Τα µαθηµατικά στο χώρο εργασίας και η σύνδεσή τους µε την τυπική εκπαίδευση

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Τα µαθηµατικά στο χώρο εργασίας και η σύνδεσή τους µε την τυπική εκπαίδευση Χρυσαυγή Ν. Τριανταφύλλου ιδακτορική ιατριβή Πάτρα Απρίλιος 2010

2

3 Εξεταστική επιτροπή Ευγενία Κολέζα, καθ. ΠΤ Ε, Πανεπιστηµίου Πατρών έσποινα Πόταρη, αν. καθ. Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αθηνών Χαράλαµπος Σακονίδης, αν. καθ. ΠΤ Ε, ηµοκρίτιου Πανεπιστήµιου Θράκης ηµήτριος Χασάπης, αν. καθ. ΤΕΑΠΗ, Πανεπιστηµίου Αθηνών Τριαντάφυλλος Τριανταφυλλίδης, αν. καθ. ΠΤ Ε, Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Χαρίκλεια Σταθοπούλου, επ. καθ. ΠΤΕΑ, Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Χρήστος Μαρκόπουλος, λέκτορας ΠΤ Ε, Πανεπιστηµίου Πατρών II

4 III

5 IV Αφιερώνεται στους σπουδαστές µου

6 V

7 Ευχαριστίες Υπάρχουν πολλοί άνθρωποι που στάθηκαν δίπλα µου στην προσπάθεια εκπόνησης της διδακτορικής µου διατριβής και αξίζουν αναφοράς και αναγνώρισης. Αρχικά, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά όλα τα µέλη της Συµβουλευτικής Επιτροπής για τις χρήσιµες υποδείξεις τους, την καθοδήγησή τους, την τυπική αλλά και συνάµα ουσιαστική συµπαράστασή τους στην εξέλιξη αυτής της εργασίας. Ιδιαίτερα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη έσποινα Πόταρη. Η παρούσα µελέτη ήταν το δικό µου ταξίδι στην Ιθάκη σε λιµάνια γνώσης πρωτοϊδωµένα που είχα την τύχη να το µοιραστώ µαζί της. Ο ρόλος της ήταν καταλυτικός και η συνεισφορά της διαρκής και ουσιαστική στο σχεδιασµό, την εξέλιξη και την ολοκλήρωση της διδακτορικής µου διατριβής. Στη συνέχεια, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους τεχνικούς του ΟΤΕ που µου πρόσφεραν εθελοντικά την «πρώτη ύλη» όλης της µελέτης µου αλλά και µε διευκόλυναν στην πραγµατοποίησή της. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συµµετέχοντες σπουδαστές του ΤΕΙ Λαµίας αλλά και πολλούς συναδέρφους µου εκπαιδευτικούς στον ίδιο χώρο που αφιέρωσαν χρόνο να µε ενηµερώσουν, να µε καθοδηγήσουν στις αναζητήσεις µου και να απαντήσουν σε µια σειρά απορίες και ερωτήσεις µου. Από τις ευχαριστίες δεν ήταν δυνατόν να λείπει η οικογένειά µου, ο σύζυγός µου Θανάσης και τα παιδιά µου Γιώργος, Λίνα και Νικόλας για την αµέριστη συµπαράστασή τους που εκτείνεται πολύ πιο πέρα από την ολοκλήρωση της παρούσης εργασίας. VI

8 VII

9 Περιεχόµενα Περίληψη 1 Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 3 Κεφάλαιο 2: Θεωρητικό Πλαίσιο Κοινωνικο - πολιτισµικές Θεωρήσεις της Μάθησης Το µοντέλο της 1 ης και 2 ης γενιάς της Θεωρίας ραστηριότητας Το θεωρητικό µοντέλο της ανθρώπινης δραστηριότητας του Leont ev Η Κοινωνικό-πολιτισµική σηµειωτική θεωρητική προσέγγιση Η µαθηµατική δραστηριότητα Γενική θεώρηση της µαθηµατικής δραστηριότητας Η µαθηµατική δραστηριότητα στο χώρο εργασίας Ο ρόλος των εργαλείων στην ανάπτυξη της µαθηµατικής δραστηριότητας Μαθηµατική δραστηριότητα και Επικοινωνιακής φύσης µαθηµατικά εργαλεία - Μια σηµειωτική προσέγγισή Μαθηµατική δραστηριότητα και τεχνολογικής φύσης εργαλεία Το ζήτηµα µεταφοράς της γνώσης Ορισµοί - η ανάδειξη του προβλήµατος Η σηµασία του πλαισίου στη µαθηµατική γνώση Θεωρητικές προσεγγίσεις του ζητήµατος ηµιουργώντας γέφυρες ανάµεσα σε διαφορετικές πρακτικές Θεωρητικοί προβληµατισµοί σχετικά µε το υπό διερεύνηση ζήτηµα: Είναι µια διαδικασία γενίκευσης ή αφαίρεσης; Η θεωρητική µας προσέγγιση στο θέµα µεταφοράς της γνώσης Βιβλιογραφική επισκόπηση Εισαγωγή Έρευνες ιερευνητικής φύσης -Τα µαθηµατικά σε διάφορους χώρους εργασίας Έρευνες Παρεµβατικής φύσης Ανοιχτά ερευνητικά θέµατα Σύνοψη. 58 Κεφάλαιο 3: Μεθοδολογικό Πλαίσιο της έρευνας Μεθοδολογικό Θεωρητικό πλαίσιο Μελέτη περίπτωσης Εθνογραφική µεθοδολογική προσέγγιση Θεµελιωµένη θεωρία ανάλυσης δεδοµένων Ερευνητικό πρόβληµα ερευνητικά ερωτήµατα Οι Φάσεις της έρευνας Συνοπτική περιγραφή Η Α Ερευνητική Φάση Η Β Ερευνητική Φάση Οι ερευνητικό χώροι Ερευνητική σκηνή: Ο χώρος εργασίας Ερευνητική σκηνή: Ο χώρος του ΤΕΙ Οι συµµετέχοντες Οι τεχνικοί.. 74 VIII

10 3.5.2 Οι σπουδαστές Η ερευνήτρια α Ο ρόλος της ερευνήτριας στην Α Ερευνητική Φάση β Ο ρόλος της ερευνήτριας στην Β Ερευνητική Φάση Μέθοδοι και διαδικασίες συλλογής δεδοµένων Η Α Ερευνητική Φάση α Χρονική διάρκεια β Οι Μέθοδοι και διαδικασίες συλλογής δεδοµένων Η Β Ερευνητική Φάση α Χρονική διάρκεια β Οι Μέθοδοι και οι διαδικασίες συλλογής δεδοµένων Η µεθοδολογία ανάλυσης των δεδοµένων Θεωρητικό πλαίσιο ανάλυσης των δεδοµένων της Α ερευνητικής φάσης Οι φάσεις ανάλυσης των ερευνητικών δεδοµένων της Α ερευνητικής φάσης Θεωρητικό πλαίσιο ανάλυσης των δεδοµένων της Β ερευνητικής φάσης Οι φάσεις ανάλυσης των ερευνητικών δεδοµένων της Β ερευνητικής φάσης Σύνοψη Κεφάλαιο 4: Αποτελέσµατα της Α Ερευνητικής Φάσης Η Οµάδα Α Η κεντρική δραστηριότητα των τεχνικών της Οµάδας Α Τα διαµεσολαβητικής φύσης εργαλεία Η ανάπτυξη µαθηµατικών πρακτικών των τεχνικών την Οµάδας Α α 1 η δράση: Ο εντοπισµός της θέσης ενός καλωδίου β. 2 η δράση: Ο εντοπισµός της θέσης υπόγειου καλωδίου γ 3 η δράση: O εντοπισµός του συγκεκριµένου σηµείου βλάβης Σύνθεση ευρηµάτων σχετικά µε την ανάδειξη µαθηµατικών πρακτικών από τα µέλη της Οµάδας Α Η Οµάδα Β Η κεντρική δραστηριότητα των τεχνικών της Οµάδας Β Τα διαµεσολαβητικής φύσης εργαλεία Η ανάπτυξη µαθηµατικών πρακτικών των τεχνικών της Οµάδας Β α 1 η δράση: Η υλοποίηση µιας κατασκευής β. 2 η δράση: Η επίλυση προβληµάτων Σύνθεση ευρηµάτων σχετικά µε την ανάδειξη µαθηµατικών πρακτικών από τα µέλη της Οµάδας Β Η Οµάδα Γ Η κεντρική δραστηριότητα των τεχνικών της Οµάδας Γ Τα διαµεσολαβητικής φύσης εργαλεία Η ανάπτυξη µαθηµατικών πρακτικών των τεχνικών την Οµάδας Γ α 1 η δράση: Η παρακολούθηση των χρηστών στο σύστηµα της δορυφορικής ζεύξης β. 2 η δράση: Ο έλεγχος των ποιοτικών χαρακτηριστικών του σήµατος γ 3 η δράση: Η αντιµετώπιση καταστάσεων κρίσης Σύνθεση ευρηµάτων σχετικά µε την ανάδειξη µαθηµατικών πρακτικών από τα µέλη της Οµάδας Γ Σύνθεση και σύγκριση των ευρηµάτων της Α ερευνητικής φάσης IX

11 Κεφάλαιο 5: Αποτελέσµατα της Β Ερευνητικής Φάσης Ο Σπουδαστής Σπ ιερευνητικό µέρος α Ο σπουδαστής ως µέλος της σπουδαστικής κοινότητας. Εµπειρίες και αντιλήψεις του σπουδαστή β Ο σπουδαστής ως µέλος της εργασιακής κοινότητας Παρεµβατικό µέρος α Παρεµβατική ραστηριότητα 1. Το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης β Παρεµβατική ραστηριότητα 2. Η έννοια της συνάρτησης Σύνθεση ευρηµάτων για τον σπουδαστή Σπ Ο Σπουδαστής Σπ ιερευνητικό µέρος α Ο σπουδαστής ως µέλος της σπουδαστικής κοινότητας. Εµπειρίες και αντιλήψεις του σπουδαστή β Ο σπουδαστής ως µέλος της εργασιακής κοινότητας Παρεµβατικό µέρος α Παρεµβατική ραστηριότητα 1. Το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης β Παρεµβατική ραστηριότητα 2. Η έννοια της συνάρτησης Σύνθεση ευρηµάτων για τον σπουδαστή Σπ Ο Σπουδαστής Σπ ιερευνητικό µέρος α Ο σπουδαστής ως µέλος της σπουδαστικής κοινότητας. Εµπειρίες και αντιλήψεις του σπουδαστή β Ο σπουδαστής ως µέλος της εργασιακής κοινότητας Παρεµβατικό µέρος α Παρεµβατική ραστηριότητα 1. Το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης β. Παρεµβατική ραστηριότητα 2. Η έννοια της συνάρτησης Σύνθεση ευρηµάτων για τον σπουδαστή Σπ Ο Σπουδαστής Σπ ιερευνητικό µέρος α Ο σπουδαστής ως µέλος της σπουδαστικής κοινότητας. Εµπειρίες και αντιλήψεις του σπουδαστή β Ο σπουδαστής ως µέλος της εργασιακής κοινότητας Παρεµβατικό µέρος α Παρεµβατική ραστηριότητα 1. Το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης β Παρεµβατική ραστηριότητα 2. Η έννοια της συνάρτησης Σύνθεση ευρηµάτων για τον σπουδαστή Σπ Ο Σπουδαστής Σπ ιερευνητικό µέρος α Ο σπουδαστής ως µέλος της σπουδαστικής κοινότητας. Εµπειρίες και αντιλήψεις του σπουδαστή β Ο σπουδαστής ως µέλος της εργασιακής κοινότητας Παρεµβατικό µέρος α Παρεµβατική ραστηριότητα 1. Το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης β Παρεµβατική ραστηριότητα 2. Η έννοια της συνάρτησης Σύνθεση ευρηµάτων για τον σπουδαστή Σπ5 322 X

12 5.6 Σύνθεση και σύγκριση των ευρηµάτων της Β ερευνητικής φάσης Οι σπουδαστές ως µέλη της σχολικής και της σπουδαστικής κοινότητας. Στάσεις και αντιλήψεις Οι µαθηµατικές πρακτικές των σπουδαστών ως µαθητευόµενα µέλη της εργασιακής κοινότητας Οι εννοιολογικές πορείες των σπουδαστών στην εξέλιξη των παρεµβατικών δραστηριοτήτων α Η εξέλιξη της παρεµβατικής δραστηριότητας β Η εξέλιξη της παρεµβατικής δραστηριότητας γ Συµπεράσµατα για τις παρεµβατικές δραστηριότητες στο σύνολό τους 347 Κεφάλαιο 6: Συµπεράσµατα Σύνθεση και σύνοψη των ευρηµάτων της έρευνας Οι διδακτικές προεκτάσεις Οι ερευνητικές προεκτάσεις. 371 Βιβλιογραφία 372 Παράρτηµα Ι 381 Παράρτηµα ΙΙ 395 XI

13 Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 2.1: Το µοντέλο 1 η γενεάς της Θεωρίας ραστηριότητας 12 Σχήµα 2.2: Τα συστατικά στοιχεία ενός συστήµατος δραστηριότητας κατά τον Engestrom (Engeström και Cole 1997, σελ. 304) 14 Σχήµα 2.3: Συγκριτικός πίνακας αριθµητικών µεθόδων επίλυσης προβληµάτων σε χώρους εργασίας και στην σχολική τάξη (Wedege 2002, p. 27). 51 Σχήµα 3.1: Η σχεδίαση της Α Ερευνητικής φάσης 68 Σχήµα 3.2: Η σχεδίαση της Β Ερευνητικής φάσης 69 Σχήµα 3.3: Το ερευνητικό σκηνικό και οι συµµετέχοντες.. 70 Σχήµα 4.1: Το συστηµικό δίκτυο της οµάδας Α 107 Σχήµα 4.2: Ο υπαίθριος κατανεµητής καλωδίων ή ΚΑΦΑΟ Σχήµα 4.3: Η αναπαράσταση του τεχνικού χάρτη Σχήµα 4.4: Η αναπαράσταση του πίνακα 121 Σχήµα 4.5: Η αναπαράσταση του γραφήµατος 128 Σχήµα 4.6: Το συστηµικό δίκτυο της οµάδας Β Σχήµα 4.7α: Η αναπαράστασης της πίσω όψης του µηχανήµατος Σχήµα 4.7β: Η αναπαράσταση του πλαισίου πρόσοψης του µηχανήµατος. 140 Σχήµα 4.8: Η αναπαράσταση της αρίθµηση των βυσµάτων µιας διασύνδεσης Σχήµα 4.9: Σχεδίαση της down link δορυφορικής ζεύξης από τον τεχνικό Γ Σχήµα 4.10: Το συστηµικό δίκτυο της οµάδας Γ Σχήµα 4.11: Πίνακας στιγµιαίας αναπαράστασης δεδοµένων 160 Σχήµα 4.12: Η γραφική παράσταση. 163 Σχήµα 4.12α: 1 ο Επεισόδιο - γενική περιγραφή του γραφήµατος και του σκοπού της µέτρησης Σχήµα 4.12β: 2 ο Επεισόδιο - οι άξονες συντεταγµένων, η κλίµακα διαγράµµισης, ο υπολογισµός αποστάσεων 168 Σχήµα 4.12γ: 4 ο Επεισόδιο: Ερµηνεία των συµβολισµών SWP και RBw Σχήµα 5.1: Παράδειγµα οπτικής αναπαράστασης δακτυλίων και υποδακτυλίων τηλεπικοινωνίας σε µια αστική περιοχή Σχήµα 5.2α: Οπτική αναπαράσταση µηχανήµατος Σχήµα 5.2β: Οπτική αναπαράσταση µηχανήµατος Σχήµα 5.3α: Το κέντρο διαχείρισης δικτύου Σχήµα 5.3β: Εφαρµογή παρακολούθησης Σχήµα 5.3γ: Εργαλεία διαχείρισης Σχήµα 5.4: Το σχεδιάγραµµα 1 του σπουδαστή Σπ Σχήµα 5.5: Το σχεδιάγραµµα 2 του σπουδαστή Σπ Σχήµα 5.6: Η αναπαράσταση του υπεραστικού δικτύου σύµφωνα µε τον τεχνικό 306 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 3.1: Οι κατηγορίες των συµµετεχόντων σε σχέση µε την ακαδηµαϊκή τους µόρφωση.. 76 Πίνακας 3.2: Οι σχολικές και ακαδηµαϊκές σπουδές του κάθε σπουδαστή 76 Πίνακας 3.3: Τα ερευνητικά εργαλεία της Α ερευνητικής φάσης ανά κατηγορία τεχνικών Πίνακας 3.4: Τα ερευνητικά εργαλεία της Β ερευνητικής φάσης.. 92 XII

14 XIII

15 Summary This dissertation thesis focuses on two different research problems carried out in two research phases. In the first research phase, lasting one year, it focuses on the exploration identification of mathematical practices of three different groups of technicians of the Greek Telecommunication Organization. In parallel, it investigates the existence of invaried mathematical elements that are crossing the academic and the current workplace community. In the second research face, lasting eight months, it investigates how and whether five students of a Technological Educational Institute who were doing their practicum in this setting could recognize these invariant mathematical elements. In the first research phase, the theoretical framework is guided by Vygotsky and Leont ev work on Activity theory and their followers, Engeström & Cole. Our data are coming from ethnographic observations and discussions with the participants. The mathematical activity we identified was complex and rich but completely contextual. Especially, we recognized and categorized the mediated mathematical tools in technicians central workplace activities and we were showing off how these are interrelated with their physical mediated tools. At the same time we recognized invariant mathematical elements in the category of mathematical concepts, the meanings the technicians attributed to these concepts and in the category of mathematical processes they were using in order to achieve their workplace goals. In the second research phase, our data are coming from exploratory and intervention interviews with the students and ethnographic observations. In the exploratory interviews we recorded their experiences and their attitudes as members of the academic and the workplace community and we identified mathematical practices they developed as apprentice members of this community. The mathematical practices the students developed, mainly unconsciously, XIV

16 were attached to the tools and the goals of the workplace community and referring to visualization and reading and interpreting complex visual representations. Finally, through the intervention interviews, we analyzed with the help of semiotic tools the activity the same students developed in order to interpret mathematical objects that are common to the academic and workplace community. The mathematical objects were referring to the place value concept and the functional relation between the resistance, the length and the diameter of the copper wires. In the conclusion, we recorded the characteristics that support and block students transfer of knowledge in their new socio-cultural context. In the end of the thesis we discuss and analyze the educational implications of our findings. XV

17 Περίληψη Η παρούσα διδακτορική διατριβή επικεντρώνεται σε δύο ερευνητικά προβλήµατα που αποτελούν τα αντικείµενα δύο ερευνητικών φάσεων. Στην Α ερευνητική φάση, διάρκειας ενός έτους, ασχολείται µε τη διερεύνηση µαθηµατικών πρακτικών σε τρεις οµάδες τεχνικών του Οργανισµού Τηλεπικοινωνιών Ελλάδας αναζητώντας παράλληλα την ύπαρξη αµετάβλητων στοιχείων της µαθηµατικής επιστήµης τα οποία διαπερνούν την ακαδηµαϊκή και την παρούσα εργασιακή κοινότητα. Στην Β ερευνητική φάση, διάρκειας οκτώ µηνών, εξετάζει κάτω και υπό ποιες προϋποθέσεις πέντε σπουδαστές ενός Τεχνολογικού Εκπαιδευτικού Ιδρύµατος που πραγµατοποιούν την πρακτική τους άσκηση στον ίδιο Οργανισµό είναι σε θέση να αναγνωρίσουν τα αµετάβλητα αυτά στοιχεία. Στην Α ερευνητική φάση η Θεωρία ραστηριότητας των Vygotsky, Leont ev και των συνεχιστών του έργου τους, Engeström & Cole, αποτελεί τη θεωρητική βάση της εργασίας. Τα ερευνητικά δεδοµένα προκύπτουν από εθνογραφικής φύσης παρατηρήσεις αλλά και συζητήσεις µε τους συµµετέχοντες. Η µαθηµατική δραστηριότητα που αναγνωρίσαµε στο χώρο εργασίας ήταν πολύπλοκη και πλούσια αλλά πλήρως ενταγµένη στο πλαίσιο αναφοράς της. Ειδικότερα, αναγνωρίσαµε και ταξινοµήσαµε τα µαθηµατικά εργαλεία τα οποία διαµεσολαβούσαν στις κεντρικές καθηµερινές εργασιακές δραστηριότητες των τεχνικών και αναδείξαµε τους τρόπους µε τους οποίους αυτά εµπλέκονταν µε τα τεχνικής φύσης εργαλεία τους. Ταυτόχρονα αναγνωρίσαµε αµετάβλητα µαθηµατικά στοιχεία στις µαθηµατικές έννοιες, στο τρόπο κατανόησής τους από τους τεχνικούς και σε µαθηµατικές διαδικασίες που οι ίδιοι χρησιµοποιούσαν για την επίτευξη των εργασιακών τους στόχων. Στην Β ερευνητική φάση τα ερευνητικά δεδοµένα προέρχονται από διερευνητικής και παρεµβατικής φύσης συνεντεύξεις µε τους σπουδαστές και εθνογραφικές παρατηρήσεις. Μέσα από τις διερευνητικής φύσης συνεντεύξεις καταγράψαµε τις στάσεις των σπουδαστών 1

18 ως µέλη της σπουδαστικής και της συγκεκριµένης εργασιακής κοινότητας και αναζητήσαµε µαθηµατικές πρακτικές που ανέπτυξαν ως µαθητευόµενοι στην παρούσα εργασιακή τους κοινότητα. Οι µαθηµατικές πρακτικές που ανέπτυξαν οι σπουδαστές, έστω και ασυνείδητα, είχαν άµεση εξάρτηση από τα εργαλεία και τους εργασιακούς στόχους της κάθε κοινότητας και αφορούσαν την ικανότητα οπτικοποίησης και την ανάγνωση και ερµηνεία σύνθετων οπτικών αναπαραστάσεων. Τέλος, µέσα από µια σειρά παρεµβατικής φύσης συνεντεύξεων αναλύσαµε µε εργαλεία σηµειωτικής τη δραστηριότητα που ανέπτυξαν οι ίδιοι σπουδαστές στην προσπάθεια ερµηνείας αυθεντικών αναπαραστάσεων µε σκοπό τη σύνδεση κοινών µαθηµατικών εννοιών που συναντώνται στην ακαδηµαϊκή και στην παρούσα εργασιακή κοινότητα. Οι έννοιες αυτές αφορούσαν το θεσιακό σύστηµα αρίθµησης και τη συναρτησιακή σχέση αντίστασης, µήκους, διαµέτρου χάλκινων καλωδίων. Καταλήγουµε, καταγράφοντας τα χαρακτηριστικά που προάγουν και αναστέλλουν, τη µεταφορά της γνώσης στο νέο κοινωνικό-πολιτισµικό πλαίσιο. Στο τέλος της διατριβής καταγράφονται και αναλύονται οι εκπαιδευτικές προεκτάσεις της έρευνας. 2

19 Εισαγωγή Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η παρούσα ερευνητική εργασία αφορά τη διερεύνηση µαθηµατικών δραστηριοτήτων οι οποίες αναπτύσσονται σε χώρους εργασίας. Η 15ετής εµπειρία µου ως καθηγήτρια Μαθηµατικών σε Τεχνολογικό Ίδρυµα αποτέλεσε το έναυσµα της παρούσης ερευνητικής προσπάθειας. Πιο συγκεκριµένα, αφενός µεν οι προβληµατισµοί των σπουδαστών για την αναγκαιότητα της διδασκαλίας των µαθηµατικών σε ένα Τεχνολογικό Ίδρυµα και η αναζήτηση εφαρµογών στον τοµέα της επιστήµης τους, αφετέρου δε η επικρατούσα αντίληψη ότι στην τυπική διδασκαλία των µαθηµατικών δεν χρειάζεται να υπάρχουν αναφορές στις εφαρµογές τους, θεωρώ ότι οδηγούν σε αδιέξοδα τόσο στο σχεδιασµό όσο και στην υλοποίηση της εκπαιδευτικής πράξης. Η παραπάνω κατάσταση µου δηµιουργούσε διδακτικά διλήµµατα τα οποία προσπαθούσα να αντιµετωπίσω χωρίς να έχω ξεκάθαρη αντίληψη για τις ανάγκες, το ρόλο και τη σηµασία των µαθηµατικών στο χώρο εργασίας αλλά και για τους τρόπους διδασκαλίας συνδετικών θεµάτων ανάµεσα στις δύο κοινότητες, την ακαδηµαϊκή και την εργασιακή. Στην προσπάθεια µου να απαντήσω στα παραπάνω ερωτήµατα ανέλαβα να υλοποιήσω την παρούσα έρευνα στα πλαίσια της διδακτορικής µου διατριβής. Μελετώντας τη σχετική διεθνή βιβλιογραφία παρατηρεί κανείς ότι τις τελευταίες δεκαετίες υπάρχει ένα γενικότερο ερευνητικό ενδιαφέρον για την ανίχνευση της µαθηµατικής δραστηριότητας σε διάφορους χώρους εργασίας, πώς αυτή πραγµατώνεται αλλά και µε ποιους τρόπους διαφοροποιείται στη σχολική τάξη. Σύµφωνα µε τους Noss και Hoyles (1996) αν οι µαθηµατικές έννοιες δίνουν τη δυνατότητα στα άτοµα να εκφράζονται µέσα στο χώρο εργασίας σίγουρα θα µπορούσε αλλά και θα έπρεπε κάτι τέτοιο να επιδρά αλλά και να συµβάλλει στη µαθηµατική εκπαίδευση. Συνεπώς από πολλούς ερευνητές εκτιµάται ότι η 3

20 Εισαγωγή αναζήτηση και η µελέτη µαθηµατικών δραστηριοτήτων σε χώρους εργασίας µας παρέχει πλούσιο υλικό και πολλές δυνατότητες γα να αναδείξουµε θεµελιώδη ζητήµατα τα οποία αφορούν τη δηµιουργία, την κατανόηση µαθηµατικών νοηµάτων αλλά και τους τρόπους µε τους οποίους αυτά επηρεάζονται και διαµορφώνονται από το εργασιακό περιβάλλον (Millroy, 1992 Pozzi, Noss & Hoyles, 1998 Noss, 2002). Ταυτόχρονα, η έρευνα σε διάφορα εργασιακά πλαίσια µας παρέχει ευκαιρίες να συγκρίνουµε και να συνδέσουµε µαθηµατικές πρακτικές και εµπειρίες τόσο εντός όσο και εκτός τάξης δηµιουργώντας γέφυρες ανάµεσά τους (Masignila, Davidenko & Prus Wisniowska, 1996). εδοµένου ότι πολλοί εκπαιδευτικοί στο χώρο της µαθηµατικής παιδείας επιδιώκουν να κάνουν τη µελέτη των µαθηµατικών ελκυστική, προκλητική και προπάντων µεστή νοήµατος για τους µαθητές τους η Nicol (2002) προτείνει οι εκπαιδευτικοί αυτοί να βγουν από την µαθηµατική τάξη και να επισκεφτούν διαφόρους χώρους εργασίας. Με αυτόν τον τρόπο θα αποκτήσουν οι ίδιοι αλλά και κατά συνέπεια θα δηµιουργήσουν στους µαθητές τους γέφυρες σύνδεσης της θεωρητικής µαθηµατικής δραστηριότητας της τυπικής εκπαίδευσης µε πρακτικές δραστηριότητες εκτός αυτής. Συνοψίζοντας, η έρευνα αναφορικά µε την αναζήτηση και µελέτη µαθηµατικών σε χώρους εργασίας αφορά αφενός µεν την διερεύνηση ψυχολογικών διαδικασιών που εµπλέκονται στη µάθηση και στη χρήση των µαθηµατικών σε συγκεκριµένα κοινωνικόπολιτισµικά πλαίσια (Nunes, Scheliemann & Carraher, 1993 Evans, 1999) αφετέρου δε την ευαισθητοποίηση και την τόνωση του ενδιαφέροντος των µαθητών σχετικά µε την κατανόηση µαθηµατικών που χρησιµοποιούνται σε άλλα πλαίσια (Nicol, 2002 Williams & Wake, 2007b). Τέλος, τέτοιου είδους ερευνητικές προσπάθειες µας παρέχουν δυνατότητες και ευκαιρίες να αναθεωρήσουµε τα προγράµµατα διδασκαλίας των µαθηµατικών κυρίως στους χώρους της επαγγελµατικής εκπαίδευσης (Bessot, 2000 Straesser, 2000). Παράλληλα, ενώ 4

21 Εισαγωγή διεθνώς υπάρχει αυτό το ερευνητικό ενδιαφέρον, στον ελληνικό χώρο τέτοιου είδους ερευνητικές προσπάθειες είναι ακόµα σε πρωταρχικό επίπεδο. Η εργασία της Σταθοπούλου (Stathopoulou, 2007) είναι ένα παράδειγµα έρευνας σε σχέση µε το χώρο εργασίας στην Ελλάδα και αφορά τον τρόπο που τεχνίτες στο Πυργί της Χίου δηµιουργούν γεωµετρικά σχέδια σε οικοδοµήµατα, τα γνωστά «Ξυστά». Στο πλαίσιο αυτού του προβληµατισµού θα ασχοληθώ µε την αναγνώριση της χρήσης αλλά και της εφαρµογής της µαθηµατικής γνώσης σε επαγγέλµατα που σχετίζονται µε την τεχνολογία των τηλεπικοινωνιών, καθώς και µε τις δυνατότητες µεταφοράς της γνώσης από την τεχνολογική τριτοβάθµια εκπαίδευση σε ένα τέτοιο χώρο εργασίας. Η έρευνα αφορά τον Οργανισµό Τηλεπικοινωνιών Ελλάδος σε µια επαρχιακή πόλη. Ο λόγος που επιλέχτηκε ο παραπάνω οργανισµός είναι διότι οι περισσότεροι σπουδαστές των Τ.Ε.Ι που σπουδάζουν σε σχολές Τεχνολογικών Εφαρµογών πραγµατοποιούν την πρακτική τους άσκηση στον ίδιο Οργανισµό. Η θεωρητική παραδοχή, η οποία αναπτύσσεται αναλυτικά στο 2 ο κεφάλαιο, είναι ότι η σκέψη και η πράξη αποτελούν αδιαχώριστες δραστηριότητες. Η κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα έχει κάποιο κίνητρο, αναπτύσσεται µέσα σε κοινωνικό- πολιτισµικά πλαίσια και για την εκπλήρωσή της είναι απαραίτητη η χρήση εργαλείων (ψυχολογικών ή υλικών) τα οποία µεταφέρουν κοινωνικοϊστορικά µηνύµατα. Πιο συγκεκριµένα, η Θεωρία ραστηριότητας (Activity Theory) των Vygotsky, Leont ev και των συνεχιστών του έργου τους αποτελεί την θεωρητική βάση της εργασίας µας. Επιπλέον η έρευνα υιοθετεί την άποψη ότι οι µαθηµατικές πρακτικές που αναπτύσσονται σε ένα χώρο εργασίας είναι συνυφασµένες µε το πλαίσιο αυτό και είναι «κρυµµένες» µέσα σε τεχνολογικής φύσης εργαλεία (Keitel, Kotzmann & Skovsmose, 1991 Pozzi, Noss & Hoyles, 1998 Williams & Wake, 2007a). Ως µέθοδος έρευνας επιλέγεται η εθνογραφική, όπου ο ερευνητής συλλέγει συστηµατικά στοιχεία µέσα από την προσωπική του επαφή µε τα αντικείµενα της έρευνάς 5

22 Εισαγωγή του στο χώρο που αυτοί ζουν και εργάζονται. Τα ερευνητικά δεδοµένα προκύπτουν από παρατηρήσεις στο χώρο εργασίας καθώς και ατοµικές συνεντεύξεις µε τους συµµετέχοντες. Η ανάλυση των δεδοµένων πραγµατοποιήθηκε σύµφωνα µε την θεµελιωµένη θεωρία ή Grounded theory των Classer και Strauss (1967). Στο 3 ο Κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζεται η µεθοδολογική προσέγγιση της εργασίας. Η εργασία αποτελείται από δύο ερευνητικές φάσεις. Στην Α ερευνητική Φάση στοχεύει να εντοπίσει και να αναδείξει µαθηµατικής φύσης θέµατα τα οποία χρησιµοποιούνται από τρεις οµάδες τεχνικών στον Οργανισµό συνειδητά ή ασυνείδητα. Για να επιτύχουµε αυτό τον στόχο παρουσιάζουµε στο 4 ο κεφάλαιο τις µαθηµατικές πρακτικές που ανέπτυξαν οι εργαζόµενοι. Στη Β ερευνητική Φάση στοχεύει να εξετάσει κάτω από ποιες συνθήκες και µε ποιους τρόπους οι σπουδαστές που κάνουν την πρακτική τους άσκηση στον ίδιο χώρο συνδέουν την ακαδηµαϊκή τους γνώση µε αυτή που αναπτύσσεται στο νέο χώρο εργασίας τους. Στο 5 ο κεφάλαιο παρουσιάζουµε τα ερευνητικά αποτελέσµατα της Β ερευνητικής φάσης. Τέλος, στο 6 ο κεφάλαιο γίνεται σύνθεση των ερευνητικών ευρηµάτων και ακολουθεί συζήτηση µε βάση την ανάλυση όλων των κεφαλαίων. Παράλληλα καταδεικνύονται οι προεκτάσεις της έρευνας στην εκπαιδευτική πράξη προς την κατεύθυνση της δηµιουργίας διδακτικών παρεµβάσεων µε σκοπό την σύνδεση ανάµεσα στην ακαδηµαϊκή και την εργασιακή κοινότητα. Η εργασία αυτή προσθέτει νέα δεδοµένα στην ήδη υπάρχουσα ερευνητική βιβλιογραφία των µαθηµατικών σε χώρους εργασίας δεδοµένου ότι αναζητά µαθηµατικές δραστηριότητες σε ένα τεχνολογικό περιβάλλον το οποίο δεν έχει ερευνηθεί ιδιαίτερα. Ο χώρος των τηλεπικοινωνιών αποτελεί ένα ραγδαία µεταβαλλόµενο τεχνολογικό πλαίσιο στο οποίο συνυπάρχουν µια σειρά ακαδηµαϊκών αντικειµένων όπως τα Μαθηµατικά, η Φυσική και η Πληροφορική, αναφέρεται σε µια πληθώρα µαθηµατικών περιοχών και επιπέδων και 6

23 Εισαγωγή συγχρόνως περιέχει ένα ευρύ φάσµα ψυχολογικών ή υλικών εργαλείων. Η φύση των εργαλείων, η αλληλοσυσχέτισή τους και ο ρόλος τους στη δηµιουργία µαθηµατικού νοήµατος µπορούν να ερευνηθούν µε ένα συστηµατικό τρόπο. Ερευνώντας τα παραπάνω θέµατα αναµένουµε να αναπτύξουµε οι ίδιοι κατανόηση για τον τρόπο µε τον οποίον τα εργαλεία λειτουργούν στο χώρο εργασίας και στη µαθηµατική εκπαίδευση γενικότερα. Επιπρόσθετα ο ρόλος των εργαλείων, ως µονάδα ανάλυσης, σε διαφορετικές οµάδες εργαζοµένων στον ίδιο χώρο δεν έχει ερευνηθεί ιδιαίτερα όπως επισηµαίνουν οι Magajna και Monaghan (2003) και ο Straesser (2000). Επιπλέον, η πρωτοτυπία της έρευνας έγκειται στο γεγονός ότι µας δίνει τη δυνατότητα να παρακολουθήσουµε νέους οι οποίοι έρχονται σε πρώτη επαφή µε χώρους εργασίας του αντικειµένου των σπουδών τους. Με αυτόν τον τρόπο µπορούµε να καταγράψουµε αν ανατρέχουν σε γνώσεις που πρόσφατα έχουν διδαχθεί, µε ποιο τρόπο συνδέουν τις εργασιακές τους δραστηριότητες µε αντίστοιχες στην σχολική τάξη και βέβαια αν απαιτείται η γνώση µαθηµατικών εννοιών και ποιες ακριβώς είναι αυτές. Τα παραπάνω θα µας βοηθήσουν να κατανοήσουµε τον τρόπο που οι ενήλικές αντιλαµβάνονται, µεταφέρουν και εφαρµόζουν τις µαθηµατικές γνώσεις που έχουν πολύ πρόσφατα διδαχθεί στον ακαδηµαϊκό τους χώρο σε άλλο κοινωνικό πλαίσιο και ειδικότερα στο χώρο εργασίας τους. 7

24 Θεωρητικό πλαίσιο Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό Πλαίσιο Στο παρόν κεφάλαιο διατυπώνονται οι κύριες θεωρητικές συνιστώσες οι οποίες υιοθετούνται στο πλαίσιο της διατριβής. Στη ενότητα 2.1 καταγράφονται στοιχεία που αφορούν τις κοινωνικο πολιτισµικές θεωρήσεις της µάθησης οι οποίες αποτελούν το ευρύτερο θεµατικό πλαίσιο µελέτης. Στη συνέχεια στην ενότητα 2.2 ορίζεται η µαθηµατική δραστηριότητα στο χώρο εργασίας και αναδεικνύεται ο ρόλος των εργαλείων στη διαµόρφωσή της. Οι δύο αυτές συνιστώσες και η σύνθεση τους αποτελούν τα κύρια θεωρητικά εργαλεία της Α Ερευνητικής Φάσης. Στην ενότητα 2.3 εξετάζεται και αναλύεται το ζήτηµα της µεταφοράς της γνώσης, το οποίο αποτελεί το κύριο υπό διερεύνηση θέµα της Β Ερευνητικής Φάση ενώ στην ενότητα 2.4 επιχειρείται η βιβλιογραφική επισκόπηση των ερευνών που σχετίζονται µε τη µελέτη των µαθηµατικών στο χώρο εργασίας και αναδεικνύονται ερωτήµατα τα οποία η µέχρι τώρα έρευνα έχει αφήσει ανοικτά και η παρούσα µελέτη προσπαθεί να προσεγγίσει. Τέλος στην ενότητα 2.5 επιχειρείται µια σύνοψη των κυριότερων σηµείων του 2 ου κεφαλαίου. 8

25 Θεωρητικό πλαίσιο 2.1 Κοινωνικο-πολιτισµικές Θεωρήσεις της Μάθησης Στις σύγχρονες επιστηµολογικές, ψυχολογικές και κοινωνιολογικές θεωρίες έχει παρατηρηθεί µια θεωρητική µετακίνηση από θέσεις οι οποίες υιοθετούσαν πως η µάθηση είναι µια καθαρά ατοµική διαδικασία προς θέσεις οι οποίες υποστηρίζουν πως η µάθηση εµπεριέχει κοινωνικές και πολιτισµικές διαστάσεις (Cobb & Bowers, 1999 Hoyles, 2001 Kieran, Forman & Sfard, 2003). Η µάθηση θεωρείται τώρα προϊόν συλλογικής δράσης και διαδικασία κοινωνικής και πολιτισµικής αλληλεπίδρασης. Η κοινωνικο-πολιτισµική προσέγγιση έχει πολλές από τις ρίζες της σε ιδέες που αναπτύχθηκαν από τον Ρώσο ψυχολόγο και παιδαγωγό, Vygotsky, καθώς και από τους συναδέλφους και µαθητές του Leont ev και Luria. Βασίζονται στην αντίληψη ότι οι ανθρώπινες δραστηριότητες λαµβάνουν χώρα σε κοινωνικά πλαίσια και διαµεσολαβούνται από ένα σύνολο πολιτισµικών εργαλείων όπως η γλώσσα και άλλα συµβολικά συστήµατα (Wertsch, 1991). Κατά τον Vygotsky (1978) η νοητική ανάπτυξη είναι µια διαδικασία αδιάρρηκτα συνδεδεµένη µε την ιστορική διάσταση και το πολιτισµικό πλαίσιο µέσα στο οποίο αυτή πραγµατοποιείται. Το άτοµο στη διαδικασία αυτή δεν είναι παθητικός δέκτης αλλά το υποκείµενο το οποίο µε τις πράξεις του διαµορφώνει τη γνωστική του πραγµατικότητα (αναφορά στον Daniels, 2001). Αυτές οι θεωρίες επηρέασαν τη µαθηµατική εκπαίδευση η οποία όχι µόνον αναγνωρίζει κοινωνικο-πολιτισµικές διαστάσεις στη µαθηµατική γνώση αλλά µεταφέρει το ενδιαφέρον της από το άτοµο στο κοινωνικο-πολιτισµικό πλαίσιο µέσα στο οποίο αναπτύσσεται η µάθηση (Van Oers, 1998 Lerman, 2001 Τζεκάκη, 2007 Jaworski & Potari, 2009 Κολέζα, 2000). Το κοµβικό σηµείο της κοινωνικο-πολιτισµικής προσέγγισης σύµφωνα µε τον Van Oers (2001) αποτελεί η έννοια της ραστηριότητας (Activity). Ο Vygotsky και ο Leont ev 9

26 Θεωρητικό πλαίσιο υποστήριξαν ότι στην ψυχολογική έρευνα είναι απαραίτητος ο προσδιορισµός µιας µονάδας ανάλυσης η οποία θα ενσωµάτωνε τις σκέψεις και ενέργειες των ατόµων όπως επίσης και τις πολιτισµικά συγκεκριµένες και σαφείς δραστηριότητές τους που κατευθύνονται προς ένα στόχο (Leont ev, 1978 Κολέζα, 2000). Αυτή η µονάδα ανάλυσης είναι η έννοια της ραστηριότητας. Ως ραστηριότητα ο Van Oers ορίζει «οποιαδήποτε ανθρώπινη ενέργεια η οποία υποκινείται από ένα κίνητρο και οδηγείται σε ένα αντικειµενικό σκοπό, έχει τις ρίζες της στην πολιτισµική ιστορία και εξαρτάται η πραγµατοποίησή της από ειδικές στοχευόµενες δράσεις» (Van Oers 2001, p. 71). Η ραστηριότητα σύµφωνα µε τον Daniels (2001, pp ) µε αναφορές στους Davydov (1990), Leont ev (1978) και Engeström (1999) είναι κάθε ανθρώπινη ενέργεια η οποία καθοδηγείται από ένα κίνητρο, διαθέτει µία συλλογική και ταξινοµηµένη διαµόρφωση, έχει µία περίπλοκη διαµεσολαβητική δοµή και συγχρόνως παρουσιάζει µία εξελικτική µορφή, δηλαδή χαρακτηρίζεται από συνεχείς αλλαγές και µεταµορφώσεις. Ταυτόχρονα η ραστηριότητα επηρεάζεται από πολιτισµικούς και κοινωνικούς παράγοντες οι οποίοι παίζουν έναν καθοριστικό ρόλο στην πραγµάτωση και στην εξέλιξή της. Τα παραπάνω χαρακτηριστικά τα οποία αναφέρονται στην έννοια της ραστηριότητας προκάλεσαν πολλούς ερευνητές να συσχετίσουν την έννοια της ραστηριότητας µε την Εκπαιδευτική ραστηριότητα και αυτό να επιδράσει στην έρευνά τους στο χώρο της σχολικής τάξης (Jaworski & Potari, 2009) αλλά και στην αναζήτηση µαθηµατικών πρακτικών στο χώρο εργασίας (Pozzi et al., 1998 Jurdak & Shahin, 2001 Williams & Wake, 2007a). Η κύρια συνιστώσα η οποία αποτελεί τη θεωρητική αφετηρία της παρούσης έρευνας είναι η έννοια της ραστηριότητας όπως αυτή αναγνωρίζεται µέσα από την Θεωρία ραστηριότητας (Leont ev, 1978 Cole, 1996 Engeström, 1999). Πιο συγκεκριµένα χρησιµοποιούµε δύο θεωρητικά µοντέλα για να κατανοήσουµε και να αναλύσουµε τις 10

27 Θεωρητικό πλαίσιο µαθηµατικές δραστηριότητες τις οποίες αναπτύσσουν οι συµµετέχοντες σε ένα χώρο εργασίας. Πρόκειται για το µοντέλο της 2 ης γενιάς της Θεωρίας ραστηριότητας το οποίο αποτελεί επέκταση της Βισκοτσκιανής άποψης της ανθρώπινης ραστηριότητας (αναφορά στον Daniels, 2001, p. 86) και το θεωρητικό µοντέλο του Leont ev (1978) µε το οποίο εξηγείται η ανθρώπινη δραστηριότητα ως µια τριπλή αλυσιδωτή σχέση. Παρακάτω θα περιγράψουµε αναλυτικά τα δύο αυτά θεωρητικά µοντέλα Το µοντέλο της 1 ης και 2 ης γενιάς της Θεωρίας ραστηριότητας Οι ρίζες της Θεωρίας ραστηριότητας εντοπίζονται στην ψυχολογική σχολή των Vygotsky, Leont ev και Luria και εστιάζει στο γεγονός ότι κοινωνικοί, πολιτισµικοί και ιστορικοί παράγοντες παίζουν έναν καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη του ανθρώπου (Daniels, 2001). Η αρχή της Θεωρίας βασίζεται στο γεγονός ότι κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα αποτελεί ένα σύστηµα µε πολλές συνιστώσες οι οποίες αλληλεπιδρούν µεταξύ τους (υποκείµενο, αντικείµενο, εργαλεία κ. λ. π). Κεντρικό σηµείο της Θεωρίας ραστηριότητας, σύµφωνα µε τον Cole (1996), αποτελεί η έννοια της διαµεσολάβησης (mediation), η οποία πηγάζει από την ιδέα του Vygotsky. Ο Vygotsky αναφέρθηκε στη σχέση ανάµεσα στη συµπεριφορά του ανθρώπου και στα βοηθητικά µέσα τα οποία την προκαλούν και την αναπτύσσουν. Ο Cole (1996) θεωρεί ότι ο κάθε άνθρωπος είναι ένας ενεργός παράγοντας στη δική του εξέλιξη - η εξέλιξη της κάθε νοητικής λειτουργίας του διαµεσολαβείται από την χρήση εργαλείων - παρότι δε δρα σε ένα περιβάλλον καθ ολοκληρία της δικής του επιλογής (ibid. p. 104). Οι θέσεις του Cole σύµφωνα µε τον Daniels (2001) «αποδίδουν την µετα Βιγκοτσκιανή άποψη της σχολής των Vygotsky, Leont ev και Luria» (ibid. p.14). Το τριγωνικό µοντέλο (Σχήµα 2.1) ή µοντέλο 1 ης γενεάς της Θεωρίας ραστηριότητας είναι η µετεξέλιξη της Βιγκοτσκιανής έννοιας της διαµεσολάβησης και σύµφωνα µε τον Engestrom (1999) αναφέρεται στην ανθρώπινη δραστηριότητα, συνδυάζοντας τα δρώντα 11

28 Θεωρητικό πλαίσιο πρόσωπα και τις επιδιώξεις τους µε τα µέσα διαµεσολάβησης µέσω των οποίων αυτή πραγµατοποιείται. Ο Vygotsky θεωρούσε τη διαµεσολάβηση ως το χαρακτηριστικότερο στοιχείο της προσέγγισης που ανέπτυξε εφόσον πίστευε ότι αποτελεί το κλειδί κατανόησης της ανθρώπινης νοητικής δραστηριότητας. Σύµφωνα µε τους Engeström και Cole (1997) το τριγωνικό µοντέλο αποτελεί το ορατά αντιληπτό µέρος της κάθε ανθρώπινης δραστηριότητας η οποία επιτυγχάνεται µε τη διαµεσολάβηση κάποιων εργαλείων. Τα εργαλεία αυτά είναι στοιχεία της αντιληπτής ή της νοητής πραγµατικότητας, µπορεί να είναι υλικής υπόστασης (π.χ. ένα συγκεκριµένο κατασκεύασµα όπως το µολύβι) ή µη υλικής (π.χ. η γλώσσα, τα µαθηµατικά σύµβολα, οι στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων). Παρατηρούµε ότι στην κατηγορία των εργαλείων συνυπάρχουν υλικά (µηχανές) αλλά και σηµειωτικά µέσα διαµεσολάβησης (οµιλία, γραφή). Μέσα διαµεσολάβησης (Εργαλεία) (µηχανές, γραφή, οµιλία, χειρονοµία, αρχιτεκτονική, µουσική κ.λ.π.) Σύµφωνα µε την Θεωρία ραστηριότητας ο ρόλος των παραπάνω εργαλείων θεωρείται ενιαίος όσον αφορά την επίδραση που Υποκείµενο (άτοµο, οµάδα) Αντικείµενο/ κίνητρο Αποτέλεσµα Σχήµα 2. 1: Το µοντέλο 1 η γενεάς της Θεωρίας ραστηριότητας (Daniels, 2001, p. 87). ασκούν στη ανθρώπινη νόηση και συµπεριφορά. Σε αυτήν την περίπτωση θα µπορούσαµε να θέσουµε και τα µαθηµατικά ως εργαλεία διαµεσολάβησης χωρίς να θεωρήσουµε απαραίτητα ότι αυτό το χαρακτηριστικό τους έρχεται σε αντιδιαστολή µε τον αφηρηµένο χαρακτήρα τους. Ο Πατρώνης (2001) αναφέρει ότι: Οι έρευνες του Βιγκότσκι και του συνεργάτη του Λούρια για την γνωστική ανάπτυξη µέσα στο κοινωνικο-πολιτισµικό της πλαίσιο δείχνουν τις δυνατότητες µιας πορείας πολύ πιο σύνθετης και ποικίλης από το µονόδροµο της ανάπτυξης µιας λογικοαφαιρετικής σκέψης όπως νοµίζει πολλές φορές κανείς ότι είναι η πορεία προς τα µαθηµατικά (ibid. σελ. 29). 12

29 Θεωρητικό πλαίσιο Στις ενότητες έως θα αναφερθούµε ειδικά στα εργαλεία ως διαµεσολαβητικά µέσα ανάπτυξης της µαθηµατικής δραστηριότητας γενικά και στο χώρο εργασίας ειδικότερα. εδοµένου ότι τα εργαλεία παίζουν καθοριστικότατο ρόλο σε αυτή την επιστηµονική θεώρηση θεωρούµε ότι είναι αναγκαίο να αποσαφηνίσουµε τον όρο. Ως εργαλεία θεωρούµε οτιδήποτε είναι αποτέλεσµα της ανθρώπινης εργασίας ή παρέµβασης, κατ αντιδιαστολή προς οτιδήποτε υπάρχει φυσικά στο περιβάλλον µας. Σύµφωνα µε τον Cole (1996) εργαλεία είναι αντικείµενα τα οποία χρησιµοποιούνται από τον άνθρωπο για να δαµάσει τη φύση, να ικανοποιήσει τις ανάγκες του και να κατακτήσει τις επιθυµίες του. Το περιεχόµενό τους µπορεί να είναι γνωστικό αλλά και ψυχολογικό. Σε συνέχεια των παραπάνω θα πρέπει να τονίσουµε ότι τα εργαλεία δεν προάγουν µόνο κάποιες διανοητικές διαδικασίες αλλά ουσιαστικά τις διαπλάθουν και τις διαµορφώνουν. Η χρήση του εργαλείου, ως διαµεσολαβητικού µέσου, χρησιµοποιείται από τον άνθρωπο εξωτερικά για την πραγµατοποίηση ενός στόχου, που αποτελεί και το αντικείµενο της δραστηριότητας, και εσωτερικά για την απόκτηση ελέγχου της ίδιας της δραστηριότητας. Συνεπώς το κλειδί για την κατανόηση της κάθε ανθρώπινης δράσης και στα κοινωνικά και στα ατοµικά πλαίσια είναι η κατανόηση των εργαλείων που διαµεσολαβούν στην πραγµάτωσή της (Wertsh, 1985). Στα πλαίσια της κοινωνικο-πολιτισµικής ψυχολογίας, ο Wertsch έχει διερευνήσει συστηµατικά το ζήτηµα της διαµεσολάβησης από πολιτισµικά εργαλεία. Από την προοπτική της Θεωρίας ραστηριότητας «η µάθηση θεωρείται ως διαδικασία εκπολιτισµού µε σηµείο αναφοράς προϋπάρχουσες κοινωνικές δοµές που υποστηρίζεται από κατάλληλα (δια)µεσολαβητικά µέσα» (Κολέζα, 2000, σελ. 40). 13

30 Θεωρητικό πλαίσιο Στη συνέχεια οι Cole και Engeström (1993), Engeström και Cole (1997), Engeström (1998) επέκτειναν το τριγωνικό µοντέλο της 1 ης γενεάς σε ένα νέο µοντέλο (Σχήµα 2.2), το µοντέλο 2 ης γενιάς της θεωρίας δραστηριότητας. Στο νέο αυτό µοντέλο οι ερευνητές σε µια προσπάθεια περιγραφής του ευρύτερου πλαισίου δράσης των ατόµων αντιλαµβάνονται τη δραστηριότητα ως ένα σύστηµα δραστηριότητας (activity system, Engeström & Cole, 1997, p. 304) το οποίο ενσωµατώνει εκτός των διαφόρων εργαλείων διαµεσολάβησης µεταξύ του υποκειµένου και του αντικειµένου και την κοινότητα στην οποία το υποκείµενο ανήκει, τους κανόνες που διέπουν αυτήν την κοινότητα και τον καταµερισµό εργασίας του υποκειµένου σε σχέση µε τα υπόλοιπα µέλη της. Το αντικείµενο εργασίας παριστάνεται µε ένα οβάλ σχήµα, για να δείξει ότι οι δράσεις ιαµεσολαβητικά µέσα (εργαλεία) των µελών αυτής της κοινότητας, οδηγούνται σε κάποιο στόχο ο οποίος Υποκείµενο Αντικείµενο Αποτέλεσµα χαρακτηρίζεται από αµφισβήτηση, αντιφάσεις και τριβές και επιδέχεται ερµηνείας και αλλαγής. Κανόνες Κοινότητα Καταµερισµός εργασίας Σχήµα 2.2: Τα συστατικά στοιχεία ενός συστήµατος δραστηριότητας κατά τον Engestrom (Engeström και Cole 1997, σελ. 304) ή µοντέλο 2 ης γενεάς της Θεωρίας της ραστηριότητας Οι σχέσεις των µελών της κοινότητας (community) καθοδηγούνται από κανόνες (rules) και από τον καταµερισµό εργασίας (division of labour). Η σηµασία της επέκτασης του τριγωνικού µοντέλου ή µοντέλου 1 ης γενιάς (Σχήµα 2.1) στο µοντέλο 2 ης γενιάς (Σχήµα 2.2) το οποίο απεικονίζει τα συστατικά στοιχεία ενός συστήµατος δραστηριότητας είναι ότι αναδεικνύει και φέρνει στο επίκεντρο της κάθε ανθρώπινης πράξης τις σχέσεις αλληλεξάρτησης του υποκείµενου που δρα και την κοινότητα 14

31 Θεωρητικό πλαίσιο στην οποία αυτό συµµετέχει (Daniels, 2001). Ως κοινότητα θεωρείται µια οµάδα ανθρώπων που µοιράζονται κοινούς στόχους και χρησιµοποιούν κοινά εργαλεία για την επίτευξή τους (Williams & Wake, 2007a). Τα συνδετικά βέλη ανάµεσα στις επιµέρους διαστάσεις του συστήµατος υποδεικνύουν αυτές τις διαλεκτικές σχέσεις (Σχήµα 2.2) των συστατικών στοιχείων του συστήµατος. Ταυτόχρονα οι Engestrom και Cole (1997) προσδίδουν στην έννοια της ραστηριότητας µία δυναµική και εξελικτική µορφή δίνοντας έµφαση στις συγκρούσεις µέσα στο σύστηµα και αποδίδοντας σε αυτές τον καθοριστικό ρόλο της αλλαγής και της εξέλιξής του. Συνοψίζοντας κυρίαρχο ρόλο σε ένα σύστηµα δραστηριότητας στο οποίο εµπλέκονται οι άνθρωποι διαδραµατίζει η φύση των εργαλείων που χρησιµοποιούν, οι κοινωνικές σχέσεις που αναπτύσσονται ανάµεσά τους, αλλά και οι σκοποί και οι προθέσεις τους. Αυτό το συλλογικό σύστηµα διαµορφώνει το ελάχιστο πλαίσιο µελέτης µέσω του οποίου µπορεί να γίνει κατανοητή η ανθρώπινη πράξη. Στην παρούσα διατριβή υιοθετούµε το θεωρητικό µοντέλο 2 ης γενιάς της Θεωρίας ραστηριότητας για να ανιχνεύσουµε και να αναλύσουµε την µαθηµατική δραστηριότητα σε ένα χώρο εργασίας, τον Οργανισµό Τηλεπικοινωνιών Ελλάδας, τον οποίο τον θεωρούµε ως ένα αυτόνοµο και ευρύ σύστηµα δραστηριότητας. Οι συµµετέχοντες τεχνικοί, αποτελούν τα υποκείµενα σε αυτό το σύστηµα ενώ αντιλαµβανόµαστε ως αντικείµενο το κάθε αντικείµενο εργασίας των. Η κάθε εργασιακή τους δραστηριότητα περιορίζεται από τα διαµεσολαβητικής φύσης εργαλεία, και βέβαια υπόκεινται στους κανόνες εργασίας των (οι συµβάσεις - οι εργασιακοί περιορισµοί), ενώ ως µέλη τέτοιων κοινοτήτων έχουν κοινά καθήκοντα, κοινή γλώσσα επικοινωνίας και διαµορφώνουν κοινές αξίες και στάσεις. 15

32 Θεωρητικό πλαίσιο Το θεωρητικό µοντέλο της ανθρώπινης δραστηριότητας του Leont ev Ο Leont ev υπήρξε σύγχρονος του Vygotsky, συνεργάτης και µαθητής του. Όπως ο ίδιος υποστήριξε, ανέπτυξε τη Θεωρία ραστηριότητας (Activity Theory) (Leont ev, 1978) βασιζόµενος στο έργο του Vygotsky τον οποίο και θεωρούσε πνευµατικό πατέρα της θεωρίας του. Σύµφωνα µε τον Leont'ev οι δραστηριότητες δεν είναι δυνατόν να παρατηρηθούν άµεσα και δεδοµένου ότι είναι κοινωνικό - πολιτισµικά φαινόµενα ενσαρκώνονται µέσα από τις δράσεις οι οποίες αποτελούν τις στιγµιαίες εκφράσεις τους (Van Oers, 1998). Συνεπώς η κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα προσανατολίζεται σε ένα κίνητρο και αποτελείται από µια σειρά δράσεων. Σύµφωνα µε τους Pozzi, Noss και Hoyles (1998) η εργασία του Leont ev αποτελεί µια θεωρητική γέφυρα ανάµεσα στην πνευµατική και πρακτική δραστηριότητα. Για να αντιληφθεί κάποιος µια ανθρώπινη δραστηριότητα θα πρέπει να παρακολουθήσει και να ερµηνεύσει τις δράσεις µέσω των οποίων η δραστηριότητα αυτή πραγµατώνεται. Οι δράσεις είναι διαδικασίες λειτουργικά κατώτερες από τις δραστηριότητες έχουν συγκεκριµένους και συνειδητούς στόχους και είναι απαραίτητες για να µεταφέρουν στην πραγµατικότητα το κίνητρο της κάθε δραστηριότητας. Τέλος, για να επιτευχθεί λειτουργικά ο στόχος της κάθε δράσης είναι απαραίτητες συγκεκριµένες λειτουργίες οι οποίες αποτελούν τις µεθόδους υλοποίησής της. Οι λειτουργίες µε την σειρά τους υλοποιούνται µέσω κάποιων προϋποθέσεων οι οποίες αποτελούν τα εργαλεία επίτευξής τους (Leont ev, 1978, pp ). Ως συνέπεια των παραπάνω οι δράσεις, το ενδιάµεσο επίπεδο του θεωρητικού µοντέλου του Leont' ev, είναι απόλυτα συνυφασµένες και εξαρτώµενες από τα εργαλεία υλοποίησης τους και από τους σκοπούς οι οποίοι τις κατευθύνουν. Το παρακάτω µοντέλο των Jaworski και Potari (2009) συνοψίζει τα παραπάνω σε µια τριπλή αλυσιδωτή σχέση: ραστηριότητα κίνητρο, δράσεις στόχοι, λειτουργίες συνθήκες. 16

33 Θεωρητικό πλαίσιο Στο συγκεκριµένο µοντέλο, η µνεία για εργαλεία µπορεί να γίνει στο επίπεδο των λειτουργιών συνθηκών, καθώς οι επικρατούσες συνθήκες θα προσδιορίζουν το ποια εργαλεία είναι διαθέσιµα και εποµένως µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την επίτευξη των επιδιωκόµενων στόχων. Από την άποψη αυτή, η επιλογή και η χρήση των εργαλείων είναι συνάρτηση των συνθηκών που επικρατούν και καθορίζουν το τι είναι δυνατό και εφικτό σε κάθε περίσταση (Καρασαββίδης, 2006). Η σχολή του Leont ev έδωσε ιδιαίτερη έµφαση στην πρακτική (υλική) δραστηριότητα ως αντικείµενο έρευνας. Ο Leont ev αναφέρεται µε έµφαση στην κίνηση ανάµεσα στα επίπεδα µιας εργασιακής δραστηριότητας: η δραστηριότητα µπορεί να µετατραπεί σε δράση αλλά και οι στόχοι µπορούν να γίνουν κίνητρα και αντίστροφα, το ίδιο συµβαίνει και µε τις λειτουργίες και τις προϋποθέσεις (Jaworski & Goodchild, 2006). Αντίθετα, η πιο σηµαντική διαφορά των διαφόρων επιπέδων είναι ότι οι µεν στόχοι στο επίπεδο των δράσεων είναι συνειδητοί ενώ οι λειτουργίες αποτελούν «κρυσταλλοποιηµένες διαδικασίες» (crystallized operations, Pozzi, et al., 1998, p. 105) και µε την πάροδο του χρόνου γίνονται ρουτίνες οι οποίες εκτελούνται ασυνείδητα (Williams & Wake, 2007a). Κάτω από το θεωρητικό αυτό µοντέλο η µαθηµατική δραστηριότητα στο χώρο εργασίας µπορεί να αναγνωριστεί στο λειτουργικό επίπεδο όπου οι τεχνικοί χρησιµοποιούν µια σειρά εργαλείων για να επιτευχθούν οι στοχευόµενες δράσεις τους στα πλαίσια µιας εργασιακής δραστηριότητας. Στη δραστηριότητα αυτή υπάρχει ένα κίνητρο που είναι και το αντικείµενό της σύµφωνα µε το µοντέλο της 2 ης γενιάς της Θεωρίας ραστηριότητας. Παράλληλα µε την παρέµβαση του ερευνητή η µαθηµατική δραστηριότητα από το λειτουργικό επίπεδο µπορεί να ανέλθει στο επίπεδο δράσης στην οποία ο στόχος θα είναι πλέον η ανίχνευση του τρόπου κατανόησης για παράδειγµα µιας µαθηµατικής έννοιας και ενδεχοµένως θα αποτελέσει και κίνητρο περαιτέρω µελέτης και γνώσης. 17

34 Θεωρητικό πλαίσιο Η κοινωνικο-πολιτισµική σηµειωτική θεωρητική προσέγγιση Η σηµειωτική προοπτική ακολουθεί κατά ένα φυσικό τρόπο τη θεωρία του Vygotsky. Ο Vygotsky ήταν ο πρώτος που αναφέρθηκε στον ρόλο των εργαλείων και ειδικά των ψυχολογικών εργαλείων τα οποία τα όρισε ως αφηρηµένα σηµειωτικά και συµβολικά συστήµατα τα οποία συµβάλουν στην ανάπτυξη των ψυχολογικών λειτουργιών. Η θεωρία της Σηµειωτικής δεν ξεκίνησε παρόλα αυτά από τον Vygotsky. Έχει τις ρίζες της αφενός µεν στον στρουκτουραλισµό και στη σχέση σηµαίνοντος σηµαινοµένου αφετέρου δε στον πραγµατισµό και στο τριαδικό µοντέλο του Peirce. Σύµφωνα µε τον Vile (1997) η σηµειωτική του Peirce έχει κοινωνικές και πολιτισµικές διαστάσεις, έχει µια διαχρονική ισχύ, πολλά κοινά στοιχεία µε την θεωρία του Vygotsky και έχει αποτελέσει συχνά το σηµείο αφετηρίας ερευνών στο χώρο της µαθηµατικής εκπαίδευσης. Γενικά θεωρείται ως ερευνητικό αντικείµενο της σηµειωτικής προσέγγισης η διερεύνηση των τρόπων µε τους οποίους τα άτοµα αποδίδουν, κωδικοποιούν και ανταλλάσσουν σηµασίες και νοήµατα όσον αφορά διάφορα αντικείµενα υλικής ή µη υλικής µορφής. Στην προσέγγιση αυτή σηµαντικό ρόλο διαδραµατίζει η σηµειωτική διαµεσολάβηση η οποία αποκτά ιδιαίτερη βαρύτητα στην κοινωνική αλλά και προσωπική κατασκευή νοήµατος. Τα σηµεία εργαλεία µε τη βοήθεια των οποίων σκεφτόµαστε ανήκουν σε πολιτισµικά συµβολικά συστήµατα, το νόηµα δε που τους αποδίδουµε είναι κοινωνικά πλαισιωµένο (Radford, 2006). Ο Peirce, σύµφωνα µε τον Radford (2006), θεωρεί ότι το νόηµα που αποδίδουµε σε κάθε σηµείο-εργαλείο είναι η καρδιά της σηµειωτικής διαδικασίας µέσω της οποίας προσπαθούµε να κατανοήσουµε τον κόσµο γύρω µας. Η Presmeg (2006) θεωρεί ότι η σηµειωτική ως επιστηµονικό πεδίο έχει πολλά να συνεισφέρει στην εκπαιδευτική διαδικασία αλλά και ταυτόχρονα ανοίγει νέους δρόµους και στην ερευνητική πράξη. Μας δίνει µία νέα προοπτική πάνω στον τρόπο µε τον οποίο µαθαίνουµε αλλά και στη ίδια τη γνώση, στον τρόπο µε τον οποίον αναπαριστάνουµε αλλά 18

35 Θεωρητικό πλαίσιο και στην ίδια την αναπαράσταση και στον τρόπο µε τον οποίο επικοινωνούµε γενικότερα. Μας βοηθά να κατανοήσουµε τον τρόπο που ένας µαθητής µαθαίνει, χρησιµοποιεί και αντιλαµβάνεται µια νέα µαθηµατική έννοια. Το νόηµα των µαθηµατικών εννοιών οικοδοµείται ενεργά από το µαθητή ως µια σχέση διαµεσολάβησης µεταξύ αναπαραστάσεων και µαθηµατικών αντικειµένων στα οποία αυτές αναφέρονται (Roth & Lee, 2004). Με αυτήν την προοπτική η σηµειωτική µας ανοίγει νέους δρόµους για να διερευνήσουµε τη διδασκαλία και τη µάθηση των µαθηµατικών. Πολλοί ερευνητές στο χώρο της διδακτικής των µαθηµατικών συντάσσονται µε αυτή την προοπτική (Duval, 2006 Radford, 2006 Presmeg, 2006). Στο πλαίσιο της πολιτισµικής διάστασης της σηµειωτικής διερευνάται ο τρόπος µε τον οποίο οι άνθρωποι παράγουν νοήµατα. Ο Radford (2006) υπογραµµίζει ότι το νόηµα που αποδίδουµε σε ένα αντικείµενο δεν είναι απλά η εξωτερίκευση της σκέψης µας αλλά είναι µια κοινωνική εµπειρία από άκρο σε άκρο θεωρώντας ότι όλα τα σηµειωτικής φύσης εργαλεία (η γλώσσα, τα µαθηµατικά σύµβολα) µεταφέρουν σε µια συµπεπιεσµένη µορφή ιστορικο-πολιτισµικές εµπειρίες νοητικής δραστηριότητας (ibid. p. 52). Η κοινωνική διάσταση της σηµειωτικής βασίζεται στο γλωσσολόγο Halliday ο οποίος δίνει έµφαση στο ρόλο της γλώσσας και της επικοινωνίας στη δηµιουργία της κοινωνική µας ταυτότητας αλλά και στις σχέσεις µας (Morgan, 2006). Η γλωσσική φύση των µαθηµατικών έχει απασχολήσει αρκετούς ερευνητές στο χώρο της µαθηµατικής εκπαίδευσης ενώ ο Vile αναφέρεται στην κοινωνική και γλωσσική φύση των µαθηµατικών (αναφορά στον Σακονίδη, 1999). O Radford (2006) δεν βασίζει τις ρίζες της µαθηµατικής γνώσης µόνο στη γλωσσική τους διάσταση αλλά στο αποτέλεσµα µιας «νοητικής πράξης» (cognitive praxis, ibid. p. 42). Σύµφωνα µε την κοινωνική και πολιτισµική διάσταση της σηµειωτικής η γνώση θεωρείται ως «το προϊόν µιας διαµεσολαβητικής γνωστικής ανακλαστικής ενέργειας» (ibid.). 19

36 Θεωρητικό πλαίσιο Στην παρούσα εργασία αξιοποιούµε εργαλεία της σηµειωτικής, αφενός µεν για να αναλύσουµε αυθεντικές αναπαραστάσεις µαθηµατικών αντικειµένων που ανήκουν σε εθνογραφικό υλικό που συλλέξαµε από το χώρο εργασίας, αφετέρου δε, για να διερευνήσουµε τους τρόπους µε τους οποίους ένας σπουδαστής, ο οποίος είναι µαθητευόµενος στον ίδιο χώρο αντιλαµβάνεται και ερµηνεύει αυτές τις αναπαραστάσεις. Στην υποενότητα του παρόντος κεφαλαίου θα αναφερθούµε αναλυτικά στα εργαλεία σηµειωτικής που χρησιµοποιούµε στην παρούσα διατριβή. 2.2 Η µαθηµατική δραστηριότητα Γενική θεώρηση ης µαθηµατικής δραστηριότητας Πολλοί ερευνητές αναφέρουν την αναγκαιότητα να διερευνήσουµε αλλά και να ορίσουµε τι αποτελεί τη µαθηµατική δραστηριότητα γενικά µέσα και έξω από την τάξη και µε ποιους τρόπους µπορούµε να την αναγνωρίσουµε (Millroy, 1992 Boaler, 2003 Hoyles, 2001). Ακολουθώντας τη θεώρηση του Leont ev ο Van Oers ορίζει τη µαθηµατική δραστηριότητα ως «τους τρόπους τους οποίους έχουν αναπτύξει οι άνθρωποι για να µπορέσουν να χειριστούν ποσοτικές και χωρικές σχέσεις στο πολιτισµικό και φυσικό περιβάλλον τους» (Van Oers, 2001, p. 71). Η Hoyles (2001) επιχειρώντας µια σύντοµη ιστορική αναδροµή στην 30χρονη πορεία της εκπαιδευτικής µαθηµατικής κοινότητας παρατηρεί θεµελιώδεις αλλαγές στον τρόπο που η κοινότητα ερευνά και συγχρόνως εστιάζει και περιγράφει στοιχεία της µαθηµατικής δραστηριότητας. Στην αρχή αναφέρει ότι η εστίαση ήταν αποκλειστικά στα µαθηµατικά αντικείµενα, στον τρόπο που τα αντιλαµβάνονται οι µαθητές και στις στρατηγικές που υιοθετούν όταν έχουν να λύσουν κάποιο πρόβληµα. Στη συνέχεια το επίκεντρο του ερευνητικού ενδιαφέροντος εστίασε στους τρόπους δόµησης της µαθηµατικής γνώσης. Τελευταία υπάρχει αποδοχή της σηµασίας να αναλύεται η µαθηµατική εµπειρία στο σύνολο 20

37 Θεωρητικό πλαίσιο της. Παρατηρεί λοιπόν και επισηµαίνει µια θεωρητική στροφή από τη γνωστική προσέγγιση στην υιοθέτηση την κοινωνικό πολιτισµικής προοπτικής (socio cultural perspective) θεωρώντας ότι η σκέψη αναπτύσσεται στα πλαίσια συνεργατικών δραστηριοτήτων ανάµεσα σε ενήλικες και µαθητές. ίνεται λοιπόν σηµασία σε όλη τη µαθηµατική εµπειρία σαν σύνολο δραστηριοτήτων µε τη διαµεσολάβηση διαφορετικής φύσης εργαλείων, υλικών αλλά και γλωσσικών εστιάζοντας στις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µελών της (δάσκαλοι µαθητές). Τελικά εκφράζει τον προβληµατισµό της αν πρέπει η εκπαιδευτική µαθηµατική κοινότητα να συνεχίσει να ανυψώνει φράγµατα ανάµεσα στην πρακτική και κοινωνική δραστηριότητα και στη µαθηµατική σκέψη. Η Boaler (2003) διερευνά τη φύση της µαθηµατικής δραστηριότητας στο σχολικό περιβάλλον αναγνωρίζοντας σε αυτήν δεξιότητες όπως τη δηµιουργικότητα, την περιέργεια και τη συνεχή αναζήτηση, αναδεικνύοντας τον σηµαντικό ρόλο της δηµιουργίας συνδέσεων σε θέµατα µέσα και έξω από τα µαθηµατικά και τη διαδικασία ανάπτυξης συλλογισµών πέραν του επαγωγικού και του παραγωγικού. Ο Kilpatrick (2001) θεωρεί ότι η µαθηµατική επάρκεια αναπτύσσεται όχι µόνο από την εννοιολογική κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών και την ευχέρεια διαδικαστικών και µεθοδολογικών διεργασιών αλλά και την ικανότητα ανάπτυξης στρατηγικών µεθόδων επίλυσης προβληµάτων, την ανάπτυξη προσαρµοστικής ικανότητας συλλογισµών στις εκάστοτε ανάγκες που θα προκύψουν και την καλλιέργεια δηµιουργικής προδιάθεσης απέναντι στα µαθηµατικά. Στην ίδια κατεύθυνση και οι Mason και Spence (1999) θεωρούν ότι η µαθηµατική γνώση δεν πρέπει να περιορίζεται µόνο στις δηλωτικές γνώσεις οι οποίες αφορούν το τι της διδασκαλίας και στις διαδικαστικές γνώσεις που αφορούν το πως και το γιατί αλλά θα πρέπει ο µαθητής να είναι σε θέση να ανασύρει τη γνώση που χρειάζεται τη δεδοµένη στιγµή συνδυάζοντάς την κατάλληλα µε την κατάσταση που έχει να αντιµετωπίσει. 21