d i ( t ) d u C ( t ) u ( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t ); u L ( t ) = L ; i ( t ) = C (3.58)
|
|
- Θεοφιλά Καλύβας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3.7 Serijski spoj aktivnog otpora - otpornosti R, električne zavojnice - induktivnosti L i električnog kondenzatora - kapacitivnosti C, u električnom krugu sa naponskim izvorom prostoperiodičnog napona Ponašanje serijskog spoja realna zavojnica induktivnosti L i realnog kondenzatora električne kapacitivnosti C, kada se isti nađe u električnom krugu sa naponskim izvorom prostoperiodičnog napona u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), može se dovoljno dobro predstaviti na osnovu razmatranja serijskog spoja, idealiziranog, linearnog, vremenski nepromjenljivog, aktivnog otpora R, ( LVNR ), idealizirane, linearne, vremenski nepromjenljive, električne zavojnice, induktivnosti L, (LVNL) i idealiziranog, linearnog, vremenski nepromjenljivog, električnog kondenzatora, kapacitivnosti C, (LVNC), podvrgnutog djelovanju idealnog naponskog izvora, sa sinusoidalnim naponom u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Na slici 3.21, šematski je prikazan električni krug, u kojem je upravo potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i (LVNC) kondenzatora, izložen djelovanju idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), koji očigledno ima ulogu generatora. Označimo li sa i ( t ) električnu struju, koja se upostavlja u električnom krugu sa slike 3.21, a sa u R ( t ), u L ( t ) i u C ( t ), padove napona, koji nastaje na (LVNR) aktivnom otporniku, (LVNL) zavojnici, odnosno na ( LVNC) kondenzatoru, respektivno, i to upravo zbog prolaska te iste struje, i ( t ), kroz upravo pobrojane električne elemente, tada se uz pomoć jednačina dinamičke ravnoteže, koje važe u svakom trenutku t, za predočenu električnu šemu ( one proizilaze iz II Kirchhoffovog zakona), može pisati da je: d i ( t ) d u C ( t ) u ( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t ); u L ( t ) = L ; i ( t ) = C (3.58) d t d t Slika 3.21 Električni krug, u kojem se potrošač, iskazan kao serijski spoj ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, izlaže djelovanju idealnog naponskog izvora sinusoidalnog napona: u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). 1
2 Na osnovu relacija, predočenih sa (3.58), potom se može formirati i jednačina (3.59): d i ( t ) 1 u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ) = R i ( t ) + L + d t C i ( t ) dt + A (3.59) u kojoj je sa A označena konstanta, do na čiju vrijednost je određena familija primitivnih funkcija, koja se dobija u okviru određivanju pada napona u C ( t ), posredstvom relacije: i ( t ) = C (d u C ( t ) / d t ). Na osnovu diferenciranja integralno-diferencijalne jednačine (3.59), lako se formira i relacija (3.60): d i ( t ) d 2 i ( t ) U m w C cos ( wt + θ u ) = R C + LC + i ( t ) (3.60) d t d t 2 koja, u skladu sa matematičkom Teorijom diferencijalnih jednačina, pripada klasi linearnih, nehomogenih, diferencijalnih jednačina II reda, sa konstantnim koeficijentima. Uz uvažavanje, prethodno definisanih početnih uslova: i ( 0 ) = 0 i u C ( 0 ) = 0, nakon provođenja odgovarajućeg postupka njenog rješavanja, može se pokazati da je rješenje jednačine (3.60), upravo ona električna struja, i ( t ), koja ima slijedeći oblik vlastite promjene unutar vremenskog domena: i ( t ) = I m sin (wt + θ u φ) ((e - ( R / 2 L ) t ) / (sinα )) ((C/L) 1/2 U Cm (cos (θ u φ))sinw s t I m (sin(θ u φ))(sin (w s t α)) (3.61) Nije teško primjetiti da se takva električna struja i ( t ), praktično sastoji od dvije komponente, odnosno da je osnovano pisati: i ( t ) = i S ( t ) + i P ( t ). Pri tome je komponenta i S ( t ) = I m sin (wt + θ u φ), ona električna struja, koja se javlja i održava tokom ustaljenog - dakle stacionarnog, režima rada analiziranog kruga, dok se komponenta i P ( t ); i P (t)=((e - ( R / 2 L ) t )/(sinα )) ((C/L) 1/2 U Cm (cos(θ u φ))sinw s t I m (sin(θ u φ))(sin(w s t α)) pojavljuje samo u trenucima uspostavljanja analizirane električne struje i ( t ), te traje kraće, ili duže vrijeme. S obzirom, da struja i P ( t ), obavezno, nakon nekog vremena, iščezava, ona se u elektrotehnici označava kao struja prelaznog režima, u radu analiziranog kruga. Simboli, upotrebljeni u prethodnim relacijama poglavlja 3.7, imaju slijedeća značenja : I m = ( U m / Z ); Z = ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2) ; φ = arctg (( wl-1/(wc ))/R ) sinα = w s (LC) 1/2 ; w s = ( 1/(LC)- (R/(2L)) 2 ) 1/2 ; U Cm = I m /( wc) Saglasno spomenutoj Teoriji diferencijalnih jednačina, proizilazi da električna struja i ( t ) predstavlja ono partikularno rješenje diferencijalne jednačine (3.60), koje se dobije iz 2
3 opšteg rješenja iste te diferencijalne jednačine, kada se uvažavaju navedeni početni uslovi: i ( 0 ) = 0 i u C ( 0 ) = 0 ( treba također znati da je opšte rješenje bilo koje nehomogene diferencijalne jednačine, jednako zbiru opšteg rješenja, utvrđenog za homogeni dio, te analizirane jednačine ( u predmetnom slučaju to je komponenta: i P ( t )) i bilo kojeg partikularnog rješenja cijelokupne, dakle nehomogene diferencijalne jednačine ( u predmetnom slučaju to je komponenta i S ( t ))). Pri određivanju početnih uslova za tražene promjenljive veličine, tokom rješavanja diferencijalnih jednačina, generalno treba uvažavati slijedeće relacije: i ( t ) = i P ( t ) + i S ( t ); u C ( t ) = u CP ( t ) + u CS ( t ) (3.62) Veličine U co i I o, koje za slobodni režim predstavljaju nezavisne početne uslove, imaju u predmetnom postupku, ulogu početnih uslova slobodnog režima, pri čemu njihovi iznosi, zavise od stvarnih nezavisnih početnih uslova, u svakom konkretnom slučaju. Oni se određuju tako, da budu zadovoljeni nezavisni, početni uslovi analiziranog konkretnog slučaja, ali i odnosi iskazani relacijom (3.62), i to u trenutku t = 0 +: U co = u CP ( 0 +) = u C ( 0 ) - u CS ( 0 + ); I o = i P ( 0 +) = i P ( 0 ) - i S ( 0 + ) (3.63) Prema posljednjoj relaciji, ukoliko je: i ( 0 ) = 0, zbog i S ( 0 ) = I m sin ( θ u φ), struja I o mora imati vrijednost : I o = I m sin ( θ u φ). Koristeći se odnosima iskazanim relacijom (3.58), uz pomoć relacije (3.61), moguće je doći i do izraza, koji opisuju vremenski tok promjena napona u C ( t ), u električnom krugu sa slike (3.21). u C ( t ) = U Cm cos(wt + θ u φ)+((e - ( R / 2 L ) t ) / (sinα )) (U Cm (cos (θ u φ))sin(w s t +α ) I m (sin (θ u φ)) (L/C) 1/2 (sin(w s )) (3.64) Nakon uvažavanja početnog uslova u C ( 0 ) = 0, ali i podatka da je prema (3.64) u CS ( 0 + ) = U Cm cos ( θ u φ), potom se dobija da je napon U co jednak: U co = u CP ( 0 +) = u C ( 0 ) - u CS ( 0 + ) = U Cm cos ( θ u φ) Simbolom, Z = ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2), označena je ukupna električna otpornost analiziranog serijskog R-L-C električnog kruga, kojoj se vrlo često, pridružuje i znatno kraći naziv impendansa serijskog R-L-C električnog kruga. Ugao φ, φ = arctg (( wl-(1/wc ))/R ), iskazuje fazni pomjeraj struje i ( t ), u odnosu na električni napon u ( t ) i zajedno sa uglom θ u, značajno utiče na tok uspostavljanja električne struje i ( t ) u električnom krugu, čija je šema prikazana na slici Tokom analize uticaja faznog stava električne struje i ( t ), dakle ugla Ө = ( θ u φ), na tok uspostavljanja te iste električne struje i ( t ) i električnog napona u C ( t ), potrebno je posebnu pažnju obratiti na slijedeće slučajeve: 3
4 1. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θ u φ), jednak nuli, ili je pak taj ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = π, tada je vremenska promjena električne struje i ( t ) i električnog napona u C ( t ),. analitički opisana slijedećim izrazima: i ( t ) = ± I m sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα )) ( C/L) 1/2 U Cm (sin(w s t )) = = ± I m sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα ) 2 ) ( w S / w ) I m (sin (w s t )) u C ( t ) = - ( ± U Cm cos ( wt ) ± ((e - ( R / 2 L ) t ) / ( sinα )) ( U Cm sin (w s t +α )) S obzirom da kod nekih energetskih uređaja, važe relacije: sinα 1; ( w s >> w ), kod takvih uređaja, neposredno nakon trenutka njihovog uključivanja na izvor električne energije, amplituda električne struje, koju oni povlače iz izvora, može višestruko premašiti nominalnu vrijednost, amplitude struje stacionarnog stanja ( recimo da pri uključenju asinhronog motora, udarna struja uključenja, može dostići čak i ( 7-8 ) puta veću vrijednost struje, od vrijednosti, nominalne amplitude struje stacionarnog stanja; slično tome pri uključenju neopterećenih energetskih transformatora, udarna struja njihovog uključenja, može dosegnuti čak i vrijednosti, koje su puta veće, od amplitude struje praznog hoda u stacionarnom stanju pogledati sliku 3.22 ). Električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, prema prethodno navedenom izrazu, može doseći i dvostruku vrijednost u odnosu na U Cm. Slika 3.22 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje praznog hoda, i ( t ), energetskog transformatora u uslovima kada je udarna struja uključenja jako izražena. 4
5 2. Ukoliko je ugao Ө, određen relacijom Ө = ( θ u φ), upravo takav, da važi relacija: Ө = ( π / 2 ), ili je pak ugao Ө, takav da vrijedi relacija Ө = - ( π / 2 ), tada je komponenta i P ( t ) ( kojom se opisuje struja prelaznog režima, unutar integralnog izraza za električnu struju i ( t )) ponovo prisutna u izrazu za ukupnu električnu struju, koja se registruje neposredno nakon trenutka pomenutog uključenja na izvor električne energije, pa u nekom trenutku vremena t, koji se desi prije uspostavljanja stacionarnog režima električne struje i ( t ), struja, i ( t ), prema relaciji koja slijedi, može dostići i dvostruku vrijednost amplitude I m. i ( t ) = ± I m sin ( wt + π / 2) ± ( I m ) (( e - ( R / L ) t ) (sin (w s t α))/( sinα )) U ovakvim okolnostima, električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, u C ( t ), mijenja se tokom vremena, u skladu sa funkcionalnom vezom koja slijedi: u C ( t ) = ± U Cm sin ( wt ) ( ± (e - ( R / 2 L ) t ) ( w S / w ) U Cm (sin (w s t ) ) Zbog već ranije uočenog odnosa ( w s >> w ), električni napon na ( LVNC) kondenzatoru, u C ( t ), u ovakvim uslovima, može i značajnije premašiti amplitudnu vrijednost U Cm. 3. U posebnom slučaju, kada je R male vrijednosti, dakle kada R 0, tada važe i relacije: ( w s ) >> (R/(2L)) i ( w s w ), pa se struja i ( t ), pojavljuje u obliku: i ( t ) = I m sin ( wt + θ u φ ) I m (( e - ( R / L ) t ) (sin (wt + θ u φ)) koji je grafički interpretiran na slici Uspostavljanje električne struje i ( t ), sada se očigledno, odvija vrlo lagano, sa postepenim porastom amplitude, koja će tek nakon okončanja prelaznog procesa doseći nominalnu vrijednost I m = ( (U m ) / ( R 2 + ( w L- 1/ (wc) 2 ) (1/2) ) Slika 3.23 Grafički prikaz uspostavljanja stacionarnog režima električne struje, i ( t ), u uslovima kada R 0 i kada važe još i relacije: ( w s ) >> (R/(2L)), ( w s w ) 5
6 Trenutna električna snaga p ( t ), koju angažuje potrošač, iskazan kao serijski spoj (LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, kada je izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), određuje se pomoću relacije (3.65) p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = (u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t )) i ( t ), (3.65) Kao što je već i ranije naglašavano, električnu snagu p ( t ), uobičajno je analizirati tek u uslovima, kada se prethodno uspostavila stacionarna vrijednost struje i ( t ). U skladu sa ovim ograničenjima i uz uvažavanje ranije utvrđenih relacija: da je napon u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), a električna struja i ( t ) = ( U m /( Z )) sin ( wt + θ u φ), moguće je uspostaviti novu relaciju za trenutnu vrijednost električne snage, p ( t ), u obliku (3.66): p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = U m I m ( sin ( wt + θ u )) (sin ( wt + θ u φ) ) = 1 = ( U m ) 2 ( cos φ - cos (2 ( wt + θ u ) φ )) (3.66) 2 ( Z ) Trenutni oblik električne snage, angažovane od strane serijskog spoja (LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, kada je isti izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), prema relaciji (3.66), pokazuje, da ta snaga ima dvije komponente: jednu koja nije funkcija vremena i drugu koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ). Srednja vrijednost trenutne električne snage p ( t ), određena je relacijom (3.67) T P sr = (1/ T ) 0 p ( t ) dt = ( U m ) 2 ( 1 / (2 Z) ) ( cos φ ) (3.67) i određuje onaj dio električne snage, angažovane pomoću potrošača, iskazanog serijskim spojem ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), koji se nepovratno transformiše u toplotu, po osnovu Jouleovih gubitaka na aktivnom otporu R. Takva snaga, naziva se i aktivnom električnom snagom i formalno označava simbolom P. Ukoliko se umjesto maksimalnih vrijednosti napona U m i električne struje I m = ( U m / Z ), uvedu efektivne vrijednosti istog napona ( U ) i iste struje ( I ), ( U m = ( 2 ) 1/ 2 U ), tada se aktivna električna snaga P, može izraziti i u obliku: T P sr = (1/ T ) 0 p ( t ) dt = P = ( U I ) ( cos φ ) (3.68) Druga komponenta trenutne vrijednosti električne snage izražene sa relacijom (3.66), koja je harmonijska funkcija vremena i to dvostruko veće frekvencije nego napon 6
7 naponskog izvora, ili pak uspostavljena struja i ( t ), može se očigledno, razviti na dvije subkomponente : - subkomponentu (- UI ( cos φ ) cos (2 ( wt + θ u ) )) - subkomponentu (- UI ( sin φ ) sin (2 ( wt + θ u ) )) Prva subkomponenta (- UI ( cos φ ) cos (2 ( wt + θ u ) )) predstavlja onaj dio trenutne snage, p ( t ), koji oscilira oko stalne vrijednosti ( U I ) ( cos φ ), odnosno oko aktivne snage P. Druga subkomponenta (- UI ( sin φ ) sin (2 ( wt + θ u ) )), je onaj dio trenutne snage, p ( t ), čija je amplituda određena relacijom (- UI ( sin φ ) i primarno označava snagu koja oscilira između naponskog izvora i reaktivnog električnog otpora ( wl-(1/wc )), koji je sastavni dio ukupne impendanse Z, analiziranog serijskog R, L, C spoja. S obzirom da se ova električna snaga ne može konvertovati u koristan rad, nego služi samo za izgradnju, ili razgradnju, bilo magnetnog polja zavojnice, bilo električnog polja uptrebljenog kondenzatora, ona očigledno ima prirodu reaktivne snage. Takva električna snaga, formalno se označava simbolom Q = ( - UI ( sin φ )). Obično se uvažava slijedeća konvencija: ukoliko je analizirani spoj potrošača, pretežno induktivan, odnosno vrijedi relacija ( wl-1/(wc )) > 0, tada je predmetna reaktivna snaga Q < 0. Ukoliko je međutim, analizirani spoj potrošača pretežno kapacitivan, dakle ako vrijedi relacija: ( wl-1/(wc )) < 0, predmetna reaktivna snaga Q > 0. Reaktivna snaga Q i aktivna snaga P, zajedno po osnovu relacije (3.69), određuju prividnu snagu S, na koju mora biti dimenzioniran upotrebljeni naponski izvor: S = ( P 2 + Q 2 ) (1/ 2) (3.69) U okviru prenosa električne energije na daljinu, nastoji se preko upotrbljenog dalekovodnog prenosnog sistema, prenositi što manji iznos reaktivne snage Q. U okviru oblasti Racionalno korištenje električne energije, pokazuje se da generisanje reaktivne snage direktno na mjestu njene potrošnje, ima punu tehnoekonomsku opravdanost ( kako je većina industrijskih potrošača, pojednostavljeno gledano, dominantno, definisana kao električni krugovi R-L tipa, to je neposredno uz njih, evidentno potrebno, instalirati baterije električnih kondenzatora, da bi se povećao faktor snage ( cos φ ) novoformiranog sistema ( baterija kondenzatora + električni krug R-L tipa) koji je spojen na napojnu električnu mrežu; u tehničkoj literaturi, ovakav pristup, označava se obično kao kompenzacija reaktivne snage, ili pak popravka faktora snage, ( cos φ )) Trenutna vrijednost električne energije, angažovane tokom vremenskog intervala ( 0, t ), i u slučaju potrošača, iskazanog serijskim spojem ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ), određena je relacijom (3.70), t W = 0 p ( t ) dt (3.70) 7
8 3.8 Predstavljanje prostoperiodičnih signala pomoću fazora Ponašanje karakterističnih veličina ( električnih napona i električnih struja ) u linearnim električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, u uslovima uspostavljenog stacionarnog stanja njihovih promjena, opisuje se putem linearnih algebarskih jednačina, čija su rješenja po pravilu konstantne veličine. Sa takvim veličinama, tada očigledno nije teško provesti sve potrebne elementarne algebarske operacije, bilo da one proizilaze iz primjene Kirchhoffovih zakona, ili su pak nametnute, upotrebom drugih metoda za rješavanje linearnih električnih krugova. Međutim i u takvim električnim krugovima, ukoliko se pristupi analizi prelaznih stanja, odnosno utvrđivanju zakonitosti po kojima se uspostavljaju, ili pak iščezavaju pripadne im električne struje i naponi, odgovarajući analitički opis takvih procesa se mora oslanjati i na diferencijalne jednačine, što odmah navodi na zaključak, da onda ni sam proces iznalaženja analitičkih izraza, koji određuju karakteristične veličine, nije više tako jednostavan, kao u uslovima stacionarnog stanja. Kod razmatranja električnih krugova, unutar kojih se uspostavljaju prostoperiodične struje i naponi, na poteškoće se nailazi već i u uslovima sagledavanja stacionarnih stanja. Naime bez obzira na neophodni uslov, da svi upotrebljeni izvori prostoperiodičnih struja i napona unutar jednog električnog kruga, moraju imati istu frekvenciju ostvarivanja vlastitih promjena, zbog inherentno otvorene mogućnosti da amplitude struja i napona, kao i njihovi pripadajući fazni stavovi, mogu imati međusobno različite vrijednosti, dosta posla zadaje već i elementarni zahtjev, da se nađe recimo rezultantna vrijednost prostoperiodične struje, koju formiraju dvije, ili tri struje grana, što su vezane u zajedničko čvorište ( navedeni primjer generiše primjena I Kirchhoffovog zakona ). Ovakav problem, značajno se može reducirati, ukoliko se tražena algebarska operacija, umjesto u vremenskom domenu ( dakle direktno sabiranje sinusoidalnih veličina i ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ) ) obavi uz pomoć fazorskih dijagrama. Prikazivanje prostoperiodičnih veličina posredstvom fazorskih dijagrama, bazira se na uvođenju fazora-veličine koja proizilazi iz uslovno govoreći jednog vještački uvedenog pojma, koji ima uistinu i dosta sličnosti sa obrtnim vektorom, ali ipak i neke vrlo bitne, čak suštinske rezlike, u odnosu na te iste obrtne vektore ( fazori se naime mogu, ne samo sabirati, oduzimati i množiti ( mada je množenje fazora, bitno drugačije od množenja vektora ), nego čak i dijeliti). Ipak unošenje i ovakvog formalizovanog fazorskog pojma, a s njim i otvaranje prostora za jednostavno provođenje mogućih raspoloživih računskih operacija sa njima, u mnogim osnovnim analizama električnih krugova prostoperiodičnih struja i napona, omogućava kao što to pokazuje praksa, da se vrlo brzo dođe do osnovnih traženih informacija. Fazor, kao i svaki obrtni vektor svojom dužinom izražava veličinu vlastitog intenziteta, dok se položajem nosača fazora, u odnosu na pozitivan smjer apscisne ose, određuje pravac i smjer njegovog djelovanja. Činjenica da je fazor kao veličina formalno potpuno određen sa samo dva parametra ( dužinom fazora i položajem nosača fazora u odnosu na pozitivan smjer apscisne ose), uz naprijed izrečenu konstataciju da i prostoperiodične veličine ( električne napone i električne struje) u linearnom električnom krugu, definisane frekvencije, potpuno 8
9 određuju samo njihova amplituda i početna faza, omogućava uspostavljanje vrlo jednostavne korespondencije, između prostoperiodične forme prikazivanja struja i napona i njoj ekvivalentnog fazorskog predstavljanja istih veličina. Na slici 3.24, dat je grafički prikaz predstavljanja električne struje i ( t ), u fazorskoj formi slika lijevo i u klasičnom vremenskom prostoperiodičnom prikazu slika desno. Slika 3.24 Grafički prikaz predočavanja električne struje i ( t ) u fazorskoj formi lijevo i u klasičnom vremenskom prostoperiodičnom prikazu desno. Sa naznačenog fazorskog prikaza, trenutna vrijednost neke prostoperiodične struje i ( t ), i ( t ) = I 1m sin ( wt + Ө 1 ), u proizvoljnom trenutku t i, određuje se tako da se nosač fazora iz svog osnovnog položaja, kada isti leži na apscisnoj osi, u njenom pozitivnom smjeru, zarotira, oko koordinatnog početka, suprotno smjeru kazaljke na satu, za ugao ( wt i + Ө 1 ). U novouspostavljenom položaju fazora, njegova projekcija na ordinatnu osu, određuje vrijednost električne struje, i ( t ), u trenutku t i, odnosno i ( t i ) = I 1m sin ( wt i + Ө 1 ). Na slici 3.25, dat je i jedan primjer, kako se, uz pomoć fazorskog računa, može znatno jednostavnije ostvariti sabiranje prostoperiodičnih veličina i ( t ) = i 1 ( t ) + i 2 ( t ) i ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ) Slika 3.25 Uz pomoć fazorskog računa, može se znatno jednostavnije ostvariti sabiranje prostoperiodičnih veličina, dakle provesti računanje rezultantne struje i ( t ) = i 1 ( t ) + + i 2 ( t ) = I 1m sin (wt +φ 1 ) + I 2m sin (wt +φ 2 ), nego što je to moguće putem analitičkog računanja i određivanja ekvivalentne sinusoide 9
10 Ukoliko se sa i ( t ), označi tražena rezultantna struja, zbog okvirno poznate relacije za tu struju : i ( t ) = I m sin ( wt + Ө ), nepoznate vrijednosti parametara rezultantne struje I m i Ө, se određuju direktno sa fazorskog dijagrama, pomoću relacija: I m sin ( Ө ) = I m1 sin ( φ 1 ) + I m2 sin ( φ 2 ), I m cos ( Ө ) = I m1 cos ( φ 1 ) + I m2 cos ( φ 2 ), Sada se može mnogo brže doći i do analitičkih izraza za određivanje parametara I m i Ө : Nego što je to slučaj kada se koristi postupak određivanja ekvivalentne sinusoide. I m = ( ( I m1 ) 2 + ( I m2 ) I m1 I m2 cos ( φ 2 φ 1 ) (3.71) I m1 sin ( φ 1 ) + I m2 sin ( φ 2 ) Ө = arctg (3.72) I m1 cos ( φ 1 ) + I m2 cos ( φ 2 ) Na slici 3.26 dat je fazorski dijagram serijskog spoja ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Zbog jednostavnijeg crtanja fazorskog dijagrama, uvedena je i dodatna pretpostavka, da je početna faza φ, uspostavljene struje i ( t ) = I m sin ( wt + φ ), jednaka nuli, dakle važi relacija φ = 0. Slika3.26 Fazorski dijagram serijskog spoja ( LVNR ) aktivnog otpornika, (LVNL) zavojnice i ( LVNC) kondenzatora, u uslovima kada je takav električni spoj izložen djelovanju idealnog naponskog izvora, sinusoidalnog napona, u ( t ) = U m sin ( wt + θ u ). Fazori se simbolički označavaju tako da im se iskaže amplituda i pripadajući im argument. Tako recimo za električni napon u ( t ) = 310 sin ( wt + (π/4)), fazorsko predstavljanje istog napona bi izgledalo u obliku Ū = 310 /(π/4) 10
11 3.9 Simbolički pristup u rješavanju linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima Tokom prethodnih razmatranja je zaključeno, da analiza linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima, kada se provodi u vremenskom domenu najčešće zahtjeva i rješavanje diferencijalnih jednačina, koje se pojavljuju kao jednačine dinamičke ravnoteže, za takve krugove. Pojednostavljenja, koja nudi fazorski račun dobrodošla su ipak samo za jednostavnije električne krugove. U traženju pristupa, koji bi problem iznalaženja karakterističnih veličina stacionarnog stanja linearnih električnih krugova sa prostoperiodičnim strujama i naponima, učinio jednostavnijim i lakšim ( postupci rješavanja linearnih električnih krugova sa stalnim jednosmjernim strujama i naponima, zasnovani na rješavanju linearnih algebarskih jednačina sa realnim koeficijentima i vlastitim rješenjima, u formi realnih brojeva bili su vodilja u predmetnom traženju prikladnijeg pristupa), zadovoljavjuće rezultate je ponudio takozvani simbolički pristup. Simbolički pristup se bazira na ideji, da se prostoperiodične veličine, formalno iskažu pomoću kompleksnih brojeva, nakon čega se odmah otvara put da se i integralnodiferencijalne jednačine, pridružene analiziranom linearnom električnom krugu, a proistekle iz jednačina njegove dinamičke ravnoteže, zamjene sa linearnim algebarskim jednačinama sa kompleksnim koeficijentima, čija su i rješenja, u opštem slučaju, također u formi kompleksnih brojeva. Ovakvo simboličko predstavljanje formalno se iskazuje oznakom koja slijedi: dakle Z je impendansa neke grane iskazana u kompleksnom obliku i može se razložiti na vlastite komponente, putem nekoliko pristupa. Tako ukoliko se koristi algebarski oblik kompleksnog broja za impendansu Z, tada je Z = Re { Z } + j Im { Z }, pri čemu komponenta Re { Z }određuje aktivnu otpornost u predmetnoj impendansi, dok komponenta Im { Z }određuje reaktivnu otpornost u toj istoj impendansi. Pri upotrebi trigonometrijskog oblika predstavljanja kompleksnog broja, za istu impendansu, važi relacija: Z = Z ( cosφ + j sinφ ). Ipak najčešće se u tehničkoj praksi u okviru predstavljanja, bilo impendanse Z, bilo električne struje, ili pak električnog napona, koristi eksponencijalni oblik za izražavanje kompleksnog broja, baziran na Ojlerovom obrascu ( cosφ + j sinφ ).= e j φ. Sve ono što pružaju fazori, može pružiti i amlituda ovakvog simboličkog pristupa, ako mu se tokom njegove primjene, odgovarajuća amplituda iskaže u kompleksnom obliku. I m = I m e j φ (3.73) Množenjem ovakve kompleksne amplitude, sa faktorom e jwt ista se praktično zarotira za ugao wt, u pozitivnom matematičkom smjeru. Kada se odredi relacija za električnu struju u obliku I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), tada se vrlo jednostavno pronalazi tražena struja i ( t ), u vremenskom domenu, koristeći relaciju i ( t ) = Im { I m ( t ) }= Im { I m e j φ e j w t }= I m sin (wt + φ). 11
12 U slučaju kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNR) aktivni otpornik otpornosti R, stvoreni pad napona u R ( t ) na tom otporniku, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: u R ( t ) = R i ( t ) = R I m sin (wt + φ) = U m sin (wt + φ) (3.74) Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištnje relacije I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), odgovarajući kompleksni izraz U mr ( t ), za pad napona na (LVNR) aktivnom otporniku, otpornosti R, određuje u formi: U mr ( t ) = R I m ( t ) = R I m e j w t = U mr e j w t, U mr = R I m = R I m e j φ (3.75) Uz pomoć relacije (3.75), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u R ( t ) na (LVNR) otporniku, otpornosti R, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u R ( t ) = Im { U mr ( t ) }= Im { R I m e j φ e j w t }= U m sin (wt + φ) (3.76) Nije teško primjetiti da se i u okviru simboličkog pristupa, ponovo potencira važna činjenica da, između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNR) otporniku, otpornosti R, u kompleksnom obliku U R ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, nema faznog pomaka, jer je : arg ( U mr ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U mr ) arg ( I m ) = 0 (3.77) U skladu sa posljednjom relacijom slijedi zaključak da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti i korištenjem samo vrijednosti kompleksnih amplituda. Kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNL) zavojnicu, induktivnosti L, stvoreni pad napona u L ( t ) na toj zavojnici, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: d i ( t ) u L ( t ) = L = wl I m sin (wt + φ + (π / 2)) = U ml sin (wt + φ+(π / 2)) (3.78) dt Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištnje relacije I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), odgovarajući kompleksni izraz U ml ( t ), za pad napona na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, određuje u formi: 12
13 d I m ( t ) d ( I m e j φ e j w t ) U ml ( t ) = L = L = j wl ( I m e j φ e j w t ) (3.79) dt dt U ml ( t ) = wl ( I m e j φ e j w t+j (π/2) ) = wl I m e j ( φ + w t+ (π/2)) ) (3.80) Uz pomoć relacije (3.80), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u L ( t ) na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u L ( t ) = Im { U ml ( t ) }= Im { wl I m e j ( φ + w t+ (π/2)) ) }= wl I m sin (wt + φ (π / 2)) = U ml sin (wt + φ +(π / 2)) (3.81) U okviru simboličkog pristupa, ponovo se potencira važna činjenica, da između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNL) zavojnici, induktivnosti L, u kompleksnom obliku U L ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, postoji fazni pomak, i to od (π / 2)), jer je : arg ( U ml ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U ml ) arg ( I m ) = (π / 2) (3.82) Prema posljednjoj relaciji ponovo slijedi zaključak da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti korištenjem samo vrijednosti kompleksnih amplituda upotrebljenih veličina. Veličina određena relacijom wl, ima prirodu električnog otpora i u elektrotehnici se naziva induktivna otpornost. Ova otpornost se formalno označava sa X L. Induktivnoj otpornosti X L, pridružuje se vrijednost impendanse Z L = j X L = j wl. Na osnovu prethodnih relacija može se uočiti da se u okviru simboličkog pristupa, efekat diferenciranja formalno iskazuje množenjem sa operatorom j, odnosno unošenjem dodatnog faznog pomaka od (π / 2). Sa stanovišta simboličkog pristupa, ima smisla pisati da je po Ohmovom zakonu, pri usaglašenim smjerovima električne struje i pada električnog napona na zavojnici, zbog prolaska te struje, u važnosti slijedeći odnos: U ml = Z L I m = j wl I m = j wl I m e j φ = wl I m e j (φ + (π/2)) j (φ + (π/2)) = U ml e Kada prostoperiodična struja i ( t ) = I m sin (wt + φ), prolazi kroz (LVNC) kondenzator, kapacitivnosti C, stvoreni pad napona u C ( t ) na tom kondenzatoru, koji je po smjeru usaglašen sa tom strujom, u vremenskom domenu je definisan relacijom: d u C ( t ) i ( t ) = C ; u C ( t ) = U mc sin (wt + φ (π / 2)) (3.83) dt Ukoliko se pak iskazivanje istih odnosa provede uz pomoć simboličkog pristupa, tada se uz pomoć kompleksnog izraza za struju i ( t ), dakle uz korištenje relacije 13
14 I m ( t ) = ( I m e j φ e j w t ), do odgovarajućeg kompleksnog izraza U mc ( t ), za pad napona na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, dolazi na osnovu relacije: 1 U mc ( t ) = ( I m e j φ e j w t ) dt + A (3.84) C Sa A je označena integraciona konstanta, koja se pojavljuje pri računanju neodređenog integrala, a određuje se u skladu sa zadatim početnim uslovima. Ukoliko kondenzator nije raspolagao nabojem u trenutku t = 0, tada je A = 0. U mc ( t ) = (1 / (jwc)) ( I m e j φ e j w t ) = (1 / (wc)) I m e j ( φ + w t- (π/2)) ) (3.85) Uz pomoć relacije (3.85), sada se lako može rekonstruisati i izraz za pad napona u c ( t ) na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, koji je po smjeru usaglašen sa strujom, i ( t ): u C ( t ) = Im { U mc ( t ) }= Im { ( 1 / (wc)) I m e j ( φ + w t- (π/2)) ) } = ( ( 1 / (wc)) I m sin (wt + φ (π / 2)) = = U mc sin (wt + φ (π / 2)) (3.86) I u ovom slučaju u okviru simboličkog pristupa, ponovo se potencira važna činjenica, da između električne struje u kompleksnom obliku I m ( t ) i pada napona na (LVNC) kondenzatoru, kapacitivnosti C, u kompleksnom obliku U C ( t ), izazvanog upravo prolaskom te struje, postoji fazni pomak, od ( π / 2)) jer je : arg ( U mc ( t ) ) arg ( I m ( t ) ) = arg ( U mc ) arg ( I m ) = ( π / 2) (3.87) Prema posljednjoj relaciji slijedi i novo potvrđivanje već spominjanog zaključka, da se pri simboličkom pristupu, argument dobijen nakon provedenih matematičkih operacija, može odrediti korištenjem samo vrijednosti kompleksnih vrijednosti amplituda upotrebljenih veličina. Veličina određena relacijom 1/(wC), ima također prirodu električnog otpora i u elektrotehnici se naziva kapacitivna otpornost. Ova otpornost se formalno označava sa X C. Kapacitivnoj otpornosti X C, pridružuje se vrijednost impendanse Z C = j X C ; Z C = ( j ) /(wc). Na osnovu prethodnih relacija može se uočiti da se u okviru simboličkog pristupa, efekat integriranja, formalno iskazuje množenjem sa (-j), odnosno unošenjem dodatnog faznog pomaka od (- π / 2). Sa stanovišta simboličkog pristupa ima smisla pisati da je po Ohmovom zakonu, pri usaglašenim smjerovima električne struje i pada električnog napona na kondenzatoru, nastalog zbog prolaska te struje, u važnosti slijedeći odnos: U mc = Z C I m = (-j /(wc)) I m = (-j /(wc)) I m e j φ j (φ - (π/2)) = (1/(wC)) I m e = U mc e j (φ - (π/2)) (3.88) 14
Otpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSnage u kolima naizmjenične struje
Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna
Διαβάστε περισσότεραMAGNETNO SPREGNUTA KOLA
MAGNETNO SPEGNTA KOA Zadatak broj. Parametri mreže predstavljene na slici su otpornost otpornika, induktivitet zavojnica, te koeficijent manetne spree zavojnica k. Ako je na krajeve mreže -' priključen
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραKola u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Kola u ustalenom prostoperiodičnom režimu svi naponi i sve strue u kolu su prostoperiodične (sinusoidalne ili kosinusoidalne funkcie vremena sa istom kružnom učestanošću i u opštem slučau različitim fazama
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.
OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραPozitivna poluperioda Negativna poluperioda. Period. Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i naponi čije se karakteristične veličine periodično mjenjaju po sinusoidalnom zakonu Električni
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTrofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.
Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZnačenje indeksa. Konvencija o predznaku napona
* Opšte stanje napona Tenzor napona Značenje indeksa Normalni napon: indeksi pokazuju površinu na koju djeluje. Tangencijalni napon: prvi indeks pokazuje površinu na koju napon djeluje, a drugi pravac
Διαβάστε περισσότεραSnage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu
Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότεραIz zadatka se uočava da je doslo do tropolnog kratkog spoja na sabirnicama B, pa je zamjenska šema,
. Na slici je jednopolno prikazan trofazni EES sa svim potrebnim parametrima. U režimu rada neposredno prije nastanka KS kroz prekidač protiče struja (168-j140)A u naznačenom smjeru. Fazni stav struje
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραE L E K T R I Č N I K R U G O V I 1
E L E K T R I Č N I K R U G O V I 1 1. Elementarni dinamički električni krugovi Pojam električnog kruga nije moguće uniformno definisati. Stoga se u tehničkoj literaturi, i susreće više različito uobličenih
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραInduktivno spregnuta kola
Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραDio I. Stacionarni induktivitet idealizirane zavojnice: Φ(t)=L i(t), pri čemu je L=const
Električni krugovi I Dio I Elementarni dinamicki krugovi 1. Idealna zavojnica Samoinduktivnost solenoida (zavojnice) Ls, formiranog od N ravnomjerno i gusto rasopređenih zavojaka, postavljenih na paramagnetno
Διαβάστε περισσότεραVremenski promenljive struje
remenski promenljive struje Fazorski dijagram Fazorski dijagram se koristi za prikazivanje relativnog odnosa dva ili više sinusnih talasnih oblika iste frekvencije. Fazor u fiksnoj poziciji se koristi
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα6.3 Joule-ov zakon. A = R I 2 t (6.23)
6.3 Joule-ov zakon Na osnovu iskustvenih saznanja, poznato je da se električni provodnici zagrijavaju, tokom prolaska električne struje kroz njih. Tu pojavu, prvi je analitički uspješno opisao Joule (James
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότερα= 6.25 Ω I B1 = 3U =529 Ω I B2 = 3U = 1905 Ω I B3G = 3U
1. Za EES dat na slici: a) odrediti bazne struje i impedanse elemenata ako je S B = 100 MVA, a naponi jednaki nominalnim vrijednostima napona pojedinih naponskih nivoa, b) Nacrtati ekvivalentne šeme direktnog,
Διαβάστε περισσότεραBRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI. Prof. dr Vladan Radulović
FAKULTET ZA POMORSTVO OSNOVNE STUDIJE BRODOMAŠINSTVA BRODSKI ELEKTRIČNI UREĐAJI Prof. dr Vladan Radulović ELEKTRIČNA ENERGIJA Električni sistem na brodu obuhvata: Proizvodnja Distribucija Potrošnja Sistemi
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRjesenja dodatnog popravnog ispitnog roka iz EK1 odrzanog god. VarijantaA Zadatak broj 2
jesenja dodatnog popravnog ispitnog roka iz EK odrzanog 009008god VarijantaA Zadatak broj električnom krugu prikazanom na slici postignuta je strujna rezonancija Poznati su slijedeći podaci: (A), (A),
Διαβάστε περισσότεραl = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.
. U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.
J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSnaga izmjenične sinusne struje
1 11 1 13 14 15 16 17 18 r t h Snaga izmjenične sinusne struje n e Izmjenična sinusna struja i napon Djelatna snaga Induktivna jalova snaga Kapacitivna jalova snaga Snaga serijskog RLC spoja Snaga paralelnog
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραFAKULTET PROMETNIH ZNANOSTI
SVUČILIŠT U ZAGU FAKULTT POMTNIH ZNANOSTI predmet: Nastavnik: Prof. dr. sc. Zvonko Kavran zvonko.kavran@fpz.hr * Autorizirana predavanja 2016. 1 Pojačala - Pojačavaju ulazni signal - Zahtjev linearnost
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike II parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike II parijalni ispit 1.01.01. VRIJNT Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni oijeniti. Zadatak 1 (Jasno i preizno odgovoriti na
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραNAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ)
NAIZMENIČNE STRUJE POTREBNE FORMULE: Trenutna vrednost ems naizmeničnog izvora: e(t) = E max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmeničnog napona: u(t) = U max sin(ωt + θ) Trenutna vrednost naizmenične struje:
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα6 Električni krugovi stalnih jednosmjernih struja
6 Električni krugovi stalnih jednosmjernih struja U ovom poglavlju će se analizirati električni krugovi stalnih jednosmjernih struja. Pod pojmom električni krug, podrazumjeva se skupina tijela i sredina,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραSnaga naizmenicne i struje
Snaga naizmenicne i struje Zadatak električne mreže u okviru elektroenergetskog sistema (EES) je prenos i distribucija električne energije od izvora do potrošača, uz zadovoljenje kriterijuma koji se tiču
Διαβάστε περισσότεραKapacitivno spregnuti ispravljači
Kapacitivno spregnuti ispravljači Predrag Pejović 4. februar 22 Jednostrani ispravljač Na slici je prikazan jednostrani ispravljač sa kapacitivnom spregom i prostim kapacitivnim filtrom. U analizi ćemo
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα