A 4 A 6 A 2 A 5 A 3 A 1. , p p

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A 4 A 6 A 2 A 5 A 3 A 1. , p p"

Transcript

1 Σάλτας Βασίλειος ιδάκτωρ Μαθηµατικών A 4 A 6 A N P A A 5 A 3 M Τα προβλήµατα στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά και οι ασκήσεις στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο p p p p,..., p p, p q, 3 k p q k k p p p p, p p,..., p p, p q, 3 k p q k k ηµιθεώρηµα p p, p p p p Καβάλα 0 0 6

2 Στα µαθηµατικά διαρκώς πρέπει να υπάρχουν δυο σκοποί: Πρώτος διέγερση της εφευρετικότητας, άσκηση της ατοµικής εκτίµησης, του λογικού συλλογισµού και της συνήθειας σταθερής έκφρασης. εύτερος σύνδεση των κλάδων των καθαρών µαθηµατικών µε άλλες εφαρµοσµένες επιστήµες, έτσι ώστε ο µαθητής να µπορεί να κατανοεί την πραγµατική σχέση µεταξύ των αρχών και των πραγµάτων. [. σελίδα 7] ιεθνής Επιτροπή για τη ιδασκαλία των Μαθηµατικών (έτος 9)

3 Περιεχόµενα Εισαγωγή Κεφάλαιο I. Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία 6. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους 6. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης 7 3. Σκοπός, διαδικασίες και ρόλος των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 4 Κεφάλαιο II. Μαθηµατικά προβλήµατα στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά (έως τον 4ο αιώνα µ.χ.) 35. Συνοπτικές πληροφορίες για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στην Αρχαία Ελλάδα (έως των 4 ο αιώνα µ.χ.) 35. Συµβολικός τρόπος γραφής των αριθµών στην Αρχαία Ελλάδα 4 3. Σχετικά µε την εµφάνιση των σχηµάτων για τη λύση προβληµάτων ιάσηµα µαθηµατικά προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα (έως τον 4 ο αιώνα µ.χ.) Μαθηµατικές ασκήσεις του Θαλή Πυθαγόρειο Θεώρηµα Πρόβληµα του Ζήνωνα Γεωµετρική απόδειξη της ταυτότητας (a + b) = a + ab + b Κατασκευή των διαγωνίων και πλευρικών αριθµών Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Αρχιµήδη Η Χρυσή Τοµή και µια υπόθεση για τη θέση ορισµένων αρχαιολογικών µνηµείων στην Ελλάδα Προβλήµατα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη Το πρόβληµα του Απολλώνιου Ο τύπος του Ήρωνα για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Νικόµαχου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του ιόφαντου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Ιππόλυτου Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Πάππου

4 4.5. Τα τρία άλυτα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα 86 Κεφάλαιο III: Οι ασκήσεις στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Παρατηρήσεις για την οργάνωση και των µεθόδων διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Χαρακτηριστικά του περιεχοµένου της διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της γεωµετρίας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της άλγεβρας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.3. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της τρίτης τάξης του Λυκείου Γενικής Παιδείας Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Τύποι µαθηµατικών ασκήσεων οι οποίες λύνονται στα σύγχρονα ελληνικά σχολεία 95 Κεφάλαιο IV. υνατότητες επέκτασης του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 0. Οι ασκήσεις ως προετοιµασία για την εµπέδωση νέων µαθηµατικών εννοιών 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις µε γεωµετρικές κατασκευές 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις για απόδειξη Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις υπολογιστικές. Ασκήσεις για την προπαίδευση νέων µαθηµατικών εννοιών 5.. Ρίζα αριθµού 6.. Αριθµητική συνάρτηση 7.3. Ίσα τρίγωνα 7.4. Θεώρηµα Θαλή 8 3. Ιστορικές, διασκεδαστικές και παραδοσιακές ασκήσεις ως τρόπο για την 9 374

5 αύξηση του ενδιαφέροντος προς τη µαθηµατική επιστήµη 3.. Ιστορικές ασκήσεις Παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 7 Κεφάλαιο V. υνατότητες ανάπτυξης και τελειοποίησης των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3. Προϋποθέσεις για την ανάπτυξη των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 3.. ιδακτικός ρόλος των θεωρηµάτων 3.. Προϋποθέσεις για τη συγκρότηση των δυνατοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3.3. ιδακτικά επίπεδα της λύσης µαθηµατικής άσκησης Επαγωγική δοµή των µαθηµατικών γνώσεων θετικά και αρνητικά Παράγοντες της συστηµατοποίησης των ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά 35. Συστηµατοποίηση των ορισµών και των θεωρηµάτων 37.. ιδακτικό σύστηµα ικανών συνθηκών (.Σ.Ι.Σ.) 37.. ιδακτικό σύστηµα αναγκαίων συνθηκών (.Σ.Α.Σ.) Ο ρόλος των.σ.ι.σ. και.σ.α.σ. στη διδασκαλία των µαθηµατικών «υνατές» και «αδύνατες» ιδιότητες των θεωρηµάτων 4.5. Συµπεράσµατα και σχόλια 4 3. Λογική δοµή του διδακτικού συστήµατος ασκήσεων Συστηµατοποίηση των υπολογιστικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά Ηµιτελείς λύσεις Τα ηµιθεωρήµατα στα σχολικά µαθηµατικά Προκαταρκτικές παρατηρήσεις Η δοµή των ηµιθεωρηµάτων Η θέση των ηµιθεωρηµάτων στα σχολικά βιβλία µαθηµατικών «Ισχύς της άσκησης» κριτήριο για να θεωρηθεί µια άσκηση ηµιθεώρηµα ιδακτικά συστήµατα συνδεδεµένα µε τα ηµιθεωρήµατα Παραδείγµατα διδακτικών συστηµάτων από ασκήσεις βασισµένα στη

6 ιδέα των ηµιθεωρηµάτων 7. Συµπεράσµατα και σχόλια 7 Κεφάλαιο VI. ιδακτική έρευνα 73. Βασικές ενέργειες και οργάνωση της έρευνας 73. Αποτελέσµατα και ανάλυση 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων Έρευνα 3 Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 89 Κεφάλαιο VII. ιδακτικές παρεµβάσεις διδακτική επεξεργασία των µαθηµατικών 94. Λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 94.. Εισαγωγή 94.. Λογικά λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων Περιπτώσεις λαθών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων Αίτια των λαθών Συµπεράσµατα 00. ιδακτική επεξεργασία του περιεχοµένου των µαθηµατικών 0.. Εισαγωγή 0.. Η συστηµατοποίηση των γνώσεων ως µέσο κατανόησης των µαθηµατικών εννοιών 0.3. Προετοιµασία του περιεχοµένου διδασκαλίας 0.5. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Οργάνωση της διδασκόµενης µαθηµατικής θεωρίας Συµπεράσµατα Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Εισαγωγή 3.. Ύπαρξη των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.3. Μορφή των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.4. Βαθµολόγηση των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής Συµπεράσµατα 6 376

7 4. Το µάθηµα των µαθηµατικών στο σχολείο Εισαγωγή 7 4..Βασικές ενέργειες κατά τη διεξαγωγή του µαθήµατος των µαθηµατικών στο σχολείο Μελλοντικές τάσεις για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σχολείο 4.4. Συµπεράσµατα 7 5. Η εσωτερική σχέση των µαθηµατικών γνώσεων Εισαγωγή Η σχέση των µαθηµατικών γνώσεων µεταξύ τους και µε άλλες επιστήµες Εφαρµογή των τριγωνοµετρικών γνώσεων στην άλγεβρα Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Συµπεράσµατα 3 6. Επίλυση ασκήσεων µε την βοήθεια της συστηµατοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων Εισαγωγή Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο Προσδιορισµός τύπου τριγώνου Επιπρόσθετες κατασκευές Συστηµατοποίηση των γεωµετρικών γνώσεων σχετικών µε τα τρίγωνα, τις παράλληλες και κάθετες ευθείες Συµπεράσµατα 4 7. Ακραίες ασκήσεις υπολογισµού εµβαδού 4 8. Ακραίες ασκήσεις ανισοτήτων Η µορφή, η θέση και ο ρόλος των σχολικών βοηθηµάτων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 9. Πολυωνυµικές ανισώσεις ένα θεώρηµα Θεώρηµα Παρατήρηση Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Εισαγωγή Σχολικά βοηθήµατα λύσης µαθηµατικών ασκήσεων ιδακτικές παρατηρήσεις Συµπεράσµατα

8 . ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων εµπέδωσης της έννοια παράγωγος συνάρτησης 59.. Ιστορική αναδροµή της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 59.. Γεωµετρική ερµηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 6.3. Εφαρµογή της παραγώγου συνάρτησης 6.4.Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 64. ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων συνδυαστικής θεωρίας 65.. Εισαγωγή 65.. Η συνδυαστική θεωρία κατά την αρχαιότητα Βασικά στοιχεία συνδυαστικής θεωρίας Ασκήσεις συνδυαστικής ιδακτική επεξεργασία της αριθµητικής και της γεωµετρικής πρόοδος Αριθµητική πρόοδος Ασκήσεις λυµένες στην αριθµητική πρόοδο Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στην αριθµητική πρόοδο Γεωµετρική πρόοδος Ασκήσεις λυµένες στη γεωµετρική πρόοδο Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στη γεωµετρική πρόοδο ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων µαθηµατικής επαγωγής Εισαγωγή Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής Ασκήσεις λυµένες µε τη βοήθεια της µαθηµατικής επαγωγής Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση ιασκεδαστικές µαθηµατικές ασκήσεις Εισαγωγή Η πορεία των προβλήµατα πρακτικής αριθµητικής στο χρόνο Ορισµένες ασκήσεις Προτεινόµενες λύσεις Υπολογισµοί µνήµης διδακτική προσέγγιση Εισαγωγή Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού γινοµένου Γινόµενο διψήφιων αριθµών των οποίων τα ψηφία των δεκάδων είναι ο αριθµός

9 6... Γινόµενο δυο ίδιων διψήφιων αριθµών, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι 9 και οι δυο αριθµοί έχουν τον ίδιο αριθµό ψηφίων Μνηµονικοί κανόνες διαίρεσης Κριτήρια διαιρετότητας ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε το 5, 0,5, 0,05, 0,005, ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε 5, 0,5, 0,05, 0,005, ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε και 0, Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού διαφόρων γινοµένων και πηλίκων Χρησιµοποίηση της διαφοράς τετραγώνου κατά τις αριθµητικής πράξεις Άθροισµα φυσικών αριθµών Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού δύσκολων ασκήσεων Γινόµενο τριψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των εκατοντάδων είναι Γινόµενο τετραψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των χιλιάδων είναι Χρήση απλών υπολογιστικών εφαρµογών στη διδασκαλία των µαθηµατικών Εισαγωγή ηµιουργία ενδιαφέροντος για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σύγχρονες τάσεις Η χρήση απλού λογισµικού ηλεκτρονικών υπολογιστών στη διδασκαλία των µαθηµατικών Υλοποίηση διδακτικού προγράµµατος ιδακτικές παρατηρήσεις Η βοήθεια των µαθηµατικών στη διδασκαλία βασικών εννοιών του λογιστικού φύλλου MS-Excel Εισαγωγή εισαγωγή των λογικών πράξεων στο MS-Excel µε τη βοήθεια 3 379

10 µαθηµατικών ασκήσεων Πορεία µαθήµατος Συµπεράσµατα ιδακτική αξιοποίηση µαθηµατικών µοντέλων Μαθηµατική µοντελοποίηση Εσωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση Εξωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση Συµπεράσµατα ιδακτική τεχνολογία των µαθηµατικών Εισαγωγή ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή µαθηµατικών όρων ιδακτική τεχνολογία για την εγκαθίδρυση και εµπέδωση µαθηµατικών ιδιοτήτων ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για εφαρµογή των γνώσεων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή και εκµάθηση µαθηµατικών εννοιών ιδακτική τεχνολογία για την απόδειξη και εφαρµογή των θεωρηµάτων ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 334 Παράρτηµα. Ορισµένα ηµιθεωρήµατα και ασκήσεις που λύνονται µε τη βοήθειά τους 339 Παράρτηµα. Ασκήσεις για τη κατανόηση και σταθεροποίηση των µεθόδων λύσης ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής, υπολογιστικές και απόδειξης διδασκόµενες στο σχολείο 344 Παράρτηµα 3. Ιστορικές, παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 35 Παράρτηµα 4. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 353 Παράρτηµα 5. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε

11 τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων Παράρτηµα 6. Έρευνα 3: Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 357 Παράρτηµα 7. Αρχαίοι έλληνες µαθηµατικοί (από τον 7ο αιώνα π.χ. έως και τον 9ο µ.χ.) 359 Συµπεράσµατα 36 Πορίσµατα 365 Βιβλιογραφία

12 Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι, από τα βάθη της αρχαιότητας τα προβλήµατα (ασκήσεις) ήταν αδιαίρετο µέρος, όχι µόνο για την επιστήµη των µαθηµατικών, αλλά και για τη διδασκαλία των µαθηµατικών. Από την Αρχαία Βαβυλώνα και την Αρχαία Αίγυπτο, οι ασκήσεις ήταν βασικό µέσο για τον προσδιορισµό των µαθηµατικών γνώσεων, δηλαδή είναι το βασικό µέσο παρουσίασης και απόδειξης των γνώσεων. Αλλά µαζί µ εκπληρώνουν και διδακτικές λειτουργίες. Σε µαθηµατικές πυγές οι οποίες αναφέρονται στην προελληνική περίοδο των µαθηµατικών, συνήθως συναντιούνται µόνο ασκήσεις (προβλήµατα). Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να ισχυριστεί κάποιος, ότι οι ασκήσεις αυτές είχαν και διδακτικό χαρακτήρα. Για παράδειγµα η 3 η, 4 η, 5 η και 6 η άσκηση από τον πάπυρο του Rind φέρουν την εκφώνηση: «Να διαιρεθούν αντίστοιχα 6, 7,8 και 9 ψωµιά σε 0 ανθρώπους µε τον ελάχιστο αριθµό διαιρέσεων». Οι ασκήσεις αυτές καθώς φαίνεται µάλλον χωρίς πρακτικό χαρακτήρα είναι. Οι ασκήσεις αυτές πιθανότατα λύνονταν για να εξασκηθεί η βασική µέθοδος παρουσίασης των κλασµάτων 6 / 0, 7 / 0, 8 / 0 и 9 / 0 µε κλάσµατα µε αριθµητή τη µονάδα. Το ίδιο ισχύει και για την βαβυλώνια περίοδο των µαθηµατικών. Παρόµοιο συµπέρασµα ισχύει και για πολλές εκ των µαθηµατικών ασκήσεων της Αρχαία Κίνας και της Αρχαίας Ινδίας. Ο ρόλος των ασκήσεων διαφοροποιείται κατά την αρχαιοελληνική περίοδο. Ο όρος «άσκηση» δεν αρµόζει για την περίοδο αυτή, εκτός ορισµένων περιπτώσεων. Πρέπει να χρησιµοποιείται ο όρος «πρόβληµα», γεγονός που αναφέρει και ο Polya, κατά τον οποίο τα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα είναι αυτό που στα σύγχρονα µαθηµατικά λέγονται ασκήσεις ή προβλήµατα γεωµετρικών κατασκευών. Στην αριθµητική όµως στην Αρχαία Ελλάδα συνεχίζει η παράδοση για την παρουσίας και εδραίωση των σχετικών γνώσεων µε τη βοήθεια ασκήσεων, αφού οι αρχαίοι έλληνες δεν είχαν αναπτύξει την αλγεβρική µηχανή (π.χ. για την επίλυση δευτεροβάθµιων εξισώσεων), ενώ επίσης είχαν µικρό αριθµό θεωρηµάτων. Από την άλλη πλευρά, στη γεωµετρία έχει αναπτυχθεί επαγωγική θεωρία, δηλαδή απόδειξη ισχυρισµών, οι οποίοι απευθύνονται για ακέραιες τάξεις αντικειµένων (για παράδειγµα για όλο το ορθογώνιο ή το τρίγωνο), χρησιµοποιώντας πριν απ αυτούς αποδειγµένα θεωρήµατα. Εν συνεχεία οι ισχυρισµοί αυτοί λαµβάνονταν ως γνωστοί και χρησιµοποιούνταν

13 αναπόδειχτοι. Με τον τρόπο αυτό γίνεται οικονοµία χρόνου και πνευµατικής ενέργειας. Η προσοχή στη µελέτη αυτή κατευθύνεται πάνω στο ρόλο των προβληµάτων στην Αρχαία Ελλάδα, ως διδακτική κατηγορία και όχι ως µέσο για τη διατύπωση «ξερών» µαθηµατικών γνώσεων. Κατά τον VІ ІV αιώνα π.χ. οι γνωστοί έλληνες µαθηµατικοί Πυθαγόρας, Ιπποκράτης, Ευκλείδης, εργάστηκαν πάνω στα κατασκευαστικά προβλήµατα. Από τον ІV αιώνα π.χ. έχουν διατυπωθεί οι παραδοσιακοί τρόποι σχήµατα για τα λεγόµενα επίπεδα λύσης κατασκευαστικού προβλήµατος (ανάλυση, σύνθεση, απόδειξη και µελέτη). Οι τρόποι αυτοί, µε εµφανείς αλλαγές, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και κατά τη λύση οποιαδήποτε µαθηµατικής άσκησης. Κατά την περίοδο αυτή «καθαρά» γεωµετρικές» θεωρούνταν µόνο οι κατασκευές οι οποίες υλοποιούνταν µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη και θεωρούταν «νόµιµο» η επίλυσή τους µε άλλα σχεδιαστικά µέσα. Σε µεταγενέστερη περίοδο, πάλι στην Αρχαία Ελλάδα, χρησιµοποιούνταν και άλλα σχεδιαστικά µέσα για τη λύση κάποιων προβληµάτων. Για παράδειγµα, ο Πλάτωνας έλυσε το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου µε τη χρήση δυο ορθών γωνιών. Ο Αρχιµήδης από την άλλη πλευρά έλυσε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας µε χάρακα και δυο καθορισµένα σηµεία πάνω στο χάρακα. Είναι γνωστό, ότι οι ασκήσεις (και τα προβλήµατα) ήταν αντικείµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Μπορεί στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά ο βασικός ρόλος των προβληµάτων ήταν, πιθανότητα, µόνο το µοναδικό µέσο προσδιορισµού των µαθηµατικών πληροφοριών, στη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν έχουν ρόλο µόνο την παρουσίαση των µαθηµατικών πληροφοριών. Έχουν και διδακτικές λειτουργίες και µε τη βοήθεια των ασκήσεων µπορούν να αιτιολογούν, εισάγουν και να εξασκούν νέες γνώσεις, όπως επίσης και να διατηρούν γνώσεις διδασκόµενες νωρίτερα. Οι λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων κατά την αρχαιοελληνική περίοδο ανάπτυξης των µαθηµατικών, καθώς επίσης και ο ρόλος και η θέση των προβληµάτων την περίοδο αυτή, θα είναι ένας από τους βασικούς στόχους της έρευνας αυτής. Οι ασκήσεις περιέχουν σύνθεση από δυνατότητες για την ανάπτυξη της σκέψης των µαθητών. Η λύση µαθηµατικών ασκήσεων απαιτεί προβλεπτικότητα, επινοητικότητα και καλές γνώσεις της διδασκόµενης θεωρίας, αλλά µαζί µ αυτό 3

14 βοηθά για τη διάπλαση µεγαλύτερης εκφραστικότητας και δηµιουργίας στην εργασία των µαθητών. Τα παρουσιαζόµενα γεγονότα, σκέψεις και συλλογισµοί δίνουν τη δυνατότητα να θεωρηθεί, ότι πάντα θα υπάρχει ενδιαφέρον να εξεταστούν διδακτικές ερωτήσεις για τη θέση και το ρόλο των µαθηµατικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά, για τις µεθόδους λύσης τους και για τον τρόπο παράδοσής τους. Ενδιαφέρον είναι επίσης και το γεγονός, ότι το σηµαντικότερο για τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων είναι επεξεργαστεί η αντίστοιχη θεωρία, έτσι ώστε ο µαθητής µόνος του να µπορεί να λύνει ασκήσεις, συµπεριλαµβανοµένου και της γραφικής απόδοσης της λύσης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων (και των ελάχιστων ασκήσεων) στην Αρχαία Ελλάδα να είναι πιθανότατα πλέον προσδιορισµένος, δεν ισχύει όµως το ίδιο για το περιεχόµενο και τη φόρµα, για τη θέση και το ρόλο των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. Η γνώση της ιστορία της διδασκαλίας των µαθηµατικών µπορεί να γεννήσεις ιδέες για τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών, όχι µόνο για το ελληνικό σχολείο, αλλά και σε παγκόσµιο επίπεδο. Τέθηκε ο ακόλουθος σκοπός: Να εξεταστεί η θέση, ο ρόλος και οι διδακτικές λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο, να ανακαλυφθούν δυνατότητες και να επεξεργαστούν τακτικές για την αύξηση του επιπέδου διδασκαλίας των µαθηµατικών και συγκεκριµένα τη διδασκαλία λύση ασκήσεων. Αντικείµενα της έρευνας είναι οι ασκήσεις και ο τρόπος λύσεις τους στις αρχαιοελληνικές µαθηµατικές σχολές και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο και οι ικανότητες των µαθητών να λύνουν ασκήσεις, το οποίο συγκροτεί τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών. Επίσης ως αντικείµενο της έρευνας τέθηκαν η δοµή της λύσης άσκησης, οι ενέργειες λύσης µαθηµατικών ασκήσεων και οι δυνατότητες χρησιµοποίησης των ασκήσεων ως τρόπο τελειοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων και ικανοτήτων των µαθητών. Με βάση τη συγκεντρωµένη και µελετηµένη µαθηµατική βιβλιογραφία, µε µοντελοποίηση και θεωρητικούς συλλογισµούς, διατυπώθηκε η ακόλουθη υπόθεση: Συστηµατική ένταξη ιστορικών, παραδοσιακών και διασκεδαστικών µαθηµατικών ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών και η χρήση συστηµάτων ασκήσεων (συστηµατοποίηση γνώσεων) στη βάση των οποίων βρίσκονται οι ασκήσεις 4

15 θεωρήµατα (ηµιθεωρήµατα), οδηγεί στη ενίσχυση του ενδιαφέροντος και στην τελειοποίηση των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις. Για την εκπλήρωση του σκοπού και για τον έλεγχο της υπόθεσης έγιναν µελέτες προς στις ακόλουθες κατευθύνσεις:. Εξετάστηκε ο χαρακτήρας, η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στη διδασκαλία των µαθηµατικών σε ιστορικό πλάνο.. Εξετάστηκε η κατάσταση του προβλήµατος για τις ασκήσεις στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία µαθηµατικών µέσης εκπαίδευσης. 3. Έγινε ανάλυση και εκτίµηση της χρήσης ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών και στα σύγχρονα σχολικά βιβλία µαθηµατικών. 4. Με βάση την ανάλυση, εκτίµηση και τις παρατηρούµενες τάσεις για το πρόβληµα των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών, έγινε επεξεργασία µεθοδολογικής αλλαγής για περισσότερο πολύτιµη εφαρµογή των ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. 5. Ερευνητικά έγινε έλεγχος της διδακτικής εφαρµογής των προτεινόµενων εναλλακτικών µεθόδων διδασκαλίας των ασκήσεων και των λύσης αυτών. Κατά τη λύση των προαναφερόµενων χρησιµοποιήθηκαν οι ακόλουθες µέθοδοι έρευνας: α) Παρατήρηση. β) Εξέταση των θεωρητικών πυγών, µελέτη της σχολικής βιβλιογραφίας. δ) Θεωρητικές µέθοδοι ανάλυση, σύγκριση, σύνθεση, γενίκευση. δ) Μοντελοποίηση. ε) Εξέταση για έλεγχο και προσδιορισµό ορισµένων παραδοσιακά εγκαθιδρυµένων τρόπων στη διδασκαλία των µαθηµατικών. ζ) ιδακτικές έρευνες. η) Στατιστική επεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων. Σε κάθε περίπτωση έγινε προσπάθεια τα εκπληρωµένα θεωρητικά αποτελέσµατα να επαληθεύουν πραγµατικές καταστάσεις των προς µελέτη φαινοµένων. Έγινε πολύπλευρη συζήτηση µε καθηγητές µαθηµατικών και µαθητές κάτι που ήταν σηµαντικό για τις ερευνητικές µας ενέργειες. 5

16 Κεφάλαιο I Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους Μια από τις βασικότερες και δυσκολότερες στιγµές στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι η λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Υπάρχουν αρκετές έρευνες και αρκετοί συγγραφείς οι οποίοι υποστηρίζουν ότι οι όροι «ερώτηση», «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι συνώνυµες. Την άποψη αυτή δεν υιοθετούν οι έλληνες µαθηµατικοί Θ. Εξαρχάκος [45] και Σ. Καλοµητσίνης [46]. Στα συγγράµµατά τους υποστηρίζουν, ότι οι όροι «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι διαφορετικοί, και χρησιµοποιούν κατά πολύ τον όρο «πρόβληµα», όπως και στην Αρχαία Ελλάδα. Ο Βούλγαρος µαθηµατικός Ivan Gantsev, στο µοντέλο του για την έννοια «άσκηση» περιεργάζεται κάθε µαθηµατική άσκηση σαν συνέπεια εκφράσεων µε τη βοήθεια των οποίων δηµιουργείται υποσύνολο του συνόλου των µαθηµατικών αντικειµένων, τα οποία επαληθεύουν συγκεκριµένες συνθήκες[5]. Κοντά στο µοντέλο αυτό είναι και το µοντέλο του Vishin, το οποίο παρατίθεται στο [4]. Στο µοντέλο αυτό άµεσα χρησιµοποιείται η έννοια «σχέση» Για το λόγο αυτό στο [9] ο ρώσος µαθηµατικός Koliagin εύλογα αναφέρεται στο µοντέλο Gantsev Vishin για την έννοια µαθηµατική άσκηση. Κατά τον [46] «Στα µαθηµατικά άσκηση είναι κάθε έκφραση η οποία απαιτεί να βρεθούν αρκετά στοιχεία µε τη βοήθεια κάποιων άλλων». Η µαθηµατική άσκηση είναι συνέχεια από εκφράσεις µε τις οποίες δηµιουργείται ένα σύνολο R M (М είναι το σύνολο των µαθηµατικών αντικειµένων) και απαιτεί:. Το R να αποδοθεί κατασκευαστικά, αν είναι πεπερασµένο.. Να δειχτεί, ότι το R ταυτίζεται µε σύνολο το οποίο θεωρείται γνωστό ή µε σύνολο το οποίο είναι µε διαφορετικό τρόπο δοσµένο. 6

17 3. Να δειχτεί, ότι τα στοιχεία του R µπορούν να ληφθούν µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων εφαρµογών ορισµένων κατασκευών µε χαρακτηριστικά κατασκευαστικά µέσα. Για να φτάσουµε στο επιθυµητό R, συνήθως λαµβάνονται διάφορα άλλα σύνολα, τα οποία εντέλει δίνουν τη δυνατότητα να βρεθεί το σύνολο R. Η διαδοχικότητα εµφάνισης αυτών των διαφορετικών συνόλων, έως ότου φτάσουµε στο επιθυµητό σύνολο R, λέγεται λύση της µαθηµατικής άσκησης ενώ η ενέργεια, µε την οποία ανακαλύπτεται η λύση της άσκησης λύσιµο της µαθηµατικής άσκησης. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, µε το οποίο δίνεται άµεσα το σύνολο R (και πιθανότατα το σύνολο М), λέγεται εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης.. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, στο οποίο φανερώνεται το ζητούµενο σύνολο R, λέγεται συµπέρασµα της µαθηµατικής άσκησης. Μια µαθηµατική άσκηση µπορεί να µην έχει λύση ή να έχει πεπερασµένο αριθµό λύσεων. Αυτό εξαρτάτε και από το σύνολο М. Βάση της λύσης µιας άσκησης λέγεται το σύνολο των γεγονότων τα οποία προσδιορίζουν το σύστηµα λύσεων (αξιώµατα, ορισµοί ή θεωρήµατα). Κατά τον έλληνα µαθηµατικό Θ. Εξαρχάκο, υπάρχουν τρία είδη µαθηµατικών ασκήσεων (προβληµάτων): για απόδειξη, για κατασκευή και για την εύρεση άγνωστων στοιχείων (ή µε άλλα λόγια προβλήµατα εύρεσης). Η ταξινόµηση των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin στα συγγράµµατά του διαφέρει απ αυτή του Εξαρχάκου. Συγκεκριµένα οι ασκήσεις κατά τον Vishin διαιρούνται σε: ασκήσεις απόδειξης, ασκήσεις κατασκευών και υπολογιστικές ασκήσεις. Υιοθετείται κατά κάποιον τρόπο η ταξινόµηση των µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin µε τη διαφορά ότι στις ασκήσεις απόδειξης συµπεριλαµβάνονται και οι ασκήσεις εύρεσης.. Κατασκευαστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις όπου τα στοιχεία του συνόλου R είναι γεωµετρικά σχήµατα και ζητείται αυτά να λαµβάνονται µε πεπερασµένο αριθµό εφαρµογής βασικών γεωµετρικών κατασκευών η οποίες υλοποιούνται µε τη βοήθεια προκαθορισµένων, από την εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης, σχεδιαστικών µέσων. Οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής λέγονται και κατασκευαστικά προβλήµατα Στην εκπαίδευση τα κατασκευαστικά µέσα διαφέρουν ανάλογα µε την τάξη του σχολείου. 7

18 Οι κατασκευαστικές ασκήσεις στη σχολική γεωµετρία λύνονται συνήθως µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Στην εκφώνηση της άσκησης τις περισσότερες φορές δεν αναφέρονται τα απαιτούµενα σχεδιαστικά µέσα, αλλά αυτά θεωρούνται αυτονόητα. Υπάρχουν όµως και κατασκευαστικές ασκήσεις στις οποίες είναι φανερή η απαίτηση η κατασκευή και κατά συνέπεια η λύση της άσκησης, να ολοκληρωθεί µε άλλα µέσα. Τα σχεδιαστικά αυτά µέσα µπορεί να είναι για παράδειγµα τα ακόλουθα: µόνο χάρακας, µόνο διαβήτης, µοιρογνωµόνιο, αριθµηµένο ορθογώνιο τρίγωνο κ.τ.λ. Η λύση της κατασκευαστικής άσκησης µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη είναι γνωστή µε το όνοµα «Ευκλείδεια κατασκευή» και αυτό γιατί στα χρόνια του Ευκλείδη οι ασκήσεις (προβλήµατα) γεωµετρικής κατασκευής θεωρούνταν λυµένες µόνο αν αυτό γίνει µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη. Φυσικά γεννιέται η ερώτηση: «Γιατί µόνο µε χάρακα και διαβήτη και όχι µε άλλα µέσα;» Η απάντηση βρίσκεται πιθανότατα στο γεγονός ότι οι αρχαίοι έλληνες θεωρούσαν την ευθεία και τον κύκλο ως βασικά γεωµετρικά σχήµατα. Ένα πρόβληµα γεωµετρικής κατασκευής λύνεται µε χάρακα και διαβήτη όταν το ζητούµενο σχήµα µπορεί να κατασκευαστεί µε κάποιο από τους ακόλουθους πέντε κανόνες:. Κατασκευή ευθείας διερχόµενης από δυο γνωστά σηµεία.. Εύρεση του κοινού σηµείου δυο γνωστών ευθειών. 3. Κατασκευή κύκλου (ή τόξου κύκλου) γνωστού κέντρου και γνωστής ακτίνας. 4. Εύρεση των κοινών σηµείων γνωστής ευθείας και γνωστού κύκλου. 5. Εύρεση των κοινών σηµείων δυο γνωστών κύκλων. Όταν λέµε ότι ένα σηµείο (ή ευθεία ή κύκλος) είναι γνωστό εννοούµε ότι αυτό είναι δοσµένο στην εκφώνηση του προβλήµατος ή επιλέγεται τυχαία ή έχει οριστεί από κάποια άλλη κατασκευή. Οι προαναφερόµενες πέντε γεωµετρικές κατασκευές ορίζουν το χάρακα και το διαβήτη, µε τα οποία δύναται να κατασκευαστούν ευθείες και κύκλοι. Οι κατασκευαστικές ασκήσεις µε χάρακα και διαβήτη λέγονται και ασκήσεις για κατασκευή δεύτερης δύναµης, επειδή και την αλγεβρική τους λύση, οδηγούνται στη λύση πεπερασµένου αριθµού εξισώσεων δύναµης όχι µεγαλύτερης του δυο. Αν το ζητούµενο σχήµα που πρέπει να κατασκευαστεί σε µια άσκηση δεν µπορεί να ληφθεί µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων των προαναφερόµενων πέντε βασικών γεωµετρικών κατασκευών, τότε η άσκηση αυτή λέγεται άλυτη µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Για παράδειγµα άλυτες είναι τα τρία, γνωστά από την 8

19 Αρχαία Ελλάδα, προβλήµατα τα οποία παραθέτονται στο Κεφάλαιο ΙΙΙ. Άλυτη είναι επίσης και η ακόλουθη άσκηση: «Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν είναι γνωστές οι τρεις εσωτερικές του διχοτόµοι». Από το σύνολο όλων των λυµένων κατασκευαστικών ασκήσεων µπορούν να διακριθούν κάποιες οι οποίες είναι βασικές, δηλαδή αποτελούν ασκήσεις τµήµατα άλλων ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής µε δυσκολότερη λύση (κατασκευή). Τέτοιες βασικές ασκήσεις, για παράδειγµα, είναι οι ακόλουθες: «Να κατασκευαστεί η µεσοκάθετη δοσµένου ευθύγραµµου τµήµατος» «Να κατασκευαστεί κάθετη ευθεία σε δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα από δεδοµένο σηµείο» «Να κατασκευαστεί η διχοτόµος δεδοµένης γωνίας» «Να κατασκευαστεί εφαπτόµενη ευθεία σε δεδοµένο κύκλο από δεδοµένο σηµείο» Η έτοιµη χρήση των αποτελεσµάτων των λύσεων αυτών των ασκήσεων µειώνει αισθητά τους συλλογισµούς κατά τη λύση άλλων κατασκευαστικών ασκήσεων. Στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών η λύση κατασκευαστικών ασκήσεων αποτελείται από τέσσερα µέρη: α) Ανάλυση όπου υποτίθεται ότι υπάρχει σχήµα το οποίο επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος, δηλαδή υποθέτουµε ότι το πρόβληµα έχει λυθεί (πάντα µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη). Εν συνεχεία βρίσκονται οι σχέσεις µεταξύ δεδοµένων και ζητούµενων στοιχείων. Οι σχέσεις αυτές πρέπει να είναι τόσες στον αριθµό όσες είναι απαραίτητες για να µπορέσει να πραγµατοποιηθεί η γεωµετρική κατασκευή. β) Σύνθεση όπου γίνεται η αντίστροφη διαδικασία από την ανάλυση και µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη κατασκευάζονται, ακριβώς και µε ακριβή σειρά, όλα τα µέρη του ζητούµενου σχήµατος, ώστε στο τέλος να κατασκευαστεί το σχήµα. γ) Απόδειξη όπου µε σύνθετο τρόπο αποδεικνύεται ότι το κατασκευασµένο σχήµα επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος. δ) ιερεύνηση είναι το τελευταίο µέρος της λύσης ενός προβλήµατος γεωµετρικής κατασκευής ελέγχει τα µέρη της ανάλυσης και της σύνθεσης και έχει σκοπό να αποδείξει αν η κατασκευή είναι δυνατή ή όχι. Στην περίπτωση που η κατασκευή είναι δυνατή βρίσκεται ο αριθµός των διαφορετικών λύσεων οι οποίες επαληθεύουν τα δεδοµένα του προβλήµατος. Στην περίπτωση που η άσκηση έχει λύση ανακαλύπτονται οι διαφορετικές λύσεις της, οι οποίες επαληθεύουν την εκφώνηση της άσκησης, δηλαδή 9

20 ανακαλύπτονται διαφορετικοί εκπρόσωποι της κλάσης ισοδυναµίας, προσδιορισµένες από την εκφώνηση της άσκησης. Στην διδακτική πράξη κατά τη λύση ασκήσεων απλών γεωµετρικών κατασκευών, συνήθως χρησιµοποιείται µόνο το δεύτερο και το τρίτο βήµα («σύνθεση απόδειξη»). Για τον τρόπο λύσης των ασκήσεων γεωµετρικών κατασκευών, δύναται να γίνει η ακόλουθη παρατήρηση: στη σχολική διδασκαλία των µαθηµατικών, τα προβλήµατα γεωµετρικής κατασκευής εκπαιδεύουν και διαπαιδαγωγούν τους µαθητές, αναπτύσσουν τη σκέψη και βοηθούν στην εξακρίβωση του γνωστικού επιπέδου τους. Για το λόγο αυτό αρµόζουν ιδιαίτερης προσοχής και µετά από κάποια αλλαγή, η ένταξή τους στα σύγχρονα διδακτικά προγράµµατα µαθηµατικών είναι απαραίτητη. Η αλλαγή αυτή αφορά τα τέσσερα βασικά στάδια για τη λύση προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής που διατυπώθηκαν προηγουµένως (Ανάλυση, Σύνθεση, Απόδειξη και ιερεύνηση). Συγκεκριµένα, κάθε περίπτωση της διερεύνησης απαιτεί απόδειξη. Γι αυτό η διερεύνηση πρέπει να γίνεται πριν την απόδειξη ή µαζί µ αυτή, έτσι ώστε να καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις. Η διαδικασία επίλυσης των προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής µε τη συγχώνευση του τρίτου και τέταρτου σταδίου ( ιερεύνηση Απόδειξη) είναι πιο απλή και εποµένως πιο προσιτή στους µαθητές. Ο προβληµατισµός αυτός αναπτύχθηκε και στο 7 ο Συνέδριο της Βουλγάρικης Μαθηµατικής Εταιρείας [9]. Η προτεινόµενη µέθοδο θα παρουσιαστεί µε το ακόλουθο παράδειγµα: Άσκηση. Έστω κύκλος k (О, r) και σηµείο C εκτός αυτού. Να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη του κ, διερχόµενη από το σηµείο C. Λύση k O A M k' C A' Σχήµα 0

21 α) Ανάλυση: Υποθέτουµε ότι CA είναι η εφαπτόµενη του k από το σηµείο C και C το σηµείο επαφής (Σχήµα ). Κατασκευάζεται ακτίνα ΟΑ. Αφού ΟΑ είναι κάθετη στο ΑC, τότε το τρίγωνο ΑΟC είναι ορθογώνιο µε Αˆ =90. Τα σηµεία Ο, C µπορούν να προσδιοριστούν, αφού το ΟC µπορεί να κατασκευαστεί. Για να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη CA αρκεί να κατασκευαστεί σηµείο Α. Το σηµείο А k, αλλά και А k'(м; МС = Εποµένως το σηµείο А k k'. OC ). β) Σύνθεση: i) Με διάµετρο ΟC και κέντρο Μ κατασκευάζουµε κύκλο k'(m; MC = OC ). ii) Ο κύκλος k τέµνει τον k στα σηµεία Α και Α, δηλαδή k k' = {A, A'}. iii) Κατασκευάζουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα CΑ και CΑ. Θα αποδειχτεί ότι CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k αντίστοιχα στα σηµεία Α και Α. γ) ιερεύνηση Απόδειξη: Το πρόβληµα αυτό έχει δυο λύσεις, διότι οι κύκλοι k, k τέµνονται στα σηµεία Α, Α, αφού ο k διέρχεται από το εσωτερικό σηµείο Ο και από το εξωτερικό σηµείο C του k. Έτσι έχουµε ότι οι γωνίες OAC και ΟΑ C είναι ορθές, διότι είναι εγγεγραµµένες στον κύκλο k και βαίνουν σε ηµικύκλιο. Τότε ΟΑ και ΟΑ είναι κάθετες στα CΑ και CΑ αντίστοιχα. Άρα CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k από το σηµείο C προς τα Α και Α αντίστοιχα. Κατά το Vishin οι κατασκευαστικές ασκήσεις µπορούν να διαιρεθούν σε δυο οµάδες. Τις ορισµένες και τις απροσδιόριστες. α) Ορισµένες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι ίσος µε τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο (σηµείο, ευθεία κ.τ.λ.) ή το ζητούµενο γεωµετρικό σχήµα. Τέτοια είναι η ακόλουθη άσκηση: Άσκηση. Να κατασκευαστεί κύκλος δεδοµένης ακτίνας, ο οποίος να διέρχεται από γνωστό σηµείο και να εφάπτεται σε γνωστό κύκλο. β) Απροσδιόριστες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι µικρότερος από τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο ή το ζητούµενο γεωµετρικό

22 σχήµα. Κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων αρχικά πρέπει να προσδιοριστούν κάποια από τα δεδοµένα στοιχεία (για παράδειγµα γωνία, ευθύγραµµο τµήµα κ.τ.λ.). Αυτό σηµαίνει, ότι από την απροσδιόριστη άσκηση µεταβαίνουµε στην προσδιορισµένη. Η ενέργεια αυτή λέγεται εντοπισµός της απροσδιόριστης άσκησης. Η ίδια απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής µπορεί να εντοπιστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής είναι η ακόλουθη: Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί τρίγωνο АВС γνωστών διαµέσων m a, m c και ύψους h b.. Υπολογιστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα σύνολα R και М είναι αριθµητικά και το σύνολο М συνήθως δεν δίνεται άµεσα, αλλά είναι κατανοητό. Κατά τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων επίσης µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» που προαναφέρθηκε στις κατασκευαστικές ασκήσεις. Και εδώ επίσης δύναται να ειπωθεί, ότι η άσκηση είναι λυµένη και µετά να οριστούν οι διάφορες σχέσεις µεταξύ των γνωστών και των αγνώστων στοιχείων. Εν συνεχεία, κατά τη σύνθεση, µε τη βοήθεια των ορισµών των µαθηµατικών εννοιών, των θεωρηµάτων για αυτές τις έννοιες και των αξιωµάτων και µε αυστηρά καθορισµένη σειρά, εκτελούνται συλλογισµοί µε φορά αντίθετη της ανάλυσης, µε τη χρήση µόνο αληθών (και όχι υποθετικά αληθών) συλλογισµών, έως ότου φτάσουµε στη λύση της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί να ειπωθεί, ότι η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» για τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν φαίνεται σε άµεσα. εν είναι αρκετά φανερή η σχέση µεταξύ της εφαρµογής της µεθόδου αυτής στους δυο τύπους ασκήσεων κατασκευαστικών και υπολογιστικών. Θεωρείται ότι αν η µέθοδος αυτή δειχτεί στους µαθητές θα δηµιουργηθούν οι προϋποθέσεις αυτοί να ανακαλύψουν την οµοιότητα των τρόπων λύσης των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων. Συνέπεια αυτού είναι το ότι οι µαθητές ευκολότερα και γρηγορότερα θα προσανατολίζονται προς τη λύση δεδοµένης άσκησης. 3. Ασκήσεις απόδειξης. Αυτές είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα στοιχεία του συνόλου R είναι δεδοµένα προκαταβολικά και το µόνο που ζητείται είναι να αποδειχτεί ότι επαληθεύουν την αντίστοιχη εκφώνηση. Και σ αυτές τις ασκήσεις χρησιµοποιούνται τρία επίπεδα κατά τη λύση τους και συγκεκριµένα ανάλυση, σύνθεση και απόδειξη διερεύνηση. Ο σκοπός ορισµένων ασκήσεων απόδειξης είναι

23 η διαπίστωση, µε τη βοήθεια λογικών συλλογισµών, ότι κάποιοι ισχυρισµοί είναι αληθείς ή όχι αληθείς (ψευδείς). Παράδειγµα άσκησης απόδειξης είναι η ακόλουθη: Άσκηση 4. Να δειχτεί, ότι για κάθε х - και για κάθε n N ισχύει η ανισότητα: ( + х) n + nx. Λύση ) Ελέγχεται αν η ανισότητα ισχύει για n = : ( + x) = + x, το οποίο αληθεύει. ) Υποθέτουµε, ότι η ανισότητα ισχύει για n = k : ( + х) k + kx. 3) Θα αποδειχτεί, ότι η ανισότητα ισχύει n = k + :( + х) k+ + (k + )x. Απόδειξη Ισχύει, ότι: ( + х) k + kx и + x > 0. Άρα ( + х) k+ ( + kx)( + x) ( + х) k+ + x + kx + kx ( + х) k+ + (k + )x + kx +(k + )x. Μέρος των ασκήσεων απόδειξης είναι και οι ασκήσεις στις οποίες πρέπει να δειχτεί, ότι υπάρχει κάποια σχέση ή κάποιος αριθµός. Αυτό το οποίο διαφοροποιεί τα δυο είδη µαθηµατικών ασκήσεων είναι, ότι κατά τις ασκήσεις ύπαρξης δίνεται µέρος του συστήµατος λύσεων, σε διαφορά µε τις ασκήσεις απόδειξης όπου δίνεται εις το ακέραιο το σύστηµα λύσεων. Για παράδειγµα: Άσκηση 5. Έστω x R. Να δειχτεί, ότι υπάρχει τιµή του x, για την οποία η 4 4 x 8 αλγεβρική έκφραση А = x παίρνει θετικές τιµές. x + Υπό τον όρο «αφηγητικές ασκήσεις» εννοούνται οι αριθµητικές, αλγεβρικές ή γεωµετρικές µαθηµατικές ασκήσεις οι οποίες διατυπώνονται όχι µόνο µε τη χρήση µαθηµατικών συµβόλων και εννοιών. Για παράδειγµα: Άσκηση 6. Ο πρώτος, ο τέταρτος και ο 3 ος όρος όρος αριθµητικής προόδου αποτελούν γεωµετρική πρόοδο. Να βρεθούν οι δεκατρείς πρώτοι όροι της αριθµητικής προόδου, αν ο 6 ος είναι ο 3. Οι ασκήσεις αφήγησης δεν πρέπει να λαµβάνονται σαν ξεχωριστός τύπος ασκήσεων. Είναι και αυτές ασκήσεις που ανήκουν σε ένα από τους τρεις τύπους κατασκευαστικές, απόδειξης ή υπολογιστικές, αλλά στη διατύπωσή τους χρησιµοποιούνται όχι µόνο µαθηµατικές έννοιες, µε την αντίστοιχη ορολογία και τους κατάλληλους συµβολισµούς. ύναται να διακριθούν δυο είδη αφηγητικών ασκήσεων: 3

24 Ι. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις οι οποίες αναφέρονται σε µαθηµατικά αντικείµενα (έννοιες) αλλά εκτός της ορολογία και τους συµβολισµούς των µαθηµατικών εννοιών, περιέχουν και λέξεις. Τέτοιες είναι για παράδειγµα οι ασκήσεις γεωµετρικών κατασκευών. Παραδείγµατα: Άσκηση 7. Να βρεθεί αριθµός, η διαφορά του οποίου µε τον αριθµό 3 να είναι ίση µε το γινόµενό του µε το 3. Άσκηση 8. Να βρεθούν δυο αριθµοί αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισµα 40 και ο ένας αριθµός είναι 7 φορές τον άλλο. ΙΙ. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις στις οποίες τα θέµατα είναι παρµένα από την πραγµατικότητα ή από άλλες θεωρητικές επιστήµες. Στις ασκήσεις αυτές πρέπει αρχικά να συνταχθεί η µαθηµατική άσκηση, εν συνεχείς να λυθεί η αντίστοιχη, µαθηµατική πλέον, άσκηση και τέλος να γίνει ο έλεγχος ορθότητας των αποτελεσµάτων της δεδοµένης αφηγητικής άσκησης. ιαφορετικά λέγεται, ότι για να λυθεί µια αφηγητική (µαθηµατική) άσκηση, πρέπει να δηµιουργηθεί και να λυθεί η αντίστοιχη µαθηµατική άσκηση, ο οποία λέγεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η όλη ενέργεια λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση. Στη διδασκαλία υπό τον όρο µοντελοποίηση εννοείται η γνωστική µέθοδο κατά την οποία, καλά αναπτυγµένες και γνωστές έννοιες από ένα τοµέα, αντιπαραθέτονται µε µη αναπτυγµένες και άγνωστες έννοιες από κάποιο άλλο τοµέα. Οι πρώτες έννοιες χρησιµοποιούνται ως ισχυρό µέσο για την επεξήγηση και ανάπτυξη των δεύτερων. Οι γνώσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται για τη µελέτη και επεξήγηση άλλων γνώσεων λέγονται µοντέλα, ενώ οι προς µελέτη γνώσεις λέγονται πρωτότυπες. Πρέπει να τονιστεί ότι το µοντέλο περιέχει µόνο µέρος από τις ιδιότητες του πρωτοτύπου, αλλά οι ιδιότητες αυτές είναι αρκετές για να προσδιοριστούν νέες ιδιότητες και νέα χαρακτηριστικά του πρωτοτύπου. Όταν το µοντέλο αποτελείται από µαθηµατικές σχέσεις, ονοµάζεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η διαδικασία µε την οποία οδηγούµαστε στο µοντέλο αυτό λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση (ή µαθηµατικός προπλασµός). Για την µαθηµατική µοντελοποίηση διακρίνουµε τα ακόλουθα τέσσερα στάδια: α. Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισµός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραµέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. β. ηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου. Στο βήµα αυτό «µεταφράζεται» η άσκηση στη µαθηµατική γλώσσα. γ. Λύση της δηµιουργηµένης µαθηµατικής άσκησης. 4

25 δ. Εκτίµηση της λαµβανόµενης λύσης. Το στάδιο αυτό διαιρείται σε δυο µέρη: δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ του λαµβανόµενου αποτελέσµατος και του µαθηµατικού µοντέλου. δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ της λαµβανόµενης µαθηµατικής λύσης και του πρωτοτύπου Τα τέσσερα αυτά στάδια δίνουν τη δυνατότητα να εισαχθούν ορισµένες µεταβολές και διευκρινίσεις του µαθηµατικού µοντέλου και έτσι να εξηγηθούν και να εµπεδωθούν καλύτερα. Η χρησιµοποίηση µαθηµατικού µοντέλου δίνει τη δυνατότητα να λυθούν ευκολότερα και επιτυχώς ασκήσεις πρακτικής αριθµητικής ή ακόµη και ορισµένες ασκήσεις φυσικής. Στις περιπτώσεις αυτές συνήθως χρησιµοποιείται η λύση πρωτοβάθµιων ή δευτεροβάθµιων εξισώσεων ή ανισώσεων. Συγκεκριµένα η λαµβανόµενη εξίσωση (ή ανίσωση ή σύστηµα), είναι το µοντέλο της άσκησης, ενώ η λύση αποτελεί το πρωτότυπο. Παραδειγµατικά λύνονται δυο πρακτικές ασκήσεις µε τη χρήση µαθηµατικού µοντέλου Άσκηση 9. Σε διαγώνισµα µε 0 ερωτήσεις για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής λαµβάνει 5 µονάδες, ενώ για κάθε λανθασµένη ή αναπάντητη ερώτηση χάνει 3 µονάδες. Ο µαθητής ολοκλήρωσε το διαγώνισµα και συγκέντρωσε 6 µονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε; Λύση. Έστω µε х να συµβολιστούν οι σωστές απαντήσεις. Τότε οι λανθασµένες (ή οι αναπάντητες) θα είναι 0 x. Οι µονάδες που ο µαθητής έλαβε είναι 5х, ενώ εκείνες που έχασε θα είναι 3(0 x).. Τότε το µαθηµατικό µοντέλο της άσκησης είναι η ακόλουθη πρωτοβάθµια εξίσωση: 5x 3(0 x) = Η προαναφερόµενη εξίσωση λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 5х 3(0 x) = 6 5х х = 6 5х + 3х = х = 56 х = х = Θα ελεγχθεί αν х = 7 είναι λύση της δεδοµένης άσκησης: ΟΙ λανθασµένες απαντήσεις (ή οι αναπάντητες) είναι 0 7 = 3. Τότε οι λαµβανόµενες µονάδες είναι = 6, το οποίο είναι σωστό. Κατά συνέπεια х = 7 είναι η λύση της άσκησης. 5

26 Άσκηση 0. Να κατασκευαστεί ορθογώνια πλατεία εµβαδού µεταξύ 90m και 0m. Το µήκος της πλατείας είναι 5m. Πόσα µέτρα µπορεί να είναι του πλάτος της πλατείας; Λύση Έστω το µήκος της πλατείας να είναι х. Τότε το εµβαδόν της είναι 5.x. Για να είναι το εµβαδόν µικρότερο του0 και µεγαλύτερο του 90, τρέπει το х να είναι λύση του ακόλουθου συστήµατος ανισόσεων: 5x> 90. 5x< 0 Το σύστηµα αυτό είναι µοντέλο για τη δεδοµένη άσκηση. Η λύση του συστήµατος είναι το σύνολο όλων των αριθµών x µε x (6, 8). Τότε ο ζητούµενος αριθµός για το πλάτος της πλατείας είναι ο x, x (6, 8), το οποίο είναι και η απάντηση της προαναφερόµενης πρακτικής άσκησης. Κατά όπως φαίνεται, µια άσκηση η οποία δεν είναι µαθηµατική, µοντελοποιείται µε τη βοήθεια µαθηµατικών µέσων και λύνεται µε τη βοήθεια αλγεβρικών µέσων µε µεθόδων. Η πρακτική φανερώνει, ότι το δυσκολότερο επίπεδο, κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων, είναι η δηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου, δηλαδή η σύνταξη της µαθηµατικής άσκησης. Για το λόγο αυτό προτείνεται πριν τη δηµιουργία του µοντέλου, να εξηγούνται στους µαθητές, οι σχετικές φυσικές ή τεχνικές συσχετιζόµενες έννοιες. Να εξηγούνται ποιες πρακτικές ενέργειες και σχέσεις, ποιες µαθηµατικές πράξεις και σχέσεις αντιστοιχούν. Οι λαµβανόµενες µε τον τρόπο αυτό γνώσεις, χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία της αντίστοιχης µαθηµατικής άσκησης, η οποία λέγεται µοντέλο της πρακτικής άσκησης. Η µαθηµατική µοντελοποίηση µπορεί να εφαρµοστεί και σε ασκήσεις µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Για το λόγο αυτό διακρίνονται δυο είδη µοντελοποίησης: εσωτερική και εξωτερική. Το πρώτο είδος αναφέρεται στη δηµιουργία µοντέλου της άσκησης µε µαθηµατικό περιεχόµενο, ενώ το δεύτερο στη µοντελοποίηση πρακτικών ασκήσεων. Τονίζεται ότι η εσωτερική µοντελοποίηση χρησιµοποιήθηκε και από τους Αρχαίους Έλληνες. Τυπικό παράδειγµα αυτού είναι η χρήση της «αλγεβρικής γεωµετρίας», όπου οι αλγεβρικές ασκήσεις λύνονταν µε τη βοήθεια γεωµετρικών γνώσεων. Συγκεκριµένα, στην αλγεβρική γεωµετρία οι πράξεις µε αριθµούς παρουσιάζονταν ως πράξεις µε ευθύγραµµα τµήµατα. 6

27 Ακολουθεί ένα παράδειγµα στο οποίο είναι φανερή η λύση του µε τη βοήθεια εσωτερικής µοντελοποίησης. Άσκηση. Να υπολογιστούν τα µήκη των πλευρών ορθογωνίου το οποίο έχει περίµετρο 35сm, και η διαφορά των πλευρών του (µήκος µείων πλάτος) είναι,5сm (Σχήµα ) D A х Σχήµα Λύση. Συµβολίζεται µε х το πλάτος του ορθογωνίου, τότε το µήκος του θα είναι х +,5, ενώ η περίµετρός του х +(х+,5).. Αφού η περίµετρος είναι 35, τότε х +(х+,5) = Η τελευταία εξίσωση είναι το αλγεβρικό µοντέλο της γεωµετρικής άσκησης και λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 0cm. x +(x+,5) = 35 x + x +5 = 35 x +x = 30 4x = 30 x = C B 30 = 7,5. 4 Για х = 7,5cm λαµβάνεται, ότι το µήκος του ορθογωνίου είναι 7,5 +,5 = 4. Έλεγχος: Για την περίµετρο του ορθογωνίου, µε µήκος 0cm και πλάτος 7,5cm αντίστοιχα, λαµβάνεται ότι:.7,5cm +.0cm = 35cm, το οποίο αληθεύει. Κατά συνέπεια 7,5cm και 0cm είναι τα ζητούµενα.. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης Κατά τον γνωστό Πολωνό µαθηµατικό Polya υπάρχουν έξι βασικά στάδια κατά τη λύση µιας µαθηµατικής άσκησης: α) Έλεγχος της εκφώνησης της δεδοµένης άσκησης, στον οποίο «διαχωρίζονται» τα δεδοµένα από τα ζητούµενα. 7

28 β) Κατανόηση της άσκησης, αφού πρώτα κατανοηθούν τα επιµέρους στοιχεία της (δεδοµένα και ζητούµενα). γ) ηµιουργία σχεδίου λύσης της άσκησης. Αφού ο µαθητές κατανοήσεις πλήρως την εκφώνηση της άσκησης (ποια είναι τα γνωστά και ποια τα ζητούµενα), απαραίτητο είναι το σχέδιο λύσης µε το οποίο µεταβαίνει από τα δεδοµένα στα ζητούµενα στοιχεία της άσκησης. Το σχέδιο αυτό λύσης της δεδοµένης άσκησης δεν είναι µοναδικό και µπορεί να χρειαστεί να τροποποιηθεί ανάλογα µ αυτό το οποίο πρέπει να αποδειχτεί ή να ληφθεί. δ) Εκτέλεση εφαρµογή του σχεδίου λύσης που ο µαθητής θεωρεί καταλληλότερο. ε) Μελέτη της λύσης και προσδιορισµός του αριθµού των διαφορετικών λύσεων της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. ζ) Ανακάλυψη (αν είναι δυνατόν) και προσδιορισµός των δυνατοτήτων εφαρµογής της δεδοµένης άσκησης στη λύση άλλων µαθηµατικών ή και όχι µαθηµατικών ασκήσεων (φυσική, χηµεία, πρακτική εφαρµογή κ.τ.λ.). Για τη θεωρία και την πρακτική των λύσεων των µαθηµατικών ασκήσεων, έχει δηµιουργηθεί το ερώτηµα για τη δοµή της λύσης µιας µαθηµατικής άσκησης. Αν µε A n συµβολιστεί η λύση της άσκησης Z n, όταν στη λύση А n της άσκησης Z n χρησιµοποιείται η λύση A k της άσκησης Z k, η άσκηση Z k λέγεται άσκηση τµήµα της άσκησης Z n. Έστω А, А,..., А j,..., А n είναι οι λύσεις αντίστοιχα των ασκήσεων τµήµατα Z, Z,..., Z j,..., Z n της άσκησης Z n. Οι λύσεις А, А,, А j,, А n µπορούν να παρασταθούν οπτικά µε κλειστές γραµµές και µε τα εσωτερικά τους σηµεία. ιακρίνονται τέσσερις περιπτώσεις τέτοιων κλειστών γραµµών διαγραµµάτων: I. Αν η λύση А k της άσκησης Z k περιέχεται στη λύση А k+ της άσκησης Z k+, δηλαδή η Z k είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται στο διάγραµµα της А k+, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 3. А k+ А k Σχήµα 3 II. Αν η λύση А k της Z k δεν περιέχεται στη λύση А k+ της Z k+, δηλαδή η Z k δεν είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k είναι εκτός του 8

29 διαγράµµατος της А k+, (Σχήµα 4α) ή έχει µη κενή τοµή µε το διάγραµµα αυτής (Σχήµα 4β). A k A k+ A k A k+ Σχήµα 4α Σχήµα 4β ІІІ. Αν η λύση А k της Z k είναι κοινό µέρος των λύσεων А k+ και А k+r αντίστοιχα των ασκήσεων Z k+ και Z k+r, δηλαδή Z k είναι άσκηση τµήµα των Z k+ και Z k+r, αλλά А k+ δεν περιέχεται στη А k+r, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται τόσο σ αυτό της А k+, όσο και στο διάγραµµα της А k+r, Σχήµα 5. A k+ A k A k+r Σχήµα 5 IV. Αν η λύση А περιέχεται στη А, А περιέχεται στη А 3 κ.τ.λ., για κάθε k η λύση А k περιέχεται στη λύση А k+, τότε τα διαγράµµατα λύσεων διαδοχικά περιέχονται το ένα στο άλλο, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 6. A k+ A k A A Σχήµα 6 Για παράδειγµα θα αναφερθεί η δοµή λύσης µιας γεωµετρικής άσκησης, η οποία είναι η ακόλουθη: Άσκηση ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ. Αν οι διχοτόµοι των γωνιών Αˆ, ˆ τέµνονται στο σηµείο Ε, ενώ οι διχοτόµοι των γωνιών Βˆ, Γˆ στο σηµείο Ζ, το οποίο είναι διαφορετικό από το Ε, να δειχτεί ότι ΕΖ// Γ. Η λύση Α της άσκησης Ζ περιέχει τις λύσεις Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6 των ασκήσεων-µερών Ζ, Ζ, Ζ 3, Ζ 4, Ζ 5 και Ζ 6 αντίστοιχα (Σχήµα 7). 9

30 Ε Γ Ζ Α Γ Β Σχήµα 7 Ζ : Στο τρίγωνο Α, να δειχτεί ότι το ΑΕ είναι ύψος του. Α : ΑΕ+Ε ˆ ˆ Α Α+ 80 Α = + = = το ΑΕ είναι ύψος του τριγώνου Α. Ζ : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ, να δειχτεί ότι το ΒΖ είναι ύψος του. Α : ο =90, άρα Αˆ Ε =90 και κατά συνέπεια ο ˆ ˆ Β Γ Β+Γ 80 Γ ΒΖ+ΖΓΒ= + = = =90, άρα ΓΖ ˆ Β =90 και κατά συνέπεια το ΒΖ είναι το ύψος του τριγώνου ΒΓ Γ. Ζ 3 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ε είναι µέσο του. Α 3 : Στο τρίγωνο Α το ΑΕ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΑΕ είναι και διάµεσος. Άρα Ε µέσο του. Ζ 4 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ζ είναι µέσο του ΓΓ. Α 4 : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ το ΒΖ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΒΖ είναι και διάµεσος. Άρα Ζ µέσο του ΓΓ. Ζ 5 : Να δειχτεί ότι το τετράπλευρο Γ Γ είναι τραπέζιο. Α 5 : Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τραπέζιο και εποµένως ΑΒ//Γ. Τα Γ, είναι σηµεία της βάσης ΑΒ από το οποίο λαµβάνεται ότι και Γ// Γ, άρα το Γ Γ είναι τραπέζιο. Ζ 6 : Να δειχτεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΕΖ είναι διάµεσος του τραπεζίου Γ Γ. Α 6 : Επειδή το Γ Γ είναι τραπέζιο µε Γ //Γ και Ε, Ζ τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του, τότε ΕΖ είναι η διάµεσός του. Με τη λύση Α 6 της άσκησης Ζ 6 καταλήγουµε και στη λύση Α της άσκησης Ζ µε τρόπο ευρετικό, εφόσον οι διάφορες ασκήσεις τµήµατα δοθούν για λύση πριν την άσκηση Ζ, σαν υποερωτήµατά της. Με την βοήθεια κλειστών γραµµών µπορεί να εκφραστεί η σχέση µεταξύ των Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6, εφόσον για κάθ' ένα απ' αυτά αντιστοιχίσουµε µια κλειστή γραµµή (Σχηµ.8). 0

31 A A 3 A 5 A 4 A A 6 Σχήµα 8 Γεγονός εποµένως είναι ότι κάθε άσκηση για τη λύση της απαιτεί µαθηµατικούς συλλογισµούς οι οποίοι πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους και να χρησιµοποιούνται σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή της εκπαίδευσης. Η µη ύπαρξη αυτών συντελεί στην αύξηση των δυσκολιών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Φυσικά µια µαθηµατική άσκηση µπορεί να έχει περισσότερες από µια λύσεις. Εποµένως η λύση της άσκησης µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε διαφορετικές ασκήσεις τµήµατα και αυτό πάντα σε συνάρτηση µε τη λύσης της. ιαφορετικές θα είναι φυσικά οι γραφικές αναπαραστάσεις των λύσεων των ασκήσεων. Στη διαδικασία γέννησης των δεξιοτήτων των µαθητών για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σηµαντικό ρόλο παίζει και επίγνωση των καθηγητών τόσο για τη δοµή λύσης της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης, όσο και οι έννοιες πολυπλοκότητα και δυσκολία λύσης της άσκησης. Αν µε А, А,,А j,,а n συµβολιστούν οι λύσεις των ασκήσεων τµηµάτων της Z n µε λύση A n, τότε ο βαθµός πολυπλοκότητας της λύσης της άσκησης Z n προσδιορίζεται από τον αριθµό n, ενώ ο βαθµός δυσκολίας της λύσης A n εξαρτάτε από το n και επίσης από το ποιες από λύσεις А, А,, А j,, А n ειναι προκαταβολικά γνωστές. Όσο περισσότερες ασκήσεις τµήµατα µιας άσκησης λυθούν αρχικά από κάποιο µαθητή, τόσο η λύση της δεδοµένης άσκησης θα είναι ευκολότερη γι αυτόν. Κατά συνέπεια η πολυπλοκότητα της λύσης µιας άσκησης προσδιορίζεται από την πολυπλοκότητα λύσης και από τον αριθµό των αντίστοιχων ασκήσεων τµηµάτων της, καθώς και από το χρόνο που αυτές λύθηκαν. Αυτό σηµαίνει ότι ενώ η πολυπλοκότητα της λύσης δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης δεν µπορεί να µεταβληθεί, η δυσκολία λύσης της µπορεί να αυξηθεί ή να ελαττωθεί και αυτό σε συνάρτηση µε τις αντίστοιχες ασκήσεις τµήµατα που λύνονται πριν απ αυτήν. Στην πράξη, κατά την εκπαιδευτική διαδικασία και µε ευθύνη του καθηγητή, πρέπει να τακτοποιούν τις διάφορες ασκήσεις σε οµάδες, έτσι ώστε κάθε άσκηση να προετοιµάζεται από άλλες, πριν απ αυτή άλλες ασκήσει τµήµατα. Πρέπει να ειπωθεί, ότι µε το θέµα των βοηθητικών ασκήσεων (δηλαδή τις ασκήσεις τµήµατα) έχουν ασχοληθεί και ακόµη ασχολούνται πολύ µαθηµατικοί (για

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ A. ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδακτέα- Εξεταστέα ύλη Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η, Βλάμου Π., Κατσούλη Γ., Μαρκάκη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ ΣΑΒΒΑΤΟ,14 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά τις οδηγίες στους μαθητές. 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 ΣΑΒΒΑΤΟ, 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 013 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τηλ. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 Tel. 0 36653-0367784 - Fax: 0 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 5 Αν a = 4 και b = 5 +, να υπολογίσετε την τιμή παράστασης: 5 A = a: b b. 5a ΘΕΜΑ ο Έστω α θετικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 70 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 21 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2009 B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 0 3663-0367784 - Fax: 0 3640 GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 06 79

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΥΠΑΡΧΕΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ; Εμμ. Νικολουδάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών Η Ευκλείδεια Γεωμετρία σε σχέση με Θεωρία van Hiele Οι τρεις κόσμοι του Tall

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β' Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.-Πόλη: 15180 Μαρούσι ΠΡΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα