Εισαγωγή. λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη-

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή. λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη-"

Transcript

1 Εισαγωγή Είναι πράγµατι εντυπωσιακή η επιτυχία και η σε συνέχεια ευρεία διάδοση των υπολογιστικών µεθόδων 1, και ιδιαίτερα της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων, τις τελευταίες τρεις δεκαετίες. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι η εξέλιξη στην πληροφορική βάδισε παράλληλα µε αυτή στην µελέτη των κατασκευών µε υπολογιστικές και αριθµητικές µεθόδους 2 έτσι ώστε οι εξελίξεις στη µία περιοχή να έχουν καταλυτική επίδραση στην άλλη. Η ιστορία της πληροφορικής ξεκινά κατά τη διάρκεια του δευτέρου παγκοσµίου πολέµου και οι πρώτοι υπολογιστές έκαναν χρήση τεχνολογίας που σύντοµα ξεπεράσθηκε. Αµέσως όµως έγινε σαφές ότι έµελλαν να διαδραµατίσουν σηµαντικό ρόλο στις µελλοντικές εξελίξεις της τεχνολογίας και της επιστήµης του µηχανικού. Γεγονός είναι πάντως ότι οι πρώτες αριθµητικές µέθοδοι διατυπώθηκαν αρκετά χρόνια πριν, κατά τις πρώτες δεκαετίες του 20 ου αιώνα. Ετσι λοιπόν η ανάγκη γιά τη δυνατότητα ταχείας εκτέλεσης υπολογισµών, που σε πολλές περιπτώσεις επαναλαµβάνονται, είχε ήδη διαφανεί. Με την έλευση των πρώτων υπολογιστών η έρευνα στον τοµέα των αριθµητικών µεθόδων πραγµατικά όµως απογειώθηκε. Έτσι, τα πρώτα χρόνια εµφανίσθηκαν εργασίες στις οποίες διερευνήθηκε η δυνατότητα της συστηµατικής υποδιαίρεσης των κατασκευών σε µικρότερα τµήµατα και στους τρόπους αναπαράστασης της συµπεριφοράς τους. Την περίοδο αυτή αναπτύχθηκε η µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών. Είναι ενδιαφέρον όµως στο σηµείο αυτό να κάνουµε µια παρένθεση και να µνηµονεύσουµε και ορισµένους αρχαίους έλληνες στοχαστές στα γραφόµενα των οποίων διαφαίνεται η αντίληψη του ότι τα αντικείµενα του σύµπαντος αποτελούνται από µικρότερα τµήµατα που διατηρούν τις ίδιες ιδιότητες. Αυτή δε η παρατήρηση δεν αναφέρεται µόνο στους ηµόκριτο και Λεύκιππο, οι οποίοι ως γνωστό πρόταξαν την ατοµική θεωρία της ύλης αλλά και στον Αριστοτέλη, ο οποίος πραγ- 1 υπολογιστική µέθοδος : προϋποθέτει τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή για να αποκτηθεί λύση σε αποδεκτά όρια χρόνου και ακρίβειας 2 αριθµητική µέθοδος : προσεγγιστική µέθοδος που χρησιµοποιείται όταν η ακριβής µαθη- µατική επίλυση ενός προβλήµατος είναι υπερβολικά πολύπλοκη, χρονοβόρα, ή και αδύνατη. Θα πρέπει να διασφαλίζεται επαρκής ακρίβεια της λύσης. Στο παρόν κείµενο περιγράφονται υπολογιστικές µέθοδοι που κάνουν χρήση αριθµητικών τεχνικών. Ε-1

2 Ε-2 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές µατεύεται τη φύση του υλικού κόσµου στα ΦΥΣΙΚΑ 3. Στο Βιβλίο Ζ του κειµένου, στο οποίο εξετάζεται η διαιρετότητα των φυσικών σωµάτων, της κίνησης και του χρόνου, συµπεραίνονται µεταξύ άλλων τα εξής: Κάθε συνεχές απαρτίζεται από συνεχή και διαιρετά µέρη Κάθε χρονική στιγµή είναι αδιαίρετη και τίποτε δεν κινείται ή δεν ηρεµεί µέσα σε µία στιγµή Καθετί κινούµενο είναι διαιρετό Το κείµενο πραγµατεύεται επίσης το πεπερασµένο και την απειρότητα της κίνησης, την έκταση των κινουµένων σωµάτων και την κατάσταση ηρεµίας τους. Μπορούµε βέβαια να προβάλλουµε αντιρρήσεις µε ορισµένα από τα παραπάνω, ιδιαίτερα σε σχέση µε την αντίληψη της έννοιας της συνέχειας, γεγονός όµως είναι ότι η έννοια της υποδιαίρεσης, για την καλύτερη κατανόηση των φαινοµένων γενικά θεωρείται ως δεδοµένη. Ας επιστρέψουµε όµως στο σηµείο αυτό στις σηµερινές εξελίξεις. Η συµπεριφορά των φυσικών σωµάτων που εκτείνονται στον χώρο (ράβδοι, δοκοί, ελάσµατα, κελύφη) κατά τα αρχικά στάδια φόρτισής τους θεωρείται ότι είναι γραµµική και περιγράφεται από αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν το θεµέλιο λίθο γιά τη µελέτη υπό πιό σύνθετες συνθήκες φόρτισης ή σε υψηλότερες φορτίσεις οι οποίες και επιφέρουν µη-γραµµική απόκριση. Η µη-γραµµικότητα οφείλεται είτε στην ανάπτυξη πρόσθετων εντατικών πεδίων (π.χ. µεµβρανικών, καµπτικών τάσεων) είτε στην µεταβολή της συµπεριφοράς του υλικού λόγω αλλαγών στη µικροδοµή του (πλαστική συµπεριφορά). Η εξέλιξη των µεθόδων γιά την ακριβή µελέτη της µη-γραµµικής συµπεριφοράς αποτέλεσε γόνιµο έδαφος γιά έρευνα τα τελευταία χρόνια και ήδη επιτεύχθηκε η επίλυση πολλών προβληµάτων κατασκευών που επιδεικνύουν µη-γραµµική συ- µπεριφορά. Ως αποτέλεσµα όµως τα εργαλεία που αναπτύχθηκαν είναι σαφώς πιό πολύπλοκα και δύσχρηστα και χρησιµοποιούνται κυρίως σε ερευνητικές εργασίες. εν αποτελούν δηλαδή προς το παρόν εργαλεία καθηµερινής χρήσης γιά τον επαγγελµατία µηχανικό. Γιά το λόγο αυτό, κρίθηκε σκόπιµο να µην επεκταθεί η ύλη σε συναφή θέµατα αλλά να περιορισθεί στη γραµµική ελαστική θεώρηση της συµπεριφοράς των κατασκευών. Η γραµµική ελαστική θεώρηση µπορεί να µας δώσει ακριβείς πληροφορίες (απόλυτα ακριβείς λύσεις) γιά τις κατανοµές των τάσεων και των βελών κάµψης σε µεταλλικές κατασκευές οιασδήποτε µορφολογίας, γεγονός που διευκολύνει τη δουλειά του µελετητή σε σηµαντικό βαθµό. Ετσι, η εξέταση των κατανοµών τάσεων και βελών κάµψης στα διάφορα τµήµατα της µεταλλικής κατασκευής του πλοίου η διάταξη των οποίων στο χώρο είναι πραγµατικά πολύπλοκη (συνδέσεις 3 Αριστοτέλους ΦΥΣΙΚΗ ΑΚΡΟΑΣΙΣ (Τα Φυσικά) Μετ. Κ.. Γεωργούλη, Εκδόσεις Παπαδήµα, 1992.

3 Εισαγωγή Ε- 3 νοµέων µε διαµήκεις ενισχύσεις, υπερκατασκευές, καθώς φυσικά και η µεταλλική κατασκευή του πλοίου στο σύνολό του) είναι πλέον εφικτή. Μάλιστα έχει διαφανεί ότι πολλές από τις παραδοχές που εχρησιµοποιούντο στο παρελθόν γιά τις συνοριακές συνθήκες στα διάφορα σηµεία της κατασκευής σε θεωρητικές µεθόδους δεν ανταποκρίνονται στην πραγµατικότητα, και απαιτείται περισσότερη προσπάθεια γιά τη σωστή αναπαράστασή τους. Τα προγράµµατα πεπερασµένων στοιχείων όπως αυτά που αναφέρονται και περιγράφονται παρακάτω µπορούν λοπόν να χρησιµοποιηθούν γιά την ακριβή µελέτη της συµπεριφοράς, όπως αυτή προβλέπεται από τις διατάξεις των νηογνωµόνων, καθώς ο σχεδιασµός της µεταλλικής κατασκευής του πλοίου είναι τέτοιος ώστε η κατασκευή να συµπεριφέρεται ελαστικά, δηλαδή, οι τάσεις που αναπτύσσονται να είναι µικρότερες της τάσης διαρροής του υλικού. Η γραµµική ελαστική θεώρηση δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί γιά την εξέταση της απόκρισης όταν τα βέλη κάµψης υπερβαίνουν κάποια όρια, ανάλογα µε το είδος της κατασκευής, και κατά κανόνα οι τιµές που δίνουν αποκλίνουν σταδιακά όλο και περισσότερο από τις αντίστοιχες ακριβείς, για αυξανόµενες φορτίσεις. ε µπορούν επίσης να χρησιµοποιηθούν όταν προκύπτει διαρροή σε κάποια περιοχή της κατασκευής, και κατά συνέπεια δεν µπορεί να προβλεφθεί το φορτίο κατάρρευσης και η συµπεριφορά σε µεταγενέστερα στάδια. Γιά να επιτευχθεί αυτό απαιτείται κατά κανόνα να συµπληρωθούν οι διαθέσιµοι αλγόριθµοι µε πρόσθετα υπολογιστικά εργαλεία. Γιά να γίνει σαφές ότι οι αριθµητικές µέθοδοι θεωρούνται πλέον συµβατικά εργαλεία του µελετητή ναυπηγού αναφέρουµε ότι οι νηογνώµονες αποδέχονται κατά κανόνα αποτελέσµατα αντίστοιχων µελετών γιά την κατάταξη πλοίων. Επειδή δε η µελέτη της κατασκευής µε τη ΜΠΣ δίνει ακριβέστερα αποτελέσµατα από αυτά που προβλέπονται στις διατάξεις των κανονισµών, στις οποίες εισάγονται συντελεστές ασφάλειας (αλλά και «άγνοιας» σε πολλές περιπτώσεις), οι απαιτούµενες διαστάσεις (πάχη, ροπές αντίστασης) της µεταλλικής κατασκευής είναι σε ορισµένες περιπτώσεις µικρότερες. Συνεπώς η κατασκευή σχεδιάζεται ως ελαφρύτερη, γεγονός που µπορεί να συµβάλλει στην επίδοσή της. Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτελούν τα ταχύπλοα µικρά επιβατηγά σκάφη και τα πλοία νέας τεχνολογίας γιά τα οποία κάθε κέρδος από πλευράς βάρους της κατασκευής σηµαίνει αύξηση της µεταφορικής ικανότητας. Γιά τα πλοία αυτά η µοναδιαία αύξηση του βυθίσµατος ανά µονάδα βάρους της κατασκευής είναι υψηλή και συνεπώς είναι επιβεβληµένη η βελτιστοποίηση της κατασκευής από πλευράς βάρους. Εχοντας αναφερθεί στα σηµαντικά πλεονεκτήµατα των αριθµητικών µεθόδων θα πρέπει να απαριθµήσουµε και τα µειονεκτήµατά τους. Τα µειονεκτήµατά τους επιδρούν σε διάφορα επίπεδα. Από πλευράς µελετητή ο χρόνος προετοιµασίας των δεδοµένων και ελέγχου των αποτελεσµάτων είναι ίσως το σηµαντικότερο µειονέκτηµα. Θα πρέπει επίσης ο µελετητής να είναι έµπειρος χρήστης και γνώστης σε βάθος της µεθόδου και του προγράµµατος που χρησιµοποιεί, καθώς τα αποτελέ-

4 Ε-4 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές σµατα που δίνουν τα προγράµµατα µπορούν πολύ εύκολα να µην αντιστοιχούν στο πρόβληµα η λύση του οποίου ζητιέται. Από πλευράς ερµηνείας των αποτελεσµάτων ο µελετητής θα πρέπει να γνωρίζει τις δυνατότητες του προγράµµατος που χρησιµοποιεί και να είναι σε θέση να αξιολογεί τα αποτελέσµατα σε σχέση µε τις αρχές της µηχανικής, δηλαδή να είναι σε θέση να αποδίδει τη σωστή φυσική σηµασία στα αριθµητικά αποτελέσµατα. Αυτό δεν είναι πάντοτε εύκολο και σε περιπτώσεις σύνθετων προβληµάτων (π.χ. καταπόνηση λόγω κάµψης αλλά και θερµικού πεδίου) θα πρέπει να καταστρώνεται στρατηγική αντιµετώπισης του κάθε προβλήµατος. Στο θέµα αυτό βοηθά και η διαθέσιµη εµπειρία. Το κείµενο του βιβλίου Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται µια εισαγωγή στις µεθοδολογίες επίλυσης κατασκευών και παρατίθενται µερικά απλά παραδείγµατα. Σε συνέχεια γίνεται αναφορά σε ορισµένα αποτελέσµατα της ενεργειακής µεθόδου που βρίσκουν εφαρ- µογή στις αριθµητικές µεθόδους (αρχή των δυνατών έργων, αντίστροφα θεωρή- µατα των Betti και Maxwell). Τα τελευταία χρησιµοποιούνται στο Κεφάλαιο 2, που περιλαµβάνει µία συστη- µατική περιγραφή της µητρωικής µεθόδου µελέτης των κατασκευών. Τίθεται το γενικό πρόβληµα της διακριτοποίησης, και εξετάζεται ένα σύστηµα τριών βαθµών ελευθερίας στο οποίο ασκούνται τρεις εξωτερικές δυνάµεις. Στο επόµενο στάδιο εξετάζεται η ισορροπία µίας πιό σύνθετης κατασκευής, και τη χρήση του στοιχείου-ράβδου, ενώ η λύση του προβλήµατος αποκτάται πλέον σε γενικό σύστηµα αναφοράς. Ενα δεύτερο παράδειγµα µετασχηµατισµού των εξισώσεων δίνεται γιά ένα διδιάστατο πλαίσιο. Ακολουθεί περιγραφή ορισµένων τεχνικών που υποβοηθούν την επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας διακριτοποιµένων κατασκευών. Στο επόµενο εδάφιο εξετάζεται το στοιχείο δοκός-κολόνα στα άκρα του οποίου ασκούνται και καµπτικά φορτία. ιατυπώνεται το µητρώο ακαµψίας του στοιχείου και αποκτώνται οι όροι του µε µία σειρά τεχνικών (ισορροπία, σχέσεις τάσεωνπαραµορφώσεων, αντιµετάθεσης δεικτών, θεωρία δοκών και ενεργειακών µεθόδων). Ως παράδειγµα εφαρµογής εξετάζεται ένα πλαίσιο που φέρει κατανεµηµένα φορτία. Σε συνέχεια περιγράφεται ο τρόπος συγκρότησης του γενικού µητρώου ακαµψίας µίας σύνθετης κατασκευής µε τη µέθοδο της άµεσης σύνθεσης των ακαµψιών. Τίθεται το πρόβληµα της επίλυσης µεγάλων συστηµάτων εξισώσεων γιά πολύπλοκες κατασκευές και περιγράφεται η χρήση της µεθόδου της στατικής συµπύκνωσης γιά την απλοποίηση του προβλήµατος. Ακολουθεί περιγραφή του στοιχείου δοκού-πλαισίου και στο τελευταίο µέρος του κεφαλαίου περιγράφονται οι τεχνικές κωδικοποίησης της µητρωικής µεθόδου σε Η/Υ. Έχοντας περιγράψει τη µητρωική µέθοδος µελέτης των κατασκευών, είναι δυνατό να προχωρήσουµε στην περαιτέρω επέκτασή της στη καθ εαυτό µέθοδο των

5 Εισαγωγή Ε- 5 πεπερασµένων στοιχείων (ΜΠΣ). Η βασική έννοια της µεθόδου είναι η υποδιαίρεση ενός συνεχούς µέσου (κατασκευής) σε νοητά, διακριτά τµήµατα τα οποία συνδέονται κατά κατάλληλο τρόπο στα άκρα ή κατά µήκος των πλευρών τους ώστε να είναι εφικτή η αναπαράσταση της συµπεριφοράς του συνόλου. Γιά να επιτευχθεί αυτό, οι µετατοπίσεις στα άκρα των συνόρων των στοιχείων πρέπει να είναι συµβατές µε τις µετατοπίσεις στο εσωτερικό των στοιχείων, θα πρέπει δηλαδή να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας και γεωµετρικής συµβιβαστότητας. Η µέθοδος εδραιώνεται µε βάση τη µέθοδο των µετατοπίσεων και περιγράφονται οι εξισώσεις ισορροπίας γραµµικών προβληµάτων στο στατικό και δυναµικό πεδίο. Ακολουθούν δύο παραδείγµατα απόκτησης των χαρακτηριστικών µητρώων των στοιχείων. Σε επόµενα εδάφια περιγράφεται ο µετασχηµατισµός σε γενικό σύστηµα αναφοράς, και διάφορες µέθοδοι επιβολής συνοριακών συνθηκών. Στο τελευταίο µέρος του κεφαλαίου γίνεται χρήση µίας συστηµατικής µεθόδου γιά την απόκτηση των χαρακτηριστικών µητρώων διαφόρων στοιχείων (τριγωνικό στοιχείο σταθερών τάσεων, ορθογώνιο στοιχείο σταθερών παραµορφώσεων, ορθογώνιο στοιχείο σταθερής διατµητικής τάσης). Στο Κεφάλαιο 4 περιγράφονται µια σειρά στοιχείων που χρησιµοποιούνται για τη µελέτη λεπτών ελασµάτων. Αναφέρονται οι θεωρίες Kirchhoff και Mindlin και εδραιώνονται οι ιδιότητες συγκεκριµένων στοιχείων (τριγωνικών και ορθογωνίων). Στο κεφάλαιο που ακολουθεί περιγράφονται τα ισοπαραµετρικά στοιχεία. Περιγράφονται οι φυσικές συνεταγµένες και εδραιώνεται το ισοπαραµετρικό στοιχείοράβδος. Για το αντίστοιχο τετράπλευρο στοιχείο αποκτιέται το µητρώο ακαµψίας και επιτελούνται οι αντίστοιχοι µετασχηµατισµοί στο γενικό σύστηµα αναφοράς. Το κεφάλαιο κλείνει µε ορισµένες παρατηρήσεις σχετικά µε την πρακτική χρήση των στοιχείων αυτών. Στο Κεφάλαιο 5 περιγράφεται η θεµελίωση της ΜΠΣ, κατ αρχή µε τη µέθοδο του λογισµού των µεταβολών και σε συνέχεια µε τη µέθοδο Rayleigh-Ritz. Η µέθοδος του λογισµού των µεταβολών επιτρέπει την απόκτηση των εξισώσεων ισορροπίας οι οποίες γράφονται σε µητρωική µορφή και µπορούν να επιλυθούν σε επό- µενο στάδιο. Κατά τη µέθοδο Rayleigh-Ritz γίνεται χρήση πολυωνυµικών αναπτυγµάτων γιά τη προσεγγιστική αναπαράσταση των πεδίων των µετατοπίσεων. Στο τελευταίο εδάφιο περιγράφεται η χρήση της µεθόδου Rayleigh-Ritz γιά την εδραίωση της ΜΠΣ. Κατ αυτήν, η ΜΠΣ µπορεί να θεωρηθεί εφαρµογή της µεθόδου R-R όταν το προσεγγιστικό πεδίο παρεµβάλλεται τµηµατικά µεταξύ βαθµών ελευθερίας που αντιστοιχούν µε τιµές στους κόµβους του πεδίου. Στο Κεφάλαιο 7 γίνεται αναφορά σε θέµατα που αφορούν την πρακτική χρήση της ΜΠΣ για τη µελέτη κατασκευών. Εξετάζονται θέµατα που αφορούν την όλη διαδικασία µιας µελέτης µε αναφορά στη διακριτοποίηση, την επιβολή φορτίων, τον έλεγχο ακρίβειας των αποτελεσµάτων, και διάφορες τεχνικές βελτίωσης της ακρίβειας της µεθόδου.

6 Ε-6 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές Στο Kεφάλαιο 8 περιγράφονται οι εφαρµογές της ΜΠΣ στη λύση προβληµάτων ναυπηγικών κατασκευών. Γίνεται αναφορά σε δύο διαφορετικές προσεγγίσεις στο θέµα της µελέτης της κατασκευής του πλοίου - τα προγράµµατα MAESTRO και GODDESS. Ακολουθεί η περιγραφή στοιχείων κατάλληλων για τη µελέτη της κατασκευής του πλοίου. Σε συνέχεια περιγράφονται τρόποι διακριτοποίησης της κατασκευής. Περιγράφονται απαιτήσεις των νηογνωµόνων όσον αφορά τη χρήση των προγραµµάτων αυτών για τη µελέτη των bulk carriers και containerships. Τέλος περιγράφονται επιλεγµένα αποτελέσµατα µελετών ολόκληρων πλοίων (πολεµικό και εµπορικό) που περιγράφονται στη βιβλιογραφία. Το πρόγραµµα ΜAESTRO που αναφέρθηκε πιο πάνω συνιστά ένα συγκεκρι- µένο τρόπο µελέτης της κατασκευής του πλοίου. Σε σύγκριση µε προγράµµατα ΠΣ γενικής εφαρµογής διαθέτει συγκεκριµένα πλεονεκτήµατα που διευκολύνουν την επίλυση ναυπηγικών κατασκευών όπως π.χ. ειδικευµένα στοιχεία, δυνατότητες επιβολής υδροστατικής φόρτισης µε γρήγορο και ακριβή τρόπο, ορθολογική βελτιστοποίηση της προτεινόµενης διάταξης µε βάση διάφορα κριτήρια και αξιολόγηση των αποτελεσµάτων. Στο Κεφάλαιο 9 περιγράφεται η χρήση του ΜΑESTRO µε έµφαση στα πεπερασµένα στοιχεία που χρησιµοποιεί και την κατάλληλη διακριτοποίηση τµηµάτων της κατασκευής. Στο Κεφάλαιο 10 περιγράφεται η χρήση του προγράµµατος ALGOR για την ανάλυση της κατασκευής ενός συγκεκριµένου σκάφους. Παρατίθενται ορισµένα από τα αποτελέσµατα που αποκτήθηκαν για το συγκεκριµένο σκάφος, ένα επιβατηγό-οχηµαταγωγό ανοικτού τύπου που κατασκευάσθηκε στη Ελλάδα και λειτουργεί µέχρι σήµερα. Πλοία αυτού του τύπου συναντώνται σε όλα τα ελληνικά πελάγη. Στο Κεφάλαιο 11 του βιβλίου περιγράφεται η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών και δίνεται µία σύντοµη εισαγωγή στην κλασσική θεωρία των πεπερασµένων διαφορών, µέσω της διατύπωσης συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων. Ακολουθεί περιγραφή µοντέλου ενός λεπτότοιχου ελάσµατος υπό καµπτική φόρτιση και εξετάζονται µία σειρά περιπτώσεων (τετράγωνο έλασµα υπό χωρικά µεταβαλλόµενο κατανεµηµένο φορτίο, έλασµα µε διάφορες οριακές συνθήκες µε έξι πλευρές και τέλος δοκός υποβαλλόµενη σε καθαρή στρέψη στα άκρα). Σε συνέχεια περιγράφεται η βελτίωση της ακρίβειας λύσεων µε χρήση διαστηµάτων µεταβαλλό- µενων διαστάσεων γιά διδιάστατα προβλήµατα. Στο δεύτερο µέρος του Κεφαλαίου 11 περιγράφεται η µέθοδος της δυναµικής χαλάρωσης η οποία είναι µία επαναληπτική µέθοδος που έχει αποδειχθεί ισχυρό εργαλείο γιά τη λύση συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων στη µη-γραµµική περιοχή (µεταλυγισµική συµπεριφορά, πλαστικοποίηση, κατάρρευση). Περιγράφονται ο αλγόριθµος και οι συνθήκες εξασφάλισης αριθµητικής ευστάθειας της λύσης. Τέλος δίνεται και ένα απλό παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου αυτής, που αφορά τη γραµµική απόκριση δοκού ορθογώνιας διατοµής υπό δυναµικές φορτίσεις.

7 Εισαγωγή Ε- 7 Στο στάδιο αυτό έχει αποπερατωθεί η περιγραφή του υποβάθρου των υπολογιστικών µεθόδων που χρησιµοποιούνται γιά τη µελέτη των κατασκευών στη γραµ- µική ελαστική περιοχή. Είναι απαραίτητο όµως να εξετασθεί η ακρίβεια των αριθ- µητικών λύσεων που αποκτώνται µε τη ΜΠ και τη ΜΠΣ καθότι, επειδή αντικαθίσταται το συνεχές µέσο µε ένα διακριτό στους κόµβους του οποίου αποκτώνται οι λύσεις, υπεισέρχεται κάποιο σφάλµα. Εκτός δε αυτού του σφάλµατος προκύπτουν και σφάλµατα από άλλες πηγές, µία από τις οποίες οφείλεται στη χρήση των Η/Υ, στους οποίους οι πραγµατικοί αριθµοί αναπαριστώνται µε δεκαδικούς που έχουν πεπερασµένο αριθµό ψηφίων. Εκτός των σφαλµάτων που οφείλονται στην προσεγγιστική φύση των λύσεων, δύο άλλες συγγενείς έννοιες που κατέχουν θεµελιώδη σηµασία γιά τις αριθµητικές διαδικασίες είναι η αριθµητική ευστάθεια και η σύγκλιση στην ακριβή λύση της υπό επίλυση διαφορικής εξίσωσης. Όσον αφορά τη ΜΠ δίνονται ορισµένα κριτήρια ευστάθειας στο Κεφάλαιο 11. Είναι όµως απαραίτητο να περιγραφούν στο στάδιο αυτό και οι µέθοδοι σύστασης των κριτηρίων αυτών γιά τις δύο µεθόδους. Ορίζονται οι έννοιες του µέτρου (νόρµας) διανύσµατος και του φασµατικού µέτρου και εξετάζεται η σύγκλιση των λύσεων της ΜΠΣ. Σε εδάφια που ακολουθούν εξετάζεται η ευστάθεια λύσεων της ΜΠ και παρατίθεται το θεώρηµα του Lax. Στο τέλος του κεφαλαίου εξετάζεται η ευστάθεια και η σύγκλιση του αλγορίθµου της δυνα- µικής χαλάρωσης, που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 11. Τα παραρτήµατα που ακολουθούν περιλαµβάνουν α) Απόδειξη του θεωρήµατος απόκλισης του Gauss β) Μέθοδο υπολογισµού υδροστατικής πίεσης στη γάστρα πλοίου για χρήση µε προγράµµατα γενικής εφαρµογής γ) Συνοπτικές οδηγίες χρήσης των προγραµµάτων ALGOR και MAESTRO, δ) Πηγαίο κώδικα επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης της δοκού-κολόνας µε τη ΜΠ και ε) Πηγαίο κώδικα επίλυσης κατασκευών µε τη µητρωική µέθοδο και αρχείο αποτελεσµάτων. Κλείνοντας την εισαγωγική αυτή σηµείωση θα πρέπει να θιγούν και ορισµένα θέµατα που θα βοηθήσουν τον µελετητή ναυπηγό στην εργασία του και στο µέλλον. Επειδή είναι σαφές ότι η εφαρµογή των αριθµητικών µεθόδων είναι σε διαρκή εξέλιξη και µελλοντικά αναµένεται να είναι εφικτό να αποκτώνται λύσεις σε πιό σύνθετα προβλήµατα, αποτελεί επιτακτική ανάγκη γιά τον µελετητή µηχανικό να τηρείται ενήµερος των εξελίξεων. Μία πρώτη προσπάθεια προσέγγισης όµως στη βιβλιογραφία µάλλον θα έχει αποθαρρυντικά αποτελέσµατα καθώς ο αριθµός των κειµένων που αφορούν τις αριθµητικές µεθόδους είναι πολύ µεγάλος, καθιστόντας της επιτυχηµένη επιλογή κατάλληλου βοηθήµατος δύσκολη. Γιά διευκόλυνση, αναφέρεται ότι είναι δυνατόν µέσω του διαδικτύου να αποκτηθούν ενηµερωµένες πληροφορίες σχετικά µε τις νεότερες δυνατότητες των προγραµµάτων που διατίθενται στην αγορά. Μία αλλη πολύ χρήσιµη πηγή συγκεκριµένα γιά τον ναυπηγό µελετητή είναι τα πρακτικά του International Ship and Offshore Structures Congress (ISSC) που συνεδριάζει ανά τριετία. Στα πρακτικά αυτά αναφέρεται και αξιολογείται η βιβλιογραφία της παρελθούσας τριετίας στο σχετικά εξειδικευµένο θέµα της µελέτης των ναυπηγικών κατασκευών µε αριθµητικές µεθόδους. Έτσι, ο

8 Ε-8 Υπολογιστικές µέθοδοι και εφαρµογές σε λεπτότοιχες κατασκευές αναγνώστης αποκτά µία ισορροπηµένη εικόνα των τελευταίων εξελίξεων και επωφελείται της εµπειρίας και κρίσης των εκάστοτε συγγραφέων. Τέλος πρέπει να εκφρασθούν ειλικρινείς ευχαριστίες προς τον κ. Μιχάλη Τούλιο, Επιστηµονικό Βοηθό στην περιοχή της Στατικής Θαλασσίων Κατασκευών, για τις παρατηρήσεις του σχετικά µε το κείµενο που συνέβαλαν στη βελτίωσή του.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.

Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες. Η µέθοδος των πεπερασµένων στοιχείων. Βασικές έννοιες.. Γενικά Στο κεφάλαιο αυτό θα δοθεί µία εισαγωγή στη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων ΜΠΣ και στη χρήση της στην ανάλυση και το σχεδιασµό των λεπτότοιχων

Διαβάστε περισσότερα

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης Σύµβολα Ελληνικοί χαρακτήρες α γωνία (σε µοίρες) του κάθε ελάσµατος µε το οριζόντιο επίπεδο a i, b ι διαστήµατα α 1,α 2..α n γενικευµένες συντεταγµένες (πολυωνύµων µετατοπίσεων) α 1,..., α 5 σταθεροί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ

Η ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΚΠΟΝΗΣΗ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΜΕΛΕΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ιευθυντής: Κωνσταντίνος Σπυράκος ΣΥΓΧΡΟΝΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΜΕΡΙ Α 5ης Νοεµβρίου 2009 Απόστολος Κωνσταντινίδης Πολιτικός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1

Γιώργος Μπουκοβάλας. Φεβρουάριος 2015. Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 3. Ανάλυση & Σχεδιασμός ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΗΡΙΞΕΩΝ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. Φεβρουάριος 2015 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 3.1 Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών

Αντισεισμικοί κανονισμοί Κεφ.23. Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Κεφ.23 Ε.Σώκος Εργαστήριο Σεισμολογίας Παν.Πατρών Ο αντισεισμικός σχεδιασμός απαιτεί την εκ των προτέρων εκτίμηση των δυνάμεων που αναμένεται να δράσουν επάνω στην κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ο προσδιορισµός των χαρακτηριστικών τιµών αντοχής του υλικού που ορίζονταιστηκάµψη, όπωςτοόριοδιαρροήςσεκάµψηκαιτοόριοαντοχής

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Παραδόσεις Θεωρίας. Προσομοίωση φορέα με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. ιδάσκων: Κίρτας Εμμανουήλ. Σέρρες, Σεπτέμβριος 2008 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΕΙ ΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων

Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων Σφάλµατα αριθµητικών λύσεων. Εισαγωγή Σφάλµατα µπορούν να προκύψουν κατά τη χρήση όλων γενικά των µεθόδων που βρίσκουν εφαρµογή στη µελέτη µηχανικών και άλλων προβληµάτων. Ορισµένα από αυτά ανακύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354

Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 http://www.sofistik.gr/ Μεταλλικές και Σύμμικτες Κατασκευές Νέα έκδοση προγράμματος STeel CONnections 2010.354 Aξιότιμοι συνάδελφοι, Κυκλοφόρησε η νέα έκδοση του προγράμματος διαστασιολόγησης κόμβων μεταλλικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης 5.1. Μορφές κάµψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης Η γενική κάµψη (ή κάµψη), κατά την οποία εµφανίζεται στο φορέα (π.χ. δοκό) καµπτική ροπή (Μ) και τέµνουσα δύναµη (Q) (Σχ. 5.1.α).

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες:

Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος CE07_S04 Πιστωτικές. Φόρτος εργασίας μονάδες: Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Μεταλλικές Κωδικός CE07_S04 μαθήματος: Κατασκευές ΙI μαθήματος: Πιστωτικές Φόρτος εργασίας μονάδες: 5 150 (ώρες): Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ

2. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 3. ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΗΡΑΓΓΑ 3. Παραδοχές Σήραγγα κυκλικής διατοµής (ακτίνα ) Συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης (κατά τον άξονα της σήραγγας z) Ισότροπη γεωστατική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ "ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙ" (Α Εξ.) "ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ" Τεχνική θεωρία πλαστικής κάμψης. Πλήρως πλαστική ροπή, ελαστοπλαστικό σύνορο, επιρροή διατμητικών και αξονικών δυνάμεων.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναλήψεις. Τετάρτη, 1 & Παρασκευή,, 3 εκεµβρίου 2004. komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk. Πέτρος Κωµοδρόµος

Επαναλήψεις. Τετάρτη, 1 & Παρασκευή,, 3 εκεµβρίου 2004. komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk. Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι Επαναλήψεις Τετάρτη, 1 & Παρασκευή,, 3 εκεµβρίου 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 Θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET

Σχήμα 1: Διάταξη δοκιμίου και όργανα μέτρησης 1 BUILDNET Παραμετρική ανάλυση κοχλιωτών συνδέσεων με μετωπική πλάκα χρησιμοποιώντας πεπερασμένα στοιχεία Χριστόφορος Δημόπουλος, Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος Διδάκτωρ ΕΜΠ Περίληψη Η εν λόγω εργασία παρουσιάζει

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΕΡΓΟ : ΡΥΘΜΙΣΗ ΒΑΣΕΙ Ν.4178/2013 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΘΕΣΗ : Λεωφόρος Χαλανδρίου και οδός Παλαιών Λατομείων, στα Μελίσσια του Δήμου Πεντέλης ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση κατασκευής οχηµαταγωγού ανοικτού τύπου µε πρόγραµµα ΠΣ

Ανάλυση κατασκευής οχηµαταγωγού ανοικτού τύπου µε πρόγραµµα ΠΣ 10 Ανάλυση κατασκευής οχηµαταγωγού ανοικτού τύπου µε πρόγραµµα ΠΣ 1. Εισαγωγή Τα επιβατηγά-οχηµαταγωγά ανοικτού τύπου (παντόφλες) αποτελούν ναυπηγικές κατασκευές που συναντάµε σε µεγάλο αριθµό στην Ελλάδα.

Διαβάστε περισσότερα

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας

6 Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας Πρόλογος Σ το βιβλίο αυτό περιλαμβάνεται η ύλη του μαθήματος «Εισαγωγή στα Συστήματα Ηλεκτρικής Ενέργειας» που διδάσκεται στους φοιτητές του Γ έτους σπουδών του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235.

Νοέμβριος 2008. Άσκηση 5 Δίνεται αμφίπακτη δοκός μήκους L=6,00m με διατομή IPE270 από χάλυβα S235. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές Ι Διδάσκοντες : Ι Βάγιας Γ. Ιωαννίδης Χ. Γαντές Φ. Καρυδάκης Α. Αβραάμ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Φυσικά µεγέθη... 1 1.2 ιανυσµατική άλγεβρα... 2 1.3 Μετατροπές συντεταγµένων... 6 1.3.1 Μετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό σύστηµα... 6 1.3.2 Απειροστές ποσότητες...

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων

Πίνακας Περιεχομένων Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ & ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ & ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ

ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ & ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ & ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ & ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ & ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΤΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ: ΜΕΛΕΤΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΠΕΝΔΥΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα γίνει

Διαβάστε περισσότερα

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης

Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Σχεδιασµός φορέων από σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Οριακή κατάσταση αστοχίας έναντι ιάτµησης-στρέψης- ιάτρησης Καττής Μαρίνος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΜΠ Λιβαδειά, 26 Σεπτεµβρίου 2009 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 3 η komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος Παρασκευή, 10 Σεπτεµβρίου,, 2004

ιάλεξη 3 η komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος Παρασκευή, 10 Σεπτεµβρίου,, 2004 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 3 η Ισορροπία, στατικότητα και εντατικά µεγέθη κατασκευών Παρασκευή, 10 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η Σκοπός Σκοπός του πειράµατος είναι ηκατανόησητωνδιαδικασιώνκατάτηκαταπόνησηστρέψης, η κατανόηση του διαγράµµατος διατµητικής τάσης παραµόρφωσης η ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οριακές Καταστάσεις Σχεδιασµού - Συντελεστές Ασφαλείας - ράσεις Σχεδιασµού - Συνδυασµοί ράσεων - Εντατικές Καταστάσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οριακές Καταστάσεις Σχεδιασµού - Συντελεστές Ασφαλείας - ράσεις Σχεδιασµού - Συνδυασµοί ράσεων - Εντατικές Καταστάσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οριακές Καταστάσεις Σχεδιασµού - Συντελεστές Ασφαλείας - ράσεις Σχεδιασµού - Συνδυασµοί ράσεων - Εντατικές Καταστάσεις 1.1. Οριακές καταστάσεις σχεδιασµού (Limit States) Κατά τη διάρκεια ζωής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ Έργο Ιδιοκτήτες Θέση ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟ ΦΟΡΕΑ Η µελέτη συντάχθηκε µε το πρόγραµµα VK.STEEL 5.2 της Εταιρείας 4M -VK Προγράµµατα Πολιτικού Μηχανικού. Το VK.STEEL είναι πρόγραµµα επίλυσης χωρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 998 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... Ενεργειακές Αρχές της Μηχανικής... 5 Αρχή των Δυνατών Έργων... 5 Αρχή της Ελάχιστης Ολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΧΑΛΥΒΑΣ. Θερμής ελάσεως (ΕΝ10025) : 1. S225 (fy=235n/mm 2 fu=360n/mm 2 ) 2. S275 (fy=270n/mm2 fu=430n/mm2) 3. S355 (fy=355n/mm2 fu=510n/mm2)

ΥΛΙΚΑ ΧΑΛΥΒΑΣ. Θερμής ελάσεως (ΕΝ10025) : 1. S225 (fy=235n/mm 2 fu=360n/mm 2 ) 2. S275 (fy=270n/mm2 fu=430n/mm2) 3. S355 (fy=355n/mm2 fu=510n/mm2) ΥΛΙΚΑ ΧΑΛΥΒΑΣ Ψυχρής ελάσεως (ΕΝ10147) : 1. FeE 220G (fy=220n/mm 2 fu=300n/mm 2 ) 2. FeE 250G (fy=250n/mm2 fu=330n/mm2) 3. FeE 280G (fy=280n/mm2 fu=360n/mm2) Θερμής ελάσεως (ΕΝ10025) : 1. S225 (fy=235n/mm

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη

Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη Ανοξείδωτοι Χάλυβες - Μέρος 1.4 του Ευρωκώδικα 3 Ιωάννη Ραυτογιάννη Γιώργου Ιωαννίδη 1. Εισαγωγή Οι ανοξείδωτοι χάλυβες ως υλικό κατασκευής φερόντων στοιχείων στα δομικά έργα παρουσιάζει διαφορές ως προ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα

Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:911187 Υπεύθυνος Άσκησης: Κος Πέογλος Ημερομηνία Διεξαγωγής:3/11/25 Άσκηση 36 Μελέτη ακουστικών κυμάτων σε ηχητικό σωλήνα 1) Εισαγωγή: Σκοπός και στοιχεία Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Αρχές Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1) Να αναφέρετε τις 4 παραδοχές που ισχύουν για το ηλεκτρικό φορτίο 2) Εξηγήστε πόσα είδη κατανοµών ηλεκτρικού φορτίου υπάρχουν. ιατυπώστε τους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 7&8: ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

SCADA Pro. Ανάλυση & Διαστασιολόγηση των κατασκευών

SCADA Pro. Ανάλυση & Διαστασιολόγηση των κατασκευών SCADA Pro Ανάλυση & Διαστασιολόγηση των κατασκευών Ανάλυση & Διαστασιολόγηση των κατασκευών ΓΕΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ - Γενικά Χαρακτηριστικά του προγράμματος - Τεχνικά Χαρακτηριστικά του προγράμματος - Συνεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός τιμής του συντελεστή συμπεριφοράς «q» για κατασκευές προ του 1985 στην Αθήνα.

Υπολογισμός τιμής του συντελεστή συμπεριφοράς «q» για κατασκευές προ του 1985 στην Αθήνα. Υπολογισμός τιμής του συντελεστή συμπεριφοράς «q» για κατασκευές προ του 1985 στην Αθήνα. Ε.Μ. Παγώνη Πολιτικός Μηχανικός Α. Παπαχρηστίδης Πολιτικός Μηχανικός 4Μ-VK Προγράμματα Πολιτικών Μηχανικών ΕΠΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

2. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

2. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ 28 2. ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ Οι γεννήτριες εναλλασσόµενου ρεύµατος είναι δύο ειδών Α) οι σύγχρονες γεννήτριες ή εναλλακτήρες και Β) οι ασύγχρονες γεννήτριες Οι σύγχρονες γεννήτριες παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73

XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 XΑΛΥΒΔOΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 20 1 XΑΛΥΒΔΌΦΥΛΛΟ SYMDECK 73 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Σύμμικτες πλάκες ονομάζονται οι φέρουσες πλάκες οροφής κτιρίων, οι οποίες αποτελούνται από χαλυβδόφυλλα και επί τόπου έγχυτο

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια

Τα είδη της κρούσης, ανάλογα µε την διεύθυνση κίνησης των σωµάτων πριν συγκρουστούν. (α ) Κεντρική (ϐ ) Εκκεντρη (γ ) Πλάγια 8 Κρούσεις Στην µηχανική µε τον όρο κρούση εννοούµε τη σύγκρουση δύο σωµάτων που κινούνται το ένα σχετικά µε το άλλο.το ϕαινόµενο της κρούσης έχει δύο χαρακτηριστικά : ˆ Εχει πολύ µικρή χρονική διάρκεια.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠIΝΑΚΑΣ ΠΕΡIΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος...11 Πίνακας κυριότερων συμβόλων...13 ΚΕΦΑΛΑIΟ 1: Εισαγωγή 21 ΚΕΦΑΛΑIΟ 2: Απόκριση μεμονωμένου πασσάλου υπό κατακόρυφη φόρτιση 29 2.1 Εισαγωγή...29 2.2 Οριακό και επιτρεπόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2008 ΓΙΑ ΤΑ ΑΝΩΤΕΡΑ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΙΔΡΥΜΑΤΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ 4ωρο Τ.Σ. Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

µεταλλικές και σύµµικτες κατασκευές

µεταλλικές και σύµµικτες κατασκευές κατασκευές 3ης Σεπτεµβρίου 56, 10433 Αθήνα, Τηλ. 210-8220607, 210-8251632 Fax 210-8251632 info@sofistik.gr http://www.sofistik.gr 3ης Σεπτεµβρίου 56, 10433 Αθήνα, Τηλ. 210-8220607, 210-8251632 Fax 210-8251632

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι.

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι. ΙΟΥΛΙΟΣ-ΑΥΓΟΥΣΤΟΣ 2004 ΤΕΧΝΙΚΑ ΧΡΟΝΙΚΑ 1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ Α.Ε.Ι. Η πρόοδος και η ανάπτυξη της τεχνολογίας κατά τα τελευταία χρόνια οδήγησε στη σύσταση και λειτουργία εξειδικευμένων τεχνολογικών κέντρων

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΣΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΕΙΣ ΤΗΞΕΩΣ

ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΣΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΕΙΣ ΤΗΞΕΩΣ ΠΑΡΑΜΕΝΟΥΣΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΣΕ ΣΥΓΚΟΛΛΗΣΕΙΣ ΤΗΞΕΩΣ Τοπική θέρμανση συγκολλούμενων τεμαχίων Ανομοιόμορφη κατανομή θερμοκρασιών, πουμεαβάλλεταιμετοχρόνο Θερμικές παραμορφώσεις στο μέταλλο προσθήκης

Διαβάστε περισσότερα

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας

Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Dr. Anthony Montgomery Επίκουρος Καθηγητής Εκπαιδευτικής & Κοινωνικής Πολιτικής antmont@uom.gr Θεμελιώδεις Αρχές Επιστήμης και Μέθοδοι Έρευνας Αυτό το μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ)

ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) ΤΜΗΜΑ Α ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Π.Μ.Σ (ΥΠΟΕΡΓΟΥ) Α1. ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ Tο Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τµήµατος Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης είναι ένα από τα πρώτα οργανωµένα µεταπτυχιακά

Διαβάστε περισσότερα