ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 30/3/2018 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 17/4/2018, 16:00 Σχήµα 1: Το Πασχαλινό σας δώρο...

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 2 Ασκηση 1 - Συνέλιξη Υπολογίστε τις ακόλουθες συνελίξεις µεταξύ σηµάτων εισόδου x(t) και κρουστικών αποκρίσεων h(t) ΓΧΑ συστηµάτων : (αʹ) x(t) = e t u(t), h(t) = e 4t u(t) ) (ϐʹ) x(t) = 2rect( t 2 2, h(t) = u(t) Απ: y(t) = 1 3 (e t e 4t )u(t) 2t + 2, 1 < t < 3 Απ: y(t) = 4, t 3 0, t 1 (γʹ) x(t) = u(t) u(t 1), h(t) = e t e t e (t 1), t 0 Απ: y(t) = 2 e t e (t 1), 0 < t < 1 e (t 1) e t, t 1 Ελέγξτε ποιές κρουστικές αποκρίσεις είναι ευσταθείς και αιτιατές. Ασκηση 2 - ΓΧΑ Συστήµατα Ι Στο µάθηµα αναφέραµε ότι ο χώρος της συχνότητας είναι πολύ ϐοηθητικός όχι µόνο διαισθητικά αλλά και πρακτικά, καθώς µπορεί κανείς να ϐρει την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος πιο εύκολα µέσω του µετασχ. Fourier αυτής. (αʹ) Εστω ότι γνωρίζετε ότι η κρουστική απόκριση ενός ΓΧΑ συστήµατος δίνεται από τη σχέση Βρείτε την απόκριση σε συχνότητα H(f) για το σύστηµα αυτό. h(t) = δ(t) 8e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (1) (ϐʹ) Βρείτε την έξοδο του συστήµατος όταν στην είσοδο εµφανίζεται το περιοδικό σήµα Απ: H(f) = (j2πf)2 +2(j2πf) 8 (j2πf) 2 +5(j2πf)+6 x(t) = 2 cos(2t π) (2) Απ: y(t) = 2.48 cos(2t + 0.5π) (γʹ) Γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα στο πεδίο της συχνότητας µπορεί να περιγραφεί ως σχέση εισόδου-εξόδου ως Y (f) = H(f)X(f) (3) µε H(f) την απόκριση σε συχνότητα (δηλ. το µετασχ. Fourier της κρουστικής απόκρισης), και Y (f), X(f) τους µετασχ. Fourier της εξόδου και της εισόδου, αντίστοιχα. Θέτοντας u = j2πf και παραγοντοποιώντας, ϐρείτε το µετασχ. Fourier Y (f) της εξόδου του συστήµατος αν στην είσοδό του παρουσιάζεται το σήµα x(t) = e 4t u(t). Απ: Y (f) = j2πf 2 (j2πf+3)(j2πf+2) (δʹ) Θέτοντας u = j2πf, χρησιµοποιήστε ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα, την ιδιότητα της γραµµικότητας, και τους πίνακές σας µε τα Ϲεύγη µετασχηµατισµών για να ϐρείτε την έξοδο y(t) στο πεδίο του χρόνου.

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 3 Απ: y(t) = 5e 3t u(t) 4e 2t u(t) Το αντίστοιχο της παραπάνω διαδικασίας είναι τρεις (!) συνελίξεις στο πεδίο του χρόνου (σχετικά εύκολες όµως). Ασκηση 3 - ΓΧΑ Συστήµατα ΙΙ Στο µάθηµα αναφέραµε (απλώς) ότι τα ϕυσικά ΓΧΑ συστήµατα συνεχούς χρόνου περιγράφονται από διαφο- ϱικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές, δηλ. N k=0 d k dt k a ky(t) = M l=0 d l dt l b lx(t) (4) µε a k, b l σταθερές. Για να ϐρει κανείς την κρουστική απόκριση h(t) ενός τέτοιου συστήµατος µπορεί να δουλέψει είτε στο πεδίο του χρόνου, είτε στο πεδίο της συχνότητας (και του Laplace, όπως ϑα δούµε µετά τις διακοπές). Το πεδίο του χρόνου δεν το έχουµε επισκεφτεί για αυτό το σκοπό οπότε ϑα πρέπει να δουλέψουµε στο πεδίο της συχνότητας - συνήθως µάλιστα το τελευταίο µας δίνει το αποτέλεσµα πολύ πιο εύκολα. Ας δούµε πως µπορεί να γίνει αυτό µέσα από ένα παράδειγµα. Εστω d 2 dt 2 y(t) + 3 d y(t) + 2y(t) = 2x(t) (5) dt ένα ΓΧΑ σύστηµα του οποίου Ϲητούµε την κρουστική απόκριση h(t). (αʹ) Μεταφέρετε τη διαφορική εξίσωση στο πεδίο της συχνότητας, εφαρµόζοντας την ιδιότητα της παραγώγισης του µετασχ. Fourier όπου χρειάζεται. (ϐʹ) Γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα στο πεδίο της συχνότητας µπορεί να περιγραφεί ως σχέση εισόδου-εξόδου ως Y (f) = H(f)X(f) (6) µε H(f) την απόκριση σε συχνότητα (δηλ. το µετασχ. Fourier της κρουστικής απόκρισης), και Y (f), X(f) τους µετασχ. Fourier της εξόδου και της εισόδου, αντίστοιχα. Φέρτε το αποτέλεσµα του προηγούµενου ερωτήµατος στην παραπάνω µορφή και λύστε ως προς H(f). Απ: H(f) = 2 (j2πf) 2 +3(j2πf)+2 (γʹ) Χρησιµοποιήστε ανάπτυγµα σε µερικά κλάσµατα και τους πίνακές σας µε τα Ϲεύγη µετασχηµατισµών για να ϐρείτε την κρουστική απόκριση h(t). Απ: h(t) = (2e t 2e 2t )u(t) Ασκηση 4 - Μετασχηµατισµός Laplace Ι - Ορισµός Χρησιµοποιήστε τον ορισµό για να ϐρείτε το µετασχ. Laplace των παρακάτω σηµάτων. Μην ξεχάσετε το πεδίο σύγκλισης. (αʹ) x(t) = te 2 t { 1, 0 t 1 (ϐʹ) x(t) = 0, αλλού Απ: 8s, 2 < R{s} < 2 (4 s 2 ) 2 Απ: 1 e s s, s

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 4 Ασκηση 5 - Μετασχηµατισµός Laplace ΙΙ - Ιδιότητες Σας δίνεται ο µετασχ. Laplace ενός σήµατος x(t) ως X(s) = e 2s { } s + 3, R x = R{s} > 3 Βρείτε το µετασχ. Laplace των παρακάτω σηµάτων µε αποκλειστική χρήση ιδιοτήτων. (αʹ) x( 3t) (ϐʹ) x(t 2) (γʹ) x(4t 1) (δʹ) 2tx(t) (εʹ) e 2t x(t) (ϛʹ) dx(t) dt (7) (Ϲʹ) x(t) x(t) (ηʹ) t x(τ)dτ Σε ποιά/ες από τις παραπάνω περιπτώσεις µπορείτε να υπολογίσετε το Μετασχ. Fourier από το Μετασχ. Laplace; Απ: (αʹ) e 2s/3 9 s, R{s} < 9 (γʹ) e 3s/4 s+12, R{s} > 12 (εʹ) e 2s+4 s+1, R{s} > 1 (Ϲʹ) e 4s (s+3) 2, R x (ϐʹ) e 4s s+3, R x (δʹ) 2 e 2s (2s+7), R (s+3) 2 x (ϛʹ) se 2s s+3, R x (ηʹ) e 2s s(s+3), R{s} > 0 Ασκηση 6 - Μετασχηµατισµός Laplace ΙΙΙ - Ιδιότητες Εστω το σήµα y(t) που σχετίζεται µε δυο σήµατα x 1 (t) και x 2 (t) ως µε y(t) = x 1 (t 2) x 2 (3 t) (8) x 1 (t) = e 2t u(t) (9) x 2 (t) = e 3t u(t) (10) Χρησιµοποιήστε γνωστά Ϲεύγη και ιδιότητες του µετασχ. Laplace για να ϐρείτε το µετασχ. Laplace Y (s) του σήµατος y(t). Μην ξεχάσετε το πεδίο σύγκλισης! Απ: Y (s) = e 5s (s+2)(3 s), 3 > R{s} > 2 Ασκηση 7 - Μετασχηµατισµός Laplace - Γρίφος :-) Εστω ότι για ένα σήµα x(t) µας δίνονται οι παρακάτω πληροφορίες : είναι πραγµατικό και άρτιο ο µετασχ. Laplace του, X(s), έχει τέσσερις πόλους και κανένα µηδενικό στο s επίπεδο. ο µετασχ. Laplace του, X(s), έχει έναν εκ των πόλων του στο s = (1/2)e jπ/4. ισχύει + x(t)dt = 4 Βρείτε το µετασχηµατισµό X(s) και το πεδίο σύγκλισής του. Απ: X(s) = 4 16s 4 +1, 2 4 < R{s} < 2 4

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 5 Ασκηση 8 - Παραγωγή Ηχούς στο MATLAB Κατά την παραγωγή και καταγραφή ήχου σε ένα χώρο όπου υπάρχουν πολλές ανακλάσεις, εµπόδια, κλπ., το σήµα του ήχου καταγράφεται ως άθροισµα πολλών διαφορετικών εκδόσεων (καθυστερήσεων) του σήµατος που επιστρέφουν µαζί στο µικρόφωνο, ως ηχώ, κατά την καταγραφή. Μπορούµε να µοντελοποιήσουµε την ηχώ ως ένα ΓΧΑ σύστηµα, το οποίο περιγράφεται από τη σχέση y(t) = x(t) + ax(t t d ) (11) µε a το πλάτος της ηχούς και t d τη ϑέση της στο χρόνο, δηλ. τη χρονική στιγµή που εµφανίζεται στο ηχογραφηµένο σήµα. (αʹ) Βρείτε στο χαρτί σας την κρουστική απόκριση, h(t), του ΓΧΑ συστήµατος, δεδοµένου ότι γνωρίζετε ότι η κρουστική απόκριση δίνεται ως η έξοδος ενός συστήµατος για είσοδο x(t) = δ(t). (ϐʹ) Θα µπορούσαµε να προσθέσουµε κι άλλα αντίγραφα της ηχούς, σε διαφορετικές χρονικές στιγµές και µε διαφορετικούς συντελεστές. Οπως µπορείτε εύκολα να καταλάβετε, ένα τέτοιο σύστηµα ϑα είναι της µορφής N y(t) = x(t) + a i x(t t i ) (12) Βρείτε στο χαρτί σας την κρουστική απόκριση, h(t), του παραπάνω ΓΧΑ συστήµατος. (γʹ) Θα υλοποιήσουµε το παραπάνω σύστηµα παραγωγής ηχούς επάνω σε ένα οποιοδήποτε ηχητικό σήµα εισόδου. Θα συµπληρώσετε µια συνάρτηση στο MATLAB η οποία ϑα έχει την παρακάτω σύνταξη : [y_echo, h] = echo_filter_tostudents(signal, times, attenuations, fs) Τα ορίσµατα εξηγούνται στα σχόλια στο echo_filter_tostudents.m αρχείο που ϑα ϐρείτε στο site µαζί µε αυτήν την εκφώνηση. (δʹ) Μια µικρή επεξήγηση για τη γραµµή 25. Επειδή όλα τα σήµατα που επεξεργαζόµαστε στον υπολογιστή είναι διακριτού χρόνου, δηλ. ορισµένα για συγκεκριµένες χρονικές τιµές (και όχι για κάθε t), εσείς πρέπει αρχικά να ορίσετε τις τιµές του διανύσµατος times που ϑέλετε να ακούγεται η ηχώ (σε δευτερόλεπτα), και να µετατρέψετε στη γραµµή 25 κάθε τιµή του διανύσµατος αυτού σε ακέραιες τιµές, δηλ. σε δείγµατα. Αυτό γίνεται αν λάβετε υπόψη σας ότι η συχνότητα δειγµατοληψίας fs ενός σήµατος σας λέει ότι σε ένα δευτερόλεπτο ηχογράφησης έχουν παρθεί και αποθηκευτεί fs δείγµατα (τιµές) του σήµατος στον υπολογιστή. Άρα, για παράδειγµα, η χρονική στιγµή t 0 = 0.5 s αντιστοιχεί στο δείγµα διακριτού χρόνου fs/2. Σε ποιά δείγµατα αντιστοιχούν οι δικές σας χρονικές στιγµές της ηχούς που ορίσατε στο διάνυσµα times; Αυτή τη µετατροπή πρέπει να γράψετε στη γραµµή 25. (εʹ) Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε ένα οποιοδήποτε σήµα ϕωνής/µουσικής σε µορφή.wav για να ελέγξετε τη λειτουργία του συστήµατός σας. Απλά ϕροντίστε να µην είναι πολύ µεγάλης διάρκειας για να µην κρασάρετε το MATLAB. Για δική σας ευκολία, σας δίνονται δυο αρχεία µαζί µε τον κώδικα. Οι εντολές για να ϕορτώσετε ένα.wav σήµα στο MATLAB είναι : [signal, fs] = audioread( onoma-arxeiou.wav ); Αν έχετε παλιότερη έκδοση του MATLAB και η συνάρτηση αυτή δεν υπάρχει, χρησιµοποιήστε την wavread. Η µεταβλητή fs πρέπει να δωθεί ως όρισµα στη συνάρτηση που παράγει την ηχώ. Παραδώστε συµπληρωµένο τον κώδικα MATLAB που σας δίνεται, και επιπλέον τυπώστε και παραδώστε µια γραφική παράσταση του αποτελέσµατος (του σήµατος µε ηχώ). i=1

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς /Πέµπτη Σειρά Ασκήσεων 6 Ασκηση 9 - Ανάλυση Ηλεκτροεγκεφαλογραφήµατος στο MATLAB Τοποθετώντας ηλεκτρόδια σε διάφορες περιοχές της κεφαλής ανιχνεύουµε ηλεκτρικές δραστηριότητες (δια- ϕορές δυναµικού) οι οποίες ϑεωρείται ότι αποτελούν µια έκφραση της εγκεφαλικής δραστηριότητας. Τέτοιες καταγραφές έχουν γίνει τόσο κατά το στάδιο του ύπνου όσο και κατά τη διάρκεια κάποιας δραστηριότητας (π.χ. όταν προσπαθείτε να λύσετε τις ασκήσεις στο ΗΥ215 :) ). Από κάθε ηλεκτρόδιο (σε συνδυασµό µε ένα ηλεκτρόδιο αναφοράς) συλλέγουµε ένα σήµα όπου παρατηρούµε διαφορές δυναµικού. Ενα σοβαρό πρόβληµα είναι η ανίχνευση των συχνοτήτων που υπάρχουν σε αυτές τις καταγραφές. Σε ο- ϱισµένες συχνότητες έχουµε αντιστοιχίσει κάποιους ϱυθµούς, όπως ονοµάζονται, και οι οποίοι σηµατοδοτούν κάτι ενδιαφέρον για την εγκεφαλική µας δραστηριότητα. Για παράδειγµα, η συχνότητα των 10 Hz αντιστοιχεί στο ϱυθµό Άλφα. Σας δίνουµε δυο καταγραφές διάρκειας ενός δευτερολέπτου η καθεµία. Η καταγραφή των δεδοµένων έγινε λαµβάνοντας ένα δείγµα του σήµατος συνεχούς χρόνου ανά 0.01 δευτερόλεπτα. Ζητάµε να ελέγξετε αν αυτά τα σήµατα έχουν ϱυθµό Άλφα στο συχνοτικό τους περιεχόµενο (δηλ. αν έχουν ισχυρή ϕασµατική συνιστώσα στα 10 Hz). Οι ϱυθµοί εµφανίζονται συνήθως στο εύρος συχνοτήτων [3, 20] Hz, άρα ϑα στοχεύσουµε σε αυτό το διάστηµα. Με ϐάση τα παραπάνω, ο άξονας του χρόνου στο MATLAB ϑα είναι : dt = 0.01; t = 0:dt:1; % Time sampling % Time axis ενώ για τη συχνότητα ϑα είναι df = 0.01; f = 3:df:20; % Frequency sampling % Frequency axis Για να εισάγετε τα δυο σήµατα στο MATLAB χρησιµοποιήστε την εντολή load EEG-new.mat και ϑα σας εµφανιστούν δυο σήµατα x1, x2 στο workspace σας. (αʹ) Απεικονίστε τα δυο σήµατα στο χρόνο σε δυο γραφήµατα µε χρήση της εντολής plot και του άξονα t που δηµιουργήσαµε παραπάνω. Παραδώστε τα γραφήµατα που προκύπτουν. (ϐʹ) Θέλουµε να δούµε το ϕάσµα πλάτους (το µέτρο του µετασχ. Fourier δηλαδή) των σηµάτων αυτών για να αναγνωρίσουµε αν υπάρχει κάποια ισχυρή συνιστώσα στα 10 Hz - δηλ. ο ϱυθµός Άλφα. Χρησιµοποιήστε τον πίνακα ανάλυσης M = exp(-j*2*pi*f *t) όπως στην προηγούµενη σειρά ασκήσεων για να αναλύσετε τα δυο σήµατα στο διάστηµα [3, 20] Hz. Παραδώστε τα δυο ϕάσµατα πλάτους σχεδιασµένα το ένα πάνω στο άλλο (εντολή hold on ανάµεσα στα δυο plot) και αναφέρετε αν ϐρίσκετε ϱυθµό Άλφα σε κάποιο από τα δυο σήµατα. Παραδώστε κώδικα MATLAB που εκτελεί την απεικόνιση των ϕασµάτων πλατών καθώς και όποια γραφήµατα σας Ϲητούνται στα παραπάνω ερωτήµατα.