A 4 A 6 A 2 A 5 A 3 A 1. , p p

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "A 4 A 6 A 2 A 5 A 3 A 1. , p p"

Transcript

1 Σάλτας Βασίλειος ιδάκτωρ Μαθηµατικών A 4 A 6 A N P A A 5 A 3 M Τα προβλήµατα στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά και οι ασκήσεις στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο p p p p,..., p p, p q, 3 k p q k k p p p p, p p,..., p p, p q, 3 k p q k k ηµιθεώρηµα p p, p p p p Καβάλα 0 0 6

2 Στα µαθηµατικά διαρκώς πρέπει να υπάρχουν δυο σκοποί: Πρώτος διέγερση της εφευρετικότητας, άσκηση της ατοµικής εκτίµησης, του λογικού συλλογισµού και της συνήθειας σταθερής έκφρασης. εύτερος σύνδεση των κλάδων των καθαρών µαθηµατικών µε άλλες εφαρµοσµένες επιστήµες, έτσι ώστε ο µαθητής να µπορεί να κατανοεί την πραγµατική σχέση µεταξύ των αρχών και των πραγµάτων. [. σελίδα 7] ιεθνής Επιτροπή για τη ιδασκαλία των Μαθηµατικών (έτος 9)

3 Περιεχόµενα Εισαγωγή Κεφάλαιο I. Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία 6. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους 6. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης 7 3. Σκοπός, διαδικασίες και ρόλος των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 4 Κεφάλαιο II. Μαθηµατικά προβλήµατα στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά (έως τον 4ο αιώνα µ.χ.) 35. Συνοπτικές πληροφορίες για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στην Αρχαία Ελλάδα (έως των 4 ο αιώνα µ.χ.) 35. Συµβολικός τρόπος γραφής των αριθµών στην Αρχαία Ελλάδα 4 3. Σχετικά µε την εµφάνιση των σχηµάτων για τη λύση προβληµάτων ιάσηµα µαθηµατικά προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα (έως τον 4 ο αιώνα µ.χ.) Μαθηµατικές ασκήσεις του Θαλή Πυθαγόρειο Θεώρηµα Πρόβληµα του Ζήνωνα Γεωµετρική απόδειξη της ταυτότητας (a + b) = a + ab + b Κατασκευή των διαγωνίων και πλευρικών αριθµών Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Αρχιµήδη Η Χρυσή Τοµή και µια υπόθεση για τη θέση ορισµένων αρχαιολογικών µνηµείων στην Ελλάδα Προβλήµατα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη Το πρόβληµα του Απολλώνιου Ο τύπος του Ήρωνα για τον υπολογισµό του εµβαδού τριγώνου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Νικόµαχου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του ιόφαντου Αριθµητικές ασκήσεις στα συγγράµµατα του Ιππόλυτου Προβλήµατα στα συγγράµµατα του Πάππου

4 4.5. Τα τρία άλυτα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα 86 Κεφάλαιο III: Οι ασκήσεις στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Παρατηρήσεις για την οργάνωση και των µεθόδων διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 90. Χαρακτηριστικά του περιεχοµένου της διδασκαλίας των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της γεωµετρίας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας της άλγεβρας στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία 9.3. Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της τρίτης τάξης του Λυκείου Γενικής Παιδείας Το περιεχόµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών της Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Τύποι µαθηµατικών ασκήσεων οι οποίες λύνονται στα σύγχρονα ελληνικά σχολεία 95 Κεφάλαιο IV. υνατότητες επέκτασης του ρόλου των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών 0. Οι ασκήσεις ως προετοιµασία για την εµπέδωση νέων µαθηµατικών εννοιών 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις µε γεωµετρικές κατασκευές 0.. Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις για απόδειξη Ασκήσεις για την προετοιµασία των µαθητών να λύνουν ασκήσεις υπολογιστικές. Ασκήσεις για την προπαίδευση νέων µαθηµατικών εννοιών 5.. Ρίζα αριθµού 6.. Αριθµητική συνάρτηση 7.3. Ίσα τρίγωνα 7.4. Θεώρηµα Θαλή 8 3. Ιστορικές, διασκεδαστικές και παραδοσιακές ασκήσεις ως τρόπο για την 9 374

5 αύξηση του ενδιαφέροντος προς τη µαθηµατική επιστήµη 3.. Ιστορικές ασκήσεις Παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 7 Κεφάλαιο V. υνατότητες ανάπτυξης και τελειοποίησης των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3. Προϋποθέσεις για την ανάπτυξη των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 3.. ιδακτικός ρόλος των θεωρηµάτων 3.. Προϋποθέσεις για τη συγκρότηση των δυνατοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις 3.3. ιδακτικά επίπεδα της λύσης µαθηµατικής άσκησης Επαγωγική δοµή των µαθηµατικών γνώσεων θετικά και αρνητικά Παράγοντες της συστηµατοποίησης των ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά 35. Συστηµατοποίηση των ορισµών και των θεωρηµάτων 37.. ιδακτικό σύστηµα ικανών συνθηκών (.Σ.Ι.Σ.) 37.. ιδακτικό σύστηµα αναγκαίων συνθηκών (.Σ.Α.Σ.) Ο ρόλος των.σ.ι.σ. και.σ.α.σ. στη διδασκαλία των µαθηµατικών «υνατές» και «αδύνατες» ιδιότητες των θεωρηµάτων 4.5. Συµπεράσµατα και σχόλια 4 3. Λογική δοµή του διδακτικού συστήµατος ασκήσεων Συστηµατοποίηση των υπολογιστικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά Ηµιτελείς λύσεις Τα ηµιθεωρήµατα στα σχολικά µαθηµατικά Προκαταρκτικές παρατηρήσεις Η δοµή των ηµιθεωρηµάτων Η θέση των ηµιθεωρηµάτων στα σχολικά βιβλία µαθηµατικών «Ισχύς της άσκησης» κριτήριο για να θεωρηθεί µια άσκηση ηµιθεώρηµα ιδακτικά συστήµατα συνδεδεµένα µε τα ηµιθεωρήµατα Παραδείγµατα διδακτικών συστηµάτων από ασκήσεις βασισµένα στη

6 ιδέα των ηµιθεωρηµάτων 7. Συµπεράσµατα και σχόλια 7 Κεφάλαιο VI. ιδακτική έρευνα 73. Βασικές ενέργειες και οργάνωση της έρευνας 73. Αποτελέσµατα και ανάλυση 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 75.. Έρευνα Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων Έρευνα 3 Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 89 Κεφάλαιο VII. ιδακτικές παρεµβάσεις διδακτική επεξεργασία των µαθηµατικών 94. Λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 94.. Εισαγωγή 94.. Λογικά λάθη κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων Περιπτώσεις λαθών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων Αίτια των λαθών Συµπεράσµατα 00. ιδακτική επεξεργασία του περιεχοµένου των µαθηµατικών 0.. Εισαγωγή 0.. Η συστηµατοποίηση των γνώσεων ως µέσο κατανόησης των µαθηµατικών εννοιών 0.3. Προετοιµασία του περιεχοµένου διδασκαλίας 0.5. Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Οργάνωση της διδασκόµενης µαθηµατικής θεωρίας Συµπεράσµατα Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Εισαγωγή 3.. Ύπαρξη των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.3. Μορφή των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής 3.4. Βαθµολόγηση των ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής Συµπεράσµατα 6 376

7 4. Το µάθηµα των µαθηµατικών στο σχολείο Εισαγωγή 7 4..Βασικές ενέργειες κατά τη διεξαγωγή του µαθήµατος των µαθηµατικών στο σχολείο Μελλοντικές τάσεις για τη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σχολείο 4.4. Συµπεράσµατα 7 5. Η εσωτερική σχέση των µαθηµατικών γνώσεων Εισαγωγή Η σχέση των µαθηµατικών γνώσεων µεταξύ τους και µε άλλες επιστήµες Εφαρµογή των τριγωνοµετρικών γνώσεων στην άλγεβρα Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Συµπεράσµατα 3 6. Επίλυση ασκήσεων µε την βοήθεια της συστηµατοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων Εισαγωγή Ανισοτικές σχέσεις στο τρίγωνο Προσδιορισµός τύπου τριγώνου Επιπρόσθετες κατασκευές Συστηµατοποίηση των γεωµετρικών γνώσεων σχετικών µε τα τρίγωνα, τις παράλληλες και κάθετες ευθείες Συµπεράσµατα 4 7. Ακραίες ασκήσεις υπολογισµού εµβαδού 4 8. Ακραίες ασκήσεις ανισοτήτων Η µορφή, η θέση και ο ρόλος των σχολικών βοηθηµάτων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων 9. Πολυωνυµικές ανισώσεις ένα θεώρηµα Θεώρηµα Παρατήρηση Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση Εισαγωγή Σχολικά βοηθήµατα λύσης µαθηµατικών ασκήσεων ιδακτικές παρατηρήσεις Συµπεράσµατα

8 . ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων εµπέδωσης της έννοια παράγωγος συνάρτησης 59.. Ιστορική αναδροµή της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 59.. Γεωµετρική ερµηνεία της έννοιας παράγωγος συνάρτησης 6.3. Εφαρµογή της παραγώγου συνάρτησης 6.4.Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση 64. ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων συνδυαστικής θεωρίας 65.. Εισαγωγή 65.. Η συνδυαστική θεωρία κατά την αρχαιότητα Βασικά στοιχεία συνδυαστικής θεωρίας Ασκήσεις συνδυαστικής ιδακτική επεξεργασία της αριθµητικής και της γεωµετρικής πρόοδος Αριθµητική πρόοδος Ασκήσεις λυµένες στην αριθµητική πρόοδο Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στην αριθµητική πρόοδο Γεωµετρική πρόοδος Ασκήσεις λυµένες στη γεωµετρική πρόοδο Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση στη γεωµετρική πρόοδο ιδακτικό σύστηµα ασκήσεων µαθηµατικής επαγωγής Εισαγωγή Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής Ασκήσεις λυµένες µε τη βοήθεια της µαθηµατικής επαγωγής Ασκήσεις προτεινόµενες για λύση ιασκεδαστικές µαθηµατικές ασκήσεις Εισαγωγή Η πορεία των προβλήµατα πρακτικής αριθµητικής στο χρόνο Ορισµένες ασκήσεις Προτεινόµενες λύσεις Υπολογισµοί µνήµης διδακτική προσέγγιση Εισαγωγή Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού γινοµένου Γινόµενο διψήφιων αριθµών των οποίων τα ψηφία των δεκάδων είναι ο αριθµός

9 6... Γινόµενο δυο ίδιων διψήφιων αριθµών, οι οποίοι είναι πολλαπλάσια του Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι Γινόµενο αριθµών των οποίων όλα τα ψηφία είναι 9 και οι δυο αριθµοί έχουν τον ίδιο αριθµό ψηφίων Μνηµονικοί κανόνες διαίρεσης Κριτήρια διαιρετότητας ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε το 5, 0,5, 0,05, 0,005, ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε 5, 0,5, 0,05, 0,005, ιαίρεση τυχαίου αριθµού µε και 0, Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού διαφόρων γινοµένων και πηλίκων Χρησιµοποίηση της διαφοράς τετραγώνου κατά τις αριθµητικής πράξεις Άθροισµα φυσικών αριθµών Μνηµονικοί κανόνες υπολογισµού δύσκολων ασκήσεων Γινόµενο τριψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των εκατοντάδων είναι Γινόµενο τετραψήφιων αριθµών των οποίων το ψηφίο των χιλιάδων είναι Χρήση απλών υπολογιστικών εφαρµογών στη διδασκαλία των µαθηµατικών Εισαγωγή ηµιουργία ενδιαφέροντος για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σύγχρονες τάσεις Η χρήση απλού λογισµικού ηλεκτρονικών υπολογιστών στη διδασκαλία των µαθηµατικών Υλοποίηση διδακτικού προγράµµατος ιδακτικές παρατηρήσεις Η βοήθεια των µαθηµατικών στη διδασκαλία βασικών εννοιών του λογιστικού φύλλου MS-Excel Εισαγωγή εισαγωγή των λογικών πράξεων στο MS-Excel µε τη βοήθεια 3 379

10 µαθηµατικών ασκήσεων Πορεία µαθήµατος Συµπεράσµατα ιδακτική αξιοποίηση µαθηµατικών µοντέλων Μαθηµατική µοντελοποίηση Εσωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση Εξωτερική µαθηµατική µοντελοποίηση Συµπεράσµατα ιδακτική τεχνολογία των µαθηµατικών Εισαγωγή ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή µαθηµατικών όρων ιδακτική τεχνολογία για την εγκαθίδρυση και εµπέδωση µαθηµατικών ιδιοτήτων ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για εφαρµογή των γνώσεων κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων ιδακτική τεχνολογία για την εισαγωγή και εκµάθηση µαθηµατικών εννοιών ιδακτική τεχνολογία για την απόδειξη και εφαρµογή των θεωρηµάτων ιδακτική τεχνολογία για την διάπλαση των ικανοτήτων για λύση µαθηµατικών ασκήσεων 334 Παράρτηµα. Ορισµένα ηµιθεωρήµατα και ασκήσεις που λύνονται µε τη βοήθειά τους 339 Παράρτηµα. Ασκήσεις για τη κατανόηση και σταθεροποίηση των µεθόδων λύσης ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής, υπολογιστικές και απόδειξης διδασκόµενες στο σχολείο 344 Παράρτηµα 3. Ιστορικές, παραδοσιακές και διασκεδαστικές ασκήσεις 35 Παράρτηµα 4. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων 353 Παράρτηµα 5. Έρευνα : Λύση µαθηµατικών ασκήσεων µε

11 τη βοήθεια των ηµιθεωρηµάτων Παράρτηµα 6. Έρευνα 3: Πρακτική εφαρµογή των µαθηµατικών γνώσεων 357 Παράρτηµα 7. Αρχαίοι έλληνες µαθηµατικοί (από τον 7ο αιώνα π.χ. έως και τον 9ο µ.χ.) 359 Συµπεράσµατα 36 Πορίσµατα 365 Βιβλιογραφία

12 Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι, από τα βάθη της αρχαιότητας τα προβλήµατα (ασκήσεις) ήταν αδιαίρετο µέρος, όχι µόνο για την επιστήµη των µαθηµατικών, αλλά και για τη διδασκαλία των µαθηµατικών. Από την Αρχαία Βαβυλώνα και την Αρχαία Αίγυπτο, οι ασκήσεις ήταν βασικό µέσο για τον προσδιορισµό των µαθηµατικών γνώσεων, δηλαδή είναι το βασικό µέσο παρουσίασης και απόδειξης των γνώσεων. Αλλά µαζί µ εκπληρώνουν και διδακτικές λειτουργίες. Σε µαθηµατικές πυγές οι οποίες αναφέρονται στην προελληνική περίοδο των µαθηµατικών, συνήθως συναντιούνται µόνο ασκήσεις (προβλήµατα). Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να ισχυριστεί κάποιος, ότι οι ασκήσεις αυτές είχαν και διδακτικό χαρακτήρα. Για παράδειγµα η 3 η, 4 η, 5 η και 6 η άσκηση από τον πάπυρο του Rind φέρουν την εκφώνηση: «Να διαιρεθούν αντίστοιχα 6, 7,8 και 9 ψωµιά σε 0 ανθρώπους µε τον ελάχιστο αριθµό διαιρέσεων». Οι ασκήσεις αυτές καθώς φαίνεται µάλλον χωρίς πρακτικό χαρακτήρα είναι. Οι ασκήσεις αυτές πιθανότατα λύνονταν για να εξασκηθεί η βασική µέθοδος παρουσίασης των κλασµάτων 6 / 0, 7 / 0, 8 / 0 и 9 / 0 µε κλάσµατα µε αριθµητή τη µονάδα. Το ίδιο ισχύει και για την βαβυλώνια περίοδο των µαθηµατικών. Παρόµοιο συµπέρασµα ισχύει και για πολλές εκ των µαθηµατικών ασκήσεων της Αρχαία Κίνας και της Αρχαίας Ινδίας. Ο ρόλος των ασκήσεων διαφοροποιείται κατά την αρχαιοελληνική περίοδο. Ο όρος «άσκηση» δεν αρµόζει για την περίοδο αυτή, εκτός ορισµένων περιπτώσεων. Πρέπει να χρησιµοποιείται ο όρος «πρόβληµα», γεγονός που αναφέρει και ο Polya, κατά τον οποίο τα προβλήµατα στην Αρχαία Ελλάδα είναι αυτό που στα σύγχρονα µαθηµατικά λέγονται ασκήσεις ή προβλήµατα γεωµετρικών κατασκευών. Στην αριθµητική όµως στην Αρχαία Ελλάδα συνεχίζει η παράδοση για την παρουσίας και εδραίωση των σχετικών γνώσεων µε τη βοήθεια ασκήσεων, αφού οι αρχαίοι έλληνες δεν είχαν αναπτύξει την αλγεβρική µηχανή (π.χ. για την επίλυση δευτεροβάθµιων εξισώσεων), ενώ επίσης είχαν µικρό αριθµό θεωρηµάτων. Από την άλλη πλευρά, στη γεωµετρία έχει αναπτυχθεί επαγωγική θεωρία, δηλαδή απόδειξη ισχυρισµών, οι οποίοι απευθύνονται για ακέραιες τάξεις αντικειµένων (για παράδειγµα για όλο το ορθογώνιο ή το τρίγωνο), χρησιµοποιώντας πριν απ αυτούς αποδειγµένα θεωρήµατα. Εν συνεχεία οι ισχυρισµοί αυτοί λαµβάνονταν ως γνωστοί και χρησιµοποιούνταν

13 αναπόδειχτοι. Με τον τρόπο αυτό γίνεται οικονοµία χρόνου και πνευµατικής ενέργειας. Η προσοχή στη µελέτη αυτή κατευθύνεται πάνω στο ρόλο των προβληµάτων στην Αρχαία Ελλάδα, ως διδακτική κατηγορία και όχι ως µέσο για τη διατύπωση «ξερών» µαθηµατικών γνώσεων. Κατά τον VІ ІV αιώνα π.χ. οι γνωστοί έλληνες µαθηµατικοί Πυθαγόρας, Ιπποκράτης, Ευκλείδης, εργάστηκαν πάνω στα κατασκευαστικά προβλήµατα. Από τον ІV αιώνα π.χ. έχουν διατυπωθεί οι παραδοσιακοί τρόποι σχήµατα για τα λεγόµενα επίπεδα λύσης κατασκευαστικού προβλήµατος (ανάλυση, σύνθεση, απόδειξη και µελέτη). Οι τρόποι αυτοί, µε εµφανείς αλλαγές, µπορούν να χρησιµοποιηθούν και κατά τη λύση οποιαδήποτε µαθηµατικής άσκησης. Κατά την περίοδο αυτή «καθαρά» γεωµετρικές» θεωρούνταν µόνο οι κατασκευές οι οποίες υλοποιούνταν µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη και θεωρούταν «νόµιµο» η επίλυσή τους µε άλλα σχεδιαστικά µέσα. Σε µεταγενέστερη περίοδο, πάλι στην Αρχαία Ελλάδα, χρησιµοποιούνταν και άλλα σχεδιαστικά µέσα για τη λύση κάποιων προβληµάτων. Για παράδειγµα, ο Πλάτωνας έλυσε το πρόβληµα του διπλασιασµού του κύβου µε τη χρήση δυο ορθών γωνιών. Ο Αρχιµήδης από την άλλη πλευρά έλυσε το πρόβληµα της τριχοτόµησης γωνίας µε χάρακα και δυο καθορισµένα σηµεία πάνω στο χάρακα. Είναι γνωστό, ότι οι ασκήσεις (και τα προβλήµατα) ήταν αντικείµενο της διδασκαλίας των µαθηµατικών. Μπορεί στα αρχαιοελληνικά µαθηµατικά ο βασικός ρόλος των προβληµάτων ήταν, πιθανότητα, µόνο το µοναδικό µέσο προσδιορισµού των µαθηµατικών πληροφοριών, στη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν έχουν ρόλο µόνο την παρουσίαση των µαθηµατικών πληροφοριών. Έχουν και διδακτικές λειτουργίες και µε τη βοήθεια των ασκήσεων µπορούν να αιτιολογούν, εισάγουν και να εξασκούν νέες γνώσεις, όπως επίσης και να διατηρούν γνώσεις διδασκόµενες νωρίτερα. Οι λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων κατά την αρχαιοελληνική περίοδο ανάπτυξης των µαθηµατικών, καθώς επίσης και ο ρόλος και η θέση των προβληµάτων την περίοδο αυτή, θα είναι ένας από τους βασικούς στόχους της έρευνας αυτής. Οι ασκήσεις περιέχουν σύνθεση από δυνατότητες για την ανάπτυξη της σκέψης των µαθητών. Η λύση µαθηµατικών ασκήσεων απαιτεί προβλεπτικότητα, επινοητικότητα και καλές γνώσεις της διδασκόµενης θεωρίας, αλλά µαζί µ αυτό 3

14 βοηθά για τη διάπλαση µεγαλύτερης εκφραστικότητας και δηµιουργίας στην εργασία των µαθητών. Τα παρουσιαζόµενα γεγονότα, σκέψεις και συλλογισµοί δίνουν τη δυνατότητα να θεωρηθεί, ότι πάντα θα υπάρχει ενδιαφέρον να εξεταστούν διδακτικές ερωτήσεις για τη θέση και το ρόλο των µαθηµατικών ασκήσεων στα σχολικά µαθηµατικά, για τις µεθόδους λύσης τους και για τον τρόπο παράδοσής τους. Ενδιαφέρον είναι επίσης και το γεγονός, ότι το σηµαντικότερο για τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων είναι επεξεργαστεί η αντίστοιχη θεωρία, έτσι ώστε ο µαθητής µόνος του να µπορεί να λύνει ασκήσεις, συµπεριλαµβανοµένου και της γραφικής απόδοσης της λύσης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων (και των ελάχιστων ασκήσεων) στην Αρχαία Ελλάδα να είναι πιθανότατα πλέον προσδιορισµένος, δεν ισχύει όµως το ίδιο για το περιεχόµενο και τη φόρµα, για τη θέση και το ρόλο των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. Η γνώση της ιστορία της διδασκαλίας των µαθηµατικών µπορεί να γεννήσεις ιδέες για τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών, όχι µόνο για το ελληνικό σχολείο, αλλά και σε παγκόσµιο επίπεδο. Τέθηκε ο ακόλουθος σκοπός: Να εξεταστεί η θέση, ο ρόλος και οι διδακτικές λειτουργίες των µαθηµατικών προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο, να ανακαλυφθούν δυνατότητες και να επεξεργαστούν τακτικές για την αύξηση του επιπέδου διδασκαλίας των µαθηµατικών και συγκεκριµένα τη διδασκαλία λύση ασκήσεων. Αντικείµενα της έρευνας είναι οι ασκήσεις και ο τρόπος λύσεις τους στις αρχαιοελληνικές µαθηµατικές σχολές και στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο και οι ικανότητες των µαθητών να λύνουν ασκήσεις, το οποίο συγκροτεί τη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών. Επίσης ως αντικείµενο της έρευνας τέθηκαν η δοµή της λύσης άσκησης, οι ενέργειες λύσης µαθηµατικών ασκήσεων και οι δυνατότητες χρησιµοποίησης των ασκήσεων ως τρόπο τελειοποίησης των µαθηµατικών γνώσεων και ικανοτήτων των µαθητών. Με βάση τη συγκεντρωµένη και µελετηµένη µαθηµατική βιβλιογραφία, µε µοντελοποίηση και θεωρητικούς συλλογισµούς, διατυπώθηκε η ακόλουθη υπόθεση: Συστηµατική ένταξη ιστορικών, παραδοσιακών και διασκεδαστικών µαθηµατικών ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών και η χρήση συστηµάτων ασκήσεων (συστηµατοποίηση γνώσεων) στη βάση των οποίων βρίσκονται οι ασκήσεις 4

15 θεωρήµατα (ηµιθεωρήµατα), οδηγεί στη ενίσχυση του ενδιαφέροντος και στην τελειοποίηση των ικανοτήτων των µαθητών να λύνουν µαθηµατικές ασκήσεις. Για την εκπλήρωση του σκοπού και για τον έλεγχο της υπόθεσης έγιναν µελέτες προς στις ακόλουθες κατευθύνσεις:. Εξετάστηκε ο χαρακτήρας, η θέση και ο ρόλος των προβληµάτων στα αρχαία ελληνικά µαθηµατικά και στη διδασκαλία των µαθηµατικών σε ιστορικό πλάνο.. Εξετάστηκε η κατάσταση του προβλήµατος για τις ασκήσεις στα σύγχρονα ελληνικά σχολικά βιβλία µαθηµατικών µέσης εκπαίδευσης. 3. Έγινε ανάλυση και εκτίµηση της χρήσης ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών και στα σύγχρονα σχολικά βιβλία µαθηµατικών. 4. Με βάση την ανάλυση, εκτίµηση και τις παρατηρούµενες τάσεις για το πρόβληµα των ασκήσεων στη διδασκαλία των µαθηµατικών, έγινε επεξεργασία µεθοδολογικής αλλαγής για περισσότερο πολύτιµη εφαρµογή των ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών στο σύγχρονο ελληνικό σχολείο. 5. Ερευνητικά έγινε έλεγχος της διδακτικής εφαρµογής των προτεινόµενων εναλλακτικών µεθόδων διδασκαλίας των ασκήσεων και των λύσης αυτών. Κατά τη λύση των προαναφερόµενων χρησιµοποιήθηκαν οι ακόλουθες µέθοδοι έρευνας: α) Παρατήρηση. β) Εξέταση των θεωρητικών πυγών, µελέτη της σχολικής βιβλιογραφίας. δ) Θεωρητικές µέθοδοι ανάλυση, σύγκριση, σύνθεση, γενίκευση. δ) Μοντελοποίηση. ε) Εξέταση για έλεγχο και προσδιορισµό ορισµένων παραδοσιακά εγκαθιδρυµένων τρόπων στη διδασκαλία των µαθηµατικών. ζ) ιδακτικές έρευνες. η) Στατιστική επεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων. Σε κάθε περίπτωση έγινε προσπάθεια τα εκπληρωµένα θεωρητικά αποτελέσµατα να επαληθεύουν πραγµατικές καταστάσεις των προς µελέτη φαινοµένων. Έγινε πολύπλευρη συζήτηση µε καθηγητές µαθηµατικών και µαθητές κάτι που ήταν σηµαντικό για τις ερευνητικές µας ενέργειες. 5

16 Κεφάλαιο I Οι ασκήσεις στη σύγχρονη διδασκαλία ως διδακτική κατηγορία. Η ύπαρξη των µαθηµατικών ασκήσεων και των λύσεών τους Μια από τις βασικότερες και δυσκολότερες στιγµές στη διδασκαλία των µαθηµατικών είναι η λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Υπάρχουν αρκετές έρευνες και αρκετοί συγγραφείς οι οποίοι υποστηρίζουν ότι οι όροι «ερώτηση», «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι συνώνυµες. Την άποψη αυτή δεν υιοθετούν οι έλληνες µαθηµατικοί Θ. Εξαρχάκος [45] και Σ. Καλοµητσίνης [46]. Στα συγγράµµατά τους υποστηρίζουν, ότι οι όροι «άσκηση» και «πρόβληµα» είναι διαφορετικοί, και χρησιµοποιούν κατά πολύ τον όρο «πρόβληµα», όπως και στην Αρχαία Ελλάδα. Ο Βούλγαρος µαθηµατικός Ivan Gantsev, στο µοντέλο του για την έννοια «άσκηση» περιεργάζεται κάθε µαθηµατική άσκηση σαν συνέπεια εκφράσεων µε τη βοήθεια των οποίων δηµιουργείται υποσύνολο του συνόλου των µαθηµατικών αντικειµένων, τα οποία επαληθεύουν συγκεκριµένες συνθήκες[5]. Κοντά στο µοντέλο αυτό είναι και το µοντέλο του Vishin, το οποίο παρατίθεται στο [4]. Στο µοντέλο αυτό άµεσα χρησιµοποιείται η έννοια «σχέση» Για το λόγο αυτό στο [9] ο ρώσος µαθηµατικός Koliagin εύλογα αναφέρεται στο µοντέλο Gantsev Vishin για την έννοια µαθηµατική άσκηση. Κατά τον [46] «Στα µαθηµατικά άσκηση είναι κάθε έκφραση η οποία απαιτεί να βρεθούν αρκετά στοιχεία µε τη βοήθεια κάποιων άλλων». Η µαθηµατική άσκηση είναι συνέχεια από εκφράσεις µε τις οποίες δηµιουργείται ένα σύνολο R M (М είναι το σύνολο των µαθηµατικών αντικειµένων) και απαιτεί:. Το R να αποδοθεί κατασκευαστικά, αν είναι πεπερασµένο.. Να δειχτεί, ότι το R ταυτίζεται µε σύνολο το οποίο θεωρείται γνωστό ή µε σύνολο το οποίο είναι µε διαφορετικό τρόπο δοσµένο. 6

17 3. Να δειχτεί, ότι τα στοιχεία του R µπορούν να ληφθούν µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων εφαρµογών ορισµένων κατασκευών µε χαρακτηριστικά κατασκευαστικά µέσα. Για να φτάσουµε στο επιθυµητό R, συνήθως λαµβάνονται διάφορα άλλα σύνολα, τα οποία εντέλει δίνουν τη δυνατότητα να βρεθεί το σύνολο R. Η διαδοχικότητα εµφάνισης αυτών των διαφορετικών συνόλων, έως ότου φτάσουµε στο επιθυµητό σύνολο R, λέγεται λύση της µαθηµατικής άσκησης ενώ η ενέργεια, µε την οποία ανακαλύπτεται η λύση της άσκησης λύσιµο της µαθηµατικής άσκησης. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, µε το οποίο δίνεται άµεσα το σύνολο R (και πιθανότατα το σύνολο М), λέγεται εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης.. Το µέρος του κειµένου της άσκησης, στο οποίο φανερώνεται το ζητούµενο σύνολο R, λέγεται συµπέρασµα της µαθηµατικής άσκησης. Μια µαθηµατική άσκηση µπορεί να µην έχει λύση ή να έχει πεπερασµένο αριθµό λύσεων. Αυτό εξαρτάτε και από το σύνολο М. Βάση της λύσης µιας άσκησης λέγεται το σύνολο των γεγονότων τα οποία προσδιορίζουν το σύστηµα λύσεων (αξιώµατα, ορισµοί ή θεωρήµατα). Κατά τον έλληνα µαθηµατικό Θ. Εξαρχάκο, υπάρχουν τρία είδη µαθηµατικών ασκήσεων (προβληµάτων): για απόδειξη, για κατασκευή και για την εύρεση άγνωστων στοιχείων (ή µε άλλα λόγια προβλήµατα εύρεσης). Η ταξινόµηση των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin στα συγγράµµατά του διαφέρει απ αυτή του Εξαρχάκου. Συγκεκριµένα οι ασκήσεις κατά τον Vishin διαιρούνται σε: ασκήσεις απόδειξης, ασκήσεις κατασκευών και υπολογιστικές ασκήσεις. Υιοθετείται κατά κάποιον τρόπο η ταξινόµηση των µαθηµατικών ασκήσεων που προτείνει ο Vishin µε τη διαφορά ότι στις ασκήσεις απόδειξης συµπεριλαµβάνονται και οι ασκήσεις εύρεσης.. Κατασκευαστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις όπου τα στοιχεία του συνόλου R είναι γεωµετρικά σχήµατα και ζητείται αυτά να λαµβάνονται µε πεπερασµένο αριθµό εφαρµογής βασικών γεωµετρικών κατασκευών η οποίες υλοποιούνται µε τη βοήθεια προκαθορισµένων, από την εκφώνηση της µαθηµατικής άσκησης, σχεδιαστικών µέσων. Οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής λέγονται και κατασκευαστικά προβλήµατα Στην εκπαίδευση τα κατασκευαστικά µέσα διαφέρουν ανάλογα µε την τάξη του σχολείου. 7

18 Οι κατασκευαστικές ασκήσεις στη σχολική γεωµετρία λύνονται συνήθως µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Στην εκφώνηση της άσκησης τις περισσότερες φορές δεν αναφέρονται τα απαιτούµενα σχεδιαστικά µέσα, αλλά αυτά θεωρούνται αυτονόητα. Υπάρχουν όµως και κατασκευαστικές ασκήσεις στις οποίες είναι φανερή η απαίτηση η κατασκευή και κατά συνέπεια η λύση της άσκησης, να ολοκληρωθεί µε άλλα µέσα. Τα σχεδιαστικά αυτά µέσα µπορεί να είναι για παράδειγµα τα ακόλουθα: µόνο χάρακας, µόνο διαβήτης, µοιρογνωµόνιο, αριθµηµένο ορθογώνιο τρίγωνο κ.τ.λ. Η λύση της κατασκευαστικής άσκησης µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη είναι γνωστή µε το όνοµα «Ευκλείδεια κατασκευή» και αυτό γιατί στα χρόνια του Ευκλείδη οι ασκήσεις (προβλήµατα) γεωµετρικής κατασκευής θεωρούνταν λυµένες µόνο αν αυτό γίνει µε τη βοήθεια χάρακα και διαβήτη. Φυσικά γεννιέται η ερώτηση: «Γιατί µόνο µε χάρακα και διαβήτη και όχι µε άλλα µέσα;» Η απάντηση βρίσκεται πιθανότατα στο γεγονός ότι οι αρχαίοι έλληνες θεωρούσαν την ευθεία και τον κύκλο ως βασικά γεωµετρικά σχήµατα. Ένα πρόβληµα γεωµετρικής κατασκευής λύνεται µε χάρακα και διαβήτη όταν το ζητούµενο σχήµα µπορεί να κατασκευαστεί µε κάποιο από τους ακόλουθους πέντε κανόνες:. Κατασκευή ευθείας διερχόµενης από δυο γνωστά σηµεία.. Εύρεση του κοινού σηµείου δυο γνωστών ευθειών. 3. Κατασκευή κύκλου (ή τόξου κύκλου) γνωστού κέντρου και γνωστής ακτίνας. 4. Εύρεση των κοινών σηµείων γνωστής ευθείας και γνωστού κύκλου. 5. Εύρεση των κοινών σηµείων δυο γνωστών κύκλων. Όταν λέµε ότι ένα σηµείο (ή ευθεία ή κύκλος) είναι γνωστό εννοούµε ότι αυτό είναι δοσµένο στην εκφώνηση του προβλήµατος ή επιλέγεται τυχαία ή έχει οριστεί από κάποια άλλη κατασκευή. Οι προαναφερόµενες πέντε γεωµετρικές κατασκευές ορίζουν το χάρακα και το διαβήτη, µε τα οποία δύναται να κατασκευαστούν ευθείες και κύκλοι. Οι κατασκευαστικές ασκήσεις µε χάρακα και διαβήτη λέγονται και ασκήσεις για κατασκευή δεύτερης δύναµης, επειδή και την αλγεβρική τους λύση, οδηγούνται στη λύση πεπερασµένου αριθµού εξισώσεων δύναµης όχι µεγαλύτερης του δυο. Αν το ζητούµενο σχήµα που πρέπει να κατασκευαστεί σε µια άσκηση δεν µπορεί να ληφθεί µε πεπερασµένο αριθµό επαναλήψεων των προαναφερόµενων πέντε βασικών γεωµετρικών κατασκευών, τότε η άσκηση αυτή λέγεται άλυτη µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη. Για παράδειγµα άλυτες είναι τα τρία, γνωστά από την 8

19 Αρχαία Ελλάδα, προβλήµατα τα οποία παραθέτονται στο Κεφάλαιο ΙΙΙ. Άλυτη είναι επίσης και η ακόλουθη άσκηση: «Να κατασκευαστεί τρίγωνο αν είναι γνωστές οι τρεις εσωτερικές του διχοτόµοι». Από το σύνολο όλων των λυµένων κατασκευαστικών ασκήσεων µπορούν να διακριθούν κάποιες οι οποίες είναι βασικές, δηλαδή αποτελούν ασκήσεις τµήµατα άλλων ασκήσεων γεωµετρικής κατασκευής µε δυσκολότερη λύση (κατασκευή). Τέτοιες βασικές ασκήσεις, για παράδειγµα, είναι οι ακόλουθες: «Να κατασκευαστεί η µεσοκάθετη δοσµένου ευθύγραµµου τµήµατος» «Να κατασκευαστεί κάθετη ευθεία σε δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα από δεδοµένο σηµείο» «Να κατασκευαστεί η διχοτόµος δεδοµένης γωνίας» «Να κατασκευαστεί εφαπτόµενη ευθεία σε δεδοµένο κύκλο από δεδοµένο σηµείο» Η έτοιµη χρήση των αποτελεσµάτων των λύσεων αυτών των ασκήσεων µειώνει αισθητά τους συλλογισµούς κατά τη λύση άλλων κατασκευαστικών ασκήσεων. Στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών η λύση κατασκευαστικών ασκήσεων αποτελείται από τέσσερα µέρη: α) Ανάλυση όπου υποτίθεται ότι υπάρχει σχήµα το οποίο επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος, δηλαδή υποθέτουµε ότι το πρόβληµα έχει λυθεί (πάντα µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη). Εν συνεχεία βρίσκονται οι σχέσεις µεταξύ δεδοµένων και ζητούµενων στοιχείων. Οι σχέσεις αυτές πρέπει να είναι τόσες στον αριθµό όσες είναι απαραίτητες για να µπορέσει να πραγµατοποιηθεί η γεωµετρική κατασκευή. β) Σύνθεση όπου γίνεται η αντίστροφη διαδικασία από την ανάλυση και µε τη βοήθεια του χάρακα και του διαβήτη κατασκευάζονται, ακριβώς και µε ακριβή σειρά, όλα τα µέρη του ζητούµενου σχήµατος, ώστε στο τέλος να κατασκευαστεί το σχήµα. γ) Απόδειξη όπου µε σύνθετο τρόπο αποδεικνύεται ότι το κατασκευασµένο σχήµα επαληθεύει τα δεδοµένα του προβλήµατος. δ) ιερεύνηση είναι το τελευταίο µέρος της λύσης ενός προβλήµατος γεωµετρικής κατασκευής ελέγχει τα µέρη της ανάλυσης και της σύνθεσης και έχει σκοπό να αποδείξει αν η κατασκευή είναι δυνατή ή όχι. Στην περίπτωση που η κατασκευή είναι δυνατή βρίσκεται ο αριθµός των διαφορετικών λύσεων οι οποίες επαληθεύουν τα δεδοµένα του προβλήµατος. Στην περίπτωση που η άσκηση έχει λύση ανακαλύπτονται οι διαφορετικές λύσεις της, οι οποίες επαληθεύουν την εκφώνηση της άσκησης, δηλαδή 9

20 ανακαλύπτονται διαφορετικοί εκπρόσωποι της κλάσης ισοδυναµίας, προσδιορισµένες από την εκφώνηση της άσκησης. Στην διδακτική πράξη κατά τη λύση ασκήσεων απλών γεωµετρικών κατασκευών, συνήθως χρησιµοποιείται µόνο το δεύτερο και το τρίτο βήµα («σύνθεση απόδειξη»). Για τον τρόπο λύσης των ασκήσεων γεωµετρικών κατασκευών, δύναται να γίνει η ακόλουθη παρατήρηση: στη σχολική διδασκαλία των µαθηµατικών, τα προβλήµατα γεωµετρικής κατασκευής εκπαιδεύουν και διαπαιδαγωγούν τους µαθητές, αναπτύσσουν τη σκέψη και βοηθούν στην εξακρίβωση του γνωστικού επιπέδου τους. Για το λόγο αυτό αρµόζουν ιδιαίτερης προσοχής και µετά από κάποια αλλαγή, η ένταξή τους στα σύγχρονα διδακτικά προγράµµατα µαθηµατικών είναι απαραίτητη. Η αλλαγή αυτή αφορά τα τέσσερα βασικά στάδια για τη λύση προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής που διατυπώθηκαν προηγουµένως (Ανάλυση, Σύνθεση, Απόδειξη και ιερεύνηση). Συγκεκριµένα, κάθε περίπτωση της διερεύνησης απαιτεί απόδειξη. Γι αυτό η διερεύνηση πρέπει να γίνεται πριν την απόδειξη ή µαζί µ αυτή, έτσι ώστε να καλύπτονται όλες οι περιπτώσεις. Η διαδικασία επίλυσης των προβληµάτων γεωµετρικής κατασκευής µε τη συγχώνευση του τρίτου και τέταρτου σταδίου ( ιερεύνηση Απόδειξη) είναι πιο απλή και εποµένως πιο προσιτή στους µαθητές. Ο προβληµατισµός αυτός αναπτύχθηκε και στο 7 ο Συνέδριο της Βουλγάρικης Μαθηµατικής Εταιρείας [9]. Η προτεινόµενη µέθοδο θα παρουσιαστεί µε το ακόλουθο παράδειγµα: Άσκηση. Έστω κύκλος k (О, r) και σηµείο C εκτός αυτού. Να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη του κ, διερχόµενη από το σηµείο C. Λύση k O A M k' C A' Σχήµα 0

21 α) Ανάλυση: Υποθέτουµε ότι CA είναι η εφαπτόµενη του k από το σηµείο C και C το σηµείο επαφής (Σχήµα ). Κατασκευάζεται ακτίνα ΟΑ. Αφού ΟΑ είναι κάθετη στο ΑC, τότε το τρίγωνο ΑΟC είναι ορθογώνιο µε Αˆ =90. Τα σηµεία Ο, C µπορούν να προσδιοριστούν, αφού το ΟC µπορεί να κατασκευαστεί. Για να κατασκευαστεί η εφαπτόµενη CA αρκεί να κατασκευαστεί σηµείο Α. Το σηµείο А k, αλλά και А k'(м; МС = Εποµένως το σηµείο А k k'. OC ). β) Σύνθεση: i) Με διάµετρο ΟC και κέντρο Μ κατασκευάζουµε κύκλο k'(m; MC = OC ). ii) Ο κύκλος k τέµνει τον k στα σηµεία Α και Α, δηλαδή k k' = {A, A'}. iii) Κατασκευάζουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα CΑ και CΑ. Θα αποδειχτεί ότι CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k αντίστοιχα στα σηµεία Α και Α. γ) ιερεύνηση Απόδειξη: Το πρόβληµα αυτό έχει δυο λύσεις, διότι οι κύκλοι k, k τέµνονται στα σηµεία Α, Α, αφού ο k διέρχεται από το εσωτερικό σηµείο Ο και από το εξωτερικό σηµείο C του k. Έτσι έχουµε ότι οι γωνίες OAC και ΟΑ C είναι ορθές, διότι είναι εγγεγραµµένες στον κύκλο k και βαίνουν σε ηµικύκλιο. Τότε ΟΑ και ΟΑ είναι κάθετες στα CΑ και CΑ αντίστοιχα. Άρα CΑ και CΑ είναι εφαπτόµενες στον κύκλο k από το σηµείο C προς τα Α και Α αντίστοιχα. Κατά το Vishin οι κατασκευαστικές ασκήσεις µπορούν να διαιρεθούν σε δυο οµάδες. Τις ορισµένες και τις απροσδιόριστες. α) Ορισµένες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι ίσος µε τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο (σηµείο, ευθεία κ.τ.λ.) ή το ζητούµενο γεωµετρικό σχήµα. Τέτοια είναι η ακόλουθη άσκηση: Άσκηση. Να κατασκευαστεί κύκλος δεδοµένης ακτίνας, ο οποίος να διέρχεται από γνωστό σηµείο και να εφάπτεται σε γνωστό κύκλο. β) Απροσδιόριστες είναι οι ασκήσεις γεωµετρικής κατασκευής στις οποίες ο αριθµός των δεδοµένων είναι µικρότερος από τον αριθµό των ζητούµενων τα οποία προσδιορίζουν του ζητούµενο γεωµετρικό στοιχείο ή το ζητούµενο γεωµετρικό

22 σχήµα. Κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων αρχικά πρέπει να προσδιοριστούν κάποια από τα δεδοµένα στοιχεία (για παράδειγµα γωνία, ευθύγραµµο τµήµα κ.τ.λ.). Αυτό σηµαίνει, ότι από την απροσδιόριστη άσκηση µεταβαίνουµε στην προσδιορισµένη. Η ενέργεια αυτή λέγεται εντοπισµός της απροσδιόριστης άσκησης. Η ίδια απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής µπορεί να εντοπιστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Απροσδιόριστη άσκηση γεωµετρικής κατασκευής είναι η ακόλουθη: Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί τρίγωνο АВС γνωστών διαµέσων m a, m c και ύψους h b.. Υπολογιστικές ασκήσεις. Είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα σύνολα R και М είναι αριθµητικά και το σύνολο М συνήθως δεν δίνεται άµεσα, αλλά είναι κατανοητό. Κατά τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων επίσης µπορεί να εφαρµοστεί η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» που προαναφέρθηκε στις κατασκευαστικές ασκήσεις. Και εδώ επίσης δύναται να ειπωθεί, ότι η άσκηση είναι λυµένη και µετά να οριστούν οι διάφορες σχέσεις µεταξύ των γνωστών και των αγνώστων στοιχείων. Εν συνεχεία, κατά τη σύνθεση, µε τη βοήθεια των ορισµών των µαθηµατικών εννοιών, των θεωρηµάτων για αυτές τις έννοιες και των αξιωµάτων και µε αυστηρά καθορισµένη σειρά, εκτελούνται συλλογισµοί µε φορά αντίθετη της ανάλυσης, µε τη χρήση µόνο αληθών (και όχι υποθετικά αληθών) συλλογισµών, έως ότου φτάσουµε στη λύση της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. Μπορεί να ειπωθεί, ότι η µέθοδος «ανάλυση σύνθεση» για τη λύση υπολογιστικών ασκήσεων στη σύγχρονη διδασκαλία των µαθηµατικών δεν φαίνεται σε άµεσα. εν είναι αρκετά φανερή η σχέση µεταξύ της εφαρµογής της µεθόδου αυτής στους δυο τύπους ασκήσεων κατασκευαστικών και υπολογιστικών. Θεωρείται ότι αν η µέθοδος αυτή δειχτεί στους µαθητές θα δηµιουργηθούν οι προϋποθέσεις αυτοί να ανακαλύψουν την οµοιότητα των τρόπων λύσης των διαφόρων τύπων µαθηµατικών ασκήσεων. Συνέπεια αυτού είναι το ότι οι µαθητές ευκολότερα και γρηγορότερα θα προσανατολίζονται προς τη λύση δεδοµένης άσκησης. 3. Ασκήσεις απόδειξης. Αυτές είναι οι ασκήσεις στις οποίες τα στοιχεία του συνόλου R είναι δεδοµένα προκαταβολικά και το µόνο που ζητείται είναι να αποδειχτεί ότι επαληθεύουν την αντίστοιχη εκφώνηση. Και σ αυτές τις ασκήσεις χρησιµοποιούνται τρία επίπεδα κατά τη λύση τους και συγκεκριµένα ανάλυση, σύνθεση και απόδειξη διερεύνηση. Ο σκοπός ορισµένων ασκήσεων απόδειξης είναι

23 η διαπίστωση, µε τη βοήθεια λογικών συλλογισµών, ότι κάποιοι ισχυρισµοί είναι αληθείς ή όχι αληθείς (ψευδείς). Παράδειγµα άσκησης απόδειξης είναι η ακόλουθη: Άσκηση 4. Να δειχτεί, ότι για κάθε х - και για κάθε n N ισχύει η ανισότητα: ( + х) n + nx. Λύση ) Ελέγχεται αν η ανισότητα ισχύει για n = : ( + x) = + x, το οποίο αληθεύει. ) Υποθέτουµε, ότι η ανισότητα ισχύει για n = k : ( + х) k + kx. 3) Θα αποδειχτεί, ότι η ανισότητα ισχύει n = k + :( + х) k+ + (k + )x. Απόδειξη Ισχύει, ότι: ( + х) k + kx и + x > 0. Άρα ( + х) k+ ( + kx)( + x) ( + х) k+ + x + kx + kx ( + х) k+ + (k + )x + kx +(k + )x. Μέρος των ασκήσεων απόδειξης είναι και οι ασκήσεις στις οποίες πρέπει να δειχτεί, ότι υπάρχει κάποια σχέση ή κάποιος αριθµός. Αυτό το οποίο διαφοροποιεί τα δυο είδη µαθηµατικών ασκήσεων είναι, ότι κατά τις ασκήσεις ύπαρξης δίνεται µέρος του συστήµατος λύσεων, σε διαφορά µε τις ασκήσεις απόδειξης όπου δίνεται εις το ακέραιο το σύστηµα λύσεων. Για παράδειγµα: Άσκηση 5. Έστω x R. Να δειχτεί, ότι υπάρχει τιµή του x, για την οποία η 4 4 x 8 αλγεβρική έκφραση А = x παίρνει θετικές τιµές. x + Υπό τον όρο «αφηγητικές ασκήσεις» εννοούνται οι αριθµητικές, αλγεβρικές ή γεωµετρικές µαθηµατικές ασκήσεις οι οποίες διατυπώνονται όχι µόνο µε τη χρήση µαθηµατικών συµβόλων και εννοιών. Για παράδειγµα: Άσκηση 6. Ο πρώτος, ο τέταρτος και ο 3 ος όρος όρος αριθµητικής προόδου αποτελούν γεωµετρική πρόοδο. Να βρεθούν οι δεκατρείς πρώτοι όροι της αριθµητικής προόδου, αν ο 6 ος είναι ο 3. Οι ασκήσεις αφήγησης δεν πρέπει να λαµβάνονται σαν ξεχωριστός τύπος ασκήσεων. Είναι και αυτές ασκήσεις που ανήκουν σε ένα από τους τρεις τύπους κατασκευαστικές, απόδειξης ή υπολογιστικές, αλλά στη διατύπωσή τους χρησιµοποιούνται όχι µόνο µαθηµατικές έννοιες, µε την αντίστοιχη ορολογία και τους κατάλληλους συµβολισµούς. ύναται να διακριθούν δυο είδη αφηγητικών ασκήσεων: 3

24 Ι. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις οι οποίες αναφέρονται σε µαθηµατικά αντικείµενα (έννοιες) αλλά εκτός της ορολογία και τους συµβολισµούς των µαθηµατικών εννοιών, περιέχουν και λέξεις. Τέτοιες είναι για παράδειγµα οι ασκήσεις γεωµετρικών κατασκευών. Παραδείγµατα: Άσκηση 7. Να βρεθεί αριθµός, η διαφορά του οποίου µε τον αριθµό 3 να είναι ίση µε το γινόµενό του µε το 3. Άσκηση 8. Να βρεθούν δυο αριθµοί αν είναι γνωστό ότι έχουν άθροισµα 40 και ο ένας αριθµός είναι 7 φορές τον άλλο. ΙΙ. Αφηγητικές (µαθηµατικές) ασκήσεις στις οποίες τα θέµατα είναι παρµένα από την πραγµατικότητα ή από άλλες θεωρητικές επιστήµες. Στις ασκήσεις αυτές πρέπει αρχικά να συνταχθεί η µαθηµατική άσκηση, εν συνεχείς να λυθεί η αντίστοιχη, µαθηµατική πλέον, άσκηση και τέλος να γίνει ο έλεγχος ορθότητας των αποτελεσµάτων της δεδοµένης αφηγητικής άσκησης. ιαφορετικά λέγεται, ότι για να λυθεί µια αφηγητική (µαθηµατική) άσκηση, πρέπει να δηµιουργηθεί και να λυθεί η αντίστοιχη µαθηµατική άσκηση, ο οποία λέγεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η όλη ενέργεια λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση. Στη διδασκαλία υπό τον όρο µοντελοποίηση εννοείται η γνωστική µέθοδο κατά την οποία, καλά αναπτυγµένες και γνωστές έννοιες από ένα τοµέα, αντιπαραθέτονται µε µη αναπτυγµένες και άγνωστες έννοιες από κάποιο άλλο τοµέα. Οι πρώτες έννοιες χρησιµοποιούνται ως ισχυρό µέσο για την επεξήγηση και ανάπτυξη των δεύτερων. Οι γνώσεις οι οποίες χρησιµοποιούνται για τη µελέτη και επεξήγηση άλλων γνώσεων λέγονται µοντέλα, ενώ οι προς µελέτη γνώσεις λέγονται πρωτότυπες. Πρέπει να τονιστεί ότι το µοντέλο περιέχει µόνο µέρος από τις ιδιότητες του πρωτοτύπου, αλλά οι ιδιότητες αυτές είναι αρκετές για να προσδιοριστούν νέες ιδιότητες και νέα χαρακτηριστικά του πρωτοτύπου. Όταν το µοντέλο αποτελείται από µαθηµατικές σχέσεις, ονοµάζεται µαθηµατικό µοντέλο, ενώ η διαδικασία µε την οποία οδηγούµαστε στο µοντέλο αυτό λέγεται µαθηµατική µοντελοποίηση (ή µαθηµατικός προπλασµός). Για την µαθηµατική µοντελοποίηση διακρίνουµε τα ακόλουθα τέσσερα στάδια: α. Μελέτη του πρωτοτύπου και εν συνεχεία καθορισµός των χαρακτηριστικών, των σχέσεων και των παραµέτρων, τα οποία το προσδιορίζουν. β. ηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου. Στο βήµα αυτό «µεταφράζεται» η άσκηση στη µαθηµατική γλώσσα. γ. Λύση της δηµιουργηµένης µαθηµατικής άσκησης. 4

25 δ. Εκτίµηση της λαµβανόµενης λύσης. Το στάδιο αυτό διαιρείται σε δυο µέρη: δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ του λαµβανόµενου αποτελέσµατος και του µαθηµατικού µοντέλου. δ.. Έλεγχος της σχέσης µεταξύ της λαµβανόµενης µαθηµατικής λύσης και του πρωτοτύπου Τα τέσσερα αυτά στάδια δίνουν τη δυνατότητα να εισαχθούν ορισµένες µεταβολές και διευκρινίσεις του µαθηµατικού µοντέλου και έτσι να εξηγηθούν και να εµπεδωθούν καλύτερα. Η χρησιµοποίηση µαθηµατικού µοντέλου δίνει τη δυνατότητα να λυθούν ευκολότερα και επιτυχώς ασκήσεις πρακτικής αριθµητικής ή ακόµη και ορισµένες ασκήσεις φυσικής. Στις περιπτώσεις αυτές συνήθως χρησιµοποιείται η λύση πρωτοβάθµιων ή δευτεροβάθµιων εξισώσεων ή ανισώσεων. Συγκεκριµένα η λαµβανόµενη εξίσωση (ή ανίσωση ή σύστηµα), είναι το µοντέλο της άσκησης, ενώ η λύση αποτελεί το πρωτότυπο. Παραδειγµατικά λύνονται δυο πρακτικές ασκήσεις µε τη χρήση µαθηµατικού µοντέλου Άσκηση 9. Σε διαγώνισµα µε 0 ερωτήσεις για κάθε σωστή απάντηση ο µαθητής λαµβάνει 5 µονάδες, ενώ για κάθε λανθασµένη ή αναπάντητη ερώτηση χάνει 3 µονάδες. Ο µαθητής ολοκλήρωσε το διαγώνισµα και συγκέντρωσε 6 µονάδες. Σε πόσες ερωτήσεις απάντησε; Λύση. Έστω µε х να συµβολιστούν οι σωστές απαντήσεις. Τότε οι λανθασµένες (ή οι αναπάντητες) θα είναι 0 x. Οι µονάδες που ο µαθητής έλαβε είναι 5х, ενώ εκείνες που έχασε θα είναι 3(0 x).. Τότε το µαθηµατικό µοντέλο της άσκησης είναι η ακόλουθη πρωτοβάθµια εξίσωση: 5x 3(0 x) = Η προαναφερόµενη εξίσωση λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 5х 3(0 x) = 6 5х х = 6 5х + 3х = х = 56 х = х = Θα ελεγχθεί αν х = 7 είναι λύση της δεδοµένης άσκησης: ΟΙ λανθασµένες απαντήσεις (ή οι αναπάντητες) είναι 0 7 = 3. Τότε οι λαµβανόµενες µονάδες είναι = 6, το οποίο είναι σωστό. Κατά συνέπεια х = 7 είναι η λύση της άσκησης. 5

26 Άσκηση 0. Να κατασκευαστεί ορθογώνια πλατεία εµβαδού µεταξύ 90m και 0m. Το µήκος της πλατείας είναι 5m. Πόσα µέτρα µπορεί να είναι του πλάτος της πλατείας; Λύση Έστω το µήκος της πλατείας να είναι х. Τότε το εµβαδόν της είναι 5.x. Για να είναι το εµβαδόν µικρότερο του0 και µεγαλύτερο του 90, τρέπει το х να είναι λύση του ακόλουθου συστήµατος ανισόσεων: 5x> 90. 5x< 0 Το σύστηµα αυτό είναι µοντέλο για τη δεδοµένη άσκηση. Η λύση του συστήµατος είναι το σύνολο όλων των αριθµών x µε x (6, 8). Τότε ο ζητούµενος αριθµός για το πλάτος της πλατείας είναι ο x, x (6, 8), το οποίο είναι και η απάντηση της προαναφερόµενης πρακτικής άσκησης. Κατά όπως φαίνεται, µια άσκηση η οποία δεν είναι µαθηµατική, µοντελοποιείται µε τη βοήθεια µαθηµατικών µέσων και λύνεται µε τη βοήθεια αλγεβρικών µέσων µε µεθόδων. Η πρακτική φανερώνει, ότι το δυσκολότερο επίπεδο, κατά τη λύση τέτοιων ασκήσεων, είναι η δηµιουργία του µαθηµατικού µοντέλου, δηλαδή η σύνταξη της µαθηµατικής άσκησης. Για το λόγο αυτό προτείνεται πριν τη δηµιουργία του µοντέλου, να εξηγούνται στους µαθητές, οι σχετικές φυσικές ή τεχνικές συσχετιζόµενες έννοιες. Να εξηγούνται ποιες πρακτικές ενέργειες και σχέσεις, ποιες µαθηµατικές πράξεις και σχέσεις αντιστοιχούν. Οι λαµβανόµενες µε τον τρόπο αυτό γνώσεις, χρησιµοποιούνται για τη δηµιουργία της αντίστοιχης µαθηµατικής άσκησης, η οποία λέγεται µοντέλο της πρακτικής άσκησης. Η µαθηµατική µοντελοποίηση µπορεί να εφαρµοστεί και σε ασκήσεις µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο. Για το λόγο αυτό διακρίνονται δυο είδη µοντελοποίησης: εσωτερική και εξωτερική. Το πρώτο είδος αναφέρεται στη δηµιουργία µοντέλου της άσκησης µε µαθηµατικό περιεχόµενο, ενώ το δεύτερο στη µοντελοποίηση πρακτικών ασκήσεων. Τονίζεται ότι η εσωτερική µοντελοποίηση χρησιµοποιήθηκε και από τους Αρχαίους Έλληνες. Τυπικό παράδειγµα αυτού είναι η χρήση της «αλγεβρικής γεωµετρίας», όπου οι αλγεβρικές ασκήσεις λύνονταν µε τη βοήθεια γεωµετρικών γνώσεων. Συγκεκριµένα, στην αλγεβρική γεωµετρία οι πράξεις µε αριθµούς παρουσιάζονταν ως πράξεις µε ευθύγραµµα τµήµατα. 6

27 Ακολουθεί ένα παράδειγµα στο οποίο είναι φανερή η λύση του µε τη βοήθεια εσωτερικής µοντελοποίησης. Άσκηση. Να υπολογιστούν τα µήκη των πλευρών ορθογωνίου το οποίο έχει περίµετρο 35сm, και η διαφορά των πλευρών του (µήκος µείων πλάτος) είναι,5сm (Σχήµα ) D A х Σχήµα Λύση. Συµβολίζεται µε х το πλάτος του ορθογωνίου, τότε το µήκος του θα είναι х +,5, ενώ η περίµετρός του х +(х+,5).. Αφού η περίµετρος είναι 35, τότε х +(х+,5) = Η τελευταία εξίσωση είναι το αλγεβρικό µοντέλο της γεωµετρικής άσκησης και λύνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: 0cm. x +(x+,5) = 35 x + x +5 = 35 x +x = 30 4x = 30 x = C B 30 = 7,5. 4 Για х = 7,5cm λαµβάνεται, ότι το µήκος του ορθογωνίου είναι 7,5 +,5 = 4. Έλεγχος: Για την περίµετρο του ορθογωνίου, µε µήκος 0cm και πλάτος 7,5cm αντίστοιχα, λαµβάνεται ότι:.7,5cm +.0cm = 35cm, το οποίο αληθεύει. Κατά συνέπεια 7,5cm και 0cm είναι τα ζητούµενα.. οµή της λύσης µαθηµατικής άσκησης. υσκολία και πολυπλοκότητα της λύσης µαθηµατικής άσκησης Κατά τον γνωστό Πολωνό µαθηµατικό Polya υπάρχουν έξι βασικά στάδια κατά τη λύση µιας µαθηµατικής άσκησης: α) Έλεγχος της εκφώνησης της δεδοµένης άσκησης, στον οποίο «διαχωρίζονται» τα δεδοµένα από τα ζητούµενα. 7

28 β) Κατανόηση της άσκησης, αφού πρώτα κατανοηθούν τα επιµέρους στοιχεία της (δεδοµένα και ζητούµενα). γ) ηµιουργία σχεδίου λύσης της άσκησης. Αφού ο µαθητές κατανοήσεις πλήρως την εκφώνηση της άσκησης (ποια είναι τα γνωστά και ποια τα ζητούµενα), απαραίτητο είναι το σχέδιο λύσης µε το οποίο µεταβαίνει από τα δεδοµένα στα ζητούµενα στοιχεία της άσκησης. Το σχέδιο αυτό λύσης της δεδοµένης άσκησης δεν είναι µοναδικό και µπορεί να χρειαστεί να τροποποιηθεί ανάλογα µ αυτό το οποίο πρέπει να αποδειχτεί ή να ληφθεί. δ) Εκτέλεση εφαρµογή του σχεδίου λύσης που ο µαθητής θεωρεί καταλληλότερο. ε) Μελέτη της λύσης και προσδιορισµός του αριθµού των διαφορετικών λύσεων της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης. ζ) Ανακάλυψη (αν είναι δυνατόν) και προσδιορισµός των δυνατοτήτων εφαρµογής της δεδοµένης άσκησης στη λύση άλλων µαθηµατικών ή και όχι µαθηµατικών ασκήσεων (φυσική, χηµεία, πρακτική εφαρµογή κ.τ.λ.). Για τη θεωρία και την πρακτική των λύσεων των µαθηµατικών ασκήσεων, έχει δηµιουργηθεί το ερώτηµα για τη δοµή της λύσης µιας µαθηµατικής άσκησης. Αν µε A n συµβολιστεί η λύση της άσκησης Z n, όταν στη λύση А n της άσκησης Z n χρησιµοποιείται η λύση A k της άσκησης Z k, η άσκηση Z k λέγεται άσκηση τµήµα της άσκησης Z n. Έστω А, А,..., А j,..., А n είναι οι λύσεις αντίστοιχα των ασκήσεων τµήµατα Z, Z,..., Z j,..., Z n της άσκησης Z n. Οι λύσεις А, А,, А j,, А n µπορούν να παρασταθούν οπτικά µε κλειστές γραµµές και µε τα εσωτερικά τους σηµεία. ιακρίνονται τέσσερις περιπτώσεις τέτοιων κλειστών γραµµών διαγραµµάτων: I. Αν η λύση А k της άσκησης Z k περιέχεται στη λύση А k+ της άσκησης Z k+, δηλαδή η Z k είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται στο διάγραµµα της А k+, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 3. А k+ А k Σχήµα 3 II. Αν η λύση А k της Z k δεν περιέχεται στη λύση А k+ της Z k+, δηλαδή η Z k δεν είναι άσκηση τµήµα της Z k+, τότε το διάγραµµα της А k είναι εκτός του 8

29 διαγράµµατος της А k+, (Σχήµα 4α) ή έχει µη κενή τοµή µε το διάγραµµα αυτής (Σχήµα 4β). A k A k+ A k A k+ Σχήµα 4α Σχήµα 4β ІІІ. Αν η λύση А k της Z k είναι κοινό µέρος των λύσεων А k+ και А k+r αντίστοιχα των ασκήσεων Z k+ και Z k+r, δηλαδή Z k είναι άσκηση τµήµα των Z k+ και Z k+r, αλλά А k+ δεν περιέχεται στη А k+r, τότε το διάγραµµα της А k περιέχεται τόσο σ αυτό της А k+, όσο και στο διάγραµµα της А k+r, Σχήµα 5. A k+ A k A k+r Σχήµα 5 IV. Αν η λύση А περιέχεται στη А, А περιέχεται στη А 3 κ.τ.λ., για κάθε k η λύση А k περιέχεται στη λύση А k+, τότε τα διαγράµµατα λύσεων διαδοχικά περιέχονται το ένα στο άλλο, όπως φαίνεται και στο Σχήµα 6. A k+ A k A A Σχήµα 6 Για παράδειγµα θα αναφερθεί η δοµή λύσης µιας γεωµετρικής άσκησης, η οποία είναι η ακόλουθη: Άσκηση ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ µε ΑΒ//Γ. Αν οι διχοτόµοι των γωνιών Αˆ, ˆ τέµνονται στο σηµείο Ε, ενώ οι διχοτόµοι των γωνιών Βˆ, Γˆ στο σηµείο Ζ, το οποίο είναι διαφορετικό από το Ε, να δειχτεί ότι ΕΖ// Γ. Η λύση Α της άσκησης Ζ περιέχει τις λύσεις Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6 των ασκήσεων-µερών Ζ, Ζ, Ζ 3, Ζ 4, Ζ 5 και Ζ 6 αντίστοιχα (Σχήµα 7). 9

30 Ε Γ Ζ Α Γ Β Σχήµα 7 Ζ : Στο τρίγωνο Α, να δειχτεί ότι το ΑΕ είναι ύψος του. Α : ΑΕ+Ε ˆ ˆ Α Α+ 80 Α = + = = το ΑΕ είναι ύψος του τριγώνου Α. Ζ : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ, να δειχτεί ότι το ΒΖ είναι ύψος του. Α : ο =90, άρα Αˆ Ε =90 και κατά συνέπεια ο ˆ ˆ Β Γ Β+Γ 80 Γ ΒΖ+ΖΓΒ= + = = =90, άρα ΓΖ ˆ Β =90 και κατά συνέπεια το ΒΖ είναι το ύψος του τριγώνου ΒΓ Γ. Ζ 3 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ε είναι µέσο του. Α 3 : Στο τρίγωνο Α το ΑΕ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΑΕ είναι και διάµεσος. Άρα Ε µέσο του. Ζ 4 : Να δειχτεί ότι το σηµείο Ζ είναι µέσο του ΓΓ. Α 4 : Στο τρίγωνο ΒΓ Γ το ΒΖ είναι διχοτόµος και ύψος. Εποµένως το τρίγωνο αυτό είναι ισοσκελές, από το οποίο λαµβάνεται ότι το ΒΖ είναι και διάµεσος. Άρα Ζ µέσο του ΓΓ. Ζ 5 : Να δειχτεί ότι το τετράπλευρο Γ Γ είναι τραπέζιο. Α 5 : Το τετράπλευρο ΑΒΓ είναι τραπέζιο και εποµένως ΑΒ//Γ. Τα Γ, είναι σηµεία της βάσης ΑΒ από το οποίο λαµβάνεται ότι και Γ// Γ, άρα το Γ Γ είναι τραπέζιο. Ζ 6 : Να δειχτεί ότι το ευθύγραµµο τµήµα ΕΖ είναι διάµεσος του τραπεζίου Γ Γ. Α 6 : Επειδή το Γ Γ είναι τραπέζιο µε Γ //Γ και Ε, Ζ τα µέσα των µη παράλληλων πλευρών του, τότε ΕΖ είναι η διάµεσός του. Με τη λύση Α 6 της άσκησης Ζ 6 καταλήγουµε και στη λύση Α της άσκησης Ζ µε τρόπο ευρετικό, εφόσον οι διάφορες ασκήσεις τµήµατα δοθούν για λύση πριν την άσκηση Ζ, σαν υποερωτήµατά της. Με την βοήθεια κλειστών γραµµών µπορεί να εκφραστεί η σχέση µεταξύ των Α, Α, Α 3, Α 4, Α 5, Α 6, εφόσον για κάθ' ένα απ' αυτά αντιστοιχίσουµε µια κλειστή γραµµή (Σχηµ.8). 0

31 A A 3 A 5 A 4 A A 6 Σχήµα 8 Γεγονός εποµένως είναι ότι κάθε άσκηση για τη λύση της απαιτεί µαθηµατικούς συλλογισµούς οι οποίοι πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους και να χρησιµοποιούνται σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή της εκπαίδευσης. Η µη ύπαρξη αυτών συντελεί στην αύξηση των δυσκολιών κατά τη λύση µαθηµατικών ασκήσεων. Φυσικά µια µαθηµατική άσκηση µπορεί να έχει περισσότερες από µια λύσεις. Εποµένως η λύση της άσκησης µπορεί να χρησιµοποιηθεί σε διαφορετικές ασκήσεις τµήµατα και αυτό πάντα σε συνάρτηση µε τη λύσης της. ιαφορετικές θα είναι φυσικά οι γραφικές αναπαραστάσεις των λύσεων των ασκήσεων. Στη διαδικασία γέννησης των δεξιοτήτων των µαθητών για λύση µαθηµατικών ασκήσεων σηµαντικό ρόλο παίζει και επίγνωση των καθηγητών τόσο για τη δοµή λύσης της δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης, όσο και οι έννοιες πολυπλοκότητα και δυσκολία λύσης της άσκησης. Αν µε А, А,,А j,,а n συµβολιστούν οι λύσεις των ασκήσεων τµηµάτων της Z n µε λύση A n, τότε ο βαθµός πολυπλοκότητας της λύσης της άσκησης Z n προσδιορίζεται από τον αριθµό n, ενώ ο βαθµός δυσκολίας της λύσης A n εξαρτάτε από το n και επίσης από το ποιες από λύσεις А, А,, А j,, А n ειναι προκαταβολικά γνωστές. Όσο περισσότερες ασκήσεις τµήµατα µιας άσκησης λυθούν αρχικά από κάποιο µαθητή, τόσο η λύση της δεδοµένης άσκησης θα είναι ευκολότερη γι αυτόν. Κατά συνέπεια η πολυπλοκότητα της λύσης µιας άσκησης προσδιορίζεται από την πολυπλοκότητα λύσης και από τον αριθµό των αντίστοιχων ασκήσεων τµηµάτων της, καθώς και από το χρόνο που αυτές λύθηκαν. Αυτό σηµαίνει ότι ενώ η πολυπλοκότητα της λύσης δεδοµένης µαθηµατικής άσκησης δεν µπορεί να µεταβληθεί, η δυσκολία λύσης της µπορεί να αυξηθεί ή να ελαττωθεί και αυτό σε συνάρτηση µε τις αντίστοιχες ασκήσεις τµήµατα που λύνονται πριν απ αυτήν. Στην πράξη, κατά την εκπαιδευτική διαδικασία και µε ευθύνη του καθηγητή, πρέπει να τακτοποιούν τις διάφορες ασκήσεις σε οµάδες, έτσι ώστε κάθε άσκηση να προετοιµάζεται από άλλες, πριν απ αυτή άλλες ασκήσει τµήµατα. Πρέπει να ειπωθεί, ότι µε το θέµα των βοηθητικών ασκήσεων (δηλαδή τις ασκήσεις τµήµατα) έχουν ασχοληθεί και ακόµη ασχολούνται πολύ µαθηµατικοί (για

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου

Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Λογισμικό διδασκαλίας των μαθηματικών της Γ Τάξης Γυμνασίου Δρ. Βασίλειος Σάλτας 1, Αλέξης Ηλιάδης 2, Ιωάννης Μουστακέας 3 1 Διδάκτωρ Διδακτικής Μαθηματικών, Επιστημονικός Συνεργάτης ΑΣΠΑΙΤΕ Σαπών coin_kav@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ

3.5 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΙΣΚΟΥ 1 3.5 ΕΜΒ Ν ΚΥΚΛΙΚΥ ΙΣΚΥ ΘΕΩΡΙ Εµβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ : Ε = πρ Σηµείωση : Tο εµβαδόν του κυκλικού δίσκου, χάριν ευκολίας αναφέρεται σαν εµβαδόν του κύκλου. ΣΧΛΙ Για το εµβαδόν του κυκλικού δίσκου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΚΕΕΠΕ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ.2.Α ΤΟΜΕΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΣΧΟΛΕΙΟ» Δημητρίου Γ. Κούρτη ΜΕΛΕΤΗ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΒΑΘΜΙΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΙΛΟΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ 22559 ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΕΥΧΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Αρ. Φύλλου 1561 17 Αυγούστου 2007 ΑΠΟΦΑΣΕΙΣ Αριθμ. 85038/Γ2 Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του Τομέα Οικονομικών και Διοικητικών Υπηρεσιών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα