UGRADNJA NESTANDARDNIH AMINOKISELINA U PROTEINE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "UGRADNJA NESTANDARDNIH AMINOKISELINA U PROTEINE"

Transcript

1 PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Kemijski odsjek Studentica 3. godine Preddiplomskog sveučilišnog studija KEMIJA UGRADNJA NESTANDARDNIH AMINOKISELINA U PROTEINE Rad je izrađen u Zavodu za biokemiju Mentor rada: izv. prof. dr. sc. Ita Gruić Sovulj Zagreb, 2017.

2 Datum predaje prve verzije Završnog rada: 6. srpnja Datum ocjenjivanja Završnog rada i polaganja Završnog ispita: 22. rujne Mentor rada: [izv. prof. dr. sc. Ita Gruić Sovulj] Potpis:

3

4 Sadržaj iv Sadržaj SAŽETAK UVOD PRIKAZ ODABRANE TEME Genetski kod Translacija Aminoacil-tRNA-sintetaze Građa enzima Specifičnost prema supstratima Katalitički mehanizam Selenocistein i pirolizin Selenocistein Biosinteza selenocisteina Pirolizin In vivo ugradnja nestandardnih aminokiselina LITERATURNI IZVORI... XIX Ime Prezime

5

6 1. Uvod 1 Sažetak Genetski kod je univerzalan i povezuje sve tri domene života. Definira suodnos kodona i aminokiselina te zakonitosti koje omogućuju prevođenje genetičke informacije zapisane u DNA u molekule proteina. Gotovo svi organizmi koriste standardnih 20 aminokiselina za izgradnju proteina, a neki mogu koristiti i dvije dodatne: selenocistein i pirolizin. Ugradnja tih dviju aminokiselina omogućena je prirodnim proširivanjem genetskog koda, te se odvija na malo drugačiji način od ugradnje standardnih 20 aminokiselina. Proteini obavljaju različite funkcije u stanici, za što im je potrebna kompleksnost i raznolikost struktura. Proširivanjem repertoara aminokiselina korištenjem nestandardnih aminokiselina stanica može stvarati više raznolikih proteina, što može omogućiti selektivnu prednost u određenim nepovoljnim uvjetima. Ugradnja nestandardnih aminokiselina u proteine također omogućuje precizno istraživanje njihove funkcije i interakcija, te stvaranje proteina novih svojstava. Takvi proteini promijenjenih svojstava mogu naći primjenu u medicini ili biotehnologiji. Nestandardne aminokiseline mogu se podijeliti u dvije skupine: aminokiseline izostrukturne standarnim aminokiselinama koje prepoznaju translacijski sustavi stanice i ortogonalne aminokiseline koje nisu prepoznate od klasične translacijske mašinerije. Zbog tih strukturnih razlika, te zbog potrebe za ciljanom, odnosno nasumičnom ugradnjom postoje dva načina za in vivo ugradnju nestandardnih aminokiselina u proteine. Izostrukturne nestandardne aminokiseline ugrađuju se metodom ugradnje putem selektivnog pritiska, korištenjem auksotrofnih sojeva, a ortogonalne nestandardne aminokiseline ugrađuju se metodom supresije stop kodona. Metodom ugradnje putem selektivnog pritiska nestandardne aminokiseline ugrađuju se nasumično, na mjesta kodirana za ugradnju izostrukturne proteinogene aminokiseline, a putem supresije stop kodona omogućena je ciljana ugradnja na određeno mjesto definirano ciljanim uvođenjem stop kodona u proteinu.

7 1. Uvod 2 1. UVOD Aminokiseline se peptidnim vezama mogu povezavati u polipeptidne lance, odnosno u proteine. Proteini i manji peptidi obavljaju različite funkcije u organizmima, te su zbog toga ključni za život. Prenose signale i molekule u stanici, grade enzime koji kataliziraju različite reakcije, a sudjeluju i u procesu replikacije DNA, odnosno prijenosu genetske informacije. Za obavljanje različitih funkcija potrebna je kompleksnost i raznolikost struktura. Raznolikost strukture proteina može potjecati od brojnih i različitih posttranslacijskih modifikacija (npr. vezanjem lipida nastaju lipoproteini), od razlika u smatanju proteina, odnosno njihove tercijarne strukture, te od samog kovalentnog slijeda aminokiselina- primarne strukture. Kroz sve tri domene života, velika većina organizama koristi standardnih 20 aminokiselina za izgradnju proteina. Aminokiselinski slijed zapisan je u genomu svakog organizma, koji je univerzalan i povezuje sve tri domene života. Danas se ugradnjom nestandardnih aminokiselina mogu stvoriti proteini novih svojstava koji mogu neći primjenu u biomedicini te biotehnologiji. Ugradnja nestandardnih aminokiselina također omogućuje bolju karakterizaciju strukture i funkcije proteina. Selenocistein i pirolizin su 21. i 22. aminokiselina, a njihova ugradnja omogućena je prirodnim proširivanjem genetskog koda. Uz njih postoje i brojni drugi analozi standardnih 20 aminokiselina koji se na različite načine mogu ugrađivati u proteine. Nestandardne aminokiseline izostrukturne standarnim aminokiselinama koje prepoznaju translacijski sustavi stanice ugrađuju se nasumično na mjesta kodirana za proteinogenu izostrukturnu aminokiselinu u proteinu, a ortogonalne aminokiseline koje nisu prepoznate od klasične translacijske mašinerije mogu se ciljano ugraditi na točno određeno mjesto u proteinu. Takve različite aminokiseline se u proteine ugrađuju različitim metodama. Izostrukturne nestandardne aminokiseline ugrađuju se metodom ugradnje putem selektivnog pritiska (eng. selective pressure incorporation), no budući da ih prepoznaju translacijski sustavi stanice često dolazi do lošijeg prepoznavanja, ili do hidrolitičkog popravka pogreške intermedijera ili finalnog produkta nastalog s tom nestandardnom aminokiselinom. Ortogonalne nestandardne aminokiseline ugrađuju se metodom supresije stop kodona (eng. stop-codon supression) uvedenog na ciljano mjesto u proteinu. Te se dvije metode koriste za dizajn proteina novih

8 1. Uvod 3 svojstava. Koriste se ortogonalni parovi za ugradnju ortogonalnih aminokiselina ili aminokiseline koje translacijski sustavi dovoljno dobro prepoznaju za nasumičnu ugradnju. Cilj ovog rada je upoznavanje s nekoliko metoda za ugradnju nestandardnih aminokiselina u proteine. Metode se razlikuju po aminokiselinama koje se njima mogu ugrađivati, a svaka od njih ima svoje prednosti i nedostatke.

9 2. Prikaz odabrane teme 4 2. PRIKAZ ODABRANE TEME 2.1. Genetski kod Genetski kod je univerzalan, proteže se kroz sve tri domene života: arheje, prokariote i eukariote. Semikonzervativna replikacija DNA omogućuje prijenos nasljedne informacije iz generacije u generaciju. Proces biosinteze proteina započinje transkripcijom, prepisivanjem DNA u mrna. Kodone mrna zatim prepoznaju antikodoni trna u procesu translacije, pri čemu povezivanjem odgovarajućih aminokiselina nastaje polipeptidni lanac. Važno svojstvo genetičkog koda je redundantnost. DNA je građena od deoksiribonukleotida koji se razlikuju u dušičnim bazama koje su adenin (A), timin (T), gvanin (G) i citozin (C). Kombinacijom te četiri baze nastaju 4 3 = 64 moguća kodona koji u principu kodiraju 20 standardnih aminokiselina. Od toga 61 kodon kodira za različite aminokiseline, a 3 kodona su stop kodoni - UGA: opal, UAA: ochre, UAG: amber. Stop kodoni omogućuju terminaciju sinteze proteina na ribosomu, a stop kodoni UGA i UAG na specifične načine mogu sudjelovati u kodiranju selenocisteina i pirolizina. Svaka aminokiselina kodirana je s jednim ili više (najviše šest) kodona. Broj tripleta koji kodiraju jednu aminokiselinu proporcionalan je zastupljenosti te aminokiseline u proteomu. U E.coli, triptofan je malo zastupljena aminokiselina (oko 1,5% proteoma) te ju kodira samo jedan kodon. Nasuprot tome, arginin čini oko 5,5% proteoma E.coli i kodira ga šest kodona. 1 Pridruživanje značenja nekog kodona određenoj aminokiselini nije slučajno.

10 2. Prikaz odabrane teme 5 Slika 1. Kodoni i aminokiseline koje kodiraju Kod je organiziran tako da se minimizira utjecaj mutacija. Međusobno slični kodoni kodiraju jednu aminokiselinu, pa tako uslijed promjene jedne baze kodona ne dolazi do promjene aminokiseline koja se ugrađuje. Tako na primjer kodoni CGU, CGC, CGA, CGG kodiraju arginin. Slični kodoni mogu kodirati slične aminokiseline- kodoni GAU i GAC kodiraju aspartat, a kodoni GAA i GAG kodiraju glutamat. Degeneracija genetskog koda omogućuje organizmima da biraju između rijetkih i učestalih kodona. Rijetki kodoni omogućuju organizmima selektivnu prednost u prilagodbi na nove uvjete. Primjećena je razlika u brzini prepisivanja rijetkih kodona u mediju siromašnom hranjivim tvarima. Takvi se kodoni prepisuju znatno sporije od kodona koji se često pojavljuju, što upućuje na činjenicu da je za prepisivanje rijetkih kodona važna unutarstanična koncentracija aminokiselina i trna. Molekule trna koje imaju antikodone komplementarne učestalijim kodonima prisutne su u većim koncentracijama u stanici, što omogućuje njihovo brže prepisivanje. Porijeklo genetskog koda objašnjava nekoliko teorija: Crickova hipoteza o slučajnom zamrzavanju genetskog koda (eng. Crick's frozen accident theory), adaptivna, stereokemijska te ko-evolucijska teorija. Prije se smatralo da je genetski kod nepromjenjiv, te da je u nekom trenutku evolucije došlo do njegovog 'zamrzavanja', što objašnjava Crickova hipoteza o slučajnom zamrzavanju genetskog koda. Crick u svojoj teoriji smatra da je pridruživanje

11 2. Prikaz odabrane teme 6 aminokiseline određenom kodonu bilo nasumično, sve do trenutka kad bi daljnje proširivanje broja proteinogenih aminokiselina bilo opasno za stanicu zbog funkcionalne destabilizacije proteina. Prije zamrzavanja, genetski se kod proširivao i evoluirao. Postoje dvije glavne teorije koje objašnjavaju mogućnost promjene značenja nekih kodona: hvatanje kodona (eng. Codon capture) i teorija o postojanju dvojakog intermedijera (eng. ambiguous intermediate theory). Teorija hvatanja kodona smatra da promjene u genomu nastale zbog GC pritiska mogu uzrokovati promjene značenja kodona, najviše zbog promjene treće baze. Na taj način neki kodon može nestati, a odgovarajuća trna postati bespotrebna. Ako se kodon ponovno pojavi, može ga prepoznati ( uhvatiti ) druga trna (potencijalno promijenjena da bi ga prepoznala) i njegovo značenje povezati s drugom aminokiselinom, na taj način mijenjajući njegovo originalno značenje. S druge strane, teorija o postojanju dvojakog intermedijera smatra da pojava mutantne trna može uzrokovati kompeticiju s pripadnom trna, te tako promjeniti značenje kodona povezujući ga s novom aminokiselinom koja je aminoacilirana na mutantnoj trna. Razvojem proteomike i tehnika sekvenciranja genoma došlo je do raznih otkrića koja su potvrdila evoluciju i mijenjanje genetskog koda ih pojavila se prva indikacija da genetski kod nije nepromijenjiv, kad je uočeno promijenjeno značenje stop kodona UGA u kodon za triptofan. Danas je poznato oko 20 varijacija standarnog genetskog koda. Pronađeni su različiti oblici genetskog koda u prokariotima, mitohondrijskom genomu i nuklearnom eukariotskom genomu. 1,2 Genetski kod definiran je specifičnom interakcijom kodona i antikodona na trna, te specifičnim povezivanjem trna s odgovarajućom aminokiselinom. Da bi se genetski kod promijenio, mora doći do promjene u genima koji kodiraju jednu ili više trna, na taj način mijenjajući antikodon. Takva promjena omogućuje ugradnju druge aminokiseline na mjesto ciljanog kodona, uz uvjet da aminoacil-trna-sintetaza i dalje prepoznaje promijenjenu trna. Nagle promjene u genetskom kodu imale bi katastrofalne posljedice za organizam. Zbog toga su promjene učestalije u sredinama gdje utječu na manji broj proteina, kao što je mitohondrij. Mitohondrijski genom je malen i kodira 10 do 20 proteina, no najviše varijacija genetskog koda pronađeno je upravo u mitohondrijskom genomu. Nasuprot tome, kod bakterija je poznata samo jedna varijacija u staničnom genomu. Mycoplasma capricolum koristi kodon UGA za triptofan. Neki eukarioti (protisti) mogu koristiti kodone UAA i UAG za glutamin. 3

12 2. Prikaz odabrane teme Translacija Proces sinteze proteina naziva se translacija. To je složeni proces koji zahtijeva koordinaciju nekoliko stotina makromolekula, od kojih su najvažnije mrna (messenger RNA), trna (transfer RNA) i ribosomi. Translacija se odvija u ribosomu, velikom supramolekulskom kompleksu građenom od dvije podjedinice. Bakterijski ribosom (70S) građen je od 30S male podjedinice i 50S velike podjedinice. Eukariotski citosolni ribosom je nešto veći (80S), a također se sastoji od male (40S) i velike (60S) podjedinice. Ribosomi su ribozimi, većinom (65%) građeni od rrna, s manjim brojem proteina koji se nalaze uglavnom na površini. Katalitički mehanizam ribosoma nije potpuno razjašnjen, no danas je najprihvaćenija ideja da ribosom pozicionira supstrat na odgovarajući način, a da sam supstrat potpomaže katalizu. O važnosti ribosoma govori i činjenica da u E.coli čine oko 25% suhe tvari stanice, odnosno da jedna stanica E.coli sadrži oko ribosoma. 3 Na sintezu proteina troši se oko 90% kemijske energije koja se utroši u biosintetskim reakcijama. Translacija je složeniji proces od transkripcije ili replikacije DNA jer zahtijeva prevođenje s jezika DNA četiri nukleotida, na jezik proteina 20 aminokiselina. Za takvo prevođenje (translaciju) potrebna je neka vrsta adaptora. F.Crick u svojoj hipotezi adaptora pretpostavlja da bi tu funkciju mogla obavljati neka mala nukleinska kiselina, kao što je RNA. Ta je hipoteza ubrzo potvrđena i danas je poznato da tu funkciju ima trna. trna na svojoj antikodonskoj petlji ima triplet nukleotida zvan antikodon koji prepoznaju odgovarajuće kodone na molekuli mrna, a na svom 3' kraju ima mjesto na koje se može vezati odgovarajuća aminokiselina. 'Čitanjem' kodona na mrna, trna pozicionira odgovarajuću aminokiselinu za ugradnju u rastući polipeptidni lanac, te tako sudjeluje u 'prevođenju' jezika nukleinskih kiselina u jezik proteina, odnosno povezuje kodon s njegovim značenjem. Za točnost translacije ključno je da trna bude aminoacilirana ispravnom aminokiselinom. Tu reakciju kataliziraju aminoacil-trna-sintetaze, a aminoacilirana trna se u principu više ne provjerava kad disocira s enzima. Ispravno prepoznavanje kodona i antikodona je također od iznimne važnosti. Mala podjedinica ribosoma sudjeluje u osiguravanju točnosti čitanja kodona mehanizmom molekulskog ravnala. Prve dvije baze kodona se na taj način provjeravaju i osigurava se njihovo sparivanje s odgovarajućim Watson-Crickovim parom baza antikodona. Čitanje treće baze kodona je fleksibilnije, što objašnjava teorija kolebljive

13 2. Prikaz odabrane teme 8 baze. Na taj način nekoliko različitih kodona određuje jednu aminokiselinu (na primjer, kodoni za alanin su GCU, GCC, GCG i GCA- razlikuju se samo u trećoj bazi kodona) i potreban je manji broj trna, jer jedna može prepoznati više kodona. Translacija se može podjeliti u tri faze- inicijaciju, elongaciju i terminaciju. Prije početka translacije mala i velika podjedinica ribosoma su odvojene. Kod bakterija, u fazi inicijacije dolazi do sklapanja inicijacijskog kompleksa. Na malu podjedinicu vežu se inicijacijski faktori IF-1 i IF-3, te mrna. Shine-Dalgarno sekvenca omogućuje ispravno pozicioniranje mrna, odnosno pozicioniranje start kodona (AUG) u P mjesto ribosoma. Vezanje inicijacijskog faktora IF-2 u kompleksu s GTP-om na 30S podjedinicu omogućuje vezanje inicijacijske trna- formilmetionil-trna koja prepoznaje start kodon i veže se u P mjesto. Zatim dolazi do hidrolize GTP-a, disocijacije inicijacijskih faktora i vezanja velike podjedinice. U fazi elongacije, elongacijski faktori, GTP-aze EF-G i EF-Tu omogućuju vezanje aminoaciliranih trna. Dolazi do nastajanja peptidne veze između rastućeg polipeptidnog lanca i odgovarajuće aminokiseline, te do translokacije- pomaka jednog kodona prema 3' kraju mrna koji uzrokuje pomak peptidil-trna iz A u P mjesto ribosoma. Tako se deacilirana trna može pomaknuti u E mjesto ribosoma i izaći u citosol, što omogućuje vezanje sljedeće aminoacilirane trna. Pomak mrna do stop kodona uzrokuje terminacijuvezanje faktora otpuštanja (RF), hidrolizu veze između novonastalog polipeptidnog lanca i trna te rastavljanje i recikliranje kompleksa ribosoma, trna i mrna. Sintetizirani polipeptidni lanac izlazi iz ribosoma kroz tunel u velikoj podjedinici u linearnom obliku. Smatanje proteina i druge posttranslacijske dorade ne odvijaju se na ribosomu Aminoacil-tRNA-sintetaze Građa enzima Aminoacil-tRNA-sintetaze (aars) ključni su enzimi u translaciji i prijenosu genetičke informacije. Kataliziraju reakciju aminoaciliranja trna odgovarajućom aminokiselinom, ključan korak za ispravnost biosinteze proteina. 24 tipa aars mogu se podijeliti u dva strukturno različita razreda (I i II) sa sličnim katalitičkim mehanizmom. Razredi se razlikuju po građi aktivnog mjesta i katalitičke domene, no katalitička domena svih aars veže ATP, 3' kraj odgovarajuće trna te aminokiselinu. Većina aars razreda I su monomeri, s N-terminalnom katalitičkom domenom, koja tvori strukturni motiv Rossmannove petlje, građen od paralelne β-ploče građene od 5 lanaca koji su

14 2. Prikaz odabrane teme 9 povezani α-zavojnicama. Rossmannova petlja podjeljena je na dva dijela domenom koja kod nekih aars- izoleucil-trna-sintetaze (IleRS), valil-trna-sintetaze (ValRS) i leucil-trnasintetaze (LeuRS), sadrži hidrolitičko aktivno mjesto za popravak pogreške, odnosno za hidrolizu pogrešno aminoaciliranih trna. Kod navedenih aars ta je umetnuta domena znatno veća nego kod drugih aars. Kod većine aars razreda I trna se preko svog antikodona veže u C-terminalnu domenu, zauzimajući veliku površinu enzima, od mjesta vezanja antikodona, do aktivnog mjesta. Kod dimernih aars (TyrRS, TrpRS), trna se veže preko obje podjedinice. Na taj se način ostvaruju brojne interakcije enzima i supstrata koje omogućuju potreban visok stupanj specifičnosti. Katalitička domena aars razreda II građena je od sedmerolančane β-ploče okružene α- zavojnicama. Većina tih aars su homodimeri, no poznate su i monomerne te tetramerne α4 i (αβ)2 kvaterne strukture. Kod razreda II prisutna je veća strukturna raznolikost, što se očituje i u različitoj tercijarnoj strukturi domena za popravak pogreške kod ThrRS, ProRS, AlaRS i PheRS. Unatoč raznolikosti, gotovo sve aars razreda II vežu trna na isti način. aars razreda I i II vežu trna na različite načine što omogućuje specifičnost, odnosno razlikovanje tipova enzima. trna se na Rossmannovu petlju aars razreda I veže preko malog utora akceptorske peteljke, dok se kod razreda II veže preko velikog utora orijetniranog prema katalitičkoj domeni. Dimerne aars razreda I vežu trna preko velikog utora Specifičnost prema supstratima Budući da imaju ključnu ulogu u prijenosu informacije, aars moraju biti specifične pri vezanju i procesiranju supstrata. Važno je da vežu odgovarajuću aminokiselinu i trna. Specifičnost prema molekulama trna se lakše postiže, jer je trna velik supstrat koji s aars ostvaruje brojne interakcije i veliku dodirnu površinu. Odgovarajuća trna izabire se na temelju specifičnih interakcija ostvarnih između proteina i određenih nukleotidnih sljedova, te temeljem specifičnih interakcija koje nastaju zbog specifične konformacije šećer-fosfatne okosnice trna. Ponekad se za prepoznavanje koristi i tercijarna struktura trna. Razlikovanje aminokiselina je nešto teže jer su one znatno manji supstrati od trna, a među nekim od njih postoje samo male strukturne razlike. Posebno je teško razlikovati manje aminokiseline od supstratne, jer ne uzrokuju steričke smetnje na temelju kojih bi se isključile.

15 2. Prikaz odabrane teme 10 Zbog toga aars imaju domene za popravak pogreške koje im omogućuju visok stupanj točnosti u reakciji aminoaciliranja. Prva takva domena pronađena je u E.coli, kod izoleuciltrna-sintetaze (IleRS). Toj aars problem predstavlja valin, koji se od izoleucina razlikuje po samo jednoj metilenskoj skupini. Zbog toga, u prisutnosti valina, tvori valil-adenilat te ga hidrolizira u sintetskom aktivnom mjestu u katalitičkoj domeni. Također može hidrolizirati i Val-tRNA Ile, u domeni za popravak pogreške. 4 Danas je poznato deset aars čije domene za popravak pogreške imaju hidrolitičku aktivnost. Alanil-tRNA-sintetaza (AlaRS) i fenilalaniltrna-sintetaza (PheRS) su posebno zanimljive, jer ne mogu sterički isključiti aminokiseline veće od supstratne. Serin predstavlja problem AlaRS, a tirozin PheRS. Te se dvije pogrešno aminoacilirane trna zbog toga hidroliziraju u domeni za popravak pogreške odgovarajuće aars. Takve aars, koje imaju mogućnost popravka pogreške su veće i imaju kompleksniju te imaju fleksibilniju strukturu od drugih aars. Fleksibilnost strukture je nužna kako bi trna mogla putovati između aktivnog mjesta i domene za popravak pogreške. Aminoacil-tRNA-sintetaze građene su tako da svoje supstrate vežu odvojeno. Unatoč tome vezanje jednog supstrata nije potpuno neovisno o vezanju drugog, što je dokazano proučavanjem glutaminil-trna-sintetaze (GlnRS) iz E.coli. Ustanovljeno je da promjena identitetnih elemenata trna mijenja Km za glutamin. Također, vezanje pogrešne aminokiseline smanjuje afinitet za vezanje trna Gln. Moguće je da su GlnRS i trna Gln evoluirale tako da zajedno djeluju na povećanje specifičnosti prema glutaminu, te da identitetni elementi trna, uz to što omogućuju prepoznavanje molekule trna, pomažu u prepoznavanju odgovarajuće aminokiseline Katalitički mehanizam Reakcija koju kataliziraju aars odvija se u dva koraka. U prvom koraku pomoću ATP-a nastaje aminoacil-adenilatni intermedijer, kojeg u drugom koraku nukleofilno napada kisikov atom hidroksilne skupine s 3'-kraja trna. Mehanizam te reakcije sličan je kod oba razreda aars, no postoje neke ključne razlike. AaRS razreda I kataliziraju aminoacilaciju direktno na 2'-OH skupinu trna, dok aars razreda II

16 2. Prikaz odabrane teme 11 (osim PheRS) kataliziraju aminoacilaciju na 3'-OH skupini. Mjesto aminoacilacije povezano je s orijentacijom trna, odnosno s načinom vezanja u aktivno mjesto enzima. Druga važna razlika je u koraku koji određuje brzinu reakcije. AaRS razreda I ograničene su brzinom disocijacije produkta, dok kod razreda II brzinu reakcije određuje vezanje aminoacilirane trna na enzim. Osim ovih razlika, sve aars imaju zajednički katalitički mehanizam: u prvom koraku α-karbonilni kisikov atom aminokiseline napada α-fosfor kompleksa Mg-ATP te nastaje aminoacil-adenilatni intermedijer, uz otpuštanje pirofosfata. U drugom koraku 2' ili 3' hidroksilna skupina napada karbonilni ugljik adenilata te nastaje aminoacilirana trna i AMP. Reakcija je termodinamički pogonjena hidrolizom pirofosfata anorganskom pirofosfatazom, budući da nastajanje veze aminoacil-trna zahtjeva cijepanje dviju visokoenergetskih, fosfoanhidridnih veza Selenocistein i pirolizin Neki organizmi uz 20 standardnih proteinogenih aminokiselina koriste i dvije dodatne, selenocistein i pirolizin. Desulfitobacterium kodira 22 aminokiseline, dok je kod Acetohalobium arabaticum primjećena promjena broja kodiranih aminokiselina ovisno o hranjivoj podlozi. Stanice koje su rasle na piruvatu kao jedinom izvoru energije kodirale su 20 aminokiselina, dok su u prisutnosti trimetilamina kodirale i pirolizin. To je jedini poznati organizam koji može mijenjati broj kodiranih aminokiselina u ovisnosti o okolišu te izvoru energije. 5 Selenocistein i pirolizin su nestandardne aminokiseline čija je ugradnja omogućena prirodnim proširivanjem genetskog koda. Budući da su obje aminokiseline kodirane stop kodonima, jedan su od dokaza evolucije genetskog koda. U različitim organizmimima zadovoljavaju potrebu za raznolikošću proteina, uz ostale kotranslacijske i posttranslacijske modifikacije Selenocistein Selenocistein je 21. proteinogena aminokiselina, analog cisteina koji umjesto sumpora sadrži selenij te gradi selenoproteine ih godina otkriveno je da je kodon UGA odgovoran za ugradnju selenocisteina u protine mnogih vrsta, pa i ljudi. 2 Precizna sinteza selenoproteina

17 2. Prikaz odabrane teme 12 ključna je za razvoj i zdravlje organizama, jer je uočeno da se selenocistein često nalazi u aktivnom mjestu selenoproteina i odgovoran je za njegovu aktivnost. Budući da kodon UGA istovremeno određuje i ugradnju selenocisteina i terminaciju sinteze selenoproteina, biosintetska mašinerija za sintezu selenocisteina mora moći razlikovati stop-kodon od kodona za selenocistein. Mehanizam koji omogućuje razlikovanje uključuje slijed SECIS (eng. Sec insertion sequence) - strukturu ukosnice u 3'-netranslatiranoj regiji selenoproteinske mrna kod eukariota, te protein SBP2 (eng. SECIS binding protein 2), koji vezanjem na SECIS stvara kompleks s posebnim elongacijskim faktorom SelB za SectRNA Sec. Elongacijski faktor SelB omogućuje ugradnju selenocisteina na ciljane UGA kodone namijenjene ugradnji selenocisteina. Ključnu ulogu u razlikovanju značenja UGA kodona ima udaljenost između kodona i slijeda SECIS. Kod bakterija, SECIS sekvenca se nalazi u neposrednoj blizini UGA kodona i dio je kodirajuće sekvence bakterijskih gena, što otežava inžinjering novih selenoproteina. 6 Slika 2. Selenocistein Biosinteza selenocisteina Selenocistein je jedina poznata proteinogena aminokiselina u eukariotima koja se sintetizira na svojoj trna. Biosinteza započinje aminoaciliranjem trna Sec serinom u prisutnosti seriltrna-sintetaze, ATP-a i Mg Sec sintaza (SelA kod bakterija, SepSecS kod arheja i eukariota) je enzim koji sintetizira selenocistein koristeći piridoksal-fosfat kao prostetičku skupinu. Kod bakterija, enzim interagira sa seril-trna Sec, miče hidroksilnu skupinu serina, te nastaje intermedijer dehidroalanil-trna. Intermedijer zatim reagira s aktiviranim donorom selenija, te nastaje selenocisteil-trna. Donor selenija kod bakterija i eukariota je selenofosfat. Eukarioti imaju sličan mehanizam sinteze u kojem sudjeluje dodatni intermedijer O-fosfoseril-tRNA. O-

18 2. Prikaz odabrane teme 13 fosfoseril-trna nastaje u reakciji kataliziranoj O-fosfoseril-tRNA-kinazom. SepSec-sintaza zatim djeluje na fosfoseril-trna i nastaje dehidroalanil-trna. Reakcijom sa selenofosfatom, nastaje selenocisteil-trna Sec. U E.coli selenofosfat nastaje reakcijom selenida i ATP-a kataliziranoj selenofosfat sintetazom (SelD). trna Sec je najduža poznata trna s produženom akceptorskom peteljkom koja nastaje zbog neuobičajenog djelovanja RNaze P. Svojom strukturom trna Sec se znatno razlikuje od kanonskih trna. 8 Otkrivena je godine i klasificirana kao sporedni izoakceptor trna Ser koji dekodira UGA kodon. Daljnja istraživanja pokazala su da trna Sec postoji u dvije izoforme koje se razlikuju u jednoj metilnoj skupini, te da posjeduje brojna specifična svojstva. Transkribira se drugačije od svih poznatih trna jer njena transkripcija započinje na prvom nukleotidu kodirajuće sekvence. Od drugih trna razlikuje se i po tome što ima slijed nukleotida dugačak 90 nukleotida, te njena sekundarna strkutura odstupa od oblika djeteline. Specifična je i po tome što sudjeluje u reakciji O-fosfoseril-tRNA-kinaze Pirolizin Pirolizin je 22. proteinogena aminokiselina, esencijalna u metabolizmu trimetilamina nekih metanogenih arheja, 2 a pojavljuje se i kod nekih bakterija. Kodira je stop kodon UAG, a u proteine se ugrađuje pomoću pirolizil-trna-sintetaze (PylRS). PylRS je homodimerni enzim koji katalizira nastajanje Pyl-tRNA Pyl mehanizmom zajedničkim svim aminoacil-trnasintetazama. Monomer enzima se može podijeliti na N- i C- terminalne domene, koje su ovisno o organizmu, kodirane jednim ili dva gena. Struktura N-terminalne domene nije poznata, no struktura C-terminalne domene određena je za bakterijski i arhejski enzim. C- terminalna domena sadrži katalitičku srž enzima, građenu od antiparalelnih β-ploča okruženih α-zavojnicama, što je svojstveno aars razreda II. Iz bakterijskog kompleksa PylRS-tRNA Pyl vidljivo je da se na jednu molekulu enzima vežu dvije molekule odgovarajuće trna, odnosno da se na svaki monomer veže jedna. Prepoznavanje molekule trna omogućeno je kroz interakciju enzima i elemenata identiteta trna te kroz prepoznavanje karakteristične tercijarne strukture trna Pyl. PylRS ne interagira direktno s antikodonom trna Pyl. U organizmima koji koriste pirolizin, tri proteina sudjeluju u njegovoj sintezi koja obuhvaća transformaciju lizina u pirolizin. U prvom koraku PylB katalizira nastajanje (3R)-3- metil-d-ornitina iz lizina. On se zatim, pomoću PylC veže na N ε -amino skupinu druge molekule lizina, te nastaje L-lizin-N ε -(3R)-metil-D-ornitin. Taj se intermedijer u posljednjem

19 2. Prikaz odabrane teme 14 koraku oksidira do pirolizina u reakciji kataliziranoj enzimom PylD. Sintetizirani pirolizin se pomoću PylRS veže na trna Pyl. Pirolizin se u veznom mjestu PylRS prepoznaje uglavnom pomoću hidrofobnih (nespecifičnih) interakcija, što objašnjava činjenicu da PylRS može koristiti različite aminokiselinske supstrate u reakciji aminoaciliranja. Enzim može koristiti različite supstrate koji posjeduju karbamat, te amidnu ili karbonilnu skupinu i mogu se pravilno orjentirani u veznom mjestu. Obrtni broj PylRS je za oko tri reda veličine manji nego prosječni obrtni broj aars za standardne aminokiseline, što može biti povezano s činjenicom da se pirolizin translatira 3000 puta rjeđe od standardnih aminokiselina. Unatoč tome što nije jako dobar katalizator, PylRS je zbog svojih svojstava važna u eksperimentima proširivanja genetskog koda. Budući da može koristiti različite supstrate (one koji posjeduju karbamat, amidnu ili karbonilnu skupinu), njome je ugrađeno više od 100 različitih nestandardnih aminokiselina. Također je praktično što PylRS ne prepoznaje molekule trna temeljem njihovog antikodona, pa se bilo koji kodon može iskoristiti za ugradnju nestandardne aminokiseline. Kako enzim može koristiti supstrate u kojima je pirolinski prsten zamijenjen nekom drugom, sličnom skupinom, PylRS je posebno pogodna za ugradnju analoga lizina jer za to nije potrebna izmjena aktivnog mjesta. Uz analoge lizina može ugrađivati i različite analoge fenilalanina. 9 Slika 3. Pirolizin 2.5. In vivo ugradnja nestandardnih aminokiselina Zbog raznolikosti funkcija, proteini zahtijevaju visok stupanj kemijske kompleksnosti struktura, što se očituje u velikom broju posttranslacijskih modifikacija i potrebi za

20 2. Prikaz odabrane teme 15 kofaktorima. Proširivanje genetskog koda nestandardnim aminokiselinama omogućuje dodatnu raznolikost u građi i funkciji proteina. Da bi se nova aminokiselina mogla dodati u genetski repertoar potreban je kodon koji specifično označava tu aminokiselinu. U početku se koristila redundantnost genetskog koda za in vitro ugradnju nestandardnih aminokiselina na specifično mjesto. Korištenjem UAG stop kodona i kemijskim aminoaciliranjem supresorske trna željenom aminokiselinom, ugrađene su brojne nestandardne aminokiseline. Ugradnja nestandardnih aminokiselina omogućila je ispitivanje utjecaja bočnih ogranaka na strukturu i funkciju proteina, te na njihov katalitički mehanizam. U početku su korišteni sustavi bez stanica, no napretkom tehnologije i inžinjerstvom translacijskih sustava omogućena je in vivo ugradnja nestandardnih aminokiselina. Za in vivo ugradnju potrebno je uvesti neke promjene u sustave za biosintezu proteina stanice, što je vidljivo već i kod ugradnje selenocisteina i pirolizina, iako su to dvije nestandardne aminokiseline čija je ugradnja omogućena prirodnim proširivanjem genetskog koda. Nestandardne aminokiseline mogu se podijeliti u dvije skupine: aminokiseline izostrukturne standarnim aminokiselinama koje prepoznaju translacijski sustavi stanice i ortogonalne aminokiseline koje se ne translatiraju na klasičan način. Zbog tih strukturnih razlika te kako bi se omogućila ciljana, odnosno nasumična ugradnja, postoje dva načina za in vivo ugradnju nestandardnih aminokiselina. Izostrukturne nestandardne aminokiseline ugrađuju se metodom ugradnje putem selektivnog pritiska na nasumično mjesto u proteinu, korištenjem auksotrofnih sojeva za proteinogene aminokiseline izostrukturne onim nestandardnim aminokiselinama koje se žele ugraditi. Određena endogena trna može se aminoacilirati željenom aminokiselinom, sterički sličnom supstratu enzima. Koriste se standardni kodoni, no onemogućuje se ugradnja standardne aminokiseline korištenjem auksotrofnog soja bakterije. Najpoznatiji primjer takve ugradnje je selenometionin, koji se ugrađuje pomoću metionil-trna-sintetaze i odgovarajuće trna Met, a može gotovo kvantitativno zamijeniti metionin u stanicama korištenih auksotrofnih sojeva koji ne sintetiziraju metionin. 1 Ortogonalne nestandardne aminokiseline ugrađuju se na točno određeno mjesto pomoću ortogonalnog para aars-trna, metodom supresije stop kodona. Za ugradnju nestandardne aminokiseline potreban je kodon koji ne kodira niti jednu od 20 standardnih aminokiselina, a tome mogu poslužiti stop kodoni ili kvadrupletni kodoni. Željeni kodon može se ugraditi na bilo koje mjesto u primarnoj strukturi, što omogućuje ugradnju

21 2. Prikaz odabrane teme 16 nestandardne aminokiseline na točno određeno mjesto u proteinu. Za razliku od metode ugradnje putem selektivnog pritiska, kod metode supresije stop kodona nužno je da aars i trna funkcioniraju neovisno o endogenom aminoacilacijskom sustavu stanice, te da su ortogonalne. Ortogonalnost se očituje u tome što aars ne aminoacilira druge, endogene trna, a ciljana trna nije supstrat drugih aars. Taj idealni slučaj se teško postiže jer ciljana (inžinjerska) trna zadržava svoju tercijarnu strukturu i ima mali broj nukleotidnih identitetnih elemenata pa može interagirati s drugim aars. Promjenom identitetnih elemenata trna lako postane supstrat neke druge endogene aars. 9 Problem se može riješiti korištenjem translacijskih sustava iz drugih domena. Također je važno da novosintetizirana ili ugrađena nestandardna aminokiselina bude stabilna i otporna na stanične enzime, te da nije toksična. Najveći problem koji se pojavljuje pri korištenju nestandardnih aars je velik gubitak njihove enzimatske aktivnosti, čak i s aminokiselinama koje su vrlo slične pravom supstratu. Problem predstavlja i lošija kompatibilnost para nestandardne aminokiseline i njene trna s elongacijskim faktorom Tu i ribosomom. Zbog gubitka enzimatske aktivnosti nestandardnih aars, prilikom sinteze proteina s nestandardnim aminokiselinama, dolazi do kompeticije sa staničnim aminoaciliranim trna čiji je antikodon sličan ciljanom, što smanjuje uspješnost sinteze. Razvijeni su mnogi ortogonalni parovi, no do nedavno najčešće korišten je ortogonalni par baziran na TyrRS iz Methanocaldococcus jannaschii. Danas se sve više koristi PylRS iz Methanosarcinaceae u paru sa svojom supresorskom trna. Taj ortogonalni par pokazuje veću toleranciju prema različitim supstratima te može koristiti različite antikodone (UAG, UAA, UGA, UAGA) bez uvođenja dodatnih promjena na trna Pyl, što omogućuje ugradnju većeg broja nestandardnih aminokiselina. Metoda supresije stop kodona omogućuje ugradnju nestandardnih aminokiselina na točno određeno mjesto u proteinu. Na taj se način struktura proteina minimalno mijenja, što omogućuje njeno detaljno i precizno proučavanje. Korištenjem nestandardnih aminokiselina mogu se proučavati i protein-protein interakcije. Ograničenje metode supresije stop kodona su faktori otpuštanja (RF) koji uzrokuju terminaciju translacije na ribosomu. Kompetiraju s trna i dovode do nastajanja smjese djelomično i potpuno sintetiziranih proteina. Nadalje, umetanje stop kodona u mrna može uzrokovati promjene u energiji smatanja i utjecati na vezanje i interakciju mrna s ribosomom. Također može doći do promjene okvira čitanja, što može onemogućiti ispravnu sintezu cijelog polipeptidnog lanca. 1,10

22 2. Prikaz odabrane teme 17 Ugradnja jedne nestandardne aminokiseline na jedno mjesto u proteinu omogućuje istraživanje specifičnog problema, kao što je interakcija liganda i receptora, no jedna nestandardna aminokiselina ugrađena na samo jednom mjestu u proteinu nema velik biotehnološki značaj. Zbog toga je potrebno paralelno ugrađivati više nestandardnih aminokiselina u protein. U prvom takvom provedenom eksperimentu korištene su kombinacije ortogonalnih parova TyrRS iz Methanocaldococcus jannaschii i PylRS iz Methanosarcina mazei. Time je omogućena simultana zamjena značenja amber (UAG) i ochre (UAA) kodona. Daljnju prenamjenu kodona metodom supresije stop kodona onemogućuju faktori otpuštanja i pomak okvira čitanja. Nasuprot tome, metoda inkorporacije selektivnim pritiskom omogućuje ugradnju tri ili više nestandardnih aminokiselina u protein bez smanjenog iskorištenja. Paralelnom ugradnjom homopropargilglicina, 4-azatriptofana i (4s)-fluoroprolina dobiven je funkcionalni protein. Također, dobivena je aktivna fluorirana lipaza s 24 promijenjene aminokiseline. 10 Takvi funkcionalni proteini s više ugrađenih nestandardnih aminokiselina mogu se dobiti korištenjem kombinacije ovih dviju metoda. Budući da najveći problem ugradnji nestandardnih aminokiselina predstavljaju faktori otpuštanja, najjednostavnije rješenje tog problema bilo bi korištenje soja bakterija u kojem je inaktivirana sinteza faktora otpuštanja. Uklanjanje RF1 iz E.coli uklonilo bi kompeticiju supresorske trna koja čita UAG kodon i tog faktora otpuštanja prilikom translacije. Gen prfa koji kodira RF1 esencijalan je u E.coli pa jednostavno uklanjanje RF1 nije moguće. Potpuno uklanjanje RF1 postignuto je uvođenjem mutantnog faktora otpuštanja RF2 koji nadoknađuje gubitak RF1, te korištenjem visoko-protočnih metoda kojima su UAG kodoni zamijenjeni UAA kodonima. U drugom pristupu TAG kodoni u esencijalnim genima zamijenjeni su TAA kodonima, te je uveden ortogonalni par za UAG. Na taj način omogućena je ekspresija glutation-s-transferaze s različitim nestandardnim aminokiselinama na sedam pozicija UAG kodona. Uklanjanje RF1 ne utječe znatno na ugradnju jedne nestandardne aminokiseline, no znatno olakšava paralelnu ugradnju više različitih 10, 11 nestandardnih aminokiselina u jedan polipeptidni lanac. Za in vivo paralelnu ugradnju više različitih nestandardnih aminokiselina potrebno je više kodona bez značenja. Taj problem bi se mogao riješiti uvođenjem kvadrupletnih kodona ili 'oslobađanjem' postojećih tripletnih kodona. Potpunim uklanjanjem RF1 kodon UAG oslobađa se svog značenja i može se koristiti za ugradnju neke nestandardne aminokiseline. Na isti način bi se i drugi rijetki kodoni mogli prenamjeniti. Zbog degeneriranosti genetskog

23 2. Prikaz odabrane teme 18 koda, 30 do 40 kodona je organizmu dovoljno za kodiranje genetske informacije. Svi ostali kodoni mogli bi se prenamjeniti. 2 Uvođenje kvadrupletnih kodona predstavlja problem jer se oni translatiraju lošije od tripletnih kodona te mogu uzrokovati pomak okvira čitanja. Bolji rezultati i veći prinos novosintetiziranih proteina dobiveni su korištenjem većeg broja supresorskih trna, optimizacijom nestandardnih aminoacil-trna za bolje vezanje elongacijskog faktora Tu (EF-Tu), te povećanom ekspresijom aars. Za daljnje poboljšanje metoda i veće prinose sintetiziranih proteina potrebni su novi ortogonalni parovi. 6 Potrebno je i bolje istražiti posttranskripcijske modifikacije trna, jer one mogu utjecati na efikasnost i sposobnost dekodiranja aminoacil-trna. 2 Jedna od metoda za ugradnju nestandardnih aminokiselina je i promjena značenja kodirajućeg kodona (eng. sense codon reassignment), koja uključuje uklanjanje endogenih translacijskih komponenti (trna, aars) i zamjene kodona kojeg želimo promjeniti sinonimnim kodonima kroz cijeli kromosom ili esencijalne gene. Za razliku od metode supresije stop kodona, kod koje uvijek postoji kompeticija s originalnim značenjem kodona, kod metode koja mijenja značenje kodirajućeg kodona dolazi do potpunog uklanjanja značenja i funkcije određenog kodona. Provedeno je istraživanje u kojem je rijedak kodon za arginin, AGG, promijenjen u kodon za L-homoarginin i L-N 6 -(1-iminoetil)lizin korištenjem ortogonalnog para PylRS-tRNA Pyl. Takva zamjena je najvjerojatnije bila moguća jer su obje uvedene nestandardne aminokiseline slične argininu. Stanice mogu preživjeti uklanjanje rijetkog AGG kodona ako je on u svim esencijalnim genima zamijenjen sinonimnim kodonima. 1 Ugradnja nestandardnih aminokiselina u proteine može omogućiti stvaranje novih proteina s različitim korisnim svojstvima. Takvi proteini mogli bi naći različite primjene. Mogli bi se koristiti za istraživanja prijenosa signala u stanici, te u medicini, za stvaranje fosfoproteina koji bi se mogli koristiti kao markeri za tumore. Proučavanje protein-protein interakcija korištenjem nestandardnih aminokiselina može biti značajno za istraživanje Alzheimerove bolesti, infekcija virusom HIV te velikog broja tumora.

24 3. Literaturni izvori LITERATURNI IZVORI 1. C. G. Acevedo-Rocha, N. Budisa, Microb. Biotechnol. 9 (2016) P. O'Donoghue, J.Ling, Y.Wang, D.Söll, Nat. Chem. Biol. 9 (2013) D.L.Nelson, M.M. Cox, Lehninger Principles of Biochemistry. 6 th ed., W.H Freeman and Company, New York, 2013., J.J.Perona, I.Gruić-Sovulj, Top. Curr. Chem. 344 (2013) L. Prat, I. U. Heinemann, H. R. Aerni, J. Rinehart, P. O'Donoghue, D. Sӧll. Proc. Natl. Acad. Sci. 109 (2012) C. Miller, M.J. Bröcker, L. Prat, K. Ip, N. Chirathivat, A. Feiock, M. Veszprémi, D. Söll, FEBS Lett. 17 (2015) A.A. Turanov, X.Xu, B.A.Carlson, M.Yoo, V.N. Gladyshev, D.L.Hatfield, Adv. Nutr. 2 (2011) J. Yuan, P. O'Donoghue, A. Ambrogelly, S. Gundllapalli, R.L. Sherrer, S.Palioura, M. Simonović, D. Söll, FEBS Lett. 2 (2010) A.Crnković, T.Suzuki, D.Söll, N.M.Reynolds, Croat. Chem. Acta. 89 (2016) M. G Hoesl, N.Budiša, Curr. Opin. Biotechnol. 23 (2012) Y. Zheng, M. J. Lajoie, J. S. Italia, M. A. Chin, G. M. Church, A. Chatterjee, Mol. Biosyst. 12 (2016)

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

TRANSLACIJA. Doc. dr Snežana Marković

TRANSLACIJA. Doc. dr Snežana Marković TRANSLACIJA Doc. dr Snežana Marković Institut za biologiju i ekologiju Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Kragujevcu BIOSINTEZA PROTEINA - TRANSLACIJA U toku translacije dolazi do specifičnog

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

DINAMIKA SKLAPANJA AMINOACILtRNA-SINTETAZNOG

DINAMIKA SKLAPANJA AMINOACILtRNA-SINTETAZNOG PRIRODOSLOVNO-MATEMATIČKI FAKULTET Ana Crnković DINAMIKA SKLAPANJA AMINOACILtRNA-SINTETAZNOG KOMPLEKSA DOKTORSKI RAD Zagreb, 2014. FACULTY OF SCIENCE Ana Crnković DYNAMICS OF AN AMINOACYL-tRNA SYNTHETASE

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014

Aminokiseline. Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina 22.12.2014 Anabolizam azotnihjedinjenja: Biosinteza aminokiselina, glutationa i biološki aktivnih amina Predavanja iz opšte biohemije Školska 2014/2015. godina Aminokiseline 1 Metabolizam aminokiselina Proteini iz

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA

NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA NIVOI ORGANIZACIJE I EKSPRESIJE GENOMA ANIMACIJE!!! REPLIKACIJA https://www.youtube.com/watch?v=tnkwgcfphqw TRANSKRIPCIJA https://www.youtube.com/watch?v=jqiwwjqf5d0 TRANSKRIPCIJA I TRANSLACIJA https://www.youtube.com/watch?v=-k8y0atkkai

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Iterativne metode - vježbe

Iterativne metode - vježbe Iterativne metode - vježbe 5. Numeričke metode za ODJ Zvonimir Bujanović Prirodoslovno-matematički fakultet - Matematički odjel 21. studenog 2010. Sadržaj 1 Eulerove metode (forward i backward). Trapezna

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Dvojni karakter domene arginil-trna-sintetaze u vezanju trna i prijenosu informacija prema udaljenom katalitičkom mjestu

Dvojni karakter domene arginil-trna-sintetaze u vezanju trna i prijenosu informacija prema udaljenom katalitičkom mjestu Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Nikolina Šoštarić i Petar Šutalo Dvojni karakter domene arginil-trna-sintetaze u vezanju trna i prijenosu informacija prema udaljenom katalitičkom

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA

OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA OSNOVE TEHNOLOGIJE PROMETA MODUL: Tehnologija teleomuniacijsog rometa FAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI Predavači: Doc.dr.sc. Štefica Mrvelj Maro Matulin, dil.ing. Zagreb, ožuja 2009. Oće informacije Konzultacije:

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 BETONSE ONSTRUCIJE 2 vježbe, 31.10.2017. 31.10.2017. DATUM SATI TEMATSA CJELINA 10.- 11.10.2017. 2 17.-18.10.2017. 2 24.-25.10.2017. 2 31.10.- 1.11.2017. uvod ponljanje poznatih postupaka dimenzioniranja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα