ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN 978-960-456-242-8"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copyright, 2010, Eκδόσεις ZHTH, K.-Δ. Ε. Μπουζάκης Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Οι ταλαντωτικές κινήσεις μηχανικών διατάξεων δεν μεταβάλλονται γραμμικά με την συχνότητα, ή την ένταση των διεγέρσεών τους. Αυτό δυσχεραίνει την ανίχνευση των αιτιών που τις προκαλούν, καθώς και τις πιθανές βελτιωτικές επεμβάσεις. Για να επιλυθούν σχετικά προβλήματα, είναι απαραίτητο να προσεγγισθεί αναλυτικά η δυναμική ταλαντωτική συμπεριφορά των μηχανικών διατάξεων. Την αποστολή αυτή αναλαμβάνει ο μηχανολόγος μηχανικός, ο οποίος είναι υπεύθυνος για τη σχεδιομελέτη των κατασκευών, καθώς και για την τροποποίηση υφισταμένων, προς αποφυγή δυναμικών φαινομένων, όπως οι ταλαντώσεις. Οι ταλαντώσεις περιορίζουν την ασφάλεια των κατασκευών, οδηγούν σε φθορές και σε χειροτέρευση της οικονομικής εκμετάλλευσής τους. Εν προκειμένω, τα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα επιτρέπουν την ευχερή αναλυτική προσομοίωση της δομής μιάς κατασκευής, με τη βοήθεια μεθοδολογιών πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και τη γρήγορη επίλυση δυσεπιλύτων μαθηματικών σχέσεων. Επίσης, η εξέλιξη μετροτεχνικών διατάξεων καθιστά εφικτή την πειραματικοαναλυτική περιγραφή της δυναμικής συμπεριφοράς των κατασκευών, καθώς και την αξιολόγησή της με βάση διεθνείς κανονισμούς. Στο παρόν σύγγραμμα δίδεται έμφαση στα προηγούμενα αντικείμενα, με παράθεση παραδειγμάτων εκπαιδευτικού χαρακτήρα, αλλά και συνθέτων, προερχομένων από συνεργασίες του Εργαστηρίου Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας (ΕΕΔΜ) του Α.Π.Θ. με τη βιομηχανία. Το σύγγραμμα αποσκοπεί στο να εισαχθεί ο φοιτητής μηχανολόγος μηχανικός στην περιοχή των προσομοιώσεων, των υπολογισμών, των μετρήσεων και της αξιολόγησης των ταλαντώσεων, καθώς και σε χαρακτηριστικά γνωστικά αντικείμενα της δυναμικής μηχανών. Επίσης, το σύγγραμμα στοχεύει στο να βοηθήσει τον επαγγελματία μηχανολόγο μηχανικό κατά το στάδιο της σχεδιομελέτης και κατά τη λειτουργία μιάς κατασκευής, να αποφεύγει ταλαντωτικά δυναμικά προβλήματα.

4 vi Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους διατελέσαντες και τους νυν συνεργάτες του ΕΕΔΜ, για την συμπαράστασή τους στην αύξηση της επιστημονικής γνώσης στην περιοχή αυτή. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συνεργάτες μου, τον αναπληρωτή καθηγητή Ι. Τσιάφη του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Α.Π.Θ., τον Δρ. Μηχ. Μηχ. Ι. Μυρισίδη, όπως και τον φοιτητή Μηχ. Μηχ. του Α.Π.Θ. Χ. Τσιάφη για την επιμέλεια της παρούσας έκδοσης του συγγράμματος, καθώς και τον Εκδοτικό Οίκο Ζήτη. Καθηγητής Κ.-Δ. Μπουζάκης Διευθυντής του ΕΕΔΜ Τακτικό μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Τεχνικών Παραγωγής (CIRP) Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2010

5 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 1 Εισαγωγή 1.1 Μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς Στιβαρότητα υλικών και κατασκευών Απόσβεση υλικών κατασκευών... 6 Κεφάλαιο 2 9 Ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 2.1 Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων χωρίς απόσβεση Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερία γραμμικών μοντέλων με απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με ασθενή απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με μέτρο απόσβεσης ίσο με τη μονάδα Ελεύθερη ταλάντωση με ισχυρή απόσβεση Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με αρμονική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Αρμονικές διεγέρσεις με σταθερό εύρος Μόνιμη κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση Μεταβατική κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση... 31

6 viii Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Μεταβατική και μόνιμη κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Αρμονικές διεγέρσεις με εύρος εξαρτώμενο από τη συχνότητα διέγερσης Αρμονικές διεγέρσεις μετατόπισης Διεγέρσεις μορφής αθροίσματος αρμονικών όρων Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με περιοδική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Ανάλυση περιοδικής συνάρτησης κατά Fourier Προσδιορισμός γενικής λύσης της μετατόπισης Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απεριοδική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Προσδιορισμός της συνάρτησης βάρους Υπολογισμός μερικής λύσης με τη βοήθεια του ολοκληρώματος α- ναδίπλωσης (Ολοκλήρωμα Duhamel) Υπολογισμός μερικής λύσης με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier σε συνδυασμό με το θεώρημα αναδίπλωσης Μετασχηματισμός Fourier απεριοδικής συνάρτησης Προσδιορισμός της μερικής λύσης-θεώρημα αναδίπλωσης Κεφάλαιο 3 69 Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 3.1 Μεθοδολογίες κατά την προσεγγιστική μελέτη των ταλαντώσεων κατασκευών Μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς μηχανικών διατάξεων, με τη βοήθεια διακριτών μοντέλων Παραδείγματα δημιουργίας διακριτών μοντέλων Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας των στοιχείων, ενός διακριτού μοντέλου Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας του μονοδιάστατου εφελκυστικού - θλιπτικού στοιχείου σχάρας, με ασυνεχώς κατανεμημένη μάζα Ακριβής επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας του εφελκυστικού θλιπτικού στοιχείου, ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς... 82

7 Περιεχόμενα ix Προσεγγιστική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας του εφελκυστικού θλιπτικού στοιχείου, ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας του καμπτικού στοιχείου ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας, με δύο βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς Προσδιορισμός των μητρώων στιβαρότητας στοιχείων, από τα μητρώα τους μεταφοράς Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας ενός διακριτού μοντέλου Κατάστρωση των ολικών μητρώων στιβαρότητας και απόσβεσης, βάσει των αντίστοιχων μητρώων των επί μέρους στοιχείων (Direct - Stiffness - Method), σε μοντέλο με ένα βαθμό ελευθερίας ανά κόμβο Κατάστρωση των ολικών μητρώων αδρανείας, στιβαρότητας και απόσβεσης, βάσει των αντιστοίχων μητρώων των επί μέρους στοιχείων (Direct-Stiffness-Method), σε μοντέλα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων, των μητρώων στιβαρότητας των στοιχείων ενός διακριτού μοντέλου Προσδιορισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας του μοντέλου μιας κατασκευής Προσδιορισμός των φορτίσεων των κόμβων ενός μοντέλου μιας κατασκευής, βάσει των εξωτερικών φορτίσεων και του ιδίου βάρους των στοιχείων Προσδιορισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας των κόμβων του μοντέλου μιας κατασκευής Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας με τη βοήθεια των συντελεστών επιρροής Περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς κατασκευών μέσω του προσδιορισμού συναρτήσεων μεγεθύνσεώς τους Παράδειγμα κατάστρωσης του μητρώου στιβαρότητας και αδρανείας του διακριτού μοντέλου μιας κατασκευής και υπολογισμοί της θέσης της στατικής ισορροπίας της Κατάστρωση των μητρώων αδρανείας και στιβαρότητας Υπολογισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας Παράδειγμα υπολογισμού της στατικής παραμόρφωσης, κατασκευής σύνθετης γεωμετρίας

8 x Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 3.13 Περιορισμός διαστάσεων μητρώων Περιορισμός διαστάσεων μητρώων βάσει γνωστών κινηματικών συνθηκών Περιορισμός διαστάσεων μητρώων βάσει γνωστών δυναμικών συνθηκών (συμπύκνωση μητρώου) Κεφάλαιο Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας 4.1 Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας, με μητρώο απόσβεσης, γραμμικό συνδυασμό, του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Ελεύθερη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας με γενικό μητρώο απόσβεσης Επίλυση της δευτεροβαθμίου μητρωϊκής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας, μέσω αναγωγής της σε πρωτοβάθμια Επίλυση της δευτεροβαθμίου μητρωϊκής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας μέσω αναγωγής της σε πρωτοβάθμιο κατά Duncan Εξαναγκασμένη ταλάντωση με περιοδική διέγερση. Γενικός τρόπος προσδιορισμού μιας μερικής λύσης Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και μητρώο απόσβεσης γραμμικό συνδυασμό του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και γενικό μητρώο απόσβεσης Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απεριοδική διέγερση Εξαναγκασμένη ταλάντωση με μητρώο απόσβεσης γραμμικό συνδυασμό του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Εξαναγκασμένη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας με γενικό μητρώο απόσβεσης Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου επίλυσης εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας, μέσω της ανάλυσης των ιδιόμορφων Ελεύθερη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση γραμμικού μοντέλου Εξαναγκασμένη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση, γραμμικού μοντέλου Ελεύθερη ταλάντωση με γενικό μητρώο απόσβεσης

9 Περιεχόμενα xi Εφαρμογή της διαδικασίας που περιγράφεται στην παράγραφο Εφαρμογή της μεθόδου κατά Duncan της παραγράφου Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και γενικό μητρώο απόσβεσης Παράδειγμα υπολογισμού ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών, σύνθετης μηχανολογικής διάταξης Κεφάλαιο Στρεπτικές ταλαντώσεις 5.1 Εύρεση Ισοδυνάμων συστημάτων για πραγματικούς στρεπτικούς ταλαντωτές Αναγωγή σε κοινή διάμετρο Αναγωγή σε ένα άξονα Αναγωγή διατομών στροφάλων σ ένα άξονα Προσδιορισμός ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών στρεπτικών ταλαντωτών με ασυνεχή κατανομή περιστρεφόμενων μαζών Στρεπτικό σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας Στρεπτικό σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας Προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών Μέθοδος Holzer Μέθοδος Gümbel (-Holzer-Tolle) Προσδιορισμός ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών στρεπτικών ταλαντωτικών συστημάτων με συνεχή κατανομή περιστρεφομένων μαζών Παράδειγμα κατάστρωσης ισοδυνάμου συστήματος και υπολογισμού στρεπτικών ιδιοσυχνοτήτων με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) Στρεπτικές ταλαντώσεις μειωτήρα με διάταξη ισοκατανομής ισχύος από πινιόν προς τρείς άξονες Περιγραφή της ταλαντωτικής στρεπτικής συμπεριφοράς πολυβάθμιων μειωτήρων με διαιρέσεις ισχύος σε βαθμίδες τους με τη βοήθεια ισοδυνάμων συστημάτων FEM προσομοίωση της στρεπτικής συμπεριφοράς του μειωτήρα Ταλαντωτική συμπεριφορά σε στρέψη μειωτήρα με ελαστικό στρεπτικά άξονα πινιόν 2ης βαθμίδας

10 xii Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Μέτρα για τη βελτίωση της στρεπτικής ταλαντωτικής συμπεριφοράς του μειωτήρα για την αποφόρτιση των οδοντωτών τροχών της 3ης βαθμίδας Κεφάλαιο Ζυγοστάθμιση 6.1 Γενικά Ορισμός του μεγέθους της αζυγοσταθμίας Παραστάσεις της κατάστασης αζυγοσταθμίας ενός περιστρεφόμενου σώματος Περιγραφή της αζυγοσταθμίας μέσω σταυρού αζυγοσταθμιών Περιγραφή της αζυγοσταθμίας μέσω της ολικής αζυγοσταθμίας και της ροπής αζυγοσταθμίας Χαρακτηριστικές περιπτώσεις αζυγοσταθμίας Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες σε απολύτως στιβαρά σώματα Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες σε ελαστικά σώματα Είδη ζυγοστάθμισης Στατική ζυγοστάθμιση Δυναμική ζυγοστάθμιση Ζυγοστάθμιση συντονισμού Υποκρίσιμη ζυγοστάθμιση Υπερκρίσιμη ζυγοστάθμιση Μέθοδοι ζυγοστάθμισης Ζυγοστάθμιση με τη βοήθεια ειδικών μηχανών Ζυγοστάθμιση υπό συνθήκες λειτουργίας Γραφική αναλυτική μέθοδος υπολογισμού Αναλυτική μέθοδος υπολογισμού Κριτική επισκόπηση των μεθόδων της υπό συνθήκες λειτουργίας ζυγοστάθμισης. Παρουσίαση μιας απλής διαδικασίας, απαιτητικής όμως σε υπό συνθήκες λειτουργίας ζυγοστάθμισης χρόνο διεξαγωγής Ανοχές ζυγοστάθμισης

11 Περιεχόμενα xiii Κεφάλαιο Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μέτρησης 7.1 Είδη μετρήσεων μιας μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου μετατόπισης μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου ταχύτητας μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου επιτάχυνσης μηχανικής ταλάντωσης Ανίχνευση συχνοτήτων διέγερσης μέσω της μέτρησης της απολύτου ταχύτητας Ορισμός της δρώσης τιμής veff της απολύτου ταχύτητας Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μέτρησης της απολύτου ταχύτητας Ορισμός της έντασης ταλάντωσης και επιτρεπόμενες τιμές της, για διάφορες ομάδες μηχανών κατά τον κανονισμό VDI Επιτρεπόμενες τιμές καταπονήσεων του ανθρώπινου σώματος κατά ISO 2631 και VDI Έλεγχος αντοχής κεφαλής ανάρτησης ταξιδιωτικής άμαξας ρωμαϊκής εποχής και μελέτη των συνθηκών άνεσης των επιβατών Κεφάλαιο Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων. Δυναμικός υπολογισμός εδράσεων μηχανικών συστημάτων 8.1 Υπολογισμός του συντελεστού διαπερατότητας Σχεδίαση θεμελίωσης μιας μηχανής για ενεργητική αποφυγή μετάδοσης ταλάντωσης Σχεδίαση θεμελίωσης όταν το εύρος της δύναμης διέγερσης δεν ε- ξαρτάται από τη συχνότητα Σχεδίαση θεμελίωσης όταν το εύρος της δυνάμεως διέγερσης εξαρτάται από τη συχνότητα Σχεδίαση θεμελίωσης μιας μηχανής για παθητική αποφυγή μετάδοσης ταλάντωσης Θεμελίωση μηχανών με πολλούς βαθμούς ελευθερίας Ελαστικά πέλματα έδρασης μηχανών

12 xiv Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 8.6 Παραδείγματα υπολογισμού εδράσεων μηχανικών συγκροτημάτων Παράδειγμα υπολογισμού στιβαρής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Παράδειγμα υπολογισμού ελαστικής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Κεφάλαιο Αποφυγή δημιουργίας ταλαντώσεων μέσω προσθήκης μάζας καθησύχασης 9.1 Σύνδεση μάζας καθησύχασης μόνο με ελατήριο Σύνδεση μάζας καθησύχασης με ελατήριο και αποσβεστήρα Σύνδεση μάζας καθησύχασης μόνο με αποσβεστήρα Πρακτικές εφαρμογές αποφυγής δημιουργίας ταλάντωσης μέσω προσθήκης μάζας καθησύχασης Κεφάλαιο Προσδιορισμός κινηματικών μεγεθών, αδρανειακών δυνάμεων και ροπών 10.1 Περιγραφή της κινηματικής δομής μηχανικών διατάξεων και μέθοδοι υπολογισμού κινηματικών μεγεθών Αριθμητικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Υπολογισμός γωνιών περιστροφής μελών, ή αντίστοιχα μετατοπίσεων ολισθαινόντων μελών Υπολογισμός ταχυτήτων και επιταχύνσεων μελών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων μηχανικής διάταξης Παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού κινηματικών μεγεθών Αναλυτικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Υπολογισμός μετατοπίσεων και περιστροφών των μελών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων Προσδιορισμός αδρανειακών δυνάμεων και ροπών Αναλυτικός προσδιορισμός δυνάμεων και ροπών μέσω επίλυσης του συστήματος εξισώσεων περιγραφής της δυναμικής ισορροπίας των επί μέρους μελών μηχανικής διάταξης

13 Περιεχόμενα xv Προσδιορισμός των δυνάμεων επί των αρθρώσεων και της ροπής επί του κινητηρίου μέλους Υπολογισμός των καταπονήσεων του πλαισίου μηχανικής διάταξης Κεφάλαιο Εξισορρόπηση μαζών 11.1 Εξισορρόπηση μαζών μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης (αντίβαρα) Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) των αδρανειακών δυνάμεων μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) των αδρανειακών ροπών μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης Εξουδετέρωση των αδρανειακών δυνάμεων μέσω εξισορροπητικών μηχανισμών Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) αδρανειακών καταπονήσεων μέσω καταλλήλου κατασκευαστικής διαμόρφωσης ή συγχρόνως και άλλων μεθοδολογιών Κατασκευαστικές διαμορφώσεις πολυκυλίνδρων κινητήρων και συμπιεστών Προσδιορισμός των αδρανειακών δυνάμεων πολυκυλίνδρων μηχανικών διατάξεων Κινητήρες με κυλίνδρους διατεταγμένους σε σειρά Κινητήρες με V - διάταξη κυλίνδρων Κινητήρας με εναλλάξ συμμετρικά διατεταγμένους κυλίνδρους Προσδιορισμός των αδρανειακών ροπών πολυκυλίνδρων μηχανικών διατάξεων Δικύλινδρος τετράχρονος κινητήρας σειράς Δικύλινδρος δίχρονος κινητήρας σειράς Δικύλινδρος τετράχρονος κινητήρας, με εναλλάξ συμμετρικά διατεταγμένους κυλίνδρους Τρικύλινδρος εμβολοφόρος κινητήρας σειράς Εξουδετέρωση των αδρανειακών δυνάμεων και ροπών σε πολυκύλινδρους κινητήρες

14 xvi Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Κεφάλαιο Σταθεροποίηση ροής ισχύος 12.1 Υπολογισμός της χρονικής μεταβολής των κινηματικών μεγεθών σημείων των μελών μηχανικής διάταξης, ως συναρτήσεις των κινηματικών μεγεθών του μέλους αναγωγής Κατάστρωση εξίσωσης κίνησης του μέλους αναγωγής (Εξίσωση κίνησης στιβαρής μηχανής) Υπολογισμός μεγεθών υπεισερχομένων στην εξίσωση κίνησης στιβαρής μηχανής Υπολογισμός της ολικής κινηματικής ενέργειας των μελών μηχανικής διάταξης. Ορισμός της ολικής ανηγμένης στο μέλος αναγωγής, μαζικής ροπής αδρανείας Υπολογισμός της ολικής δυναμικής ενέργειας των μελών μηχανικής διάταξης Υπολογισμός της ανηγμένης ροπής στρέψης Διατυπώσεις της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής, βάσει των ορισθέντων στις προηγούμενες παραγράφους μεγεθών Επίλυση της εξίσωσης της στιβαρής μηχανής για τον προσδιορισμό της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής Προσδιορισμός της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής, με τη βοήθεια του έργου των εξωτερικά εφαρμοζομένων δυνάμεων Προσδιορισμός της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής, με επίλυση της διαφορικής μορφής της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής Υπολογισμός Βαθμού ανομοιομορφίας Υπολογισμός του βαθμού ανομοιομορφίας σε μηχανικές διατάξεις χωρίς εξωτερικά φορτία Υπολογισμός του βαθμού ανομοιομορφίας όταν το έργο των εξωτερικά εφαρμοζομένων δυνάμεων είναι σημαντικά μικρότερο της κινηματικής ενέργειας του μέλους αναγωγής και οι διακυμάνσεις της ανηγμένης μαζικής ροπής αδρανείας μικρές Υπολογισμός σφονδύλων Παράδειγμα επίλυσης της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής για τον προσδιορισμό σφονδύλων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Κατά τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς μηχανών και μηχανικών διατάξεων διακρίνονται γενικά δύο είδη. Αυτές που υπό συνθήκες λειτουργίας διατηρούν τη γεωμετρική τους μορφή, την περιγραφομένη στα κατακευαστικά σχέδια, καθώς και μηχανές και μηχανικές διατάξεις, που υπό συνθήκες λειτουργίας παραμορφώνονται. Ως παραμόρφωση δεν εννοείται η αλλαγή της γεωμετρίας λόγω εξάσκησης μη χρονικά μεταβαλλομένων φορτίων, η οποία μπορεί να υπολογιστεί με εφαρμογή μεθόδων της στατικής. Ως αλλαγή της γεωμετρίας εννοείται η προκαλούμενη από χρονικά μεταβαλλόμενα φορτία, ή λόγω κινήσεων μιάς κατασκευής κατά την επάνοδό της στη θέση της στατικής ισορροπίας, μετά από εκτροπή της από αυτή [HAR 52, HUB 57, JOR 52, OEH 52, MAR 79]. Τόσο οι στατικές όσο και οι δυναμικές παραμορφώσεις δημιουργούνται λόγω της πεπερασμένης στιβαρότητας των κατασκευών. Ειδικά σε μηχανολογικές κατασκευές, η επιδίωξη της μείωσης του βάρους τους με σκοπό κυρίως την μείωση του κόστους, οδηγεί σε περιορισμένες στιβαρότητες. Οι μικρές στιβαρότητες αποτελούν ευνοϊκή προϋπόθεση για τη δημιουργία δυναμικών παραμορφώσεων. Η αποφυγή αυτών των παραμορφώσεων αποτελεί σημαντικό πρόβλημα, που συχνά απαντάται και αντιμετωπίζεται τόσο κατά την κατασκευαστική σχεδιομελέτη, όσο και κατά τη λειτουργία των διαφόρων μηχανικών διατάξεων. Οι μηχανικές παραμορφώσεις των κατασκευών δεν παραμένουν σταθερές, αλλά έχουν τη μορφή παλινδρομικών κινήσεων, που ονομάζονται ταλαντώσεις, γύρω από τη θέση της στατικής ισορροπίας [ΔΗΜ 77.1, 77.2].

16 2 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Η μελέτη των μηχανών που μπορεί να παραμορφώνονται κατά τη λειτουργία τους, είναι το αντικείμενο της γνωστικής περιοχής των ταλαντώσεων, ενώ των απαραμορφώτων της δυναμικής των μηχανών. Τα κεφάλαια 1 μέχρι 9 του παρόντος βιβλίου πραγματεύονται χαρακτηριστικά προβλήματα των ταλαντώσεων και τα κεφάλαια 10 έως 12 της δυναμικής μηχανών, με έμφαση στις πρακτικές εφαρμογές. Η μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς των κατασκευών στοχεύει αφενός στον προσδιορισμό της γεωμετρίας της κατασκευής υπό συνθήκες λειτουργίας, αφετέρου στον υπολογισμό των συνθηκών λειτουργίας, υπό τις οποίες στην κατασκευή δημιουργούνται σημαντικά εύρη παραμόρφωσης (καταστάσεις συντονισμού). Από την άλλη πλευρά, η δυναμική μηχανών στοχεύει στον περιορισμό των αδρανειακών καταπονήσεων, που δημιουργούνται λόγω των κινήσεων των μελών μηχανικών διατάξεων μέσω εξισορρόπησης των μαζών και της ροής ισχύος. 1.1 Μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς Υπάρχουν διάφορες μεθοδολογίες για την μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς μηχανικών διατάξεων. Μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον και ευρεία εφαρμογή έχουν σήμερα, μέσω της χρησιμοποίησης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, μεθοδολογίες κατά τις οποίες η κατασκευή περιγράφεται με τη βοήθεια ενός προσομοιωτικού προτύπου (μοντέλου). Το μοντέλο προσεγγιστικά έχει ισοδύναμες ιδιότητες με την κατασκευή, σχετικά με τα παρακάτω βασικά χαρακτηριστικά μεγέθη της: ç την αδράνεια ç την στιβαρότητα ç την απόσβεση ç την μετατόπιση, ή ανάλογα με την περίπτωση, την περιστροφή στην κατεύθυνση, ή στις κατευθύνσεις (βαθμοί ελευθερίας) των ταλαντωτικών κινήσεων. Τα μεγέθη αυτά αναφέρονται στη συνολική κατασκευή, ή και σε επιμέρους μέλη της. Στο σχήμα 1.1 εικονίζονται τρία παραδείγματα υποκατάστασης της πραγματικής γεωμετρίας κατασκευών, με προσομοιωτικά πρότυπα, προκειμένου να μελετηθεί η ταλαντωτική συμπεριφορά τους. Και τα τρία μοντέλα επιτρέπουν κίνηση μόνο σε μία κατεύθυνση, δηλαδή είναι ενός βαθμού ελευθερίας.

17 Κεφ. 1: Εισαγωγή 3 Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, επειδή ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της κίνησης και των λόγω αυτής προκαλουμένων παραμορφώσεων στην κατεύθυνση x, του οχήματος κατά την πρόσκρουσή του σε σταθερό εμπόδιο, της γερανογέφυρας κατά τη λειτουργία του κινητήρα, το χαρακτηριστικό μέγεθος της αδρανείας εκφράζεται από την μεταφορικά μετακινούμενη μάζα m των κατασκευών αυτών, στην ορισθείσα κατεύθυνση x. Οι μάζες αυτές θεωρούνται ότι κατά την κίνηση δεν παραμορφώνονται. x m m, x c k x,(φ) φ J Σχήμα 1.1: Προσομοίωση κατασκευών με πρότυπο (μοντέλο) ενός βαθμού ελευθερίας για τη μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς τους. Στο τρίτο παράδειγμα επειδή ενδιαφέρει η παραμόρφωση της ατράκτου στην στρεπτική κατεύθυνση φ, κατά πιθανή ταλαντωτική περιστροφική κίνηση του λειαντικού τροχού, η αδράνεια εκφράζεται με τη μαζική ροπή αδρανείας του λειαντικού τροχού, ως προς τον άξονα της περιστροφής. Εν προκειμένω ο λειαντικός τροχός θεωρείται απαραμόρφωτος και η άτρακτος μηδενικής μάζας. Η στιβαρότητα των κατασκευών στα πρώτα δύο παραδείγματα περιγράφεται από τη σταθερά ελατηρίου c, που εκφράζει τη δύναμη, την απαιτούμενη να εξασκηθεί κατά την κατεύθυνση x στην κατασκευή, για να παραμορφωθεί κατά μια μονάδα μήκους στην ίδια κατεύθυνση. Στην περίπτωση της ατράκτου του λειαντικού τροχού, η στιβαρότητά της εκφράζεται με τη σταθερά ελατηρίου σε περιστροφική κατεύθυνση. Η σταθερά αυτή υποδηλώνει τη ροπή που πρέπει να εξασκηθεί, για να παραμορφωθεί η ά- τρακτος κατά μια μονάδα γωνιακής (περιστροφικής) μετατόπισης. Συνήθως, επειδή οι μετατοπίσεις, ή οι περιστροφές δεν εξαρτώνται γραμμικά από τις προκαλούσες αυτές φορτίσεις, για την απλοποίηση των μαθηματικών

18 4 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σχέσεων που περιγράφουν τη δυναμική ισορροπία, θεωρείται ότι υφίσταται ένας γραμμικός νόμος αλληλοεξάρτησης μεταξύ φόρτισης και μετακίνησης. Έτσι οι αντίστοιχες σταθερές ελατηρίου σε μεταφορική η περιστροφική κίνηση έχουν τιμές, μη εξαρτώμενες από το μέγεθος της φόρτισης. Σε επόμενες παραγράφους δίδονται περισσότερες επεξηγήσεις για την αλληλοεξάρτηση αυτή. Τέλος με το χαρακτηριστικό μέγεθος της απόσβεσης (σταθερά k) περιγράφεται η μετατροπή της κινητικής ενέργειας, που βάσει αυτής κάποια κατασκευή, ή τα μέλη της εκτελούν ταλαντωτικές κινήσεις, συνήθως σε θερμότητα και τοιουτοτρόπως παρέχεται η δυνατότητα αποβολής της από το ταλαντούμενο σύστημα. Ο πλέον χρησιμοποιούμενος νόμος περιγραφής του φαινομένου αυτού είναι επίσης γραμμικός και υποδηλώνει, ότι λόγω της απόσβεσης δημιουργείται μια δύναμη, η οποία παράγει το έργο, που αποβάλλεται από το ταλαντούμενο σύστημα. Η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της ταχύτητας της μετατόπισης (βισκοαπόσβεση). Σταθερά αναλογίας είναι εν προκειμένω η σταθερά απόσβεσης k. Η φυσική έννοια της απόσβεσης και μεθοδολογίες περιγραφής της αναφέρονται σε επόμενες παραγράφους. Το μοντέλο μιας κατασκευής για το οποίο ισχύουν οι παραπάνω παραδοχές γραμμικών αλληλοεξαρτήσεων μεταξύ της στιβαρότητας και της απόσβεσης αντίστοιχα με τη μετατόπιση και με την ταχύτητα της μετατόπισης, χαρακτηρίζεται ως γραμμικό. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει την ισορροπία όλων των δυνάμεων, που εξασκούνται στη μάζα του μοντέλου κατά την κίνησή της, είναι της μορφής: mx kx cx f t (1.1) Η σχέση αυτή, βασιζόμενη στην αρχή του d' Alembert, εκφράζει την ισορροπία ανά πάσα χρονική στιγμή μεταξύ των δυνάμεων αδρανείας, απόσβεσης και παραμόρφωσης, με τις εξωτερικά εξασκούμενες φορτίσεις. Από μαθηματική άποψη η σχέση αυτή είναι μια ομογενής δευτεροβάθμια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές (σκληρογραμμική). Μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουν παρόμοιες αλληλοεξαρτήσεις ονομάζονται εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας. Η κατάστρωσή τους και η επίλυσή τους αποτελεί το αντικείμενο επομένων κεφαλαίων. Ο προσδιορισμός της χρονικής συμπεριφοράς της μετατόπισης, επιτρέπει τον υπολογισμό της μεταβολής των προκαλουμένων τάσεων σε διάφορα μέλη μιας κατασκευής, που είναι απαραίτητες για την εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας της σε κόπωση.

19 Κεφ. 1: Εισαγωγή Στιβαρότητα υλικών και κατασκευών Γενικά η συμπεριφορά παραμόρφωσης ενός υλικού στην περιοχή της ελαστικής παραμόρφωσής του, μπορεί με ικανοποιητική ακρίβεια να περιγραφεί με τη βοήθεια γραμμικού νόμου (νόμος Hook). Για το λόγο αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τη σταθερά ελατηρίου c, που εκφράζει την στιβαρότητα σε ένα σημείο και σε ορισμένη κατεύθυνση μιας κατασκευής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση: F cx (1.2) Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της καμπύλης της γραφικής παράστασης της φόρτισης, ως συνάρτηση της μετατόπισης, εκφράζει την τιμή της σταθεράς του ελατηρίου, (βλέπε Σχήμα 1.2). Φόρτιση F F c x α c = tanα α = f(f) α Μετατόπιση x Σχήμα 1.2: Χαρακτηριστική εξάρτηση της παραμόρφωσης από τη φόρτιση ελατηρίου c. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η τιμή της σταθεράς ελατηρίου μόνο σε μικρές επιμέρους περιοχές τιμών της μετατόπισης μπορεί να θεωρηθεί αμετάβλητη. Για μεγαλύτερες τιμές της μετατόπισης σε πραγματικές κατασκευές, λόγω αλλαγής της γεωμετρίας και τοιουτοτρόπως των χαρακτηριστικών της στιβαρότητας, η σταθερά c εξαρτάται από το μέγεθος της φόρτισης Για λόγους απλοποίησης των εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας η τιμή της σταθεράς ελατηρίου θεωρείται αμετάβλητη, εκφράζουσα την συμπεριφορά της στιβαρότητας μόνο σε ορισμένη περιοχή τιμών φόρτισης. Συγχρόνως η παραδοχή αυτή ανταποκρίνεται στην πρακτική επιδίωξη, του να προσδιορισθεί η ταλαντωτική συμπεριφορά μιας κατασκευής για μικρές περιοχές τιμών παραμορφώσεων, αφού μεγάλες παραμορφώσεις πρέπει να αποφεύγονται. Σημαντικό ενδια-

20 6 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών φέρον παρουσιάζει επίσης, ο προσδιορισμός των συνθηκών λειτουργίας, οι ο- ποίες μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντικά εύρη ταλαντωτικών παραμορφώσεων, δηλαδή σε καταστάσεις συντονισμού. 1.3 Απόσβεση υλικών κατασκευών Γενικά σε κάθε υλικό καταπονούμενο δυναμικά, με τιμές φορτίων που προκαλούν μη μόνιμες, δηλαδή ελαστικές παραμορφώσεις παρουσιάζεται το παρακάτω περιγραφόμενο φαινόμενο της ελαστικής υστέρησης [ΓΕΩ 67]. Φόρτιση Θραύση Α Όριο ελαστικής παραμόρφωσης Φόρτιση Παραμόρφωση Λεπτομέρεια Α Βρόγχος υστέρησης (έργο απωλειών) Φόρτιση Φόρτιση Φόρτιση Αποφόρτιση Αποφόρτιση Παραμόρφωση t 1 t 2 t 3 t2 t 1,t3 Χρόνος Σχήμα 1.3: Ελαστική υστέρηση σε γρήγορη φόρτιση-αποφόρτιση υλικών. Όπως ενδεικτικά στο σχήμα 1.3 φαίνεται, κατά την γρήγορη φόρτιση π.χ. εφελκυσμού, η ελαστική παραμόρφωση, λόγω αδρανείας του υλικού, δεν ακολουθεί γραμμικό νόμο. Αυτό συνεπάγεται πτώση της εσωτερικής τάσης του υλικού με σύγχρονη ψύξη, μέχρι να αποκατασταθεί η προβλεπόμενη από τη φόρτιση μη μόνιμη παραμόρφωση. Κατά την γρήγορη αποφόρτιση, λόγω αδρανείας του υλικού, δεν ακολουθείται πάλι γραμμικός νόμος (βλέπε σχήμα), με αποτέλεσμα τη θέρμανση του υλικού. Έτσι ένας κύκλος φόρτισης-αποφόρτισης, οδηγεί σε απώλεια έργου, που αντιστοιχίζεται στην σκιαγραφημένη περιοχή του σχήματος.

21 Κεφ. 1: Εισαγωγή 7 Στο σχήμα 1.4 φαίνεται η δημιουργία ενός βρόγχου ελαστικής υστέρησης, κατά αρμονικά μεταβαλλόμενη φόρτιση-διέγερση ενός υλικού. Φόρτιση βρόγχος υστέρησης Φόρτιση παραμόρφωση Χρόνος Σχήμα 1.4: Δημιουργία βρόγχου υστέρησης κατά αρμονική διέγερση. Οι επιφάνειες των βρόγχων αυτών και κατά συνέπεια η ιδιότητα απόσβεσης, εξαρτάται από το μέγεθος της ταχύτητας μεταβολής της φόρτισης, από την κρυσταλλογραφική δομή των υλικών, καθώς και από το συνολικό αριθμό κύκλων φορτίσεων (βλέπε σχήμα 1.5). Η τελευταία εξάρτηση εξηγεί και την διαφορετική συμπεριφορά απόσβεσης κατασκευών δυναμικά καταπονούμενων, και συγκεκριμένα την αύξησή της, μετά την πάροδο αρκετού χρόνου λειτουργίας τους. Φόρτιση I,II,III : Βρόχοι υστέρησης I II III Παραμόρφωση Αριθμός εναλλαγών φορτίσεως n, περιοχών που αντιστοιχεί στους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ n >n >n (n I =1) III II I Σχήμα 1.5: Βρόχοι υστέρησης κατά τη διάρκεια του χρόνου λειτουργίας μιας κατασκευής. Η απόσβεση λόγω ελαστικής υστέρησης, σε συνδυασμό με αποσβέσεις λόγω τριβών μεταξύ μελών, ή και πλαστικών παραμορφώσεων μελών, οδηγεί στη δημιουργία της συνολικής απόσβεσης μιας μηχανικής διάταξης κατά την λειτουργία της. Για τη μαθηματική περιγραφή της απόσβεσης υλικού γίνονται διάφορες παραδοχές. Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η παραδοχή, ότι η δύναμη απόσβε-

22 8 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σης είναι ανάλογη της ταχύτητας της μετατόπισης (βισκοαπόσβεση) (βλέπε σχήμα 1.6). Fk k x (1.3) Ο νόμος αυτός χρησιμοποιείται κυρίως κατά τη μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς κατασκευών. Η σταθερά της απόσβεσης k, σύμφωνα με τα προηγουμένως αναφερθέντα, διαφοροποιείται σε διάφορες ταχύτητες μεταβολής της φόρτισης και συχνότητες διέγερσης, καθώς και διαφορετικά μεγέθη της φόρτισης. Φόρτιση F F k x α k=tanα α=f(f) α Ταχύτητα μετατόπισης x Σχήμα 1.6: Χαρακτηριστική εξάρτηση της παραμόρφωσης από τη φόρτιση αποσβεστήρα k.

23 128 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Παράδειγμα υπολογισμού της στατικής παραμόρφωσης, κατασκευής σύνθετης γεωμετρίας Ένα περαιτέρω παράδειγμα, εύρεσης της θέσης της στατικής ισορροπίας μιάς γεωμετρικά πολύπλοκης κατασκευής, παρατίθεται στο σχήμα Ένας βιομηχανικός ανεμιστήρας, εγκατεστημένος επί βάσης υποδοχής από οπλισμένο σκυρόδεμα, κινείται αμφίπλευρα από δύο ηλεκτρικούς κινητήρες. Ο δεξιά παριστάμενος κινητήρας εδράζεται επί μεταλλικής εξέδρας, η οποία συγκρατείται μέσω κοχλιών στην πλευρά της βάσης υποδοχής του ανεμιστήρα. Προκειμένου να υπολογισθούν οι μέγιστες παραμορφώσεις και φορτίσεις της μεταλλικής εξέδρας, στην περίπτωση βραχυκύκλωσης των κινητήρων, η γεωμετρίας της, καθώς και της όλης εγκατάστασης περιγράφονται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Τα κύρια δεδομένα της προσομοίωσης αυτής, φαίνονται στον καταχωρημένο πίνακα, στο σχήμα. Φυσητήρας Κινητήρες Τσιμεντένια βάση Μεταλλική βάση Μάζα [Kg] Αρ. Κόμβων Αρ. Στοιχείων Κύριες διαστάσεις 12.5 x 8.0 x 6.7 [m] Z Y X Σχήμα 3.27: Έδραση ανεμιστήρα και κινητήρων του. Κύρια δεδομένα περιγραφής της γεωμετρίας τους κατά την FEM προσομοίωση. Λεπτομέρειες της γεωμετρίας της μεταλλικής εξέδρας εμφανίζονται στο σχήμα Αυτή αποτελείται από δύο κατακόρυφα διαταγμένα πλαίσια, που συγκρατούνται μέσω καθέτων σε αυτά δοκών και διαγωνίως, με τη βοήθεια κυλινδρικών κοιλοδοκών, συγκολλημένων κεντρικά επί καταλλήλου κομβοελάσματος. Στις παράλληλες, πλέον επιμήκεις πλευρές, στο άνω επίπεδο του πλαισίου της εξέ-

24 Κεφ. 3: Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 129 δρας, οι θέσεις υποδοχής του ηλεκτρικού κινητήρα, συμβολίζονται με μικρούς κύκλους. κατακόρυφα πλαίσια Z Y X Κύριες διαστάσεις 2,7 x 2,8 x 1,5 [m] Μάζα [Kg] l x l y [Kg m ] l z Σχήμα 3.28: Γεωμετρία της μεταλλικής εξέδρας υποδοχής του κινητήρα κίνησης. Η μεταλλική εξέδρα φορτίζεται κατά μέγιστο, από το ίδιο βάρος της, καθώς και των υπερκατασκευών της και από τις δυνάμεις προερχόμενες από ηλεκτρικούς κινητήρες. Τα φορτία αυτά διευκρινίζονται στο σχήμα Οι επιμήκεις κοχλίες πλευρικής πρόσδεσης της μεταλλικής εξέδρας επί του πλαισίου έδρασης του ανεμιστήρα, προεντείνονται με τις δυνάμεις που είναι καταχωρημένες στο σχήμα.

25 130 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Σύμβολο Είδος φορτίου Δύναμη συγκράτησης Αντίδραση ελαστικής έδρασης Βάρος κινητήρα-πλαισίου α δύναμη ροπής βραχυκυκλώματος β δύναμη ροπής βραχυκυκλώματος [kn] 250 (x8) 110 (x4) 16 (x8) 65 (x4) 36 (x4) Σχήμα 3.29: Φορτία της μεταλλικής εξέδρας έδρασης του δεξιού κινητήρα του ανεμιστήρα (βλέπε σχήμα 3.27). Λόγω των προηγουμένως περιγραφέντων φορτίων, η μεταλλική εξέδρα παραμορφώνεται και φορτίζεται με πεδία τάσεων που εκτίθενται στο σχήμα Ο προσδιορισμός των θέσεων των κόμβων του FEM-μοντέλου της κατασκευής, διεξάγεται με τη βοήθεια του λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων ANSYS και βασίζεται σε μεθοδολογία αντίστοιχη με αυτή που περιγράφθηκε στην παράγραφο Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μέγιστη παραμόρφωση ανέρχεται σε περίπου 3 mm, που κρίνεται μικρή, με συνεκτίμηση των διαστάσεων της κατασκευής. Επίσης, ικανοποιητικοί συντελεστές ασφαλείας προκύπτουν για τα δομικά στοιχεία της εξέδρας, καθώς και των κοχλιών συγκράτησης, όπως φαίνεται στο σχήμα.

26 Κεφ. 3: Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 131 Σχήμα 3.30: Παραμορφώσεις και τάσεις της μεταλλικής εξέδρας στο μέγιστο φορτίο της. (Συντελεστές ασφαλείας: α. S=1,43, για συνθήκες βραχυκύκλωσης κινητήρα, β. S=5,2, για συνθήκες λειτουργίας). Με χρησιμοποίηση των προηγουμένων μεθοδολογιών είναι επίσης, μεταξύ άλλων, δυνατή η πρόβλεψη της επίδρασης της φθοράς μελών μηχανικής διάταξης, επί του συντελεστή ασφαλείας της [BOU 04, 99.1, ΜΠΟ 02, 96.1]. Αυτό καθιστά εφικτό τον προγραμματισμό διαδικασιών συντήρησης σε βιομηχανικές μονάδες, που υπόκεινται σε φθορές κατά τη διάρκεια της λειτουργίας τους. Επίσης είναι δυνατός ο υπολογισμός των τάσεων, που προκαλούνται από λειτουργικές καταπονήσεις μηχανικών διατάξεων, δοκιμαστηρίων [BOU 99.2] κ.α.

27 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Επιτρεπόμενες τιμές καταπονήσεων του ανθρώπινου σώματος κατά ISO 2631 και VDI 2057 Το ανθρώπινο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια σύνθετη διάταξη, που καταπονείται δυναμικά από το περιβάλλον της. Το κατά πόσο οι δυναμικές αυτές καταπονήσεις είναι αντιληπτές και ανεκτές, δεν εξαρτάται μόνο από τα τεχνικά χαρακτηριστικά τους, αλλά κυρίως από την φυσική και ψυχική κατάσταση του ανθρώπου. Για τον λόγο αυτό η αξιολόγηση των επιδράσεων των δυναμικών καταπονήσεων στο ανθρώπινο σώμα, καθώς και η προδιαγραφή των οριακά επιτρεπομένων τιμών για οριακές καταπονήσεις, αποτελεί ένα αρκετά πολύπλοκο και συχνά δυσεπίλυτο πρόβλημα. Μία τεχνική θεώρηση του ανθρώπινου σώματος, μπορεί να διεξαχθεί με τη βοήθεια δυναμικά ισοδύναμων μοντέλων όπως αυτά που εμφανίζονται στο σχήμα Κεφαλή Ανω κορμός m x m 1 x 2 c 2 d 2 Σύστημα ώμου - βραχίονα Σπονδυλική στήλη Σύστημα θώρακαστομάχου Λεκάνη d m 1 x 1 Πόδια Διέγερση σε καθήμενο άνθρωπο c c 1 d 1 Διέγερση σε όρθιο άνθρωπο Σχήμα 7. 24: Δυναμικά ισοδύναμα μοντέλα του ανθρώπινου σώματος. Με την βοήθεια τέτοιων μοντέλων και μετρήσεων στο ανθρώπινο σώμα μέσω ηλεκτρομυογραμμάτων, έχει διαπιστωθεί, ότι τα διάφορα μέλη του ανθρώπινου σώματος, συντονίζονται σε συγκεκριμένες περιοχές συχνοτήτων. Έτσι, για τον όρθιο άνθρωπο που διεγείρεται από το πάτωμα μέσω των ποδιών του σε κατακόρυφη διεύθυνση, έχει εξακριβωθεί ότι η λεκάνη του καταπονείται στην περιοχή συχνοτήτων συντονισμού της, μεταξύ των 3 μέχρι 6 Hz, πολύ εντονότερα από ότι οι ώμοι, ή η κεφαλή στην ίδια περιοχή συχνοτήτων (βλέπε σχήμα 7.25).

28 300 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 2,0 z y Λεκάνη / Τ. Δ. Λόγος επιταχύνσεων 1,5 1,0 0,5 x Ώμοι / Τ. Δ. Κεφαλή / Τ. Δ. Τράπεζα διεγέρσεως (Τ. Δ.) 0, Συχνότητα διέγερσης [Hz] Σχήμα 7.25: Μετάδοση ταλάντωσης σε όρθιο ανθρώπινο σώμα σε κατακόρυφη διέγερση από τα πόδια (κατά Diecmann). Ανάλογες διαπιστώσεις έγιναν και για καθήμενα ανθρώπινα σώματα, διεγειρόμενα μέσω της λεκάνης, όπως φαίνεται στο σχήμα Από τα διαγράμματα των σχημάτων 7.25 και 7.26 εύκολα προκύπτει, ότι περιοχές συχνοτήτων άνω των 40 Hz οδηγούν σε περιορισμένες καταπονήσεις των διαφόρων μελών του ανθρώπινου σώματος. Αξίζει να σημειωθεί, ότι και σε μεγαλύτερες συχνότητες διέγερσης, υπάρχει κίνδυνος συντονισμών, όπως στην περιοχή μεταξύ των 60 και 90 Hz, όπου συντονίζονται οι βολβοί των οφθαλμών. Τέτοιοι συντονισμοί είναι πολύ δύσκολο να διαπιστωθούν, αφού η καταγραφή τους είναι ανασφαλής, μια που σε υψηλές συχνότητες οι αποσβέσεις είναι εντονότερες και οι παρατηρήσεις δυσκολότερες. Γενικά για την μελέτη των δυναμικών καταπονήσεων του ανθρωπίνου σώματος είναι σημαντική όχι μόνο η στάση του, αλλά και η περιοχή στην οποία διεγείρεται. Έτσι π.χ. όπως φαίενται και το σχήμα 7.27, η μετάδοση ταλαντώσεων μέσα στο ανθρώπινο σώμα είναι πιο έντονη στην περίπτωση διέγερσης μέσω των χεριών, σε σύγκριση με την μετάδοση, όταν το σώμα διεγείρεται από τα πόδια. Παρά τις μεγάλες δυσκολίες που προκύπτουν κατά την αξιολόγηση των επιδράσεων των μηχανικών ταλαντώσεων επί του ανθρωπίνου σώματος, η ανάγκη ύ- παρξης οριακά επιτρεπόμενων τιμών καταπονήσεων, οδήγησε στην σύνταξη

29 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων 301 3,5 z 3,0 y x Κεφαλής / Ώμων 2,5 Λόγος επιταχύνσεων 2,0 1,5 Ώμοι / Τ. Δ. Τράπεζα διεγέρσεως (Τ. Δ.) 1,0 Κεφαλή / Τ. Δ. 0,5 0, Συχνότητα διέγερσης [Hz] Σχήμα 7.26: Μετάδοση ταλάντωσης σε καθήμενο ανθρώπινο σώμα από τη λεκάνη σε κατακόρυφη διέγερση (κατά Diecmann). Κεφαλή Κεφαλή A Διέγερση μέσω xεριών Μετάδοση ταλάντωσης db Δύναμη Β Διέγερση μέσω ποδιών Μετάδοση ταλάντωσης db Σχήμα 7.27: Μετάδοση ταλαντώσεων μέσα στο ανθρώπινο σώμα, σε συχνότητα διεγέρσεως 50 Hz, για διάφορες περιπτώσεις διέγερσης (κατά Bekesy).

30 302 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σχετικών κανονισμών. Η εκπόνηση των κανονισμών αυτών έγινε βάσει μετρήσεων σε ανθρώπους και είναι ενδεικτικοί, αφού συνδέονται και με υποκειμενικές παρατηρήσεις. Οι κανονισμοί αναφέρονται σε οριακά επιτρεπόμενες τιμές για να εκπληρώνονται τα παρακάτω κριτήρια: ç Καμιά επίδραση επί του ανθρωπίνου αισθήματος της άνεσης ç Καμία επίδραση επί της ανθρώπινης αποδοτικότητας ç Καμιά πρόκληση οποιασδήποτε βλάβης υγείας Ο κανονισμός ISO 2631 και ο VDI 2057 παρέχουν πληροφορίες, για μέγιστους χρόνους έκθεσης του ανθρώπινου σώματος σε ταλαντώσεις διαφορετικών χαρακτηριστικών (επιτάχυνση, συχνότητα), για να εκπληρώνονται τα παραπάνω κριτήρια. Οι χρόνοι αυτοί προσδιορίζονται από τα διαγράμματα του κανονισμού ISO 2631 (βλέπε σχήματα 7.28 και 7.29), για διάφορες περιπτώσεις κατευθύνσεων των διεγειρουσών επιταχύνσεων. Οι χρόνοι στα διαγράμματα των σχημάτων αυτών, αναφέρονται στην εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα». Για τον προσδιορισμό των αντιστοίχων χρόνων για 2 Δρώσα τιμή επιτάχυνσης a (m/s ) z ,5 10,0 8,0 6,3 5,0 4,0 3,15 2,5 2,0 1,6 1,25 1,0 0,8 0,63 0,5 0,4 0,315 0,25 0,20 0,16 0,125 0,10 10 db 1 g 1 min 16 min 25 min 1 h 2,5 h 4 h 8 h 16 h 24 h 0,4 0,63 1,0 1,6 2,5 4,0 6, ,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5, , Συχνότητα διέγερσης (Hz) Σχήμα 7.28: Διάρκεια έκθεσης του καθήμενου ανθρωπίνου σώματος σε μηχανικές ταλαντώσεις στην κατακόρυφη διεύθυνση, για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα» κατά ISO z y x

31 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Δρώσα τιμή επιτάχυνσης a x, a y (m/s ) ,5 10,0 8,0 6,3 5,0 4,0 3,15 2,5 2,0 1,6 1,25 1,0 0,8 0,63 0,5 0,4 0,315 0,25 0,20 0,16 0,125 0,10 10 db 1 min 16 min 25 min 1 h 2,5 h 4 h 8 h 16 h 24 h 0,4 0,63 1,0 1,6 2,5 4,0 6, ,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8, , Συχνότητα διέγερσης (Hz) Σχήμα 7.29: Διάρκεια έκθεσης του καθήμενου ανθρωπίνου σώματος σε μηχανικές ταλαντώσεις σε οριζόντιες διευθύνσεις, για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα» κατά ISO z y x την εκπλήρωση των υπολοίπων κριτηρίων, οι τιμές της δρώσας τιμής της επιτάχυνσης πολλαπλασιάζονται επί δύο (2), για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμιά πρόκληση βλάβης στην υγεία», δηλαδή οι τιμές είναι κατά 6 db υψηλότερες. Για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση επί του ανθρωπίνου αισθήματος της άνεσης», οι τιμές του άξονα της δρώσας τιμής της επιτάχυνσης πρέπει να διαιρεθούν με το 3,15 (δηλαδή είναι κατά 10 db χαμηλότερες). Στο Γερμανικό κανονισμό VDI 2057 ουσιαστικά περιλαμβάνονται οι ίδιες οριακά επιτρεπόμενες τιμές, για την εκπλήρωση των παραπάνω προαναφερθέντων τριών κριτηρίων. Διαφορετικός είναι μόνο ο τρόπος χρησιμοποίησης του κανονισμού. Συγκεκριμένα από το διάγραμμα του σχήματος 7.30, εκτιμώντας το συνολικό χρόνο έκθεσης των ανθρώπων σε δυναμικές καταπονήσεις, ανάλογα με το ποιο κριτήριο επιδιώκεται να εκπληρωθεί, προσδιορίζεται μια τιμή της σταθεράς της έντασης αντίληψης σε διάφορες κατευθύνσεις. Οι τιμές που περιλαμβάνονται στο διάγραμμα του σχήματος 7.30, έχουν καταχωρηθεί με βαθμίδες αξιολόγησης στον πίνακα 7.4.

32 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων Ελαστικά πέλματα έδρασης μηχανών Τα πέλματα για ελαστικές εδράσεις μηχανών μπορεί να αποτελούνται μόνο από ελατήρια, ή από αποσβεστήρες, ή από συνδυασμό μεταξύ ελατηρίων και αποσβεστήρων. Τα ελατήρια κατασκευάζονται κυρίως από χάλυβα ή ελαστικό ή με αεροσωλήνες. Παραμορφώνονται βασικά ελαστικά και η απόσβεση τους είναι μικρή. Στο σχήμα 8.10 παρίστανται μερικοί τύποι ελατηρίων από ελαστικό [GER 87]. α β Σχήμα 8.10: Πέλματα μηχανών εξ ελαστικού α) Κυκλικά πέλματα με μηχανισμό ρύθμισης της ελαστικότητας β) Ελατήρια εξ ελαστικού σε σφηνοειδή διάταξη. Οι αποσβεστήρες απορροφούν μηχανική ενέργεια από το μηχανικό συγκρότημα που ταλαντούται. Εν προκειμένω διακρίνονται αποσβεστήρες τριβής, βισκοαποσβεστήρες (αποσβεστήρες με πολύ παχύρρευστα υγρά) και υδραυλικοί (με λεπτόρρευστα έλαια). Ένα παράδειγμα υδραυλικού αποσβεστήρα αποτελεί ο τηλεσκοπικός αποσβεστήρας της ανάρτησης αυτοκινήτων (σχήμα 8.11).

33 328 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Σχήμα 8.11: Τηλεσκοπικός υδραυλικός αποσβεστήρας. Συχνά πέλματα μηχανών αποτελούν συνδυασμούς μεταξύ ελατηρίων και αποσβεστήρων. Το σχήμα 8.12 δείχνει τέτοιους συνδυασμούς. α β γ Αεροθάλαμος Μεμβράνη Υδραυλικό έλαιο Σχήμα 8.12: Μερικά παραδείγματα έδρασης μηχανών παρατίθενται στο σχήμα 8.13.

34 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 329 α β γ Σχήμα 8.13: Διατάξεις θεμελιώσεων μηχανών κοχλίες αναρτήσεως Η μηχανή κίνησης συνδέεται εντός του ιδίου πλαισίου με την μηχανή κατεργασίας. Το πλαίσιο αυτό εδράζεται μέσω ελαστικών συνδέσμων με τη θεμελίωση της μηχανής, που ως επί το πλείστον αποτελείται από σιδηροπαγές σκυρόδεμα. Η κατασκευή γ του σχήματος προσφέρει προστασία έναντι υγρασίας, στην περιοχή της θεμελίωσης, για τα ελαστικά στοιχεία της έδρασης. Εν προκειμένω τονίζεται ότι οι αποσβεστήρες είναι πολύ ευπαθείς έναντι υγρασίας και ανύψωσης της θερμοκρασίας. Οι διατάξεις β και γ επιτρέπουν την εκμετάλλευση του χώρου κάτω από το μηχανικό συγκρότημα για δίοδο αγωγών ηλεκτρικού, αποχέτευσης κ.α. 8.6 Παραδείγματα υπολογισμού εδράσεων μηχανικών συγκροτημάτων Στην παρούσα παράγραφο θα αναφερθούν δυο παραδείγματα διαμόρφωσης της έδρασης μηχανικών συγκροτημάτων, για την επίτευξη μικρών συντελεστών διαπερατότητας. Το πρώτο παράδειγμα αναφέρεται στην περίπτωση, που οι αναμενόμενες δυναμικές φορτίσεις, είναι μικρότερες από το βάρος της κατασκευής, ενώ το δεύτερο, πραγματεύεται κατάσταση, κατά την οποία οι δυνάμεις λειτουργίας μπορούν να είναι της ιδίας τάξης μεγέθους, ή και μεγαλύτερες, από τη φόρτιση του περιβάλλοντος χώρου, λόγω του ιδίου βάρους της μηχανικής διάταξης. Στην πρώτη περίπτωση, η δύναμη διέγερσης έχει σταθερή συχνότητα, που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο παράδειγμα στη συχνότητα εμπλοκής ενός ζεύγους οδοντώσεων κίνησης. Η συχνότητα αυτή, μέσω βέλτιστης σχεδίασης της έδρασης, πρέπει να απέχει σημαντικά από ιδιοσυχνότητες της (n>>1). Στο δεύτερο παράδειγμα, η εξεταζόμενη πρέσα απότμησης μπορεί να διεγείρεται,

35 330 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών λόγω των δεδομένων της κατεργασίας, μέσω δυνάμεων, διαφορετικών συχνοτήτων. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του συντελεστή διαπερατότητας, συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης. Με βάση του υπολογισμούς αυτούς, είναι δυνατή η βελτιστοποίηση της έδρασης Παράδειγμα υπολογισμού στιβαρής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Στο σχήμα 8.14 παρουσιάζεται η βασική γεωμετρία έδρασης δύο βιομηχανικών φυσητήρων, που εδράζονται επί μεταλλικής εξέδρας. Τα ίδια βάρη των μηχανικών αυτών συγκροτημάτων, λόγω των μεγάλων διαστάσεων, είναι σημαντικά Σχήμα 8.14: Πλάγια όψη της διάταξης των ανεμιστήρων, των κινητήρων και της έδρασης, καθώς και κάτοψη της μεταλλικής εξέδρας.

36 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 331 μεγαλύτερα, από τις αναμενόμενες κατά τη λειτουργία δυναμικές φορτίσεις, που προέρχονται κυρίως, από τις αζυγοσταθμίες των πτερωτών των φυσητήρων. Στην προκειμένη περίπτωση, επιδιώκεται στιβαρή διαμόρφωση της έδρασης του μηχανικού συγκροτήματος, όπως περιγράφθηκε σε προηγούμενες παραγράφους του παρόντος κεφαλαίου. Η αρχική σχεδίαση της έδρασης του μηχανικού συγκροτήματος επί στιβαρής μεταλλικής εξέδρας, που εκτίθεται στο σχήμα 8.15, δεν οδήγησε σε ικανοποιητική πάκτωση της μεταλλικής εξέδρας. Η προσομοίωση της ταλαντωτικής συμπεριφοράς του μηχανικού συγκροτήματος με τη θεμελίωσή του, με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM), κατέστησε εμφανές, ότι η συχνότητα λειτουργίας της κατασκευής, ήταν πλησίον της 5 ης και 6 ης ιδιοσυχνότητας του συστήματος μηχανές με θεμελίωση (βλέπε σχήμα). Ως αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού, η διάταξη εκτελούσε ταλαντώσεις κατά την λειτουργία της, σημαντικού εύρους, που προκαλούσαν έντονες φθορές σε Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 1,2 4,0 8,5 11,1 14,4 16,1 Ιδιομορφή α/α 7 22,9 8 23,3 9 23, ,0 16,5 n5 0,87 n6 0,98 Συχνότητα λειτουργίας Ιδιοσυχνότητα [Hz] Σχήμα 8.15: Αρχική σχεδίαση της μεταλλικής εξέδρας, για την έδραση του μηχανικού συγκροτήματος των φυσητήρων του σχήματος 8.14.

37 332 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών διάφορα μηχανικά στοιχεία της (άξονες, έδρανα κλπ.). Στο σχήμα 8.16, φαίνονται η 5 η και η 6 η ταλαντωτική ιδιομορφή της μεταλλικής εξέδρας, των οποίων οι συχνότητες (ιδιοσυχνότητες), είναι πολύ κοντά στη συχνότητα λειτουργίας της διάταξης. Κατά τη λειτουργία της διάταξης, η επαλληλία των προηγουμένων ιδιομορφών, είχε επιβεβαιωθεί και μέσω μετρήσεων. Z Άξονας περιστροφής Z Z Y X 5η ιδιομορφή Άξονας περιστροφής Χ Χ Z Y X 6η ιδιομορφή Σχήμα 8.16: Ιδιομορφές της 5 ης και 6 ης ιδιοσυχνότητας της μεταλλικής εξέδρας, που είναι πλησίον της συχνότητας λειτουργίας του μηχανικού συγκροτήματος του σχήματος Για την αποφυγή των ταλαντώσεων αυτών, η μεταλλική εξέδρα πακτώθηκε ικανοποιητικά μέσω των στοιχείων, που εμφανίζονται στο σχήμα Πρόκειται για μεταλλικά πλαίσια (κυτία), που υποστηρίζουν σωλήνα, μέσω του οποίου δι-

38 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 333 κυτίο υποδοχής κοχλία αγκύρωσης Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 1 40,9 2 47,9 3 48,6 Συχνότητα λειτουργίας Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 4 78,4 5 79,0 6 81,7 16,5 n1 2,5 Σχήμα 8.17: Αύξηση της στιβαρότητας της θεμελίωσης, μέσω στιβαρών κυτίων υποδοχής κοχλιών αγκύρωσης και προκύπτουσες ιδιοσυχνότητες της θεμελίωσης. έρχεται κοχλίας αγκύρωσης μεγάλου μήκους. Με χρησιμοποίηση των κυτίων αυτών, οι κοχλίες αγκύρωσης πακτώνουν ικανοποιητικά την κατασκευή και μετατοπίζουν δραστικά τις ιδιοσυχνότητες της έδρασης. Όπως φαίνεται στο σχετικό πίνακα του σχήματος, η πρώτη ιδιοσυχνότητα του συγκροτήματος είναι σημαντικά μεγαλύτερη από τη συχνότητα λειτουργίας της διάταξης. Η θεμελίωση, προσεγγίζει την περίπτωση α του σχήματος 8.4, με λόγο συχνοτήτων n, σε σχέση με την πρώτη ιδιοσυχνότητα, ίσο περίπου με 2,5 αρκετά μεγαλύτερο του 1. Ό- πως προκύπτει από το σχήμα 8.3, ο συντελεστής διαπερατότητας, για μέτρο α- πόσβεσης D, μικρότερο από 0,1 (βλέπε πίνακα 2.1), μειώνεται σημαντικά. Έτσι, οι ταλαντωτικές κινήσεις του εξεταζομένου μηχανικού συγκροτήματος στα πλαίσια του παρόντος παραδείγματος, περιορίζονται δραστικά, γεγονός που επιβεβαιώθηκε μέσω μετρήσεων.

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς.

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς. ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας οδοντωτός τροχός με ευθείς οδόντες, z = 80 και m = 4 mm πρόκειται να κατασκευασθεί με συντελεστή μετατόπισης x = + 0,5. Να προσδιοριστούν με ακρίβεια 0,01 mm: Τα μεγέθη της οδόντωσης h α,

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ TREYLOR ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ 500Kp ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση. Ένας ακίνητος τρoχός δέχεται σταθερή συνιστάμενη ροπή ως προς άξονα διερχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό. ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Α) γ Α) β Α)γ Α4) γ Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β n a n ( ύ) a n (), ( ύ ) n

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ 1 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΟΥ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΣΤΙΓΜΙΑΙΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΕΜΒΟΛΟΦΟΡΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ Aπό τo βιβλίο Heinz Grohe: Otto und Dieselmotoren. 9 Auflage, Vogel Buchverlag 1990. Kεφάλαιο 2: Mechanische Grundlagen Επιμέλεια μετάφρασης:

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Τοαπλόεκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Επαναληπτικό διαγώνισµα Φυσικής Κατεύθυνσης Γ λυκείου 009 ΘΕΜΑ 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -5 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Σώµα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:...

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 010-011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 011 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... Ημερομηνία: 7/05/011 Διάρκεια: ώρες Ονοματεπώνυμο:... Τμήμα:...

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ

Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Θ έ μ α τ α γ ι α Ε π α ν ά λ η ψ η Φ υ σ ι κ ή Κ α τ ε ύ θ υ ν σ η ς Γ Λ υ κ ε ί ο υ Αφού επαναληφθεί το τυπολόγιο, να γίνει επανάληψη στα εξής: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ερωτήσεις: (Από σελ. 7 και μετά)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1: ΑΓ.ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ 11 -- ΠΕΙΡΑΙΑΣ -- 18532 -- ΤΗΛ. 210-4224752, 4223687 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Α. Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 53 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Φιλολάου & Εκφαντίδου 26 : Τηλ.: 2107601470 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Στις παρακάτω προτάσεις Α1-Α4 να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5

Μονάδες 5 1.3 β. Μονάδες 5 1.4 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 1 ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 29 ΜΑΪΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΠΤΑ (7) Για τις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείµενο εξέτασης: Όλη η διδακτέα ύλη Χρόνος εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθµό

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 3o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τα δύο

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΗΣ ΘΕΤΙΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ Θέμα ο. ύλινδρος περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο συγκεκριμένος κύλινδρος περιστρεφόταν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΓΝΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 1. Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Αν.Καθηγητής Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Διευθυντής Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 7&8: ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 2ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Α Οµάδα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 2/2/200 Διάρκεια 90 min Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5. Α2. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Μονάδες 5. Α2. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 26 ΜΑÏΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5. Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ου ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 200 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ () Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις)

2 ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στο 1 ο κεφάλαιο Φυσικής Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης (Μηχανικές και Ηλεκτρικές ταλαντώσεις) ΘΕΜΑ 1 ο Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 4 επιλέξτε τη σωστή πρόταση 1. Ένα σώμα μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της μεταφορικής του κίνησης δίνεται από την σχέση: Κ μετ = 1 m u 2 cm

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω της μεταφορικής του κίνησης δίνεται από την σχέση: Κ μετ = 1 m u 2 cm ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΟΥ ΛΥΕΙΟΥ Μ.ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΗ ΘΕΤΙΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΗΣ ΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα 1 ο 1. γ. γ 3. α 4. δ 5. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑÏΟΥ 011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Φρεζάρισμα. Με το φρεζάρισμα μπορούμε να κατεργαστούμε επίπεδες ή καμπύλες επιφάνειες, εσοχές, αυλάκια ακόμα και οδοντωτούς τροχούς.

Φρεζάρισμα. Με το φρεζάρισμα μπορούμε να κατεργαστούμε επίπεδες ή καμπύλες επιφάνειες, εσοχές, αυλάκια ακόμα και οδοντωτούς τροχούς. ΦΡΕΖΕΣ ΦΡΕΖΕΣ Είναι εργαλειομηχανές αφαίρεσης υλικού από διάφορες εργασίες με μηχανική κοπή. Η κατεργασία διαμόρφωσης των μεταλλικών υλικών στη φρέζα, ονομάζεται φρεζάρισμα. Φρεζάρισμα Με το φρεζάρισμα

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα

Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης. Προτεινόμενα Θέματα Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Προτεινόμενα Θέματα Θέμα ο Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η φάση της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα : φ(rad) 2π π 6

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΔΡ. ΜΗΧ. ΜΑΛΙΑΡΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1. Θέµα 1 ο ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ Επαναληπτικό στη Φυσική 1 Θέµα 1 ο 1. Το διάγραµµα του διπλανού σχήµατος παριστάνει τη χρονική µεταβολή της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2008 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑÏΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 10 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: α. F 1 β. F 2 γ. F 3 δ. F 4 3. 2 Ένα σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Τότε: α. οι ροπές

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες:

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες: Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Μεταλλικές Κωδικός CE07_S04 μαθήματος: Κατασκευές ΙI μαθήματος: Πιστωτικές Φόρτος εργασίας μονάδες: 5 150 (ώρες): Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ελάττωση του πλάτους (απόσβεση)

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 010 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα: Βασικά Στοιχεία Εφαρμοσμένης Μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ι 155 7.6 ΦΡΕΖΕΣ Η φρέζα όπως και ο τόρνος αποτελεί μία από τις βασικότερες εργαλειομηχανές ενός μηχανουργείου. Κατά την κοπή στην φρέζα, το κοπτικό εργαλείο αποκόπτει από το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 http://www.sofistik.gr/ Μεταλλικές και Σύμμικτες Κατασκευές Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 Aξιότιμοι συνάδελφοι, Κυκλοφόρησε η νέα έκδοση του προγράμματος διαστασιολόγησης κόμβων μεταλλικών

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 9 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία και ώρα εξέτασης: Τρίτη Ιουνίου 9 11. 14. ΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ. B κύματος. Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το x x σημείο Β. Συνεπώς το σημείο Γ του

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ. B κύματος. Γνωρίζουμε ότι το σημείο Α έχει μικρότερη φάση από το x x σημείο Β. Συνεπώς το σημείο Γ του ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ Προτεινόμενο Τελικό Διαγώνισμα Στη Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυσης Γ Λυκείου Διάρκεια: 3ώρες ΘΕΜΑ A Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι

ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Θέμα 1 ο ιαγώνισμα στη Φυσική Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Επαναληπτικό Ι Στα ερωτήματα 1 5 του πρώτου θέματος, να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα της απάντησης που θεωρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m

ΘΕΜΑ Α : α. 3000 V/m β. 1500 V/m γ. 2000 V/m δ. 1000 V/m ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α : Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής αρκεί να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟΥ ΔΟΚΙΜΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (ΙΙ) ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα: Τεχνολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003

EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1 EΡΓΑΣΙΑ 5 η Καταληκτική ηµεροµηνία παράδοσης: 20 Ιουλίου 2003 1. Από την ίδια γραµµή αφετηρίας(από το ίδιο ύψος) ενός κεκλιµένου επιπέδου αφήστε να κυλήσουν, ταυτόχρονα προς τα κάτω, δύο κυλίνδροι της

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑΤΑ

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ 2005 ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2.

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ. Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΕΛΑΤΗΡΙΟ-ΚΡΟΥΣΗ Σε όσες ασκήσεις απαιτείται δίνεται επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s 2. ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί απλή αρμονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 11 ΙΟΥΛΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ): ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Διάταξη ΥΣ. Σχηματική διάκριση τμημάτων ΥΣ.

Διάταξη ΥΣ. Σχηματική διάκριση τμημάτων ΥΣ. H μελέτη ενός ΥΣ είναι ένα πολύπλοκο πρόβλημα. Έχει να κάνει με την αντιμετώπιση διαφορετικών θεμάτων (ηλεκτρολογικών, κτιριακών, ασφάλειας). Γενικά ένας υποσταθμός αποτελείται από τα παρακάτω τέσσερα

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Θέμα 1 Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Θέμα 1 Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1. Αν σε ένα ελεύθερο σώμα που είναι αρχικά ακίνητο ασκηθεί δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 03-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 0/0/03 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα