Εισαγωγή. λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη-

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή. λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη-"

Transcript

1 Εισαγωγή Είναι πράγµατι εντυπωσιακή η επιτυχία και η σε συνέχεια ευρεία διάδοση των υπολογιστικών µεθόδων 1, και ιδιαίτερα της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων, τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι η εξέλιξη στην πληροφορική βάδισε παράλληλα µε αυτή στην µελέτη των κατασκευών µε υπολογιστικές και αριθµητικές µεθόδους 2 έτσι ώστε οι εξελίξεις στη µία περιοχή να έχουν καταλυτική επίδραση στην άλλη. Η ιστορία της πληροφορικής ξεκινά κατά τη διάρκεια του δευτέρου παγκοσµίου πολέµου και οι πρώτοι υπολογιστές έκαναν χρήση τεχνολογίας που σύντοµα ξεπεράσθηκε. Αµέσως όµως έγινε σαφές ότι έµελλαν να διαδραµατίσουν σηµαντικό ρόλο στις µελλοντικές εξελίξεις της τεχνολογίας και της επιστήµης του µηχανικού. Γεγονός είναι πάντως ότι οι πρώτες αριθµητικές µέθοδοι διατυπώθηκαν αρκετά χρόνια πριν, κατά τις πρώτες δεκαετίες του 20 ου αιώνα. Ετσι λοιπόν η ανάγκη γιά τη δυνατότητα ταχείας εκτέλεσης υπολογισµών, που σε πολλές περιπτώσεις επαναλαµβάνονται, είχε ήδη διαφανεί. Με την έλευση των πρώτων υπολογιστών η έρευνα στον τοµέα των αριθµητικών µεθόδων πραγµατικά όµως απογειώθηκε. Έτσι, τα πρώτα χρόνια εµφανίσθηκαν εργασίες στις οποίες διερευνήθηκε η δυνατότητα της συστηµατικής υποδιαίρεσης των κατασκευών σε µικρότερα τµήµατα και στους τρόπους αναπαράστασης της συµπεριφοράς τους. Την περίοδο αυτή αναπτύχθηκε η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών. Είναι ενδιαφέρον όµως στο σηµείο αυτό να κάνουµε µια παρένθεση και να µνηµονεύσουµε και ορισµένους αρχαίους έλληνες στοχαστές στα γραφόµενα των οποίων διαφαίνεται η αντίληψη του ότι τα αντικείµενα του σύµπαντος αποτελούνται από µικρότερα τµήµατα που διατηρούν τις ίδιες ιδιότητες. Αυτή δε η παρατήρηση δεν αναφέρεται µόνο στους ηµόκριτο και Λεύκιππο, οι οποίοι ως γνωστό πρόταξαν την ατοµική θεωρία της ύλης αλλά και στον Αριστοτέλη, ο οποίος πραγ- 1 υπολογιστική µέθοδος : προϋποθέτει τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή για να αποκτηθεί λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη- µατική επίλυση ενός προβλήµατος είναι υπερβολικά πολύπλοκη, χρονοβόρα, ή και αδύνατη. Θα πρέπει να διασφαλίζεται επαρκής ακρίβεια της λύσης. Στο παρόν κείµενο περιγράφονται υπολογιστικές µέθοδοι που κάνουν χρήση αριθµητικών τεχνικών. Ε-1

2 Ε-2 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές µατεύεται τη φύση του υλικού κόσµου στα ΦΥΣΙΚΑ 3. Στο Βιβλίο Ζ του κειµένου, στο οποίο εξετάζεται η διαιρετότητα των φυσικών σωµάτων, της κίνησης και του χρόνου, συµπεραίνονται µεταξύ άλλων τα εξής: Κάθε συνεχές απαρτίζεται από συνεχή και διαιρετά µέρη Κάθε χρονική στιγµή είναι αδιαίρετη και τίποτε δεν κινείται ή δεν ηρεµεί µέσα σε µία στιγµή Καθετί κινούµενο είναι διαιρετό Το κείµενο πραγµατεύεται επίσης το πεπερασµένο και την απειρότητα της κίνησης, την έκταση των κινουµένων σωµάτων και την κατάσταση ηρεµίας τους. Μπορούµε βέβαια να προβάλλουµε αντιρρήσεις µε ορισµένα από τα παραπάνω, ιδιαίτερα σε σχέση µε την αντίληψη της έννοιας της συνέχειας, γεγονός όµως είναι ότι η έννοια της υποδιαίρεσης, για την καλύτερη κατανόηση των φαινοµένων γενικά θεωρείται ως δεδοµένη. Ας επιστρέψουµε όµως στο σηµείο αυτό στις σηµερινές εξελίξεις. Η συµπεριφορά των φυσικών σωµάτων που εκτείνονται στον χώρο (ράβδοι, δοκοί, ελάσµατα, κελύφη) κατά τα αρχικά στάδια φόρτισής τους θεωρείται ότι είναι γραµµική και περιγράφεται από αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν το θεµέλιο λίθο γιά τη µελέτη υπό πιό σύνθετες συνθήκες φόρτισης ή σε υψηλότερες φορτίσεις οι οποίες και επιφέρουν µη-γραµµική απόκριση. Η µη-γραµµικότητα οφείλεται είτε στην ανάπτυξη πρόσθετων εντατικών πεδίων (π.χ. µεµβρανικών, καµπτικών τάσεων) είτε στην µεταβολή της συµπεριφοράς του υλικού λόγω αλλαγών στη µικροδοµή του (πλαστική συµπεριφορά). Η εξέλιξη των µεθόδων γιά την ακριβή µελέτη της µη-γραµµικής συµπεριφοράς αποτέλεσε γόνιµο έδαφος γιά έρευνα τα τελευταία χρόνια και ήδη επιτεύχθηκε η επίλυση πολλών προβληµάτων κατασκευών που επιδεικνύουν µη-γραµµική συ- µπεριφορά. Ως αποτέλεσµα όµως τα εργαλεία που αναπτύχθηκαν είναι σαφώς πιό πολύπλοκα και δύσχρηστα και χρησιµοποιούνται κυρίως σε ερευνητικές εργασίες. εν αποτελούν δηλαδή προς το παρόν εργαλεία καθηµερινής χρήσης γιά τον επαγγελµατία µηχανικό. Γιά το λόγο αυτό, κρίθηκε σκόπιµο να µην επεκταθεί η ύλη σε συναφή θέµατα αλλά να περιορισθεί στη γραµµική ελαστική θεώρηση της συµπεριφοράς των κατασκευών. Η γραµµική ελαστική θεώρηση µπορεί να µας δώσει ακριβείς πληροφορίες (απόλυτα ακριβείς λύσεις) γιά τις κατανοµές των τάσεων και των βελών κάµψης σε µεταλλικές κατασκευές οιασδήποτε µορφολογίας, γεγονός που διευκολύνει τη δουλειά του µελετητή σε σηµαντικό βαθµό. Ετσι, η εξέταση των κατανοµών τάσεων και βελών κάµψης στα διάφορα τµήµατα της µεταλλικής κατασκευής του πλοίου η διάταξη των οποίων στο χώρο είναι πραγµατικά πολύπλοκη (συνδέσεις 3 Αριστοτέλους ΦΥΣΙΚΗ ΑΚΡΟΑΣΙΣ (Τα Φυσικά) Μετ. Κ.. Γεωργούλη, Εκδόσεις Παπαδήµα, 1992.

3 Εισαγωγή Ε- 3 νοµέων µε διαµήκεις ενισχύσεις, υπερκατασκευές, καθώς φυσικά και η µεταλλική κατασκευή του πλοίου στο σύνολό του) είναι πλέον εφικτή. Μάλιστα έχει διαφανεί ότι πολλές από τις παραδοχές που εχρησιµοποιούντο στο παρελθόν γιά τις συνοριακές συνθήκες στα διάφορα σηµεία της κατασκευής σε θεωρητικές µεθόδους δεν ανταποκρίνονται στην πραγµατικότητα, και απαιτείται περισσότερη προσπάθεια γιά τη σωστή αναπαράστασή τους. Τα προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων όπως αυτά που αναφέρονται και περιγράφονται παρακάτω µπορούν λοπόν να χρησιµοποιηθούν γιά την ακριβή µελέτη της συµπεριφοράς, όπως αυτή προβλέπεται από τις διατάξεις των νηογνωµόνων, καθώς ο σχεδιασµός της µεταλλικής κατασκευής του πλοίου είναι τέτοιος ώστε η κατασκευή να συµπεριφέρεται ελαστικά, δηλαδή, οι τάσεις που αναπτύσσονται να είναι µικρότερες της τάσης διαρροής του υλικού. Η γραµµική ελαστική θεώρηση δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί γιά την εξέταση της απόκρισης όταν τα βέλη κάµψης υπερβαίνουν κάποια όρια, ανάλογα µε το είδος της κατασκευής, και κατά κανόνα οι τιµές που δίνουν αποκλίνουν σταδιακά όλο και περισσότερο από τις αντίστοιχες ακριβείς, για αυξανόµενες φορτίσεις. ε µπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν όταν προκύπτει διαρροή σε κάποια περιοχή της κατασκευής, και κατά συνέπεια δεν µπορεί να προβλεφθεί το φορτίο κατάρρευσης και η συµπεριφορά σε µεταγενέστερα στάδια. Γιά να επιτευχθεί αυτό απαιτείται κατά κανόνα να συµπληρωθούν οι διαθέσιµοι αλγόριθµοι µε πρόσθετα υπολογιστικά εργαλεία. Γιά να γίνει σαφές ότι οι αριθµητικές µέθοδοι θεωρούνται πλέον συµβατικά εργαλεία του µελετητή ναυπηγού αναφέρουµε ότι οι νηογνώµονες αποδέχονται κατά κανόνα αποτελέσµατα αντίστοιχων µελετών γιά την κατάταξη πλοίων. Επειδή δε η µελέτη της κατασκευής µε τη ΜΠΣ δίνει ακριβέστερα αποτελέσµατα από αυτά που προβλέπονται στις διατάξεις των κανονισµών, στις οποίες εισάγονται συντελεστές ασφάλειας (αλλά και «άγνοιας» σε πολλές περιπτώσεις), οι απαιτούµενες διαστάσεις (πάχη, ροπές αντίστασης) της µεταλλικής κατασκευής είναι σε ορισµένες περιπτώσεις µικρότερες. Συνεπώς η κατασκευή σχεδιάζεται ως ελαφρύτερη, γεγονός που µπορεί να συµβάλλει στην επίδοσή της. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελούν τα ταχύπλοα µικρά επιβατηγά σκάφη και τα πλοία νέας τεχνολογίας γιά τα οποία κάθε κέρδος από πλευράς βάρους της κατασκευής σηµαίνει αύξηση της µεταφορικής ικανότητας. Γιά τα πλοία αυτά η µοναδιαία αύξηση του βυθίσµατος ανά µονάδα βάρους της κατασκευής είναι υψηλή και συνεπώς είναι επιβεβληµένη η βελτιστοποίηση της κατασκευής από πλευράς βάρους. Εχοντας αναφερθεί στα σηµαντικά πλεονεκτήµατα των αριθµητικών µεθόδων θα πρέπει να απαριθµήσουµε και τα µειονεκτήµατά τους. Τα µειονεκτήµατά τους επιδρούν σε διάφορα επίπεδα. Από πλευράς µελετητή ο χρόνος προετοιµασίας των δεδοµένων και ελέγχου των αποτελεσµάτων είναι ίσως το σηµαντικότερο µειονέκτηµα. Θα πρέπει επίσης ο µελετητής να είναι έµπειρος χρήστης και γνώστης σε βάθος της µεθόδου και του προγράµµατος που χρησιµοποιεί, καθώς τα αποτελέ-

4 Ε-4 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές σµατα που δίνουν τα προγράµµατα µπορούν πολύ εύκολα να µην αντιστοιχούν στο πρόβληµα η λύση του οποίου ζητιέται. Από πλευράς ερµηνείας των αποτελεσµάτων ο µελετητής θα πρέπει να γνωρίζει τις δυνατότητες του προγράµµατος που χρησιµοποιεί και να είναι σε θέση να αξιολογεί τα αποτελέσµατα σε σχέση µε τις αρχές της µηχανικής, δηλαδή να είναι σε θέση να αποδίδει τη σωστή φυσική σηµασία στα αριθµητικά αποτελέσµατα. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο και σε περιπτώσεις σύνθετων προβληµάτων (π.χ. καταπόνηση λόγω κάµψης αλλά και θερµικού πεδίου) θα πρέπει να καταστρώνεται στρατηγική αντιµετώπισης του κάθε προβλήµατος. Στο θέµα αυτό βοηθά και η διαθέσιµη εµπειρία. Το κείµενο του βιβλίου Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στις µεθοδολογίες επίλυσης κατασκευών και παρατίθενται µερικά απλά παραδείγµατα. Σε συνέχεια γίνεται αναφορά σε ορισµένα αποτελέσµατα της ενεργειακής µεθόδου που βρίσκουν εφαρ- µογή στις αριθµητικές µεθόδους (αρχή των δυνατών έργων, αντίστροφα θεωρή- µατα των Betti και Maxwell). Τα τελευταία χρησιµοποιούνται στο Κεφάλαιο 2, που περιλαµβάνει µία συστη- µατική περιγραφή της µητρωικής µεθόδου µελέτης των κατασκευών. Τίθεται το γενικό πρόβληµα της διακριτοποίησης, και εξετάζεται ένα σύστηµα τριών βαθµών ελευθερίας στο οποίο ασκούνται τρεις εξωτερικές δυνάµεις. Στο επόµενο στάδιο εξετάζεται η ισορροπία µίας πιό σύνθετης κατασκευής, και τη χρήση του στοιχείου-ράβδου, ενώ η λύση του προβλήµατος αποκτάται πλέον σε γενικό σύστηµα αναφοράς. Ενα δεύτερο παράδειγµα µετασχηµατισµού των εξισώσεων δίνεται γιά ένα διδιάστατο πλαίσιο. Ακολουθεί περιγραφή ορισµένων τεχνικών που υποβοηθούν την επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας διακριτοποιµένων κατασκευών. Στο επόµενο εδάφιο εξετάζεται το στοιχείο δοκός-κολόνα στα άκρα του οποίου ασκούνται και καµπτικά φορτία. ιατυπώνεται το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου και αποκτώνται οι όροι του µε µία σειρά τεχνικών (ισορροπία, σχέσεις τάσεωνπαραµορφώσεων, αντιµετάθεσης δεικτών, θεωρία δοκών και ενεργειακών µεθόδων). Ως παράδειγµα εφαρµογής εξετάζεται ένα πλαίσιο που φέρει κατανεµηµένα φορτία. Σε συνέχεια περιγράφεται ο τρόπος συγκρότησης του γενικού µητρώου ακαµψίας µίας σύνθετης κατασκευής µε τη µέθοδο της άµεσης σύνθεσης των ακαµψιών. Τίθεται το πρόβληµα της επίλυσης µεγάλων συστηµάτων εξισώσεων γιά πολύπλοκες κατασκευές και περιγράφεται η χρήση της µεθόδου της στατικής συµπύκνωσης γιά την απλοποίηση του προβλήµατος. Ακολουθεί περιγραφή του στοιχείου δοκού-πλαισίου και στο τελευταίο µέρος του κεφαλαίου περιγράφονται οι τεχνικές κωδικοποίησης της µητρωικής µεθόδου σε Η/Υ. Έχοντας περιγράψει τη µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών, είναι δυνατό να προχωρήσουµε στην περαιτέρω επέκτασή της στη καθ εαυτό µέθοδο των

5 Εισαγωγή Ε- 5 πεπερασµένων στοιχείων (ΜΠΣ). Η βασική έννοια της µεθόδου είναι η υποδιαίρεση ενός συνεχούς µέσου (κατασκευής) σε νοητά, διακριτά τµήµατα τα οποία συνδέονται κατά κατάλληλο τρόπο στα άκρα ή κατά µήκος των πλευρών τους ώστε να είναι εφικτή η αναπαράσταση της συµπεριφοράς του συνόλου. Γιά να επιτευχθεί αυτό, οι µετατοπίσεις στα άκρα των συνόρων των στοιχείων πρέπει να είναι συµβατές µε τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό των στοιχείων, θα πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας και γεωµετρικής συµβιβαστότητας. Η µέθοδος εδραιώνεται µε βάση τη µέθοδο των µετατοπίσεων και περιγράφονται οι εξισώσεις ισορροπίας γραµµικών προβληµάτων στο στατικό και δυναµικό πεδίο. Ακολουθούν δύο παραδείγµατα απόκτησης των χαρακτηριστικών µητρώων των στοιχείων. Σε επόµενα εδάφια περιγράφεται ο µετασχηµατισµός σε γενικό σύστηµα αναφοράς, και διάφορες µέθοδοι επιβολής συνοριακών συνθηκών. Στο τελευταίο µέρος του κεφαλαίου γίνεται χρήση µίας συστηµατικής µεθόδου γιά την απόκτηση των χαρακτηριστικών µητρώων διαφόρων στοιχείων (τριγωνικό στοιχείο σταθερών τάσεων, ορθογώνιο στοιχείο σταθερών παραµορφώσεων, ορθογώνιο στοιχείο σταθερής διατµητικής τάσης). Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφονται µια σειρά στοιχείων που χρησιµοποιούνται για τη µελέτη λεπτών ελασµάτων. Αναφέρονται οι θεωρίες Kirchhoff και Mindlin και εδραιώνονται οι ιδιότητες συγκεκριµένων στοιχείων (τριγωνικών και ορθογωνίων). Στο κεφάλαιο που ακολουθεί περιγράφονται τα ισοπαραµετρικά στοιχεία. Περιγράφονται οι φυσικές συνεταγµένες και εδραιώνεται το ισοπαραµετρικό στοιχείοράβδος. Για το αντίστοιχο τετράπλευρο στοιχείο αποκτιέται το µητρώο ακαµψίας και επιτελούνται οι αντίστοιχοι µετασχηµατισµοί στο γενικό σύστηµα αναφοράς. Το κεφάλαιο κλείνει µε ορισµένες παρατηρήσεις σχετικά µε την πρακτική χρήση των στοιχείων αυτών. Στο Κεφάλαιο 5 περιγράφεται η θεµελίωση της ΜΠΣ, κατ αρχή µε τη µέθοδο του λογισµού των µεταβολών και σε συνέχεια µε τη µέθοδο Rayleigh-Ritz. Η µέθοδος του λογισµού των µεταβολών επιτρέπει την απόκτηση των εξισώσεων ισορροπίας οι οποίες γράφονται σε µητρωική µορφή και µπορούν να επιλυθούν σε επό- µενο στάδιο. Κατά τη µέθοδο Rayleigh-Ritz γίνεται χρήση πολυωνυµικών αναπτυγµάτων γιά τη προσεγγιστική αναπαράσταση των πεδίων των µετατοπίσεων. Στο τελευταίο εδάφιο περιγράφεται η χρήση της µεθόδου Rayleigh-Ritz γιά την εδραίωση της ΜΠΣ. Κατ αυτήν, η ΜΠΣ µπορεί να θεωρηθεί εφαρµογή της µεθόδου R-R όταν το προσεγγιστικό πεδίο παρεµβάλλεται τµηµατικά µεταξύ βαθµών ελευθερίας που αντιστοιχούν µε τιµές στους κόµβους του πεδίου. Στο Κεφάλαιο 7 γίνεται αναφορά σε θέµατα που αφορούν την πρακτική χρήση της ΜΠΣ για τη µελέτη κατασκευών. Εξετάζονται θέµατα που αφορούν την όλη διαδικασία µιας µελέτης µε αναφορά στη διακριτοποίηση, την επιβολή φορτίων, τον έλεγχο ακρίβειας των αποτελεσµάτων, και διάφορες τεχνικές βελτίωσης της ακρίβειας της µεθόδου.

6 Ε-6 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Στο Kεφάλαιο 8 περιγράφονται οι εφαρµογές της ΜΠΣ στη λύση προβληµάτων ναυπηγικών κατασκευών. Γίνεται αναφορά σε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις στο θέµα της µελέτης της κατασκευής του πλοίου - τα προγράµµατα MAESTRO και GODDESS. Ακολουθεί η περιγραφή στοιχείων κατάλληλων για τη µελέτη της κατασκευής του πλοίου. Σε συνέχεια περιγράφονται τρόποι διακριτοποίησης της κατασκευής. Περιγράφονται απαιτήσεις των νηογνωµόνων όσον αφορά τη χρήση των προγραµµάτων αυτών για τη µελέτη των bulk carriers και containerships. Τέλος περιγράφονται επιλεγµένα αποτελέσµατα µελετών ολόκληρων πλοίων (πολεµικό και εµπορικό) που περιγράφονται στη βιβλιογραφία. Το πρόγραµµα ΜAESTRO που αναφέρθηκε πιο πάνω συνιστά ένα συγκεκρι- µένο τρόπο µελέτης της κατασκευής του πλοίου. Σε σύγκριση µε προγράµµατα ΠΣ γενικής εφαρµογής διαθέτει συγκεκριµένα πλεονεκτήµατα που διευκολύνουν την επίλυση ναυπηγικών κατασκευών όπως π.χ. ειδικευµένα στοιχεία, δυνατότητες επιβολής υδροστατικής φόρτισης µε γρήγορο και ακριβή τρόπο, ορθολογική βελτιστοποίηση της προτεινόµενης διάταξης µε βάση διάφορα κριτήρια και αξιολόγηση των αποτελεσµάτων. Στο Κεφάλαιο 9 περιγράφεται η χρήση του ΜΑESTRO µε έµφαση στα πεπερασµένα στοιχεία που χρησιµοποιεί και την κατάλληλη διακριτοποίηση τµηµάτων της κατασκευής. Στο Κεφάλαιο 10 περιγράφεται η χρήση του προγράµµατος ALGOR για την ανάλυση της κατασκευής ενός συγκεκριµένου σκάφους. Παρατίθενται ορισµένα από τα αποτελέσµατα που αποκτήθηκαν για το συγκεκριµένο σκάφος, ένα επιβατηγό-οχηµαταγωγό ανοικτού τύπου που κατασκευάσθηκε στη Ελλάδα και λειτουργεί µέχρι σήµερα. Πλοία αυτού του τύπου συναντώνται σε όλα τα ελληνικά πελάγη. Στο Κεφάλαιο 11 του βιβλίου περιγράφεται η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών και δίνεται µία σύντοµη εισαγωγή στην κλασσική θεωρία των πεπερασµένων διαφορών, µέσω της διατύπωσης συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων. Ακολουθεί περιγραφή µοντέλου ενός λεπτότοιχου ελάσµατος υπό καµπτική φόρτιση και εξετάζονται µία σειρά περιπτώσεων (τετράγωνο έλασµα υπό χωρικά µεταβαλλόµενο κατανεµηµένο φορτίο, έλασµα µε διάφορες οριακές συνθήκες µε έξι πλευρές και τέλος δοκός υποβαλλόµενη σε καθαρή στρέψη στα άκρα). Σε συνέχεια περιγράφεται η βελτίωση της ακρίβειας λύσεων µε χρήση διαστηµάτων µεταβαλλό- µενων διαστάσεων γιά διδιάστατα προβλήµατα. Στο δεύτερο µέρος του Κεφαλαίου 11 περιγράφεται η µέθοδος της δυναµικής χαλάρωσης η οποία είναι µία επαναληπτική µέθοδος που έχει αποδειχθεί ισχυρό εργαλείο γιά τη λύση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων στη µη-γραµµική περιοχή (µεταλυγισµική συµπεριφορά, πλαστικοποίηση, κατάρρευση). Περιγράφονται ο αλγόριθµος και οι συνθήκες εξασφάλισης αριθµητικής ευστάθειας της λύσης. Τέλος δίνεται και ένα απλό παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου αυτής, που αφορά τη γραµµική απόκριση δοκού ορθογώνιας διατοµής υπό δυναµικές φορτίσεις.

7 Εισαγωγή Ε- 7 Στο στάδιο αυτό έχει αποπερατωθεί η περιγραφή του υποβάθρου των υπολογιστικών µεθόδων που χρησιµοποιούνται γιά τη µελέτη των κατασκευών στη γραµ- µική ελαστική περιοχή. Είναι απαραίτητο όµως να εξετασθεί η ακρίβεια των αριθ- µητικών λύσεων που αποκτώνται µε τη ΜΠ και τη ΜΠΣ καθότι, επειδή αντικαθίσταται το συνεχές µέσο µε ένα διακριτό στους κόµβους του οποίου αποκτώνται οι λύσεις, υπεισέρχεται κάποιο σφάλµα. Εκτός δε αυτού του σφάλµατος προκύπτουν και σφάλµατα από άλλες πηγές, µία από τις οποίες οφείλεται στη χρήση των Η/Υ, στους οποίους οι πραγµατικοί αριθµοί αναπαριστώνται µε δεκαδικούς που έχουν πεπερασµένο αριθµό ψηφίων. Εκτός των σφαλµάτων που οφείλονται στην προσεγγιστική φύση των λύσεων, δύο άλλες συγγενείς έννοιες που κατέχουν θεµελιώδη σηµασία γιά τις αριθµητικές διαδικασίες είναι η αριθµητική ευστάθεια και η σύγκλιση στην ακριβή λύση της υπό επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Όσον αφορά τη ΜΠ δίνονται ορισµένα κριτήρια ευστάθειας στο Κεφάλαιο 11. Είναι όµως απαραίτητο να περιγραφούν στο στάδιο αυτό και οι µέθοδοι σύστασης των κριτηρίων αυτών γιά τις δύο µεθόδους. Ορίζονται οι έννοιες του µέτρου (νόρµας) διανύσµατος και του φασµατικού µέτρου και εξετάζεται η σύγκλιση των λύσεων της ΜΠΣ. Σε εδάφια που ακολουθούν εξετάζεται η ευστάθεια λύσεων της ΜΠ και παρατίθεται το θεώρηµα του Lax. Στο τέλος του κεφαλαίου εξετάζεται η ευστάθεια και η σύγκλιση του αλγορίθµου της δυνα- µικής χαλάρωσης, που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 11. Τα παραρτήµατα που ακολουθούν περιλαµβάνουν α) Απόδειξη του θεωρήµατος απόκλισης του Gauss β) Μέθοδο υπολογισµού υδροστατικής πίεσης στη γάστρα πλοίου για χρήση µε προγράµµατα γενικής εφαρµογής γ) Συνοπτικές οδηγίες χρήσης των προγραµµάτων ALGOR και MAESTRO, δ) Πηγαίο κώδικα επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης της δοκού-κολόνας µε τη ΜΠ και ε) Πηγαίο κώδικα επίλυσης κατασκευών µε τη µητρωική µέθοδο και αρχείο αποτελεσµάτων. Κλείνοντας την εισαγωγική αυτή σηµείωση θα πρέπει να θιγούν και ορισµένα θέµατα που θα βοηθήσουν τον µελετητή ναυπηγό στην εργασία του και στο µέλλον. Επειδή είναι σαφές ότι η εφαρµογή των αριθµητικών µεθόδων είναι σε διαρκή εξέλιξη και µελλοντικά αναµένεται να είναι εφικτό να αποκτώνται λύσεις σε πιό σύνθετα προβλήµατα, αποτελεί επιτακτική ανάγκη γιά τον µελετητή µηχανικό να τηρείται ενήµερος των εξελίξεων. Μία πρώτη προσπάθεια προσέγγισης όµως στη βιβλιογραφία µάλλον θα έχει αποθαρρυντικά αποτελέσµατα καθώς ο αριθµός των κειµένων που αφορούν τις αριθµητικές µεθόδους είναι πολύ µεγάλος, καθιστόντας της επιτυχηµένη επιλογή κατάλληλου βοηθήµατος δύσκολη. Γιά διευκόλυνση, αναφέρεται ότι είναι δυνατόν µέσω του διαδικτύου να αποκτηθούν ενηµερωµένες πληροφορίες σχετικά µε τις νεότερες δυνατότητες των προγραµµάτων που διατίθενται στην αγορά. Μία αλλη πολύ χρήσιµη πηγή συγκεκριµένα γιά τον ναυπηγό µελετητή είναι τα πρακτικά του International Ship and Offshore Structures Congress (ISSC) που συνεδριάζει ανά τριετία. Στα πρακτικά αυτά αναφέρεται και αξιολογείται η βιβλιογραφία της παρελθούσας τριετίας στο σχετικά εξειδικευµένο θέµα της µελέτης των ναυπηγικών κατασκευών µε αριθµητικές µεθόδους. Έτσι, ο

8 Ε-8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές αναγνώστης αποκτά µία ισορροπηµένη εικόνα των τελευταίων εξελίξεων και επωφελείται της εµπειρίας και κρίσης των εκάστοτε συγγραφέων. Τέλος πρέπει να εκφρασθούν ειλικρινείς ευχαριστίες προς τον κ. Μιχάλη Τούλιο, Επιστηµονικό Βοηθό στην περιοχή της Στατικής Θαλασσίων Κατασκευών, για τις παρατηρήσεις του σχετικά µε το κείµενο που συνέβαλαν στη βελτίωσή του.

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 1. Εισαγωγικές έννοιες... 17 1.1 Φορτία... 17 1.2 Η φέρουσα συμπεριφορά των βασικών υλικών... 22 1.2.1 Χάλυβας... 23 1.2.2 Σκυρόδεμα... 27 1.3 Η φέρουσα συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,,

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 12 η Επίλυση 2ας Προόδου & Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη 5 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Η χρήση της ΜΠΣ κατά τη µελέτη των κατασκευών

Η χρήση της ΜΠΣ κατά τη µελέτη των κατασκευών 7 Η χρήση της ΜΠΣ κατά τη µελέτη των κατασκευών. Επιλογή υπολογιστικού εργαλείου Κατά την πρώτη περίοδο εφαρµογής της, η ΜΠΣ χρησιµοποιήθηκε αποκλειστικά για την ανάλυση της συµπεριφοράς των κατασκευών,

Διαβάστε περισσότερα

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης Σύµβολα Ελληνικοί χαρακτήρες α γωνία (σε µοίρες) του κάθε ελάσµατος µε το οριζόντιο επίπεδο a i, b ι διαστήµατα α 1,α 2..α n γενικευµένες συντεταγµένες (πολυωνύµων µετατοπίσεων) α 1,..., α 5 σταθεροί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

1η φάση: Μόρφωση πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό δεξαμενών.

1η φάση: Μόρφωση πεπερασμένων στοιχείων για τον υπολογισμό δεξαμενών. ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΥΓΡΩΝ ΧΩΡΙΣ ΑΓΚΥΡΩΣΕΙΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ & ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο του παρόντος ερευνητικού έργου είναι η ανάπτυξη του απαραίτητου υπόβαθρου

Διαβάστε περισσότερα

Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.

Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες. Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθεί µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ΜΠΣ και στη χρήση της στην ανάλυση και το σχεδιασµό των λεπτότοιχων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Εισαγωγή στο Μάθημα Μηχανική των Υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Εισαγωγή/ Μηχανική Υλικών 1 Χρονοδιάγραμμα 2017 Φεβρουάριος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΤΟΧΗ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ. Αντικείμενο της αντοχής του πλοίου. Έλεγχος της κατασκευής του πλοίου

Η ΑΝΤΟΧΗ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ. Αντικείμενο της αντοχής του πλοίου. Έλεγχος της κατασκευής του πλοίου Η ΑΝΤΟΧΗ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ Αντικείμενο της αντοχής του πλοίου Αντικείμενο της αντοχής του πλοίου είναι η μελέτη της κατασκευής του πλοίου σε σχέση με την ικανότητα της να φέρει ασφαλώς τις κάθε είδους δράσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ,

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, v ΠEPIEXOMENA ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠEPIEXOMENA iii v KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 H µέθοδος των τοµών 2 1.3 Ορισµός της τάσης 3 1.4 Ο τανυστής των τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 20. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 2 Χειμερινό Εξάμηνο 213 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/214, 12. Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας Απαγορεύεται η παρουσία & χρήση κινητού!

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις!

Εισαγωγικές Έννοιες. Οι καλές ταλαντώσεις! Εισαγωγικές Έννοιες Οι καλές ταλαντώσεις! Αντικείμενο της Δυναμικής Εισαγωγικές Έννοιες: Αντικείμενο της Δυναμικής των Κατασκευών: Ανάλυση της απόκρισης των κατασκευών που υπόκεινται σε δυναμική καταπόνηση

Διαβάστε περισσότερα

Η µελέτη ναυπηγικών κατασκευών µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων

Η µελέτη ναυπηγικών κατασκευών µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων 8 Η µελέτη ναυπηγικών κατασκευών µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων 1. Εισαγωγή 1.1 Οι πρώτες µελέτες Έχουµε δει ότι η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων αποτελεί εξέλιξη και επέκταση της µητρωικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Αναλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών

Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών Η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών. ιακριτοποίηση της κατασκευής Ένα σηµαντικό βήµα κατά την ανάλυση κατασκευών µε µητρωικές µεθόδους είναι η απόκτηση ενός διακριτού µαθηµατικού µοντέλου που αναπαριστά

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ... xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xviii 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΚΑΙ Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ... 1-1 1.1 Η πραγματική κατασκευή και η "Στατική Μελέτη" της... 1-3

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

0.3m. 12m N = N = 84 N = 8 N = 168 N = 32. v =0.2 N = 15. tot

0.3m. 12m N = N = 84 N = 8 N = 168 N = 32. v =0.2 N = 15. tot ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Αριθµητικές Εφαρµογές... Παράδειγµα γ: Ελαστική ευστάθεια πασσαλοθεµελίωσης Το παράδειγµα αυτό αφορά την µελέτη της ελαστικής ευστάθειας φορέως θεµελίωσης, ο οποίος αποτελείται από µια πεδιλοδοκό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ιευθυντής: Κωνσταντίνος Σπυράκος ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΜΕΡΙ Α 5ης Νοεµβρίου 2009 Απόστολος Κωνσταντινίδης Πολιτικός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συµπεράσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συµπεράσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 429 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συµπεράσµατα Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής πραγµατοποιήθηκε διερεύνηση της εφαρµοσιµότητας και της αξιοπιστίας των εδαφικών προσοµοιωµάτων δυο και τριών παραµέτρων,

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 21. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 21 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Μοντελοποίηση κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Κεφ.23 Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί την εκ των προτέρων εκτίμηση των δυνάμεων που αναμένεται να δράσουν επάνω στην κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της

Διαβάστε περισσότερα

3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ

3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΜΑΡΤΙΟΣ 2009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.1 Τύποι αντιστηρίξεων 3.2 Αυτοφερόμενες αντιστηρίξεις (πρόβολοι) 3.3 Αντιστηρίξεις με απλή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ.

ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. Panelco Designer Εγχειρίδιο χρήσης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Α.Π.Θ. Αναστάσιος Σέξτος, επίκ. καθ. Α.Π.Θ. Ανδρέας Κάππος, καθ. Α.Π.Θ. Panelco Designer Εγχειρίδιο χρήσης Στόχοι λογισμικού Οι βασικοί στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

9. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

9. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών 9. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Μοντελοποίηση κατασκευής Κατανομή φορτίων πλακών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών 008-009 Μητρωικές Μέθοδοι Μετατοπίσεων και Δυνάμεων Ανάλυσης Κατασκευών

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Προτεινόμενων Πτυχιακών Εργασιών

Πίνακας Προτεινόμενων Πτυχιακών Εργασιών ΕΝ.0-Α Έκδοση η /.0.0 ΣΧΟΛΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ: A Α/Α Τίτλος Θέματος Μέλος Ε.Π. Σύντομη Περιγραφή Προαπαιτούμενα γνωστικά πεδία Αριθμός Φοιτητών Προκαταρκτική

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

4.5 Αµφιέρειστες πλάκες

4.5 Αµφιέρειστες πλάκες Τόµος B 4.5 Αµφιέρειστες πλάκες Οι αµφιέρειστες πλάκες στηρίζονται σε δύο απέναντι παρυφές, όπως η s1 στην εικόνα της 4.1. Αν µία αµφιέρειστη πλάκα στηρίζεται επιπρόσθετα σε µία ή δύο ακόµη παρυφές και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΙ ΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή. Γενικές Εξισώσεις. Εφαρµογές. 1. Η γέφυρα. ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος

( ) ( ) ( ) Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή. Γενικές Εξισώσεις. Εφαρµογές. 1. Η γέφυρα. ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή Γενικές Εξισώσεις () p w ( x) = x+ M ( x) = w ( x) p w ( ) ( ) ( ) ( ) ( x) = x + x+ onst x p x onst x dm x =

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Το θεώρηµα του Τέηλορ Το θεώρηµα του Τέηλορ (Tayl) µάς δίνει τη δυνατότητα να αναπτύσσουµε συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

4. Προγραμματισμός Μεθόδου Άμεσης Δυσκαμψίας για Δικτυώματα

4. Προγραμματισμός Μεθόδου Άμεσης Δυσκαμψίας για Δικτυώματα ΠΠΜ 501: Προχωρημένη Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 4. Προγραμματισμός Μεθόδου Άμεσης Δυσκαμψίας για Δικτυώματα Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 2. Τι ονομάζουμε επίλυση προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων

Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων. Εισαγωγή Σφάλµατα µπορούν να προκύψουν κατά τη χρήση όλων γενικά των µεθόδων που βρίσκουν εφαρµογή στη µελέτη µηχανικών και άλλων προβληµάτων. Ορισµένα από αυτά ανακύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων)

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

και συνοριακές συνθήκες στο x = 0 και το x = L. Η ασθενής µορφή του προβλήµατος προκύπτει µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες της κάτωθι ισοδύναµης µορφής

και συνοριακές συνθήκες στο x = 0 και το x = L. Η ασθενής µορφή του προβλήµατος προκύπτει µε ολοκλήρωση κατά παράγοντες της κάτωθι ισοδύναµης µορφής 5. ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΓΚΛΙΣΗ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 5. Μια πιο µαθηµατική διατύπωση της µεθόδου Galerkn Έστω το πρόβληµα: Να βρεθεί η ( x) που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση:

Διαβάστε περισσότερα

14/2/2008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

14/2/2008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 14//008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 007-008 Το τυπολόγιο έχει παραχθεί αποκλειστικά για χρήση κατά την εξέταση του μαθήματος ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΜΨΗ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Βλάσης Κουµούσης

Καθ. Βλάσης Κουµούσης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Κυλινδρικά Κελύφη Καµπτική Θεωρία Οι µεµβρανικές δυνάµεις που προσδιορίζει η µεµβρανική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Προτεινόμενων Πτυχιακών Εργασιών

Πίνακας Προτεινόμενων Πτυχιακών Εργασιών ΕΝ42.0-Α Έκδοση η / 2.0.204 ΣΧΟΛΗ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ: ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΤΟΜΕΑΣ: A Α/Α Τίτλος Θέματος Μέλος Ε.Π. Σύντομη Περιγραφή Προαπαιτούμενα γνωστικά πεδία Αριθμός Φοιτητών Προκαταρκτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων 2 1. Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 3 1.1 Εισαγωγή Για να γίνει ο υπολογισμός μιας κατασκευής, θα πρέπει ο μελετητής μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

20/10/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού. Πανεπιστημιακός Υπότροφος

20/10/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού. Πανεπιστημιακός Υπότροφος Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πανεπιστημιακός Υπότροφος Τσιμεντοπολτός Περιλαμβάνονται διαγράμματα από τα βιβλία «Μηχανική των Υλικών» και «Δομικά Υλικά» του Αθανάσιου

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα)

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής

Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Κεφάλαιο 5 Περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζονται οι περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών οι οποίες συναντώνται σε προβλήματα γεωτεχνικής μηχανικής.

Διαβάστε περισσότερα

εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου. Τα αποτελέσµατα της έρευνας αυτής αξιολογήθηκαν µε στόχο τον εντοπισµό των προσοµοιωµάτων εκείνων που εκπληρώνουν κατ

εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου. Τα αποτελέσµατα της έρευνας αυτής αξιολογήθηκαν µε στόχο τον εντοπισµό των προσοµοιωµάτων εκείνων που εκπληρώνουν κατ i ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η αλµατώδης αύξηση της ισχύος των ηλεκτρονικών υπολογιστών τα τελευταία χρόνια κατέστησε εφικτή την δηµιουργία κατάλληλων υπολογιστικών «εργαλείων», τα οποία βοηθούν στην περαιτέρω ανάπτυξη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη ιαφραγµατική λειτουργία. Τόµος B

ΙΑπόστολου Κωνσταντινίδη ιαφραγµατική λειτουργία. Τόµος B Τόµος B 3.1.4 ιαφραγµατική λειτουργία Γενικά, αν υπάρχει εκκεντρότητα της φόρτισης ενός ορόφου, π.χ. από την οριζόντια ώθηση σεισµού, λόγω της ύπαρξης της πλάκας που στο επίπεδό της είναι πρακτικά άκαµπτη,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΑ από Ευστάθεια σε Κατασκευές από Σκυρόδεμα Φαινόμενα 2 ης Τάξης (Λυγισμός) ΟΚΑ από Ευστάθεια. ΟΚΑ από Ευστάθεια 29/5/2013

ΟΚΑ από Ευστάθεια σε Κατασκευές από Σκυρόδεμα Φαινόμενα 2 ης Τάξης (Λυγισμός) ΟΚΑ από Ευστάθεια. ΟΚΑ από Ευστάθεια 29/5/2013 ΟΚΑ από Ευστάθεια σε Κατασκευές από Σκυρόδεμα Φαινόμενα 2 ης Τάξης (Λυγισμός) ΟΚΑ από Ευστάθεια παρουσιάζεται σε κατασκευές οι οποίες περιλαμβάνουν δομικά στοιχεία μεγάλης λυγηρότητας με σημαντικές θλιπτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα