1.6 Công thức tính theo t = tan x 2

Transcript

1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 1 Công thức lượng giác 1.1 Hệ thức cơ bản sin 2 x + cos 2 x = tn 2 x = 1 cos 2 x tn x = sin x cos x 1.2 Công thức cộng cot x = cos x sin x sin( ± b) = sin cos b ± sin b cos cos( ± b) = cos cos b sin sin b 1 + cot 2 x = 1 sin 2 x tn x. cot x = 1 tn( ± b) = tn ± tn b 1 tn tn b 1.3 Công thức nhân đôi sin 2x = 2 sin x cos x tn 2x = 2 tn x 1 tn 2 x cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1 = 1 2 sin 2 x 1.4 Công thức nhân b cos 3x = 4 cos 3 x 3 cos x 1.5 Công thức hạ bậc cos 2 x = 1 + cos 2x 2 sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x sin 2 x = 1 cos 2x 2 1

2 1.6 Công thức tính theo t = tn x 2 sin x = 2t 1 + t 2 cos x = 1 t2 1 + t 2 tn x = 2t 1 t Công thức tổng thành tích sin + sin b = 2 sin + b cos b 2 2 cos + cos b = 2 cos + b cos b Công thức tích thành tổng sin sin b = 2 cos + b sin b 2 2 cos cos b = 2 sin + b sin b 2 2 cos cos b = 1 [cos( b) + cos( + b)] 2 sin sin b = 1 [cos( b) cos( + b)] 2 sin cos b = 1 [sin( b) + sin( + b)] Một số công thức khác sin x + cos x = ( 2 cos x π ) 4 (sin x ± cos x) 2 = 1 ± sin 2x sin 6 x + cos 6 x = 1 3 sin2 2x 4 sin x cos x = ( 2 sin x π ) 4 sin 4 x + cos 4 x = 1 sin2 2x 2 2 Các lý thuyết về đạo hàm 2.1 Định nghĩ và các tính chất 1. Định nghĩ. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (, b), x 0 (, b), x 0 + x (, b), nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x được gọi là đạo hàm củ f(x) tại x 0, kí hiệu là f (x 0 ) hy y (x 0 ), khi đó f f(x 0 + x) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = lim x 0 x x x 0 x x 0 2. Các qui tắc tính đạo hàm. () [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x). 2

3 (b) [f(x).g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x). (c) [kf(x] = kf (x) với k R. ( ) f(x) (d) = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) [g(x)] 2 với g(x) 0. (e) y x = y u.u x với y = y(u), u = u(x). 2.2 Bảng các đạo hàm cơ bản Đạo hàm củ hàm sơ cấp Đạo hàm củ hàm hợp u = u(x) (c) = 0 với c R (x α ) = α.x α 1 (u α ) = α.u α 1 u ( ) 1 = 1 x x 2 ( x) = 1 2 x ( ) 1 = u u u 2 ( u) = u 2 u (e x ) = e x (e u ) = e u.u ( x ) = x ln ( u ) = u. ln.u (sin x) = cos x (sin u) = u. cos u (cos x) = sin x (tn x) = 1 cos 2 x (cot x) = 1 sin 2 x (cos u) = u. sin u (tn u) = u cos 2 u (cot u) = u 1. sin 2 u 2.3 Vi phân Cho hàm số y = f(x) xác định trên (, b) và có đạo hàm tại x (, b). Giả sử x là số gi củ x so cho x + x (, b). Tích f (x) x được gọi là vi phân củ hàm số 3

4 f(x) tại x, ứng với số gi x, ký hiệu là df(x) hy dy. Như vậy dy = df(x) = f (x)dx. 3 Lý thuyết khảo sát hàm số 3.1 Tính đồng biến - nghịch biến củ hàm số Giả sử hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng (; b), khi đó: 1. f (x) > 0, x (, b) thì f(x) đồng biến trên khoảng (, b). 2. f (x) < 0, x (, b) thì f(x) nghịch biến trên khoảng (, b). 3. f(x) đồng biến trên khoảng (, b) thì f (x) 0, x (, b). 4. f(x) nghịch biến trên khoảng (, b) thì f (x) 0, x (, b). 3.2 Cực trị củ hàm số Giả sử hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng (; b) và x 0 (; b) { 1. Nếu f (x) > 0, x (x 0 h; x 0 ) f (x) < 0, x (x 0 ; x 0 + h) thì x 0 là điểm cực đại củ f(x). 2. Nếu { f (x) < 0, x (x 0 h; x 0 ) f (x) > 0, x (x 0 ; x 0 + h) thì x 0 là điểm cực tiểu củ f(x). { 3. Nếu f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực đại củ f(x). 4. Nếu { f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực tiểu củ f(x). 3.3 Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất củ hàm số 1. Xét trên một đoạn: () Tìm x i [, b], i = 1, 2,..., n là các điểm tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. (b) Tính f(), f(b), f(x i ), với i = 1, 2,..., n. (c) So sánh để suy r giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 2. Xét trên một khoảng : Dùng bảng biến thiên để khảo sát hàm số. 4

5 3.4 Đường tiệm cận Kí hiệu (C) là đồ thị củ hàm số y = f(x). 1. Đường tiệm cận đứng. Nếu một trong các điều kiện su xảy r lim f(x) = + x x + 0 f(x) = lim x x + 0 lim x x 0 lim x x 0 f(x) = + f(x) = thì đường thẳng x = x 0 là tiệm cận đứng củ (C). 2. Đường tiệm cận ngng. Nếu lim f(x) = y 0 hoặc lim f(x) = y 0 thì đường thẳng y = y 0 là tiệm x + x cận ngng củ (C). 3.5 Các bước khảo sát hàm số y = f(x) 1. Tìm tập xác định củ hàm số. 2. Sự biến thiên () Chiều biến thiên i. Tính y. ii. Tìm các nghiệm củ phương trình y = 0 và các điểm tại đó y không xác định. iii. Xét dấu y và suy r chiều biến thiên củ hàm số. (b) Tìm các điểm cực trị (nếu có). (c) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại +, và tại các điểm mà hàm số không xác định. Suy r các đường tiệm cận đứng và ngng (nếu có). (d) Lập bảng biến thiên 3. Vẽ đồ thị: Tính thêm tọ độ một số điểm đặc biệt, lập bảng giá trị và dự vào bảng biến thiên để vẽ đồ thị. 5

6 3.6 Tương gio củ hi đồ thị 1. Biện luận số nghiệm củ phương trình bằng đồ thị. Giả sử (C 1 ) là đồ thị củ hàm số y = f(x) và (C 2 ) là đồ thị củ hàm số y = g(x). Khi đó số nghiệm củ phương trình f(x) = g(x) tương ứng với số gio điểm củ (C 1 ) và (C 2 ). 2. Tiếp tuyến với đồ thị củ hàm số. () Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến củ đồ thị hàm số y = f(x): i. Tại một điểm (x 0 ; y 0 ) trên đồ thị. ii. Tại điểm có hoành độ x 0 trên đồ thị. iii. Tại điểm có tung độ y 0 trên đồ thị. iv. Tại gio điểm củ đồ thị với trục tung. v. Tại gio điểm củ đồ thị với trục hoành. Phương pháp giải: Tìm đủ các giá trị x 0 ; y 0 = f(x 0 ) và f (x 0 ). Khi đó, phương trình tiếp tuyến củ đồ thị hàm số y = f(x) tại (x 0 ; y 0 ) là y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) (b) Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến củ đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng y = x + b. Phương pháp giải như su i. Tính y = f (x). ii. Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + b thì hệ số góc củ tiếp tuyến bằng, tức là giải phương trình f (x) = để tìm x 0. Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + b thì hệ số góc củ tiếp tuyến bằng 1, tức là giải phương trình f (x) = 1 để tìm x 0. iii. Tính y 0 = f(x 0 ). iv. Thy vào phương trình tiếp tuyến y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). (c) Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qu một điểm cho trước đến đồ thị hàm số y = f(x). Phương pháp sử dụng điều kiện tiếp xúc: Đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = g(x) tiếp xúc tại điểm có hoành độ x 0 khi x 0 là nghiệm củ hệ { f(x) = g(x) f (x) = g (x) 6

7 4 Các lý thuyết về nguyên hàm 4.1 Nguyên hàm và các tính chất 1. Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K R. Hàm số F (x) gọi là nguyên hàm củ hàm f(x) trên khoảng K nếu F (x) = f(x), x K. 2. Mọi hàm số liên tục trên khoảng K R đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 3. Nếu F (x) là một nguyên hàm củ hàm số f(x) trên khoảng K R thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F (x) + C cũng là một nguyên hàm củ f(x) trên K. Ngược lại, nếu F (x) là một nguyên hàm củ hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm củ f(x) trên K đều có dạng F (x) + C với C là một hằng số. Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm củ hàm số f(x) là f(x)dx, đọc là tích phân bất định củ f(x). Khi đó f(x)dx = F (x) + C với C R. 4. Các tính chất cơ bản () f (x)dx = f(x) + C với C là hằng số thực. (b) kf(x)dx = k f(x)dx với k là hằng số thực. (c) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx. 4.2 Phương pháp tính nguyên hàm 1. Phương pháp đổi biến số. Nếu f(u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f(u(x))u (x)du = F (u(x)) + C. 2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu hi hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v (x)du = u(x)v(x) u (x)v(x)du. 4.3 Bảng các nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm củ hàm sơ cấp 0dx = C Nguyên hàm củ hàm hợp u = u(x) 0du = C dx = x + C du = u + C 7

8 x α dx = xα+1 α C u α du = uα+1 α C 1 x dx = ln x + C 1 du = ln u + C u e x dx = e x + C x dx = x ln + C cos xdx = sin x + C e u du = e u + C u du = u ln + C cos udx = sin u + C sin xdx = cos x + C sin udu = cos u + C 1 cos 2 x dx = tn x + C 1 cos 2 du = tn u + C u 1 sin 2 x dx = cot x + C 1 sin 2 du = cot u + C u 5 Các lý thuyết về tích phân 5.1 Tích phân và các tính chất 1. Định nghĩ. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [, b]. Giả sử F (x) là một nguyên hàm củ f(x) trên đoạn [, b]. Hiệu số F (b) F () được gọi là tích phân từ đến b (hy tích phân xác định trên [, b]) củ hàm số f(x). Ký hiệu là f(x)dx. Khi đó Trường hợp = b t định nghĩ nghĩ f(x)dx = b f(x)dx = F (x) b = F (b) F () f(x)dx. 8 f(x)dx = 0. Trường hợp > b t định

9 2. Các tính chất củ tích phân. () (b) (c) kf(x)dx = k [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx = c f(x)dx với k là hằng số. f(x)dx + f(x)dx ± c g(x)dx. f(x)dx với < c < b. (d) Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là f(x)dx = 5.2 Phương pháp tính tích phân 1. Phương pháp đổi biến số f(t)dt = () Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β] so cho ϕ(α) =, ϕ(β) = b và ϕ(t) b, t [α, β]. Khi đó. f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t)dt (b) Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [, b] so cho α u(x) β, x [, b]. Nếu f(x) = g(u(x))u (x), x [, b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α, β] thì. f(x)dx = u(b) u() g(u)du 2. Phương pháp tích phân từng phần. Nếu u = u(x) và v = v(x) là hi hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [, b] thì hoặc u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] b udv = [uv] b vdu. u (x)v(x)dx 9

10 5.3 Ứng dụng củ tích phân 1. Tính diện tích củ hình phẳng () Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị củ hàm số y = f(x), hi đường thẳng x =, x = b và trục Ox là y y = f(x) S = f(x) dx f(x) dx x O b (b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị củ hi hàm số y = f(x), y = g(x) và hi đường thẳng x =, x = b là y y = f(x) S = f(x) g(x) dx y = g(x) O b x 2. Tính thể tích củ vật thể tròn xoy () Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0 (trục Ox), x =, x = b khi quy qunh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoy. Thể tích củ vật thể đó là V = π [f(x)] 2 dx. (b) Xét đường cong có phương trình x = g(y) liên tục với mọi y [; b]. Nếu hình giới hạn bởi các đường x = g(y), x = 0 (trục Oy), y =, y = b quy qunh trục Oy thì thể tích củ vật thể tròn xoy tạo thành xác định bởi V = π [g(y)] 2 dy. 10

11 6 Lũy thừ và logrit 6.1 Lũy thừ 1. Lũy thừ với số mũ nguyên dương. Với R, n N t có n =.... }{{} n thừ số 2. Lũy thừ với số mũ nguyên âm. Với 0, n N t có n = 1 n 3. Lũy thừ với số mũ 0. Với 0 t có 0 = Căn bậc n. Cho số thực b và số nguyên dương n 2. Khi đó () Số được gọi là căn bậc n củ b nếu n = b, ký hiệu = n b. (b) Khi n lẻ thì tồn tại duy nhất n b với mọi b R. (c) Khi n chẵn thì i. Nếu b < 0 thì không tồn tại căn bậc n củ b. ii. Nếu b = 0 thì có một căn n 0 = 0. iii. Nếu b > 0 thì có hi căn n b và n b. 5. Lũy thừ với số mũ hữu tỉ. Với > 0, m, n Z, n 2, t có m n = n m 6. Lũy thừ với số mũ vô tỉ. Cho > 0, α là một số vô tỉ và (r n ) là một dãy số hữu tỉ so cho lim r n =, khi đó α = lim. n + n + rn 7. Các tính chất. Cho > 0, b > 0, α, β R, khi đó α () α. β = α+β ; β = α β. ( ) α (b) (b) α = α.b α α ; = b b α ; (α ) β = αβ. (c) Nếu > 1 thì α > β α > β. (d) Nếu 0 < < 1 thì α > β α < β. 11

12 6.2 Logrit 1. Định nghĩ. Cho > 0, b > 0, 1, số α thỏ đẳng thức α = b được gọi là logrit cơ số củ b và ký hiệu là log b, như vậy α = log b α = b 2. Các tính chất 3. Các quy tắc log 1 = 0; log = 1; log b = b; log α = α () Với các số, b 1, b 2 > 0, 1, t có log (b 1 b 2 ) = log b 1 + log b 2 ( ) b1 log = log b b 1 log b 2 2 (b) Với các số, b > 0, 1, α R, n N, t có ( ) 1 log = log b b; log b α = α log b; log n b = 1 n log b (c) Với các số, b, c > 0, 1, c 1 t có log b = log c b log c ; log b = 1 log b (b 1); log α b = 1 α log b(α 0) 4. Logrit thập phân và logrit tự nhiên. Với x > 0 t viết gọn log 10 x = lg x hoặc log 10 x = log x; log e x = ln x 6.3 Phương trình mũ và phương trình logrit 1. Phương trình mũ dạng cơ bản x = b ( > 0, 1) () Nếu b 0 thì phương trình vô nghiệm. (b) Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = log b. (c) Các phương pháp để biến đổi về dạng cơ bản: Đư về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, lấy logrit hi vế,... 12

13 2. Phương trình logrit dạng cơ bản log x = b ( > 0, 1) () Phương trình logrit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất x = b. (b) Các phương pháp để biến đổi về dạng cơ bản: Đư về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hó hi vế, Bất phương trình mũ và bất phương trình logrit 1. Bất phương trình mũ cơ bản () Nếu > 1 thì f(x) g(x) f(x) g(x) (tính chất đồng biến). (b) Nếu 0 < < 1 thì f(x) g(x) f(x) g(x) (tính chất nghịch biến). 2. Bất phương trình logrit cơ bản () Nếu > 1 thì log f(x) log g(x) f(x) g(x) > 0 (tính chất đồng biến). (b) Nếu 0 < < 1 thì log f(x) log g(x) 0 < f(x) g(x) (tính chất nghịch biến). 7 Số phức 7.1 Cơ bản về số phức 1. Số phức có dạng trong đó z = + bi () là phần thực, b là phần ảo,, b R. (b) i là đơn vị ảo và i 2 = Hi số phức bằng nhu khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhu, tức là { = c + bi = c + di b = d 3. Số phức z = + bi được biểu diễn bởi điểm M(; b) trên mặt phẳng tọ độ Oxy. Khi đó, độ dài củ OM gọi là mô đun củ số phức z đó, tức là z = OM = 2 + b Số phức liên hợp củ z = + bi là z = bi. 13

14 7.2 Các phép toán với số phức 1. Phép cộng: ( + bi) + (c + di) = ( + c) + (b + d)i. 2. Phép trừ: ( + bi) (c + di) = ( c) + (b d)i. 3. Phép nhân: ( + bi)(c + di) = c + di + cbi + bdi 2 = (c bd) + (d + bc)i. 4. Phép chi: ( + bi) ( + bi)(c di) = (c + di) (c + di)(c di) ( + bi)(c di) = (c 2 + d 2. ) 7.3 Phương trình bậc hi với hệ số thực 1. Số thực < 0 vẫn có các căn bậc hi là i và i. 2. Xét phương trình bậc hi x 2 + bx + c = 0 trong đó, b, c R, 0. Đặt = b 2 4c () Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép (thực) x = b 2. (b) Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực x 1,2 = b ±. 2 (c) Nếu < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức x 1,2 = b ± i. 2 14

15 15

16 16