Προσομοίωση Μικροκυματικού Πηνίου με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου

Transcript

1 Προσομοίωση Μικροκυματικού Πηνίου με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου Γεώργιος Δ. Μπουζιανάς Υποψήφιος Διδάκτορας Tμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνική Σχολή Αριστοτέλειου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη ΤΚ Τηλ: , Κύρια Περιοχή Έρευνας: Ηλεκτρομαγνητισμός, Κεραίες & Μικροκύματα Λέξεις κλειδιά: Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου (FDTD), Μικροκυματικά Πηνία, Φαινόμενα Γειτνίασης, Επιδερμικό Φαινόμενο

2 Προσομοίωση Μικροκυματικού Πηνίου με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου Γεώργιος Δ. Μπουζιανάς Tμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνική Σχολή Αριστοτέλειου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκης Τηλ: , Περίληψη Στην παρούσα εργασία γίνεται μια σύντομη αναφορά σε μια από τις κυριότερες μεθόδους υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (Finite Difference Time Domain FDTD). Στη συνέχεια παρουσιάζεται η εφαρμογή της FDTD σε πρόβλημα προσομοίωσης microstrip και μικροκυματικού πηνίου. Παρουσιάζεται η διαδικασία ανάπτυξης του απαιτούμενου εργαλείου προσομοίωσης, τα προβλήματα που αντιμετωπίστηκαν αλλά και τα σημαντικότερα αποτελέσματα. Λέξεις κλειδιά: Μέθοδος Πεπερασμένων Διαφορών στο Πεδίο του Χρόνου (FDTD), Μικροκυματικά Πηνία, Φαινόμενα Γειτνίασης, Επιδερμικό Φαινόμενο 1. Εισαγωγή Τις τελευταίες δύο δεκαετίες η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου (finitedifference time-domain method: FDTD) αποτελεί μία από τις πλέον δημοφιλείς αριθμητικές τεχνικές στο χώρο του υπολογιστικού ηλεκτρομαγνητισμού. Η μέθοδος FDTD προτάθηκε αρχικά από τον Yee το 1966 [1]. Έκτοτε έχει υποστεί πολλές αλλαγές και βελτιώσεις. Αρχικά χρησιμοποιήθηκε για την επίλυση του προβλήματος της ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης, ενώ στη συνέχεια βρήκε εφαρμογή σε όλους σχεδόν τους τομείς του ηλεκτρομαγνητισμού, ιδιαίτερα σε συχνότητες από τη μικροκυματική μέχρι την οπτική περιοχή. Τα πλεονεκτήματα που συνέτειναν στην ανάπτυξή της αυτή είναι η αλγοριθμική απλότητα, η μαθηματική ευρωστία, οι σχετικά περιορισμένες υπολογιστικές απαιτήσεις και το γεγονός ότι δεν απαιτεί την επίλυση συστήματος εξισώσεων. Τα βασικά στοιχεία της μεθόδου είναι τα ακόλουθα: Η λύση των προβλημάτων του πεδίου προκύπτει από τη διακριτοποίηση των εξισώσεων του Maxwell. Έτσι υπολογίζεται ταυτόχρονα η ηλεκτρική και η μαγνητική πεδιακή ένταση στο χώρο και στο χρόνο. Σύμφωνα με τον αλγόριθμο του Yee κάθε συνιστώσα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου περιβάλλεται σε κάθε σημείο από τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου και το αντίστροφο. Δημιουργείται έτσι το κελί του Yee. Με αυτόν τον τρόπο ικανοποιούνται ταυτόχρονα η διαφορική και η ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων του Maxwell. Οι συνιστώσες των διανυσμάτων της έντασης του ηλεκτρικού, E, και του μαγνητικού, H, πεδίου τοποθετούνται στο χρόνο σύμφωνα με την τεχνική leapfrog. Σε κάθε χρονικό βήμα υπολογίζονται εναλλάξ οι συνιστώσες των δύο αυτών πεδίων. Τα χρονικά βήματα ισαπέχουν μεταξύ τους. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι εισαγωγής της διέγερσης. Υπάρχει η άμεσα επιβαλλόμενη πηγή (hard source) στην οποία η διέγερση δίνεται με τη μορφή αναλυτικής συνάρτησης που πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες συνιστώσες του πεδίου σε έναν αριθμό σημείων στο πλέγμα. Ένας δεύτερος τρόπος εισαγωγής της διέγερσης, ο οποίος δε χρησιμοποιείται συχνά, είναι εκείνος στον οποίο προκαθορίζονται οι αρχικές τιμές κάθε συνιστώσας του πεδίου σε κάθε σημείο του χώρου. Ο τρίτος και πλέον χρησιμοποιούμενος τρόπος βασίζεται στο διαχωρισμό του πλέγματος σε ολικό και σκεδαζόμενο πεδίο (total field scattered field formulation). Στη διαχωριστική περιοχή εφαρμόζεται μία συνθήκη η οποία εισάγει τη διέγερση ως επίπεδο κύμα αυθαίρετης κατεύθυνσης το οποίο συνυπάρχει με το σκεδαζόμενο πεδίο στην περιοχή του ολικού πεδίου. Η διαχωριστική συνθήκη διαχωρίζει τη διέγερση από το σκεδαζόμενο πεδίο οπότε στην περιοχή του τελευταίου υπάρχει μόνο σκεδαζόμενο κύμα. Η μέθοδος FDTD συμπληρώνεται από ένα αριθμό αλγορίθμων οι οποίοι είναι απαραίτητοι για την προσομοίωση προβλημάτων που δεν περιβάλλονται από τέλεια αγώγιμες επιφάνειες. Οι αλγόριθμοι αυτοί αφορούν στην απορρόφηση του πεδίου από τις οριακές επιφάνειες (absorbing boundary conditions: ABCs). Η γνωστότερη απορροφητική συνθήκη είναι το τέλεια προσαρμοσμένο στρώμα (perfectly matched layer: PML) [10]. Λιγότερο συχνά πλέον χρησιμοποιούνται οι απορροφητικές συνθήκες Mur [11], Trefethen-Halpern [12], Higdon [13] και Liao [14].

3 Διακριτοποιώντας τις εξισώσεις του Maxwell, εισάγοντάς τες σε ένα χώρο όπου διακριτοποιείται με βάση το κελί του Yee και εφαρμόζοντας την τεχνική leapfrog για τη χρονική διαδοχή των μεταβλητών, καταλήγουμε σε εξισώσεις τις μορφής: kt 1 n1 2 k n Ex E,, x i j k k kt 1 2 k n1/ 2 n1/2 (1) t Hz H i, j1/2, k z i, j1/2, k k y n 1/ 2 n 1/ 2 kt 1 Hy H k1/2 y k1/2 2 k x όπου κάθε σημείο του χώρου περιγράφεται από τις μεταβλητές i,j,k και ο χρόνος από τη μεταβλητή n. Για τις υπόλοιπες συνιστώσες του πεδίου ισχύουν αντίστοιχες εξισώσεις. 2. Περιγραφή του προβλήματος Τα τελευταία χρόνια γίνεται προσπάθεια μοντελοποίησης ολοκληρωμένων κυκλωμάτων σε μικροκυματικές συχνότητες. Η προσομοίωση αυτών των διατάξεων είναι απαραίτητη διότι η επίλυσή τους με αναλυτικές μεθόδους είναι πολύ δύσκολη και πολλές φορές αδύνατη. Χρειάζεται να γίνει διότι με την αύξηση της συχνότητας κάνουν αισθητή την παρουσία τους κυματικά φαινόμενα όπως δινορεύματα, φαινόμενα γειτνίασης των αγωγών, επιδερμικό φαινόμενο [5]-[9]. Προκειμένου να προσομοιωθεί ένα μικροκυματικό πηνίο, αρχικά επιχειρήθηκε η προσομοίωση μιας πιο απλής διάταξης ώστε να αναπτυχθεί το εργαλείο προσομοίωσης αρχικά και να γίνει επαλήθευση των αποτελεσμάτων. Έτσι η διάταξη που επιχειρήθηκε να προσομοιωθεί σε πρώτη φάση είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 1. Σχήμα 1: Διάταξη που προσομοιώθηκε Αποτελείται από 3 στρώματα υλικών. Το πρώτο στρώμα επίπεδο είναι πυρίτιο σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς 11,7, αγωγιμότητας S/m και πάχους 500μm. To δεύτερο υλικό είναι διοξείδιο του πυριτίου SiO 2 σχετικής διηλεκτρικής σταθεράς 4,5 και ύψους 2 μm και το τρίτο υλικό είναι αέρας. Πάνω στο 2 ο στρώμα τοποθετείται μία μεταλλική πλάκα σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου πλάτους 1μm, ύψους 1μm και μεταβλητού μήκους. Επιλέχθηκε χαλκός αγωγιμότητας 5,96x10 7. Η συγκεκριμένη διάταξη επιλέχθηκε διότι είναι γνωστά τα θεωρητικά αποτελέσματα των μεγεθών που θέλουμε να υπολογίσουμε. Από το [5] λήφθηκαν οι τιμές των κατανεμημένων R, L, G, C και οι οποίες εισήχθησαν στον υπολογιστή. Στη συνέχεια με τους τύπους ([2],[3]) R jl Z0 G jc (2) R jlg jc (3) A cosh( l) (4) B Z sinh( 0 (5) C Y sinh( 0 (6) D cosh( l) (7) D Y11 B (8) BC AD Y12 B (9) 1 Y21 B (10) A Y22 B (11) των γραμμών μεταφοράς υπολογίστηκαν οι αναμενόμενες (θεωρητικές) τιμές των αγωγιμοτήτων εισόδου και μεταφοράς για διάφορες τιμές μήκους μετάλλου l. Το εύρος συχνοτήτων στο οποίο έγιναν οι προσομοιώσεις είναι 0-10GHz καθώς σε αυτές τις συχνότητες υπάρχουν τα θεωρητικά αποτελέσματα. Για αυτές τις συχνότητες, το ελάχιστο μήκος κύματος στον αέρα είναι 0,03m. Για μήκος μετάλλου 100μm το μήκος κύματος είναι 300 φορές μεγαλύτερο από τη μέγιστη διάσταση της διάταξης ενώ για 10μm είναι 3000 φορές μεγαλύτερο αντίστοιχα. Επομένως το μέγεθος του κελιού που θα χρησιμοποιηθεί εξαρτάται αρχικά μόνο από τη γεωμετρία της διάταξης και όχι από τη συχνότητα. Ένας άλλος παράγοντας που επηρεάζει το μέγεθος του χρησιμοποιούμενου κελιού είναι το βάθος διείσδυσης. Για συχνότητες μέχρι 10GHz το βάθος διείσδυσης είναι 2 δηλ. στο χαλκό είναι περίπου 0,65μm. Αυτό σημαίνει ότι το μέγεθος του χρησιμοποιούμενου κελιού πρέπει να έχει διαστάσεις μικρότερες από 0,65μm. Έτσι

4 χρησιμοποιήθηκαν κελιά μεγέθους 0,2x0,2x0,2μm και 0,5x0,5x0,5μm. Ως διέγερση χρησιμοποιήθηκε απλός γκαουσιανός παλμός f t tt A e με t0 3 και 11 8, , ώστε να έχει εύρος ζώνης 10 GHz. Οι προσομοιώσεις έτρεξαν για χρονικό διάστημα περίπου 6,9τ/Δt ώστε να μπορεί να υπολογιστεί αξιόπιστα ο FFT της απόκρισης. Το μέγεθος του χρονικού βήματος καθορίζεται από τη συνθήκη του Courant και είναι 1 t. Αν χρησιμοποιηθεί κελί c x y z 16 0,5x0,5x0,5μm το t 9, Για χρόνο 6,9τ/Δt χρειάζονται χρονικά βήματα. Ο αριθμός αυτός είναι τεράστιος και οδηγεί σε απαγορευτικούς χρόνους εκτέλεσης των προσομοιώσεων. Η κατάσταση επιτείνεται αν χρησιμοποιηθεί κελί 0,2x0,2x0,2μm όπου τότε το 16 t 3,85 10 και χρειάζονται χρονικά βήματα. Το πρόβλημα αυτό ξεπεράστηκε μειώνοντας την ταχύτητα του φωτός. Έτσι μειώνοντας την ταχύτητα του φωτός 10 φορές π.χ. ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος μειώνεται 10 φορές. Η μείωση αυτή μπορεί να γίνει διότι το μήκος κύματος είναι πολύ μεγαλύτερο από τη μέγιστη διάσταση της διάταξης. Έτσι ακόμη κι αν μειωθεί η ταχύτητα του φωτός δεν εμφανίζονται κυματικά φαινόμενα. Γενικά μπορούμε να μειώσουμε την ταχύτητα του φωτός Μ φορές έτσι ώστε c0 M 10 fmax D όπου D η μέγιστη διάσταση της max max διάταξης και c 0 η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Το πάχος του υποστρώματος κανονικά είναι 500 μm. Αυτό θα οδηγούσε σε μέγεθος προσομοιωμένου χώρου 1000 κελιών μόνο για το υπόστρωμα και για κελί 0,5μm. Το μέγεθος αυτό είναι απαγορευτικό για έναν κοινό υπολογιστή. Έτσι το υπόστρωμα τερματίστηκε με απορροφητική συνθήκη. Επομένως το πεδίο στο υπόστρωμα βλέπει το άπειρο. Θεωρητικά για συχνότητες που το βάθος διείσδυσης είναι μικρότερο από 500μm τα αποτελέσματα θα έπρεπε να είναι ακριβή και θα εξαρτιόταν μόνο από την ακρίβεια της απορροφητικής συνθήκης. Δηλαδή για τη συγκεκριμένη διάταξη για συχνότητες μεγαλύτερες από 17KHz τα αποτελέσματα θα εξαρτώνται θεωρητικά μόνο από την ακρίβεια της απορροφητικής συνθήκης. Η καλύτερη απορροφητική συνθήκη είναι το PML. Η εφαρμογή του όμως αποκλείστηκε διότι απαιτεί τεράστιο υπολογιστικό χώρο (θα έπρεπε να έχει αριθμό κελιών τέτοιο που το πάχος του να ισούται με λ max /2). Έγινε προσπάθεια να χρησιμοποιηθεί PML 16 κελιών και τελικά όντως συμπεριφέρθηκε σαν PEC. Έγινε επίσης προσπάθεια να χρησιμοποιηθεί η απορροφητική συνθήκη του Liao η οποία επίσης απέτυχε. Τελικά εφαρμόστηκε Mur πρώτης τάξης. Η Mur που χρησιμοποιήθηκε αρχικά στην πορεία διορθώθηκε. Έτσι οι προσομοιώσεις που έχουν τη διορθωμένη Mur έχουν την παράμετρο diorth mur. Για τον τερματισμό του υποστρώματος χρησιμοποιήθηκε μόνο Mur πρώτης τάξης ενώ για τον τερματισμό των υπόλοιπων επιφανειών έγιναν προσομοιώσεις τόσο με Mur όσο και με PEC (παράμετρος pec + mur). Εξάλλου δεν περιμένουμε η διάταξη να ακτινοβολεί καθώς η συχνότητες είναι πάρα πολύ μικρές για τις συγκεκριμένες διαστάσεις. 3. Εισαγωγή της διέγερσης. Για την εισαγωγή της διέγερσης τοποθετήθηκε μία επιφάνεια PEC στην αρχή και στο τέλος της διάταξης, τόσο στο μέταλλο όσο και στο υπόστρωμα, ώστε να εισάγεται το πεδίο πιο ομαλά στη διάταξη. Επίσης το μέταλλο και το υπόστρωμα ενώθηκαν με γραμμές PEC ώστε να κλείνει κύκλωμα (σχήμα 2) 4. Αποτελέσματα Σχήμα 2: Εισαγωγή της διέγερσης Πραγματοποιήθηκε μεγάλος αριθμός προσομοιώσεων ώστε να δούμε την επίδραση όλων των παραμέτρων. Έγιναν προσομοιώσεις τόσο για την παραπάνω περιγραφόμενη γεωμετρία όσο και για άλλες. Αρχικά μελετήθηκε η επίδραση της μείωσης της ταχύτητας του φωτός σε διάταξη όπου το υπόστρωμα έχει αγωγιμότητα 6700 S/m και υπάρχει ένα ακόμη στρώμα αγωγιμότητας 8,3 S/m πάχους 4,2μm (epi) ακριβώς πάνω από το πυρίτιο. Επίσης το SiO 2 έχει πάχος 4 μm και χρησιμοποιήθηκε αλουμίνιο. Γενικά η διάταξη αυτή καθ εαυτή δεν έχει τόση σημασία καθώς μεταβάλλεται μόνο το Μ. Βλέπουμε ότι η διαφορά για Μ=10 είναι της τάξης

5 του 37% από αυτή για Μ=1 ενώ για Μ=5 είναι 20%. Η διαφορά αυτή όμως γενικά εξαρτάται και από το μέγεθος της διάταξης. Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος τόσο μεγαλύτερη και η διαφορά. Στο σχήμα 3 βλέπουμε το μέτρο της αγωγιμότητας εισόδου για διάφορες τιμές του Μ. Η αγωγιμότητα εισόδου υπολογίζεται απ τον τύπο Y I (12) V1 V2 0 Παρατηρήθηκε επίσης ότι καθοριστικό ρόλο στα αποτελέσματα παίζει η απόσταση της διάταξης από την απορροφητική συνθήκη. Έτσι όσο αυξάνεται η απόσταση από την απορροφητική συνθήκη, τα αποτελέσματα βελτιώνονται. Από μια απόσταση όμως και πάνω τα αποτελέσματα μένουν ίδια. Αυτό υποδεικνύει ότι αν και η διάταξη δεν ακτινοβολεί σχεδόν καθόλου, εντούτοις υπάρχουν πεδία που διαχέονται στο γύρω χώρο και παίζουν καθοριστικό ρόλο στο αποτέλεσμα. Συμπεραίνουμε επίσης ότι η απορροφητική συνθήκη Mur δε λειτουργεί ικανοποιητικά για τις δεδομένες συνθήκες του προβλήματος. Γι αυτό και τα πιο ικανοποιητικά αποτελέσματα λήφθηκαν τερματίζοντας το χώρο με PEC γύρω γύρω αλλά με Mur το υπόστρωμα από κάτω. Έτσι για μεταλλική πλάκα μήκους 10 μm, τερματίζοντας το χώρο γύρω γύρω με Mur και για διάφορες τιμές των παραμέτρων λάβαμε τα ακόλουθα αποτελέσματα Σχήμα 3: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορα Μ. Μία άλλη παράμετρος που επηρεάζει τα αποτελέσματα είναι το μέγεθος του υποστρώματος. Για υπόστρωμα αγωγιμότητας 6700 S/m παρατηρήθηκε ότι για πάχος μεγαλύτερο των 40 μm τα αποτελέσματα ουσιαστικά δεν αλλάζουν. Στο σχήμα 4 βλέπουμε τη μεταβολή του πλάτους της αγωγιμότητας εισόδου (σε db) για διάφορα πάχη υποστρώματος. Τα διαγράμματα έχουν την ακόλουθη μορφή διότι έγιναν προσομοιώσεις για μικρό χρονικό διάστημα. Σχήμα 5: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορες παραμέτρους τερματίζοντας το χώρο μόνο με Mur. ενώ αν τερματίσουμε το χώρο με PEC γύρω γύρω και με Mur από κάτω τότε: Σχήμα 4: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορα πάχη υποστρώματος (μέγεθος κελιού 0,2x0,2x0,2μm) Σχήμα 6: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορες παραμέτρους τερματίζοντας το χώρομε Mur και PEC.

6 Για διάταξη μήκους 100 μm τερματίζοντας το χώρο γύρω γύρω με Mur και για διάφορες τιμές των παραμέτρων τα ακόλουθα. (α) Σχήμα 7: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορες παραμέτρους τερματίζοντας το χώρο μόνο με Mur. ενώ αν τερματίσουμε το χώρο με PEC γύρω γύρω και με Mur από κάτω τότε: (β) Σχήμα 8: Πλάτος αγωγιμότητας εισόδου για διάφορες παραμέτρους τερματίζοντας το χώρο με Mur και PEC. Im 1/ Y Im1/ Y11 R Re 1/ Y Ο συντελεστής ποιότητας Q 11 s, η επαγωγή Re 1/ Y11 Ls s 11 για τα 2 f καλύτερα από τα αποτελέσματα είναι για 10μm: (γ) Σχήμα 9: (α) Συντελεστής ποιότητας, (β) Επαγωγή L s, (γ) Αντίσταση R s για μήκος 10μm.

7 για 100μm: al=150, aw=105, height1=100, height4=50, μέγεθος κελιού 0,2x0,2x,0,2μm. (α) Τέλος έγινε προσομοίωση ενός πηνίου μικρού μεγέθους του παρακάτω σχήματος (β) (γ) Σχήμα 10: (α) Συντελεστής ποιότητας, (β) Επαγωγή L s, (γ) Αντίσταση R s για μήκος 100μm. Παρακάτω παρουσιάζεται η απεικόνιση του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου για μήκος διάταξης 10μm, Μ=100, Σχήμα 11: Διάταξη που προσομοιώθηκε διατομή και κάτοψη

8 Μία ενδεικτική απεικόνιση του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 5. Συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία επιχειρήθηκε η μοντελοποίηση μικροκυματικών πηνίων. Αρχικά επιχειρήθηκε η επίλυση ενός πιο απλού προβλήματος και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων. Η ασυμφωνία ανάμεσα στα θεωρητικά αποτελέσματα και τα αποτελέσματα των προσομοιώσεων εκτιμάται ότι οφείλεται σε αδυναμία των αναλυτικών μεθόδων να επιλύσουν διατάξεις τόσο μικρού μεγέθους επειδή αυτές οι μέθοδοι συνήθως αμελούν φαινόμενα άκρων αλλά και στο ότι δεν είναι εφικτή καλύτερη διακριτοποίηση της προσομοιούμενης διάταξης. Τέλος έγινε προσομοίωση ενός απλού πηνίου. 6. Αναφορές [1] Allen Taflove, Computational Electromagnetics The Finite-Difference Time-Domain Method, Artech House, 1995 [2] Εμμανουήλ Ε. Κριεζής, Θεωρία Μικροκυμάτων, Θεσσαλονίκη, Τμήμα Εκδόσεων Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο, [3] Τραϊανός Β. Γιούλτσης, Συστήματα Κυματοδηγήσεως, Θεσσαλονίκη, Τμήμα Εκδόσεων Πανεπιστημιακό Τυπογραφείο, [4] Alkis A. Hatzopoulos, Dominique Schreurs, George Gielen, Alexios D. Spyronasios, Integrated inductor quality factor enhancement considerations, DCIS 07, 2007 [5] J. Zheng, Y.-C. Hahm, A. Weisshaar, and V. K. Tripathi, CAD-Oriented Equivalent Circuit Modeling of On-Chip Interconnects for RF Integrated Circuits in CMOS Technology, Microwave Symposium Digest, 1999 IEEE MTT-S International, pp: 35-38, vol.1 [6] J. Zheng, Y.-C. Hahm, A. Weisshaar, and V. K. Tripathi, Equivalent circuit modeling of single and coupled on-chip interconnects on lossy silicon substrate, Electrical Performance of Electronic Packaging, 1999, pp: [7] Talwalkar, N.A. Yue, C.P. Wong, S.S., Analysis and synthesis of on-chip spiral inductors, Electron Devices, IEEE Transactions on, Volume: 52, Issue: 2, pp: , 2005 [8] Yu Cao Groves, R.A. Xuejue Huang Zamdmer, N.D. Plouchart, J.-O. Wachnik, R.A. Tsu-Jae King Chenming Hu, Frequency-independent equivalentcircuit model for on-chip spiral inductors, Solid- State Circuits, IEEE Journal of, Volume: 38, Issue: 3, pp: , 2003 [9] Min Park, Seonghearn Lee, Cheon Soo Kim, Hyun Kyu Yu, Kee Soo Nam, The detailed analysis of high Q CMOS-compatible microwave spiral inductors in silicon technology, Electron Devices, IEEE Transactions on, Volume: 45, Issue: 9, pp: , 1998 [10] Berenger, J. P., A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J. Computational Physics, vol. 114, 1994, pp: [11] Mur, G., Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations, IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, Vol. 23, 1981, pp [12] Trefethen, L. N. and L. Halpern, Well-posedness of one-way wave equations and absorbing boundary conditions, Mathematics of Computation, Vol. 47, 1986, pp [13] Higdon, R. L., Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation, Mathematics of Computation, vol. 47, 1986, pp [14] Liao, Z. P., H. L. Wong, and Y. F. Yuan, A transmitting boundary for transient wave analyses, Scientia Sinica (series A), vol. XXVII, 1984, pp