ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ: ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Στις προηγούμενες ενότητες ασχοληθήκαμε με μεθόδους που οδηγούν σε εκτιμήτριες των τιμών μιας ή και περισσοτέρων αγνώστων παραμέτρων. Αυτό έγινε με την κατασκευή συναρτήσεων των τιμών ενός τυχαίου δείγματος (των εκτιμητριών) οι οποίες για κάθε δεδομένο δείγμα έδιναν μια μοναδική τιμή ως εκτίμηση. Είναι βέβαια φανερό ότι η εκτίμηση αυτή (η τιμή της εκτιμήτριας για κάθε συγκεκριμένο τυχαίο δείγμα) θα διαφέρει εν γένει από την πραγματική τιμή της παραμέτρου και επομένως θα υπάρχει κάποιο περιθώριο αβεβαιότητας που εκφράζεται μέσω της δειγματικής διασποράς της εκτιμήτριας. Θα μπορούσε έτσι να πει κανείς ότι θα ήταν ίσως προτιμότερο να μιλάμε για ένα φάσμα πιθανών τιμών που αναφέρονται στην υπό εκτίμηση παράμετρο παρά σε μια και μόνη συγκεκριμένη τιμή. Γίνεται με τον τρόπο αυτό προφανής η ανάγκη αναφοράς σε ένα φάσμα πιθανών τιμών μιας υπό εκτίμηση παραμέτρου παρότι, βέβαια, ένα μόνο από τα σημεία μέσα στο φάσμα αυτό θα αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της παραμέτρου, φυσικά με κάποια πιθανότητα. Η μέθοδος η οποία ασχολείται με τον καθορισμό ενός φάσματος πιθανών τιμών μιας υπό εκτίμηση παραμέτρου ονομάζεται μέθοδος των διαστημάτων εμπιστοσύνης (cofidece itervals). Η ανάπτυξη της μεθόδου αυτής χρησιμοποιεί μόνο τις αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων χωρίς να χρειάζεται νέες έννοιες Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Το διάστημα εμπιστοσύνης χρησιμοποιείται για ασφαλέστερη εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού με βάση ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό αυτό. Το διάστημα αυτό (που κατασκευάζεται με μεθοδολογία που θα αναπτυχθεί στην συνέχεια) παρέχει ένα φάσμα εύλογων (πιθανών) τιμών της παραμέτρου, συνοδευόμενο από τον βαθμό εμπιστοσύνης που έχουμε ότι το διάστημα αυτό περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου. 301

2 Παρατήρηση: Η κατανόηση της λογικής των διαστημάτων εμπιστοσύνης είναι για κάποιους δύσκολη γιατί δεν περιορίζεται μόνο στο συγκεκριμένο δείγμα που έχει επιλεγεί, αλλά και σε άλλα δείγματα που θα μπορούσε να είχαν επιλεγεί. Η ερμηνεία της λογικής των διαστημάτων εμπιστοσύνης γίνεται καλύτερα κατανοητή με το σχήμα που ακολουθεί. Σχηματική Παρουσίαση των Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Το σχήμα που ακολουθεί απεικονίζει την λογική του διαστήματος εμπιστοσύνης για μια παράμετρο με την χρήση 100 διαφορετικών τυχαίων δειγμάτων. Το διάστημα αλλάζει από δείγμα σε δείγμα. Για περίπου 95% των περιπτώσεων, το διάστημα περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου (που στην περίπτωση αυτή είναι 80 και σημειώνεται με την κατακόρυφη γραμμή). Το ποσοστό των δειγμάτων που κατά προσέγγιση περιέχει την πραγματική τιμή της παραμέτρου (εδώ το 95%) αντανακλά τον βαθμό εμπιστοσύνης που έχουμε ότι το διάστημα που κατασκευάζεται με την μέθοδο που θα δούμε στην συνέχεια, περιέχει την υπό εκτίμηση παράμετρο. 302

3 X ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Α. Περίπτωση Γνωστών Διακυμάνσεων Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού. Γνωρίζουμε ότι ο δειγματικός μέσος X είναι μια αμερόληπτη εκτιμήτρια του μ. Επίσης ξέρουμε ότι X μ N(0, 1) σ/ Ας υποθέσουμε ότι η διασπορά σ 2 του υπό μελέτη πληθυσμού είναι γνωστή και ότι θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ. Θέλουμε δηλαδή να βρούμε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών που να περιέχει την πραγματική τιμή του μ με πιθανότητα Αυτό είναι ισοδύναμο με το να βρεθούν δύο τιμές Χ L και Χ U τέτοιες ώστε P (X L μ X U ) = 0.95 Δοθέντος ότι, X μ N(0,1) σ/ αυτό είναι ισοδύναμο με το να βρεθούν δύο σημεία Ζ L και Ζ U από τους πίνακες της κανονικής κατανομής τέτοια ώστε, X μ P(Z L Z U ) = 0.95 σ/ Όπως προκύπτει από το σχήμα που ακολουθεί Z.975 Z.975 Ζ L = Z.025 = -Z.975 και Ζ U = Z

4 Επομένως, P(- Z.975 X μ Z.975 ) = 0.95 σ/ Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς μ παίρνουμε, σ P( X - Z.975 σ < μ < X + Z.975 ) = 0.95 Επομένως το 95% διάστημα εμπιστοσύνης (cofidece iterval) για την μέση τιμή μ είναι το, σ X ± Z.975 Πιο γενικά και με βάση την λογική που αναπτύξαμε, το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού με γνωστή διασπορά σ 2 έχει άκρα, X ± Z 1-α/2 σ Σημείωση: Λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος, για μεγάλο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση αυτή ανεξάρτητα από τη μορφή που έχει ο υπό μελέτη πληθυσμός. Αν βέβαια ο πληθυσμός είναι κανονικός, το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα ακριβές (exact) διάστημα εμπιστοσύνης. Παρατήρηση: Το διάστημα με άκρα σ X ± Z 1-α/2 είναι ένα τυχαίο διάστημα. Από τη στιγμή βέβαια που θα παρατηρήσουμε το δείγμα, και επομένως το X, το διάστημα αυτό είναι καθορισμένο. Παράδειγμα: Από την εργαστηριακή εξέταση ενός τυχαίου δείγματος 100 τσιγάρων μιας συγκεκριμένης μάρκας, βρέθηκε ότι η μέση ποσότητα νικοτίνης που περιείχαν ήταν X = 26 mgr (χιλιοστά 304

5 του γραμμαρίου). Είναι γνωστό ότι για την μάρκα αυτή των τσιγάρων η τυπική απόκλιση είναι σ=8 mgr. Να βρεθεί ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα νικοτίνης μ που περιέχει αυτή η συγκεκριμένη μάρκα τσιγάρων. Λύση: Δοθέντος ότι α=.01, έχουμε ότι το 99% διάστημα εμπιστοσύνης για το μ είναι, κατά προσέγγιση (λόγω του κεντρικού οριακού θεωρήματος) σ 8 X ± Z.995 ή 26 ± δηλαδή, (23.94, 28.06) Παρατήρηση 1: Η ερμηνεία ότι το διάστημα τιμών (23.94, 28.06) (όπως και κάθε διάστημα εμπιστοσύνης) περιέχει την πραγματική μέση τιμή νικοτίνης της συγκεκριμένης μάρκας τσιγάρων με πιθανότητα.99 στην πραγματικότητα σημαίνει ότι, αν κατασκευάζαμε διαστήματα εμπιστοσύνης με τη μέθοδο που αναλύσαμε, το ποσοστό των φορών που τα διαστήματα αυτά θα περιείχαν την πραγματική τιμή θα πλησίαζε στο.99 όσο θα αυξανόταν ο αριθμός των φορών που θα επαναλαμβάναμε το πείραμα. Παρατήρηση 2: Είναι προφανές ότι το μήκος του διαστήματος εμπιστοσύνης που κατασκευάσθηκε με τη μέθοδο που αναλύσαμε είναι, σ 2 Z 1-α/2 Παρατήρηση 3: Από την προηγούμενη παρατήρηση προκύπτει ότι οι παράγοντες που επηρεάζουν το μήκος ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή είναι το α, σ και το. Παράδειγμα: Μια εταιρεία συσκευασίας ενός ορισμένου προϊόντος ενδιαφέρεται να κατασκευάσει ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ποσότητα μ (σε γραμμάρια) που περιέχουν τα πακέτα της συσκευασίας αυτής. Ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους =25 δίνει μέσο βάρος x = 362.3gr. Εξάλλου είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση του 305

6 βάρους των συσκευασιών αυτών σε ολόκληρο τον πληθυσμό είναι σ=15gr. Λύση: Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή του πληθυσμού θα δίνεται, σύμφωνα με όσα προαναφέρθηκαν, από τη σχέση ± (1.96)(15) / 25 ή ± 5.88 Δηλαδή τελικά, το 95% διάστημα εμπιστοσύνης θα είναι το (356.42, ) Σημείωση: Αν το δείγμα =25 θεωρηθεί αρκετά μεγάλο, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήξαμε, ισχύει (κατά προσέγγιση) χωρίς άλλη υπόθεση. Διαφορετικά, θα πρέπει να υποθέσουμε ότι το περιεχόμενο των συγκεκριμένων συσκευασιών (σε γραμμάρια) ακολουθεί την κανονική κατανομή. Β. Περίπτωση Αγνώστων Διακυμάνσεων Προκειμένου να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι, X μ N (0,1) σ/ Δοθέντος ότι το σ 2 είναι άγνωστο, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε μια εκτιμήτρια του σ 2. Όπως έχουμε ήδη δει, η δειγματική διασπορά ( ) 2 X i X S 2 i= 1 = είναι η εκτιμήτρια του σ 2 που προκύπτει με τη μέθοδο της μέγιστης πιθανοφάνειας και με τη μέθοδο των ροπών. Δοθέντος όμως ότι το S 2 δεν είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ 2 αφού, 1 σ 2 Ε(S 2 ) = χρησιμοποιούμε την αμερόληπτη εκτιμήτρια του σ 2 S 2 = ( ) 2 Xi X i=

7 Προφανώς, S 2 = 1 S2 Επομένως, αν αντικαταστήσουμε το σ 2 εκτιμήτριά του στην παράσταση, X μ σ 2 με την αμερόληπτη θα έχουμε, X μ X μ X μ = S S S* 1 ( 1) Σύμφωνα όμως με όσα είδαμε στο πρώτο μέρος για την κατανομή t, ισχύει ότι X μ X μ * S t S -1 1 Όπως προκύπτει και από το σχήμα που ακολουθεί, αν Χ 1, Χ 2,..., Χ είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους από μια κατανομή Ν(μ, σ 2 ), X μ X μ P t 1, 1 α/2 t 1, 1 α/2 = 1 α * S S α / 2 α / X -t -1, 1-α/2 t -1, 1-α/2 =t -1, α/2 307

8 Λύνοντας τη σχέση αυτή ως προς μ θα έχουμε, S P X t 1,1 α/2 μ X + t 1,1 α/2 1 S = 1 α 1 Επομένως, το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ ενός κανονικού πληθυσμού με βάση ένα δοθέν τυχαίο δείγμα, είναι ± X t 1,1 α/2 S 1 ή, χρησιμοποιώντας την αμερόληπτη εκτιμήτρια S 2 του σ X ± t 1,1 α/2 S * Σημείωση: Όπως προκύπτει από τα προηγηθέντα, στην κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης, όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού εκτιμάται, θα πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στον τύπο που έχει χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του σ (δηλαδή για την εκτιμήτρια του σ που έχει χρησιμοποιηθεί). Στην βιβλιογραφία χρησιμοποιείται συνήθως ως εκτιμήτρια του σ 2 η ( Xi X) *2 i= 1 αμερόληπτη εκτιμήτρια S =. Θα πρέπει επομένως, πριν 1 προχωρήσει κανείς σε συμπερασματολογία και κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης στην περίπτωση αυτή, να εξετάζει με ποιό τρόπο έχει υπολογισθεί η εκτίμηση του σ πριν προχωρήσει στην κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης με έναν από τους δύο προαναφερθέντας τύπους. Ο διαχωρισμός που χρησιμοποιείται εδώ στον συμβολισμό με τη χρήση των συμβόλων S και S * δεν χρησιμοποιείται συνήθως στη βιβλιογραφία. Η διαφοροποίηση αυτή γίνεται εδώ για διευκόλυνση του αναγνώστη. 308

9 Παράδειγμα: Μια εταιρεία που κατασκευάζει πυρίτιδα έχει δημιουργήσει ένα νέο είδος πυρίτιδας της οποίας την ποιότητα θέλει να ελέγξει. Επιλέγοντας τυχαία 8 οβίδες που έχουν κατασκευασθεί με την πυρίτιδα αυτή, η εταιρεία μετρά τις ταχύτητες των βλημάτων αυτών (σε μέτρα/δευτερόλεπτο) και βρίσκει τα εξής αποτελέσματα Να βρεθεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική μέση ταχύτητα μ των οβίδων που κατασκευάζονται με την πυρίτιδα αυτή. (Υποθέτουμε ότι οι ταχύτητες των βλημάτων ακολουθούν, κατά προσέγγιση, την κανονική κατανομή). Λύση: Από τα στοιχεία του δείγματος έχουμε: Από τους πίνακες βρίσκουμε ότι x = 2959, s = t 7,.975 = Επομένως, το παρατηρούμενο διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή μ είναι 2959 ± 32.7 ή (2926.3, ) Σημείωση: Αν υπολογίζαμε το διάστημα εμπιστοσύνης με βάση την αμερόληπτη εκτιμήτρια S * του σ, θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας βέβαια τον τύπο Το S * είναι X ± t 1,1 α/2 Παρατήρηση: Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα αυτό με βάση την αμερόληπτη εκτιμήτρια S * του σ γίνεται και από το στατιστικό πακέτο STATGRAPHICS με τον εξής τρόπο. Από το βασικό μενού επιλέγουμε το ESTIMATION AND TESTING. Στη συνέχεια, από αυτό επιλέγουμε τη δυνατότητα 1 (ONE-SAMPLE S * 309

10 ANALYSIS) εισάγουμε τα στοιχεία οπότε το πακέτο μας δίνει την οθόνη που ακολουθεί. ONE-SAMPLE ANALYSIS RESULTS SAMPLE STATISTICS: NUMBER OF OBS. 8 AVERAGE 2959 VARIANCE 1528 STD. DEVIATION MEDIAN 2951 CONFIDENCE INTERVAL FOR MEAN 95 PERCENT SAMPLE D.F. CONFIDENCE INTERVAL FOR VARIANCE 0 PERCENT SAMPLE 1 HYPOTHESIS TEST FOR H0: MEAN = 0 COMPUTED t STATISTIC= VS ALT. NE SIG. LEVEL = E-14 AT ALPHA=.05 SO REJECT H0. Όπως βλέπουμε, στην πρώτη γραμμή εμφανίζονται τα δεδομένα του δείγματος και στη συνέχεια ο αριθμός των παρατηρήσεων (NUMBER OF OBS.) ο δειγματικός μέσος (AVERAGE), η δειγματική διασπορά (VARIANCE), η αμερόληπτη δειγματική μέση απόκλιση (STD.DEVIATION) και η δειγματική διάμεσος (MEDIAN). Στην συνέχεια, δίνεται το διάστημα εμπιστοσύνης για την μέση τιμή στο 95% επίπεδο (η επιλογή αυτή εξαρτάται από τον ερευνητή), το διάστημα εμπιστοσύνης που προκύπτει (SAMPLE 1) και οι βαθμοί ελευθερίας (D.F.). Στην συνέχεια, παρέχεται ένα διάστημα εμπιστοσύνης για τη διακύμανση (τη μεθοδολογία για το οποίο θα συναντήσουμε αργότερα) και ο έλεγχος στατιστικών υποθέσεων (που επίσης θα δούμε αργότερα). Λύση με το πακέτο SPSS Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο SPSS ως εξής: 310

11 Εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. VAR00001 Από την επιλογή Statistics επιλέγουμε Compare meas. Επιλέγουμε Oe sample T test Στο παράθυρο που εμφανίζεται επιλέγουμε τη μεταβλητή μας (VAR00001), την τοποθετούμε στο πεδίο test variable και επιλέγουμε ΟΚ. Oe-Sample Statistics VAR00001 N Std. Std. Error Mea Deviatio Mea Oe-Sample Test VAR00001 Test Value = 0 95% Cofidece Iterval of the Sig. Mea Differece t df (2-tailed) Differece Lower Upper Στoν πρώτο πίνακα αποτελεσμάτων, φαίνεται το όνομα της μεταβλητής (VAR00001), ο αριθμός των παρατηρήσεων (Ν), ο δειγματικός μέσος (Mea), η τυπική απόκλιση (Std. Deviatio) και το τυπικό σφάλμα του μέσου (Std. Error Mea). Στον δεύτερο πίνακα αποτελεσμάτων, έχουμε κάποια στοιχεία που αφορούν τον έλεγχο στατιστικής υπόθεσης (που θα δούμε αργότερα) και το διάστημα εμπιστοσύνης (95% Cofidece Iterval of the Differece). Σημείωση 1: Αν θέλουμε διάστημα εμπιστοσύνης διαφορετικό από 95%, επιλέγουμε Optios στο παράθυρο Oe-sample T Test και στην συνέχεια δηλώνουμε το επιθυμητό επίπεδο εμπιστοσύνης και Cotiue. Σημείωση 2: Η τιμή του πεδίου Test value του παραθύρου Oesample T Test χρησιμοποιείται, όπως θα δούμε στην συνέχεια, στον έλεγχο υποθέσεων. 311

12 Λύση με το πακέτο Miitab Η κατασκευή του διαστήματος εμπιστοσύνης στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. C1. Από την επιλογή Stat επιλέγουμε Basic Statistics. Επιλέγουμε 1-Sample t Στο παράθυρο που ανοίγει επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάσει τα δεδομένα π.χ. C1 και την τοποθετούμε στο πεδίο Variables. Επιλέγουμε διάστημα εμπιστοσύνης (Cofidece Iterval) και στο πεδίο level επιλέγουμε 95% και ΟΚ. Cofidece Itervals Variable N Mea StDev SE Mea 95.0 % C.I. C (2926.3, ) Στον πίνακα αποτελεσμάτων, έχουμε πρώτα το όνομα της μεταβλητής (C1), μετά τον αριθμό των παρατηρήσεων (Ν), τον δειγματικό μέσο (Mea), την τυπική απόκλιση (StDev), το τυπικό σφάλμα του μέσου (SE Mea) και τέλος το διάστημα εμπιστοσύνης (95.0 % C.I.). Σημείωση: Η επιλογή Test mea χρησιμοποιείται για τον έλεγχο υποθέσεων όπως θα δούμε στη συνέχεια. Παρατήρηση: Δοθέντος ότι η κατανομή t έχει μεγαλύτερη διακύμανση από την κατανομή Ν(0,1), το 100(1-α)% διάστημα εμπιστοσύνης που βασίζεται σε παρατηρήσεις όταν το σ 2 είναι γνωστό θα έχει μικρότερο μήκος από το αντίστοιχο διάστημα εμπιστοσύνης που προκύπτει όταν το σ 2 είναι άγνωστο και θα πρέπει να εκτιμηθεί. Αυτό συμβαίνει και κατά τεκμήριο στη πράξη. Παρατήρηση: Αν η υπόθεση της κανονικότητας του πληθυσμού δεν ισχύει, ή δεν είναι δυνατό να ελεγχθεί, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μεθοδολογία που αναπτύξαμε για κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για την μέση τιμή με την χρήση της 312

13 κατανομής t με την προϋπόθεση ότι το μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο (εν γένει > 25). Αυτό γιατί η στατιστική συνάρτηση X S μ 1 X S T = * μ και στην περίπτωση αυτή ακολουθεί, κατά προσέγγιση, την κατανομή t με -1 βαθμούς ελευθερίας. Σημείωση: Δεδομένου ότι για μεγάλο η κατανομή t τείνει στην κανονική κατανομή, για την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται συχνά απευθείας η κανονική κατανομή. Η προσέγγιση αυτή δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για >100. Η ιδιότητα αυτή της t οφείλεται στην στατιστική ανθεκτικότητα (statistical robustess) της κατανομής αυτής σε αποκλίσεις από την υπόθεση της κανονικότητας του πληθυσμού. (Στην έννοια της στατιστικής ανθεκτικότητας θα επανέλθουμε αργότερα). Σημείωση: Σε πολλά εισαγωγικά εγχειρίδια, κυρίως σε αυτά που απευθύνονται σε φοιτητές οικονομικών επιστημών, ο διαχωρισμός όσο αφορά τη χρησιμοποίηση της κανονικής κατανομής ή της κατανομής t γίνεται με βάση το μέγεθος του δείγματος. Για μεγάλο δηλαδή, χρησιμοποιείται η κανονική κατανομή ανεξάρτητα από το κατά πόσο η διακύμανση του υπό μελέτη πληθυσμού είναι γνωστή ή όχι. Αυτό, όπως εξηγήσαμε θεωρητικά, δεν είναι σωστό. Όπως όμως είδαμε στην προηγουμένη παρατήρηση, για μεγάλο η κατανομή t προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Κατά συνέπεια η χρησιμοποίηση της κανονικής κατανομής - ανεξάρτητα από την γνώση ή μη του σ 2 - για μεγάλο δίνει μια καλή προσέγγιση του σωστού αποτελέσματος. Αποτέλεσμα του γεγονότος αυτού είναι ότι τα εκατοστιαία σημεία της κατανομής t, για μεγάλο, προσεγγίζονται από τα αντίστοιχα εκατοστιαία σημεία της κανονικής κατανομής. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο οι περισσότεροι πίνακες της κατανομής t εμφανίζουν εκατοστιαία σημεία για περιορισμένο πλήθος τιμών του (π.χ. μέχρι = 60) υπονοώντας την 313

14 χρήση των πινάκων της κανονικής κατανομής για μεγαλύτερες τιμές του. Σχηματική Παρουσίαση της Διαδικασίας Κατασκευής Διαστημάτων Εμπιστοσύνης για την Μέση Τιμή Κανονικών Πληθυσμών Ο τρόπος κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσύνης για την μέση τιμή ενός κανονικού πληθυσμού μπορεί να παρουσιασθεί με το παρακάτω διάγραμμα. Διαστήματα Εμπιστοσύνης για την Μέση Τιμή Κανονικών Πληθυσμών ΑΡΧΗ σ 2 γνωστή NAI X ± Z1 α/2 σ OXI μεγάλο NAI σ 2 S *2 OXI X ± t 1,1 α/2 * S ΜΗ-ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ Όπως ήδη είδαμε, πολλά από τα προβλήματα κατασκευής διαστημάτων εμπιστοσύνης (όπως και ελέγχων υποθέσεων που θα δούμε αργότερα) απαιτούν την κανονικότητα των υπό μελέτη πληθυσμών. Εξετάσαμε ήδη περιπτώσεις που η μη-ικανοποίηση της υπόθεσης αυτής παρακάμπτεται (όταν είναι δυνατόν να γίνει επίκληση του κεντρικού οριακού θεωρήματος). Υπάρχουν όμως και 314

15 περιπτώσεις που η παραβίαση της υπόθεσης της κανονικότητας του πληθυσμού δεν είναι δυνατόν να παρακαμφθεί (π.χ. όταν το δείγμα είναι μικρό και το κεντρικό οριακό θεώρημα δεν μπορεί να εφαρμοσθεί). Σε τέτοιες περιπτώσεις μία μέθοδος που μπορεί να δοκιμασθεί είναι η χρησιμοποίηση ενός κατάλληλα επιλεγμένου μαθηματικού μετασχηματισμού των δεδομένων. Ενός μετασχηματισμού δηλαδή που μετατρέπει τον υπό μελέτη πληθυσμό σε ένα σχεδόν κανονικό πληθυσμό. Έτσι, η θεωρία για κανονικούς πληθυσμούς μπορεί να εφαρμοσθεί στα μετασχηματισμένα δεδομένα. Ένα παράδειγμα συχνά χρησιμοποιούμενου μετασχηματισμού είναι ο λογαριθμικός μετασχηματισμός. Ο μετασχηματισμός αυτός χρησιμοποιείται κυρίως για δεδομένα που αναφέρονται σε εισόδημα, όπως επίσης και σε άλλα δεδομένα που παρουσιάζουν δεξιά ασυμμετρία. (Η χρησιμοποίηση του λογαριθμικού μετασχηματισμού σε τέτοιες περιπτώσεις εξηγείται από το γεγονός ότι οι λογάριθμοι δεδομένων που παρουσιάζουν δεξιά ασυμμετρία είναι, εν γένει, λιγότερο ασύμμετροι από τα αρχικά δεδομένα). Για παράδειγμα, τα δύο σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζουν τα στοιχεία για τα εισοδήματα των οικογενειών σε μιά πόλη και τα ίδια στοιχεία μετά από ένα λογαριθμικό μετασχηματισμό. Είναι φανερό ότι τα μετασχηματισμένα δεδομένα παρουσιάζουν πολύ μικρότερη ασυμμετρία. α) Κατανομή Εισοδημάτων Χ Σχετική Συχνότητα X 315

16 β) Κατανομή του log των Εισοδημάτων logx Σχετική Συχνότητα 0 logx log4000 log Σημείωση: Προκειμένου να αποφασισθεί αν είναι δυνατόν να εφαρμοσθεί η οποιαδήποτε μέθοδος ανάλυσης που απαιτεί κανονικότητα του υπό μελέτη πληθυσμού, θα πρέπει να ελεγχθεί, με κάποια στατιστική μέθοδο, η κανονικότητα αυτή. Η διαδικασία ενός τέτοιου ελέγχου αποτελεί ουσιαστικά το μέρος εκείνο της Στατιστικής που αναφέρεται στους ελέγχους υποθέσεων. Στα θέματα αυτά θα αναφερθούμε αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια. Οι τρόποι όμως ελέγχου της κανονικότητας ενός πληθυσμού στους οποίους θα αναφερθούμε δεν απαιτούν γνώσεις των μεθόδων ελέγχου υποθέσεων τις οποίες θα αναλύσουμε αργότερα. Για τον λόγο αυτό, στην επόμενη ενότητα παρουσιάζουμε δύο τεχνικές ελέγχου της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Αυτό θα μας επιτρέψει να χρησιμοποιούμε τις τεχνικές αυτές όποτε ο έλεγχος της κανονικότητας είναι απαραίτητος. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Στην στατιστική βιβλιογραφία, υπάρχουν πολλές μέθοδοι και τεχνικές που χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Τα στατιστικά πακέτα π.χ. που χρησιμοποιούνται για τη στατιστική ανάλυση δεδομένων έχουν διαδικασίες που ελέγχουν την 316

17 κανονικότητα ενός πληθυσμού. Ας δούμε, για παράδειγμα, πώς αντιμετωπίζει το πρόβλημα αυτό το στατιστικό πακέτο STATGRAPHICS. Από το βασικό μενού του προγράμματος επιλέγουμε την ενότητα ESTIMATION AND TESTING (εκτιμητική και έλεγχοι) και από την ενότητα αυτήν επιλέγουμε την επιλογή 3 NORMAL PROBABILITY PLOT (διάγραμμα κανονικής πιθανότητας). Με την κατασκευή ενός τέτοιου γραφήματος, μπορούμε να εξετάσουμε αν ένα σύνολο παρατηρήσεων είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι προέρχεται από μια κανονική κατανομή. Το διάγραμμα που δίνει το πακέτο έχει στον οριζόντιο άξονα τις τιμές των παρατηρήσεων και στον κατακόρυφο άξονα την αθροιστική συνάρτηση κατανομής (cumulative distributio fuctio) της κανονικής κατανομής παρουσιασμένη σε κλίμακα έτσι ώστε το γράφημα (η συνάρτηση) που προκύπτει από έναν κανονικό πληθυσμό να είναι ευθεία γραμμή. Για ευκολία του χρήστη, κατασκευάζεται και η ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων ώστε να είναι δυνατόν να ελεγχθεί η υπόθεση της κανονικότητας. Αν πράγματι οι παρατηρήσεις του δείγματος προέρχονται από ένα κανονικό πληθυσμό, το γράφημα θα πρέπει να τις εμφανίζει πολύ κοντά στην ευθεία γραμμή. Παράδειγμα: Ο ιδιοκτήτης ενός ορυχείου ενδιαφέρεται να αξιολογήσει μια νέα μέθοδο παραγωγής συνθετικών διαμαντιών. Η μελέτη του κόστους που συνεπάγεται η διαδικασία κατασκευής, έχει καταλήξει στο συμπέρασμα ότι για να είναι επικερδής η νέα αυτή μέθοδος θα πρέπει το μέσο βάρος των συνθετικών διαμαντιών να είναι περισσότερο από 0.5 καράτια. Προκειμένου να αξιολογηθεί η διαδικασία κατασκευής επιλέγεται δείγμα από 6 συνθετικά διαμάντια που έχουν κατασκευασθεί με τη νέα μέθοδο κατασκευής. Το βάρος τους βρίσκεται ότι είναι: 0.46, 0.61, 0.52, 0.48, 0.57, 0.54 καράτια αντίστοιχα. Για να κατασκευασθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης ή να γίνει ένας έλεγχος υπόθεσης για το μέσο βάρος των συνθετικών διαμαντιών, 317

18 θα πρέπει να ελεγχθεί η υπόθεση της κανονικότητας για το βάρος των τεχνητών διαμαντιών. Λύση: Ας εξετάσουμε με την προηγηθείσα μέθοδο, την υπόθεση της κανονικότητας στο πρόβλημα της κατασκευής τεχνητών διαμαντιών. Εχοντας ονομάσει την μεταβλητή που περιέχει τα βάρη των τεχνητών διαμαντιών του δείγματος με τον όρο diamomds (διαμάντια), θα πάρουμε από το Statgraphics την γραφική παράσταση που ακολουθεί. Η επικεφαλίδα του διαγράμματος (NORMAL PROBABILITY PLOT) δείχνει τη διαδικασία του πακέτου που επιλέξαμε. Στο κάτω μέρος του σχήματος, είναι το όνομα της μεταβλητής (DIAMONDS) που αναφέρεται στις τιμές του δείγματος και οι οποίες εμφανίζονται στον οριζόντιο άξονα. Στο πλάι είναι, σε κλίμακα, οι τιμές της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής που αντιστοιχούν στο δείγμα αυτό (CUMULATIVE PERCENT). Όπως παρατηρούμε από το σχήμα, τα σημεία βρίσκονται πολύ κοντά σε μια ευθεία γραμμή (την ευθεία παλινδρόμησης ελαχίστων τετραγώνων) και επομένως δεν έχουμε λόγους να απορρίψουμε την υπόθεση ότι οι παρατηρήσεις του δείγματος προέρχονται από κανονικό πληθυσμό. c u m u l a t I v e p e r c e t Normal Probability Plot diamods 318

19 Λύση με το πακέτο SPSS Η κατασκευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο SPSS ως εξής: Εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. VAR00001 Από την επιλογή Graphs επιλέγουμε P-P. Στο παράθυρο που εμφανίζεται, επιλέγουμε τη μεταβλητή μας (VAR00001) και την τοποθετούμε στο πεδίο variables. Στο πεδίο Test distributio επιλέγουμε Normal Στο πεδίο Distributio Parameters επιλέγουμε το Estimate from data εφόσον οι παράμετροι της υπό εξέταση κατανομής είναι άγνωστοι και στην συνέχεια ΟΚ. Στο διάγραμμα που προκύπτει στον οριζόντιο άξονα έχουμε τις παρατηρούμενες αθροιστικές πιθανότητες (Observed cum Prob) και στον κάθετο άξονα έχουμε τις αναμενόμενες αθροιστικές πιθανότητες (Expected cum Prob). Επειδή τα σημεία στο διάγραμμα βρίσκονται πολύ κοντά στην ευθεία γραμμή θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις ακολουθούν την υπόθεση της κανονικότητας. Λύση με το πακέτο Miitab Η κατασκευή του διαγράμματος ελέγχου της κανονικότητας στο πρόβλημα μπορεί να γίνει από το πακέτο Miitab ως εξής: Στο παράθυρο Data εισάγουμε τα δεδομένα σε κάποια μεταβλητή π.χ. C1. Επιλέγουμε Graph και στη συνέχεια Normal Plot. 319

20 Στο παράθυρο που ανοίγει επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχουμε περάσει τα δεδομένα π.χ. C1 και την τοποθετούμε στο πεδίο Variables. Επιλέγουμε ένα από τα δύο Test for Normality (Aderso-Darlig ή Rya-Joier) και ΟΚ. Normal Probability Plot Probability Average: Std Dev: N of data: C Aderso-Darlig Normality Test A-Squared: p-value: Στο διάγραμμα που προκύπτει στον οριζόντιο άξονα έχουμε τις παρατηρήσεις και στον κάθετο άξονα τις αντίστοιχες πιθανότητες. Στην κάτω αριστερή γωνία έχουμε το δειγματικό μέσο (Average), την τυπική απόκλιση (Std Dev) και τον αριθμό των δεδομένων (N of data). Στην κάτω δεξιά γωνία έχουμε την τιμή του στατιστικού (A- Squared) και το αντίστοιχο p-value που είναι συνεπώς δεχόμαστε την υπόθεση της κανονικότητας. Σημείωση: Είναι προφανές ότι η μέθοδος που παρουσιάσαμε προηγουμένως για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού είναι περιγραφική. Δεν δίνει δηλαδή κάποιο στατιστικό κανόνα που να απορρίπτει ή όχι τη μηδενική υπόθεση. Υπάρχουν τέτοιοι στατιστικοί έλεγχοι οι οποίοι, όπως ήδη είπαμε, ξεφεύγουν από τους σκοπούς της παρουσίασης αυτής. Υπάρχουν όμως και ενδιάμεσες μέθοδοι μεταξύ δηλαδή της καθαρά περιγραφικής του στατιστικού πακέτου και των θεωρητικών ελέγχων που δίνουν, κατά προσέγγιση, έναν έλεγχο για την 320

21 κανονικότητα του υπό μελέτη πληθυσμού. Ενας τέτοιος έλεγχος είναι το τεστ του Lilliefors. Έλεγχος του Lilliefors για Κανονικότητα Ο έλεγχος του Lilliefors βασίζεται σε διαγράμματα της αθροιστικής σχετικής συχνότητας των παρατηρήσεων (cumulative relative frequecy). Για την εφαρμογή της μεθόδου, χρειάζεται η εμπειρική συνάρτηση κατανομής (empirical distributio fuctio). Η εμπειρική συνάρτηση κατανομής βασίζεται στις παρατηρήσεις του δείγματος και επομένως κάθε εμπειρική συνάρτηση κατανομής εμφανίζει δειγματική διακύμανση. Έτσι, για κάποια δείγματα το γράφημα της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής είναι ενδεχόμενο να βρίσκεται πάνω από τη συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού, ενώ για άλλα δείγματα η εμπειρική συνάρτηση κατανομής είναι ενδεχόμενο να δείχνει αντίθετη τάση. Η πιθανότητα ότι το γράφημα μιας εμπειρικής κατανομής θα αποκλίνει πολύ από την αθροιστική συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού είναι βέβαια πολύ μικρή. Εξάλλου, όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνεται, η εμπειρική συνάρτηση κατανομής θα πλησιάζει περισσότερο την αθροιστική συνάρτηση κατανομής του πληθυσμού. Σ' αυτήν ακριβώς την αρχή στηρίζεται και ο έλεγχος κανονικότητας του Lilliefors. Ο έλεγχος αυτός χρησιμοποιεί γραφικό χαρτί που είναι διαθέσιμο στην αγορά, παρόμοιο με αυτό που φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. 95% όρια κατά Lilliefors για κανονικά δείγματα Αθροιστική σχετική συχνότητα Τυποποιημένη δειγματική τιμή 321

22 Ο έλεγχος του Lilliefors συγκρίνει την εμπειρική συνάρτηση κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος με την συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κανονικής. Όπως είναι γνωστο από τη θεωρία, αλλά και όπως προκύπτει από το διάγραμμα του Lilliefors, για ένα δείγμα μεγέθους 100 η εμπειρική συνάρτηση κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος θα βρίσκεται με βεβαιότητα μέσα στα όρια γύρω από την τυποποιημένη κανονική κατανομή για περίπου 95% όλων των δειγμάτων. Αντίθετα, αν το δείγμα προέρχεται από έναν πληθυσμό που δεν ακολουθεί την κανονική κατανομή δεν υπάρχει κανένας λόγος για τον οποίο η εμπειρική συνάρτηση κατανομής θα πρέπει να περιορίζεται μέσα σ' αυτά τα όρια. Η μέθοδος αυτή είναι μια απλή προσεγγιστική μέθοδος χωρίς την χρήση υπολογιστή για τον έλεγχο της κανονικότητας ενός πληθυσμού. Όπως προκύπτει από το σχήμα, για άλλα μεγέθη δειγμάτων υπάρχουν άλλες καμπύλες που προσδιορίζουν τα όρια της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής των τυποποιημένων τιμών του δείγματος που θα επιτρέπουν αποδοχή της υπόθεσης της κανονικότητας. Η μέθοδος ελέγχου κανονικότητας του Lilliefors ακολουθεί τα εξής βήματα: 1. Καθορισμός του δειγματικού μέσου x και της δειγματικής τυπικής απόκλισης s * (δηλαδή της τιμής της αμερόληπτης εκτιμήτριας του σ). 2. Τυποποίηση καθεμιάς από τις παρατηρήσεις x i ως z i = (x i - x)/s *. 3. Κατασκευή της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής των σημείων αυτών (δηλαδή, τοποθέτηση των τυποποιημένων τιμών z i του δείγματος στο διάγραμμα του Lilliefors). 4. Η καμπύλη στο μέσο του διαγράμματος του Lilliefors αντιπροσωπεύει μια τυπική κανονική κατανομή. Οι πλησιέστερες καμπύλες προς αυτήν από τις δύο πλευρές της αντιπροσωπεύουν τα όρια του ελέγχου Lilliefors για ένα δείγμα μεγέθους 100 από μια κανονική κατανομή. Αυτό σημαίνει ότι αν η γραφική παράσταση της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής (που κατασκευάζεται με τον τρόπο που αναπτύξαμε) για ένα δείγμα μεγέθους 100 φεύγει έξω από τα όρια αυτά (είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω), θα πρέπει 322

23 να θεωρήσουμε ότι το δείγμα προέρχεται από πληθυσμό ο οποίος δεν είναι κανονικός. Για δείγματα μεγέθους = 5, 10, 15, 20, 30 και 50 χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχες καμπύλες που εμφανίζονται στο σχήμα. Όλοι αυτοί οι έλεγχοι αναφέρονται σε επίπεδο σημαντικότητας α = Για δείγματα μεγαλύτερα από 100 που δεν καλύπτονται από το διάγραμμα του Lilliefors, η υπόθεση της κανονικότητας ελέγχεται με τον εξής τρόπο: μετράμε τη μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής και της μεσαίας έντονης καμπύλης στο διάγραμμα του Lilliefors. (Η μέτρηση γίνεται στην κατακόρυφη διεύθυνση). Αν η απόσταση αυτή είναι μεγαλύτερη από /, όπου είναι το μέγεθος του δείγματος, θεωρούμε ότι ο πληθυσμός από τον οποίο προέρχεται το δείγμα δεν είναι κανονικός. (Δηλαδή απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση κανονικότητας του πληθυσμού). Σημείωση: Ο έλεγχος του Lilliefors για την κανονικότητα, αποτελεί μία παραλλαγή ενός κανονικού ελέγχου καλής προσαρμογής αυτού που ονομάζεται Kolmogorov - Smirov Έλεγχος Καλής Προσαρμογής. Για περισσότερες λεπτομέρειες για τους ελέγχους αυτούς, όπως επίσης και για τον έλεγχο Χ 2 καλής προσαρμογής, ο αναγνώστης παραπέμπεται σε σχετικό εγχειρίδιο Περιγραφικής Στατιστικής. (Βλέπε π.χ. Ε. Ξεκαλάκη: Μη Παραμετρική Στατιστική). 323

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F

Άσκηση 10, σελ. 119. Για τη μεταβλητή x (άτυπος όγκος) έχουμε: x censored_x 1 F 3 F 3 F 4 F 10 F 13 F 13 F 16 F 16 F 24 F 26 F 27 F 28 F Άσκηση 0, σελ. 9 από το βιβλίο «Μοντέλα Αξιοπιστίας και Επιβίωσης» της Χ. Καρώνη (i) Αρχικά, εισάγουμε τα δεδομένα στο minitab δημιουργώντας δύο μεταβλητές: τη x για τον άτυπο όγκο και την y για τον τυπικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική στατιστική

Περιγραφική στατιστική Περιγραφική στατιστική Ιστογράμματα Mέτρα θέσης και διασποράς Κατανομές δεδομένων Γεωργία Σαλαντή Επικ. Καθηγήτρια Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Στατιστική 1. Εκτιμήσεις Μεγέθη και διαστήματα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι

= p 20 1 p 18. 1 p Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η παραπάνω μερική παράγωγος είναι Άσκηση 1 i) Σε κάθε παρατήρηση περιλαμβάνεται ένας έλεγχος (ο τελευταίος) κατά τον οποίο εμφανίστηκε το πρώτο ελαττωματικό της παραγωγικής διαδικασίας. Επομένως, ο αριθμός ελέγχων που έγιναν πριν εμφανιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance)

Χαρακτηριστικά της ανάλυσης διασποράς. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (One-way analysis of variance) ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (Oe-way aalysis of variace) Να γίνει µια εισαγωγή στη µεθοδολογία της ανάλυσης > δειγµάτων Να εφαρµοσθεί και να κατανοηθεί η ανάλυση διασποράς µε ένα παράγοντα. Να κατανοηθεί η χρήση των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας

ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΛΕΓΚΑΚΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Φυσικός, PH.D. Σχολής Επιστηµών Υγείας Επικοινωνία: Πτέρυγα 4, Τοµέας Κοινωνικής Ιατρικής Εργαστήριο Βιοστατιστικής Τηλ. 4613 e-mail: biostats@med.uoc.gr thalegak@med.uoc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική

Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ Εξερευνώντας τα δεδομένα μας-περιγραφική Στατιστική Το πρώτο βήμα στην ανάλυση ενός συνόλου δεδομένων, που αποτελούν μετρήσεις ενός δείγματος είναι η παρουσίαση και σύνοψη των πληροφοριών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση!

Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! Μην ξεχάσετε να προσθέσετε μόνοι σας τα Session του Minitab! Δηλαδή την ημερομηνία και ώρα που κάνατε κάθε άσκηση! ΘΕΜΑ ο [Μονάδες 20] Ερώτημα i (4 μονάδες). Για να κάνουμε τους υπολογισμούς που χρειάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 2003-2004 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Εαρινό εξάµηνο ακαδηµαϊκού έτους 34 ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 5 Μαΐου 4 Εργασία 4 - Ενδεικτική λύση Το κείµενο απευθύνεται στους φοιτητές και αιτιολογεί και περιγράφει

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα

Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Ερμηνεία αποτελεσμάτων Ανάλυση διακύμανσης κατά ένα παράγοντα Αρχείο δεδομένων school.sav Στον πίνακα Descriptives, μας δίνονται για την Επίδοση ως προς τις πέντε διαφορετικές μεθόδους διδασκαλίας, το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙO 5 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΥΟ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάσαμε διάφορες μορφές ελέγχου της υπόθεσης ότι ένα δείγμα παρατηρήσεων προέρχεται από κάποια συγκεκριμένη κατανομή. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ SPSS Το SPSS είναι ένα στατιστικό πρόγραμμα γενικής στατιστικής ανάλυσης αρκετά εύκολο στη λειτουργία του. Για να πραγματοποιηθεί ανάλυση χρονοσειρών με τη βοήθεια του SPSS θα πρέπει απαραίτητα

Διαβάστε περισσότερα

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p

η πιθανότητα επιτυχίας. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι ίση με: ( ) 32 = p 18 1 p ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΜΦΕ 14-15 i. Έστω yi ο αριθμός των προσπαθειών κάθε μαθητή μέχρι να πετύχει τρίποντο. Ο αριθμός των προσπαθειών πριν ο μαθητής να πετύχει τρίποντο θα είναι xi = yi - 1, i = 1,,18. 2 2 3 2 1

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ.

Αν οι προϋποθέσεις αυτές δεν ισχύουν, τότε ανατρέχουµε σε µη παραµετρικό τεστ. ΣΤ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ (ANALYSIS OF VARIANCE - ANOVA) ΣΤ 1. Ανάλυση ιασποράς κατά µία κατεύθυνση. Όπως έχουµε δει στη παράγραφο Β 2, όταν θέλουµε να ελέγξουµε, αν η µέση τιµή µιας ποσοτικής µεταβλητής διαφέρει

Διαβάστε περισσότερα

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Α/Α ΗΛΙΚΙΑ ΦΥΛΟ ΕΠΙΔΟΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Στον πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι επιδόσεις 30 ατόμων σε ένα ψυχομετρικό test, που προσήλθαν ως υποψήφιοι για πρόσληψη σε τραπεζικό οργανισμό. Οι επιδόσεις αυτές συνοδεύονται και από το φύλο κάθε ατόμου,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Περιεχόμενα 1. ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή

Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων. Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Σαλαντή Γεωργία Εργαστήριο Υγιεινής και Επιδημιολογίας Ιατρική Σχολή Τι θέλουμε να συγκρίνουμε; Δύο δείγματα Μέση αρτηριακή πίεση σε δύο ομάδες Πιθανότητα θανάτου με δύο διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL. , και οι γραμμές συμβολίζονται με 1,2,3, Μπορούμε να αρχίσουμε εισάγοντας ορισμένα στοιχεία ως εξής. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ EXCEL Το πακέτο Excel είναι ένα πρόγραμμα φύλλου εργασίας (spreadsheet) με το οποίο μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς και διαγράμματα που είναι χρήσιμοι στα οικονομικά. Στο Excel το φύλλο εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ PASW 18 Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος 2011 2012 ΕΠΙΧ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις»

έρευνας και στατιστική» παραμετρικές συγκρίσεις» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ «Μεθοδολογία έρευνας και στατιστική» Μάθημα μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών Διάλεξη: «Μη παραμετρικές συγκρίσεις» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 7: Παρουσίαση δεδομένων-περιγραφική στατιστική Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ

ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ Να δοθούν οι βασικές αρχές των µη παραµετρικών ελέγχων (non-parametric tests). Να παρουσιασθούν και να αναλυθούν οι γνωστότεροι µη παραµετρικοί έλεγχοι Να αναπτυχθεί η µεθοδολογία των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 24 Η ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Η ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ BAYES ΩΣ ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΠΕΫΖΙΑΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο βιβλίο αυτό, αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα