ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΡΟΧΑΙΩΝ ΑΤΥΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΡΟΧΑΙΩΝ ΑΤΥΧΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΓΟΥΛΕΤΣΙΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Α.Ε.Μ:3492 ΠΑΠΑΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Α.Ε.Μ:3463 ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΣΤΑΜΟΣ ΣΠΥΡΙΔΩΝ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΚΑΒΑΛΑ

2 2

3 ΠΕΡΙΕΧΟ Μ ΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ...6 Α. ΓΕΝΙΚΑ... 6 Β. ΜΕΡΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΑ... 7 Γ. ΓΕΝΙΚΑ ΕΙΔΗ ΑΜΕΤΑΚΛΗΤΟΥ ΕΡΓΟΥ Δ. ΑΝΑΠΟΔΟΓΥΡΙΣΜΑΤΑ Ε. ΤΟΥΜΠΑΡΙΣΜΑ ΣΤ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΙΑ ΣΥΝΤΡΙΒΗ ΟΧΗΜΑΤΩΝ Ζ. ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΚΟΛΩΝΩΝ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ...26 Η. ΠΗΓΑΙΝΟΝΤΑΣ ΑΠΟ ΤΑ ΚΟΥΤΑΚΙΑ ΑΝΑΨΥΚΤΙΚΩΝ ΣΤΟ ΠΑΛΙΟ ΚΟΝΣΕΡΒΟΚΟΥΤΙ ΠΟΥ ΟΔΗΓΕΙΤΕ...28 Θ. ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΤΡΙΒΗΣ...30 Κ. ΑΝΤΙΠΡΟΣΩΠΕΥΤΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΚΑΜΨΙΑΣ Λ. ΜΕΡΙΚΑ ΠΡΟΣΘΕΤΑ ΣΧΟΛΙΑ...34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ...36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΡΟΦΕΣ ΚΑΙ ΑΛΛΑΓΕΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗ ΣΕ ΣΤΡΟΦΗ Β. ΑΝΑΠΟΔΟΓΥΡΙΣΜΑΤΑ...46 Γ. ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΦΟΡΤΙΟΥ...47 Δ. ΠΛΑΓΙΑ ΤΡΙΒΗ ΕΝΑΝΤΙ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΤΡΙΒΗΣ...47 Ε. ΣΤΡΟΦΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΓΙΑ ΟΛΙΣΘΗΣΗ...48 ΣΤ. ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΤΡΟΦΗΣ Ζ. ΑΚΤΙΝΑ ΣΤΡΟΦΗΣ Η. ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΟΔΟΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Ι. ΣΤΡΟΦΕΣ ΜΕ ΜΟΤΟΣΙΚΛΕΤΑ...52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΟΠΟΥ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

4 Α. ΓΕΝΙΚΑ...56 Β. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΟΧΗΜΑΤΟΣ Γ. ΑΑΟ Δ. ΠΟΙΟΣ ΟΔΗΓΟΥΣΕ Ε. ΒΛΑΒΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΕΞΑΡΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤ. ΕΣΦΑΛΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΚΕΥΕΣ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΗΣ...62 Ζ. ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ ΥΓΡΟΥ ΦΡΕΝΩΝ Η. ΕΛΑΣΤΙΚΑ Θ. ΣΗΜΕΙΟ ΣΥΓΚΡΟΥΣΗΣ Ι. ΣΤΑΘΜΟΙ ΖΥΓΙΣΜΑΤΟΣ...68 Κ. ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΛΚΟΟΛ ΣΤΟ ΑΙΜΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Λ. ΟΤΑΝ ΠΡΟΫΠΟΘΕΤΕΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΝΗΦΑΛΙΟΤΗΤΑΣ Μ. ΘΕΤΟΝΤΑΣ ΟΡΙΑ Ν. ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΠΟΦΥΓΗΣ ΑΤΥΧΗΜΑΤΟΣ Ξ. ΑΕΡΟΣΑΚΟΙ...74 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αυτή η μελέτη έγινε με σκοπό την ανάλυση των τροχαίων ατυχημάτων έτσι όπως αυτή πραγματοποιείται μέσα από το πρίσμα των μηχανολογικών δεξιοτήτων και γνώσεων. Βασική προϋπόθεση για την μελέτη και την κατανόηση αυτού του βιβλίου είναι ο αναγνώστης να έχει γνώσεις άλγεβρας, δυναμικής και διανυσματικής ανάλυσης. Το βιβλίο είναι χωρισμένο σε τρία κεφάλαια, το πρώτο κεφάλαιο αφορά τη διατήρηση της ενέργειας και πως αυτή εφαρμόζεται στην αναπαράσταση των τροχαίων ατυχημάτων. Το δεύτερο κεφάλαιο αναφέρεται στις στροφές και στις αλλαγές κατεύθυνσης και στις δυνάμεις που αναπτύσσονται κατά τη διάρκεια αυτών και τέλος το τρίτο και κατά τη γνώμη μας το πιο σημαντικό κεφάλαιο αναφέρεται στους βασικούς τρόπους με τους οποίους γίνεται η εξέταση του τόπου ενός ατυχήματος και τρόπους με τους οποίους μπορούμε να αποφύγουμε ένα ατύχημα. Ειδικά στο τρίτο κεφάλαιο υπάρχει μια ενότητα που αναφέρεται στο αλκοόλ και την περιεκτικότητα αυτού στο αίμα του οδηγού. Δική μας παρότρυνση προς τους αναγνώστες είναι να προσέξουν ιδιαίτερα αυτή την ενότητα καθώς τα θέματα που αναφέρονται σε αυτήν είναι μεγάλης σημασίας και μπορούν να σώσουν τις ζωές πολλών οδηγών. Πρέπει να σημειώσουμε ότι στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν διάφορα παραδείγματα ασκήσεων τα οποία είναι εφαρμογή των εξισώσεων που αναφέρονται μέσα στα κεφάλαια και βασίζονται τα περισσότερα σε πραγματικά προβλήματα που συναντώνται στη πράξη. Η μελέτη αυτών των προβλημάτων βοηθά στην καλύτερη κατανόηση των ζητημάτων που αναλύθηκαν μέσα στα κεφάλαια. Στη προσπάθεια μας αυτή ήταν πολύ σημαντική η βοήθεια των άλλων συγγραμμάτων και τα οποία αναφέρονται στη βιβλιογραφία στο τέλος του βιβλίου. Βασικό όμως ήταν το βιβλίο «Engineering analysis of vehicular accidents του Randall K. Noon, Από το βιβλίο αυτό μεταφράσαμε σε ελεύθερη μετάφραση ορισμένα επιλεγμένα κεφάλαια και εφαρμόσαμε τις θεωρίες του με παραδείγματα. Κλείνοντας αυτόν τον σύντομο πρόλογο θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε θερμά τον επιβλέποντα Κύριο Στάμο Σπυρίδων, εργαστηριακό συνεργάτη του Τ.Ε.Ι Καβάλας για την πολύτιμη βοήθεια του και όλους όσους μας βοήθησαν σε αυτή μας τη προσπάθεια. 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι Ενέργειας Α. Γ ενικά Σε άλλες επιστημονικές μελέτες, κάποιες πλευρές των μεθόδων ενέργειας έχουν ήδη συζητηθεί. Έχει αποδειχθεί πώς η αρχική κινητική ενέργεια ενός οχήματος μπορεί να διασκορπιστεί από αμετάκλητο έργο που γίνεται κατά τη διάρκεια ενός φρεναρίσματος. Σε αυτές τις μελέτες η αλληλεπίδραση ανάμεσα στην κινητική και τη δυνητική ενέργεια εξετάστηκε σε αλλαγές πτώσεων και ανύψωσης. Τέλος έχει αποδειχθεί πώς το αμετάκλητο έργο που γίνεται στη συντριβή ενός οχήματος κατά την πρόσκρουση σχετίζεται με το βαθμό ελαστικότητας ή πλαστικότητας της σύγκρουσης. Σε όλες αυτές τις εφαρμογές, η βασική προϋπόθεση είναι η διατήρηση της ενέργειας. Αυτό το κεφάλαιο συζητά με έναν πιο γενικό τρόπο το πώς ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής, η διατήρηση της ενέργειας, εφαρμόζεται στην αναπαράσταση ατυχημάτων. Το κεφάλαιο αυτό συζητά, επίσης, το πώς το αμετάκλητο έργο που γίνεται στη συντριβή ενός οχήματος μπορεί να οριστεί και να συσχετιστεί με τις προ της σύγκρουσης ταχύτητες των αλληλεπιδρώντων οχημάτων. Ο ορισμός των διαφόρων τρόπων με τους οποίους η ενέργεια διασκορπίζεται σε ένα ατύχημα για να υπολογιστούν οι προ της σύγκρουσης ταχύτητες, είναι γνωστός ως η μέθοδος ενέργειας. Γενικά, η εφαρμογή της μεθόδου ενέργειας είναι πολύ απλή. Η συνολική ενέργεια ενός συστήματος πριν από ένα ατύχημα εξισώνεται με τη συνολική ενέργεια του συστήματος μετά το ατύχημα συν το αμετάκλητο έργο που γίνεται κατά τη διάρκεια του ατυχήματος. Ει = Ε2 + ϋ (1) όπου Ει = η συνολική ενέργεια του συστήματος, κινητική και δυνητική, πριν το ατύχημα Ε2 = η συνολική ενέργεια του συστήματος, κινητική και δυνητική, μετά το ατύχημα και ϋ = το συνολικό ποσό αμετάκλητου έργου που γίνεται κατά τη διάρκεια του ατυχήματος, ανάμεσα στις καταστάσεις «1» και «2». Πριν από ένα ατύχημα, τα αλληλεπιδρώντα οχήματα έχουν ένα συγκεκριμένο ποσό κινητικής και δυνητικής ενέργειας «Ει». Η κινητική ενέργεια θα συσχετιστεί με την ταχύτητα και τη μάζα των οχημάτων. Η δυνητική ενέργεια θα συσχετιστεί με την ανύψωση των οχημάτων. Κατά τη διάρκεια του ατυχήματος, κάποια από τη συνολική ενέργεια θα διασκορπιστεί ως αμετάκλητο έργο, «ϋ». Επίσης, κάποια από την κινητική ενέργεια ίσως μετατραπεί σε δυνητική ενέργεια ή το αντίθετο. Οι αρχικές κινητικές ενέργειες των αλληλεπιδρώντων οχημάτων, και επομένως οι αρχικές τους ταχύτητες, μπορούν να οριστούν τότε εάν: α. Το ποσό του αμετάκλητου έργου μπορεί να οριστεί. β. Οι αρχικές και τελικές καταστάσεις για τη δυνητική ενέργεια είναι γνωστές. γ. Οι κινητικές ενέργειες που κατέχουν τα αλληλεπιδρώντα οχήματα μετά τη σύγκρουση (ή κάτι άλλο) είναι γνωστές. 6

7 Άλλα δύο σημεία είναι επίσης αξιοσημείωτα στην εφαρμογή των μεθόδων ενέργειας. Το πρώτο είναι ότι, κατ αρχή, η κινητική ενέργεια μπορεί αντίστροφα να μετατραπεί σε δυνητική ενέργεια και το αντίθετο. Στην πράξη, ωστόσο, τουλάχιστον ένα μέρος της ενέργειας χάνεται στη μετατροπή εξαιτίας του έργου τριβής, που σημαίνει αμετάκλητο, το οποίο γίνεται. Για παράδειγμα, αν ένα αυτοκίνητο κυλά προς τα κάτω, η δυνητική ενέργειά του μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Ωστόσο, εξαιτίας της αντίστασης κύλισης, της αντίστασης του αέρα, της καθυστέρησης στα ελαστικά και της φερόμενης τριβής, μέρος της κινητικής ενέργειας διασκορπίζεται. Έτσι, η μετατροπή από δυνητική σε κινητική (ή το αντίθετο) δεν είναι απόλυτα αντιστρέψιμη. Αν και σε μερικές περιπτώσεις, η απλουστευμένη υπόθεση της αντιστρεψιμότητας δίνει ένα λογικό μοντέλο. Το δεύτερο σημείο είναι ότι στην αναπαράσταση ατυχήματος, γίνεται αμετάκλητο έργο από τη μετατροπή της κινητικής ενέργειας. Η δυνητική ενέργεια δε μετατρέπεται απευθείας σε αμετάκλητο έργο. Η δυνητική ενέργεια πρέπει πρώτα να μετατραπεί σε κινητική ενέργεια πριν μπορέσει να διασκορπιστεί ως αμετάκλητο έργο. Για παράδειγμα, αν η ανύψωση ενός αυτοκινήτου αλλάξει έτσι ώστε να μειωθεί η δυνητική ενέργειά του, το μπροστινό άκρο του αυτοκινήτου δεν συνθλίβεται από μόνο του. Ωστόσο, αν το ίδιο αυτοκίνητο μειώσει τη δυνητική ενέργειά του κυλώντας προς τα κάτω, το αυτοκίνητο αναπτύσσει ταχύτητα καθώς η δυνητική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Αν στη συνέχεια το αυτοκίνητο συγκρουστεί με έναν τοίχο, το μπροστινό άκρο θα συντριβεί καθώς η κινητική του ενέργεια μετατρέπεται σε αμετάκλητο έργο. Η μέθοδος ενέργειας είναι ένα εξαιρετικά ισχυρό εργαλείο για τη λύση των προ της σύγκρουσης ταχυτήτων. Σε συνεργασία με την εφαρμογή των εξισώσεων ορμής, διαμορφώνει τη βάση για την επίλυση των περισσοτέρων ατυχημάτων με οχήματα. Μερικές φορές, πληροφορίες που λείπουν για να συμπληρωθεί η λύση με βάση μια μέθοδο μπορούν να δοθούν από μια άλλη. Ορισμένες φορές μπορούν να χρησιμοποιηθούν και οι δύο ανεξάρτητα για να λυθεί το ίδιο πρόβλημα. Όταν και οι δύο μέθοδοι ανεξάρτητα, συγκλίνουν προς την ίδια λύση, αυτό τείνει να επιβεβαιώνει τη λύση. Β. Μερικά Θεωρητικά Θεμέλια Κατ αρχή, ας εξετάσουμε τι ακριβώς λέγεται σύστημα διατήρησης. Σύστημα διατήρησης είναι αυτό κατά το οποίο υπάρχει απόλυτη αντιστρεψιμότητα μεταξύ κινητικής και δυνητικής ενέργειας, και δεν υπάρχει καθόλου αμετάκλητο έργο. Το σύνολο των κινητικών και δυνητικών ενεργειών ενός συστήματος είναι η συνολική ενέργεια. Ε = ΚΕ + ΡΕ = σταθερή όπου Ε = συνολική ενέργεια του συστήματος, ΚΕ = κινητική ενέργεια, και ΡΕ = δυνητική ενέργεια. Παίρνοντας το διαφορικό από τα παραπάνω, μας δίνει: άε = ά(κε+ρε) = ά(κε) + ά(ρε) = 0 Τώρα προς το παρόν, ας λάβουμε υπόψη μόνο τον όρο κινητική ενέργεια, «ΚΕ». Σε ένα απόλυτα διατηρητικό σύστημα, η κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου εξαρτάται από την ταχύτητά του, η οποία με τη σειρά της εξαρτάται από τη θέση του. Στις περισσότερες περιπτώσεις ατυχημάτων με οχήματα, είναι πρακτικό να εφαρμοστεί το σύνηθες Καρτεσιανό (ΐΐ) (ΐΐΐ) 7

8 «χ^-ζ» σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Σε παραστατική γραφή τότε, η συνάρτηση για την κινητική ενέργεια δίνεται από τα παρακάτω: ΚΕ = ΚΕ(χ^,ζ,υ,ν^) όπου χ = μετατόπιση στην κατεύθυνση χ, y = μετατόπιση στην κατεύθυνση y, ζ = μετατόπιση στην κατεύθυνση ζ (ανύψωση), υ = άχ/άύ ν = dy/dt, και w = άζ/άύ. Η συνολική διαφορική εξίσωση του «ΚΕ» είναι τότε ως εξής: ά(κε) = [δ(κε)/δχ]άχ + [ δ ( Κ Ε ) ^ ^ + [δ(κε)/δζ]άζ + [δ(κε)/δυ]άυ + [δ(κε)/δν]άν + [δ(κε)/δw]dw Από προηγούμενες μελέτες (βλ. Κεφάλαιο 2, Τομέας Β), είναι γνωστό ότι: ΚΕ = Ά m [υ2 + ν2 + ^ ] Εάν υπολογίσουμε το βαθμό κλίσεως της παραπάνω συνάρτησης πραγματικών αριθμών σε σχέση με την ταχύτητα, τότε παίρνουμε την παρακάτω σχέση ανύσματος: [δ(κε)/δυ]ΐ + [δ(κε)/δν] + [δ(κε)/δw]k = Ά m [2υ + 2ν + 2w] k είναι μονάδα ανύσματος στις κατευθύνσεις χ, y και ζ αντίστοιχα. (ν) (νΐ) (ΐν) (νΐΐ) όπου ΐ, ] και Αν η παραπάνω ανυσματική σχέση πολλαπλασιαστεί με το άνυσμα ταχύτητας, «V = υ + ν + ^», τότε παίρνουμε την παρακάτω: [δ(κε)/δυ]υ + [δ(κε)/δν]ν + [δ(ke)/δw]w = Ά m [2υ2 + 2ν2 + 2w2] (νΐΐΐ) Η μελέτη της εξίσωσης (νΐΐΐ) βρίσκει ότι το δεξί σκέλος της εξίσωσης είναι απλώς το διπλάσιο της κινητικής ενέργειας ή «2(ΚΕ)». Έτσι, μπορούμε να σημειώσουμε τα παρακάτω: 2(ΚΕ) = [δ(κε)/δυ]υ + [δ(κε)/δν]ν + [δ(κε)/δw]w Αν η εξίσωση (ΐχ) διαφοροποιηθεί, τότε παίρνουμε την παρακάτω επιπλέον σχέση: 2[ά(ΚΕ)] = ά[δ(κε)/δυ]υ + ά(δ(κε)/δν]ν + d[δ(κε)/δw]w + [δ(κε)/δυ]άυ + [δ(κε)/δν]άν + [δ(κε)/δw]dw (χ) Η αφαίρεση της εξίσωσης (ν) από την εξίσωση (χ) δίνει τα παρακάτω: ά(κε) = ά[δ(κε)/δυ]υ + ά[δ(κε)/δν]ν + d[δ(κε)/δw]w + [δ(κε)/δυ]άυ + [δ(κε)/δν]άν + [δ(κε)/δw]dw - [δ(κε)/δχ]άχ - [δ(κε)/δy]dy - [δ(κε)/δζ]άζ - [δ(κε)/δυ]άυ - [δ(κε)/δν]άν - [δ(κε)/δw]dw (χΐ) ά(κε) = ά[δ(κε)/δυ]υ + ά[δ(κε)/δν]ν + d[δ(κε)/δw]w - [δ(κε)/δχ]άχ - [δ(κε)/δy]dy - [ά(κε)/δζ]άζ Αντικαθιστώντας τα «άχ/άύ», «dy/dt» και «άζ/άύ» με τα «υ», «ν» και «^» αντίστοιχα και αλλάζοντας τον όρο «άύ» με τη διαφορική εξίσωση, παίρνουμε την παρακάτω τελική μορφή: ά(κε) = [ά/άύ] [δ(κε)/δυ](άχ) + [d/dt][δ(κε)/δv](dy) + [d/dt][δ(κε)/δw](dz) (ΐχ) 8

9 ^(KE)^x]dx - ^(K E)%]dy - ^(KE)^z]dz d(ke) = {[d/dt][δ(κe)/δu] - ^(KE)^x]}(dx) + {[d/dt][δ(κe)/δv] - [δ(κε)/ - δy]} (dy) + {[d/dt] [δ(κe)/δw] - [δ(κe)/δz]} (dz) Με τις παραπάνω μετατροπές, οι όροι «du», «dv» και «dw» οι οποίοι υπήρχαν στην εξίσωση (v), έχουν απαλειφθεί. Ας εξετάσουμε τώρα τον όρο για τη δυνητική ενέργεια, «ΡΕ». Η δυνητική ενέργεια ενός συστήματος συντήρησης είναι απλώς μια λειτουργία θέσης. Στην πραγματικότητα, αν η δυνητική ενέργεια υπό εξέταση είναι απλά εκείνη της βαρύτητας, τότε η «ΡΕ» είναι απλά μια συνάρτηση ενός συντελεστή, «z». ΡΕ = PE(z) Η διαφορική εξίσωση του «PE» είναι τότε: d(pe) = ^(PE)^z](dz) (xiii) (xiv) Συνδυάζοντας την εξίσωση (iii) με τις εξισώσεις (xii) και (xiv) παίρνουμε τα παρακάτω: de = d(ke) + d(pe) = {[d / dtp(ke)^u] - ^(KE)^x]}(dx) + {[d/dtp(ke)^v] - ^(KE)%]}(dy) + {[d/dtp(ke)^w] - ^(KE)^z] + ^(PE)^z]}(dz) = 0 (xv) Eφόσον οι συντεταγμένες «x-y-z» είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη, τότε η παραπάνω εξίσωση μπορεί να διασπαστεί στις παρακάτω ανεξάρτητες εξισώσεις: [d/dtp(ke)^u] - ^(KE)^x] = 0 [d/dtp(ke)^v] - [δ(κe)/δy] = 0 [d/dtp(ke)^w] - [δ(κe)/δz] + ^(PE)^z] = 0 (xvi) Οι εξισώσεις (xvi) λέγονται γενικά εξισώσεις Lagrange για ένα συντηρητικό σύστημα. Σε πολλά κείμενα, γίνεται συνήθως η παρακάτω αντικατάσταση: L = KE - PE ή KE = L + PE όπου το L ονομάζεται ο όρος Lagrange. Η αντικατάσταση του «KE = L + PE» μετατρέπει τις εξισώσεις (xvi) στις παρακάτω: [d/dtp(l)^u] - ^(L)^x] = 0 (xviii) [d/dt]^(l)^v] - [δ(ε )^] = 0 Σημείωση: δ(ρe)/δu = 0 δ ^ ) ^ = 0 [d/dtp(l)^w] - ^(L)^z] = 0 δ ^ ) ^ = 0 και δ(ρe)/δx = 0 δ ^ ) % = 0 Αξίζει να σημειωθεί σε αυτό το σημείο ότι ο όρος «[δ(ε)/δ^» είναι απλώς η ορμή του συστήματος. [δ(ε)/δ^ = δ ζ ^ - PE^u = mu έχοντας υπόψη ότι δ(ρe)/δu = 0. Στην πραγματικότητα, η κλίση του όρου της κινητικής ενέργειας, όπως είχαμε στην εξίσωση (vii), είναι απλώς η ανυσματική παράσταση του όρου της κινητικής ενέργειας: grad(ke) = ^(KE)^u]i+^(KE)^v]j+^(KE)^w]k = m[u + v + w]. (xii) (xvii) Κατά μία έννοια, οι εξισώσεις ορμής έχουν ήδη αποδειχθεί φαίνεται να είναι εμφυτευμένες στις παραπάνω εξισώσεις ενέργειας ενός συντηρητικού συστήματος. 9

10 Οι εξισώσεις Lagrange στην εξίσωση (xviii) μπορούν να γενικευθούν περαιτέρω με την εισαγωγή γενικευμένων συντεταγμένων. Με αυτόν τον τρόπο, οι εξισώσεις (xviii) μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων. Ενώ για σχεδόν όλα τα ατυχήματα με οχήματα το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων είναι βολικό, σε μερικές περιπτώσεις το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να είναι χρήσιμο. Σε ένα τέτοιο σύστημα, 1/2 x = r cos θ, y = r sin θ, r = [x2 + y2], και z = z. Με τις κατάλληλες αντικαταστάσεις, οι προσαρμοσμένες στο Καρτεσιανό σύστημα εξισώσεις Lagrange στην εξίσωση (xviii) μπορούν να μετατραπούν σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτό το σημείο, οι εξισώσεις (xviii) είναι απλώς ένας κομψός τρόπος περιγραφής της μετατροπής της ενέργειας από κινητική σε δυνητική και το αντίθετο σε ένα απόλυτα συντηρητικό σύστημα. Στη μηχανική ουρανίων σωμάτων, οι εξισώσεις Lagrange είναι ακρογωνιαίος λίθος όσον αφορά τις κεντρικές δυνάμεις και την κίνηση σε τροχιά. Δυστυχώς, στην αναπαράσταση ατυχημάτων με οχήματα, σχεδόν η μόνη περίπτωση κατά την οποία εφαρμόζονται οι εξισώσεις (xviii) είναι οχήματα τα οποία κυλούν προς ή από ύψωμα ή ίσως ένα όχημα σε τροχιά. Για να κάνουμε τις εξισώσεις Lagrange χρήσιμες για την αναπαράσταση ατυχημάτων με οχήματα, είναι απαραίτητο να εισάγουμε το αμετάκλητο έργο στην εξίσωση. Αυτό μπορεί να γίνει όπως ακολούθως: d(ke + PE) = du όπου U = αμετάκλητο έργο. (xix) Έργο ορίζεται η δύναμη που εφαρμόζεται κατά τη διάρκεια μιας απόστασης, ή «du = Fdx». Το διαφορικό «du» είναι το δεκαδικό μέρος γινομένου μιας δύναμης, «F», και μιας απειροελάχιστης απόστασης «dx» μέσα από την οποία εφαρμόζεται η δύναμη. Στα παραπάνω, το διαφορικό «du» είναι το αποτέλεσμα μιας συγκεκριμένης δύναμης που εφαρμόζεται σε μία αντίστοιχα συγκεκριμένη κατεύθυνση. Σε ένα ατύχημα με οχήματα, ωστόσο, μπορούν να υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να γίνει αμετάκλητο έργο (π.χ. ντεραπάρισμα, συντριβή, τριβή κύλισης). Εξαιτίας αυτού, ο παραπάνω όρος για το αμετάκλητο έργο επεκτείνεται προκειμένου να συμπεριλάβει πολλές τέτοιες δυνάμεις και τις ανάλογες κατευθύνσεις συντεταγμένων της εφαρμογής. du = Σ [F1 dx + G1 dy + H1 dz] όπου F, G και H = δυνάμεις στις αντίστοιχες x, y και z κατευθύνσεις. Αν η εξίσωση (xx) αντικατασταθεί στο δεξί σκέλος της εξίσωσης (xix), και η εξίσωση (xv) αντικατασταθεί στο αριστερό σκέλος της εξίσωσης (xix), και τα αποτελέσματα χωριστούν σε αντίστοιχες εξισώσεις συντεταγμένων, τότε παίρνουμε τα παρακάτω: {[d/dtp(ke)^u] - ^(KE)^x]}(dx) = Σ [F1 dx] {[d/dtp(ke)^v] - ^(KE)%]}(dy) = Σ [G1 dy] {{d/dtp(ke)^w] - ^(KE)^z] + ^(PE)^z] }(dz) = Σ [H1 dz] (xx) (xxi) Ο αναγνώστης θα παρατηρήσει ότι ο όρος Lagrange «L» δεν έχει χρησιμοποιηθεί, υπέρ της χρήσης των όρων «KE» και «PE». Αυτό συμβαίνει επειδή ο όρος της δυνητικής ενέργειας είναι σημαντικός μόνο στην συντεταγμένη κατεύθυνσης «z». 10

11 Τέλος, η ενσωμάτωση των εξισώσεων (χχΐ) δίνει τα παρακάτω: X2 Χ2 \{[ά/άΐ][δ(κε)/δ\χ\ - [δ(κε)/δχ\}(άχ) = ί[σ Ρ 1 άχ\ Χ1 Χ1 (χχΐΐ) Υ2 Υ2 \{[ά/λ][δ(κε)/δυ\ - [δ(κ )/δγ\}(άγ) = ί[σ 0 γ άγ\) Υι Ζ2 Ζ2 \{[ά/άΐ][δ(κε)/δ^\ - [δ(κε)/δζ]+[δ(ρε)/δζ\} (άζ) = ί[σ Η ^ζ\ ζι όπου οι υποστίξεις «1» και «2» αναφέρονται στις θέσεις πριν και μετά το ατύχημα. Με μια προσεκτική εξέταση των εξισώσεων (χχΐΐ) βρίσκουμε ότι: Υι όλοι οι όροι στο δεξί σκέλος είναι αμετάκλητο έργο, όλοι οι όροι στο αριστερό σκέλος σχετίζονται με την κινητική ή τη δυνητική ενέργεια του αντικειμένου, ο πρώτος όρος στο αριστερό σκέλος είναι όρος έργου, που σημαίνει δύναμη επί απόσταση, όπου μία εξωτερική δύναμη εφαρμόζεται στο αντικείμενο, ο δεύτερος όρος στο αριστερό σκέλος είναι η αλλαγή στην κινητική ενέργεια από τη θέση «1» στη θέση «2», και το αμετάκλητο έργο που γίνεται από το αντικείμενο, γίνεται στην κατεύθυνση της διαδρομής του αντικειμένου (σε αυτό το πλαίσιο συντεταγμένων). Αν οι συνηθισμένοι όροι για την κινητική και τη δυνητική ενέργεια αντικατασταθούν στις εξισώσεις (χχΐΐ), τότε παίρνουμε τα παρακάτω: 2 2 Εχ^νο(χ2- Χι) - Ά ^ ) ^ 2 - υι ) = ϋ χ Ε γ ^ (γ 2- γ0 - Ά ^)(ν22 - ν!2) = ϋ Ε ζ ^ (ζ 2 - ζι) - Ά ^ ) ^ 2 - ) + (ζ2 - ζι) = ϋζ ζι (χχΐΐΐ) Γενικά, όταν καμία καθαρή εξωτερική αντιστρέψιμη δύναμη δεν δρα σε ένα όχημα, οι πρώτοι όροι του αριστερού σκέλους των εξισώσεων (χχΐΐΐ) που περιλαμβάνουν δύναμη, είναι μηδενικοί. Εφόσον όλοι οι όροι στην εξίσωση (χχΐΐΐ) έχουν μέγεθος, τότε ισχύουν επίσης τα παρακάτω: Ά ^ ){ (υ ι2 - υ22) + (νι2 - ν22) + ^ 12 + W22) + 2 (ζ2 - ζι)} = ϋ χ + ϋ Υ+ ϋ ζ (χχΐν) Φυσικά, τα παραπάνω είναι η εξίσωση για ένα μόνο αντικείμενο, ή ένα όχημα. Για δύο οχήματα τα οποία συγκρούονται ή σχεδόν συγκρούονται μεταξύ τους, ισχύουν τα παρακάτω: Ά ^ Α)[(ϋΑ12 - ϋ Α22) + (ν Αι2 - ν Α22) + ^ Α12 - ^ ^ 22) + 2 Β(ζΑ2-ζΑι)\ + Ά ^Β)[(ϋΒ12 - ϋβ22) + (νβ12 - νβ22) + (WB12 - WB22) + 2 (ζβ2-ζβΐ)\ = ϋαχ + ϋαυ + ϋαζ + ϋβχ + ϋβυ + ϋβζ + ϋτotal (χχν) Η εξίσωση (χχν) αντιπροσωπεύει τις εξισώσεις γενικής ενέργειας για ένα ατύχημα δύο οχημάτων σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Η εξίσωση (χχν) μπορεί επίσης να παρουσιαστεί σε κυλινδρικές συντεταγμένες με τις ακόλουθες αντικαταστάσεις: Κ12 = [^ 2 + ν 12 +,^ 2\ (χχνΐ) 11

12 R22 = [U22 + V22 + W22] H αναδιάταξη και αντικατάσταση των όρων, δίνει τα παρακάτω: / (ma) [Ra12 - Ra22 + 2g(zA2 - za1)] (xxvii) + / (me) [Rb12 - Rb22 + 2g(zB2 - zb1)] = Uaa + Ubb = Uotai H χρήση των κυλινδρικών συντεταγμένων αφαιρεί τις σχετιζόμενες με ταχύτητα συνιστώσες «x-y» στις εξισώσεις (xxv) και απλοποιεί τη μορφή της εξίσωσης ενέργειας. Στην ουσία, εφόσον η εξίσωση (xvii) έχει μέγεθος, είναι μόνο απαραίτητο να δουλέψουμε με τα απόλυτα μεγέθη των ταχυτήτων, και τα απόλυτα μεγέθη των όρων αμετάκλητου έργου. Τα παραπάνω είναι πολύ σημαντικά. Στη βασική μέθοδο ενέργειας, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε από ποια κατεύθυνση προήλθαν τα οχήματα, προς ποια κατεύθυνση πήγαν, ή προς ποια κατεύθυνση έγινε το αμετάκλητο έργο. Είναι μόνο σημαντικό να γνωρίζουμε τις απόλυτες αξίες των διάφορων όρων ενέργειας. Εν ολίγοις, η μέθοδος ενέργειας είναι λίγοπολύ σαν την αντιστάθμιση ποσών σε λογιστικά βιβλία. Εφόσον οι όροι του αριστερού σκέλους των εξισώσεων (xxv) ή (xvii) έχουν ήδη αποδειχθεί, το μόνο που απομένει είναι να λογαριάσουμε το πώς θα προσδιορίσουμε ποσοτικά το αμετάκλητο έργο των όρων του δεξιού σκέλους. Γ. Γ ενικά είδη αμετάκλητου έργου Σε ατυχήματα με οχήματα, οι πιο συνηθισμένες μορφές αμετάκλητου έργου είναι οι εξής: α. Φρενάρισμα και ντεραπάρισμα, β. Τσαλάκωμα των λαμαρινών των οχημάτων, γ. Αναποδογύρισμα, δ. Ζημιές από τη συντριβή ή τη σύγκρουση σε μη-οχήματα, όπως τηλεφωνικούς στύλους, κιγκλιδώματα γεφυρών, πινακίδες κατεύθυνσης, κτλ. Αν κάποιος θέλει να λεπτολογήσει, τα παραπάνω επί μέρους στοιχεία «β» και «γ» είναι και τα δύο ζημιές στις λαμαρίνες. Ωστόσο, η μηχανική σε ένα αναποδογύρισμα είναι αρκετά διαφορετική από μια συνηθισμένη συντριβή σύγκρουσης ώστε να δικαιολογεί την εξέτασή της ξεχωριστά. Μια πέμπτη, πολυποίκιλη κατηγορία μπορεί να προστεθεί, η οποία συσσωρεύει λιγότερο συνηθισμένα είδη αμετάκλητου έργου. Μερικά από αυτά τα ποικίλα είδη αμετάκλητου έργου περιλαμβάνουν: α. Οδήγηση σε μια βαθιά λίμνη με νερό, β. Οδήγηση σε μουσκεμένη άμμο, λάσπη, βαθύ χιόνι ή φρεσκο-οργωμένο χωράφι, γ. Οδήγηση σε αράδα από άχυρα, και δ. Το να αφήσουμε την αντίσταση του αέρα, την τριβή κύλισης και τη βραδύτητα της μηχανής να επιβραδύνουν το όχημα μέχρι να σταματήσει. Γενικά, τα παραπάνω στοιχεία ποικίλου αμετάκλητου έργου περιλαμβάνουν φρενάρισμα που δρα αργά, το οποίο μπορεί να προκαλέσει μόνο περιορισμένη ζημιά στο ίδιο το όχημα. Αυτές οι περιπτώσεις μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογιστούν απευθείας και ίσως απαιτούν ειδική μελέτη ανά περίπτωση. Συχνά, τέτοιες περιπτώσεις απαιτούν επί τόπου διερεύνηση για να οριστούν ακριβώς οι σχετικές παράμετροι. 12

13 Όταν ένα όχημα εξέλκεται από λάσπη, άμμο ή οτιδήποτε, είναι μερικές φορές χρήσιμο να τοποθετηθεί ένας μετρητής φορτίου στο σχοινί ρυμούλκησης, για να μετρηθεί η έλξη ρυμούλκησης. Συγκρίνοντας αυτήν με την έλξη ρυμούλκησης σε επίπεδο, σταθερό οδόστρωμα, μπορούμε να μετρήσουμε την αντίσταση τριβής του μέσου. Ωστόσο, τα παραπάνω ίσως να μην είναι επαρκή για μια λίμνη με νερό. Η αντίσταση που υπολογίζεται όταν ένα όχημα εξέλκεται αργά από μία λίμνη με νερό, μπορεί να μην είναι η ίδια όπως αυτή που θα υφίστατο από το όχημα αν περνούσε μέσα από αυτήν με ταχύτητα. Γενικά, η αντίσταση τριβής του νερού είναι συνάρτηση της προς τα εμπρός ταχύτητας ενός οχήματος, σχεδόν όπως η αντίσταση του αέρα. Περαιτέρω περιπλοκή μπορεί να παρουσιαστεί αν το όχημα είχε αρκετή ταχύτητα ώστε να αιωρηθεί πάνω από την επιφάνεια του νερού πριν βυθιστεί. Και φυσικά, υπάρχει προφανώς περιπλοκή όταν έχουμε να κάνουμε με νερό το νερό κατά κανόνα δεν φανερώνει σημάδια ντεραπαρίσματος για να επισημάνουμε την πορεία ενός οχήματος. Ευτυχώς (ή δυστυχώς για τον οδηγό), όταν ένα όχημα οδηγηθεί εκτός μιας αποβάθρας, προβλήτας ή άλλου παρόμοιου σημείου, έχει επαρκή γωνία εφόδου με το νερό ώστε να «δαγκώσει» ή να «αρπάξει» το νερό, παρά να το υπερπηδήσει ή να αιωρηθεί πάνω από αυτό. Το σημείο όπου βυθίζεται το όχημα, θα είναι συχνά το τελικό σημείο της τροχιάς από την αποβάθρα, την προβλήτα, ή οτιδήποτε. Σε τέτοιες περιπτώσεις, το πρόβλημα τότε μπορεί να λυθεί ως μια απλή τροχιά σώματος. Όσον αφορά την αντίσταση του αέρα, την αντίσταση κύλισης και τη βραδύτητα της μηχανής, τα θέματα αυτά εμπεριέχονται σε άλλες μελέτες. Όπως επίσης η κατηγορία αμετάκλητου έργου που αφορά φρενάρισμα και ντεραπάρισμα. Συνεπώς, τα εναπομείναντα στοιχεία για εξέταση, είναι οι ζημιές από αναποδογύρισμα και συντριβή. Γ. Αναποδογυρίσματα Πλευρικό αναποδογύρισμα είναι αυτό κατά το οποίο το όχημα αρχικά περιστρέφεται γύρω από τη γραμμή που σχηματίζεται από τους τροχούς είτε της δεξιάς είτε της αριστερής πλευράς. Η κινητική ενέργεια από την κίνηση του αυτοκινήτου μετατρέπεται σε έργο, το οποίο μετά ανυψώνει το κέντρο βαρύτητας του οχήματος με την περιστροφή. Όταν το όχημα ανυψώνεται με αυτόν τον τρόπο, η δυνητική του ενέργεια αυξάνεται. Καθώς το όχημα περιστρέφεται ή αναποδογυρίζει κατά 360 μοίρες, θα περάσει από τέσσερα σημεία ισορροπίας ή αστάθειας. Κάθε ένα από αυτά τα σημεία αστάθειας είναι μια θέση κατά την οποία η τοπική δυνητική ενέργεια του οχήματος βρίσκεται στο ανώτατο όριο. 13

14 Εικόνα 1, Κ.Β. (Κέντρο Βαρύτητας) από την άκρη του οχήματος Αν η μετατροπή της κινητικής ενέργειας σε έργο είναι επαρκής προκειμένου να ανυψώσει το κέντρο βαρύτητας του οχήματος περισσότερο από την ανύψωση του πρώτου σημείου ανώτατης δυνητικής ενέργειας, το όχημα θα συνεχίσει να αναποδογυρίζει. Αν η μετατροπή της κινητικής ενέργειας είναι ανεπαρκής προκειμένου να ανυψώσει το κέντρο βαρύτητας πάνω από το πρώτο σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας, το όχημα θα σηκωθεί απλά στη μία πλευρά του, και μετά θα ξαναπέσει στις ρόδες. Η εικόνα 1 δείχνει την μπροστινή όψη ενός οχήματος με το κέντρο βαρύτητας να βρίσκεται σε «α» απόσταση από το οδόστρωμα, και «ό» απόσταση από το εξωτερικό άκρο των ελαστικών. Το πρώτο σημείο αστάθειας, ή σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας ενός οχήματος που αναποδογυρίζει πλευρικά, δίνεται ως εξής: ύι = [α2 + ό2]1/2 (χχνΐΐΐ) όπου ύ1= πρώτο σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας κατά τη διάρκεια πλευρικού αναποδογυρίσματος. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το «ύ1» όπως δίνεται παραπάνω, δεν είναι ακριβές. Κατά τη διάρκεια αναποδογυρίσματος του οχήματος, το βάρος που φέρουν τα ελαστικά και η ανάρτηση στην πλευρά που δεν γυρίζει ανάποδα, θα διπλασιαστεί, προκαλώντας κάποιο επιπρόσθετο εκτόπισμα προς τα κάτω ή «κάθισμα». Αν το αναποδογύρισμα είναι γρήγορο, το προς τα κάτω εκτόπισμα μπορεί να είναι σχετικά αμελητέο μιας και το σύστημα ανάρτησης μπορεί να μειωθεί έτσι ώστε να μην έχει το χρόνο να ανταποκριθεί. Όπως και να χει, αν χρειαστεί, παρακάτω δίνεται μια εκδοχή της εξίσωσης (χχνΐΐΐ) με «κάθισμα». ύι = [α2 + ό2]1/2 - ( '/ 2 ^ όπου (χχΐχ) ' / 2 = το επιπλέον φορτίο που φέρουν οι πλευρικοί τροχοί κατά το αναποδογύρισμα, k = η σταθερά γραμμικής ελαστικότητας του συστήματος ανάρτησης όπου 14

15 -(Δ ζ^ = η δύναμη που εφαρμόζεται. Για τους σκοπούς αυτής της παραγράφου, η εξίσωση (χχνΐΐΐ) δίνει επαρκή προσέγγιση του «ύι». Η γωνία κατά την οποία πρέπει το όχημα να γυρίσει ανάποδα για να ισορροπήσει στο πρώτο σημείο αστάθειας, δίνεται από τα παρακάτω: α = ΆΓοίΆη (Θ/ά) Η γωνία «ά» δίνεται συνήθως σε μοίρες. (χχχ) Σε ένα συνηθισμένο αυτοκίνητο όπου α = 24 ίντσες (6 1 ^ ), ύ = 33 ίντσες (8 4 ^ ) και ο = 30 ίντσες (76,2^), το «ά» είναι περίπου 54 μοίρες και το «ύι» είναι περίπου 40,8 ίντσες (103,6^). Ένα δεύτερο σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας παρατηρείται όταν το όχημα γυρίζει από τη θέση 90 μοιρών (στην πλευρά) στη θέση 180 μοιρών (στην κορυφή του). Αν το όχημα έχει πάνω-κάτω σχήμα βαγονιού, το δεύτερο σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας δίνεται από τα παρακάτω: ύ2 = [ύ2 + ο2]12 (χχχΐ) Η θέση του δεύτερου σημείου ανώτατης δυνητικής ενέργειας δίνεται από τα παρακάτω: ύ = 90 + ατοίαη (ο/ύ) (χχχΐΐ) Αν τα ίδια μεγέθη, όπως σημειώθηκε παραπάνω, αντικατασταθούν στις εξισώσεις (χχχΐ) και (χχχΐΐ), προκύπτει ότι το «ύ2» είναι 44,6 ίντσες (113,28^) και το «ύ» είναι 132 μοίρες. Υπάρχει επίσης τρίτο και τέταρτο σημείο ανώτατης δυνητικής ενέργειας, τα οποία είναι συμμετρικά προς τα δύο πρώτα σημεία. Χρησιμοποιώντας τις ίδιες σταθερές όπως προηγουμένως, το τρίτο σημείο βρίσκεται σε γωνία 228 μοιρών με «ύ3» στις 44,6 ίντσες(113,28^), και το τέταρτο σημείο βρίσκεται σε γωνία 306 μοιρών με «ύ4» στις 40,8 ίντσες (103,6^). Με βάση τις ίδιες σταθερές οχημάτων όπως δίνονται παραπάνω, ο ακόλουθος πίνακας δείχνει τις σχετικές ανυψώσεις του κέντρου βαρύτητας, καθώς το όχημα γυρίζει ανάποδα από τα πλάγια μέχρι 360 μοίρες. Θεωρείται αληθές το ότι δεν υπάρχει σημαντική σύγκρουση κατά τη διάρκεια του αναποδογυρίσματος έτσι ώστε να αλλάζουν τα αρχικά μεγέθη του οχήματος. Εικόνα 2. Ζημία απο αναποδογυρισμα στην οροφή ενός Thnunderbird 15

16 Π ίνακας 1. Ανύψωση του Κέντ )ου Βάρους - Αναποδογύρισμα Θέση γωνίας ανύψωση του ανύψωση του παρατηρήσεις σε μοίρες Κ. Β. σε ίντσες Κ. Β. σε ^ όρθιο ,1 1 ο σημείο μέγ. ανύψ. Κ.Β ,8 στην πλευρά ,3 2 ο σημείο μέγ. ανύψ. Κ.Β ,2 ανάποδα ,3 3 σημείο μέγ. ανύψ. Κ.Β ,82 στην άλλη πλευρά ,14 4ο σημείο μέγ. ανύψ. Κ.Β ,96 όρθιο Ουσιαστικά, αν οι διάφορες τιμές των ανυψώσεων του κέντρου βαρύτητας στον πίνακα 1 χρησιμοποιηθούν για να καταρτίσουμε ένα διάγραμμα έναντι των αντιστοίχων γωνιών περιστροφής του αναποδογυρίσματος, δημιουργείται πλοκή της δυνητικής ενέργειας ενάντια στη γωνία αναποδογυρίσματος. Η εικόνα 3 είναι μια τέτοια πλοκή. Μια προσεκτική εξέταση του διαγράμματος στην εικόνα 3, μας δίνει αρκετά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Κατ αρχήν, η θέση του αυτοκινήτου όταν είναι όρθιο, είναι η βάση η οποία ελαχιστοποιεί τη δυνητική ενέργεια. Αυτή είναι η πιο σταθερή θέση του οχήματος. Η δεύτερη πιο σταθερή θέση είναι όταν το αυτοκίνητο στέκεται στην οροφή του. Για να είναι η οροφή η πιο σταθερή θέση, θα έπρεπε να συντριβεί για περισσότερο από 6 ίντσες (15,2 ^ ). στην πλευρά στην πλευρά ανάποδα ορθιο 48 Ht 36 of Κ.Β. 24 ορθιο Γώνια περιστροφής κατα το Αναποδονυρισμα Εικόνα 3. Πλοκή του Κ.Β. έναντι της Γ ωνίας Αναποδογυρίσματος Κατά τη διάρκεια αναποδογυρίσματος, το κέντρο βαρύτητας του οχήματος έχει τέσσερις «κορυφές» ενέργειας να ανέβει και τέσσερις «κλίσεις» ενέργειας για να γλιστρήσει προς τα κάτω. Η πρώτη «κορυφή» είναι μια αλλαγή 17 ιντσών (43,2 ^ ). Μετά την πρώτη «κορυφή», υπάρχει μια «κλίση» 8 ιντσών (2 0,3 ^ ) στην πλευρά ή θέση παύσης 90 μοιρών. Η δεύτερη 16

17 κορυφή είναι μια αλλαγή των 12 ιντσών (30,5οω) από τη θέση των 90 μοιρών, και μια συνολική αλλαγή 21 ιντσών (53,3οω) από την αρχική θέση των 0 μοιρών. Μετά τη δεύτερη «κορυφή», υπάρχει μια «κλίση» 15 ιντσών (38οω) μέχρι τη θέση των 180 μοιρών, δηλαδή ανάποδα. Από εμπειρία παίζοντας με παλιούς σωρούς σε μάντρες άχρηστων υλικών, οι παρακάτω «κανόνες» αναφορικά με το παράδειγμα του οχήματος φαίνεται να ισχύουν στα αναποδογυρίσματα: 1. Αν πραγματοποιηθεί αρκετό έργο για να γυρίσει το αυτοκίνητο ανάποδα στην πρώτη «κορυφή», το αυτοκίνητο τότε θα σταματήσει στην πλευρά του. Χρειάζονται 17 ίντσες (43,2 οω) ενέργειας για να επιτευχθεί αυτό. Οκτώ ίντσες ενέργειας θα χαθούν στην συντριβή, τη μείωση και την τριβή. Οι υπόλοιπες εννέα ίντσες ενέργειας πηγαίνουν στην αύξηση της συνολικής δυνητικής ενέργειας του οχήματος. 2. Αν πραγματοποιηθεί αρκετό έργο για να γυρίσει το αυτοκίνητο στην οροφή του, θα χρειαστούν άλλες δώδεκα ίντσες ενέργειας για να πάει από τη θέση στην πλευρά στην θέση στην οροφή. Ένα σύνολο 29 ιντσών (73,7οω) ενέργειας έχει δαπανηθεί ως τώρα. 3. Για να συνεχίσει να αναποδογυρίζει από την θέση ανάποδα στην άλλη του πλευρά, χρειάζονται άλλες 15 ίντσες (38οω) ενέργειας για να φτάσει στην επόμενη «κορυφή». Ένα σύνολο 44 ιντσών (111,8οω) ενέργειας έχει δαπανηθεί ως τώρα. 4. Για να ολοκληρωθεί το γύρισμα και η προσγείωση ξανά σε όρθια θέση, χρειάζονται άλλες 8 ίντσες (20,3οω) ενέργειας για να φτάσει στην τελευταία «κορυφή». Αυτό τότε σημαίνει ένα σύνολο περίπου 52 ιντσών (132οω) ενέργειας για να ολοκληρωθεί ένα αναποδογύρισμα 360 μοιρών. Το παραπάνω σενάριο συμπεραίνει εκ προοιμίου ότι η ενέργεια του οχήματος στην «κατηφορική» πλευρά των κορυφών στην εικόνα 2, διασκορπίζεται στην πορεία από την τριβή, τη συντριβή, τη μείωση, κτλ. Για τις περισσότερες περιπτώσεις, αυτή είναι μία λογική προσέγγιση όταν το όχημα αναποδογυρίζει λίγο-πολύ σε επαφή με το έδαφος. Γενικεύοντας από τα παραπάνω, οι παρακάτω εξισώσεις δείχνουν ποια θα είναι η δαπάνη της ενέργειας για τις διάφορες θέσεις παύσης μετά το αναποδογύρισμα. Περίπτωση I. Σχεδόν αναποδογύρισμα. Το όχημα ανυψώνεται, αλλά δεν φτάνει το πρώτο σημείο αστάθειας και πέφτει πάλι πίσω στις ρόδες του. όπου ϋ < '^ ύ 1- α) ϋ < ^ ^ ε2 + ^ ] 1/2 - α) ϋ = έργο που δαπανάται στο αναποδογύρισμα, και W = το βάρος του οχήματος. (χχχΐΐΐ) Περίπτωση II. Αναποδογύρισμα το οποίο καταλήγει σε θέση στην πλευρά. U = W(hi-a) (xxxiv) Περίπτωση III. Αναποδογύρισμα το οποίο καταλήγει στην οροφή. U = W([b2 + c2]1/2 - b + [a2 + b2]1/2 - a) (xxxv) U = W (hi - a + h2 - b) 17

18 Περίπτωση IV. Αναποδογύρισμα το οποίο καταλήγει στην άλλη πλευρά του οχήματος. U = W([b2 + c2]1/2 b + [a2 + b2]1/2 a + [b2 + c2]1/2 c) U = W(h1 - a + 2h2 - b - c) (xxxvi) Περίπτωση V. Αναποδογύρισμα το οποίο καταλήγει ξανά σε όρθια θέση. U = W([b2 + c2]1/2-2b + 2[a2 + b2]1/2 - a + [b2 + c2]1/2 - c) U = W(2h1- a + 2h2-2b - c) (xxxvii) Βεβαίως, θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι παραπάνω εξισώσεις έχουν αναπτυχθεί για αυτοκίνητο: 1. το οποίο είναι λίγο-πολύ ένα στέρεο ορθογώνιο, 2. στο οποίο δεν έχει γίνει σημαντική συντριβή η οποία να αλλάξει χονδροειδώς τα αρχικά μεγέθη, 3. στο οποίο το «κάθισμα» εξαιτίας της μετατόπισης φορτίου στη μία πλευρά του οχήματος κατά τη διάρκεια του αρχικού αναποδογυρίσματος είναι αμελητέο. Οι παραπάνω εξισώσεις δεν θα χρησίμευαν ακριβώς για ανοικτά ημιφορτηγά, μιας και τα φορτηγά μπορεί να «τρεκλίσουν» από μπρος προς τα πίσω όταν είναι ανάποδα. Ομοίως, οι ρυμούλκες σε νταλίκες κατά πάσα πιθανότητα δεν θα γύριζαν ανάποδα όπως θα γύριζε ένα αυτοκίνητο. Είναι πιθανότερο να γύριζαν στο πλάι έχοντας κλίση, παρουσιάζοντας επαφή με το έδαφος ταυτόχρονα στην μπροστινή άκρη του καπό, και στην κορυφή της οροφής. Ωστόσο, οι αρχές που παρουσιάστηκαν για την ανάπτυξη εξισώσεων για ένα στέρεο ορθογώνιο αυτοκίνητο, είναι ίδιες για άλλα σχήματα οχημάτων. Αν υποθέσουμε ότι χρησιμοποιείται το ίδιο παράδειγμα οχήματος όπως προηγουμένως, και ότι το δείγμα οχήματος έχει βάρος lbs (1134kgr), τότε η ελάχιστη ταχύτητα κατά την οποία θα μπορούσε να συμβεί ένα αναποδογύρισμα υπολογίζεται ως εξής: Ά mv2 = W([a2 + b2]1/2 - a) v = {2g{a2 + b2]1/2 - a)}1/2 v = 9,5 ft/sec (2,89m/sec). (xxxviii) Να σημειωθεί ότι το βάρος του οχήματος καταργείται εν μέρει από τον όρο της μάζας στο αριστερό σκέλος, έτσι ώστε η εξίσωση καταλήγει να χρησιμοποιεί το «g». Η εξίσωση (xxxviii) είναι ανεξάρτητη από το βάρος του οχήματος. Η παραπάνω λύση που βρέθηκε στην εξίσωση (xxxviii) δε σημαίνει ότι ένα όχημα θα γυρίζει ανάποδα όποτε κινείται πλαγίως στα 9,5 ft/sec(2,89m/sec). Ωστόσο, αν κινούνταν πλαγίως στα 9,5 ft/sec(2,89m/sec). και οι ρόδες της μιας πλευράς έβρισκαν σε κράσπεδο ή κάτι το οποίο στιγμιαία θα κρατούσε τους τροχούς ακινητοποιημένους, τότε θα μπορούσε να συμβεί αναποδογύρισμα. Ο όρος της ταχύτητας στην εξίσωση (xxxviii) είναι η πλάγια ή εγκάρσια ταχύτητα του κέντρου βαρύτητας όταν οι τροχοί αποτρέπονται ταυτόχρονα από εγκάρσια κίνηση. Αν υποθέσουμε τα ίδια πράγματα για το παράδειγμα οχήματος όπως προηγουμένως, αλλά το αναποδογύρισμα συνεχίσει κατά 360 μοίρες μέχρι το όχημα να ξαναέρθει σε όρθια θέση, τότε η ελάχιστη ταχύτητα κατά την οποία θα μπορούσε να συμβεί ένα αναποδογύρισμα υπολογίζεται ως εξής: Ά mv2 = W(2h1- a + 2h2-2b - c) v = 16,5 ft/sec (5,029m/sec) (xxxix) 18

19 Οι παραπάνω υπολογισμοί στις εξισώσεις (χχχνΐΐΐ) και (χχχΐχ) δείχνουν ότι πραγματικά δε χρειάζεται πολύ μεγάλη ταχύτητα για να έχουμε αρκετή ενέργεια ώστε να γυρίσει ένα όχημα ανάποδα. Με άλλα λόγια, ένα πλάγιο αναποδογύρισμα δεν δαπανά πολλή ενέργεια. Για παράδειγμα, η ενέργεια που απαιτείται για το αναποδογύρισμα 360 μοιρών της εξίσωσης (χχχΐχ) είναι ίση με ένα γλίστρημα μήκους 6 ποδών (1,82m), αν ο συντελεστής τριβής είναι 0,7. Ε. Τουμπάρισμα Το «τουμπάρισμα» συμβαίνει όταν ένα αυτοκίνητο ή άλλου τύπου όχημα περιστρέφεται από το ένα άκρο στο άλλο. Συνήθως, το πίσω άκρο του οχήματος σηκώνεται και περιστρέφεται γύρω από τις μπροστινές ρόδες. Τις περισσότερες φορές που τουμπάρει ένα όχημα, είναι το πίσω άκρο το οποίο σηκώνεται επειδή τα περισσότερα οχήματα τουμπάρουν όταν κινούνται προς μία κατεύθυνση προς τα μπρος. Όπως το αναποδογύρισμα, το τουμπάρισμα συμβαίνει όταν το κέντρο βαρύτητας του οχήματος έχει κάποια συγκεκριμένη ταχύτητα ενώ οι δύο μπροστινοί (ή πιθανόν οι δύο πίσω) τροχοί είναι στιγμιαία ακινητοποιημένοι. Μία τέτοια κατάσταση μπορεί να συμβεί αν: 1. Το όχημα χτυπήσει χαμηλό, τοίχο αντιστήριξης ή ανάχωμα. 2. Το όχημα φύγει από το δρόμο έτσι ώστε το μπροστινό άκρο του αυτοκινήτου να πέσει κάτω και να «πιαστεί» στο χώμα. 3. Το όχημα οδηγηθεί σε ψηλό κράσπεδο. 4. Το όχημα οδηγηθεί σε ανάχωμα από αμμοχάλικο. Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις, το μπροστινό άκρο του αυτοκινήτου ακινητοποιείται στιγμιαία, ενώ το υπόλοιπο αυτοκίνητο είναι ακόμη ικανό να κινηθεί περιστρεφόμενο γύρω από τους μπροστινούς τροχούς. Αυτό συμβαίνει επειδή το κέντρο βαρύτητας του αυτοκινήτου βρίσκεται πάνω από το σημείο δύναμης η οποία σταματά το αυτοκίνητο, όπως φαίνεται στην εικόνα 3. Αν το κέντρο βαρύτητας ήταν στην ίδια ευθεία με το σημείο δύναμης, το αυτοκίνητο δεν θα υψωνόταν ούτε θα στριφογύριζε. Αν το κέντρο βαρύτητας ήταν χαμηλότερα από το σημείο δύναμης, το όχημα θα «καθόταν» κατά τη σύγκρουση, καθώς προσπαθεί να περιστραφεί προς το έδαφος. (Σε μετωπικές συγκρούσεις ή παρόμοιες, δεν είναι ασυνήθιστο για το ένα ή και τα δύο αυτοκίνητα να «κάθονται» αρκετά ώστε να κάνουν τα ελαστικά χωρίς σαμπρέλα να χάσουν το στεγανωτικό παρέμβυσμα και να ξεφουσκώσουν). Ένα τουμπάρισμα είναι πολύ πιο απλό να υπολογιστεί από ό,τι ένα αναποδογύρισμα. Ενώ ένα αναποδογύρισμα έχει τέσσερα σημεία αστάθειας και τέσσερα σημεία τοπικής σταθερότητας (όρθιο, στη δεξιά πλευρά, ανάποδα, και στην αριστερή πλευρά), ένα τουμπάρισμα έχει μόνο δύο σημεία αστάθειας και δύο σημεία τοπικής σταθερότητας. Τα δύο σημεία αστάθειας είναι το μπροστινό και το πίσω, που σημαίνει, όταν στέκεται σε ένα από τα δύο άκρα. Τα δύο σημεία σταθερότητας είναι η όρθια θέση και η θέση ανάποδα. Όλα αυτά τα σημεία, που σημαίνει και τα σταθερά και τα μη-σταθερά σημεία, είναι βασικά τοποθετημένα κατά διαστήματα 90 μοιρών το ένα απ το άλλο. 19

20 Εικόνα 4. Θέση του Κ.Β. απο το πλάι του αυτοκινήτου Ενώ θα μπορούσε να ήταν συζητήσιμο το ότι σ ένα όχημα με τετραγωνισμένο μπροστινό και πίσω μέρος υπάρχουν θεωρητικά τέσσερα σημεία αστάθειας και τέσσερα σημεία σταθερότητας σε ένα τουμπάρισμα, δεν υπάρχει καμία πρακτική σημασία στο να εξεταστούν και τα τέσσερα αυτά σημεία. Τα πρώτα δύο σημεία αστάθειας, ή «κορυφές» δυνητικής ενέργειας, είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο, και η «κοιλάδα» δυνητικής ενέργειας που μεσολαβεί ανάμεσά τους είναι τόσο περιορισμένης έκτασης, που δεν υπάρχει καμία πρακτική σημασία στο να χωριστούν τα τρία σημεία. Αυτό ισχύει επίσης και για τα δύο επόμενα σημεία αστάθειας και την «κοιλάδα» δυνητικής ενέργειας που μεσολαβεί. Τα παραπάνω θα έπρεπε να είναι διαισθητικά προφανή. Τα οχήματα κανονικά δεν τουμπάρουν απλά και ακινητοποιούνται ισορροπούμενα σαν πέτρες που στέκονται στα άκρα τους. Είναι πολύ δύσκολο να στηθεί ένα όχημα είτε στο μπροστινό είτε στο πίσω άκρο και να μην κουνηθεί καθόλου. Ενώ αυτό θα μπορούσε πιθανά να γίνει με μια λεπτή «πινελιά» και ένα πολύ τετραγωνισμένο όχημα, μια τέτοια λεπτή «πινελιά» δε συμβαίνει σε ατυχήματα με οχήματα. Τα οχήματα σε περιπτώσεις ατυχημάτων συνήθως απλώς τσακίζονται από δω κι από κει σαν μοναχικοί επικίνδυνοι ελέφαντες. Όπως προηγουμένως με τα αναποδογυρίσματα, η ενέργεια που χρειάζεται για να τουμπάρει ένα όχημα, είναι βασικά μια συνάρτηση του έργου που χρειάζεται για να ανυψώσει το κέντρο βαρύτητας. Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιείται το ίδιο παράδειγμα αυτοκινήτου όπως εξετάστηκε προηγουμένως και ότι έχει το ίδιο κέντρο βαρύτητας, δηλαδή, ά = 24 ίν (61οω)., ύ = 33 ίν (83,8οω)., και ο = 30 ίν (76,2οω). Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι όπως δείχνει η εικόνα 3, τα άλλα μεγέθη που προσδιορίζουν τη θέση του κέντρου βαρύτητας από το πλάι είναι ό = 75 ίν. (190,5οω), και υ = 115 ίν. (292,1οω). Τότε μπορούμε να φτιάξουμε έναν πίνακα παρόμοιο με τον Πίνακα 1, ο οποίος δείχνει τη διακύμανση της ανύψωσης του κέντρου βαρύτητας, καθώς ένα όχημα τουμπάρει προς τα εμπρός. Πίνακας 2. Ανύψωση του Κέντρου Βαρύτητας - Τουμπάρισμα Θέση γωνίας ανύψωση του ανύψωση του παρατηρήσεις σε μοίρες Κ. Β. σε ίντσες Κ. Β. σε οω όρθιο ,5 στεκούμενο στο μπροστινό άκρο ,2 ανάποδα ,1 στεκούμενο στο πίσω άκρο όρθιο 20

21 Όπως στο όχημα του παραδείγματος, τα περισσότερα αυτοκίνητα έχουν το κέντρο βαρύτητάς τους αρκετά πιο κοντά στο μπροστινό άκρο του αυτοκινήτου, παρά στο πίσω. Αυτό σημαίνει ότι είναι σημαντικά ευκολότερο να τουμπάρει ένα αυτοκίνητο προς το μπροστινό άκρο παρά προς το πίσω. Αν τα μεγέθη στον πίνακα 2 καταρτίζονταν σε διάγραμμα, όπως αυτά του πίνακα 1, οι «κορυφές» θα παρατηρούνταν στις 90 και στις 270 μοίρες, και οι «κοιλάδες» θα παρατηρούνταν στις 0 και στις 180 μοίρες. Ενώ ο πίνακας 3 δείχνει την ανύψωση του κέντρου βαρύτητας κατά τη διάρκεια ενός τουμπαρίσματος 360 μοιρών, είναι πολύ ασυνήθιστο για ένα αυτοκίνητο το να τουμπάρει κάνοντας μια πλήρη περιστροφή. Σε πολλές περιπτώσεις, ένα αυτοκίνητο θα τουμπάρει αρχικά μέχρι την οροφή του, και αν έχει απομείνει αρκετή κινητική ενέργεια, ίσως τότε να αναποδογυρίσει, παρά να συνεχίσει το τουμπάρισμα. Υπάρχει μια τάση για αναποδογύρισμα ακόμη και όταν υπάρχει επαρκής ενέργεια διαθέσιμη για να συνεχιστεί το τουμπάρισμα. Οι υποκρυπτόμενοι λόγοι για αυτή τη συμπεριφορά έχουν τις ρίζες τους στην περιστροφική δυναμική και αξίζουν μια σύντομη ματιά, αν και δεν σχετίζονται ακριβώς με το προκείμενο θέμα. Ένα παρόμοιο φαινόμενο περιστροφής παρουσιάζεται με ένα βιβλίο, το οποίο έχει σημαντικά μεγαλύτερο μήκος απ ό,τι πλάτος. Αν κάποιος προσπαθήσει να προκαλέσει «περιστροφή» στο βιβλίο, που σημαίνει να το περιστρέψει γύρω από μια γραμμή παράλληλη στο βιβλιοδετικό του κάλυμμα, τον μακρύ άξονα, το βιβλίο θα περιστραφεί σταθερά γύρω από τον άξονα. Αν κάποιος ύστερα αποπειραθεί να περιστρέψει το βιβλίο γύρω από μία γραμμή παράλληλη με το επάνω άκρο κατά πλάτος, τον κοντό άξονα, το βιβλίο ίσως αρχίσει να κατρακυλά ή να ταλαντεύεται καθώς περιστρέφεται μετά από 180 μοίρες στριφογυρίσματος. Είναι ολοφάνερα δυσκολότερο να κάνει κανείς το βιβλίο να περιστραφεί ομαλά γύρω από τον κοντό του άξονα, απ ό,τι γύρω από τον μακρύ του άξονα. Το φαινόμενο αυτό είναι συνέπεια των Εξισώσεων Κίνησης του Euler, και της ροπής της αδράνειας της μάζας στους τρεις κύριους άξονες. Οι Εξισώσεις Κίνησης του Euler, οι οποίες παρουσιάζονται παρακάτω, συσχετίζουν τη ροπή στρέψης, τη γωνιακή ταχύτητα, τη γωνιακή επιτάχυνση, και τη ροπή της αδράνειας της μάζας. Εφαρμόζονται σε αντικείμενα όπως σβούρες, γυροσκόπια και άλλα αντικείμενα τα οποία περιστρέφονται, με δύο ή τρεις διαστάσεις. Χωρίς να παρουσιαστούν οι πηγές, σε ένα στερεό σώμα το οποίο έχει συμμετρία γύρω από τους τρεις κύριους άξονές του, ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις: Tx = Ex^x + (Izz Iyy)ωzωy Ty = EyOy + (Ixx E z^ x ^ Tz = EzOz + (Iyy Ixx)ωyωx όπου Τ = ροπή ή ροπή στρέψης γύρω από τον άξονα «i», (xl) Iii = ροπή της αδράνειας της μάζας γύρω από τον άξονα «i-i», ωi = γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα «i», και ^ = d^)/dt, γωνιακή επιτάχυνση γύρω από τον άξονα «i». (Σημείωση: Μια εξαιρετική πηγή για τις Εξισώσεις Κίνησης του Euler μπορείτε να βρείτε στο κείμενο «Δυναμική», από τους Pestel και Thomson, McGraw-Hill, 1968, σελίδες ) Δύο στοιχεία είναι προφανή μετά από προσεκτική εξέταση των παραπάνω εξισώσεων. Πρώτον, αν οι ροπές της αδράνειας της μάζας είναι όλες ίσες, όπως θα ήταν σε μια σφαίρα, τότε και οι τρεις εξισώσεις θα γίνονταν απλά «Ι α = Ti». Όταν και οι τρεις ροπές της 21

22 αδράνειας της μάζας είναι διαφορετικές η μία από την άλλη, είναι πιθανό να σημειωθεί διασύνδεση ανάμεσα στις περιστροφικές κινήσεις των τριών αξόνων. Αυτή η διασύνδεση κάνει τις περιστροφικές κινήσεις να συμπεριφέρονται πολύ διαφορετικά από τις γραμμικές κινήσεις. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μια σβούρα εξασθενεί όταν γέρνει ενώ στροβιλίζεται, και είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους είναι ευκολότερο να ισορροπήσουμε ένα κινούμενο ποδήλατο από ένα που είναι σταματημένο. Αν οι συντεταγμένες του οχήματος είναι προσανατολισμένες έτσι ώστε το «x-x» να είναι κατά μήκος μιας γραμμής από τη δεξιά πλευρά ως την αριστερή πλευρά του οχήματος, το «yy» να είναι κατά μήκος μιας γραμμής από μπροστά μέχρι πίσω, και το «z-z» να είναι κατά μήκος μιας γραμμής από το κάτω ως το πάνω μέρος του, βρίσκουμε γενικά ότι τα «Ixx» και «Izz» είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει επειδή η κατανομή της μάζας από τον άξονα της περιστροφής είναι περίπου ίδια και στις δύο περιπτώσεις για τους περισσότερους τύπους οχημάτων. Για τα περισσότερα οχήματα, η ελάχιστη ροπή της αδράνειας της μάζας είναι γύρω από τον άξονα «y-y», και είναι συνήθως σημαντικά μικρότερη από τις άλλες δύο ροπές της αδράνειας της μάζας κατά μήκος των κύριων αξόνων. Στον όρο «Iyy», η γραμμή περιστροφής περνά περισσότερο από τη μάζα, γεγονός που «εκμηδενίζει» αυτό το μερίδιο της μάζας στον υπολογισμό της ροπής της αδράνειας. Επίσης, η ανώτατη απόσταση από τον άξονα είναι ίσως μόνο το 1/3 ή το V* αυτής των άλλων αξόνων. Συνεπώς, είναι ευκολότερο να περιστραφεί ένα αυτοκίνητο γύρω από τον κοντό του άξονα, παρά γύρω από τον μακρύ του άξονα. Όταν μια ροπή στρέψης εφαρμόζεται στον όρο «Iyy», σημειώνεται περιστροφική αντίδραση μεγαλύτερη από ό,τι θα σημειωνόταν αν εφαρμοζόταν στις άλλες δύο ροπές της αδράνειας. Εφαρμόζοντας τα παραπάνω γενικά ευρήματα στις εξισώσεις (xl), αποκομίζουμε τις παρακάτω απλουστευμένες Εξισώσεις Κίνησης του Euler, οι οποίες εφαρμόζονται σε πολλούς τύπους αυτοκινήτων: Tx _ Ixxttx + (Izz)WzWy Ty Iyyαy Tz _ ïzz^ (Ixx^y x όπου (Ixx-Izz) ~ 0, και Hyy <<Hxx και Hzz Μια προσεκτική μελέτη των παραπάνω εξισώσεων δείχνει ότι η ροπή στρέψης γύρω από τον άξονα «y-y» δεν αλληλοσυνδέεται με κίνηση γύρω από τους άλλους άξονες. Ωστόσο, η ροπή στρέψης είτε στον άξονα «x-x» είτε στον «z-z» αλληλοσυνδέεται με κινήσεις στους άλλους άξονες. Σε ένα αναποδογύρισμα, σημειώνεται περιστροφή γύρω από τον άξονα «y-y» εξαιτίας της εφαρμογής ροπής στρέψης στο κάτω μέρος των ελαστικών στη μία πλευρά του οχήματος. Η επίδραση μικρών περιστροφών γωνιακών ταχυτήτων γύρω από τους άλλους δύο άξονες επί της ροπής στρέψης, εξουδετερώνεται από τον όρο «(Ixx-Izz)», ο οποίος είναι μηδέν. Ωστόσο, επειδή είναι μια πράξη αναποδογυρίσματος, η περιστροφή στον άξονα «x-x» είναι έτσι κι αλλιώς μηδέν. Αυτό ισχύει επειδή, πριν το αναποδογύρισμα, το όχημα είναι σε επαφή με το έδαφος, το οποίο περιορίζει οποιαδήποτε περιστροφή στον άξονα «x-x». Συνεπώς, σε ένα αναποδογύρισμα, μπορεί να σημειωθεί περιστροφή μόνο στους άξονες «y-y» και «z-z». Οι γωνιακές ταχύτητες και στους δύο αυτούς άξονες, θα μπορούσαν να προκαλέσουν την ανάπτυξη ροπής στρέψης στην κατεύθυνση «x», αν η γωνιακή ταχύτητα στον άξονα «z-z» (xli) 22

23 ήταν σημαντική. Αλλά αυτό σημειώνεται σπάνια. Για αυτούς τους λόγους, τα αναποδογυρίσματα δεν καταλήγουν συνήθως σε τουμπαρίσματα, εκτός αν βοηθά το έδαφος. Σε ένα τουμπάρισμα, όπου η περιστροφή είναι γύρω από τον άξονα «x-x», ο όρος «(Izz- Iyy)» δεν είναι μηδέν. Ο όρος «(Izz-Iyy)» είναι η διαφορά μεταξύ των μεγίστων και των ελαχίστων ροπών της αδράνειας της μάζας του οχήματος. Εφόσον το «Iyy» είναι συνήθως πολύ μικρό σε σύγκριση με το «Izz», ο όρος «Iyy» παραλείπεται προς χάριν απλότητας. Ακόμη, δεν υπάρχει γωνιακή ταχύτητα γύρω από τον άξονα «y-y», επειδή το όχημα έχει περιοριστεί από το να περιστραφεί προς αυτήν την κατεύθυνση, από την επαφή του με το έδαφος. Επομένως, ένα όχημα μπορεί να τουμπάρει προς τα εμπρός με κάποια προηγούμενη περιστροφή γύρω από τον άξονα «z-z». Αυτό θα μπορούσε να κάνει το όχημα να συνεχίσει να εκτρέπεται με αστάθεια από την πορεία του κατά το τουμπάρισμα, και να προσγειωθεί ανάποδα σε μία μερικώς ή εντελώς πλάγια θέση. Συνεπώς, αν υπάρχει διαθέσιμη αρκετή ενέργεια, ένα όχημα θα μπορούσε να τουμπάρει κατά 180 μοίρες μέχρι την οροφή του, και μετά να συνεχίσει να αναποδογυρίζει. Σε ένα στριφογύρισμα, η περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα «z-z» (ασταθής εκτροπή από την πορεία). Ένα όχημα το οποίο εκτρέπεται από την πορεία του, συνήθως δεν θα κάνει περιστροφές προς τις άλλες δύο κατευθύνσεις, αφού το όχημα περιορίζεται από το έδαφος. Οι όροι «ωχ» και «œy» είναι μηδέν. Επιστρέφοντας στο κύριο θέμα αυτού του κεφαλαίου, η ελάχιστη κινητική ενέργεια που προκαλεί τουμπάρισμα προς τα εμπρός, έτσι ώστε το αυτοκίνητο να προσγειωθεί στην οροφή του, δίνεται από τα παρακάτω: Ά mv2 = W(d-a) όπου (xlii) m = η μάζα του οχήματος, W = το βάρος του οχήματος, v = η ταχύτητα του οχήματος, και d και a είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βαρύτητας, όπως παρουσιάζονται στις εικόνες 1 και 3. Λύνοντας προς τον όρο της ταχύτητας στην εξίσωση (xli), έχουμε τα παρακάτω: v = (2g[d - a])12 (xliii) όπου v = ελάχιστη ταχύτητα που προκαλεί τουμπάρισμα προς τα εμπρός. Για το παράδειγμα του αυτοκινήτου, αντικαθιστώντας τα μεγέθη βρίσκουμε ότι v = 16,54 ft/sec. Συγκρίνοντας αυτήν με την ταχύτητα που απαιτείται για να ξεκινήσει ένα αναποδογύρισμα, βρίσκουμε ότι ένα τουμπάρισμα προς τα εμπρός απαιτεί περίπου 74% περισσότερη ταχύτητα για να ξεκινήσει, από ό,τι ένα αναποδογύρισμα. Αναφορικά με την ενέργεια, χρειάζεται περίπου τρεις φορές περισσότερη ενέργεια για να ξεκινήσει ένα τουμπάρισμα, από ό,τι χρειάζεται για να ξεκινήσει ένα αναποδογύρισμα. Αυτό εξηγεί, εν μέρει, γιατί τα αναποδογυρίσματα είναι πιο συνήθη από τα τουμπαρίσματα. Σε ένα τουμπάρισμα προς τα εμπρός, το όχημα μερικές φορές θα προσγειωθεί στην οροφή του, η οροφή θα συντριβεί και θα θρυμματιστεί, και η κίνηση του οχήματος θα σταματήσει. Ωστόσο, επειδή χρειάζεται πολύ περισσότερη ενέργεια για να τουμπάρει ένα όχημα, παρά για να κυλήσει, υπάρχει περισσότερη διαθέσιμη ενέργεια στην πλευρά της «κατηφόρας» από το πρώτο σημείο αστάθειας. Αν η οροφή του οχήματος είναι άκαμπτη και ελαστική, είναι πιθανό να μπορέσει να αναπηδήσει επαρκώς ώστε το όχημα στη συνέχεια να γυρίσει στο πλάι. Είτε προσγειωθεί στην οροφή του είτε στο πλάι, η ενέργεια που δαπανάται είναι και πάλι η ίδια. 23

24 Αν το όχημα συνεχίσει να περιστρέφεται αφού προσγειωθεί στην πλευρά του, η υπόλοιπη περιστροφή θα συμπεριφερθεί όπως συζητήθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο σχετικά με τα αναποδογυρίσματα. Αν, ωστόσο, το όχημα δεν αναποδογυρίσει αλλά συνεχίσει να τουμπάρει κατά 360 μοίρες, τότε ισχύει το παρακάτω: Ά mv2 = W(d - a + e - ό) Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση, έχουμε: (χΐΐν) v = - a + e - ^ ) 1/2 (χΐν) Αντικαθιστώντας και πάλι τα μεγέθη από το παράδειγμα οχήματος βρίσκουμε ότι η ελάχιστη ταχύτητα για να επιτευχθεί ένα τουμπάρισμα 360 μοιρών προς τα εμπρός είναι 27,0 Αυτή είναι κατά 64% μεγαλύτερη ταχύτητα από την ελάχιστη που απαιτείται για να προκαλέσει ένα αναποδογύρισμα 360 μοιρών. Αναφορικά με την ενέργεια, απαιτεί περίπου 2,7 φορές περισσότερη ενέργεια για να προκαλέσει ένα τουμπάρισμα 360 μοιρών από ό,τι ένα αναποδογύρισμα 360 μοιρών. Ωστόσο, είτε πρόκειται για τουμπάρισμα είτε για αναποδογύρισμα, είναι αξιοσημείωτο το ότι η ελάχιστη ταχύτητα οχήματος που απαιτείται για να προκαλέσει είτε το ένα είτε το άλλο, είναι χαμηλή. Υπό τις κατάλληλες συνθήκες, ένα όχημα το οποίο κινείται ακόμη και σε σχετικά χαμηλές ταχύτητες, έχει αρκετή ταχύτητα ώστε είτε να τουμπάρει είτε να γυρίσει ανάποδα. ΣΤ. Διαμορφώνοντας πρότυπα για συντριβή οχημάτων Έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετά είδη εννοιολογικών προτύπων για να αναπαρασταθεί ένα όχημα το οποίο έχει υποστεί ζημιά από συντριβή. Μερικά προγράμματα υπολογιστών, τα οποία αναλύουν συγκρούσεις οχημάτων, έχουν διαμορφώσει ένα όχημα σαν ελαστική μπάλα. Σε ένα τέτοιο πρότυπο, η σύγκρουση θεωρείται ελαστική και η σκληρότητα των ελατηρίων είναι ίδια από οποιαδήποτε κατεύθυνση της πρόσκρουσης. Αυτό το πρότυπο «μπάλας μπιλιάρδου» λειτουργεί εύλογα καλά όταν η ώθηση της σύγκρουσης είναι μέσα στο φάσμα ελαστικής αντίδρασης του οχήματος, αλλά γίνεται γρήγορα ανεπαρκές όταν υπάρχει υψηλός βαθμός πλαστικής παραμόρφωσης. Παρατηρείται σημαντική πλαστική παραμόρφωση σε όλες, εκτός από πολύ μέτριες ταχύτητες οχημάτων. Ωστόσο, το πρότυπο έχει όντως κάποια χρησιμότητα σε ελαφρές προσκρούσεις σε μέτριες έως μεγάλες ταχύτητες, όπου το άνυσμα της κεντρικής πρόσκρουσης είναι πολύ μικρό σε σύγκριση με το άνυσμα της παράλληλης πρόσκρουσης. Ένα εναλλακτικό εννοιολογικό πρότυπο το οποίο χρησιμοποιείται σε πολλές αναλύσεις, είναι να υποθέσουμε ότι η αντίδραση παραμόρφωσης του οχήματος είναι γραμμική. Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται κατόπιν για να αναπτυχθούν οι σχέσεις δέλτα-ν έναντι των σχέσεων βάθους συντριβής. Αυτό είναι το εννοιολογικό πρότυπο το οποίο χρησιμοποιείται στο ΕΌΟβΛ8Η, ένα δημοφιλές πρόγραμμα σε υπολογιστή, το οποίο χρησιμοποιείται στην ανάλυση συγκρούσεων. Ουσιαστικά, αυτό το πρότυπο υποθέτει ότι το ποσοστό απόκλισης συντριβής στην αρχή της επαφής μεταξύ των οχημάτων (ή οτιδήποτε άλλου) είναι ίσο με την ταχύτητα προσέγγισης ανάμεσα στα οχήματα. dx/dt = ν Λ1 - ν Β1 = Δν όπου χ = εκτόπισμα συντριβής, (χΐνΐ) 24