ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή συναρτήσεων των τιμών ενός τυχαίου δείγματος (των εκτιμητριών) οι οποίες για κάθε δεδομένο δείγμα έδιναν μια μοναδική τιμή ως εκτίμηση. Είναι βέβαια φανερό ότι η εκτίμηση αυτή (η τιμή της εκτιμήτριας για κάθε συγκεκριμένο τυχαίο δείγμα) θα διαφέρει εν γένει από την πραγματική τιμή της παραμέτρου και επομένως θα υπάρχει κάποιο περιθώριο αβεβαιότητας που εκφράζεται μέσω της δειγματικής διασποράς της εκτιμήτριας. Θα μπορούσε έτσι να πει κανείς ότι θα ήταν ίσως προτιμότερο να μιλάμε για ένα φάσμα πιθανών τιμών που αναφέρονται στην υπό εκτίμηση παράμετρο παρά σε μια και μόνη συγκεκριμένη τιμή. Γίνεται με τον τρόπο αυτό προφανής η ανάγκη αναφοράς σε ένα φάσμα πιθανών τιμών μιας υπό εκτίμηση παραμέτρου παρότι, βέβαια, ένα μόνο από τα σημεία μέσα στο φάσμα αυτό θα αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της παραμέτρου, φυσικά με κάποια πιθανότητα. Η μέθοδος η οποία ασχολείται με τον καθορισμό ενός φάσματος πιθανών τιμών μιας υπό εκτίμηση παραμέτρου ονομάζεται μέθοδος των διαστημάτων εμπιστοσύνης (cofidece itervals). Η ανάπτυξη της μεθόδου αυτής χρησιμοποιεί μόνο τις αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων χωρίς να χρειάζεται νέες έννοιες Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Το διάστημα εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται για ασφαλέστερη εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού με βάση ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό αυτό. Το διάστημα αυτό (που κατασκευάζεται με μεθοδολογία που θα αναπτυχθεί στην συνέχεια) παρέχει ένα φάσμα εύλογων (πιθανών) τιμών της παραμέτρου, συνοδευόμενο από τον βαθμό εμπιστοσύνης που έχουμε ότι το διάστημα αυτό περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου. 301

2 Παρατήρηση: Η κατανόηση της λογικής των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι για κάποιους δύσκολη γιατί δεν περιορίζεται μόνο στο συγκεκριμένο δείγμα που έχει επιλεγεί, αλλά και σε άλλα δείγματα που θα μπορούσε να είχαν επιλεγεί. Η ερμηνεία της λογικής των διαστημάτων εμπιστοσύνης γίνεται καλύτερα κατανοητή με το σχήμα που ακολουθεί. Σχηματική Παρουσίαση των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Το σχήμα που ακολουθεί απεικονίζει την λογική του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια παράμετρο με την χρήση 100 διαφορετικών τυχαίων δειγμάτων. Το διάστημα αλλάζει από δείγμα σε δείγμα. Για περίπου 95% των περιπτώσεων, το διάστημα περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου (που στην περίπτωση αυτή είναι 80 και σημειώνεται με την κατακόρυφη γραμμή). Το ποσοστό των δειγμάτων που κατά προσέγγιση περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου (εδώ το 95%) αντανακλά τον βαθμό εμπιστοσύνης που έχουμε ότι το διάστημα που κατασκευάζεται με την μέθοδο που θα δούμε στην συνέχεια, περιέχει την υπό εκτίμηση παράμετρο. 302

3 X ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Α. Περίπτωση Γνωστών Διακυμάνσεων Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού. Γνωρίζουμε ότι ο δειγματικός μέσος X είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του μ. Επίσης ξέρουμε ότι X μ N(0, 1) σ/ Ας υποθέσουμε ότι η διασπορά σ 2 του υπό μελέτη πληθυσμού είναι γνωστή και ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ. Θέλουμε δηλαδή να βρούμε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών που να περιέχει την πραγματική τιμή του μ με πιθανότητα Αυτό είναι ισοδύναμο με το να βρεθούν δύο τιμές Χ L και Χ U τέτοιες ώστε P (X L μ X U ) = 0.95 Δοθέντος ότι, X μ N(0,1) σ/ αυτό είναι ισοδύναμο με το να βρεθούν δύο σημεία Ζ L και Ζ U από τους πίνακες της κανονικής κατανομής τέτοια ώστε, X μ P(Z L Z U ) = 0.95 σ/ Όπως προκύπτει από το σχήμα που ακολουθεί Z.975 Z.975 Ζ L = Z.025 = -Z.975 και Ζ U = Z

4 Επομένως, P(- Z.975 X μ Z.975 ) = 0.95 σ/ Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς μ παίρνουμε, σ P( X - Z.975 σ < μ < X + Z.975 ) = 0.95 Επομένως το 95% διάστημα εμπιστοσύνης (cofidece iterval) για την μέση τιμή μ είναι το, σ X ± Z.975 Πιο γενικά και με βάση την λογική που αναπτύξαμε, το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού με γνωστή διασπορά σ 2 έχει άκρα, X ± Z 1-α/2 σ Σημείωση: Λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, για μεγάλο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση αυτή ανεξάρτητα από τη μορφή που έχει ο υπό μελέτη πληθυσμός. Αν βέβαια ο πληθυσμός είναι κανονικός, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα ακριβές (exact) διάστημα εμπιστοσύνης. Παρατήρηση: Το διάστημα με άκρα σ X ± Z 1-α/2 είναι ένα τυχαίο διάστημα. Από τη στιγμή βέβαια που θα παρατηρήσουμε το δείγμα, και επομένως το X, το διάστημα αυτό είναι καθορισμένο. Παράδειγμα: Από την εργαστηριακή εξέταση ενός τυχαίου δείγματος 100 τσιγάρων μιας συγκεκριμένης μάρκας, βρέθηκε ότι η μέση ποσότητα νικοτίνης που περιείχαν ήταν X = 26 mgr (χιλιοστά 304

5 του γραμμαρίου). Είναι γνωστό ότι για την μάρκα αυτή των τσιγάρων η τυπική απόκλιση είναι σ=8 mgr. Να βρεθεί ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νικοτίνης μ που περιέχει αυτή η συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων. Λύση: Δοθέντος ότι α=.01, έχουμε ότι το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ είναι, κατά προσέγγιση (λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος) σ 8 X ± Z.995 ή 26 ± δηλαδή, (23.94, 28.06) Παρατήρηση 1: Η ερμηνεία ότι το διάστημα τιμών (23.94, 28.06) (όπως και κάθε διάστημα εμπιστοσύνης) περιέχει την πραγματική μέση τιμή νικοτίνης της συγκεκριμένης μάρκας τσιγάρων με πιθανότητα.99 στην πραγματικότητα σημαίνει ότι, αν κατασκευάζαμε διαστήματα εμπιστοσύνης με τη μέθοδο που αναλύσαμε, το ποσοστό των φορών που τα διαστήματα αυτά θα περιείχαν την πραγματική τιμή θα πλησίαζε στο.99 όσο θα αυξανόταν ο αριθμός των φορών που θα επαναλαμβάναμε το πείραμα. Παρατήρηση 2: Είναι προφανές ότι το μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης που κατασκευάσθηκε με τη μέθοδο που αναλύσαμε είναι, σ 2 Z 1-α/2 Παρατήρηση 3: Από την προηγούμενη παρατήρηση προκύπτει ότι οι παράγοντες που επηρεάζουν το μήκος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή είναι το α, σ και το. Παράδειγμα: Μια εταιρεία συσκευασίας ενός ορισμένου προϊόντος ενδιαφέρεται να κατασκευάσει ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα μ (σε γραμμάρια) που περιέχουν τα πακέτα της συσκευασίας αυτής. Ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους =25 δίνει μέσο βάρος x = 362.3gr. Εξάλλου είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση του 305

6 βάρους των συσκευασιών αυτών σε ολόκληρο τον πληθυσμό είναι σ=15gr. Λύση: Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή του πληθυσμού θα δίνεται, σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν, από τη σχέση ± (1.96)(15) / 25 ή ± 5.88 Δηλαδή τελικά, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι το (356.42, ) Σημείωση: Αν το δείγμα =25 θεωρηθεί αρκετά μεγάλο, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε, ισχύει (κατά προσέγγιση) χωρίς άλλη υπόθεση. Διαφορετικά, θα πρέπει να υποθέσουμε ότι το περιεχόμενο των συγκεκριμένων συσκευασιών (σε γραμμάρια) ακολουθεί την κανονική κατανομή. Β. Περίπτωση Αγνώστων Διακυμάνσεων Προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι, X μ N (0,1) σ/ Δοθέντος ότι το σ 2 είναι άγνωστο, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε μια εκτιμήτρια του σ 2. Όπως έχουμε ήδη δει, η δειγματική διασπορά ( ) 2 X i X S 2 i= 1 = είναι η εκτιμήτρια του σ 2 που προκύπτει με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας και με τη μέθοδο των ροπών. Δοθέντος όμως ότι το S 2 δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ 2 αφού, 1 σ 2 Ε(S 2 ) = χρησιμοποιούμε την αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ 2 S 2 = ( ) 2 Xi X i=

7 Προφανώς, S 2 = 1 S2 Επομένως, αν αντικαταστήσουμε το σ 2 εκτιμήτριά του στην παράσταση, X μ σ 2 με την αμερόληπτη θα έχουμε, X μ X μ X μ = S S S* 1 ( 1) Σύμφωνα όμως με όσα είδαμε στο πρώτο μέρος για την κατανομή t, ισχύει ότι X μ X μ * S t S -1 1 Όπως προκύπτει και από το σχήμα που ακολουθεί, αν Χ 1, Χ 2,..., Χ είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από μια κατανομή Ν(μ, σ 2 ), X μ X μ P t 1, 1 α/2 t 1, 1 α/2 = 1 α * S S α / 2 α / X -t -1, 1-α/2 t -1, 1-α/2 =t -1, α/2 307

8 Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς μ θα έχουμε, S P X t 1,1 α/2 μ X + t 1,1 α/2 1 S = 1 α 1 Επομένως, το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού με βάση ένα δοθέν τυχαίο δείγμα, είναι ± X t 1,1 α/2 S 1 ή, χρησιμοποιώντας την αμερόληπτη εκτιμήτρια S 2 του σ X ± t 1,1 α/2 S * Σημείωση: Όπως προκύπτει από τα προηγηθέντα, στην κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης, όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού εκτιμάται, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στον τύπο που έχει χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του σ (δηλαδή για την εκτιμήτρια του σ που έχει χρησιμοποιηθεί). Στην βιβλιογραφία χρησιμοποιείται συνήθως ως εκτιμήτρια του σ 2 η ( Xi X) *2 i= 1 αμερόληπτη εκτιμήτρια S =. Θα πρέπει επομένως, πριν 1 προχωρήσει κανείς σε συμπερασματολογία και κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης στην περίπτωση αυτή, να εξετάζει με ποιό τρόπο έχει υπολογισθεί η εκτίμηση του σ πριν προχωρήσει στην κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης με έναν από τους δύο προαναφερθέντας τύπους. Ο διαχωρισμός που χρησιμοποιείται εδώ στον συμβολισμό με τη χρήση των συμβόλων S και S * δεν χρησιμοποιείται συνήθως στη βιβλιογραφία. Η διαφοροποίηση αυτή γίνεται εδώ για διευκόλυνση του αναγνώστη. 308

9 Παράδειγμα: Μια εταιρεία που κατασκευάζει πυρίτιδα έχει δημιουργήσει ένα νέο είδος πυρίτιδας της οποίας την ποιότητα θέλει να ελέγξει. Επιλέγοντας τυχαία 8 οβίδες που έχουν κατασκευασθεί με την πυρίτιδα αυτή, η εταιρεία μετρά τις ταχύτητες των βλημάτων αυτών (σε μέτρα/δευτερόλεπτο) και βρίσκει τα εξής αποτελέσματα Να βρεθεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική μέση ταχύτητα μ των οβίδων που κατασκευάζονται με την πυρίτιδα αυτή. (Υποθέτουμε ότι οι ταχύτητες των βλημάτων ακολουθούν, κατά προσέγγιση, την κανονική κατανομή). Λύση: Από τα στοιχεία του δείγματος έχουμε: Από τους πίνακες βρίσκουμε ότι x = 2959, s = t 7,.975 = Επομένως, το παρατηρούμενο διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ είναι 2959 ± 32.7 ή (2926.3, ) Σημείωση: Αν υπολογίζαμε το διάστημα εμπιστοσύνης με βάση την αμερόληπτη εκτιμήτρια S * του σ, θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας βέβαια τον τύπο Το S * είναι X ± t 1,1 α/2 Παρατήρηση: Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα αυτό με βάση την αμερόληπτη εκτιμήτρια S * του σ γίνεται και από το στατιστικό πακέτο STATGRAPHICS με τον εξής τρόπο. Από το βασικό μενού επιλέγουμε το ESTIMATION AND TESTING. Στη συνέχεια, από αυτό επιλέγουμε τη δυνατότητα 1 (ONE-SAMPLE S * 309

10 ANALYSIS) εισάγουμε τα στοιχεία οπότε το πακέτο μας δίνει την οθόνη που ακολουθεί. ONE-SAMPLE ANALYSIS RESULTS SAMPLE STATISTICS: NUMBER OF OBS. 8 AVERAGE 2959 VARIANCE 1528 STD. DEVIATION MEDIAN 2951 CONFIDENCE INTERVAL FOR MEAN 95 PERCENT SAMPLE D.F. CONFIDENCE INTERVAL FOR VARIANCE 0 PERCENT SAMPLE 1 HYPOTHESIS TEST FOR H0: MEAN = 0 COMPUTED t STATISTIC= VS ALT. NE SIG. LEVEL = E-14 AT ALPHA=.05 SO REJECT H0. Όπως βλέπουμε, στην πρώτη γραμμή εμφανίζονται τα δεδομένα του δείγματος και στη συνέχεια ο αριθμός των παρατηρήσεων (NUMBER OF OBS.) ο δειγματικός μέσος (AVERAGE), η δειγματική διασπορά (VARIANCE), η αμερόληπτη δειγματική μέση απόκλιση (STD.DEVIATION) και η δειγματική διάμεσος (MEDIAN). Στην συνέχεια, δίνεται το διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή στο 95% επίπεδο (η επιλογή αυτή εξαρτάται από τον ερευνητή), το διάστημα εμπιστοσύνης που προκύπτει (SAMPLE 1) και οι βαθμοί ελευθερίας (D.F.). Στην συνέχεια, παρέχεται ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (τη μεθοδολογία για το οποίο θα συναντήσουμε αργότερα) και ο έλεγχος στατιστικών υποθέσεων (που επίσης θα δούμε αργότερα). Λύση με το πακέτο SPSS Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο SPSS ως εξής: 310

11 Εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. VAR00001 Από την επιλογή Statistics επιλέγουμε Compare meas. Επιλέγουμε Oe sample T test Στο παράθυρο που εμφανίζεται επιλέγουμε τη μεταβλητή μας (VAR00001), την τοποθετούμε στο πεδίο test variable και επιλέγουμε ΟΚ. Oe-Sample Statistics VAR00001 N Std. Std. Error Mea Deviatio Mea Oe-Sample Test VAR00001 Test Value = 0 95% Cofidece Iterval of the Sig. Mea Differece t df (2-tailed) Differece Lower Upper Στoν πρώτο πίνακα αποτελεσμάτων, φαίνεται το όνομα της μεταβλητής (VAR00001), ο αριθμός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγματικός μέσος (Mea), η τυπική απόκλιση (Std. Deviatio) και το τυπικό σφάλμα του μέσου (Std. Error Mea). Στον δεύτερο πίνακα αποτελεσμάτων, έχουμε κάποια στοιχεία που αφορούν τον έλεγχο στατιστικής υπόθεσης (που θα δούμε αργότερα) και το διάστημα εμπιστοσύνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σημείωση 1: Αν θέλουμε διάστημα εμπιστοσύνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios στο παράθυρο Oe-sample T Test και στην συνέχεια δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιστοσύνης και Cotiue. Σημείωση 2: Η τιμή του πεδίου Test value του παραθύρου Oesample T Test χρησιμοποιείται, όπως θα δούμε στην συνέχεια, στον έλεγχο υποθέσεων. 311

12 Λύση με το πακέτο Miitab Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. C1. Από την επιλογή Stat επιλέγουμε Basic Statistics. Επιλέγουμε 1-Sample t Στο παράθυρο που ανοίγει επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάσει τα δεδομένα π.χ. C1 και την τοποθετούμε στο πεδίο Variables. Επιλέγουμε διάστημα εμπιστοσύνης (Cofidece Iterval) και στο πεδίο level επιλέγουμε 95% και ΟΚ. Cofidece Itervals Variable N Mea StDev SE Mea 95.0 % C.I. C (2926.3, ) Στον πίνακα αποτελεσμάτων, έχουμε πρώτα το όνομα της μεταβλητής (C1), μετά τον αριθμό των παρατηρήσεων (Ν), τον δειγματικό μέσο (Mea), την τυπική απόκλιση (StDev), το τυπικό σφάλμα του μέσου (SE Mea) και τέλος το διάστημα εμπιστοσύνης (95.0 % C.I.). Σημείωση: Η επιλογή Test mea χρησιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέσεων όπως θα δούμε στη συνέχεια. Παρατήρηση: Δοθέντος ότι η κατανομή t έχει μεγαλύτερη διακύμανση από την κατανομή Ν(0,1), το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης που βασίζεται σε παρατηρήσεις όταν το σ 2 είναι γνωστό θα έχει μικρότερο μήκος από το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης που προκύπτει όταν το σ 2 είναι άγνωστο και θα πρέπει να εκτιμηθεί. Αυτό συμβαίνει και κατά τεκμήριο στη πράξη. Παρατήρηση: Αν η υπόθεση της κανονικότητας του πληθυσμού δεν ισχύει, ή δεν είναι δυνατό να ελεγχθεί, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μεθοδολογία που αναπτύξαμε για κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για την μέση τιμή με την χρήση της 312

13 κατανομής t με την προϋπόθεση ότι το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο (εν γένει > 25). Αυτό γιατί η στατιστική συνάρτηση X S μ 1 X S T = * μ και στην περίπτωση αυτή ακολουθεί, κατά προσέγγιση, την κατανομή t με -1 βαθμούς ελευθερίας. Σημείωση: Δεδομένου ότι για μεγάλο η κατανομή t τείνει στην κανονική κατανομή, για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται συχνά απευθείας η κανονική κατανομή. Η προσέγγιση αυτή δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για >100. Η ιδιότητα αυτή της t οφείλεται στην στατιστική ανθεκτικότητα (statistical robustess) της κατανομής αυτής σε αποκλίσεις από την υπόθεση της κανονικότητας του πληθυσμού. (Στην έννοια της στατιστικής ανθεκτικότητας θα επανέλθουμε αργότερα). Σημείωση: Σε πολλά εισαγωγικά εγχειρίδια, κυρίως σε αυτά που απευθύνονται σε φοιτητές οικονομικών επιστημών, ο διαχωρισμός όσο αφορά τη χρησιμοποίηση της κανονικής κατανομής ή της κατανομής t γίνεται με βάση το μέγεθος του δείγματος. Για μεγάλο δηλαδή, χρησιμοποιείται η κανονική κατανομή ανεξάρτητα από το κατά πόσο η διακύμανση του υπό μελέτη πληθυσμού είναι γνωστή ή όχι. Αυτό, όπως εξηγήσαμε θεωρητικά, δεν είναι σωστό. Όπως όμως είδαμε στην προηγουμένη παρατήρηση, για μεγάλο η κατανομή t προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Κατά συνέπεια η χρησιμοποίηση της κανονικής κατανομής - ανεξάρτητα από την γνώση ή μη του σ 2 - για μεγάλο δίνει μια καλή προσέγγιση του σωστού αποτελέσματος. Αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού είναι ότι τα εκατοστιαία σημεία της κατανομής t, για μεγάλο, προσεγγίζονται από τα αντίστοιχα εκατοστιαία σημεία της κανονικής κατανομής. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο οι περισσότεροι πίνακες της κατανομής t εμφανίζουν εκατοστιαία σημεία για περιορισμένο πλήθος τιμών του (π.χ. μέχρι = 60) υπονοώντας την 313

14 χρήση των πινάκων της κανονικής κατανομής για μεγαλύτερες τιμές του. Σχηματική Παρουσίαση της Διαδικασίας Κατασκευής Διαστημάτων Εμπιστοσύνης για την Μέση Τιμή Κανονικών Πληθυσμών Ο τρόπος κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσύνης για την μέση τιμή ενός κανονικού πληθυσμού μπορεί να παρουσιασθεί με το παρακάτω διάγραμμα. Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την Μέση Τιμή Κανονικών Πληθυσμών ΑΡΧΗ σ 2 γνωστή NAI X ± Z1 α/2 σ OXI μεγάλο NAI σ 2 S *2 OXI X ± t 1,1 α/2 * S ΜΗ-ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ Όπως ήδη είδαμε, πολλά από τα προβλήματα κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσύνης (όπως και ελέγχων υποθέσεων που θα δούμε αργότερα) απαιτούν την κανονικότητα των υπό μελέτη πληθυσμών. Εξετάσαμε ήδη περιπτώσεις που η μη-ικανοποίηση της υπόθεσης αυτής παρακάμπτεται (όταν είναι δυνατόν να γίνει επίκληση του κεντρικού οριακού θεωρήματος). Υπάρχουν όμως και 314

15 περιπτώσεις που η παραβίαση της υπόθεσης της κανονικότητας του πληθυσμού δεν είναι δυνατόν να παρακαμφθεί (π.χ. όταν το δείγμα είναι μικρό και το κεντρικό οριακό θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοσθεί). Σε τέτοιες περιπτώσεις μία μέθοδος που μπορεί να δοκιμασθεί είναι η χρησιμοποίηση ενός κατάλληλα επιλεγμένου μαθηματικού μετασχηματισμού των δεδομένων. Ενός μετασχηματισμού δηλαδή που μετατρέπει τον υπό μελέτη πληθυσμό σε ένα σχεδόν κανονικό πληθυσμό. Έτσι, η θεωρία για κανονικούς πληθυσμούς μπορεί να εφαρμοσθεί στα μετασχηματισμένα δεδομένα. Ένα παράδειγμα συχνά χρησιμοποιούμενου μετασχηματισμού είναι ο λογαριθμικός μετασχηματισμός. Ο μετασχηματισμός αυτός χρησιμοποιείται κυρίως για δεδομένα που αναφέρονται σε εισόδημα, όπως επίσης και σε άλλα δεδομένα που παρουσιάζουν δεξιά ασυμμετρία. (Η χρησιμοποίηση του λογαριθμικού μετασχηματισμού σε τέτοιες περιπτώσεις εξηγείται από το γεγονός ότι οι λογάριθμοι δεδομένων που παρουσιάζουν δεξιά ασυμμετρία είναι, εν γένει, λιγότερο ασύμμετροι από τα αρχικά δεδομένα). Για παράδειγμα, τα δύο σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζουν τα στοιχεία για τα εισοδήματα των οικογενειών σε μιά πόλη και τα ίδια στοιχεία μετά από ένα λογαριθμικό μετασχηματισμό. Είναι φανερό ότι τα μετασχηματισμένα δεδομένα παρουσιάζουν πολύ μικρότερη ασυμμετρία. α) Κατανομή Εισοδημάτων Χ Σχετική Συχνότητα X 315

16 β) Κατανομή του log των Εισοδημάτων logx Σχετική Συχνότητα 0 logx log4000 log Σημείωση: Προκειμένου να αποφασισθεί αν είναι δυνατόν να εφαρμοσθεί η οποιαδήποτε μέθοδος ανάλυσης που απαιτεί κανονικότητα του υπό μελέτη πληθυσμού, θα πρέπει να ελεγχθεί, με κάποια στατιστική μέθοδο, η κανονικότητα αυτή. Η διαδικασία ενός τέτοιου ελέγχου αποτελεί ουσιαστικά το μέρος εκείνο της Στατιστικής που αναφέρεται στους ελέγχους υποθέσεων. Στα θέματα αυτά θα αναφερθούμε αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια. Οι τρόποι όμως ελέγχου της κανονικότητας ενός πληθυσμού στους οποίους θα αναφερθούμε δεν απαιτούν γνώσεις των μεθόδων ελέγχου υποθέσεων τις οποίες θα αναλύσουμε αργότερα. Για τον λόγο αυτό, στην επόμενη ενότητα παρουσιάζουμε δύο τεχνικές ελέγχου της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Αυτό θα μας επιτρέψει να χρησιμοποιούμε τις τεχνικές αυτές όποτε ο έλεγχος της κανονικότητας είναι απαραίτητος. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Στην στατιστική βιβλιογραφία, υπάρχουν πολλές μέθοδοι και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Τα στατιστικά πακέτα π.χ. που χρησιμοποιούνται για τη στατιστική ανάλυση δεδομένων έχουν διαδικασίες που ελέγχουν την 316

17 κανονικότητα ενός πληθυσμού. Ας δούμε, για παράδειγμα, πώς αντιμετωπίζει το πρόβλημα αυτό το στατιστικό πακέτο STATGRAPHICS. Από το βασικό μενού του προγράμματος επιλέγουμε την ενότητα ESTIMATION AND TESTING (εκτιμητική και έλεγχοι) και από την ενότητα αυτήν επιλέγουμε την επιλογή 3 NORMAL PROBABILITY PLOT (διάγραμμα κανονικής πιθανότητας). Με την κατασκευή ενός τέτοιου γραφήματος, μπορούμε να εξετάσουμε αν ένα σύνολο παρατηρήσεων είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι προέρχεται από μια κανονική κατανομή. Το διάγραμμα που δίνει το πακέτο έχει στον οριζόντιο άξονα τις τιμές των παρατηρήσεων και στον κατακόρυφο άξονα την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distributio fuctio) της κανονικής κατανομής παρουσιασμένη σε κλίμακα έτσι ώστε το γράφημα (η συνάρτηση) που προκύπτει από έναν κανονικό πληθυσμό να είναι ευθεία γραμμή. Για ευκολία του χρήστη, κατασκευάζεται και η ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων ώστε να είναι δυνατόν να ελεγχθεί η υπόθεση της κανονικότητας. Αν πράγματι οι παρατηρήσεις του δείγματος προέρχονται από ένα κανονικό πληθυσμό, το γράφημα θα πρέπει να τις εμφανίζει πολύ κοντά στην ευθεία γραμμή. Παράδειγμα: Ο ιδιοκτήτης ενός ορυχείου ενδιαφέρεται να αξιολογήσει μια νέα μέθοδο παραγωγής συνθετικών διαμαντιών. Η μελέτη του κόστους που συνεπάγεται η διαδικασία κατασκευής, έχει καταλήξει στο συμπέρασμα ότι για να είναι επικερδής η νέα αυτή μέθοδος θα πρέπει το μέσο βάρος των συνθετικών διαμαντιών να είναι περισσότερο από 0.5 καράτια. Προκειμένου να αξιολογηθεί η διαδικασία κατασκευής επιλέγεται δείγμα από 6 συνθετικά διαμάντια που έχουν κατασκευασθεί με τη νέα μέθοδο κατασκευής. Το βάρος τους βρίσκεται ότι είναι: 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57, 0.54 καράτια αντίστοιχα. Για να κατασκευασθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης ή να γίνει ένας έλεγχος υπόθεσης για το μέσο βάρος των συνθετικών διαμαντιών, 317

18 θα πρέπει να ελεγχθεί η υπόθεση της κανονικότητας για το βάρος των τεχνητών διαμαντιών. Λύση: Ας εξετάσουμε με την προηγηθείσα μέθοδο, την υπόθεση της κανονικότητας στο πρόβλημα της κατασκευής τεχνητών διαμαντιών. Εχοντας ονομάσει την μεταβλητή που περιέχει τα βάρη των τεχνητών διαμαντιών του δείγματος με τον όρο diamomds (διαμάντια), θα πάρουμε από το Statgraphics την γραφική παράσταση που ακολουθεί. Η επικεφαλίδα του διαγράμματος (NORMAL PROBABILITY PLOT) δείχνει τη διαδικασία του πακέτου που επιλέξαμε. Στο κάτω μέρος του σχήματος, είναι το όνομα της μεταβλητής (DIAMONDS) που αναφέρεται στις τιμές του δείγματος και οι οποίες εμφανίζονται στον οριζόντιο άξονα. Στο πλάι είναι, σε κλίμακα, οι τιμές της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής που αντιστοιχούν στο δείγμα αυτό (CUMULATIVE PERCENT). Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, τα σημεία βρίσκονται πολύ κοντά σε μια ευθεία γραμμή (την ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων) και επομένως δεν έχουμε λόγους να απορρίψουμε την υπόθεση ότι οι παρατηρήσεις του δείγματος προέρχονται από κανονικό πληθυσμό. c u m u l a t I v e p e r c e t Normal Probability Plot diamods 318

19 Λύση με το πακέτο SPSS Η κατασκευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο SPSS ως εξής: Εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. VAR00001 Από την επιλογή Graphs επιλέγουμε P-P. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε τη μεταβλητή μας (VAR00001) και την τοποθετούμε στο πεδίο variables. Στο πεδίο Test distributio επιλέγουμε Normal Στο πεδίο Distributio Parameters επιλέγουμε το Estimate from data εφόσον οι παράμετροι της υπό εξέταση κατανομής είναι άγνωστοι και στην συνέχεια ΟΚ. Στο διάγραμμα που προκύπτει στον οριζόντιο άξονα έχουμε τις παρατηρούμενες αθροιστικές πιθανότητες (Observed cum Prob) και στον κάθετο άξονα έχουμε τις αναμενόμενες αθροιστικές πιθανότητες (Expected cum Prob). Επειδή τα σημεία στο διάγραμμα βρίσκονται πολύ κοντά στην ευθεία γραμμή θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις ακολουθούν την υπόθεση της κανονικότητας. Λύση με το πακέτο Miitab Η κατασκευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. C1. Επιλέγουμε Graph και στη συνέχεια Normal Plot. 319

20 Στο παράθυρο που ανοίγει επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάσει τα δεδομένα π.χ. C1 και την τοποθετούμε στο πεδίο Variables. Επιλέγουμε ένα από τα δύο Test for Normality (Aderso-Darlig ή Rya-Joier) και ΟΚ. Normal Probability Plot Probability Average: Std Dev: N of data: C Aderso-Darlig Normality Test A-Squared: p-value: Στο διάγραμμα που προκύπτει στον οριζόντιο άξονα έχουμε τις παρατηρήσεις και στον κάθετο άξονα τις αντίστοιχες πιθανότητες. Στην κάτω αριστερή γωνία έχουμε το δειγματικό μέσο (Average), την τυπική απόκλιση (Std Dev) και τον αριθμό των δεδομένων (N of data). Στην κάτω δεξιά γωνία έχουμε την τιμή του στατιστικού (A- Squared) και το αντίστοιχο p-value που είναι συνεπώς δεχόμαστε την υπόθεση της κανονικότητας. Σημείωση: Είναι προφανές ότι η μέθοδος που παρουσιάσαμε προηγουμένως για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού είναι περιγραφική. Δεν δίνει δηλαδή κάποιο στατιστικό κανόνα που να απορρίπτει ή όχι τη μηδενική υπόθεση. Υπάρχουν τέτοιοι στατιστικοί έλεγχοι οι οποίοι, όπως ήδη είπαμε, ξεφεύγουν από τους σκοπούς της παρουσίασης αυτής. Υπάρχουν όμως και ενδιάμεσες μέθοδοι μεταξύ δηλαδή της καθαρά περιγραφικής του στατιστικού πακέτου και των θεωρητικών ελέγχων που δίνουν, κατά προσέγγιση, έναν έλεγχο για την 320

21 κανονικότητα του υπό μελέτη πληθυσμού. Ενας τέτοιος έλεγχος είναι το τεστ του Lilliefors. Έλεγχος του Lilliefors για Κανονικότητα Ο έλεγχος του Lilliefors βασίζεται σε διαγράμματα της αθροιστικής σχετικής συχνότητας των παρατηρήσεων (cumulative relative frequecy). Για την εφαρμογή της μεθόδου, χρειάζεται η εμπειρική συνάρτηση κατανομής (empirical distributio fuctio). Η εμπειρική συνάρτηση κατανομής βασίζεται στις παρατηρήσεις του δείγματος και επομένως κάθε εμπειρική συνάρτηση κατανομής εμφανίζει δειγματική διακύμανση. Έτσι, για κάποια δείγματα το γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής είναι ενδεχόμενο να βρίσκεται πάνω από τη συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού, ενώ για άλλα δείγματα η εμπειρική συνάρτηση κατανομής είναι ενδεχόμενο να δείχνει αντίθετη τάση. Η πιθανότητα ότι το γράφημα μιας εμπειρικής κατανομής θα αποκλίνει πολύ από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού είναι βέβαια πολύ μικρή. Εξάλλου, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται, η εμπειρική συνάρτηση κατανομής θα πλησιάζει περισσότερο την αθροιστική συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού. Σ' αυτήν ακριβώς την αρχή στηρίζεται και ο έλεγχος κανονικότητας του Lilliefors. Ο έλεγχος αυτός χρησιμοποιεί γραφικό χαρτί που είναι διαθέσιμο στην αγορά, παρόμοιο με αυτό που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 95% όρια κατά Lilliefors για κανονικά δείγματα Αθροιστική σχετική συχνότητα Τυποποιημένη δειγματική τιμή 321

22 Ο έλεγχος του Lilliefors συγκρίνει την εμπειρική συνάρτηση κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος με την συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κανονικής. Όπως είναι γνωστο από τη θεωρία, αλλά και όπως προκύπτει από το διάγραμμα του Lilliefors, για ένα δείγμα μεγέθους 100 η εμπειρική συνάρτηση κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος θα βρίσκεται με βεβαιότητα μέσα στα όρια γύρω από την τυποποιημένη κανονική κατανομή για περίπου 95% όλων των δειγμάτων. Αντίθετα, αν το δείγμα προέρχεται από έναν πληθυσμό που δεν ακολουθεί την κανονική κατανομή δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο η εμπειρική συνάρτηση κατανομής θα πρέπει να περιορίζεται μέσα σ' αυτά τα όρια. Η μέθοδος αυτή είναι μια απλή προσεγγιστική μέθοδος χωρίς την χρήση υπολογιστή για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Όπως προκύπτει από το σχήμα, για άλλα μεγέθη δειγμάτων υπάρχουν άλλες καμπύλες που προσδιορίζουν τα όρια της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος που θα επιτρέπουν αποδοχή της υπόθεσης της κανονικότητας. Η μέθοδος ελέγχου κανονικότητας του Lilliefors ακολουθεί τα εξής βήματα: 1. Καθορισμός του δειγματικού μέσου x και της δειγματικής τυπικής απόκλισης s * (δηλαδή της τιμής της αμερόληπτης εκτιμήτριας του σ). 2. Τυποποίηση καθεμιάς από τις παρατηρήσεις x i ως z i = (x i - x)/s *. 3. Κατασκευή της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής των σημείων αυτών (δηλαδή, τοποθέτηση των τυποποιημένων τιμών z i του δείγματος στο διάγραμμα του Lilliefors). 4. Η καμπύλη στο μέσο του διαγράμματος του Lilliefors αντιπροσωπεύει μια τυπική κανονική κατανομή. Οι πλησιέστερες καμπύλες προς αυτήν από τις δύο πλευρές της αντιπροσωπεύουν τα όρια του ελέγχου Lilliefors για ένα δείγμα μεγέθους 100 από μια κανονική κατανομή. Αυτό σημαίνει ότι αν η γραφική παράσταση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής (που κατασκευάζεται με τον τρόπο που αναπτύξαμε) για ένα δείγμα μεγέθους 100 φεύγει έξω από τα όρια αυτά (είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω), θα πρέπει 322

23 να θεωρήσουμε ότι το δείγμα προέρχεται από πληθυσμό ο οποίος δεν είναι κανονικός. Για δείγματα μεγέθους = 5, 10, 15, 20, 30 και 50 χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχες καμπύλες που εμφανίζονται στο σχήμα. Όλοι αυτοί οι έλεγχοι αναφέρονται σε επίπεδο σημαντικότητας α = Για δείγματα μεγαλύτερα από 100 που δεν καλύπτονται από το διάγραμμα του Lilliefors, η υπόθεση της κανονικότητας ελέγχεται με τον εξής τρόπο: μετράμε τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και της μεσαίας έντονης καμπύλης στο διάγραμμα του Lilliefors. (Η μέτρηση γίνεται στην κατακόρυφη διεύθυνση). Αν η απόσταση αυτή είναι μεγαλύτερη από /, όπου είναι το μέγεθος του δείγματος, θεωρούμε ότι ο πληθυσμός από τον οποίο προέρχεται το δείγμα δεν είναι κανονικός. (Δηλαδή απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση κανονικότητας του πληθυσμού). Σημείωση: Ο έλεγχος του Lilliefors για την κανονικότητα, αποτελεί μία παραλλαγή ενός κανονικού ελέγχου καλής προσαρμογής αυτού που ονομάζεται Kolmogorov - Smirov Έλεγχος Καλής Προσαρμογής. Για περισσότερες λεπτομέρειες για τους ελέγχους αυτούς, όπως επίσης και για τον έλεγχο Χ 2 καλής προσαρμογής, ο αναγνώστης παραπέμπεται σε σχετικό εγχειρίδιο Περιγραφικής Στατιστικής. (Βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη: Μη Παραμετρική Στατιστική). 323

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση!

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2006-07 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v

Περιεχόμενα. Πρόλογος... v Περιεχόμενα Πρόλογος... v 1 Χρήση της έκδοσης 10 του SPSS για Windows και καταχώριση δεδομένων... 1 2 Περιγραφή μεταβλητών: πίνακες και γραφήματα... 19 3 Περιγραφή μεταβλητών αριθμητικά: μέσοι όροι, διακύμανση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι

Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι Επιστηµονική Επιµέλεια: ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Εργαστήριο Γεωργίας Viola adorata Καταρχήν Μη Παραµετρικοί Έλεγχοι εν απαιτούν κανονικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: Η ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 29 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 Μεταβλητές...5 Πληθυσμός, δείγμα...7 Το ευρύτερο γραμμικό μοντέλο...8 Αναφορές στη βιβλιογραφία... 11 2 ΤΟ PASW ΜΕ ΜΙΑ ΜΑΤΙΑ... 13 Περίληψη... 13 Εισαγωγή... 13 Με μια ματιά...

Διαβάστε περισσότερα

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ

την τιμή της μέσης τιμής, μ, ή της διασποράς, σ, ενός πληθυσμού και σε στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων για τη σύγκριση των μέσων τιμών, μ Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς (Analysis of Variance, ANOVA) είναι μέθοδος στατιστικού ελέγχου υποθέσεων που αναφέρονται σε περισσότερους από δύο πληθυσμούς. Στην προηγούμενη ενότητα αναφερθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά: Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Τμήμα Αρχειονομίας - Βιβλιοθηκονομίας Θεματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ

ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΓΟΡΑΣ ΣΕ ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΑ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΠΌ ΣΑΛΟΥΣΤΡΟΥ ΑΝΤΙΓΟΝΗ ΣΥΓΛΕΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΑΝΑΓΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μελέτη ποιοτικών χαρακτηριστικών ξενοδοχείων Συμβουλευτικές υπηρεσίες από εσωτερικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

if code='1' then type='fixed'; else if code='2' then type='variable'; else type='unknown'; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Πολλές φορές, αντί να χρησιμοποιούμε μια σειρά από IF-THEN εντολές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εντολή ELSE, για να δηλώσουμε μια εναλλακτική ενέργεια όταν η συνθήκη στην IF-THEN εντολή δεν ικανοποιείται.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4. ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες

Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σχετικές πληροφορίες: http://dlib.ionio.gr/~spver/seminars/statistics/ Πίσω στα βασικά Βασικές αρχές στατιστικής για κοινωνιολογικές έρευνες Σπύρος Βερονίκης Μέρος 1: Βασικές έννοιες Μια σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στόχοι: (a) να δοθεί µια εισαγωγή στη θεωρία της στατιστικής συµπερασµατολογίας ελέγχων υποθέσεων, (b) να παρουσιάσει τις βασικές εφαρµογές αυτών των ελέγχων: µέσης τιµής, ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πιθανότητες και Στατιστική Ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός Laplace έγραψε ότι οι Πιθανότητες δεν είναι τίποτα άλλο παρά η μετατροπή της κοινής λογικής σε μαθηματικές εκφράσεις. Η χρήση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Πρώτη Γραπτή Εργασία Γενικές οδηγίες για την εργασία Όλες οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία

Μ Ε Ρ Ο Σ B. Στατιστική Συμπερασματολογία Μ Ε Ρ Ο Σ B Στατιστική Συμπερασματολογία ΚΕΦΑΛΑΙΟ EKTIMHTIKH: ΣΗΜΕΙΑΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗΣ Σε πολλές περιπτώσεις στην στατιστική, συναντώνται προβλήματα για τα οποία απαιτείται να εκτιμηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΤΡΑΠΕΖΙΚΗ Θεματική Ενότητα: ΤΡΑ-61 Στρατηγική Τραπεζών Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 Γενικές οδηγίες για την εργασία Τέταρτη Γραπτή Εργασία Όλες οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας

22 Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Στατιστικές Μέθοδοι Ανάλυσης Πειραµατικών εδοµένων Συνεργασίας Χρήστος Κατσάνος και Νικόλαος Αβούρης Πανεπιστήµιο Πατρών Σκοπός Το παρόν κεφάλαιο, συµπληρωµατικό του κυρίως υλικού του βιβλίου, περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 8. Ανάλυση διασποράς (ANOVA) Γενικά Επέκταση της σύγκρισης µέσων τιµών µεταβλητής ανάµεσα σε 2 δείγµατα (οµάδες ήστάθµες): Σύγκριση πολλών δειγµάτων (K>2) µαζί Σχέση ανάµεσα σε µια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 4 Κανονική Κατανομή Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 4-4-1 Εισαγωγή Όσο το n αυξάνει, η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει... n = 6 n = 1 n = 14 Binomial Distribution:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 20 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2007), σελ 249-258 Q- ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟ p ΤΗΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μανώλης Μανατάκης Τμήμα Μηχανολόγων και Αεροναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S.

Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Στατιστική Ανάλυση Δεδομένων με το S.P.S.S. Διδακτικές Σημειώσεις Απόστολος Δ. Μπατσίδης ΙΩΑΝΝΙΝΑ 2014 Στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΘΕΡΜΙΚΗΣ ΑΠΕΝΕΡΓΟΠΟΙΗΣΗΣ Μαρία Γιαννακούρου ΤΕΙ Αθηνών, Σχολή Τεχνολογίας Τροφίμων και Διατροφής, Τμήμα Τεχνολογίας Τροφίμων Νικόλαος Γ. Στοφόρος Γεωπονικό

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2.

Κεφάλαιο 17. Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. Κεφάλαιο 17 Σύγκριση συχνοτήτων κατηγοριών: Το στατιστικό κριτήριο χ 2 17.1. ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ 17.2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 17.3. ΤΟ χ 2 ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ 17.3.1. Ένα ερευνητικό παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39

Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37. 1 Βασικές αρχές καταχώρισης δεδομένων και στατιστικής ανάλυσης με το SPSS 39 41 Περιεχόμενα Ξενάγηση στο βιβλίο 25 Ξενάγηση στο συνοδευτικό CD 27 Εισαγωγή 29 Ευχαριστίες 33 Οι βασικές διαφορές μεταξύ του SPSS 16 και των προηγούμενων εκδόσεων 35 Μέρος 1 Εισαγωγή στο SPSS 37 1 Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα

Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Στατιστικοί έλεγχοι για διακριτά δεδομένα Διαστρωμάτωση Mantel-Haenszel test Γεωργία Σαλαντή Λέκτορας επιδημιολογίας Λεπτοσπείρωση Πιο πολλά κρούσματα στις αγροτικές περιοχές; Πόσο επί τις εκατό του πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική απεικόνιση μη-στάσιμων χρηματοοικονομικών χρονοσειρών

Περιγραφική απεικόνιση μη-στάσιμων χρηματοοικονομικών χρονοσειρών Περιγραφική απεικόνιση μη-στάσιμων χρηματοοικονομικών χρονοσειρών Xωρικές κατανομές και χρόνος παραμονής Δημήτριος Θωμάκος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Περίληψη Στο άρθρο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού

Έλεγχοι. Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Έλεγχοι Τη συγκέντρωση του φαρμάκου σε δείγμα ιστού ή βιολογικού υγρού Το ρυθμό απελευθέρωσης του φαρμάκου από το σκεύασμα Έλεγχο ταυτότητας και καθαρότητας της πρώτης ύλης και των εκδόχων( βάση προδιαγραφών)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ. ΑΡΒΑΝΙΤΙΔΟΥ- ΒΑΓΙΩΝΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΚΛΙΝΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΕΥΡΗΜΑ VS ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΕΥΡΗΜΑ Ι 1. Η στατιστική σημαντικότητα αντανακλά την επίδραση

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14

ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 ΜΜΚ 105: Πειραματική και Στατιστική Ανάλυση Δημιουργία Πινάκων και Γραφικών Παραστάσεων στην Excel 18/09/14 1. Δημιουργία Πίνακα 1.1 Εισαγωγή μετρήσεων και υπολογισμός πράξεων Έστω ότι χρειάζεται να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Τεχνικές Δειγματοληψίας και Ανάλυση Ερωτηματολογίων με χρήση του ελέγχου (t)

Βασικές Τεχνικές Δειγματοληψίας και Ανάλυση Ερωτηματολογίων με χρήση του ελέγχου (t) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Βασικές Τεχνικές Δειγματοληψίας και Ανάλυση Ερωτηματολογίων με χρήση του ελέγχου (t) (Basic Sampling Tecniques and Questionnaire Analysis using (t) test). Εισαγωγή Η Δειγματοληψία είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ

ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ ΑΚΑΔΗΜΙΑ ΤΩΝ ΠΟΛΙΤΩΝ Αστική Μη Κερδοσκοπική Εταιρεία- ISO 9001 Σαπφούς 3, 81100 Μυτιλήνη (1ος Όροφος) 2251054739 (09:00-14:30) academy@aigaion.org civilacademy.ucoz.org «ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή

Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων. Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Η βιτρίνα των καταστημάτων ως εργαλείο δημοσίων σχέσεων Ονοματεπώνυμο: Ειρήνη Πορτάλιου Σειρά: 8 η Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια : Βεντούρα Ζωή Δεκέμβριος 2011 Στόχος Έρευνας H βιτρίνα των καταστημάτων αποτελεί

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων

Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Ποιοτική και ποσοτική ανάλυση ιατρικών δεδομένων Κωνσταντίνος Τζιόμαλος Επίκουρος Καθηγητής Παθολογίας ΑΠΘ Α Προπαιδευτική Παθολογική Κλινική, Νοσοκομείο ΑΧΕΠΑ 1 ο βήμα : καταγραφή δεδομένων Το πιο πρακτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΔΕΟ 13 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 3 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 ο Τα δεδομένα της στήλης Grade (Αρχείο Excel, Φύλλο Ask1) αναφέρονται στη βαθμολογία 63 φοιτητών που έλαβαν μέρος σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εισαγωγή στο P.A.S.W. Υποχρεωτικό μάθημα 4 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα