Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido"

Transcript

1 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se unha función é continua ou descontinua. Achar a taxa de variación media dunha función nun intervalo. Determinar o crecemento ou decrecemento dunha función e achar os seus máximos e mínimos. Investigar o comportamento a longo prazo dunha función. Comprobar a simetría dalgunhas funcións respecto a orixe e ao eixe OY. Recoñecer se unha función é periódica. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 2.Propiedades páx. 8 Continuidade Simetrías Periodicidade Tendencia 3.Monotonía páx. 12 Taxa de variación media Crecemento e decrecemento Máximos e mínimos Exercicios para practicar Para saber máis Resumo Autoavaliación MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 1

2 2 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

3 Antes de empezar Funcións e gráficas A linguaxe das gráficas (x,y) Das distintas formas en que pode presentarse unha función, mediante un enunciado, unha táboa, unha expresión alxébrica ou unha gráfica, esta última é a que nos permite ver dunha soa ollada o seu comportamento global, de aí a súa importancia. Neste tema aprenderás a recoñecer e interpretar as súas características principais. Investiga Imaxina que montas nunha nora cuxo raio mide 30 m e para subir hai que ascender 5 m desde o chan. A nora comeza a xirar, como é a gráfica da función que da a altura á que te atopas segundo o ángulo de xiro?. Ti vas na cabina laranxa e uns amigos na verde, como será a súa gráfica? MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 3

4 1. Funcións Concepto de función Unha función é unha correspondencia entre dous conxuntos numéricos, de tal forma que a cada elemento do conxunto inicial lle corresponde un elemento e só un do conxunto final, a imaxe. Relaciónanse así dúas variables numéricas que adoitan chamarse x e y, f: x y=f(x) x é a variable independente y é a variable dependente O gráfico describe o percorrido da 9ª Etapa da Volta Ciclista 2007, indicando os km totais e a altitude nos puntos principais do traxecto. Á esquerda aparece a gráfica anterior trazada sobre uns eixes cartesianos, para simplificala uníronse os puntos principais mediante segmentos. Trátase dunha función que dá a altitude segundo os km percorridos, observa a táboa de valores. Gráfica dunha función Para ver o comportamento dunha función, f: x y, Usamos a súa representación gráfica sobre os eixes cartesianos, no eixe de abscisas (OX) a variable independente e no de ordenadas (OY) a independente; sendo as coordenadas de cada punto da gráfica: (x, f(x)). Na figura está representada a función: f(x)= 0,5x 2 +3x+3,5 Facendo unha táboa de valores, represéntanse os puntos obtidos, x no eixe de abscisas (OX), f(x) no de ordenadas (OY). Hai uns puntos que teñen especial interese, nos que a gráfica corta aos eixes coordenados. Para calculalos: Corte co eixe OY: Os puntos do eixe de ordenadas teñen abscisa 0, basta facer x=0 na fórmula da función. Cortes co eixe OX: Os puntos do eixe de abscisas teñen y=0. Resólvese a ecuación f(x)=0. 4 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

5 Dominio e percorrido Dada unha función y=f(x) Dom f=[-10, 10] Chámase dominio de f ao conxunto de valores que toma a variable independente, x. Indícase como Dom f. O dominio está formado, polo tanto, polos valores de x para os que existe a función, é dicir, para os que hai un f(x). O percorrido é o conxunto de valores que pode tomar a variable dependente, y, isto é o conxunto das imaxes. Represéntase por Im f. Calcular Dominios Se a expresión analítica da función é un polinomio, o dominio son todos os números reais. f(x)=-x 4 +4x 2 +1 Dom f = IR Im f = (-, 5] Se a expresión analítica da función é un cociente, o dominio son todos os reais excepto os que anulan o denominador. 2 f(x) = x 1 Dom f = IR - {1} Im f = (-, 0) U (0, + ) Se a expresión analítica da función é unha raíz cadrada, o dominio está formado polos números reais para os que o radicando é positivo ou cero. f (x) = x + 3 f(x) Dom f = [-3,+ ) Im f = [0,+ ) 1 = x + 2 Dom f = (-2,+ ) Im f = (0,+ ) MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 5

6 EXERCICIOS resoltos 1. Das seguintes gráficas indica as que correspondan a unha función e as que non. Son gráficas dunha función a), c), e), xa que a cada x do dominio lle corresponde un único valor de y. Non son gráficas dunha función b), d) 2. Fai unha táboa de valores, debuxa os puntos obtidos e representa a función. a) f(x)=2x-3 b) f(x)=-x 2 +4x x f(x) x f(x) c) f(x) = x 4x x f(x) , ,67 4 0,9 Lembra Para facer unha táboa de valores, a partir da expresión dunha función, substitúe na fórmula a x por os valores que desexes, opera e calcula os correspondentes de y=f(x). En xeral procura alternar valores positivos e negativos. Debuxa os puntos, (x,y), obtidos e úneos. 6 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

7 EXERCICIOS resoltos 3. Calcula o dominio das seguintes funcións. a) Dom f = IR {-2, 0, 4} Nestes puntos, non se pode atopar f(x) na gráfica. b) Dom f = IR {-1, 1, 5} Nos puntos indicados, non se pode atopar f(x) na gráfica. c) f(x)= x 3-2x 2 +5x Dom f = IR xa que é un polinomio x d) f(x)= x 2 Dom f = IR {2} Non se pode calcular f(2) porque o denominador se fai 0. e) f(x)= x 5 x-5 0, x 5 Dom f = [5, + ) f) f(x)= 5 x 5-x 0, 5 x Dom f = (-, 5] g) f(x)= h) f(x)= 3 x x x+4>0, x>-4 Dom f = (-4, + ) -4 non é do Dominio porque anula o denominador. 2-x>0, 2>x Dom f = (-, 2) 2 non é do Dominio porque anula o denominador. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 7

8 2. Propiedades das funcións Continuidade A primeira idea de función continua é que pode ser representada dun só trazo, sen levantar o lapis do papel. Cando unha función non é continua nun punto dise que presenta unha descontinuidade. As tres funcións debuxadas debaixo son descontinuas en x=2, pero teñen distintos tipos de descontinuidade. Unha función y=f(x) é continua en x=a se: A función está definida en x=a, existe f(a)=b. As imaxes dos valores próximos a a tenden a b. Salto finito Descontinuidade Salto infinito evitable Hai varias razóns polas que unha función pode non ser continua nun punto: Presenta un salto. A función non está definida nese punto, ou se o está queda separado, hai un "burato" na gráfica. A función non está definida e o seu valor crece (ou decrece) de forma indefinida cando nos acercamos ao punto. Simetrías A gráfica dalgunhas funcións pode presentar algún tipo de simetría que se se estuda previamente, facilita o seu debuxo. Unha función é simétrica respecto ao eixe OY, se f(-x)=f(x). Neste caso a función dise que é PAR. Unha función é simétrica respecto ao orixe de coordenadas cando f(-x)=-f(x). Neste caso a función dise que é IMPAR. Observa os gráficos para recoñecelas. PAR f(-x)=f(x) Cando se dobra a gráfica polo eixe de ordenadas as dúas ramas coinciden. IMPAR f(-x)=-f(x) Cando se dobra a gráfica por ambos eixes as dúas ramas coinciden. 8 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

9 Funcións periódicas Funcións e gráficas Na natureza e no teu contorno habitual hai fenómenos que se repiten a intervalos regulares, como o caso das mareas, os péndulos e resortes, o son... Unha cisterna énchese e baléirase automaticamente expulsando 6 litros de auga cada 5 minutos, seguindo o ritmo da gráfica. Cando o depósito está baleiro comeza o enchido, que leva 1 minuto, permanece cheo 3,5 minutos e baléirase en 0,5 minutos. Este proceso repítese periodicamente. Para coñecer o volume de auga no depósito en cada instante basta con coñecer o que ocorre nestes primeiros 5 minutos. Así aos 14 minutos, a cantidade de auga é: f(14)=f(4+2 5)=f(4)=6 Ao dividir 14:5, cociente=2 resto=5 En xeral, se o período é 5: f(x+5 n)=f(x) As funcións que describen este tipo de fenómenos chámanse periódicas Tendencia dunha función En ocasións a parte que nos interesa dunha función é o seu comportamento a longo prazo, é dicir, os valores que toma a función cando a x se fai cada vez máis grande. Cando ese comportamento é claramente definido dicimos que a función ten unha determinada tendencia. No apartado anterior vimos que algunhas funcións presentan un comportamento periódico: repiten os seus valores a intervalos regulares. Aquí imos ver outros tipos de tendencias. Función con asíntota horizontal Función con tendencia lineal 1. Unha función ten unha asíntota horizontal se a medida que a variable independente vai tomando valores máis e máis grandes, a variable dependente vaise estabilizando entorno a un valor concreto, k. A asíntota é unha liña recta de ecuación y=k. 2. Unha función ten tendencia lineal se a medida que a variable independente vai tomando valores máis e máis grandes a súa gráfica parécese cada vez máis á dunha liña recta, á que chamaremos asíntota oblicua. 3. Unha función ten tendencia cuadrática se a medida que a variable independente vai tomando valores máis e máis grandes, a súa gráfica parécese cada vez máis a unha curva que estudaremos no próximo capítulo que se denomina parábola e cuxa ecuación ven dada por un polinomio de segundo grao. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 9

10 EXERCICIOS resoltos 4. A imaxe adxunta representa o reloxo de auga do Museo dos Nenos en Indianápolis (Estados Unidos). O seu funcionamento é como segue: na columna da dereita hai 60 vasillas que se van enchendo de auga pouco a pouco. Cando se enche a que fai o piso 60 baléirase de golpe toda a columna e énchese unha das bolas da columna da esquerda que ten 12 bolas. Como podes supoñer a columna da esquerda indica as horas e a columna da dereita os minutos. Indica se a función que relaciona a altura da auga na columna da dereita co tempo transcorrido é continua e fai un esbozo da súa gráfica. A lo longo dunha hora a columna da dereita énchese de forma case constante, polo que a súa gráfica é continua e ten o aspecto que se indica ao lado. Se chamamos x ao tempo en minutos e chamamos y ao número de vasillas (o que equivale á altura), a expresión alxébrica desta función é y = x. 5. Indica se a función que relaciona a altura da auga na columna da esquerda co tempo transcorrido é continua e fai un esbozo da súa gráfica. Cando cae a auga da columna dereita énchese unha bola da columna esquerda de forma case instantánea, e durante unha hora a altura da columna esquerda non cambia. Estas variacións súbitas da altura indícannos que a función non é continua. Se chamamos x ás horas transcorridas e y ao número de vasillas cheas da esquerda, a expresión alxébrica desta función é y = ent(x) (A parte enteira de x) 6. Indica se as gráficas que se xuntan son continuas ou descontinuas. A primeira é descontinua porque para debuxala hai que levantar o lapis do papel, en cambio, a segunda é continua. 10 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

11 EXERCICIOS resoltos 7. Xoán ten hoxe unha excursión na escola. Como vive lonxe adoita ir en bicicleta. Nada máis chegar á escola saen todos os alumnos andando cara a estación de trens e alí esperan un rato a que chegue o tren. Soben ao tren e por fin chegan o seu destino. Abaixo podes ver dúas gráficas: unha representa a distancia que vai percorrendo Xoán con respecto ao tempo transcorrido e a outra representa a velocidade á que se despraza, tamén con respecto ao tempo transcorrido. Indica de forma razoada que gráfica corresponde a cada unha das dúas situacións e indica en cada caso se a función representada é continua ou non. A primeira gráfica representa as velocidades: Ao principio vai en bicicleta pero sempre á mesma velocidade (por iso a gráfica é horizontal). En canto chega á escola empeza a andar (segue sendo horizontal, pero está máis baixa, o que significa que andando vai máis lento que en bicicleta). Chega á estación e queda parado un rato (a velocidade é cero). Sobe ao tren (a velocidade é constante pero a gráfica máis alta indica que van moito máis rápido). A gráfica é descontinua e os saltos prodúcense ao cambiar o método de locomoción. A segunda gráfica representa as distancias a súa casa. Ao principio a distancia vai aumentando de maneira constante (viaxe en bici), despois segue aumentando pero a gráfica está menos inclinada (iso significa que a velocidade é menor: vai andando). Durante un rato, a distancia non aumenta (a gráfica é horizontal, está parado). Por último volve aumentar moi rápido (a maior inclinación indica maior velocidade: viaxe en tren). Neste caso non hai saltos na gráfica (polo tanto é continua), pero si hai cambios bruscos de velocidade que quedan reflectidos nos cambios de inclinación da gráfica. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 11

12 3. Monotonía Taxa de variación dunha función A taxa de variación ou incremento dunha función é o aumento ou diminución que experimenta unha función ao pasar a variable independente dun valor a outro. TV[x1,x2]=f(x1)-f(x2) De máis utilidade resulta calcular a chamada taxa de variación media, que nos indica a variación relativa da función respecto á variable independente: TVM x [, x ] 1 2 f(x2) f(x1) = x x 2 1 TV[0,30]=15 TV[17,22]=4,5 A gráfica representa a distancia en km percorrida dun ciclista en función do tempo empregado, en minutos. A TV corresponde á distancia percorrida nun intervalo de tempo. A TVM é a velocidade media nun intervalo de tempo determinado. TVM[15,21]=4/6 TVM[22,30]=1/2 Crecemento e decrecemento Unha característica das funcións que se pode visualizar facilmente nas gráficas é a monotonía. Cando ao aumentar o valor de x aumenta o valor de y=f(x), a gráfica "ascende" e dise que a función é crecente. Se polo contrario ao aumentar x diminúe y, a gráfica "descende", e a función decrece. Precisando un pouco máis: Unha función é crecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera do mesmo Se x1<x2 entón f(x1)<f(x2) E será decrecente: Se x1<x2 entón f(x1)>f(x2) f(x ) f(x ) TVM x1 2 > x2 x1 2 1 [, x ] = 0 f(x ) f(x ) TVM x1 2 < x2 x1 2 1 [, x ] = 0 Todas as funcións non crecen ou decrecen, da mesma maneira. f(x)=x 2 é a que crece máis rápido, g(x)=x ten un crecemento lineal, h(x)= x crece máis amodo. 12 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

13 Máximos e mínimos Funcións e gráficas Dada unha función continua nun punto x=a, dise que presenta un máximo relativo, se á esquerda de dito punto a función é crecente e á dereita a función é decrecente. Se, polo contrario, a función é decrecente á esquerda e crecente á dereita hai un mínimo relativo. Se se verifica que f(a)>f(x) para calquera valor x do dominio, e non só para os valores de "ao redor", fálase de máximo absoluto en x=a. E do mesmo xeito dise que en a hai un mínimo absoluto se f(a)<f(x) para calquera x do dominio. EXERCICIOS resoltos 8. Calcula a taxa de variación media das funcións seguintes entre os puntos indicados. Comproba na figura que nas funcións cuxo gráfico é unha recta a TVM é constante. MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 13

14 EXERCICIOS resoltos 9. As gráficas representan o enchido dos distintos recipientes, que gráfica corresponde a cada un? a b c d e a 2 b 4 c 5 d 3 e Lembra a función que daba o perfil dunha etapa da Volta, que viches no primeiro capítulo. a) Escribe os intervalos de crecemento ou decrecemento. b) En que punto quilométrico se alcanzan os máximos relativos? Que valor toman? E os mínimos? c) Hai máximo ou mínimo absoluto? k m alt a) Crecente: (0,24)U(34,71)U(87,113)U(121,168) Decrecente: (24,34)U(71,87)U(113,121) b) MÁX: x=24, y=1280; x=71, y=1290; x=113, y=1020; MÍN: x=34, y=740; x=87, y=630; x=121, y=720 c) Neste caso a función ten máximo e mínimo absolutos, que se alcanzan ambos nos extremos do dominio, mín en x=0 de valor 540 m, máx en x=168 de valor 1882 m. 14 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

15 Para practicar 1. Considera a función que a cada nº lle asigna o seu cadrado menos 1. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de -1, 1 e 2. Calcula tamén os cortes cos eixes. 2. Considera a función que a cada nº lle asigna a súa metade máis 3. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de -1, 1 e 3. Calcula tamén os cortes cos eixes. 6. En cada caso a gráfica representa un tramo ou período dunha función periódica, representa outros tramos, indica o período e calcula a imaxe do punto de abscisa que se indica: a) f(-2) 3. Considera a función que a cada nº lle asigna o seu dobre menos 5. Escribe a súa expresión analítica e calcula a imaxe de -2, -1 e 1. Calcula tamén os cortes cos eixes. 4. Calcula o dominio das seguintes funcións: a) f(x)= -2x 2 +5x-6 2x b) f(x)= 2x 4 c) f (x) = x Calcula as TVM das funcións das gráficas seguintes nos intervalos [0,4] e [2,4]: a) b) f(-3) c) f(-1) b) MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 15

16 7. O gráfico amosa como varía a gasolina que hai no meu auto durante unha viaxe de 520 km por unha autovía. 9. O gráfico da o espazo percorrido por dous autos que realizan un mesmo traxecto. a) Canta gasolina había ao cabo de 240 km?. No depósito caben 40 litros, cando estaba cheo máis de medio depósito? b) En cantas gasolineiras parei?, en que gasolineira botei máis gasolina?. Se non tivera parado, onde me tería quedado sen gasolina? c) Canta gasolina usei nos primeiros 200 km?. Canta en toda a viaxe?. Canta gasolina gasta o auto cada 100 km nesta autovía? 8. María e Xurxo son dúas persoas máis ou menos típicas. Na gráfica podes comparar como variou o seu peso nos seus primeiros 20 anos a) Cal é a distancia percorrida? Se o primeiro auto saíu ás 10:00, a que hora saíu o 2º?. Canto lle levou a cada un facer o percorrido? b) Canto tempo e onde estivo parado cada auto?. En que km adiantou o 2º ao 1º?, e o 1º ao 2º? c) Que velocidade media levaron no traxecto total?, en que tramo a velocidade de cada auto foi maior?. 10. As gráficas seguintes corresponden as funcións I e II. I) f(x)=x 3-6x 2 +9x II) f(x)= x x a) Canto pesaba Xurxo aos 8 anos?, e María aos 12?. Cando superou Xurxo os 45 kg? b) A que idade pesaban os dous igual? Cando pesaba Xurxo máis que María?, e María máis que Xurxo? c) Cal foi o promedio en kg/ano de aumento de peso de ambos entre os 11 e os 15 anos?. En que período creceu cada un máis rapidamente? Calcula en cada unha: a) O dominio. b) Os puntos de corte cos eixes. c) Os valores de x para os que a función é positiva e negativa. d) Os intervalos de crecemento e decrecemento. e) Os máximos e mínimos. f) Presentan algunha tendencia especial? 16 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

17 Para saber máis A primeira función O primeiro en construír unha función foi Galileo ( ). Desde o alto da torre inclinada de Pisa tirou dúas bolas, unha de ferro e outra de madeira e comprobou que a pesar da diferenza de peso, ambas chegaban ao chan á vez, tiña descuberto a lei de caída dos corpos. Continuando o seu estudo e empregando un curioso aparello, comprobou que o espazo percorrido depende do cadrado do tempo, escribindo a primeira función da historia. A primeira definición formal de función débese a Euler, que no libro Introductio in analysis infinitorum, publicado en 1748, di: Unha función dunha cantidade variable é unha expresión analítica composta de calquera maneira a partir da cantidade variable e de números ou cantidades constantes. En 1755 en Institutiones calculi differentialis, volve sobre o tema acercándose máis á que hoxe utilizamos. TVM e crecemento Como viches a TVM das funcións cuxa gráfica é unha recta é constante, entón o seu crecemento será sempre o mesmo, dicimos que é lineal. Se observas as tres funcións da esquerda, son crecentes. Comparemos o crecemento das tres: f(x) crece axiña, g(x) ten un crecemento lineal, h(x) crece amodo º x Observa as dúas gráficas, ambas funcións son periódicas de período 2π, a gráfica verde está desfasada π/2 respecto á laranxa; fíxate onde alcanzan os máximos e os mínimos. Cando coinciden as dúas gráficas, a que altura están?, x=r sen 45º=21,21 m; 1) 35-21,21=13,79 2)35+21,21=56,21 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 17

18 Lembra o máis importante Unha función é unha relación entre dúas variables x e y, de modo que a cada valor da variable independente, x, lle asocia un único valor da variable y, a dependente. O dominio dunha función é o conxunto de todos os posibles valores que pode tomar x. A gráfica dunha función é o conxunto de puntos (x,f(x)) representados no plano. Unha función é continua se pode representarse con un só trazo. É descontinua nun punto se presenta un "salto" ou non está definida nese punto. Unha función é periódica de período t, se a súa gráfica se repite cada t unidades, f(x+t)=f(x). Unha función é simétrica respecto ao eixe OY, función par, se f(x)=f(-x); e é simétrica respecto ao orixe, función impar, se f(-x)=-f(x). A taxa de variación dunha función entre dous puntos é a diferencia: TV[x1,x2]=f(x2)-f(x1). A taxa de variación media é: f(x2 ) f(x1) TVM [ x1, x2 ] = x x Unha función é crecente nun intervalo, cando dados dous puntos calquera do mesmo E é decrecente Se x1<x2 entón f(x1)<f(x2) Se x1<x2 entón f(x1)>f(x2) Unha función continua nun punto x=a, presenta un máximo relativo, se á esquerda de dito punto é crecente e a dereita é decrecente. Se, polo contrario, é decrecente antes e crecente despois hai un mínimo relativo. 2 1 Dominio Todos os reais excepto o 0 Continuidade Non é continua, en 0 presenta unha descontinuidade de salto infinito. Simetría É simétrica respecto a orixe de coordenadas, función impar. Cortes cos eixes Ao eixe de abscisas en (-1,0) e (1,0); non corta ao eixe de ordenadas. Crecemento e decrecemento É crecente en (-, -2.5)U(2.5,+ ) E decrecente en (-2.5,0)U(0, 2.5) Máximos e mínimos Máximo en (2.5,3); Mínimo en (-2.5,3) Tendencia Ten unha asíntota horizontal 18 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

19 Auto-avaliación 1. Calcula a imaxe do cero na función da primeira gráfica adxunta. 2. Calcula o dominio da función correspondente á segunda gráfica da esquerda. 3. Cal dos puntos seguintes: A(-3,14); B(1,3); C(0,8), non pertence á gráfica da función f(x) = - x 2 5x Calcula os puntos de corte cos eixes de coordenadas da recta de ecuación y = - x Se y=f(x) é unha función IMPAR e f(-1)=-8, canto vale f(1)? 6. A terceira gráfica amosa o primeiro tramo dunha función periódica de período 4 e expresión f(x)=- 1,25x 2 +5x se x está entre 0 e 4. Calcula f(17). 7. En que punto debe comezar o tramo horizontal da cuarta gráfica adxunta para que a función á que representa sexa continua? 8. Calcula a TVM no intervalo [-2,-1] da función f(x) = - x 2 x Determina o intervalo no que a función da última gráfica adxunta é crecente. 10. Un ciclista sae dun punto, A, cara outro, B, distante 70 km a unha velocidade constante de 35 km/h. Á vez, sae outro de B cara A a 40 km/h. A cantos km do punto A se cruzan na estrada? MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO 19

20 Solucións dos exercicios para practicar 1. f(x)=x2-1 f(-1)=0, f(2)=3, f(1)=0 Corte OY: -1 Corte OX: 1 e 1 x 2. y = f(-1)=2,5 f(1)=3,5 f(3)=4,5 Corte OY: 3 Corte OX: f(x)=2x-5 f(-2)=-9, f(-1)=-7, f(1)=-5 Corte OY: -5 Corte OX: a) R b) R-{2] c) {x -5} 5. a) TVM[0,4]=TVM[2,4]=0.5 b) TVM[0,4]=1,2; TVM[2,4]= a) 27,5 litros; entre o km 200 e o 360 e do 440 ata o 520. b) En dúas, unha no km 200 e outra no 440; botei máis na 1ª; aos 280 km c) 12,5 l; 32,5 l; 6,25 l/100 km 8. a) J. 25 kg, M. 35 kg ; aos 14 anos b) Aos 11 (30 kg) e aos 15 (55 kg) X máis que M: ata os 11 e desde os 15; M máis que X: dos 11 a 15 c) 25kg; 6,25 kg/ano; M entre os 11 e 12 (10 kg/ano); X entre os (10 kg/ano) 9. a) 80 km; ás 10:15; 75 e 70 min b) 10 min en km 20, 20 min en km 30; no km 20 e en 30 respectivamente. c) 64 km/h e 68,6 km/h; 1º: min º: min e min a) c) b) 10. I) II) a) IR b) (0,0)(3,0) c) y>0 (0,+ ); y<0 (-,0); d) crec:(-,1)u(3,+ ), decrec:(1,3); e) máx x=1, mín x=3; f) Non a) IR-{0} b) Non corta c) y<0 (0,+ ); y>0 (-,0) d) decrec:(-,-1)u(1,+ ) crec:(-1,0)u(0,1); e) máx x=1, mín x=-1; f) lineal. Solucións AUTO-AVALIACIÓN 1. f(0)= 4 2. IR - { 5, -5} 3. (1, 3) 4. (0, 5) (5,0) 5. f(1)=8 6. f(17)=f(1)=3,75 7. (-1,1) 8. TVM[-2,-1] = 2 9. (-4, 3) 10. A 32,7 km de A. 20 MATEMÁTICAS Orientadas ás Ensinanzas Aplicadas 4º ESO

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar.

Números reais. Obxectivos. Antes de empezar. 1 Números reais Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Clasificar os números reais en racionais e irracionais. Aproximar números con decimais ata unha orde dada. Calcular a cota de erro dunha aproximación.

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles.

Obxectivos. Resumo. titor. corpos xeométricos. Calcular as. súas áreas volumes. Terra. deles. 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Distinguir as clases de corpos xeométricos. Construíloss a partir do seu desenvolvemento plano. Calcular as súas áreas e volumes. Localizar

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 138 Definición Elementos dun poliedro 8 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10 14 Hz incide, cun ángulo de incidencia de 30, sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo. Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2013 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2013 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS

EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS EJERCICIOS DE VIBRACIONES Y ONDAS 1.- Cando un movemento ondulatorio se atopa na súa propagación cunha fenda de dimensións pequenas comparables as da súa lonxitude de onda prodúcese: a) polarización; b)

Διαβάστε περισσότερα

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2012 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación

As Mareas INDICE. 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación As Mareas INDICE 1. Introducción 2. Forza das mareas 3. Por que temos dúas mareas ó día? 4. Predición de marea 5. Aviso para a navegación Introducción A marea é a variación do nivel da superficie libre

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA PROBLEMAS DIOPTRIO PLANO 1. Un raio de luz de frecuencia 5 10¹⁴ Hz incide cun ángulo de incidencia de 30 sobre unha lámina de vidro de caras plano-paralelas de espesor 10

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 FÍSICA

PAU XUÑO 2012 FÍSICA PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica) Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) 1 0 0 1-1 -1 Sexan as matrices

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 01. Gravitación

Exercicios de Física 01. Gravitación Exercicios de Física 01. Gravitación Problemas 1. A lúa ten unha masa aproximada de 6,7 10 22 kg e o seu raio é de 1,6 10 6 m. Achar: a) A distancia que recorrerá en 5 s un corpo que cae libremente na

Διαβάστε περισσότερα

FISICA 2º BAC 27/01/2007

FISICA 2º BAC 27/01/2007 POBLEMAS 1.- Un corpo de 10 g de masa desprázase cun movemento harmónico simple de 80 Hz de frecuencia e de 1 m de amplitude. Acha: a) A enerxía potencial cando a elongación é igual a 70 cm. b) O módulo

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 04. Óptica

Exercicios de Física 04. Óptica Exercicios de Física 04. Óptica Problemas 1. Unha lente converxente ten unha distancia focal de 50 cm. Calcula a posición do obxecto para que a imaxe sexa: a) real e tres veces maior que o obxecto, b)

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU Xuño 2015 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU Xuño 015 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO

Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm 3 contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2004

PAAU (LOXSE) Setembro 2004 PAAU (LOXSE) Setembro 004 Código: FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa

Διαβάστε περισσότερα

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

PAU XUÑO Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4

CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4 CUESTIÓNS DE SELECTIVIDADE RELACIONADOS CO TEMA 4 2013 C.2. Se se desexa obter unha imaxe virtual, dereita e menor que o obxecto, úsase: a) un espello convexo; b)unha lente converxente; c) un espello cóncavo.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA

TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO A 1. PUNTO E RECTA TRAZADOS XEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS NO PLANO 1. Punto e recta 2. Lugares xeométricos 3. Ángulos 4. Trazado de paralelas e perpendiculares con escuadro e cartabón 5. Operacións elementais 6. Trazado de ángulos

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ).

FÍSICA OPCIÓN 1. ; calcula: a) o período de rotación do satélite, b) o peso do satélite na órbita. (Datos R T. = 9,80 m/s 2 ). 22 Elixir e desenrolar unha das dúas opcións propostas. FÍSICA Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) Setembro 2009

PAAU (LOXSE) Setembro 2009 PAAU (LOXSE) Setembro 2009 Código: 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03b. Ondas

Exercicios de Física 03b. Ondas Exercicios de Física 03b. Ondas Problemas 1. Unha onda unidimensional propágase segundo a ecuación: y = 2 cos 2π (t/4 x/1,6) onde as distancias se miden en metros e o tempo en segundos. Determina: a) A

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B

FÍSICA. ) xiran arredor da Terra con órbitas estables de diferente raio sendo r A. > m B ÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos ( cada apartado). Cuestións 4 puntos ( cada

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA

Física P.A.U. ÓPTICA 1 ÓPTICA íica P.A.U. ÓPTICA ÓPTICA INTRODUCIÓN MÉTODO. En xeral: Debúxae un equema co raio. Compárae o reultado do cálculo co equema. 2. No problema de lente: Trázae un raio paralelo ao eixe óptico que ao chegar

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)).

FÍSICA. = 4π 10-7 (S.I.)). 22 FÍSICA Elixir e desenvolver un problema e/ou cuestión de cada un dos bloques. O bloque de prácticas só ten unha opción. Puntuación máxima: Problemas, 6 puntos (1 cada apartado). Cuestións, 4 puntos

Διαβάστε περισσότερα

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3

f) cotg 300 ctg 60 2 d) cos 5 cos 6 Al ser un ángulo del primer cuadrante, todas las razones son positivas. Así, tenemos: tg α 3 .9. Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante. a) sen 0 c) tg 0 e) sec 0 b) cos d) cosec f) cotg 00 Solucionario a) sen 0 sen 0 d) cosec sen sen b) cos

Διαβάστε περισσότερα

Problemas resueltos del teorema de Bolzano

Problemas resueltos del teorema de Bolzano Problemas resueltos del teorema de Bolzano 1 S e a la fun ción: S e puede af irm a r que f (x) está acotada en el interva lo [1, 4 ]? P or no se r c ont i nua f (x ) e n x = 1, la f unció n no e s c ont

Διαβάστε περισσότερα

O SOL E A ENERXÍA SOLAR

O SOL E A ENERXÍA SOLAR O SOL E A ENERXÍA SOLAR Resumo: Cos exercicios que se propoñen nesta unidade preténdese que os alumnos coñezan o Sol un pouco mellor. Danse as ferramentas necesarias para calcular a enerxía solar que se

Διαβάστε περισσότερα

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson

1 La teoría de Jeans. t + (n v) = 0 (1) b) Navier-Stokes (conservación del impulso) c) Poisson 1 La teoría de Jeans El caso ás siple de evolución de fluctuaciones es el de un fluído no relativista. las ecuaciones básicas son: a conservación del núero de partículas n t + (n v = 0 (1 b Navier-Stokes

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II

PAU XUÑO 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II PAU XUÑO 2014 Código: 36 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II (O alumno/a debe responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1 = 3 puntos,

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 FÍSICA

PAU XUÑO 2010 FÍSICA PAU XUÑO 1 Cóigo: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 caa cuestión, teórica ou practica) Problemas 6 puntos (1 caa apartao) Non se valorará a simple anotación un ítem como solución ás cuestións;

Διαβάστε περισσότερα

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato Estrutura atómica 2 1

Profesor: Guillermo F. Cloos Física e química 1º Bacharelato Estrutura atómica 2 1 As leis ponderais e volumétricas, estudadas no anterior tema, analizadas á luz da teoría atómica que hoxe manexamos resultan ser unha consecuencia lóxica da mesma, pero non debemos esquecer que historicamente

Διαβάστε περισσότερα

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos

x 2 6º- Achar a ecuación da recta que pasa polo punto medio do segmento de extremos º- Dados os puntos A(,, ), B(, 4), C( 5,, ) EXERCICIOS XEOMETRÍA Acha as coodenadas dun cuato punto D coa condición que o cuadiláteo ABCD sexa un paalelogamo º- Escibi as ecuacións paaméticas, na foma

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

PAU Xuño Código: 25 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU Xuño 00 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO Física Exercicios de Selectividade Páxina 1 / 9 EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO 16-17 http://ciug.cesga.es/exames.php TEMA 1. GRAVITACIÓN. 1) PROBLEMA. Xuño 2016. A nave espacial Discovery,

Διαβάστε περισσότερα

PAU Xuño 2011 FÍSICA OPCIÓN A

PAU Xuño 2011 FÍSICA OPCIÓN A PAU Xuño 20 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

VI. VECTORES NO ESPAZO

VI. VECTORES NO ESPAZO VI. VECTORES NO ESPAZO.- Vectores no espazo. Operacións Sexa E o espazo de pntos ordinario o intitio da xeometría elemental. Un segmento orientado AB con orixe no pnto A e extremo no pnto B recibe o nome

Διαβάστε περισσότερα

Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos

Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos Investigacións a partir da lectura do libro Los Diez Magníficos En que consiste o traballo que debes realizar?: Nas seguintes follas podes observar que, para cada capítulo do libro de lectura, se suxiren

Διαβάστε περισσότερα

ENERXÍA, TRABALLO E POTENCIA

ENERXÍA, TRABALLO E POTENCIA NRXÍA, TRABALLO POTNCIA NRXÍA Pódese definir enerxía coo a capacidade que ten un corpo para realizar transforacións nel eso ou noutros corpos. A unidade de enerxía no SI é o Joule (J) pero é frecuente

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 02b. Magnetismo

Exercicios de Física 02b. Magnetismo Exercicios de Física 02b. Magnetismo Problemas 1. Determinar el radio de la órbita descrita por un protón que penetra perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 10-2 T, después de haber sido acelerado

Διαβάστε περισσότερα

Mostraxe Inferencia estatística

Mostraxe Inferencia estatística Mostraxe Inferencia estatística A mostraxe e a inferencia estatística utilízase para coñecer as características dunha poboación a partir dun grupo pequeno de elementos da mesma e para coñecer os erros

Διαβάστε περισσότερα

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo

Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Astronomía Básica 5 Coordenadas astronómicas. Medida do tempo Josefina F. Ling Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Grao de Óptica e Optometria Vicerreitoría de ESTUDANTES, Cultura

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03a. Vibracións

Exercicios de Física 03a. Vibracións Exercicios de Física 03a. Vibracións Problemas 1. No sistema da figura, un corpo de 2 kg móvese a 3 m/s sobre un plano horizontal. a) Determina a velocidade do corpo ó comprimirse 10 cm o resorte. b) Cal

Διαβάστε περισσότερα

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración.

b) Segundo os datos do problema, en tres anos queda a metade de átomos, logo ese é o tempo de semidesintegración. FÍSICA MODERNA FÍSICA NUCLEAR. PROBLEMAS 1. Un detector de radioactividade mide unha velocidade de desintegración de 15 núcleos min -1. Sabemos que o tempo de semidesintegración é de 0 min. Calcula: a)

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2014 FÍSICA PAU SETEMBRO 014 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE

CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE 11 IES A CAÑIZA Traballo de Física CALCULO DA CONSTANTE ELASTICA DUN RESORTE Alumno: Carlos Fidalgo Giráldez Profesor: Enric Ripoll Mira Febrero 2015 1. Obxectivos O obxectivo da seguinte practica é comprobar,

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO

EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO Física Exercicios de Selectividade Páxina 1 / 8 EXERCICIOS DE SELECTIVIDADE DE FÍSICA CURSO 15-16 http://ciug.cesga.es/exames.php TEMA 1. GRAVITACIÓN. 1) CUESTIÓN.- Un satélite artificial de masa m que

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A

FÍSICA. 2.- Cando se bombardea nitróxeno 14 7 N con partículas alfa xérase o isótopo 17 8O e outras partículas. A 22 FÍSICA Elixir e desenvolver unha das dúas opcións propostas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1,5 cada apartado). Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Non se valorará a simple

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMACIÓN CURSO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

PROGRAMACIÓN CURSO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROGRAMACIÓN CURSO 2017-18 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS IES Ramón Menéndez Pidal Página 1 Táboa de contidos 1.-Identificación da programación... 3 2.-Lenda competencias... 5 3.-Concreción curricular...

Διαβάστε περισσότερα

PAU Setembro 2010 FÍSICA

PAU Setembro 2010 FÍSICA PAU Setembro 010 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CS.PE.B03]

1. Formato da proba [CS.PE.B03] 1. Formato da proba A proba consta de cinco problemas e nove cuestións, distribuídas así: Problema 1: tres cuestións. Problema 2: dúas cuestións. Problema 3: dúas cuestións Problema 4: dúas cuestión. Problema

Διαβάστε περισσότερα

Educación secundaria para persoas adultas. Ámbito científico tecnolóxico. Módulo 4 Unidade didáctica 4. Estatística e probabilidade.

Educación secundaria para persoas adultas. Ámbito científico tecnolóxico. Módulo 4 Unidade didáctica 4. Estatística e probabilidade. Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 4 Unidade didáctica 4 Estatística e probabilidade Páxina 1 de 37 Índice 1. Programación da unidade...3 1.1 Encadramento da

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B)

ELECTROTECNIA. BLOQUE 3: MEDIDAS NOS CIRCUÍTOS ELÉCTRICOS (Elixir A ou B) 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A o B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan do mesmo xeito,

Διαβάστε περισσότερα

Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio.

Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice de aluminio. HCH HCT HCH HCT Ventiladores helicoidales murales o tubulares, de gran robustez Ventiladores helicoidales murales o tubulares, versión PL equipados con hélice de plástico y versión AL equipados con hélice

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU

ELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU ELECTROMAGNETISMO Problemas PAAU XUÑO-96 PROBLEMA 2. op B Dadas as cargas puntuais q 1 = 80 µc, q 2 = -80 µc y q 3 = 40 µc situadas nos puntos A (-2,0), B(2,0) y C(0,2) respectivamente (coordenadas en

Διαβάστε περισσότερα

Tema 6 Ondas Estudio cualitativo de interferencias, difracción, absorción e polarización. 6-1 Movemento ondulatorio.

Tema 6 Ondas Estudio cualitativo de interferencias, difracción, absorción e polarización. 6-1 Movemento ondulatorio. Tema 6 Ondas 6-1 Movemento ondulatorio. Clases de ondas 6- Ondas harmónicas. Ecuación de ondas unidimensional 6-3 Enerxía e intensidade das ondas harmónicas 6-4 Principio de Huygens: reflexión e refracción

Διαβάστε περισσότερα

EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS

EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS Química P.A.U. EQUILIBRIO QUÍMICO 1 EQUILIBRIO QUÍMICO PROBLEMAS FASE GAS 1. A 670 K, un recipiente de 2 dm³ contén unha mestura gasosa en equilibrio de 0,003 moles de hidróxeno, 0,003 moles de iodo e

Διαβάστε περισσότερα

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA

Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 FÍSICA Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso á Universidade XUÑO 2017 Código: 23 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado)

Διαβάστε περισσότερα