ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Ερευνητική εργασία Β Τετραμήνου Υπεύθυνοι καθηγητές: Γλένης Σπύρος Κεκροπούλου Μαρία Πετρέσκου Θεόδωρος Πρότυπο Πειραμ/κο Σχολείο Παν/μιου Αθηνών ΑΘΗΝΑ 2012

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Τα μαθηματικά ως εργαλείο 1.1 Σέσωστρις. 1.2 Ιππόδαμος. 1.3 Ευπαλίνειος σήραγγα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Αποκρυπτογραφώντας την επιστήμη στην αρχαιότητα 2.1 Σφηνοειδής γραφή. 2.2 Ιερογλυφικά. 2.3 Θαλής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Φυσική και μεταφυσική ερμηνεία του κόσμου 3.1 Πλατωνικά στερεά. 3.2 Δημιουργία του κόσμου - δομικοί λίθοι. 3.3 Αρμονία της ψυχής. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Απαρχές της φιλοσοφίας των μαθηματικών 4.1 Το παράδειγμα του δούλου. 4.2 Αριστοτέλης: υποκειμενικό - αντικειμενικό, μεσότητα. 4.3 Φαίδων: μαθηματική και καθαυτό ισότητα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Θεμελίωση της επιστήμης 5.1 Αξιωματική θεμελίωση της γεωμετρίας. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1

3 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το θέμα της Ερευνητικής Εργασίας μας ήταν Τα μαθηματικά και ο πολιτισμός. Τα παιδιά, που επιλέξαμε αυτήν την Ερευνητική Εργασία, χωριστήκαμε σε τρεις ομάδες συνεργασίας έτσι ώστε να δουλεύουμε αποτελεσματικότερα. Οι ομάδες αυτές ήταν: 1. ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ Ζαχαρόπουλος Δημήτρης, Κουκουβίνος Θοδωρής, Μητούσης Μάριος, Παπαβασιλείου Φίλιππος, Χαλκιάς Μανόλης 2. ΑΝΑΠΟΦΑΣΙΣΤΟΙ Γαζή Δήμητρα, Νικολάου Θοδωρής, Ξενάκης Φώτης, Σαμουρίδης Λάζαρος, Σπαρτιώτης Γιώργος 3. ΤΟ ΑΝΩΝΥΜΟ ΤΕΤΡΑΘΕΟ Λεφάκης Γιώργος, Πετρόγγονας Ευάγγελος, Σταυρόπουλος Ιάσονας, Χριστοδούλου Γιώργος Εργαστήκαμε σταδιακά. Σε κάθε συνεδρία κάθε ομάδα είχε να ασχοληθεί με ένα διαφορετικό θέμα, που όμως συνδεόταν άμεσα με τα θέματα των άλλων ομάδων. Έτσι με επιμονή και υπομονή καταλήξαμε στο τελικό συμπέρασμα, το οποίο ήταν και ο στόχος της Ερευνητικής Εργασίας για να καταλάβουμε πως οι εργασίες μας συνδέονταν με τον τίτλο. Παράλληλα γράφουμε τα προσωπικά μας ημερολόγια και το ημερολόγιο της ομάδας. Η Ερευνητική Εργασία είχε το γραπτό, αλλά και το καλλιτεχνικό της κομμάτι. Τα θέματα, με τα οποία ασχοληθήκαμε και τα οποία θα σας παρουσιάσουμε παρακάτω, είναι τα εξής: Τα μαθηματικά ως εργαλείο. Αποκρυπτογραφώντας την επιστήμη στην αρχαιότητα. Φυσική και μεταφυσική ερμηνεία του κόσμου. Απαρχές της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Θεμελίωση της επιστήμης. 2

4 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΩΣ ΕΡΓΑΛΕΙΟ 1.1 Σέσωστρις (Ανώνυμο Τετράθεο) Στο παρακάτω απόσπασμα περιγράφεται η διαδικασία την οποία ακολουθούσε ο φαραώ Σέσωστρις για να μπορεί να καθορίζει τον φόρο τον οποίο εισέπραττε από κάθε καλλιεργητή γης. Διαβάστε προσεκτικά το απόσπασμα από τον Ηρόδοτο: [ ] μοίρασε τη χώρα μεταξύ όλων των Αιγυπτίων δίνοντας στον καθένα ίσο τετράγωνο μερίδιο γης αυτό υπήρξε η πηγή των εσόδων του, αφού όρισε την καταβολή ετήσιου φόρου. Όποιος τύχαινε να χάσει κάποια έκταση που παρασυρόταν από τον ποταμό, πήγαινε στον Σέσωστρις και ανέφερε τι είχε συμβεί τότε ο βασιλεύς έστελνε τους ανθρώπους του για να εξετάσουν το θέμα και να μετρήσουν την έκταση που είχε απομείνει, ούτως ώστε να μειωθεί αναλογικά ο αρχικός φόρος. Από αυτό, κατά τη γνώμη μου, έμαθαν οι Έλληνες την τέχνη της μέτρησης της γης (γεωμετρία). ΗΡΟΔΟΤΟΣ, ΙΙ, 109 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ποιο πρόβλημα αντιμετώπιζαν οι καλλιεργητές της γης εξαιτίας του ποταμού; Σε ποιον ποταμό αναφέρεται; Ποια διαδικασία ακολούθησε ο φαραώ Σέσωστρις προκειμένου να επιβάλει ετήσιο φόρο στους υπηκόους του; Θα μπορούσαμε να πούμε ότι με δικαιοσύνη και ισότητα κατένειμε τον φόρο; Ποια λύση βρήκε ο φαραώ Σέσωστρις; Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην ανάπτυξη των επιστημών; Ποιες επιστήμες διαμορφώθηκαν στην Αρχαία Αίγυπτο; 3

5 Παρακάτω θα περιγράψουμε τη διαδικασία με την οποία ο Φαραώ Σέσωστρις καθόριζε τις εκτάσεις γης των υπηκόων του. Ο Φαραώ Σέσωστρις έδωσε σε όλους τους υπηκόους του ίσα κομμάτια γης (με τη βοήθεια του τετραγώνου) ώστε να εισπράττει ίσο φόρο από όλους. Οι εκτάσεις τις οποίες μοίρασε ήταν παράκτιες στον ποταμό Νείλο. Όμως ο ποταμός έχει την ιδιαιτερότητα, καθώς είναι και μεγάλος σε έκταση, να προκαλεί συχνά πλημμύρες οι οποίες έκαναν μεν τα εδάφη πιο εύφορα όμως παρέσυραν τα τεχνητά - φυσικά όρια των χωραφιών. Αυτό είχε ως αποτέλεσμα τη δυσκολία συλλογής των φόρων αφού δεν ήταν γνωστή η έκταση των εδαφών, δηλαδή η ποσότητα προϊόντων που ήταν υποχρεωμένος ο καθένας να δώσει. Τότε λοιπόν ο Φαραώ όρισε κάποιους ανθρώπους να επαναπροσδιορίζουν τα όρια των χωραφιών. Με αυτόν τον τρόπο η φορολογία διεπόταν από δικαιοσύνη καθώς η φορολογική επιβάρυνση των υπηκόων ήταν ανάλογη της έκτασης της γης που κατείχαν. Λόγω την πλημμυρών αυτών ήταν επιτακτική η ανάγκη να μπορούν με κάποιον τρόπο να ξαναβρίσκουν τα όρια των χωραφιών καθώς επίσης και να γνωρίζουν πότε θα γίνουν οι επόμενες πλημμύρες. Για τους παραπάνω λόγους αναπτύχθηκε η γεωμετρία και η αστρονομία. Οι Αιγύπτιοι είχαν την άμεση ανάγκη επίλυσης ορισμένων προβλημάτων όπως του παραπάνω. Έπρεπε, επομένως, να βρουν έναν τρόπο/μέσο για να γνωρίσουν, σε πρωταρχικό επίπεδο, τον κόσμο που τους περιβάλλει. Έτσι, σιγά-σιγά οδηγήθηκαν στην ανάπτυξη της γεωμετρίας που τους βοήθησε από την αποτελεσματική αντιμετώπιση των προβλημάτων τους μέχρι και την καλύτερη διαχείριση της χώρας τους. Με αυτόν τον τρόπο η Αίγυπτος ήκμασε στον μεγαλύτερο δυνατό βαθμό για εκείνην την εποχή και μέχρι σήμερα θεωρείται σύμβολο πολιτισμού και σημείο αναφοράς για επιστήμες όπως η γεωμετρία και η αστρονομία. 4

6 1.2 Ιππόδαμος (Αναποφάσιστοι) Από διάφορες πηγές, κυρίως έργα ιστορικών και φιλοσόφων, μαθαίνουμε ότι κατά την αρχαιότητα είχε αναπτυχθεί η πολεοδομία δηλαδή ο σχεδιασμός πόλεων. Διαβάστε προσεκτικά το απόσπασμα από τον Αριστοτέλη ο οποίος αναφέρεται στον Ιππόδαμο τον Μιλήσιο: [ ] εκείνον που εφηύρε την τέχνη του σχεδιασμού των πόλεων και επίσης σχεδίασε τον Πειραιά [ ] Η πόλη του Ιπποδάμου είχε κατοίκους χωρισμένους σε κατηγορίες: τους εργάτες, τους αγρότες και τους ένοπλους υπερασπιστές της. Χώρισε επίσης τη γη σε τρία μέρη, ένα ιερό, ένα δημόσιο και ένα ιδιωτικό [ ] Η διάταξη των ιδιωτικών κατοικιών θεωρείται πιο ευχάριστη και γενικώς πιο άνετη αν οι δρόμοι κατασκευάζονται συμφώνως προς τον νεωτεριστικό τρόπο τον οποίο εισήγαγε ο Ιππόδαμος. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ, Πολιτικά 1276b, 1330b Γνωρίζουμε επίσης ότι ο Ιππόδαμος σχεδίασε την πόλη της Ρόδου και των Θουρίων (Κάτω Ιταλία). Παρατηρείστε επίσης το σχέδιο που παρατίθεται πιο κάτω. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σχέδιο της αρχαίας Μιλήτου. Με ποιόν τρόπο σχεδίασε ο Ιππόδαμος την/τις πόλη/πόλεις; Ποια στοιχεία λαμβάνει υπ όψιν του; Θεωρείτε ότι είναι απαραίτητος ο τριμερής χωρισμός της πόλης; Πού θα τοποθετούσατε εσείς αυτά τα τρία μέρη ; Ποιές επιστήμες χρησιμοποιεί; Πιστεύετε ότι ο Ιππόδαμος είναι ο μοναδικός πολεοδόμος της αρχαιότητας; Από πού μπορεί κάποιος να έχει αυτές τις πληροφορίες; 5

7 Λίγες πληροφορίες για τον Ιππόδαμο: Ο Ιππόδαμος γεννήθηκε στη Μίλητο το 498 π.χ. και πέθανε το 408. Θεωρείται ο πρώτος πολεοδόμος στην ιστορία και ασχολήθηκε επίσης με την αρχιτεκτονική, τη μετεωρολογία, τα μαθηματικά, τη φιλοσοφία και άλλα. Το 479 παρακολούθησε την ανακατασκευή της Μιλήτου και το 460, όταν είχε αποκτήσει φήμη, έλαβε πρόσκληση από τον Περικλή που του ανέθετε την εκπόνηση της πολεοδομικής μελέτης του Πειραιά και την επίβλεψη των εργασιών. Έζησε μεγάλο μέρος της ζωής του στην Αθήνα και, μετά τον Πειραιά, εργάστηκε για τον σχεδιασμό των Θουρίων, αποικίας της Αθήνας στην Κάτω Ιταλία. Έχει μείνει γνωστός για το Ιπποδάμειο Σύστημα, το σύστημα ρυμοτομίας του που απετέλεσε τον θεμέλιο λίθο για την εξέλιξη της πολεοδομίας. Με ποιόν τρόπο σχεδίασε ο Ιππόδαμος την/τις πόλη/πόλεις; Ο Ιππόδαμος σχεδίαζε τις πόλεις με ορθοκανονικό σύστημα πολεοδόμησης. Το σύστημα αυτό στηρίζεται στη διαίρεση του χώρου της πόλης με κάθετους και οριζόντιους δρόμους σχηματίζοντας ορθογώνιες οικοδομικές νησίδες, οι οποίες περιλαμβάνουν τις οικίες και τα δημόσια κτήρια. Τελειοποιήθηκε τον 5ο αι. π.x., ήταν όμως νωρίτερα γνωστό στις ελληνικές αποικίες της Σικελίας. Η πόλη χωριζόταν σε τρία κέντρα: θρησκευτικό, πολιτικό-διοικητικό και εμπορικό, που εντάσσονται στη ρυμοτομική χάραξη των ισομεγεθών οικοδομικών τετραγώνων που ορίζονται από ευθείς κάθετα τεμνόμενους και, συχνά, πλακόστρωτους δρόμους. Στα οικοδομικά τετράγωνα οι οικίες κατανέμονται έτσι ώστε να διασφαλίζεται η λειτουργικότητα, η υδροδότηση και ο άπλετος φωτισμός των χώρων τους. Ο ρυμοτομικός αυτός τρόπος εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στη Μίλητο (πατρίδα του Ιππόδαμου), ενώ στην περιοχή της Μακεδονίας, η πλήρης εφαρμογή του συναντάται στην Πέλλα και στην Όλυνθο. Τα πρακτικά πλεονεκτήματα (ταχύτητα οργάνωσης, απλότητα χάραξης, ευκολία χρήσης, ασφάλεια) συνετέλεσαν στην ευρεία χρήση του Ιπποδάμειου συστήματος, τόσο από τον Αλέξανδρο Γ', όσο και από τους διαδόχους του στις πόλεις που ίδρυσαν. Στη ρωμαϊκή εποχή συνδυάστηκε με το παραδοσιακό ρωμαϊκό ορθογώνιο σύστημα οργάνωσης της πόλης. Ποιά στοιχεία λαμβάνει υπ όψιν του; Ο Ιππόδαμος για τον σχεδιασμό μίας πόλης λάμβανε υπ όψιν του στοιχεία όπως το πολίτευμα της πόλης, αλλά και τις κοινωνικές, πολιτιστικές και οικονομικές δραστηριότητες που θα αναπτύσσονταν σε αυτήν. Παρ όλα αυτά δεν φαίνεται ότι η μορφολογία του εδάφους ήταν ένα στοιχείο το οποίο θεωρούσε σημαντικό για να το συμπεριλάβει στις παραμέτρους του σχεδιασμού. Θεωρείτε ότι είναι απαραίτητος ο τριμερής χωρισμός της πόλης; Ο τριμερής χωρισμός της πόλης, τον οποίο υποστήριζε ο Ιππόδαμος, δεν είναι φυσικά απαραίτητος για την ύπαρξη της πόλης, όμως είναι ένα στοιχείο θεμιτό σε κάθε πόλη, το οποίο μάλιστα παρατηρείται πάντα στις πόλεις, άσχετα με το αν αυτές έχουν σχεδιαστεί εξ αρχής ή έχουν αναπτυχθεί αυτόνομα. Αυτό γιατί ο τριμερής αυτός χωρισμός (ή και ο χωρισμός σε περισσότερα ή διαφορετικά μέρη μίας πόλης) βοηθάει στη λειτουργικότητα της πόλης και, κατά συνέπεια στη διευκόλυνση των πολιτών στη διεκπεραίωση των εργασιών τους και το καλύτερο βιοτικό επίπεδο τους. Πού θα τοποθετούσατε εσείς αυτά τα τρία μέρη ; Τα τρία μέρη που πρώτος ο Ιππόδαμος πρότεινε για τον χωρισμό μίας πόλης, την κρατική, την ιερή και την ιδιωτική γη, έχει αποδειχθεί από την ίδια την ιστορία και την ανάπτυξη των πόλεων ότι είναι καλύτερο να βρίσκεται στο κέντρο το κρατικό, μαζί με το ιερό, το οποίο 6

8 όμως, ανάλογα με τον κάθε λαό και την κοινότητα, τείνει να έχει φθίνουσα σημασία. Η ιδιωτική γη θα πρέπει να τα περιβάλλει με τρόπο τέτοιο ώστε να παρέχεται εύκολη πρόσβαση στο κέντρο σε αυτούς που διαμένουν στο ιδιωτικό μέρος. Ποιές επιστήμες χρησιμοποιεί; Ο Ιππόδαμος για να επιτελέσει το έργο του χρησιμοποιεί πολλαπλές γνώσεις από πολλούς τομείς, καθώς, όπως και πολλοί άλλοι Έλληνες της εποχής του, ασχολούνταν με ένα μεγάλο εύρος επιστημών και δραστηριοτήτων, όπως την αρχιτεκτονική, τη μετεωρολογία, τη φυσική, τα μαθηματικά, την αστρονομία και τη φιλοσοφία. Αξίζει να σημειωθεί, επίσης, ότι ο Ιππόδαμος μελετούσε τα πολιτεύματα και την πολιτική, όχι όμως για να την ασκεί ενεργά, αλλά για να εξελίξει τις αντιλήψεις του και να βελτιωθεί στο έργο του. Πιστεύετε ότι ο Ιππόδαμος ήταν ο μοναδικός πολεοδόμος της αρχαιότητας; Ο Ιππόδαμος ήταν ο πρώτος γνωστός πολεοδόμος στην ιστορία, καθώς ήταν ο πρώτος που σχεδίασε πόλη με κανονικότητα και τάξη στην αρχαία Ελλάδα (παρόμοιες πόλεις είχαν υπάρξει περίπου 15 αιώνες πριν στη Μεσοποταμία και στην Αίγυπτο χωρίς να έχουμε στοιχεία για τη σχεδίασή τους), ενώ ήταν και πρωτοπόρος της εποχής του γιατί ενέταξε στον σχεδιασμό της πόλης κριτήρια κοινωνικοπολιτικά. Βέβαια, ο Ιππόδαμος δεν ήταν επ ουδενί ο μοναδικός πολεοδόμος της αρχαιότητας, αφού, παρ ότι η πολεοδομία πρωτοεμφανίστηκε στην Ελλάδα με αυτόν, συνεχίστηκε από άλλους, οι οποίοι ακολούθησαν και εξέλιξαν την προσφορά του Ιπποδάμου. Από πού μπορεί κάποιος να έχει αυτές τις πληροφορίες; Αυτές τις πληροφορίες μπορεί κάποιος να τις ανιχνεύσει στο γραπτό έργο του Ιππόδαμου και άλλων συγχρόνων του και μη που αναφέρονται σε αυτό. Βέβαια, υπάρχουν άρθρα και λήμματα σε έντυπη και ηλεκτρονική μορφή, προσβάσιμα στο διαδίκτυο. Ενδεικτικά: %BC%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%9C%CE%B9%CE%BB%CE%AE%CF%83%CE%B9 %CE%BF%CF%

9 1.3 Ευπαλίνειος σήραγγα της Σάμου (Πυθαγόρειοι) Παρατηρήστε πολύ καλά το σχέδιο. Ο τύραννος της Σάμου Πολυκράτης ανέθεσε να κατασκευαστεί η Ευπαλίνειος Σήραγγα (αποτελεί τμήμα υπογείου υδατονομικού συστήματος). Έχει μήκος 1036 μέτρα και κατασκευάστηκε από δύο ομάδες εργατών, οι οποίες ξεκίνησαν από διαφορετικά σημεία με σκοπό να συναντηθούν. Οι αρχαιολόγοι, που διεξήγαν την έρευνα, διατύπωσαν τρία ερωτήματα: 1. Από πού άρχισε η σήραγγα; 2. Πώς ξεκίνησαν οι εργασίες στα δύο άκρα από το ίδιο επίπεδο; 3. Πώς έγινε η συνάντηση των δύο αγωγών στο κέντρο; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ποιές επιστήμες χρησιμοποίησαν; Ποιά όργανα χρησιμοποίησαν (γνώμων, χωροβάτης); Τί υπήρχε στα τοιχώματα; 8

10 ΓENIKA Η Ευπαλίνειος σήραγγα ήταν ένα μεγάλο τεχνικό επίτευγμα για την εποχή της. Κατασκευάστηκε στη Σάμο από τον μηχανικό Ευπαλίνο τον Μεγαρέα με εντολή του τυράννου Πολυκράτη κατά τον 6ο αιώνα π.χ. Είχε μήκος 1036 μέτρα και χρησιμοποιήθηκε σαν υδραγωγείο. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι ανοίχθηκε ταυτόχρονα και από τις δυο πλευρές του βουνού και συναντήθηκαν στο ίδιο σημείο με απόκλιση μόλις 0,6μ. Η συνεχής χρήση της κύριας στοάς έκανε την πηγή να αναβλύζει χαμηλότερα. Αυτό είχε ως συνέπεια τη δυσκολία πρόσβασης του νερού στη στοά. Για τον λόγο αυτό έγινε αναγκαία η δημιουργία μιας βοηθητικής, μικρότερης σήραγγας, σε χαμηλότερο επίπεδο. Ο Ηρόδοτος, η μοναδική γραπτή πηγή που έχουμε για το έργο, περιγράφει και τις δύο σήραγγες. Ο τρόπος με τον οποίο κατασκευάστηκε η σήραγγα μας βεβαιώνει ότι το 530 π.χ ήταν γνωστά το Πυθαγόρειο Θεώρημα, ο υπολογισμός των τετραγωνικών ριζών και οι έννοιες λόγος, αναλογία, ομοιότητα. Η Ευπαλίνειος σήραγγα αποτελεί μνημείο για την ολοκληρωμένη εφαρμογή της γεωμετρίας, της τοπογραφίας, της γεωδαισίας και της οπτικής στην αρχαία Ελλάδα. 9

11 Μελετώντας την κατασκευή της σήραγγας προέκυψαν κάποια βασικά ερωτήματα: Από πού άρχισε η σήραγγα ; Πώς ξεκίνησαν οι εργάτες από το ίδιο επίπεδο ; Πώς έγινε η συνάντηση των δύο αγωγών στο κέντρο; Ο Ευπαλίνος, εφ όσον μελέτησε το ανάγλυφο της περιοχής, παρατήρησε ότι η πηγή βρισκόταν στα βόρεια της πόλης, ήταν ψηλότερα από αυτήν και ότι ανάμεσά τους παρεμβαλλόταν ένα βουνό. Ο όγκος του βουνού δεν είναι συνεχής αλλά δυτικά υπάρχει μια χαράδρα που φέρνει τα νερά των χειμάρρων και της πηγής νότια στον κάμπο της πόλης και στη συνέχεια στη θάλασσα. Αυτές οι πληροφορίες του έδωσαν τα αριθμητικά στοιχεία που χρειάζονταν για την κατασκευή του μεγάλου αυτού έργου. Ο σχεδιαστής του έργου είχε να λύσει το πρόβλημα της σταθερής κλίσης της τάφρου, καθώς και τη χάραξη της διαδρομής που θα είχε στο ανάγλυφο του βουνού. Ο μελετητής Δ. Τσιμπουράκης προτείνει δύο εκδοχές που εξηγούν τον τρόπο με τον οποίο πιθανότατα εργάστηκε ο Ευπαλίνος: Mε τη βοήθεια του νερού της πηγής. Κατά την εκδοχή αυτή ο Ευπαλίνος χτίζει ένα κεκλιμένο αυλάκι μέσα στο οποίο, σε ίσες αποστάσεις, κατασκευάζει διαδοχικά φράγματα τέτοια ώστε να δημιουργούνται διαδοχικές μικρές λίμνες με την ίδια υψομετρική διαφορά των επιφανειών του νερού τους. Το κάθε φράγμα χτίζεται σε τέτοιο ύψος ώστε η λίμνη που δημιουργεί να έχει επιφάνεια νερού χαμηλότερη από την προηγούμενη κατά 0,6%. Έτσι, τα άνω μέρη των φραγμάτων υλοποιούν στο έδαφος μια πολυγωνική διαδρομή με σταθερή κλίση 0,6%. Mε τη βοήθεια σκοπευτικού οργάνου. Εδώ ο Ευπαλίνος κατασκευάζει σε ίσες αποστάσεις μικρά διαδοχικά πέτρινα βάθρα σε σταθερά χαμηλότερη κάθε φορά στάθμη. Τώρα η υψομετρική διαφορά υλοποιείται, όχι με το νερό, αλλά με οριζόντια σκόπευση πάνω σε υποδιαιρεμένο γνώμονα. Τελικά τα σημεία των διαδοχικών βάθρων υλοποιούν στο έδαφος μια πολυγωνική διαδρομή με σταθερή κλίση 0,6%. (http://users.forthnet.gr/ath/deleps/) 10

12 Το συμπέρασμα, στο οποίο καταλήγει ο μελετητής, είναι πως πιθανότατα ο Ευπαλίνος χρησιμοποίησε και τις δύο μεθόδους. Εκείνη του νερού, γιατί διέθετε έτοιμο επιφανειακό αυλάκι με το οποίο ήδη θα υδρευόταν η πόλη. Και εκείνη της διόπτρας, με την οποία θα έκανε τις χαράξεις του και θα παρακολουθούσε την πορεία των εκσκαφών κάτω από το βουνό. Το έργο ξεκίνησε από δύο διαφορετικά σημεία. Το ένα ήταν κοντά στη θάλασσα και το άλλο στην άκρη της πόλης. Ο Ευπαλίνος στη συνέχεια διάλεξε πάνω στη καμπύλη των βάθρων το σημείο Ν (Βορράς) από το οποίο θα άρχιζε η βόρεια σήραγγα του ορύγματος (μάλλον με εδαφολογικά κριτήρια). Έπειτα διάλεξε την ομαλότερη ράχη για να περάσει από πάνω της την ευθυγραμμία που θα όριζε το κατακόρυφο επίπεδο της υπό κατασκευήν σήραγγας. Η ευθυγραμμία αυτή υλοποιήθηκε εύκολα με την τοποθέτηση κατακόρυφων γνωμόνων πάνω στην πλαγιά του βουνού και πάνω στην ίδια οπτική ακτίνα από το επιλεγμένο σημείο Ν. Η τομή της ευθυγραμμίας με την καμπύλη των βάθρων όρισε το σημείο S (Νότος) στη νότια πλευρά του βουνού από το οποίο θα άρχιζαν οι εργασίες εκσκαφής της νότιας σήραγγας του ορύγματος. Το ότι ο Ευπαλίνος έκανε χρήση "ευθυγραμμίας κατακορύφων ακοντίων" για να ανεβεί στο βουνό αποδείχθηκε από τον πολιτικό μηχανικό και μεταλλειολόγο Δημήτρη Τεμπέλη, ο οποίος το καλοκαίρι του 1990 ανακάλυψε, 40 μέτρα περίπου από τη νότια είσοδο S της σήραγγας, μια μοναχική λάξευση του βράχου, της οποίας η κατασκευή έγινε για να αποκατασταθεί η οπτική επαφή με το επόμενο ακόντιο. Η ευθυγραμμία υλοποιήθηκε με σκοπευτικό όργανο. 11

13 ΓΛΩΣΣΑΡΙ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ: Με τον όρο γεωδαισία χαρακτηρίζεται ο τομέας της γεωγραφίας που έχει ως κύριο αντικείμενο τον προσδιορισμό του σχήματος ολόκληρης της γήινης επιφάνειας ή ορισμένων τμημάτων της, με το πεδίο βαρύτητας της Γης (ή τμημάτων της) καθώς και με τις μεταβολές αυτών στον χρόνο. Κατ επέκταση, η γεωδαισία, έστω και αν αναφέρεται στη Γη, καλύπτει και το έδαφος της Σελήνης και άλλων πλανητών σε ό,τι αφορά βέβαια τους γνωστικούς τομείς αυτών. Από τα παραπάνω διαπιστώνεται ότι η γεωδαισία σχετίζεται άμεσα και με άλλες μεγάλες επιστήμες όπως την αστρονομία, τη γεωφυσική, την τοπογραφία και ιδιαίτερα τη χαρτογραφία από τις οποίες έχει πολλές επικαλύψεις. Η γεωδαισία είναι ακριβέστερα η επιστήμη που χρησιμοποιείται κατά κόρον από τους τοπογράφους μηχανικούς όταν επιθυμείται η αποτύπωση μιας επιφάνειας (φυσικής ή τεχνητής) με απαιτήσεις μεγάλης ακρίβειας. (Wikipedia) ΠΟΛΥΚΡΑΤΗΣ: Ο Πολυκράτης, όπως αναφέρθηκε και πρωτύτερα, ήταν τύραννος της Σάμου κατά το δεύτερο μισό του 6ου αιώνα. Δεν είναι γνωστό ποια χρονολογία ακριβώς πήρε την εξουσία. Εκμεταλλεύτηκε μια γιορτή της Ήρας όταν όλοι βρίσκονταν έξω από την πόλη και ανέτρεψε το καθεστώς μαζί με τους αδελφούς του, που από τον Ηρόδοτο αναφέρονται ως Παντάγνωτος και Συλοσών. Μοίρασαν το νησί σε τρία μέρη και ο καθένας διοικούσε από ένα, όμως ο Πολυκράτης σκότωσε τον Παντάγνωτο και εξόρισε τον Συλοσώντα. Ακολουθώντας τη συνηθισμένη τακτική των τυράννων ο Πολυκράτης προσπάθησε πρώτα απ' όλα να εδραιώσει την εξουσία του. Σκότωσε ή εξόρισε όσο μπορούσε περισσότερους γεωμόρους, δηλαδή μεγαλογαιοκτήμονες, οι οποίοι επιθυμούσαν να εγκαταστήσουν στη Σάμο ολιγαρχικό πολίτευμα. Ο Πολυκράτης έφτιαξε έναν στόλο από εκατό πλοία και χίλιους τοξότες και λεηλατούσε τα νησιά του Αιγαίου, όπως για παράδειγμα τη Ρήνεια της Δήλου, την οποία αφιέρωσε στον Δήλιο Απόλλωνα. Ο Πολυκράτης δολοφονήθηκε το 522 π.χ. πέφτοντας στην παγίδα του σατράπη των Σάρδεων, Οροίτη. Αυτός μισούσε τον Πολυκράτη είτε γιατί είχε αποτύχει να κατακτήσει τη Σάμο είτε γιατί ο Πολυκράτης είχε περιφρονήσει έναν Πέρση πρέσβη. Γνωρίζοντας την απληστία του Πολυκράτη, του διαμήνυσε ότι η περιουσία του κινδύνευε από τον βασιλιά της Περσίας και τον κάλεσε για να τον βοηθήσει, υποτίθεται, στη φυγάδευση του θησαυρού του, υποσχόμενος στον Πολυκράτη τη μισή. Ο Πολυκράτης, παρά τις συμβουλές των φίλων του καθώς και την προφητεία της κόρης του (ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι το κορίτσι είχε δει ένα άσχημο όνειρο που σήμαινε ότι ο πατέρας του θα πεθάνει), πήγε στις Σάρδεις. Εκεί ο Οροίτης τον συνέλαβε και έβαλε να τον γδάρουν ζωντανό και έπειτα να τον σταυρώσουν. Κατά τη διάρκεια της τυραννίας του, ο Πολυκράτης έκανε πολλά σπουδαία έργα στη Σάμο. Έφερε από τα Μέγαρα τον υδραυλικό Ευπαλίνο, ο οποίος κατασκεύασε το Ευπαλίνειο Όρυγμα που ύδρευε με ασφάλεια την πόλη σε περίπτωση πολιορκίας. Περιτείχισε την ακρόπολη Αστυπάλαια, όπου έχτισε το πλούσιο ανάκτορο του. Επί ημερών του ακόμη, ανεγέρθηκε το Ηραίον, ο μεγαλύτερος ελληνικός ναός που είχε δει ο Ηρόδοτος. Στα ανάκτορά του έμειναν οι λυρικοί ποιητές Ανακρέων και Ίβυκος. (Wikipedia) 12

14 ΑΠΟΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΩΝΤΑΣ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε αυτό το κεφάλαιο μας ανατέθηκε να ανατρέξουμε πολλά χρόνια πίσω, την εποχή των Αιγυπτίων και των Σουμερίων, έτσι ώστε να κατανοήσουμε το αλφάβητό τους, καθώς επίσης και τον τρόπο επικοινωνίας τους για πρακτικά και καθημερινά τους θέματα. Αποστολή μας λοιπόν ήταν να αποκρυπτογραφήσουμε ένα κείμενο σφηνοειδούς γραφής και να προσεγγίσουμε τον τρόπο κατασκευής ενός ζιγκουράτ καθώς και ένα κείμενο ιερογλυφικής γραφής και, έτσι, να ανακαλύψουμε το εμβαδόν δύο χωραφιών. Επιπλέον, σε αυτό το κεφάλαιο ζητήθηκε να βρούμε πληροφορίες για έναν Έλληνα επιστήμονα του όποιου οι ανακαλύψεις χρησιμοποιούνται ακόμη και σήμερα, τον Θαλή τον Μιλήσιο. 13

15 2.1 Η σφηνοειδής γραφή (Πυθαγόρειοι) Η σφηνοειδής γραφή υπολογίζεται ότι εφευρέθηκε από τους Σουμέριους στη Μεσοποταμία, όμως άγνωστο πότε. Κατόπιν τη δέχθηκαν και την τροποποίησαν οι Ασσύριοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Ελαμίτες, οι Πέρσες, οι Χιττίτες κ.α. Διατηρήθηκε μέχρι τον 1ον μ.χ. αι. Αλφάβητο σφηνοειδούς περσικής γραφής. Η αποκρυπτογράφησή της έγινε από τους Γκρότεφεντ (1802) και Ρώλινσον (1846). Είδη σφηνοειδούς γραφής είναι η γραφή Ουγκαρίτ (στις ακτές της Συρίας) με 22 συμφωνογράμματα και αυτή της Περσέπολης με 36 συμφωνογράμματα. Ξέπεσαν σε αχρησία τον 3ο - 5ο π.χ. αι. Η σφηνοειδής γραφή ονομάστηκε έτσι, επειδή τα γράμματά της είναι ως οι σφήνες (καρφιά) και όχι γραμμές ή εικόνες πραγμάτων. Στη σφηνοειδή γραφή οι λέξεις γράφονται με τον ίδιο τρόπο (μηχανισμό) που ισχύει και στις πολύ παλαιές γραφές (αιγυπτιακή ιερατική, γραμμική κ.α.). Απλώς εδώ τα γράμματα του αλφάβητου είναι σφήνες αντί εικόνες ή ιδεογράμματα όντων, όπως συμβαίνει στις άλλες (σημιτικές και αιγυπτιακές) γραφές, κάτι που δίδει και την εντύπωση ότι η σφηνοειδής γραφή είναι άσχετη με τις άλλες, ενώ δεν είναι. Στη σφηνοειδή γραφή κανονικά υπάρχουν δυο μόνο διαφορετικά γράμματα - σφήνες (και όχι π.χ. 24 που υπάρχουν στην ελληνική γραφή), η μια είναι ίσια και η άλλη διπλή. Οι συνδυασμοί αυτών των δυο σφηνών δημιουργούν - αποτελούν τα γράμματα του αλφάβητου της γραφής αυτής. Δηλαδή εδώ τα γράμματα είναι κάτι όπως στην ελληνική με τα γράμματα Α, Ι, Υ και οι δίφθογγοι ΑΙ, ΕΙ, ΟΙ, ΟΥ, ΥΙ 14

16 Δείγμα σφηνοειδούς γραφής. Οι αριθμοί στη σφηνοειδή γραφή. Αλφάβητο σφηνοειδούς γραφής Ουγκαρίτ. 15

17 Η δεύτερη ομάδα μετέφρασε ένα μαθηματικό πρόβλημα γραμμένο σε σφηνοειδή γραφή. Η μετάφραση είναι η εξής: «Ο βασιλιάς Θεός προνοεί.» «Μέτρα το χωράφι 5μ μήκος και 4μ πλάτος.» Λύση: Το εμβαδόν του χωραφιού είναι 5x4=20 τετραγωνικά μέτρα. 16

18 2.2 Ιερογλυφικά (Αναποφάσιστοι) Τα ιερογλυφικά είναι τα αρχαιότερα εικονιστικά σύμβολα που χρησιμοποιούνταν στην αρχαία αιγυπτιακή γραφή. Η λέξη προέρχεται από τα αρχαία ελληνικά ιερές γλυφές (δηλαδή ιερά ανάγλυφα) επειδή χρησιμοποιήθηκαν σε ιερά θρησκευτικά κείμενα. Κατάφερε να τα μεταφράσει ο Ζαν - Φρανσουά Σαμπολιόν το 1822 χρησιμοποιώντας την περίφημη Στήλη της Ροζέττας, η οποία ανακαλύφθηκε το 1777 τυχαία από έναν στρατηγό του Ναπολέοντα. Η Στήλη της Ροζέττας φέρει εγχάρακτη μια επιγραφή σε δύο γλώσσες (αιγυπτιακή και ελληνική) και τρία συστήματα γραφής (ιερογλυφικά, δημώδη αιγυπτιακή, ελληνική). Ο Σαμπολιόν, ως διακεκριμένος γλωσσολόγος της εποχής, κατάφερε, με βάση τα ονόματα των βασιλέων Πτολεμαίου και Αρσινόης που αναφέρονται στη στήλη, να βρει το κλειδί για να αποκρυπτογραφήσει τα αιγυπτιακά ιερογλυφικά. Αυτή η ανεκτίμητης αξίας ανακάλυψη ήταν καθοριστική για την εξέλιξη της επιστήμης της Αιγυπτιολογίας. Το σύστημα που χρησιμοποίησε ο Σαμπολιόν για να αποκρυπτογραφήσει το κείμενο της στήλης αποτελεί σημαντικό οδηγό για όσους ενδιαφέρονται για τη μελέτη των αρχαίων συστημάτων γραφής. 17

19 Με τη βοήθεια των παραπάνω εικόνων μεταφράσαμε ένα αρχαίο αιγυπτιακό μαθηματικό πρόβλημα, το οποίο στη συνέχεια λύσαμε. Η μετάφραση είναι η εξής: «Ο Φαραώ λέει: Ο Νείλος πλημμύρισε. Το μήκος είναι 3, το πλάτος είναι 4.» Λύση: Το χωράφι είναι 4x3=12 τετραγωνικά μέτρα. 18

20 2.3 Θαλής ο Μιλήσιος (Ανώνυμο Τετράθεο) ΣΟΥΪΔΑΣ: Ο Θαλής, ο γιος του Εξαμύα και της Κλεοβουλίνης, γεννήθηκε στη Μίλητο. Κατά τον Ηρόδοτο, ήταν φοινικικής καταγωγής γεννήθηκε πριν από τον Κροίσο, την τριακοστή πέμπτη ολυμπιάδα. Κατά τον Φλέγοντα όμως, ήταν ήδη γνωστός κατά την έβδομη ολυμπιάδα. Έγραψε ένα επικό ποίημα Περί μετεώρων, ένα έργο Περί ισημερίας και άλλα πολλά. Πέθανε γέρος ενώ παρακολουθούσε έναν αγώνα, στριμωγμένος από τον κόσμο και εξαντλημένος από τη ζέστη. Ο Θαλής ήταν ο πρώτος που πήρε το όνομά του σοφού ο πρώτος που είπε ότι η ψυχή είναι αθάνατη και που κατανόησε τις εκλείψεις και τις ισημερίες. Άφησε πολλά αποφθέγματα και ιδιαίτερα το περίφημο γνώθι σ αυτόν. Το εγγύα, παρά δ άτα (=δώσε εγγύηση και η συμφορά θα σε βρει) είναι του Χίλωνα ο οποίος μάλλον το πήρε από τον Θαλή όπως και το μηδέν άγαν. Ο Θαλής, ο φιλόσοφος της φύσης, προείπε, τον καιρό του Δαρείου, την έκλειψη του ηλίου. ΔΙΟΓΕΝΗΣ ΛΑΕΡΤΙΟΣ: Στον Θαλή αποδίδονται επίσης τα εξής αποφθέγματα: πρεσβύτατον των όντων θεός αγέννητον γάρ. κάλλιστον κόσμος ποίημα γάρ θεού. μέγιστον τόπος άπαντα γάρ χωρεί. τάχιστον νους διά παντός γάρ τρέχει. ισχυρότατον ανάγκη κρατεί γάρ πάντων. σοφώτατον χρόνος ανευρίσκει γάρ πάντα. ΑΠΟΛΛΟΔΩΡΟΣ, Χρονικά: Ο Θαλής γεννήθηκε κατά το πρώτο έτος της τριακοστής πέμπτης ολυμπιάδας. Πέθανε εβδομήντα οκτώ ετών ή ενενήντα, όπως λέει ο Σωσικράτης κατά την πεντηκοστή όγδοη ολυμπιάδα και έζησε τον καιρό του Κροίσου, στον οποίο υποσχέθηκε να του επιτρέψει να περάσει τον ποταμό Άλυ δίχως να φτιαχτεί γέφυρα, εκτρέποντας το ρεύμα του. ΣΧΟΛΙΑΣΤΗΣ : [ ] Είναι ο πρώτος Έλληνας που ανακάλυψε τη Μικρή Άρκτο, τα ηλιοστάσια και το μέγεθος και τη φύση του ηλίου. Συμπέρανε επίσης ότι και τα άψυχα αντικείμενα έχουν ψυχή, κρίνοντας από τις ιδιότητες του μαγνήτη και του ήλεκτρου. Το νερό είναι αρχή των στοιχείων. Ο κόσμος, έλεγε ο Θαλής, είναι έμψυχος και γεμάτος από δαίμονες. Εκπαιδεύτηκε στην Αίγυπτο από τους ιερείς. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Να υπολογίσετε πότε γεννήθηκε και πότε πέθανε ο Θαλής. Να μεταφράσετε τα γνωμικά του και να τα γράψετε σε πινακίδες. Πότε έζησε ο Κροίσος; Τί γνωρίζετε γι αυτόν; Ψάξτε να βρείτε πληροφορίες για τα ηλιοστάσια και τις ισημερίες. Ποιές είναι οι ιδιότητες του μαγνήτη και του ήλεκτρου; Τι σημαίνει ότι το νερό είναι η αρχή των στοιχείων; Σε τι συμπέρασμα καταλήγουμε από αυτήν την παρατήρηση; 19

21 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα συνεδρία πραγματεύεται σημαντικά ζητήματα όπως η κοσμογονία και αναφέρεται σε δύο γνωστά πρόσωπα της αρχαιότητας, τον Θαλή τον Μιλήσιο και τον βασιλιά της Λυδίας Κροίσο. Επιπλέον, παρουσιάζεται το (ήλεκτρο) με τις χρήσεις και τις ιδιότητες του καθώς και τα φυσικά φαινόμενα του ηλιοστασίου και της ισημερίας. Θαλής Ο Θαλής ήταν προσωκρατικός φιλόσοφος. Η παράδοση τον συγκαταλέγει ανάμεσα στους επτά σοφούς και τον περιγράφει ως άνθρωπο με πλατιές γνώσεις και μεγάλη επινοητικότητα. Πότε γεννήθηκε ο Θαλής; Ο Θαλή εκτιμάται ότι γεννήθηκε την 35 η Ολυμπιάδα και πέθανε στα 78 ή στα 90 έτη του. Αυτό σημαίνει ότι γεννήθηκε γύρω στο 636 π.χ και πέθανε το 558 ή 546 π.χ. Να μεταφράσετε τα γνωμικά του και να τα γράψετε σε πινακίδες: Eγγύα, παρά δ άτα (δώσε εγγύηση και η συμφορά θα σε βρεί) Γνώθι σ αυτόν Μηδέν άγαν (τίποτε υπερβολικό) Πρεσβύτατον τον όντων θεός αγέννητον γαρ. Κάλλιστον ποίημα γάρ θεού. Μέγιστον τόπος άπαντα γάρ χωρεί. Τάχιστον νους διά παντός γάρ τρέχει. Ισχυρότατον ανάγκη κρατεί γάρ πάντων. Σοφότατον χρόνος ανευρίσκει γάρ πάντα. Πότε έζησε ο Κροίσος; Τι γνωρίζετε για αυτόν; Ο βασιλιάς της Λυδίας Κροίσος (έζησε το 595 π.χ) ήταν ξακουστός σε όλο τον αρχαίο κόσμο για τα αμύθητα πλούτη του. H περιουσία του συνεχώς αυξανόταν από τους φόρους που εισέπραττε από τις ελληνικές αποικίες της Μ. Ασίας και από τα χρυσωρυχεία του Πακτωλού ποταμού. Τα πλούτη του ήταν τόσο πολλά ώστε πίστευε ότι δεν υπήρχε πιο ευτυχισμένος άνθρωπος από αυτόν στον κόσμο. Γι' αυτό παραξενεύτηκε και θύμωσε πολύ, όταν κάποτε πήγε στο παλάτι του ο Σόλων και όταν ο Κροίσος περηφανεύτηκε ότι είναι ο ευτυχέστερος άνθρωπος του κόσμου, εκείνος αποκρίθηκε: μηδένα προ του τέλους μακάριζε, δηλαδή, μην καλοτυχίζεις κανέναν προτού δεις το τέλος του. Στη συνέχεια της ζωής του πολλές συμφορές βρήκαν τον Κροίσο. Ο γιός του ο Άτυς σκοτώθηκε στο κυνήγι, ενώ ο ίδιος ηττήθηκε από τον βασιλιά των Περσών Κύρο και αιχμαλωτίστηκε. Τη στιγμή μάλιστα που τον έδεσαν και ήταν έτοιμοι να τον παραδώσουν στη φωτιά, ο Κροίσος θυμήθηκε τα λόγια του Σόλωνα και είπε τρεις φορές Σόλων! Σόλων! Σόλων!. Ηλιοστάσια Ηλιοστάσιο ονομάζεται η χρονική στιγμή κατά την οποία ο άξονας της Γης εμφανίζεται στραμμένος περισσότερο κοντά ή μακριά από τον Ήλιο. Αυτός ο ορισμός τοποθετεί τον Ήλιο να βρίσκεται στο βορειότερο ή στο νοτιότερο σημείο του ουρανού, δηλαδή το μεσημέρι, όπως εμφανίζεται σε εμάς πάνω στην επιφάνεια της Γης. Η λέξη προέρχεται από το ήλιος και το στέκομαι / στάση, επειδή κοντά 20

22 στα ηλιοστάσια ο Ήλιος φαίνεται να επιβραδύνει τη φαινομενική κίνησή του προς τα βόρεια ή προς τα νότια, μέχρι που την ημέρα του ηλιοστασίου αυτή η κίνηση μηδενίζεται και αντιστρέφεται. Με την ευρύτερη σημασία, ο όρος ηλιοστάσιο σημαίνει και την ημέρα κατά την οποία παρατηρείται αυτό το φαινόμενο, δύο φορές τον χρόνο, τον Ιούνιο και τον Δεκέμβριο. Τα ηλιοστάσια, όπως και οι ισημερίες, συνδέονται αναπόσπαστα με τις εποχές του έτους. Σε κάποιες χώρες ή γλώσσες θεωρείται ότι αρχίζουν ή διαχωρίζουν τις εποχές, ενώ σε άλλες το κέντρο τους. Ισημερία Ισημερία είναι το φαινόμενο κατά το οποίο η διάρκεια την ημέρας και της νύχτας είναι ίσες. Η εαρινή ισημερία γίνεται στις 21 ή 22 Μαρτίου. Η φθινοπωρινή ισημερία γίνεται στις 22 ή 23 Σεπτεμβρίου.* Επιστημονικά, Ισημερία ονομάζεται η αστρική ημέρα κατά την οποία το κέντρο του ήλιου απέχει ίσο χρονικό διάστημα από το πάνω και το κάτω μέρος του ορίζοντα. ** (Wikipedia) Αυτό το φαινόμενο λαμβάνει χώρα δύο φορές τον χρόνο, όποτε δηλαδή οι ακτίνες του Ηλίου πέφτουν κάθετα στον ισημερινό. Το φαινόμενο οφείλεται στην περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο και στην κλίση του άξονα περιστροφής της. Καθώς η Γη περιφέρεται γύρω από τον Ήλιο και επειδή ο άξονας περιστροφής της δεν είναι κάθετος στο επίπεδο περιφοράς, η διάρκεια της ημέρας αλλάζει. Φέτος (2012), η εαρινή ισημερία πραγματοποιείται στις 20 Μαρτίου στις 07:15 και η φθινοπωρινή ισημερία πραγματοποιείται στις 22 Σεπτεμβρίου στις 16:50. *Αυτές οι ονομασίες αφορούν στις περιοχές στην εύκρατη ζώνη του βορείου ημισφαιρίου καθώς στις αντίστοιχες ημερομηνίες στο νότιο ημισφαίριο υπάρχουν οι αντίθετες εποχές, ενώ στις δύο πολικές και στην τροπική ζώνη δεν υπάρχει αυτή η διαφοροποίηση εποχών, και κατά συνέπεια δεν ισχύουν τα παραπάνω. ** Γενικά, ως ορίζοντας χαρακτηρίζεται η κυκλική γραμμή που φαίνεται νοητά να αγγίζει ο ουράνιος θόλος τη Γη. Το Κεχριμπάρι και οι ιδιότητές του Το κεχριμπάρι είναι απολιθωμένο ρετσίνι, συνήθως, πεύκου. Το χρώμα, η ζεστασιά και οι ηλεκτρικές του ιδιότητες έχουν χαρίσει στο κεχριμπάρι φήμη προστατευτικής και μαγικής ουσίας. Έτσι δεν εκπλήσσει το γεγονός ότι χιλιάδες χρόνια τώρα καίγεται σαν λιβάνι κατά τη διάρκεια πνευματικών και θρησκευτικών τελετών. Όταν καεί, το κεχριμπάρι απελευθερώνει ευωδιαστό άρωμα πεύκου. Εξαιτίας την οργανικής του φύσης, το χρώμα του κεχριμπαριού συχνά ποικίλλει, ανάλογα με τον τύπο της ξένης ύλης που σκεπάστηκε με τον χυμό μετά από την έκκριση του φυτού: μπορεί να είναι κίτρινο ή να έχει τον χρυσό τόνο ή το χρώμα του μελιού με το οποίο είμαστε εξοικειωμένοι, αλλά και κόκκινο, μπλε και πράσινο ενώ μπορεί επίσης να είναι αδιαφανές. Το γνήσιο κεχριμπάρι απελευθερώνει μία ευωδία πεύκου όταν τσιμπηθεί με ζεστή βελόνα. Αντίθετα, το πλαστικό θα μυρίσει δυσάρεστα. Το 21

23 πραγματικό κεχριμπάρι είναι απαλό και ζεστό στο άγγιγμα, σε αντίθεση με το πλαστικό που είναι σκληρό και κρύο. Κοσμογονία Κοσμογονία είναι στη φιλοσοφία μια θεωρία προέλευσης του σύμπαντος, είτε θρησκευτικού, είτε μυθικού ή επιστημονικού χαρακτήρα. (Livepedia) Στη μυθολογία ειδικότερα, ο όρος γίνεται κατανοητός ως μυθική αφήγηση ή σώμα μύθων που σχετίζεται με τη δημιουργία του σύμπαντος. Διαφέρει από την επιστήμη της κοσμολογίας, ως προς το γεγονός ότι η δεύτερη στοχεύει στην κατανόηση της φυσικής συγκρότησης του σύμπαντος και των νόμων που το κυβερνούν. Ησίοδος: Θεογονία. Θαλής: Το νερό είναι η αρχή των πάντων, η Γη έχει τη μορφή κυκλικού δίσκου που στηρίζεται στο νερό. Αναξίμανδρος: Ο Αναξίμανδρος εξήγησε τη δημιουργία του κόσμου εκκινώντας από το άπειρο. Από το άπειρο ξεχώρισε μια φλόγα και ο νεφελώδης αέρας. Στον πυρήνα του νεφελώματος συμπυκνώθηκε η Γη. Έπειτα, η πύρινη σφαίρα εξερράγη και διαλύθηκε σε κύκλους με νεφελώδη αέρια. Οι κύκλοι απλώθηκαν και σχημάτισαν τα ουράνια σώματα. Ο Αναξίμανδρος θεωρεί πως τα άστρα είναι συμπυκνώσεις αερίων και πυρός. Τέλος έλαβε χώρα η αποξήρανση τμημάτων της Γης λόγω του Ήλιου. Ότι απέμεινε από αυτήν την αποξήρανση είναι η θάλασσα. Αναξιμένης: Η αρχή του κόσμου είναι ο αέρας, ο οποίος ποσοτικά είναι άπειρος και αυτό τον καθιστά την ανεξάντλητη πηγή του γίγνεσθαι. Επίσης, η ψυχή ταυτίζεται με τον αέρα. «Όπως η ψυχή μας, που είναι αέρας, μας συγκρατεί, έτσι και το πνεύμα και ο αέρας περιέχουν ολόκληρο τον κόσμο». Ηράκλειτος: Ο κόσμος για τον Ηράκλειτο δεν είναι αποτέλεσμα δημιουργίας ή γένεσης, αλλά προϋπάρχει προαιώνια και περιγράφεται ως ζωντανή φωτιά, η οποία εναλλάξ δυναμώνει και εξασθενεί, χωρίς ποτέ να σβήνει εντελώς. Αυτή η φωτιά ονομάζεται αείζωον πυρ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Σε αυτήν την εργασία βρήκαμε πότε γεννήθηκε και πέθανε ο Θαλής καθώς επίσης μεταφράσαμε τα γνωμικά του. Ύστερα βρήκαμε στοιχεία για τον Κροίσο και μετά συγκεντρώσαμε πληροφορίες για τις έννοιες της ισημερίας και των ηλιοστασίων, της κοσμογονίας για τις ιδιότητες του κεχριμπαριού. 22

24 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο πλαίσιο της φιλοσοφίας και της λογικής και σε συνδυασμό με τα μαθηματικά και τη γεωμετρία, αυτή η συνεδρία εξετάζει το θέμα της δημιουργίας. Με τη βοήθεια του Πλάτωνα και των στερεών του, θα δούμε ποιά είναι τα στοιχεία της δημιουργίας και πώς συνδέονται μεταξύ τους. Θα παρακολουθήσουμε τον τρόπο με τον οποίο ο μεγάλος Ελβετός μαθηματικός Leonard Euler απέδειξε τη μοναδικότητα του κάθε στερεού. Τέλος, θα δούμε πώς σχετίζεται η ψυχή με την αρμονία της μουσικής καθώς και τι είναι η δίεση και η οκτάβα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Πλάτων τεκμηριώνει τις φιλοσοφικές του απόψεις χρησιμοποιώντας με ουσιαστικό τρόπο τα μαθηματικά κι ιδιαίτερα την έννοια της αναλογίας (ή ισότητας λόγων). Ορισμός: Τα α, β λέμε ότι είναι ανάλογα προς τα γ, δ (ή ότι έχουν τον ίδιο λόγο) όταν: Οι α, δ ονομάζονται άκροι όροι ενώ οι β, γ μέσοι όροι της αναλογίας. Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε τη συνεχή ή αρμονική ή γεωμετρική αναλογία: Ο αριθμός β ονομάζεται μέση ανάλογος ή γεωμετρικός μέσος των α, γ. Οι α, β, γ και δ βρίσκονται σε συνεχή ή αρμονική αναλογία όταν: 23

25 3.1 Πλατωνικά Στερεά (Αναποφάσιστοι) Ο Πλάτων στον Τίμαιο (απόσπ. 53c-55d, 56d-56e) αναφέρει ότι τα στοιχεία της δημιουργίας αποτελούνται από στοιχειώδεις δομικούς λίθους και ότι κάποια μπορούν να μετασχηματίζονται σε άλλα. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ποιά είναι τα 5 πλατωνικά στερεά και ποιά αντιστοιχούν στα 4 στοιχεία της δημιουργίας; Ποιοί είναι οι δομικοί λίθοι των στοιχείων; Οι δομικοί λίθοι σχηματίζουν όλα τα πλατωνικά στερεά; Πώς κάποια από τα στοιχεία μετασχηματίζονται σε άλλα; Υπάρχουν αντιστοιχίες της πλατωνικής φιλοσοφίας με τις σύγχρονες αντιλήψεις για τη χημεία; Να παραστήσετε σχηματικά τα στερεά και τους δομικούς λίθους από τους οποίους αποτελείται το καθένα από αυτά και να απαριθμήσετε πόσοι και ποιοί δομικοί λίθοι χρειάζονται για να σχηματιστεί κάθε στοιχείο. 24

26 Γενικά για τα πλατωνικά στερεά: Τα πλατωνικά στερεά είναι όλα κυρτά κανονικά πολύεδρα, δηλαδή πολύεδρα με όλες τις ακμές τους ίσες, αλλά και όλες τις επίπεδες γωνίες των εδρών τους ίσες. Έχει αποδειχθεί ότι τέτοια υπάρχουν μόνον πέντε, τα οποία εξετάζονται στη συνέχεια. Ονομάζονται έτσι, καθώς αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης στην Ακαδημία του Πλάτωνα, όμως με αυτά ασχολήθηκαν πολλοί άλλοι γεωμέτρες της εποχής, όπως ο Ευκλείδης, ο οποίος αναφέρεται στα στερεά στο 13ο βιβλίο του. Σε εκείνο κάνει λόγο για την ύπαρξη στερεών με τις συγκεκριμένες ιδιότητες και αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα. Ποιά είναι τα 5 πλατωνικά στερεά και ποιά αντιστοιχούν στα 4 στοιχεία της δημιουργίας; Οι αρχαίοι Έλληνες θέλησαν να κατηγοριοποιήσουν τα πολύεδρα σε ομάδες σύμφωνα με κάποιες ιδιότητες που παρουσιάζουν. Σε μια από αυτές τις κατηγορίες ανήκουν το τετράεδρο, το εξάεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο. Οι κοινές ιδιότητες, που παρουσιάζουν, είναι ότι όλες οι έδρες τους είναι ίσα κανονικά πολύγωνα καθώς και οι πολυεδρικές τους γωνίες είναι ίσες. Κατά τον Πλάτωνα (γι αυτό ονομάζονται και πλατωνικά στερεά), το τετράεδρο συμβολίζει τη φωτιά, γιατί θεωρείται ότι είναι το πιο ευκίνητο, το πιο κοφτερό, οξύ και ελαφρύ. Το εξάεδρο συμβολίζει τη γη, γιατί στέκεται σταθερά στη βάση του. Το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα, γιατί περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από τον νοητό άξονα που διέρχεται από 2 απέναντι κορυφές του. Το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό, γιατί έχει τον μεγαλύτερο όγκο. Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το σύμπαν και αντιστοιχεί με το δωδεκάθεο και τον ζωδιακό κύκλο. Ποιοί είναι οι δομικοί λίθοι των στοιχείων; Οι δομικοί λίθοι των στοιχείων τα οποία εκφράζουν τα πλατωνικά στερεά είναι το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και το ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία 30 ο. Οι δομικοί λίθοι σχηματίζουν όλα τα πλατωνικά στερεά; Οι δομικοί λίθοι (το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο και το ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία 30 ο ) δεν σχηματίζουν όλα τα πλατωνικά στερεά. Σχηματίζουν μόνο τα τέσσερα από τα πέντε, αυτά δηλαδή που αντιστοιχούν στα στοιχεία της δημιουργίας. Το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο σχηματίζει τον κύβο (εξάεδρο), που αντιστοιχεί στη γη, ενώ από το ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία 30 ο αποτελούνται το τετράεδρο (φωτιά), το οκτάεδρο (αέρας) και το εικοσάεδρο (νερό). Το πέμπτο πλατωνικό στερεό, το οποίο δεν αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο της δημιουργίας και δεν σχηματίζεται από τους δομικούς λίθους, είναι το δωδεκάεδρο που συμβολίζει το δωδεκάθεο (αιθέρας) και τότε πίστευαν πως οι θεοί το χρησιμοποίησαν για τη δημιουργία του σύμπαντος. 25

27 Να παραστήσετε σχηματικά τα στερεά και τους δομικούς λίθους από τους οποίους αποτελείται το καθένα από αυτά και να απαριθμήσετε πόσοι και ποιοί δομικοί λίθοι χρειάζονται για να σχηματιστεί κάθε στοιχείο. Τετράεδρο (πυραμίδα) Για τον σχηματισμό της πυραμίδας χρειάζονται 4 ισόπλευρα τρίγωνα. Εξάεδρο (κύβος) Για τον σχηματισμό του κύβου χρειάζονται 6 τετράγωνα. 26

28 Οκτάεδρο Για τον σχηματισμό του οκταέδρου χρειάζονται 8 ισόπλευρα τρίγωνα. Δωδεκάεδρο Για τον σχηματισμό του δωδεκαέδρου χρειάζονται 12 κανονικά πεντάπλευρα. 27

29 Εικοσάεδρο Για τον σχηματισμό του εικοσαέδρου χρειάζονται 20 ισόπλευρα τρίγωνα. Πώς κάποια από τα στοιχεία μετασχηματίζονται σε άλλα; Ο Πλάτων περιγράφει μερικούς σχηματισμούς πλατωνικών στερεών ως εξής: 1. Πρώτον, το νερό, το οποίο ο Πλάτων παρουσίαζε σαν ένα εικοσάεδρο, μετατρέπεται σε δύο στοιχεία του αέρα, ο οποίος παρουσιαζόταν σαν οκτάεδρο, και ένα στοιχείο της φωτιάς, η οποία ήταν τετράεδρο. 1 εικοσάεδρο 2 οκτάεδρα + 1 τετράεδρο = = = Δεύτερον, δύο φωτιές (τετράεδρο) μετασχηματίζονται σε αέρα (οκτάεδρο). 2 τετράεδρα 1 οκτάεδρο = = Τέλος, πέντε φωτιές (τετράεδρο) μετασχηματίζονται σε νερό (εικοσάεδρο). 5 τετράεδρα 1 εικοσάεδρο = = 120 Υπάρχουν αντιστοιχίες της πλατωνικής φιλοσοφίας με τις σύγχρονες αντιλήψεις για τη χημεία; Στην πλατωνική φιλοσοφία, υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ των ιδιοτήτων των υλικών και των σχηματικών χαρακτηριστικών των στερεών με τα οποία αυτά σχετίζονται. Η αντίληψη αυτή ως προς την ύλη κυριαρχούσε ουσιαστικά για αιώνες, καθώς θεωρούσαν ότι οι ιδιότητες των υλικών είναι αποτέλεσμα της μορφής των σωματίων από τα οποία αποτελούνταν. Η άποψη αυτή καταρρίφθηκε με την εδραίωση των σύγχρονων θεωριών στη χημεία, όπως η ατομική θεωρία. 28

30 Το μοντέλο του Γαλιλαίου για την υποστήριξη του ηλιοκεντρικού πλανητικού συστήματος με τα πλατωνικά στερεά να περικλείονται μέσα σε σφαίρες. 29

31 3.2 Δημιουργία του Κόσμου (Ανώνυμο Τετράθεο) Ο Πλάτων στον Τίμαιο (απόσπ. 31c-32c) αναφέρει από ποιά στοιχεία έχει δημιουργηθεί ο κόσμος. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ποιά είναι τα θεμελιώδη στοιχεία της δημιουργίας και γιατί δεν επαρκούν; Πώς συνδέονται τα 4 στοιχεία της δημιουργίας και γιατί; Στο ίδιο έργο ο Πλάτων (απόσπ. 33b-34a) σχολιάζει το σχήμα του ζωντανού κόσμου λέγοντας ότι είναι το τελειότερο από τα άλλα σχήματα εννοώντας τα πλατωνικά στερεά. Στο (55e-56b) συσχετίζει τα στερεά με τα στοιχεία της δημιουργίας. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Ποιό είναι το τέλειο σχήμα, ποιά τα πλατωνικά στερεά και ποιά σχέση τα συνδέει; Πώς σχετίζονται τα 4 πλατωνικά στερεά με τα στοιχεία της δημιουργίας και γιατί; Τί ρόλο παίζει το 5 ο πλατωνικό στερεό; Τί λέει ο τύπος του Euler για τα πολύεδρα; Να τον εφαρμόσετε για την περίπτωση των πλατωνικών στερεών. Να αποδείξετε, με τη βοήθεια του παραπάνω τύπου, ότι υπάρχουν μόνο 5 τέτοια στερεά. 30

32 Ποιά τα θεμελιώδη στοιχεία της δημιουργίας και γιατί δεν επαρκούν; Τα θεμελιώδη στοιχεία είναι το χώμα και η φωτιά, αλλά χρειάζονται και αλλά για να τα συνδέουν. Αυτόν τον σκοπό υπηρετούν το νερό και ο αέρας. Πώς συνδέονται τα τέσσερα στοιχεία της δημιουργίας, και γιατί; Τα τέσσερα στοιχεία της δημιουργίας συνδέονται αρμονικά, δηλαδή με την ίδια αναλογία. Με αυτόν τον τρόπο το σύμπαν γίνεται ορατό και απτό. Από αυτό προκύπτει :, όπου χ=χώμα, φ=φωτιά, ν=νερό, α=αέρας (ενδεικτικός τύπος) Ποιό είναι το τέλειο σχήμα; Το τέλειο σχήμα είναι ο κύκλος και κατ επέκταση η σφαίρα, η οποία με το κέντρο της σε ίση απόσταση από όλα τα σημεία της περιφέρειάς της, ένα σχήμα, δηλαδή, που είναι τελειότερο από όλα τα άλλα και περισσότερο όμοιο με τον εαυτό του. Ποιά τα πλατωνικά στερεά; Τα πλατωνικά στερεά είναι: Τετράεδρο ή πυραμίς Εξάεδρο Οκτάεδρο Εικοσάεδρο Δωδεκάεδρο Ποιά σχέση τα συνδέει; Σύμφωνα με τον Πλάτωνα το τετράεδρο, το εξάεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο βρίσκοντα στο κέντρο του τελείου σχήματος, το οποίο είναι η σφαίρα, ως μικροσκοπικά σωματίδια τα οποία αποτελούν και τους δομικούς λίθους του κόσμου. Αυτά περιβάλλονται από το, κατά πολλούς, πέμπτο στοιχείο που είναι ο αιθέρας και μεσολαβεί μεταξύ του κόσμου και της σφαίρας. Πώς σχετίζονται τα 4 πλατωνικά στερεά με τα στοιχεί Ποιά τα στοιχεία της δημιουργίας και γιατί; Το τετράεδρο ή πυραμίς σχετίζεται με τη φωτιά, διότι η φωτιά χρειάζεται το πιο οξύ, το πιο ευκίνητο και το πιο ελαφρύ σχήμα. Το εξάεδρο ή κύβος σχετίζεται με το χώμα (γη), διότι είναι το πιο σταθερό σχήμα με τις πιο ασφαλείς βάσεις. Το οκτάεδρο σχετίζεται με τον αέρα, επειδή είναι το αμέσως πιο ελαφρύ και οξύ μετά την πυραμίδα, καθώς επίσης περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από τον νοητό άξονα που διέρχεται από τις απέναντι κορυφές του. Το εικοσάεδρο σχετίζεται με το νερό, διότι είναι το μεγαλύτερο σε όγκο. Το δωδεκάεδρο, το οποίο είναι ο αιθήρ και περιβάλλει τα πάντα, είναι η μεσάζουσα ουσία μεταξύ των στοιχείων και της σφαίρας, ενώ αντιστοιχεί και με το 31

33 δωδεκάθεο και τον ζωδιακό κύκλο. Συμβολίζει τον κόσμο και στα λατινικά είναι γνωστό ως quinta essential (η πέμπτη ουσία, πεμπτουσία). Ο Τύπος του Euler για τα πολύεδρα Τετράεδρο: Κύβος: Οκτάεδρο: Δωδεκάεδρο: Εικοσάεδρο : (1) Όπου Ε=έδρες, Κ=κορυφές, Α=ακμές Απόδειξη της μοναδικότητας των πλατωνικών στερεών Ένα κανονικό πολύεδρο έχει ν αριθμό πλευρών σε κάθε έδρα. Οι Ε έδρες έχουν συνολικά ν*ε πλευρές, οι οποίες ανά δύο τέμνονται για να δώσουν μία ακμή του πολυέδρου, άρα οι ακμές είναι: (2) Επίσης, κάθε έδρα του κανονικού πολυέδρου έχει ν κορυφές και το σύνολο όλων των εδρών του είναι ν*ε. Αν υποθέσουμε ότι αυτές ενώνονται ανά μ για να δώσουν μία γωνία του κανονικού πολυέδρου, που αντιστοιχεί σε κάθε κορυφή του, οι κορυφές είναι: (3) Αντικαθιστώντας τα Α και Κ στην (1) από τις (2) και (3), έχουμε: Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τις μεταβλητές μ και ν υπό την προϋπόθεση ότι ο παρονομαστής πρέπει να είναι θετικός αριθμός (2μ+2ν-μν >0) και οι έδρες πρέπει να είναι περισσότερες από τρείς (Ε >3). Οι λύσεις που ικανοποιούν όλες αυτές τις συνθήκες είναι οι εξής: - Για ν=3, το μ παίρνει τις τιμές μ=3, 4, 5 και το Ε= 4, 8, 20 αντίστοιχα, κανονικό τετράεδρο, οκτάεδρο και εικοσάεδρο. - Για ν=4, τότε μ=4 και Ε=6, δηλαδή με τετράγωνα σχηματίζεται μόνον ο κύβος. - Για ν=5, τότε μ=3 και Ε=12, δηλαδή με κανονικά πεντάγωνα σχηματίζεται μόνον το κανονικό δωδεκάεδρο. Αυτές είναι οι μόνες λύσεις που ικανοποιούν τους παραπάνω περιορισμούς, επομένως, υπάρχουν μόνο πέντε κανονικά πολύεδρα, τα οποία λέγονται και πλατωνικά στερεά. 32

34 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Από αυτή τη συνεδρία βγήκαν τα εξής συμπεράσματα: Τα θεμελιώδη στοιχεία της δημιουργίας είναι το χώμα, η φωτιά, το νερό και ο αέρας και συνδέονται αρμονικά. Υπάρχει και ένα πέμπτο, ο αιθήρ, η πεμπτουσία, το οποίο συμπληρώνει αλλά και συμπεριλαμβάνει όλα τα παραπάνω. Συμπεραίνουμε ότι κάθε στοιχείο της δημιουργίας εκπροσωπείται από ένα στερεό, ένα πολύεδρο. 33

35 3.3 Αρμονία της ψυχής (Πυθαγόρειοι) Στο απόσπασμα (35a-36c) του Τίμαιου περιγράφεται με ποιές αναλογίες έχει φτιαχτεί η ψυχή. Οι αναλογίες αυτές σχετίζονται με την Πυθαγόρεια θεωρία της Μουσικής Αρμονίας (Φιλόλαος: απόσπασμα 6, Νικόμαχος: Εγχειρίδιο Αρμονίας , Ιάμβλιχος: Βίος Πυθαγορικός ). Η θεωρία βασίζεται στο τετράχορδο που αποτελείται από 4 χορδές α, β, γ, δ με μήκη 6, 8, 9 και 12 αντίστοιχα. Όταν κρούσουμε τις χορδές α και δ, που έχουν λόγο 2:1, τότε παράγεται ένας ήχος που ονομάζεται διαπασών ή αρμονία. Όταν κρούσουμε τις χορδές (β, δ), που έχουν λόγο 3:2, τότε παράγεται ο ήχος δι οξείαν. Όταν κρούσουμε τις χορδές (γ, δ), που έχουν λόγο 4:3, τότε παράγεται η συλλαβή. Όταν κρούσουμε τις χορδές (β, γ), που έχουν λόγο 9:8, τότε παράγεται ο τόνος. Όταν κρούσουμε δυο χορδές με λόγο 256:243 τότε παράγεται η δίεση. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Να βρείτε από το απόσπασμα τις αναλογίες με τις οποίες έχει κατασκευαστεί η ψυχή. Να βρείτε το νόημα των λέξεων: νήτη, τρίτη (ή παράμεση ), μέση, υπάτη. Ποιό άλλο ζεύγος χορδών παράγει δι οξείαν και ποιο συλλαβή ; Ποιόν ήχο παράγουμε αν κρούσουμε τις χορδές (β, δ) και (γ, δ); Ποιά είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Ποιόν ήχο παράγουμε αν κρούσουμε τις χορδές (β, γ) και (γ, δ); Ποιά είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Ποιόν ήχο παράγουμε αν κρούσουμε δυο φορές τις χορδές (β, γ) και μια δίεση ; Ποιά είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Τι είναι η οκτάβα και πώς σχετίζεται με την αρμονία, τον τόνο και τη δίεση ; 34

36 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο έργο του Τίμαιος, ο Πλάτων περιγράφει τις αναλογίες από τις οποίες, όπως αυτός πίστευε, έχει κατασκευαστεί η ψυχή. Η θεωρία του βασίζεται στη μουσική και πιο συγκεκριμένα στο Πυθαγόρειο τετράχορδο - παρόμοιο του οποίου έχουμε κατασκευάσει (35a-36d). Παρακάτω θα απαντήσουμε σε κάποιες ερωτήσεις που συνδέονται με το απόσπασμα του κειμένου: Από ποιές αναλογίες έχει φτιαχτεί η ψυχή; [ ]O θεός δημιούργησε την ψυχή[ ]Την έφτιαξε μάλιστα πριν απ την ύλη και με τον τρόπο που θα σας περιγράψω [ ]έφτιαξε[ ]ένα μείγμα που το χώρισε σε όσα μέρη χρειαζόταν.[ ] Στη συνέχεια άρχισε να διαιρεί το μείγμα ως εξής: Πρώτα χώρισε ένα μέρος απ ολόκληρο το μείγμα : Ύστερα χώρισε διπλάσια ποσότητα απ αυτήν: Τρίτο, χώρισε ποσότητα μιάμιση φορά μεγαλύτερη από τη δεύτερη και τριπλάσια απ την πρώτη : Τέταρτο πήρε διπλάσια ποσότητα από τη δεύτερη: Πέμπτο χώρισε ποσότητα τριπλάσια από την τρίτη: Έκτο, πήρε ποσότητα οκταπλάσια από την πρώτη : Και έβδομο χώρισε ποσότητα είκοσι επτά φορές περισσότερο από την πρώτη: Στη συνέχεια γέμισε τα κενά με λόγο το δύο και με λόγο το τρία : χωρίζοντας κι άλλες ποσότητες από το αρχικό μείγμα και βάζοντάς τες στη μέση των παραπάνω αναλογιών, με τρόπο ώστε να υπάρχουν δύο μέσοι όροι : Να βρείτε τη σημασία των λέξεων: νήτη, τρίτη (ή παράμεση ), μέση, υπάτη. Στην αρχαία ελληνική μουσική δινόταν ονόματα στις χορδές ανάλογα με τη θέση τους στο όργανο. Αργότερα η λέξη χορδή έγινε, με τη συνεχή και πρακτική χρήση συνώνυμη του φθόγγου. Έτσι, αυτά τα ονόματα χρησιμοποιούνταν χωρίς διάκριση τόσο για τις χορδές, όσο και για τους αντίστοιχους φθόγγους. Όταν η λύρα έγινε οκτάχορδη τα ονόματα ήταν τα εξής: Νήτη, νεάτη (=χαμηλότατη): η ψηλότερη νότα παρανήτη: η αμέσως πιο κάτω από τη νήτη Τρίτη: η τρίτη από πάνω προς τα κάτω παραμέση: η πλαϊνή της μέσης προς τα πάνω μέση: η κεντρική νότα λιχανός: η χορδή που παιζόταν με τον λιχανό, τον δείκτη παρυπάτη: η πλαϊνή της υπάτης προς τα πάνω υπάτη (=υψίστη): η πιο χαμηλή νότα. (Wikipedia) 35

37 Ποιό άλλο ζεύγος χορδών παράγει δι οξείαν και ποιό συλλαβή ; (όπου α,β,γ,δ τα μήκη των χορδών) Συλλαβή Δι οξείαν Ποιόν ήχο παράγουμε εάν κρούσουμε τις χορδές (β,δ) και (γ, δ); Ποιά είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Δι οξείαν Συλλαβή Ποιόν ήχο παράγουμε εάν κρούσουμε τις χορδές (β,γ) και (γ, δ); Ποιά είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Τόνος Συλλαβή Ποιόν ήχο παράγουμε εάν κρούσουμε δύο φορές τις χορδές (β,γ) και μία δίεση; Ποια είναι η αντίστοιχη αριθμητική σχέση; Αν κρούσουμε δύο φορές τις χορδές (β, γ) και μία δίεση έχουμε δύο τόνους και ένα ημιτόνιο (δηλ. 2,5 τόνους). Τι είναι η οκτάβα και πώς σχετίζεται με τον τόνο, την αρμονία και τη δίεση ; Οκτάβα είναι η ηχητική απόσταση ανάμεσα στον πρώτο και τον τελευταίο ήχο/νότα μιας οκτάφθογγης κλίμακας. 36

38 Άρα έχουμε: Τ, Τ, Η, Τ, Τ, Τ, Η= Δηλαδή την αρμονία. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Από αυτή τη μικρή μελέτη διαπιστώνουμε πως τα μαθηματικά συνδέονται στενά με τη μουσική. Ακόμη, βλέπουμε ότι ο Πλάτων και, κατά συνέπεια πολλοί αρχαίοι Έλληνες, θεωρούσαν την ψυχή ως ένα υλικό μίγμα που προκύπτει από τη μουσική θεωρία. 37

39 ΑΠΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 4.1 Το παράδειγμα του δούλου (Πυθαγόρειοι) Ο Πλάτων σε όλα τα έργα του (εκτός από τους Νόμους) ακολουθεί διαλογική μορφή. Θα λέγαμε ότι αυτή είναι και η πρώτη μορφή του δοκιμίου. Σε όλα, λοιπόν, τα έργα του πρωταγωνιστής είναι ο δάσκαλός του, ο Σωκράτης και, αφού ο τελευταίος δεν έχει γράψει τίποτε, πολλοί είναι αυτοί που λένε ότι δεν υπήρξε ποτέ και κάποιοι άλλοι οι οποίοι προσπαθούν να διακρίνουν μέχρι πού φθάνει η θεωρία του Σωκράτη και σε ποιό σημείο αρχίζουν οι απόψεις του Πλάτωνα. Ο Σωκράτης - και μεταφέρει αυτές τις αντιλήψεις μέχρι σήμερα μέσα από το έργο του ο Πλάτων - πιστεύει ότι η γνώση υπάρχει μέσα μας, αρκεί να την ανακαλύψουμε ή όπως λέει να την ανακαλέσουμε στη μνήμη μας. Δηλαδή, πιστεύει ότι η ψυχή φέρει τις γνώσεις όλες και όταν ενσαρκώνεται για να ζήσει μια καινούργια ζωή πρέπει να τις ανακαλέσει πάλι από την αρχή. Πώς μπορεί να γίνει αυτό; Είτε ακολουθώντας την παιδευτική διαδικασία μέσα από όλες τις βαθμίδες εκπαίδευσης είτε με κάποιον έμπειρο καθοδηγητή, ο οποίος με τις κατάλληλες ερωτήσεις θα φέρει στην επιφάνεια τις γνώσεις αυτές. Διαβάστε προσεκτικά το απόσπασμα με το παράδειγμα του δούλου, ο οποίος με την καθοδήγηση του Σωκράτη, απαντάει σωστά σε όλες τις ερωτήσεις και αποδεικνύεται έτσι ότι γνωρίζει μαθηματικά. Ελέγξτε τις ερωτήσεις και τις απαντήσεις: αποδεικνύεται η θέση του Σωκράτη (ή του Πλάτωνα); (Από το βιβλίο της S. Cuomo, Αρχαία Μαθηματικά, σελ ) 38

40 ΓΕΝΙΚΑ Στον διάλογό του Μένων, ο Πλάτων έχει καταγράψει έναν διάλογό του Μένονα με τον Σωκράτη ο οποίος προσπαθεί να του αποδείξει ότι η γνώση υπάρχει ήδη μέσα στον άνθρωπο, απλώς κατά τη διάρκεια της επίγειας ζωής του την ανακαλεί. Αρκεί κάποιος να τον οδηγήσει σε αυτήν με κατάλληλες ερωτήσεις. Για να το αποδείξει αυτό λοιπόν ο Σωκράτης παίρνει έναν νεαρό αγράμματο δούλο και του θέτει κάποιες κατάλληλες ερωτήσεις. Αποδεικνύεται η θέση του Σωκράτη; Ο δούλος πράγματι αντεπεξέρχεται, αν και τις περισσότερες φορές ο Σωκράτης ο ίδιος δίνει την προφανή λύση και εκείνος απαντά με ένα ναι - κάποιες φορές με μικρό δισταγμό - ή με ένα όχι. Πάντως ο νεαρός δείχνει και τότε πως πράγματι έχει καταλάβει. Μάλιστα, κάποια φορά που ο Σωκράτης πήγε να τον παγιδεύσει, - ή πιο καθημερινά να μπλοφάρει - εκείνος διέκρινε το προφανές και ανταποκρίθηκε σωστά. 39

41 4.2 Αριστοτέλης: υποκειμενικό - αντικειμενικό, μεσότητα (Αναποφάσιστοι) Ας δούμε τώρα τι λέει ο Αριστοτέλης στα Ηθικά Νικομάχεια: Ισχυρίζεται λοιπόν ότι για να γίνει κάποιος δίκαιος και ενάρετος πολίτης πρέπει να συνηθίσει να κάνει δίκαιες και ενάρετες πράξεις. Μέσα από την έξη κατακτάται η αρετή. Για τον Αριστοτέλη, οι δίκαια πράττοντες και οι σώφρονα πράττοντες προέρχονται από τον πολιτικό χώρο. Για τον φιλόσοφο ηθική και πολιτική ταυτίζονται. Τέλεια κοινωνία είναι η πολιτεία (πόλις - κράτος). Σκοπός πρωταρχικός της πολιτείας είναι η αυτάρκεια και το ζην. Όταν αυτοί οι βασικοί στόχοι επιτευχθούν, που σημαίνει ότι η κοινωνική ομάδα έχει περάσει το στάδιο επιβίωσης, αναγκαίος επόμενος στόχος είναι το ευ ζην, η διαβίωση, δηλαδή η ευδαιμονία των πολιτών. Αφού η αρετή είναι το κύριο στοιχείο της ευδαιμονίας, πρώτιστο έργο της πολιτείας, κατά τον Αριστοτέλη, είναι η αγωγή του πολίτη. Επομένως: Κύριος στόχος της πολιτείας η ευδαιμονία. Η επιδίωξη της αρετής οδηγεί στην ευδαιμονία. Η πολιτεία με την αρετή οδηγεί στην ευδαιμονία. (αποτελεί συλλογισμό: προκείμενες και συμπέρασμα) Ποιος είναι ο κατηγορικός συλλογισμός; Πώς μπορούμε να διατυπώσουμε ένα επιχείρημα (παραγωγικός - επαγωγικός συλλογισμός); Πρέπει να επισημάνουμε ότι η αριστοτελική πολιτειολογία συμπίπτει με αυτήν του Πλάτωνα. Και οι δύο πιστεύουν ότι η πολιτεία πρέπει να εκπαιδεύσει τους πολίτες κατά τέτοιον τρόπο, ώστε να επιτευχθεί μια συμβίωση στηριγμένη σε ηθική βάση. Ο Πλάτων είναι προσανατολισμένος στο επέκεινα σύμφωνα με τη θεωρία των ιδεών, ενώ ο Αριστοτέλης αναζητά την ιδανική πολιτεία στη συγκεκριμένη πραγματικότητα, όπως απορρέει από τη μελέτη των συγχρόνων πολιτευμάτων. Η αρετή κινείται ανάμεσα στη γένεση και στη φθορά, που ήταν κοινός τόπος και για τους δύο φιλοσόφους. ΠΛΑΝΟ Ηθική αρετή Ηθική πράξη Νομοθέτες «ποιούσι τους πολίτας αγαθούς εθίζοντες» Άλλοι τεχνίτες άσκηση εθισμός γνώση Σημασία της διδασκαλίας 40

42 Ο Αριστοτέλης, με την επαγωγική μέθοδο, καταλήγει: H επανάληψη καλών και κακών τρόπων συμπεριφοράς δημιουργεί τις καλές ή κακές συνήθειες (έξεις). Οι έξεις είναι τα εν τη ψυχή γινόμενα. Άλλα στοιχεία είναι τα πάθη και οι δυνάμεις. Έξις: τρόπος συμπεριφοράς. Πάθη: επιθυμία, φόβος, οργή, φθόνος. Δυνάμεις: δυνατότητες της ψυχής να τα αισθανθούμε. Επομένως, η αρετή είναι το τρίτο από τα εν ψυχή γινόμενα, η έξις. «διο δει τας ενεργείας έξεις»: Την ποιότητα των έξεων καθορίζει η ποιότητα των ενεργειών. Στην επιλογή των ενεργειών ( πολλάκις πράττειν ) έχει μεγάλη σημασία η προαίρεση, η βούληση του ατόμου. Α = Β, Β = Γ => Α = Γ: Η ποιότητα των έξεων καθορίζεται από την ποιότητα των ενεργειών. Η επιλογή των ενεργειών σχετίζεται με τη βούληση. ΑΡΑ η βούληση καθορίζει την ποιότητα των έξεων. Ποια ιδιότητα από τα Μαθηματικά ανακαλείτε και σε αυτόν τον συλλογισμό; Για παράδειγμα, αν τα δέκα είναι πολλά και τα δύο λίγα, τα έξι τα θεωρούν μέσο σε σχέση με το πράγμα, γιατί αυτό υπερέχει και υπερέχεται κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων, και αυτό είναι το μέσον σύμφωνα με τις διδασκαλίες της αριθμητικής. Αυτό όμως σε σχέση με μας δεν πρέπει να οριστεί κατά τον ίδιο τρόπο. Γιατί, αν για κάποιον είναι πολύ να φάει δέκα μερίδες, ενώ δύο είναι λίγο, ο προπονητής των αθλητών θα ορίσει (να τρώνε) έξι μερίδες γιατί αυτό ίσως είναι πολύ γι αυτόν που θα το λάβει ή λίγο για τον Μίλωνα είναι λίγο, γι αυτόν όμως που αρχίζει τη γυμναστική είναι πολύ. Το ίδιο συμβαίνει με το τρέξιμο και την πάλη. Έτσι κάθε ειδήμων αποφεύγει την υπερβολή και την έλλειψη, επιδιώκει το μέσον και αυτό προτιμά, και το μέσον δεν είναι σε σχέση με το πράγμα αλλά σε σχέση με εμάς. (Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια) Ο Αριστοτέλης επιχειρεί να προσδιορίσει την έννοια της μεσότητας, ώστε να καταλήξει στο βασικό του συμπέρασμα ότι η αρετή είναι μεσότητα. Πρώτα ενδιαφέρεται να την προσδιορίσει αριθμητικά: Ή να διαιρεθεί σε δύο ίσα τμήματα. Ή σε δύο άνισα, έλαττον (μικρότερο) και μείζον. κατ' αυτό το πράγμα = αντικειμενικός προς ημάς = υποκειμενικός (είναι όροι που αναφέρονται πρώτη φορά και έπειτα επαναλαμβάνονται) Βλέπουμε ότι ο Αριστοτέλης επιχειρεί να διαμορφώσει φιλοσοφική ορολογία. Ο Κ. Τσάτσος αναφέρει χαρακτηριστικά για τη μεσότητα: Η μεσότητα είναι εύκολο να βρεθεί όπου χωράει μαθηματική σκέψη, όπου η μεσότητα προσδιορίζεται από καθαρά αντικειμενικά στοιχεία. Αλλά όταν τη μεσότητα αυτή την αναζητάμε με βάση ένα υποκειμενικό δεδομένο, η εύρεσή της είναι δύσκολη. Πώς θα περιγράφατε εσείς αυτούς τους όρους με δικά σας λόγια; Μπορείτε να δώσετε δικά σας παραδείγματα; Ποιοί είναι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τους όρους υποκειμενικός-αντικειμενικός; 41

43 Ποιός είναι ο κατηγορικός συλλογισμός; Πώς μπορούμε να διατυπώσουμε ένα επιχείρημα; (παραγωγικός-επαγωγικός συλλογισμός) Κατηγορικός είναι ο συλλογισμός στον οποίο οι προκείμενες, δηλαδή οι επιμέρους προτάσεις από τις οποίες συνάγεται το συμπέρασμα, είναι κατηγορικές (απόλυτες) προτάσεις, δεν θέτουν κάποιον όρο (υπόθεση ή διάζευξη). Για τη διατύπωση ενός επιχειρήματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε παραγωγικό, επαγωγικό ή αναλογικό συλλογισμό. Στον παραγωγικό συλλογισμό η σκέψη κινείται από το γενικό στο μερικό, ενώ αντίθετα στον επαγωγικό συλλογισμό η σκέψη από το μερικό οδηγείται στο γενικό. Τέλος, υπάρχει και ένας ακόμα τρόπος συλλογισμού, ο αναλογικός, στον οποίο η σκέψη κινείται από κάτι το μερικό σε κάτι επίσης μερικό. Ποιά ιδιότητα από τα μαθηματικά ανακαλείτε σε αυτόν το συλλογισμό; (Α=Β, Β=Γ => Α=Γ) Σε αυτόν τον συλλογισμό γίνεται χρήση της μαθηματικής συνεπαγωγής, κατά την οποία δύο ισχυρισμοί είναι τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο ένας, αληθεύει και ο άλλος. Στην προκειμένη Α=Β και Β=Γ συνεπάγεται ότι Α=Γ. Πώς θα περιγράφατε εσείς αυτούς τους όρους (αντικειμενικότητα, υποκειμενικότητα) με δικά σας λόγια; Μπορείτε να δώσετε δικά σας παραδείγματα; Ποιοί είναι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τους όρους υποκειμενικόςαντικειμενικός; Αντικειμενικότητα είναι το να περιγράφουμε κάτι γενικά, με έναν ενδιάμεσο τρόπο, έτσι ώστε να υπάρχει μεσότητα που να καλύπτει όλες τις οπτικές γωνίες του θέματος. Ο ομιλητής δεν λέει τη γνώμη του, ούτε παίρνει κάποια θέση στην περιγραφή, αντίθετα περιγράφει το αντικείμενο αυτό καθ αυτό. Υποκειμενικότητα είναι το να περιγράφουμε κάτι με βάση τη σχέση που έχει με εμάς, με το πώς το αντιλαμβανόμαστε. Μιλάμε γι αυτό όπως το βλέπουμε από τη δικιά μας οπτική γωνία και με βάση τα συναισθήματα που μας προξενεί. Παραδείγματα: 1. Έστω ότι γίνεται ένα τρακάρισμα ανάμεσα σε δυο αυτοκίνητα και θέλουμε περιγραφή του γεγονότος. Οι δύο οδηγοί που βρίσκονταν στα αυτοκίνητα θα περιγράψουν διαφορετικά το γεγονός, ο καθένας από τη δική του οπτική γωνία, ανάλογα με τα συμφέροντά του, αλλά και το πώς το αντιλήφτηκε. Δηλαδή ο τρόπος περιγραφής των οδηγών είναι υποκειμενικός. Αν θέλουμε να καταλάβουμε ακριβώς τι συνέβη θα πρέπει να ρωτήσουμε ένα περαστικό που βρισκόταν στο σημείο που έγινε το ατύχημα. Ο περαστικός δεν συμμετείχε στο τρακάρισμα, επομένως θα περιγράψει το γεγονός αυτό καθ αυτό όπως το είδε, δηλαδή αντικειμενικά. 2. Μια ταινία μπορεί να χαρακτηριστεί αντικειμενικά ως πολύ καλή και να έχει πάρει βραβεία. Ωστόσο υποκειμενικά μπορεί σε άλλους να αρέσει και σε άλλους όχι. 3. Ένας άνθρωπος αντικειμενικά είναι μέτριος σε ανάστημα. Ωστόσο υποκειμενικά μπροστά σε έναν κοντό φαίνεται ψηλός, ενώ μπροστά σε έναν ψηλότερο φαίνεται κοντός. 42

44 Οι παράγοντες που διαμορφώνουν τον όρο αντικειμενικός είναι η ικανότητα παρατήρησης, καταγραφής και επεξεργασίας, η αποστασιοποίηση των συναισθημάτων και των συμφερόντων, το μέτρο, η μεσότητα και η λογική. Οι παράγοντες που διαμορφώνουν τον όρο υποκειμενικός είναι η μόρφωση και η παιδεία του καθενός, τα συναισθήματα και ο χαρακτήρας, το περιβάλλον στο οποίο έχει μεγαλώσει και η οπτική γωνία, θέση του καθενός. 43

45 4.3 Φαίδων: μαθηματική και καθαυτό ισότητα (Ανώνυμο Τετράθεο) Στον Φαίδωνα του Πλάτωνα παρατίθεται το παρακάτω επιχείρημα: Ο κόσμος αποτελείται από εναντία, δηλαδή αντίθετα στοιχεία, όπως θερμό - ψυχρό, μεγάλο - μικρό, καλό - κακό. Όταν λοιπόν κάτι γίνεται μεγαλύτερο, προηγουμένως ήταν μικρότερο όταν γίνεται θερμότερο, πρέπει να ήταν ψυχρότερο όταν γίνεται καλύτερο, πρέπει να ήταν χειρότερο κ.ο.κ. Μπορούμε λοιπόν να πούμε γενικά πως ότι συμβαίνει, συμβαίνει από το αντίθετό του και ότι σε κάθε ζεύγος αντιθέτων αντιστοιχούν δύο αντιθετικές διεργασίες γένεσης. Το θερμό και το ψυχρό είναι αντίθετα αντίστοιχα υπάρχουν οι δύο αντίρροπες διεργασίες της θέρμανσης και της ψύξης. Όλα αυτά ισχύουν επίσης για τη ζωή και τον θάνατο. Το να είναι κανείς ζωντανός και το να είναι νεκρός αποτελούν αντίθετα, ακριβώς όπως η εγρήγορση και ο ύπνος. Αλλά συμφωνήσαμε ότι όλα προέρχονται από το αντίθετό τους. Άρα οι ζωντανοί πρέπει να προέρχονται από τους νεκρούς και οι νεκροί από τους ζωντανούς όπως λοιπόν και στα άλλα, πρέπει να υπάρχουν επίσης δύο αντίθετες διεργασίες, αντίστοιχες των δύο αντιθέτων καταστάσεων, της ζωής και του θανάτου. Αυτήν την αντίληψη την παίρνει από τον Ηράκλειτο, ως θεμελιακή αρχή της φιλοσοφίας του: οι αντίθετες έννοιες βρίσκονται σε ρητή συστοιχία. Ως δεύτερο επιχείρημα αναφέρει τη διδασκαλία βάσει της ανάμνησης: Ο Σωκράτης ισχυρίζεται ότι όταν λέμε ότι μάθαμε μια αλήθεια είναι στην πραγματικότητα ενθύμηση κάποιου λησμονημένου πράγματος. Αν αυτό αληθεύει, τότε κάποτε πρέπει να ξέραμε όλα όσα χρειάζεται να μας υπενθυμίζονται σε τούτη τη ζωή. Οι ψυχές μας πρέπει να υπήρχαν πριν γίνουμε άνθρωποι και συνεπώς εύλογα μπορούμε να υποθέσουμε ότι ίσως συνεχίσουν να υπάρχουν και αφού χάσουμε αυτήν την ιδιότητα. Ας εξετάσουμε την εξής περίπτωση: Στα μαθηματικά μιλάμε διαρκώς για ισότητα, όχι την ισότητα μιας πέτρας με μία άλλη, ή μιας ξύλινης ράβδου με μία άλλη, αλλά για το αυτό το ίσον, δηλαδή την καθαυτό ισότητα. Ας δούμε το παράδειγμα: Ας παρατηρήσουμε δύο πέτρες ή δύο ράβδους. Η σχέση μπορεί να είναι ίσες μεταξύ τους ή άνισες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή διαφοροποιούνται η μαθηματική ισότητα από την καθαυτό ισότητα. Ο μαθηματικός αντιλαμβάνεται τα αντικείμενα και εκφράζεται γι αυτό χρησιμοποιώντας ειδικά όργανα, αν επιχειρήσει να τα διακρίνει με το μάτι ή με το χέρι, τότε η προσέγγισή του θα είναι ατελής. Έστω δύο ράβδοι Α και Β. Λέμε ότι το Α μας θυμίζει το Β. Η δήλωση αυτή δεν μπορεί να είναι ακριβής και σωστή γιατί το Α δεν είναι δυνατόν να μας θυμίζει το Β αν δεν γνωρίζουμε το Β (αν δεν έχει γίνει αντιληπτό από τις αισθήσεις μας το Β). Προσπαθήστε να διατυπώσετε τις διαφορές ανάμεσα στη μαθηματική ισότητα και την καθαυτό ισότητα. Εξετάστε και διατυπώστε όσο αναλυτικά μπορείτε ποια ήταν η μορφή της γνώσης (του επιστητού) κατά την περίοδο που συζητάμε. Λάβετε υπ όψιν σας τί σημαίνει φιλοσοφία και τί σημαίνει επιστήμη. Τί σπούδαζαν οι σπουδαστές των φιλοσοφικών σχολών της αρχαιότητας (Ακαδημία, Περιπατητική Σχολή, Ποικίλη Στοά); Ποιούς κλάδους διακρίνετε; Έτσι, για παράδειγμα σε ποιόν τομέα επικεντρώθηκαν οι Πυθαγόρειοι; Μελετείστε τώρα τα συμπεράσματα του Πλάτωνα: Μέχρι τώρα οι συλλογισμοί μας αφορούν τα ειδικά αντικείμενα μελέτης του μαθηματικού. Ισχύουν όμως και για όλα τα ιδανικά πρότυπα, όπως της ηθικής, δηλαδή το καλό και το δίκαιο. Ισχύουν και για οτιδήποτε ο Σωκράτης και οι φίλοι/μαθητές του ονόμαζαν είδος. Και εδώ τίθεται η θεωρία των ιδεών: δεν θα μπορούσαμε να ανακαλέσουμε τα είδη, που 44

46 αναφέρθηκαν πριν, αν οι αισθήσεις μας δεν τα υποδήλωναν. Οι ιδέες υπάρχουν στις ουράνιες σφαίρες, στον πραγματικό κόσμο και οι αισθήσεις μας επιχειρούν να μας τις φέρουν πιο κοντά. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της ενθύμησης είναι ότι οι εμπειρίες των αισθήσεων υποδηλώνουν πρότυπα από τα οποία οι ίδιες διαφέρουν: π.χ. οι οπτικές εντυπώσεις για ένα αντικείμενο αποκλείεται να είναι ακριβείς. Καμία ορατή ράβδος δεν είναι απολύτως ευθεία. Το αισθητό πράγμα υστερεί πάντα και αδυνατεί να αποτελέσει πλήρη ολοκλήρωση της ιδέας, επομένως τα αισθητά θεωρούνται απομιμήσεις του είδους. Ο Σωκράτης καταλήγει με τα επιχειρήματα αυτά ότι αποδεικνύεται η προΰπαρξη της ψυχής και οι ψυχές των νεκρών συνεχίζουν να υπάρχουν. Απλά το νήπιο μέσα μας, που φοβάται το σκοτάδι, δεν καθησυχάζεται έτσι εύκολα. Μελετείστε: αναλογικά με την καθαυτό ισότητα, την καθαυτό δικαιοσύνη και την καθαυτό ευθύτητα, την καθαυτό αρετή. Οι ιδέες μένουν σταθερές; Να επιχειρήσετε να διατυπώσετε στα πλαίσια των αντιθέτων ζευγών και το ζεύγος στο οποίο ανήκει η ψυχή. 45

47 ΓΕΝΙΚΑ Η μαθηματική ισότητα έχει να κάνει με μετρήσιμες ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος, το βάρος. Η καθαυτό ισότητα αφορά ποιοτικές ιδιότητες, δηλαδή εφ όσον δύο αντικείμενα ορίζονται με τον ίδιο τρόπο, είναι μεταξύ τους ίσα. Προκειμένου να καταλήξουμε σε μαθηματικές ισότητες γίνεται χρήση ειδικών εργαλείων, κάτι που δεν συμβαίνει για την καθαυτό ισότητα. Όταν έχουμε ισότητα δυο μαθηματικών αντικειμένων δηλαδή μιλάμε για μαθηματική ισότητα, τότε μιλάμε για πλήρη ταύτιση των αντικειμένων ενώ στην καθαυτό ισότητα εξετάζουμε πιο γενικά τα αντικείμενα. Φιλοσοφία Αρχικά θα αναφερθούμε στην έννοια της φιλοσοφίας. Φιλοσοφία είναι η αγάπη για τη σοφία (ετυμ. φιλώ + σοφία). Τι είναι σοφία όμως; Σοφία, κατά τον Πλάτωνα, είναι η μελέτη της ζωής. Αναλυτικότερα, η φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με θεμελιώδη προβλήματα/ερωτήματα, όπως αυτά της ύπαρξης, της αξίας, της γνώσης, της αιτίας, του νου και προσπαθεί να συνδέσει τον άνθρωπο ως ον με τον υλικό κόσμο. Διακρίνεται από τον κριτικό τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων και την υποστήριξη θεωριών με λογικά επιχειρήματα. Επιστήμη Επιστήμη ονομάζεται η έννοια της τεκμηριωμένης και ακριβούς γνώσης. Η γνώση εκείνην την περίοδο αφορούσε στην ανάλυση του ορατού για αυτούς κόσμο καθώς και στη σχέση του ανθρώπου με τον θάνατο. Επίσης, οι τότε φιλόσοφοι προσπαθούσαν να συνδέσουν τον άνθρωπο με τον υλικό κόσμο. Ως επί το πλείστον συνέκριναν την ύλη με ύλη και τέλος προσπάθησαν να αποδώσουν φυσικές έννοιες σε μαθηματικές σχέσεις. Περιπατητική Σχολή Ο Αριστοτέλης απάντησε στο κάλεσμα του βασιλιά Φιλίππου της Μακεδονίας (το 342 π.χ.) και ανέλαβε την εκπαίδευση του υιού του Αλέξανδρου. Όταν αυτός ξεκίνησε την εκστρατεία του, ο Αριστοτέλης επέστρεψε πίσω στην Αθήνα όπου και βρήκε όλους τους κομβικούς δημόσιους χώρους κατειλημένους από άλλους φιλοσόφους. Αποφάσισε τότε να φιλοσοφεί περπατώντας. Γι αυτό η σχολή του ονομάστηκε περιπατητική και οι οπαδοί του περιπατητικοί φιλόσοφοι. Στωικοί Ο Στωικισμός αποτελεί μία σημαντική φιλοσοφική σχολή των Ελληνιστικών και Ρωμαϊκών χρόνων (300 π.χ. - περίπου 250 μ.χ.), που ιδρύθηκε στην Αθήνα από τον Ζήνωνα τον Κιτιέα με κέντρο την Ποικίλη Στοά από όπου και πήρε το όνομά της η Σχολή. Κατά τους στωικούς, η ανθρώπινη φύση είναι τμήμα της παγκόσμιας φύσης, η οποία καθοδηγείται και κυβερνάται από τον συμπαντικό νόμο της λογικής. Ο άνθρωπος, ως έλλογο ον, συγγενεύει όχι μόνο με τα άλογα ζώα αλλά και με τους Θεούς και πέραν του ενστίκτου διαθέτει και ηθική αίσθηση. (Wikipedia) Οι επιστήμες, που κυριάρχησαν εκείνην την εποχή, ήταν η φιλοσοφία και οι κλάδοι της και τα μαθηματικά και οι κλάδοι αυτών. Αναλυτικότερα η φιλοσοφία αναλύεται στη φιλοσοφία της κοσμογονίας (προέλευσης του κόσμου), της ηθικής, η οποία έχει να κάνει με το αν πρέπει ο άνθρωπος να υιοθετεί έναν συγκεκριμένο τρόπο δράσης - να ακολουθεί κάποιους κανόνες - και τη φιλοσοφία της αισθητικής, δηλαδή τη φιλοσοφία που ασχολείται με προβλήματα που αφορούν το καλό, το κακό, το ωραίο και τα αντίστροφα τους. 46

48 Πυθαγόρειοι Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν μεγάλη σημασία στα μαθηματικά καθώς πίστευαν πως αυτά οδηγούν στην απελευθέρωση της ψυχής. Ο αριθμός κατά τους πυθαγόρειους είναι κάτι αντιληπτό από τη νόηση και όχι από τις αισθήσεις. Κάτι αισθητικά αντιληπτό φθείρεται μέσα στον χρόνο αντίθετα με τους αριθμούς, άρα οι αριθμοί δεν ανήκουν στον κόσμο της αίσθησης αλλά σε αυτόν της νόησης και, κατά συνέπεια, δεν μπορούμε να τους συλλάβουμε με τις αισθήσεις μας. Τέλος οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν ότι η ψυχή δεν χάνεται με τον θάνατο, αλλά μετενσαρκώνεται σε κατώτερης ή ανώτερης μορφής οντότητες μέχρι να επιτευχθεί η τελική κάθαρση. Στο βιβλίο του Πλάτωνα Φαίδων εξιστορούνται οι τελευταίοι διάλογοι του Σωκράτη με τους μαθητές του λίγο πριν πιει το κώνειο. Σε αυτούς τους διαλόγους διερευνάται η προέλευση και ο προορισμός της ψυχής ώστε να δικαιολογηθεί η χαρά που νιώθει ο Σωκράτης για τον επικείμενο θάνατό του. Ο Σωκράτης θεωρεί ότι ο άνθρωπος γνωρίζει τις ιδέες με τη γέννησή του και η απόκτηση της γνώσης είναι η ανάμνηση ήδη γνωστών αλλά λησμονημένων πραγμάτων. Η χρήση των αισθήσεων για τη γνωριμία του υπαρκτού κόσμου δεν είναι ακριβής, γιατί πάντα προσπαθούμε να ανάγουμε προς την έννοια της ισότητας τα πράγματα που εξετάζουμε. Η καθαυτό ισότητα προϋπάρχει, όπως το καλό και το δίκαιο και κάθε τέτοια ιδέα, και αποτελούν τα ιδανικά πρότυπα με τα οποία συγκρίνουμε όλα όσα αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις. Η έννοια της δικαιοσύνης προϋπάρχει στη σκέψη του ανθρώπου, όμως η απονομή της δικαιοσύνης δεν μπορεί να ταυτιστεί με την καθαυτό δικαιοσύνη. Οι παράγοντες που υπεισέρχονται σε μια δικαστική απόφαση είναι πολλοί και περιλαμβάνουν τα αντικειμενικά ευρήματα, τις μαρτυρίες αλλά και τις προσωπικές τοποθετήσεις των εμπλεκομένων. Οι δικαστές καλούνται να αποφασίσουν λαμβάνοντας υπ όψιν τα παραπάνω σε συνδυασμό με την αντίληψή τους για τη δικαιοσύνη. Ένα τέτοιο σύνθετο σύστημα είναι ευάλωτο σε λάθη και παραβλέψεις που άλλοτε είναι ηθελημένα και άλλοτε αθέλητα. Η καθαυτό αρετή προβάλλεται ως υπέρτατη αξία στη δομή μιας κοινωνίας χωρίς να είναι πάντα εφικτή η επικράτησή της. Πολλές ενέργειες γίνονται στο όνομα του καλού αλλά καταλήγουν για διάφορους λόγους σε αντίθετα αποτελέσματα. Η αέναη μάχη μεταξύ καλού και κακού δημιουργεί τις περισσότερες παγκόσμιες αντιπαραθέσεις αλλά είναι παρούσα και στην καθημερινότητα του ανθρώπου. Σε κάθε περίπτωση, η προσέγγιση της καθαυτό αρετής είναι δύσκολο να επιτευχθεί γιατί γίνονται πολλοί και αναγκαίοι συμβιβασμοί και υποχωρήσεις. Η καθαυτό ευθύτητα (ειλικρίνεια, αμεσότητα) στο πέρασμά της μέσα από τις κοινωνικές συμβάσεις αλλοιώνεται και διαστρεβλώνεται. Τα κατά συνθήκη ψεύδη εξυπηρετούν την ομαλή λειτουργία των κοινωνικών σχέσεων και αποτρέπουν επώδυνες καταστάσεις. Οι θεμελιώδεις ιδέες πλάθουν την πραγματικότητα μέσα στην οποία καλείται να ζήσει ο άνθρωπος και παραμένουν σταθερές και αναλλοίωτες μέσα στον χρόνο. Παρ όλα αυτά, η εφαρμογή των ιδεών είναι μια περίπλοκη διαδικασία επειδή ο άνθρωπος προσπαθεί μέσω της γνώσης και των εμπειριών του να εφαρμόσει αυτά που έχει μάθει αλλά πολλές φορές απομακρύνεται από την αλήθεια και το βαθύτερο νόημά τους. Κατά τον ίδιο τρόπο προϋπάρχει η ψυχή πριν γεννηθούμε και επιπλέον διατηρείται και μετά τον θάνατό μας, δηλαδή μετά την αποσύνθεση του ανθρώπινου σώματος ώστε να επανέλθει πάλι στη ζωή σε άλλο σώμα μέσω της αναβίωσης. Η ψυχή είναι το αόρατο, αμετάβλητο και θείο ον, ενώ το σώμα είναι το ορατό, μεταβλητό και θνητό ον. Οι ανθρώπινες απολαύσεις κρατούν την ψυχή κοντά στο σώμα, γι αυτό κάθε άνθρωπος πρέπει να φροντίζει στη διάρκεια της ζωής του να κρατήσει την ψυχή του καθαρή και αμόλυντη ώστε αυτή μετά τον θάνατο απαλλαγμένη από πλάνη, σύγχυση, φόβο και τα άλλα ανθρώπινα δεινά να φύγει για να συναντήσει το αόρατο, θεϊκό, αθάνατο και σοφό μέρος της. Η ψυχή δίνει τη ζωή στο σώμα το οποίο, όταν φθείρεται έρχεται σε επαφή με το 47

49 αντίθετο της ζωής, δηλαδή τον θάνατο. Η ψυχή όμως δεν δέχεται τον θάνατο, γιατί είναι αντίθετος σε ότι η ίδια παρέχει. Αυτό σημαίνει ότι είναι αθάνατη και άφθαρτη και, όταν επέρχεται ο θάνατος στον άνθρωπο, αυτή αποχωρεί και φθάνει στον Άδη έχοντας μόνο την ηθική της υπόσταση (παιδεία) και τον τρόπο με τον οποίο ανατράφηκε και έζησε (τροφή). 48

50 ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ 5.1 Αξιωματική θεμελίωση της Επιστήμης (Ανώνυμο Τετράθεο) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ολοκληρώσαμε το ταξίδι μας στα πρώιμα στάδια της επιστήμης, όταν ακόμη ήταν απλά ένα εργαλείο για την επίλυση των καθημερινών προβλημάτων και στη συνέχεια με αυτήν έγινε προσπάθεια να ερμηνευθούν ο κόσμος και ο άνθρωπος. Πλέον αρχίζει και αποκτά το χαρακτήρα με τον οποίο την ξέρουμε σήμερα. Έτσι λοιπόν, για να κατανοήσουμε καλυτέρα τον τρόπο, με τον οποίο δημιουργήθηκε και θεμελιώθηκε, μελετήσαμε τον Ευκλείδη και τις απαρχές της ευκλείδειας γεωμετρίας, ενώ στο τέλος κληθήκαμε να φτιάξουμε τη δική μας γεωμετρία. Αξιολόγηση δυσκολίας κειμένου Το κείμενο σε γενικές γραμμές δεν θεωρούμε πως είναι αυξημένης δυσκολίας, ωστόσο διέπεται από επιστημονικό ύφος και λεξιλόγιο, κάτι που το καθιστά δυσνόητο και χρήζει αρκετών αναγνώσεων μέχρι να γίνει αντιληπτό σε μεγάλο βαθμό το περιεχόμενό του. Επίσης είναι αρκετά σαφές ως προς τους ορισμούς που δίνει και διαλευκάνει σε αρκετές περιπτώσεις τα διφορούμενα σημεία. Απόδειξη θεωρημάτων σύμφωνα με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο «Σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα» Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με. Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο Δ της ΑΓ, ώστε ΑΔ=ΑΒ. Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές με βάση ΒΔ και επομένως. Επειδή η ΒΔ είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας, είναι, ενώ η, ως εξωτερική γωνία του τριγώνου ΒΔΓ είναι μεγαλύτερη από τη, δηλαδή. Έτσι έχουμε και, επομένως. Αντίστροφα: Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με. Τότε θα είναι και, γιατί αν ήταν ή θα είχαμε ή αντίστοιχα, που είναι άτοπο. (Ευκλείδεια γεωμετρία Ά Γενικού Λυκείου) «Μια ευθεία και ένας κύκλος έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία» Ας υποθέσουμε ότι μια ευθεία ε και ένας κύκλος (Ο, ρ) έχουν τρία κοινά σημεία, τα Α,Β,Γ. Επειδή ΟΑ=Οβ=ρ και ΟΒ=ΟΓ=ρ, οι μεσοκάθετοι ξ, ζ των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα, διέρχονται από το Ο. Έτσι από το σημείο Ο έχουμε δύο διαφορετικές κάθετες στην ε τις ξ, ζ που είναι άτοπο. (Ευκλείδεια γεωμετρία Ά Γενικού Λυκείου). 49

51 Η δική μας γεωμετρία Α μορφή αξιωμάτων: I. Κάθε ευθεία αποτελείται από ακριβώς δύο σημεία. II. Κάθε σημείο ανήκει σε ακριβώς δύο ευθείες. III. Κάθε ευθεία είναι παράλληλη (δεν έχει κοινό σημείο) με ακριβώς τρείς ευθείες. Ορισμοί : Διαδοχικές ευθείες: δύο ευθείες λέγονται διαδοχικές, όταν έχουν ένα κοινό σημείο. Ακολουθώντας λοιπόν αυτά τα αξιώματα προκύπτουν τα παρακάτω σχήματα: 1. Το τριγωνίδυο Έστω σημείο Α, από αυτό διέρχονται οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ. Ορίζουμε και μια τρίτη ευθεία, τη ΒΓ (εικόνα i). Προς το παρόν το σχήμα ικανοποιεί τα πρώτα δύο αξιώματα όμως όχι το ΙΙΙ. Άρα φέρουμε και ευθεία ΔΕ. Όμως από τα σημεία Δ, Ε πρέπει να διέρχεται και άλλη μια από το καθένα ευθεία, ΔΖ και ΕΗ. Όμως ΕΗ και ΔΖ έχουν >3 παράλληλες (4) κάτι που είναι άτοπο. Άρα η ΔΕ και η ΕΗ έχουν ένα κοινό σημείο το Ε. Άρα προκύπτει το ακόλουθο σχήμα (εικόνα ii), το οποίο ικανοποιεί όλα τα αξιώματα. Εικόνα i Το Α ανήκει στις ΑΒ και ΑΓ. Το Β ανήκει στις ΒΓ και ΑΒ. Το Γ ανήκει στις ΑΓ και ΒΓ. Το Δ ανήκει στις ΔΕ και ΔΖ. Το Ε ανήκει στις ΕΖ και ΕΔ. Το Ζ ανήκει στις ΕΖ και ΖΔ. ΑΒ//ΕΔ,ΔΖ,ΖΕ ΑΓ// ΕΔ,ΔΖ,ΖΕ ΒΓ// ΕΔ,ΔΖ,ΖΕ ΔΕ//ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ ΕΖ//ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ ΔΖ//ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ Εικόνα ii 2. Το εξάπλευρο ή εξάγωνο Έστω ευθεία ΑΒ. Από τα σημεία της ορίζουμε τα σημεία Γ, Δ και από αυτά φέρουμε τα Ζ και Ε, τότε αναγκαστικά φέρουμε και την ευθεία ΕΖ (εικόνα iii). Άρα έχουμε ότι: Το Α ανήκει στις ευθείες ΑΒ και ΑΔ. Το Β ανήκει στις ευθείες ΑΒ και ΒΓ. Το Γ ανήκει στις ευθείες ΒΓ και ΓΕ. Το Δ ανήκει στις ευθείες ΑΔ και ΔΖ. Το Ε ανήκει στις ευθείες ΓΕ και ΕΖ. Το Ζ ανήκει στις ευθείες ΔΖ και ΕΖ. 50 Εικόνα iii

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή

τέτοιους ώστε ο ένας να είναι µέσος των άλλων, δηλαδή Η ιδέα, ότι όλα τα υλικά πράγµατα συντίθενται από αυτά τα τέσσερα πρωταρχικά στοιχεία, αποδίδεται στον προγενέστερό Εµπεδοκλή, Έλληνα φιλόσοφο, ποιητή και πολιτικό [493-433 π.χ.] που γεννήθηκε στον Ακράγαντα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός

Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ. Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός Η ΓΗ ΣΑΝ ΠΛΑΝΗΤΗΣ Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Σχήµα και µέγεθος της Γης - Κινήσεις της Γης Βαρύτητα - Μαγνητισµός ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Γεωγραφικά στοιχεία της Γης Η Φυσική Γεωγραφία εξετάζει: τον γήινο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ

1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 1. ΧΗΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΗΜΙΚΕΣ ΕΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΟΜΗ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ Από τα αρχαιότατα χρόνια, έχουν καταβληθεί σηµαντικές προσπάθειες οι απειράριθµες ουσίες που υπάρχουν στη φύση να αναχθούν σε ενώσεις λίγων

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις.

ΗΛΙΑΚΟ ΡΟΛΟΙ. Ρώτησε τη φύση, θα σου απαντήσει! Παρατηρώντας την, κάτι το σημαντικό θα βρεις. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια του προγράμματος περιβαλλοντικής Αγωγής, τη σχολική χρονιά 2012-2013, αποφασίσαμε με τους μαθητές του τμήματος Β 3 να ασχοληθούμε με κάτι που θα τους κέντριζε το ενδιαφέρον. Έτσι καταλήξαμε

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο)

Άσκηση Η15. Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής. Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Άσκηση Η15 Μέτρηση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της γής Γήινο μαγνητικό πεδίο (Γεωμαγνητικό πεδίο) Το γήινο μαγνητικό πεδίο αποτελείται, ως προς την προέλευσή του, από δύο συνιστώσες, το μόνιμο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία

Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία Ομάδα: Μομφές Μέλη: Δανιήλ Σταμάτης Γιαλούρη Άννα Βατίδης Ευθύμης Φαλαγγά Γεωργία ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ H γενική τάση των κατοίκων της Αιγύπτου στις επιστήμες χαρακτηριζόταν από την προσπάθεια

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΜΒΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΓΚΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Αποτυπώσεις - Χαράξεις Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου

ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ. Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου ΔΙΑΘΛΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΟΥΡΑΝΟΙ Του Αλέκου Χαραλαμπόπουλου Όσοι διαβάσατε «ΤΟ ΙΔΙΟΝ» www.omas-e.gr, θα διαπιστώσατε ότι στο κέντρο των συμπάντων υπάρχει η φυσαλίδα που στέλνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών

Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο. Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Διαχείριση Καταστάσεων προβλημάτων στο Νηπιαγωγείο Από τη μοιρασιά της τούρτας στην ανάπτυξη γεωμετρικών εννοιών Το πρόβλημα Ζητήθηκε από τα παιδιά να χωριστούν σε ομάδες και να προσπαθήσουν να μοιράσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Οι άγγελοι του Γιάννη Κοντός Γιάννης Γιαννούλη Βασιλική Καΐκα Χαρά Μπαρμπαλιά Γεωργία

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Οι άγγελοι του Γιάννη Κοντός Γιάννης Γιαννούλη Βασιλική Καΐκα Χαρά Μπαρμπαλιά Γεωργία 1 Γενικό Λύκειο Μεγαλόπολης Σχ.έτος: 2011-12 Α Λυκείου Β τετράμηνο ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Χρυσή Τομή» Υπεύθυνες καθηγήτριες: Λέφα Αικατερίνη, ΠΕ 03, Θανόγιαννη Χαρίκλεια, ΠΕ 02. Μαθητές/τριες που εργάστηκαν:

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι:

Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: ΗΛΙΑΚΑ ΩΡΟΛΟΓΙΑ Υπάρχουν πολλά είδη Ηλιακών Ρολογιών. Τα σημαντικότερα και συχνότερα απαντόμενα είναι: Οριζόντια Κατακόρυφα Ισημερινά Το παρακάτω άρθρο αναφέρεται στον τρόπο λειτουργίας αλλά και κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M,

ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Το μέτρο της βαρυτικής αυτής δύναμης είναι: F G όπου M, ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ Ο Νεύτωνας ανακάλυψε τον νόμο της βαρύτητας μελετώντας τις κινήσεις των πλανητών γύρω από τον Ήλιο και τον δημοσίευσε το 1686. Από την ανάλυση των δεδομένων αυτών ο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ ΕΛΠ22 ΤΡΙΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΤΥΠΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 Εισαγωγή... 3 Οι αρχές του σύμπαντος κατά τον Αριστοτέλη... 3 Ο υποσελήνιος χώρος... 3 Ο χώρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

26.02.14 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 26.02.14 Χ. Χαραλάμπους 14 ο πρόβλημα (βρίσκεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών της Μόσχας από το 1893 μ.χ.) «μετάφραση των συμβόλων: Εάν σου πουν: μία κομμένη πυραμίδα με ύψος 6, με βάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και να λατρεύουν τα είδωλα, δηλαδή τα δημιουργήματα του

Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και να λατρεύουν τα είδωλα, δηλαδή τα δημιουργήματα του H εποχή των Πατριαρχών Από τον πολυθεϊσμό στην πίστη στον ένα Θεό Ο Θεός σχεδιάζει τη σωτηρία του κόσμου Οι απόγονοι του Νώε, μετά τη διασπορά τους σ όλη τη γη, άρχισαν να λησμονούν τον αληθινό Θεό και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ

ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗ ΠΛΑΝΗΤΩΝ - ΛΟΞΩΣΗ Η κίνηση των πλανητών είναι το αποτέλεσμα της σύνθεσης 2 κινήσεων: μίας περιστροφής γύρω από τον Ήλιο, η περίοδος της οποίας μας δίνει το έτος κάθε πλανήτη, και πραγματοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα

ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Πυραμίδες στην Ελλάδα Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο.

Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ένα υγρό σε δοχείο και το υδροστατικό παράδοξο. Ας μελετήσουμε τι συμβαίνει, όταν ένα υγρό περιέχεται σε ένα ακίνητο δοχείο. Τι δυνάμεις ασκεί στο δοχείο; Τι σχέση έχουν αυτές με το βάρος του υγρού; Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα