, 1985). Το γεγονός αυτό προκαλεί δυσκολίες 55

56 στην επαρκή εκπόνηση του όρου. Μέχρι πολύ πρόσφατα υπήρχαν κενά στον ορισµό της ικανότητας που σχετίζεται µε την εφαρµογή της έννοιας της αναλογίας (Lamon, 1999) και ειδικότερα φαίνεται να απουσίαζε ένα πλαίσιο που να καθορίζει µε ακρίβεια εκείνα τα στοιχεία που σχετίζονται µε τη µαθηµατική αναλογική σκέψη. Αντίθετα, το πώς γίνεται αντιληπτή η έννοια της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης υποδηλώνεται έµµεσα µε τη βοήθεια των έργων που περιλαµβάνονται στις διάφορες έρευνες που ασχολούνται µε το θέµα αυτό (Baxter & Junker, 2001; Lesh et al., 1988; Misailidou & Williams, 2003), αλλά και στα σχολικά εγχειρίδια. Η πλειονότητα των παραδειγµάτων των σχολικών βιβλίων και των έργων που χρησιµοποιούνται στις διάφορες έρευνες, συνιστούν την εικόνα της έννοιας της αναλογικότητας η οποία δεν είναι ρητά ορισµένη αλλά αναγνωρίζεται µέσω της εµπειρίας και της χρήσης της στις σχετικές καταστάσεις (Tall & Vinn, 1981). Ειδικότερα, την προηγούµενη δεκαετία επικρατούσε άδηλα η θέση σύµφωνα µε την οποία η µαθηµατική αναλογική σκέψη ταυτίζεται απλά µε την ικανότητα επίλυσης αναλογικών έργων (Cramer et al., 1993). Η µαθηµατική αναλογική σκέψη εστιάζεται σε µια δευτέρου βαθµού σχέση που περιλαµβάνει µια σχέση ισότητας µεταξύ δύο λόγων (Christou & Philippou, 2002; Lamon, 1999). Αφού ο λόγος είναι µια σχέση ανάµεσα σε δύο ποσότητες, η κατανόηση της αναλογίας αφορά την κατανόηση της σχέσης που υπάρχει ανάµεσα σε δύο σχέσεις. Σε µια αναλογική σχέση οι δύο ποσότητες πολλαπλασιάζονται µε τον ίδιο παράγοντα. Η γραφική παράσταση κάθε αναλογικής σχέσης απεικονίζεται µε ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Κατ επέκταση η γραµµική συνάρτηση f(x)=α x µε a 0 µπορεί να περιγράψει µαθηµατικά κάθε αναλογική σχέση (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 2002; Nabors, 2003). Επίσης οποιοιδήποτε λόγοι αντίστοιχων τιµών σε αυτή τη γραµµική συνάρτηση παράγουν µια αναλογία. Από ψυχολογική προοπτική, ο Vergnaud (1983), µελετά τον αναλογικό συλλογισµό ως µέρος ενός ευρύτερου δικτύου εννοιών και γνώσεων το οποίο ορίζει ως το εννοιολογικό πεδίο των πολλαπλασιαστικών δοµών. Ο Vergnaud υποστηρίζει ότι στο πεδίο αυτό όπου συνυπάρχουν οι γραµµικές σχέσεις, ο πολλαπλασιασµός, η διαίρεση, οι κλασµατικοί αριθµοί, οι λόγοι, υπάρχει ένα µόνο µοντέλο που εµπλέκεται στην κατανόηση απλών αναλογικών σχέσεων. Ορίζει το µοντέλο αυτό ως ισοµορφισµό των µέτρων, αφού για την επίλυση των προβληµάτων που περιγράφει το µοντέλο οι µαθητές χρησιµοποιούν αυθόρµητα τις ισοµορφικές ιδιότητες της γραµµικής συνάρτησης: 56

57 ( ψ) ( ) ( ψ) f x+ = f x + f προσθετική ιδιότητα f ( k x) = k f ( x) πολλαπλασιαστική ιδιότητα ή γενικότερα f ( kx+ λψ) = kf ( x) + λ f ( ψ) Στα προβλήµατα που εµπίπτουν στο µοντέλο του ισοµορφισµού των µέτρων κάθε µεταβλητή παραµένει ανεξάρτητη από την άλλη, ενώ παράλληλοι µετασχηµατισµοί διεξάγονται ανάµεσα στις µεταβλητές διατηρώντας τις τιµές τους ανάλογες. Οι µεταβλητές µπορούν να αναπαρασταθούν µε ένα πίνακα απλής αντιστοιχίας όπου οι µετασχηµατισµοί πραγµατοποιούνται είτε ανάµεσα στο ίδιο µέτρο µε χρήση αριθµητικού τελεστή είτε ανάµεσα στα δυο µέτρα µε χρήση συναρτησιακού τελεστή. Πίνακας 3: Tο µοντέλο ισοµορφισµού των µέτρων για τις απλές αναλογικές σχέσεις 1 η ποσότητα 2 η ποσότητα α β γ χ 3.6. Θεωρίες ανάπτυξης αναλογικής σκέψης Ο Piaget και οι συνεργάτες του µε µια σειρά µελετών (1958, 1970, 1975, 1977) ερευνούν την αναλογική σκέψη και θεωρούν ότι η ικανότητα για επιτυχηµένη ενασχόληση µε τα προβλήµατα αναλογιών αποτελεί ένδειξη του σταδίου αφηρηµένων λειτουργιών (formal operational stage). Ο Piaget διακρίνει τρία βασικά στάδια αναλογικής σκέψης: (i) το πρώιµο στάδιο στο οποίο η σκέψη χρησιµοποιεί ποιοτικές αντιστοιχίες και ταξινοµήσεις, (ii) το ενδιάµεσο στάδιο όπου χρησιµοποιούνται προσθετικοί συµψηφισµοί ή εφαρµόζεται ο λόγος 2:1 και (iii) το ανώτερο στάδιο όπου η αναλογική σκέψη εφαρµόζεται ανεξάρτητα από τις αριθµητικές αξίες, τα δεδοµένα και τους λόγους τους. Ο Noelting (1980) προσπαθώντας να εξετάσει τη φύση της γνωστικής ανάπτυξης επικεντρώνεται στην ανάπτυξη της αναλογικής σκέψης. Προσδιορίζει τα διάφορα στάδια κατά τη ανάπτυξη της έννοιας της αναλογίας και εξετάζει τις στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων που εφαρµόζονται σε κάθε στάδιο. Κατά τη µετάβαση από το ένα στάδιο στο άλλο συµβαίνει «προσαρµοστική αναδόµηση», ένας 57

58 µηχανισµός που µετατρέπει τις ήδη υπάρχουσες στρατηγικές επίλυσης προβλήµατος σε νέες που ταιριάζουν σε πιο σύνθετα προβλήµατα. Οι Karplus, Pulos και Stage (1983) αντιµετωπίζουν την έννοια της αναλογικής σκέψης µέσα από ένα διαφορετικό πρίσµα. Υποστηρίζουν ότι είναι πολύπλοκη η απόκτηση αναλογικής σκέψης είτε αναπτυσσόµενη είτε µέσω διδασκαλίας. Προτείνουν τρία ιεραρχικά επίπεδα στρατηγικών: α) στην κορυφή της ιεραρχίας είναι η απόφαση του τι στρατηγική θα εφαρµοστεί για τη λύση του προβλήµατος σε οποιοδήποτε πλαίσιο κι αν αυτό δίνεται: ευθεία αναλογία, αντίστροφη αναλογία, προσθετική σκέψη, άλλη αριθµητική σχέση, β) το ενδιάµεσο επίπεδο αφορά τις αριθµητικές συγκρίσεις ή συνδυασµούς που θα πραγµατοποιηθούν και γ) το τελευταίο επίπεδο σχετίζεται µε τις αριθµητικές πράξεις που θα γίνουν. Οι Turniaire & Pulos (1985) συµπεραίνουν την πολυπλοκότητα της αναλογικής σκέψης η οποία αναπτύσσεται µε δυο αλληλοσχετιζόµενους τρόπους. Αρχικά οι στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων αναλογιών µετατρέπονται σε σωστότερες και πιο επιτηδευµένες µε την ηλικία και την εµπειρία. Προοδευτικά όλο και πιο σύνθετα προβλήµατα αναλογιών λύνονται από τους µαθητές. Ο Orton (1991) υποστηρίζει, πως η κατανόηση της έννοιας της αναλογίας είναι ιδιαίτερα σηµαντική όχι µόνο στη µαθηµατική εκπαίδευση. Η κλίση των γραφικών παραστάσεων στην άλγεβρα, η οµοιότητα των πολυγώνων στη γεωµετρία, η τριγωνοµετρία, η θεωρία πιθανοτήτων, πολλοί νόµοι της φυσικής και της χηµείας είναι έννοιες που βασίζονται στους λόγους και τις αναλογίες. Οι Singer και Resnick (1992) µελετούν τους τρόπους που χρησιµοποιούν οι µαθητές για να αναπαραστήσουν τις αναλογίες και τα κλάσµατα. Υποστηρίζουν πως όταν οι αναλογίες είναι εκφρασµένες ως σχέσεις λόγων τότε συνδέονται τρεις βασικές ποσότητες, µία ολότητα και δύο µέρη, και µπορούν να αναπαρασταθούν µε δύο διαφορετικά σχήµατα: ένα σχήµα µέρος όλο και ένα σχήµα µέρος µέρος. Ο Lo (1993) υιοθετώντας την κονστρουκτιβιστική άποψη θεωρεί ότι η έννοια της αναλογίας δεν είναι κάτι που οι µαθητές έχουν ή στερούνται και πως οι δυσκολίες που υπάρχουν στην αντίληψη των αναλογιών ίσως να οφείλονται σε ακατάλληλη µέθοδο διδασκαλίας στην τάξη. Η αναλογική σκέψη των µαθητών σχετίζεται σε µεγάλο βαθµό µε την ικανότητα αναγνώρισης δοµικής οµοιότητας ή συµµεταβολής και είναι αποτέλεσµα ατοµικής προσαρµογής και αναδόµησης της υπάρχουσας γνώσης. Η κατασκευή του concept image της συµµεταβολής και του συντονισµού 58

59 δυο µετρήσιµων σειρών είναι ιδιαίτερα σηµαντική για την κατανόηση της έννοιας της αναλογίας. Ο Lamon (1999) πιστεύει ότι σηµαντική συµβολή σε επίπεδο ορισµού έχει ο προσδιορισµός της ταυτότητας των µαθηµατικών εννοιών που συµβάλλουν στην αναλογική σκέψη Τύποι προβλημάτων αναλογιών Οι Turniaire και Pulos (1985) διακρίνουν 4 τύπους προβληµάτων αναλογιών: (α) προβλήµατα της άγνωστης τιµής, όπου δίνονται οι τρεις όροι της αναλογίας και ζητείται ο τέταρτος όρος. (β) προβλήµατα σύγκρισης, όπου ζητείται από τους µαθητές να συγκρίνουν δύο κλάσµατα - λόγους. (γ) προβλήµατα επεξήγησης, όπου ζητείται η εξήγηση. (δ) προβλήµατα απάντησης, όπου ζητείται απλώς η απάντηση χωρίς επεξήγηση. Κάθε τύπος προβλήµατος αναλογιών, µπορεί να υποδιαιρεθεί σε τρεις επιµέρους κατηγορίες: φυσικά προβλήµατα, προβλήµατα λόγων και προβλήµατα µείξεων. Οι Lesh, Post και Behr (1988) αναφέρoυν τρία είδη έργων που απαιτούν αναλογικό συλλογισµό: 1) προβλήµατα άγνωστης ποσότητας (missing value problems) όπου δίνονται οι τρεις όροι µιας αναλογίας και ζητείται ο τέταρτος 2) προβλήµατα αριθµητικής σύγκρισης (numerical comparison problems) όπου ο µαθητής πρέπει να συγκρίνει τους δυο γνωστούς λόγους της αναλογίας 3) προβλήµατα σύγκρισης και ποιοτικής πρόβλεψης (qualitative prediction and comparison problems) στα οποία πρέπει να γίνουν συγκρίσεις που δε στηρίζονται σε συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές. Ο Hart (1984), o Lamon (1999) και άλλοι ερευνητές έχουν µελετήσει µια άλλη σηµαντική κατηγορία προβληµάτων που είναι τα προβλήµατα µεγέθυνσης και σµίκρυνσης Παράγοντες που επηρεάζουν την επίδοση των μαθητών στα αναλογικά προβλήματα Το γενικό πλαίσιο του προβλήµατος επηρεάζει σε µεγάλο βαθµό τις στρατηγικές επίλυσης που χρησιµοποιούν οι µαθητές (Kuchemann, 1989; Lamon, 1999; Singer & Resnick, 1992). Ευδιάκριτα διαφορετικά γενικά πλαίσια των 59

60 εξεταζόµενων προβληµάτων προκαλούν διαφορετικούς τρόπους προσέγγισης από τους µαθητές. Επίσης η γενική µορφή του τρόπου µε τον οποίον παρουσιάζεται το πρόβληµα επηρεάζει τις απαντήσεις των µαθητών. Αυτό συµβαίνει ανεξάρτητα από το αν το πρόβληµα σχετίζεται µε τις καθηµερινές εµπειρίες τους ή µε πρακτικούς και εµπειρικούς τρόπους υπολογισµού ή έχει εντελώς άγνωστο θέµα (Schliemann & Pereira, 1990). Το γενικό πλαίσιο του προβλήµατος ασκεί καθοριστική επίδραση. Η διαισθητική αντίληψη και κατανόηση των µαθητών για το λόγο και την αναλογία επηρεάζει την επίδοσή τους. Σε έρευνα της Hoyles (1994) και των Νοss, Sutherland, ζητήθηκε από τους µαθητές να επιλύσουν λεκτικά προβλήµατα που απαιτούσαν πράξεις πολλαπλασιασµού, χωρίς να γίνεται αναφορά σε λόγο ή αναλογία. Το δοκίµιο περιλάµβανε ερωτήµατα για δύο διαφορετικά πλαίσια προβληµάτων. Το ένα πλαίσιο αφορούσε την ανάµιξη µπογιάς και το άλλο τη µεγέθυνση φωτογραφιών που έδειχναν µικρά χαλιά. Τα αποτελέσµατα έδειξαν ότι οι µαθητές εφαρµόζουν διαφορετικές στρατηγικές σε διαφορετικά πλαίσια προβληµάτων. Η αριθµητική δοµή (Karplus et al., 1983), και το είδος του λόγου που περιλαµβάνεται στο πρόβληµα (Hart, 1984), επηρεάζουν ουσιαστικά τον τρόπο σκέψης των µαθητών και κατ επέκταση την επίδοση τους στην επίλυσή του προβλήµατος. Οι Turniaire και Pulos (1985) συµπεραίνουν ότι η δυσκολία που έχουν οι µαθητές να κατανοήσουν την αναλογία οφείλεται σε προηγούµενες δυσκολίες που αφορούν το σχετικό χαρακτήρα των κλασµάτων. Οι Carraher και Schliemann (1991) παρουσιάζουν εντυπωσιακές διαφορές στην επιτυχία των µαθητών που οφείλονται στον σχετικό τρόπο κι όχι στον απόλυτο ή επακριβή τρόπο που αντιµετωπίζουν τον αριθµητή και τον παρονοµαστή. Ο τρόπος διδασκαλίας της έννοιας, καθορίζει τον τρόπο που οι µαθητές κατανοούν τις έννοιες και χειρίζονται τις στρατηγικές επίλυσης των προβληµάτων. Η Viet (1989) ερευνώντας τη συµπεριφορά των µαθητών κατά την επίλυση προβληµάτων ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών τονίζει τους κινδύνους που προκύπτουν από την εκτεταµένη αυτοµατοποίηση στην λύση λεκτικών προβληµάτων. Ο Γαγάτσης (1992) επεκτείνοντας την έρευνα της Viet σε µαθητές έκτης δηµοτικού και πρώτης γυµνασίου συµπεραίνει ότι ο µηχανικός τρόπος µε τον οποίο διδάσκεται η αναλογία στο δηµοτικό στη συνέχεια ξεχνιέται και έτσι οι µαθητές του γυµνασίου αντιµετωπίζουν δυσκολίες όταν ασχολούνται µε προβλήµατα 60

61 αναλογίας. Σε άλλη µελέτη του Γαγάτση (1997) µε αντικείµενο τις στρατηγικές και τα λάθη των µαθητών γυµνασίου κατά την επίλυση ασυνήθιστων προβληµάτων, παρατηρήθηκε η χρήση σε µεγάλο βαθµό της µεθόδου των τριών. Το γεγονός αυτό είναι αξιοπρόσεκτο εφόσον η µέθοδος των τριών αποτελεί αντικείµενο διδασκαλίας µόνο στην πρωτοβάθµια εκπαίδευση Το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας Η αναλογικότητα είναι τέτοια υποβλητική ιδιότητα σχέσεων και φαίνεται να είναι σε τέτοιο βαθµό ενσωµατωµένη στον τρόπο σκέψης των µαθητών ώστε αυτοί εύκολα παραπλανούνται και χειρίζονται κάθε αριθµητική σχέση ως αναλογική χωρίς να λαµβάνουν υπ όψιν το περιβάλλον και τους λογικούς περιορισµούς της προβληµατικής κατάστασης (Freudenthal, 1983). Το γεγονός αυτό δικαιολογεί τις µη ρεαλιστικές απαντήσεις των µαθητών για γραµµική αύξηση του ύψους και του βάρους ή την ικανότητα των αθλητών να τρέχουν µε την ίδια ταχύτητα τα 100 και τα 1000 µέτρα (Verschaffel, De Corte, & Lasure, 1994). Πρόσφατες έρευνες εξετάζοντας την τάση των µαθητών να χρησιµοποιούν αναλογικό συλλογισµό σε προβληµατικές καταστάσεις που δεν είναι κατάλληλος (De Bock et al., 2002; Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens, & Verschaffel, 2004) υποστηρίζουν ότι το φαινόµενο οφείλεται εν µέρει σε ιδιοµορφίες στην διατύπωση των προβληµάτων που οι µαθητές συνδέουν µε τον αναλογικό συλλογισµό σε όλη τη διάρκεια της σχολικής ζωής τους. Ο Greer (1997) αναφέρει ότι προβλήµατα µε πολλαπλασιαστική δοµή µε επιφανειακό διάβασµα συνήθως προκαλούν ψευδαίσθηση της ύπαρξης της αναλογίας. Το γεγονός αυτό αποτελεί παράδειγµα ακατάλληλης χρήσης του µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού ως µια βεβιασµένη αντίδραση στη γλωσσική δοµή του προβλήµατος. Υπάρχει µια µη ανακλαστική σχέση µεταξύ της µαθηµατικής δοµής των αναλογικών σχέσεων και της στερεότυπης γλωσσικής τους διατύπωσης τόσο σε επίπεδο µαθητή όσο και σε ιστορικό επίπεδο (Verschaffel et al., 2000). Παρ όλα αυτά το φαινόµενο αυτό δεν προκύπτει µόνο ως µια αντίδραση στη στερεότυπη γλωσσική διατύπωση των αναλογικών σχέσεων. εν µπορεί δηλαδή να υιοθετηθεί η άποψη ότι η οντογένεση ανακεφαλαιώνει τη φυλογένεση στην περίπτωση του τρόπου χειρισµού των µη αναλογικών σχέσεων απλά και µόνο λόγω της γλωσσικής διατύπωσης των αναλογικών προβληµάτων. Η αναλογία φαίνεται να είναι το κοινωνικο-πολιτισµικό µέσο για την εισαγωγή 61

62 και την κατάκτηση της έννοιας της συνάρτησης. Η ιδιαίτερη σηµασία που έχει δοθεί στο γραµµικό µοντέλο, οδηγεί την επέκταση της εγκυρότητας του και σε καταστάσεις µη αναλογικές στις οποίες προφανώς είναι µη εφαρµόσιµο. Η συνεχής επιβεβαίωση της εγκυρότητας του γραµµικού µοντέλου δηµιουργεί την ισχυρή αντίληψη ότι κάθε σχέση ανάµεσα σε δυο ποσότητες είναι αναλογική. Οπότε η χρήση του αναλογικού συλλογισµού αποτελεί πανάκεια για την επίλυση των προβληµάτων κάθε µορφής που η διατύπωσή τους µοιάζει µε τη διατύπωση αναλογικών προβληµάτων (Van Dooren et al., 2004). Ο Freudenthal (1983) εστιάζοντας στην καταλληλότητα του µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού ως φαινοµενολογικού µέσου περιγραφής υποδεικνύει ότι σε κάποιες περιπτώσεις αυτή η φαινοµενολογία αποτυγχάνει. Η αποτυχία αυτή προκύπτει από την ευρεία εφαρµογή του αναλογικού µοντέλου σε µη αναλογικές καταστάσεις. Η λανθασµένη χρήση του αναλογικού συλλογισµού παρατηρείται σε διάφορους τοµείς των µαθηµατικών. Έρευνες µε θέµα «το διδακτικό συµβόλαιο» ή την «έλλειψη κοινής λογικής σκέψης» σε µαθητές του δηµοτικού σχολείου έδειξαν ότι ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών δίνουν απαντήσεις που στηρίζονται στον αναλογικό συλλογισµό σε ψευδοαναλογικά προβλήµατα, έστω κι αν αυτές δεν είναι λογικές (Gagatsis, 1998; Greer, 1993; Reusser & Stebler, 1997; Verschaffel et al., 1994; Verschaffel & De Corte, 1997; Verschaffel, De Corte, & Vierstrae, 1999; Wyndhamn & Saljo, 1997; Yoshiba, Verschaffel, & De Corte,1997). Για παράδειγµα στο πρόβληµα: «Ο Γιάννης είναι 10 χρονών και έχει ύψος 1.50m. Ποιο θα είναι το ύψος του όταν γίνει 30 χρονών;» ένας µεγάλος αριθµός παιδιών απαντούν 3m. Στη δευτεροβάθµια εκπαίδευση παρουσιάζεται ακατάλληλη χρήση του αναλογικού συλλογισµού στην άλγεβρα (Gagatsis & Kyriakides, 2000), τις πιθανότητες (Fischbein & Schnarch, 1996; Freudenthal, 1973; Van Dooren, De Bock, Verschaffel, & Janssens, 2001) και τη γεωµετρία (National Council of Teachers of Mathematics, 1989) Περιπτώσεις ψευδοαναλογικών προβλημάτων Οι βασικές περιπτώσεις «ψευδοαναλογικών» προβληµάτων που έχουν χρησιµοποιηθεί σε διάφορες µελέτες είναι: 1. Προβλήµατα στα οποία η µαθηµατική σχέση που συνδέει τα δεδοµένα δεν είναι γραµµική. 1.Α. Προβλήµατα που αναφέρονται σε µια σταθερή κατάσταση. π.χ. 62

63 1) Ο Μανώλης για να παίξει στην κιθάρα του ένα µουσικό κοµµάτι χρειάζεται 10min. Αν παίξουν το ίδιο µουσικό κοµµάτι ο Μανώλης και ο Ανδρέας µαζί µε τις κιθάρες τους πόσο χρόνο χρειάζονται; 2) Ένα κοριτσάκι είναι 2 χρονών κι έχει δυο πολύ όµορφα µάτια. Πόσα µάτια θα έχει όταν θα είναι 8 χρονών; 1.Β. Προβλήµατα προσθετικού συλλογισµού που µπορεί να αφορούν διακριτά ή συνεχή µεγέθη. π.χ. 1) Η Αθηνά και ο Μιχάλης φυτεύουν λουλούδια µε τον ίδιο ρυθµό. Ο Μιχάλης άρχισε νωρίτερα. Όταν η Αθηνά είχε φυτέψει 8 λουλούδια, ο Μιχάλης είχε φυτέψει 12 λουλούδια. Αν η Αθηνά φυτέψει 20 λουλούδια πόσα θα έχει φυτέψει ο Μιχάλης; 2) Η Έφη και ο Άγγελος βάφουν ένα φράχτη. Βάφουν το ίδιο γρήγορα αλλά η Έφη ξεκίνησε αργότερα. Όταν η Έφη είχε βάψει 20 µέτρα, ο Άγγελος είχε βάψει 50 µέτρα. Αν η Έφη έχει βάψει 30 µέτρα πόσα θα έχει βάψει ο Άγγελος; 1.Γ. Προβλήµατα που αναφέρονται σε µεταβολές της µορφής: f(x)=ax+b, b 0 π.χ. 1) Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει 10 πάγιο το µήνα. Για χρόνο οµιλίας 15 λεπτά πληρώνουµε Πόσο θα πληρώσουµε αν µιλήσουµε 40 λεπτά; 2. Προβλήµατα στα οποία δεν υπάρχει ακριβής λογικοµαθηµατική σχέση που συνδέει τα δεδοµένα. π.χ. 1) Αν ένα αγόρι 9 ετών έχει ύψος 1.23 µέτρα τι ύψος θα έχει στα 18 του χρόνια; 2) Ο καλύτερος χρόνος του Τάσου στα 100 µέτρα είναι 17 δευτερόλεπτα. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να τρέξει 1 χιλιόµετρο; Αναλογικά λάθη στη γεωμετρία Η γεωµετρία είναι ένας από τους τοµείς των µαθηµατικών που συµβάλλει στη βαθύτερη κατανόηση του χώρου µέσα στον οποίον ο άνθρωπος ζει και κινείται. Ακόµα συντελεί στην ανάπτυξη δεξιοτήτων όπως η οπτική εξερεύνηση, η αιτιολόγηση και η επιχειρηµατολογία (NCTM, 1989). Η οπτική αντίληψη διαδραµατίζει σηµαντικό ρόλο όταν οι µαθητές ασχολούνται µε γεωµετρικές έννοιες. Ο Duval (1978) υποστηρίζει ότι ορισµένα σχήµατα γίνονται εύκολα για τους µαθητές ενώ άλλα όχι µε βάση τη σηµασιολογική συµφωνία που υφίσταται µεταξύ του σχήµατος και της γεωµετρικής κατάστασης καθώς και τη συµφωνία στα πλαίσια της αντιληπτικής και πραξιακής σύλληψης του σχήµατος. Το σχήµα είναι µία µορφή εξωτερικής εικονικής αναπαράστασης που παρουσιάζει πληροφορίες σε µορφή δυσδιάστατου χώρου διαδραµατίζοντας σηµαντικό ρόλο στην κατανόηση της 63

64 γεωµετρίας. Είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τους µαθητές γιατί τους βοηθά να επικεντρώσουν την προσοχή τους στα δοµικά στοιχεία του προβλήµατος τα οποία γίνονται κατανοητά µε οικονοµικότερο τρόπο. Οι µαθητές εξεικονίζοντας το πρόβληµα και χρησιµοποιώντας το σχήµα για να πετύχουν κατανόηση του προβλήµατος οδηγούνται στην επίλυσή του (Mesquita, 1998). Οι έννοιες της περιµέτρου, του εµβαδού και του όγκου είναι από τις σηµαντικότερες έννοιες που διδάσκονται οι µαθητές στο ηµοτικό σχολείο. Σχετίζονται άµεσα µε την καθηµερινή ζωή την επιστήµη, την τεχνολογία και τον πολιτισµό ενώ παράλληλα χρησιµοποιούνται για την εισαγωγή άλλων µαθηµατικών εννοιών αλλά και τη σύνδεση του κόσµου των αριθµών µε τον κόσµο των φυσικών αντικειµένων (Hiebert, 1981). Οι µαθητές συχνά θεωρούν ότι µεταξύ των εννοιών της περιµέτρου και του εµβαδού καθώς και της περιµέτρου και του όγκου υφίσταται αναλογική σχέση (De Bock et al., 1998). Η έννοια του εµβαδού δηµιουργεί στους µαθητές παρανοήσεις, είναι δύσκολο να διδαχθεί και παραµένει ασαφής για πολλούς µαθητές ακόµη και ενήλικες γιατί θεωρούν το εµβαδόν ως µια εφαρµογή τύπου και όχι ως µέτρηση της κάλυψης µιας επιφάνειας (Allerton & Nunes, 1994; Baturo & Nason, 1996). Ένας παράγοντας που οδηγεί σε λάθη στον υπολογισµό του εµβαδού είναι το γεγονός ότι κάποιοι µαθητές αντιλαµβάνονται το εµβαδόν µε µια αθροιστική θεώρηση, συγχέοντας το µ αυτό τον τρόπο µε την περίµετρο (Allerton & Nunes, 1994; Kidman & Nason, 2003). Οι περισσότεροι µαθητές τείνουν να θεωρούν ότι το εµβαδόν παραµένει σταθερό παρά τις αλλαγές της επιφάνειας ενώ διαπιστώθηκε ερευνητικά ότι οι µαθητές θεωρούν τις έννοιες εµβαδόν-περίµετρος να διαφοροποιούνται µε τον ίδιο τρόπο π.χ. σταθερή περίµετρος σταθερό εµβαδόν, αύξηση περιµέτρου αύξηση εµβαδού (Hart, 1984). Οι µαθητές συνήθως έχουν την τάση να γενικεύουν τις αλλαγές που γίνονται στις γραµµικές διαστάσεις των σχηµάτων σε αλλαγές στο εµβαδόν και τον όγκο. Ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών, όπως ο δούλος στον «Μένωνα» του Πλάτωνα, θεωρεί ότι όταν το µήκος της πλευράς ενός σχήµατος διπλασιαστεί ή υποδιπλασιαστεί τότε και το εµβαδόν του σχήµατος θα διπλασιαστεί ή υποδιπλασιαστεί, ανεξάρτητα από το είδος του σχήµατος (ορθογώνιο ή τετράγωνο) (Modestou, Gagatsis, & Pitta-Pantazi, 2004; NCTM, 1989; Outhred & Mitchelmore, 2000). Επίσης πολλοί µαθητές θεωρούν ότι αν διπλασιαστεί ή υποδιπλασιαστεί η µία από τις διαστάσεις ενός στερεού τότε και ο όγκος του αντίστοιχα θα διπλασιαστεί ή υποδιπλασιαστεί όπως 64

65 πίστευαν οι Αθηναίοι στο ήλιο πρόβληµα (Modestou & Gagatsis, 2007; Modestou, Elia, Gagatsis, & Spanoudis, 2008; NCTM, 1989; Outhred & Mitchelmore, 2000; Simon & Blume, 1994). Οι εµπειρίες ακόµα και των σηµερινών µαθητών µε τη µεγέθυνση και τη σµίκρυνση σχηµάτων δεν τους οδηγούν στη συνειδητοποίηση των διαφορετικών ρυθµών αύξησης του µήκους, του εµβαδού και του όγκου (De Bock et al., 2002). Σα συνέπεια, οι µαθητές έχουν την τάση να αντιµετωπίζουν τις σχέσεις µεταξύ του µήκους και του εµβαδού καθώς και του µήκους και του όγκου σα γραµµικές αντί για τετραγωνική και κυβική αντίστοιχα. Οπότε χρησιµοποιούν το γραµµικό παράγοντα στη θέση του τετραγώνου του ή του κύβου του για τον καθορισµό του εµβαδού ή του όγκου του σχήµατος που προκύπτει από µεγέθυνση ή σµίκρυνση ενός αρχικού σχήµατος. Η εύρεση του εµβαδού και του όγκου ενός σχήµατος αντιµετωπίζεται από τους µαθητές σαν ένας πολλαπλασιασµός που ικανοποιεί τη δοµή του ισοµορφισµού των µέτρων. Τα προβλήµατα εµβαδού και όγκου, στην πραγµατικότητα, χαρακτηρίζονται από τη συγκρότηση ενός τρίτου µέτρου Μ3 µε βάση δύο άλλα µέτρα Μ1 και Μ2 και αποτελούν µέρος της δοµής του γινοµένου των µέτρων όπως αναφέρει ο Vergnaud (1983). Τρεις µεταβλητές περιλαµβάνονται στην περίπτωση του γινοµένου των µέτρων και η δοµή αυτή αναπαριστάνεται γραφικά µε πίνακα διπλής αντιστοιχίας. Πίνακας 4: Το µοντέλο του γινοµένου των µέτρων για το εµβαδόν µήκος 1 2 α 1 πλάτος 2 β Εµβαδόν α β Ο πίνακας αντιπροσωπεύει τη διπλή αναλογία που υπάρχει και συνδέει το µήκος µε το εµβαδόν και το πλάτος µε το εµβαδόν. Κάθε µαθητής πρέπει να µπορεί να αντιλαµβάνεται ότι το εµβαδόν ενός σχήµατος είναι ανάλογο του µήκους του µόνο όταν το πλάτος διατηρείται σταθερό και όµοια το εµβαδόν είναι ανάλογο του πλάτους του µόνο όταν το µήκος του διατηρείται σταθερό (Vergnaud, 1997). Ο Freudenthal (1983) αναφέρει χαρακτηριστικά ότι το να αντιληφθούν οι µαθητές ότι ο 65

66 πολλαπλασιασµός του µήκους µε α, του εµβαδού µε α² και του όγκου µε α³ συνδέεται µε το γεωµετρικό πολλαπλασιασµό µε α και είναι τόσο ουσιαστικό από µαθηµατικής σκοπιάς που φαινοµενολογικά και διδακτικά πρέπει να τεθεί πρώτο. Οι ίδιοι οι µαθητές πρέπει να διακόψουν µόνοι τους το µοτίβο της συνεχούς χρήσης του µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού ώστε να κατορθώσουν να αντιληφθούν τον πολυδιάστατο χαρακτήρα του γεωµετρικού πολλαπλασιασµού (Streefland, 1984) Έρευνες για τη ψευδαίσθηση της αναλογίας σε γεωμετρικά προβλήματα Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει µια σηµαντική προσπάθεια από διάφορους ερευνητές (De Bock et al., 1998; De Bock, Van Dooren, Janssens, & Verschaffel, 2002; De Bock, Verschaffel, Janssens, Van Dooren, & Claes, 2003; Modestou & Gagatsis, 2004, 2007, 2010; Van Dooren et al., 2004; Van Dooren et al., 2005) ώστε να διερευνηθεί και να αντιµετωπιστεί η τάση των µαθητών να χειρίζονται µη αναλογικά προβλήµατα εµβαδού και όγκου, ως αναλογικά. Συγκεκριµένα, οι De Bock, Verschaffel και Janssens (1998) και οι De Bock, Van Dooren, Janssens και Verschaffel (2002) αποκάλυψαν την ύπαρξη µιας ισχυρής τάσης των µαθητών 12 ως 16 χρονών να εφαρµόζουν το µαθηµατικό αναλογικό συλλογισµό για να επιλύσουν µη αναλογικά προβλήµατα εµβαδού. Ακόµα και η χρήση διαφόρων πειραµατικών συνθηκών δεν άλλαξε τα αποτελέσµατα και δεν επέδρασε σε ουσιαστική αλλαγή στον τρόπο που οι µαθητές διαχειρίζονται αυτά τα προβλήµατα. Η παροχή έτοιµων και αυτοσχέδιων εικόνων δεν επηρέασε την επίδοση των µαθητών, αφού στηρίχθηκαν σε τυπικές µεθόδους µε τη χρήση µαθηµατικών τύπων. Επίσης οι Modestou και Gagatsis (2004, 2007) συµπεριέλαβαν στα έργα σαν επιπλέον πληροφορίες όλες τις διαστάσεις των σχηµάτων καθώς και τους τύπους εύρεσης του εµβαδού και του όγκου. Παρόλα αυτά οι µαθητές των Α και Β γυµνασίου, αγνοώντας πλήρως τον τύπο του εµβαδού, επέµεναν να διπλασιάζουν το εµβαδόν όταν διπλασιάζονται οι διαστάσεις του σχήµατος. Η πλειοψηφία των λαθών που έκαναν οι µαθητές προήλθαν από την τάση τους να χρησιµοποιούν αναλογικό συλλογισµό παντού, ανεξάρτητα από το πλαίσιο του κάθε προβλήµατος (Gagatsis & Kyriakides, 2000) και ίσως οφείλεται στη γλωσσική µορφή των προβληµάτων που οι µαθητές συνδέουν αυτόµατα µε το αναλογικό σχήµα (De Bock et al., 1998). Οι µαθητές µαθαίνουν να λύνουν λεκτικά προβλήµατα ακολουθώντας στερεότυπες διαδικασίες, θεωρώντας ότι η κατάσταση που περιγράφει το πρόβληµα είναι 66

67 «καθαρή». Έτσι, σε πολλά προβλήµατα απαντούν χωρίς να εξετάσουν τα στοιχεία της κατάστασης που περιγράφεται αλλά απλώς εκτελώντας µια αριθµητική πράξη µε τα δεδοµένα του προβλήµατος. Παρόµοια συµπεριφορά έδειξαν οι µαθητές και σε προβλήµατα πολλαπλής επιλογής στα οποία αν και η ορθή απάντηση είχε πιθανότητα 50% να επιλεγεί τελικά επιλέχθηκε και αιτιολογήθηκε µόνο από το 20% των µαθητών. Οι µαθητές λόγω της επιφανειακής ανάγνωσης των προβληµάτων αιτιολογούν τις απαντήσεις τους συνδέοντας το ζητούµενο εµβαδόν και όγκο απευθείας µε τα δεδοµένα κι όχι µε τις πλευρές των σχηµάτων. Στην περίπτωση αυτή, µε την «υποτιθέµενη διατύπωση» η αναλογική απάντηση θα ήταν ορθή, όχι όµως και µε την πραγµατική διατύπωση των προβληµάτων. Η αύξηση της αυθεντικότητας του πλαισίου µέσα στο οποίο παρουσιάζεται το πρόβληµα (De Bock et al., 2003) όχι µόνο δεν έφερε τα επιθυµητά αποτελέσµατα αλλά είχε και αρνητική επίδραση στην επίδοση των µαθητών στα µη αναλογικά έργα. Αντίθετα, η ένταξη των µαθητών σε µια πραγµατική κατάσταση προβληµατισµού (Van Dooren et al., 2005) µε πραγµατικά αντικείµενα και αυθεντικές δράσεις οδήγησε στην αποφυγή γενικευµένης χρήσης του γραµµικού µοντέλου και στην αύξηση του ποσοστού επιτυχίας των µαθητών. Όµως τα αποτελέσµατα ήταν παροδικά αφού οι µαθητές απέτυχαν σε ένα post-test που περιλάµβανε µη αναλογικά έργα εµβαδού. Ο λόγος της αποτυχίας ήταν το γεγονός ότι οι µαθητές είχαν τη δυνατότητα να τροποποιούν τη λανθασµένη απάντησή τους αφού είχαν άµεση ανατροφοδότηση για τη λύση που έδιναν στην αυθεντική κατάσταση. Έτσι δεν µπορούσαν να φθάσουν σε κάποιο συµπέρασµα για τη σχέση µήκους και εµβαδού. Μικρή αλλά σηµαντική βελτίωση στην επίδοση των µαθητών προέκυψε όταν στην αρχή του δοκιµίου επισύναψαν οι ερευνητές De Bock, Van Dooren, Janssens και Verschaffel (2002) ένα εισαγωγικό σηµείωµα που προειδοποιούσε τους µαθητές ότι δεν πρόκειται για συνηθισµένα έργα. Στην ίδια εργασία, η αναδιατύπωση των προβληµάτων σε ίδια προβλήµατα πολλαπλασιαστικής σύγκρισης βοήθησε ουσιαστικά αρκετούς µαθητές. Όµως ως µειονέκτηµα των καλύτερων επιδόσεων στα µη αναλογικά έργα, µειώθηκαν τα ποσοστά επιτυχίας στα αναλογικά έργα γιατί κάποιοι µαθητές άρχισαν να γενικεύουν το µη-αναλογικό συλλογισµό και να αµφισβητούν την ορθότητα του σε απλές αναλογικές καταστάσεις εφαρµόζοντας µη αναλογικές στρατηγικές σε προβλήµατα αναλογίας. Παρόµοια συµπεριφορά παρουσίασαν οι µαθητές σε µια σειρά δέκα πειραµατικών µαθηµάτων που είχαν σα στόχο την εννοιολογική αλλαγή (Van Dooren 67

68 et al., 2004). Συγκεκριµένα ενώ µερικοί µαθητές µείωσαν την αυτοµατοποιηµένη χρήση αναλογικών στρατηγικών σε µη αναλογικά προβλήµατα, άλλοι µαθητές εφάρµοσαν µη αναλογικές στρατηγικές σε αναλογικά προβλήµατα. Τα αποτελέσµατα αυτά µπορούν να ερµηνευθούν µε την αναφορά της Sierpinska (1987) στο «διπλό εµπόδιο». Η εµφάνιση του διπλού εµποδίου είναι συνώνυµη µε την προσπάθεια να ξεπεραστεί ένα επιστηµολογικό εµπόδιο αντικαθιστώντας απλώς την πεποίθηση που το διέπει µε την ακριβώς αντίθετη. Στην περίπτωση της ψευδοαναλογίας, το διπλό εµπόδιο είναι η αντικατάσταση της τυφλής εφαρµογής της πεποίθησης ότι όλες οι σχέσεις είναι γραµµικές µε την αντίθετή της ότι όλες οι σχέσεις δεν είναι γραµµικές. Για την αντιµετώπιση αυτού του φαινοµένου, πρέπει ο µαθητής να εστιάσει στις πεποιθήσεις του, να αναλύσει διεξοδικά τις στρατηγικές επίλυσης προβλήµατος που χρησιµοποιεί προκειµένου να διατυπώσει τις υποθέσεις που εφαρµόζει σιωπηρά και να λάβει επίγνωση των πιθανών αντίθετων υποθέσεων (Sierpinska, 1987). Οπότε τα πειραµατικά µαθήµατα δεν αποδείχτηκαν επαρκή για βαθιά εννοιολογική κατανόηση των αναλογικών και µη αναλογικών σχέσεων (Van Dooren, et al., 2004) Ψυχολογικοί παράγοντες που συνδέονται με την αναλογικότητα Η ανάγκη να διευκρινιστούν οι µηχανισµοί ενεργοποίησης των µαθητών κατά τη διαδικασία επίλυσης µη αναλογικών προβληµάτων οδήγησε τους ερευνητές De Bock, Van Dooren, Janssens και Verschaffel (2002) στη χρήση της µεθόδου της κλινικής συνέντευξης. Με τον τρόπο αυτό, αναγνωρίστηκε ο ρόλος που παίζουν οι διαφορετικές πτυχές της γνώσης των µαθητών που ευθύνονται για τις αναλογικές απαντήσεις στα προβλήµατα ψευδοαναλογίας. Από τις συνεντεύξεις προέκυψε ότι οι µαθητές έχουν τη πεποίθηση ότι κάθε αριθµητική σχέση έχει αναλογικό χαρακτήρα. Επίσης φάνηκαν οι διαισθητικές αντιλήψεις των µαθητών, οι ελλείψεις στις γεωµετρικές τους γνώσεις και τυχόν ανεπαρκείς στάσεις και αντιλήψεις στην επίλυση προβλήµατος. Η σύνδεση της τάσης των µαθητών να εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό σε µη αναλογικά προβλήµατα µε τις διαισθητικές αντιλήψεις τους οδήγησε σε περαιτέρω διερεύνηση κατά πόσο το όλο φαινόµενο είναι ειδική περίπτωση της θεωρίας των διαισθητικών κανόνων (Stavy & Tirosh, 2000). Η θεωρία αυτή υποστηρίζει ότι µια µεταβολή σε µια ποσότητα Α έχει ως αποτέλεσµα την ίδια µεταβολή σε µια άλλη ποσότητα Β (same A- same B). Οι µαθητές αντιδρούν µε παρόµοιο τρόπο σε µια ευρεία ποικιλία προβληµάτων που δε σχετίζονται εννοιολογικά µεταξύ τους που όµως 68

69 έχουν κοινά χαρακτηριστικά ως αποτέλεσµα εσωτερικευµένων ενστικτωδών διαισθητικών κανόνων και υπεργενίκευσης επιτυχηµένων εµπειριών. Οπότε µπορεί να θεωρηθεί ότι η εφαρµογή αυτού του διαισθητικού κανόνα είναι ικανή να ερµηνεύσει τις απαντήσεις των µαθητών στα µη αναλογικά έργα. Στην πραγµατικότητα όµως αυτό δε φαίνεται να ισχύει όπως υποστηρίζουν οι Van Dooren, De Bock, Weyers και Verschaffel (2004) αφού οι µαθητές κάνουν αρκετά διαφορετικά λάθη πλην των διαισθητικών κανόνων, που οδηγούν στην ίδια λανθασµένη αναλογική απάντηση. Οι Van Dooren, De Bock, Janssens και Verschaffel (2004) σε µια επόµενη εργασία τους επιχειρούν να διευκρινίσουν τους ψυχολογικούς και εκπαιδευτικούς παράγοντες που οδηγούν τους µαθητές να σκέφτονται µε αναλογικό τρόπο στην επίλυση µη αναλογικών προβληµάτων. Στα συµπεράσµατα αναφέρεται ότι στοιχεία που επεξηγούν την ύπαρξη του φαινοµένου της ψευδοαναλογίας υπάρχουν: στις εµπειρίες που αποκτούν οι µαθητές στην τάξη των µαθηµατικών στη διαισθητική φύση του γραµµικού µοντέλου σε στοιχεία που σχετίζονται µε τα συγκεκριµένα µαθηµατικά έργα όπου εµφανίζεται το γραµµικό λάθος. Η τάση των µαθητών να εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό σε περιπτώσεις που δεν ισχύει το γραµµικό µοντέλο ενισχύεται από τη στερεότυπη διδασκαλία και από τα στερεότυπα προβλήµατα αναλογικού συλλογισµού που καλούνται οι µαθητές να λύσουν στο πλαίσιο των σχολικών µαθηµατικών. Ο Greer (1997) επισηµαίνει ότι η ακατάλληλη χρήση αναλογικού συλλογισµού ίσως αποτελεί µια αντίδραση των µαθητών στη γλωσσική έκφραση προβληµάτων µε πολλαπλασιαστική δοµή και έτσι δηµιουργείται το φαινόµενο της ύπαρξης της αναλογίας, ως συνέπεια του διδακτικού συµβολαίου. Εποµένως µπορεί η ακατάλληλη εφαρµογή της γραµµικότητας να είναι αποτέλεσµα επιφανειακής και ανεπαρκούς διαδικασίας µαθηµατικής µοντελοποίησης από τους µαθητές. Ο αναλογικός συλλογισµός είναι βαθιά ριζωµένος στη διαισθητική γνώση των µαθητών. Το γεγονός αυτό έχει ως συνέπεια την αυθόρµητη και ασυνείδητη χρήση του που έχει ως αποτέλεσµα τη θεώρηση της αναλογικής προσέγγισης σα φυσική, αδιαµφισβήτητη και σε τέτοιο βαθµό απρόσιτη για αναστοχασµό (De Bock et al., 2002). Οπότε απαιτείται ριζική γνωστική µετάβαση από την τυφλή εφαρµογή της απλής και εύκολης µαθηµατικής φόρµουλας σε µια προοπτική µοντελοποίησης που περιλαµβάνει όλα τα στοιχεία της προβληµατικής κατάστασης (Verschaffel, et al., 69

70 2000). Για να πετύχει αυτή η γνωστική µετάβαση πρέπει οι µαθητές να έρθουν αντιµέτωποι µε διαφορετικές παρεµβατικές συνθήκες µε στόχο τη δηµιουργία γνωστικής σύγκρουσης. Με τον τρόπο αυτό οι µαθητές θα διαφοροποιήσουν τη συµπεριφορά τους κατά την επίλυση µη αναλογικών προβληµάτων. Ένας από τους παράγοντες που θα µπορούσε να βοηθήσει τους µαθητές στην επίλυση µη αναλογικών προβληµάτων γεωµετρίας είναι η ύπαρξη σχεδιαγραµµάτων και εικονικών αναπαραστάσεων (Larkin & Simon, 1987). Όπως υποστηρίζουν οι Larkin και Simon (1987) τα σχεδιαγράµµατα αποτελούν βοηθητικά γνωστικά εργαλεία που µπορούν να βοηθήσουν στην ανάλυση της προβληµατικής κατάστασης, στο σχεδιασµό της λύσης και στον έλεγχο της απάντησης. Ακόµα, τα σχεδιαγράµµατα σε συνδυασµό µε τα σχήµατα τους πίνακες και τις γραφικές παραστάσεις χρησιµοποιούνται στα διδακτικά εγχειρίδια και στη διδακτική πράξη. Η χρήση ποικίλων εξωτερικών αναπαραστάσεων βελτιώνει την κατανόηση και τη µάθηση των µαθηµατικών ιδεών (Ainsworth, Wood, & Bibby, 1997). Μια δεύτερη αναπαράσταση µπορεί να ενισχύσει τη µετάφραση µιας πιο πολύπλοκης ή λιγότερο γνώριµης αναπαράστασης (Gagatsis & Misailidou, 2002). Οπότε οι µαθητές συνδυάζοντας τις διάφορες αναπαραστάσεις δεν περιορίζονται από τις τυχόν αδυναµίες µιας συγκεκριµένης αναπαράστασης (Ainsworth, et al., 1997). Η χρησιµοποίηση σχεδιαγράµµατος ως µέσου για την αντιµετώπιση του φαινοµένου της ψευδοαναλογίας εξετάστηκε σε έρευνα των De Bock, Verschaffel και Janssens (1998) και συµπέρανε ότι η ύπαρξη σχεδιαγράµµατος είχε θετική επίδραση στην επίδοση των µαθητών για την επίλυση µη αναλογικών γεωµετρικών προβληµάτων, αλλά µη στατιστικά σηµαντική Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων αναλογίας Η µεγάλη σηµασία της αναλογικής σκέψης οδήγησε σε πολυάριθµες έρευνες που εξέτασαν τις ορθές και λανθασµένες στρατηγικές των µαθητών στην προσπάθειά τους να επιλύσουν αναλογικά προβλήµατα άγνωστης ποσότητας (Christou & Philippou, 2002; Kaput & West, 1994; Karplus, et al., 1983; Tourniaire & Pulos, 1985). Mε βάση τη βιβλιογραφία, οι στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων αναλογίας χωρίζονται µε βάση τη δοµή τους, σε στρατηγικές µε πολλαπλασιαστική δοµή και σε στρατηγικές µε προσθετική δοµή (Tourniaire & Pulos, 1985). Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν η αναγωγή στη µονάδα, ο παράγοντας αλλαγής, η µέθοδος των τριών και τα ισοδύναµα κλάσµατα (Bart, Post, Behr, & Lesh, 1994). H δεύτερη κατηγορία 70

71 αναφέρεται σε στρατηγικές επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης οι οποίες αποτελούν άτυπη µορφή αναλογικού συλλογισµού (Christou & Philippou, 2002), όπως οι κλάσεις ισοδυναµίας και η δηµιουργία ζευγαριών (Bart et al., 1994). Η εφαρµογή καθεµιάς από τις στρατηγικές εξαρτάται άµεσα από το είδος του προβλήµατος και από τις σχέσεις που διέπουν τα αριθµητικά του δεδοµένα. Η πιο συνηθισµένη ορθή στρατηγική για την επίλυση αναλογικών προβληµάτων άγνωστης ποσότητας που συναντά κανείς στα σχολικά εγχειρίδια είναι η µέθοδος των τριών, η οποία αποτελεί ένα µνηµονικό κανόνα για την επίλυση αναλογικών προβληµάτων (Christou & Philippou 2002) και έρχεται σε αντίθεση µε τις άτυπες διαισθητικές στρατηγικές των µαθητών (Kaput & West, 1994). Στα ελληνικά σχολεία αποτελεί την τυπική σχολική προσέγγιση για την επίλυση προβληµάτων και ενισχύεται από τη χρήση του διαγράµµατος αναλογίας της Marshall (1995). Με τη στρατηγική του παράγοντα αλλαγής εντοπίζεται η σχέση ανάµεσα στις αντίστοιχες ποσότητες διαφορετικού είδους και εφαρµόζεται ανάµεσα στις άλλες ποσότητες (εκτός σχέση) ή υπολογίζεται η εντός σχέση ανάµεσα στις ποσότητες ίδιου είδους και µεταφέρεται στις ποσότητες του δεύτερου είδους. Η αναγωγή στη µονάδα βασίζεται στις διαδικασίες επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης ή αφαίρεσης µε τη διαφορά ότι η διαίρεση στη συγκεκριµένη περίπτωση έχει την έννοια του µερισµού αντί της οµαδοποίησης (Παπαγεωργίου & Χρίστου, 1999). Οι λανθασµένες στρατηγικές στην επίλυση προβληµάτων αναλογίας µπορεί να είναι η λανθασµένη µεταφορά του παράγοντα αλλαγής στις ποσότητες διαφορετικού είδους, η µεταφορά του παράγοντα αλλαγής µε µπέρδεµα των ποσοτήτων και η προσθετική στρατηγική. Η προσθετική στρατηγική είναι η συνηθέστερα αναφερόµενη στη βιβλιογραφία λανθασµένη στρατηγική σε σχέση µε τις αναλογίες (Inhelder & Piaget, 1958; Hart, 1984; Misailidou & Williams, 2003; Tourniaire & Pulos, 1985). Στις διάφορες έρευνες επί του θέµατος, τα µεγάλα ποσοστά χρήσης οποιασδήποτε λανθασµένης στρατηγικής φανερώνουν ότι οι µαθητές δεν έχουν ολοκληρωµένη αντίληψη των σχέσεων που διέπουν µια αναλογία. Ειδικότερα οι Misailidou και Williams (2003) κατασκεύασαν ένα εργαλείο διαγνωστικής αξιολόγησης αναλογικού συλλογισµού των µαθητών που µπορούσε να µετρήσει και την τάση των µαθητών για εφαρµογή προσθετικής στρατηγικής. Η βιβλιογραφία σχετικά µε τη µαθηµατική αναλογική σκέψη αποκαλύπτει ευρεία συναίνεση στην άποψη ότι αναπτύσσεται από ποιοτική σκέψη, από στρατηγική δηµιουργίας, από στρατηγική πολλαπλασιαστικής δοµής (Inhelder & Piaget, 1958; 71

72 Kaput & West, 1994; Karplus et al., 1983; Noelting, 1980). Η εξέλιξη αυτή αντιπροσωπεύει τα διαφορετικά επίπεδα πολυπλοκότητας όταν σκεπτόµαστε αναλογίες. Η ποιοτική σκέψη χαρακτηρίζεται από τη χρήση λέξεων σύγκρισης, όπως µεγαλύτερος και µικρότερος, περισσότερο και λιγότερο που συνδέουν τις ποσότητες των προβληµάτων. Η στρατηγική της δηµιουργίας (build-up) είναι η προσπάθεια εφαρµογής της πρόσθεσης και της αφαίρεσης στις αναλογίες. Στο πλαίσιο αυτό οι µαθητές παρατηρούν ένα µοτίβο σε ένα λόγο και στη συνέχεια το επαναλαµβάνουν για να δηµιουργήσουν προσθετικά την άγνωστη ποσότητα. Για παράδειγµα στο πρόβληµα «Αν τα 4 κιλά κοστίζουν 2, πόσο κοστίζουν τα 12 κιλά;» έχουµε: τα 2 κιλά κοστίζουν 1 οπότε κιλά κοστίζουν Οι στρατηγικές της πολλαπλασιαστικής δοµής βασίζονται στις ιδιότητες της γραµµικής συνάρτησης: f(a+b)=f(a)+f(b), f(ma)=mf(a), λαµβάνοντας υπόψη µετασχηµατισµούς µεταξύ ή εντός των λόγων. Ο Inhelder και ο Piaget (1958) θεωρούν την ώριµη χρήση του αναλογικού συλλογισµού από τους µαθητές ως ένδειξη τυπικής λειτουργικής σκέψης στην οποία οι µαθητές τηρούν τη συνέπεια των σχέσεων µεταξύ ή εντός των µεταβλητών. Χαρακτηριστικό της ανάπτυξης της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης των µαθητών είναι η δυσκολία διάκρισης αναλογικών από µη αναλογικές καταστάσεις και η εσφαλµένη χρήση προσθετικής στρατηγικής σε αναλογικές καταστάσεις ή η εσφαλµένη χρήση αναλογικής στρατηγικής σε µη αναλογικές καταστάσεις (Fernandez, Llinares, Van Dooren, De Bock, & Verschaffel, 2009; Modestou & Gagatsis,2007; Van Dooren et al., 2005). Η λανθασµένη προσθετική στρατηγική που χρησιµοποιείται σε αναλογικά προβλήµατα συνίσταται στη χρήση της διαφοράς των αριθµών του λόγου, όταν αυτός δεν είναι ακέραιος, και στη συνέχεια στην εφαρµογή αυτής της διαφοράς στον τρίτο αριθµό για να βρεθεί η άγνωστη ποσότητα (Hart, 1984; Tourniaire & Pulos, 1985). Από την άλλη πλευρά, η εσφαλµένη χρήση αναλογικών στρατηγικών σε µη αναλογικά έργα εξηγείται από το γεγονός ότι µοντελοποιούνται µε τη βοήθεια της συνάρτησης f(x)=x+b, b 0. Οι µαθητές ανεξάρτητα από τη µορφή του προβλήµατος, προτιµούν προσθετικές στρατηγικές όταν οι λόγοι δεν είναι ακέραιοι, και αναλογικές στρατηγικές όταν οι λόγοι είναι ακέραιοι και στο δηµοτικό (Van Dooren, De Bock, Evers, & Verschaffel, 2009) και στο γυµνάσιο (Fernandez et al., 2009). 72

73 3.15. Έρευνες σχετικά με τη μάθηση της αναλογίας Παρόλη τη σπουδαιότητα της έννοιας της αναλογίας και παρά το γεγονός ότι εµφανίζεται νωρίς στο αναλυτικό πρόγραµµα σπουδών των µαθηµατικών, µεγάλος αριθµός ερευνών έδειξαν ότι αποτελεί δύσκολη περιοχή για τους µαθητές (Nabors, 2003). Οι Lesh, Post και Behr (1998) υποστηρίζουν ότι µικρός αριθµός µαθητών µέσης εκπαίδευσης κάνουν ορθή χρήση του αναλογικού συλλογισµού, κάτι το οποίο παρατηρείται σε µεγάλο βαθµό και στην ανώτερη εκπαίδευση (Lawton, 1993). Παράλληλα υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν ότι ένα µεγάλο ποσοστό του πληθυσµού δεν κατακτά επαρκώς την αναλογική σκέψη (Hoffer, 1988). Έρευνες γύρω από το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας (De Bock et al., 1998; Modestou & Gagatsis, 2004; Van Dooren, 2005) υποδεικνύουν ότι η θεώρηση της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης ως την ικανότητα επίλυσης τυπικών αναλογικών προβληµάτων δεν µπορεί να ισχύει απόλυτα. Οι µαθητές ανεξαρτήτως ηλικίας, ενώ επιτυγχάνουν στην επίλυση τυπικών αναλογικών προβληµάτων, αποτυγχάνουν στο να τα διακρίνουν από άλλα µη αναλογικά προβλήµατα (Modestou & Gagatsis, 2004). Ως αποτέλεσµα της αποτυχίας διάκρισης των αναλογικών από τις µη αναλογικές καταστάσεις, δηµιουργείται στους µαθητές µια ψευδαίσθηση για την ύπαρξη αναλογίας, µε αποτέλεσµα να χρησιµοποιούν αναλογικές στρατηγικές για να επιλύσουν ακόµη και τα µη αναλογικά έργα. Για παράδειγµα, η τάση των µαθητών να απαντούν, ότι το εµβαδόν ενός τετραγώνου διπλασιάζεται όταν διπλασιαστούν οι πλευρές του, είναι αποτέλεσµα του συγκεκριµένου φαινόµενου (De Bock et al., 1998; Modestou & Gagatsis, 2007). Τα αναλογικά λάθη των µαθητών δεν είναι περιστασιακά και µεµονωµένα αλλά αντίθετα εµφανίζονται σε ένα ευρύ φάσµα καταστάσεων της καθηµερινής ζωής υποδεικνύοντας ότι κάποιος µπορεί πολύ εύκολα να παραπλανηθεί και να χειρίζεται κάθε αριθµητική σχέση ως αναλογική (Freudenthal, 1973), χωρίς να δίνει σηµασία στην προβληµατική κατάσταση και τους περιορισµούς που αυτή µπορεί να έχει. Οι Van Dooren, De Bock, Hessels, Janssens και Verschaffel (2005) πραγµατοποίησαν µελέτη εξετάζοντας την κατάχρηση της γραµµικότητας από τους µαθητές κατά την επίλυση λεκτικών προβληµάτων. ιερεύνησαν πότε εµφανίζεται η τάση για αναλογικό συλλογισµό στην επίλυση λεκτικών προβληµάτων και πώς διαµορφώνεται σε σχέση µε την ηλικία, την εµπειρία που αποκτούν οι µαθητές και τις δεξιότητες του συλλογισµού που αναπτύσσουν. Το δείγµα τους ήταν µια µεγάλη 73

74 οµάδα µαθητών από τη Β ηµοτικού ως τη Β Γυµνασίου, οι οποίοι αντιµετώπισαν ένα ερωτηµατολόγιο µε οκτώ λεκτικά προβλήµατα προσδιορισµού άγνωστης τιµής. Τα δύο προβλήµατα ήταν αναλογικά και τα υπόλοιπα ήταν ψευδοαναλογικά. Τα δύο αφορούσαν προσθετικό συλλογισµό, τα άλλα δύο αναφέρονταν στη συνάρτηση της µορφής f(x)=ax+b, µε b 0 και τα υπόλοιπα δύο αναφέρονταν σε σταθερή κατάσταση. Η έρευνα αυτή έδειξε ότι οι µαθητές της πρωτοβάθµιας εκπαίδευσης έτειναν να εφαρµόζουν αναλογικό συλλογισµό στα µη γραµµικά λεκτικά προβλήµατα άγνωστης τιµής από την περιοχή της στοιχειώδους αριθµητικής. Η τάση αυτή αυξανόταν στο δηµοτικό µε κορύφωση στην πέµπτη τάξη. Μετά από αυτή την κορύφωση υπήρχε βαθµιαία µείωση του αριθµού των λαθών στα µη αναλογικά προβλήµατα, αλλά τα λάθη δεν εξαφανίστηκαν τελείως. Πιο πρόσφατες µελέτες έδειξαν ότι η φύση των αριθµητικών σχέσεων όπως η παρουσία ή η απουσία ακέραιων λόγων και το µέγεθος των κλασµάτων ή των αριθµών που χρησιµοποιούνται στα µη αναλογικά λεκτικά προβλήµατα παρασύρουν τους µαθητές στη χρήση αναλογικών στρατηγικών (Fernandez & Llinares 2008; Van Dooren, De Bock, & Verschaffel, 2008;). Σε άλλη έρευνα τους οι Fernandez και Llinares (2009) διαπίστωσαν ότι η χρήση µιας τεχνικής επίλυσης προβλήµατος όπως ο κανόνας των τριών επηρέασε τους µαθητές και τους οδήγησε να την εφαρµόσουν και σε µη αναλογικά προβλήµατα. Σε πρόσφατη µελέτη των Van Dooren, De Bock και Verschaffel (2008) µια µικρή οµάδα µαθητών συµµετείχαν σε ένα ποιοτικά διαφορετικό είδος µαθηµατικής σκέψης προσπαθώντας να ταξινοµήσουν σε οµάδες αναλογικά και ψευδοαναλογικά προβλήµατα. Οι ερευνητές παρατήρησαν ότι οι µαθητές είχαν καλύτερη επίδοση από αυτήν σε προβλήµατα υπολογισµού. Οι Modestou, Gagatsis, Fernandez και Llinares (2010) στην πιο πρόσφατη µελέτη τους, προσπάθησαν να διαπιστώσουν πως ο τύπος του λόγου (ακέραιος ή µη ακέραιος) και η φύση των µεταβλητών (διακριτές ή συνεχείς) επηρεάζει την ανάπτυξη και εξέλιξη των αναλογικών ή προσθετικών στρατηγικών που χρησιµοποιούν οι µαθητές στην πρωτοβάθµια και δευτεροβάθµια εκπαίδευση. Το δείγµα τους ήταν µια µεγάλη οµάδα µαθητών από την τετάρτη δηµοτικού ως την πρώτη λυκείου. Το ερωτηµατολόγιο που χρησιµοποίησαν περιλάµβανε 12 λεκτικά προβλήµατα προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας από τα οποία 4 ήταν αναλογικά, 4 ήταν προσθετικού συλλογισµού αναφερόµενα σε µεταβολές της µορφής f ( x) = ax+ b, b 0και 4 ήταν ενδιάµεσα προβλήµατα (buffer). Τα αποτελέσµατα 74

75 έδειξαν την τάση των µαθητών του δηµοτικού να χρησιµοποιούν προσθετικές στρατηγικές σε όλα τα προβλήµατα σε αντίθεση µε τους µαθητές του γυµνασίου που χρησιµοποιούν αναλογικές στρατηγικές σε όλα τα προβλήµατα. Επίσης οι µαθητές χρησιµοποίησαν τον κανόνα της αναλογίας όταν οι λόγοι µεταξύ των µεταβλητών ήταν ακέραιοι και την µέθοδο της επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης όταν οι λόγοι µεταξύ των ποσοτήτων ήταν µη- ακέραιοι. Η µείωση της χρήσης του κανόνα της αναλογίας σε µη- ακέραιους λόγους συνοδεύτηκε από την αύξηση της χρήσης προσθετικών στρατηγικών σε αυτά τα προβλήµατα. Η ένδειξη αυτή φανέρωσε ότι ο τύπος του λόγου επηρεάζει την ανάπτυξη της στρατηγικής. Αντίθετα, η φύση των µεταβλητών (διακριτές ή συνεχείς) δεν έδειξε να επηρεάζει την ανάπτυξη των στρατηγικών των µαθητών κατά τη µετάβαση από το δηµοτικό στο γυµνάσιο Προτεινόμενο μοντέλο μαθηματικής αναλογικής σκέψης Τα ευρήµατα από διάφορες µελέτες σε διαφορετικά πλαίσια από διαφορετικούς ερευνητές έχουν επιβεβαιώσει την ύπαρξη ενός πολυδιάστατου µοντέλου ερµηνείας της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης συνεισφέροντας στον προσδιορισµό της ίδιας της έννοιας. Το προτεινόµενο µοντέλο µαθηµατικής αναλογικής σκέψης, σε ένα εξελικτικό πλαίσιο, καλύπτοντας ηλικίες µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου θέτει σε αµφισβήτηση την άδηλη υπόθεση που θέλει τη µαθηµατική αναλογική σκέψη να αποτελεί µια µονοδιάστατη διαδικασία που συνίσταται αποκλειστικά από την ικανότητα επίλυσης τυπικών µαθηµατικών αναλογικών έργων στα οποία δίνονται οι τρεις ποσότητες και ζητείται η τέταρτη, (µαθηµατικός αναλογικός συλλογισµός). Ένα άτοµο µε µαθηµατική αναλογική σκέψη δεν µπορεί να προσδιοριστεί απλά ως κάποιος που γνωρίζει να χρησιµοποιεί τους αριθµούς ενός έργου για να επιλύει µια αναλογία (Cramer et al., 1993). Στην πραγµατικότητα, η ευρεία χρήση αλγορίθµων, όπως το «χιαστί γινόµενο» ή οι προσθετικές µέθοδοι επίλυσης, δεν είναι ένδειξη ότι όλοι όσοι λύνουν σωστά ένα πρόβληµα που περιέχει αναλογίες απαραίτητα χρησιµοποιούν µαθηµατική αναλογική σκέψη (Lesh et al., 1988; Lamon,1999). Αντίθετα, και η ικανότητα του ατόµου να διακρίνει κατά πόσο ένα πρόβληµα επιλύεται µε χρήση µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού, προσθετικού συλλογισµού ή οποιασδήποτε άλλης αριθµητικής σχέσης είναι θεµελιώδης για τη µαθηµατική αναλογική σκέψη (Karplus et al., 1983). Οι µαθητές ενώ έχουν υψηλά ποσοστά επιτυχίας στην επίλυση αναλογικών προβληµάτων, αποτυγχάνουν στην επίλυση µη αναλογικών προβληµάτων (De Bock et al., 1998; Van Dooren, De Bock, 75

76 De Bolle, Janssens, & Verschaffel, 2003). Μία τέτοια αντιµετώπιση του θέµατος έρχεται σε αντιδιαστολή µε την ευρύτερη αναλογική σκέψη των µαθητών, παραγνωρίζοντας τη θεµελιώδη πτυχή της µαθηµατικής αναλογικήςσκέψης που είναι η ικανότητα ανάλυσης των ποσοτήτων σε κάθε πρόβληµα για την πρώτιστη διαπίστωση αν η σχέσηπουτις συνδέει είναι αναλογική (Lamon, 1999). Το µοντέλο αυτό προεκτείνει βιβλιογραφικά και ερευνητικά δεδοµένα σύµφωνα µε τα οποία η µαθηµατική αναλογική σκέψη περικλείει ένα πιο ευρύ και σύνθετο φάσµα γνωστικών δεξιοτήτων µε τόσο µαθηµατικές όσο και ψυχολογικές διαστάσεις (Lesh et al., 1988). Με βάση τα νέα ερευνητικά δεδοµένα (Modestou, & Gagatsis, 2007; 2009) µπορούµε να θεωρήσουµε ότι η µαθηµατική αναλογική σκέψη περιγράφεται καλύτερα µε ένα µοντέλο τριών διαστάσεων, από τις οποίες η πρώτη διάσταση του αναλογικού συλλογισµού εµπίπτει στο πεδίο τηςψυχολογίας, η δεύτερη διάσταση του µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού εµπίπτει στο πεδίο των µαθηµατικών ενώ η τρίτη διάσταση της µετα-αναλογικής αναλογικής ενηµερότητας έχει µεταγνωστική φύση. Η ικανότητα κατασκευής και αλγεβρικήςεπίλυσης επίλυσης αναλογικών έργων θεωρείται απόλυτα ως θεµελιώδης πτυχή της µαθηµατικήςαναλογικής αναλογικήςσκέψης (Lamon, 1999) και αποτελεί βασικό κοµµάτι του προτεινόµενουµοντέλου. µοντέλου Η δεύτερη διάσταση περιλαµβάνει δευτέρου βαθµού σχέσεις και συνεπάγεται µια ισοδύναµη σχέση µεταξύ δύολόγων. Η ύπαρξη σχέσης µεταξύ δύο σχέσεων και η αναγνώριση της δοµικής οµοιότητας είναι σύµφωνα µε τον Piaget και Inhelder (1958) το βασικό χαρακτηριστικό της αναλογικότητας, το χαρακτηριστικό που συνδέει τον αναλογικό µε το µαθηµατικόαναλογικό αναλογικόσυλλογισµό. Σχήµα 13: Προτεινόµενο µοντέλο µαθηµατικής αναλογικής σκέψης 76

77 Η διάσταση του µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού, που αφορά την ικανότητα επίλυσης µαθηµατικών αναλογικών έργων, συνεχίζει να αποτελεί θεµελιώδες κοµµάτι του µοντέλου µαθηµατικής αναλογικής σκέψης, αλλά το µοντέλο ολοκληρώνεται µε τη συµπερίληψη δύο επιπλέον πτυχών που αναφέρονται στην ικανότητα χειρισµού λεκτικών και αριθµητικών αναλογιών σε ένα πλαίσιο µη µαθηµατικό (αναλογικός συλλογισµός), καθώς και στην ικανότητα καθορισµού και διάκρισης αναλογικών χαρακτηριστικών µιας κατάστασης συνιστώντας τη µεταγνωστική διάσταση της έννοιας (µετα-αναλογική ενηµερότητα). Κάτω από αυτή τη διάσταση της µετα-αναλογικής ενηµερότητας εντάσσεται και µπορεί να µελετηθεί το φαινόµενο της ψευδοαναλογίας. Στο τέλος του γυµνασίου οι µαθητές πρέπει να έχουν αποκτήσει γερές βάσεις της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης και των εφαρµογών της (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Η κατανόηση των αναλογιών είναι ουσιώδης στη µελέτη της έννοιας της κλίσης και της γραµµικότητας Αναλογικός συλλογισμός Ο αναλογικός συλλογισµός στο πλαίσιο της Ψυχολογίας θεωρείται ένας από τους πιο σηµαντικούς µηχανισµούς της γνωστικής ανάπτυξης του ατόµου. Αποτελεί επαγωγικό µηχανισµό που περιλαµβάνει την αναγνώριση και µεταφορά δοµικών πληροφοριών από ένα σύστηµα (πηγή) σε ένα άλλο (στόχο). Η µεταφορά αυτή πραγµατοποιείται µε την εύρεση της αντιστοιχίας µεταξύ των διαδικασιών και των µηχανισµών που χαρακτηρίζουν τα δυο συστήµατα (Vosniadou, 1989). Τα συστήµατα αυτά µπορεί να συνιστούν έννοιες, θεωρίες ή προβληµατικές καταστάσεις, ενώ παράλληλα στις περισσότερες των περιπτώσεων ανήκουν σε διαφορετικά πεδία µε όµοια όµως δοµή. Με βάση αυτά τα χαρακτηριστικά µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ο αναλογικός συλλογισµός είναι η «ικανότητα συλλογισµού µε µοτίβα», η οποία περιλαµβάνει τον εντοπισµό και την αναγνώριση της επανεµφάνισης του µοτίβου ανεξάρτητα από τη διαφοροποίηση των στοιχείων που περιλαµβάνει (English, 2004). Ο αναλογικός συλλογισµός συνδέεται µε το µαθηµατικό αναλογικό συλλογισµό στο ότι και τα δύο σχετίζονται µε τις ικανότητες του ατόµου να γνωρίζει και να γενικεύει µοτίβα και σχέσεις, είτε αυτά αφορούν συγκεκριµένα αντικείµενα είτε αφορούν αφηρηµένες έννοιες (Gonswami, 1992). Κατά συνέπεια δεν µπορεί παρά ο 77

78 αναλογικός και ο µαθηµατικός συλλογισµός να σχετίζονται και να συνδέονται ως γνωστικές διαδικασίες οι οποίες είναι απαραίτητες για τη δηµιουργία και την οργάνωση της εννοιολογικής γνώσης (Deal & Hardy, 2004; English, 2004). Αυτή η εύρεση µοτίβων συνιστά το σύνδεσµο ανάµεσα στο αναλογικό συλλογισµό και τον µαθηµατικό αναλογικό συλλογισµό (Modestou & Gagatsis, 2009). Και αυτό γιατί η εύρεση του µοτίβου µπορεί να θεωρήσει ότι µοιάζει µε την εύρεση της δοµικής οµοιότητας ανάµεσα στους όρους µιας τυπικής αναλογίας της µορφής Α: Β :: Γ:. Και τα δύο συνδέονται µε την εύρεση της σχέσης που υπάρχει ανάµεσα σε δύο όρους, είτε αυτοί είναι σύµβολα, είτε αντικείµενα, είτε έννοιες, και την εφαρµογή αυτής της σχέσης. Υπάρχουν πολλά µοντέλα (Droujkova & Berenson, 2003) που παρουσιάζουν άµεσες συνδέσεις ανάµεσα στον αναλογικό συλλογισµό στα µαθηµατικά και τη ψυχολογία. Για τα προβλήµατα που αφορούν το τοµέα της ψυχολογίας χρησιµοποιείται ο όρος κλασσικές αναλογίες. Οι κλασσικές αναλογίες περιλαµβάνουν τέσσερεις τουλάχιστον έννοιες και αναπαριστάνονται από τον τύπο Α: Β:: Γ:, όπου η σχέση ανάµεσα στους όρους Α και Β πρέπει να είναι ισοδύναµη µε τη σχέση ανάµεσα στους όρους Γ και (English, 2004). Οι όροι αυτοί µπορεί να αποτελούνται από λέξεις ή αριθµούς ή εικόνες οπότε συνιστούν λεκτικές, αριθµητικές, οπτικές αναλογίες αντίστοιχα (Gonswami, 1992; Lamon, 1999). Ο Polya (1954) προέβαλε την ύπαρξη σχέσης µεταξύ µαθηµατικών και κλασσικών αναλογιών µε την ένδειξη ότι η µαθηµατική αναλογία είναι ειδική περίπτωση αναλογίας. Οι Piaget και Campbell (2001) αναφέρουν ότι: «οι λεκτικές αναλογίες είναι ένα είδος ποιοτικής µαθηµατικής αναλογίας». Πρόκειται για σχέσεις ανάµεσα σε σχέσεις. Ο αναλογικός συλλογισµός περιλαµβάνει σηµαντικές δοµικές σχέσεις και συνδέσεις ανάµεσα σε καταστάσεις ή ιδέες (English & Sharry, 1996). Οι λεκτικές αναλογίες µπορούν να σχηµατιστούν µε πολλούς τρόπους εµπεριέχοντας ποικίλες σηµασιολογικές σχέσεις ανάµεσα στις έννοιες σε διάφορα επίπεδα (Hoffman, 1998). Οι έννοιες µπορεί να σχετίζονται µε επιφανειακά χαρακτηριστικά (π.χ. οµόηχες λέξεις ή λέξεις µε τον ίδιο αριθµό γραµµάτων) ή µε σχέσεις οµοιότητας και διαφοράς ή να συνδέονται µε πιο υψηλού επιπέδου χαρακτηριστικά (π.χ. τοποθεσία, λειτουργία, αλλαγή κατάστασης) (Stemberg, 1977). Άγνωστο στοιχείο µπορεί να είναι η µία από τις τέσσερεις έννοιες ή ακόµα και το ένα ζευγάρι. Υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν τη σύνδεση ανάµεσα στο λεκτικό αναλογικό συλλογισµό και τη µάθηση (Vosniadou, 1989), τη διδασκαλία (Alexander, Wilson, 78

79 White, & Fuqua, 1987) και την ευφυΐα ή δηµιουργικότητα (Marr & Sternberg, 1986). Η σχέση αναλογικού και µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού δεν εντοπίζεται µόνο σε επίπεδο κλασσικών έργων αναλογιών µε αριθµούς. Οι Hatano και Sakakibara (2004) αναφέρουν ότι οι µαθητές µπορούν να επωφεληθούν από την επίλυση κλασσικών αναλογιών της µορφής Α: Β:: Γ:, γιατί η επίλυση µαθηµατικών προβληµάτων αναλογίας στηρίζεται στην ίδια λογική ανάλυση όπως και οι κλασσικές αναλογίες. Το στοιχείο κλειδί στην επίλυση αναλογικών έργων είναι να εστιάζεις στη δοµική και όχι στην αντιληπτική οµοιότητα µεταξύ των όρων. Η ικανότητα εντοπισµού της δοµικής κι όχι µόνο της επιφανειακής οµοιότητας που υπάρχει σε οπτικές και λεκτικές σχέσεις θεωρείται απαραίτητη στην αντίληψη όλων των σχέσεων που διέπουν µια µαθηµατική αναλογία (Lamon, 1999). Από τη στιγµή που οι µαθητές είναι σε θέση να εντοπίσουν τη δοµική οµοιότητα µεταξύ λεκτικών και αριθµητικών αναλογιών, µπορούν να κατανοήσουν ευκολότερα τις σχέσεις µιας µαθηµατικής αναλογίας. Ο εντοπισµός της δοµικής οµοιότητας ανάµεσα στους όρους µιας τυπικής αναλογίας παραπέµπει σε δεύτερου επιπέδου σχέσεις οπότε καλλιεργείται η ικανότητα των µαθητών να µη εµµένουν σε επιφανειακές προσθετικές σχέσεις, να εµβαθύνουν κι έτσι να παρουσιάζουν µαθηµατική αναλογική σκέψη. Τα ερευνητικά δεδοµένα των (Modestou, & Gagatsis, 2009) επιβεβαιώνουν ότι η ικανότητα των µαθητών στην επίλυση τυπικών λεκτικών και αριθµητικών αναλογιών της µορφής Α: Β:: Γ:, είναι βασικός ρυθµιστής της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης Μαθηματικός αναλογικός συλλογισμός Η δεύτερη πτυχή του µοντέλου της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης είναι η διάσταση που τα τελευταία χρόνια είχε ταυτιστεί µε την ίδια τη µαθηµατική αναλογική σκέψη (Baxter & Junker, 2001; Misailidou & Williams, 2003). Η έννοια της µαθηµατικής αναλογίας περιλαµβάνει µία σχέση ισότητας µεταξύ δυο λόγων (Demetriou, Platsidou, Efklides, Metallidou, & Shayer, 1991) και ιστορικά θεωρείται ταυτόσηµη µε τη γεωµετρική αναλογία. Η κατανόηση της αναλογίας προϋποθέτει την κατανόηση της σχέσης µεταξύ των δυο σχέσεων που καθορίζουν οι λόγοι που σχηµατίζουν την αναλογία. Οι όροι που απαρτίζουν την µαθηµατική αναλογία µεταβάλλονται πολλαπλασιαστικά. Οι συναρτήσεις της µορφής f(x)=αx, a 0 περιγράφoυν µαθηµατικά κάθε αναλογική σχέση (Van Dooren, 2005) και η γραφική τους παράσταση είναι µια ευθεία γραµµή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 79

80 Ο(0,0). Οι µαθητές εισάγονται σταδιακά στην έννοια της αναλογίας ξεκινώντας από προβλήµατα που περιέχουν τη σχέση 2:1 που επιλύονται µε την εφαρµογή µιας πράξης (πολλαπλασιασµού ή διαίρεσης). Στη συνέχεια έρχονται σε επαφή µε την έννοια της αναλογίας ως ισότητας δύο λόγων a = c και µαθαίνουν να χειρίζονται b d συστηµατικά πιο σύνθετα αναλογικά έργα µε τη βοήθεια του σχήµατος της αναλογίας που στηρίζεται στη θεωρία σχήµατος (Marshall, 1995). Πριν όµως εξοικειωθούν µε συγκρίσεις και πιθανές σχέσεις µεταξύ των ποσοτήτων που συµµετέχουν στους λόγους, µαθαίνουν τη µέθοδο του χιαστί γινοµένου που τους παρουσιάζεται ως η εύκολη λύση στα προβλήµατα καθορισµού άγνωστης ποσότητας. Ο µνηµονικός αυτός κανόνας που σπάνια γίνεται κατανοητός από τους µαθητές (Lesh et al., 1988) αποτελεί την επικρατέστερη µέθοδο επίλυσης αναλογικών προβληµάτων. εν προκύπτει αυθόρµητα στο µυαλό των µαθητών αλλά δίνεται από τον εκπαιδευτικό και οι µαθητές τον χρησιµοποιούν αλγοριθµικά, σαν απλή διαδικασία στη λύση των προβληµάτων. Κατά την επίλυση προβλήµατος κάθε είδος συλλογισµού πρέπει να περιλαµβάνει συνειδητή και σκόπιµη δράση και όχι τυφλή εφαρµογή µιας διαδικασίας που σε κάποιες περιπτώσεις δίνει τη σωστή απάντηση. Η αλγοριθµική ικανότητα εφαρµογής της µεθόδου χιαστί στα προβλήµατα όχι µόνο δεν συνιστά αναλογικό συλλογισµό (Lamon, 1999), αλλά και τον παρεµποδίζει (Lesh et al., 1988). Πρωτίστως για να µπορούµε να µιλάµε για αναλογικό συλλογισµό, πρέπει να υπάρχει κάποια ένδειξη ότι ο µαθητής είναι σε θέση να εντοπίσει την πραγµατική σχέση ανάµεσα στα δυο µέλη της εξίσωσης που κατασκεύασε για τη λύση του προβλήµατος (Lesh et al., 1988). Μια θεµελιώδη πτυχή της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης, είναι η ικανότητα ανάλυσης των ποσοτήτων στη δεδοµένη κατάσταση, για να διαπιστωθεί πρώτιστα κατά πόσο υπάρχει ανάµεσά τους αναλογική σχέση (Lamon, 1999). Μέσα από τη δεύτερη διάσταση του νέου µοντέλου της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης, διαφαίνεται η ανάγκη να παρουσιάζονται στους µαθητές όχι µόνο προβλήµατα προσδιορισµού άγνωστης ποσότητας αλλά και προβλήµατα σύγκρισης (Modestou & Gagatsis, 2009). Η ικανότητα του ατόµου να διακρίνει κατά πόσο ένα πρόβληµα επιλύεται µε τη χρήση µαθηµατικού αναλογικού συλλογισµού, προσθετικού συλλογισµού ή οποιασδήποτε άλλης αριθµητικής σχέσης είναι απαραίτητη για τη µαθηµατική αναλογική σκέψη (Karplus et al., 1983). Συνεπώς η χρήση καταστάσεων που προωθούν στρατηγικές σύγκρισης είτε ανάµεσα, είτε µεταξύ 80

81 των ποσοτήτων δεν οδηγεί σε εφαρµογή µνηµονικών κανόνων και συνδέεται µε την ύπαρξη µαθηµατικής αναλογικής σκέψης Μετα- αναλογική ενημερότητα Η τρίτη πτυχή της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης είναι διάσταση µεταγνωστικής φύσης. Περιλαµβάνει έργα που η επίλυσή τους προϋποθέτει ενεργοποίηση όχι αποκλειστικά γνωστικών µηχανισµών. Η διάσταση αυτή αφορά την ικανότητα του ατόµου πρώτα να διακρίνει τις αναλογικές από τις µη αναλογικές καταστάσεις και µετά να τις επιλύει, εφαρµόζοντας τις κατάλληλες στρατηγικές (Karplus et al., 1983; Lamon, 1999). Η ικανότητα αυτή έχει άµεση σύνδεση µε τη δεξιότητα αναγνώρισης και καθορισµού της προβληµατικής κατάστασης, που αποτελεί την πρώτη από τις τέσσερεις γενικές µεταγνωστικές διαδικασίες που διευκολύνουν στην επίλυση προβλήµατος ανεξάρτητα από το πλαίσιο (Davidson, Deuser, & Sternberg, 1994). Οπότε οι µαθητές για να είναι σε θέση να λύσουν σωστά κάποιο πρόβληµα πρέπει αρχικά να µπορούν να αναλύσουν και να κωδικοποιήσουν τα βασικά στοιχεία του προβλήµατος. Συνεπώς η συστηµατική τάση των µαθητών για χρήση του αναλογικού µοντέλου ακόµα και σε καταστάσεις που δεν είναι κατάλληλο φαίνεται να σχετίζεται µε την απουσία της δεξιότητας αναγνώρισης και καθορισµού των στοιχείων της προβληµατικής κατάστασης. Μέσα σε αυτό το νέο πλαίσιο ερµηνείας της µαθηµατικής αναλογικής σκέψης εξετάζεται το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας όχι σε αντιπαράθεση µε την ικανότητα των µαθητών για µαθηµατική αναλογική σκέψη, αλλά ως αναπόσπαστο µέρος της στα πλαίσια της διάστασης της µετα-αναλογικής ενηµερότητας. Ο όρος µετα- αναλογική ενηµερότητα προτείνεται για πρώτη φορά στη βιβλιογραφία (Modestou & Gagatsis, 2009). Έτσι σε αντιπαραβολή µε τη µεταγνώση που ορίζεται ως «η γνώση του ατόµου για το γνωστικό του σύστηµα και ο έλεγχος που ασκεί σε αυτό» (Brown, 1987) η µετα-αναλογική ενηµερότητα σχετίζεται µε τη γνώση και τον έλεγχο των γνωστικών διαδικασιών που αφορούν τον αναλογικό συλλογισµό. Μέχρι σήµερα το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας και οι δυσκολίες που προκαλεί στους µαθητές η αναγνώρισή του εξεταζόταν ως κάτι που έρχεται σε αντιδιαστολή µε την ευρύτερη αναλογική σκέψη των µαθητών: οι µαθητές έχουν ψηλά ποσοστά επιτυχίας στην επίλυση αναλογικών προβληµάτων, και άρα είναι ικανοί για µαθηµατική αναλογική σκέψη, αλλά πολύ χαµηλά ποσοστά στην επίλυση 81

82 µη αναλογικών έργων, µε αποτέλεσµα να αποτυγχάνουν (De Bock et al., 1998; Van Dooren et al., 2003). Με τα νέα δεδοµένα το φαινόµενο αυτό εντάσσεται στο νέο µοντέλο µαθηµατικής αναλογικής σκέψης κάτω από την πτυχή της µετα-αναλογικής ενηµερότητας (Modestou & Gagatsis, 2009). Η περιορισµένη µετα-αναλογική ενηµερότητα των µαθητών, που αρχίσει να εµφανίζεται στο τέλος της υποχρεωτικής εκπαίδευσης, οδηγεί τους µαθητές στην κατάχρηση του αναλογικού συλλογισµού σε όλες τις προβληµατικές καταστάσεις. Οπότε το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της γραµµικότητας επανατοποθετείται ρητά σε σχέση µε την µαθηµατική αναλογική σκέψη, ενώ µέχρι πρόσφατα ήταν έµµεσα υπονοούµενο και µάλιστα όχι πάντα Η αναλογία ως επιστημολογικό εμπόδιο Τα αποτελέσµατα των προηγούµενων ερευνών κάνουν εµφανές το γεγονός ότι η ύπαρξη του φαινοµένου της ψευδαίσθησης της αναλογίας δεν είναι αποτέλεσµα κάποιου πειραµατικού πλαισίου και δεν οφείλεται σε απουσία βασικής γνώσης. Τα λάθη που προκύπτουν από την εφαρµογή του αναλογικού µοντέλου σε µη αναλογικές καταστάσεις δεν είναι πρόσκαιρα, παροδικά και τυχαία. Τα συστηµατικά και επίµονα λάθη των µαθητών δηµιουργούνται σαν αποτέλεσµα του επιστηµολογικού εµποδίου της αναλογίας. Όπως αναφέρεται στις εµπειρικές θεωρίες µάθησης (Brousseau, 1997) το λάθος δεν εκφράζει πάντα άγνοια, αβεβαιότητα ή τύχη. Το λάθος µπορεί να είναι αποτέλεσµα εφαρµογής προηγούµενης γνώσης που ήταν ενδιαφέρουσα και επιτυχής, αλλά η εφαρµογή σε άλλο πλαίσιο αποδεικνύεται λανθασµένη ή απλά µη προσαρµόσιµη. Αυτού του είδους τα λάθη δεν είναι σποραδικά και απρόβλεπτα αλλά είναι επίµονα και επαναλαµβανόµενα. Τα λάθη αυτής της µορφής που γίνονται από το ίδιο άτοµο αλληλοσυνδέονται µεταξύ τους µε ένα τρόπο σκέψης, µια αρχέγονη γνώση η οποία εφαρµόζεται µε επιτυχηµένο τρόπο σε ένα συγκεκριµένο πεδίο. Τα λάθη αυτά αντιστέκονται και επιµένουν και δεν εξαφανίζονται πλήρως την ίδια χρονική στιγµή. Όταν αυτή η γνώση εφαρµοστεί σε άλλο πεδίο επανεµφανίζονται ακόµα και στην περίπτωση που το άτοµο έχει απορρίψει το ελλιπές και µη αποτελεσµατικό µοντέλο από το συνειδητό γνωστικό του σύστηµα. Έτσι αποτελούν συστατικό στοιχείο της υπάρχουσας γνώσης του µαθητή οπότε συνίστανται σε εµπόδια επιστηµολογικής προέλευσης. Υπάρχουν τα εµπόδια οντογενετικής προέλευσης, που αφορούν το ίδιο το άτοµο, ή τα εµπόδια διδακτικής προέλευσης, που αφορούν τη διδασκαλία, ή τα εµπόδια επιστηµολογικής προέλευσης, που οφείλονται στη φύση του αντικειµένου και 82

83 χαρακτηρίζονται από την επανεµφάνισή τους τόσο στην ιστορία των µαθηµατικών όσο και στη µάθηση των µαθηµατικών από το ίδιο το άτοµο. Ένα επιστηµολογικό εµπόδιο αποτελεί την πηγή ενός επαναλαµβανόµενου µη τυχαίου λάθους που εµφανίζεται όταν το άτοµο προσπαθεί να λύσει ένα πρόβληµα (Radford, Boero, & Vasco, 2000). Σύµφωνα µε το Brousseau (1997) τα εµπόδια που χαρακτηρίζονται ως επιστηµολογικά είναι αυτά που εντοπίζονται στην ιστορική εξέλιξη των εννοιών και το άτοµο όχι µόνο δε µπορεί αλλά και δεν πρέπει να τα αποφύγει, επειδή συµβάλλουν καθοριστικά στη µάθηση. Όπως αναφέρει ο Duroux, (1982) ένα λάθος αποτελεί επιστηµολογικό εµπόδιο κι όχι απλά δυσκολία αν έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά: 1. Είναι µια σταθερή γνώση ή αντίληψη κι όχι µια δυσκολία ή απουσία γνώσης. 2. Η γνώση αυτή λειτουργεί κατάλληλα σε ένα σύνολο καταστάσεων και για ορισµένες τιµές των µεταβλητών που χαρακτηρίζουν αυτές τις καταστάσεις. 3. Η γνώση αυτή προσπαθώντας να προσαρµοστεί σε άλλες καταστάσεις ή σε νέες τιµές των µεταβλητών προκαλεί ειδικά λάθη τα οποία µπορούµε να παρατηρήσουµε και να αναλύσουµε. 4. Η απόρριψη αυτής της γνώσης στις καταστάσεις που ξεφεύγουν από το πεδίο εγκυρότητας της προκαλεί στο άτοµο περισσότερες από µία προσπάθειες προσαρµογής της. 5. Το εµπόδιο αντιστέκεται σε περιστασιακές εµφανίσεις αντιφάσεων σε νέες καταστάσεις και συντελεί έτσι στη βελτίωση της γνώσης. Μπορεί να ξεπεραστεί µόνο σε ειδικές διδακτικές καταστάσεις απόρριψης κι αυτή η απόρριψη είναι συστατικό στοιχείο της γνώσης. Από τα προηγούµενα συµπεραίνουµε ότι το επιστηµολογικό εµπόδιο αποτελεί µέρος µιας ολοκληρωµένης γνώσης οπότε έχει την ίδια φύση µε τη γνώση. Η απόρριψή του πρέπει να γίνει αναγκαία, γεγονός που αφήνει ανεξίτηλα σηµάδια στο σύστηµα της γνώσης. Το χαρακτηριστικό αυτό του εµποδίου υποδεικνύει ότι δεν είναι ένα πρόσκαιρο λάθος που προκαλείται από την άγνοια του ατόµου και που µπορεί εύκολα να αντιµετωπιστεί. Είναι πιθανόν να προκύπτει από κοινωνικές, πολιτιστικές ή οικονοµικές συνθήκες οι οποίες µετασχηµατίζονται σε αντιλήψεις που εξακολουθούν να υπάρχουν ακόµα κι όταν οι αιτίες που τις προκάλεσαν εξαλειφθούν. Τα επιστηµολογικά εµπόδια δεν προκύπτουν από τη διατύπωση της επίσηµης γνώσης από το διδάσκοντα αλλά από τις αναπαραστάσεις που χρησιµοποιεί ο δάσκαλος και ο µαθητής για τη διασφάλιση της λειτουργίας και της κατανόησης της καινούργιας γνώσης. Η κατανόηση συνδέεται άµεσα µε τις συνθήκες της µάθησης και 83

84 είναι αναγκαία για την εφαρµογή της επίσηµης γνώσης. Κατά συνέπεια ο µαθητής θυµάται όχι µόνο τη γνώση που έχει διδαχθεί αλλά και τις συνθήκες κάτω από τις οποίες προέκυψε αυτή η µάθηση. Μέσα στη σχολική τάξη, παραδοσιακά οι έννοιες διδάσκονται µόνο αν είναι χρήσιµες και αποτελεσµατικές για τη λύση προβληµάτων. Οπότε η γνώση αντλεί το νόηµα της µέσα από την επιτυχηµένη εφαρµογή της σε συγκεκριµένα παραδείγµατα. Το πλαίσιο αυτό είναι πλήρως καθορισµένο και σπάνια έχει γενικό χαρακτήρα. Όµως η µαθηµατική γνώση δεν αποκτά νόηµα µόνο από το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες πραγµατώνεται ως θεωρία αλλά και από το σύνολο των καταστάσεων στις οποίες χρησιµοποιείται ως µέσο για την επίλυση προβληµάτων. Έτσι, η γνώση αποκτά περιορισµούς, συγκεκριµενοποιήσεις και αλλοιώσεις του νοήµατος. Η χρήση της µε επιτυχία για κάποιο χρονικό διάστηµα προσδίδει στη γνώση αξία οπότε η διαφοροποίηση, η γενίκευση ή η απόρριψη της γίνονται πολύ δύσκολα, γεγονός που την καθιστά επιστηµολογικό εµπόδιο. Αυτό το επιστηµολογικό εµπόδιο αποτελεί µια καλά εδραιωµένη γνώση του µαθητή που αντιστέκεται σε οποιαδήποτε προσπάθεια απόρριψης του, προσαρµόζεται σε περιορισµένο µαθηµατικό πλαίσιο και έχει τη µικρότερη δυνατή διαφοροποίηση. Τα ψευδοαναλογικά λάθη, που συµβαίνουν από την κατάχρηση της αναλογικότητας είναι αποτέλεσµα του επιστηµολογικού εµποδίου της γραµµικότητας. Η γραµµικότητα είναι γνώση που εφαρµόζεται επιτυχηµένα σε συγκεκριµένο πλαίσιο και σε συγκεκριµένες καταστάσεις. Η εφαρµογή της όµως εκτός αυτού του πλαισίου οδηγεί σε λανθασµένες απαντήσεις, που συνοδεύονται από την ισχυρή πεποίθηση ότι είναι σωστές. Οι απαντήσεις αυτές είναι επαναλαµβανόµενες, καθολικές και ανθεκτικές σε ποικιλία υποστηρικτικών µέσων για την αντιµετώπιση του φαινοµένου (De Bock et al., 2003). Η γραµµικότητα αποτελεί επιστηµολογικό εµπόδιο για την κατανόηση των µη γραµµικών συναρτήσεων οπότε τα λάθη συµβαίνουν από το εµπόδιο κι όχι από την στερεότυπη γλωσσική διατύπωση (Modestou & Gagatsis, 2007). Η γραµµικότητα σα γνώση αντιστέκεται σε σποραδικές αντιφάσεις για την καθιέρωση ποιοτικότερης γνώσης, συνεχίζει να προκύπτει µε πρόωρο και επίµονο τρόπο και δεν εξαφανίζεται µε µια απλή εντολή. Είναι µια κατάσταση στην οποία προκαλούνται σφάλµατα από ακατάλληλη χρήση µαθηµατικών µοντέλων. Το εµπόδιο πίσω από το φαινόµενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας δεν είναι αποκλειστικά αναπτυξιακό και διδακτικό αφού ο τρόπος που οι µαθητές χειρίζονται τα µη αναλογικά έργα δεν οφείλεται σε δυσκολία ή απουσία γνώσης αλλά σε µια σταθερή γνώση. Η γνώση της αναλογίας όπως αυτή παρεµβαίνει στην επίλυση των 84

85 αναλογικών έργων αποτελεί επιστηµολογικό εµπόδιο για τη µετα-αναλογική ενηµερότητα των µαθητών και άρα για την ικανότητα διάκρισης και επίλυσης µη αναλογικών έργων. Ο καθορισµός της φύσης του φαινοµένου είναι καθοριστικός για την αντιµετώπισή του που µπορεί να επιτευχθεί µέσα από την οργάνωση και την εφαρµογή µιας διδακτικής κατάστασης (Modestou & Gagatsis, 2006) Μια διαφορετική ερμηνεία του φαινομένου Ο Fischbein ήταν από τους πρώτους εκπαιδευτικούς µαθηµατικών που διαπίστωσε ότι οι διαισθητικές πεποιθήσεις είναι ίσως η αιτία των συστηµατικών λαθών των µαθητών, γεγονός που αναφέρθηκε και από τους Stavy και Tirosh (2000) στις θεωρίες διαισθητικών κανόνων. Η γνώση των αναλογικών σχέσεων αποκτιέται σε απλή µορφή από την παιδική ηλικία και επιβεβαιώνεται διαρκώς από την καθηµερινή εµπειρία. Επιπλέον οι µαθητές στην σχολική τους ζωή χρησιµοποιούν τον αναλογικό τρόπο σκέψης ρητά και σιωπηρά. Με τον τρόπο αυτό οικοδοµούν την κατανόηση της λογικής του κόσµου, βασισµένοι στην εµπειρία της καθηµερινής ζωής αλλά στις προηγούµενες γνώσεις τους. Αυτή η προηγούµενη γνώση αλληλεπιδρά µε τις νέες πληροφορίες µε τις οποίες έρχονται σε επαφή οι µαθητές. Όταν το περιεχόµενο της νέας γνώσης είναι ασυµβίβαστο µε την προηγούµενη βάση γνώσεων, η εκµάθηση απαιτεί σηµαντική αναδιοργάνωση της υπάρχουσας γνώσης των µαθητών που ονοµάζεται «εννοιολογική αλλαγή» (Vosniadou & Verschaffel, 2004). Η θεωρία της εννοιολογικής αλλαγής περιγράφει την εκµάθηση ως διαδικασία αναδιοργάνωσης των υπαρχουσών δοµών της γνώσης (Vosniadou, 2003) και µπορεί να εφαρµοστεί στο πεδίο της φυσικής, των µαθηµατικών και σε άλλες επιστήµες όπου η προηγούµενη γνώση αλληλεπιδρά µε τη νέα γνώση. Ο ισχυρισµός ότι «η δοµή των µαθηµατικών αντανακλά επακριβώς την ιστορία τους» έχει τεθεί υπό αµφισβήτηση γιατί οι µαθηµατικές έννοιες υπόκεινται σε αλλαγές που δεν µπορούν να περιγραφούν µε όρους συσσώρευσης. Για παράδειγµα, στην περίπτωση της έννοιας του αριθµού, η στροφή από την Πυθαγόρεια έννοια του αριθµού, διαµέσου της θεωρίας των αναλογιών του Εύδοξου, στην έννοια των ρητών και των πραγµατικών αριθµών του Dedekind, απαιτεί κάτι περισσότερο από την απλή επέκταση της αρχικής έννοιας. Απαιτεί αλλαγές στη σηµασία του όρου «αριθµός». Επίσης ο σχηµατισµός της έννοιας των λόγων ακεραίων ως αριθµών, παρά ως διαδικασιών, µπορεί να εξηγηθεί ως µια οντολογική στροφή των αναλογιών από την κατηγορία των διαδικασιών στην κατηγορία των 85

86 µαθηµατικών αντικειµένων (Sfard, 1991). Οπότε µήπως το θεωρητικό πλαίσιο της εννοιολογικής αλλαγής µπορεί να εφαρµοστεί γενικά στη µάθηση των µαθηµατικών άρα και ειδικότερα στο φαινόµενο που εµείς µελετάµε; Υπό αυτή τη σκοπιά, δε χρειάζεται να δώσει κάποιος µια ερµηνεία για την αλλαγή των µαθηµατικών θεωριών, αλλά για την ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών που είναι κάτι περισσότερο από την απλή άθροιση γνώσεων. Η εννοιολογική αλλαγή δε µπορεί να επιτευχθεί µέσα από προσθετικούς µηχανισµούς αλλά απαιτεί εµπλουτισµό και αναδιοργάνωση της υπάρχουσας γνώσης. Μερικά από τα πλεονεκτήµατα της είναι ότι µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν οδηγός στην αναγνώριση εννοιών που προκαλούν µεγάλες δυσκολίες στους µαθητές, µπορεί να προβλέψει και να εξηγήσει συστηµατικά λάθη και παρανοήσεις των µαθητών, µπορεί να εφοδιάσει µε µαθητοκεντρικές εξηγήσεις για τις αντι-διαισθητικές µαθηµατικές έννοιες, να προειδοποιήσει τους µαθητές κατά τη χρήση προσθετικών µηχανισµών ώστε να αναδιοργανώσουν την προϋπάρχουσα γνώση τους. Επίσης είναι ιδιαίτερα σηµαντικό για τους µαθητές να αναπτύξουν µεταγνωστικές δεξιότητες που απαιτούνται για να ξεπεραστούν τα εµπόδια που επιβάλλονται από την προηγούµενη γνώση (Vosniadou & Verschaffel, 2004). Με αυτό τον τρόπο ίσως ξεπεραστούν και οι δυσκολίες των µαθητών κατά την επίλυση ψευδοαναλογικών προβληµάτων. 86

87 4. Παρουσίαση της έννοιας της αναλογίας στα σχολικά εγχειρίδια 4.1. Απαραίτητες προϋποθέσεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών Τα τελευταία σαράντα χρόνια, η ιδακτική των Μαθηµατικών στηριζόµενη σε γνωστικές θεωρίες επικεντρώνεται στις συνθήκες ανάπτυξης των µαθηµατικών εννοιών. Επίσης ασχολείται µε την επίτευξη µιας αποτελεσµατικής διδασκαλίας καθώς και µε το πώς πρέπει να διαχειρίζονται οι δυσκολίες που αντιµετωπίζουν οι µαθητές στα µαθηµατικά. Στο πλαίσιο αυτό τα σχολικά βιβλία πρέπει να προσπαθούν να εισάγουν ένα σωστό τρόπο διδακτικής διαδικασίας. Ο τρόπος παράθεσης του µαθηµατικού περιεχοµένου πρέπει από τη µία µεριά να επιδιώκει την ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών και από την άλλη να ανταποκρίνεται στο γνωστικό επίπεδο των µαθητών. Είναι δεδοµένο ότι ο κονστρουκτιβισµός είναι η θεωρία οικοδόµησης της γνώσης που συµβάλλει αποτελεσµατικά στη µάθηση. Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή η µάθηση στηρίζεται σε δύο τουλάχιστον γενικές αρχές (Von Glaserfeld, 1991; Lerman, 1989): Η γνώση δεν είναι κάτι που προσλαµβάνεται παθητικά αλλά οικοδοµείται δυναµικά από αυτόν που τη µαθαίνει. Η µάθηση έχει προσαρµοστικό χαρακτήρα, δηλαδή το υποκείµενο δεν ανακαλύπτει µια προϋπάρχουσα πραγµατικότητα αλλά οργανώνει τον εµπειρικό του κόσµο. Η κυρίαρχη κατεύθυνση, διεθνώς, επικεντρώνεται κυρίως στο υποκείµενο της µάθησης παρά στο µαθηµατικό περιεχόµενο. Το γεγονός αυτό έχει δηµιουργήσει σοβαρά ερωτήµατα ως προς τη σύνδεση των εµπειριών των µαθητών µε την ίδια τη µαθηµατική γνώση. Οι άνθρωποι µαθαίνουν καλύτερα όταν συµµετέχουν σε δραστηριότητες που θεωρούν χρήσιµες για την πραγµατική ζωή και που έχουν σχέση µε την κουλτούρα τους (Vosniadou, 2003). Οι αναπαραστάσεις επίσης κατέχουν σηµαντικό ρόλο στη µάθηση των µαθηµατικών. Είναι πρωταρχικής σηµασίας η µετάφραση αναπαραστάσεων, δηλαδή η µεταφορά από το ένα σύστηµα αναπαράστασης στο άλλο. Ο τρόπος και η οπτική γωνία µε την οποία ο µαθητής «βλέπει» την αναπαράσταση είναι αποτέλεσµα διδασκαλίας που δίνει έµφαση όχι στην αντιγραφή του τι κάνει ο δάσκαλος, αλλά στην επιτυχή οργάνωση των δικών του εµπειριών (Von Glaserfeld, 1991). Ο εκπαιδευτικός βοηθάει και καθοδηγεί τους µαθητές να αναπτύξουν 87

88 µαθηµατικές γνώσεις. Πώς όµως η δραστηριότητα αυτή των µαθητών τους οδηγεί σε κατασκευές και γενικεύσεις και εποµένως σε έννοιες που συνδέονται µε το συγκεκριµένο µαθηµατικό περιεχόµενο που επιδιώκουµε να αναπτύξουµε; Στα ερωτήµατα αυτά απαντούν οι θεωρίες των διδακτικών καταστάσεων και του εννοιολογικού πεδίου (Brousseau,1997; Vergnaud, 1996), σύµφωνα µε τις οποίες: Οι µαθηµατικές έννοιες αναδεικνύονται µέσα από κατάλληλες καταστάσειςπροβλήµατα. Για την προσέγγιση µιας έννοιας είναι απαραίτητο να µελετηθεί το εννοιολογικό της πεδίο, δηλαδή, το σύνολο των καταστάσεων και προβληµάτων µέσα στο οποίο η έννοια λειτουργεί και µέσα από το οποίο ολοκληρώνεται το νόηµά της. Η αποσπασµατική ή µονόπλευρη κατανόηση µιας µαθηµατική έννοιας εµπεριέχει τον κίνδυνο να δηµιουργήσει στους µαθητές νοητικά εµπόδια, αντιλήψεις δηλαδή και ερµηνείες που περιορίζουν την πλήρη κατανόηση και χρήση της. Όπως είναι φυσικό, αυτές οι αρχές έχουν συνέπειες τόσο στη µελέτη της γνωστικής ανάπτυξης και µάθησης των µαθητών όσο και στη διδασκαλία. Οι συνέπειες των αρχών αυτών στη λειτουργία της σχολικής τάξης συνοψίζονται στα ακόλουθα σηµεία (Jaworski, 2006): Ο εκπαιδευτικός πρέπει να γνωρίζει ότι η γνώση δεν µεταφέρεται µε την απλή παρουσίασή της (µεταφορά γνώσης), αλλά κατακτάται µε την προσωπική δραστηριοποίηση των µαθητών. Ο εκπαιδευτικός πρέπει να υποστηρίζει τη δραστηριότητα των µαθητών και να παρακολουθεί τα λάθη τους τα οποία τον οδηγούν στην κατανόηση του τρόπου που οι µαθητές αντιλαµβάνονται το έργο και τις έννοιες που αντιµετωπίζουν. Το ενδιαφέρον του εκπαιδευτικού πρέπει να επικεντρώνεται, όχι στην επανάληψη συµπεριφορών από τη µεριά των µαθητών, αλλά στην κατανόηση των εννοιών. Το σχολικό βιβλίο πρέπει να στοχεύει στη δραστηριοποίηση των µαθητών, ώστε η κάθε έννοια να λειτουργεί σε ένα πλαίσιο µέσα στο οποίο να ολοκληρώνεται το νόηµά της. Η εισαγωγή όλων των ενοτήτων πρέπει να στηρίζεται σε δραστηριότητες, οικεία προβλήµατα, διερεύνηση καταστάσεων και σηµαντικές εφαρµογές µε τα οποία οι µαθητές καλούνται να ασχοληθούν, ώστε διευρύνοντας, µετασχηµατίζοντας ή 88

89 αναδοµώντας την προϋπάρχουσα γνώση τους να οδηγηθούν βαθµιαία στην κατάκτηση της νέας γνώσης. Κατά συνέπεια στα σχολικά βιβλία, πρέπει να τηρούνται οι εξής αρχές: Η οργάνωση των δραστηριοτήτων να καλύπτει, κατά το δυνατόν, το εννοιολογικό πεδίο της αντιµετωπιζόµενης έννοιας. Η διάκριση του µαθηµατικού περιεχοµένου (ορισµοί, ιδιότητες, κτλ) από το σύνολο των παραδειγµάτων και εφαρµογών. Η διατήρηση της µαθηµατικής ακρίβειας και αυστηρότητας που διατηρεί την ισορροπία µεταξύ στο µαθηµατικά ορθό και στο επίπεδο των δυνατοτήτων των µαθητών Σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών Όπως αναφέρεται στο ιαθεµατικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράµµατος Σπουδών Μαθηµατικών ( ΕΠΠΣ) (ΦΕΚ303β/ ) ο σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηµατικών εντάσσεται στους γενικότερους σκοπούς της Εκπαίδευσης και αφορά τη συµβολή τους στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του µαθητή και την επιτυχή κοινωνική ένταξή του, εφόσον τα Μαθηµατικά: Ασκούν τον µαθητή στην µεθοδική σκέψη, στην ανάλυση, στην αφαίρεση, στη γενίκευση, στην εφαρµογή, στην κριτική και στις λογικές διεργασίες και τον διδάσκουν να διατυπώνει τα διανοήµατά του µε τάξη, σαφήνεια, λιτότητα και ακρίβεια. Αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, την προσοχή, τη δύναµη αυτοσυγκέντρωσης, την επιµονή, την πρωτοβουλία, τη δηµιουργική φαντασία, την ελεύθερη σκέψη, καλλιεργούν την αίσθηση της αρµονίας, της τάξης και του ωραίου και διεγείρουν το κριτικό πνεύµα. Είναι απαραίτητα στην καθηµερινή ζωή ιδιαίτερα στο χώρο εργασίας αλλά και για την ανάπτυξη και εξέλιξη των άλλων επιστηµών και ιδιαίτερα της Τεχνολογίας, της Οικονοµίας και των Κοινωνικών Επιστηµών. Το Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών Μαθηµατικών (ΑΠΣ ΦΕΚ303β/ ) αναφέρει ότι µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στο ηµοτικό Σχολείο επιδιώκεται: Η απόκτηση βασικών µαθηµατικών γνώσεων και ικανοτήτων. Η καλλιέργεια της µαθηµατικής γλώσσας ως µέσου επικοινωνίας. Η κατανόηση στοιχειωδών µαθηµατικών µεθόδων. 89

90 Η εξοικείωση µε τη διαδικασία παραγωγής συλλογισµών και την αποδεικτική διαδικασία. Η ανάπτυξη της ικανότητας επίλυσης προβληµάτων. Η ανάδειξη της δυνατότητας εφαρµογής και πρακτικής χρήσης των Μαθηµατικών. Η ανάδειξη της δυναµικής διάστασης της µαθηµατικής επιστήµης (ιστορική εξέλιξη των µαθηµατικών εργαλείων, συµβόλων και εννοιών). Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηµατικά. Τα προβλήµατα πρέπει να παραπέµπουν στις εµπειρίες των µαθητών ή στον κοινωνικό τους περίγυρο και να είναι τέτοια ώστε να τους δίνονται ευκαιρίες να εξερευνούν µία κατάσταση και να κατασκευάζουν ερωτήσεις µε βάση συγκεκριµένα δεδοµένα. Σύµφωνα µε το Ενιαίο Πλαίσιο Προγράµµατος Σπουδών Μαθηµατικών (απόφαση του Υπουργείου Παιδείας /Γ2) οι µαθητές θα εµπλακούν σε δραστηριότητες και θα αποκτήσουν εµπειρίες οι οποίες: ιευκολύνουν την ανάπτυξη της ικανότητας του παιδιού να επιλύει µαθηµατικά προβλήµατα. Παρέχουν µια συνολική προοπτική της δοµής των Μαθηµατικών καθώς και των διασυνδέσεων µεταξύ των επιµέρους θεµάτων. Ενεργοποιούν διάφορα µαθησιακά µοντέλα, µέσα από ποικίλες διδακτικές στρατηγικές και µε τη χρήση µέσων και υλικών. Υπογραµµίζουν τον κοινωνικό και συµµετοχικό χαρακτήρα της µάθησης, µέσα από συνεχή αλληλεπίδραση, προφορική και γραπτή επικοινωνία, συζήτηση και παρατήρηση. Λειτουργούν µέσα σε ένα κλίµα αµοιβαίου σεβασµού της προσωπικότητας του παιδιού και ίσης µεταχείρισης. Αξιοποιούν τη σύγχρονη τεχνολογία ως εργαλείο µάθησης και σκέψης. Αξιολογούν τη διαδικασία διδασκαλίας και τα αποτελέσµατά της, µε πολλαπλά µέσα και λαµβάνοντας υπόψη διάφορες πηγές πληροφόρησης. Ανεξάρτητα από το περιεχόµενο της ενότητας, οι δραστηριότητες έχουν µόνιµα στο επίκεντρο του ενδιαφέροντος την ανάπτυξη της ικανότητας του παιδιού να επιλύει προβλήµατα, να κάνει λογικούς συλλογισµούς, να κάνει υπολογισµούς και απλές πράξεις από µνήµης, να εκτιµά το αποτέλεσµα κατά προσέγγιση και να αξιολογεί τη λογικότητά του. Σε όλες τις ενότητες περιεχοµένου όλων των τάξεων, οι 90

91 δραστηριότητες είναι οργανωµένες σε τρία επίπεδα, που θα µπορούσαν να αποδοθούν µε την περιγραφή του J. Bruner: το χειριστικό, το εικονικό και το συµβολικό. Επίπεδο Ι. Στο αρχικό επίπεδο, οι έννοιες, οι δεξιότητες και τα προβλήµατα, εισάγονται µε δραστηριότητες που βασίζονται στο χειρισµό πραγµατικών αντικειµένων και υλικών. Επίπεδο II. Στο επόµενο επίπεδο, οι δραστηριότητες αποσκοπούν στη σύνδεση και µεταφορά από το συγκεκριµένο στο εικονικό, όπου τα παιδιά χειρίζονται εικόνες, σχήµατα και άλλες οπτικές αναπαραστάσεις. Επίπεδο III. Στο πιο προχωρηµένο επίπεδο, οι δραστηριότητες κατευθύνονται στο συµβολικό και το αφηρηµένο, όπου τα παιδιά χειρίζονται σύµβολα, ιδέες και έννοιες. Όπως αναφέρεται στο Αναλυτικό Πρόγραµµα Σπουδών Μαθηµατικών (ΑΠΣ) (ΦΕΚ303β/ ) µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στο Γυµνάσιο επιδιώκονται οι παρακάτω επιµέρους σκοποί: Η απόκτηση βασικών µαθηµατικών γνώσεων και ικανοτήτων. Η καλλιέργεια της Μαθηµατικής Γλώσσας ως µέσου επικοινωνίας αλλά και περιγραφής πραγµατικών φαινοµένων και καταστάσεων. Η σταδιακή κατανόηση των βασικών χαρακτηριστικών της δοµής των Μαθηµατικών. Η εξοικείωση µε τη διαδικασία παραγωγής συλλογισµών και την αποδεικτική διαδικασία. Η σταδιακή ανάπτυξη της ικανότητας για επίλυση προβληµάτων και αντιµετώπιση πραγµατικών καταστάσεων. Η ανάδειξη της εφαρµοσιµότητας και πρακτικής χρήσης των Μαθηµατικών από την αρχαιότητα ως της µέρες µας, τόσο στις θετικές όσο και στις ανθρωπιστικές και κοινωνικοοικονοµικές επιστήµες. Η ανάδειξη της δυναµικής διάστασης της µαθηµατικής επιστήµης που εκφράζεται µέσα από τη ραγδαία ανάπτυξή της, και της σηµασίας της ως απαραίτητου εργαλείου σε όλες τις ανθρώπινες δραστηριότητες. Η καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηµατικά, χωρίς την οποία η κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και προτάσεων αποβαίνει εξαιρετικά δυσχερής. Οι στόχοι της µαθηµατικής εκπαίδευσης εκφράζονται πληρέστερα µε όρους δραστηριοτήτων, παρά µε όρους παρατηρήσιµων συµπεριφορών εφόσον η 91

92 διδασκαλία των Μαθηµατικών δεν αφορά µόνο γνώσεις και κατάκτηση ενός συγκεκριµένου επιπέδου ικανοτήτων, αλλά περιλαµβάνει διαδικασίες µάθησης που καλύπτουν τις διαστάσεις που έχουµε ήδη περιγράψει. Η επιλογή των δραστηριοτήτων γίνεται µε βάση συγκεκριµένα κριτήρια που αναφέρονται στους γενικούς στόχους της µαθηµατικής εκπαίδευσης και η διατύπωσή τους επιτρέπει την εµπλοκή, αν είναι εφικτό, του συνόλου των µαθητών της τάξης. Για τους µαθητές αυτό σηµαίνει ότι έχουν την ευκαιρία να σκεφτούν και να ενεργήσουν στο δικό τους προσωπικό επίπεδο και να διατυπώσουν τους δικούς τους επιµέρους στόχους. Για το δάσκαλο αυτό σηµαίνει υψηλό βαθµό αυτενέργειας και πρωτοβουλίας. Πρέπει να είναι ικανός να διακρίνει πίσω από τη διατύπωση µιας δραστηριότητας τους γενικούς στόχους της µαθηµατικής εκπαίδευσης και να τους προσαρµόσει στις ιδιαιτερότητες της τάξης του. Για τη σωστή επιλογή δραστηριότητας επισηµαίνεται ότι µια δραστηριότητα πρέπει: Να είναι κατανοητή από όλους τους µαθητές και να µην επιτρέπει παρανοήσεις και υπονοούµενα. Να αφήνει περιθώρια για έρευνα και αυτενέργεια. Να ενθαρρύνει τη συνεργατικότητα και την οµαδική εργασία, προτρέποντας τους µαθητές και τις οµάδες σε νοητικό ανταγωνισµό. Να µην επιτρέπει άµεση προσέγγιση σε µια και µοναδική λύση. Το πρόβληµα από το οποίο προκύπτει η δραστηριότητα πρέπει να είναι πλούσιο σε εµπλεκόµενες έννοιες και να µπορεί να αντιµετωπιστεί από τους µαθητές. Η επεξεργασία του προβλήµατος να µπορεί να γίνει, όπου αυτό είναι δυνατό, σε δύο τουλάχιστον πλαίσια (π.χ. αριθµητικό - γραφικό) µεταξύ των οποίων ο µαθητής θα µπορέσει να κάνει τις κατάλληλες αντιστοιχίσεις Επιμέρους στόχοι της διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας Στον άξονα γνωστικού περιεχοµένου των εννοιών λόγοι και αναλογίες, που µελετάµε, ως γενικούς στόχους (γνώσεις, δεξιότητες, στάσεις και αξίες) το ΕΠΠΣ αναφέρει ότι οι µαθητές του δηµοτικού επιδιώκεται να γνωρίζουν την απλή µέθοδο των τριών και να κατανοούν κι εφαρµόζουν τις έννοιες του λόγου, της αναλογίας και του ποσοστού. Οι µαθητές του γυµνασίου επιδιώκεται να γνωρίζουν τις έννοιες του λόγου, της αναλογίας, των ανάλογων και αντιστρόφως ανάλογων ποσών και να τις εφαρµόζουν στην επίλυση προβληµάτων της καθηµερινής ζωής. 92

93 Ειδικότερα στο ΑΠΣ αναφέρεται ότι οι µαθητές της έκτης δηµοτικού πρέπει: Να διατυπώνουν και εφαρµόζουν τις έννοιες του λόγου,της αναλογίας και τις ιδιότητες των αναλογιών. Να βρίσκουν τον άγνωστο όρο µιας αναλογίας µε τη χιαστί µέθοδο. Να λύνουν απλά προβλήµατα ανάλογων ποσών µε τη σχέση αναλογίας. Ενώ οι µαθητές της πρώτης γυµνασίου πρέπει: Να κατανοήσουν τις έννοιες µέσα από παραδείγµατα και αντιπαραδείγµατα. Να επιλύουν εξισώσεις της µορφής αχ=β µέσω αναζήτησης της τέταρτης αναλόγου α/β=1/χ. Να γνωρίζουν ότι γενικά α + γ α. β + γ β Να αναγνωρίζουν αν υπάρχει αναλογία στη µεταβολή δύο µεγεθών. Να συµπληρώνουν πίνακες ανάλογων ποσών όταν δίνεται ο λόγος τους. Να υπολογίζουν το λόγο δύο αναλόγων ποσών, όταν δίνονται οι πίνακές τους. Να χρησιµοποιούν το ποσοστό ως ειδική περίπτωση συντελεστή αναλογίας. Να αναπαριστούν γραφικά µια σχέση αναλογίας και να οδηγηθούν στη διαπίστωση ότι τα σηµεία µε συντεταγµένες τα ζεύγη των αντίστοιχων τιµών δύο αναλόγων ποσών βρίσκονται σε µία ηµιευθεία µε αρχή την αρχή των αξόνων. Να οργανώνουν τα δεδοµένα ενός προβλήµατος αναλογικά σε πίνακα και µε βάση τον πίνακα να κατασκευάζουν όπου κρίνεται απαραίτητο και τη γραφική παράσταση. Να λύνουν τα προβλήµατα εφαρµόζοντας, όπου κρίνεται απαραίτητο τις ιδιότητες των αναλόγων ποσών σε δύο πλαίσια: αριθµητικό και γραφικό. Σύµφωνα µε τη ιδακτική µεθοδολογία όπως αναλύεται στο ΕΠΠΣ-ΑΠΣ, ΦΕΚ303Β/ η επίτευξη των στόχων της Μαθηµατικής εκπαίδευσης αποτελεί αντικείµενο συνεχούς αναζήτησης και προβληµατισµού. Το παραδοσιακό µοντέλο διδασκαλίας που δίνει έµφαση στα αποτελέσµατα της µαθηµατικής δηµιουργίας και στον τρόπο παρουσίασης τους αµφισβητείται. Τόσο το τελικό "προϊόν" της µαθηµατικής δηµιουργίας όσο και ο τρόπος παρουσίασης του υποβαθµίζει την διαδικασία µέσω της οποίας φτάνουµε σε αυτό. Οι σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά µε τη διδασκαλία και µάθηση των Μαθηµατικών θεωρούν τα Μαθηµατικά όχι µόνο ως το αποτέλεσµα αλλά και τη 93

94 δραστηριότητα µέσω της οποίας παράγεται το αποτέλεσµα αυτό. Με αυτή την έννοια τα Μαθηµατικά δεν αποτελούν µόνο ένα σύστηµα γνώσεων αλλά και µια διαδικασία σύλληψης, οργάνωσης και τεκµηρίωσης αυτών των γνώσεων Η έννοια της αναλογίας στο βιβλίο της Στ Δημοτικού Στα µαθηµατικά της Στ δηµοτικού οι αναλογίες παρουσιάζονται στη θεµατική ενότητα 3 µε τίτλο: «Λόγοι Αναλογίες». Η διάρθρωση της ενότητας είναι η εξής: Πίνακας 5: Θεµατική ενότητα «Αναλογίες» στο βιβλίο της έκτης δηµοτικού ΤΙΤΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΙΤΛΟΣ 30. Σου δίνουµε το λόγο µας Λόγος δύο µεγεθών 31. Από το λόγο στην αναλογία τι γλυκό! 32. Αναλογία; Χιαστί θα βρω το χ! Αναλογίες Από τους λόγους στις αναλογίες 33. Εκφράζοµαι ακριβώς! Σταθερά και µεταβλητά ποσά 34. Όταν ανεβαίνω ανεβαίνεις Ανάλογα ποσά 35. Η εύκολη λύση! Λύνω προβλήµατα µε ανάλογα ποσά 36. Μαζί δεν κάνουµε και χώρια δεν µπορούµε! Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά 37. Παίρνοντας αποφάσεις! Λύνω προβλήµατα µε αντιστρόφως ανάλογα ποσά 38. Η απλή µέθοδος των τριών! Η απλή µέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά 39. Είναι απλό όταν ξέρω τις τρεις τιµές! Η απλή µέθοδος των τριών στα αντιστρόφως ανάλογα ποσά Η κεντρική µαθηµατική ιδέα είναι η ταυτόχρονη µελέτη δύο ποσών που έχουν κάποια σχέση µεταξύ τους και ο τρόπος µε τον οποίον εκφράζουµε αυτή τη σχέση. Αρχικά, ο σκοπός είναι η επιβεβαίωση ότι τα παιδιά έχουν ξεκαθαρίσει στο µυαλό τους ποιο είναι το ποσό και ποια η τιµή του. Στο επόµενο στάδιο εφόσον διακρίνουν σχέση ανάµεσα σε δυο ποσά πρέπει να αποφασίσουν αν είναι ανάλογα ή αντιστρόφως 94

95 ανάλογα. Στο τελικό στάδιο καλούνται να εκφράσουν αυτή τη σχέση µε το σωστό τρόπο και να λύσουν προβλήµατα στα οποία γνωρίζουµε τρεις τιµές (δυο από το ποσό Α και µια από το ποσό Β) και ζητάµε µια τέταρτη (τη δεύτερη τιµή του ποσού Β). Υπάρχουν τουλάχιστον 3 τρόποι για την επίλυση τέτοιου τύπου προβληµάτων: αναγωγή στη µονάδα, εξίσωση µε τη σχέση της αναλογίας, απλή µέθοδος των τριών. Πρέπει να εξηγηθεί η στρατηγική και των τριών τρόπων και να αφήσουµε τα παιδιά µόνα τους να αποφασίσουν ποιόν τρόπο θα χρησιµοποιούν. Τα ποσοστά διδάσκονται στην ενότητα αυτή στα κεφάλαια επειδή πρόκειται για ανάλογα ποσά Αναλυτική παρουσίαση με επισημάνσεις και σχόλια Στο κεφάλαιο 30 εισάγεται η έννοια του λόγου µε τις δραστηριότητες: Στη συνέχεια δίνεται ο ορισµός του λόγου και δυο απλές εφαρµογές όπου οι µαθητές βρίσκουν το λόγο κάποιων µεγεθών και απλοποιούν. Οι επιµέρους στόχοι του κεφαλαίου για το µαθητή είναι: Να συγκρίνει µεγέθη. Να µελετά τη σχέση δυο µεγεθών. Να εκφράζει τη σχέση δυο µεγεθών µε λόγο. Να αναγνωρίζει τους αντίστροφους λόγους. 95

96 Ο µαθητής αναµένεται να χρησιµοποιεί πολλαπλασιασµό και διαίρεση ακεραίων αριθµών για να λύνει προβλήµατα λόγων και να αναπαριστά λόγους µε κλάσµατα, δεκαδικούς και ακεραίους αριθµούς. Οι πιθανές δυσκολίες του κεφαλαίου ενδέχεται να είναι η έννοια του λόγου και η σύγχυση των κλασµάτων µε τους λόγους. Ένα άλλο θέµα που πρέπει να αναφερθεί, να τονιστεί και να ξεκαθαριστεί στους µαθητές είναι ότι ο λόγος δεν έχει µονάδες µέτρησης ενώ στη σύγκριση των µεγεθών αυτά είναι συνήθως µετρηµένα µε την ίδια µονάδα µέτρησης. Θα είναι χρήσιµο να δοθεί στους µαθητές παράδειγµα στο οποίο τα µεγέθη είναι εκφρασµένα µε διαφορετική µονάδα µέτρησης. Στο τετράδιο εργασιών ο µαθητής καλείται να λύσει ασκήσεις και προβλήµατα εύρεσης λόγων όχι ιδιαίτερης δυσκολίας και τη δραστηριότητα µε προεκτάσεις που αναφέρεται στην εύρεση της πυκνότητας του πληθυσµού σε ορισµένες χώρες και συνίσταται να γίνει στην τάξη όπου οι µαθητές θα χωριστούν και θα δουλέψουν κατά οµάδες από 2 έως 4 παιδιά η καθεµία. Η εκτέλεση αυτής της δραστηριότητας προϋποθέτει τη χρήση υπολογιστή τσέπης, έναν για κάθε οµάδα, ώστε να γίνουν οι υπολογισµοί γρήγορα και µπορεί να ολοκληρωθεί σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση, οι οµάδες µε βάση τις πληροφορίες από την απογραφή σχηµατίζουν τους λόγους, απλοποιούν τα κλάσµατα και γράφουν τις απαντήσεις. Στη δεύτερη φάση, οι µαθητές σκέφτονται, συζητούν στην οµάδα τους και αναγνωρίζουν τη σηµασία της πυκνότητας πληθυσµού, την υπολογίζουν για 96

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ Εαρινό εξάμηνο 2012 1.03.12 Χ. Χαραλάμπους Ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών των αρχαίων Αιγυπτίων? Υπάρχει διαχωρισμός ανάμεσα στις ακριβείς τιμές ποσοτήτων και στις προσεγγίσεις? Όλοι αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα