«ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ» Επιμελήτρες: Μελισσουργού Ελένη Δασκαλάκη Κατερίνα

Transcript

1 «ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ» Επιμελήτρες: Μελισσουργού Ελένη Δασκαλάκη Κατερίνα

2 Πίνακας περιεχομένων ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ... 2 ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΤΟ DU PONT Εισαγωγή Στοιχεία λήψης αποφάσεων Περισσότερα παραδείγματα μιας φάσης Πολυεπίπεδα Προβλήματα Αποφάσεων Ο κανόνας του Bayes Ενσωματώνοντας συμπεριφορές ενόψει ρίσκου Συμπέρασμα ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ (CASES) H εταιρεία GMC Motor ΙΙ Η εταιρεία παπουτσιών Jogger H Εταιρεία χαρτιού Westhouser ΒΙΒΙΟΓΡΑΦΙΑ

3 ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΣΤΟ DU PONT Η τυπική λήψη αποφάσεων για την αντιμετώπιση της αβεβαιότητας εμφανίζεται συχνά στα πιο στρατηγικά επίπεδα της διαδικασίας σχεδιασμού μιας εταιρείας και συνήθως περιλαμβάνει τις ομάδες των υψηλόβαθμων στελεχών από όλες τις περιοχές της εταιρείας. Αυτό σίγουρα ισχύει στην περίπτωση της Du Pont, όπως αναφέρθηκε από δύο εμπειρογνώμονες της εσωτερικής ληψης αποφάσεων, τους Κρουμ και Rolle (1992), στο άρθρο τους «Διαχείριση και εφαρμογή της λήψης απόφασης και ανάλυση Κινδύνου στην Du Pont». Η χρήση της λήψης αποφάσεων στην Du Pont επίσημα ξεκίνησε στη δεκαετία του 1960, αλλά λόγω της έλλειψης της υπολογιστικής δύναμης και της δυσπιστίας της μεθόδου από τα ανώτερα επίπεδα της διοίκησης, ποτέ δεν τέθηκε σε πραγματική βάση. Ωστόσο, από τα μέσα της δεκαετίας του 1980 τα πράγματα είχαν αλλάξει σημαντικά. Η εταιρεία είχε εμπλακεί σε ένα γρήγορα μεταβαλλόμενο και πιο αβέβαιο περιβάλλον, περισσότεροι άνθρωποι σε όλη την εταιρεία είχαν την εξουσία να λαμβάνουν αποφάσεις και οι αποφάσεις αυτές έπρεπε να ληφθούν πιο γρήγορα. Επιπλέον, η ισχύς των υπολογιστών είχε φτάσει σε τέτοια μεγάλη κλίμακα, ώστε να καθιστά μια ποσοτική ανάλυση εφικτή. Από τότε, η Du Pont έχει εφαρμόσει και επίσημα την ανάλυση της λήψης αποφάσεων σε όλες τις επιχειρήσεις της, και η τάση αυτή είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα συνεχιστεί. Το άρθρο αυτό περιγράφει ένα τυπικό παράδειγμα της ανάλυσης αποφάσεων εντός της εταιρείας. Μία από τις επιχειρήσεις της Du Pont, η επιχείρηση Z (η οποία αποκαλείται έτσι για λόγους εμπιστευτικότητας), βρισκόταν σε τέλμα. Δεν είχε δημιουργηθεί, ώστε να ανταποκρίνεται γρήγορα στις μεταβαλλόμενες απαιτήσεις των πελατών, και έτσι η χρηματοοικονομική θέση της χειροτέρευε λόγω των χαμηλότερων τιμών και του μεριδίου αγοράς. To διοικητικό συμβούλιο και μια ομάδα έργου εξουσιοδοτήθηκαν για να αντιστρέψουν την κατάσταση. Η ομάδα έργου ανέπτυξε ένα λεπτομερές χρονοδιάγραμμα για την επίτευξη τριών βασικών βημάτων: να σχεδιάσουν το πρόβλημα, να εκτιμήσουν τις 2

4 αβεβαιότητες και να εκτελέσουν την ανάλυση, και να εφαρμόσουν τη συνιστώμενη απόφαση. Το πρώτο βήμα αφορούσε τη δημιουργία ενός «πίνακα στρατηγικής» για να καταγράψει τις πιθανές στρατηγικές και τους παράγοντες που θα μπορούσε να επηρεάσει ή να επηρεαστούν από αυτές. Οι τρεις βασικές στρατηγικές ήταν (1) μια στρατηγική base-case (να συνεχίσει να λειτουργεί ως έχει), (2) μια στρατηγική διαφοροποίηση των προϊόντων (ανάπτυξη νέων προϊόντων), και (3) μια στρατηγική ηγεσίας κόστους (κλείσιμο του εργοστασίου και εξορθολογισμό της παραγωγής). Στο δεύτερο στάδιο, η ομάδα ζήτησε από διάφορους σε όλη την εταιρεία τις εκτιμήσεις τους για την πιθανότητα βασικών αβέβαιων γεγονότων. Σε αυτό το στάδιο της ανάλυσης, οι εμπειρογνώμονες χρησιμοποίησαν όλες τις πληροφορίες για να καθορίσουν τη στρατηγική με την μεγαλύτερη αναμενόμενη καθαρή παρούσα αξία. Δύο σημαντικές πτυχές αυτού του σταδίου της ανάλυσης ήταν η εκτεταμένη χρήση της ανάλυσης ευαισθησίας (πολλές ερωτήσεις what-if) και η εμφάνιση νέων «υβριδικών» στρατηγικών, που επικράτησαν των στρατηγικών, που είχαν μελετηθεί ως εκείνο το σημείο. Συγκεκριμένα, η ομάδα αποφάσισε τελικά την στρατηγική διαφοροποίησης του προϊόντος, η οποία θα οδηγούσε σε μειωμένα κόστη, μέσω του κλεισίματος κάποιων εγκαταστάσεων σε κάθε μονάδα. Κατά τη φάση του τρίτου σταδίου, της εφαρμογής, η απόφαση του διοικητικού συμβουλίου απαιτούνταν να ήταν πειστική. Δεδομένου ότι όλοι οι άνθρωποι κλειδιά είχαν την ευκαιρία να συνεισφέρουν στη διαδικασία, όλοι ήταν πεπεισμένοι ότι είχε επιλεγεί η σωστή στρατηγική. Το μόνο που απέμενε ήταν να τεθεί το σχέδιο σε κίνηση και να παρακολουθούν τα αποτελέσματά της. Τα αποτελέσματα ήταν εντυπωσιακά. Η εταιρία Z πραγματοποίησε μια πλήρη ανάκαμψη, και η καθαρή παρούσα αξία της αυξήθηκε κατά περίπου 200 εκατομμύρια δολάρια. Εκτός από αυτό το απτό όφελος, υπήρχαν σαφή άυλα οφέλη από την όλη διαδικασία. Όπως δήλωσε ο αντιπρόεδρος της Du Pont για τη χρηματοδότηση: «Η D & RA (λήψη αποφάσεων και ανάλυση κινδύνου) διαδικασία βελτίωσε την επικοινωνία μέσα στην επιχειρηματική ομάδα, καθώς και μεταξύ της ομάδας και της εταιρικής διαχείρισης, με αποτέλεσμα την ταχεία έγκριση και την εκτέλεση. Ως λήπτης αποφάσεων, εκτιμώ ιδιαίτερα μια τέτοια σαφή και λογική 3

5 προσέγγιση για να λήψη αποφάσεων κάτω από συνθήκες αβεβαιότητας και θα συνεχίσω να χρησιμοποιώ την D & RA διαδικασία όποτε αυτό είναι δυνατόν» Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε ένα επίσημο πλαίσιο για την ανάλυση των προβλημάτων λήψης απόφασης που εμπεριέχουν αβεβαιότητα. Θα συζητήσουμε τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα κριτήρια για την επιλογή μεταξύ των εναλλακτικών αποφάσεων, πώς οι πιθανότητες χρησιμοποιούνται στη διαδικασία λήψης αποφάσεων, πώς οι αποφάσεις που λαμβάνονται σε πρώιμο στάδιο επηρεάζουν τις αποφάσεις σε μεταγενέστερο στάδιο, πώς ένας λήπτης αποφάσεων μπορεί να ποσοτικοποιήσει την αξία των πληροφοριών, και πώς η στάση απέναντι στον κίνδυνο μπορεί να επηρεάσει την ανάλυση. Καθ 'όλη τη διάρκεια, θα χρησιμοποιήσουμε ένα ισχυρό γραφικό εργαλείο, τα δέντρα λήψης αποφάσεων για να καθοδηγήσουμε την ανάλυση. Ένα δέντρο λήψης απόφασης επιτρέπει στον λήπτη αποφάσεων να δει όλες τις σημαντικές πτυχές ενός προβλήματος ταυτόχρονα: τις εναλλακτικές λύσεις απόφασης, τα αβέβαια αποτελέσματα και τις πιθανότητες τους, τις οικονομικές συνέπειες, και τη χρονολογική σειρά των γεγονότων. Εμείς θα σας δείξουμε πώς θα εφαρμόσουμε τα δέντρα λήψης απόφασης στο Excel, αξιοποιώντας το πλεονέκτημα ενός πολύ ισχυρού και ευέλικτου πρόσθετου από το Palisade, το οποίο ονομάζεται PrecisionTree. Πολλά παραδείγματα της λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας υπάρχουν στον κόσμο των επιχειρήσεων. Παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα. Οι εταιρείες συνήθως καταθέτουν προσφορές για τις συμβάσεις για να ολοκληρώσουν ένα συγκεκριμένο έργο μέσα σε ένα καθορισμένο πλαίσιο χρόνου. Συχνά, αυτές είναι σφραγισμένες προσφορές, όπου κάθε μία από τις εταιρείες παρουσιάζουν σε ένα σφραγισμένο φάκελο προσφορές για την ολοκλήρωση του έργου, και στη συνέχεια οι φάκελοι ανοίγονται και στον χαμηλότερο πλειοδότη γίνεται αποδεκτό το ποσό της προσφοράς για την ολοκλήρωση του έργου. Κάθε συγκεκριμένη εταιρεία στο διαγωνισμό υποβολής προσφορών πρέπει να αντιμετωπίσει την πιθανή αβεβαιότητα του πραγματικού 4

6 κόστους για την ολοκλήρωση του έργου (εάν κερδίσει την προσφορά), καθώς και την αβεβαιότητα αναφορικά με ποιες άλλες εταιρίες θα υποβάλλουν τελικά προσφορά. Η ανταλλαγή ανάμεσα στη χαμηλή προσφορά σε μια προσπάθεια να κερδίσει την προσφορά και η υψηλή προσφορά σε μια προσπάθεια να βγάλουν κέρδος. Κάθε φορά που μια εταιρεία σχεδιάζει την εισαγωγή ενός νέου προϊόντος στην αγορά, υπάρχουν μια σειρά από αστάθμητους παράγοντες που επηρεάζουν την απόφαση, ίσως το πιο σημαντικό να είναι η αντίδραση των πελατών σε αυτό το προϊόν. Εάν το προϊόν παράγει υψηλή ζήτηση των πελατών, τότε η εταιρεία θα πραγματοποιήσει ένα μεγάλο κέρδος. Αλλά αν η ζήτηση είναι χαμηλή (και επίσης η συντριπτική πλειοψηφία των νέων προϊόντων δεν πάνε καλά), τότε η εταιρεία ίσως να μην μπορεί να αποσβέσει τα κόστη ανάπτυξης. Επειδή το επίπεδο της ζήτησης των πελατών είναι κρίσιμο, η εταιρεία θα μπορούσε να προσπαθήσει να μετρήσει αυτό το επίπεδο με μια δοκιμή marketing του προϊόντος σε μια περιοχή της χώρας. Εάν η δοκιμή της αγοράς ήταν επιτυχής, η εταιρεία μπορεί τότε να είναι πιο αισιόδοξη, ότι μια πλήρους κλίμακας εθνική κυκλοφορία του προϊόντος, επίσης, θα είναι επιτυχής. Αλλά εάν η δοκιμή της αγοράς είναι αποτυχημένη,τότε η εταιρεία μπορεί να μειώσει τις ζημίες της, εγκαταλείποντας το προϊόν. Ο Borison (1995) περιγράφει μια εφαρμογή μιας τυπικής λήψης αποφάσεων από την Oglethorpe Επιχείρηση Ηλεκτρισμού (OPC), ένας προμηθευτής ηλεκτρικής ενέργειας με βάση τη Γεωργία. Η βασική λήψη απόφαση που αντιμετώπισε η OPC, ήταν αν πρέπει να οικοδομήσει μια νέα γραμμή μεταφοράς για την προμήθεια μεγάλων ποσοτήτων ηλεκτρικής ενέργειας σε περιοχές της Φλόριντα και, εφόσον αποφάσιζε να το κατασκευάσει, πώς να χρηματοδοτήσει αυτό το έργο. Η OPC έπρεπε να ασχοληθεί με αρκετές πηγές αβεβαιότητας : το κόστος κατασκευής νέων εγκαταστάσεων, τη ζήτηση για ενέργεια στη Φλόριντα, και διάφορες συνθήκες της αγοράς, όπως η τρέχουσα τιμή του ηλεκτρικού ρεύματος. Ο Ulvila (1987) περιγράφει την ανάλυση απόφαση εκτελείται από την Ταχυδρομική Υπηρεσία των ΗΠΑ σχετικά με την αγορά εξοπλισμού 5

7 αυτοματοποίησης. Μία από τις επενδυτικές αποφάσεις αφορούσε το είδος του εξοπλισμού OCR (οπτική αναγνώριση χαρακτήρων), που η ταχυδρομική υπηρεσία θα έπρεπε να αγοράσει (ή να μετατρέψει) για την ανάγνωση μονών και πολλαπλών διευθύνσεων στις συσκευασίες. Ένας σημαντικός παράγοντας σε αυτή την απόφαση ήταν το επίπεδο της χρήσης από τις επιχειρήσεις του «zip +4» (ταχυδρομικοί κώδικες εννέα ψηφίων). Η χρήση του Zip +4 είχε προταθεί για κάποιο χρονικό διάστημα, αλλά χρησιμοποιείται μόνο σποραδικά. Η Ταχυδρομική Υπηρεσία ήταν αβέβαιη για το μελλοντικό επίπεδο της χρήσης zip +4, από τις επιχειρήσεις. Εάν οι επιχειρήσεις χρησιμοποιούσαν τους κωδικούς εννέα ψηφίων σε μεγάλο βαθμό στο μέλλον, τότε είναι βέβαιο, ότι ο (ακριβός) εξοπλισμός OCR θα ήταν πιο οικονομικός. Εάν η χρήση zip +4 από την επιχείρηση δεν αυξηθεί, τότε η αγορά αυτού του εξοπλισμού θα είναι μια σπατάλη των χρημάτων. Η απόφαση αυτή ήταν ένα εξαιρετικά σημαντικό θέμα, δεδομένου του κόστους του προτεινόμενου εξοπλισμού και το γεγονότος ότι η Ταχυδρομική Υπηρεσία θα πρέπει να ζει με ό, τι εξοπλισμό έχει αγοράσει για μια σειρά ετών Οι επιχειρήσεις κοινής ωφέλειας πρέπει να λαμβάνουν πολλές αποφάσεις που έχουν σημαντικές περιβαλλοντικές και οικονομικές συνέπειες. (Ο Balson et al. (1992) προσφέρει έναν καλό διάλογο για τις συνέπειες αυτές). Για τις εταιρείες αυτές δεν είναι απαραίτητα αρκετό να συμμορφώνονται με ομοσπονδιακούς ή κρατικούς περιβαλλοντικούς κανονισμούς. Πρόσφατες δικαστικές αποφάσεις έχουν διαπιστώσει, ότι οι εταιρείες είναι υπόλογες, για τις τεράστιες εγκαταστάσεις, όταν τα ατυχήματα συνέβησαν, παρόλο που οι εταιρείες ακολούθησαν τους ισχύοντες κανονισμούς. Ως εκ τούτου, όταν οι εταιρείες κοινής ωφελείας πρέπει να αποφασίσουν, για παράδειγμα, αν πρέπει να αντικαταστήσουν τον εξοπλισμό ή τον μετριασμό των επιπτώσεων της ρύπανσης του περιβάλλοντος, θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τους τις πιθανές περιβαλλοντικές συνέπειες (όπως οι τραυματισμοί για τους ανθρώπους), καθώς και οικονομικές συνέπειες (όπως όπως μηνύσεις). Μια πτυχή αυτών των καταστάσεων, που καθιστά την λήψη αποφάσεων ιδιαίτερα δύσκολη είναι το γεγονός, ότι οι δυνητικές «καταστροφές» είναι συχνά απίθανες και ως εκ τούτου, οι πιθανότητες αυτές είναι πολύ δύσκολο να εκτιμηθούν με ακρίβεια. 6

8 10.2 Στοιχεία λήψης αποφάσεων Αν και η λήψη αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας εμφανίζεται σε μια ευρεία ποικιλία πλαισίων, όλα τα προβλήματα έχουν τρία κοινά στοιχεία: (1) το σύνολο των αποφάσεων (ή στρατηγικών) που είναι διαθέσιμα στο λήπτη αποφάσεων, (2) το σύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων και οι πιθανότητες αυτών των αποτελεσμάτων, και (3) ένα μοντέλο αξίας, που προδιαγράφει τα αποτελέσματα και (3) ένα μοντέλο αξίας, που να προδιαγράφει τα αποτελέσματα, συνήθως νομισματικές αξίες, για τους διάφορους συνδυασμούς των αποφάσεων και των αποτελεσμάτων. Μόλις γίνουν γνωστά τα στοιχεία αυτά, ο λήπτης αποφάσεων μπορεί να βρει μια «βέλτιστη» απόφαση, ανάλογα με το κριτήριο ποιότητας που επιλέγεται. Αντί να συζητάμε αυτά τα στοιχεία αφηρημένα, μπορούμε να τα εισαγάγουμε στο περιεχόμενο του ακόλουθου εκτεταμένου παραδείγματος. Παράδειγμα 10.1: Προσφορά για κυβερνητική σύμβαση από την SCITOOLS Η SciTools Incorporated είναι μια εταιρεία που ειδικεύεται σε επιστημονικά όργανα, και έχει προσκληθεί να υποβάλει προσφορά για μια σύμβαση με την κυβέρνηση. Η σύμβαση αφορά ένα συγκεκριμένο αριθμό αυτών των μέσων που πρέπει να παραδοθούν κατά τη διάρκεια του επόμενου έτους. Οι προσφορές πρέπει να είναι σφραγισμένες (έτσι ώστε καμία εταιρεία να μην ξέρει τις προσφορές των άλλων), και η πιο χαμηλή προσφορά κερδίζει τη σύμβαση. Η SciTools εκτιμά ότι θα κοστίσει $ 5000 η προετοιμασία της προσφοράς και $ 95,000 για την παροχή των μέσων, εάν κερδίσουν τη σύμβαση. Με βάση προηγούμενες συμβάσεις αυτού του τύπου, η SciTools πιστεύει αυτή είναι η όσο το δυνατόν χαμηλότερη προσφορά σε σχέση με τον ανταγωνισμό, εάν υπάρχει ανταγωνισμός, και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι αυτές που φαίνονται στον Πίνακα Επιπλέον, η SciTools πιστεύει ότι υπάρχει μια πιθανότητα 30%, ότι δεν θα υπάρξουν ανταγωνιστικές προσφορές. 7

9 Πίνακας 10.1 : Δεδομένα για το παράδειγμα των προσφορών Χαμηλή προσφορά Πιθανότητα Λιγότερα από $ ,2 Ανάμεσα σε $ και $ ,4 Ανάμεσα σε $ και $ ,3 Περισσότερο από $ Λύση Ας συζητήσουμε τα τρία στοιχεία του προβλήματος SciTools. Πρώτον, η SciTools έχει δύο βασικές επιλογές: να υποβάλει προσφορά ή να μην υποβάλει προσφορά. Αν η SciTools υποβάλλει προσφορά, τότε θα πρέπει να αποφασίσει πόσο θα είναι η προσφορά. Με βάση το κόστος SciTools για την προετοιμασία της προσφοράς και το κόστος της να παράσχει τα μέσα, προφανώς δεν υπάρχει σημείο να προσφέρει λιγότερο από $ , καθώς η SciTools δεν θα πραγματοποιήσει κέρδος, ακόμη και αν κερδίσει την προσφορά. Αν και οποιοδήποτε ποσό προσφοράς πάνω από $ θα μπορούσε να εξεταστεί, τα στοιχεία του Πίνακα 10.1 θα μπορούσαν να πείσουν την SciTools να περιορίσει τις επιλογές της στα $ 115,000, $ και $ Το επόμενο στοιχείο του προβλήματος περιλαμβάνει τα αβέβαια αποτελέσματα και τις πιθανότητές τους. Έχουμε υποθέσει, ότι η SciTools ξέρει ακριβώς πόσο θα κοστίσει για να προετοιμάσει μια προσφορά και πόσο θα κοστίσει για να παράσχει τα μέσα, αν κερδίσει την προσφορά. (Στην πραγματικότητα, αυτοί είναι πιθανώς οι εκτιμήσεις του πραγματικού κόστους). Ως εκ τούτου, η μόνη πηγή αβεβαιότητας είναι η συμπεριφορά των ανταγωνιστών της, αν θα υποβάλουν προσφορά, και αν ναι πόσο; Από τη σκοπιά SciTools, είναι δύσκολο να ληφθούν πληροφορίες. Η συμπεριφορά των ανταγωνιστών εξαρτάται από (1) το πόσοι ανταγωνιστές είναι πιθανό να κάνουν προσφορά και (2) πώς οι ανταγωνιστές υπολογίζουν τις δαπάνες τους για την παροχή των μέσων. Ωστόσο, θα υποθέσουμε 1 Το πρόβλημα με μια προσφορά όπως $ είναι ότι τα δεδομένα του πίνακα 10.1 καθιστούν αδύνατον να υπολογιστεί η πιθανότητα η SciTools να κερδίσει τη σύμβαση, εάν προσφέρει αυτό το ποσό. Εκτός από αυτό, όμως, δεν υπάρχει τίποτα που να αποκλείει μια τέτοια "ενδιάμεση" προσφορά. 8

10 ότι η SciTools έχει εμπλακεί σε παρόμοιους διαγωνισμούς στο παρελθόν και μπορεί, ως εκ τούτου, να προβλέψει τη συμπεριφορά των ανταγωνιστών από την προηγούμενη συμπεριφορά τους. Το αποτέλεσμα αυτής της πρόβλεψης είναι η κατανομή πιθανότητας του Πίνακα 10.1 και η εκτίμηση, ότι με πιθανότητα 30 % δεν θα υπάρξουν ανταγωνιστικές προσφορές. Το τελευταίο στοιχείο του προβλήματος είναι το μοντέλο αξία που μετατρέπει τις αποφάσεις και τα αποτελέσματα σε νομισματικές αξίες για τη SciTools. Το μοντέλο αξίας είναι απλό σε αυτό το παράδειγμα, αλλά μπορεί να γίνει αρκετά πολύπλοκο σε άλλες εφαρμογές, ειδικά όταν στην χρονική αξία του χρήματος εμπλέκονται και κάποιες ποσότητες (όπως το κόστος της ρύπανσης του περιβάλλοντος), οι οποίες είναι δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν. Αν η SciTools αποφασίσει τώρα να μην υποβάλει προσφορά, τότε η νομισματική αξία της είναι μηδέν δολάρια, δηλαδή κανένα κέρδος, καμία ζημιά. Αν κάνει μια προσφορά και μειοδοτήσει από έναν ανταγωνιστή, τότε χάνει $ 5000, δηλαδή το κόστος για την προετοιμασία της προσφοράς. Αν προσφέρει δολάρια B και κερδίζει τη σύμβαση, τότε θα κάνει ένα κέρδος B - $ , δηλαδή, Β δολάρια γιατί κέρδισε την προσφορά, μείον $ 5000 για την προετοιμασία της προσφοράς, δηλαδή το λιγότερο $ για την παροχή των μέσων. Για παράδειγμα, αν αυτή προσφέρει $ και αυτή είναι η χαμηλότερη ανταγωνιστική προσφορά, καθώς εάν υπάρχει, θα είναι μεγαλύτερη από $ , τότε η SciTools βγάζει ένα κέρδος $ Συχνά είναι βολικό να απαριθμήσει κανείς τα νομισματικά αποτελέσματα σε έναν πίνακα πληρωμών, όπως φαίνεται στον Πίνακα Για κάθε ενδεχόμενη απόφαση και για κάθε πιθανή έκβαση, ο πίνακας πληρωμών καταγράφει τη νομισματική αξία για τη SciTools, όπου μια θετική τιμή αντιστοιχεί σε ένα κέρδος και μια αρνητική αξία αντιπροσωπεύει μια απώλεια. Στο κάτω μέρος του πίνακα, παραθέτουμε τις πιθανότητες των διαφόρων αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι η χαμηλή προσφορά των ανταγωνιστών είναι λιγότερο από αμερικανικά δολάρια είναι 0,7 (η πιθανότητα για τουλάχιστον μία ανταγωνιστική προσφορά) πολλαπλασιάζεται με 0,2 (η πιθανότητα ότι η χαμηλότερη ανταγωνιστική προσφορά είναι λιγότερο από $ 115,000, δεδομένου ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ανταγωνιστική προσφορά). 9

11 Πίνακας 10.2 : Πίνακας πληρωμών για το παράδειγμα προσφοράς της SciTools Χαμηλότερη προσφορά ανταγωνιστών ($ 1000) Προσφορά SciTools ($ 1000) Καμία προσφορά < 115 >115, <120 >120, <125 >125 Καμία προσφορά Πιθανότητα (0.2) 0.7(0.4) 0.7(0.3) 0.7(0.1) Μερικές φορές είναι δυνατόν να απλοποιήσουμε τους πίνακες πληρωμών για να κατανοήσουμε καλύτερα την ουσία του προβλήματος. Στο παρόν παράδειγμα, εάν η SciTools προσφέρει, τότε οι μόνες αναγκαίες πληροφορίες σχετικά με την προσφορά των ανταγωνιστών είναι κατά πόσον είναι χαμηλότερη ή υψηλότερη από την προσφορά της SciTools. Δηλαδή, η SciTools ενδιαφέρεται μόνο για το εάν θα κερδίσει τη σύμβαση ή όχι. Ως εκ τούτου, ένας εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης του πίνακα πληρωμών παρουσιάζεται στον Πίνακα Πίνακας 10.3: Πίνακας πληρωμών για το παράδειγμα προσφοράς της SciTools Νομισματική αξία Προσφορά SciTools ($ 1000) Η SciTools κερδίζει Η SciTools χάνει Πιθανότητα ότι η SciTools κερδίζει Καμία ΝΑ προσφορά

12 Η τρίτη και τέταρτη στήλη του πίνακα δείχνουν τις πληρωμές της SciTools, ανάλογα με το αν κερδίζει ή χάνει την προσφορά. Η δεξιά στήλη δείχνει την πιθανότητα εάν η SciTools κερδίσει την προσφορά για κάθε ενδεχόμενη απόφαση. Για παράδειγμα, εάν η SciTools προσφέρεις $ 120,000, τότε θα κερδίσει την προσφορά, εάν δεν υπάρχουν ανταγωνιστικές προσφορές (πιθανότητα 0.3) ή εάν υπάρχουν ανταγωνιστικές προσφορές, αλλά η χαμηλότερη από αυτές είναι μεγαλύτερη από δολάρια (πιθανότητα 0.7* ( )). Σε αυτή την περίπτωση, η συνολική πιθανότητα η SciTools να κερδίσει την προσφορά είναι 0,3 + 0,28 = 0,58. Προφίλ κινδύνου: Από τον Πίνακα 10.3 μπορούμε να διαπιστώσουμε ένα προφίλ κινδύνου για κάθε μία από τις αποφάσεις της SciTools. Ένα προφίλ κινδύνου παραθέτει απλά όλες τις πιθανές νομισματικές αξίες και τις αντίστοιχες πιθανότητες πραγματοποίησής τους. Για παράδειγμα, εάν η SciTools προσφέρει δολάρια, υπάρχουν δύο νομισματικές αξίες εφικτές, ένα κέρδος $ ή μια απώλεια των $ 5000, και οι πιθανότητές τους είναι 0,58 και 0,42, αντίστοιχα. Από την άλλη πλευρά, αν η SciTools αποφασίσει να μην υποβάλει προσφορά, υπάρχει μία σίγουρη νομισματική αξία των $ 0 -κανένα κέρδος, καμία ζημιά. Ένα προφίλ κινδύνου μπορεί επίσης να απεικονίζεται γραφικά με ένα ραβδόγραμμα. Υπάρχει μία μπάρα πάνω από κάθε δυνατή οικονομική αξία, με ύψος ανάλογο με την πιθανότητα της αξίας αυτής. Για παράδειγμα, το προφίλ κινδύνου για μια απόφαση προσφοράς $ , είναι ένα ραβδόγραμμα με δύο μπάρες, - μία $ 5,000 με ύψος 0,42 και μία με $ και ύψος 0,58. To προφίλ κινδύνου για τη μη κατάθεση προσφοράς είναι ακόμα ευκολότερο. Έχει μια μοναδικό μπάρα γύρω από $ 0 με ύψος 1. Εμείς δεν έχουμε δείξει αυτά τα ιστογράμματα σε αυτό το παράδειγμα, επειδή είναι τόσο απλά, αλλά σε πιο περίπλοκα παραδείγματα μπορούν να μας παρέχουν πολύ χρήσιμες πληροφορίες. Αναμενόμενη Νομισματική Αξία (EMV): Από τις πληροφορίες, που έχουμε συζητήσει μέχρι στιγμής, δεν είναι καθόλου προφανές ποια θα πρέπει να είναι η απόφαση της SciTools. Η απόφαση για «καμία προσφορά» είναι σίγουρα ασφαλής, αλλά είναι βέβαιο ότι θα δώσει μηδενικό κέρδος. Αν η SciTools αποφασίσει να υποβάλει προσφορά, η πιθανότητα ότι θα χάσει δολάρια είναι μικρότερη με 11

13 την προσφορά των δολαρίων, αλλά η προσφορά αυτή θα έχει και το μικρότερο πιθανό κέρδος. Φυσικά, αν η SciTools ήξερε τι οι ανταγωνιστές επρόκειτο να κάνουν, η απόφασή της θα ήταν εύκολη. Ωστόσο, η αβεβαιότητα αυτή είναι η καθοριστική πτυχή των προβλημάτων σε αυτό το κεφάλαιο. Η απόφαση πρέπει να ληφθεί πριν η αβεβαιότητα έχει επιλυθεί. Ο πιο κοινός τρόπος για να κάνει την επιλογή είναι να υπολογίσει την αναμενόμενη νομισματική αξία (EMV) της κάθε εναλλακτικής λύσης και στη συνέχεια να επιλέξει την εναλλακτική λύση με τη μεγαλύτερη EMV. Η EMV είναι ένας σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανών χρηματικών τιμών, σταθμισμένων με βάση τις πιθανότητές τους. Επίσημα, εάν u i είναι η νομισματική αξία που αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα i και p i η πιθανότητα του, τότε η EMV ορίζεται σαν EMV = Με άλλα λόγια, η EMV είναι ο μέσος της κατανομής πιθανοτήτων όλων των πιθανών χρηματικών αποτελεσμάτων. Πίνακας 10.4: EMV για το παράδειγμα προσφοράς της SciTools Εναλλακτική Υπολογισμός της EMV EMV Καμία προσφορά 0 (1) $ 0 Προσφορά $ 115, (0.86) + (-5000)(0.14) $ 12,200 Προσφορά $ 120, (0.58) + (-5000)(0.42) $ 9,500 Προσφορά $ 125, (0.37) + (-5000)(0.63) $ 6,100 Οι EMVS για το πρόβλημα της SciTools παρατίθενται στον Πίνακα Αυτές δείχνουν, ότι εάν η SciTools χρησιμοποιεί το κριτήριο της EMV για τη λήψη της απόφασής της, τότε θα πρέπει να προσφέρει $ 115,000, καθώς αποδίδει τη μεγαλύτερη EMV. Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τι σημαίνει μια EMV και τι δεν σημαίνει. Αν η SciTools προσφέρει $ , τότε η EMV του είναι δολάρια. Ωστόσο, η SciTools σίγουρα δεν θα κερδίσει ένα κέρδος των $ Θα κερδίσει $ ή θα χάσει $ Συνεπώς, τι πραγματικά σημαίνει μια EMV των $ ; Αυτό σημαίνει, ότι αν η SciTools μπορούσε να εισέλθει σε πολλά "τυχερά παιχνίδια", όπως αυτό, όπου σε κάθε τυχερό παιχνίδι, θα κερδίσει δολάρια 12

14 με πιθανότητα 0.86 ή θα χάσει $ 5000 με πιθανότητα 0.14, τότε, κατά μέσο όρο θα κερδίσει δολάρια ανά στοίχημα. Με άλλα λόγια, τη EMV μπορεί να ερμηνευθεί ως ένας μακροπρόθεσμος μέσος όρος. Μπορεί να φαίνεται περίεργο, λοιπόν, να μια απόφαση εκείνης της στιγμής για την EMV, να αντιπροσωπεύει ένα μακροπρόθεσμο μέσο όρο. Υπάρχουν δύο τρόποι για να εξηγήσει κανείς αυτή την προφανή ασυνέπεια. Πρώτον, οι περισσότερες εταιρείες λαμβάνουν συχνές αποφάσεις υπό συνθήκες αβεβαιότητας. Παρά το γεγονός ότι κάθε απόφαση, θα μπορούσε να έχει τα δικά της μοναδικά χαρακτηριστικά, φαίνεται λογικό ότι αν η εταιρεία σκοπεύει να κάνει πολλές τέτοιες αποφάσεις, θα πρέπει να είναι διατεθειμένη να «παίξει με τους μέσους όρους», όπως συμβαίνει όταν χρησιμοποιεί την EMV ως κριτήριο απόφασης. Δεύτερον, ακόμα και αν αυτή είναι η μόνη απόφαση, που η εταιρία πρόκειται ποτέ να λάβει, οι αποφάσεις θεωρητικών έχουν δείξει, ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η μεγιστοποίηση της EMV είναι μια λογική βάση για τη λήψη αυτής της απόφασης. Αυτές οι «ορισμένες προϋποθέσεις» σχετίζονται με τη στάση του λήπτη αποφάσεων απέναντι στον κίνδυνο. Όπως θα συζητήσουμε αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο, εάν ο λήπτης αποφάσεων αποστρέφεται τον κίνδυνο και οι πιθανές νομισματικές πληρωμές ή ζημιές είναι μεγάλες σε σχέση τον πλούτο της, τότε η EMV δεν είναι το καταλληλότερο για χρήση κριτήριο απόφασης. Ωστόσο, το κριτήριο της EMV έχει αποδειχθεί χρήσιμο στη συντριπτική πλειονότητα των εφαρμογών της λήψης αποφάσεων, έτσι εμείς θα το χρησιμοποιήσουμε στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του κεφαλαίου. Τα δέντρα απόφασης: Μέχρι τώρα, έχουμε αναφερθεί στα περισσότερα από τα βήματα για την επίλυση προβλήματος της SciTools. Έχουμε απαριθμήσει τις εναλλακτικές αποφάσεις, τα αβέβαια αποτελέσματα και τις πιθανότητες τους, καθώς και τα κέρδη και τις ζημίες από όλους τους συνδυασμούς των αποφάσεων και των αποτελεσμάτων. Στη συνέχεια έχουμε υπολογίσει το EMV για κάθε εναλλακτική λύση και έχουμε επιλέξει την εναλλακτική λύση με τη μεγαλύτερο EMV. Όλα αυτά μπορεί να γίνει αποτελεσματικότερα χρησιμοποιώντας ένα γραφικό εργαλείο που ονομάζεται δέντρο απόφασης. Το δέντρο απόφασης που αντιστοιχεί στο πρόβλημα της SciTools φαίνεται στο Σχήμα (Η μορφή αυτή είναι στην 13

15 πραγματικότητα μέρος ενός υπολογιστικού φύλλου Excel και δημιουργήθηκε με το πρόσθετο PrecisionTree. Θα εξηγήσουμε πώς δημιουργήθηκε αμέσως). Συμβάσεις Δέντρων Απόφασης: Για να κατανοήσουμε το σχήμα 10.1, θα πρέπει να γνωρίζουμε τις παρακάτω υποθέσεις, που έχουν καθιερωθεί για τα δέντρα απόφασης. 1. Τα δέντρα απόφασης αποτελούνται από κόμβους (κύκλους, τετράγωνα, τρίγωνα) και διακλαδώσεις (γραμμές). 2. Οι κόμβοι αντιπροσωπεύουν χρονικά σημεία. Ένας κόμβος απόφαση (ένα τετράγωνο) είναι η στιγμή, στην οποία ο κατασκευαστής παίρνει την απόφαση. Ένας κόμβος πιθανότητας (ένας κύκλος) είναι η στιγμή, όπου το αποτέλεσμα ενός αβέβαιου γεγονότος γίνεται γνωστό. Ένας τελικός κόμβος (ένα τρίγωνο) υποδεικνύει, ότι το πρόβλημα έχει ολοκληρωθεί όλες οι αποφάσεις έχουν ληφθεί, η αβεβαιότητα συνολικά έχει επιλυθεί, και όλες οι πληρωμές/κόστη έχουν πραγματοποιηθεί. 3. Ο χρόνο; προχωρεί από αριστερά προς τα δεξιά. Αυτό σημαίνει ότι διακλαδώσεις που οδηγούν σε ένα κλάδο (από τα αριστερά) έχουν ήδη συμβεί. Τυχόν διακλαδώσεις που οδηγούν έξω από ένα κόμβο (δεξιά) δεν έχουν ακόμη εκδηλωθεί. 4. Διακλαδώσεις, που οδηγούν έξω από έναν κόμβο αποφάσεων αντιπροσωπεύουν τις πιθανές αποφάσεις, από τις οποίες ο λήπτης μπορεί να επιλέξει την πιο επιθυμητή. Διακλαδώσεις που οδηγούν έξω από κόμβους πιθανότητας αντιπροσωπεύουν τις πιθανές εκβάσεις των αβέβαιων γεγονότων, στα οποία ο λήπτης δεν έχει κανέναν έλεγχο σε αυτά που θα συμβούν. 5. Οι πιθανότητες καταγράφονται στις πιθανότητες των διακλαδώσεων. Αυτές οι πιθανότητες εξαρτώνται από τα γεγονότα, που έχουν ήδη παρατηρηθεί (εκείνα προς τα αριστερά). Επιπλέον, οι πιθανότητες για κλάδους που οδηγούν έξω από κάθε συγκεκριμένο κόμβο πρέπει να έχουν άθροισμα πιθανοτήτων ίσο με Οι επιμέρους νομισματικές αξίες εμφανίζονται στους κλάδους όπου αυτές συμβαίνουν, και οι σωρευτικές νομισματικές αξίες εμφανίζονται στα δεξιά των τελικών κόμβων. (Στην πραγματικότητα, το PrecisionTree δείχνει δύο τιμές στα 14

16 δεξιά του κάθε άκρου του κόμβου. Η κορυφή είναι η πιθανότητα του να πάει προς εκείνο τον κόμβο, και το κάτω μέρος είναι η συνδεδεμένη νομισματική αξία). Το δέντρο αποφάσεων στο σχήμα 10.1 απεικονίζει αυτές τις συμβάσεις για ένα πρόβλημα απόφασης ενός σταδίου, ο απλούστερος δηλαδή τύπος του προβλήματος απόφασης. Σε ένα πρόβλημα ενός σταδίου όλες οι αποφάσεις παίρνονται στην αρχή, και στη συνέχεια όλη η αβεβαιότητα έχει επιλυθεί. Αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε πολυσταδιακά προβλήματα απόφασης, όπου οι αποφάσεις και τα αποτελέσματα εναλλάσσονται. Δηλαδή, ο λήπτης αποφάσεων λαμβάνει μια απόφαση, κάποια αβεβαιότητα επιλύεται, τότε ο λήπτης αποφάσεων λαμβάνει μια δεύτερη απόφαση, και τότε κάποια περαιτέρω αβεβαιότητα επιλύεται, και ούτω καθεξής. Επειδή αυτές οι αποφάσεις στα πολυσταδιακά προβλήματα είναι εγγενώς πιο πολύπλοκες, θα επικεντρωθούμε αρχικά στα προβλήματα του ενός σταδίου. Σχήμα 10.1: Δέντρο απόφασης για το παράδειγμα προσφοράς της SciTools 15

17 Μόλις ένα δέντρο απόφασης έχει σχεδιαστεί και έχουν επισημανθεί οι πιθανότητες και οι νομισματικές αξίες, τότε μπορεί να επιλυθεί εύκολα. Η λύση για το δέντρο απόφασης στο Σχήμα 10.1 φαίνεται στο Σχήμα Μεταξύ άλλων, αυτό δείχνει ότι η απόφαση για την προσφορά δολάρια είναι η βέλτιστη (ακολουθούν τα κλαδιά αποφάσεων με "True" επάνω τους), με μια αντίστοιχη EMV των δολαρίων (η τιμή κάτω από τη "Bid στα αριστερά του δέντρου). Αυτό είναι σύμφωνο με αυτό που είδαμε νωρίτερα για αυτό το παράδειγμα. Διαδικασία αναδίπλωσης (folding back procedure): Η διαδικασία επίλυσης που χρησιμοποιείται για να σχεδιάσουμε το σχήμα 10.2, ονομάζεται διαδικασία αναδίπλωσης του δέντρου. Ξεκινώντας από τα δεξιά του δέντρου και πηγαίνοντας προς τα αριστερά, η διαδικασία αποτελείται από δύο τύπους υπολογισμών. Σχήμα 10.2: Αποτέλεσμα διαδικασία αναδίπλωσης για τη λήψη της βέλτιστης απόφασης 1. Σε κάθε κόμβο πιθανοτήτων, υπολογίζουμε την EMV (άθροισμα των πιθανοτήτων των νομισματικών αξιών) και να το γράφουμε κάτω από το όνομα του κόμβου. Για παράδειγμα, στον κόμβο (επάνω δεξιά) μετά την απόφαση της 16

18 SciTools να προσφέρει $ 115,000 και αφού αυτή έχει μάθει, ότι θα υπάρχει ανταγωνιστική προσφορά. Από εκείνο το σημείο, είτε η SciTools θα κερδίσει δολάρια με πιθανότητα 0.8 ή θα χάσει 5000 δολάρια με πιθανότητα 0.2. Η αντίστοιχη EMV είναι: 0.8 (15.000) + 0,2 (-5000) = και η αξία αυτή εγγράφεται κάτω από το όνομα του κόμβου "Win the Bid ή «Κέρδισε τη προσφορά;». Τώρα, η δημιουργία αντιγράφων ασφαλείας είναι ένα βήμα για να εξετάσει την πιθανότητα του προηγούμενου κόμβου (στα αριστερά του κόμβου "Win the Bid;"). Σε αυτό το σημείο, η SciTools έχει υποβάλει την προσφορά των $ 115,000 και είναι έτοιμη να ανακαλύψει αν θα υπάρχει ανταγωνιστική προσφορά. Αν δεν υπάρχει, με πιθανότητα 0.3, τότε η SciTools θα κερδίσει $ Αλλά αν υπάρχει ανταγωνιστική προσφορά, με πιθανότητα 0.7, η EMV σε αυτό το σημείο είναι το $ , που μόλις υπολογίστηκε. Ουσιαστικά, τα δολάρια συνοψίζουν τις συνέπειες του κόμβου Win the Bid και η SciTools δρα το ίδιο σαν να επρόκειτο να λάβει $ 11,000 με σιγουριά. Ως εκ τούτου, η EMV για τον κόμβο Any competing bid? είναι : 0,3 (15.000) + 0,7 (11.000) = H EMV γράφεται κάτω από τον κόμβο με το παραπάνω όνομα. 2. Οι κόμβοι απόφασης είναι πιο εύκολοι. Σε κάθε κόμβο απόφασης βρίσκουμε το μέγιστο των EMVS και να το γράφουμε κάτω από το όνομα του κόμβου. Το PrecisionTree μας υποδεικνύει τον νικητή τοποθετώντας "True" για τη διακλάδωση απόφασης με τη μέγιστη EMV και "False" σε όλους τους κλάδους που απορρέουν από αυτόν τον κόμβο. Για παράδειγμα, βλέποντας τον κόμβο όπου η SciTools θα αποφασίσει πόσο θα υποβάλει προσφορά (αφού έχει αποφασίσει να καταθέσει μια προσφορά), οι EMVS στο πλαίσιο των τριών αυτών κόμβων πιθανότητας επιτυχίας είναι $ , $ 9.500, και $ Δεδομένου ότι το μέγιστο από αυτά είναι $ , η EMV για τον κόμβο How much the bid? είναι δολάρια και είναι γραμμένο κάτω από το όνομα του κόμβου. Μόλις η διαδικασία αναδίπλωσης ολοκληρωθεί, τότε εμείς θα υπολογίσουμε τις EMVS για όλους τους κλάδους, έτσι μπορούμε να ανιχνεύσουμε 17

19 τις ετικέτες των True από τα αριστερά στα δεξιά, ώστε να εντοπίσουμε τη βέλτιστη στρατηγική. Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει η SciTools να τοποθετήσει μια προσφορά, και θα πρέπει να είναι $ 115,000. Η EMV που είναι γραμμένη κάτω από το πιο αριστερό κόμβο απόφασης, δολάρια, δείχνει την EMV της SciTools για αυτή τη στρατηγική. Αν SciTools είναι πραγματικά πρόθυμη να χρησιμοποιήσει το κριτήριο της EMV, δηλαδή, αν είναι πρόθυμη να παίξει με τους μέσους όρους, τότε η εταιρεία θα πρέπει να είναι αδιάφορη μεταξύ της λήψης $ με βεβαιότητα και της προσφοράς $ σε συνδυασμό με τον κίνδυνο ή να κερδίσει δολάρια ή να χάσει $ To PrecisionTree Add-In: Τα δέντρα απόφασης παρουσιάσουν μια πρόκληση για το Excel. Πρέπει κατά κάποιο τρόπο να επωφεληθούμε από τις δυνατότητες υπολογισμών του Excel (για τον υπολογισμό των EMVS, για παράδειγμα) και τις γραφικές δυνατότητες του (για να απεικονίσει τα δέντρα απόφασης). Ευτυχώς, υπάρχει πλέον ένα ισχυρό πρόσθετο, το PrecisionTree, που αναπτύχθηκε από την Palisade Corporation, και το οποίο καθιστά τη διαδικασία σχετικά απλή. 2 Αυτό το πρόσθετο όχι μόνο μας δίνει τη δυνατότητα να κατασκευάσουμε και να σχεδιάσουμε ένα δέντρο αποφάσεων, αλλά εκτελεί και τη διαδικασία αναδίπλωσης προς τα πίσω αυτόματα και, στη συνέχεια, μας επιτρέπει να εκτελέσουμε μια ανάλυση ευαισθησίας αναφορικά με τις βασικές παραμέτρους εισόδου. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε για να χρησιμοποιήσετε το PrecisionTree είναι να το προσθέσετε στον υπολογιστή σας. Αυτό μπορείτε να το κάνετε σε δύο στάδια. Κατ 'αρχάς, θα πρέπει να εγκαταστήσετε τα Palisade Decision Tools suite (ή τουλάχιστον το πρόγραμμα PrecisionTree) με το πρόγραμμα εγκατάστασης στο CD-ROM, που συνοδεύει το βιβλίο. Φυσικά, θα πρέπει να το κάνετε αυτό μόνο μία φορά. Στη συνέχεια, για να τρέξει το PrecisionTree, υπάρχουν τρεις επιλογές: 2 H εκπαιδευτική έκδοση του PrecisionTree που περιλαμβάνεται σε αυτό το βιβλίο είναι ελαφρώς μικρότερη από την εμπορική έκδοση της Palisade του PrecisionTree. Η διαφορά που είναι πιο πιθανό να παρατηρήσετε είναι ότι η εκπαιδευτική έκδοση επιτρέπει μόνο 50 κόμβους-όλων των τύπων συνδυασμένων - σε ένα δέντρο απόφασης. 18

20 Εάν το Excel δεν εκτελείται αυτήν τη στιγμή, μπορείτε να ξεκινήσετε το Excel και το PrecisionTree, κάνοντας κλικ στο κουμπί Έναρξη των Windows και επιλέγοντας το στοιχείο PrecisionTree από την ομάδα των Palisade Decision Tools, στον πίνακα των προγραμμάτων. Εάν το Excel εκτελείται αυτή τη στιγμή, η προηγούμενη διαδικασία θα ξεκινήσει το PrecisionTree στο πάνω μέρος Excel. Εάν το Excel είναι ήδη σε λειτουργία και η γραμμή εργαλείων «Εργαλεία Λήψης Αποφάσεων» φαίνεται όπως στο σχήμα 10.3, τότε μπορείτε να ξεκινήσετε το PrecisionTree κάνοντας κλικ στο εικονίδιό του (το τρίτο από τα αριστερά). Σχήμα 10.3: Γραμμή εργαλείων «Εργαλεία Λήψης Αποφάσεων» Θα γνωρίζετε ότι το PrecisionTree είναι έτοιμο για χρήση όταν βλέπετε τη γραμμή εργαλείων του (όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.4) και το μενού του PrecisionTree στα αριστερά του μενού βοήθειας. Αν τώρα θέλετε να φορτώσετε το PrecisionTree χωρίς να κλείσετε το Excel, τότε στο μενού πηγαίνετε στο PrecisionTree / Βοήθεια / Σχετικά και κάντε κλικ στο Unload. Είναι λίγο αντισυμβατικό, αλλά λειτουργεί. Χρήση του Precision Tree: Το PrecisionTree είναι αρκετά εύκολο στη χρήση, τουλάχιστον τα περισσότερα βασικά στοιχεία του είναι, αλλά μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στην αρχή. Εμείς θα οδηγηθούμε μέσα από βήματα για το παράδειγμα της SciTools. (Το αρχείο SCITOOLS.XLS δείχνει τα αποτελέσματα αυτής της διαδικασίας, αλλά θα πρέπει να φτάσουμε σε αυτό μέσα από δικά μας βήματα, ξεκινώντας με ένα κενό φύλλο). 1. Εισροές. Εισάγετε τις εισροές, που εμφανίζονται στις στήλες Α και Β του σχήματος Νέο δέντρο. Κάντε κλικ στο νέο κουμπί δέντρο (το τελευταίο αριστερά κουμπί) στη γραμμή εργαλείων του PrecisionTree, και στη συνέχεια κάντε κλικ σε 19

21 οποιοδήποτε κελί (για παράδειγμα, το κελί Α14) κάτω από το τμήμα εισόδου για να ξεκινήσει ένα νέο δέντρο. Κάντε κλικ στο πλαίσιο όνομα του νέου δέντρου (κατά πάσα πιθανότητα λέει «Tree # 1») για να ανοίξετε ένα παράθυρο διαλόγου. Πληκτρολογήστε ένα περιγραφικό όνομα για το δέντρο, όπως SciTools προσφορά, και κάντε κλικ στο OK. Τώρα πρέπει εσείς να μπορείτε να δείτε τις απαρχές ενός δέντρου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 10.6 (σελίδα 504). 3. Κόμβοι απόφασης και διακλαδώσεις. Από εδώ και πέρα, κρατήστε το τελικό δέντρο του σχήματος 10.2 στο μυαλό. Αυτό είναι το τελικό προϊόν που τελικά θέλουμε. Σχήμα 10.4: Γραμμή εργαλείων PrecisionTree Σχήμα 10.5: Εισροές για το παράδειγμα προσφοράς της SciTools Για να δημιουργήσουμε τους κόμβους απόφασης και τις διακλαδώσεις, κάντε κλικ στο τρίγωνο κόμβος τέλους για να ανοίξετε το παράθυρο διαλόγου του Σχήματος Κάντε κλικ στο πράσινο τετράγωνο για να δείξετε ότι αυτό είναι ένας κόμβος απόφασης, και συμπληρώστε το παράθυρο διαλόγου, όπως φαίνεται. Καλούμε την απόφαση αυτή "Προσφορά; και διευκρινίζουμε, ότι υπάρχουν δύο πιθανές αποφάσεις. Το δέντρο επεκτείνεται, όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα Τα 20

22 κουτάκια που αποτελούν «διακλάδωση» δείχνουν τις προεπιλεγμένες ετικέτες για αυτούς τους κλάδους. Κάντε κλικ σε οποιοδήποτε από αυτά για να ανοίξετε ένα άλλο παράθυρο διαλόγου, όπου μπορείτε να τοποθετήσετε ένα πιο περιγραφικό όνομα για τον κλάδο. Κάνετε αυτό για να ονομάσετε δύο καταστήματα σε "No" και "Yes". Επίσης, μπορείτε να εισάγετε την άμεση εξόφληση / κόστους για οποιοδήποτε κλάδο ακριβώς από κάτω. Δεδομένου. ότι υπάρχει ένα $ 5000 κόστος του διαγωνισμού, εισαγάγετε τον τύπο =-BidCost ακριβώς κάτω από τη διακλάδωση "Ναι" στο κελί Β19. (Είναι αρνητικό γιατί αντανακλά κόστος). Το δέντρο πρέπει τώρα να εμφανίζεται όπως στο σχήμα Περισσότερες διακλαδώσεις απόφασης. Η ανώτερη διακλάδωση ολοκληρώνεται, αν η SciTools δεν υποβάλλει μια προσφορά, καθώς δεν υπάρχει τίποτα άλλο να κάνει μετά. Έτσι, κάντε κλικ στο κάτω κόμβο τέλους, μετά την απόφαση της SciTools να υποβάλλει προσφορά, και συνεχίστε όπως στο προηγούμενο βήμα για να προσθέσετε και να επισημαίνετε τον κόμβο απόφασης και τις τρεις διακλαδώσεις απόφασης για το ποσό που προσφέρει. (Ανατρέξτε στο σχήμα 10.2). Το δέντρο σε αυτό το σημείο θα πρέπει να εμφανίζονται τώρα, όπως στο σχήμα Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν νομισματικές αξίες κάτω από αυτούς τους κλάδους απόφασης, επειδή δεν υπάρχουν άμεσες πληρωμές ή κόστη, που να συνδέονται με την απόφαση υποβολής προσφοράς 21

23 Σχήμα 10.7: Κουτί διαλόγου για την προσθήκη νέου κόμβου απόφασης & διακλαδώσεων Σχήμα 10.8: Δέντρο με αρχικό κόμβο απόφασης & διακλαδώσεις Σχήμα 10.9: Δέντρο απόφασης με ετικέτες στους κόμβους απόφασης 5. Κόμβοι πιθανοτήτων και διακλαδώσεις. Εμείς χρειαζόμαστε τώρα έναν κόμβο πιθανότητας και διακλαδώσεων από τους πιο δεξιά κόμβους τέλους, για να εξετάσουμε αν οι ανταγωνιστές θα υποβάλλουν προσφορά. Κάντε κλικ σε ένα από τους ακραίους κόμβους τέλους, για να εμφανίσετε το ίδιο παράθυρο διαλόγου, όπως στο σχήμα Τώρα, όμως, κάντε κλικ στο κουτάκι με τον κόκκινο κύκλο για να δείξετε, ότι αυτός είναι ένας κόμβος πιθανότητας. Ονομάστε τον "Any competing Bid;", καθορίστε δύο κλάδους, και κάντε κλικ στο OK. Στη συνέχεια, ονομάστε τους δύο κλάδους "No" και "Yes". Στη συνέχεια, 22

24 επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία για να σχηματίσετε έναν άλλο κόμβο πιθανότητας (με δύο διακλαδώσεις) μετά τη διακλάδωση "Ναι", την οποία αποκαλούμε Win the bid? και ονομάστε αυτές, όπως φαίνεται στο σχήμα Αντιγραφή κόμβων πιθανοτήτων και διακλαδώσεων. Θα μπορούσατε τώρα να επαναλάβετε την ίδια διαδικασία από το προηγούμενο βήμα για την κατασκευή κόμβων πιθανότητας και διακλαδώσεων μετά τις άλλες αποφάσεις για το ποσό της προσφοράς, αλλά επειδή είναι δομικά ισοδύναμα, μπορείτε να εξοικονομήσετε πολλή δουλειά με τη χρήση του χαρακτηριστικού της αντιγραφής και επικόλλησης του PrecisionTree. Κάντε κλικ στο αριστερότερο κόμβο πιθανότητας για να ανοίξει ένα παράθυρο διαλόγου και κάντε κλικ στο Αντιγραφή. Στη συνέχεια κάντε κλικ σε κάθε κόμβο τέλους για να εμφανιστεί το ίδιο παράθυρο διαλόγου και κάντε κλικ στο Επικόλληση. Κάνουμε αυτό και πάλι με τον άλλο κόμβο τέλους. Τα δέντρα απόφασης μπορεί να γίνουν πολύ «θαμνώδη», αλλά αυτό το χαρακτηριστικό της αντιγραφής και επικόλλησης μπορεί να τα κάνει πολύ λιγότερο κουραστικά στην κατασκευή τους. Σχήμα 10.10: Δέντρα με όλους τους κόμβους απόφασης και τις διακλαδώσεις 23

25 Σχήμα 10.11: Δέντρο απόφασης με το σύνολο των κόμβων πιθανότητας και διακλαδώσεων 7. Ετικέτες πιθανοτήτων διακλάδωσης. Πρέπει τώρα να έχετε το δέντρο απόφασης που φαίνεται στο Σχήμα Είναι δομικά το ίδιο με το συμπληρωμένο δέντρο στο σχήμα 10.2, αλλά οι πιθανότητες και οι νομισματικές αξίες για τις πιθανότητες στις διακλαδώσεις δεν είναι σωστές. Σημειώστε ότι κάθε κλάδος πιθανότητας έχει μία τιμή πάνω και κάτω από τη διακλάδωση. Η τιμή πάνω είναι η πιθανότητα (οι προεπιλεγμένες τιμές (default values) να κάνουν τις διακλαδώσεις εξίσου πιθανές), και η παρακάτω τιμή είναι η νομισματική αξία (οι προεπιλεγμένες τιμές (default values) να είναι 0). Μπορούμε να εισάγουμε κάθε τιμή ή τύπο σε αυτά τα κελιά, ακριβώς όπως κάνουμε σε τυπικό φύλλο εργασίας του Excel. Ως συνήθως, είναι μια καλή πρακτική να αναφέρουμε τα κελιά εισαγωγής σε αυτούς τους τύπους, όποτε είναι δυνατόν. Εμείς θα ξεκινήσουμε με τις πιθανότητες των διακλαδώσεων, μετά την απόφαση για την προσφορά των $ 115,000. Πρώτον, εισάγετε την πιθανότητα για μη ανταγωνιστική προσφορά στο κελί D18 με τον τύπο = PrNoBid και εισάγετε το συμπλήρωμα του στο κελί D24 με τον τύπο = 1-D18 Στη συνέχεια, εισάγετε την πιθανότητα η SciTools να κερδίσει την προσφορά στο κελί Ε22 με τον τύπο = SUM (B10: B12) και εισάγετε το συμπλήρωμα του στο κελί E26 με τον τύπο = 1-E22 24

26 Σχήμα 10.12: Δομή ενός ολοκληρωμένου δέντρου (Θυμηθείτε, ότι η SciTools κερδίζει την προσφορά μόνο εάν οι προσφορές των ανταγωνιστών είναι υψηλότερες, και σε αυτό το μέρος του δέντρου, η προσφορά της SciTools είναι $ ). Για τις νομισματικές αξίες, εισαγάγετε τον τύπο = ProdCost στα δύο κελιά, D19 και E23, όπου η SciTools κερδίζει τη σύμβαση. Σημειώστε ότι έχουμε ήδη αφαιρέσει το κόστος της προσφοράς (κελί Β29), γι 'αυτό δεν πρέπει να το πράξουμε και πάλι. Αυτό θα είναι διπλή μέτρηση, και θα πρέπει να αποφεύγεται σε προβλήματα λήψης αποφάσεων. 8. Εισάγετε τις άλλες φόρμουλες στις διακλαδώσεις πιθανότητας. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο βήμα και το σχήμα 10.2 ως οδηγό, εισάγετε τους τύπους για τις πιθανότητες και τις νομισματικές αξίες για τους άλλους κλάδους πιθανότητας, δηλαδή, εκείνους μετά την απόφαση για την προσφορά $ και $ Τελειώσαμε! Το συμπληρωμένο δέντρο στο σχήμα 10.2 δείχνει την καλύτερη στρατηγική και τη συνδεδεμένη EMV του, όπως συζητήσαμε νωρίτερα. Σημειώστε ότι ποτέ δεν πρέπει να εκτελέσετε τη διαδικασία αναδίπλωσης προς τα πίσω με το 25

27 χέρι. Το PrecisionTree το κάνει για εμάς. Στην πραγματικότητα, το δέντρο ολοκληρώνεται το συντομότερο, που εμείς εισάγουμε τις σχετικές εισροές. Επιπλέον, εάν αλλάξουμε κάποια από τις εισροές, το δέντρο αντιδρά αυτόματα. Για παράδειγμα, προσπαθήστε να αλλάξετε το κόστος προσφοράς στο κελί B4 από 5000 σε κάποια μεγάλη αξία, όπως Θα δείτε ότι οι υπολογισμοί του δέντρου ενημερώνονται αυτόματα, και η καλύτερη απόφαση τότε είναι να μεν προσφέρει, με μια συνδεδεμένη EMV των $ 0. Προφίλ κινδύνου βέλτιστης στρατηγικής. Μόλις το δέντρο απόφασης έχει ολοκληρωθεί, το PrecisionTree έχει πολλά εργαλεία που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αποκτήσουμε περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την λήψη αποφάσεων. Πρώτον, μπορούμε να δούμε ένα προφίλ κινδύνου και άλλες πληροφορίες σχετικά με τη βέλτιστη απόφαση. Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο τέταρτο κουμπί από τα αριστερά στη γραμμή εργαλείων του PrecisionTree (μοιάζει με μια σκάλα) και συμπληρώστε το παράθυρο διαλόγου που προκύπτει, όπως φαίνεται στο Σχήμα (Μπορείτε να πειραματιστείτε και με άλλες επιλογές). Η προτεινόμενη πολιτική επιλογή μας επιτρέπει να δούμε μόνο το μέρος του δέντρου που αντιστοιχεί στην καλύτερη δυνατή απόφαση, όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 10.13: Κουτί διαλόγου για πληροφορίες σχετικά με τη βέλτιστη επιλογή 26

28 Σχήμα 10.14: Υποδέντρο της βέλτιστης επιλογής Η επιλογή του προφίλ Κινδύνου μας επιτρέπει να δούμε γραφικά το προφίλ κινδύνου της βέλτιστης απόφασης. (Αν τσεκάρουμε το κουτάκι έκθεση στατιστικών, θα δούμε επίσης τις πληροφορίες αυτές αριθμητικά). Όπως το προφίλ κινδύνου στο σχήμα (σελίδα 508) δείχνει, ότι υπάρχουν μόνο δύο πιθανές χρηματικές εκβάσεις, αν SciTools προσφέρει $ Είτε κερδίζει $ είτε χάνει $ 5.000, και η πρώτη είναι πολύ πιο πιθανή. (Οι σχετικές πιθανότητες είναι 0.86 και 0.14). Αυτές οι γραφικές πληροφορίες είναι ακόμη πιο χρήσιμες, όταν υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός πιθανών χρηματικών αποτελεσμάτων. Μπορούμε να δούμε τι είναι και κατά πόσο είναι πιθανό. Σχήμα 10.15: Προφίλ κινδύνου της βέλτιστης επιλογής Ανάλυση Ευαισθησίας. Έχουμε ήδη τονίσει τη σημασία της παρακολούθησης της ανάλυσης ευαισθησίας για οποιοδήποτε πρόβλημα απόφασης, και το PrecisionTree 27

29 κάνει αυτή σχετικά εύκολη να γίνει. Πρώτον, μπορούμε να εισάγουμε οποιεσδήποτε τιμές στα κελιά εισαγωγής και δούμε πώς το δέντρο αλλάζει. Αλλά μπορούμε να πάρουμε μια πιο συστηματική ενημέρωση κάνοντας κλικ στο κουμπί ευαισθησία του PrecisionTree, το πέμπτο από αριστερά στη γραμμή εργαλείων (μοιάζει με ανεμοστρόβιλο). Αυτό θα εμφανίσει το πλαίσιο διαλόγου του σχήματος Αυτό απαιτεί ένα κελί για τη νομισματική αξία (και ένα προαιρετικό περιγραφικό όνομα) για να αναλύσει την κορυφή και ένα ή περισσότερα κελιά εισροών στη μέση. Οι προδιαγραφές για αυτά τα κελιά εισροών είναι εγγεγραμμένες στο κάτω μέρος του πλαισίου διαλόγου. Το κελί προς ανάλυση (στην κορυφή) είναι συνήθως το κελί της EMV, στο αριστερό άκρο του δέντρου απόφασης, αυτό είναι το κελί που φαίνεται στο σχήμα, αλλά μπορεί να είναι οποιοδήποτε κελί της EMV. Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε, ότι η SciTools θα προετοιμάσει μια προσφορά και θέλουμε να δούμε πόσο ευαίσθητο είναι η EMV από εκείνο το σημείο στις εισροές, τότε θα μπορούσαμε να επιλέξουμε το κελί C29 (ανατρέξτε στο σχήμα 10.2) για την ανάλυση μας. Στη συνέχεια, για κάθε κελί εισόδου, όπως το κελί του κόστους παραγωγής (Β5), εισάγουμε μια ελάχιστη τιμή, μια μέγιστη τιμή, μια αξία βάσης (πιθανώς η αρχική τιμή στο μοντέλο), και ένα μέγεθος βήματος. Για παράδειγμα, για να καθορίσετε αυτές για το κόστος παραγωγής, θα κάνετε κλικ στο κουμπί «προτείνετε τιμές». Αυτή η προεπιλεγμένη ρύθμιση διαφοροποιεί το κόστος παραγωγής κατά 10% από την αρχική τιμή προς κάθε κατεύθυνση σε μια σειρά από 10 βήματα. Μπορούμε επίσης να εισάγουμε τις δικές μας επιθυμητές τιμές. Το κάναμε αυτό για την πιθανότητα των μη ανταγωνιστικών προσφορών, μεταβάλλοντας την αξία του από 0 έως 0,6 σε μια σειρά από 12 βήματα. 28

30 Σχήμα 10.16: Κουτί διαλόγου ανάλυσης ευαισθησίας Όταν κάνουμε κλικ στο Run Analysis, το PrecisionTree διαφοροποιεί κάθε μία από τις συγκεκριμένες εισροές (μία κάθε φορά, αν επιλέξετε την επιλογή OneWay) και παρουσιάζει τα αποτελέσματα με διάφορους τρόπους σε ένα νέο αρχείο Excel με φύλλα για την ευαισθησία (sensitivity), ανεμοστρόβιλος (Tornado), και γράφημα αράχνης (Spider Graph). Το φύλλο ευαισθησίας περιλαμβάνει διάφορα διαγράμματα, ένα τυπικό το οποίο φαίνεται στο Σχήμα Αυτό δείχνει πως η EMV ποικίλλει ανάλογα με το κόστος παραγωγής και για τις δύο αρχικές αποφάσεις (προσφορά ή μην προσφορά). Αυτό το είδος του γραφήματος είναι χρήσιμο για να δει κατά πόσον η βέλτιστη απόφαση αλλάζει σε όλο το εύρος της μεταβλητής εισροών. Θα το κάνει μόνο αν οι δύο γραμμές διασταυρώνονται. Σε αυτό το συγκεκριμένο διάγραμμα είναι σαφές ότι η απόφαση «Προσφορά» κυριαρχεί της απόφασης για «Μη προσφορά» πέρα από το εύρος του κόστους παραγωγής που επιλέξατε. 29

31 Σχήμα 10.17: EMV σε σχέση με το κόστος παραγωγής για κάθε μία από τις δύο αποφάσεις Το φύλλο ανεμοστρόβιλος (Tornado) δείχνει πόσο ευαίσθητη είναι η EMV της βέλτιστης απόφασης σε κάθε μία από τις επιλεγμένες εισροές πάνω από τα εύρη που επιλέγονται. (Βλέπε Σχήμα 10.18). Το μήκος της κάθε στήλης δείχνει το ποσοστό μεταβολής της EMV σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, έτσι ώστε όσο μεγαλύτερη είναι η γραμμή, τόσο πιο ευαίσθητη είναι η EMV σε αυτή τη συγκεκριμένη εισροή. Οι μπάρες είναι πάντα τοποθετημένες από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη από πάνω προς τα κάτω, εξ ου και το όνομα του γραφήματος ανεμοστρόβιλος. Εδώ βλέπουμε, ότι το κόστος παραγωγής έχει τη μεγαλύτερη επίδραση στην EMV, και το κόστος προσφοράς έχει τη μικρότερη επίδραση. Τέλος, το φύλλο του διαγράμματος αράχνης (Spider) περιέχει το γράφημα του σχήματος Δείχνει πόσο η βέλτιστη EMV ποικίλλει σε μέγεθος για τις διάφορες ποσοστιαίες μεταβολές στις μεταβλητές των εισροών. Όσο πιο απότομη είναι η κλίση της γραμμής, τόσο περισσότερο επηρεάζεται η EMV από μία συγκεκριμένη εισροή. Εμείς πάλι βλέπουμε, ότι το κόστος παραγωγής έχει σχετικά μεγάλη επίδραση, ενώ οι άλλες δύο είσοδοι έχουν σχετικά μικρές επιδράσεις. 30

32 Σχήμα 10.18: Διάγραμμα ανεμοστρόβιλου για το παράδειγμα της SciTools Σχήμα 10.19: Διάγραμμα Αράχνης για το παράδειγμα της SciTools Κάθε φορά που κάνουμε κλικ στο κουμπί ευαισθησία, μπορούμε να τρέξουμε μια διαφορετική ανάλυση ευαισθησίας. Μια ενδιαφέρουσα επιλογή είναι να εκτελέσετε μια ανάλυση ευαισθησίας δύο δρόμων (Two-Way) (κάνοντας κλικ στο κουμπί Τwo-Way στο Σχήμα 10.16). Στη συνέχεια, θα δούμε πώς η επιλεγμένη EMV ποικίλλει καθώς κάθε ζεύγος των εισροών διαφέρουν ταυτόχρονα. Αναλύσαμε την EMV στο κελί C29 με αυτή την επιλογή, χρησιμοποιώντας τις ίδιες εισροές όπως και πριν. Ένα τυπικό αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Για κάθε μία από τις πιθανές τιμές του κόστους παραγωγής και την πιθανότητα προσφοράς χωρίς ανταγωνιστή, αυτό το διάγραμμα δείχνει ποια ποσότητα προσφοράς είναι η 31

33 βέλτιστη. (Επιλέγοντας το κελί C29, υποθέτουμε, ότι η SciTools θα υποβάλλει προσφορά. Το ερώτημα είναι μόνο πόσο;) Όπως βλέπουμε, η βέλτιστη ποσότητα προσφοράς παραμένει $ , εκτός εάν το κόστος παραγωγής και η πιθανότητα για μη ανταγωνιστική προσφορά είναι τόσο μεγάλη. Στη συνέχεια γίνεται βέλτιστο για την προσφορά των $ 125,000. Αυτό είναι λογικό διαισθητικά. Δεδομένου, ότι η πιθανότητα για μη ανταγωνιστική προσφορά αυξάνεται και ένα μεγαλύτερο κόστος παραγωγής πρέπει να ανακτηθεί, φαίνεται λογικό, ότι η SciTools θα πρέπει να αυξήσει την προσφορά της. Σχήμα 10.20: Ανάλυση ευαισθησίας δύο δρόμων Επαναλαμβάνουμε, ότι η ανάλυση ευαισθησίας είναι πάντα μια σημαντική πτυχή σε αναλύσεις πραγματικών αποφάσεων. Εάν εμείς έπρεπε να κατασκευάσουμε δέντρα απόφασης με το χέρι, με χαρτί και μολύβι, η ανάλυση ευαισθησίας μας θα ήταν σχεδόν εκτός θέματος. Θα πρέπει να υπολογίζουμε εκ νέου τα πάντα κάθε φορά. Ως εκ τούτου, ένα από τα πιο πολύτιμα χαρακτηριστικά του πρόσθετου του PrecisionTree είναι, ότι μας δίνει τη δυνατότητα να εκτελούμε αναλύσεις ευαισθησίας σε κλάσματα δευτερολέπτων. 32

34 10.3 Περισσότερα παραδείγματα μιας φάσης Όλες οι εφαρμογές της λήψης αποφάσεων υπό συνθήκες αβεβαιότητας ακολουθούν τις διαδικασίες που συζητήθηκαν μέχρι τώρα. Πρέπει πρώτα να προσδιορίσουμε τις ενδεχόμενες εναλλακτικές λύσεις απόφασης, να αξιολογήσουμε τις σχετικές πιθανότητες, και να υπολογίσουμε τις νομισματικές αξίες. Στη συνέχεια, θα χρησιμοποιήσουμε ένα δέντρο απόφασης (ή διάγραμμα επιρροής) για τον προσδιορισμό της εναλλακτικής λύσης με τη μεγαλύτερη EMV και να εφαρμόσουμε σε αυτό πάνω μια λεπτομερή ανάλυση ευαισθησίας. Μπορούμε επίσης να εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά κινδύνου για τις διάφορες εναλλακτικές λύσεις. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο εάν όλα τα άλλα κριτήρια εκτός από την μεγιστοποίηση της EMV λαμβάνονται υπόψη. Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε τη διαδικασία με πολλά παραδείγματα ενός σταδίου, όπου ο λήπτης αποφάσεων λαμβάνει μια απόφαση και στη συνέχεια μαθαίνει ποια από διάφορα αβέβαια αποτελέσματα συμβαίνουν. Στην επόμενη ενότητα θα εξετάσουμε παραδείγματα πολλαπλών φάσεων, όπου θα πρέπει να ληφθούν δύο ή περισσότερες διαδοχικές αποφάσεις. Το ακόλουθο παράδειγμα απεικονίζει ένα πρόβλημα απόφασης, το οποίο περισσότεροι από μας αντιμετωπίζουν σε ετήσια βάση, αν και οι περισσότεροι από εμάς μάλλον δεν μπαίνουν στον κόπο να αναλύσουν το θέμα αυτό επισήμως. Παράδειγμα 10.2: Επιλογή σχεδίων υγείας σε κρατικό πανεπιστήμιο Κάθε χρόνο οι εργαζόμενοι στο Κρατικό Πανεπιστήμιο καλούνται να αποφασίσουν για ένα από τα τρία σχέδια υγειονομικής περίθαλψης. Οι όροι αυτοί είναι οι εξής: Σχέδιο 1: Το μηνιαίο κόστος είναι $ 24. Υπάρχει μια έκπτωση της τάξεως των $ 500. Ο συμμετέχων πληρώνει όλα τα έξοδα μέχρι τις πληρωμές για το έτος οι οποίες ισούται με $ 500. Μετά από αυτό, το 90% των υπόλοιπων εξόδων το καταβάλλει ο ασφαλιστής. Σχέδιο 2: Αυτό είναι το ίδιο με το σχέδιο 1, εκτός από το ότι το μηνιαίο κόστος είναι $ 1 και το ποσό της έκπτωσης είναι $

35 Σχέδιο 3: Το μηνιαίο κόστος είναι $ 20. Δεν υπάρχει καμία έκπτωση. Ο εργαζόμενος πληρώνει το 30% όλων των ιατρικών εξόδων. Το υπόλοιπο καταβάλλεται από τον ασφαλιστή. Ποιο από τα τρία αυτά σχέδια θα πρέπει ένας εργαζόμενος να επιλέξει; Λύση Προφανώς, η λύση θα διαφέρει από έναν εργαζόμενο σε έναν άλλον, ανάλογα με την κατανομή πιθανότητας των ιατρικών εξόδων. Για να φανεί, ωστόσο, θα εξετάσουμε έναν υπάλληλο που αξιολογεί την κατανομή των ετήσιων ιατρικών εξόδων που εμφανίζονται στον πίνακα Αυτά τα έξοδα περιλαμβάνουν επισκέψεις στο νοσοκομείο, τη χειρουργική επέμβαση, επισκέψεις στο γραφείο, και τις συνταγές, οι οποίες καλύπτονται από τους όρους των σχεδίων. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτή η κατανομή είναι μόνο μια προσέγγιση της πραγματικής κατανομής, η οποία θα περιέχει μια συνέχεια των εξόδων. Ωστόσο, είναι μάλλον επαρκές για τη λήψη απόφασης μεταξύ των τριών σχεδίων. Πίνακας 10.12: Κατανομή ιατρικών εξόδων για το παράδειγμα της ασφάλειας Συνολικά ιατρικά έξοδα Πιθανότητα $200 0,30 $600 0,50 $1000 0,15 $5000 0,03 $ ,02 Το επόμενο βήμα είναι να προσδιοριστεί το κόστος του εργαζομένου για κάθε πρόγραμμα και κάθε αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο εργαζόμενος επιλέγει το σχέδιο 1 και πραγματοποιεί 600 δολάρια έξοδα. Στη συνέχεια, το συνολικό κόστος είναι το κόστος της ασφάλισης συν το πλήρες ποσό των αρχικών εξόδων $ 500 πλέον των 10% των τελευταίων εξόδων των $ 100, δηλαδή, 24(12) (100) = $798 34

36 Ωστόσο, εάν τα ιατρικά έξοδα αυτού του εργαζόμενου είναι μόνο $ 200, τότε το κόστος είναι 24 (12) = $ 488 Οι δαπάνες για τα άλλα σχέδια και άλλα αποτελέσματα μπορoύν να υπολογιστούν με παρόμοιο τρόπο, ενώ εμείς παραθέτουμε το σύνολο των εξόδων στον πίνακα Η επιλογή αυτή δεν είναι σίγουρα σαφής από αυτόν τον πίνακα. Το σχέδιο με το χαμηλότερο ασφάλιστρο, το σχέδιο 2, φαίνεται καλό, αν τα ιατρικά έξοδα του έτους είναι χαμηλά. Αυτό ισχύει επίσης και για το σχέδιο χωρίς εκπτώσεις, δηλαδή το σχέδιο 3, αν και το κόστος του είναι αρκετά μεγάλο σε περίπτωση καταστροφής. Για μέτρια ιατρικά έξοδα, το σχέδιο 1 είναι προφανώς κατώτερο, αλλά είναι το καλύτερο για την προστασία από μια καταστροφή. Αυτοί οι συμβιβασμοί θα μπορούσαν να απεικονίζονται με το προφίλ κινδύνου, το οποίο ίσως θα έπρεπε να εξετάσουμε. Αντί αυτού, θα στραφούμε απευθείας στο δέντρο απόφασης. Πίνακας 10.13: Πίνακας κόστους εργαζομένων για το ασφαλιστικό παράδειγμα Ιατρικά έξοδα Σχέδιο 1 Σχέδιο 2 Σχέδιο 3 $200 $488 $212 $300 $600 $798 $612 $420 $1000 $838 $1012 $540 $5000 $1238 $1412 $1740 $15000 $2238 $2412 $4740 ΧΡΗΣΗ PRECISIONTREE Το δέντρο απόφασης μπορεί να σχηματιστεί με τα ακόλουθα βήματα. 1. Είσοδοι. Εισάγετε τις εισόδους για τα τρία σχέδια και τις πιθανότητες από τον Πίνακα στο πάνω αριστερό τμήμα του υπολογιστικού φύλλου (κάτω στη σειρά 15). (Βλ. Σχήμα και η αρχείο MEDICAL.XLS.) 35

37 2. Πίνακας Κόστους. Για μεταγενέστερη χρήση του δέντρου αποφάσεων, υπολογίζουμε τα κόστη των εργαζομένων (χωρίς να υπολογίζονται τα ασφάλιστρα) στο εύρος Β19: D23. Για να το κάνουμε αυτό, εισάγουμε τον τύπο = IF (A19 $ <= B $ 6, $ Α19, B $ 6 + B $ 7 * ($ A19-B $ 6)) στο κελί Β19 και να αντιγράψετε αυτό το εύρος Β19: D23. Αυτή η συνάρτηση IF λέει ότι αν η ιατρική δαπάνη είναι μικρότερη από την έκπτωση, τότε ο εργαζόμενος πληρώνει τα πάντα. Σε αντίθετη περίπτωση, ο εργαζόμενος πληρώνει το ποσό που εκπίπτει συν ένα ποσοστό του υπολοίπου. Σχήμα 10.21: Εισροές και πίνακας κόστους για το παράδειγμα ασφαλειών 3. Δέντρο απόφασης. Χρησιμοποιήστε το PrecisionTree για να δημιουργήσετε το δέντρο απόφασης που φαίνεται στο Σχήμα Πρώτον, δημιουργούμε τον κόμβο λήψης απόφασης και τις διακλαδώσεις και εισάγουμε τους τύπους για τις αξίες τους ως 12 φορές τα σχετικά μηνιαία ασφάλιστρα. Στη συνέχεια δημιουργούμε έναν ενιαίο κόμβο πιθανότητας και τις διακλαδώσεις της, επισημαίνουμε τις διακλαδώσεις, και εισάγουμε τους τύπους για τις πιθανότητες με απόλυτες αναφορές. Για παράδειγμα, εισαγάγουμε τον τύπο = $C$11 36

38 για την πιθανότητα του άνω κλάδου. Στη συνέχεια, αντιγράφουμε τον κόμβο πιθανότητας στους τελικούς κόμβους κάτω από αυτό. Τέλος, συνδέουμε τις τιμές για όλες τις πιθανότητες διακλαδώσεων στα κελιά του πίνακα κόστους. 4. Ελαχιστοποίηση του κόστους. Αν σταματήσουμε εδώ, θα επιλέξουμε κατά λάθος το χειρότερο από τα τρία σχέδια. Αυτό συμβαίνει επειδή το PrecisionTree μεγιστοποιεί την EMV από προεπιλογή, και σε αυτό το πρόβλημα θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την EMV των δαπανών. Ωστόσο, αυτό είναι απλό να αλλάξει. Κάνουμε κλικ στο πλαίσιο Όνομα στο αριστερό άκρο του δέντρου απόφασης. Αυτό ανοίγει ένα παράθυρο διαλόγου (δεν φαίνεται εδώ), όπου μπορούμε να επιλέξουμε την επιλογή Ελαχιστοποίηση. Σχήμα 10.22: Δέντρο απόφασης για το παράδειγμα ιατρικών ασφαλειών Όπως βλέπουμε από το σχήμα 10.22, το βέλτιστο σχέδιο είναι το σχέδιο 3. Η EMV είναι $ 528. Οι EMVS για τα σχέδια 1 και 2 είναι $ 753 και $ 612. Προφανώς, 37

39 οι πιθανότητες αυτού του υπαλλήλου των μεγάλων ιατρικών εξόδων, όπου το σχέδιο 3 είναι στο χειρότερο σημείο της δεν είναι αρκετά μεγάλο για να εξουδετερώσει το σχέδιο 3 είναι δεν εκπίπτουν όφελος. Ωστόσο, ίσως να θέλετε να πειραματιστείτε με διάφορες εισροές, είτε τις ιδιότητες των σχεδίων ή της κατανομής των ιατρικών εξόδων του υπαλλήλου, για να δούμε αν το σχέδιο 3 εξακολουθεί να είναι το προτιμώμενο σχέδιο. Για παράδειγμα, αν οι πιθανότητες στον Πίνακα αλλάζουν σε 0,30, 0,40, 0,15, 0,10, και 0,05, έτσι ώστε μεγάλα έξοδα να είναι πολύ πιο πιθανά, τότε οι EMVS για τα τρία σχέδια γίνονται $ 827, $ 722, και $ 750. Τώρα το σχέδιο 2 προτιμάται, αν και η διαφορά της EMV μεταξύ των σχεδίων 2 και 3 είναι αρκετά μικρή. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτό το ασφαλιστικό παράδειγμα για να τονίσουμε μια μη χρηματική πτυχή των προβλημάτων απόφασης, που είναι δύσκολο να ενσωματωθούν σε ένα δέντρο απόφασης. Στο πανεπιστήμιο όπου διδάσκουμε, υπάρχει και ένα άλλο σχέδιο ασφάλισης εκτός από τους τύπους του παραδείγματος. Τα ασφάλιστρα του είναι χαμηλά, και δεν υπάρχουν συνπληρωμές, δηλαδή ο ασφαλιστής πληρώνει όλα τα ιατρικά έξοδα. Αυτό το σχέδιο είναι σαφώς το φθηνότερο όλων των σχεδίων που προσφέρονται, αλλά δεν έχει επιλεγεί από πολλούς εργαζόμενους. Γιατί; Το σχέδιο είναι μέσα από ένα HMO, όπου όλοι οι εργαζόμενοι πρέπει να πάνε σε ένα συγκεκριμένο σύνολο των γιατρών. Διαφορετικά, το σχέδιο δεν πληρώνει τα έξοδά τους. Προφανώς, πολλοί εργαζόμενοι θεωρούν ότι το «κόστος» του να πρέπει να πάνε στους γιατρούς που δεν θα επιλέξουν διαφορετικά αντισταθμίζει την εξοικονόμηση σε δολάρια από το σχέδιο. Το ακόλουθο παράδειγμα απεικονίζει μία μέθοδο για τη χρήση μιας συνεχής κατανομής πιθανότητας σε ένα μοντέλο δέντρου απόφασης. Παράδειγμα 10.3: Προμήθεια λαμπτήρων στα Freshway σουπερμάρκετ Η Freshway, μια αλυσίδα σούπερ μάρκετ, απαιτεί λαμπτήρες φθορισμού για τα καταστήματα της. Υπάρχουν δύο προμηθευτές αυτών των λαμπτήρων. Ο προμηθευτής Α προσφέρει αυτούς σε $ 4,00 ανά λάμπα και θα αντικαταστήσει τους πρώτους 900 ελαττωματικούς λαμπτήρες με εγγυημένους καλούς για $ 3,00 ο κάθε ένας. Θα αντικαταστήσει όλα τα ελαττωματικά μετά τα πρώτα 900 δωρεάν. Ο 38

40 προμηθευτής Β είναι κάτι παρόμοιο. Θα χρεώνει 4,15 δολάρια ανά λάμπα, αντικαταστήσει τα πρώτα 1200 ελαττωματικά για $ 1,00 το κάθε ένα, και θα αντικαταστήσει όλα τα ελαττωματικά μετά τα πρώτα 1200 δωρεάν. Η Freshway σχεδιάζει να πουλήσει αυτές τις λάμπες για 4,40 δολάρια ανά τεμάχιο και να μην χρεώσει τους πελάτες τίποτα για την αντικατάσταση των ελαττωματικών. Η μόνη αβεβαιότητα είναι ο αριθμός των ελαττωματικών λαμπτήρων από τον κάθε προμηθευτή. Με βάση τα ιστορικά δεδομένα από κάθε προμηθευτή, η Freshway πιστεύει ότι το ποσοστό των ελαττωματικών είναι κανονικά κατανεμημένο με μέση τιμή 4% και τυπική απόκλιση 1% από τον προμηθευτή Α, και μέση τιμή 4,2% και τυπική απόκλιση 1,2% από τον προμηθευτή Β. Ποια θα πρέπει να επιλέξει να η Freshway για τη μεγιστοποίηση της EMV του; Λύση Έστω p είναι το ποσοστό των λαμπτήρων που είναι ελαττωματικά. Στη συνέχεια, το κέρδος για Freshway από την αγορά από τον προμηθευτή Α είναι 24,000( ) (24,000p)(3.00) if p 900/24,000 Profit = 24,000( ) (900)(3.00) if p > 900/24,000 Μια παρόμοια έκφραση ισχύει για τον προμηθευτή Β. H μόνη τυχαία ποσότητα σε αυτή την έκφραση είναι η ρ, η οποία είναι κανονικά κατανεμημένη. Το ερώτημα είναι πώς μπορούμε να μοντελοποιήσουμε την συνεχή κατανομή του p σε ένα διακριτό δέντρο απόφασης, δηλαδή, ένα δέντρο με ένα διακριτό αριθμό πιθανοτήτων διακλαδώσεων. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται συνήθως είναι η προσέγγιση της συνεχούς κανονικής κατανομής με μια διακριτή κατανομή με ένα σχετικά μικρό αριθμό, ας πούμε 5, από εξίσου πιθανές αξίες. Η ιδέα είναι να χωρίσουμε την κανονική κατανομή σε ίσο αριθμό περιοχών με ίσες πιθανότητες και να πάρουμε το μέσο (κατά μία έννοια πιθανότητα) της κάθε περιοχής ως τιμή για το δέντρο απόφασης. Για παράδειγμα, αν χρησιμοποιήσουμε τα πέντε σημεία, στη συνέχεια, κάθε περιοχή έχει πιθανότητα 0,2. Η μέση πιθανότητα μεταξύ 0 και 0,2 είναι 0,1, έτσι ώστε το πρώτο σημείο στο δέντρο να είναι το 10ο εκατοστημόριο της κανονικής κατανομής. Ομοίως, το επόμενο σημείο 39

41 είναι το 30 ο εκατοστημόριο, το επόμενη είναι το 50ο, το επόμενο είναι το 70ο και το τελευταίο είναι το 90ο. Το Σχήμα απεικονίζει τους υπολογισμούς. (Δείτε το LIGHTBULB.XLS αρχείου.) Με τη σειρά 13 εισάγουμε τις δεδομένες εισροές για το πρόβλημα. Στη συνέχεια, στις σειρές εισάγουμε τις πληροφορίες που θα χρησιμοποιήσουμε στο δέντρο απόφασης όσον αφορά το ποσοστό ελαττωματικών για κάθε προμηθευτή. Η πληροφορία αυτή βασίζεται σε πέντε-σημεία προσέγγισης με την κανονική κατανομή. Για παράδειγμα, το 10ο εκατοστημόριο της κανονικής κατανομής του προμηθευτή Α βρίσκεται στο κελί C17 με τον τύπο = NORMINV (Β17, Β $ $ 12, $ C $ 12) και αυτό αντιγράφεται κάτω στο κελί C21. Στη συνέχεια, το κόστος τηε Freshway από ελαττωματικά, αν υποτεθεί ότι η τιμή στο C17 είναι το ποσοστό των ελαττωματικών, υπολογίζεται στο κελί D17 με τον τύπο = $C$ 7 * IF (C17 <= $D$ 7/Quantity, Ποσότητα * C17, $D$7 ) και αντιγράφεται στο κελί D21. Παρόμοιοι τύποι χρησιμοποιούνται για τον προμηθευτή Β. Σχήμα 10.23: Εισροές και υπολογισμοί για το παράδειγμα της Lightbulb 40

42 ΧΡΗΣΗ PRECISIONTREE Είναι πλέον εύκολο να κατασκευάσoυμε το δέντρο απόφασης, που φαίνεται στο Σχήμα (σελίδα 520). Εισάγουμε τα έσοδα από την πώληση των λαμπτήρων και το κόστος αγοράς τους στα κελιά B33 και B47. Για παράδειγμα, ο τύπος στο κελί B33 είναι = Ποσότητα * (SellingPrice-Β7) Σχήμα 10.24: Δέντρο απόφασης για το παράδειγμα της Lightbulb Στη συνέχεια θα συνδέσουμε τις νομισματικές τιμές κάτω από τις πιθανότητες διακλαδώσεων στα αντίστοιχα τετραγωνίδια του εύρους D17: D26 Οι EMVS για τους προμηθευτές Α και Β είναι $ και $ 5.027, έτσι ώστε ο προμηθευτής Α είναι η σαφής επιλογή. Προφανώς, η υψηλότερη τιμή που χρεώνεται από τον προμηθευτή Β και το ελαφρώς υψηλότερο μέσο ποσοστό ελαττωματικών αποτελούν μια καλύτερη συμφωνία για την αντικατάσταση των ελαττωματικών. Φυσικά, εάν ο προμηθευτής Β θέλει πραγματικά να πάρει την δουλειά με την επιχείρησή Freshway, θα μπορούσε να επιχειρήσει να γλυκάνει συμφωνία με μια σειρά από τρόπους. Η ανάλυση ευαισθησίας είναι χρήσιμη για να δούμε πώς η EMV του προμηθευτή Β (στο κελί C47) επηρεάζεται από τις διάφορες παραμέτρους εισροών. Προσπαθήσαμε αυτό, μεταβάλλοντας τις εισόδους στα κελιά B8, C8, D8, και Β13 από τις προεπιλεγμένες τιμές του PrecisionTree (10% σε κάθε κατεύθυνση) και την παρακολούθηση της μεταβολής της EMV του 41

43 προμηθευτή Β. Το διάγραμμα ανεμοστρόβιλος (tornado) στο σχήμα καθιστά πολύ σαφές ότι το πιο σημαντικό στοιχείο είναι το κόστος αγοράς ανά μονάδα. Τα αποτελέσματα των τριών άλλων είσοδοι είναι πρακτικά αμελητέα σε σύγκριση. Εάν ο προμηθευτής Β θέλει την επιχείρησή Freshway, τότε θα πρέπει να μειώσει το μοναδιαίο κόστος αγοράς του. Σχήμα 10.25: Διάγραμμα ανεμοστρόβιλος για την ανάλυση της EMV του προμηθευτή Β. Θέματα Μοντελοποίησης Η διακριτή προσέγγιση που χρησιμοποιήθηκε στο Παράδειγμα 10.3 μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε δένδρο αποφάσεων με συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων, ανεξάρτητα από το αν είναι κανονικό. Εμείς πρέπει πρώτα να αποφασίσουμε πόσες τιμές πρέπει να έχουμε στην διακριτή προσέγγιση. Οι συνήθεις επιλογές είναι 5 ή 3. (Παραδόξως, μια προσέγγιση τριών σημείων κάνει μια επαρκή δουλειά σε πολλές περιπτώσεις). Στη συνέχεια, εμείς χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε την αντίστροφη συνάρτηση, στο προηγούμενο παράδειγμα ήταν η NORMINV συνάρτηση, για να βρούμε τις τιμές που θα χρησιμοποιήσουμε στο δένδρο απόφασης. Η κατάλληλη αντίστροφη συνάρτηση είναι διαθέσιμη στο Excel για μια σειρά από ευρέως χρησιμοποιούμενες συνεχείς κατανομές. 42

44 10.4 Πολυεπίπεδα Προβλήματα Αποφάσεων Τώρα θα εξετάσουμε ένα πρόβλημα όπου ο λήπτης της απόφασης πρέπει να πάρει τουλάχιστον δύο αποφάσεις που χωρίζονται χρονικά, όπως όταν μια εταιρία πρέπει να αποφασίσει εάν θα αγοράσει πληροφορίες που θα την βοηθήσουν να πάρει μια δεύτερη απόφαση. Το ακόλουθο παράδειγμα απεικονίζει αυτή την τυπική περίσταση. Παράδειγμα 10.4: Προωθώντας στην αγορά ένα νέο προϊόν στην εταιρία ACME Η εταιρία ACME προσπαθεί να αποφασίσει εάν θα προωθήσει στην αγορά ένα νέο προϊόν. Όπως σε πολλές περιπτώσεις νέου προϊόντος, υπάρχει σημαντική αμφιβολία σχετικά με το εάν το νέο προϊόν "θα πιάσει" τελικά. Η ACME πιστεύει ότι ίσως είναι συνετό να εισάγει το προϊόν σε μια τοπική δοκιμαστική αγορά προτού να το εισάγει εθνικά. Γι αυτό, η πρώτη απόφαση της εταιρίας είναι εάν θα διεξάγει την δοκιμή αγοράς. Η ACME υπολογίζει ότι το σταθερό κόστος για τη δοκιμή αγοράς είναι $3 εκατομμύρια. Εάν αποφασίσει να διεξάγει την προώθηση στη δοκιμαστική αγορά, θα πρέπει τότε να περιμένει τα αποτελέσματα. Βάσει των αποτελεσμάτων της έρευνας, μπορεί έπειτα να αποφασίσει εάν θα προωθήσει το προϊόν εθνικά, στην οποία περίπτωση θα επιφορτιστεί με καθορισμένο κόστος $90 εκατομμυρίων. Απ' την άλλη μεριά, εάν η αρχική απόφαση είναι να μην εκτελέσει την έρευνα αγοράς, τότε η τελική απόφαση- για το εάν θα προωθήσει το προϊόν εθνικά- μπορεί να παρθεί χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση. Το περιθώριο διακύμανσης ανά προϊόν, η διαφορά ανάμεσα στην τιμή πώλησης και στο μεταβλητό κόστος προϊόντος, είναι $18 (στην έρευνα αγοράς και στην διεθνή αγορά). Η ACME κατατάσσει τα αποτελέσματα είτε της δοκιμαστικής αγοράς είτε της εθνικής αγοράς, ως άριστα, ικανοποιητικά, ή απαίσια. Καθένα απ αυτά συνοδεύεται από μια πρόβλεψη του συνόλου των προϊόντων που θα πουληθούν. Αυτοί οι όγκοι πωλήσεων (σε 1000 κομμάτια) είναι 200, 100 και 30 για την δοκιμαστική αγορά και 6000,3000, και 900 για την εθνική αγορά. Βασιζόμενοι σε προηγούμενες δοκιμές αγορών για παρόμοια προϊόντα, η ACME υπολογίζει ότι οι πιθανότητες των τριών 43

45 αποτελεσμάτων της έρευνας αγοράς είναι 0.3, 0.6, και τελικά 0.1. Τότε, βασιζόμενοι σε ιστορικά στοιχεία από προηγούμενα προϊόντα που πέρασαν την δοκιμή αγοράς και τελικά προωθήθηκαν εθνικά, αξιολογεί τις πιθανότητες των αποτελεσμάτων στην εθνική αγορά βάση κάθε πιθανού αποτελέσματος απ' την δοκιμαστική αγορά. Εάν η δοκιμαστική αγορά είναι άριστη, οι πιθανότητες για τα αποτελέσματα της εθνικής αγοράς είναι 0,8, 0,15, και 0,05. Εάν η δοκιμαστική αγορά είναι ικανοποιητική, αυτές οι πιθανότητες είναι 0.3, 0.5, και 0.2. Εάν η δοκιμαστική αγορά είναι απαίσια, αυτές είναι 0,05, 0,25 και 0,7. (Προσέξτε πώς οι πιθανότητες των αποτελεσμάτων της εθνικής αγοράς αποτελέσματα της δοκιμαστικής αγοράς.) τείνουν να αντικατοπτρίζουν τα Η εταιρεία θέλει να χρησιμοποιήσει την αποφάσεων για να βρει την καλύτερη στρατηγική. μέθοδο του δενδρογράμματος Λύση Ξεκινάμε αναλύοντας τρία βασικά στοιχεία αυτού του προβλήματος απόφασης: τις πιθανές στρατηγικές, τα πιθανά αποτελέσματα και τις πιθανότητες τους, και το μοντέλο τιμών. Οι πιθανές στρατηγικές είναι ξεκάθαρες. ACME πρέπει πρώτα να αποφασίσει κατά πόσο να εισάγει το προϊόν σε εθνικό επίπεδο. Ωστόσο, είναι σημαντικό να αντιληφθούμε ότι εάν η ACME αποφασίσει να διεξάγει μια έρευνα αγοράς, μπορεί να βασίσει την απόφαση της για την εθνική αγορά στα αποτελέσματα της έρευνας αγοράς. Σε αυτή την περίπτωση η τελική της στρατηγική θα είναι ένα σχέδιο έκτακτης ανάγκης, όπου διεξάγεται η έρευνα αγοράς, έπειτα εισάγεται το προϊόν εθνικά εάν λάβει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα και εγκαταλείπεται το προϊόν αν λάβει αρκετά αρνητικά αποτελέσματα στην έρευνα αγοράς. Οι βέλτιστες στρατηγικές σε πολλά πολυεπίπεδα προβλήματα αποφάσεων εμπεριέχουν παρόμοια σχέδια έκτακτης ανάγκης. Σχετικά με τα αβέβαια αποτελέσματα και τις πιθανότητες τους, σημειώνουμε ότι οι δεδομένες πιθανότητες- πιθανότητες των αποτελεσμάτων 44

46 έρευνας αγοράς και οι υποθετικές/ εξαρτώμενες πιθανότητες των εθνικών αποτελεσμάτων βάση των αποτελεσμάτων της έρευνας αγοράς- είναι ακριβώς αυτές που χρειαζόμαστε στο δενδρόγραμμα αποφάσεων. Αυτό συμβαίνει επειδή το αποτέλεσμα της έρευνας αγοράς είναι γνωστό προτού προκύψει το αποτέλεσμα για την εθνική αγορά. Ωστόσο, υποθέστε ότι η ACME αποφασίσει να μην διεξάγει έρευνα αγοράς και έπειτα αποφασίσει να διοχετεύσει στην αγορά εθνικά. Τότε, ποιες είναι οι πιθανότητες των αποτελεσμάτων της εθνική αγοράς; Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε ότι δεν μπορούμε απλά να αξιολογήσουμε τρεις νέες πιθανότητες για αυτήν την περίπτωση. Αυτές οι πιθανότητες υπονοούνται απ τις δοσμένες πιθανότητες. Αυτό συνεπάγεται απ τους κανόνες των εξαρτημένων/ υποθετικών πιθανοτήτων. Αν ορίσουμε ως Τ1, Τ2, και Τ3 τα αποτελέσματα της έρευνας αγοράς και Ν οποιοδήποτε απ' τα αποτελέσματα της εθνικής αγοράς, τότε με τον κανόνα της πρόσθεσης για τους τύπους των πιθανοτήτων και των εξαρτημένων/ υποθετικών πιθανοτήτων : P (N) = P (N and T 1 ) + P (N and T 2 ) + P (N and T 3 ) (10.1) = P (N T 1 ) P (T 1 ) + P (N T 2 ) P (T 2 ) + P (N T 3 )P(T 3 ) (10.2) (Αυτός ορισμένες φορές ονομάζεται ο νόμος των συνολικών πιθανοτήτων.) Για παράδειγμα, εάν Ν1 αντιπροσωπεύει ένα άριστο αποτέλεσμα για την αγορά, τότε απ την εξίσωση 10.1 : εθνική P (N1) = (0.8)(0.3) + (0.3)(0.6) + (0.05)(0.1) = Παρομοίως, βρίσκουμε ότι P(N2) = 0.37 and P(N3) = Αυτές είναι οι πιθανότητες που χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε για τις διακλαδώσεις πιθανοτήτων όταν δεν εφαρμοστεί έρευνα αγοράς. Τελικά, οι χρηματικές αξίες στο δενδρόγραμμα είναι απλές. Υπάρχουν καθορισμένα κόστη στο να προωθήσεις στην αγορά δοκιμαστικά και εθνικά, και αυτά επέρχονται αμέσως μετά την λήψη της απόφασης "προχωράμε." Απ' αυτό το σημείο, παρατηρούμε τον όγκο των πωλήσεων και τον πολλαπλασιάζουμε με το περιθώριο διακύμανσης κέρδους μονάδας για να πάρουμε τα κέρδη. 45

47 ΧΡΗΣΗ PRECISIONTREE Τα δεδομένα για το δενδρόγραμμα ακριβείας εμφανίζονται στο σχ Οι μόνες υπολογισμένες τιμές σε αυτό το τμήμα του φύλλου εργασίας είναι στην σειρά 28, οι οποίες συνεπάγονται από την εξίσωση (10.1). Ειδικά, ο τύπος στο κελί Β28 είναι =SUMPRODUCT(B22:B24,$B$16:$B$18) τον οποίο αντιγράφουμε οριζόντια στη σειρά 28. Το δενδρόγραμμα είναι έπειτα απλό να κατασκευαστεί και να ονομαστεί, όπως φαίνεται στο σχ Σημειώστε πώς τα καθορισμένα κόστη της δοκιμαστικής αγοράς και της εθνικής αγοράς εμφανίζονται στις διακλαδώσεις αποφάσεων όπου προκύπτουν, έτσι ώστε μόνο τα κέρδη των πωλήσεων να χρειάζεται να τοποθετηθούν στις διακλαδώσεις πιθανοτήτων. Επίσης, οι πιθανότητες στις διάφορες διακλαδώσεις πιθανοτήτων είναι ακριβώς αυτές που καταγράφονται στο σχήμα Η ερμηνεία αυτού του δενδρογράμματος είναι αρκετά απλή αν συνειδητοποιήσουμε ότι κάθε τιμή ακριβώς κάτω από το όνομα των κόμβων είναι μια αναμενόμενη χρηματική τιμή (EMV). Για παράδειγμα, το 807 στο κελί Β43 είναι η αναμενόμενη χρηματική τιμή για ολόκληρο το πρόβλημα απόφασης. Αυτό σημαίνει ότι η καλύτερη αναμενόμενη χρηματική τιμή της ACME είναι $ Ως άλλο παράδειγμα, το 5910 στο κελί D47 σημαίνει ότι εάν η εταιρεία φτάσει ποτέ σ αυτό το σημείο- η έρευνα αγοράς έχει διεξαχθεί και έχει πάει άριστα- η αναμενόμενη χρηματική τιμή για την ACME είναι $ Κάθε μια απ αυτές τις τιμές έχει υπολογιστεί με την διαδικασία αναδίπλωσης που συζητήσαμε νωρίτερα, ξεκινώντας απ τα αριστερά και δουλεύοντας πίσω προς τα αριστερά. Το δενδρόγραμμα ακριβείας παίρνει τις αναμενόμενες χρηματικές τιμές στους κόμβους πιθανοτήτων και τις μέγιστες τιμές στους κόμβους αποφάσεων. Μπορούμε επίσης να δούμε την βέλτιστη στρατηγική της ACME ακολουθώντας τις διακλαδώσεις "True" /"Σωστό" από αριστερά στα δεξιά. Η εταιρεία πρέπει πρώτα να κάνει έρευνα αγοράς. Αν τα αποτελέσματα είναι άριστα, τότε το προϊόν θα πρέπει να προωθηθεί εθνικά. Ωστόσο, εάν τα αποτελέσματα είναι μόνο ικανοποιητικά ή απαίσια, το προϊόν θα πρέπει να εγκαταλειφθεί. Σ αυτές 46

48 τις περιπτώσεις οι προοπτικές από την εθνική αγορά φαίνονται κακές, γι αυτό η εταιρεία θα πρέπει να μειώσει τις απώλειες. (Και υπάρχουν απώλειες. Σ' αυτές τις δυο τελευταίες περιπτώσεις, η ACME έχει ξοδέψει $ στην έρευνα αγοράς και έχει αποσβέσει $ ή $ απ τις αντίστοιχες πωλήσεις.) Σχ Δεδομένα για την προώθηση της ACME Το προφίλ του ρίσκου απ' την βέλτιστη στρατηγική φαίνεται στο σχ Βασίζεται σε δεδομένα του σχ (Αυτά αποκτήθηκαν κάνοντας κλικ στο κουμπί σκάλας του δενδρογράμματος ακριβείας και επιλέγοντας τις επιλογές Στατιστικής και Προφίλ Ρίσκου.) Βλέπουμε ότι υπάρχει μικρή πιθανότητα δυο πιθανών μεγάλων απωλειών (περίπου $73 εκατομμύρια και $35 εκατομμύρια), υπάρχει 70% πιθανότητα μέτριας απώλειας ύψους περίπου $1 ή $2 εκατομμυρίων, και υπάρχει 24% πιθανότητα για κέρδος $18,6 εκατομμυρίων. Φυσικά, το καθαρό αποτέλεσμα είναι η αναμενόμενη χρηματική τιμή/(emv) των $

49 Σχ Δενδρόγραμμα απόφασης για το παράδειγμα προώθησης της ACME Σχ Το προφίλ ρίσκου της βέλτιστης στρατηγικής 48

50 Σχ Κατανομή κέρδους/απώλειας από την βέλτιστη στρατηγική Ίσως ισχυριστείτε ότι οι μεγάλες δυνατές απώλειες και οι ελαφρώς πάνω του 70% πιθανότητα κάποιας απώλειας θα έπρεπε να πείσουν την ACME να εγκαταλείψει το προϊόν αμέσως - χωρίς έρευνα αγοράς. Ωστόσο, αυτό σημαίνει το " Να παίζεις με τους μέσους όρους" με την αναμενόμενη χρηματική τιμή. Απ ' την στιγμή που η αναμενόμενη χρηματική τιμή της βέλτιστης στρατηγικής είναι μεγαλύτερη του 0, δηλαδή η αναμενόμενη χρηματική τιμή του να εγκαταλειφθεί το προϊόν αμέσως, η ACME θα πρέπει να προχωρήσει με αυτή την βέλτιστη στρατηγική αν η εταιρεία είναι πραγματικά στοχευμένη στη μεγιστοποίηση της αναμενόμενης χρηματικής τιμής. Αναμενόμενη τιμή του δείγματος πληροφοριών. Ο ρόλος της έρευνας αγοράς στο παράδειγμα προώθησης της ACME είναι να παρέχει πληροφορίες με την μορφή των ακριβέστερων πιθανοτήτων για τα αποτελέσματα της εθνικής αγοράς. Η πληροφόρηση συνήθως κοστίζει κάτι όπως στο πρόβλημα της ACME. Επί του παρόντος, το καθορισμένο κόστος της έρευνας αγοράς είναι $3 εκατομμύρια, το οποίο ποσό τελικά δεν είναι πολύ να πληρωθεί καθώς η καλύτερη πολιτική της εταιρείας είναι να διεξάγει την έρευνα. Ωστόσο, ίσως ρωτήσετε πόσο αξίζει η έρευνα. Αυτό είναι εύκολο να απαντηθεί. Από το δενδρόγραμμα στο σχ.10.27, βλέπουμε ότι η αναμενόμενη χρηματική τιμή απ' την έρευνα αγοράς είναι $807,000 παραπάνω από την απόφαση να μην δοκιμαστεί στην αγορά το προϊόν (και έπειτα να εγκαταλειφθεί). Γι' αυτό το λόγο, εάν το καθορισμένο κόστος της έρευνας αγοράς ήταν κάπως περισσότερο από $807,000 πάνω από την τωρινή τιμή του, η ACME θα ήταν καλύτερο να μην διεξάγει την έρευνα. Ισοδύναμα, το περισσότερο 49

51 που θα ήταν πρόθυμη να πληρώσει η εταιρεία για την έρευνα αγοράς (ως καθορισμένο κόστος) είναι $3,807 εκατομμύρια. Αυτή η τιμή ονομάζεται αναμενόμενη τιμή δείγματος πληροφορίας ή EVSL. Γενικά, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη διατύπωση για την EVSL: EVSI = EMV με δωρεάν πληροφόρηση EMV χωρίς πληροφόρηση Στο πρόβλημα της ACME, η EMV με δωρεάν πληροφόρηση είναι $3,807 εκατομμύρια (απλά δεν χρεώνετε το καθορισμένο κόστος έρευνας αγοράς), και η ίδια χωρίς καθόλου πληροφόρηση για την έρευνα αγοράς είναι $0 (επειδή η ACME εγκαταλείπει το προϊόν όταν δεν υπάρχει έρευνα διαθέσιμη). EVSI = $3.807 $0 = $3.807εκατομμύρια Αναμενόμενη τιμή τέλειας πληροφόρησης: Ο λόγος το όρου δείγμα είναι ότι η πληροφόρηση δεν απομακρύνει όλη την αβεβαιότητα για το μέλλον. Δηλαδή, ακόμα και μετά την συγκέντρωση των αποτελεσμάτων της έρευνας αγοράς, υπάρχει αβεβαιότητα για τα εθνικά αποτελέσματα. Έτσι, ίσως πάμε ένα βήμα παραπέρα και ρωτήσουμε πόσο κοστίζει η τέλεια πληροφόρηση. Μπορούμε να φανταστούμε την τέλεια πληροφόρηση ως ένα φάκελο που περιέχει το αληθινό τελικό αποτέλεσμα (της αγοράς σε εθνικό επίπεδο). Δηλαδή,είτε η εθνική αγορά θα είναι άριστη, ή θα είναι ικανοποιητική, ή η εθνική αγορά θα είναι κακή, θα αναγράφεται μέσα στο φάκελο. Κατά γενική παραδοχή, δεν υπάρχει τέτοιος φάκελος, αλλά αν υπήρχε, πόσο θα ήταν διατεθειμένη η ΑCME να πληρώσει για αυτόν; Μπορούμε να απαντήσουμε αυτή την ερώτηση με ένα απλό δενδρόγραμμα αποφάσεων στο σχ Τώρα ο κόμβος πιθανοτήτων στα αριστερά αντιστοιχεί στο άνοιγμα του φακέλου. Οι πιθανότητες είναι οι ίδιες όπως πριν (όταν δεν υπήρχε διαθέσιμη έρευνα αγοράς). Σημειώστε την λογική εδώ. Η ACME δεν ξέρει ποια θα είναι τα περιεχόμενα του φακέλου, γι αυτό χρειαζόμαστε ένα κόμβο πιθανοτήτων. Ωστόσο, αφού ανοιχτεί ο φάκελος, το αληθινό αποτέλεσμα για την εθνική αγορά θα αποκαλυφθεί. Σε αυτό το σημείο η απόφαση της ACME είναι 50

52 αρκετά προφανής. Εάν μάθει ότι η εθνική αγορά είναι άριστη, γνωρίζει ότι το προϊόν θα είναι επικερδές και θα το προωθήσει. Διαφορετικά, αν μάθει ότι η εθνική αγορά είναι ικανοποιητική ή κακή, γνωρίζει ότι θα υπάρξει απώλεια από το να προωθήσει το προϊόν εθνικά και έτσι θα εγκαταλείψει το προϊόν. Η διαδικασία της αναδίπλωσης του πίνακα, με τον συνηθισμένο τρόπο, παράγει μια αναμενόμενη χρηματική αξία $7.65 εκατομμυρίων. Σχ10.30 Η EVPI για το παράδειγμα προώθησης της ACME Τώρα συγκρίνετε αυτό το ποσό των $7,65 εκατομμυρίων με την αναμενόμενη τιμή στην κορυφή του σχ που δεν προκύπτει από έρευνα αγοράς, ουσιαστικά $0. Η διαφορά, $7,65 εκατομμύρια, ονομάζεται αναμενόμενη τιμή τέλειας πληροφόρησης ή EVPI. Αντιπροσωπεύει το μέγιστο ποσό που η εταιρεία θα πλήρωνε για την τέλεια πληροφόρηση ως προς το τελικό αποτέλεσμα (της εθνικής αγοράς). Γενικά η διατύπωση για την EVPI είναι: EVPI = EMV με δωρεάν τέλεια πληροφόρηση EMV χωρίς πληροφόρηση Στην περίπτωση της ACME αυτή η διατύπωση παίρνει τη μορφή: EVPI = $7.65 $0 = $7.65 εκατομμύρια 51

53 Η EVPI μπορεί να φανεί ότι είναι άσχετη ιδέα μια και η τέλεια πληροφόρηση δεν είναι σχεδόν ποτέ διαθέσιμη- σε οποιαδήποτε τιμή. Ωστόσο, είναι συχνά χρήσιμη επειδή αντιπροσωπεύει ένα ανώτατο όριο για την EVPI για όποια δυνατή δειγματοληπτική πληροφόρηση. Δηλαδή, καμιά δειγματοληπτική πληροφόρηση δεν μπορεί ποτέ να αξίζει περισσότερο από την EVPI. Για παράδειγμα, εάν η εταιρεία σκέπτεται μια ακριβή έρευνα αγοράς με ένα προσδοκώμενο σταθερό κόστος περισσότερο από $8 εκατομμύρια, τότε δεν έχει πραγματικό νόημα να επιδιώξει περαιτέρω. Η πληροφορία που αποκτάται από την έρευνα αγοράς, άσχετα με το πόσο αξιόπιστη είναι, δεν μπορεί πιθανότατα, να αιτιολογήσει το κόστος επειδή το κόστος της είναι μεγαλύτερο απ την EVPI Ο κανόνας του Bayes Στα προβλήματα πολυεπίπεδων αποφάσεων συνήθως έχουμε εναλλασσόμενα σετ κόμβων αποφάσεων και κόμβων πιθανοτήτων. Ο λήπτης της απόφασης παίρνει μια απόφαση, παρατηρούνται κάποια αβέβαια αποτελέσματα, ο λήπτης της απόφασης παίρνει μια άλλη απόφαση, παρατηρούνται πιο αβέβαια αποτελέσματα, και ούτω καθεξής. Στο δενδρόγραμμα αποφάσεων που προκύπτει, όλα τα κλαδιά πιθανοτήτων στα δεξιά του δενδρογράμματος είναι εξαρτώμενα των αποτελεσμάτων που έχουν προκύψει νωρίτερα, στα αριστερά τους. Γι αυτό το λόγο, οι πιθανότητες αυτών των διακλαδώσεων είναι της μορφής P(A B), όπου Β είναι ένα γεγονός που συμβαίνει πριν το γεγονός Α χρονικά. Ωστόσο, είναι μερικές φορές πιο φυσικό να αξιολογήσουμε τις εξαρτώμενες πιθανότητες με την αντίθετη σειρά, δηλαδή, P(B A). Κάθε φορά που έτσι έχει η κατάσταση, χρειαζόμαστε τον κανόνα του Bayes για να πάρουμε τις πιθανότητες που ζητάμε στο δενδρόγραμμα. Ουσιαστικά, ο κανόνας του Bayes είναι ένας μηχανισμός για την ανανέωση των πιθανοτήτων καθώς μας διατίθενται νέες πληροφορίες. Απεικονίζουμε τον μηχανισμό του κανόνα του Bayes στο ακόλουθο παράδειγμα. (Βλ. Feinstein, 1990, για μια πραγματική εφαρμογή αυτού του παραδείγματος). 52

54 Παράδειγμα 10.5: Έλεγχος ουσιών για αθλητές κολεγίων Εάν ένας αθλητής ελέγχεται για την χρήση συγκεκριμένου τύπου ουσιών (ας πούμε στεροειδή), τότε τα αποτελέσματα του ελέγχου θα είναι είτε αρνητικά ή θετικά. Ωστόσο, αυτά τα τεστ δεν είναι ποτέ τέλεια. Μερικοί αθλητές που είναι καθαροί από ουσίες βρίσκονται θετικοί, και κάποιοι που είναι χρήστες ουσιών βρίσκονται αρνητικοί. Οι πρώτοι ονομάζονται ψευδείς αρνητικοί, οι δεύτεροι ονομάζονται ψευδείς θετικοί. Θα υποθέσουμε ότι 5% απ' όλους τους αθλητές χρησιμοποιούν ουσίες, 3% απ' όλα τα τεστ σε καθαρούς αθλητές αποδίδουν ψευδή θετικά αποτελέσματα και 7% όλων των τεστ σε χρήστες ουσιών αποδίδουν ψευδή αρνητικά αποτελέσματα. Η ερώτηση τότε είναι τι μπορούμε να συμπεράνουμε από ένα θετικό ή αρνητικό αποτέλεσμα ελέγχου. Λύση Ας υποδηλώσουμε με D και ND ότι ένας τυχαία επιλεγμένος αθλητής είναι ή δεν είναι χρήστης ουσιών, και ας δείξουμε με Τ+ και Τ- ένα θετικό και ένα αρνητικό αποτέλεσμα τεστ. Μας δίνονται οι ακόλουθες πιθανότητες. Πρώτον, αφού 5% απ' όλους τους αθλητές είναι χρήστες ουσιών, ξέρουμε ότι P(D) =0.05 and P(ND) = Αυτές ονομάζονται πρότερες πιθανότητες επειδή αντιπροσωπεύουν την πιθανότητα ένας αθλητής να είναι ή όχι χρήστης πριν τα αποτελέσματα του τεστ ουσιών. Δεύτερον, από τις πληροφορίες για την ορθότητα των τεστ ουσιών, γνωρίζουμε τις εξαρτώμενες πιθανότητες P(T + ND) = 0.03 και P(T D) = Αλλά ένας καθαρός από ουσίες αθλητής δίνει αποτελέσματα είτε θετικά ή αρνητικά, και το ίδιο ισχύει και για ένα χρήστη. Γι αυτό το λόγο, έχουμε επίσης τις πιθανότητες P(T ND) = 0.97 και P(T + D) = Αυτές οι 4 εξαρτώμενες πιθανότητες για τα αποτελέσματα των τεστ δεδομένης της κατάστασης του χρήστη συχνά ονομάζονται likelihoods/ ενδεχόμενα των αποτελεσμάτων των τεστ. Δεδομένων των πρότερων πιθανοτήτων και των ενδεχομένων, θέλουμε τις μετέπειτα πιθανότητες όπως P(D T+) την πιθανότητα ότι ένας αθλητής με θετικό αποτέλεσμα είναι χρήσης ουσιών ή P(ND T ), την πιθανότητα ότι ένας αθλητής που κρίθηκε αρνητικός είναι καθαρός από ουσίες. Ονομάζονται μετέπειτα πιθανότητες επειδή αξιολογούνται μετά τα αποτελέσματα των τεστ. Εδώ μπαίνει ο 53

55 κανόνας του Bayes. Θα αναπτύξουμε τον κανόνα αυτό σε γενικευμένη μορφή και έπειτα θα τον εφαρμόσουμε στο παρόν παράδειγμα. Ας είναι Α κάποιο γεγονός " πληροφόρησης", όπως το αποτέλεσμα του ελέγχου ουσιών, και ας είναι B 1, B 2,..., B n οποιαδήποτε αμοιβαία αποκλειόμενα και εκτενή σετ γεγονότων. Αυτό σημαίνει ότι ακριβώς μια απ' τις περιπτώσεις Β πρέπει να προκύψει. Για να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bαyes, υποθέτουμε ότι οι πρότερες πιθανότητες P(B 1 ), P(B 2 ),..., P(B n ) είναι δεδομένες, όπως συμβαίνει και με τα ενδεχόμενα για κάθε πληροφορία i. Τότε θέλουμε τις μετέπειτα πιθανότητες για κάθε πληροφορία. Ο κανόνας του Baye δείχνει πώς τα βρίσκουμε. Για κάθε πληροφορία i έχουμε: P (B i A) = P (A B i ) P (B i ) P (A B 1 ) P (B 1 ) + + P (A B n )P(B n ) Αυτός ο τύπος λέει ότι μια χαρακτηριστική μετέπειτα πιθανότητα είναι αναλογία. Ο αριθμητής είναι ένα ενδεχόμενο επί τις πρότερες πιθανότητες, και ο παρονομαστής είναι το άθροισμα των ενδεχομένων επί τις πρότερες πιθανότητες. Προτού να απεικονίσουμε αριθμητικά τον κανόνα του Bαyes, κάνουμε δυο άλλες παρατηρήσεις σχετικά με τους όρους σε αυτόν τον κανόνα. Πρώτα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα πολλαπλασιασμού της πιθανότητας για να γράψουμε οποιοδήποτε προϊόν ενός ενδεχόμενου και μιας πρότερης πιθανότητας όπως: P (A B i ) P (B i ) = P (A and B i ) Η πιθανότητα στα δεξιά, ότι και τα δύο Α και Bi προκύπτουν, ονομάζεται συνδυαστική πιθανότητα. Δεύτερον, μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εξαρτώμενης πιθανότητας κατευθείαν για να γράψουμε: P (B i A) = P (A and B i ) P (A) Γι' αυτό το λόγο, η πιθανότητα στον παρονομαστή του κανόνα του Bayes είναι στην πραγματικότητα απλά η πιθανότητα του Α : P (A) = P (A B 1 ) P (B 1 ) + + P (A B n ) P (B n ) 54

56 Είναι σχετικά εύκολο να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bayes σε φύλλο εργασίας, όπως απεικονίζεται στο σχ για το παράδειγμα των ναρκωτικών ουσιών. Εδώ ο Α αντιστοιχεί σε όποια απ' τα δυο αποτελέσματα του ελέγχου, και Β 1 και Β 2 αντιστοιχούν στον χρήστη ουσιών (D) και στον καθαρό από ουσίες (ND). Με άλλα λόγια, θέλουμε να δούμε πώς οι πιθανότητες του D και του ND αλλάζουν αφού δούμε τα αποτελέσματα του τεστ. Οι δεδομένες πρότερες πιθανότητες και τα ενδεχόμενα είναι καταγραμμένα στα πεδία B5:C5 και B9:C10. Εμείς τότε υπολογίζουμε τα προϊόντα των πρότερων και των ενδεχόμενων στα πεδία B15:C16. Ο τύπος στο κελί Β15 είναι : =B$5*B9 Και αυτό αντιγράφεται στο υπόλοιπο του πεδίου B15:C16. Τα αθροίσματα των σειρών τους υπολογίζονται στο πεδίο D15:D16. Αυτά αντιπροσωπεύουν τις ανεξάρτητες πιθανότητες των δυο πιθανών αποτελεσμάτων. Αυτές είναι επίσης (όπως είδαμε παραπάνω ) και οι παρονομαστές του κανόνα του Bayes. Τελικά, υπολογίζουμε τις μετέπειτα πιθανότητες στο πεδίο B21:C2 2. Ο τύπος στο κελί Β21 είναι: =B15/$D15 και αυτό αντιγράφεται στο υπόλοιπο πεδίο B21:C22. Οι διάφοροι άσοι (1) στα περιθώρια του σχ είναι αθροίσματα σειρών ή αθροίσματα στηλών που πρέπει να ισούνται με 1. Εμείς τα δείχνουμε μόνο ως έλεγχο της λογικής μας. Σημειώστε ότι ένα αρνητικό αποτέλεσμα ελέγχου αφήνει μικρή αμφιβολία ότι ο αθλητής είναι καθαρός ουσιών. Η μετέπειτα πιθανότητα ότι ο αθλητής είναι καθαρός, δοθέντος ενός αρνητικού αποτελέσματος ελέγχου είναι Ωστόσο, υπάρχει ακόμα μεγάλη αμφιβολία για τον αθλητή που βρίσκεται θετικός. Η μετέπειτα πιθανότητα ότι ο αθλητής χρησιμοποιεί ουσίες, δοθέντος του θετικού αποτελέσματος, είναι μόνο Αυτή η ασυμμετρία προκύπτει εξαιτίας των πρότερων πιθανοτήτων. Είμαστε αρκετά σίγουροι ότι ένας τυχαία επιλεγμένος αθλητής είναι καθαρός από ουσίες επειδή μόνο 5% από όλους κάνουν τέτοια χρήση. Απαιτούνται πολλές αποδείξεις για να μας πείσουν για κάτι διαφορετικό. 55

57 Αυτή η αρχική προκατάληψη, συν το γεγονός ότι το τεστ παράγει μερικά ψευδή θετικά, σημαίνει ότι οι αθλητές με θετικά αποτελέσματα ακόμα έχει μια ευπρεπή πιθανότητα (πιθανότητα 0.380) του να είναι καθαροί. Είναι αυτό ένα έγκυρο επιχείρημα για να μην ζητείται έλεγχος ουσιών για τους αθλητές; Ερευνούμε αυτό το ερώτημα στην ακόλουθη συνέχεια του εν λόγω παραδείγματος. Τα πάντα εξαρτώνται από το "κόστος". Σχ Ο κανόνας του Bayes για το παράδειγμα ελέγχου ουσιών Παράδειγμα 10.5 (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) : Έλεγχος ουσιών για αθλητές κολεγίων Η διοίκηση του Κρατικού Πανεπιστημίου προσπαθεί να αποφασίσει εάν θα θεσμοθετήσει υποχρεωτικό έλεγχο ουσιών για τους αθλητές. Έχει την ίδια πληροφόρηση για τις πρότερες πιθανότητες και τα ενδεχόμενα όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, όμως τώρα θέλουν να χρησιμοποιήσουν ένα δενδρόγραμμα απόφασης για να δουν αν τα πλεονεκτήματα υπερτερούν του κόστους. Λύση Έχουμε ήδη συζητήσει τα αβέβαια αποτελέσματα και τις πιθανότητες τους. Τώρα πρέπει να συζητήσουμε τις εναλλακτικές λύσεις των αποφάσεων και τις χρηματικές 56

58 τους αξίες- τα άλλα δυο στοιχεία μιας ανάλυσης αποτελεσμάτων. Θα υποθέσουμε ότι υπάρχουν μόνο δύο εναλλακτικές: α) να εκτελεστεί έλεγχος για χρήση ουσιών σε όλους τους αθλητής ή β) να μην εκτελεστεί έλεγχος. Στην πρώτη περίπτωση υποθέτουμε ότι εάν ένας αθλητής κριθεί θετικός, αυτός αποκλείεται από τα αθλήματα. Οι χρηματικές αξίες είναι πιο δύσκολο να αξιολογηθούν. Αυτές συμπεριλαμβάνουν: Το όφελος Β από το να αναγνωρίσουμε σωστά ένα χρήστη και να τον αποκλείσουμε από τα αθλήματα Το κόστος C 1 του ίδιου του τεστ για ένα μόνο αθλητή (υλικά και εργασία) Το κόστοςc 2 του να κατηγορηθεί ψευδώς ένας μη χρήστης (και να αποκλειστεί από τα αθλήματα) Το κόστος C 3 του να μην αναγνωριστεί ένας χρήσης (είτε με το να μην ελεγχθεί καθόλου ή λαμβάνοντας ψευδές αρνητικό αποτέλεσμα) Το κόστος C 4 του να παραβιαστεί η ιδιωτική ζωή ενός μη χρήστη εκτελώντας τον έλεγχο Είναι ξεκάθαρο ότι μόνο το C 1 είναι ένα ευθέως χρηματικό κόστος που είναι εύκολο να μετρηθεί. Ωστόσο, τα άλλα "κόστη" και το όφελος Β είναι πραγματικά, και αυτά πρέπει να συγκριθούν σε κάποια κλίμακα για να δοθεί η δυνατότητα στην διοίκηση να πάρει μια λογική απόφαση. Εμείς θα το κάνουμε αυτό συγκρίνοντας το καθένα με το κόστος C 1, στο οποίο θα θέσουμε την τιμή 1. (Αυτό δεν σημαίνει ότι το κόστος του ελέγχου αθλητή είναι απαραίτητα $1,( αυτό απλά σημαίνει ότι θα εκφράσουμε όλα τα κόστη ως πολλαπλάσια του C 1.) Ξεκάθαρα, υπάρχει μεγάλη υποκειμενικότητα που σχετίζεται με αυτές τις συγκρίσεις, γι αυτό είναι απόλυτα απαραίτητη μια sensitivity analysis/ανάλυση ευαισθησίας στο τελικό δενδρόγραμμα αποφάσεων. Προτού να αναπτύξουμε το δενδρόγραμμα, είναι χρήσιμο να σχηματίσουμε ένα πίνακα οφέλους- κόστους και για τις δυο εναλλακτικές και όλα τα πιθανά 57

59 αποτελέσματα. Επειδή τελικά θα μεγιστοποιήσουμε το αναμενόμενο καθαρό όφελος, όλα τα οφέλη στον πίνακα αυτό έχουν ένα θετικό πρόσημο και όλα τα κόστη έχουν αρνητικό πρόσημο. Αυτά τα καθαρά οφέλη εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα Οι πρώτες δυο στήλες είναι σχετικές εάν δεν διεξαχθούν έλεγχοι, οι τέσσερεις τελευταίες είναι σχετικές όταν διεξάγεται έλεγχος. Για παράδειγμα, εάν θετικό τεστ ληφθεί για ένα μη χρήστη, υπάρχουν τρία κόστη: α) το κόστος του τεστ (C 1 ), β) το κόστος του να κατηγορηθεί ψευδώς ένας μη χρήστης (C 2 ), γ)και το κόστος του να παραβιαστεί η ιδιωτική ζωή ενός μη χρήστη (C 4 ). Πίνακας 10.25: Καθαρά οφέλω από το παράδειγμα ελέγχου ουσιών Don t Test Perform test D ND D and T+ ND and T+ D and T- ND and T- -C 3 0 B C 1 -(C 1 +C 2 +C 4 ) -(C 1 +C 3 ) -(C 1 +C 4 ) Η λύση με το Δενδρόγραμμα Ακριβείας που φαίνεται στο σχ είναι τώρα αρκετά ευθύς. Πρώτα καταχωρούμε όλα τα οφέλη και τα κόστη στο τμήμα δεδομένων. Αυτά μαζί με τους υπολογισμούς του κανόνα του Bayes πρωτύτερα, εμφανίζονται στην κορυφή του φύλλου εργασίας. Τότε χρησιμοποιούμε το Δενδρόγραμμα Ακριβείας με τον συνήθη τρόπο για να χτίσουμε το δενδρόγραμμα και να εισάγουμε τους συνδέσμους με τις αξίες και τις πιθανότητες. Προτού ερμηνεύσουμε αυτή τη λύση, συζητάμε τον συγχρονισμό (από τα αριστερά στα δεξιά). Εάν εκτελέσουμε έλεγχο ουσιών, το αποτέλεσμα του τεστ παρατηρείται πρώτο (ένας κόμβος πιθανοτήτων). Κάθε αποτέλεσμα τεστ οδηγεί σε μια πράξη (απαγόρευση από τα σπορ ή όχι), και τότε το τελικό όφελος ή κόστος εξαρτάται από το πόσο ο αθλητής χρησιμοποιεί ουσίες (πάλι κόμβος πιθανοτήτων). Ίσως ισχυριστείτε ότι το πανεπιστήμιο ποτέ δεν ξέρει σίγουρα αν ο αθλητής παίρνει φάρμακα, αλλά πρέπει να συμπεριλάβουμε την πληροφορία στο δενδρόγραμμα για να πάρουμε τα οφέλη και τα κόστη σωστά. Αν δεν πραγματοποιηθεί έλεγχος, τότε δεν υπάρχει κόμβος ενδιάμεσου αποτελέσματος τεστ ή κλάδοι. Τώρα στην ερμηνεία. Πρώτα, συζητάμε τα οφέλη και τα κόστη που φαίνονται στο σχήμα Αυτά επιλέγονται αρκετά αυθαίρετα, αλλά με κάποια 58

60 ελπίδα να αντικατοπτρίζουν την πραγματικότητα. Λένε ότι το μεγαλύτερο κόστος είναι να κατηγορείς λανθασμένα (και να αποκλείεις ) ένα μη χρήστη. Αυτό είναι 50 φορές μεγαλύτερο από το κόστος του τεστ. Το πλεονέκτημα του να αναγνωρίζεις τον χρήστη ουσιών είναι μόνο το μισό σε μέγεθος και το κόστος του να μην τον αναγνωρίσεις είναι 40% μεγαλύτερο το να αποκλείσεις τον μη χρήστη. Η παραβίαση της ιδιωτικής ζωής ενός μη χρήστη είναι δυο φορές μεγαλύτερη από το κόστος του τεστ. Βασιζόμενοι σ αυτές τις τιμές, το δενδρόγραμμα απόφασης υπονοεί ότι ο έλεγχος δεν θα έπρεπε να διενεργηθεί. Η αναμενόμενη χρηματική αξία για τον έλεγχο και για μη έλεγχο είναι επίσης αρνητικές, που υποδηλώνει ότι τα κόστη ξεπερνούν τα οφέλη για την κάθε περίπτωση, αλλά η αναμενόμενη χρηματική αξία είναι ελαφρώς λιγότερο αρνητική. Σχ Δενδρόγραμμα απόφασης για το παράδειγμα ελέγχου ουσιών Τι θα απαιτούνταν για να αλλάξουμε αυτή την απόφαση; Θα αρχίσουμε με την υπόθεση, που πιθανώς είναι αποδεκτή από τους περισσότερους ανθρώπους στην κοινωνία μας, ότι το κόστος της ψευδής κατηγορίας μη χρήστη (C 2 ) θα έπρεπε 59

61 να ναι το μεγαλύτερο από τα οφέλη και τα κόστη στο πεδίο B4:B10. Στην πραγματικότητα, εξαιτίας των πιθανών νομικών επιβαρύνσεων, ίσως ισχυριστούμε ότι το C 2 θα έπρεπε να ναι περισσότερο από 50 φορές το κόστος του ελέγχου. Αλλά αν αυξήσουμε το C 2, η η ζυγαριά κλίνει ακόμα περισσότερο στην κατεύθυνση του μη ελέγχου. Από την άλλη μεριά, αν το όφελος Β από την αναγνώριση ενός χρήστη και/ή το κόστος C 3 για την μη αναγνώριση του αυξάνονται, τότε ο έλεγχος ίσως είναι η προτιμότερη εναλλακτική. Δοκιμάσαμε αυτό, κρατώντας το C 2 σταθερό στο 50. Όταν B και C 3 και τα δυο είχαν αξία 45, η βέλτιστη λύση ήταν ο μη έλεγχος, αλλά όταν και τα δύο αυξήθηκαν στο 50 - το ίδιο μέγεθος και ως μέγεθος και ως C 3 - τότε η λύση του ελέγχου προκρίθηκε με μικρή διαφορά. Ωστόσο, θα ήταν δύσκολο να ισχυριστούμε ότι το Β και το c3 θα έπρεπε να είναι του ιδίου μεγέθους με το C 2. Εκτός των οφελών και των κοστών, το μόνο άλλο πράγμα που ίσως μεταβάλλουμε είναι η ορθότητα του ελέγχου, μετρημένη από τις πιθανότητες λάθους στα κελιά Β14 και Β15. Υποθετικά, αν ο έλεγχος δώσει λιγότερα ψευδή θετικά και ψευδή αρνητικά αποτελέσματα, ο έλεγχος μπορεί να αποτελέσει μια πιο ελκυστική εναλλακτική λύση. Δοκιμάσαμε αυτό, κρατώντας τα οφέλη και τα κόστη τα ίδια όπως αυτά που φαίνονται στο σχ αλλά αλλάζοντας τις πιθανότητες λάθους. Ακόμα και όταν κάθε πιθανότητα λάθους μειώθηκε στο 0.01, ωστόσο, η εναλλακτική του μη ελέγχου ήταν ακόμη η βέλτιστη - κατά ένα αρκετά ευρύ περιθώριο. Εν περιλήψει, βασιζόμενοι σε ένα αριθμό λογικών υποθέσεων και παραμέτρων, αυτό το παράδειγμα έχει δείξει ότι είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις συνθήκες για υποχρεωτικό έλεγχο ουσιών Ενσωματώνοντας συμπεριφορές ενόψει ρίσκου Μερικές φορές λογικοί λήπτες αποφάσεων είναι πρόθυμοι να παραβιάσουν το κριτήριο της μεγιστοποίησης της EMV, αναμενόμενης χρηματικής αξίας, όταν μεγάλα ποσά χρημάτων είναι σε κίνδυνο. Αυτοί οι λήπτες αποφάσεων είναι πρόθυμοι να θυσιάσουν τμήμα της EMV για να μειώσουν το κόστος. Θα ήσουν ποτέ πρόθυμος να κάνεις κάτι τέτοιο προσωπικά; Σκεφτείτε τα παρακάτω σενάρια. 60

62 1. Έχετε την ευκαιρία να μπείτε σε μια λαχειοφόρο κλήρωση όπου θα κερδίσετε $ με πιθανότητα 0.1 ή να μην κερδίσετε τίποτα με πιθανότητα 0.9. Εναλλακτικά, μπορείτε να λάβετε $5000 σίγουρα. Πόσοι από εσάς - ειλικρινά- θα έπαιρναν τα σίγουρα $5000, αν και η EMV της κλήρωσης είναι $10000; Ή αλλάξτε τα $100,000 σε $ και τις $5000 σε $50000 και αναρωτηθείτε αν θα προτιμούσατε τα σίγουρα $50.000! 2. Μπορείτε είτε να αγοράσετε ασφάλεια ατυχήματος για το νέο ακριβό σας αμάξι ή να μην την αγοράσετε, όπου η ασφάλεια κοστίζει ένα συγκεκριμένο ασφάλιστρο και φέρει κάποια αφαιρετέα προμήθεια. Αν αποφασίσεις να πληρώσεις το ασφάλιστρο, τότε ουσιαστικά πληρώνεις ένα συγκεκριμένο ποσό για να αποφύγεις τον τζόγο- την πιθανότητα να καταστρέψεις το αυτοκίνητο σου και να μην το χεις ασφαλισμένο. Μπορείς να είσαι σίγουρος ότι το ασφάλιστρο είναι μεγαλύτερο από το αναμενόμενο κόστος της ζημιάς, αλλιώς η ασφαλιστική εταιρεία δεν θα παρέμενε στην αγορά. Γι αυτό το λόγο, από την οπτική γωνία της EMV δεν θα έπρεπε να αγοράσεις την ασφάλεια. Αλλά πόσοι από εμάς οδηγούν χωρίς αυτόν τον τύπο ασφάλειας; Αυτά τα παραδείγματα, το δεύτερο από τα οποία είναι σίγουρα ρεαλιστικό, απεικονίζουν καταστάσεις όπου λογικοί άνθρωποι δεν συμπεριφέρονται σαν αυτούς που στοχεύουν στην μεγιστοποίηση της EMV. Τότε πώς δρουν; Αυτή η ερώτηση έχει μελετηθεί εκτεταμένα από πολλούς ερευνητές, και μαθηματικά και συμπεριφοριστικά. Αν και η απάντηση ακόμα δεν έχει συμφωνηθεί παγκοσμίως, οι πιο πολλοί ερευνητές πιστεύουν ότι αν ισχύουν συγκεκριμένες βασικές συμπεριφοριστικές υποθέσεις, οι άνθρωποι είναι αναμενόμενοι μεγιστοποιητές χρησιμότητας - δηλαδή, επιλέγουν την εναλλακτική με την μεγαλύτερη αναμενόμενη χρησιμότητα. Αν και δεν θα εμβαθύνουμε στο θέμα της μεγιστοποίησης της αναμενόμενης χρησιμότητας, η συζήτηση σ αυτό τον τομέα θα σας γνωρίσει με τις βασικές του ιδέες. 61

63 Συναρτήσεις ωφελιμότητας Αρχίζουμε συζητώντας την ατομική συνάρτηση ωφελιμότητας. Αυτή είναι μια μαθηματική συνάρτηση που μετατρέπει χρηματικές αξίες - αποπληρωμές και κόστη- σε αξίες χρησιμότητας. Ουσιαστικά, μια ατομική συνάρτηση ωφελιμότητας καθορίζει τις προτιμήσεις ενός ατόμου για διάφορες χρηματικές αποπληρωμές και κόστη και, κάνοντας το αυτό, αυτόματα κωδικοποιεί την συμπεριφορά του ατόμου ως προς το ρίσκο. Τα περισσότερα άτομα είναι αντίθετοι του ρίσκου/ risk averse, το οποίο σημαίνει διαισθητικά ότι είναι πρόθυμοι να θυσιάσουν τμήμα της EMV για να αποφύγουν τα ριψοκίνδυνα παιχνίδια. Σε σχέση με την συνάρτηση, ωφελιμότητας αυτό σημαίνει ότι κάθε παραπάνω δολάριο αποπληρωμής αξίζει ελαφρώς λιγότερο στο άτομο από το προηγούμενο δολάριο, και κάθε παραπάνω δολάριο κόστους θεωρείται ελαφρώς πιο ακριβό (σε σχέση με την ωφελιμότητα) από το προηγούμενο δολάριο. Οι προκύπτουσες συναρτήσεις ωφελιμότητας μορφοποιούνται όπως φαίνεται στο σχ Μαθηματικώς, αυτές οι συναρτήσεις λέγεται ότι είναι αυξανόμενες και κοίλες. Το αυξανόμενο τμήμα σημαίνει ότι αυτές ανεβαίνουν- όλοι προτιμούν τα περισσότερα χρήματα από τα λιγότερα χρήματα. Το κοίλο τμήμα σημαίνει ότι αυξάνονται κατά μειούμενο ρυθμό. Αυτή είναι η αντίθετη του ρίσκου συμπεριφορά. Υπάρχουν δύο προβλήματα που σχετίζονται με την εφαρμογή της μεγιστοποίησης της ωφελιμότητας σε μια πραγματική ανάλυση απόφασης. Το πρώτο είναι να πάρουμε την συνάρτηση ωφελιμότητας του ατόμου (ή της εταιρείας), και αυτό θα το συζητήσουμε παρακάτω. Το δεύτερο είναι να χρησιμοποιήσουμε την προκύπτουσα συνάρτηση ωφελιμότητας για να βρούμε την σωστή απόφαση. Αυτό το δεύτερο βήμα είναι στην πραγματικότητα αρκετά απλό. Απλά αντικαταστούμε τις τιμές ωφελιμότητας με τις χρηματικές τιμές στο δενδρόγραμμα αποφάσεων και δουλεύουμε προς τα πίσω ως συνήθως. Δηλαδή, υπολογίζουμε τις αναμενόμενες ωφελιμότητες σε διακλαδώσεις πιθανοτήτων και παίρνουμε τις μέγιστες τιμές (των αναμενόμενων οφελών) στις διακλαδώσεις αποφάσεων. Θα κοιτάξουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο. Λοιπόν η πραγματική δουλειά έχει να κάνει πρωτίστως με το να βρούμε την συνάρτηση χρησιμότητας του ατόμου (ή της εταιρείας). 62

64 Σχ Συνάρτηση Ωφελιμότητας αντίθετης ρίσκου (Γραφική παράσταση) Αξιολογώντας μια συνάρτηση ωφελιμότητας Θα συνοψίσουμε μια μέθοδο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε την συνάρτηση ωφελιμότητας ενός ατόμου. Υπάρχουν δυο πράγματα που πρέπει να καταλάβουμε για αυτή τη μέθοδο. Πρώτα, ζητάει από το άτομο αυτό να κάνει μια σειρά από ανταλλαγές. Επειδή ο καθένας μας έχει μια διαφορετικά στάση προς το ρίσκο, δεν θα κάνουμε όλοι τις ανταλλαγές μας με τον ίδιο τρόπο. Γι αυτό το λόγο, ο καθένας μας θα πάρει την δική του συνάρτηση. Δεύτερον, ακόμα και ενός συγκεκριμένου ατόμου η συνάρτηση δεν είναι μοναδική. Εάν το U(x) αντιπροσωπεύει την συνάρτηση ενός, τότε αποδεικνύεται ότι a U(x) + b επίσης περιγράφει την συνάρτηση αυτού του ατόμου, για οποίες σταθερές α και b με a > 0. Αυτές είναι ισοδύναμες με την έννοια ότι οδηγούν σε ακριβώς τις ίδιες αποφάσεις. Εκμεταλλευόμαστε αυτή την μη μοναδικότητα προσδιορίζοντας δυο σημεία στην συνάρτηση. Ειδικότερα, αρχίζουμε ζητώντας από το άτομο δυο χρηματικές αξίες που αντιπροσωπεύουν την χειρότερη πιθανή απώλεια και το καλύτερο πιθανό κέρδος που μπορούμε να φανταστούμε. Ας πούμε ότι αυτές οι τιμές είναι A και B. Τότε αυθαίρετα αναθέτουμε τιμές χρησιμότητας 0 και 1 σε αυτές τις δυο χρηματικές τιμές, δηλαδή, U( A) = 0 και U(B) = 1. Να μην ανησυχείτε για τα απόλυτα μεγέθη, 0 και 1 που αναθέσαμε - θα μπορούσαμε να αναθέσουμε άλλες 63

65 τιμές, όπως 14 και 320. Το σημαντικό είναι να τις χρησιμοποιήσουμε σαν 'άγκυρες" και τότε να πάρουμε άλλες τιμές ωφελιμότητας σε σχέση με αυτά. Η διαδικασία είναι όπως ακολουθεί: Δεδομένων δυο οποιοδήποτε γνωστών τιμών ωφελιμότητας, ας πούμε, U(x) και U(y), όπου x και y είναι χρηματικές αξίες, παρουσιάζουμε στο άτομο την επιλογή ανάμεσα στις δυο ακόλουθες δυνατότητες: Επιλογή 1 : Να πάρει συγκεκριμένη αποπληρωμή z. Επιλογή 2 : Να πάρει συγκεκριμένη αποπληρωμή είτε x ή y, ανάλογα με την ριπή ενός νομίσματος Τότε ζητάμε το άτομο να επιλέξει την χρηματική αξία z στην επιλογή 1 έτσι ώστε αυτός ή αυτή να είναι αδιάφοροι ανάμεσα στις δυο επιλογές. Αν το άτομο είναι αδιάφορο, τότε οι αναμενόμενες ωφέλειες από τις δυο επιλογές πρέπει να είναι ίσες. Θα αποκαλέσουμε την προκύπτουσα αξία του z ως τιμή αδιαφορίας. Αυτό οδηγεί στην εξίσωση για το U(z): U (z) = 0.5U(x) + 0.5U(y) (10.3) Με λέξεις, έχουμε παράγει μια νέα τιμή από δυο γνωστές τιμές ωφελιμότητας. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να έχουμε αρκετές τιμές ωφελιμότητας για να προσεγγίσουμε μια καμπύλη ωφελιμότητας. (Σημειώστε ότι αν όποιο από τα x, y, και z είναι αρνητικά, τότε 'αποπληρωμή' πράγματι σημαίνει 'κόστος".) Εμείς θα δείξουμε αυτή τη διαδικασία με το ακόλουθο παράδειγμα: Παραδείγμα 10.6: Αξιολογώντας την συνάρτηση ωφελιμότητας για μια μικρή επιχείρηση Ο John Jacobs έχει την δική του επιχείρηση. Επειδή είναι έτοιμος να πάρει μια σημαντική απόφαση όπου μεγάλες απώλειες ή μεγάλα κέρδη είναι σ ε κίνδυνο, αυτός θέλει να χρησιμοποιήσει το κριτήριο της αναμενόμενης ωφελιμότητας για να πάρει την απόφαση του. Ξέρει ότι πρέπει πρώτα να αξιολογήσει την δική του συνάρτηση ωφελιμότητας, έτσι προσλαμβάνει έναν ειδικό στην ανάλυση αποφάσεων, την Susan Schilling για να τον βοηθήσει. Πώς μπορεί η συνάντηση ανάμεσα στον και John στην Susan να προχωρήσει; 64

66 Λύση Η Susan ρωτάει τον John για τη μεγαλύτερη απώλεια και το μεγαλύτερο κέρδος που μπορεί να φανταστεί. Αυτός απαντάει με τις τιμές $200,000 και $300,000, έτσι αυτή θέτει τιμές ωφελιμότητας U( 200,000) = 0 και U(300,000) = 1 ως άγκυρες για την συνάρτηση ωφελιμότητας. Τώρα δίνει στον John την επιλογή ανάμεσα στα δύο: Επιλογή 1 : Παίρνουμε αποπληρωμή z (πραγματικά απώλεια εάν το z είναι αρνητικό) Επιλογή 2 : Παίρνουμε απώλεια των $200,000 ή αποπληρωμή $300,000, ανάλογα με την ρίψη του νομίσματος. Η Susan υπενθυμίζει στον John ότι η αναμενόμενη χρηματική αξία / EMV της επιλογής 2 είναι $50,000 στην μέση ανάμεσα στο -$200,000 και στο $300,000. Αυτός συνειδητοποιεί αυτό, αλλά επειδή είναι αντίθετος του ρίσκου, θα προτιμούσε κατά πολύ να είχε $50,000 στα σίγουρα από το να πάρει το ρίσκο της επιλογής 2. Γι αυτό, η τιμή αδιαφορίας του z πρέπει να είναι λιγότερο από $50,000. Η Susan τότε θέτει διάφορες τιμές στον John. Θα προτιμούσε να έχει $10,000 στα σίγουρα ή να πάρει την επιλογή 2; Αυτός λέει θα προτιμούσε να πάρει τις $10,000. Θα προτιμούσε να πληρώσει $5000 στα σίγουρα ή την επιλογή 2; (Αυτό είναι κάτι σαν ασφάλιστρο) Αυτός λέει ότι θα προτιμούσε την επιλογή 2. Μέχρι τώρα, ξέρουμε ότι η τιμή αδιαφορίας του z πρέπει να είναι λιγότερη των $10,000 και μεγαλύτερη από $5000. Με μερικές ακόμα ερωτήσεις αυτού του τύπου, ο John τελικά αποφασίζει στο z= $5000 ως τιμή αδιαφορίας. Αυτός είναι αδιάφορος ανάμεσα στο να πάρει $5000 σίγουρα και να ρισκάρει με την επιλογή 2.. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τις τιμές στην εξίσωση (10.3): U(5000) = 0.5U( 200,000) + 0.5U(300,000) = 0.5(0) + 0.5(1) = 0.5 Σημειώστε ότι ο John αφήνει $45000 σε EMV εξαιτίας της αποφυγής του ρίσκου. Η EMV του ρίσκου στην επιλογή 2 είναι $50,000, και είναι πρόθυμος να αποδεκτή το σίγουρο $5000 στην θέση του. 65

67 Η διαδικασία τότε θα συνεχιζόταν. Για παράδειγμα, αφού ξέρει ότι U(5000) και U(300,000), η Susan θα μπορούσε να ζητήσει από τον John να επιλέξει ανάμεσα σε αυτές τις εκδοχές. Επιλογή 1 : Παίρνουμε αποπληρωμή z Επιλογή 2 : Παίρνουμε αποπληρωμή των $5,000 ή αποπληρωμή $300,000, ανάλογα με την ρίψη του νομίσματος. Εάν ο John αποφασίσει ότι η τιμή αδιαφορίας του τώρα είναι z= $130,000, τότε με την εξίσωση (10.3) ξέρουμε ότι : U (130,000) = 0.5U(5000) + 0.5U(300,000) = 0.5(0.5) + 0.5(1) = 0.75 Σημειώστε ότι τώρα ο John εγκαταλείπει $22,500 σε EMV καθώς το ρίσκο της επιλογής 2 είναι $152,000. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, η Susan μπορεί να βοηθήσει τον John να εκτιμήσει αρκετές τιμές ωφελιμότητας για να προσεγγίσει μια συνεχή καμπύλη ωφελιμότητας. Όπως απεικονίζει αυτό το παράδειγμα, η αξιολόγηση ωφελιμότητας είναι επίπονη. Ακόμα και στις καλύτερες περιστάσεις, όταν ένας έμπειρος σύμβουλος επιχειρεί να αξιολογήσει την συνάρτηση ωφελιμότητας ενός ατόμου, η διαδικασία απαιτεί το άτομο να κάνει μια σειρά επιλογών ανάμεσα σε υποθετικές εναλλακτικές συμπεριλαμβανομένων αβέβαιων αποτελεσμάτων. Εάν δεν έχει αυτό το άτομο εκπαίδευση στην πιθανότητα, αυτές οι επιλογές μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν, για να μην αναφέρουμε το μα γίνουν καν, και είναι απίθανο ότι το άτομο θα απαντήσει με συνέπεια καθώς οι ερωτήσεις προχωρούν. Η διαδικασία είναι ακόμα πιο δύσκολη όταν εκτιμάμε την συνάρτηση ωφελιμότητας μιας εταιρείας. Επειδή τα στελέχη μιας εταιρείας που αναμειγνύονται συνήθως έχουν διαφορετικές στάσεις απέναντι στο ρίσκο, είναι δύσκολο για αυτούς να καταλήξουν σε ομοφωνία για μια κοινή συνάρτηση ωφελιμότητας. Εκθετική Ωφελιμότητα Για αυτούς τους λόγους υπάρχουν κατηγορίες με 'ετοιμοπαράδοτες" συναρτήσεις ωφελιμότητας που έχουν αναπτυχθεί. Μια σημαντική κατηγορία ονομάζεται εκθετική ωφελιμότητα και έχει χρησιμοποιηθεί σε πολλές οικονομικές αναλύσεις επενδύσεων. Μια συνάρτηση εκθετικής ωφελιμότητας έχει μόνο μια προσαρμόσιμη αριθμητική παράμετρο, και υπάρχουν ευθείς τρόποι να ανακαλύψουμε την πιο 66

68 κατάλληλα τιμή της παραμέτρου για ένα συγκεκριμένο άτομο ή εταιρεία. Έτσι τα πλεονέκτημα του να χρησιμοποιήσουμε μια εκθετική συνάρτηση ωφελιμότητας είναι ότι είναι σχετικά εύκολο να αξιολογηθεί. Το μειονέκτημα είναι ότι οι εκθετικές συναρτήσεις ωφελιμότητας δεν απεικονίζουν όλους τους τύπους συμπεριφορών ως προς το ρίσκο. Παρόλα αυτά, η ευκολία της χρήσης τους τις έχει κάνει δημοφιλείς. Μια εκθετική συνάρτηση ωφελιμότητας έχει την ακόλουθη μορφή: U(x) = 1 e x/r (10.4) Εδώ το x είναι μια χρηματική τιμή (μια αποπληρωμή αν είναι θετική, κόστος αν είναι αρνητική), το U(x) είναι η ωφελιμότητα αυτής της τιμής, και R > 0 είναι μια προσαρμόσιμη παράμετρος που ονομάζεται ανοχή ρίσκου. Βασικά, η ανοχή ρίσκου μετράει πόσο ρίσκο θα αντέξει ο λήπτης της απόφασης. Όσο μεγαλύτερη η τιμή του R, τόσο λιγότερο αντίθετος του ρίσκου είναι ο λήπτης της απόφασης. Δηλαδή, ένα άτομο με υψηλή αξία R είναι πιο πρόθυμο να πάρει ρίσκο από ένα άτομο με μικρή αξία του ιδίου. Για να αξιολογήσουμε την συνάρτηση εκθετικής ωφελιμότητας ατόμου ή εταιρείας, χρειάζεται μόνο να αξιολογήσουμε την τιμή του R. Υπάρχουν μερικές συμβουλές για να το κάνουμε αυτό. Πρώτα, έχει δειχθεί ότι η ανοχή ρίσκου είναι περίπου ίση με εκείνο το ποσό R σε δολάρια τέτοιο ώστε ο λήπτης απόφασης να είναι αδιάφορος ανάμεσα στις δυο ακόλουθες επιλογές Επιλογή 1 : Δεν παίρνουμε αποπληρωμή καθόλου Επιλογή 2 : παίρνουμε αποπληρωμή R δολαρίων ή απώλεια R/2 δολαρίων, ανάλογα με την ρήψη του νομίσματος. Για παράδειγμα, αν είσαι αδιάφορος ανάμεσα σε ένα στοίχημα που κερδίζεις $1000 ή να χάσουμε $500, με πιθανότητα 0.5 το καθένα, και το να μην στοιχηματίσεις καθόλου, τότε το R σου είναι περίπου $1000. Από αυτό το κριτήριο σίγουρα έχει νόημα διαισθητικά ένα πλουσιότερο άτομο (ή εταιρεία) να έχει μεγαλύτερη τιμή R. Αυτό έχει βρεθεί στην πράξη. Μια δεύτερη συμβουλή για να βρούμε το R βασίζεται σε εμπειρικά στοιχεία που βρίσκονται στον Ronald Howard, ένα διακεκριμένο αναλυτή αποφάσεων. Μέσω αυτής της συμβουλευτικής εμπειρίας με αρκετές μεγάλες εταιρίες, ανακάλυψε ανιχνευτικές σχέσεις ανάμεσα στην ανοχή ρίσκου και αρκετές οικονομικές μεταβλητές - καθαρές πωλήσεις, καθαρό εισόδημα, και ισότητα. [βλέπε 67

69 Howard (1992).] Ειδικά, βρήκε ότι το R ήταν περίπου 6,4% των καθαρών πωλήσεων, 12,4% του καθαρού εισοδήματος και 15,7 % της ισότητας για τις εταιρείες που μελέτησε. Για παράδειγμα, σύμφωνα με αυτή την συνταγή, η εταιρεία με καθαρές πωλήσεις $30 εκατομμυρίων θα έπρεπε να έχει ανοχή ρίσκου περίπου $1.92 εκατομμυρίων. Ο Ronald Howard παραδέχεται ότι αυτά τα ποσοστά είναι μόνο βασικές αρχές. Ωστόσο, δεν δείχνουν ότι μεγαλύτερες και πιο επικερδείς εταιρείες τείνουν να έχουν μεγαλύτερες τιμές R, το οποίο σημαίνει ότι είναι πιο πρόθυμες να πάρουν ρίσκο που έχει να κάνει με δεδομένα ποσά δολαρίων. Με το ακόλουθο παράδειγμα απεικονίζουμε το κριτήριο αναμενόμενης ωφελιμότητας και την εκθετική ωφελιμότητα ειδικότερα. Παράδειγμα 10.7: Αποφασίζοντας κατά πόσο να εισέρθουμε σε ριψοκίνδυνα εγχειρήματα στην Venture Limited Η Venture Limited είναι μια εταιρεία με καθαρές πωλήσεις $30 εκατομμύρια. Η εταιρεία πρέπει επί του παρόντος να αποφασίσει κατά πόσο να μπει σε δυο ριψοκίνδυνα εγχειρήματα ή να μην κάνει τίποτα. Τα πιθανά αποτελέσματα του λιγότερο ριψοκίνδυνου εγχειρήματος είναι απώλεια $0,5 εκατομμύρια, κέρδος $0,1 και κέρδος $1 εκατομμύριο. Οι πιθανότητες αυτών των αποτελεσμάτων είναι 0,25, 0,50, και 0,25. Τα πιθανά αποτελέσματα του πιο επικίνδυνου εγχειρήματος είναι απώλεια $1 εκατομμύριου, κέρδος σελ $1 εκατομμύριου, και κέρδος $3 εκατομμύρια. Οι πιθανότητες αυτών των αποτελεσμάτων είναι 0,35, ο,60, και 0,05. Αν η Venture Limited μπορεί να μπει σε ένα από τα εγχειρήματα το πολύ, τι θα έπρεπε να κάνει; Λύση Θα υποθέσουμε ότι η Venture Limited έχει μια συνάρτηση εκθετικής ωφελιμότητας. Επίσης, βασιζόμενοι στις αρχές του Howard, θα υποθέσουμε ότι η ανοχή ρίσκου της εταιρείας είναι 6,4% των καθαρών πωλήσεων της, ή $1,92 εκατομμύρια.(θα κάνουμε μια ανάλυση ευαισθησίας σε αυτή την παράμετρο αργότερα.) Μπορούμε να αντικαταστήσουμε αυτή την εξίσωση (10.4) για να βρούμε την ωφελιμότητα οποιουδήποτε χρηματικού αποτελέσματος. Για 68

70 παράδειγμα, το όφελος του να μην κάνουμε τίποτα είναι $0, και η ωφελιμότητα του είναι: U (0) = 1 e 0/1.92 = 1 1 = 0 Ως άλλο παράδειγμα, η ωφελιμότητα της απώλειας $1 εκατομμύριου είναι U ( 1) = 1 e ( 1)/1.92 = = Αυτές είναι οι τιμές που χρησιμοποιούμε (αντί για χρηματικές αξίες) στο δενδρόγραμμα ΧΡΗΣΗ PRECISIONTREE Ευτυχώς το δενδρόγραμμα Ακριβείας φροντίζει για όλες τις λεπτομέρειες. Αφού χτίσουμε το δενδρόγραμμα απόφασης και το ονομάσουμε (με τις χρηματικές αξίες) με τον συνηθισμένο τρόπο, κάνουμε κλικ στο όνομα του δενδρογράμματος (το κουτί στην πέρα άκρη του δενδρογράμματος) για να ανοίξουμε το παράθυρο διαλόγου στο σχ Έπειτα συμπληρώνουμε τις πληροφορίες στην συνάρτηση ωφελιμότητας όπως φαίνεται στο πάνω δεξιά τμήμα του κουτιού διαλόγου. Αυτό λέει να χρησιμοποιήσουμε μια συνάρτηση εκθετικής ωφελιμότητας με ανοχή ρίσκου Επίσης δείχνει ότι θέλουμε αναμενόμενη ωφελιμότητα (σε αντίθεση με τις EMV) για να εμφανιστούν στο δενδρόγραμμα απόφασης. Σχ Κουτί διαλόγου για τον προσδιορισμό κριτηρίου εκθετικής ωφελιμότητας 69

71 Το ολοκληρωμένο δενδρόγραμμα για αυτό το παράδειγμα φαίνεται στο σχ Το χτίζουμε με ακριβώς τον ίδιο τρόπο όπως συνήθως και συνδέουμε τις πιθανότητες με τις χρηματικές τους τιμές στις διακλαδώσεις τους με τον συνηθισμένο τρόπο. Για παράδειγμα, υπάρχει ένας σύνδεσμος στο κελί C22 με την χρηματική τιμή στο κελί Α10. Ωστόσο, οι αναμενόμενες τιμές που φαίνονται στο δενδρόγραμμα (αυτές που φαίνονται έγχρωμα στην οθόνη σας). Είναι οι αναμενόμενες ωφέλειες, και η βέλτιστη απόφαση είναι αυτή με την μεγαλύτερη αναμενόμενη ωφελιμότητα. Σε αυτή την περίπτωση η αναμενόμενη ωφελιμότητα του να μην κάνουμε τίποτα, επενδύοντας στο λιγότερο ριψοκίνδυνο εγχείρημα, και επενδύοντας στην πιο επικίνδυνη προσπάθεια είναι 0, 0,0525, και 0,0439. Γι αυτό το λόγο, η βέλτιστη απόφαση είναι να επενδύσουμε στο λιγότερο ριψοκίνδυνο εγχείρημα. Σχ Δενδρόγραμμα απόφασης για το παράδειγμα επικίνδυνου εγχειρήματος 70

72 Σημειώστε ότι η EMV για τις τρεις αποφάσεις είναι $0, $0.175 εκατομμύρια και $0.4 εκατομμύρια. Τα τελευταία δυο από αυτά υπολογίζονται στην σειρά 14 ως το σύνηθες "άθροισμα" των χρηματικών αξιών και πιθανοτήτων. Έτσι από την οπτική γωνία της EMV, το πιο ριψοκίνδυνο εγχείρημα είναι σίγουρα το καλύτερο. Ωστόσο, η Venture Limited είναι αρκετά αντίθετη του ρίσκου, και οι χρηματικές τιμές είναι επαρκώς μεγάλες, ώστε η εταιρεία να είναι πρόθυμη να θυσιάσει την EMV για να μειώσει το ρίσκο της. Πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη απόφαση στην παράμετρο κλειδί, την ανοχή του ρίσκου; Μπορούμε να το απαντήσουμε αυτό αλλάζοντας την ανοχή ρίσκου (μέσα από το κουτί διαλόγου στο σχ.10.34). Και παρακολουθώντας πώς αλλάζει το δενδρόγραμμα απόφασης. Μπορείς να ελέγξεις ότι όταν η εταιρεία γίνεται πιο ανεκτική στο ρίσκο, το πιο ριψοκίνδυνο εγχείρημα γίνεται βέλτιστο. Στην πραγματικότητα, αυτό συμβαίνει όταν η ανοχή ρίσκου αυξάνεται περίπου στα $2.075 εκατομμύρια. Στην άλλη κατεύθυνση, όταν η εταιρεία γίνεται λιγότερο ανεκτική στο ρίσκο, η "μην κάνεις τίποτα" απόφαση τελικά γίνεται βέλτιστη. Αυτό συμβαίνει όταν η ανοχή ρίσκου μειώνεται περίπου στα $0.715 εκατομμύρια. Έτσι η βέλτιστη απόφαση εξαρτάται έντονα από τις στάσεις της διοίκησης της Venture Limited ως προς το ρίσκο. Ισοδύναμα Βεβαιότητας /Ασφαλείας Τώρα υποθέστε ότι η Venture Limited έχει μόνο δυο επιλογές. Είτε μπορεί να εισέλθει στο λιγότερο επικίνδυνο εγχείρημα ή να λάβει ένα συγκεκριμένο ποσό δολαρίων χ και να αποφύγει το τσιγάρισμα συνολικά. Θέλουμε να βρούμε το ποσό χ σε δολάρια έτσι ώστε η εταιρεία να παραμείνει αδιάφορη προς τις δυο επιλογές. Αν μπει στο επικίνδυνο εγχείρημα, η αναμενόμενη ωφελιμότητα είναι 0,0525, υπολογισμένη παραπάνω. Εάν λάβει χ δολάρια στα σίγουρα, η αναμενόμενη ωφελιμότητα του θα είναι U(x) = 1 e x/1.92 Για να βρούμε την τιμή χ όπου είναι το σημείο αδιαφορίας ανάμεσα στις δυο επιλογές, θέτουμε 1 e x/1.92 ίσο με , ή e-x/1.92 = , και λύνουμε ως προς το χ. Παίρνοντας τους φυσικούς αλγορίθμους και των δυο πλευρών και πολλαπλασιάζοντας με -1,92, παίρνουμε 71

73 x = 1.92 ln (0.9475) $0.104 million Αυτή η τιμή ονομάζεται ισοδύναμο Βεβαιότητας /Ασφαλείας του επικίνδυνου εγχειρήματος. Η εταιρεία είναι αδιάφορη ανάμεσα στο να μπει στο λιγότερο επικίνδυνο εγχείρημα και το να λάβει $0.104 εκατομμύρια για να το αποφύγει. Αν και η EMV του λιγότερο επικίνδυνου εγχειρήματος είναι 0,175$, η εταιρεία αντιδρά σαν να ήταν ισοδύναμο των σίγουρων $0.104 εκατομμυρίων. Κατά αυτή την έννοια η εταιρεία είναι πρόθυμη να εγκαταλείψει την διαφορά σε σχέση με την EMV, $71,000 εκατομμύρια, για να αποφύγει το ρίσκο. Με ένα παρόμοιο υπολογισμό, το ισοδύναμο ασφαλείας ενός πιο επικίνδυνου εγχειρήματος είναι περίπου $0.086 εκατομμύρια. Δηλαδή, η εταιρεία αντιδρά σαν αυτό το πιο επικίνδυνο εγχείρημα να ήταν ισοδύναμο των σίγουρων $0.086 εκατομμυρίων, όταν η EMV είναι στην πραγματικότητα ένα ογκώδες ποσό $0.4 εκατομμύρια! Έτσι σ αυτή την περίπτωση είναι πρόθυμη να αφήσει την διαφορά στην EMV, $314,000, για να αποφύγει αυτό το συγκεκριμένο ρίσκο. Και πάλι, ο λόγος είναι ότι η εταιρεία αντιπαθεί το ρίσκο. Μπορούμε να δούμε αυτά τα ισοδύναμα Βεβαιότητας /Ασφαλείας στο δενδρόγραμμα Ακριβείας προσαρμόζοντας το παράθυρο έκθεσης στο σχήμα για να δείξουμε το Ισοδύναμο Βεβαιότητας /Ασφαλείας. Το δενδρόγραμμα τότε φαίνεται όπως στο σχ Τα ισοδύναμα Βεβαιότητας /Ασφαλείας που μόλις συζητήσαμε εμφανίζονται στα κελιά C24 και C32. 72

74 Σχ Δενδρόγραμμα απόφασης με ισοδύναμα ασφαλείας Χρησιμοποιείται η μεγιστοποίηση της αναμενόμενης ωφελιμότητας; Η παραπάνω συζήτηση δείχνει ότι η μεγιστοποίηση του οφέλους είναι ένα αρκετά σχετικό καθήκον. Το τελικό συμπέρασμα,λοιπόν, είναι εάν η δυσκολία αξίζει τον κόπο. Θεωρητικά, η μεγιστοποίηση της αναμενόμενης ωφελιμότητας ίσως να ενδιέφερε τους ερευνητές, όμως χρησιμοποιείται πραγματικά; Η απάντηση φαίνεται να είναι: όχι πολύ συχνά. Για παράδειγμα, ένα πρόσφατο άρθρο στην εφαρμογή της λήψης αποφάσεων (βλ. Kirkwood (1992 ) παραθέτει τον Ronald Howard - το ίδιο άτομο που παραθέσαμε νωρίτερα - ως αυτόν που έχει βρει ότι η αποφυγή του ρίσκου είναι πρακτικού ενδιαφέροντος μόνο σε ένα 5% με 10% των αναλύσεων αποφάσεων των επιχειρήσεων. Το ίδιο άρθρο παραθέτει τον πρόεδρο μιας εταιρείας Fortune 500 να λέει, " οι πιο πολλές από τις αποφάσεις που αναλύουμε είναι για μερικά εκατομμύρια δολάρια. Είναι αρκετό να χρησιμοποιούμε την αναμενόμενη αξία (EMV) για αυτές. Με αυτά τα σχόλια στο μυαλό μας, είναι ξεκάθαρο ότι η γνώση της μεγιστοποίησης της αναμενόμενης ωφελιμότητας είναι ένα σημαντικό προαπαιτούμενο για οποιονδήποτε σκοπεύει να ειδικευθεί στον τομέα αυτό. Σε κάποια από τα μεγαλύτερα σενάρια επιτυχίας, (success stories), μεγιστοποίηση της 73