Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού."

Ἁλκυόνη Σπυρόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ειδικά θέματα στη ροπή αδράνειας του στερεού Η συνική ροπή αδράνειας ως άθροισμα επί μέρους ροπών αδράνειας Έστω το τυχαίο στερεό του σχήματος που αποτελείται από επιμέρους τμήματα Α,Β,Γ,Δ Η ροπή αδράνειας του όλου στερεού ως προς τον άξονα υπογίζεται από την σχέση, = όμως = όπως και οι αντίστοιχες αποστάσεις Οι στοιχειώδεις από τον ταξινομούνται και είναι αθροίσματα των, Β, Γ, Δ των επιμέρους τμημάτων Α, Β, Γ, Δ και απέχουν από τον αντίστοιχες αποστάσεις,,,,, Γ Έτσι η αρχική σχέση γράφεται:, = n n n n = + + +, Α Α Β Β Γ Γ Δ Δ Β Γ Δ= () και επειδή οι ροπές αδράνειας των Α,Β,Γ, Δ ως προς άξονα αντιστοίχως είναι,, n n n Α Α,, = ΒΒ,, = ΓΓ =, Δ Δ =, n Β = Γ η σχέση () γράφεται, = Α, + Β, + Γ, + Δ, () Άρα, η ροπή αδράνειας ενός στερεού ως προς κάποιον άξονα, που χωρίζεται σε επιμέρους τμήματα, ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των επιμέρους τμημάτων Δ= Και αν από στερεό αυτό αφαιρέσουμε ένα τμήμα ( έστω το Α), πόση είναι η ροπή αδράνειας του υπόλοιπου τμήματος; = + + +, Α, Β, Γ, Δ, = + + +, Α, Β, Γ, Δ,, = Α, + =, - Α, Άρα, η ροπή αδράνειας του υπόλοιπου ισούται με την ροπή αδράνειας του συνόλου μείον την ροπή αδράνειας του τμήματος που αφαιρέθηκε Το θεώρημα των τριών καθέτων στη ροπή αδράνειας Έστω ένα στερεό σε σχήμα λεπτής επίπεδης επιφάνειας και τρείς άξονες κάθετοι μεταξύ τους Οι άξονες και βρίσκονται στο επίπεδο της επιφάνειας, ενώ ο άξονας είναι κάθετος στην επιφάνεια Οι ροπές αδράνειας, και ως προς τους άξονες, και συνδέονται με την σχέση,, Βασίλης Τσούνης wwwtsounsg l@tsounsg

2 Θεωρούμε την επιφάνεια ως άθροισμα στοιχειωδών μαζών από τους τρείς άξονες αποστάσεις,,, και άξονα Επειδή ορίζεται από την σχέση = όμως () = που κάθε μία από αυτές απέχει Η ροπή της επιφανείας ως προς τον = + η ανωτέρω σχέση γράφεται = = + = + = + =, καθόσον = και = = 3 Η ροπή αδράνειας ενός κυκλικού τομέα = = = = = Ζητείται να υπογισθεί η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς επιφανείας σχήματος κυκλικού τομέα - ακτίνας γωνίας και μάζας - ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο (κορυφή) του και είναι κάθετος στο επίπεδό του Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυκλικού δίσκου ακτίνας και μάζας ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το κέντρο του = O O Θεωρούμε το κυκλικό δίσκο O, στον οποίο ανήκει ο κυκλικός τομέας και ο οποίος έχει ροπή αδράνειας ως το άξονα, oλ = = Ο κυκλικός δίσκος όμως μπορεί ως ένα σύνο Ν κυκλικών τομέων όμοιων με τον π δεδομένο τομέα με ΟΑΒ αλλά και κάθε Ν= φ Αν η ροπή αδράνειας του τομέα ενός από τους όμοιους Ν τομείς σύμφωνα με το ο θέμα N μπορούμε να γράψουμε ΝΙ = oλ ΝΙ = N Ι = Βασίλης Τσούνης wwwtsounsg l@tsounsg

3 Η ροπή αδράνειας επίπεδης ορθογώνιας επιφάνειας Έστω ομογενής ορθογώνια επιφάνεια μάζας διαστάσεων και Ζητείται η ροπή αδράνειας της επιφάνειας αυτής ως προς τους άξονες, και Οι άξονες, είναι πάνω στην επιφάνεια, διέρχονται από το κέντρο της και είναι παράλληλοι με τις πλευρές και αντίστοιχα Ο άξονας είναι κάθετος στην επιφάνεια και διέρχεται από το κέντρο αυτής Θεωρείται γνωστή η ροπή λεπτής ράβδου μάζας και μήκους ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο, που διέρχεται από το κέντρο μάζας αυτής, c = Μελέτη Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Θεωρούμε ότι η επιφάνεια αποτελείται από λεπτές παράλληλες "ράβδους" μάζας και μήκους όπως στο διπλανό σχήμα Ο άξονας είναι κάθετος σε κάθε μία από αυτές τις "ράβδους" και διέρχεται από το μέσον - κέντρο μάζας Έτσι η ροπή αδράνειας της κάθε μίας "ράβδου" ως προς τον είναι = Η συνική ροπή αδράνειας είναι n n n Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Θεωρούμε ότι η επιφάνεια αποτελείται από λεπτές παράλληλες "ράβδους" μάζας και μήκους όπως στο διπλανό σχήμα Ο άξονας είναι κάθετος σε κάθε μία από αυτές τις "ράβδους" και διέρχεται από το μέσον - κέντρο μάζας Έτσι η ροπή αδράνειας της κάθε μίας "ράβδου" ως προς τον είναι = Η n συνική ροπή αδράνειας είναι n n =, =, = = 3 Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Σύμφωνα με το θεώρημα των τριών καθέτων για την ροπή αδράνειας θα έχουμε = + = + Βασίλης Τσούνης wwwtsounsg l@tsounsg

4 = + Η ροπή αδράνειας τριγωνικής επιφάνειας Έστω ομογενής επίπεδη τριγωνική επιφάνεια μάζας με την περίμετρό της να έχει σχήμα ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου με μήκος ίσων πλευρών Ζητείται να υπογισθεί η ροπή αδράνειας της επιφάνειας αυτής ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο της τριγωνικής επιφάνειας στο σημείο της κορυφής της ορθής γωνίας Από τη γεωμετρία του σχήματος η υποτείνουσα του ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου έχει α α α α α μέτρο Ας θεωρήσουμε μια τετράγωνη ομογενή λεπτή επιφάνεια πλευράς Αυτή θα αποτελείται από τέσσερες ίσες τριγωνικές επιφάνειες σε πλήρη συμμετρία Λόγω της πλήρους ομοιομορφίας αυτών κάθε μία θα έχει ως προς τον άξονα την ίδια ροπή αδράνειας Η τετράγωνη επιφάνεια θα έχει ροπή αδράνειας = Σύμφωνα όμως με το προηγούμενο θέμα, η ροπή αδράνειας της τετράγωνης επιφάνειας ως προς είναι Μ =Μ = Μ α + α = Μ Ι α + α =Ι = Μ α + α = Μα 3 5 Η ροπή αδράνειας ενός κοίλου κυκλικού δίσκου Στο σχήμα φαίνεται ο κοίλος κυκλικός δίσκος μάζας Μ που προέκυψε από ένα δίσκο ακτίνας από τον οποίο αφαιρέθηκε ομόκεντρος δίσκος ακτίνας Ζητείται η ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες, και Οι άξονες, είναι πάνω στην επιφάνεια του δίσκου και διέρχονται από το κέντρο αυτού Ο άξονας είναι κάθετος στην επιφάνεια του και διέρχεται από το κέντρο του Θεωρείται γνωστή η ροπή ομογενούς δίσκους μάζας και ακτίνας ως προς άξονα κάθετο στη επιφάνειά του που διέρχεται από το κέντρο του, c = Βασίλης Τσούνης wwwtsounsg l@tsounsg

5 Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Έστω η ζητούμενη ροπή αδράνειας του κοίλου κυκλικού δίσκου,, η ροπή που θα είχε ο κυκλικός δίσκος αν ήταν συμπαγής και, η ροπή αδράνειας του τμήματος που αφαιρέθηκε Σύμφωνα με το ο θέμα +, = = -, = Μ - Μ () Προφανώς πρέπει οι μάζες Μ,Μ να εκφρασθούν με βάση την μάζα Μ του κοίλου δίσκου Για το λόγο αυτό ας υποθέσουμε ότι η μάζα ανά μονάδα επιφάνειας - επιφανειακή πυκνότητα - είναι σπ = σπ = () επίσης = - (3) Από τις () και (3) παίρνουμε = και = και αντικατάσταση στη - - () έχουμε = - = = + () Ροπή αδράνειας ως προς άξονα και Για λόγους πλήρους συμμετρίας και από το θεώρημα των τριών καθέτων έχουμε () = + = = = + άρα = = + 5 Βασίλης Τσούνης wwwtsounsg l@tsounsg

Σχετικά έγγραφα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε