x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos

Transcript

1 º- Dados os puntos A(,, ), B(, 4), C( 5,, ) EXERCICIOS XEOMETRÍA Acha as coodenadas dun cuato punto D coa condición que o cuadiláteo ABCD sexa un paalelogamo º- Escibi as ecuacións paaméticas, na foma continua e educidas da ecta que pasa polos,, 5 B, puntos A ( ) e ( ) º- Dada a ecta: x + y z = = 5 4º- Acha os puntos nos que a ecta coodenadas 5º- Indica os puntos da ecta: x y = 5, expésaa na foma paamética e na foma educida y z z + = = + t = t = t cota a cada un dos tes planos de que teñen a lo menos unha coodenada nula 6º- Acha a ecuación da ecta que pasa polo punto medio do segmento de extemos A(,, 0) e B(, 4, 5) e é paalela a ecta y = x + z = x x = + t y = + 5t = + t x + y z + 7º Compoba se a ecta de ecuacións: está contida ou non no plano 8º- Acha a ecuación xeal do plano que pasa polos puntos A (, 0, ), B ( 0,, 0) e (,, ) Escibe a ecuación dunha ecta contida nese plano 9º- Acha a ecuación do plano que contén á ecta x = z + y = z + e ó punto (, 4, ) x y C 0º- Ecuacións paaméticas e xeal do plano que contén á ecta = = z, e é paalelo á ecta que pasa polos puntos A (, 0) e B ( 0, 0, ) º- Escibe a ecuación do plano deteminado polo punto de coodenadas ( 0 5, ) x = t y = 5 + t = + t º- Estudia paa os distintos valoes do paámeto a, a posición elativa dos planos: ax + y z + x + 4ay z a, a ecuación do plano que, pasando po (, ), e a ecta,, é pependicula a Detemina, no caso ambos º- Estudia a posición elativa dos seguintes planos, segundo os valoes do paámeto a : Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía

2 π : x ay + az = a π : x + ay a ) π : x + ay + z = b ) π : x + az = π : x + y + az = a π : x + y + z = 5 π a) Discuti segundo os valoes do paámeto a, a súa posición elativa especto ó plano OXY b) Calcula o valo ou valoes de a paa que a ecta nomal a π pasando polo oixe fome co 4º- Dado o plano: : ax + z plano OXY un ángulo igual a π / x = t + : y = t + z = a) Estudia a posición elativa de especto do eixe OZ 5º- Dada a ecta: b) Detemina un plano que, sendo pependicula a ecta pase polo punto ( 0, ) 6º- Dadas as ectas: : ( x, y,z) (,, ) + α( k,, ) = e, x + y + 4z + 5 : 4x y + z s a) Detemina o valo de k paa que e s sexan coplanaias b) Nese suposto calcula a ecuación do plano que as contén 7º- Estudia a posición elativa das ectas: x y z + x + y = : = = : x y + z = : x, y,z,, + α 6,, 0 polo punto = (, 6, 9º- Dada a ecta de ecuacións: x = z + y = z + = e o plano que pas 8º- Calcula o ángulo que foman a ecta: ( ) ( ) ( ) P e ten vecto caacteístico(vecto nomal asociado) (,, ) n = a) Detemina a ecuación dun plano π que contén á ecta e está a unha distancia do P =,, punto ( ) b) Calcula a distancia do punto P a ecta + y + z = 5 0º- Detemina o plano que contén á ecta: x y z = x y + z 0 s = = 4 º- Calcula a distancia ente os planos de ecuacións: x + 6y + 4 x + y + 4 º- Dada a ecta de ecuación continua: x y z = = π x y + z + 6 Pídese: a) Calcula o ángulo que foman a ecta e o plano π b) Busca a ecuación continua da ecta s, poxección otogonal da ecta sobe o plano π e é paalelo a ecta e o plano de ecuación: Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía

3 º- Dados os vectoes a(, 0, ), b(, ) teña módulo dous 4º- Dados os vectoes a(, 0, ), b(,, ) Calcula un vecto que sexa otogonal a ambos e que e c(,, ) Detemina o vecto que sendo coplanaio con a e b sexa otogonal ó c, e ademáis sexa unitaio 5º- Calcula a ecuación da ecta que pasa polo punto A(,, 0) e é pependicula ó plano π que contén a os vectoes a(,, ) e b (, ) 6º- Calcula a ecuación do plano que sendo pependicula á ecta " " de ecuación x y z + = =, pasa polo punto P(,, ) 7º- Acha a ecuación da ecta " " que pasa polo punto P(,, ) e cota pependiculamente a x + y ecta: s x y + z = 8º- Acha a ecuación do plano π pependicula ós planos: π : x y + z e π : x y z + e que contén ó punto P(,, 0) 9º- Dados os puntos A (,, 0),B(, ) e C ( 0,, ) Calcula a áea do tiángulo ABC 0º- Calcula o volume do tetaedo de vétices A( 0,, ) ; B(, 0, );C (,, 0) e D (,, ) º- Calcula a ecuación do plano que contén ó punto P (, e é paalelo ás ectas de x = + λ + y + z ecuacións: : e s : y = + λ x + y + = λ º- Acha a ecuación do plano π que pasa polo punto P (,, é paalelo á ecta x y + z + : = = e é pependicula ó plano π : x + y z + º- Calcula os valoes dos paámetos α e β tales que a ecta " " de ecuación: x y + 5 z = = é pependicula ó plano π : x y + βz + α x y + z 4º- Acha a ecuación do plano π, que contén á ecta : = = e é pependicula ó plano π : x + y z 5 EXERCICIOS DE RECTAS º- Ecuacións paaméticas da ecta que pasa polo punto A = (,,0 ) e ten vecto diecto u = (,, 4) º- Ecuacións continuas da ecta que pasa polos puntos A = ( 5,,) e B = (,, ) º- Di se están aliñados os puntos A = (,,4), B = (,,) e C = (5, 5, ) Razoa a esposta Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía

4 4º- Dada a ecta + = α y = 5 α z = α, da dous puntos po onde pase e un vecto diección 5º- Dada a ecta diección x y + z 4 = =, busca dous puntos po onde pase e un vecto x + y + z = 6º- Dada a ecta s, Busca dous puntos que petenzan a ecta, un vecto diección x y z = 4 e pona en foma paamética 7º- Ecuacións paaméticas da ecta s que pasa polo punto A = (,) e é paalela a ecta ( x, y, z) = (,5, + (,,)α 8º- Acha as ecuacións da ecta deteminada polos puntos medios dos segmentos AB e CD, sendo A = (,, ), B = (,4), C = (,,), D = (,4,5) 9º- Escibi as ecuacións vectoial, paaméticas, na foma continua e educidas da ecta que pasa polos puntos A = (,,5) e B = (,4,) EXERCICIOS DE PLANOS º- Un plano π pasa polo punto A = (,4,) e é paalelo ós vectoes u = (,, ) e v = ( 5,4, Obtén as súas ecuacións º- Un plano π pasa polos puntos A = (,), B = (,,5) e C = (,,0) Qué ecuacións ten? º- Acha as ecuacións, de tódalas maneias posibles, do plano π que contén a ecta x y + z = = e pasa polo punto M = (,,), exteio a ecta 5 4º- Acha a ecuación xeal do plano π que contén o punto A(,, ) e a ecta = y = 5 5º- Acha a ecuación analítica do plano π que pasa polo punto A (,,) e é paalelo ós vectoes u = j + k e v = j k x 6º- Acha as ecuacións paaméticas e xeal do plano π que contén s y = = z paalelo a ecta que pasa polos puntos A (,0) e B(,0 ) e é 7º- Compoba se a ecta x = + t y = + 5t = + t está contida no plano x + y z + 8º- Acha a ecuación xeal do plano π que contén a ecta y = x s = x + Calos del Río Vázquez x = t y = + t e é paalelo a ecta = + 5t Execicios de xeometía 4

5 x y + z 9º- Compoba se as ectas = = e 4 5 afimativo, acha a súa ecuación xeal x = + t s y = t deteminan un plano e, en caso = 5 t x y + 5 z + 0º- A ecta = = e o punto P ( 7, 4,), deteminan un plano? Razoa a 5 esposta? º- Compoba se os puntos A(,,), B(4,7,8), C(,5,5), D(,, ) e E(,,0) son coplanaios XEOMETRÍA SELECTIVIDADE º- Calcula en función do paámeto α, a posición elativa das ectas: z = y z y α z x α z = α º- a) Ángulo de dúas ectas b) Calcula o ángulo fomado polas ectas: x y z x y z = = = s x + z º- a) Poductos vectoial e mixto Popiedades Intepetación xeomética b) Detemina un plano que, sendo pependicula a ecta definida po: x = t +, y = t +, z = pase polo punto (,) Estudia a posición de especto do eixo OZ 4º- a) Distancia dun punto a un plano b) Estudia, paa os distintos valoes do paámeto a, a posición elativa dos planos: ax + y z + x + 4ay z Detemina,no caso a, a ecuación do plano que,pasando po (,,), é pependicula a ambos 5º- a) Definición de poducto vectoial b) Calcula a áea do tiángulo de vétices os puntos de intesección do plano x+y+z = cos eixos X e Y e coa ecta que pasando pola oixe é pependicula a dito plano 6º- a) Poducto escala Popiedades b) Consideado o plano : π ax + z i)discuti, segundo os valoes do paámeto a, a súa posición elativa especto ao plano OXY ii)calcula o valo ou valoes de a paa que la ecta nomal a π pasando pola oixe fome co plano OXY un ángulo igual a π 7º- Detemina as condicións que teñen que cumpi a e b paa que os tes planos: ax + z, x + bz +, 5 x + y + z se coten nun punto Pondo a= e b=, obtéñase a ecuación paamética da ecta deteminada polos dous pimeios, así como o ángulo que esta foma co teceio 8º- a)definición de poducto vectoial en R b)calcula algún valo do paámeto a paa que o poducto vectoial de: (,, a) e (, a, 0) teña a diección do eixo OZ 9º- a)poducto escala Popiedades Expesión analítica especto a unha base plano b) Acha a ecuación do planoπ que pasa polos puntos A = (, ) e B = (,, ) e é pependicula ao plano π, dado po : x y + z Acha a ecuación xeal ou implícita do plano π e calcula unha ecta paalela ao plano π e que a distancia meno ente ambos sexa de 6 unidades (99) Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía 5

6 x + y + 4z + 5 0º- Dadas as ectas: ( x, y, z) = (,, ) + α ( k,, ) e s 4x y + z Detemina o valo de k paa que e s sexan coplanaias Neste suposto calcula a ecuación do plano que as contén º- Poducto escala de vectoes Definición, expesión analítica y popiedades (con demostacións) (989) º- a)definición de poducto vectoial Calcula a áea do tiángulo que ten po vétices os puntos de intesección do plano x + y + 4z = cos tes eixes de coodenadas(989) º- Obte a fómula que expesa a distancia dun punto a un plano(989) 4º a)ángulo de dúas ectas b)calcula o ángulo fomado polas ectas de ecuacións: x y + z x y z = = e = = (989) 5º- a)posicións elativas de dúas ectas b)estudia a posición elativa das ectas: x y z + + y = : = = : x y + z = (990) 6º- a)expón algún método que pemita calcula a distancia ente dous planos paalelos b)calcula a distancia ente os planos de ecuacións: x + 6 y + 4 e x + y + 4 (990) 7º- Poducto escala Popiedades(990) + y + z = 5 8º- Detemina o plano que conten a ecta: e é paalelo a ecta: x y z = s x y + z 0 = = 4 (990) 9º- Obte a fómula que expesa a distancia dun punto a un plano(990) 0º- a)ángulo que foman ecta e plano b)calcula o ángulo que foman a ecta: ( x, y, z) = (,, ) + α (, 6, 0) e o plano π que pasa polo punto P = (, 6, ) e ten vecto caacteístico (vecto nomal asociado) v = (,, ) (99) x = z + º- Dada a ecta, de ecuacións: y = z + a)detemina a ecuación dun plano π que contén a ecta e está a unha distancia do punto P = (,,) b)calcula a distancia do punto P a ecta (99) º- i)posicións elativas de dúas ectas no espacio ii)demosta que as seguintes ectas se cotan nun punto: ( x, y, z) = (, 4, 0) + α (,, ) e s ( x, y, z) = ( 7,, ) + β ( 4,, 0) Calcula a ecuación implícita do plano que as contén(99) º- i) Que significa que dúas ectas se cuzan? Pon un exemplo de dúas ectas que se cuzan ii)define a distancia mínima ente dúas ectas que se cuzan e calcula esa distancia paa as ectas do teu exemplo iii)define ángulo de dúas ectas que se cuzan e calcula ese ángulo paa as ectas do teu exemplo (99) 4º- i) É posible que o poducto mixto de tes vectoes non nulos sexa ceo? En caso afimativo, dá un exemplo Razoa a esposta ii) Pode se unha ecta pependicula a unha ecta contida nun plano e non se pependicula a dito plano? Razoa a esposta utilizando unha figua iii) Que condición teñen que cumpi as ectas e s, de deteminacións lineais ( P, u) e ( Q, v), paa que se cucen? Pon un exemplo (99) Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía 6

7 5º- Definición de poducto escala de vectoes:intepetación xeomética e expesión analítica especto dunha base otonomal (99) 6º- Calcula o valo do paámeto t paa que as ectas e s se coten nun punto Obtén dito punto x 5 y + z 4 x + y = = = e s x z = + t (99) 7º- Dada a ecta de ecuación continua : x y z = = e o plano π de ecuación: x y + z + 6 Se pide: a)calcula o ángulo que foman a ecta e o plano π b)busca a ecuación continua da ecta s, poxección otogonal da ecta sobe o plano π (994) 8º- a)ecuacións do plano(vectoial, paamética e implícita ou xeal) b)definición e cálculo da distancia dun punto a un plano (994) 9º- a)definición de poducto vectoial de dous vectoes Popiedades b)definición de poducto mixto de tes vectoes Popiedades (995) 0º- a)ecuacións da ecta: vectoial, paamética, continua e educida ou implícita b)posicións elativas de dúas ectas no espacio Discusión (995) º- a)definición e cálculo do ángulo que foman dúas ectascondición de pependiculaidade b)detemina o ángulo que foman a ecta e o plano π de ecuacións: π 6 x + y z = 6 e x = y = z (995 NB) º- a)ecuacións do plano (vectoial, paamética e implícita ou xeneal) b)dados os planos x + y z 5 e x + By + Cz + D, detemina os valoes de B,C e D paa que: i)os planos sexan paalelos sen puntos en común, ii)os planos coincidan, iii)os planos se intesequen nunha ecta º- Dado o punto P = (,, ) (995 NB) 0 e o plano α de ecuación: { x y z 0} + = Calcula: a) As ecuacións paaméticas do plano β, paalelo a α e que contén a P b) O punto Q, simético a P, especto ó plano α (996) 4º- a) Poducto escala de dous vectoes Definición, intepetación xeomética, popiedades e expesión analítica b) Ángulo que foman dous vectoes Otogonalidade Poñe un exemplo dun vecto unitaio que sexa otogonal ó vecto v = (, ) (996) 5º- - Detemina o valo de λ paa que sexan coplanaias as ectas e s de ecuacións: x y = α λ : = = z s: y = α z = + α Neste caso, calcula o punto de cote de ámbalas dúas ectas e a ecuación xeal do plano que as contén ( xuño 997) - Dada a ecta, deteminada polos puntos A = (,, ) e B = (, ) Calcula os puntos de tales que a súa distancia ó punto C = (,, 0 ) é de 4 unidades Calcula a distancia de C á ecta y y z 6º- - Dadas as ectas e s de ecuacións: : = = z s: x = = 5 Estudia a posición elativa das dúas ectas Acha o plano paalelo ás dúas ectas e que equidista delas (set 997) Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía 7

8 -Acha o volume do tetaedo de vétices o punto P = (,, ) e os puntos nos que o plano π:x + y + z cota ós eixos de coodenadas Calcula o punto simético de P especto ó planoπ 7º- A- Posicións elativas de dous planos B- Dados os planos π : 4x + my + mz = 6 e τ : mx + y + z + estudia a súa posición elativa segundo os valoes de m Paa que valo de m son π e τ pependiculaes ente si? (xuño 998) 8º- A- Ángulo que foman unha ecta e un plano Condición de pependiculaidade de ecta e plano B- Dados os puntos A = (,0), B = (0), C = (,0) e D = (,, ), detemina o ángulo fomado polo plano que pasa polos puntos A, B e C e ecta que pasa po C e D (xuño 998) 9º- Deduce as ecuacións vectoial, paaméticas e implícita ou xeal dun plano deteminado po un punto e dous vectoes diectoes Ilusta as definicións anteioes deducindo as ecuacións do plano π que pasa polo punto P = (-,, 0) e ten po vectoes diectoes a u = (,,) e v(, (setembo 998) 40º- Definición de poducto escala Popiedades e intepetación xeomética Cal é o poducto escala de dous vectoes pependiculaes? (setembo 998) 4º- Considea os puntos A = (,,0) e B = (, ) Detemina os puntos C sobe a ecta ( x, y, z) = (,) + t() situados a unha distancia da ecta que pasa po A e B (xuño 999) 4º- Compoba que o punto P = (,, petence á ecta x + y = e non está no plano z = π x y + z = Detemina o outo punto de a igual distancia de π que P (xuño 999) 4º- Calcula o valo do paámeto k paa que o tiángulo de vétices A = (, 5, k), B = (, k, e C = ( k, 5 k,) sexa ectángulo en A Calcula a súa áea (setembo 999) 44º- Compoba que os puntos (,,),(,, ) e (,,0 ) non están aliñados Detemina a distancia da oixe de coodenadas ó plano que pasa po estes tes puntos (setembo 999) 45º- Considea o punto P (4,, 8) e maila ecta l (,5,) + λ (4,,, λ R a) Detemina a distancia do punto P á ecta l mediante o seguinte pocedemento: -Toma un punto, Q, en l, de xeito que o vecto QP fome un ángulo α co vecto diecto da ecta, v -Obseva que a distancia de P a Q vaía segundo vaiamos α, sendo máis cuta cando o ángulo é ecto -Escibe a condición de otogonalidade paa os vectoes QP e v paa detemina o punto Q, e calcula a distancia pedida como o módulo do vecto QP b) Utiliza o método pesentado en a) paa detemina a distancia ente as ectas (9,,0) + ρ ( 4,,), ρ R e s (, ) + σ (,, ), σ R (xuño 000) 46º- a) VECTOR CARACTERÍSTICO DUN PLANO DISTANCIA DUN PUNTO A UN PLANO: deduci a fómula b) Os puntos P = (,, 4) e Q = (5,, ) son siméticos especto dun plano Detemina a ecuación deste plano [Dous puntos son siméticos especto dun plano se o segmento que deteminan cota pependiculamente ó plano nun punto que é o punto medio de P e Q] (setembo 000) 47º- a) ECUACIÓNS PARAMÉTRICAS E ECUACIÓN CONTINUA da ecta no espacio Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía 8

9 b) Descibi a figua xeomética (exión) do espacio fomada polas solucións do sistema 9x y + z = 5x + 5y + z = x + 8y + 7z = c) Demosta que hai infinitas solucións que teñen as tes coodenadas positivas(set 000) 48º- Considea o pisma (non ecto) de base tiangula deteminado polos vectoes OA = (,0), OC = (4,0) e OD = (,4) [ve figua] Completalo a un pisma de base ectangula OABC e tapadeia DEFG a) Detemina as coodenadas dos puntos B, E, F e G Debuxa a figua esultante b) Detemina as coodenadas do punto medio, M, do segmento DF, e calcula a áea do tiángulo que este punto detemina con A e mais C c) Detemina un punto P no segmento EG que con A e C fome un tiángulo isósceles Qué elación existe ente a súa áea e a do tiángulo do apatado b)? ( xuño 000) 49º- considea a ecta,,de ecuación y=x e a, s,que pasa polo punto (, ) e ten de pendente t, onde t é un númeo positivo As ectas e s xunto co eixe OX deteminan un tiángulo T a) Escibi as coodenadas dos tes vétices de T (en función de t) b) Calcula a áea de T en función de t c) Calcula o valo de t paa o que a áea de T é mínima (00) 50º- Os puntos P=(,, 0) e Q=(, ) son dous vétices contiguos dun ectángulo Un teceio y vétice está sobe a ecta z = a) Detemina os vétices dun ectángulo que veifique as condicións anteioes b) Qué posición debeía te a ecta, en elación coa que conten ó segmento PQ, paa que a solución fose única? Razoa a esposta (00) 5º- Nunha zona cha, de nevadas fecuentes, peténdese constuí unha 8 m casa cunha planta segundo o esquema adxunto Paa o tellado, optase po facelo a unha soa auga ( fomando un 4 m D C plano!), e as altuas con especto ó chan escollidas son: metos en A A 7 e B, e 0 metos en C a) Detemina a altua do tellado en D b) Detemina que ángulo foma a pependicula ó tellado coa B 4 m pependicula ó chan (00) ( + α) x y + z 5º- Considea a ecta, onde a é un paámeto, e maila ecta s que ten a x + z (,, ) coma vecto diecto e que pasa po ( b,, c) Detemina os valoes de a, b e c paa que e s se coten na oixe fomando un ángulo de π / 4 (00) 5º- a) Sexan u e v dous vectoes Compobe que se ( u + v) ( u v) entón u = v b) Calcule os vectoes unitaios que sexan pependiculaes ós vectoes u = (,4,) e v = (,,0) (00) 54º- a) Definición de distancia mínima ente dúas ectas e s no espacio Casos posibles b) Calcule a distancia ente as ectas e s, de onde ten po ecuación ( : x = y = 5z ) e ecta s pasa polos puntos A=(,,) e B=(,,-) (00) 55º- a) En que posición poden esta tes planos no espacio que non teñan ningún punto en común? b) Detemine a posición elativa dos planos: π : x y + z = 4, σ : x + y + x + e ϕ : x + 4y 6z (00) Execicios de xeometía 9 Calos del Río Vázquez

10 56º- a) Ángulo que foman dúas ectas b) Detemine o ángulo que foman a ecta, que pasa polo punto (,-,0) e tal que o seo vecto diecto é v x y + 6 z = (,), e a ecta s de ecuación = = (00) º- a) Definición de módulo dun vecto Popiedades b) Detemine os valoes de a e b, a> paa que os vectoes v = ( a, b, b), v = ( b, a, b) e v = ( b, b, a) sexan unitaios e otogonais dous a dous (00) 58º- a) Ángulo que foman unha ecta e un plano b) Detemine o ángulo que foman o plano π : x + y z + 4 e a ecta x y : (00) y + z = 59º- a) Que significa xeometicamente que tes vectoes do espacio tidimensional sexan linealmente dependentes b) Dados os vectoes u = (,,), u = (,,), v = (,,0) e v = (,8,5 ), demoste que os vectoes u e u dependen linealmente dos vectoes v e v Detemine a ecuación xeal do plano que pasa pola oixe e contén ós vectoes v e v, e detemine a posición elativa dos vectoes u e u especto dese plano (00) 60º- a) Definición de poducto escala de dous vectoes Intepetación xeomética x + y z b) Detemine a ecuación que satisfacen os vectoes otogonais á ecta : x y + z Intepete xeometicamente o esultado obtido (00) 6º- a) Distancia ente dúas ectas que se cuzan b) Ache a distancia ente as ectas e s de ecuacións: x = α = + β : y = e s : y = (xuño 004) = α z = β 6º- a) Ángulo que foman dúas ectas Condición de pependiculaidade b) detemine o ángulo que foman a ecta que pasa polos puntos A = (, e B = (, ) e a ecta de ecuación: Calos del Río Vázquez y z = = = (,), B = (,5,4); C = (,5) e D = (,4,7 x (xuño 004) 6º- Compobe que os puntos A ) son coplanaios De todos os tiángulos que se poden constuí tendo vétices tes deses cato puntos, cal é o de maio áea? Obteña o valo de dita áea (setembo 004) x y z 64º- Ache a ecuación xeal do plano π que contén á ecta : = = e é paalelo á ecta s que 4 pasa polos puntos P = (,) e Q = (,, ) Calcule a distancia de s a π (set 0004) 65º- Calcule a distancia ente as ectas de ecuacións: y z 4 y z : x = = e s : x = = (xuño 005) º- Demoste que os puntos P = ( 0, 4 ), Q = (,, ), R = (,, 4 ) e S = (, ) son coplanaios e detemine o plano que os contén (xuño 005) 67º- A Qué condición deben cumpi os coeficientes das ecuacións xeais de dous planos paa que estes sexan pependiculaes? B Ache o ángulo que foman os planos: π : x y + z 7 e σ : x + y + z = (set005) 67º- A Definición de poducto mixto de tes vectoes Pode ocoe que o poducto mixto de tes vectoes sexa ceo sen se ningún dos vectoes o vecto nulo? Razoe a esposta: Execicios de xeometía 0

11 B Paa u,v, w, tes vectoes no espacio tales que u =, v = e w = 5, ache os valoes mínimo e máximo do valo absoluto do seu poducto mixto (setembo 005) 68º- a) Definición e intepetación xeomética do poducto vectoial de dous vectoes en R =,, v =, b) Calcula os vectoes unitaios e pependiculaes ós vectoes u ( ) e ( ) c) Calcula a distancia da oixe de coodenadas ó plano deteminado polo punto (,, ) e os vectoes u = (,,) e v = (, ) (xuño 006) + y z º- Dado o plano π : x + λy + ; e a ecta : 7x y z a) Calcula o valo de λ paa que a ecta e o plano π sexan paalelos Paa ese valo de λ, calcula a distancia ente a ecta e o plano π (xuño 006) b) Paa algún valo de λ, a ecta está contida no plano π? Xustifica a esposta c) Paa algún valo de λ, a ecta e o plano π son pependiculaes? Xustifica a esposta 70ºa) Dados os vectoes u = (,, v = (,,0 ), calcula os vectoes unitaios de R que son otogonais ós dous vectoes dados,, =, v =,,0 Calcula o b) Sexa π o plano deteminado polo punto P ( ) e os vectoes u ( ) e ( ) ángulo que foma o plano π coa ecta que pasa polos puntos O ( 0) e Q (,,) c) Calcula o punto simético de O ( 0) especto do plano y + z x (setembo 006) 7º- Os lados dun tiángulo están sobe as ectas: = + t x y z + y z : = = ; : y = + t ; : = x z a) Calcula os vétices do tiángulo É Un tiángulo ectángulo? Razoa a esposta b) Calcula a ecuación do plano π que contén ó tiángulo Calcula a intesección do plano π cos eixes OX, OY e OZ (setembo 006) 7º- a) Os puntos A (,,0), B(,), C(, ) son vétices consecutivos dun paalelogamo ABCD Calcula as coodenadas do vétice D e a áea do paalelogamo c) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto B (, ) e é pependicula á ecta que pasa polos puntos A (,,0 ) e C (, ) (xuño 007) x = x y + z + 7º- Dadas as ectas : y = + λ ; s : = = = + λ a) Estuda a súa posición elativa b) Calcula a ecuación do plano que contén as dúas ectas (xuño 007) 74º- a) Calcula m paa que os puntos A(,, ), B(,, ) e C (, m) estean aliñados c) Calcula o punto simético do punto P (,0) especto da ecta que pasa polos puntos A (,, ) e B (,,) (setembo 007) = + λ x y 75º- Dadas as ectas : = = z ; s : y = + λ = + λ a) Estuda a súa posición elativa b) Calcula a ecuación do plano que contén á ecta e é paalelo á ecta s (setembo 007) 76º- a) Sexan u e v dous vectoes tales que u =, v = 4, u v = 5 Calcula o ángulo que foman os vectoes u, v, u v, sendo u v o poducto vectoial de u e v u e v Calcula o poducto mixto [ ] Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía

12 = + 6λ x y z + b) Dadas as ectas : = = ; s : y = 4λ (xuño 008) = 4λ estuda a súa posición elativa e calcula a ecuación do plano que pasa polo punto P (,, ) e contén a 77º- a) Son coplanaios os puntos A (,0), B(,,0), C(,, ) e D (,? En caso afimativo, calcula a distancia da oixe de coodenadas ao plano que os contén (xuño 008) b) Calcula p punto simético do punto P( ) especto do plano π : x y + z 78º- a) Calcula a distancia da oixe de coodenadas ao plano que pasa polo punto P (,, ) e é 4x + y z pependicula á ecta : y + z b) Calcula a áea do tiángulo que ten po vétices os puntos de intesección do plano π : x y + z cos eixos de coodenadas É un tiángulo ectángulo? (setembo 008) = + λ + µ 79º- a) Dados os planos π : x y + z ; π : y = λ µ estuda A súa posición elativa z = + λ µ e calcula a distancia ente eles (setembo 008) c) Dado o punto p (,,7 ), calcula o seu simético especto ao plano π y º- Sexa a ecta que pasa polos puntos P ( 8,) e Q (,8,5) e s a ecta s : y z a) Estuda a posición elativa de e s Se se cotan, calcula o punto de cote (xuño 009) b) Calcula a ecuación da ecta que pasa po P e é pependicula ao plano que contén a e s 8º- Sexan π o plano que pasa polos puntos A(,, ), B(,,), C(,,0 ) e a ecta dada po x 7 y + 6 z + : = = a) Calcula o ángulo que foman a ecta e o plano π Calcula o punto intesección de e π b) Calcula os puntos da ecta que distan 6 unidades do plano π (xuño 009) x y + z 8º- Dados os planos π : x + y + z ; π : y z + ; e a ecta : = = a) Calcula o ángulo que foman π e π Calcula o ángulo que foman π e b) Estuda a posición elativa da ecta e a ecta intesección dos planos π e π (setembo 009) 8º- a) Calcula a ecuación da ecta que pasa polo punto P (,,5) e é pependicula ao plano x = + λ π : y = + λ + µ z = + λ + µ b) Calcula a distancia do punto P (,,5) ao plano π Calcula o punto de π que está mais póximo ao punto P (,,5) (setembo 009) 84º- a) Son coplanaios os puntos A (,), B(,), C(,,0) e D (,)? Se existe, calcula a ecuación do plano que os contén b) Calcula a ecuación xeal e as ecuacións paaméticas do plano que é pependicula ao plano α : x + y z + 4 e contén a ecta que pasa polos puntos P (,, ) e Q (,,6) (xuño 0) 85º- a) Calcula a ecuación do plano que pasa polo punto P (,, ) e é pependicula a ecta: x + y + : x z + b) Calcula a distancia d do punto Q (, ) ao plano β : x y + z + Calcula, se existe, outo punto da ecta que tamén diste d do plano β (xuño 0) Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía

13 86º- Dados os puntos A (,), B(,,0), C(,,) e D ( λ, λ, λ) a) Detemina o valo de λ Paa que A, B, C e D sexan coplanaios Paa algún valo de λ son A, B, C e D vétices consecutivos dun paalelogamo? b) Calcula as ecuacións paaméticas do plano π que pasa polo punto C e é pependicula á ecta que pasa polos puntos A e B (xuño 0) 87º- a) Se v = 6, w e v + w = 4, calcula o ángulo que foman os vectoes v e w b) Calcula as ecuacións paaméticas e a ecuación xeal do plano que pasa polos puntos x + y A (,5,0) e B (, ) e é paalelo á ecta : (xuño 0) y z = + λ + µ 88º- a) Estuda a posición elativa dos planos π : x + y + z 5, π : y = λ µ Se se = + µ cotan nunca ecta, escibe as súas ecuacións paaméticas b) Calcula a ecuación do plano π, que pasa pola oixe de coodenadas e é pependicula a π e π Cu c) Calcula a intesección de π,π e π (setembo 0) 89º- Dados o plano e a ecta a) Estuda a posición elativa de e Calcula a distancia de a (xuño 0) b) Calcula a ecuación xeal ou implícita do plano que contén a e é pependicula a 90º- a) Calcula as ecuacións paámeticas da ecta que pasa pola oixe de coodenadas e é pependicula ao plano deteminado polos puntos e b) Calcula os posibles valoes de paa que o punto equidiste da ecta e do plano do apatado anteio (xuño 0) = + t y + z + 9º- Dadas as ectas :, s : y = + t y z = + t a) Estuda a posición elativa de e s Se se cotan, calcula o punto de cote Se deteminan un plano, calcula a ecuación xeal ou implícita dese plano b) Estuda a posición elativa de e o plano π : 4x 4y + z + 7 Calcula a distancia de a π (setembo 0) = + λ + µ 9º- a) Dado o plano α : y = λ + µ, calcula as ecuacións em foma continua da ecta que z = + λ µ pasa pólo punto P (,, 4) e é pependicula ao plano α Calcula o punto de cote de con α b) Calcula a ecuación implícita ou xeal do plano que pasa pólos puntos P (,, ) e Q (,, 4) e é pependicula ao plano α c) Calcula as ecuacións paaméticas da ecta intesección do plano β : 5x 4y + z 9 co plano α (setembo 0) Calos del Río Vázquez Execicios de xeometía