الوحدة 05. uuur dog dt. r v= uuur r r r الدرس الا ول. uuur. uuur. r j. G (t) المسار. GUEZOURI Aek lycée Maraval - Oran

Transcript

1 GUEZOURI Aek lcée Ml - O الكتاب الا ول الوحدة 05 التطورات الرتيبة تطور جملة ميكانيكية الدرس الا ول ما يجب أن أعرفه حتى أقول : إني استوعبت هذا الدرس يجب أن أعرف آيفية تحديد جملة ميكانيكية حسب ما ي طل ب مني في السو ال يجب أن أفرق بين المرجع من جهة ومعلم الفاضاءات والا زمنة من جهة أخرى يجب أن أعرف آيفية حساب سرعة لحظية لمتحرك في نقطة من مساره بواسطة مخطط 4 يجب أن أعرف آيفية حساب تسارع لحظي لمتحرك بواسطة التغير في شعاع السرعة 5 يجب أن أعرف القوانين الثلاثة لنيوتن وآيفية تطبيقها على الج م ل الميكانيكية 6 يجب أن أعرف ما هي القوى التي تجعل القمر الصناعي مستقرا على مداره حول الا رض 7 يجب أن أعرف القوانين الثلاثة لكبلر ملخص الدرس القوى الداخلية والقوى الخارجية في جملة القوى الداخلية في جملة ميكانيكية تنعدم مثنى مثنى وتبقى القوى الخارجية هي المسو ولة عن حرآة هذه الجملة المعلم والمرجع : حجرة المخبر مرجع ندرس بالنسبة له حرآة سقوط آرية هذا لا يكفي لدراسة عناصر الحرآة لهذا نزو د ( O, k ثم نختار لحظة نعتبرها مبدأ للزمن المرجع بمعلم مثلا ) i المرجع السطحي أرضي : نقطة من سطح الا رض (المخبر مثلا) : ننسب إليه الحرآات على الا رض والتي لا تدوم آثيرا المرجع المرآزي أرضي : مرآز الا رض مزود بمعلم محاوره متجهة نحو ثلاثة نجوم ثابتة المرجع المرآزي شمسي : مرآز الشمس مزود بمعلم محاوره متجهة نحو ثلاثة نجوم ثابتة عناصر الحرآة : شعاع الموضع : هو الشعاع uuu OG i + j + zk شعاع السرعة : OG uuu وهو مماس للمسار في آل لحظة الذي يجمع بين مبدأ الا حداثيات وموضع مرآز عطالة الجسم في اللحظة () هو مشتق شعاع الموضع بالنسبة للزمن : O G () uuu dog G المسار k j OG uuu

2 d شعاع التسارع : هو مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن وهو المشتق الثاني لشعاع الموضع بالنسبة للزمن uuu d OG uuu OG z z d d dz z d d d d dz d z R d التسارع المماسي والناظمي : في معلم فريني (Fee) التسارع المماسي والتسارع الناظمي (المرآزي) وداي رية منتظمة إذا آان طبيعة الحرآة : الحرآة متسارعة : > 0 الحرآة متباطي ة : < 0 الحرآة مستقيمة منتظمة إذا آان 0 : 0 الحرآة الداي رية المنتظمة ω ω R 0 Cs ; Cs الحرآة المستقيمة المنتظمة d A Cs 0 0 الحرآة المستقيمة المتغيرة بانتظام d A + A - A A A 0 ( ) قوانين نيوتن : القانون الا ول : في معلم غاليلي إذا آان شعاع سرعة مرآز عطالة جملة ثابتا فا ن مجموع القوى الخارجية المو ثرة على الجملة يكون Fe 0 G معدوما والعكس آذلك صحيح Cs القانون الثاني : في معلم غاليلي يكون مجموع القوى الخارجية المو ث رة على جملة آتلتها m متناسبا في آل لحظة مع تسارع الجملة أي : Fe m

3 القانون الثالث : F /A فا ن الجملة تو ثر في نفس الوقت على الجملة A بفعل م ن مذج بقوة إذا أثرت جملة A بفعل ميكانيكي على جملة م ن مذج بقوة F : بحيث يكون هذان الفعلان متعاآسين ومربوطين بالعلاقة F A/ F/ A / A حرآة الكواآب والا قمار الصناعية M s G يدور آوآب في مسار داي ري (فرضا) حول الشمس بسرعة آتلة الشمس البعد بين مرآزي الشمس والكوآب M s : G ثابت الجذب العام M G يدور قمر صناعي في مسار داي ري (فرضا) حول الا رض بسرعة : G ثابت الجذب العام M آتلة الا رض البعد بين مرآز الا رض والقمر الصناعي زمن دورة (الدور) : قوانين آبلر : M π آتلة الشمس أو الا رض GM القانون الا ول : في المرجع الشمسي مرآزي تتحرك الكواآب في مدارات إهليليجية حول الكوآب الجاذب بحيث يكون هذا الا خير أحد محرقيها تكملة حديثة للقانون الا ول : في المرجع الا رضي مرآزي تدور الا قمار الصناعية في مدارات إهليليجية أحد محرقيها مرآز الا رض القانون الثاني : (قانون المساحات) : يمسح المستقيم الواصل بين مرآز الكوآب السيار ومرآز الكوآب الجاذب مساحات متساوية في م د د زمنية متساوية القانون الثالث : في مرجع شمسي أرضي تكون النسبة بين مربعات أدوار الكواآب ومكعبات أنصاف المحاور الكبيرة لمداراتها داي ما ثابتة k لا تتعل ق هذه النسبة إلا بالكوآب أو النجم الجاذب

4 الدرس f ' القوى الداخلية والخارجية القوى الداخلية في جملة ميكانيكية تنعدم مثنى مثنى وتبقى القوى الخارجية هي المسو ولة عن حرآة هذه الجملة F /c C uu P' /c f c/ V F / P F - الجملة (سيارة : V) القوى الخارجية هي : f F F c/ / P لا توجد قوى داخلية ممثلة في الشكل + عربة : C) القوى الخارجية هي : uu P' P f ' f F /c الجملة ) سيارة F F / z o uuu OG G ( 0 ) /c c/ القوى الداخلية : - تحديد السرعة اللحظية في تسجيل لمسار متحرك uuu uuu OG OG شعاع السرعة في اللحظة هو uuu uuu uuu شعاع السرعة يكون موازيا لشعاع الانتقال Δ OG OG OG يكون تحديد با آثر دق ة آلما اقتربت من وبالتالي : OG uuu شعاع السرعة اللحظية هو المشتق بالنسبة للزمن لشعاع الموضع ( O,i, j,k يتحرك جسم نعتبره نقطة في معلم ) ت عطى إحداثيات المتحرك في آل لحظة آما يلي : z G ( ) G ( ) uuu ΔOG uuuu OG G ( ) G ( ) uuu dog z + مثال : اآتب عبارة شعاع الموضع ثم عي ن وضعية المتحرك في اللحظة s اآتب عبارة شعاع السرعة ثم احسب طويلة السرعة في اللحظة s uuu OG i + j + + k ( ) ( ) ( ) uuu OG 5i + 7j + 8k الحل : شعاع الموضع هو : في اللحظة s يكون - O i + 4 j+ 4k شعاع السرعة : uuu dog d d dz i + j+ k i + 4 j+ + k ( ) في اللحظة s يكون شعاع السرعة 4

5 , 4 m/ s z طويلة السرعة Δ ( ) -( ) ( ) G ( 0 ) G ( ) ( ) Δ ( ) ( ) ( ) G ( ) G ( ) - شعاع التسارع ي عب ر شعاع التسارع عن تغير شعاع السرعة خلال الزمن Δ شعاع التسارع محمول على شعاع التغير في السرعة شعاع التسارع في اللحظة Δ Δ هو : آلما اقترب عندما ينتهي من آلما آان تحديد شعاع التسارع دقيقا أآثر نحو يصبح مشتق شعاع السرعة بالنسبة للزمن d O G R ( G,u,) - 4 التسارع المماسي والتسارع الناظمي (المرآزي) نعتبر متحرآا G على مسار منحني ننسب حرآته إلى معلم أحدهما يمس المسار في آل لحظة والا خر متجه نحو مرآز المسار (O) شعاع السرعة يكون داي ما محمولا على المماس ومنه نكتب : u وباشتقاق هذه العلاقة بالنسبة للزمن : d d du u+ ) شعاع الوحدة u متغير المنحى) ومنه التسارع عبارة عن تسارعين : التسارع المماسي محمول على المماس : طويلته محوراه متعامدان d du d u التسارع الناظمي متجه نحو المرآز ) فيسمى المرآزي) حيث R هو نصف قطر المسار تحليل بعدي لعبارة التسارع : طويلته ت قبل بدون برهان [ M ] [ ] [] [ M ] m s ولهذا نقيس التسارع ب [ ][ ] M [ ] [ ] u 0 الحرآة المستقيمة : (يمكن اعتبار المستقيم داي رة نصف قطرها لا نهاي ي) ثابت 0 المنتظمة : المتغيرة بانتظام : - - R 0 الحرآة الداي رية المنتظمة : 5

6 - 5 تطبيقات قوانين نيوتن على الحرآات الا نسحابية L A S مثال نعتبر الاحتكاك على المستوي الماي ل (L) مكافي ا لقوة ثابتة شدتها f 0, N نترك جسما صلبا S آتلته m 00 g ولها حامل شعاع السرعة ومعاآسة له ينزل بدون سرعة ابتداي ية من النقطة A على خط الميل الا عظم لمستو نهمل مقاومة الهواء ونعتبر A خطا مستقيما ماي ل عن المستوي الا فقي بزاوية 0 L C نعتبر الجسم S نقطة مادية مث ل آل القوى المو ثرة على الجسم بين A و بتطبيق القانون الثاني لنيوتن بي ن أن حرآة S متسارعة بانتظام ثم احسب تسارعه احسب تسارع S بين A و بتطبيق نظرية الطاقة الحرآية ( L) أملس جد ا 4 نعتبر المستوي الا فقي C أ) مث ل القوى المو ثرة على S بين و C ب) احسب سرعة S عند النقطة C علما أن المسافة A 70 cm 5 باعتبار قوة الاحتكاك على C ثابتة شدتها f ' 05, N ومعاآسة لشعاع السرعة نعيد ترك الجسم S في النقطة A آم يجب أن تكون المسافة C لكي يتوقف الجسم في النقطة C نا خذ g 0 u i O f قوة الاحتكاك P : قوة الثقل الحل : القوى المو ثرة على S بين A و L f A P R L/S S قوة تا ثير المستوي L على الجسم S R L/S بتطبيق القانون الثاني لنيوتن (نظرية مرآز العطالة ( نسمي هذا القانون آذلك نظرية مرآز العطالة لا نه لا يهتم إلا بمرآز عطالة الجسم F e m () P+ RL/S + f m C نختار معلما لندرس فيه حرآة الجسم S و نعتبر مدة الحرآة قصيرة حتى يتسنى لنا إعتبار هذا المعلم غاليليا ليكن هذا المعلم هو O) (O, نسقط العلاقة الشعاعية () على هذا المحور : نهتم فقط بالمحور O لا ن الحرآة تحدث فقط وفق هذا المحور P P لدينا مسقط قوة الثقل على المحور O هو P Psi O O R L/S معدوم لا ن هذه القوة عمودية على مسقط مسقط f سالب لا ن هذه القوة معاآسة للمحور (المسقط موجب لا نه في جهة الحرآة) P : هي القيمة الجبرية للتسارع يمكن أن تكون موجبة ويمكن أن تكون سالبة وبالتالي نكتب : Psi f m 6

7 m f 7 Psi f m ومنه : حرآة الجسم S متغي رة بانتظام 0, 0si 0 0, 4 ms 0, بتطبيق نظرية الطاقة الحرآية : نعتبر في اللحظة النقطة لها آتلة هي آتلة الجسم S) في اللحظة تكون سرعة الجسم هي نلاحظ أن المقادير : P أن المسافة التي يكون قد قطعها الجسم S هي O آلها ثابتة أثناء الحرآة إذن التسارع ثابت وبالتالي (اعتبرنا الجسم نقطة مادية أي ليس له أبعاد لكن هذه O نظرية الطاقة الحرآية (السنة الثانية) : التغي ر في الطاقة الحرآية يساوي مجموع أعمال القوى الداخلية والخارجية 6, m/ s f ' h mg si f m : E E E W F h وبالتالي : ولدينا في الشكل المقابل si وبالتالي () m mg si f ( ) C C Δ c e+ i m m mgh f من المعطيات 0 m mg si f R L/S معدوم لا ن هذه القوة عمودية على الانتقال عمل f سالب لا نه مقاوم (جهة القوة عكس الانتقال) عمل نشتق طرفي العلاقة () بالنسبة للزمن : أ) تمثيل القوى على المستوي الا فقي ب) لكي نحسب سرعة الجسم يجب أولا أن نعرف طبيعة الحرآة - 4 بتطبيق نظرية مرآز العطالة : : O وباسقاط هذه العلاقة الشعاعية على المحور P+ R m ومنه 0 L'/ S 0+ 0 m سرعة الجسم غير معدومة وتسارعه معدوم إذن فهو في حرآة وحرآته هذه تكون منتظمة ما دامت الحرآة منتظمة ابتداء من النقطة حساب السرعة في النقطة : الوضع P P R L'/ S فا ن سرعة الجسم في النقطة C هي نفسها السرعة في النقطة R L'/ S C , ومنه 5, 6 الوضع وبالتالي : ولدينا 0 A ( A ) - 5 بتطبيق نظرية مرآز العطالة على الجسم S O وباسقاط هذه العلاقة على المحور P+ R + f ' m ' f ' ' m وبالتالي L'/ S A f ' m '

8 > 0 < 0 التسارع ثابت إذن الحرآة متغي رة بانتظام ملاحظة : نعلم أن الحرآة تكون متسارعة بانتظام إذا آان > 0 أو متباطي ة بانتظام إذا آان < 0 أو نحن لدينا في هذا المثال طويلة السرعة موجبة لا ن الجسم S يتحرك في الجهة الموجبة للمحور أما طويلة التسارع ) والذي يمثل التسارع المماسي لا ن الحرآة مستقيمة تسارعها الناظمي معدوم) وجدناها سالبة لا ن f موجبة و m موجبة () < وبالتالي يكون لدينا 0 لكي نحسب المسافة إذن الحرآة متباطي ة بانتظام ' ( C ) نطبق العلاقة C C C 0 ولدينا,6 m/s (توق ف الجسم) S 56, C 86, m ' 5, : () 8 وبالتعويض في العلاقة S S f' 05, ' 5, ms m 0, مثال تتكو ن جملة ميكانيكية من جسمين صلبين و أن ينسحب على مستو ماي ل عن المستوي الا فقي بزاوية 0 موصولين بخيط خفيف جدا يمر على بكرة نعتبر آتلتها مهملة يمكن للجسم R P S P S نهمل الاحتكاك على المستوي الماي ل آما نهمل مقاومة الهواء ودافعة أرخميدس في الهواء (نتعر ف على هاتين القوتين في الجزء الثاني من الدرس) آتلة الجسم M 00 g : S وآتلة الجسم M 00 g : S نا خذ g 0 u i عي ن جهة الحرآة احسب تسارع و S P si M g si P si 0, 0 0,5,5 N و S S الحل : لتعيين جهة الحرآة نقارن بين P M g P 0, 0 N بما أن P > P si إذن جهة الحرآة تكون نحو اليمين أي في جهة - تسارع الجسم S هو نفسه تسارع الجسم S لا ن الجملة مترابطة نمثل القوى المو ثرة على آل جسم بتطبيق نظرية مرآز العطالة على آل جسم : الجسم : S + P+ R M وبا سقاط هذه العلاقة على المحور الموازي للمستوي الماي ل : () Psi M الجسم : S + P M وباسقاط هذه العلاقة على المحور الشاقولي : () P M عندما تكون آتلة البكرة مهملة يكون وبجمع المعادلتين () و () طرفا لطرف حيث أن

9 نجد تسارع آل من الجسم S و P Psi 5, M + M 05, ms : S حذار : و لكن و - 6 حرآة قمر صناعي حول الا رض ننسب حرآة الا قمار الصناعية إلى المرجع الا رضي المرآزي قانون الجذب العام : يتجاذب جسمان آتلتاهما M و M البعد بينهما d بقوة M M F F G / / d حيث G هو ثابت الجذب العام أو نسميه الثابت الكوني وقيمته kg G 6,67 0 N m F القوى التي يخضع لها القمر الصناعي / F / ي حمل القمر الصناعي بواسطة مرآبة فضاي ية إلى ارتفاع محد د عن سطح الا رض ثم ت عطى له سرعة تمكنه من البقاء على مداره d حينذاك يكون خاضعا لقوتين متعاآستين مباشرة هما قوة جذبه نحو مرآز الا رض (ثقله) وقو ة الطرد المرآزي الناتجة عن سرعته الكبيرة (لو فرضنا جدلا أن القمر الصناعي توقف عن الحرآة سيسقط على سطح الا رض ولو أعطيت له سرعة أآبر من المحد دة له يغادر القمر الصناعي R + h P الا رض مداره نحو آوآب ا خر ) قوة الطرد المرآزي هي قوة وهمية أي أنها تظهر فقط أثناء الدوران (تشعر وأنت راآب في السيارة بقوة تحاول طردك نحو الخارج عندما تعبر السيارة منعطفا) - سرعة القمر الصناعي حرآة القمر الصناعي داي رية منتظمة أي تسارعه ناظمي فالقوة التي تجذبه نحو mm الا رض تكون مرآزية وبالتالي () G m ( R+ h) R + h حيث : m آتلة القمر الصناعي : M آتلة الا رض R : نصف قطر الا رض h : الارتفاع بين القمر الصناعي وسطح الا رض من العلاقة () نستنتج - 4 دور القمر الصناعي : هو الزمن اللازم لكي يقوم القمر الصناعي بدور آاملة لدينا : M G R + h π π π( R h) + ω R + h وباستعمال عبارة السرعة نجد : π ( R + h) GM - 5 القمر الصناعي المستقر أرضيا ت ستعمل مثل هذه الا قمار في البث التلفزيوني وهي الا قمار التي تدور في جهة دوران الا رض ودورها يساوي دور الا رض في هذه الحالة يبقى داي ما القمر فوق نفس النقطة من خط الا ستواء أثناء دورانه 9

10 M kg مثال : على أي ارتفاع يجب وضع قمر صناعي مستقر أرضيا نصف قطر الا رض المتوسط R 6400 km آتلة الا رض حيث 4 h s π ( R+ h) GM لدينا الحل : ( R+ h) GM 4π ومنه ( R+ h) 4π GM بتربيع طرفي العلاقة : b 4 GM ( ) , 5 h R km 4π 40-7 قوانين آبلر القطع الناقص : هو شكل هندسي تحقق نقاطه العلاقة M MF + MF F F هما محرقا القطع الناقص و هو نصف محوره الا آبر M F F : b هو نصف المحور الا صغر 0 - القانون الا ول تدور الكواآب حول الشمس في مدارات إهليليجية بحيث يكون أحد محرقيها هو مرآز الشمس وذلك في المرجع الشمسي مرآزي ونفس الشيء بالنسبة للا قمار الصناعية حول الا رض بحيث يكون مرآز الا رض هو أحد محرقي مساراتها الا هليليجية وذلك في المرجع الا رضي المرآزي ملاحظة : نعتبر أحيانا هذه المسارات داي رية - القانون الثاني (قانون المساحات) المساحات التي يمسحها المستقيم الواصل بين مرآز الكوآب ومرآز الشمس تكون متساوية في م دد زمنية متساوية أي أن سرعة الكوآب تزداد عندما يقترب الكوآب من الشمس وتتناقص عندما يبتعد عنه المساحتان F A و F CD متساويتان إذا آانت المدة التي يستغرقها الكوآب من A إلى سرعة الكوآب تكون عظمى بجوار النقطة P (تسمى هذه النقطة (تسمى هذه النقطة نقطة الرأس الا بعد وتسمى آذلك الا و ج) - 4 القانون الثالث في مرجع شمسي مرآزي سيارين مختلفين دور الا ول ودور الثاني نقطة الرأس الا قرب) تساوي المدة التي يستغرقها من C إلىD وتكون سرعته صغرى بجوار النقطة A تكون النسبة بين مربع دور الكوآب ومكع ب نصف المحور الا آبر للمسار داي ما ثابتة أي أن بالنسبة لكوآبين يكون داي ما : ونفس الشيء بالنسبة للا قمار الصناعية حول الا رض في المعلم الا رضي مرآزي إذا اعتبرنا المسار داي ريا يكون لدينا حيث h هو بعد القمر الصناعي عن سطح الا رض ( R+ h ) k R هو نصف قطر الا رض الكوآب F P A D C k A F