ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ

Transcript

1 ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε τα ακροίςματα u + v και u + w μ. (β) Υπολογίςτε τα εςωτερικά γινόμενα u v και u w μ. (γ) Βρείτε τισ νόρμεσ των u, v, και w. μ. (δ) Για ποια τιμι του κ είναι το διάνυςμα t = κ,, κ, ορθογώνιο με το u; μ. (α) u + v =,,, +,,,4 = (,,,5) Το άκροιςμα u + w δεν ορίηεται. (β) u v = = 4 Το εςωτερικό γινόμενο u w δεν ορίηεται. (γ) u = = 8 v = = 8 w = = 7 (δ) Για να είναι τα u και t ορκογϊνια πρζπει u t = κ + κ = κ = /5

2 Πρόβλημα. Διατυπϊςτε τουσ οριςμοφσ των πιο κάτω: (i) Αντιςυμμετρικόσ πίνακασ μ. (ii) Γραμμική θήκη μ. (iii) Ευθφ άθροιςμα μ. (iv) τοιχειώδησ πίνακασ μ. (v) Τπόχωροσ μ. (i) Αντιςυμμετρικόσ είναι ζνασ τετραγωνικόσ πίνακασ Α για τον οποίο ιςχφει Α Τ = Α. (ii) Ζςτω V γραμμικόσ χϊροσ πάνω ςε ζνα ςϊμα Κ και S = u, u,, u m ζνα πεπεραςμζνο υποςφνολο του V. Το ςφνολο L(S) των γραμμικϊν ςυνδυαςμϊν των u, u,, u m ςυμβολίηεται επίςθσ με S ή u, u,, u m ή span u, u,, u m και καλείται γραμμική θήκη ι γραμμικό περίβλημα (linear span) των u, u,, u m. (iii) Ζςτω V διανυςματικόσ χϊροσ πάνω ςε κάποιο ςϊμα K και W και W υπόχωροι του V. Λζμε ότι ο V είναι το ευθφ άθροιςμα των W και W, ςυμβολικά V = W W αν κάκε u V γράφεται μονοςιμαντα ςαν άκροιςμα ενόσ ςτοιχείου w W και ενόσ ςτοιχείου w W : u = w + w, w W, w W (iv) Καλοφμε ςτοιχειώδη πίνακα κάκε τετραγωνικό πίνακα που μπορεί να προκφψει από τον αντίςτοιχο ταυτοτικό πίνακα με εφαρμογι ενόσ ςτοιχειϊδθ μεταςχθματιςμοφ γραμμϊν. (v) Ζςτω V ζνασ διανυςματικόσ χϊροσ πάνω ςε ζνα ςϊμα Κ και W ζνα μθ κενό υποςφνολο του V. To W καλείται υπόχωροσ (subspace) του V αν αυτό είναι επίςθσ διανυςματικόσ χϊροσ με τισ ίδιεσ πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ και του βακμωτοφ πολλαπλαςιαςμοφ.

3 Πρόβλημα. (α) Ζςτω Α={u,u,,u n } ζνα υποςφνολο διανυςματικοφ χϊρου. Δείξτε ότι το Α είναι γραμμικά εξαρτθμζνο αν και μόνο αν κάποιο ςτοιχείο του είναι γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των υπολοίπων. 6μ. (β) Ζςτω V διανυςματικόσ χϊροσ πάνω ςε κάποιο ςϊμα K και W και W υπόχωροι του V. Δείξτε ότι θ τομι W W των W και W είναι υπόχωροσ του V. 6μ. (α) Ευθφ Αν το Α είναι γραμμικά εξαρτθμζνο, τότε εξ οριςμοφ υπάρχουν λ,, λ n, όχι όλα μθδζν τζτοια ϊςτε Ζςτω λοιπόν ότι λ k, οπότε λ u + + λ n u n = λ k u k = λ u λ k u k λ k+ u k+ λ n u n u k = λ λ k u λ k λ k u k λ k+ u λ k+ λ n u k λ n k Αρα το u k γράφεται ςαν γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των υπολοίπων ςτοιχείων του Α. Αντίςτροφο Ζςτω ότι το u k γράφεται ςαν γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των υπολοίπων ςτοιχείων του Α: u k = λ u + + λ k u k + λ k u k+ + + λ n u n λ u + + λ k u k + λ k + λ k u k+ + + λ n u n Επειδι οι ςυντελεςτζσ δεν είναι όλοι μθδζν, το Α είναι γραμμικά ανεξάρτθτο. (β) Θα δείξουμε ότι ικανοποιοφνται οι τρεισ ςυνκικεσ τθσ Πρ.... (i) Επειδι οι W και W είναι υπόχωροι τουv, W και W. Άρα W W (ii) Ζςτω δφο διανφςματα u, v W W, οπότε u, v W και u + v W () λόγω τθσ κλειςτότθτασ του W ωσ προσ τθν πρόςκεςθ (είναι υπόχωροσ του V). Ομοίωσ ζχουμε u, v W και Από τισ () και () ζπεται ότι u + v W () u + v W W Άρα θ τομι W W είναι κλειςτι ωσ προσ τθν πρόςκεςθ. (iii) Ζςτω a K και το διάνυςμα u W W. Επειδι u W ζχουμε au W λόγω τθσ κλειςτότθτασ του W ωσ προσ τον πολλαπλαςιαςμό (είναι υπόχωροσ του V). Ομοίωσ ζχουμε u W και ζτςι Άρα αu W αu W W Άρα θ τομι W W είναι κλειςτι ωσ προσ το βακμωτό πολλαπλαςιαςμό. Οι τρεισ ςυνκικεσ τθσ Πρ... ικανοποιοφνται. Άρα θ τομι W W είναι υπόχωροσ του V.

4 Πρόβλημα 4. (α) Δείξτε ότι το W = u R u = a, b, a b, a, b R είναι υπόχωροσ του R. 4μ. (β) Αν δείξτε ότι W = u R u =,, c, W W = R c R (α) Θα δείξουμε ότι ικανοποιοφνται οι τρεισ ςυνκικεσ τθσ Πρ.... (i) Θζτοντασ a=b= βλζπουμε ότι το (,,) W. (ii) Αν u = a, b, a b, v = (c, d, c d) W,τότε Άρα ο W είναι κλειςτόσ ωσ προσ τθν πρόςκεςθ. (iii) Αν u = a, b, a b W και λ R, u + v = a + c, b + d, a + c b d W λu = λa, λb, λa λd W Άρα ο W είναι κλειςτόσ ωσ προσ το βακμωτό πολλαπλαςιαςμό. Οι τρεισ ςυνκικεσ τθσ Πρ... ικανοποιοφνται. Άρα ο W είναι υπόχωροσ του R. (β) Σφμφωνα με τθν οριςμό αρκεί να δείξουμε ότι κάκε ςτοιχείο u = (x, y, z) R γράφεται μονοςιμαντα ςαν άκροιςμα ενόσ ςτοιχείου του W και ενόσ ςτοιχείου του W : a = x x, y, z = a, b, a b +,, c = a, b, a b + c b = y c = z x + y Ζχουμε μοναδικι λφςθ. Άρα W W = R 4μ. 4

5 Πρόβλημα 5. (α) Να βρεκεί μια βάςθ και θ διάςταςθ του W = u R 4 u = a, b, a + b, a b, a, b R 4μ. (β) Να επεκτακεί θ βάςθ που βρικατε ςε μια βάςθ του R 4. μ. (α) Παρατθροφμε ότι το γενικό ςτοιχείο του W γράφεται ωσ εξισ: a, b, a + b, a b = a,,, + b,,, Άρα το ςφνολο Α =,,,,,,, παράγει τον W. Επειδι το Α είναι επίςθσ γραμμικά ανεξάρτθτο (το ζνα ςτοιχείο του δεν είναι βακμωτό πολλαπλάςιο του άλλου), αυτό αποτελεί βάςθ του W. Άρα dimw=. (β) Επειδι dimr 4 =4, απαιτοφνται ςτοιχεία για να επεκτακεί το Α ςε βάςθ του R 4. Μια επιλογι είναι θ εξισ: B =,,,,,,,,,,,, (,,,) Αποδεικνφεται εφκολα ότι το Β είναι γραμμικά ανεξάρτθτο. 5

6 Πρόβλημα 6. (α) Δείξτε ότι ο αντίςτροφοσ αντιςτρζψιμου πίνακα είναι μοναδικόσ. μ. (β) Αν ο n n πίνακασ A είναι αντιςτρζψιμοσ δείξτε ότι (γ) Αν A Mm nκαι B Mn m (δ) Αν ο Α είναι αντιςτρζψιμοσ δείξτε ότι A T A T, δείξτε ότι tr( AB) tr( BA) μ. 4μ. A + I = I A + I (α) Ζςτω A - και A δφο αντίςτροφοι του αντιςτρζψιμου πίνακα Α: μ. AΑ = Α A = I και ΑΑ = Α Α = Ι Ζχουμε διαδοχικά: Α Α = Ι Α ΑΑ = ΙΑ Α I = Α Α = Α Άρα ο αντίςτροφοσ του Α είναι μοναδικόσ. (β) Αναςτρζφοντασ τθν ζχουμε AΑ = Α A = I και ΑΑ = Α Α = Ι AΑ T = Α A T = I T A T A T = A T A T = I Άρα ο A T είναι αντιςτρζψιμοσ και (γ) Για τα δφο γινόμενα ζχουμε A T T = A ΑΒ = n a ik b kj m n tr AB = a ik b ki m n = a ik b ki k= m m i= k= i= k= και m n m n m ΒΑ = b ik a kj tr BA = b ik a ki = b ik a ki = tr(ab) k= n n i= k= i= k= (δ) (Ι + Α) = Ι Α + Ι (Ι + Α) = Α + Ι Α + Ι Α + Ι (Ι + Α) = Α + Ι Α + Ι Ι = Α + Ι Α (Ι + Α) = Α Α + Ι = ΑΑ + Α = (Ι + Α) Άρα θ αρχικι ταυτότθτα ιςχφει. 6

7 Πρόβλημα 7. (α) Αν A, B M m nκαι C Mn q, δείξτε ότι ιςχφει ( A B) C AC BC μ. (β) Αν οι πίνακεσ A, B Mn nείναι ορθογώνιοι, δείξτε ότι και ο ΑΒ είναι ορκογϊνιοσ. μ. (γ) Αν ο Α είναι οποιοςδιποτε τετραγωνικόσ πίνακασ, δείξτε ότι ο ΑΑ Τ είναι ςυμμετρικόσ. μ. (δ) Αν Α = α να βρεκοφν οι A n και A -n όπου n φυςικόσ αρικμόσ. 4μ. (α) Α + Β C = n k= a ik + b ik c kj m q n = a ik c kj k= m q (β) Εφόςον οι πίνακεσ A, B Mn nείναι ορκογϊνιοι, ιςχφουν οι n + b ik c kj k= m q = AC + BC ΑΑ Τ = Α Τ Α = Ι και ΒΒ Τ = Β Τ Β = Ι και ζτςι ΑΒ ΑΒ Τ = ΑΒΒ Τ Α Τ = ΑΙΑ Τ = ΑΑ Τ = Ι Άρα ο ΑΒ είναι ορκογϊνιοσ. (γ) Παρατθροφμε ότι ΑΑ Τ Τ = Α Τ Τ Α Τ = ΑΑ Τ Άρα ο ΑΑ Τ είναι ςυμμετρικόσ. (δ) Επαγωγικά βρίςκουμε ότι Α = α α = α Επίςθσ ζχουμε Α n = A n A = (n )α Α = α α = nα και Α n = nα Επαλήθευςη Α n A n = nα nα = na + na = I 7

8 Πρόβλημα 8. (α) Να βρεκεί ο αντίςτροφοσ του ςφνκετου πίνακα A P O όπου Α αντιςτρζψιμοσ πίνακασ. 6μ. (β) Με βάςθ το πιο πάνω αποτζλεςμα, βρείτε τον αντίςτροφο του I A P (α) Ζςτω ότι ο αντίςτροφοσ του P είναι ζνασ ςφνκετοσ πίνακασ τθσ μορφισ όπου X, Y, Z και W άγνωςτοι πίνακεσ. Ιςχφει τότε X Y P Z W A I X Y I O AX Z AY W I O O A Z W O I AZ AW O I 6μ. AX + Z = I AY + W = O AZ = O AW = I AX = I AY + W = O Z = O W = A X = A Y = A Z = O W = A Άρα ο αντίςτροφοσ του P είναι ο P A O A (β) Ο πίνακασ είναι τθσ ςφνκετθσ μορφισ που εξετάςαμε ςτο (α) με Θα βροφμε τον αντίςτροφο του A: A Α = A I = / / / O Α είναι αντιςτρζψιμοσ και Ζχουμε ακόμα Α = / / Α = Α Α = / / / / = 9/4 /4 8

9 9 Άρα λοιπόν / 9 / 4 / / 4 / / A A P O A

10 Πρόβλημα 9.Να βρεκεί θ γενικι λφςθ του ςυςτιματοσ x x x x x 4 5 x x x x x x x x x x 4 6 x x x x x x Βρίςκουμε με τθ μζκοδο Gauss τον ανθγμζνο κλιμακωτό του επαυξθμζνου πίνακα του ςυςτιματοσ *ΑΒ+ : 8μ. A B = Το ςφςτθμα ζχει άπειρο πλικοσ λφςεων με δφο ελεφκερεσ μεταβλθτζσ, τισ x 5 και x 6. Η γενικι λφςθ είναι: όπου λ και μ αυκαίρετεσ ςτακερζσ. x = λ 7μ x = 4λ 5μ x = 4 + λ + μ x 4 = + 6λ + 59μ x 5 = λ x 6 = μ

11 Πρόβλημα. Να βρεκεί θ λφςθ του ςυςτιματοσ Ax=B αν (α) 4 4 (β) 4 4 4μ. μ. (α) Το ςφςτθμα ζχει άπειρο πλικοσ λφςεων με δφο ελεφκερεσ μεταβλθτζσ, τισ x και x 5. Η γενικι λφςθ είναι: όπου λ και μ αυκαίρετεσ ςτακερζσ. x = 4 + λ x = λ + 4μ x = λ x 4 = μ x 5 = μ x 6 = (β) Το ςφςτθμα είναι αδφνατο (ζχουμε θγετικό ςτοιχείο ςτθ τελευταία ςτιλθ του επαυξθμζνου πίνακα).

12 Πρόβλημα. Αν A δείξτε ότι οι ακόλουκεσ προτάςεισ είναι ιςοδφναμεσ Mn n (α) Ο A είναι αντιςτρζψιμοσ. (β) Το ςφςτθμα AX=B ζχει μοναδικι λφςθ. (γ) Ο Α είναι γινόμενο πεπεραςμζνου πλικουσ ςτοιχειωδϊν πινάκων. α (β) Αν ο Α είναι αντιςτρζψιμοσ, τότε από τθν ΑΧ=Β ζχουμε 6μ. Άρα το ςφςτθμα AX=B ζχει μοναδικι λφςθ. Α ΑΧ = Α Β Χ = Α Β β (γ) Αν το ςφςτθμα AX=B ζχει μοναδικι λφςθ, τότε ο ανθγμζνοσ κλιμακωτόσ του Α είναι ο ταυτοτικόσ πίνακασ, R=I. Όμωσ από τθ ςχετικι πρόταςθ υπάρχει ζνασ πεπεραςμζνοσ αρικμόσ ςτοιχειωδϊν πίνακων Ε,,Ε k, ζςτι ϊςτε Α = E E E k R = E E E k I = E E E k άρα ο Α είναι γινόμενο πεπεραςμζνου πλικουσ ςτοιχειωδϊν πινάκων. γ (α) Αν ο Α είναι γινόμενο πεπεραςμζνου πλικουσ ςτοιχειωδϊν πινάκων, Α = E E E k τότε ο Α είναι αντιςτρζψιμοσ ωσ γινόμενο αντιςτρζψιμων πινάκων (οι ςτοιχειϊδεισ πίνακεσ είναι αντιςτρζψιμοι) και Α = Ε k E E

13 Πρόβλημα. Να βρεκοφν οι αντίςτροφοι των ακόλουκων πινάκων:,, 4 C, 4 D 7μ. A = E,4 A = Α B = E 4, B = E 4, = O C είναι διαγϊνιοσ, οπότε C / 4 / / Ο D δεν είναι τετραγωνικόσ, οπότε δεν ορίηεται ο αντίςτροφόσ του.

14 Πρόβλημα. Να βρεκοφν οι αντίςτροφοι των ακόλουκων πινάκων: (α) 4 6 (β) (α) Βρίςκουμε τον ανθγμζνο κλιμακωτό του πίνακα *ΑΙ+: 4μ. 6μ / / Άρα Α = / (β) Βρίςκουμε τον ανθγμζνο κλιμακωτό του πίνακα *ΒΙ+: ΒΙ = 4 /4 /4 /4 ΒΙ /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 /4 Β = 4 4