Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής)"

Transcript

1 1 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας Διευθυντής Τομέως Τεχνολογίας Ήχου, Μουσικοπαιδαγωγικής & Βυζαντινής Μουσικολογίας Τμήμα Μουσικών Σπουδών Φιλοσοφική Σχολή Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Προλεγόμενα Το ενδιαφέρον μου για τον Πλατωνισμό ήτο κατ αρχάς το ενδιαφέρον του επιστήμονος που ασχολείται με τον Πυθαγορισμό, στοχεύοντος στην κατανόηση του τρόπου μελέτης υπό των πυθαγορείων των ακουστικών φαινομένων, τα οποία ακολουθούν νόμους αρμονικούς και φθάνουν επί σειράν αιώνων κατ αυτόν ή εκείνον τον τρόπο στην ανθρωπίνη αίσθηση. Τοιουτοτρόπως, ο άνθρωπος από της αρχαιότητος μέχρι την σημερινήν εποχή δεν κάνει τίποτα άλλο από το να προσπαθεί να ανακαλύψει και διατυπώσει με την επιστημονική γνώση, την οποία εκάστοτε διαθέτει, την φύση και την μορφή αυτών των φαινομένων κατά την Πλατωνική φιλοσοφική και επιστημονικήν άποψη «σώζειν τα φαινόμενα». Στην προσπάθειά μου αυτήν εντυπωσιάσθηκα τα μάλα από τον μυστικισμό, ο οποίος διέκρινε την μετάδοση της επιστημονικής γνώσεως μεταξύ των μεμυημένων οπαδών του Πυθαγορισμού, αλλά συντόμως διεπίστωσα ότι ανέκαθεν οι κοσμοθεωρίες των κατ έθνη ιερατείων εβασίζοντο στον συμβολισμό. Οι Αιγύπτιοι ιερείς, οι διδάσκαλοι του Πυθαγόρου, δεν απεκάλυπταν τις αρχές της επιστήμης άνευ ενδελεχούς ελέγχου, παρά μόνον κατόπιν φοβερών δοκιμασιών και όρκων σε άτομα, τα οποία ήσαν άξια να τις κατέχουν. Έτσι εξηγείται η μακρά σιωπή, την οποίαν επέβαλε ο Πυθαγόρας εις τους μαθητές του (ακουσματικοί) και το πέπλον μυστηρίου, το οποίο υποχρεωτικώς εχρησιμοποίουν οι Πυθαγόρειοι κατά τις διδασκαλίες των. Σχετικώς αναφέρεται και ο Ιάμβλιχος (Περί του Πυθαγορικού Βίου, 3, 103, 1-105, 9) «Ἀναγκαιότατος δὲ παρ αὐτῷ τρόπος διδασκαλίας ὑπῆρχε καὶ ὁ διὰ τῶν συμβόλων. ὁ γὰρ χαρακτὴρ οὗτος καὶ παρ Ἕλλησι μὲν σχεδὸν ἅπασιν ἅτε παλαιότροπος ὢν ἐσπουδάζετο.» Επειδή, λοιπόν, δεν απεκαλύπτοντο οι αρχές οιασδήποτε επιστήμης εις τους κοινούς θνητούς παρά μόνον στους μεμυημένους, δια ταύτα και οι αρχές, στις οποίες εβασίζετο η μουσική επιστήμη, δηλαδή το μουσικό σύστημα των αρχαίων εθνών, παρέμειναν κρυφές και αρρήκτως συνδεδεμένες με σημεία, σύμβολα, αριθμούς και αστερισμούς, προκειμένου να προστατευθούν αλήθειες και ιδανικά, τα οποία, εν εναντία περιπτώσει, με το πέρασμα των χρόνων θα υφίσταντο διαστρέβλωση.

2 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Να μην λησμονούμε εμείς οι σύγχρονοι ότι η μουσική δεν είναι απλώς και μόνον η τέχνη του συνδυασμού των φθόγγων ή το ταλέντο της αναπαραγωγής των με έναν ευχάριστο για τα αυτιά μας τρόπο. Η μουσική, από διανοητικής απόψεως, όπως την εννοούσαν οι Αρχαίοι, ήτο η γνώση της τάξεως όλων των πραγμάτων, η επιστήμη των αρμονικών σχέσεων του Σύμπαντος, την οποίαν εθεμελίωναν επάνω σε σταθερές και αναλλοίωτες αρχές, ρυθμιζόμενες μόνον από τις ανάλογες αρμονίες των αριθμών. Η μουσική εθεωρείτο ένα μέσον (medium) ικανό να προβάλλει μια φιλοσοφική σύνθεση μόνον που ο μελετητής θα έπρεπε να ασχοληθεί με ένα απόθεμα αριθμολογίας και να συσχετίσει μια μυθολογία με μαθηματικές αλληγορίες. Κατά τον Πλάτωνα, δύο εντελώς αντίθετες οντότητες είναι αδύνατον να συνδεθούν μεταξύ των χωρίς την παρεμβολή μιας τρίτης, τουλάχιστον, οντότητος. Αυτή η τρίτη οντότης είναι ο δεσμός, η μεσότης μεταξύ των δύο ακραίων οντοτήτων. «τὰ δὲ στερεὰ μία μὲν οὐδέποτε, δύο δὲ ἀεὶ μεσότητες συναρμόττουσιν» (Πλάτωνος Τίμαιος). Μεταξύ των αντιθέτων οντοτήτων «κατανοητό ακατανόητο» ως δεσμός παρεμβάλλεται η πνευματική και ουράνια μουσική, η οποία είχε φθάσει στο υψηλότερο σημείον τελειότητος. Ήτο μια πνευματική γλώσσα, η οποία εφηρμόζετο σε μεταφυσικές έννοιες, αποκαλύπτοντας μέσα από αυτές τους αρμονικούς νόμους. Οι «παλαιοὶ» 1 Έλληνες φιλόσοφοι, τραγικοί και ποιητές εδίδασκον κρυφίως «μύθῳ φιλοσοφοῦντες» κάποιες απόκρυφες διδασκαλίες, κεκαλυμμένες με αριστοτεχνικόν φιλοσοφικόν τρόπο. «Οἱ γὰρ παλιαοὶ τὰ ποιήματα αὐτῶν πρῶτον ἐν προοιμίοις καὶ αἰνίγμασιν γεγράφασιν. ὕστερον δὲ καὶ καθόλου φανερῷ ἐχρῶντο τῷ λόγῳ» (Σχόλια εις τον Προμηθέα Δεσμώτην του Αισχύλου, 610, 3). Όπως έχει ήδη λεχθεί, η απόκρυφη γνώση δεν επετρέπετο «ἐπὶ ποινῇ θανάτου» να κοινολογηθεί υπό των μεμυημένων εις τους κοινούς θνητούς, διότι «οὐ τὰ πάντα τοῖς πᾶσι ρητὰ». Κατά τον Αριστοτέλη «ὁ μύθος σύγκειται ἐκ θαυμασίων». Τα «θαυμάσια» αυτά δύνανται ακόμη να ισοσταθμίσουν, σε κάποιον βαθμό, το απίστευτον του μύθου. Το επιφανειακό νόημα των αλληγορικών κειμένων, αυτό το οποίο εμπεριέχουν οι γραμμές, οι «αράδες» των κειμένων, το κατανοούμε με την βοήθεια της Γραμματικής και του Συντακτικού (υποκείμενο ρήμα - αντικείμενο). Η αλληγορία, δηλαδή το κωδικοποιημένο μήνυμα, το οποίον απευθύνεται προς τους μεμυημένους, ευρίσκεται «ανάμεσα» ή «πίσω» από τις γραμμές των κειμένων. Για την εξόρυξη αυτής της εκάστοτε αλληγορίας, πιστεύω ότι απαιτείτο η γνώση των Πυθαγορείων Μαθηματικών, Αριθμητικής, Γεωμετρίας Στερεομετρίας, Σφαιρικής (Αστρονομίας) και της Πυθαγορείου Αρμονικής (Μουσικής), της κορωνίδος της Πυθαγορείου Μαθηματικής Επιστήμης. 1 οἱ παλαιοὶ πολλοῖς αἰνίγμασιν ἐχρῶντο καὶ μάλιστα πρὸς τοὺς ἱερεῖς, Plutarchus, Αίτια Ρωμαϊκά και Ελληνικά, 81, Α10-Β1. Οἱ γὰρ παλιαοὶ ταὰ ποιήματα αὐτῶν πρῶτον ἐν προοιμίοις καὶ αἰνίγμασιν γεγράφασιν. ὕστερον δὲ καὶ καθόλου φανερῷ ἐχρῶντο τῷ λόγῳ. Σχόλια εις τον Προμηθέα Δεσμώτην του Αισχύλου, 610, 3.

3 3 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Όμως, η απόκρυφη γνώση, μολονότι δεν επετρέπετο να κοινολογηθεί από τους κατέχοντας αυτήν εις τους κοινούς θνητούς, εντούτοις ενίοτε εκοινολογείτο τεχνιέντως. Ο Αισχύλος, ο τραγικός ποιητής, επολέμησε με μεγάλο θάρρος στην μάχη του Μαραθώνος, την ναυμαχία της Σαλαμίνος και πιθανόν στην μάχη των Πλαταιών. Στην μάχη του Μαραθώνος μάλιστα επληγώθη. Συμφώνως προς τον Κλήμεντα τον Αλεξανδρέα, ο Αισχύλος εκατηγορήθη ενώπιον του Αρείου Πάγου για ασέβεια καί εκινδύνευσε η ζωή του, διότι στις τραγωδίες του «Ευμενίδες» και «Προμηθεύς Δεσμώτης» απεκάλυπτε εμμέσως πλην σαφώς πληροφορίες των Ελευσινίων Μυστηρίων. Εσώθη μόνον και μόνον επειδή ετύγχανε Μαραθονομάχος και Σαλαμινομάχος. Αυτή η καταγεγγραμμένη πληροφορία, καθιστά λογική και βάσιμη την υπόθεση ότι η επισταμένη μελέτη των τραγωδιών του πιθανότατα να δώσει σημαντικά στοιχεία για την αληθή φύση των εν λόγω μυστηρίων. Ο Επίχαρμος, ο υιός του Ελοθαλούς, φέρεται ως ο κύριος κωμικός ποιητής μεταξύ των Δωριέων κατά την καταγωγήν, ως ο εφευρέτης της κωμωδίας, την οποίαν ο Αριστοτέλης περιγράφει με τις λέξεις «τὸ μύθους ποιεῖν» και ο Πλάτων παρατηρεί «οἱ ἄκροι τῆς ποιήσεως ἑκατέρας, κωμωδίας μὲν Ἐπίχαρμος, τραγωδίας δὲ Ὅμηρος». Κατά τους Διογένη Λαέρτιον, Πλούταρχον και Suida υπήρξεν μαθητής του μεγάλου φιλοσόφου Πυθαγόρου. Ο Επίχαρμος κατεχώρισε σε ποιήματά του διδασκαλίες του Πυθαγόρου, τις ο- ποίες μετέδιδε κρυφίως, κεκαλυμμένες με αστεϊσμούς (Ιάμβλιχος, Βί. Πυθ. 66). Ο Ίππασος, ο Μεταποντίνος, υπήρξε από τους σημαντικοτέρους πρωίμους Πυθαγορείους. Συμφώνως προς τον Ιάμβλιχο (Βίος Πυθαγόρου 88, 46-47) επρόδωσε το απαράβατον πυθαγορικόν δόγμα περί εχεμυθείας και απεκάλυψε την κατασκευήν του εγγεγραμμένου εις σφαίραν πενταγωνικού δωδεκαέδρου ή το μυστικό των ρητών και των αρρήτων αριθμών, με αποτέλεσμα να εκδιωχθεί από την πυθαγορική κοινότητα και να τον τιμωρήσει και ο θεός, πνίγοντάς τον στην θάλασσα. Ο Πλάτων και εγνώριζε και κατείχε πυθαγόρειες απόκρυφες διδασκαλίες. Μερικές εξ αυτών των αποκρύφων διδασκαλιών τις κατεχώρισε σε διαλόγους του, διαλόγους μεταξύ συζητητών ήδη τεθνεώτων δια παν ενδεχόμενον-, τις οποίες μετέδιδε κεκαλυμμένες με αριστοτεχνικό φιλοσοφικό τρόπο. Μελετώντας την πορεία των μουσικών ιδεών από τον Πυθαγόρα στον Πλάτωνα, σύντομα αντελήφθηκα ότι ο πλατωνισμός αντιμετωπίζει τη μουσική με μια νέα οπτική. Μια οπτική, η οποία αναγνωρίζει τη μουσική ως μία δύναμη ικανή να προβάλλει μια φιλοσοφική σύνθεση μόνο που ο μελετητής θα πρέπει ν ασχοληθεί με ένα απόθεμα αριθμολογίας και να συσχετίσει μια μυθολογία με μαθηματικές αλληγορίες. Κατάλαβα ότι ο μελετητής θα πρέπει να χρησιμοποιήσει τον Πλάτωνα ως την πολύτιμη στήλη της Ροζέττης για να μπορέσει να εισχωρήσει στην περισσότερο δυσνόητη ε- πιστήμη των πρωιμοτέρων πολιτισμών αφενός και αφετέρου να συσχετίσει την τότε με τη σημερινή επιστημονική ορολογία. Με την Πολιτεία, το σημαντικότερο ίσως έργο της Πλατωνικής γραμματολογίας ξεκίνησα ν ασχολούμαι από τοπικιστικά κίνητρα και μόνον και συνέχισα με την προτροπήν του γεραρού κοσμήτορος κ. Εμμανουήλ Μικρογιαννάκη. Τυγχάνω ως προς την καταγωγήν Θραξ εκ Θρακός πατρός και Θράσσης μητρός. Ο εν λόγω Πλατωνικός διάλογος αναφέρεται στη συμμετοχή των πρωταγωνιστών στην εορτή των Βενδιδείων, προς τιμήν της Βενδίδος ή Βένδιδος, μιας Θρακικής σεληνιακής θεότητος, η οποία εταυτίσθη προς την Εκάτη ή την Άρτεμι ή και την Περσεφόνη. Στη Θράκη τα Βενδίδεια ήσαν εορταί με οργιαστικόν χαρακτήρα και διεδόθησαν στο

4 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 4 Βυζάντιο, στις ελληνικές αποικίες επί της θρακικής χερσονήσου, στη Λήμνο, στην Αμφίπολη και δια των Θρακών εμπόρων στον Πειραιά. Πυθαγορεια αριθμολογια και δικαιο Όπως έχω ήδη αναφέρει, οι αλληγορικές πλατωνικές περικοπές με μαθηματικές εκφράσεις, όπως η συγκεκριμένη, αντιμετωπίζονται σήμερα με μια νέα οπτική, η οποία αναγνωρίζει τη μουσική ως μία δύναμη ικανή να προβάλλει μια φιλοσοφική σύνθεση. Η οπτική αυτή δεν πρόκειται να κερδίσει την άμεση αποδοχή και υποστήριξη των θεολόγων, των φιλοσόφων, των φιλολόγων, των μαθηματικών και των άλλων επιστημόνων, οι οποίοι έχουν καταστεί εξαιρετικά ειδικοί εις το να βλέπουν το σύνολο παρά τη λεπτομέρεια. Επίσης δεν θα κερδίσει ούτε τους μουσικούς, οι οποίοι θεωρούν τη μουσική σαν έναν κλάδο διασκεδάσεως, ούτε και τους μουσικολόγους, οι οποίοι εξ ενστίκτου φοβούνται τους αριθμούς. Διαβάζοντας πλατωνικά χωρία που περιλαμβάνουν είτε αριθμούς, είτε μαθηματικούς όρους, οι μεν φιλόλογοι αποφεύγουν την εμβάθυνση σ αυτά «απλουστεύοντες το κείμενο», οι δε μαθηματικοί τα αντιμετωπίζουν επιδερμικώς θεωρώντας τα ως διατυπώσεις «ποιητικῇ ἀδείᾳ». Με την έννοια δίκαιο οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν την παροχή αμοιβαίων υπηρεσιών, δηλαδή την κατ αμοιβαιότητα δικαιοσύνη, η οποία ασκείται εκουσίως από όλα τα μέλη της κοινωνίας και κατ αυτόν τον τρόπο συνέχεται η πολιτική Κοινωνία. To πολίτευμα των Πυθαγορείων προέβλεπε την ύπαρξη ισορροπίας μεταξύ των διακριτών εξουσιών του κράτους. Όπως μας αναφέρουν οι Πολύβιος, Κικέρων και Πλούταρχος, το διακριτό είχε την αρχή του στη Λυκούργειο νομοθεσία και στο Σπαρτιατικό πολίτευμα. Για τους Πυθαγορείους η έννοια της δικαιοσύνης καθορίζεται ως η δύναμη της διανομής του ίσου, που ανήκει στον καθένα. Αυτό είναι το λεγόμενο «αναλογούν δίκαιον». Το «αναλογούν δίκαιον» για τους φυσικούς αριθμούς της δεκάδος είναι ο μέσος όρος αυτών, δηλαδή 9 xi i= = = = 5 i 9 9 Για τους Πυθαγορείους το θεμέλιο και η φύση της δικαιοσύνης εμφανίζονται σε όλα τα τετράγωνα των αριθμών (αριθμοί ισάκις ίσοι), διότι είναι το γινόμενο δύο ίσων αριθμών, αλλά ιδιαιτέρως η φύση της δικαιοσύνης αποκαλύπτεται στα τετράγωνα των περιττών αριθμών, επειδή έχουν ένα μέσον. 3 = 9 = = 5 = = 49 = = 79 =

5 5 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Ο Αρχύτας, ο Πυθαγόρειος, (Μαθηματικός, Μηχανικός, Στρατηγός και Πολιτικός ηγέτης του Τάραντος) μας αναφέρει ότι το Σύνταγμα ενός Κράτους μπορεί να καθορισθεί κατά τρεις διαφορετικούς τύπους του πολιτικού δικαίου. Ο κάθε τύπος περιγράφεται από συγκεκριμένη μαθηματική αναλογία τέτοιας, ώστε μεταξύ των αριθμών της να αναφέρονται ωρισμένες σχέσεις βάσει των οποίων το Σύνταγμα κατανέμει εξουσίες και δικαιώματα στις πολιτικές υπηρεσίες και ανάμεσα στις τάξεις των πολιτών. Έτσι, λοιπόν, το Ολιγαρχικό Δίκαιο και το Τυραννικό Δίκαιο θεμελιούνται επάνω στην αριθμητική αναλογία (1,, 3), η οποία εγκαθιστά μια μεγάλη ανισότητα μεταξύ του 3 λόγου των μικρών σε σχέση με το λόγο των μεγάλων όρων της >, αφού ο διπλάσιος λόγος είναι μεγαλύτερος του ημιολίου. 1 Στο Ολιγαρχικό Δίκαιο οι λίγοι και στο Τυραννικό Δίκαιο ο ένας κυβερνούν την πολιτεία, επιδιώκοντας το δικό τους καλό και όχι αυτό της πολιτείας. Ονομασία αναλογίας Μαθηματικός Ορισμός Παράδειγμα αριθμητικό Αριθμητική Εάν α > β > γ αβγ,, Ν, τότε ισχύει: α β = β γ 3,, 1 3 > 1 Το Δημοκρατικό Δίκαιο θεμελιούται επάνω στην γεωμετρική αναλογία (1,, 4), η οποία εγκαθιστά ισότητα σχέσεων μεταξύ των λόγων των μεγάλων και των μικρών όρων της 4 = (αναλογία κατά ποιότητα). 1 Στο Δημοκρατικό Δίκαιο τόσο ο φτωχός, όσο και ο πλούσιος συμμετέχουν ισότιμα στη διακυβέρνηση της Πολιτείας. Ονομασία αναλογίας Γεωμετρική Μαθηματικός Ορισμός Εάν α > β > γ αβγ,, Ν, τότε ισχύει: α β α β = = β γ β γ Παράδειγμα αριθμητικό 4,, 1 4 = 1

6 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 6 Η αναλογία, την οποία ο Αρχύτας ονομάζει Αρμονική (3, 4, 6), χρησιμεύει ως το υπόδειγμα για το Αριστοκρατικό και το Βασιλικό Δίκαιο και τούτο διότι αυτή εγκαθιστά μια μικρή ανισότητα μεταξύ των λόγων των μικρών σε σχέση με το λόγο των μεγάλων όρων της, αφού ο επίτριτος λόγος είναι μικρότερος του ημιολίου. Για το λόγο αυτό η αρμονική πρόοδος ονομάζεται υπεναντία της αριθμητικής προόδου. Το δίκαιο της αριστοκρατίας αναγνωρίζει στους άξιους πολίτες περισσότερα δικαιώματα απ ό,τι αναγνωρίζει το δίκαιο της ολιγαρχίας. Το δίκαιο της δημοκρατίας, όπως προανεφέρθη, δεν κάμνει καμμία διάκριση ανάμεσα στους πολίτες. Κατά τον Στοβαίο (Στοβαίος IV ) το αριστοκρατικό δίκαιο είναι από ιδεολογικής απόψεως το καλύτερο, διότι μιμείται το δίκαιο της φύσεως, το οποίο κατ αναλογία παρέχει στον καθέναν ό,τι του αξίζει. Ονομασία αναλογίας Αρμονική ή Υπενάντιος Μαθηματικός Ορισμός Εάν α > β > γ αβγ,, Ν, τότε ισχύει: α β α = β γ γ ή = α γ β Παράδειγμα αριθμητικό 6, 4, < = 3 4 Περί της Τετρακτύος Ο Λουκιανός εις το έργον του Πράσις Βίων (βλέπε κατωτέρω) αναφέρει ότι η τετρακτύς, ήτοι η τετράς των πρώτων τεσσάρων ακεραίων αριθμών 1,, 3, 4, γεωμετρικώς εκφράζεται δια του «τελείου τριγώνου» -του ισοσκελούς-, διότι αριθμητικώς εκφράζεται δια του «τριγωνικού» αριθμού 10= (4 κατά δύναμιν, ήτοι οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί και 10 κατ αριθμόν, ήτοι το άθροισμα των μονάδων αυτών των πρώτων τεσσάρων φυσικών αριθμών, όπως αναφέρει στην Μαθηματική του Εισαγωγή ο Νικόμαχος ο Γερασηνός). Η τετρακτύς εμπεριέχει όλες τις μουσικές συμφωνίες. Πράγματι, 4:1 είναι ο τετραπλάσιος λόγος και εκφράζει τη συμφωνία (το εύφωνο μουσικό διάστημα) της δις διαπασών, 3: είναι ο ημιόλιος λόγος και εκφράζει τη διαπέντε συμφωνία ή διοξεία, ο 4:3 είναι ο επίτριτος λόγος και εκφράζει τη διατεσσάρων συμφωνία ή συλλαβά, :1 είναι ο διπλάσιος λόγος και εκφράζει τη διαπασών συμφωνία.

7 7 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Σχήμα 1: Η τριγωνική δομή των δέκα κουκίδων της ιεράς τετρακτύος. Υπό την έννοιαν «τετρακτύς» οι αρχαιοέλληνες σοφοί εθεώρουν αφενός τα τέσσερα στοιχεία, τα τέσσερα μέρη του κόσμου, τα τέσσερα πνεύματα, τους τέσσερις χυμούς, τις τέσσερις εποχές του έτους, αφετέρου τα τέσσερα μέρη της Ψυχής, ήτοι τον Νουν, την Επιστήμην, την Δόξαν και την Αίσθησιν. Οι σύγχρονοί μας σοφοί υπό την έννοιαν «τετρακτύς» θεωρούν τις τέσσερις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των στοιχειωδών ή θεμελιωδών σωματιδίων της ύλης, ήτοι των φερμιονίων - τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια-, των οποίων η ύπαρξη έχει πειραματικώς επιβεβαιωθεί άμεσα ή έμμεσα. Την σύγχρονον τετρακτύν αποτελούν οι ηλεκτρομαγνητική, η ισχυρή πυρηνική, η ασθενής πυρηνική και η βαρυτική αλληλεπιδράσεις. Η τετρακτύς κατά τον Πλούταρχον είναι ο αριθμός 36, το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αρτίων και των τεσσάρων πρώτων περιττών αριθμών της δεκάδος (, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7). ἡ δὲ καλουμένη τετρακτύς, τὰ ἓξ καὶ τριάκοντα, μέγιστος ἦν ὅρκος, ὡς τεθρύληται, καὶ κόσμος ὠνόμασται, τεσσάρων μὲν ἀρτίων τῶν πρώτων, τεσσάρων δὲ τῶν περισσῶν εἰς ταὐτὸ συντιθεμένων ἀποτελούμενος. Πλούταρχος, Stephanus, Περί Ίσιδος και Οσίριδος, 381F, 6 38A, 4. Τέλος, υπάρχει και η τετρακτύς του Πλάτωνος, την οποία απαρτίζουν οι αριθμοί 1,, 3, 4, 9, 8, 7 και, όπως παρετήρησαν αρχαίοι σχολιαστές με πρώτον τον Κράντορα, δομείται από την συνένωση της γεωμετρικής σειράς 1,, 4, 8 με πρώτον όρον την μονάδα και γενήτορα το και της γεωμετρικής σειράς 1, 3, 9, 7 με πρώτον όρον την μονάδα και γενήτορα το 3. Η τετρακτύς 1,, 3, 4, 9, 8, 7 χρησιμοποιείται υπό του Πλάτωνος ως πολύμορφο μαθηματικό εργαλείο για την επίλυση φιλοσοφικών μαθηματικών - μουσικών προβλημάτων. Συγκεκριμένως, ο Πλάτων χρησιμοποιών και τους επτά όρους αυτής της τετρακτύος, δημιουργεί την Ψυχήν του Κόσμου εις τον διάλογόν του Τίμαιος (35a1-36b6) καταλήβλέπε Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Αναλυτική Γεωμετρία για την Πυθαγόρειο Μουσική, Εκδόσεις Grapholine, Θεσσαλονίκη, 006 και Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Πλάτωνος Τίμαιος: Γένεσις Ψυχής Κόσμου (γραμμικές και λαβδοειδείς λύσεις), Εκδόσεις Grapholine, Θεσσαλονίκη, 008.

8 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 8 γων εις μίαν αλληλουχίαν μουσικών φθόγγων συχνοτικού εύρους τεσσάρων διαπασών, ενός δια πέντε και ενός επογδόου τόνου. Το ίδιο μαθηματικό εργαλείο, την τετρακτύν του, υπό άλλην μορφήν και ολιγοτέρους και συγκεκριμένους όρους, χρησιμοποιεί ο Πλάτων στο Η Βιβλίον της Πολιτείας προκειμένου να παραγάγει την συνάρτηση του ειδώλου ηδονής, το οποίον συγκατοικεί με έκαστον πολιτικόν άνδρα. Συγκεκριμένως, ο Πλάτων μετασχηματίζει την τετρακτύν του προσδίδων εις αυτήν την μορφήν ( 1 x) 1, ( x), ( 3 x), ( x), ( 9 x), ( 8 x), ( 3 x) 3 και εκφράζει τα σχετικά είδωλα ηδονής, τα συγκατοικούντα με έκαστον πολιτικόν άνδρα με τους όρους ( 1 x) 1, ( x), ( 3 x) 3. Δια των όρων αυτών, όπως θα εκτεθεί κατωτέρω, καταλήγει προσδίδων εις τους πολιτικούς άνδρες «Βασιλικός», «Αριστοκρατικός», «Ολιγαρχικός», «Δημοκρατικός», «Τύραννος» ως απόλυτα είδωλα ηδονής τις τιμές 1,, 3, 36 και 79, αντιστοίχως. Πλατωνική Πολιτειολογία Στην Πλατωνική γραμματολογία η Πολιτεία θεωρείται το σημαντικότερο ίσως έργο. Σ αυτό λέγεται ότι ο Πλάτων προσπαθεί να μας δώσει την εικόνα του τελείου πολιτεύματος. Στην ιδανική Πολιτεία του Πλάτωνος ο κάθε πολίτης, αναλόγως των φυσικών του προδιαθέσεων και ικανοτήτων, αναλαμβάνει έναν συγκεκριμένο και αυστηρά καθορισμένο ρόλο, ο οποίος συνεπάγεται και έναν αντίστοιχο τρόπο ζωής. Τα δικαιώματα και οι υποχρεώσεις του κάθε πολίτη, αναλόγως της τάξεώς του, οριοθετούνται βάσει δύο γνωμόνων: την ευνομία και την ενότητα της Πολιτείας. Άρα το κύριο μέλημα είναι να καθορισθεί η μορφή της πολιτειακής οργανώσεως που θα εξασφαλίζει σε μια πόλη αυτές τις δύο αρχές. Ο Πλάτων στην Πολιτεία του δίδει το ακόλουθο πενταμερές πολιτειακό σχήμα: 1. Πλατωνική πολιτεία, αριστοκρατία (κυβερνούν περισσότερα του ενός πρόσωπα, που ανήκουν στην τάξη των αρίστων).. Κρητικολακωνική, τιμοκρατία ή φιλαρχία (Η λέξη τιμή σημαίνει δόξα, διάκριση, αξίωμα). 3. Ολιγαρχία (κυβερνούν οι πλούσιοι, ενώ οι φτωχοί δεν έχουν μερίδιο στην εξουσία). 4. Δημοκρατία (το ανώτατο όργανο είναι το σύνολο των πολιτών). 5. Τυραννίδα, το «έσχατον νόσημα της πόλεως». Στην παρούσα εισήγηση με ενδιαφέρει η πυθαγόρειος συμπεριφορά του Πλάτωνος. Συγκεκριμένα, ασπαζόμενος ο Πλάτων την πυθαγόρειον ρήση «τα πάντα κατ αριθμόν γίγνονται», συμπεριφέρεται ως πυθαγόρειος (Οἱ Πυθαγορικοὶ, οἷς πολλαχῇ ἕπεται Πλάτων, Θέων Σμυρναίος, Των κατά το μαθηματικόν χρησίμων, 1, 10), χρησιμοποιεί αριθμούς, προκειμένου να αισθητοποιήσει τα λεγόμενά του και δηλώνει ότι ο τύραννος είναι 79 φορές χειρότερος από τον βασιλέα (Stephanus 587 b a). Η συγκεκριμένη περικοπή περιλαμβάνει έναν διάλογο μεταξύ του Σωκράτους και του φίλου του Γλαύκωνος, αδελφού του Πλάτωνος, και έχει εις νεοελληνικήν απόδοση κατά τους Α. Παπαθεοδώρου και Φ. Παππά (ΠΑΠΥΡΟΣ. 1939) ως ακολούθως:

9 9 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) - Ξέρεις, λοιπόν, είπα, πόσο αηδέστερα ζη ο τύραννος από το βασιλιά; - Αν μου το ειπής, απήντησε, θα το μάθω. - Υπάρχουν, καθώς φαίνεται, τρεις ηδονές, η μία γνήσια και οι άλλες δύο νόθες. Ο τύραννος ξεπερνώντας και το τελευταίο ακόμα σύνορο των νόθων ηδονών, και ξεφεύγοντας πολύ μακρυά από το νόμο και τον ορθό λόγο, ζη πάντοτε με κάτι δουλικές ηδονές, που τις χρησιμοποιεί σαν δορυφόρους, και δεν είναι καθόλου εύκολο να ορίση κανείς πόσο είναι κατώτερος από το βασιλιά, παρά μόνο, ίσως, κατά τον ακόλουθο τρόπο. - Πώς; είπε. - Ας πάρουμε τον ολιγαρχικό σαν αφετηρία, ο τύραννος νομίζω πως είναι τρίτος στη σειρά, γιατί ανάμεσά τους στέκει ο δημοκρατικός. - Ναι. - Αν λοιπόν αυτά που είπαμε είναι αληθινά, το είδωλο της ηδονής, που συγκατοικεί με τον τύραννο, δεν θάναι κατά τρεις φορές μακρύτερα από την αλήθεια, από όσο είναι το είδωλο που συγκατοικεί με τον ολιγαρχικό; - Έτσι είναι. - Ο ολιγαρχικός πάλι είναι τρίτος στη σειρά μετά το βασιλικό, αν ταυτίσουμε τον αριστοκρατικό και το βασιλικό. - Ασφαλώς τρίτος. - Ώστε ο τύραννος, είπα εγώ, απέχει από την αληθινή ηδονή, για να εκφρασθώ με α- ριθμό, το τριπλάσιο του τριπλασίου. - Φαίνεται. - Καθώς φαίνεται λοιπόν, είπα, θα μπορούσε το είδωλο της ηδονής του τυράννου, ως προς το μήκος, ίσως να παρασταθή με ένα επίπεδο αριθμό. - Βεβαιότατα. - Αν τον αριθμό αυτό τον υψώσουμε στο τετράγωνο και κατόπιν στον κύβο, θα δείξη καθαρά την απόσταση που χωρίζει τον τύραννο από το βασιλιά. - Αυτό είναι φανερό, είπε, σε ένα άνθρωπο που ξαίρει λογιστικά. - Εάν λοιπόν κανείς αναστρέφοντας την αναλογία θελήση να δείξη πόσο αληθινώτερη είναι η ηδονή του βασιλιά από την ηδονή του τυράννου, θα βρη άμα κάμη όλους τους πολλαπλασιασμούς, ότι αυτός ζη επτακόσιες είκοσι εννέα φορές ευχαριστότερα, ενώ ο τύραννος ζη δυστυχέστερα άλλες τόσες. - Τι καταπληκτικό αριθμό, εφώναξε, μας έρριξες κατακέφαλα, για να μας δείξης τη διαφορά των δύο ανθρωπίνων τύπων, του δικαίου και του αδίκου, ως προς την ηδονή και τη λύπη. Η Μουσικολογική αλληγορία της περικοπής Λόγω των υπαρχόντων χρονικών περιορισμών θα αναφερθώ εις τα κυριότερα σημεία του διαλόγου εξ επόψεως αλληγορίας. 1. «Ο τύραννος ξεπερνώντας και το τελευταίο ακόμα σύνορο των νόθων ηδονών, και ξεφεύγοντας πολύ μακρυά από το νόμο και τον ορθό λόγο, ζη πάντοτε με κάτι δουλικές ηδονές, που τις χρησιμοποιεί σαν δορυφόρους, και δεν είναι καθόλου εύκολο να ορίση κανείς πόσο είναι κατώτερος από το βασιλιά, παρά μόνο, ίσως, κατά τον ακόλουθο τρόπο. Πώς; είπε».

10 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 10 Η ηδονή που δοκιμάζει ο βασιλικός άνδρας είναι η μόνη γνήσια. Οι ηδονές που δοκιμάζουν ο τιμοκρατικός και ο ολιγαρχικός είναι οι δύο νόθες. Η ηδονή που απολαμβάνει ο τύραννος είναι πιο νόθα και απ αυτήν του ολιγαρχικού. Η υπέρτατη ηδονή για έναν φιλόσοφο είναι το Αγαθό, που είναι Ιδέα και μάλιστα η Υψίστη Ιδέα. Το Αγαθό ταυτίζεται με τη γνώση. Όλη η δομή της Πολιτείας του Σωκράτους, όπως περιγράφεται στο διάλογο, προσομοιάζει με το Αριστοκρατικό πολίτευμα. Όλες οι ποιοτικές εκφράσεις, που εμφανίζονται στο συγκεκριμένο απόσπασμα, με κάποιον αλγόριθμο, τον οποίον ο Πλάτων θα εκθέσει με τον τρόπο του παρακάτω και ο οποίος αναμένεται εναγωνίως, θα ποσοτικοποιηθούν.. «Ας πάρουμε τον ολιγαρχικό σαν αφετηρία, ο τύραννος νομίζω πως είναι τρίτος στη σειρά, γιατί ανάμεσά τους στέκει ο δημοκρατικός». «Αν λοιπόν αυτά που είπαμε είναι αληθινά, το είδωλο της ηδονής, που συγκατοικεί με τον τύραννο, δεν θάναι κατά τρεις φορές μακρύτερα από την αλήθεια, από όσο είναι το είδωλο που συγκατοικεί με τον ολιγαρχικό;» Επειδή όλοι θεωρούν ότι με αλχημείες ο Πλάτων παρήγαγε τον αριθμό 79, θεωρώ ότι πρέπει να ευρεθεί ο αναλυτικός αλγόριθμος, που χρησιμοποιεί. Η τριάδα των ανθρώπων των πολιτευμάτων με αναφορά στον ολιγαρχικό είναι: 1 Ολιγαρχικός Δημοκρατικός 3 Τύραννος Θεωρώ προς στιγμήν ότι η απόσταση του ολιγαρχικού από μια απόλυτη αφετηρία είναι x. Τότε, των επομένων δύο οι αποστάσεις από αυτήν την απόλυτη αφετηρία θα είναι x και 3x, αντιστοίχως. Για να προχωρήσει σωστά το μοντέλο, θα πρέπει η έννοια «είδωλο ηδονής» να εκφράζεται μαθηματικά με δύναμη η οποία έχει ως βάση την απόσταση του τύπου πολιτικού ανθρώπου από την απόλυτη αφετηρία και εκθέτη την τάξη του τύπου πολιτικού ανθρώπου. Με μουσικούς όρους αυτό σημαίνει ότι η απόσταση από μια απόλυτη αφετηρία για τον Πλάτωνα εκφράζει ένα πυθαγόρειο μουσικό διάστημα και το σχετικό είδωλο ηδονής εκφράζει το πυθαγόρειο γινόμενο ενός ακεραίου αριθμού, που ταυτίζεται με την τάξη του τύπου πολιτικού ανθρώπου, επί ένα μουσικό διάστημα, που εκφράζει την απόσταση του τύπου πολιτικού ανθρώπου από μια απόλυτη αφετηρία. (Ιδιότητα εκ της Αλγέβρας των Πυθαγορείων διαστημάτων).

11 11 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Τύπος ανθρώπου Ολιγαρχικός Δημοκρατικός Τύραννος Απόσταση από μια απόλυτη αφετηρία y = x Σχετικό είδωλο ηδονής 1 y 1 = ( ) 1 y x 1 x = y = ( ) y 3x x = 3 y 3 = ( ) 3 3 3x 3. «Ο ολιγαρχικός πάλι είναι τρίτος στη σειρά μετά το βασιλικό, αν ταυτίσουμε τον αριστοκρατικό και το βασιλικό». Με τη νέα τριάδα πολιτικών τύπων ανθρώπου προσδιορίζει την απόσταση του τύπου πολιτικού ανθρώπου από την απόλυτη αφετηρία, που δεν είναι άλλη από τον βασιλικό, τον οποίο στη συνέχεια τον ταυτίζει με τον αριστοκρατικό. Τοποθετεί, λοιπόν, για την απόλυτη αφετηρία τον μικρότερο φυσικό αριθμό, το ένα (1), οπότε αβίαστα προκύπτουν τα ακόλουθα: Τύπος ανθρώπου Απόσταση Βασιλικός y 1 1 = x = Αριστοκρατικός y = x = Ολιγαρχικός y 3 = 3x = 3 Τύπος ανθρώπου Ολιγαρχικός Δημοκρατικός Τύραννος Απόσταση 1 y 3 Σχετικό είδωλο ηδονής 1 z 1 = y3 z = ( ) 1 y 3 Απόλυτο είδωλο ηδονής 1 3 = 3 z = z = ( ) ( ) 3 3y 3 y3 3 = 6 = 36 3 z = z = ( ) 3 ( ) ( ) 3 3 3y = 3 = 3 = 79 Με τον όρο απόλυτο είδωλο ηδονής ορίζει επακριβώς το μήκος του ταλαντουμένου τμήματος χορδής δια του οποίου παράγεται εκάστη νότα της Ψυχής Κόσμου επί του μονοχόρδου. 4. «Ασφαλώς τρίτος. Ώστε ο τύραννος, είπα εγώ, απέχει από την αληθινή ηδονή, για να εκφρασθώ με αριθμό, το τριπλάσιο του τριπλασίου. Φαίνεται. Καθώς φαίνεται λοιπόν, είπα, θα μπορούσε το είδωλο της ηδονής του τυράννου, ως προς το μήκος, ίσως να παρασταθή με ένα επίπεδο αριθμό.

12 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 1 Βεβαιότατα. Αν τον αριθμό αυτό τον υψώσουμε στο τετράγωνο και κατόπιν στον κύβο, θα δείξη καθαρά την απόσταση που χωρίζει τον τύραννο από το βασιλιά. Αυτό είναι φανερό, είπε, σε ένα άνθρωπο που ξαίρει λογιστικά. Εάν λοιπόν κανείς αναστρέφοντας την αναλογία θελήση να δείξη πόσο αληθινώτερη είναι η ηδονή του βασιλιά από την ηδονή του τυράννου, θα βρη άμα κάμη όλους τους πολλαπλασιασμούς, ότι αυτός ζη επτακόσιες είκοσι εννέα φορές ευχαριστότερα, ενώ ο τύραννος ζη δυστυχέστερα άλλες τόσες. Τι καταπληκτικό αριθμό, εφώναξε, μας έρριξες κατακέφαλα, για να μας δείξης τη διαφορά των δύο ανθρωπίνων τύπων, του δικαίου και του αδίκου, ως προς την ηδονή και τη λύπη». Αναφορικώς με τον αριθμό 79, τον οποίον επέλεξε και αναφέρει ο Πλάτων. Αυτός ο αριθμός από τη σκοπιά της μουσικής ως προς ένα μοναδιαίο μήκος ταλαντουμένης χορδής αντιστοιχεί στο μουσικό διάστημα: το οποίο είναι ένα πυθαγόρειο τρίτονο συν εννέα διαπασών. Το πυθαγόρειο τρίτονο ήτο το πλέον διάφωνο μουσικό διάστημα του μουσικού συστήματος, το οποίο εγνώριζε ο Πλάτων. Εξακολουθεί και σήμερα να φέρει τον ίδιο οικτρώς διάφωνο χαρακτήρα (diabolo in musica) στο δυτικό τονικό σύστημα.500 χρόνια μετά απ αυτόν. Αυτό το οποίο ο Πλάτων εξετίμησε με τον αριθμό 79 ήτο η σχέση μεταξύ του βασιλέως και του τυράννου και τη σχέση αυτή τη θεωρεί ως τη μεγίστη δυνατή ένταση μέσα σε ένα πολιτισμένο σύστημα. Όπως έχω ήδη αναφέρει, μπορούμε να συμμερισθούμε την αμηχανία, την οποία αισθάνεται κάποιος μη μουσικός αντικρύζοντας τέτοιους αριθμούς. Για να αντιληφθεί κανείς το ενυπάρχον ανάλογο, πρέπει να καταλάβει (όπως ο Πλάτων το είχε ως δεδομένο) ότι στην αρχαιότητα ο μουσικός συμβολισμός εγίνετο άμεσα καταληπτός από όλους τους μεμυημένους και γι αυτό ο Πλάτων τον χρησιμοποιεί συχνά. Όταν κατά τον ρούν της Ιστορίας ο ρόλος της μουσικής από πνευματική ή ψυχική δύναμη εθυσιάσθη εις τον βωμό της ατομικής εκφράσεως και απολαύσεως, η ερμηνεία των άλλοτε ξεκάθαρων κειμένων κατέστη δύσκολη και ακατόρθωτη.

13 13 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) Σχήμα : Η Ψυχή του Κόσμου κατά την λαβδοειδή λύση της. Με τον εκθετικό χαρακτήρα των εννοιών σχετικό και απόλυτο είδωλο ηδονής εις τον αλγόριθμό του ο Πλάτων προσπαθεί να μας καθοδηγήσει να κατασκευάσουμε σωστά την Ψυχήν του Κόσμου κατά την λαβδοειδή λύση της. Το απόλυτο είδωλο ηδονής του Δημοκρατικού πολιτικού ανδρός είναι κατά Πλάτωνα ο αριθμός 36 ήτοι: Οι τιμές αυτές των απολύτων ειδώλων ηδονής, αντιμετωπιζόμενες ως μήκη ταλαντουμένων τμημάτων χορδής σε σχέση με ένα μοναδιαίο μήκος αναφοράς δημιουργούν κατιόντα 3 μουσικά διαστήματα. Αναγόμενα τα εν λόγω διαστήματα εντός του ενός διαπασών 4, παρέχουν φθόγγους απέχοντες από τον φθόγγον αναφοράς, δηλαδή τον 1, 3 Μεγάλο μήκος ταλαντουμένου τμήματος χορδής συνεπάγεται μικρή ακουομένη συχνότητα. Το μουσικό διάστημα 3 ισούται με 1 διαπασών, 0 επογδόους τόνους και 1 διαπέντε. Αρα, αναγόμενο εντός του ενός διαπασών, ισούται με 1 διαπέντε 3. 4

14 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) κατά τα εξής μουσικά διαστήματα 1,,, (επόγδοος τόνος, πυθαγόρειον τρί τονον, δια πέντε). Τα μεταξύ των φθόγγων αυτών σχηματιζόμενα διαδοχικά μουσικά (επόγδοος τόνος, πυθαγόρειον δίτονον, λείμμα) και διαστήματα είναι,, δομούν ένα πεντάχορδο. Τα ανωτέρω σημαίνουν ότι το εν λόγω κατιόν πεντάχορδο δομείται από έναν επόγδοο τόνο συν ένα τετράχορδο, Το τετράχορδο αυτό δομείται από ένα ασύνθετο δίτονο και από πυκνόν μεγέθους λείμματος. Άρα πρόκειται για την δομή ενός εναρμονίου τετραχόρδου, για το οποίον ήθελε, κατά τη γνώμη μου, να ομιλήσει αλληγορικώς ο Πλάτων (Σχήμα 3). Σχήμα 3: Οι τιμές των απολύτων ειδώλων ηδονής, αναγόμενες εντός του ενός διαπασών με αρχήν τον φθόγγον αναφοράς, δηλαδή τον 1, σχηματίζουν μουσικά διαστήματα, τα οποία δομούν ένα εναρμόνιον πεντάχορδον. Το δίτονον 5 είναι το χαρακτηριστικό μουσικό διάστημα ενός τετραχόρδου με δομή εναρμονίου γένους. Το υπόλοιπο διάστημα του εναρμονίου τετραχόρδου, το ονοματο μουσικό διάστημα 36 ισούται με 5 διαπασών και 1 επόγδοον τόνο. Αρα, αναγόμενο εντός του ενός διαπασών, ισούται με 1 επόγδοον τόνο 9. 8 Το μουσικό διάστημα 79 ισούται με 9 διαπασών και 3 επογδόους τόνους. Αρα, αναγόμενο εντός του ενός 3 διαπασών, ισούται με 3 επογδόους τόνους ή με 1 πυθαγόρειον τρίτονο 9. 8 Το δίτονον είναι το χαρακτηριστικό διάστημα ενός τετραχόρδου με δομή εναρμονίου γένους. Το δίτονο εμφανίζεται μεταξύ του λιχανού και του φθόγγου κορυφής του τετραχόρδου π.χ. μεταξύ λιχανού μέσων και της μέσης. Βλέπε και 7 Αριστοξ. Στοιχ. Αρμον..7-3., Στον Αρχύτα 1.1 και Πτολ. Αρμον. 30.9ff αναφέρεται αντί διτόνου (9:8)Χ(9:8)=81:64, το διάστημα 80:64=5:4, το οποίο είναι κατά (81:64):(80:64)=(81:80) ένα κόμμα- μικρότερο του διτόνου. 5

15 15 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) ζόμενον πυκνόν, ήτοι το διάστημα λιχανός-υπάτη, έχει μέγεθος ενός λείμματος (56:43). Για την διαίρεση αυτού του διαστήματος, του πυκνού, δεν μας αναφέρει τίποτα ο Πλάτων, αλλά, ως Πυθαγόρειος, θα ασπάζεται, εικάζω, τα όσα αναφέρονται εις την ιη Πρόταση της μουσικής πραγματείας Κατατομή Κανόνος του Ευκλείδου, δηλαδή «Αἱ παρυπάται καὶ αἱ τρίται οὐ διαιροῦσι τὸ πυκνὸν εἰς ἴσα». Με άλλα λόγια το πυκνόν διαιρείται από τις παρυπάτες στα τετράχορδα υπατών και μέσων και από τις τρίτες στα τετράχορδα συνημμένων, διεζευγμένων και υπερβολαίων σε δύο διαστήματα. Στην Πυθαγόρειον θεωρία τα δύο αυτά διαστήματα είναι άνισα, αλλ εις την Αριστοξένειον θεωρία τα δύο αυτά διαστήματα είναι ίσα μεταξύ τους. Ίσως λόγω αυτού του συγκερασμού ο Αριστόξενος (Αρμονικά 1.-6) ασχολείται διεξοδικώς με τις θέσεις των λιχανών και των παρανητών σε σχέση με αυτό που κάνει για τις θέσεις των παρυπατών και των τριτών (Αρμονικά ). Θα καταλήξω την εισήγησή μου σχολιάζων τα λεγόμενα του κοσμήτορος κ. Εμμανουήλ Μικρογιαννάκη, ο οποίος λέγει: Η εκτροπή των πολιτευμάτων προχωρεί ολοένα προς κατώτερα διαζώματα. Συγκεκριμένα από την τιμοκρατία προχωρεί σε νοσηρότερες μορφές και φθάνει με κατακόρυφη καθοδική πορεία στην τυραννίδα. Οι μεταβάσεις είναι μονοσήμαντες. Κάθε μεταβολή γίνεται προς συγκεκριμένο πολιτειακό τύπο, που είναι υποδεέστερος, και η κατάληξη είναι η τυραννίς. Η τυραννίς προέρχεται μόνον από τη δημοκρατία. Το χειρότερο με την τυραννίδα είναι ότι περιερχόμεθα σε αδιέξοδο, σε απορία. Κατά τον Πλάτωνα ο τύραννος είναι όχι απλώς δούλος, αλλά ο δουλικώτερος πάντων. Το μουσικολογικό περιεχόμενο των λεγομένων τουκαθηγητού κ. Εμμανουήλ Μικρογιαννάκη, είναι το εξής. Η δυσαρμονία προχωρεί από το σύμφωνο διάστημα της ταυτοφωνίας και του διαπασών προς όλο και περισσότερο διάφωνα μουσικά διαστήματα και φθάνει με κατακόρυφη καθοδική πορεία στην αυξημένη τετάρτη, το πυθαγόρειο τρίτονο Η αυξημένη τετάρτη, το πυθαγόρειο τρίτονο, προέρχεται μόνον από τον επόγδοο τόνο αφού δομείται αποκλειστικώς από τρεις επογδόους τόνους. Το χειρότερο με την αυξημένη τετάρτη, το πυθαγόρειο τρίτονο, είναι ότι αισθανόμεθα στ αυτιά μας τον οικτρώς διάφωνο χαρακτήρα του (diabolo in musica). Κατά τον Πλάτωνα η αυξημένη τετάρτη, το πυθαγόρειο τρίτονο, δεν είναι απλώς διάφωνο διάστημα, αλλά το διαφωνέστερο πάντων των διαστημάτων.

16 Πλάτωνος Πολιτεία (ή περί δικαίου ή περί Πυθαγορείου Μουσικής) 16 Η μουσικολογική αλληγορία της Πλατωνικής Πολιτειολογίας κρίνεται ως εξαιρετικώς ενδιαφέρουσα και αποκαλυπτική για τις γνώσεις του Πλάτωνος και των μουσικών της εποχής του- όσον αφορά εις το αρμονικόν περιεχόμενον των μουσικών διαστημάτων. Πράγματι, αξιολογεί και κατατάσσει τα μουσικά διαστήματα της ταυτοφωνίας, του διαπασών, του διαπέντε, του επογδόου και του τριτόνου με βάση τη δυσαρμονία (παραφωνία), την οποία προκαλούν κατά την ακρόασή τους. Πρέπει να σημειωθεί, επίσης, ότι μέχρι στιγμής μόνον οι Προτάσεις ιζ και ιη της Ευκλειδείου πραγματείας Κατατομή κανόνος εγνωρίζαμε ότι αναφέρονται εις το εναρμόνιον γένος των αρχαίων Ελλήνων. Το αποκαλυφθέν πλέον εναρμόνιον πεντάχορδον εκ της μουσικολογικής αλληγορίας της Πλατωνικής Πολιτειολογίας αποτελεί σχετικήν αναφοράν αρχαιοτέρα των δύο προμνημονευθεισών Ευκλειδείων προτάσεων κατά δύο περίπου αιώνες και αυτό είναι εξαιρετικώς σπουδαία και πρωτότυπη μουσικολογική πληροφορία. Η δομή του εν λόγω εναρμονίου τετραχόρδου κατά την κατιούσα διαδοχή πρέπει να έχει πυκνόν εντός ενός λείμματος 56/43. Κατά την ιη Πρόταση της μουσικής πραγματείας Κατατομή Κανόνος του Ευκλείδου θα πρέπει το λείμμα να συντίθεται εκ δύο ανίσων μουσικών διαστημάτων. Ανθυφαιρετικώς προκύπτει ότι πράγματι το λείμμα χωρίζεται εις ένα μικρόν μουσικόν διάστημα, το Πυθαγόρειον κόμμα /5488 και σε ένα μεγαλύτερο κατά,845 φορές, το όνομα του οποίου δεν μας κατέστη ουδεπώποτε γνωστόν και αυτό δίδεται υπό της αριθμητικής σχέσεως / Τούτο αποτελεί εξαιρετικώς σπουδαία και πρωτότυπη μουσικολογική πληροφορία, την οποίαν για πρώτη φορά αποκαλύπτω, όσον αφορά εις την Μουσικήν παρά Πλάτωνι.

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος 1 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. 2 Η ΚΟΙΝΩΝΙΑ, Η ΠΟΛΙΤΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Κεφάλαιο 1 ο 1.1 ΆΝΘΡΩΠΟΣ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΟΝ 1/6 Ο άνθρωπος είναι από τη φύση του πολιτικό,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών

Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Η ΟΜΗΡΙΚΗ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΙΑ & ΣΤΙΧΟΓΡΑΦΙΑ από τον πυλώνα των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών Επιμέλεια εκδόσεως: Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Πάρου 33, 153 43 Αγία Παρασκευή, Τηλέφωνο και Τηλεομοιότυπο 210-6003066 e-mail

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας

5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Η έννοια της ακολουθίας 5 ΠΡΟΟΔΟΙ 5.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Η έννοια της ακολουθίας Ας υποθέσουμε ότι καταθέτουμε στην τράπεζα ένα κεφάλαιο 10000 ευρώ με ανατοκισμό ανά έτος και με επιτόκιο 2%. Αυτό σημαίνει ότι σε ένα χρόνο οι τόκοι που

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Κλεονίδης, Εισαγωγή Αρμονική. Αρμονική εστίν επιστήμη θεωρητική και πρακτική. μέρη δε αυτής επτά. Περί φθόγγων Περί διαστημάτων Περί γενών Περί συστήματος Περί τόνου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων

Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Η μουσική των σφαιρών των Πυθαγορείων Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης, Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Διευθυντής Τομέως Τεχνολογίας Ήχου, Μουσικοπαιδαγωγικής & Βυζαντινής Μουσικολογίας, Διευθυντής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΚΛΙΜΑΚΑ ΜΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΑΣ Νίκος Α. Φωτιάδης ρ. Μαθηµατικών Επιµορφωτής Β επιπέδου κλάδου ΠΕ 0 Η αίσθηση της ακοής δηµιουργείται στον άνθρωπο όταν διακυµάνσεις του αέρα διεγείρουν

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» «Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικολογική αλληγορία της Πλατωνικής Πολιτειολογίας

Μουσικολογική αλληγορία της Πλατωνικής Πολιτειολογίας Μουσικολογική αλληγορία της Πλατωνικής Πολιτειολογίας Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Τμήματος Μουσικών Σπουδών Πανεπιστημίου Αθηνών Προλεγόμενα Θα ήθελα να εκκινήσω

Διαβάστε περισσότερα

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΪΚΗ ΕΠΟΧΗ (σελ.84-97) Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί

ΑΡΧΑΪΚΗ ΕΠΟΧΗ (σελ.84-97) Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί 1. Να αντιστοιχήσετε τις λέξεις της στήλης Α με αυτές της στήλης Β. Α Β Α. Βασιλεία α. Δικαίωμα να ψηφίζουν για ζητήματα της πόλης είχαν όλοι οι πολίτες, ακόμα και οι πιο φτωχοί Β. Αριστοκρατία β. Κριτήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Επειδή παρατηρούμε ότι κάθε κράτος είναι ένα είδος συνύπαρξης και ότι κάθε κοινότητα έχει συγκροτηθεί για κάποιο καλό σκοπό διότι για χάρη αυτού που θεωρούν

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Κυρίες και κύριοι Σύνεδροι, στην Τετράβιβλο του Γεωργίου Παχυμέρη και συγκεκριμένα στο κεφάλαιο Ε μπορεί να διαβάσει κανείς για τα γένη των τετραχόρδων και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Α Β ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΟΡΟΝΤΖΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΕ03 ΟΜΑΔΑ : ΑΝΔΡΩΝΑ ΕΙΡΗΝΗ ΚΕΦΑΛΑ ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΜΙΛΙΔΑΚΗ ΜΕΛΙΝΑ ΖΕΡΒΑΣ ΧΡΗΣΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Μαθητικό Συνέδριο Ιστορίας "Το Βυζάντιο ανάμεσα στην αρχαιότητα και τη σύγχρονη Ελλάδα" ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Η επίδραση της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στο Βυζαντινό Πολιτισμό Μαθητική Κοινότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης. Αριστοτέλης

Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης. Αριστοτέλης 1 ηµ. Τζωρτζόπουλος ρ. Φιλοσοφίας Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ02 Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης Αριστοτέλης Ενότητα 15η 1. Μετάφραση Γι αυτόν που ασχολείται µε το σύστηµα διακυβέρνησης, πιο ειδικά µε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΤΡΙΑΔΩΝ 1. Η πλέον γνωστή σχέση παραγωγής Πυθαγορείων τριάδων είναι η: m -n, mn, m +n, όπου m, n, φυσικοί αριθμοί με m>n, Ισχύει πάντα (m -n ) +(mn) =m -m n +n +4m n =m +m n +n 4 =(

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 28 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 28 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 28 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Διδαγμένο κείμενο Α1. Εναντίον βέβαια, των δημοκρατικών πόλεων (πολεμάτε) ή για ιδιωτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

2 (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ

2 (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ «Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὴν συμμετρίαν καὶ συμμετρία ἦν ὁ λόγος» Πυθαγόρειοι Ο Θέων ο Σμυρναίος στο έργο του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΑΙΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΑΡΧΑΙΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 9 Ιουνίου 2016 ΑΡΧΑΙΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων (Νέο & Παλιό Σύστημα) Α.1 Για όποιον εξετάζει

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12)

Διδαγμένο κείμενο. Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Διδαγμένο κείμενο Ἀριστοτέλους Πολιτικά (Α1,1/Γ1,2/Γ1,3-4/6/12) Ἐπειδὴ πᾶσαν πόλιν ὁρῶμεν κοινωνίαν τινὰ οὖσαν καὶ πᾶσαν κοινωνίαν ἀγαθοῦ τινος ἕνεκεν συνεστηκυῖαν (τοῦ γὰρ εἶναι δοκοῦντος ἀγαθοῦ χάριν

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 3: Η ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 3: Η ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 3: Η ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

συμφέρον του συνόλου των πολιτών. Αντίθετα, οι άλλες μορφές κοινωνίας επιδιώκουν ένα επιμέρους αγαθό για το συμφέρον των μελών τους.

συμφέρον του συνόλου των πολιτών. Αντίθετα, οι άλλες μορφές κοινωνίας επιδιώκουν ένα επιμέρους αγαθό για το συμφέρον των μελών τους. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλη "Ηθικά Νικομάχεια" μετάφραση ενοτήτων 1-10 Κυριακή, 09 Δεκέμβριος :23 - Τελευταία Ενημέρωση Δευτέρα, 16 Σεπτέμβριος :21

Αριστοτέλη Ηθικά Νικομάχεια μετάφραση ενοτήτων 1-10 Κυριακή, 09 Δεκέμβριος :23 - Τελευταία Ενημέρωση Δευτέρα, 16 Σεπτέμβριος :21 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ «ΗΘΙΚΑ ΝΙΚΟΜΑΧΕΙΑ» ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1-10 Μετάφραση ΕΝΟΤΗΤΑ 1η Αφού λοιπόν η αρετή είναι δύο ειδών, απ τη μια διανοητική και απ την άλλη ηθική, η διανοητική στηρίζει και την προέλευση και την αύξησή

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης

Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Θεόδωρος Μαριόλης Τ.Δ.Δ., Πάντειο Πανεπιστήμιο Ι.Κ.Ε. Δημήτρης Μπάτσης Ηθικά Νικομάχεια, Βιβλίο Ε Δύο Προτάσεις του Αριστοτέλη Δύο Προβλήματα Πρόταση 1 «Αμοιβαιότητα/Ανταπόδοση θα υπάρξει [η ανταλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: α. την έννοια του μιγαδικού αριθμού και β. πότε δύο μιγαδικοί αριθμοί είναι ίσοι. Να μπορεί να βρίσκει: α. το άθροισμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1. 1 Τα κείμενα που ακολουθούν συνοδεύουν και υποβοηθούν τη μελέτη των αντίστοιχων

ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1. 1 Τα κείμενα που ακολουθούν συνοδεύουν και υποβοηθούν τη μελέτη των αντίστοιχων ΚΕΙΜΕΝΑ Ι 1 J. Locke, Δοκίμιο για την ανθρώπινη νόηση, [An Essay Concerning Human Understanding], μτφρ. Γρ. Λιονή, επιμ. Κ. Μετρινού, Αθήνα: Αναγνωστίδης, χ.χ. 2 1. [Η εμπειρική καταγωγή της γνώσης.] «Ας

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb.

Μονάδα μέτρησης του ηλεκτρικού φορτίου στο Διεθνές Σύστημα (S.I.) είναι το προς τιμήν του Γάλλου φυσικού Charles Augustin de Coulomb. Βασικές έννοιες Τα σώματα μπορούν να αλληλεπιδράσουν ηλεκτρικά. Ο Θαλής ο Μιλήσιος παρατήρησε πρώτος την έλξη μικρών αντικειμένων από ήλεκτρο, αφού πρώτα τριφτεί σε ξηρό ύφασμα. Το φαινόμενο αυτό ονομάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804)

ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ - ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΙΟΘΕΩΡΙΑΣ ΤΟΥ 1 ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΚΑΝΤ (1724-1804) (Η σύντομη περίληψη που ακολουθεί και η επιλογή των αποσπασμάτων από την πραγματεία του Καντ για την ανθρώπινη γνώση,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα»

1. Εισαγωγή. 2. Τεχνικές και «κρατούμενα» 1. Εισαγωγή Η προσέγγιση των Μαθηματικών της Β Δημοτικού από το παιδί προϋποθέτει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών που παρουσιάστηκαν στην Α Δημοτικού και την εξοικείωση του παιδιού με τις πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1ος Πανελλαδικός Μαθητικός Διαγωνισμός Φιλοσοφικού Δοκιμίου. Η φιλοσοφία ως τρόπος ζωής Αρχαία ελληνική φιλοσοφία

1ος Πανελλαδικός Μαθητικός Διαγωνισμός Φιλοσοφικού Δοκιμίου. Η φιλοσοφία ως τρόπος ζωής Αρχαία ελληνική φιλοσοφία 1ος Πανελλαδικός Μαθητικός Διαγωνισμός Φιλοσοφικού Δοκιμίου Η φιλοσοφία ως τρόπος ζωής Αρχαία ελληνική φιλοσοφία προκριματική φάση 18 Φεβρουαρίου 2012 υπό την Αιγίδα του ΥΠΔΒΜΘ Διοργάνωση Τμήμα Φιλοσοφίας

Διαβάστε περισσότερα