5 Hizkuntza aljebraikoa

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5 Hizkuntza aljebraikoa"

Transcript

1 Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun aurkitu ditzakete, bereziki letrak egoera abstraktu bat adierazteko zeinu gisa erabiltzeko orduan. Horie da, baina, aljebraren erabilerarik nabarmenena: letra baten bidez zenbait balio adieraztea, eta horiek modu errazean erabili ahal izatea. Lehen epigrafean, hizkuntza aljebraikoa beharrezkoa dela justifikatzen da, eta zenbait terminoren esanahia gogoratzen da (monomioa, ezezaguna ), baita identitatearen eta ekuazioaren arteko desberdintasuna ere. Hurrengo orrialdeetan, honako kontzeptu hauek landuko ditugu: definizioak, monomioei eta polinomioei lotutako terminologia, baita haien eragiketak eta propietateak ere. Ikasleek honakoa ulertu behar dute: adierazpen konpleuak adierazpen errazago bihurtzea matematikarekin lan egiteko metodorik eraginkorrenetako bat dela. Horretarako, oinarrizko eragiketak ezagutu beharko dituzte: monomioen eta polinomioen arteko batura eta biderkadura, faktore komuna lortzea, eta identitate nabarmenak identifikatzea. Polinomioen zatidura eta Ruffiniren erregela ere ikasiko ditugu, eta polinomioa faktore bihurtzeko erabiliko ditugu. Faktore komuna eta identitate nabarmenak ateratzeko erabiltzeaz gain, zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko ere erabiliko ditugu. Atal honek zailtasun ugari dituenez, komeni da irakasleak ikasleen mailara hobekien egokitzen diren ariketak hautatzea. Izan ere, atal hau hurrengo ikasturtean osatuko dugu. Unitatean zehar, ekuazioak ebazteko orduan ageri ohi diren zenbait eragiketa nabarmenduko ditugu (izendatzaile komunera laburtzea, faktore komuna ateratzea, etab.). Hurrengo unitatean, horiek oso erabilgarriak izango zaizkigu. Gutieneko ezaguerak Unitatea amaitu orduko, ikasleek ezaguera hauek jakin beharko dituzte, gutienez: Enuntziatuak eta propietateak hizkuntza aljebraikora itzultzea. Adierazpen aljebraikoak enuntziatu edo propietate batekin lotzea. Monomioa eta haren elementuak identifikatzea. Monomio antzekoak antzematea. Unitatearen eskema ALJEBRA maneiatzen ditu ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK zeinu bera ez badute zeinu bera badute MONOMIOAK POLINOMIOAK BERDINTZAK honako hauek dira: honakoekin egin daitezke eragiketak: honako hauek dira: honako hauek izan daitezke: biderkadura batura hainbat monomioren batura IDENTITATEAK EKUAZIOAK zenbaki batena izen hau du: koefizientea letra batena edo hainbat letrarena izen hau du: letrazko atala kenketa biderketa zatiketa zehatza ez denean zatiketa bi polinomioren zatidura adierazia izen hau du: kasu hauetan: berdintza letrazko atalaren edozein baliotarako egiaztatzen denean ZATIKI ALJEBRAIKOA honakoetarako balio dutenak: zenbakizko propietateak eta erlazioak sinplifikatzeko kasu hauetan: berdintzak letrazko atalaren zenbait baliotarako bakarrik balio duenean honakoetarako balio dutenak: problemak ebazteko 60

2 Monomioak batzea eta biderkatzea. Polinomioa eta haren elementuak identifikatzea. Polinomio baten zenbakizko balioa kalkulatzea. Polinomioak batzea eta biderkatzea. Faktore komuna ateratzea. Identitate nabarmenak garatzea. Polinomioen zatidura. Ruffiniren erregela. Osagarri garrantzitsuak Polinomio mota hauek identifikatzea: binomio baten karratua direnak eta batura bider kendura direnak. Polinomioa faktoreen zatidura bihurtzea, honako hauek erabiliz: faktore komuna ateratzea, identitate nabarmenak ezagutzea eta Ruffiniren erregela. Zatiki aljebraiko errazak sinplifikatzea. Zatiki aljebraiko errazekin eragiketak egitea. Lanak aurreratu Eragiketen lehentasuna eta parentesiaren erabilera berrikustea. Zatikiak zuzen erabiltzea: eragiketak egiteko prozedura. Berretzaile osoa duten berreketak berrikustea, baita haien arteko eragiketak eta propietateak ere. Berreketen propietateak erabiltzea, eragiketa errazak sinplifika-tzeko. Enuntziatuak adierazpen aljebraikoekin lortzea, kasu errazetan: zenbaki baten bikoitza gehi haren erdia; zenbaki baten karratua ken... Jarraian aurkeztu dugun taulan, lankidetza, pentsamendu ulerkorra, pentsamendu kritikoa, diziplinartekotasuna, IKTak, ekimena eta problemen ebazpena lantzeko ariketa-sorta bat proposatu dugu. Horietako batzuk ikaslearen liburuan proposatu ditugu, eta hemen adierazi ditugu bakoitzari dagozkion orrialdea eta ariketa. Beste ariketa batzuk, ordea, Proposamen didaktikoan bertan jaso ditugu. Iradokizun horien aukeraketa bat ikaslearen liburuan dago adierazita, ikono batekin; hemen, izarto (*) batekin adierazi ditugu. LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA 8.etik 89.erako orrialdeak. PD honetan 89. or.. eta 8. ariketak. 8. or.. ariketa. (*) iradokitako ariketa (*) 9.etik 97.erako orrialdeak. PD honetan 9. orrialdetik 9.era. Ariketa ebatziak. (*) 88. or.. ariketa. (*) iradokitako ariketa (*) 9. or. Ariketa eta problema ebatziak. (*) 9. or.. ariketa. (*) 9. or. 7. eta 0. ariketak. (*) 96. or. 8. ariketa. (*) 97. or. 8. eta. ariketak. (*) 98. or.. ariketa. (*) 99. or.. ariketa. (*) 99. or. 6. ariketa. (*) DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA 8. or. PD honetan iradokitako ariketa. (*) 8. or. PD honetan iradokitako ariketa. 8. or. Ebatzi. (*) Ikaslearen liburuan proposatutako problema guztiak atal honi dagozkio. Jarraian, interes berezia duten batzuk adieraziko ditugu. 8. or.. ariketa. (*) 9. or.. ariketa. (*) 9. or.. ariketa. (*) 98. or.. eta 6. ariketak. (*) 9. or.. eta. ariketak. (*) 0. or. Trebatu problemak ebatziz. (*) 99. or. 9. ariketa. (*) 00. or. «Ikertu» ariketa. (*) 6

3 Hizkuntza aljebraikoa Problema «erretorikoa» Antzinako egiptoarrek problemak era erretorikoan deskribatzen zituzten, hizkuntza arrunta erabiliz. Hona hemen horren adibide bat: Pilan dagoen gariaren herena eta bost neurri gehiago ateraz gero, pilaren erdia geratuko da. Lehenengo pausoak, «aljebra erretorikoa» Aljebrazko problemak antzinako zibilizazioetan ageri dira, ia beti arlo praktikoen testuinguruan: banaketak egiteko, jaraunspenetarako, azalerak kalkulatzeko Antzinako mesopotamiarrek eta egiptoarrek aljebra «erretorikoa» praktikatzen zuten, hizkera arrunta erabiliz: «Piloan dagoen gariaren herena ateraz gero, eta». Lehenengo sinboloak, «aljebra sinkopatua» Aljebraren bilakaera sinbolismoaren hobekuntzan eta ekuazioak ebazteko teknikak sistematizatzean islatzen da. Diofanto Aleandriakoak, iii. mendean, idazkera sinbolikoa asmatu zuen; idazkera hori, nahiz eta oinarrizkoa izan, aurrerapauso handia izan zen («aljebra sinkopatua»). Arabiarrak eta «gauzaren artea» Al-Jwarizmik, i. mendean, mundu zibilizatuan hurrengo mendeetan ere eragin handia izan zuen eskuliburua idatzi zuen. Ezezagunari gauza esaten zion, eta nomenklatura hori Europara pasatu zen; Europan, «gauzaren artea» esan zioten aljebrari, ondorioz. Egiptoko lur-neurtzaileak. Menaren eta Najten hilobietako margolanak (Egipto). Berdintza aljebraikoa geometria erabiliz Ondoan datorrena greziar matematikariek berdintza aljebraiko batzuk justifikatzeko erabiltzen zituzten irudi geometrikoen adibidea da. Ikusten al duzu eraldaketa geometrikoa? Eta aljebrarako «itzulpena»? a a b a b «Gauzaren artea» b a b Ba al dakizu zergatik erabiltzen dugun letra ekuazioko ezezaguna sinbolizatzeko? Gauza, arabieraz ay esaten da eta horrela transkribatu zen gaztelaniara. Apurka-apurka, hitz horren ordez, hasierako letra,, hasi ziren erabiltzen. Gauza 6 bider biderkatuz eta gehituz zein gauza rekin eta gauzarekin biderkatuz, emaitza bera lortuko dugu. Eta «aljebra sinbolikoa» iritsi zen Aljebra ez zen modu berean garatu Europan. Italiako vi. mendeko aljebralariak nabarmendu ziren. Aljebra, sinboloak erabiltzen dituen hizkuntza gisa, gaur ezagutzen dugun eran, Vieta (vi. mendearen azkenerantz) eta Descartesen (vii. mendean) azterketen bidez izan zuen azken bilakaera. Vieta (0-60). Al-Jwarizmiren estatua Jivan (Uzbekistan). Ebatzi. Honako berdintza hauetako zein elkartzen diozu egiptoar papiroko enuntziatuan ageri den gari pilari? Zenbat neurri ditu pila horrek? I II III. Osatu koadernoan gorago ageri diren bi irudi geometrikoen azalerak elkartzen dituen berdintza: a b. Itzuli hizkuntza aljebraikora (gaur egungo estilor gorago deskribatu den gauzari buruzko problema. Gero, haztamuz jokatuz, kalkulatu zenbat balio duen gauza horrek. 8 8 Unitatea hasteko Unitatearen hasierako irakurgaiei esker, ikasleek ikusiko dute historian zehar urrats asko eman behar izan direla gaur egun aljebra lantzeko erabiltzen dugun nomenklatura sor eta finka zedin. Irakurgaiei esker, ibilbide bat egingo dugu prozesu historiko horren garaietan zehar: Aljebra erretorikoa: ez zegoen laburtzapenik, ezta sinbolo berezirik ere. Hizkuntza arrunta erabiltzen zen. Aljebra geometrikoa: elementu geometrikoetan oinarritzen zen. Aljebra sinkopatua: zenbait gai tekniko eta laburtzapen erabiltzen ziren jada. Arabiar aljebra: guk ezezagun deritzogunak «gauza» zuen izena. Aljebra sinbolikoa: gaur egungo aljebraren antz handiagoa zuen. Honako paragrafo hau Amin Maalouf idazlaren Samarcanda eleberritik aterata dago; bertan, ezezaguna izendatzeko «gauza»-tik letrara nola pasatzen den kontatzen da: «Omar Jayyam-ek, i. mendeko olerkari, astronomo eta matematikariak, aljebrari buruzko liburu batean, ezezaguna izendatzeko, shay arabiar hitza erabili zuen; hitz horrek gauza esan nahi du. Hala ere, zenbait espainiar lan zientifikotan, ay idatzi izan da; horrela, denboraren poderioz, hitzaren lehen letra,, ezezagunaren ikur unibertsaltzat hartu da». IKT Honako ariketa hau iradokitzen dugu: Sakondu Al-Jwarizmi arabiar matematikariari buruzko informazioa, eta ikertu nola heldu ziren haren lanak Mendebaldera. Diziplinartekotasuna Honako ariketa hau iradokitzen dugu: Egin matematika ez den zenbait diziplinaren zerrenda, non hizkuntza aljebraikoa erabiltzea erabilgarria den. «Ebatzi» atalaren soluzioak II. berdintza. Pila horrek 0 neurri izango ditu. a b (a (a 6. Gauza horrek 7 balio du. OHARRAK Hona hemen aljebrarekin lotutako bitikeria bat: arabiar munduan aljebrak garapen handia izan zuen, gizarte poligamoa zirelako eta jarauntsiekin lotutako arazo konplikatuak konpontzeko beharrizan handia zutelako. «Ebatzi» izeneko atalean, aurreko irakurgaietatik ateratako zenbait problema aljebraiko planteatu dira. 6

4 Adierazpen aljebraikoak Etimologia Monomio eta polinomio: grezieratik datoz: mono hitzak bat esan nahi du. poli hitzak asko esan nahi du. nomos hitzak zatia esan nahi du. Identitate: latineko idem hitzetik dator eta berdin esan nahi du. Ekuazio: latineko aequare aditzetik dator eta berdindu esan nahi du. Ariketa ebatzia Era aljebraikoan adieraztea: Zenbaki bat hiru halako ken lau unitate. Zenbaki bati lau unitate kentzearen emaitza hiru halako. Laukizuzenaren perimetroa, aldeetako bat bestearen aldeetako bat hiru halako izanik, 60 cm da: Dudanaren / eta, gainera, 90 eralgiz gero, orain dudanaren herena baino ez dut izango.. Adierazpen aljebraikoa erabiliz, deskribatu honako enuntziatu hauetako bakoitza: Zenbaki bat bi halako ken horren herena. Zenbaki bati hiru unitate batzea bi halako. Aljebran lan egitea kantitate bat edo gehiago ezezagunak dituzten zenbakizko erlazioak erabiltzea da. Kantitate ezezagun horiei aldagai edo ezezagun esaten zaie eta letren bidez adierazten dira. Problemaren osagaiak hizkuntza aljebraikora itzuliz gero, adierazpen aljebraikoak lortzen dira. Guztiz era desberdineko adierazpen aljebraikoak daude: Monomioak: 7,, πr (esferaren azaler Polinomioak:, πr h πr (zilindroaren azalera total Adierazpen aljebraiko batzuetan, zeinua ageri da: Identitateak: ( ) 0. Berdintasunaren bigarren atala lehenengoan eraginez lortzen da. Ekuazioak: ( ). Berdintza ezezagunaren balioren baterako baino ez da egiaztatzen. Kasu horretan, 6 baldin bada.. Polinomioa da. ( ). Polinomioa da. 60. Soluzioa 7, duen ekuazioa da. Ondorioz, laukizuzenaren dimentsioak honako hauek dira: 7, cm, cm. Arrazoituz, enuntziatu horrek ematen duen adierazpen aljebraikoa lortuko dugu: daukat eralgi dut orain daukat lortutako erlazioa 90 c 90m c 90m monomioa polinomiak ekuazioa Ekuazioaren soluzioa 0 da. Orain dudan dirua, beraz, 0 da. Triangelu horren azalera 6 cm da. Nuen diruaren / janzkia erosten eta 60 bi alkandora erosten eralgi dut. Nuen diruaren erdia geratzen zait. Monomioak Adibideak Adierazpen hauek monomioak dira: 7a, y, ( ) Horien koefizienteak honako hauek dira, hurrenez hurren: 7, eta 7a 7(a -ren maila da. y ( y y )-ren maila da zero mailako monomioa da. ab eta 7ab antzekoak dira.. Zenbat da honako monomio hauetako bakoitzaren maila? y z y. Batu honako monomio hauek: y y y y y yz y z z y zy Monomio zenbaki bat bider letra baten edo hainbat letraren (aldagaiak) biderkadura da Monomioan, letrek (letrazko atalak) balio ezezaguneko edo zehaztugabeko zenbakiak adierazten dituzte. Horregatik, zenbakien eta zenbakien eragiketen propietate guztiak gordetzen dituzte. Monomioaren koefizientea letrazko atala biderkatzen duen zenbakia da. Monomioaren maila letrazko atala eratzen duen faktore kopuru osoari esaten zaio. Zenbakiak zero mailako monomioak dira 0 denez gero. Bi monomio antzekoak dira letrazko atal bera baldin badute. Eragiketak monomioekin Bi monomio antzekoren batura horien antzeko den beste monomio bat da eta azken horren koefizientea aurrekoen koefizienteen batura da. Adibidez: 7 8 Bi monomio antzekoak baldin ez badira, horien batura ezin daiteke sinplifikatu eta adierazita utzi behar da. Orduan, emaitza ez da monomio. Adibidez: 7 ezin daiteke sinplifikatu. Kenketa batuketaren kasu berezia da. Adibidez: ab 8ab ab Bi monomio edo gehiagoren biderkatura beste monomio bat da eta horren koefizientea koefizienteen biderkadura da eta, letrazko atala, faktoreetako letrazko atalen biderkadura. Adibidez: ( a (a a bc Bi monomioren zatidura koefizienteak eta letrazko atalak zatitzearen emaitza da. Monomioa izan daiteke, edo ez. y Esaterako, 6y y monomioa da, baina ez da monomioa. 6y y. Biderkatu honako monomio hauek: c m ( 6) c m c m 9 (7y ) (y) (yz) ( z). Sinplifikatu monomioen honako zatiketa hauek: y y y y 8 8 Iradokizunak 8. orrialdean, aljebrarekin lotutako oinarrizko terminologia gogoratuko dugu; horrez gain, aljebraren erabilera nagusia ere nabarmenduko dugu: enuntziatu edo propietate bat hizkuntza sinbolikora itzultzea. Maila honetako ikasleek adierazpen aljebraikoak zuzen erabiltzen jakin behar dute. Ikasketa-prozesu horretan, komeni da ikasleak etengabe trebatzea, egoera zehatzak sinbolikoki deskribatzen dituzten adierazpen aljebraikoekin lortzeko gai izan daitezen. Hori lortzeko, irakasleak honako hau proposatuko die ikasleei: lehenik, enuntziatu jakin batzuk dagozkien adierazpen aljebraikoekin lotzea; ondoren, beren beregi aukeratutako enuntziatu multzo bati dagozkion adierazpen aljebraikoak lortzea. Irakasleak beharrezkotzat joz gero, letra hauen esanahia sakondu daiteke: Ezezaguna: kalkula dezakegun zenbaki ezezagun bat adierazten duen letra. Aldagaia: edozein balio har dezakeen letra. 8. orrialdean, monomioaren definizioa gogoratuko dugu, baita hari lotutako hiztegia eta oinarrizko eragiketak ere: monomioen batura, biderkadura eta zatidura. Eragiketa horiek eragiketa aritmetikoen luzapen gisa justifika daitezke: faktore komuna ateratzea, eta berrekizun bereko berretzaileen biderkadura edo zatidura. Honako hau ere egiazta dezakegu: monomioen batura edo biderkadura egitean ( 8 o 6 ) berdintza bakoitzeko gaien zenbakizko balioa berdina da, letrei edozein balio ematen diegula ere. Indartu eta sakondu Honako hauek gomendatzen dira: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko:. orrialdeko. eta. ariketak.. orrialdeko. eta. ariketak. Sakontzeko:. orrialdeko. eta. ariketak.. eta. orrialdeetako.,. eta. Ariketak. Lankidetzan ikasi Orrialde hauek eragiketa aljebraikoak indartzera bideratuta daude. Honako metodologia hau erabiltzea iradokitzen dugu: Ikasleak talde tikitan jarriko dira (biko edo hiruko taldeak). Zenbait adierazpen ebatziko dituzte, banaka; gero, prozesuak eta soluzioak egiaztatuko dituzte. Desadostasunik badago, akatsak adierazi beharko dituzte. Zalantzak argitzeko gai ez badira edo ados jartzen ez badira, irakasleak parte hartuko du. atalaren soluzioak 8. Orrialdea ( ) 6 e 60o 8. Orrialdea 6. maila. maila 0. maila 9 y y z 6y z / y yz y y 6

5 Polinomioak Adibideak Polinomioak dira: y 8 6 Sinplifikatzea: y 8y -ren maila da, y-ren maila denez gero. Sinplifikatu polinomioari maila esleitu baino lehen: 7 0 maila da. Definizioa Polinomioaren aurkako esaten zaio gai guztien zeinua aldatuz ateratzen denari. P P-ren aurkakoa : ( ) Polinomioak batzeko eta kentzeko laguntza. Polinomioaren maila, gaiak eta koefizienteak. Polinomioa bi polinomio edo gehiago batzea da. Osatzen duten monomioetako bakoitzari gai esaten zaio. Monomioa gai bakarreko polinomioa dela esan daiteke. Polinomioan monomio antzekoak egonez gero, eragitea, adierazpena sinplifikatzea eta polinomioa era laburtuan lortzea komeni da. Polinomioaren maila polinomioa osatzen duten monomioen mailetako handiena da, monomioa era laburtuan jarri denean. Polinomioak zer maila duen esan baino lehen, laburtzea komeni da; mailarik handieneko monomioak sinplifikatu eta desagertu egin daitezkeenez gero. Polinomioaren zenbakizko balioa, a denean, a-rekin ordeztuz lortzen den balioa da. Adibidez 7-ren balioa, izanez gero, honako hau da: a 0 denean, polinomioaren zenbakizko balioa 0 izanez gero, orduan, a polinomio horren erro bat dela esaten da. Polinomioak batzea eta kentzea Bi polinomio batzeko, gaiak taldekatu eta monomio antzekoak batzen ditugu. Bi polinomioren arteko kenketa egiteko, kenkizunari kentzailearen aurkakoa batzen zaio. Adibidez: A 6 eta B : A 8 B 8 A B 8. Adierazi zer maila duen honako polinomio hauetako bakoitzak: 6. P eta Q dugu. Kalkulatu P Q eta P Q Monomioa bider polinomioa A 8 B 8 A B 8 6 Monomioa bider polinomioa egiteko, monomioa polinomioko gaietako bakoitzarekin biderkatu eta emaitzak batzen dira. Adibidez: ( ) ( ) 6. Biderkatu eta adierazi emaitzak zer mailatakoak diren: ( ) ( 6) ( ) ( ) 7 ( ) f) 7( ) g) ( ) h) 8 ( ) i) ( ) j) [ () ] Hartu kontuan Kalkuluak horrela aurkeztuz gero, polinomioak ordenan eta seguru biderkatzen dira. Gairen bat falta izanez gero, hutsunea utzi behar da dagokion tokian. Polinomioak biderkatzeko laguntza. Identitate nabarmenak erabiltzeko laguntza. Identitate nabarmenen justifikazio geometrikoa.. P, Q 7 eta R 8 izanik, kalkulatu: P Q P R Q R. Eragin eta sinplifikatu ateratzen den adierazpena. ( ) ( ) ( ) ( y ) 7 ( y ) 8 ( ) ( y ) 7G ( 7)( ) ( ) Bi polinomio biderkatzea Bi polinomio biderkatzeko, faktoreetako bateko monomioetako bakoitza beste faktoreko monomioetako bakoitzarekin biderkatzen da eta, gero, lortu diren monomio antzekoak batzen dira. Adibidez: P, Q 6 6Ä P 6 6Ä Q 6 6Ä bider P 0 6 6Ä 6 bider P Ä P Q Gai guti direnean, ez dago aurreko metodoa erabili beharrik, zuzenean biderkatu dezakegu: ( ) ( ) 6 8 Biderkadura nabarmenak Horrela esaten zaie honako berdintza hauei: I. (a a b ab baturaren karratua II. (a a b ab kenduraren karratua III. (a (a a b batura bider kendura Ezagutzen zenituen berdintza horiek, baina sarri erabiliko dituzu; ondorioz, beharrezkoa da trebetasunez erabiltzea. Adibidez: ( ) () 9 0 ( ) ( ) () Garatu honako karratu hauek: ( ) ( ) ( 6) c m c m f) (a b ) 7. Biderkatu: ( )( ) ( )( ) c mc m (a b )(a b ) 86 Praktikatu polinomioak batuz. Praktikatu polinomioak kenduz. Praktikatu polinomioak biderkatuz. Praktikatu identitate nabarmenekin. 87 Iradokizunak Polinomioak batzea edo monomio baten biderkadura bider polinomio bat edo bi polinomio egitea, azken batean, monomioekin lan egitea da. Akatsak saihesteko behar den gauza bakarra ondo antolatzea baino ez da. Hori dela eta, komenigarria iruditu zaigu polinomioak bata bestearen azpian jartzea; horrela, antzeko monomioak taldeka egonik, errazago laburtuko ditugu. Irakasleak erabakiko du zein unetan komeni den polinomioak lerro bakar batean idaztea eta adierazitako eragiketak modu kontsekutiboan egitea. Aurreko ikasturtean identitate nabarmenak ikusi bazituzten ere, maila honetan ikasle askok ez dituzte oraindik ondo erabiltzen, eta akats ugari egin ohi dituzte. Horrenbestez, binomioen biderkadura gisa duten garapena justifikatzeaz gain, komeni da hainbat adibiderekin lan egitea, prozesua automatizatu arte. Indartu eta sakondu MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko:. orrialdeko.,. eta. ariketak. Sakontzeko:. orrialdeko. eta. ariketak. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Indartzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. eta. ariketak. B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. A fitako «Aplikatu» ataleko.,. eta. ariketak. Sakontzeko: B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Aplikatu» ataleko.,. eta. ariketak. atalaren soluzioak 6. maila. maila. maila P Q ; P Q 6.. maila maila 6.. maila.. maila maila f ) 7.. maila g) 0.. maila h) 8.. maila i ).. maila j ) maila P Q 0 9 P R 0 Q R y y ( 9 ) 6 6 ( 6 8 ) f ) a b ab a b 6

6 Identitateak Azalpenak () Batura baten eta kendura baten karratuak garatu dira. () Aurrean minus zeinua duen parentesiak gai guztien zeinua aldatu beharra dakar. () Gai antzekoak laburtzen dira. () 6 faktore komun ateratzen da. 7 berdintza identitatea da -ren balioa edozein izanda ere egia denez gero. Identitate asko ezagutzen dituzu. Hona hemen halako batzuk: a m a n a m n a ( y ) a a y a (b a b c Biderkadura nabarmen esaten zaienak ere identitateak dira. Horiek guztiak ezaugarri aritmetikoen ondorio edo horien itzulpen sinple dira. Identitatea parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza aljebraikoa da. Identitateen erabilgarritasuna Identitateak honetarako erabiltzen dira: adierazpen aljebraikoa erabiltzen erosoago izango den beste adierazpen aljebraiko bat bihurtzeko. Adibidez: ( ) ( ) () ( 0) ( 9 6) () () 6 6 () 6( ) Lau berdintzetako bakoitza identitatea da. Azken adierazpena, 6( ), jatorrizko baino sinpleagoa da eta errazago erabil daiteke, baina berdin-berdinak dira. Horregatik, lehenengo adierazpenaren ordez azkena erabil dezakegu eta aldaketa onuragarria da. Sakontzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Praktikatu» ataleko.. eta. ariketak. Lankidetzan ikasi Eragiketa aljebraikok indartzera bideratutako orrialde hauetarako, honako metodologia hau iradokitzen dugu: Ikasleak talde tikitan jarriko dira (biko edo hiruko taldeak). Zenbait adierazpen ebatziko dituzte, banaka; gero, prozesuak eta soluzioak egiaztatuko dituzte. Desadostasunik badago, akatsak adierazi beharko dituzte. Zalantzak argitzeko gai ez badira edo ados jartzen ez badira, irakasleak parte hartuko du. atalaren soluzioak Identitateak dira,,, f) eta h). a a ab ac a. Honako berdintza hauetako zein dira identitate? a a a a a (a ) 7 a a a f) a a a g) ( ) ( ) 9 h) m m 6 (m ) (m ). Ahalik eta erarik laburrenean, osatu honako berdintza hauetako bigarren gaia identitate izan daitezen: a a a a a [?] a a a a a [?] a a a a a b a c a b [?] ( ( b a [?]. Honako adierazpen hauetatik hasita, iritsi adierazten diren emaitzetara identitateen bidez: ( ) ( 6) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a (a ab Ikasleek emaitzak egiaztatuko dituzte. OHARRAK 88 Iradokizunak Identitatea, parte hartzen duten letren edozein baliotarako egia den berdintza gisa, kontzeptu intuitiboa eta ulertzeko erraza da ikasleentzat. Irakasleak beharrezkotzat jotzen badu, kontzeptu hori eta hurrengo unitatean ikasiko dugun infinitu soluzio dituen ekuazioa lotu ditzake. Ikasleek identitate nabarmenak erraz erabil ditzaten, eta prozesu hau osatu dadin, beharrezkoa da aurkako pausoa ematea: binomio baten karratua edo monomioen karratuen kendura diren adierazpenak identifikatzea, eta horiek guztiak bere horretan adieraztea. Zenbait ikaslek zailtasunak izaten dituzte faktore komuna ateratzeko prozedura ulertzeko eta aplikatzeko. Zailtasun horiek honako hauek izan daitezke: atera daitezkeen faktorea edo faktoreak antzematea, prozesu honek dituen monomioak zatitzea eta zatidura unitatea denean parentesi barruan zer gai jarri behar den jakitea. Lehen kasuetan, oso eraginkorra da ikasleei eskatzea bi adierazpenen arteko berdintzak egiaztatzea. Oso garrantzitsua da ikasleak honakoaz ohartaraztea: identitateak zuzen erabiltzea ekuazioak, ekuazio-sistemak edo beste prozesu aljebraiko batzuk ebazteko modu eraginkorra da. Hori dela eta, zenbait ariketa proposatuko ditugu; horietan, eragiketak egindakoan, oso garrantzitsua izango da lortutako emaitza sinplifikatzea. Indartu eta sakondu Honako hauek gomendatzen dira: MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko: 6. orrialdeko. eta. ariketak. Sakontzeko: 6. orrialdeko. ariketa. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Indartzeko: A fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. 6

7 Faktore komuna ateratzeko laguntza. Ez ahaztu Batugai bat faktore komunarekin bat datorrenean, hartu kontuan ekin biderkatzen ari dela. y ( y ) Faktore komuna ateratzea Honako adierazpen honetan y 6 z 9 y z. Atera faktore komuna honako adierazpen hauetako bakoitzean: 9 y y 7 y 7 y y y (y ) ( ) ( ) ( ) f) y 6 y y g) ( ) ( y ) 7 ( y ) h) ( ) ( ). Adierazi adierazpen aljebraiko baten karratu edo bi adierazpenen arteko biderkadura eran f) g) ( ) h) ( ) i) 6 9 j) Osatu honako berdintza hauek identitate izan daitezen: ( ) 6 ( 6) 9 ( )( ) ( ) eta batugai guztietan biderkatzen ari dira. Horien guztien faktore komunak dira. Kanpora atera ditzakegu, honela: y 6 z 9 y z y z y z (y z y z) Eraldaketa horri faktore komuna ateratzea esaten zaio. Adierazpenak sinplifikatzeko eta geroago agertuko diren ekuazio batzuk ebazteko erabiltzen da. Hartu kontuan azken adierazpenean parentesia kenduz gero, hasierakoa lortuko zenukeela berriz ere. Indartu faktore komuna ateratzeko prozedura. 7. Sinplifikatu honako adierazpen hauek: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0) ( )( ) ( ) ( 0) f ) ( ) [ ( ) ] 8. Elkartu ezkerreko adierazpenetako bakoitza eskuinean horretatik atera daitekeen faktore komunarekin: 8 y ( ) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( 8) (0 60) 9 8y 6yz 6 Lortu adierazpen sinplifikatuak faktoreak atera ondoren. 9. Biderkatu eta sinplifikatu emaitzak. bider 8 8 bider ( ) ( ) bider 8 8 ( ) ( ) bider c 7 m bider ( ) ( ) f ) 9 bider f ) 8 8 y e y o ( ) ( ) ( ) ( )( ) 6( ) ( 8) (0 60) ( )( 7) 9 8y 6yz 6 ( 6y yz ) f ) 9 76 OHARRAK 89 atalaren soluzioak ( ) e o y (y y 7y) y( 0y ) 0 f ) y ( y y) 7 g) (y ) f p ( y ) f p h) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) c m g) ( ) ( ) h) f p i ) ( ) ( ) j ) 6 ( ) 6 ( 6) 9 ( ) ( ) f 8p 0 f e op 66

8 Polinomioen zatidura Prozesuaren deskripzioa. Zatikizunean, falta diren gaietarako hutsuneak uzten dira.. Zatikizuneko lehenengo gaia zatitzaileko lehenengo gaiarekin zatitzen da: (7 ) : 7. Hori da zatidurako lehenengo gaia.. 7 eta Q ()-ren arteko biderkadura, zeinua aldatuta, zatikizunaren azpian jarri eta batu egiten da.. Lehenengo kendura Hortik aurrera,. eta. pausoetan bezala jokatuko dugu berriz ere. Prozesuak aurrera jarraituko du lortzen den kendura partziala Q ()-ren maila baino handiago edo pareko den artean zatiduraren hondarra koefizienteak Faktorizazioa Polinomioen arteko zatiketaren aplikaziorik garrantzitsuenetako bat polinomioa faktoreen biderkaduran deskonposatzea da; polinomioaren faktorizazio esaten zaio horri. Prozesu horretan, Ruffiniren erregela guztiz erabilgarri da. Polinomioak zatitzea Polinomioak zenbaki arruntak bezala zatitzen dira: bi polinomioren arteko zatiketa eginez gero, zatidura eta hondarra ateratzen dira. Adibidez, P () zati Q () : (7 ) : 7 0 (0 ) : (0 ) : 0 ( ) : Zatidura C () da. Maila P () eta Q ()-ren mailen arteko kendura da. Hondarra R () da. Maila zatitzailearena baino tikiago da. P (), Q (), C () eta R ()-ren arteko erlazioa zatiketa osokoa bera da: P () Q () C () R () R () 0 denean, zatiketa zehatza da eta P () Q () C () betetzen da. Orduan P () zatigarri dela Q ()-rekin esaten dugu. Ruffiniren erregela Aurreko zatiketa, era sintetikoan, honela egin daiteke: ( ) 7 HONDARRA zatidura: esan nahi du: hondarra: Berdez zenbakitutako pausoak goiko zatiketan ematen direnak dira. Koefizienteek soilik parte hartzen duten eta benetan garrantzia duten eragiketak soilik egiten diren metodoari Ruffiniren erregela esaten zaio. Ruffiniren erregelak polinomio bat a-rekin zatitzeko balio du. Eragiketak, (batuketak eta biderketak a-rekin) bana-banaka egiten dira. Horrela, zatiduraren koefizienteak eta zatiketaren hondarra lortzen dira. Ariketa ebatziak. Honako polinomio hau: P() zati Q() egitea. oharra: Zatiketa horretan, ezin daiteke Ruffiniren erregela erabili, zatitzailea ez delako a motakoa, maila duen polinomioa baino.. Honako polinomio hau: P() zati Q() egitea. P() zatigarri al da Q() -rekin?. Ruffiniren erregelaren laguntzaz, honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihurtzea: P() 6 Zeuk egin. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hau faktoreen biderkadura bihurtzeko (lehenengo, atera faktore komun): P (). Kalkulatu zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( 7 8) : ( ) (6 ) : ( ) ( 6 ) : ( ) Ruffiniren erregelaz / 7 0 (6 ) : ( ) 7 ( ) : ( ) 6 7 8/ (7 ) : ( ) 7/ / Zatidura C () 6 7 da, eta hondarra, R (). Koefizienteak lerroan jarriko ditugu, kontuan hartuz -n gaia falta dela; ondorioz, 0 jarriko dugu dagokion tokian. 0 0 zatidura:, honi dagokio: hondarra: 0 Ondorioz, P () ( ) ( ). Hondarra 0 denez, P () polinomioa Q ()-rekin zatigarri dela esan dezakegu. Erregela garrantzitsua. Polinomioaren koefizienteak zenbaki osoak izanez gero, polinomioaren erroak gai askearen, ez daramanaren, zatitzaile (positibo edo negatibo) dira. (Erregela hori hurrengo ikasturtean justifikatuko d. Honako polinomio honetan, 6, gai askea 6 da. Zatitzaileak,,,,,, 6 eta 6 dira. Soilenekin probatzen hasiko gara: 6 ez da erro bada erro. Ondorioz, zatiketa zehatza da eta P () ( ) ( 6) betetzen da. Orain, 6-ren zatitzaileen bila joko dugu. ekin proba egin eta orain erro ez dela egiaztatu dugu. Gero, rekin probatu eta erro badela ikusi dugu Orduan, ( 6) ( ) ( ) Ondorioz, P () ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ). Hori da hasierako polinomioaren faktore-deskonposizioa.. Bihurtu polinomioak faktoreen biderkadura: P () 7 6 P () P () P () 90 9 Iradokizunak Aurreko ataletan, monomioen eta polinomioen arteko batura eta biderkadura ikasi ditugu, baita zenbait aplikazio erabilgarri ere, hala nola identitate nabarmenak eta faktore komuna ateratzea. Oraingoan, baina, polinomioen zatidura ikusiko dugu; kontzeptu hori zenbaki arrunten zatidura osoa lortzearekin lotuko dugu. Polinomioak zatitzeko, eragiketa hauek egin behar ditugu, elkarren jarraian: bi monomioen arteko zatiketa, monomio baten biderkadura bider polinomio bat egitea, eta polinomioen kenketa. Prozesu hori orrialdearen marjinan ageri da, eta behar beste aldiz errepikatuko da. Zailtasunik handiena prozesua modu ordenatu eta sistematiko batean egitean datza. Komeni da ikasleek adibide ebatzian ematen diren urratsei jarraitzea: falta diren gaien hutsunea uztea; zatiketak idaztea zatiduraren gaiak lortzeko, eta biderketak bider zatitzailea egitea, ondoren kenketa egiteko, eta biderkaduraren gaietako bakoitza dagokion lekuan kokatzeko. atalaren soluzioak Zatidura: ; Hondarra: 8 Zatidura: 8 ; Hondarra: Zatidura: 0 6 ; Hondarra: 9 ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) OHARRAK Aukeratu dugun adibideak, a iturako zatitzailearekin, aukera emango digu zatiketa bera erabiltzeko Ruffiniren erregela aurkezteko. Erregela hori, aplikatu daitekeen kasuetan, oso eraginkorra da, eta oso erabilgarria polinomio bat faktoreen biderkadura bihurtzeko. Ikasleek argi ulertu behar dute ohiko zatiketaren eta Ruffini erregela erabiliz egindako zatiketaren artean paralelismo handia dagoela; bestela, azken hori zentzurik gabeko automatismo bihur daiteke haientzat. Erregela hori erraz ikas eta barneratu daitekeen arren, ikasleek argi izan behar dute zatitzailea a motatakoa denean soilik aplika daitekeela, eta hondarra beti dela zenbaki bat. Adibide ebatzietan ideia hori azpimarratzen da. Maila honetan ez ditugu Ruffiniren erregelaren aplikazioak sakon aztertu, ezta polinomioen faktorizazioa ere. Izan ere, hori guztia hurrengo ikasturtean ikasiko dugu. 67

9 6 Zatiki aljebraikoak Zatiki aljebraikoak sinplifikatzeko laguntza. Kontuz Izendatzaile komuna duten zatiki aljebraikoak batzeko (edo kentzeko) zenbakitzaileak batu eta izendatzaile komuna gordetzen da. ( ) Ariketa ebatzia Eragitea. 7 Zatiki aljebraiko esaten zaio bi polinomioren zatidura adieraziari. Adibidez:,, 6 Zatiki aljebraikoak eta zenbakizko zatikiak guztiz antzeko eran portatzen dira, ondoren ikusiko dugunez. Sinplifikatzea Zatikia sinplifikatzeko zenbakitzailea eta izendatzailea bien faktore komun batekin edo hainbatekin zatitzen dira. Horrela, baliokide den beste zatiki bat lortzen da. ( ) ( )( ) Adibidez: 6( ) ( ) Izendatzaile komunera laburtzea Hainbat zatiki izendatzaile komunera laburtzeko, zatikietako bakoitzaren ordez baliokidea jartzen da, guztiek izendatzaile bera izan dezaten. Azken hori izendatzaile guztien multiplo izango da., Izendatzaile komuna: ( ) Hartu kontuan zatiki bakoitzean zenbakitzailea eta ( ), izendatzailea faktore egokiarekin biderkatu dela ( ) ( ) nahi den izendatzaile komuna lortzeko. Batzea eta kentzea Zatiki aljebraikoen arteko batuketak edo kenketak egiteko, izendatzaile komunera laburtzen dira eta zenbakitzaileak batu edo kendu egiten dira, izendatzaile komuna utzita. Adibidez: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Zatiki aljebraikoak biderkatzeko eta zatitzeko laguntza. Definizioa Zatiki aljebraikoaren alderantzizko esaten zaio zenbakitzailea eta izendatzailea trukatuz lortzen denari. zatikiaren alderantzizkoa da. Ariketa ebatzia Eragitea. 7 : c : m Biderkatzea. Sinplifikatu honako zatiki hauek. Horretarako, atera faktore komuna komeni denean: ( ) ( ) 9( ) 9 9( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ). Eragin eta sinplifikatu Bi zatiki aljebraikoren biderkadura horien izendatzaileen biderkadura zati izendatzaileen biderkadura da. Adibidez: ( ) 0 ( ) Zatitzea Bi zatiki aljebraikoren zatidura lehenengoa bider bigarrenaren alderantzizkoa da (gaien biderkadura gurutzatu. Adibidez: ( ) : 6 7 ( 7) 6 ( ) : ( ) ( ) c : m. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan identitate nabarmenak: :( ) ( ) : : 6 ( ) f) : g) h) 6 0 ( ) i) j) 8 6 8( ). Eragin eta sinplifikatu. 6 : c m 9 ( )( ) 9 Zatiki aljebraikoen arteko batuketak eta kenketak egiteko laguntza. 9 Iradokizunak Epigrafe honetan, maila honetako ikasleek erabili beharko duten tresnarik zailenetako bat aurkeztuko dugu: zatiki aljebraikoak. Kontzeptua bera aurkezteaz gain, haren erabilerari ere helduko diogu. Datorren ikasturtean osatuko dugu eduki hau. Argi dago zailtasuna ez dela kontzeptua bera, harekin egiten diren eragiketak baino. Orrialdearen hasieran zatiki aljebraikoak zenbakizko zatikien antzekoak direla esaten den arren, badakigu zatiki aljebraiko bat sinplifikatzeko ezinbestekoa dela polinomio bat faktoreen biderkadura bihurtzeko teknikak ezagutzea (faktore komuna ateratzea, identitateak identifikatzea, Ruffiniren erregela aplikatze. Hasteko, ariketa errazak egingo ditugu, faktore komuna ateratzeko aukera ematen dutenak. Ikasleei esango diegu faktore komunak zenbatzailean eta izendatzailean sinplifikatu behar direla. Gero, beste mota bateko ariketak egingo ditugu, hain zuzen ere, izendatzailean eta zenbatzailean identitate nabarmenak dituztenak, eta, behin biderkadura gisa adierazita, sinplifikatzeko aukera ematen dutenak. Ondoren, bi teknika horiek batera erabiltzeko moduko adierazpenak dituzten ariketak egingo ditugu. Alabaina, maila honetan ez da beharrezkoa zatikiak sinplifikatzeko Ruffiniren erregela derrigorrez erabiltzea eskatzen duten ariketak egitea. Zatikiekin eragiketak egiterakoan, kalkulu konpleuak alde batera utziko ditugu. Adibideaz, batuketak egitean, izendatzaileen mkt ezin daiteke izan. maila baino gehiagoko polinomioa. Zatiketak eta biderketak egitean, honakoa nabarmenduko dugu: izendatzailean eta zenbatzailean egindako biderketak adierazi behar direla, emaitza eman baino lehen zatikia sinplifika daitekeen ikusteko. Hori da zenbakizko zatikien kasua, zatiki laburtezin gisa adierazi behar baitira. Indartu eta sakondu MATEMATIKA-ARIKETAK izeneko. koadernotik: Indartzeko: 7. orriadeko. ariketa.. ariketa,,, eta atalak. 8. eta 9. orrialdeetako. ariketako, eta. Sakontzeko: 8. eta 9. orrialdeetako. ariketako, f), g), h), i), j) eta k) atalak, eta. ariketako,, f) atalak. 9. orrialdeko. ariketa. INKLUSIOA ETA ANIZTASUNA KONTUAN HARTZEA izeneko fotokopiatzeko materialetik: Sakontzeko: B fitako «Praktikatu» ataleko. ariketa. atalaren soluzioak ( ) ( )( ) 9 f ) g) ( ) 0 i ) j ) 0 f ) h) 6( )

10 Ariketa eta problema ebatziak. Adierazpen aljebraikoak Adierazi hizkuntza aljebraikoan. Zati urdinaren azalera 0 cm da. 0 cm 8 cm Etera joateagatik 0 eta orduko gehi zergei dagokien % kobratzen duen iturginaren faktura.. Biderketa bihurtzea Honako polinomio hauek biderketa bihurtzea: P() 9 8 T() Zeuk egin. Bihurtu biderketa Zatiki aljebraikoak Sinplifikatzea. c m Zeuk egin. Sinplifikatu. 0 c m c m Azalera zenbat den kalkulatzeko, barruko laukizuzenaren azalera (8 0) kanpoko laukizuzenaren azalerari kenduko diogu; horren aldeen neurriak honako hauek dira, hurrenez hurren: 8 eta 0, eta 0era berdinduko ditugu: (8 )(0 ) Ekuazioa da. Lanean egin diren orduak izanez gero, faktura 0 izango da gehi zergei dagokien % : (0 ),, 8, Binomioa da. Zeuk egin. Adierazi hizkuntza aljebraikoan zenbat litro ur gelditzen diren beterik zegoen eta, lehenengo, / eta, gero, gainerakoaren / atera den deposituan. Ruffiniren erregela erabiliko dugu P ()-ren zatitzaile bat aurkitzeko. P ()-ren erroren bat bilatuko dugu horren gai askearen (8) zatitzaileen artean: Hondarra 0 denez, P () zatigarri da ( )-rekin eta P () ( ) ( 9) dela betetzen da. Zatidura ( 9) karratuen arteko kendura da eta batura bider kendura eran adieraz dezakegu. Ondorioz: P () ( )( )( ) Faktore komuna aterako dugu T () ( ) ren zatitzaileen artean, -ren erroren baten bila joko dugu: polinomioa zatigarri da ( )-ekin: ( )( ) 0 Ondorioz: T () ( )( ) Zenbakitzailea eta izendatzailea biderkadura bihurtuko ditugu. Horretarako, faktore komuna atera eta identitate nabarmenik dagoen begiratuko dugu: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Parentesiaren barruko eragiketa eta, gero, biderketa eta kenketa egingo ditugu, pausoz pauso sinplifikatuz: ( ) c m Ariketak eta problemak Egin Hizkuntza aljebraikora itzultzea. Adierazi hizkuntza aljebraikoan ezezagun bakar batekin. Zenbaki bat bi halako gehi zenbakiaren karratua. Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko biderkadura. handiago egin den zenbaki baten erdia. ren multiploetako bat ken 7.. Erabili bi ezezagun honako enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikoan adierazteko: Zenbaki bat gehi beste baten karratuaren erdia. Bi zenbakiren kenduraren karratua. Aitaren eta horren semearen adinen batura duela urte.. Elkartu honako adierazpen hauetako bakoitza A, B eta C triangeluen perimetroari eta azalerari : 6 f) A B 6 C. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako laukizuzen hauen perimetroa eta azalera: A y B y C y. Adierazi hizkuntza aljebraikoan bi ezezagun erabiliz: Andrearen adina, 7 urte barru, Luziak izango duena bi halako izango da. Olio-errota batean, 00 litro olio ontziratu dira, eta litroko botilatan. Matematikako azterketa jakin batean, puntu ematen dituzte erantzun zuzen bakoitzeko eta puntu kentzen dute errakuntza bakoitzeko. Koldok 60 puntu atera ditu. Bi zenbakiren arteko kenduraren kuboa 8 da. Monomioak eta polinomioak. Eragiketak 6. Adierazi zenbat den honako monomio hauen maila eta adierazi zein diren antzekoak: y (7) 8 (y) f) y g) h) 7. Kalkulatu zenbat den aurreko ariketako monomioen zenbakizko balioa eta y izanik. 8. Egin y y y y y y y 9. Biderkatu honako monomio hauek: (6 )() (y )( y ) c mc m c ymc z m 0. Egin, laburtu eta adierazi zenbat den ateratzen den polinomioaren maila kasu bakoitzean: ( ) ( ) 7( ) ( ) ( ). Hartu kontuan honako polinomio hauek: A B C 7 Kalkulatu: A B; A C; A B C. Saiatu ea,,, zenbakiak honako polinomio hauetako erro diren: 7 6. Eragin eta sinplifikatu. ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) c m(6 ) Iradokizunak «Ariketa eta problema ebatziak» izeneko orrialdean, ikasleek zenbait estrategia, iradokizun eta jarraibide topatuko dituzte; horrela, unitatearen amaierako orrialdeetan ageri diren ariketak errazago ebatziko dituzte. Horrekin guztiarekin, ikasleak gai izango dira antzeko zenbait egoera problematikori aurre egiteko. «Zeuk egin» atalaren soluzioak 8 Perimetroa ( y ) y C * Azalera y ( ) y 7 y, y 00 y 60 ( y) f ) g) h) Antzekoak: eta g); eta f); eta h) / f ) / g) 9/ h) / 0( )( ) ( )( ) «Ariketa eta problemak» atalaren soluzioak ( ) ( ) y y y y y 6 yz maila 6. maila y ( y) ( ) (y ) da Bren azalera. da Cren perimetroa. 6 da Aren perimetroa. da Bren perimetroa. da Aren azalera. f ) da Cren azalera. A B Perimetroa ( y) y * Azalera y Perimetroa ( y) y * Azalera ( ) y y y A B A C 8 8 A B C eta honen erroak dira: 7 6. honen erroa da:., eta honen erroak dira:

11 Ariketak eta problemak. Laburtu honako adierazpen hauek: 6c m 6 c 6 m 0 ( ) ( ) G 0. Biderkatu adierazpen bakoitza izendatzaileen mkt-rekin eta sinplifikatu emaitzak: 8 6 ( ) ( ) 6 Berdintza nabarmenak 6. Garatu honako adierazpen hauek: ( 6) (7 ) ( ) c m ( y ) f) c ym 7. Adierazi karratuen arteko kendura eran. ( 7)( 7) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c mc m f) c mc m 8. Falta den gaia idatziz, osatu adierazpenetako bakoitza batura edo kendura baten karratua izan dadin: Atera faktore komuna. 8 y y y 0. Adierazi batura baten edo kendura baten karratu eran, adibidean bezala. 0 ( ) 9 6. Bihurtu biderketa Laburtu honako adierazpen hauek: ( ) ( ) 8 G 9 6 ( ) ( ) ( ) 8 G 8 ( ) ( ) 0 G 6. Atera faktore komuna, adibidean bezala. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ). Bihurtu biderketa, adibidean bezala. ( ) ( ) 8 Polinomioak zatitzea. Ruffiniren erregela. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( 6) : ( ) ( ) : ( ) ( 7) : ( ) ( 7 0) : ( ) ( 7) : ( ) ( )( ) ( 7) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Zatidura: ; Hondarra: 0 Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: 6 ; Hondarra: 0 Zatidura: ; Hondarra: 7 OHARRAK 96 «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak y y f ) y y f ) ( ) ( ) y(y y) ( ) 0 ( 7) ( ) ( ) ( 6) ( 7)( 7) ( 9) ( ) ( 0)( 0)

12 6. Kalkulatu zenbat diren honako zatiketa hauetako zatidura eta hondarra: ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) 7. Erabili Ruffiniren erregela honako polinomio hauek biderketa bihurtzeko: 6 f) 8. Bihurtu biderketa Zatiki aljebraikoak 9. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek: 9 ( ) ( ) ( ) 0. Sinplifikatu honako zatiki aljebraiko hauek. Horretarako, atera faktore komuna: 8 ( ). Sinplifikatu honako zatiki hauek: ( ) 6( ) ( ) ( ) f) f). Sinplifikatu. Horretarako, bihurtu biderkadura zenbakitzailea eta izendatzailea. 6 9 f). Laburtu izendatzaile komunetako tikienera eta egin eragiketa hauek: f). Egin. 6 7 f). Eragin eta laburtu. ( ) : f) : 6. Eragin eta sinplifikatu, ahal izanez gero. : ( ) : ( ) : 7. Egin honako eragiketa hauek eta sinplifikatu. Hartu kontuan berdintza nabarmenak: c m: c m : c m c 9 m : c m c m c m ( ) f) c : m ( ) 6 ( ) ( ) 6 f ) f ) ( ) 7 OHARRAK ( ) 6 f ) ( ) 6 f ) ( ) 97 «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak 6 Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: Zatidura: ; Hondarra: 7 6 Zatidura: 7 Hondarra: ( )( ) ( )( ) ( ) e o ( )( ) ( ) e o f ) ( )( )( ) 8 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 9 0 f ) f ) f ) ( ) 7

13 Ariketak eta problemak Ebatzi problemak 8. Adierazi hizkuntza aljebraikoan. Andelean dagoen ur kantitatea eta andel horretatik, lehenengo, edukieraren / ateratzen da; gero, geratzen denaren / eta, gero, 0 litro. Bi fraka erosi ditut 60 eurorekin. Bat % 0 merkeago zegoen eta bestea, % merkeago. Freskagarri batek botila bat urek baino gehiago balio du. Hiru freskagarri eta bi botila ur 6 ordaindu ditut. 9. 0a b adierazpenak bi zifrako zenbaki bat adierazten du. Idatzi era aljebraikoan: Hiru zifrako zenbaki bat. -n idatzi duzun zenbakiaren hurrengoa eta aurrekoa. Hiru zifrako zenbaki baten arteko kendura eta zenbaki horretako zifrak alderantzikatuz ateratzen dena. 0. Zenbaki baten erdia zenbaki hori hiru halako baino 0 unitate tikiago da. Honako adierazpen aljebraiko hauetako zein dagokio enuntziatu horri? Freskagarria, ogitartekoa eta opila 9 ordaindu ditut. Ogitartekoak freskagarriak hiru halako balio du eta horrek opilak bi halako. Opilaren prezioa izanik, adierazi era aljebraikoan enuntziatu hori.. Lagun talde batek oparia erosi nahi diote Mireni eta bakoitzak ordaindu beharko du. Beste hiru gehiago izanez gero, bakoitzak gutiago ordaindu beharko luke. Honako berdintza hauetako zeinek adierazten du enuntziatu hori? ( ) 8( ) 8( ) 9( ). 6 kg pintura kiloak gutiago balio duen kalitate eskasagoko 9 kg pinturarekin nahasiz gero, nahastearen prezioa,0 /kg izango da. Pintura garestiaren prezioa izanik, bete honako taula hau eta adierazi enuntziatu hori era aljebraikoan. kantitatea (kg) prezioa ( /kg) kostua ( ). pintura 6 6. pintura 9 nahastea,0. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren koloreztatuta dagoen zatiaren azalera eta perimetroa. Triangeluko hiru erpinetako bi bat datoz karratuaren erdiguneekin.. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren dimentsioak ondoz ondoko hiru zenbaki arrunt dituen ortoedroaren azalera totala eta bolumena. 6. Zilindro baten altuera oinarriko erradioa bi halako da. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren zilindro horren azalera totala eta bolumena. R 7. Adierazi era aljebraikoan zenbat diren honako irudi honen azalera eta perimetroa: 0 8. Adierazi era aljebraikoan zenbat den koloreztatuta dagoen zatiaren azalera. 0 R y 9. Pentsatu ondoz ondoko hiru zenbaki. Kendu handienaren karratuari tikienaren karratua. Zatitu emaitza erdikoarekin. aterako duzu beti! Justifika ezazu hizkuntza aljebraikoa erabiliz. 0. Idatzi ondoz ondoko hiru zenbaki bakoiti. Batu tikienari eta jaso karratura. Kendu beste bien karratua. Zer lortu duzu? Problema korapilatsuagoak. Asmatu ezkutuko zenbakia! Pentsatu edozein zenbaki, biderkatu rekin, kendu 0, kendu pentsatu duzun zenbakia, batu eta esadazu emaitza. Azaldu zergatik lortuko dudan ezkutuko zenbakia emango didazun emaitzari 7 batuz.. Pentsatu edozein zenbaki, batu 7, biderkatu emaitza rekin, kendu, zatitu rekin eta esadazu emaitza. Nola jakin dezaket zer zenbaki pentsatu duzun?. Bi zifrako zenbat zenbakik egiaztatzen dute honako hau?: Zenbakiko bi zifrak gehi bi zifra horien arteko biderkadura batuz hasierako zenbakia ateratzen da.. Erreparatu: Zenbat da 9-ren balioa? Eta n -rena? Hitzak erabiliz, adierazi propietate hori eta saia zaitez frogatzen. Hausnartu teoriari buruz. Noiz esaten da zenbakia polinomioaren erroa dela? Honako polinomio hauetako zeinek ditu eta erroak? f) 6. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak. ( ( ( (a ) () Bi monomio biderkatuz gero, binomioa lortuko dugu. Bi monomio antzekoak dira horien letrazko atalak letra berak edukiz gero. f) Bi monomioen arteko batura positiboa izanez gero, biderkadura ere bada. 7. Zenbat izan behar du k-ren balioak 7 k polinomioaren erroa izan dadin? Azaldu erantzuna. 8. Zer emaitza ateratzen da zatiki bat horren alderantzizkoarekin biderkatuz gero? Egiaztatu zatikiarekin eta horren alderantzizkoarekin. 9. Sinplifikatu (a ) (a ) adierazpena. Kalkulatu, kalkulagailua erabili gabe zenbat den honako honen balioa: Kalkulatu zenbat balio behar duen a-k kasu bakoitzean, bi adierazpenak berdin-berdinak izan daitezen: ( ( 7 eta 9 8 ( a 6 eta 8 6. Honako adierazpen hauetako zein dira identitateak? Justifikatu. 9 ( ) ( ) 6. zenbaki osoa izanez gero, zer esan 6 dezakegu -ren balioari buruz? zatiki aljebraikoa sinplifikatuz gero, honako zatiki hauetako zein lortzen da? Justifikatu «Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak 8 c m 0 0 0,8 0,7y 60 ur-botilaren balioa bada, ( ) 6 freskagarriaren prezioa bada, ( ) a 0b c 00a 0b c eta 00a 0b c (00a 0b (00c 0b 99a 99c 0 da. 6 9 berdintza da. kantitatea (kg) prezioa ( /kg) kostua ( ). pintura 6 6. pintura 9 9( ) nahastea,0 6 9( ) Nahastearen kostua Perimetroa 6 9( ),0 Azalera 8 Azalera 6 Bolumena 6 Azalera 6πR Bolumena πr 7 Perimetroa 0 Azalera 0 8 A y 6 9 ( ) 0 Beti lortzen da. ; ; 0; 0 0; 0 7 Emaitzari kenduz. Amaieran 9 duten zenbaki guztiek egiaztatzen dute eskatutako baldintza. 9 0 n n a zenbakia P() polinomioaren erroa da, baldin eta P( 0 bada. polinomioa. 6 E E G G G f ) G 7 k 8 Emaitza da. 9 a a o a a 8 edo a 8 6 adierazpena soilik da identitatea. 6 zenbaki bikoitia da. 6 zatikia lortzen da. 7

14 Taller Matematika-lantegia de matemáticas Jo informazio bila Trebatu problemak ebatziz Historia apur bat Bi tirrindulari leku beretik atera dira, ordu berean eta Gorputz-heziketako saioaren ostean, kaatan gorde Zenbateko aldea aterako dio lehenengoak bigarrenari ordu bat eta berrogei minutu igarota? Dantza-gela batean, 0 gazteri galdetu zaie eta ek noranzko berean. 0 km/h eta km/h-ko abiaduran doaz, hurrenez hurren. Aljebraren Europan zeharko ii. mendeko hedapena islamdar kultura Iberiar penintsulan zabaltzearekin batera gertatu zen. Hedapen horren funtsezko pieza Toledo hiria izan zen. eta iii. mendeen artean; hedapen hori gailurrera iritsi zen Alfontso X.a Jakintsuak Toledoko Itzultzaileen Eskola sortu zuenean. Europara greziar eta arabiar kulturak pasatzeko bidea izan zen eskola hori. ditugu gure 9 baloiak. Kaa bakoitzak baloi kopuru bakoitia du eta bi kaako baloien kopurua inoiz ere ez dator bat. Nola izan liteke? rock-zaleak direla erantzun dute eta k electro-latino delakoa gustatzen zaiela. Horietako 6k bi musika-erritmoak gustatzen zaizkiela erantzun dute. Rock Aljebralaria eta odol-ateratzailea Ez rock ez electro-latino Aljebra hitza arabierako al-jaber hitzetik dator; hitz horrek «berriz konpontzea edo itzultzea» esan nahi du eta esanahi hori pasatu zen gaztelaniara ere. Eta vi. mendean bizarra mozteaz gain hortzhaginak atera, odolusteak egin eta hezurrak konpontzen zituzten bizargileek honako errotulu hau jartzen zuten ateetan: «aljebralaria eta odol-ateratzailea». aljebralaria eta odol-ateratzailea Zenbat ez dira erritmo baten ez besteren zale? Autoebaluzioa Triangelu bitia Beherantz mugarik gabe irekitzen den zenbaki bilduma honek erregulartasun biti eta asko ditu; baina, ezer baino lehen, nola eraikitzen den jakin beharko duzu. S 6 n n S S S 8 S S S Sn Sn 7. Zenbat izan behar du m-ren balioak P m polinomioaren erroa izan dadin? <( ) F 8. Egia ala gezurra? Justifikatu eta eman adibideak. 9 ( ) adierazpena identitatea da.. Biderkatu izendatzaileen mkt-rekin eta sinplifikatu. eta mailako bi binomio biderkatuz gero, mailako polinomioa lortzen da. ( ) 7 ( ) 9? Bi binomio batuz gero, binomioa lortzen da beti. Zenbakiak monomioak dira.. Bihurtu biderketa zenbakitzailea eta izendatzailea, eta sinplifikatu honako zatiki hau: Eta 0. lerrokoa? 0? a b eta ab monomioak antzekoak dira. 9 9 Idatzi n-garren lerroko hirugarren laukitorako adierazpen aljebraikoa: n? Idatzi adierazpen aljebraikoa enegarren lerroko, Sn, gaien arteko batura zenbat den kalkulatzeko. c m : ( ) ( ) ( )( ) Zein da 6. lerroko hirugarren zenbakia? 6. Egin eta laburtu: Hartu kontuan: n? S 6. Egin eta sinplifikatu, ahal izanez gero. Aldearen neurria eta altuera cm dituen oinarri karratuko prismaren azalera totala eta bolumena. ( ) : ( ) ( ) : ( ) Zenbat ordaindu beharko ditugun izozkia, freskagarria eta kafea, jakinik izozkiak kafeak hiru halako eta freskagarriak izozkiaren erdia balio duela. Erreparatu zenbakien honako eskailera honi: S 6???? 0??? Gauza al zara laukito hutsak betetzeko? Batu lerro bakoitzeko zenbakiak eta osatu taula: bakoitzean: /kg balio duen kg pintura /kg balio duen 7 kg pinturarekin nahasiz lortzen den pinturaren prezioa.. Kalkulatu zenbat diren zatidura eta hondarra kasu honako enuntziatu hauek: eta ikasi Ikertu Honako ariketa hauek ebaztea.. Deskribatu, adierazpen aljebraiko baten bidez, izan ekimena Electro-latino 6 f ) y : 6y zatiketa eginez gero, monomioa lortzen da Jo informazio bila Trebatu problemak ebatziz Irakurgai honekin, unitatearen hasierako historia osatuko dugu. Soluzioak 0 kilometroko aldea aterako dio. Ikertu Triangelu bitia Ariketa honen bitartez, gaitasunak eta ikerketa bidezko ikasketa-metodoak bultzatu nahi ditugu: behatzea, manipulatzea, probatzea, aztertzea, erregulartasunak topatzea, hipotesiak egitea eta egiaztatzea, etab. Ikasleek ariketa ulertu dutela bermatzeko, egitura aztertuko dugu, talde handian. Lehen triangelurako, ikasleek eraketa-legea deskubrituko dute, eta hainbat lerrotan osatu dute. Ondoren, talde tikitan edo banaka, gainerako gaiei helduko diegu. Bigarren triangeluan, lerro bakoitzeko elementuen batura bat dator dagozkien berrekizuna duten berreketekin. Zenbait lerrorekin egiaztatuko da. Hirugarren zatia da zailena. Gakoa honako hau aurkitzea da: hirugarren eskailerako zenbakiak bat datozela ondoko lehen zenbaki arrunten baturekin (an n). Hori jakinik, progresio aritmetiko bateko gaiak batzeko ikasi dituzten prozedurak aplikatuko dituzte. Soluzioak S S S S Sn 8 6 n 6 n Autoebaluazioaren soluzioak (n ) n bada kafe baten prezioa, Azalera 0; Bolumena S 0 gazteetatik 8 ez dira ez rockaren ez electro-latinoaren zale ere. Zatidura: 6; Hondarra: 6 Zatidura: ; Hondarra: m 7 8 E E G G G f) E 7

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L. Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,

Διαβάστε περισσότερα

DBH 2 MATEMATIKA. erein

DBH 2 MATEMATIKA. erein Arantza Egurcegui Irakaslearen gidaliburua - Emaitzak DBH 2 MATEMATIKA erein Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA

ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA ARIKETAK ERANTZUNAK PROGRAMAZIOA ERDI MAILAKO HEZIKETA ZIKLOETARAKO SARBIDE PROBA MATEMATIKA ATALA MATEMATIKA MODULUA ARIKETAK ERANTZUNAK BALIABIDEAK ETA PROGRAMAZIOA Modulua MATEMATIKA Oinarrizko Prestakuntza -. maila Erdi Mailako heziketa-zikloetarako

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

Lehen Hezkuntza ISBN: MATEMATIKA. Ibaizabal i.blai. Lehen Hezkuntza. Batuan

Lehen Hezkuntza ISBN: MATEMATIKA. Ibaizabal i.blai. Lehen Hezkuntza. Batuan Lehen Hezkuntza ISBN: 978-84-8394-279-6 9 788483 942796 1 5 1 2 3 MATEMATIKA Ibaizabal i.blai 05 Lehen Hezkuntza Batuan Programazioak 0. unitatea. Gogoan dut Hizkuntza-komunikaziorako gaitasuna: 7., 10.

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika

Διαβάστε περισσότερα

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Estatistika deskribatzailea.

6.1. Estatistika deskribatzailea. 6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

Ordenadore bidezko irudigintza

Ordenadore bidezko irudigintza Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: OPTIKA TEORIA 1. (2012/2013) Argiaren errefrakzioa. Guztizko islapena. Zuntz optikoak. Azaldu errefrakzioaren fenomenoa, eta bere legeak eman. Guztizko islapen a azaldu eta definitu

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Oinarrizko estatistika

6. GAIA: Oinarrizko estatistika 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................

Διαβάστε περισσότερα

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1

GIZA GIZARTE ZIENTZIEI APLIKATUTAKO MATEMATIKA I BINOMIALA ETA NORMALA 1 BINOMIALA ETA NORMALA 1 PROBABILITATEA Maiztasu erlatiboa: fr i = f i haditze bada, maiztasuak egokortzera joko dira, p zebaki batera hurbilduz. Probabilitatea p zebakia da. Probabilitateak maiztasue idealizazioak

Διαβάστε περισσότερα

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei,

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei, Deixia Jardunera edo gogora ekarritako erreferente bat (izaki, leku zein denbora) seinalatzen duen elementu linguistiko bat da deixia. Perpausaren ia osagai guztiek dute nolabaiteko deixia: Orduan etxe

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK

INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK INDUSTRI TEKNOLOGIA I, ENERGIA ARIKETAK 1.-100 m 3 aire 33 Km/ordu-ko abiaduran mugitzen ari dira. Zenbateko energia zinetikoa dute? Datua: ρ airea = 1.225 Kg/m 3 2.-Zentral hidroelektriko batean ur Hm

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia)

FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) FK1 irakaslearen gida-liburua (dok1afk1gidalehenzatia) 1.- Proiektuaren zergatia eta ezaugarri orokorrak Indarrean dagoen curriculumean zehazturiko Batxilergoko zientzietako jakintzagaiei dagozkien lanmaterialak

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

2011 Kimikako Euskal Olinpiada

2011 Kimikako Euskal Olinpiada 2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu

Διαβάστε περισσότερα

mc 2 sen 2 θ+3 Matematikako problemak ebazten jakitea (3)

mc 2 sen 2 θ+3 Matematikako problemak ebazten jakitea (3) ~% b 2 dq/dt mc 2 (y-y )2 θ x 2 -y 2 =a 2 a 2 sen 2 θ+3 x Francisco Javier López pesteguía Matematikako problemak ebazten jakitea (3) Ikasleen koadernoa atzeko, kentzeko, biderkatzeko eta zatitzeko problemak,

Διαβάστε περισσότερα

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa

4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,

Διαβάστε περισσότερα

I. ebazkizuna (1.75 puntu)

I. ebazkizuna (1.75 puntu) ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu

Διαβάστε περισσότερα

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA 1. (98 Ekaina) Demagun Cl - eta K + ioiak. a) Beraien konfigurazio elektronikoak idatz itzazu, eta elektroi

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

6 INBERTSIOA ENPRESAN

6 INBERTSIOA ENPRESAN 6 INBERTSIOA ENPRESAN 6.1.- INBERTSIO KONTZEPTUA 6.2.- INBERTSIO MOTAK 6.3.- DIRUAREN BALIOA DENBORAN ZEHAR 6.2.1.- Oinarrizko hainbat kontzeptu 6.2.2.- Etorkizuneko kapitalen gutxietsien printzipioa 6.2.3.-

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)

1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu) UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko

Διαβάστε περισσότερα

Freskagarriak: hobe light badira

Freskagarriak: hobe light badira Freskagarriak: hobe light badira Ez dute kaloriarik, eta zaporea, antzekoa OHIKO FRESKAGARRIEK AZUKREA DUTE, ETA LIGHT DEITZEN DIRENEK, EZTITZAILE EDO EDULKORATZAILEAK DITUZTE, KALORIARIK GABEAK. HORI

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06 0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik

Διαβάστε περισσότερα

1. Oinarrizko kontzeptuak

1. Oinarrizko kontzeptuak 1. Oinarrizko kontzeptuak Sarrera Ingeniaritza Termikoa deritzen ikasketetan hasi berri den edozein ikaslerentzat, funtsezkoa suertatzen da lehenik eta behin, seguru aski sarritan entzun edota erabili

Διαβάστε περισσότερα

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak

FISIKA ETA KIMIKA 4 DBH Higidurak 1 HASTEKO ESKEMA INTERNET Edukien eskema Erreferentzia-sistemak Posizioa Ibibidea eta lekualdaketa Higidura motak Abiadura Abiadura eta segurtasun tartea Batez besteko abiadura eta aldiuneko abiadura Higidura

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa

Definizioa. 1.Gaia: Estatistika Deskribatzailea. Definizioa. Definizioa. Definizioa. Definizioa Defiizioa 1Gaia: Estatistika Deskribatzailea Cristia Alcalde - Aratxa Zatarai Doostiako Uibertsitate Eskola Politekikoa - UPV/EHU Populazioa Elemetu multzo bate ezaugarrire bat ezagutu ahi duguea elemetu

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa PROGRAMAZIO-TEKNIKAK Programazio-teknikak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION PROFESIONAL Hizkuntz

Διαβάστε περισσότερα

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA

EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.

Διαβάστε περισσότερα

Gorputz geometrikoak

Gorputz geometrikoak orputz geometrikoak POLIEDROAK ELEMENTUAK EULERREN FORMULA PRISMAK ETA PIRAMIDEAK ELEMENTUAK MOTAK AZALERAK BIRAKETA-ORPUTZAK IRUDI ESFERIKOAK AZALERAK BOLUMENAK CAVALIERIREN PRINTZIPIOA PRISMEN ETA PIRAMIDEEN

Διαβάστε περισσότερα

ARIKETAK (I) : KONPOSATU ORGANIKOEN LOTURAK [1 5. IKASGAIAK]

ARIKETAK (I) : KONPOSATU ORGANIKOEN LOTURAK [1 5. IKASGAIAK] Arikk-I (1-5 Ikasgaiak) 1 ARIKETAK (I) : KPSATU RGAIKE LTURAK [1 5. IKASGAIAK] 1.- 3 6 formula molekularreko 8 egitur-formula marraztu. 2.- Azido bentzoiko solidoararen disolbagarritasuna urn honako hau

Διαβάστε περισσότερα

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA

LOTURA KIMIKOA :LOTURA KOBALENTEA Lotura kobalenteetan ez-metalen atomoen arteko elektroiak konpartitu egiten dira. Atomo bat beste batengana hurbiltzen denean erakarpen-indar berriak sortzen dira elektroiak eta bere inguruko beste atomo

Διαβάστε περισσότερα