ISBN

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ISBN 978-960-456-242-8"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN Copyright, 2010, Eκδόσεις ZHTH, K.-Δ. Ε. Μπουζάκης Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του ελληνικού νόμου (N.2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: , Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Οι ταλαντωτικές κινήσεις μηχανικών διατάξεων δεν μεταβάλλονται γραμμικά με την συχνότητα, ή την ένταση των διεγέρσεών τους. Αυτό δυσχεραίνει την ανίχνευση των αιτιών που τις προκαλούν, καθώς και τις πιθανές βελτιωτικές επεμβάσεις. Για να επιλυθούν σχετικά προβλήματα, είναι απαραίτητο να προσεγγισθεί αναλυτικά η δυναμική ταλαντωτική συμπεριφορά των μηχανικών διατάξεων. Την αποστολή αυτή αναλαμβάνει ο μηχανολόγος μηχανικός, ο οποίος είναι υπεύθυνος για τη σχεδιομελέτη των κατασκευών, καθώς και για την τροποποίηση υφισταμένων, προς αποφυγή δυναμικών φαινομένων, όπως οι ταλαντώσεις. Οι ταλαντώσεις περιορίζουν την ασφάλεια των κατασκευών, οδηγούν σε φθορές και σε χειροτέρευση της οικονομικής εκμετάλλευσής τους. Εν προκειμένω, τα σύγχρονα υπολογιστικά συστήματα επιτρέπουν την ευχερή αναλυτική προσομοίωση της δομής μιάς κατασκευής, με τη βοήθεια μεθοδολογιών πεπερασμένων στοιχείων (FEM) και τη γρήγορη επίλυση δυσεπιλύτων μαθηματικών σχέσεων. Επίσης, η εξέλιξη μετροτεχνικών διατάξεων καθιστά εφικτή την πειραματικοαναλυτική περιγραφή της δυναμικής συμπεριφοράς των κατασκευών, καθώς και την αξιολόγησή της με βάση διεθνείς κανονισμούς. Στο παρόν σύγγραμμα δίδεται έμφαση στα προηγούμενα αντικείμενα, με παράθεση παραδειγμάτων εκπαιδευτικού χαρακτήρα, αλλά και συνθέτων, προερχομένων από συνεργασίες του Εργαστηρίου Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας (ΕΕΔΜ) του Α.Π.Θ. με τη βιομηχανία. Το σύγγραμμα αποσκοπεί στο να εισαχθεί ο φοιτητής μηχανολόγος μηχανικός στην περιοχή των προσομοιώσεων, των υπολογισμών, των μετρήσεων και της αξιολόγησης των ταλαντώσεων, καθώς και σε χαρακτηριστικά γνωστικά αντικείμενα της δυναμικής μηχανών. Επίσης, το σύγγραμμα στοχεύει στο να βοηθήσει τον επαγγελματία μηχανολόγο μηχανικό κατά το στάδιο της σχεδιομελέτης και κατά τη λειτουργία μιάς κατασκευής, να αποφεύγει ταλαντωτικά δυναμικά προβλήματα.

4 vi Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους διατελέσαντες και τους νυν συνεργάτες του ΕΕΔΜ, για την συμπαράστασή τους στην αύξηση της επιστημονικής γνώσης στην περιοχή αυτή. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συνεργάτες μου, τον αναπληρωτή καθηγητή Ι. Τσιάφη του Τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών του Α.Π.Θ., τον Δρ. Μηχ. Μηχ. Ι. Μυρισίδη, όπως και τον φοιτητή Μηχ. Μηχ. του Α.Π.Θ. Χ. Τσιάφη για την επιμέλεια της παρούσας έκδοσης του συγγράμματος, καθώς και τον Εκδοτικό Οίκο Ζήτη. Καθηγητής Κ.-Δ. Μπουζάκης Διευθυντής του ΕΕΔΜ Τακτικό μέλος της Διεθνούς Ακαδημίας Τεχνικών Παραγωγής (CIRP) Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2010

5 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 1 Εισαγωγή 1.1 Μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς Στιβαρότητα υλικών και κατασκευών Απόσβεση υλικών κατασκευών... 6 Κεφάλαιο 2 9 Ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 2.1 Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας γραμμικών μοντέλων χωρίς απόσβεση Ελεύθερες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερία γραμμικών μοντέλων με απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με ασθενή απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με μέτρο απόσβεσης ίσο με τη μονάδα Ελεύθερη ταλάντωση με ισχυρή απόσβεση Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ενός βαθμού ελευθερίας Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με αρμονική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Αρμονικές διεγέρσεις με σταθερό εύρος Μόνιμη κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση Μεταβατική κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης με απόσβεση... 31

6 viii Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Μεταβατική και μόνιμη κατάσταση εξαναγκασμένης ταλάντωσης χωρίς απόσβεση Αρμονικές διεγέρσεις με εύρος εξαρτώμενο από τη συχνότητα διέγερσης Αρμονικές διεγέρσεις μετατόπισης Διεγέρσεις μορφής αθροίσματος αρμονικών όρων Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με περιοδική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Ανάλυση περιοδικής συνάρτησης κατά Fourier Προσδιορισμός γενικής λύσης της μετατόπισης Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις με απεριοδική διέγερση γραμμικών μοντέλων ενός βαθμού ελευθερίας Προσδιορισμός της συνάρτησης βάρους Υπολογισμός μερικής λύσης με τη βοήθεια του ολοκληρώματος α- ναδίπλωσης (Ολοκλήρωμα Duhamel) Υπολογισμός μερικής λύσης με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier σε συνδυασμό με το θεώρημα αναδίπλωσης Μετασχηματισμός Fourier απεριοδικής συνάρτησης Προσδιορισμός της μερικής λύσης-θεώρημα αναδίπλωσης Κεφάλαιο 3 69 Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 3.1 Μεθοδολογίες κατά την προσεγγιστική μελέτη των ταλαντώσεων κατασκευών Μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς μηχανικών διατάξεων, με τη βοήθεια διακριτών μοντέλων Παραδείγματα δημιουργίας διακριτών μοντέλων Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας των στοιχείων, ενός διακριτού μοντέλου Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας του μονοδιάστατου εφελκυστικού - θλιπτικού στοιχείου σχάρας, με ασυνεχώς κατανεμημένη μάζα Ακριβής επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας του εφελκυστικού θλιπτικού στοιχείου, ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς... 82

7 Περιεχόμενα ix Προσεγγιστική επίλυση των διαφορικών εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας του εφελκυστικού θλιπτικού στοιχείου, ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας του καμπτικού στοιχείου ασυνεχώς κατανεμημένης μάζας, με δύο βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο και προσδιορισμός του μητρώου του μεταφοράς Προσδιορισμός των μητρώων στιβαρότητας στοιχείων, από τα μητρώα τους μεταφοράς Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας ενός διακριτού μοντέλου Κατάστρωση των ολικών μητρώων στιβαρότητας και απόσβεσης, βάσει των αντίστοιχων μητρώων των επί μέρους στοιχείων (Direct - Stiffness - Method), σε μοντέλο με ένα βαθμό ελευθερίας ανά κόμβο Κατάστρωση των ολικών μητρώων αδρανείας, στιβαρότητας και απόσβεσης, βάσει των αντιστοίχων μητρώων των επί μέρους στοιχείων (Direct-Stiffness-Method), σε μοντέλα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας ανά κόμβο Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων, των μητρώων στιβαρότητας των στοιχείων ενός διακριτού μοντέλου Προσδιορισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας του μοντέλου μιας κατασκευής Προσδιορισμός των φορτίσεων των κόμβων ενός μοντέλου μιας κατασκευής, βάσει των εξωτερικών φορτίσεων και του ιδίου βάρους των στοιχείων Προσδιορισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας των κόμβων του μοντέλου μιας κατασκευής Κατάστρωση εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας με τη βοήθεια των συντελεστών επιρροής Περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς κατασκευών μέσω του προσδιορισμού συναρτήσεων μεγεθύνσεώς τους Παράδειγμα κατάστρωσης του μητρώου στιβαρότητας και αδρανείας του διακριτού μοντέλου μιας κατασκευής και υπολογισμοί της θέσης της στατικής ισορροπίας της Κατάστρωση των μητρώων αδρανείας και στιβαρότητας Υπολογισμός της θέσης της στατικής ισορροπίας Παράδειγμα υπολογισμού της στατικής παραμόρφωσης, κατασκευής σύνθετης γεωμετρίας

8 x Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 3.13 Περιορισμός διαστάσεων μητρώων Περιορισμός διαστάσεων μητρώων βάσει γνωστών κινηματικών συνθηκών Περιορισμός διαστάσεων μητρώων βάσει γνωστών δυναμικών συνθηκών (συμπύκνωση μητρώου) Κεφάλαιο Μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων δυναμικής ισορροπίας 4.1 Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση Ελεύθερη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας, με μητρώο απόσβεσης, γραμμικό συνδυασμό, του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Ελεύθερη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας με γενικό μητρώο απόσβεσης Επίλυση της δευτεροβαθμίου μητρωϊκής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας, μέσω αναγωγής της σε πρωτοβάθμια Επίλυση της δευτεροβαθμίου μητρωϊκής εξίσωσης δυναμικής ισορροπίας μέσω αναγωγής της σε πρωτοβάθμιο κατά Duncan Εξαναγκασμένη ταλάντωση με περιοδική διέγερση. Γενικός τρόπος προσδιορισμού μιας μερικής λύσης Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και μητρώο απόσβεσης γραμμικό συνδυασμό του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και γενικό μητρώο απόσβεσης Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απεριοδική διέγερση Εξαναγκασμένη ταλάντωση με μητρώο απόσβεσης γραμμικό συνδυασμό του μητρώου μάζας και του μητρώου στιβαρότητας Εξαναγκασμένη ταλάντωση πολλών βαθμών ελευθερίας με γενικό μητρώο απόσβεσης Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου επίλυσης εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας, μέσω της ανάλυσης των ιδιόμορφων Ελεύθερη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση γραμμικού μοντέλου Εξαναγκασμένη ταλάντωση, χωρίς απόσβεση, γραμμικού μοντέλου Ελεύθερη ταλάντωση με γενικό μητρώο απόσβεσης

9 Περιεχόμενα xi Εφαρμογή της διαδικασίας που περιγράφεται στην παράγραφο Εφαρμογή της μεθόδου κατά Duncan της παραγράφου Εξαναγκασμένη ταλάντωση με αρμονική διέγερση και γενικό μητρώο απόσβεσης Παράδειγμα υπολογισμού ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών, σύνθετης μηχανολογικής διάταξης Κεφάλαιο Στρεπτικές ταλαντώσεις 5.1 Εύρεση Ισοδυνάμων συστημάτων για πραγματικούς στρεπτικούς ταλαντωτές Αναγωγή σε κοινή διάμετρο Αναγωγή σε ένα άξονα Αναγωγή διατομών στροφάλων σ ένα άξονα Προσδιορισμός ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών στρεπτικών ταλαντωτών με ασυνεχή κατανομή περιστρεφόμενων μαζών Στρεπτικό σύστημα με ένα βαθμό ελευθερίας Στρεπτικό σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας Προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών Μέθοδος Holzer Μέθοδος Gümbel (-Holzer-Tolle) Προσδιορισμός ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών στρεπτικών ταλαντωτικών συστημάτων με συνεχή κατανομή περιστρεφομένων μαζών Παράδειγμα κατάστρωσης ισοδυνάμου συστήματος και υπολογισμού στρεπτικών ιδιοσυχνοτήτων με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) Στρεπτικές ταλαντώσεις μειωτήρα με διάταξη ισοκατανομής ισχύος από πινιόν προς τρείς άξονες Περιγραφή της ταλαντωτικής στρεπτικής συμπεριφοράς πολυβάθμιων μειωτήρων με διαιρέσεις ισχύος σε βαθμίδες τους με τη βοήθεια ισοδυνάμων συστημάτων FEM προσομοίωση της στρεπτικής συμπεριφοράς του μειωτήρα Ταλαντωτική συμπεριφορά σε στρέψη μειωτήρα με ελαστικό στρεπτικά άξονα πινιόν 2ης βαθμίδας

10 xii Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Μέτρα για τη βελτίωση της στρεπτικής ταλαντωτικής συμπεριφοράς του μειωτήρα για την αποφόρτιση των οδοντωτών τροχών της 3ης βαθμίδας Κεφάλαιο Ζυγοστάθμιση 6.1 Γενικά Ορισμός του μεγέθους της αζυγοσταθμίας Παραστάσεις της κατάστασης αζυγοσταθμίας ενός περιστρεφόμενου σώματος Περιγραφή της αζυγοσταθμίας μέσω σταυρού αζυγοσταθμιών Περιγραφή της αζυγοσταθμίας μέσω της ολικής αζυγοσταθμίας και της ροπής αζυγοσταθμίας Χαρακτηριστικές περιπτώσεις αζυγοσταθμίας Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες σε απολύτως στιβαρά σώματα Ταλαντώσεις δημιουργούμενες από αζυγοσταθμίες σε ελαστικά σώματα Είδη ζυγοστάθμισης Στατική ζυγοστάθμιση Δυναμική ζυγοστάθμιση Ζυγοστάθμιση συντονισμού Υποκρίσιμη ζυγοστάθμιση Υπερκρίσιμη ζυγοστάθμιση Μέθοδοι ζυγοστάθμισης Ζυγοστάθμιση με τη βοήθεια ειδικών μηχανών Ζυγοστάθμιση υπό συνθήκες λειτουργίας Γραφική αναλυτική μέθοδος υπολογισμού Αναλυτική μέθοδος υπολογισμού Κριτική επισκόπηση των μεθόδων της υπό συνθήκες λειτουργίας ζυγοστάθμισης. Παρουσίαση μιας απλής διαδικασίας, απαιτητικής όμως σε υπό συνθήκες λειτουργίας ζυγοστάθμισης χρόνο διεξαγωγής Ανοχές ζυγοστάθμισης

11 Περιεχόμενα xiii Κεφάλαιο Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μέτρησης 7.1 Είδη μετρήσεων μιας μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου μετατόπισης μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου ταχύτητας μηχανικής ταλάντωσης Διάταξη μέτρησης της απολύτου επιτάχυνσης μηχανικής ταλάντωσης Ανίχνευση συχνοτήτων διέγερσης μέσω της μέτρησης της απολύτου ταχύτητας Ορισμός της δρώσης τιμής veff της απολύτου ταχύτητας Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων μέτρησης της απολύτου ταχύτητας Ορισμός της έντασης ταλάντωσης και επιτρεπόμενες τιμές της, για διάφορες ομάδες μηχανών κατά τον κανονισμό VDI Επιτρεπόμενες τιμές καταπονήσεων του ανθρώπινου σώματος κατά ISO 2631 και VDI Έλεγχος αντοχής κεφαλής ανάρτησης ταξιδιωτικής άμαξας ρωμαϊκής εποχής και μελέτη των συνθηκών άνεσης των επιβατών Κεφάλαιο Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων. Δυναμικός υπολογισμός εδράσεων μηχανικών συστημάτων 8.1 Υπολογισμός του συντελεστού διαπερατότητας Σχεδίαση θεμελίωσης μιας μηχανής για ενεργητική αποφυγή μετάδοσης ταλάντωσης Σχεδίαση θεμελίωσης όταν το εύρος της δύναμης διέγερσης δεν ε- ξαρτάται από τη συχνότητα Σχεδίαση θεμελίωσης όταν το εύρος της δυνάμεως διέγερσης εξαρτάται από τη συχνότητα Σχεδίαση θεμελίωσης μιας μηχανής για παθητική αποφυγή μετάδοσης ταλάντωσης Θεμελίωση μηχανών με πολλούς βαθμούς ελευθερίας Ελαστικά πέλματα έδρασης μηχανών

12 xiv Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 8.6 Παραδείγματα υπολογισμού εδράσεων μηχανικών συγκροτημάτων Παράδειγμα υπολογισμού στιβαρής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Παράδειγμα υπολογισμού ελαστικής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Κεφάλαιο Αποφυγή δημιουργίας ταλαντώσεων μέσω προσθήκης μάζας καθησύχασης 9.1 Σύνδεση μάζας καθησύχασης μόνο με ελατήριο Σύνδεση μάζας καθησύχασης με ελατήριο και αποσβεστήρα Σύνδεση μάζας καθησύχασης μόνο με αποσβεστήρα Πρακτικές εφαρμογές αποφυγής δημιουργίας ταλάντωσης μέσω προσθήκης μάζας καθησύχασης Κεφάλαιο Προσδιορισμός κινηματικών μεγεθών, αδρανειακών δυνάμεων και ροπών 10.1 Περιγραφή της κινηματικής δομής μηχανικών διατάξεων και μέθοδοι υπολογισμού κινηματικών μεγεθών Αριθμητικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Υπολογισμός γωνιών περιστροφής μελών, ή αντίστοιχα μετατοπίσεων ολισθαινόντων μελών Υπολογισμός ταχυτήτων και επιταχύνσεων μελών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων μηχανικής διάταξης Παράδειγμα αριθμητικού υπολογισμού κινηματικών μεγεθών Αναλυτικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών Υπολογισμός μετατοπίσεων και περιστροφών των μελών Υπολογισμός κινηματικών μεγεθών τυχόντων σημείων Προσδιορισμός αδρανειακών δυνάμεων και ροπών Αναλυτικός προσδιορισμός δυνάμεων και ροπών μέσω επίλυσης του συστήματος εξισώσεων περιγραφής της δυναμικής ισορροπίας των επί μέρους μελών μηχανικής διάταξης

13 Περιεχόμενα xv Προσδιορισμός των δυνάμεων επί των αρθρώσεων και της ροπής επί του κινητηρίου μέλους Υπολογισμός των καταπονήσεων του πλαισίου μηχανικής διάταξης Κεφάλαιο Εξισορρόπηση μαζών 11.1 Εξισορρόπηση μαζών μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης (αντίβαρα) Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) των αδρανειακών δυνάμεων μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) των αδρανειακών ροπών μέσω προσθήκης μαζών αντιστάθμισης Εξουδετέρωση των αδρανειακών δυνάμεων μέσω εξισορροπητικών μηχανισμών Εξουδετέρωση (ή περιορισμός) αδρανειακών καταπονήσεων μέσω καταλλήλου κατασκευαστικής διαμόρφωσης ή συγχρόνως και άλλων μεθοδολογιών Κατασκευαστικές διαμορφώσεις πολυκυλίνδρων κινητήρων και συμπιεστών Προσδιορισμός των αδρανειακών δυνάμεων πολυκυλίνδρων μηχανικών διατάξεων Κινητήρες με κυλίνδρους διατεταγμένους σε σειρά Κινητήρες με V - διάταξη κυλίνδρων Κινητήρας με εναλλάξ συμμετρικά διατεταγμένους κυλίνδρους Προσδιορισμός των αδρανειακών ροπών πολυκυλίνδρων μηχανικών διατάξεων Δικύλινδρος τετράχρονος κινητήρας σειράς Δικύλινδρος δίχρονος κινητήρας σειράς Δικύλινδρος τετράχρονος κινητήρας, με εναλλάξ συμμετρικά διατεταγμένους κυλίνδρους Τρικύλινδρος εμβολοφόρος κινητήρας σειράς Εξουδετέρωση των αδρανειακών δυνάμεων και ροπών σε πολυκύλινδρους κινητήρες

14 xvi Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Κεφάλαιο Σταθεροποίηση ροής ισχύος 12.1 Υπολογισμός της χρονικής μεταβολής των κινηματικών μεγεθών σημείων των μελών μηχανικής διάταξης, ως συναρτήσεις των κινηματικών μεγεθών του μέλους αναγωγής Κατάστρωση εξίσωσης κίνησης του μέλους αναγωγής (Εξίσωση κίνησης στιβαρής μηχανής) Υπολογισμός μεγεθών υπεισερχομένων στην εξίσωση κίνησης στιβαρής μηχανής Υπολογισμός της ολικής κινηματικής ενέργειας των μελών μηχανικής διάταξης. Ορισμός της ολικής ανηγμένης στο μέλος αναγωγής, μαζικής ροπής αδρανείας Υπολογισμός της ολικής δυναμικής ενέργειας των μελών μηχανικής διάταξης Υπολογισμός της ανηγμένης ροπής στρέψης Διατυπώσεις της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής, βάσει των ορισθέντων στις προηγούμενες παραγράφους μεγεθών Επίλυση της εξίσωσης της στιβαρής μηχανής για τον προσδιορισμό της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής Προσδιορισμός της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής, με τη βοήθεια του έργου των εξωτερικά εφαρμοζομένων δυνάμεων Προσδιορισμός της χρονικής μεταβολής της περιστροφής του μέλους αναγωγής, με επίλυση της διαφορικής μορφής της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής Υπολογισμός Βαθμού ανομοιομορφίας Υπολογισμός του βαθμού ανομοιομορφίας σε μηχανικές διατάξεις χωρίς εξωτερικά φορτία Υπολογισμός του βαθμού ανομοιομορφίας όταν το έργο των εξωτερικά εφαρμοζομένων δυνάμεων είναι σημαντικά μικρότερο της κινηματικής ενέργειας του μέλους αναγωγής και οι διακυμάνσεις της ανηγμένης μαζικής ροπής αδρανείας μικρές Υπολογισμός σφονδύλων Παράδειγμα επίλυσης της εξίσωσης κίνησης της στιβαρής μηχανής για τον προσδιορισμό σφονδύλων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

15 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Κατά τη μελέτη της δυναμικής συμπεριφοράς μηχανών και μηχανικών διατάξεων διακρίνονται γενικά δύο είδη. Αυτές που υπό συνθήκες λειτουργίας διατηρούν τη γεωμετρική τους μορφή, την περιγραφομένη στα κατακευαστικά σχέδια, καθώς και μηχανές και μηχανικές διατάξεις, που υπό συνθήκες λειτουργίας παραμορφώνονται. Ως παραμόρφωση δεν εννοείται η αλλαγή της γεωμετρίας λόγω εξάσκησης μη χρονικά μεταβαλλομένων φορτίων, η οποία μπορεί να υπολογιστεί με εφαρμογή μεθόδων της στατικής. Ως αλλαγή της γεωμετρίας εννοείται η προκαλούμενη από χρονικά μεταβαλλόμενα φορτία, ή λόγω κινήσεων μιάς κατασκευής κατά την επάνοδό της στη θέση της στατικής ισορροπίας, μετά από εκτροπή της από αυτή [HAR 52, HUB 57, JOR 52, OEH 52, MAR 79]. Τόσο οι στατικές όσο και οι δυναμικές παραμορφώσεις δημιουργούνται λόγω της πεπερασμένης στιβαρότητας των κατασκευών. Ειδικά σε μηχανολογικές κατασκευές, η επιδίωξη της μείωσης του βάρους τους με σκοπό κυρίως την μείωση του κόστους, οδηγεί σε περιορισμένες στιβαρότητες. Οι μικρές στιβαρότητες αποτελούν ευνοϊκή προϋπόθεση για τη δημιουργία δυναμικών παραμορφώσεων. Η αποφυγή αυτών των παραμορφώσεων αποτελεί σημαντικό πρόβλημα, που συχνά απαντάται και αντιμετωπίζεται τόσο κατά την κατασκευαστική σχεδιομελέτη, όσο και κατά τη λειτουργία των διαφόρων μηχανικών διατάξεων. Οι μηχανικές παραμορφώσεις των κατασκευών δεν παραμένουν σταθερές, αλλά έχουν τη μορφή παλινδρομικών κινήσεων, που ονομάζονται ταλαντώσεις, γύρω από τη θέση της στατικής ισορροπίας [ΔΗΜ 77.1, 77.2].

16 2 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Η μελέτη των μηχανών που μπορεί να παραμορφώνονται κατά τη λειτουργία τους, είναι το αντικείμενο της γνωστικής περιοχής των ταλαντώσεων, ενώ των απαραμορφώτων της δυναμικής των μηχανών. Τα κεφάλαια 1 μέχρι 9 του παρόντος βιβλίου πραγματεύονται χαρακτηριστικά προβλήματα των ταλαντώσεων και τα κεφάλαια 10 έως 12 της δυναμικής μηχανών, με έμφαση στις πρακτικές εφαρμογές. Η μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς των κατασκευών στοχεύει αφενός στον προσδιορισμό της γεωμετρίας της κατασκευής υπό συνθήκες λειτουργίας, αφετέρου στον υπολογισμό των συνθηκών λειτουργίας, υπό τις οποίες στην κατασκευή δημιουργούνται σημαντικά εύρη παραμόρφωσης (καταστάσεις συντονισμού). Από την άλλη πλευρά, η δυναμική μηχανών στοχεύει στον περιορισμό των αδρανειακών καταπονήσεων, που δημιουργούνται λόγω των κινήσεων των μελών μηχανικών διατάξεων μέσω εξισορρόπησης των μαζών και της ροής ισχύος. 1.1 Μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς Υπάρχουν διάφορες μεθοδολογίες για την μαθηματική περιγραφή της ταλαντωτικής συμπεριφοράς μηχανικών διατάξεων. Μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον και ευρεία εφαρμογή έχουν σήμερα, μέσω της χρησιμοποίησης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, μεθοδολογίες κατά τις οποίες η κατασκευή περιγράφεται με τη βοήθεια ενός προσομοιωτικού προτύπου (μοντέλου). Το μοντέλο προσεγγιστικά έχει ισοδύναμες ιδιότητες με την κατασκευή, σχετικά με τα παρακάτω βασικά χαρακτηριστικά μεγέθη της: ç την αδράνεια ç την στιβαρότητα ç την απόσβεση ç την μετατόπιση, ή ανάλογα με την περίπτωση, την περιστροφή στην κατεύθυνση, ή στις κατευθύνσεις (βαθμοί ελευθερίας) των ταλαντωτικών κινήσεων. Τα μεγέθη αυτά αναφέρονται στη συνολική κατασκευή, ή και σε επιμέρους μέλη της. Στο σχήμα 1.1 εικονίζονται τρία παραδείγματα υποκατάστασης της πραγματικής γεωμετρίας κατασκευών, με προσομοιωτικά πρότυπα, προκειμένου να μελετηθεί η ταλαντωτική συμπεριφορά τους. Και τα τρία μοντέλα επιτρέπουν κίνηση μόνο σε μία κατεύθυνση, δηλαδή είναι ενός βαθμού ελευθερίας.

17 Κεφ. 1: Εισαγωγή 3 Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, επειδή ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της κίνησης και των λόγω αυτής προκαλουμένων παραμορφώσεων στην κατεύθυνση x, του οχήματος κατά την πρόσκρουσή του σε σταθερό εμπόδιο, της γερανογέφυρας κατά τη λειτουργία του κινητήρα, το χαρακτηριστικό μέγεθος της αδρανείας εκφράζεται από την μεταφορικά μετακινούμενη μάζα m των κατασκευών αυτών, στην ορισθείσα κατεύθυνση x. Οι μάζες αυτές θεωρούνται ότι κατά την κίνηση δεν παραμορφώνονται. x m m, x c k x,(φ) φ J Σχήμα 1.1: Προσομοίωση κατασκευών με πρότυπο (μοντέλο) ενός βαθμού ελευθερίας για τη μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς τους. Στο τρίτο παράδειγμα επειδή ενδιαφέρει η παραμόρφωση της ατράκτου στην στρεπτική κατεύθυνση φ, κατά πιθανή ταλαντωτική περιστροφική κίνηση του λειαντικού τροχού, η αδράνεια εκφράζεται με τη μαζική ροπή αδρανείας του λειαντικού τροχού, ως προς τον άξονα της περιστροφής. Εν προκειμένω ο λειαντικός τροχός θεωρείται απαραμόρφωτος και η άτρακτος μηδενικής μάζας. Η στιβαρότητα των κατασκευών στα πρώτα δύο παραδείγματα περιγράφεται από τη σταθερά ελατηρίου c, που εκφράζει τη δύναμη, την απαιτούμενη να εξασκηθεί κατά την κατεύθυνση x στην κατασκευή, για να παραμορφωθεί κατά μια μονάδα μήκους στην ίδια κατεύθυνση. Στην περίπτωση της ατράκτου του λειαντικού τροχού, η στιβαρότητά της εκφράζεται με τη σταθερά ελατηρίου σε περιστροφική κατεύθυνση. Η σταθερά αυτή υποδηλώνει τη ροπή που πρέπει να εξασκηθεί, για να παραμορφωθεί η ά- τρακτος κατά μια μονάδα γωνιακής (περιστροφικής) μετατόπισης. Συνήθως, επειδή οι μετατοπίσεις, ή οι περιστροφές δεν εξαρτώνται γραμμικά από τις προκαλούσες αυτές φορτίσεις, για την απλοποίηση των μαθηματικών

18 4 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σχέσεων που περιγράφουν τη δυναμική ισορροπία, θεωρείται ότι υφίσταται ένας γραμμικός νόμος αλληλοεξάρτησης μεταξύ φόρτισης και μετακίνησης. Έτσι οι αντίστοιχες σταθερές ελατηρίου σε μεταφορική η περιστροφική κίνηση έχουν τιμές, μη εξαρτώμενες από το μέγεθος της φόρτισης. Σε επόμενες παραγράφους δίδονται περισσότερες επεξηγήσεις για την αλληλοεξάρτηση αυτή. Τέλος με το χαρακτηριστικό μέγεθος της απόσβεσης (σταθερά k) περιγράφεται η μετατροπή της κινητικής ενέργειας, που βάσει αυτής κάποια κατασκευή, ή τα μέλη της εκτελούν ταλαντωτικές κινήσεις, συνήθως σε θερμότητα και τοιουτοτρόπως παρέχεται η δυνατότητα αποβολής της από το ταλαντούμενο σύστημα. Ο πλέον χρησιμοποιούμενος νόμος περιγραφής του φαινομένου αυτού είναι επίσης γραμμικός και υποδηλώνει, ότι λόγω της απόσβεσης δημιουργείται μια δύναμη, η οποία παράγει το έργο, που αποβάλλεται από το ταλαντούμενο σύστημα. Η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της ταχύτητας της μετατόπισης (βισκοαπόσβεση). Σταθερά αναλογίας είναι εν προκειμένω η σταθερά απόσβεσης k. Η φυσική έννοια της απόσβεσης και μεθοδολογίες περιγραφής της αναφέρονται σε επόμενες παραγράφους. Το μοντέλο μιας κατασκευής για το οποίο ισχύουν οι παραπάνω παραδοχές γραμμικών αλληλοεξαρτήσεων μεταξύ της στιβαρότητας και της απόσβεσης αντίστοιχα με τη μετατόπιση και με την ταχύτητα της μετατόπισης, χαρακτηρίζεται ως γραμμικό. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει την ισορροπία όλων των δυνάμεων, που εξασκούνται στη μάζα του μοντέλου κατά την κίνησή της, είναι της μορφής: mx kx cx f t (1.1) Η σχέση αυτή, βασιζόμενη στην αρχή του d' Alembert, εκφράζει την ισορροπία ανά πάσα χρονική στιγμή μεταξύ των δυνάμεων αδρανείας, απόσβεσης και παραμόρφωσης, με τις εξωτερικά εξασκούμενες φορτίσεις. Από μαθηματική άποψη η σχέση αυτή είναι μια ομογενής δευτεροβάθμια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές (σκληρογραμμική). Μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουν παρόμοιες αλληλοεξαρτήσεις ονομάζονται εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας. Η κατάστρωσή τους και η επίλυσή τους αποτελεί το αντικείμενο επομένων κεφαλαίων. Ο προσδιορισμός της χρονικής συμπεριφοράς της μετατόπισης, επιτρέπει τον υπολογισμό της μεταβολής των προκαλουμένων τάσεων σε διάφορα μέλη μιας κατασκευής, που είναι απαραίτητες για την εκτίμηση του συντελεστή ασφαλείας της σε κόπωση.

19 Κεφ. 1: Εισαγωγή Στιβαρότητα υλικών και κατασκευών Γενικά η συμπεριφορά παραμόρφωσης ενός υλικού στην περιοχή της ελαστικής παραμόρφωσής του, μπορεί με ικανοποιητική ακρίβεια να περιγραφεί με τη βοήθεια γραμμικού νόμου (νόμος Hook). Για το λόγο αυτό, λαμβάνοντας υπόψη τη σταθερά ελατηρίου c, που εκφράζει την στιβαρότητα σε ένα σημείο και σε ορισμένη κατεύθυνση μιας κατασκευής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση: F cx (1.2) Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της καμπύλης της γραφικής παράστασης της φόρτισης, ως συνάρτηση της μετατόπισης, εκφράζει την τιμή της σταθεράς του ελατηρίου, (βλέπε Σχήμα 1.2). Φόρτιση F F c x α c = tanα α = f(f) α Μετατόπιση x Σχήμα 1.2: Χαρακτηριστική εξάρτηση της παραμόρφωσης από τη φόρτιση ελατηρίου c. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η τιμή της σταθεράς ελατηρίου μόνο σε μικρές επιμέρους περιοχές τιμών της μετατόπισης μπορεί να θεωρηθεί αμετάβλητη. Για μεγαλύτερες τιμές της μετατόπισης σε πραγματικές κατασκευές, λόγω αλλαγής της γεωμετρίας και τοιουτοτρόπως των χαρακτηριστικών της στιβαρότητας, η σταθερά c εξαρτάται από το μέγεθος της φόρτισης Για λόγους απλοποίησης των εξισώσεων της δυναμικής ισορροπίας η τιμή της σταθεράς ελατηρίου θεωρείται αμετάβλητη, εκφράζουσα την συμπεριφορά της στιβαρότητας μόνο σε ορισμένη περιοχή τιμών φόρτισης. Συγχρόνως η παραδοχή αυτή ανταποκρίνεται στην πρακτική επιδίωξη, του να προσδιορισθεί η ταλαντωτική συμπεριφορά μιας κατασκευής για μικρές περιοχές τιμών παραμορφώσεων, αφού μεγάλες παραμορφώσεις πρέπει να αποφεύγονται. Σημαντικό ενδια-

20 6 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών φέρον παρουσιάζει επίσης, ο προσδιορισμός των συνθηκών λειτουργίας, οι ο- ποίες μπορούν να οδηγήσουν σε σημαντικά εύρη ταλαντωτικών παραμορφώσεων, δηλαδή σε καταστάσεις συντονισμού. 1.3 Απόσβεση υλικών κατασκευών Γενικά σε κάθε υλικό καταπονούμενο δυναμικά, με τιμές φορτίων που προκαλούν μη μόνιμες, δηλαδή ελαστικές παραμορφώσεις παρουσιάζεται το παρακάτω περιγραφόμενο φαινόμενο της ελαστικής υστέρησης [ΓΕΩ 67]. Φόρτιση Θραύση Α Όριο ελαστικής παραμόρφωσης Φόρτιση Παραμόρφωση Λεπτομέρεια Α Βρόγχος υστέρησης (έργο απωλειών) Φόρτιση Φόρτιση Φόρτιση Αποφόρτιση Αποφόρτιση Παραμόρφωση t 1 t 2 t 3 t2 t 1,t3 Χρόνος Σχήμα 1.3: Ελαστική υστέρηση σε γρήγορη φόρτιση-αποφόρτιση υλικών. Όπως ενδεικτικά στο σχήμα 1.3 φαίνεται, κατά την γρήγορη φόρτιση π.χ. εφελκυσμού, η ελαστική παραμόρφωση, λόγω αδρανείας του υλικού, δεν ακολουθεί γραμμικό νόμο. Αυτό συνεπάγεται πτώση της εσωτερικής τάσης του υλικού με σύγχρονη ψύξη, μέχρι να αποκατασταθεί η προβλεπόμενη από τη φόρτιση μη μόνιμη παραμόρφωση. Κατά την γρήγορη αποφόρτιση, λόγω αδρανείας του υλικού, δεν ακολουθείται πάλι γραμμικός νόμος (βλέπε σχήμα), με αποτέλεσμα τη θέρμανση του υλικού. Έτσι ένας κύκλος φόρτισης-αποφόρτισης, οδηγεί σε απώλεια έργου, που αντιστοιχίζεται στην σκιαγραφημένη περιοχή του σχήματος.

21 Κεφ. 1: Εισαγωγή 7 Στο σχήμα 1.4 φαίνεται η δημιουργία ενός βρόγχου ελαστικής υστέρησης, κατά αρμονικά μεταβαλλόμενη φόρτιση-διέγερση ενός υλικού. Φόρτιση βρόγχος υστέρησης Φόρτιση παραμόρφωση Χρόνος Σχήμα 1.4: Δημιουργία βρόγχου υστέρησης κατά αρμονική διέγερση. Οι επιφάνειες των βρόγχων αυτών και κατά συνέπεια η ιδιότητα απόσβεσης, εξαρτάται από το μέγεθος της ταχύτητας μεταβολής της φόρτισης, από την κρυσταλλογραφική δομή των υλικών, καθώς και από το συνολικό αριθμό κύκλων φορτίσεων (βλέπε σχήμα 1.5). Η τελευταία εξάρτηση εξηγεί και την διαφορετική συμπεριφορά απόσβεσης κατασκευών δυναμικά καταπονούμενων, και συγκεκριμένα την αύξησή της, μετά την πάροδο αρκετού χρόνου λειτουργίας τους. Φόρτιση I,II,III : Βρόχοι υστέρησης I II III Παραμόρφωση Αριθμός εναλλαγών φορτίσεως n, περιοχών που αντιστοιχεί στους Ι, ΙΙ, ΙΙΙ n >n >n (n I =1) III II I Σχήμα 1.5: Βρόχοι υστέρησης κατά τη διάρκεια του χρόνου λειτουργίας μιας κατασκευής. Η απόσβεση λόγω ελαστικής υστέρησης, σε συνδυασμό με αποσβέσεις λόγω τριβών μεταξύ μελών, ή και πλαστικών παραμορφώσεων μελών, οδηγεί στη δημιουργία της συνολικής απόσβεσης μιας μηχανικής διάταξης κατά την λειτουργία της. Για τη μαθηματική περιγραφή της απόσβεσης υλικού γίνονται διάφορες παραδοχές. Πρακτικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η παραδοχή, ότι η δύναμη απόσβε-

22 8 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σης είναι ανάλογη της ταχύτητας της μετατόπισης (βισκοαπόσβεση) (βλέπε σχήμα 1.6). Fk k x (1.3) Ο νόμος αυτός χρησιμοποιείται κυρίως κατά τη μελέτη της ταλαντωτικής συμπεριφοράς κατασκευών. Η σταθερά της απόσβεσης k, σύμφωνα με τα προηγουμένως αναφερθέντα, διαφοροποιείται σε διάφορες ταχύτητες μεταβολής της φόρτισης και συχνότητες διέγερσης, καθώς και διαφορετικά μεγέθη της φόρτισης. Φόρτιση F F k x α k=tanα α=f(f) α Ταχύτητα μετατόπισης x Σχήμα 1.6: Χαρακτηριστική εξάρτηση της παραμόρφωσης από τη φόρτιση αποσβεστήρα k.

23 128 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Παράδειγμα υπολογισμού της στατικής παραμόρφωσης, κατασκευής σύνθετης γεωμετρίας Ένα περαιτέρω παράδειγμα, εύρεσης της θέσης της στατικής ισορροπίας μιάς γεωμετρικά πολύπλοκης κατασκευής, παρατίθεται στο σχήμα Ένας βιομηχανικός ανεμιστήρας, εγκατεστημένος επί βάσης υποδοχής από οπλισμένο σκυρόδεμα, κινείται αμφίπλευρα από δύο ηλεκτρικούς κινητήρες. Ο δεξιά παριστάμενος κινητήρας εδράζεται επί μεταλλικής εξέδρας, η οποία συγκρατείται μέσω κοχλιών στην πλευρά της βάσης υποδοχής του ανεμιστήρα. Προκειμένου να υπολογισθούν οι μέγιστες παραμορφώσεις και φορτίσεις της μεταλλικής εξέδρας, στην περίπτωση βραχυκύκλωσης των κινητήρων, η γεωμετρίας της, καθώς και της όλης εγκατάστασης περιγράφονται με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Τα κύρια δεδομένα της προσομοίωσης αυτής, φαίνονται στον καταχωρημένο πίνακα, στο σχήμα. Φυσητήρας Κινητήρες Τσιμεντένια βάση Μεταλλική βάση Μάζα [Kg] Αρ. Κόμβων Αρ. Στοιχείων Κύριες διαστάσεις 12.5 x 8.0 x 6.7 [m] Z Y X Σχήμα 3.27: Έδραση ανεμιστήρα και κινητήρων του. Κύρια δεδομένα περιγραφής της γεωμετρίας τους κατά την FEM προσομοίωση. Λεπτομέρειες της γεωμετρίας της μεταλλικής εξέδρας εμφανίζονται στο σχήμα Αυτή αποτελείται από δύο κατακόρυφα διαταγμένα πλαίσια, που συγκρατούνται μέσω καθέτων σε αυτά δοκών και διαγωνίως, με τη βοήθεια κυλινδρικών κοιλοδοκών, συγκολλημένων κεντρικά επί καταλλήλου κομβοελάσματος. Στις παράλληλες, πλέον επιμήκεις πλευρές, στο άνω επίπεδο του πλαισίου της εξέ-

24 Κεφ. 3: Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 129 δρας, οι θέσεις υποδοχής του ηλεκτρικού κινητήρα, συμβολίζονται με μικρούς κύκλους. κατακόρυφα πλαίσια Z Y X Κύριες διαστάσεις 2,7 x 2,8 x 1,5 [m] Μάζα [Kg] l x l y [Kg m ] l z Σχήμα 3.28: Γεωμετρία της μεταλλικής εξέδρας υποδοχής του κινητήρα κίνησης. Η μεταλλική εξέδρα φορτίζεται κατά μέγιστο, από το ίδιο βάρος της, καθώς και των υπερκατασκευών της και από τις δυνάμεις προερχόμενες από ηλεκτρικούς κινητήρες. Τα φορτία αυτά διευκρινίζονται στο σχήμα Οι επιμήκεις κοχλίες πλευρικής πρόσδεσης της μεταλλικής εξέδρας επί του πλαισίου έδρασης του ανεμιστήρα, προεντείνονται με τις δυνάμεις που είναι καταχωρημένες στο σχήμα.

25 130 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Σύμβολο Είδος φορτίου Δύναμη συγκράτησης Αντίδραση ελαστικής έδρασης Βάρος κινητήρα-πλαισίου α δύναμη ροπής βραχυκυκλώματος β δύναμη ροπής βραχυκυκλώματος [kn] 250 (x8) 110 (x4) 16 (x8) 65 (x4) 36 (x4) Σχήμα 3.29: Φορτία της μεταλλικής εξέδρας έδρασης του δεξιού κινητήρα του ανεμιστήρα (βλέπε σχήμα 3.27). Λόγω των προηγουμένως περιγραφέντων φορτίων, η μεταλλική εξέδρα παραμορφώνεται και φορτίζεται με πεδία τάσεων που εκτίθενται στο σχήμα Ο προσδιορισμός των θέσεων των κόμβων του FEM-μοντέλου της κατασκευής, διεξάγεται με τη βοήθεια του λογισμικού πεπερασμένων στοιχείων ANSYS και βασίζεται σε μεθοδολογία αντίστοιχη με αυτή που περιγράφθηκε στην παράγραφο Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μέγιστη παραμόρφωση ανέρχεται σε περίπου 3 mm, που κρίνεται μικρή, με συνεκτίμηση των διαστάσεων της κατασκευής. Επίσης, ικανοποιητικοί συντελεστές ασφαλείας προκύπτουν για τα δομικά στοιχεία της εξέδρας, καθώς και των κοχλιών συγκράτησης, όπως φαίνεται στο σχήμα.

26 Κεφ. 3: Μελέτη ταλαντώσεων πολλών βαθμών ελευθερίας γραμμικών μοντέλων 131 Σχήμα 3.30: Παραμορφώσεις και τάσεις της μεταλλικής εξέδρας στο μέγιστο φορτίο της. (Συντελεστές ασφαλείας: α. S=1,43, για συνθήκες βραχυκύκλωσης κινητήρα, β. S=5,2, για συνθήκες λειτουργίας). Με χρησιμοποίηση των προηγουμένων μεθοδολογιών είναι επίσης, μεταξύ άλλων, δυνατή η πρόβλεψη της επίδρασης της φθοράς μελών μηχανικής διάταξης, επί του συντελεστή ασφαλείας της [BOU 04, 99.1, ΜΠΟ 02, 96.1]. Αυτό καθιστά εφικτό τον προγραμματισμό διαδικασιών συντήρησης σε βιομηχανικές μονάδες, που υπόκεινται σε φθορές κατά τη διάρκεια της λειτουργίας τους. Επίσης είναι δυνατός ο υπολογισμός των τάσεων, που προκαλούνται από λειτουργικές καταπονήσεις μηχανικών διατάξεων, δοκιμαστηρίων [BOU 99.2] κ.α.

27 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Επιτρεπόμενες τιμές καταπονήσεων του ανθρώπινου σώματος κατά ISO 2631 και VDI 2057 Το ανθρώπινο σώμα μπορεί να θεωρηθεί ως μια σύνθετη διάταξη, που καταπονείται δυναμικά από το περιβάλλον της. Το κατά πόσο οι δυναμικές αυτές καταπονήσεις είναι αντιληπτές και ανεκτές, δεν εξαρτάται μόνο από τα τεχνικά χαρακτηριστικά τους, αλλά κυρίως από την φυσική και ψυχική κατάσταση του ανθρώπου. Για τον λόγο αυτό η αξιολόγηση των επιδράσεων των δυναμικών καταπονήσεων στο ανθρώπινο σώμα, καθώς και η προδιαγραφή των οριακά επιτρεπομένων τιμών για οριακές καταπονήσεις, αποτελεί ένα αρκετά πολύπλοκο και συχνά δυσεπίλυτο πρόβλημα. Μία τεχνική θεώρηση του ανθρώπινου σώματος, μπορεί να διεξαχθεί με τη βοήθεια δυναμικά ισοδύναμων μοντέλων όπως αυτά που εμφανίζονται στο σχήμα Κεφαλή Ανω κορμός m x m 1 x 2 c 2 d 2 Σύστημα ώμου - βραχίονα Σπονδυλική στήλη Σύστημα θώρακαστομάχου Λεκάνη d m 1 x 1 Πόδια Διέγερση σε καθήμενο άνθρωπο c c 1 d 1 Διέγερση σε όρθιο άνθρωπο Σχήμα 7. 24: Δυναμικά ισοδύναμα μοντέλα του ανθρώπινου σώματος. Με την βοήθεια τέτοιων μοντέλων και μετρήσεων στο ανθρώπινο σώμα μέσω ηλεκτρομυογραμμάτων, έχει διαπιστωθεί, ότι τα διάφορα μέλη του ανθρώπινου σώματος, συντονίζονται σε συγκεκριμένες περιοχές συχνοτήτων. Έτσι, για τον όρθιο άνθρωπο που διεγείρεται από το πάτωμα μέσω των ποδιών του σε κατακόρυφη διεύθυνση, έχει εξακριβωθεί ότι η λεκάνη του καταπονείται στην περιοχή συχνοτήτων συντονισμού της, μεταξύ των 3 μέχρι 6 Hz, πολύ εντονότερα από ότι οι ώμοι, ή η κεφαλή στην ίδια περιοχή συχνοτήτων (βλέπε σχήμα 7.25).

28 300 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών 2,0 z y Λεκάνη / Τ. Δ. Λόγος επιταχύνσεων 1,5 1,0 0,5 x Ώμοι / Τ. Δ. Κεφαλή / Τ. Δ. Τράπεζα διεγέρσεως (Τ. Δ.) 0, Συχνότητα διέγερσης [Hz] Σχήμα 7.25: Μετάδοση ταλάντωσης σε όρθιο ανθρώπινο σώμα σε κατακόρυφη διέγερση από τα πόδια (κατά Diecmann). Ανάλογες διαπιστώσεις έγιναν και για καθήμενα ανθρώπινα σώματα, διεγειρόμενα μέσω της λεκάνης, όπως φαίνεται στο σχήμα Από τα διαγράμματα των σχημάτων 7.25 και 7.26 εύκολα προκύπτει, ότι περιοχές συχνοτήτων άνω των 40 Hz οδηγούν σε περιορισμένες καταπονήσεις των διαφόρων μελών του ανθρώπινου σώματος. Αξίζει να σημειωθεί, ότι και σε μεγαλύτερες συχνότητες διέγερσης, υπάρχει κίνδυνος συντονισμών, όπως στην περιοχή μεταξύ των 60 και 90 Hz, όπου συντονίζονται οι βολβοί των οφθαλμών. Τέτοιοι συντονισμοί είναι πολύ δύσκολο να διαπιστωθούν, αφού η καταγραφή τους είναι ανασφαλής, μια που σε υψηλές συχνότητες οι αποσβέσεις είναι εντονότερες και οι παρατηρήσεις δυσκολότερες. Γενικά για την μελέτη των δυναμικών καταπονήσεων του ανθρωπίνου σώματος είναι σημαντική όχι μόνο η στάση του, αλλά και η περιοχή στην οποία διεγείρεται. Έτσι π.χ. όπως φαίενται και το σχήμα 7.27, η μετάδοση ταλαντώσεων μέσα στο ανθρώπινο σώμα είναι πιο έντονη στην περίπτωση διέγερσης μέσω των χεριών, σε σύγκριση με την μετάδοση, όταν το σώμα διεγείρεται από τα πόδια. Παρά τις μεγάλες δυσκολίες που προκύπτουν κατά την αξιολόγηση των επιδράσεων των μηχανικών ταλαντώσεων επί του ανθρωπίνου σώματος, η ανάγκη ύ- παρξης οριακά επιτρεπόμενων τιμών καταπονήσεων, οδήγησε στην σύνταξη

29 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων 301 3,5 z 3,0 y x Κεφαλής / Ώμων 2,5 Λόγος επιταχύνσεων 2,0 1,5 Ώμοι / Τ. Δ. Τράπεζα διεγέρσεως (Τ. Δ.) 1,0 Κεφαλή / Τ. Δ. 0,5 0, Συχνότητα διέγερσης [Hz] Σχήμα 7.26: Μετάδοση ταλάντωσης σε καθήμενο ανθρώπινο σώμα από τη λεκάνη σε κατακόρυφη διέγερση (κατά Diecmann). Κεφαλή Κεφαλή A Διέγερση μέσω xεριών Μετάδοση ταλάντωσης db Δύναμη Β Διέγερση μέσω ποδιών Μετάδοση ταλάντωσης db Σχήμα 7.27: Μετάδοση ταλαντώσεων μέσα στο ανθρώπινο σώμα, σε συχνότητα διεγέρσεως 50 Hz, για διάφορες περιπτώσεις διέγερσης (κατά Bekesy).

30 302 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών σχετικών κανονισμών. Η εκπόνηση των κανονισμών αυτών έγινε βάσει μετρήσεων σε ανθρώπους και είναι ενδεικτικοί, αφού συνδέονται και με υποκειμενικές παρατηρήσεις. Οι κανονισμοί αναφέρονται σε οριακά επιτρεπόμενες τιμές για να εκπληρώνονται τα παρακάτω κριτήρια: ç Καμιά επίδραση επί του ανθρωπίνου αισθήματος της άνεσης ç Καμία επίδραση επί της ανθρώπινης αποδοτικότητας ç Καμιά πρόκληση οποιασδήποτε βλάβης υγείας Ο κανονισμός ISO 2631 και ο VDI 2057 παρέχουν πληροφορίες, για μέγιστους χρόνους έκθεσης του ανθρώπινου σώματος σε ταλαντώσεις διαφορετικών χαρακτηριστικών (επιτάχυνση, συχνότητα), για να εκπληρώνονται τα παραπάνω κριτήρια. Οι χρόνοι αυτοί προσδιορίζονται από τα διαγράμματα του κανονισμού ISO 2631 (βλέπε σχήματα 7.28 και 7.29), για διάφορες περιπτώσεις κατευθύνσεων των διεγειρουσών επιταχύνσεων. Οι χρόνοι στα διαγράμματα των σχημάτων αυτών, αναφέρονται στην εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα». Για τον προσδιορισμό των αντιστοίχων χρόνων για 2 Δρώσα τιμή επιτάχυνσης a (m/s ) z ,5 10,0 8,0 6,3 5,0 4,0 3,15 2,5 2,0 1,6 1,25 1,0 0,8 0,63 0,5 0,4 0,315 0,25 0,20 0,16 0,125 0,10 10 db 1 g 1 min 16 min 25 min 1 h 2,5 h 4 h 8 h 16 h 24 h 0,4 0,63 1,0 1,6 2,5 4,0 6, ,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5, , Συχνότητα διέγερσης (Hz) Σχήμα 7.28: Διάρκεια έκθεσης του καθήμενου ανθρωπίνου σώματος σε μηχανικές ταλαντώσεις στην κατακόρυφη διεύθυνση, για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα» κατά ISO z y x

31 Κεφ. 7: Μέτρηση ταλαντώσεων μηχανών και αξιολόγηση των αποτελεσμάτων Δρώσα τιμή επιτάχυνσης a x, a y (m/s ) ,5 10,0 8,0 6,3 5,0 4,0 3,15 2,5 2,0 1,6 1,25 1,0 0,8 0,63 0,5 0,4 0,315 0,25 0,20 0,16 0,125 0,10 10 db 1 min 16 min 25 min 1 h 2,5 h 4 h 8 h 16 h 24 h 0,4 0,63 1,0 1,6 2,5 4,0 6, ,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8, , Συχνότητα διέγερσης (Hz) Σχήμα 7.29: Διάρκεια έκθεσης του καθήμενου ανθρωπίνου σώματος σε μηχανικές ταλαντώσεις σε οριζόντιες διευθύνσεις, για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση στην ανθρώπινη αποδοτικότητα» κατά ISO z y x την εκπλήρωση των υπολοίπων κριτηρίων, οι τιμές της δρώσας τιμής της επιτάχυνσης πολλαπλασιάζονται επί δύο (2), για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμιά πρόκληση βλάβης στην υγεία», δηλαδή οι τιμές είναι κατά 6 db υψηλότερες. Για την εκπλήρωση του κριτηρίου «καμία επίδραση επί του ανθρωπίνου αισθήματος της άνεσης», οι τιμές του άξονα της δρώσας τιμής της επιτάχυνσης πρέπει να διαιρεθούν με το 3,15 (δηλαδή είναι κατά 10 db χαμηλότερες). Στο Γερμανικό κανονισμό VDI 2057 ουσιαστικά περιλαμβάνονται οι ίδιες οριακά επιτρεπόμενες τιμές, για την εκπλήρωση των παραπάνω προαναφερθέντων τριών κριτηρίων. Διαφορετικός είναι μόνο ο τρόπος χρησιμοποίησης του κανονισμού. Συγκεκριμένα από το διάγραμμα του σχήματος 7.30, εκτιμώντας το συνολικό χρόνο έκθεσης των ανθρώπων σε δυναμικές καταπονήσεις, ανάλογα με το ποιο κριτήριο επιδιώκεται να εκπληρωθεί, προσδιορίζεται μια τιμή της σταθεράς της έντασης αντίληψης σε διάφορες κατευθύνσεις. Οι τιμές που περιλαμβάνονται στο διάγραμμα του σχήματος 7.30, έχουν καταχωρηθεί με βαθμίδες αξιολόγησης στον πίνακα 7.4.

32 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων Ελαστικά πέλματα έδρασης μηχανών Τα πέλματα για ελαστικές εδράσεις μηχανών μπορεί να αποτελούνται μόνο από ελατήρια, ή από αποσβεστήρες, ή από συνδυασμό μεταξύ ελατηρίων και αποσβεστήρων. Τα ελατήρια κατασκευάζονται κυρίως από χάλυβα ή ελαστικό ή με αεροσωλήνες. Παραμορφώνονται βασικά ελαστικά και η απόσβεση τους είναι μικρή. Στο σχήμα 8.10 παρίστανται μερικοί τύποι ελατηρίων από ελαστικό [GER 87]. α β Σχήμα 8.10: Πέλματα μηχανών εξ ελαστικού α) Κυκλικά πέλματα με μηχανισμό ρύθμισης της ελαστικότητας β) Ελατήρια εξ ελαστικού σε σφηνοειδή διάταξη. Οι αποσβεστήρες απορροφούν μηχανική ενέργεια από το μηχανικό συγκρότημα που ταλαντούται. Εν προκειμένω διακρίνονται αποσβεστήρες τριβής, βισκοαποσβεστήρες (αποσβεστήρες με πολύ παχύρρευστα υγρά) και υδραυλικοί (με λεπτόρρευστα έλαια). Ένα παράδειγμα υδραυλικού αποσβεστήρα αποτελεί ο τηλεσκοπικός αποσβεστήρας της ανάρτησης αυτοκινήτων (σχήμα 8.11).

33 328 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών Σχήμα 8.11: Τηλεσκοπικός υδραυλικός αποσβεστήρας. Συχνά πέλματα μηχανών αποτελούν συνδυασμούς μεταξύ ελατηρίων και αποσβεστήρων. Το σχήμα 8.12 δείχνει τέτοιους συνδυασμούς. α β γ Αεροθάλαμος Μεμβράνη Υδραυλικό έλαιο Σχήμα 8.12: Μερικά παραδείγματα έδρασης μηχανών παρατίθενται στο σχήμα 8.13.

34 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 329 α β γ Σχήμα 8.13: Διατάξεις θεμελιώσεων μηχανών κοχλίες αναρτήσεως Η μηχανή κίνησης συνδέεται εντός του ιδίου πλαισίου με την μηχανή κατεργασίας. Το πλαίσιο αυτό εδράζεται μέσω ελαστικών συνδέσμων με τη θεμελίωση της μηχανής, που ως επί το πλείστον αποτελείται από σιδηροπαγές σκυρόδεμα. Η κατασκευή γ του σχήματος προσφέρει προστασία έναντι υγρασίας, στην περιοχή της θεμελίωσης, για τα ελαστικά στοιχεία της έδρασης. Εν προκειμένω τονίζεται ότι οι αποσβεστήρες είναι πολύ ευπαθείς έναντι υγρασίας και ανύψωσης της θερμοκρασίας. Οι διατάξεις β και γ επιτρέπουν την εκμετάλλευση του χώρου κάτω από το μηχανικό συγκρότημα για δίοδο αγωγών ηλεκτρικού, αποχέτευσης κ.α. 8.6 Παραδείγματα υπολογισμού εδράσεων μηχανικών συγκροτημάτων Στην παρούσα παράγραφο θα αναφερθούν δυο παραδείγματα διαμόρφωσης της έδρασης μηχανικών συγκροτημάτων, για την επίτευξη μικρών συντελεστών διαπερατότητας. Το πρώτο παράδειγμα αναφέρεται στην περίπτωση, που οι αναμενόμενες δυναμικές φορτίσεις, είναι μικρότερες από το βάρος της κατασκευής, ενώ το δεύτερο, πραγματεύεται κατάσταση, κατά την οποία οι δυνάμεις λειτουργίας μπορούν να είναι της ιδίας τάξης μεγέθους, ή και μεγαλύτερες, από τη φόρτιση του περιβάλλοντος χώρου, λόγω του ιδίου βάρους της μηχανικής διάταξης. Στην πρώτη περίπτωση, η δύναμη διέγερσης έχει σταθερή συχνότητα, που αντιστοιχεί στο συγκεκριμένο παράδειγμα στη συχνότητα εμπλοκής ενός ζεύγους οδοντώσεων κίνησης. Η συχνότητα αυτή, μέσω βέλτιστης σχεδίασης της έδρασης, πρέπει να απέχει σημαντικά από ιδιοσυχνότητες της (n>>1). Στο δεύτερο παράδειγμα, η εξεταζόμενη πρέσα απότμησης μπορεί να διεγείρεται,

35 330 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών λόγω των δεδομένων της κατεργασίας, μέσω δυνάμεων, διαφορετικών συχνοτήτων. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητος ο υπολογισμός του συντελεστή διαπερατότητας, συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης. Με βάση του υπολογισμούς αυτούς, είναι δυνατή η βελτιστοποίηση της έδρασης Παράδειγμα υπολογισμού στιβαρής έδρασης μηχανικού συγκροτήματος Στο σχήμα 8.14 παρουσιάζεται η βασική γεωμετρία έδρασης δύο βιομηχανικών φυσητήρων, που εδράζονται επί μεταλλικής εξέδρας. Τα ίδια βάρη των μηχανικών αυτών συγκροτημάτων, λόγω των μεγάλων διαστάσεων, είναι σημαντικά Σχήμα 8.14: Πλάγια όψη της διάταξης των ανεμιστήρων, των κινητήρων και της έδρασης, καθώς και κάτοψη της μεταλλικής εξέδρας.

36 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 331 μεγαλύτερα, από τις αναμενόμενες κατά τη λειτουργία δυναμικές φορτίσεις, που προέρχονται κυρίως, από τις αζυγοσταθμίες των πτερωτών των φυσητήρων. Στην προκειμένη περίπτωση, επιδιώκεται στιβαρή διαμόρφωση της έδρασης του μηχανικού συγκροτήματος, όπως περιγράφθηκε σε προηγούμενες παραγράφους του παρόντος κεφαλαίου. Η αρχική σχεδίαση της έδρασης του μηχανικού συγκροτήματος επί στιβαρής μεταλλικής εξέδρας, που εκτίθεται στο σχήμα 8.15, δεν οδήγησε σε ικανοποιητική πάκτωση της μεταλλικής εξέδρας. Η προσομοίωση της ταλαντωτικής συμπεριφοράς του μηχανικού συγκροτήματος με τη θεμελίωσή του, με τη βοήθεια της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (FEM), κατέστησε εμφανές, ότι η συχνότητα λειτουργίας της κατασκευής, ήταν πλησίον της 5 ης και 6 ης ιδιοσυχνότητας του συστήματος μηχανές με θεμελίωση (βλέπε σχήμα). Ως αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού, η διάταξη εκτελούσε ταλαντώσεις κατά την λειτουργία της, σημαντικού εύρους, που προκαλούσαν έντονες φθορές σε Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 1,2 4,0 8,5 11,1 14,4 16,1 Ιδιομορφή α/α 7 22,9 8 23,3 9 23, ,0 16,5 n5 0,87 n6 0,98 Συχνότητα λειτουργίας Ιδιοσυχνότητα [Hz] Σχήμα 8.15: Αρχική σχεδίαση της μεταλλικής εξέδρας, για την έδραση του μηχανικού συγκροτήματος των φυσητήρων του σχήματος 8.14.

37 332 Κ-Δ. Μπουζάκης. Ταλαντώσεις και Δυναμική Μηχανών διάφορα μηχανικά στοιχεία της (άξονες, έδρανα κλπ.). Στο σχήμα 8.16, φαίνονται η 5 η και η 6 η ταλαντωτική ιδιομορφή της μεταλλικής εξέδρας, των οποίων οι συχνότητες (ιδιοσυχνότητες), είναι πολύ κοντά στη συχνότητα λειτουργίας της διάταξης. Κατά τη λειτουργία της διάταξης, η επαλληλία των προηγουμένων ιδιομορφών, είχε επιβεβαιωθεί και μέσω μετρήσεων. Z Άξονας περιστροφής Z Z Y X 5η ιδιομορφή Άξονας περιστροφής Χ Χ Z Y X 6η ιδιομορφή Σχήμα 8.16: Ιδιομορφές της 5 ης και 6 ης ιδιοσυχνότητας της μεταλλικής εξέδρας, που είναι πλησίον της συχνότητας λειτουργίας του μηχανικού συγκροτήματος του σχήματος Για την αποφυγή των ταλαντώσεων αυτών, η μεταλλική εξέδρα πακτώθηκε ικανοποιητικά μέσω των στοιχείων, που εμφανίζονται στο σχήμα Πρόκειται για μεταλλικά πλαίσια (κυτία), που υποστηρίζουν σωλήνα, μέσω του οποίου δι-

38 Κεφ. 8: Αποφυγή μετάδοσης μηχανικών ταλαντώσεων 333 κυτίο υποδοχής κοχλία αγκύρωσης Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 1 40,9 2 47,9 3 48,6 Συχνότητα λειτουργίας Ιδιομορφή α/α Ιδιοσυχνότητα [Hz] 4 78,4 5 79,0 6 81,7 16,5 n1 2,5 Σχήμα 8.17: Αύξηση της στιβαρότητας της θεμελίωσης, μέσω στιβαρών κυτίων υποδοχής κοχλιών αγκύρωσης και προκύπτουσες ιδιοσυχνότητες της θεμελίωσης. έρχεται κοχλίας αγκύρωσης μεγάλου μήκους. Με χρησιμοποίηση των κυτίων αυτών, οι κοχλίες αγκύρωσης πακτώνουν ικανοποιητικά την κατασκευή και μετατοπίζουν δραστικά τις ιδιοσυχνότητες της έδρασης. Όπως φαίνεται στο σχετικό πίνακα του σχήματος, η πρώτη ιδιοσυχνότητα του συγκροτήματος είναι σημαντικά μεγαλύτερη από τη συχνότητα λειτουργίας της διάταξης. Η θεμελίωση, προσεγγίζει την περίπτωση α του σχήματος 8.4, με λόγο συχνοτήτων n, σε σχέση με την πρώτη ιδιοσυχνότητα, ίσο περίπου με 2,5 αρκετά μεγαλύτερο του 1. Ό- πως προκύπτει από το σχήμα 8.3, ο συντελεστής διαπερατότητας, για μέτρο α- πόσβεσης D, μικρότερο από 0,1 (βλέπε πίνακα 2.1), μειώνεται σημαντικά. Έτσι, οι ταλαντωτικές κινήσεις του εξεταζομένου μηχανικού συγκροτήματος στα πλαίσια του παρόντος παραδείγματος, περιορίζονται δραστικά, γεγονός που επιβεβαιώθηκε μέσω μετρήσεων.

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Καθηγητής ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ (1/2) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι βασικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Για τις ερωτήσεις 1 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών Μηχανικών Κατασκευαστικός Τομέας ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Αργύρης Δέντσορας, Αναπληρωτής Καθηγητής ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς.

Σχήμα: Κιβώτιο ταχυτήτων με ολισθαίνοντες οδοντωτούς τροχούς. ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας οδοντωτός τροχός με ευθείς οδόντες, z = 80 και m = 4 mm πρόκειται να κατασκευασθεί με συντελεστή μετατόπισης x = + 0,5. Να προσδιοριστούν με ακρίβεια 0,01 mm: Τα μεγέθη της οδόντωσης h α,

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).

1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). 1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Τεχνικής Μηχανικής Διαγράμματα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) Υπολογισμός Αντιδράσεων Διαγράμματα Φορτίσεων Διατομών (MNQ) Αντοχή Φορέα? Αντικείμενο Τεχνικής Μηχανικής Σχήμα 2 F Y A Γ B A Y B Y 1000N

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Ονοματεπώνυμο.. Υπεύθυνος Καθηγητής: Γκαραγκουνούλης Ιωάννης Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ > Τρίτη 3-1-2012 2 ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΡΚΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ TREYLOR ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ 500Kp ΣΠΟΥΔΑΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Γεωγραφική κατανομή σεισμικών δονήσεων τελευταίου αιώνα. Πού γίνονται σεισμοί?

Γεωγραφική κατανομή σεισμικών δονήσεων τελευταίου αιώνα. Πού γίνονται σεισμοί? Τι είναι σεισμός? Γεωγραφική κατανομή σεισμικών δονήσεων τελευταίου αιώνα Πού γίνονται σεισμοί? h

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ (7 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ (7 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΛΛΕΙΩΝ - ΜΕΤΑΛΛΟΥΡΓΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ (7 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ) Νίκος Μ. Κατσουλάκος Μηχανολόγος Μηχανικός Ε.Μ.Π., PhD, Msc ΜΑΘΗΜΑ 4-2 ΑΤΡΑΚΤΟΙ ΑΞΟΝΕΣ - ΣΤΡΟΦΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οδοντωτοί τροχοί. Εισαγωγή. Είδη οδοντωτών τροχών. Σκοπός : Μετωπικοί τροχοί με ευθύγραμμους οδόντες

Οδοντωτοί τροχοί. Εισαγωγή. Είδη οδοντωτών τροχών. Σκοπός : Μετωπικοί τροχοί με ευθύγραμμους οδόντες Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Διδάσκοντες : X. Παπαδόπουλος Λ. Καικτσής Οδοντωτοί τροχοί Εισαγωγή Σκοπός : Μετάδοση περιστροφικής κίνησης, ισχύος και ροπής από έναν άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΔΕΚΑΠΕΝΤΕ (15) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΡΙΣΤΟΤΕΩΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΟΕΣΣΑΩΟΝΙΚΗΣ ΠΟΩΤΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΤΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΤΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ Γεωργία N. Γεωργίου Διπλ. Μηχανολόγος Μηχανικός A.Π.O. ΙΖΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα

Πολυβάθμια Συστήματα Πολυβάθμια Συστήματα Εισαγωγή Πολυβάθμια Συστήματα: Δ19-2 Η βασική προϋπόθεση για την προσομοίωση μίας κατασκευής ως μονοβάθμιο ταλαντωτή είναι πως η μάζα, ο μηχανισμός απόσβεσης και η ακαμψία μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΡΙΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΡΙΤΗ 18 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γʹ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΡΙΤΗ 8 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 07 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ A Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Σελίδα από ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ () ΘΕΜΑ Α Α. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΩΝ ΥΠΟΔΟΜΗΣ ΚΑΙ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις προηγούμενων

Διαβάστε περισσότερα

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση.

ή/και με απόσβεση), και να υπολογίσουν αναλυτικά την απόκριση τους σε ελεύθερη ταλάντωση. Τίτλος μαθήματος: Δυναμική Κατασκευών Ι Κωδικός μαθήματος: CE08_S02 Πιστωτικές μονάδες: 5 Φόρτος εργασίας (ώρες): 153 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 23/04/2017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Pant. Lapas

Copyright: Pant. Lapas Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Χρόνος εξέτασης: 4.5 ώρες Σύνολο σελίδων: 5 (πέντε) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο φύλλο απαντήσεών σας τον αριθμό της ερώτησης

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέμα 1: Α. Στις ερωτήσεις 1-3 να σημειώσετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Ένα σώμα μάζας m

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ 1. Η σταθερά απόσβεσης σε μια μηχανική ταλάντωση που γίνεται μέσα σε κάποιο μέσο είναι: α) ανεξάρτητη των ιδιοτήτων του μέσου β) ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση

Διαβάστε περισσότερα

Α3. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ενέργεια είναι α. ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή

Α3. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ενέργεια είναι α. ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΛΑ Β) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 25 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (23 ΠΕΡΙΟΔΟΙ)

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (23 ΠΕΡΙΟΔΟΙ) α (cm/s ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Κατηγορία Α ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (3 ΠΕΡΙΟΔΟΙ) 1. Να προσδιορίσετε ποια από τα πιο κάτω φυσικά μεγέθη μπορεί να έχουν την ίδια κατεύθυνση για ένα απλό αρμονικό ταλαντωτή: α. θέση και ταχύτητα,

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΘΕΜΑ 1ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμίας από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1 Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση με ακραίες θέσεις που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ

ΓΑΛΑΝΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΔΗΜΗΤΡΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί η σωστή απάντηση. Ένας ακίνητος τρoχός δέχεται σταθερή συνιστάμενη ροπή ως προς άξονα διερχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 2011

Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 2011 Προτεινόμενα θέματα για τις εξετάσεις 011 Τάξη: Γ Γενικού Λυκείου Μάθημα: Φυσική Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Α Α1-A4 Να επιλέξετε τη σωστή από τις απαντήσεις Α1. Ένα σώμα μάζας είναι στερεωμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ 24/04/2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α1 Α5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2005 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 5 Επίθετο: Όνομα: Τμήμα: ΘΕΜΑ Ο Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να βάλετε σε κύκλο το γράμμα της απάντησης που θεωρείτε σωστή..ένα σώμα εκτελεί απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Α1.Β Α2.Γ Α3. Α Α4. Α ΙΙ. 1.Σ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5. Λ ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή η β) Έστω Σ το υλικό σημείο που απέχει d από το άκρο Α. Στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2013 Γ Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1 4 να γράψετε τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1. Σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΥΠΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΚΑΙ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 960-431-953-1 Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

2. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται:

2. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε μια σωστή απάντηση. 1. Ένα πραγματικό ρευστό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής με σταθερή ταχύτητα. Η πίεση κατά μήκος του σωλήνα στην κατεύθυνση της ροής μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση χωρίς να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. '' Περί Γνώσεως'' Φροντιστήριο Μ.Ε. Φυσική Προσανατολισμού Γ' Λ. ΜΑΘΗΜΑ /Ομάδα Προσανατολισμού Θ.Σπουδών / ΤΑΞΗ : ΑΡΙΘΜΟΣ ΦΥΛΛΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΦΥΣΙΚΗ / Προσανατολισμού / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 o ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΤΜΗΜΑ : ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική

Διαβάστε περισσότερα

Φάσμα. Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι.

Φάσμα. Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. σύγχρονο Φάσμα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. μαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις!

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις! Εισαγωγικές Έννοιες Οι καλές ταλαντώσεις! Αντικείμενο της Δυναμικής Εισαγωγικές Έννοιες: Αντικείμενο της Δυναμικής των Κατασκευών: Ανάλυση της απόκρισης των κατασκευών που υπόκεινται σε δυναμική καταπόνηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Μηχανών ΙΙ. Α. Ασκήσεις άλυτες. Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση

Στοιχεία Μηχανών ΙΙ. Α. Ασκήσεις άλυτες. Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Στοιχεία Μηχανών ΙΙ Α. Ασκήσεις άλυτες Άσκηση Α.1: Πλήρης υπολογισμός οδοντοτροχών με ευθεία οδόντωση Περιγραφή της κατασκευής: Σε μία αποθήκη υλικών σιδήρου χρησιμοποιείται μία γερανογέφυρα ανυψωτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) 2010 ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ Ημερομηνία: 31 /05 / 2011 Διάρκεια:

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ Ημερομηνία: 31 /05 / 2011 Διάρκεια: ΛΥΚΕΙΟ ΑΓ. ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ Ημερομηνία: 31 /05 / 2011 Διάρκεια: 10.30-13.00 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 10

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΛΥΚΕΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ΣΕΙΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΛΥΚΕΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ΣΕΙΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΛΕΥΚΩΣΙΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΛΥΚΕΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ΣΕΙΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΧΡΟΝΟΣ: ΦΥΣΙΚΗ 3 ΩΡΕΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25 Μαΐου 2015 ΩΡΑ ΕΝΑΡΞΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2016 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 8 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος 1. Ένα σώµα εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. Ποιες από τις επόµενες προτάσεις είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ί) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΤΕΧΝΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 3 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΦΥΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Ε. Βιντζηλαίου (Συντονιστής), Ε. Βουγιούκας, Ε. Μπαδογιάννης Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012. Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό. ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Α) γ Α) β Α)γ Α4) γ Α5) α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β n a n ( ύ) a n (), ( ύ ) n

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 7 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΚΤΙΝΙΚΟ Ε ΡΑΝΟ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ 7.1 Εδρανα Τα έδρανα αποτελούν φορείς στήριξης και οδήγσης κινούµενων µηχανολογικών µερών, όπως είναι οι άξονες, -οι οποίοι καταπονούνται µόνο σε κάµψη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ 0 ΕΚΦΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α τις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Στις ημιτελείς προτάσεις - 4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία τη συμπληρώνει σωστά.. Το μέτρο της

Διαβάστε περισσότερα