Capitolul 2 Geometrie analitică

Transcript

1 Capitlul 2 Gemetrie analitică 2.1 Vectri Definirea nţiunii de vectr Se presupune cunscută nţiunea de segment rientat 1. Vm nta un segment rientat cu duă litere mari, cu săgeată deasupra, prima literă indicând riginea iar cea de a dua extremitatea segmentului rientat (de exemplu AB, A fiind riginea iar B fiind extremitatea segmentului rientat AB). Pe mulţimea segmentelr rientate, pe carevmntacus, intrducem următarea relaţie: Definitia Segmentele AB şi CD sunt echiplente (şi vm nta acest lucru cu AB CD)dacăşi numai dacă sunt verificate următarele cndiţii: 1. au aceeaşi lungime (AB = CD); 2. dreptele AB şi CD sunt paralele sau cincid (ABkCD); 3. AB şi CD au acelaşi sens ( dacă AB şi CD sunt paralele atunci AC BD =, iar dacă drepteleab şi CD cincid atunci [AC] [BD] este sau mulţimea vidă, sau se reduce la un punct sau este egalăcu[ad] sau este egalăcu[bc]) 2. Remarca Cndiţiile din definiţia sunt echivalente, în cazul în care punctele A, B, C, D nu sunt cliniare cu faptul că ABDC (punctele fiind luate în această rdine) este paralelgram, cnfrm figurii de mai js: Duă segmente rientate echiplente Principalele prprietăţi ale relaţiei de echiplenţădatădedefiniţia sunt date de: Terema Relaţia de echiplenţăeste: 1. reflexivă: pentru rice AB S : AB AB; 2. simetrică: dacă AB CD atunci şi CD AB; 3. tranzitivă: dacă AB CD şi CD EF atunci AB EF. Demnstraţie. Demnstraţia acestr prprietăţi este imediată, ţinând cnt de faptul că relaţia de egalitate între numere (care apare în cndiţia 1. din definiţia 2.1.1) şi relaţia de paralelism între drepte (care apare în cndiţia 2.) din aceeaşi definiţie au prprietăţile de reflexivitate, simetrie şi tranzitivitate. 1 2 un segement rientat este un segment AB pe care s-a stabilit un sens de parcurgere de la A la B. sau, cum se exprimăvariantă de manual de gemetrie de clasa a IX-a, segmentele AD şi BC au acelaşi mijlc. -1-

2 Definitia Pentru un segment rientat AB vm numi clasă n de echiplenţă crespunzătare lui mulţimea tuturr segmentelr rientate echiplente cu el, mulţime ntatăcu AB. Remarca Cu simbluri matematice definţia de mai sus se scrie: n def n AB = CD S CD AB. În legătură cu clasele de echiplenţăesteadevăratăurmătarea teremă: Terema Orice clasă de echiplenţă estenevidăşi duă clase de echivalenţă sau sunt disjuncte sau cincid. n Demnstraţie. Fie clasa de echiplenţă AB.Cnfrm cu 1. din terema AB AB şi deci AB n n n AB 6=. Fie acum duă clase de echiplenţă AB şi CD.Dacăelesunt disjuncte terema este demnstrată. Dacă există un segment rientat EF AB CD să demnstrăm că ele sunt egale. Fiind n n vrba de duă mulţimi, arătăm că fiecare este inclusă în cealaltă. Să cnsiderăm un element A 1 B 1 n AB. Atunci, cnfrm definiţiei A 1 B 1 n AB. DardinEF AB rezultă că EF AB. Aplicănd prprietăţile de simetrie şi tranzitivitate ale relaţiei de echiplenţă rezultăcăa 1 B 1 n EF. Din EF CD rezultă EF CD. EF CD rezultă (tranzitivitatea relaţiei de echiplenţă) că A 1 B 1 Din A 1 B 1 EF şi aceleeaşi definiţii 2.1.2, n n A 1 B 1 CD, deci AB n n la cap, va rezulta şi incluziunea AB CD, c.c.t.d. Pe baza teremei de mai sus suntem în măsurăsădăurmătarea definiţie: n CD,adică cnfrm CD. Reluând raţinamentul de mai sus de la cadă Definitia Se numeşte vectr clasă deechiplenţă de segmente rientate. Pentru un vectr dat un segment rientat din clasa respectivădeechiplenţă se numeşte reprezentant al său. Definitia Se numeşte lungimea unui vectr lungimea ricărui reprezentant al său. Remarca Vm nta vectrii cu litere mici din alfabetul latin cu bară deasupra (a, b, v,..),şi dacă AB a spunem că AB este un reprezentant al vectrului a. Dacă nu este pericl de cnfuzie vm spune vectrul AB, în lc de AB este un reprezentant al vectrului a. Vm nta cu V3 mulţimea tuturr vectrilr din spaţiu. Pentru vectrul a vm nta cu a sau cu a lungimea sa. Remarca Nţiunea de vectr definită mai sus este ceea ce în fizicăşi mecanică senumeşte vectr liber, caracterizat prin mărime (lungimea vectrului respectiv), direcţie (tate dreptele paralele cu un reprezentant al său) şi sens.dacă cndiţia 2. din definiţia se înlcuieşte cu dreptele AB şi CD cincid se bţine nţiunea de vectr alunecătr iar nţiunea de segment rientat cincide cu cea de vectr legat. Remarca Se pate demnstra că fiind dat un punct O din spaţiu şi un vectr a există un singur punct A astfel încât OA a. Remarca În mulţimea vectrilr un rl imprtant (ca etalane pentru măsurarea lungimilr) îl jacă versrii, definiţi ca vectri de lungime Operaţii cu vectri

3 Suma a di vectri şi înmulţireaunuivectrcuunscalar Fiind daţi di vectri, suma lr se defineşte ajutrul reprezentanţilr astfel: Definitia Dacă a şi b sunt di vectri având reprezentanţii OA respectiv AB atunci suma a + b are reprezentantul OB, cnfrm figurii de mai js:. În legăturăcudefiniţia de mai sus se pune întrebarea dacă nu cumva suma a di vectri nu depinde de reprezentanţii aleşi (adică, cnfrm remarcii de punctul O). Răspunsul la această întrebare este negativ, după cum rezultădinurmătarea teremă: Terema Suma a di vectri a şi b nu depinde de reprezentanţi. Demnstraţie 3. Fie un alt punct O 0. Cnfrm remarcii există un singur punct A 0 astfel încât O 0 A 0 a,şi un singur punct B 0 astfel încât A 0 B 0 b. Atunci, cnfrm definiţiei O 0 B 0 a + b. Enunţul teremei spune cătrebuiesăavem O 0 B 0 OB. Făcând cnstrucţia punctelr O 0,A 0,B 0 bţinem figura: B O A Din OA O 0 A 0 şi OB O 0 B 0 va rezulta că triunghiul O 0 A 0 B 0 din această figură este cngruent cu triunghiul OAB din figura1.,deundevarezultacă O 0 B 0 OB. Remarca Dacă punctele O, A, B nu sunt cliniare (adică vm spune că vectriia şi b nu sunt cliniari) atunci adunarea vectrilr se pate defini şi cu regula paralelgramului cnfrm figurii de mai js: B C b a + b O a A 3 dar ideea demnstraţiei, demnstraţia (gemetrică) rigurasă fiind lăsată pe seama cititrului. -3-

4 unde vectrul sumă este diagnala paralelgramului având ca laturi vectrii daţi. Principalele prprietăţi ale sumei sunt date de următarea teremă: Terema (V 3, +) (mulţimea vectrilr înzestratăcuperaţia de adunare) frmeazăungrupabelian. Demnstraţie: 1.Asciativitatea: rezultăurmărindcuatenţie următarea figurăşi scriind următarele egalităţi: ³ OA + AB + ³ BC = OB + BC = OC = OA + AC = OA + AB + BC C c O ( a+ b)+ c a+( b+ c) a a+ b A b + c b B 2.Cmutativitatea: Dacă vectrii nu sunt cliniari rezultă din regula paralelgramului (vezi figura de la remarca 2.1.7), iar în caz de cliniaritate lăsăm demnstraţia pe seama cititrului. n 3.Existenţa elementului neutru: definim vectrul nul 0= AA.În acest caz (vezi de exemplu pe figura de mai sus: {z} OA + {z} AA = {z} OA. a + 0=a n n OA atunci definim a def = AO. Cnfrm definiţiei Existenţa elementului simetric: dacă a = avem egalităţile: {z} OA + {z} AO = {z} OO, a +( a) =0 ceea ce trebuia demnstrat. Oaltăperaţie (care se numeşte legedecmpziţie externă) este înmulţirea unui vectr cu un scalar. Pentru adefini această peraţie precizăm că prin scalar vm înţelege un număr real, şi pentru a evita rice cnfuzie vm ntaînceleceurmează scalarii cu litere din alfabetul grecesc: α, β, γ,... R. Definitia Dacă α R şi v V 3 atunci vm numi prdusul dintre scalarul α şi vectrul v vectrul ntat cu αv definit astfel: dacă OA v atunci OA 1 αv verifică cndiţiile: 1. OA 1 = α OA; 2. dacă α>0 atunci O este în exterirul segmentului [AA 1 ], iar dacă α<0 atunci O este între A şi A 1. Remarca Dacă avemdaţi di vectri v şi w atunci faptul căexistă α R astfel încât w = αv este echivalent cu afirmaţia v şi w sunt di vectri cliniari (paraleli) (vezi şi remarca 2.1.7). Remarca αv = 0 dacăşi numai dacă α =0sau v = 0 Următarea teremă arată legătura care există între înmulţirea unui vectr cu un scalar şi peraţiile de adunare a vectrilr, respectiv de adunare şi înmulţire a scalarilr: -4-

5 (α 1 + α 2 ) v =(α 1 v)+(α 2 v) (2.1.1) α (v 1 + v 2 )=αv 1 + αv 2 (2.1.2) (α 1 α 2 ) v = α 1 (α 2 v) (2.1.3) 1v = v (2.1.4) Demnstraţie. Demnstraţiile egalităţilr (2.1.1), (2.1.3), (2.1.4) se reduc la distributivitatea înmulţirii faţăde adunare în R, iardemnstraţia egalităţii (2.1.2) rezultă dinasemănarea triunghiurilr OAB şi OA 1 B 1 din figura de mai js: ( OB 1 = α OB şi deci αv1 + αv 2 = α (v 1 + v 2 )). Remarca Teremele şi se puteau enunţa într- singură teremă, flsind nţiunea de spaţiu vectrial (vezi manualul [?]) astfel: Mulţimea vectrilr din spaţiu împreună cu peraţia deadunareşi cea de înmulţire cu un scalar frmeazăunspaţiu vectrial real. Cu ajutrul peraţiei de înmulţire cu un scalar putem defini acum nţiunea de versr al unui vectr: Definitia Se numeşte versr al unui vectr v vectrul bţinut prin înmulţirea vectrului v cu inversul lungimii sale (adică vectrul v v, care este un versr cnfrm remarcii 2.1.6). O prblemă care apare frecvent în aplicaţiile vectrilr este descmpunerea unui vectri după direcţiile a di (sau trei) vectri. Psibilitatea unei astfel de descmpuneri este dată de următarele duă tereme. Pentru aceasta e necesar să precizăm nţiunea de vectri cplanari: Definitia Trei vectri v 1, v 2, v 3 se numesc vectri cplanari dacă reprezentanţii lr care au riginea în acelaşi punct 4 sunt cplanari (adicăpentruricepuncto dacă OA 1 v 1, OA 2 v 2, OA 3 v 3 atunci punctele O, A 1,A 2,A 3. sunt cplanare). Terema Dacă vectrii v, v 1, v 2 sunt cplanari şi vectrii v 1 şi v 2 nu sunt cliniari (vezi remarca 2.1.8) atunci existăînmdunicdiscalariλ 1,λ 2 astfel încât: v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2. (2.1.5) Demnstraţie. Fie un punct O fixat şi reprezentanţii (vezi figurademaijs): OC v, OA1 v 1, OB1 v 1. Prin C ducem paralela CB la OA 1 care intersectează (dearece v 1 şi v 2 nu sunt cliniari) pe OB 1 în B şi paralela CA la OB 1 care intersecteazăpeoa 1 în A. 4 cnfrm remarcii aceşti reprezentanţi există. Pentru rice vectri v, v 1, v 2 V 3 şi pentru rice scalari α, α 1,α 2 R sunt adevărate egal- Terema ităţile: -5-

6 Cnfrm regulii paralelgramului de adunare a di vectri, OC = OA + OB. Dar, cnfrm definiţiei 2.1.6, există scalarii λ 1, λ 2 astfel încât OA = λ 1OA1, OB = λ2oa2. Din ultimele trei egalităţi rezultă că OC = λ 1OA1 + λ 2OA2, adică tcmai egalitatea (2.1.5) scrisă cu ajutrul reprezentanţilr. Să demnstrăm acum unicitatea frmulei (2.1.5). Presupunem că existăşi scalarii λ 0 1,λ 0 2 (cu λ 0 1 6= λ 1 sau λ 0 2 6= λ 2 )astfelîncât v = λ 0 1v 1 + λ 0 2v 2. Scăzând această egalitate din (2.1.5) rezultă λ 1 λ 0 1 v1 + λ 2 λ 0 2 v2 = 0. Dacă λ 0 1 6= λ 1 împărţind ultima egalitate cu λ 1 λ 0 1 rezultă v 1 = λ2 λ0 2 λ 1 λ v 0 2, deci, cnfrm remarcii vectrii v 1 şi v 2 sunt 1 cliniari, cntradicţie. Terema (descmpunerea unui vectr după treidirecţii date) Dacă vectrii v 1, v 2, v 3 nu sunt cplanari atunci pentru rice vectr v V 3 există unic cnstantele λ 1,λ 2,λ 3 astfel încât: v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3. Demnstraţie. Este analagă cu demnstraţia teremei precedente (ca idee), după cum se cnstată urmărind figura de mai js, în care s-a cnstruit un paralelipiped cu diagnala OB v, cu laturile paralele cu OA1 v 1, OA 2 v 2, OA 3 v 3. Scrierea egalităţilr crespunzătare acestei figuri se lasă pe seama cititrului. Prduse de di vectri Fie di vectri v 1, v 2. Definitia Se numeşte prdusul scalar al vectrilr v 1 şi v 2 numărul (scalarul) ntat cu v 1 v 2 definit prin: v 1 v 2 = v 1 v 2 cs α (2.1.6) unde α este unghiul (mai mic decât π) dintre cei di vectri (vezi şi figura de mai js, unde OA v 1, OB v2, OB 0 OA). -6-

7 Remarca Prdusul scalar a di vectri este egal cu prdusul dintre lungimea unuia din vectri, lungimea priecţiei celui de al dilea vectr pe primul, şi +1 dacă unghiul dintre cei di vectri este mai mic decât π 2 respectiv 1 dacă unghiul dintre cei di vectri este btuz. (pe figura de mai sus prdusul scalar dintre v 1 şi v 2 este egal cu OA OB 0 ). Dacă nu este pericl de cnfuzie prdusul scalar al vectrilr v 1 şi v 2 se nteazăşi v 1 v 2. Remarca Din definiţia prdusului scalar rezultă că lungimea unui vectr (vezi, pentru ntaţie remarca 2.1.3) se pate calcula cu frmula: v = v v (de aceea în cazul în care se calculează prdusul scalar al unui vectr cu el însuşi se pate renunţa la bara de deasupra vectrului, adică v v = v v). Remarca Prdusul scalar a di vectri este nul dacă şi numai dacă unul din vectri este vectrul nul sau vectrii sunt perpendiculari, după cum rezultă dinfrmuladedefiniţie Cu frmule matematice aceasta se pate scrie: v 1 =0sau v 1 v 2 =0 v 2 =0sau (2.1.7) v 1 v 2 (cs α =0) INTERPRETARE MECANICĂ: Prdusul scalar dintre vectrii v 2 şi v 1 este egal cu lucrul mecanic prdus de frţăegalăcuv 2 la deplasarea v 1. Principalele prprietăţi ale prdusului scalar sunt date de următarea teremă: Terema Oricare sunt vectrii v 1, v 2 şi v 3 şi ricare ar fi scalarul α R sunt adevărate egalităţile: v 1 v 2 = v 2 v 1 (cmutativitate) (2.1.8) v 1 (v 2 + v 3 )=v 1 v 2 + v 1 v 3 (distributivitate faţă de adunarea vectrilr) (2.1.9) (αv 1 ) v 2 = v 1 (αv 2 )=α (v 1 v 2 ). (2.1.10) Demnstraţie. Egalitatea 2.1.8, respectiv rezultă imediat din frmula care defineşte prdusul scalar, ţinând cnt de cmutativitatea, respectiv asciativitatea înmulţirii numerelr reale. Egalitatea se demnstrează pe baza remarcii şi a faptului că priecţia sumei este egalăcusumapriecţiilr 5. Fie acum vectrii v 1 şi v 2, cu unghiul dintre ei (mai mic decât π) ntat cu α. Definitia Se numeşte prdusul vectrial al vectrilr v 1 şi v 2 vectrul ntat v 1 v 2 definit astfel: 1. lungimea prdusului vectrial se calculează cnfrm frmulei: v 1 v 2 = v 1 v 2 sin α; (2.1.11) 2. v 1 v 2 este perpendicular atât pe v 1 cât şi pe v 2 ; 3. sensul lui v 1 v 2 este dat de regula burghiului drept: sensul în care înaintează un burghiu când rtim v 1 spre v 2 subununghiminim(maimicdecâtπ). 5 exprimarenuprearigurasă. -7-

8 Remarca Prdusul vectrial a di vectri este un vectr, a cărui lungime se calculează cufrmula , direcţia şi sensul său fiind precizate de celelalte duă cndiţii din definiţia demaisus. Frmula defineşte lungimea vetrului prdus vectrial ca fiind egală cu aria paralelgramului cnstruit pe cei di factri, după cum se bservă şi în figura de mai js, în care OC v1 v 2, OA v 1, OB v2,adk OB, BD k OA, iar aria paralelgramului OADB este egalăcuoa OB sin α: Remarca Prdusul vectrial a di vectri este nul dacă şi numai dacă unul din vectri este vectrul nul sau vectrii sunt cliniari (paraleli), după cumrezultă din frmula Cu frmule matematice aceasta se pate scrie: v 1 =0sau v 1 v 2 = 0 v 2 =0sau (2.1.12) v 1 k v 2 (sin α =0) INTERPRETARE MECANICĂ: Prdusul vectrial dintre vectrii v 2 şi v 1 este egal cu mmentul frţei v 2 având braţul frţei v 1, mmentul având riginea în riginea braţului frţei, (vezi figura precedentă, frţa fiind AD iar braţul frţei OA. Principalele prprietăţi ale prdusului vectrial sunt date de următarea teremă: Terema Oricare sunt vectrii v 1, v 2 şi v 3 şi ricare ar fi scalarul α R sunt adevărate egalităţile: v 1 v 2 = v 2 v 1 (anticmutativitate) (2.1.13) v 1 (v 2 + v 3 )=v 1 v 2 + v 1 v 3 (distributivitate faţă de adunarea vectrilr) (2.1.14) (αv 1 ) v 2 = v 1 (αv 2 )=α (v 1 v 2 ). (2.1.15) Demnstraţie. Frmulele (2.1.13) şi (2.1.15) sunt evidente pe baza definiţiei prdusului vectrial, iar demnstraţia frmulei (2.1.14) este demnstraţie gemetrică destul de labriasă pe care nu reprducem aci (pentru cei intertesaţi ea se pate găsi în [?]). Prduse de trei vectri Fie acum trei vectri v 1, v 2, v 3. Se numeşte prdusul mixt al vectrilr v 1, v 2, v 3 scalarul ntat cu (v 1, v 2, v 3 ) definit de fr- Definitia mula: -8- (v 1, v 2, v 3 )=v 1 (v 2 v 3 ). (2.1.16)

9 INTERPRETARE GEOMETRICĂ: Prdusul mixt a trei vectri este egal cu ±vlumului paralelipipedului cnstruit pe cei trei vectri, după cum se cnstatăpefigura?? de mai js (în care OV = v2 v 3,înălţimea paralelipipedului OA 2 CA 3 A 1 EBD fiind egalăcuoa 0 1, care este priecţia pe OV a vectrului v1,şi deci prdusul scalar v 1 OV este chiar vlumul paralelipipedului, abstracţie făcând de semn): Interpretare gemetrică a prdusului mixt. Remarca Dacă vectrii v 1, v 2, v 3 sunt nenuli, atunci prdusul lr mixt este egal cu 0 dacă sau prdusul vectrial v 2 v 3 este nul (adică, cnfrm remarcii v 2 şi v 3 sunt cliniari) sau vectrul v 1 este perpendicular pe v 2 v 3,adică v 1 este cplanar cu v 2 şi v 3. În ambele cazuri cnstatăm că (v 1, v 2, v 3 )=0este echivalent cu faptul că cei trei vectri sunt cplanari. Principalele prprietăţialeprdusuluimixtsuntdatedeurmătarea teremă: Terema Prdusul mixt este invariant la permutare circulară 6 a factrilr, iar dacăseschimbărdinea a di factri se schimbă semnul prdusului. Demnstraţie. Din interpretarea gemetrică a prdusului mixt rezultă că prdusul mixt a trei vectri pate lua dar duă valri. Care sunt permutările vectrilr pentru care prdusul mixt ia fiecare din cele duă valriva rezulta mai simplu din paragraful următr, pe baza frmulei (2.2.7) din terema Pentru aceiaşi trei vectri ca mai sus putem defini încă un prdus: Definitia Se numeşte dublul prdus vectrial al vectrilr v 1, v 2, v 3 vectrul v 1 (v 2 v 3 ). În legătură cu acest prdus menţinăm următarea teremă: Terema Oricare sunt vectrii v 1, v 2, v 3 este adevărată următarea frmulă (cunscută sub numele de frmula lui Gibs): v 1 (v 2 v 3 )=(v 1 v 3 ) v 2 (v 1 v 2 ) v 3. (2.1.17) 6 prin permutare circulară a trei numere a, b, c se înţelege permutare în care fiecare element este înlcuit cu următrul, iar ultimul cu primul, cnfrm schemei: -9-

10 Demnstraţie. Să bservăm că v 1 (v 2 v 3 ) este un vectr perpendicular pe v 2 v 3 şi dearece v 2 şi v 3 sunt la rândul lr perpendiculari pe v 2 v 3 (vezi definiţia prdusului vectrial) rezultă că vectrii v 1 (v 2 v 3 ), v 2 şi v 3 sunt cplanari, ceea ce implică (vezi terema 2.1.6) existenţa scalarilr λ şi μ astfel încât: v 1 (v 2 v 3 )=λv 2 + μv 3. (2.1.18) Să înmulţim acum scalar această egalitate cu vectrul v 1. Pe baza prprietăţilr prdusului scalar va rezulta: 0=λ (v 1 v 2 )+μ(v 1 v 3 ). Din această egalitate rezultă μ (v = λ 1v 2) (v 1v 3). Ntând valarea cmună a acestr raparte cu κ şi înlcuind pe λ şi μ în (2.1.18) rezultă: v 1 (v 2 v 3 )=κ((v 1 v 3 ) v 2 (v 1 v 2 ) v 3 ). Lăsăm pe seama cititrului să demnstreze egalitatea κ = Bază, crdnate, exprimarea peraţiilr cu vectri flsind crdnatele Bază şi crdnate În acest paragraf vm generaliza nţiunea de vectri cliniari şi vectri cplanari, prnind de la remarca şi terema 2.1.6: Definitia Vectrii v 1, v 2,...,v n se numesc liniar dependenţi dacăexistă n scalari λ 1,λ 2,...,λ n,nutţi nuli P (adică n 6=0) astfel încât: nx λ 2 k k=1 şi liniar independenţi în caz cntrar. k=1 λ k v k = 0, (2.2.1) Remarca Di vectri cliniari sunt liniari dependenţi, căci cnfrm remarcii mai sus amintite dacă v 1, v 2 sunt cliniari atunci există un scalar α astfel încât v 1 = αv 2 sau v 2 = αv 1 deci este verificată (2.2.1) cu λ 1 = 1,λ 2 = α sau λ 1 = α, λ 2 =1. Invers, dacă di vectri sunt liniar dependenţi atunci ei sunt cliniari, dearece din λ 1 v 1 + λ 2 v 2 dacă λ 1 6=0rezultă v 1 = λ2 λ 1 v 2, iar dacă λ 1 6=0rezultă v 2 = λ1 λ 2 v 1. Analg se arată (flsind terema 2.1.6) că trei vectri cplanari sunt liniari dependenţi şi reciprc, trei vectri liniar dependenţi sunt cplanari. Remarca Suma din mebrul stâng al egalităţii (2.2.1) se numeşte cmbinaţie liniarăavectrilrv 1, v 2,...,v n, iar liniar independenţa lr este echivalentă cuafirmatia: dacă acmbinaţie liniară avectrilresteegalăcuvectrulnul,atuncitţi scalarii din cmbinaţia liniară sunt nuli. Remarca Dacă unul din vectrii v 1, v 2,...,v n este vectrul nul atunci ei sunt liniar independenţi, dearece putem lua scalarul crespunzătr vectrului nul egal cu 1 iar ceilalţi scalari egali cu 0 şi egalitatea (2.2.1) este adevărată. Flsind nţiunea de liniar dependenţă terema se reenunţăastfel: Terema Orice patru vectri din V 3 sunt liniar dependenţi. Demnstraţie. Fie vectrii v 1, v 2, v 3, v 4. Dacă v 1, v 2, v 3 sunt cplanari atunci, cnfrm remarcii ei sunt liniari dependenţi, de unde rezultă că (vezi remarca precedentă) v 1, v 2, v 3, v 4 sunt liniari dependenţi. Dacă v 1, v 2, v 3 nu sunt cplanari, atunci cnfrm teremei 2.1.7, există scalarii λ 1,λ 2,λ 3 astfel încât: v 4 = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3, (2.2.2) de unde rezultă λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 1 v 4 =0, deci v 1, v 2, v 3, v 4 sunt liniari dependenţi (λ 4 = 1 6= 0). Flsind nţiunile de liniar dependenţăşi liniar dependenţăsuntemînmăsurăsădefinim nţiunea de bază: Definitia Omulţime de vectri {v 1, v 2,...,v n } V 3 se numeşte bază dacă verificăurmătarele cndiţii:

11 1. Vectrii v 1, v 2,...,v n sunt liniar independenţi. 2. Oricare ar fi vectrul v V 3 vectrii v, v 1, v 2,...,v n sunt liniar dependenţi. Bineînţeles că sepuneprblemedacăînv 3 există bazăşi dacă existe mai multe baze, prin ce se aseamănă ele. Răspunsul la aceste prbleme este dat de următarea teremă: Terema Orice mulţime frmată din trei vectri necplanari frmeazăbazăînv 3. Demnstraţie. Fie v 1, v 2, v 3 trei vectri necplanari. Repetând raţinamentul de la demnstraţia teremei precedente rezultăcă pentru rice vectr v 4 există scalarii λ 1,λ 2,λ 3 astfel încât egalitatea (2.2.2) să fieadevărată, deci v 1, v 2, v 3, v 4 sunt liniari dependenţi. Remarca Terema precedentă precizeazăcăexistă baze în V 3 şi că rice bază are exact trei elemente. În legătură cu frmula (2.2.2), este adevăratăurmătarea teremă: Terema Dacă {v 1, v 2, v 3 } este bază înv 3 atunci pentru rice v 4 V 3 scalarii care apar în (2.2.2) sunt unici. Demnstraţie. Presupunem că există scalarii λ 0 1,λ 0 2,λ 0 3 astfel încât v 4 = λ 0 1v 1 + λ 0 2v 2 + λ 0 3v 3. Scăzând din această egalitate egalitatea rezultă λ 0 1 λ 1 v1 + λ 0 2 λ 2 v2 + λ 0 3 λ 3 v3 = 0. Din liniar independenţa vectrilr v 1, v 2, v 3 rezultă (vezi remarca 2.2.2) că λ 0 1 λ 1 =0,λ 0 2 λ 2 =0,λ 0 3 λ 3 =0, deci λ 0 1 = λ 1,λ 0 2 = λ 2,λ 0 3 = λ 3. Terema precedentănepermitesădăm următarea definiţie: Definitia Dacă B = {v 1, v 2, v 3 } este bazăînmulţimea V 3 atunci pentru un vectr v 4 scalarii λ 1,λ 2,λ 3 din frmula (2.2.2) se numesc crdnatele vectrului v 4 în baza B. Dacă asupra vectrilr care frmează baza punem cndiţi suplimentare, bţinem baze cu diferite denumiri, cnfrm definiţiei de mai js: Definitia Obază B = {v 1, v 2, v 3 } se numeşte: 1. rtgnală dacă fiecare dintre vectrii v 1, v 2, v 3 este perpendicular pe ceilalţi; 2. rtnrmatădacă este rtgnalăşi vectrii care frmează sunt versri; 3. rtnrmată direct rientată dacă este rtnrmatăşi v 3 = v 1 v 2. Vectrii care frmeazăbază rtnrmată direct rientată îi vm nta cu i, j,k,caşi în figura de mai js: şi în acest caz vm nta crdnatele unui vectr v cu literele x, y, z (adică v = xi + yj + zk ). Exprimarea peraţiilr cu vectri flsind crdnatele Dearece legătura dintre peraţiile cu vectri şi peraţiile cu crdnatele lr într- bază arbitrară nu este chiar atât de simplă în cazul prduselr, vm utiliza în cele ce urmează dar baze rtnrmate direct rientate. În acest caz este adevăratăurmătarea teremă: Terema Dacă i, j,k ª este bază rtnrmată direct rientată şi vectrii v l,l = 1, 3 au crdnatele (x l,y l,z l ) atunci sunt adevărate următarele egalităţi: v 1 + v 2 =(x 1 + x 2 ) i +(y 1 + y 2 ) j +(z 1 + z 2 ) k; (2.2.3) αv 1 =(αx 1 ) i +(αy 1 ) j +(αz 1 ) k; (2.2.4) -11-

12 v 1 v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ; (2.2.5) v 1 v 2 =(y 1 z 2 y 2 z 1 ) i +(z 1 x 2 z 2 x 1 ) j +(x 1 y 2 x 2 y 1 ) k; (2.2.6) x 1 y 1 z 1 (v 1, v 2, v 3 )= x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3. (2.2.7) Demnstraţie. Demnstraţia egalităţilr (2.2.3) şi (2.2.4) rezultădinprprietăţile peraţiilr de adunare a di vectri (vezi terema 2.1.4) şi înmulţirea unui vectr cu un scalar (vezi terema 2.1.5), precum şi din unicitatea crdnatelr unui vectr într- bazădată. Astfel (2.2.3) rezultădinurmătrul şir de egalităţi: v 1 + v 2 = x 1 i + y 1 j + z 1 k + x 2 i + y 2 j + z 2 k = = x 1 i + x 2 i + y 1 j + y 2 j + z 1 k + z 2 k = =(x 1 + x 2 ) i +(y 1 + y 2 ) j +(z 1 + z 2 ) k. Egalitatea (2.2.5). rezultă din prprietăţile (2.1.8), (2.1.9), (2.1.10) ale prdusului scalar, precum şi din egalităţile i i = j j = k k =1, i j = i k = j k =0, (baza fiind rtnrmată): v 1 v 2 = x 1 i + y 1 j + z 1 k x 2 i + y 2 j + z 2 k = = x 1 x 2 i i + x1 y 2 i j + x1 z 2 i k + y1 x 2 j i + y1 y 2 j j + y1 z 2 j k + +z 1 x 2 k i + z1 y 2 k j + z1 z 2 k k = x1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2. Egalitatea (2.2.6). rezultă rezultă din prprietăţile (2.1.11), (2.1.14), (2.1.15) ale prdusului vectrial, precum şi din egalităţile i i = j j = k k = 0, i j = k, i k = j, j k = i (baza fiind rtnrmată): v 1 v 2 = x 1 i + y 1 j + z 1 k x 2 i + y 2 j + z 2 k = = x 1 x 2 i i + x1 y 2 i j + x1 z 2 i k + y1 x 2 j i + y1 y 2 j j + y1 z 2 j k + +z 1 x 2 k i + z1 y 2 k j + z1 z 2 k k =(y1 z 2 y 2 z 1 ) i +(z 1 x 2 z 2 x 1 ) j +(x 1 y 2 x 2 y 1 ) k. Ultima egalitate din teremă rezultă din aplicarea precedentelr duă şi din dezvltarea determinatului din membrul drept după prima linie. Remarca Frmula 4. se pate reţine mai uşr astfel: i j k v 1 v 2 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2, (2.2.8) căci membrul drept al frmulei este (frmal) tcmai determinantul de mai sus dezvltat după prima linie. Remarca Frmula lui Gibs (2.1.17) rezultă şi prin calcul, aplicând pentru membrul stâng de duă ri frmula pentru prdusul vectrial, iar pentru membrul drept frmulele 3. şi 2. din terema precedentă. Din terema precedentă rezultăurmătarele cnsecinţe: Crlarul Dacă v = xi + yj + zk atunci x = v i, y = v j,z = v k. Demnstraţie. Aplicând frmula (3.) rezultă: v i = xi + yj + zk i = xi + yj + zk 1 i +0 j +0 k = x 1=x. Crlarul Dacă v = xi + yj + zk atunci lungimea sa este: v = p x 2 + y 2 + z 2. (2.2.9) Demnstraţie. Din definiţia prdusului scalar rezultă v = v v, şi aplicând frmula 3. din terema precedentă rezultă egalitatea (2.2.9). Crlarul Dacă v l,l = 1, 2 au crdnatele x l,y l,z l şi α este unghiul dintre ei atunci: x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 cs α = p x y1 2 + p z2 1 x y (2.2.10) z

13 Demnstraţie. Din definţia prdusului scalar rezultă că cs α = v 1 v 2 v 1v 2,şi se aplică frmula 3. din terema precedentă precum şi crlarul precedent. O cnsecinţă a crlarului precedent este: Crlarul Oricare ar fi numerele x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2 este adevăratăurmătarea inegalitate: (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2 x y1 2 + z1 2 x y2 2 + z2 2, (2.2.11) inegalitatate care este un caz particular al inegalităţii Cauchy-Buniakvski-Schwarz. Demnstraţie. Se cnsideră vectrii v l,l = 1, 2 care au crdnatele x l,y l,z l şi ntând cu α unghiul dintre ei rezultă cs 2 α 1. În această inegalitate se înlcuieşte cs α cnfrm frmulei (2.2.10), şi aducând la acelaşi numitr rezultă (2.2.11). Remarca Din (2.2.10) rezultăcă vectrii v 1, v 2 sunt perpendiculari dacăşi numai dacă: x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 =0. (2.2.12) Crlarul Oricare ar fi numerele x 1,y 1,z1, x 2,y 2,z 2 este adevărată următarea identitate (identitatea lui Lagrange): (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2 +(y 1 z 2 y 2 z 1 ) 2 +(z 1 x 2 z 2 x 1 ) 2 +(x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 = = x y z2 x y2 2 + z2 2 Demnstraţie. Raţinând ca şi la crlarul rezultă pentru unghiul α egalitatea cs 2 α +sin 2 α =1,şi înlcuind aci cs α cnfrm (2.2.10) şi sin α cu v 1 v 2 v 1 v 2, pe baza frmulelr 3. şi 4. din terema precedentărezultă identitatea de mai sus. -13-

14 2.3 Gemetria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva nţiuni de bază în gemetria analitică. Definitia Se numeşte reper în spaţiu mulţime frmată dintr-un punct O (numit riginea reperului) şi bazădinv 3.Dacăbazaeste rtnrmată reperul se va numi rtnrmat. Remarca În cele ce urmează vm cnsidera numai repere în care baza este rtnrmată şi direct rientată. Un astfel de reper, cnfrm ntaţiilr din sectiunea 2 se va nta cu O, i, j,k ª. Definitia Se numeşte vectr de pziţie al unui punct M din spaţiu într-un reper vectrul care are ca reprezentant segmentul rientat OM. Se numesc crdnatele unui punct M într-un reper crdnatele vectrului de pziţie al punctului M în baza din reper. Remarca Dacă avemdatreperul O, i, j,k ª atunci crdnatele punctului M se ntează (x, y, z) şi sunt definite de egalitatea: OM = xi + yj + zk. Vm scrie în cntinuare M (x, y, z) şi vm citi punctul M de crdnate (x, z, y). Dreptele rientate determinate de O şi versrii i, j respectiv k se vr nta cu Ox, Oy respectiv Oz şi se vr numi axele de crdnate, iar uneri vm flsi denumirea reperul Oxyz în lc de reperul O, i, j,k ª, denumire justificată şi de desenul de mai js: Planul în spaţiu În această secţiune vm studia planul din punct de vedere al gemetrie analitice, adică vm răspunde la întrebările: Dacă un punct M (x, y, z) este într-un anumit plan, ce relaţii există între crdnatele sale? Cum se reflectă asupra crdnatelr punctelr din plan prprietăţi gemetrice ale planului respectiv?. Pentru început vm răspunde la prima întrebare: Diferite determinări ale planului Vm studia ce cndiţii verifică crdnatele unui punct situat într-un plan care este definit prin anumite cndiţii gemetrice: Plan determinat de un punct şi un vectr perpendicular pe plan Fie punctul M 0 şi vectrul N (N 6= 0). Din gemetria de liceu se ştie că există un singur plan, pe care îl vm nta cu Π care trece prin punctul M 0 şi este perpendicular pe vectrul N. Fie acum un punct M arbitrar din planul Π. Esteadevăratăurmătarea teremă: Terema M Π dacăşi numai dacă este adevăratăurmătarea egalitate: MM 0 N =0. (2.3.1) Demnstraţie. Cnfrm figurii de mai js (în care M 0 Π, N Π,sunt date, iar M este un punct arbitrar din planul Π): -14-

15 punctul M aparţine planului Π dacă şi numai dacă vectrii N şi M 0 M sunt perpendiculari 7, ceea ce, cnfrm remarcii este echivalent cu egalitatea (2.3.1). Să transcriem acum egalitatea (2.3.1) flsind crdnatele. Pentru aceasta să ntăm crdnatele punctului M 0 cu (x 0,y 0,z 0 ), crdnatele punctului M cu (x, y, z) şi crdnatele vectrului N cu (A, B, C). Atunci, pe baza teremei şi a definiţiei crdnatelr unui punct (definiţia 2.3.2) M 0 M =(x x 0 ) i +(y y 0 ) j + (z z 0 ) k şi deci M 0 M N =(x x 0 ) A+(y y 0 ) B +(z z 0 ) C, care înlcuită în membrul stâng al egalităţii (2.3.1) ne cnduce la ecuaţia: A (x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 )=0 (2.3.2) Dacă în ecuaţiademaisusntăm Ax 0 + By 0 + Cz 0 = D rezultă căpunctulm (x, y, z) aparţine planului Π dacăşi numai dacă crdnatele sale verifică ecuaţia: Ax + By + Cz + D =0. (EGP) Ecuaţia (EGP) se numeşte ecuaţia generală a planului în spaţiu (cu cndiţia A 2 +B 2 +C 2 6=0, pentru că N 6= 0). Example Ne prpunem să aflăm ecuaţia planului xoy. Acest plan este determinat de punctul O (0, 0, 0) şi are ca vectr nrmal versrul k, deci A =0,B =0,C =1. Înlcuind în frmula (2.3.2) bţinem ecuaţia planului xoy : z =0. (2.3.3) Plan determinat de un punct şi di vectri necliniari paraleli cu planul Fie un punct M 0 (x 0,y 0,z 0 ) şi vectrii v 1 = a 1 ī + b 1 j + c 1 k, v2 = a 2 ī + b 2 j + c 2 k necliniari (adică, cnfrm remarcii v 1 v 2 6= 0). Ne prpunem să aflăm ce ecuaţie (sau ecuaţii) verifică crdnatele unui punct M (x, y, z) care aparţine unui plan Π care cnţine punctul M 0 şi este paralel cu vectrii v 1 şi v 2. Figurademai js ilustrează ideea demnstraţiei teremei 2.3.2: Analgul teremei este: 7 cnfrm gemetriei din liceu, dreaptă este perendicularăpeunplandacăşi numai dacăesteperpendicularăpericedreaptădinplan. -15-

16 Terema Punctul M aparţine planului Π dacăşi numai dacăesteverificată ecuaţia: ³ MM 0, v 1, v 2 =0 (2.3.4) Demnstraţie. Punctul M aparţine planului Π dacă şi numai dacă vectrii MM 0, v 1, v 2 sunt cplanari, ceea ce este echivalent cu egalitatea (2.3.4), cnfrm remarcii Flsind crdnatele egalitatea (2.3.4) se scrie, cnfrm peraţiilr cu vectri (vezi frmula (2.2.7)): x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 =0. (2.3.5) a 2 b 2 c 2 Plan determiant de trei puncte necliniare Fie punctele M i (x i,y i,z i ),i= 1, 3 necliniare (adicăvectrii M 1 M 2 şi M 1 M 3 sunt necliniari, sau flsind peraţii cu vectri, cnfrm remarcii , M 1 M 2 M 1 M 3 6= 0 ). Ecuaţia planului determinat de cele trei puncte este datăde: Terema Planul Π care trece prin punctele M i (x i,y i,z i ),i= 1, 3 necliniare are ecuaţia: x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 =0. (2.3.6) x 3 y 3 z 3 1 Demnstraţie.Varianta 1. (gemetrică) Reducem prblema la cazul precedent, cnsiderând că planulπ este determinat de punctul M 1 şi vectrii M 1 M 2 şi M 1 M 3. Cnfrm frmulei (2.3.5) ecuaţia planului este: x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 =0, ecuaţie care se pate scrie: x x 1 y y 1 z z 1 0 x 1 y 1 z 1 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 0 =0 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 0 adunând în determinantul de mai sus linia a dua la celelalte linii bţinem ecuaţia (2.3.6). Variantaa2-a.(algebrică) Ecuaţia planului Π (vezi (EGP)) este: Ax + By + Cz + D =0 (2.3.7) A determina ecuaţia planului Π se reduce la a determina ceficienţii A, B, C, D din ecuaţiademaisus.scriindcă punctele M i,i= 1, 3 verifică această ecuaţie rezultă: Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D =0 Ax 2 + By 2 + Cz 2 + D =0 (2.3.8) Ax 3 + By 3 + Cz 3 + D =0. Rezlvând acest sistem cu necunscutele A, B, C (care are determinantul nenul din cndiţia de necliniaritate a punctelr M 1,M 2,M 3 )şi înlcuind în (2.3.7) rezultă ecuaţia palnului Π. În lc să prcedăm aşa, csiderăm sistemul mgen (cu necunscutele A, B, C, D ) frmat din sistemul (2.3.8) şi ecuatia (2.3.7), sistem care are sluţie nenulă. Cndiţia ca acest sistem să aibăsluţie nenulă estecadeterminantulsău să fie egalcu0, adică tcmai ecuaţia (2.3.6). Pziţia relativă aduă plane, unghiul a duă plane Fie planele Π 1, Π 2 de ecuaţii: A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0. Pziţia relativăacelrduă plane, determinată pe baza ecuaţiilr (2.3.9), este datăde: -16- (2.3.9)

17 Terema cincid dacă: Planele Π 1, Π 2 sunt paralele, dacă A 1 = B 1 = C 1 6= D 1, (2.3.10) A 2 B 2 C 2 D 2 A 1 = B 1 = C 1 = D 1 (2.3.11) A 2 B 2 C 2 D 2 A1 B şi au dreaptă cmună dacă rangul matricei 1 C 1 este di. A 2 B 2 C 2 A1 B Demnstraţie. Dacă rangul matricei 1 C 1 este di atunci sistemul (2.3.9) frmat din ecuaţiile A 2 B 2 C 2 celr duă plane este simplu nederminat, iar sluţile sale sunt crdnatele punctelr de pe dreaptă (vaurma). Dacă rangul matricei precedente este unu, atunci sistemul (2.3.9) este incmpatibil, dacă rangul matricei extinse este di, ceea ce este echivalent cu (2.3.10), şi deci planele sunt paralele, sau sistemul (2.3.9) este cmpatibil cu rangul matricei extinse egal cu di, ceea ce e echivalent cu (2.3.11), şi în acest caz cele duă ecuaţii se bţin una din cealaltă prin înmulţireacucnstantă, deci reprezintă acelaşi plan. Remarca Dacă seţine cnt de semnificaţia gemetrică aceficienţilr lui x, y, z din(egp)(eisuntc- rdnatele nrmalei la plan), atunci egalitatea primelr trei raparte din (2.3.10),(2.3.11) nu este altceva decât paralelismul nrmalelr la plane. Unghiul a duă plane se defineşte astfel: Definitia Unghiul planelr Π 1, Π 2 date prin ecuaţiile (2.3.9) este unghiul dintre nrmalele la cele duă plane N 1 = A 1 i + B 1 j + C 1 k, N 2 = A 2 i + B 2 j + C 2 k. Terema Dacăntăm cu α unghiul celr duă plane, atunci: A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 cs α = p A B1 2 + p C2 1 A B C2 2 Demnstraţia frmulei de mai sus este simplă, rezultând direct din definiţia precedentă şi din frmula (2.2.10) care dă unghiul a di vectri pe baza crdnatelr. Din terema de mai sus rezultă: Crlarul Planele Π 1, Π 2 date prin ecuaţiile (2.3.9) sunt perpendiculare dacăşi numai dacă: A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 =0. Distanţa de la un punct la un plan Fie planul Π de ecuaţie (EGP), şi punctul M (x 1,y 1,z 1 ). Terema Distanţa de la punctul M 1 la planul Π este egalăcu: dist(m,π) = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A 2 + B 2 + C 2. (2.3.12) Demnstraţie. Să facem figura: -17-

18 N M M P M 0 în figura de mai sus N = Ai + Bj + Ck este nrmala la planul Π, M 0 (x 0,y 0,z 0 ) este un punct din plan (deci crdnatele sale verifică ecuaţia planului), iar M 0 este priecţia punctului M pe nrmală. Cnfrm gemetriei "clasice" distanţa de la M la planul Π este egală cu lungimea segmentului M 0 M 0. Dar din prprietăţile prdusului scalar avem: N M 0 M M 0 M 0 = = N = A (x 1 x 0 )+B(y 1 y 0 )+C (z 1 z 0 ) = A 2 + B 2 + C 2 = Ax 1 + By 1 + Cy 1 (Ax 0 + By 0 + Cz 0 ) A 2 + B 2 + C 2 = = Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D A 2 + B 2 + C 2 Ecuaţia nrmală a unui plan (Hesse) Fie Π un plan pentru care se cunaşte distanţa de la rigine la plan d şi unghiurile α, β, γ făcute de perpendiculara cbrâtă din rigine pe plan. Să ntăm cu P picirul perpendicularei cbrâte din rigine pe plan şi cu M (x, y, z) un punct arbitrar din plan. z x a g O P Din datele cunscute avem OP = d cs αi +csβj +csγk, iar cndiţia ca M Π este echivalentă cu OP PM =0. Transcriind această egalitate în crdnate avem: d (cs α( d cs α + x)+csβ ( d cs β + y)+csγ ( d cs γ + z)) = 0 sau făcând calculele şi ţinând cnt că cs 2 α +cs 2 β +cs 2 γ =1, rezultăcăcrdnatele punctului M verifică ecuaţia: x cs α + y cs β + z cs γ d =0 (2.3.13) Ecuaţia (2.3.13) se numeşte ecuaţia nrmală a planului (sau frma Hesse). P b M y Remarca Din ecuaţia generală a planului se ajunge la ecuaţia nrmală a planului prin împărţirea ecuaţiei (EGP) cu ± A 2 + B 2 + C 2, alegând semnul astfel ca în ecuaţia bţinută termenul liber să fienegativ. -18-

19 Remarca Oaltă frmă a ecuaţiei planului este aşa numita "ecuaţia planului prin tăieturi" de frma: x a + y b + z c 1=0 care se bţine din (EGP) prin împărţirea cu D. Numitrii din ecuaţia de mai sus sunt tcmai crdnatele punctelr de intersecţie cu axele (adică planul intersectează axaox în punctul (a, 0, 0), axa Oy în punctul (0,b, 0) şi axa Oz în (0, 0,c) ). Exercitiul 3.1 Săseafle latura cubului care are duăfeţe în planele x +2y +2z 6=0,x+2y +2z +3=