Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SketchPad"

Transcript

1 Универзитет у Београду Математички факултет Семинарски рад из методике наставе математике и рачунарства Тема: Основне геометријске конструкције помоћу програма The Geometer's SkethPd Студент: Марија Миленковић 51/03 Професор: др. Александар Липковски Београд 010 1

2 Садржај УВОД ОСНОВНИ ПОЈМОВИ ОСНОВНЕ ГЕОМЕТРИЈСКЕ КОНСТРУКЦИЈЕ... 6 Преношење дужи... 7 Преношење угла... 8 Конструкција симетрале дужи и средишта дужи... 8 Конструкција симетрале угла Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку... 1 Конструкција нормале из дате тачке на дату праву... 1 Дељење дужи на једнаке делове Дељење дужи у датој размери Конструкције углова од o 60, 30, Конструкције троуглова Конструкција троугла ССС Конструкција троугла СУС Конструкција троугла УСУ... 0 Конструкција ССУ АЛГЕБАРСКА МЕТОДА МЕТОДА ГЕОМЕТРИЈСКИХ МЕСТА (МЕТОДА ПРЕСЕКА) КОНСТРУКТИВНИ ЗАДАЦИ... 7 ЗАКЉУЧАК ЛИТЕРАТУРА... 34

3 УВОД Идејно учење математике у школи усмерено је на решавање проблема уз што веће активно суделовање самих ученика у њиховом решавању. Ту се пре свега мисли на проблеме отвореног типа, проблеме чијем решавању може водити више путева и чији је крај неизвестан. Такви проблеми захтевају активан и истраживачки приступ и често сарадњу ученика. Савремена настава је динамична, богата је разноврсним методама и облицима рада. У данашње време настава математике мења свој лик због захтева што их пред школу, а тиме и пред учење математике, поставља савремено друштво. Она се прилагођава и новим технолошким и техничким могућностима које су данас ученицима а и уопштено доступне, па се модерна школа и не може замислити без савремених дидактичких помагала као што је, пре свега, рачунар. Данас су доступни многи компјутерски програми који могу користити наставници, ученици и студенти како би истражили и визуелизирали математичке концепте те конструисали математичке и научне моделе. Од многобројних апликација, овде ће бити речи о програму The Geometer's SkethPd. The Geometer's SkethPd је отворени математички алат доступан ученицима и студентима од осме године живота па све до факултета. Учитељи, писци наставног плана и студенти могу користити The Geometer's SkethPd како би истражили теме елементарне геометрије и нумеричкох концепата који су укључени у наставни план основне и средње школе кроз геометрију, тригонометрију и алгебру, па до тема као што је рачун или нееуклидска геометрија с којима се студенти упознају на факултету. The Geometer's SkethPd -ов отворени приступ омогућује ученику идеалне услове за развијање његове математичке креативности, изражавања и достигнућа. Наставници могу користити The Geometer's SkethPd као динамичку плочу да би илустровали моћ визуелизације математике. Пошто ћемо се овде бавити конструктивном геометријом, у даљем текту усмерићемо пажњу на неке битне елементе везане за ову област. Геометријске конструкције су један веома значајан део геометрије равни. Та материја заокупљала је многе познате математичаре античке Грчке, о чему сведоче многи решени и нерешени проблеми који су већ тада били постављени. Сетимо се Еуклида и његова прва три постулата који говоре баш о геометријцким конструкцијама, Аполонијевог проблема, трисекција угла, удвајања коцке, квадратуре круга и многих других проблема који су заокупљали пажњу врсних математичара све до данашњег доба. Тако и данас у настави математике кроз основну и средњу школу изучавају се основне и елементарне конструкције у равни и представљају веома важан део математике. Да би се ученицима олакшало схватање тих проблема, погодно је у настави искористити бас неки од многобројних програмских пакета за динамичку геометрију (овде је изабран, као сто смо већ поменули The Geometer's SkethPd ), који су врло погодни у ту сврху јер природни мотивишу учење, развијају интерес за математику и рад поступно прераста у истраживачки рад. Уз овај рад, приложене су и све конструкције урађене у програму The Geometer's SkethPd. 3

4 1. Основни појмови Најпре ћемо увести неке основне појмове који су нам потребни пре него што почнемо да се бавимо геометријским конструкцијама. Конструктивна геометрија је део геометрије у коме се проучавају методе и теорија геометријских конструкција. Конструктивни геометријски лик је основни појам конструктивне геометрије и он се узима без дефиниције. Лењир и шестар су основни инструменти геометријских конструкција. Аксиоми констриктивне геометрије су: А1 Свака задата фигура је конструисана А Ако su конструисанe две или више фигура онда је конструисана и њихова унија А3 Ако су конструисане две фигуре, онда се може установити да ли је њихова разлика празан скуп или није. Уколико та разлика није празан скуп, та је разлика конструисана. А4 Ако су конструисане две или више фигура, онда се може установити да ли је њихов пресек празан скуп или није. У случају да тај пресек није празан скуп, онда је тај пресек конструисан А5 Ако је дата непразна фигура, онда је могуће конструисати тачку која припада тој фигури Аксиоми инструмената обихватају следеће аксиоме: Аксиоми лењира Лењиром се могу извести следеће конструкције: Аксиоми шестара: 1. конструкција дужи ако су дати крајеви те дужи. конструкција полуправе са датом почетном тачком који пролази кроз другу дату тачку 3. конструкција праве кроз две дате тачке Шестаром се могу извести следеће конструкције: 1. конструкција кружнице ако је дат њен центар и њен полупречник 4

5 . конструкција било којег од два лука кружнице одређених са две тачке кружнице ако је дат центар кружнице и крајње тачке тог лука У конструктивној геометрији разликујемо две врсте конструкција: основне конструкције и сложене конструкције. Конструктивни задаци по правилу су сложене конструкције за које је потребно више геометријских чињеница и који се у процесу анализе разлажу на низ једноставних конструкција које се лако изводе. Скуп једноставних конструкција на које се своде сложеније конструкције назива се основне конструкције. Оне се у настави геометрије у основној школи уводе поступно. Сада је јасно шта значи решити конструктивни задатак: то значи свести тај задатак на коначан број основних конструкција или већ решених задатака. Да би обрада основних конструкција била методички примерена, потребно је да се при опису сваке од њих наведе и неки основни математички садржај где се оне примењују. На тај начин се геометријско градиво чвршће повезује, а ученици непосредно увиђају потребу тих конструкција. Скуп основних конструкција није унапред строго одређен, већ се може по потреби допуњавати. Код конструктивног задатка треба конструисати неку фигуру са датим инструментима, тј лењиром и шестаром, ако је дата друга фигура и описани односи између елемената дате и тражене фигуре. Решење конструктивног задатка је свака фигура која задовољава тражене услове, а описује се низом основних конструкција. Конструктивни задатак може бити: одређен коначно много решења неодређен бесконачно много решења немогућ нема решења преодређен има решења, али при конструкцији није коришћен неки од датих услова Конструктивни задатак је елементарно решив ако је решив основним конструкцијама, тј. лењиром и шестаром. Решење конструктивног задатка треба да садржи следеће: Анализа задатка тражење начина за решавање задатка, испитују се везе измешу тражене и дате фигуре Конструкција на темељу анализе конструише се решење Доказ показује се да је добијена фигура задовољава све услове задатка и да је сваки корак у конструкцији могућ 5

6 Дискусија испистују се сви међусобни положаји датих елемената који могу доћи у озир Постоје три методе за решавање конструктивних задатака: 1. алгебарска метода. метода пресека (метода геометријских места) 3. метода трансформације. Основне геометријске конструкције У основне геометријске конструкције спадају: 1. Преношење дужи. Преношење угла 3. Конструкција симетрале и средишта дужи 4. Конструкција симетрале угла 5. Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку 6. Конструкција нормале из дате тачке на дату праву 7. Дељење дужи у датој размери 8. Дељење дужи на једнаке делове 9. Конструкције углова од 60, 30 и Конструкције троуглова: ССС - ако су дате све три странице СУС ако су дате две странице и угао између њих СУУ ако су дати страница и два налегла угла СС>У> - две странице и угао наспрам веће од њих Овде ће бити дат кратак приказ основних геометријских конструкција и неких њихових основних примена. Изложићемо нека тврђења која су битна за ове конструкције али њихове прецизне доказе ћемо овде заобићи. Разлог је што су ове конструкције углавном предмет изучавања у основној школи где се по плану и програму не спроводе сви докази. Уместо тога, препоручљива је провера ваљаности конструкција у неком од програма за динамичку геометрију (овде је то урађено у програму The Geometer's SkethPd ). 6

7 Преношење дужи Ако на полуправој одабраног смера с почетном тачком треба конструисати дуж задате дужине d, онда је за то довољно описати кружницу k(, d ). Пресек D те кружнице и полуправе је друга крајња тачка дужи D која има дужину d. Конструкција је приказана на слици: d D Ово је најчешћа основна конструкција. Примењује се већ готово у свим следећим основним конструкцијама. Пример 1: Задат је квадрат D. Продужити његове странице за дужину страница D,,, D до тачака ', ', ', D '. ' D' D ' ' 7

8 Преношење угла углу Задат је угао O, i poluprv ' са теменом O'. Конструисати угао подударан O чији је један крак дата полуправа '. Задати угао Oпреносимо тако да тетиву коју одсецају кракови и угла на некој кружници око темена О пренесемо на идентичну кружницу око почетне тачке О' одабраног првог крака ' траженог угла ' O ' '. ' O ' O' ' ' Ова се конструкција најчешће примењује у три од четири основних конструкција троугла. Конструкција симетрале дужи и средишта дужи Симетрала s задате дужи је права која пролази кроз пресеке двеју кружница једнаких полупречника око крајева дужи и, у нашем случају кружница, k,. Средиште Р дужи је пресек те дужи и њене симетрале ѕ. k ( ) и ( ) 8

9 s P Важну примену конструкције симетрала дужи описује следећи пример. Пример : Симетрале страница троугла и кружница описана око троугла Тврђење: Симетрале страница троугла секу се у једној тачки S. Та тачка је центар круга описаног око троугла. Ако у троуглу повучемо симетрале s 1 и s његових страна и оне ће се пресећи у некој тачки S. Како та тачка лежи на симетрали s 1, она је подједнако удаљена од крајева и стране. Међутим, она лежи и на симетрали s, па је подједнако удаљена од крајева и стране. Дакле, тачка S је подједнако удаљена од сва три темена троугла. Ако растојање S = S = S узмемо за полупречник круга из тачке S као центра, можемо тим полупречником описати круг који ће проћи кроз сва три темена троугла. То је круг описан око троугла. Кроз пресек S симетрала s 1 и s пролази и симетрала s 3 стране. Наиме, свака тачка симетрале 3 s подједнако је удаљена од тачака и, а тачка S, као што смо видели, има ту особину, па је и она на тој симетрали. 9

10 s P P1 s1 S P3 s3 Важну примену конструкције средишта дужи налазимо у следећем примеру. Пример 3: Тежишне дужи и тежиште троугла. Дуж којој су крајеви теме троугла и средиште наспрамне странице назива се тежишна дуж троугла. На цртежу су сва три средишта P 1, P, P 3 страница троугла и све три тежишне дужи P 1, P, P 3. Тврђење: Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки T. Та тачка се назива тежиште троугла. Тежиште троугла дели сваку тежишну дуж у односу :1. P T P1 P3 Нека је задат угао Конструкција симетрале угла O. Задатак је конструисати његову симетралу. 10

11 Најпре око темена О задатог угла O произвољно опишемо неку кружницу. Затим око пресека те кружнице и кракова угла и опишемо кружнице једнаких произвољних полупречника (водећи рачуна о томе да те кружнице морају имати бар једну пресечну тачку). Пресек тих кружница и теме О припадају симетрали ѕ угла O. S s O Важну примену конструкције симетрале угла показује следећи пример. Пример 4: Симетрале углова троугла и центар круга уписаног у троугао Тврђење: Симетрале углова троугла секу се у једној тачки O. Та тачка је центар круга уписаног у тај троугао. У троуглу повучена је симетрала D унутрашњег угла. Како троугао има три угла, он има и три такве симетрале D, E, F. Оне се све секу у једној тачки. Та тачка је подједнако удаљена од све три стране троугла. Заиста, она је подједнако удаљена од кракова и угла јер је на симетрали D. Затим, она је подједнако удаљена од кракова и угла, јер је на симетрали E. Како, међутим, стране троугла леже на тим крацима, јасно је да је подједнако удаљена и од самих страна троугла, тј. OP = OQ = OR. Ако растојање OP узмемо за полупречник круга са центром у О и нацртамо круг, он ће додиривати стране троугла у тачкама P, Q и R. Да бисмо одредили тачку О, довољно је да повучемо само симетрале два угла троугла, јер и трећа пролази кроз ту тачку. Заиста, свака тачка симетрале F угла подједнако је удаљена од кракова и тог угла, и баш ту особину има тачка О. Стога је и она на симетрали. 11

12 OP = 1.88 m OQ = 1.88 m OR = 1.88 m E R Q D O F P Конструкција паралеле са датим правцем кроз задату тачку Ова конструкција се заснива на својству паралелограма. Ако је задат правац p и тачка T, треба конструисати праву q која садржи тачку T и паралелна је са правом p. На правој p одаберу се било које две тачке P и Q. Четврти врх паралелограма коме су те две тачке и тачка Т три врха, друга је тачка тражене паралеле. Дакле, конструишемо кружнице k( Q, TP ) и k( T, PQ ) и одредимо њихов пресек. Тражена права је права q која садржи тачку T и ону тачку пресека која са P, Q и T гради паралелограм. T q P Q p Конструкција нормале из дате тачке на дату праву Нека је дата тачка P и права p. Треба конструисати праву n која пролази кроз тачку P и нормална је на праву p ако: 1

13 а) Дата тачка P лежи на датој правој p б) Дата тачка P не припада правој p а) Конструкција изгледа овако: око задате тачке P опишемо кружницу произвољног полупречника, k( P, r ). Означимо пресеке те кружнице и дате праве p са и. Затим конструишемо две произвољне кружнице које се секу и имају једнаке полупречнике, k(, r 1) и k(, r 1). Њихов пресек означимо са N. Тражена нормала n је права која садржи тачке P и N. N P p n б) Конструкција изгледа овако: конструишемо произвољну кружницу k( P, r 1) која сече праву p. Њихове пресеке означимо са и. Затим конструишемо кружнице k(, r ) и k(, r ) једнаких полупречника које се секу, и један њихов пресек означимо са N. Тражена нормала n је права кроз тачке P и N. P N p n 13

14 Ову конструкцију можемо искористити за увођење још једне значајне тачке троугла ортоцентра троугла. Пример 5: Висине троугла и ортоцента Једну од страна троугла зовемо према потреби основица троугла, а друге две краци троугла. Теме наспрам основице зове се врх троугла. Дужина нормале спуштене из врха на основице троугла зове се висина троугла. Посматрамо троугао. Сваку од његових страна можемо изабрати за основицу, а преостале две стране за краке. Према томе, у сваком троуглу имамо три висине које ћемо означити са E, F и D. Тврђење: Праве на којима леже висине троугла секу се у једној тачки Hкоја се зове ортоцентар троугла. F H E D Дељење дужи на једнаке делове Нека је задата дуж и природан број n. Задатак је поделити дату дуж на n једнаких делова. За ову конструкцију примењује се n пута конструкција преношења дужи и n пута конструкција повлачења паралеле са датим правцем. Пре него што пређемо на конструкцију формулисаћемо једну теорему. Талесова теорема Ако паралелне праве и пресецају праву pу тачкама и, а праву q у тачкама 1и 1, и ако је S заједничка тачка правих pи q тада важи 1 S S1 = = S S

15 На слици би то изгледало овако: p S 1 1 q Доказ Талесове теореме се заснива на сличности троуглова. Наиме, S1 S1 јер S1 = S1 S 1 = S1 (углови са паралелним крацима), S = S (углови са паралелним крацима) па су им одговарајуће странице S S1 пропорционалне, тј. = =. S S 1 1 Последица ове теореме је да ако две произвољне праве pи qпресеца низ од n паралелних правих, тако да су одсечци на једној правој једнаки међу собом, онда су одсечци и на другој правој међусобно једнаки. Конструкција би изгледала овако: 1. Конструишемо произвољну полуправу p са теменом која се не поклапа са дужи. Конструисемо на полуправој p тачке P 1, P, P 3,..., P n, тако да је где је d произвољна дужина, 3. Конструишемо праву Pn P1 = P = P3 =... = Pn = d 4. Конструишемо, затим, праве кроз тачке P 1, P, P 3,..., P 1паралелне са правом Pn које секу дуж редом у тачкама Q 1, Q, Q 3,..., Qn 1 (дакле, још n 1праву) На основу Талесове теореме тачке Q 1, Q, Q 3,..., Qn 1 деле дуж на n једнаких делова. n 15

16 Ради илустрације, на следећој слици је приказана подела дужи на 5 једнаких делова. d =.06 m P1 = P1P = PP3 = P4P5 =.06 m Q1 = 1.6 m Q1Q = 1.6 m QQ3 = 1.6 m Q3Q4 = 1.6 m Q4 = 1.6 m d P1 P P3 P4 P5 Q1 Q Q3 Q4 Дељење дужи у датој размери На основу претходно изложеног, коришћењем Талесове теореме и поделе дужи на n једнаких делова, можемо дату дуж поделити и у размери m : n. За конструкцију тачке која дуж дели у датој размери примењује се претходно описана конструкција. Заправо, најпре ћемо дуж поделити на m + n једнаких делова, и један од њих означимо са d. Затим једноставно пребројимо m делова и дату тачку означимо са. Тада је = md и = nd, па ће бити md m = + = md + nd = ( m + n) d, одакле је даље = =, односно nd n : = m : n, што значи да тачка дуж дели у размери m : n. Пример: Поделити дуж у размери 5:. Најпре поделимо дуж на 5 + = 7 једнакој делова тачкама Q 1, Q,..., Q 6 као што је раније описано, и један од њих означимо са d. Тачку Q 5 означимо са, и управо тачка ће дуж делити у размери 5:. Заиста, Q5 = 5d =, Q5 = = 7d 5d = d =, па следи да је на следећој слици. 5d 5 = =. То се може видети и d 16

17 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P d P 1 Q 1 Q Q 3 Q 4 Q 5 = Q 6 = 8.3 m = 3.33 m =.50 Констукција угла од Конструкције углова од o Конструишемо произвољну полуправу Op o 60, 30, 90. Конструишемо кружницу K( O, r ) произвољног полупречника r, и њен пресек са Op означимо са 3. Конструишемо кружницу K(, r ) 4. K( O, r) K(, r) = 5. Конструишемо полуправу Oq која садржи тачку Угао poq = p O 17

18 Конструкција угла од o Конструише се угао од o 60. Конструише се симетрала угла од Угао pos = 30. o 60 и означи се са s s O p Конструкција угла од Конструише се на произвољној правој p произвољна тачка O. Конструише се нормала n на p у тачки O Угао pon = 90. n 90 O p Конструкције троуглова Конструкција троугла ССС Дате су три дужи дужина, и. Треба конструисати троугао чије су дужине страница једнаке једнаке дужинама датих дужи. Оно о чему је овде битно водити рачуна је да странице троугла морају задовољавати следеће услове: < + < + < + Основа ове конструкције је преношење дужи, па уколико су дати услови испуњени можемо конструисати тражени троугао на следећи начин: 18

19 1. Конструишемо дуж подударну датој дужи, и означимо је са. Конструисемо кружнице k(, ) и k(, ) и њихов пресек означимо са 3. Добијени троугао је тражени троугао Заиста, како тачка припада кружници k(, ) она се налази на растојању од тачке, а како припада и кружници k(, ) налази се на растојању од тачке, тј = и =. Према конструкцији је =. ' Уколико су пресек двеју конструисаних кружница две узимамо једну од њих за решење, а уколико је пресек празан скуп, тада задате дужи не задовољавају услов троугла. Конструкцију можемо започети на произвољан начин, тј. можемо почети од било које задате дужи. Конструкцијом овог троугла у The Geometer's SkethPd -u и коришћењем његових могућности можемо видети који је значај услова који странице троугла морају да задовољају. Конструкција троугла СУС Потребно је конструисати троугао ако су дате две његове странице и угао који оне заклапају. Нека је, на пример, дат угао α и странице и. Конструкција се састоји од две конструције преношења дужи и једне конструкције преношења угла, и изгледа овако: 1. Конструише се дуж подударна дужи и означи са. Конструише се угао једнак датом углу α, са теменом и чији је један крак права одређена тачкама и 19

20 3. Конструише се дуж подударна са таква да припада дугом краку угла који смо конструисали у претходном кораку Конструисани троугао је тражени троугао. Заиста, = (према конструкцији), = (према конструкцији), тчка припада краку угла који са заклапа угао једнак α, тј. = α. α α ' Конструкција троугла УСУ Конструисати троугао ако је дата једна његова страница и два на њој налегла угла. Нека су, на пример, дати страница и на њој налегли углови α и β. Конструкција се састоји од једне конструкције преношења дужи и две конструкције преношења угла: 1. Конструишемо дуж подударну датој дужи. Конструишемо угао са теменом и краком који је подударан датом углу α и његов други крак означимо са p 3. Конструишемо угао са теменом и краком који је подударан датом углу β и његов други крак означимо са q 4. Пресечну тачку полуправих p и q означимо са Добијени троугао је тражени троугао. Заиста, = (према конструкцији), а тачка је таква да је = α и = β (према конструкцији). Оно што је битно код ове конструкције је да углови α и β морају да испуњавају услов да је α + β < 180 да би се полуправе p и q секле, односно, да би се могао конструисати троугао. Конструкција је дата на следећој слици: 0

21 q p α β α β Конструкција ССУ Потребно је конструисати троугао ако су дате две његове странице и угао наспрам веће од њих. Конструкција се састоји од две конструкције преношења угла и једне конструкције преношења дужи. Нека су, на пример, дате странице и и угао ϕ. Пре него што опишемо конструкцију, продискутоваћемо до којих ситуација можемо доћи: 1. >. > а) За ϕ < 90 решења б) За ϕ < 90 K и и > K, где је K подножје висине из, постоје два = K постоји само једно решење правоугли троугао в) За < K нема решења 3. =, ϕ < 90 троугао и > K постоји тачно једно решење једнакокраки У случајевима као што је овај, конструкција у The Geometer's SkethPd -у има велике предности јер се једноставним померањем одговарајућих тачака мишем види до којих се ситуација може доћи. Узмимо случај када је > и опишимо конструкцију: 1. Конструишемо дуж која је подударна са 1

22 . Конструишемо угао са теменом и краком који је подударан датом углу ϕ и његов други крак означимо са p 3. Конструишемо кружницу k(, ) и њен пресек са краком p означимо са Добијени троугао је тражени троугао. Заиста, = (према конструкцији), тачка је на краку угла једнаког углу ϕ, па је с тога = ϕ, је такође и на кружници k(, ), што значи да је на растојању од тачке ( = ). Ова конструкција је приказана на слици: K ϕ ϕ ' За решење узима се један од троуглова или Алгебарска метода Код ове методе тражена се величина прво израчуна а затим конструише. При конструкцији смемо користити следеће кострукције алгебарских израза, које се конструишу помоћу основних елементарних конструкција. x = + - За конструкцију дужи x користи се два пута конструкција преношења дужи на истој правој. x= x =, > - Такође се два пута користи конструкција преношења дужи

23 x= x = n, n N - користи се n пута конструкција преношења дужи x =, n N - користи се подела дужи на n једнаких делова n x = n, m, n N - дату дуж поделимо на m једнаких делова и то што m добијемо нанесемо n пута на дати правац x = (четврта пропорционала) - Конструкција се састоји у следећем: конструишемо дуж O = на правцу p ; конструишемо произвољну полуправу q са теменим О и на њој конструишемо дуж O =, а затим и = ; кнструишемо праву r која садржи паралелну са и њен пресек означимо са X ; добијена дуж X = x q O x X p x=x x = (геометријска средина) конструишемо дуж = + = + ; конструишемо средиште О дужи и опишемо кружницу k( O, O ) ; конструишемо нормалу n у тачки на дуж и њен пресек са кружницом k( O, O ) означимо са X. Тражена дуж је x = X 3

24 n x X O x = + - ова конструкција се заснива на коришћењу Питагорине теореме. Дужина хипотенузе x правоуглог троугла једнака је квадратном корену збира квадрата катета и. x x =, > - овде такође користимо Питагорину теорему. Очигледно је x катета правоуглог троугла чија је друга катета, а хипотенуза Сада када знамо конструисати неке јеноставније изразе, можемо конструисати и неке много сложеније тако што ћемо их расчланити на низ једноставних конструкција. 4. Метода геометријских места (метода пресека) Дефиниција: Геометријско место тачака је скуп свих тачака равни које задовољавају неки услов. 1. Геометријско место тачака једнако удаљених од две дате тачке и - ова конструкција своди се на конструкцију симетрале дужи. Геометријско место тачака удаљених за константну даљину d од дате тачке О ова конструкција своди се на конструкцију кружнице са центром у тачки О и полупречником d 4

25 3. Геометријско место тачака удљених за d од дате праве ово ГМТ су две праве паралелне датој правој које се налази на растојању d од дате праве. Конструкција се нормала n на дату праву у произвољној тачки O те праве. Затим се конструише кружница k( O, d ) и њени пресеци са n означе са P и Q. Конструишемо, затим праве p и q које садрже тачке P и Q, редом, и паралелне су са датом правом. Праве p и q су тражено ГМТ. d n P p d O q Q 4. Геометријско место тачака удаљених за d од дате кружнице k( O, r ) - ово ГМТ је кружница са центром O полупречника d + r 5. Геометријско место тачака подједнако удаљених од две дате праве Нека су дате праве pи q. Овде разликујемо више случајева pи q се секу у тачки O - конструкција се састоји у конструкцији симетрала углова са теменом које чине ове преве s1 p s O q p и q су паралелне ГМТ је права s паралелна са p и qкоја се налази између p и q 5

26 n P p S s Q PS = 0.75 m SQ = 0.75 m q 6. Геометријско место тачака под којим се дата дуж види под правим углом ово ГМТ је кружница чији је пречник дата дуж 7. Геометријско место тачака под којим се дата дуж види под углом α - ово ГМТ је кружница чија је тетива дата дуж а његов периферијски угао над том тетивом дати угао α. Конструкција се састоји у следећем: конструише се угао са теменом А који је једнак углу α и чији је један крак права одређена тачкама и. Конструише се кружница k(, ) и њен пресек са друим краком претходно конструсаног угла означи са. Затим се конструише круг описан око троугла. Тражено ГМТ је кружни лук. Заиста, је тетива описаног круга, угао = = α (према конструкцији, троугао је једнакокраки са крацима и ), па је периферијски угао описаног круга који одговара тетиви па је сваки периферијски угао са теменом који припада кружном луку једнак α. E α m E = 5.4 m = 5.4 α O α 6

27 8. Геометријско место тачака из којих се кружница види под углом α t 1 α α/ α T 1 O α 90 - α 90 - α α α p T t 5. Конструктивни задаци У овом делу биће изабрани неки задаци везани за геометријске конструкције троуглова који се своде на претходно описане геометријске конструкције. Неки од њих ће бити решени, а неки могу послужити као одабир занимљивих примера помоћу којих ученик може применити претходно обрађене геометријске конструкције, повезати их у целину и схватити значај конструкција које смо претходно обрадили. Избор су конструкције троуглова, док су конструкције четвороуглова, петоуглова,..., као и разлличите конструкције везане за круг изостављене јер се оне, мање или више своде на конструкције различитих троуглова, који се пак своде на основне геометријске конструкције. Пример 1: ) Упиши кружницу у једнакостраничан, једнакокраки, тупоугли и правоугли троугао ) Опиши кружницу око једнакостранизног, једнакокраког, тупоуглог и правоуглог троугла ) Одредити тежиште у једнакостраничном, једнакокраком, тупоугломи правоуглом троуглу d) Одредити ортоцентар у једнакостраничном, једнакокраком и тупоуглом троуглу Центар описаног круга око троугла, центар уписаног круга у троугао, ортоцентар и тежиште троугла називају се значајним тачкама троугла. Ортоцентар, тежиште и центар описаног круга припадају једној правој коју зовемо Ојлерова права. 7

28 Овај задатак је веома добар пример помоћу кога можемо проверити неке особине троуглова. Такође, код овог примера можемо увидети значај примене различитих програма за динамичку геометрију, јер једноставним мењањем страница троугла можемо посматрати у каквој су зависности значајне тачке са троуглом. Доказ постојања Ојлерове праве није предвиђен за обраду у основној и средњој школи, тако да програм може ово тврђење ученицима приближити визуелно на врло једноставан начин. На наредним сликама можемо видети да се код једнакостраничног троугла све значајне тачке поклапају, код једнакокраког троугла Ојлерова права се поклапа са правцем висине из темена на основицу, код тупоуглог троугла ортоцентар и центар описаног круга се налазе изван троугла, а код правоуглог троугла се центар описаног круга поклапа са средиштем хипотенузе, а висина круга са теменом троугла код правог угла. O HT S T H O S Ojlerov prv Ojlerov prv O m = 90 T S Ojlerov prv O T S H H Пример : Конструисати тругао ако је он задат следећим елементима:,, h. Анализа: 8

29 Будући да је задата дужина странице, темена и лако се конструишу. Треће теме мора задовољавати два услова: 1. Тачка мора бити удаљена од тачке за дужину. Тачка мора бити удаљена од правца за дужину h Скуп свих тачака које задовољавају први услов је кружница k(, ) а скуп тачака који задовољава други услов су две праве паралелне с правцем и од њега удаљене за дужину h. Конструкција: 1. Страница :, полуправа D, = D k(, ). Кружница k(, ) 3. Нормала n из тачке на правац ; P, Q n k(, h ) 4. Праве p и q кроз тачке P и Q паралелне с правцем 5. Врх : p k(, ), q k(, ) 1,, 3, 4 6. Решења: троуглови 1,, 3, 4 Доказ: Доказ се темељи на анализи. Дискусија: Задатак има 0, или 4 решења у зависности од тога да ли је мање, једнако или веће од h. У случају када задатак има или 4 решења, по два су решења складна и она се обично не разматрају. Дакле, решења су 1, или 3, 4. 9

30 n 1 P p h 3 Q 4 q Пример 3: Конструисати троугао ако су дате две његове странице = 3 5 m, = 4 m, и угао који оне заклапају α = 75. Овај задатак се састоји од две помоћне конструкције и главне конструкције. Помоћне конструкције су конструкција угла α = 75 и конструкција дужи = 3 5. Ове конструкције приказане су на слици. Задатак је пример конструкције троугла СУС, па након што конструишемо помоћне конструкције можемо једноставно конструисати и тражени троугао O r 75 p D Пример 4: Конструисати трoугао ако је он задат следећим елементима:,, t. 30

31 Анализа: Можемо најпре конструисати троугао D јер су нам познате његове три странице:, t и. / На правој D конструишемо дуж Троугао је тражени троугао. D =. Код овог задатка конструкцију и доказ ћемо заобићи јер се она заснива на једноставним, већ познатим конструкцијама. D t / Дискусија: Дужи,, t морају да испуњавају услов троугла да би постојало решење. Пример 5: Конструисати троугао ако је дата његова страница и висине h и h. Анализа: Тачка се налази на растојању h од праве одређене тачкама и. Тачка А се налази на растојању h од праве одређене тачкама и. Тачка се такође налази на растојању од тачке. D M h Конструишемо произвољну полуправу x, и ГМТ које се налази на растојању h од x (права која је паралелна са x на растојању hод ње). Затим конструишемо круг k(, ) и његов пресек са претходно конструисаним ГМТ је тачка. Конструишемо, затим, ГМТ које су на растојању h од праве одређене тачкама и (права паралелна са на растојању h од ње). Пресек тог ГМТ и x је тачка А. Троугао је тражени троугао. Пример 6: Конструисати троугао ако су дати следећи елементи: h, β, t. h 31

32 Најпре конструишемо троугао D. Конструишемо ГМТ из којих се тежишна дуж D = h види под углом β. Теме троугла добићемо као пресек конструисаног ГМТ и нормале на D = h у тачки D. Како знамо t, конструишемо k(, t ) и пресек са правом одређеном тачкама D и означимо са T. Сада знамо 1 T =, па тачку добијамо тако што 1 на полуправу D нанесемо дуж T =. h D t T β Пример 7: Конструисати троугао ако су дати следећи елементи: + +, α, β. Конструишемо троугао MN. Ова конструкција се своди на конструкцију α β троугла УСУ, са страницом дужине + + и налеглим угловима и. Да би добили тачке и, конструишемо симетрале страница M и N и њихове пресеке са дужи MN означимо са, редом, и. α β s 1 s M α α β β N 3

33 Закључак У данашње време, када је рачунар постао незаобилазно средство у свим научним областима, па тако и у математици, готово је незамислово не искористити могућности које он пружа. Било који рад може бити знатно олакшан, ефикаснији, прецизнији и бржи коришћењем разних програма који омогућавају решавање различитих проблема у различитим научним сферама. Зато је увођење рачунара у наставу битан ради побољшања наставе, у смислу олакшаног и прецизнијег рада за наставнике, до занимљивијег и креативнијег рада за ученике. Конкретно, што се наставе математике тиче, коришћење рачунара је велика предност и треба му све више тежити. Геометријске конструкције су пример области где нам многи програми, у нашем случају The Geometer's SkethPd, могу пружити удобнији и лакши рад, јер се многе ствари које је тешко објаснити на табли могу јасно и прецизно визуелизовати. Међутим, коришћење различитих програма у настави сем својих добрих страна, има и оне које могу стварати потешкоће у настави која је код нас још увек у реформи, између старог, традиционалног и модерног приступа. То би захтевало да професор мора да зна да се користи одређеним софтвером, ученици такође, јер је њихово учешће у настави много битан чиниоц, а то би захтевало и обуку ученика за коришћење одређеног софтвера. При том се у наставном плану и програму наставе математике мора одвојити места за то, или још боље, то нас доводи до прилагођавања наставе информатике одређеним математичким програмима. Но, у време рачунара заиста је штета не искористити могућности које нам се пружају и модернизовати наставу. Али исто тако, што се математике и геометријских конструкција тиче, ништа нема исти смисао ако се оне не обраде помоћу лењира, шестара, свеске и табле. 33

34 Литература 1. Збирка решених задатака из математике 1, Мр Вене Т. Богославов, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд 001. we.mth.hr/nstv/kmg/mterijli/skript.pdf, Еуклидске конструкције 3. сајт Министарства просвете и спорта Републике Србије 4. Хрватски математички електронски часопис 5. Математика уз помоћ The Geometer's SethPd -а 6. en.wikipedi.org/wiki/wiki, Wikipedi, the free enylopedi 34

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла

4.4. Тежиште и ортоцентар троугла 50. 1) Нацртај правоугли троугао и конструиши његову уписану кружницу. ) Конструиши једнакокраки троугао чија је основица = 6 m и крак = 9 m, а затим конструиши уписану и описану кружницу. Да ли се уочава

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC

ТРОУГАО. права p садржи теме C и сече страницу. . Одредити највећи угао троугла ако је ABC ТРОУГАО 1. У троуглу АВС израчунати оштар угао између: а)симетрале углова код А и В ако је угао код А 84 а код С 43 б)симетрале углова код А и В ако је угао код С 40 в)између симетрале угла код А и висине

Διαβάστε περισσότερα

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница.

6.7. Делтоид. Делтоид је четвороугао који има два пара једнаких суседних страница. 91.*Конструиши трапез у размери 1:200, ако је дато: = 14 m, = 6 m, = 8 m и β = 60. 92.*Ливада има облик трапеза. Нацртај је у размери 1:2000, ако су јој основице 140 m и 95 m, један крак 80 m, и висина

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ

Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ Мајци Душанки Михаило М. Бошковић, професор НОВO У МАТЕМАТИЦИ подела угла на три једнака дела подела угла на n једнаких делова конструкција сваког правилног многоугла уз помоћ једног шестара и једног лењира

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

6.5 Површина круга и његових делова

6.5 Површина круга и његових делова 7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом).

ТАНГЕНТА. *Кружница дели раван на две области, једну, спољашњу која је неограничена и унутрашњу која је ограничена(кружницом). СЕЧИЦА(СЕКАНТА) ЦЕНТАР ПОЛУПРЕЧНИК ТАНГЕНТА *КРУЖНИЦА ЈЕ затворена крива линија која има особину да су све њене тачке једнако удаљене од једне сталне тачке која се зове ЦЕНТАР КРУЖНИЦЕ. *Дуж(OA=r) која

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ. Формуле: 1. Написати комплексне бројеве у тригонометријском облику. II. z i. II. z КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ z ib, Re( z), b Im( z), z ib b b z r b,( ) : cos,si, tg z r(cos i si ) r r k k z r (cos i si ), z r (cos i si ) z r (cos i si ), z r (cos i si ) z z r r (cos( ) i si( )), z z r (cos(

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1

6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова. B Сл. 1 6. Четвороугао 6.1. Појам и основни елементи. Углови четвороугла. Централна симетрија. Врсте четвороуглова А Сл. 1 А На приложеним сликама сигурно уочаваш геометријске фигуре које су ти познате (троугао,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛОВА

КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛОВА КОНСТРУКЦИЈА ТРОУГЛОВА КОРИШЋЕЊЕМ ИНТЕРАКТИВНЕ ТАБЛЕ И ПРОГРАМА ГеоГебра Израда: Јан Славка, дипломирани математичар ОШ ''Јан Чајак'', Бачки Петровац Мотивација за реализацију часова GeoГebrе ГеоГебра

Διαβάστε περισσότερα

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка

Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка MAT-KOL (Banja Luka) XV()(00), 5-66 Неколико различитих начина решавања једног геометријског задатка Слађана Бабић Природно-математички факултет, 78000 Бања Лука Младена Стојановића, Б&Х e-mal: sladjanaac7@yahoocom

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

СВОЈСТВА И КОНСТРУКЦИЈА ПРАВИЛНИХ МНОГОУГЛОВА КОРИШЋЕЊЕМ СОФТВЕРА GEOGEBRA. Аутор: Лидија Трифуновић, професор математике ОШ ''Цар Константин'', Ниш

СВОЈСТВА И КОНСТРУКЦИЈА ПРАВИЛНИХ МНОГОУГЛОВА КОРИШЋЕЊЕМ СОФТВЕРА GEOGEBRA. Аутор: Лидија Трифуновић, професор математике ОШ ''Цар Константин'', Ниш СВОЈСТВА И КОНСТРУКЦИЈА ПРАВИЛНИХ МНОГОУГЛОВА КОРИШЋЕЊЕМ СОФТВЕРА GEOGEBRA Аутор: Лидија Трифуновић, професор математике ОШ ''Цар Константин'', Ниш Мотивација за реализацију ових наставних јединица коришћењем

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање

Математика Тест 3 Кључ за оцењивање Математика Тест 3 Кључ за оцењивање ОПШТЕ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ Кључ за оцењивање дефинише начин на који се оцењује сваки поједини задатак. У општим упутствима за оцењивање дефинисане су оне ситуације

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити.

Сваки задатак се бодује са по 20 бодова. Израда задатака траје 150 минута. Решење сваког задатка кратко и јасно образложити. IV разред 1. Колико ће година проћи од 1. јануара 2015. године пре него што се први пут догоди да производ цифара у ознаци године буде већи од збира ових цифара? 2. Свако слово замени цифром (различита

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-5 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 014/15. бр. XLIX-5 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред 1. а) 70 - седамсто три; б) двесто осамдесет два 8.. а) 4, 54, 54, 45, 504, 54. б)

Διαβάστε περισσότερα

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим.

IV разред. 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. IV разред 1. Дешифруј ребус A + BA + CBA + DCBA = 2016. Иста слова замени једнаким цифрама, а различита различитим. 2. Производ два броја је 2016. Ако се један од њих повећа за 7, производ ће бити 2457.

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА Математички факултет Београд КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ И ГЕОМЕТРИЈА - магистарски рад - Ментор: проф Миодраг Матељевић Кандидат: Слађана Бабић јун 009 Садржај I Комплексна раван, геометријска интерпретација сабирања

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе

Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАКСИМОВИЋ ТАЊА Изометријске трансформације еуклидскее равни и простора и њихове групе МАСТЕР РАД Ментор: др. Александар Липковски Београд 2015. Садржај Увод

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2015. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Конструкција правилних конвексних 4-политопа и њихових дводимензиналних пројекција

Конструкција правилних конвексних 4-политопа и њихових дводимензиналних пројекција MAT-KOL (Banja Luka) XXIII ()(7) 89- http://wwwimviblorg/dmbl/dmblhtm DOI: 7/МК789D ISSN -6969 (o) ISSN 986-88 (o) Конструкција правилних конвексних -политопа и њихових дводимензиналних пројекција Ратко

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2014. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао

61. У правоуглом троуглу АВС на слици, унутрашњи угао код темена А је Угао ЗАДАЦИ ЗА САМОСТАЛНИ РАД Задаци за самостлни рад намењени су првенствено ученицима који се припремају за полагање завршног испита из математике на крају обавезног основног образовања. Задаци су одабрани

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2016. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5

< < < 21 > > = 704 дана (15 бодова). Признавати било који тачан. бодова), па је тражена разлика 693 (5 бодова), а тражени збир 907(5 05.03.011 - III РАЗРЕД 1. Нацртај 4 праве a, b, c и d, ако знаш да је права а нормална на праву b, права c нормалана на b, а d паралелнa са а. Затим попуни табелу стављајући знак (ако су праве нормалне)

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА И ПОСЛЕДИЦЕ Мастер рад Кандидат: Рајка Милетић Ментор: проф др Неда Бокан Београд, 00 САДРЖАЈ Увод 3 I ЧЕВИЈЕВА ТЕОРЕМА 4 I Доказ Чевијеве теореме

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ЗА УЧЕНИКЕ СА ПОСЕБНИМ СПОСОБНОСТИМА ЗА ИНФОРМАТИКУ

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: МЕХАНИКА 1 студијски програми: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 3. 1 Садржај предавања: Статичка одређеност задатака

Διαβάστε περισσότερα

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013.

ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Крагујевац, 2013. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНИВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Крагујевац, 0. ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ НАУКА УНУВЕРЗИТЕТА У КРАГУЈЕВЦУ Издавач: ФАКУЛТЕТ ИНЖЕЊЕРСКИХ

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ

МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПРИРОДНО МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ ДЕПАРТМАН ЗА МАТЕМАТИКУ И ИНФОРМАТИКУ Соња Вученов МЕРЕЊЕ УЧЕНИЧКОГ НАПРЕТКА ПРИ КОРИШЋЕЊУ РАЧУНАРА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ -мастер рад- Нови Сад, 2012.

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ И ПРИМЕРИ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ПРОГРАМ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ АЛГЕБРА Природни, цели, рационални, ирационални

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И

Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И Е У К Л И Д О В И Е Л Е М Е Н Т И ПРИЛОЗИ ЗА НАСТАВУ У КОЈИМА СУ КОРИШЋЕНИ ЕЛЕКТРОНСКИ ЗАПИСИ ПРЕВОДА АКАДЕМИКА АНТОНА БИЛИМОВИЋА КОЈЕ ЈЕ ПРИРЕДИО ПРОФ. ДР ЗОРАН ЛУЧИЋ 1 И НАЈСТАРИЈЕ САЧУВАНЕ ГРЧКЕ ВЕРЗИЈЕ

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2014/15. бр. XLIX-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 0/5. бр. XLIX- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 70 5 = 50; б) 0 = 80; в) 0 = 9; г) 5 = 850; д) 60 : = 0; ђ) 0 : 8 = 0; е) 86 : = ;

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

Кратка историја геометрије кроз проблем трисекције угла

Кратка историја геометрије кроз проблем трисекције угла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 2 (1) (2013), 7-18 Кратка историја геометрије кроз проблем трисекције угла Драган Стевановић

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА

МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ МЕТОДЕ ЊИХОВОГ РЕШАВАЊА ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ ДРЖАВНИ СЕМИНАР О НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ И РАЧУНАРСТВА У ОСНОВНИМ И СРЕДЊИМ ШКОЛАМА Број: 250 Компетенцијa: K1 Приоритети: 1 ТЕМА: МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАЦИ, ЊИХОВА КЛАСИФИКАЦИЈА И НЕКЕ

Διαβάστε περισσότερα