α = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Ευκλεύδεια διαύρεςη Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών Διαιρετότητα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Ευκλεύδεια διαύρεςη Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών Διαιρετότητα"

Transcript

1 Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 8 ο Μάθημα Διαιρετότητα Ευκλεύδεια διαύρεςη Για κϊθε ζεύγοσ ακεραύων αριθμών α, β με β 0, υπϊρχει μοναδικό ζεύγοσ ακεραύων q, r ϋτςι ώςτε: α = βq + r με 0 r < β Αν β = 9, τότε για α = 1, 23, 29, 87 : 1 = ( 9) = ( 9)( 2) = ( 9) = ( 9) Ευκλεύδεια διαύρεςη με το 2 α = 2q + r με 0 r < 2 Πιθανϊ υπόλοιπα: r = ο: α = 2q r = 1: α = 2q + 1 Διαιρετότητα Ο ακέραιοσ α διαιρεί τον ακέραιο β αν υπάρχει ακέραιοσ γ τέτοιοσ ώςτε β = αγ. Αυτό ςυμβολύζεται με α β Ιςοδύναμεσ εκφρϊςεισ: Ο β διαιρείται από τον α Ο β είναι ένα πολλαπλάςιο του α Το 4 διαιρεύ το 20, αφού 20 = 4( 5), Το 15 δεν διαιρεύ το 10, αφού δεν υπϊρχει ακϋραιοσ γ τϋτοιοσ ώςτε 10 = 15γ. 1

2 Κριτόρια διαιρετότητασ Ένασ αριθμόσ διαιρεύται: με το 2 αν το τελευταύο του ψηφύο διαιρεύται με το 2. με το 3 αν το ϊθροιςμα των ψηφύων του διαιρεύται με το 3. με το 4 αν ο αριθμόσ που ςχηματύζεται από τα δύο τελευταύα ψηφύα του διαιρεύται με το 4. με το 5 αν το τελευταύο του ψηφύο διαιρεύται με το 5. με το 8 αν ο αριθμόσ που ςχηματύζεται από τα τρύα τελευταύα ψηφύα του διαιρεύται με το 8. με το 9 αν το ϊθροιςμα των ψηφύων του διαιρεύται με το 9. με το 10, το 100, το 1000, κ.ο.κ. αν τα τελευταύα του ψηφύα εύναι 0, 00, 000, κ.ο.κ. αντύςτοιχα. Ιδιότητεσ διαιρετότητασ 1. α 0 2. Αν 0 β τότε β=0 3. α α 4. Αν α β και β γ τότε α γ 5. Αν α β και α γ τότε α κβ+λγ 6. Αν α β και γ δ τότε αγ βδ 7. Αν α β τότε κα κβ 8. Αν α β και β 0 τότε α β 9. Αν α β και β α τότε α = β 3 6 και και και Ένασ φυςικόσ αριθμόσ p > 1 λϋγεται πρώτοσ αριθμόσ αν οι μοναδικοί φυςικοί διαιρέτεσ του είναι το 1 και ο p. Κϊθε φυςικόσ αριθμόσ που δεν εύναι πρώτοσ ονομϊζεται ςύνθετοσ. Αν ο α εύναι ςύνθετοσ τότε α > 1 και θα υπϊρχει ανϊλυςη: α = βγ με 1<β<α και 1<γ<α. Θεώρημα 1 Κϊθε φυςικόσ αριθμόσ α > 1 ϋχει ϋνα τουλϊχιςτον πρώτο διαιρϋτη. 2

3 Θεώρημα 2 Ευκλεύδη Το πλόθοσ των πρώτων αριθμών εύναι ϊπειρο. Απόδειξη Έςτω ότι το πλόθοσ των πρώτων αριθμών εύναι πεπεραςμένο και ϋςτω p 1, p 2, p 3,, p ν όλοι οι πρώτοι αριθμού. Θεωρούμε τον φυςικό αριθμό α = p 1 p 2 p ν + 1. Σύμφωνα με το Θεώρημα 1 ο αριθμόσ α θα ϋχει ϋνα πρώτο διαιρϋτη p. Ο p = p κ για κϊποιο κ, 1 κ ν. Εύναι p α και p p 1 p 2 p ν, επομϋνωσ p α p 1 p 2 p ν ϊρα p 1 p = 1. Θεώρημα 3 Κϊθε ςύνθετοσ φυςικόσ αριθμόσ α > 1 ϋχει ϋνα τουλϊχιςτον πρώτο διαιρϋτη p α Πόριςμα Αν ϋνασ φυςικόσ αριθμόσ α > 1 δεν διαιρεύται από κανϋνα πρώτο αριθμό p α τότε ο α εύναι πρώτοσ αριθμόσ. ϋτςι εξετϊζω αν ϋνασ αριθμόσ εύναι πρώτοσ ό ςύνθετοσ Πώσ βρίςκω τουσ πρώτουσ αριθμούσ που δεν υπερβαίνουν έναν ακέραιο α>1; Γρϊφω ςε ϋναν πύνακα με αύξουςα ςειρϊ τουσ ακεραύουσ από 2 μϋχρι α. Αφόνω το 2 και διαγρϊφω όλα τα πολλαπλϊςιϊ του. Ο επόμενοσ πρώτοσ ςτον πύνακα μετϊ τον 2 εύναι το 3. Αφόνω το 3 και διαγρϊφω όλα τα πολλαπλϊςιϊ του κ.ο.κ. Συνεχύζω την ύδια διαδικαςύα μϋχρι τον πρώτο p με p α. Οι ακϋραιοι που απομϋνουν, δηλαδό όςοι δεν «ϋπεςαν» από το «κόςκινο», εύναι οι πρώτοι μεταξύ 2 και α. Όλοι οι ϊλλοι «ϋπεςαν», διότι, ωσ ςύνθετοι, εύχαν διαιρϋτη κϊποιον πρώτο μικρότερο ό ύςο τησ α και ωσ πολλαπλϊςιϊ του διαγρϊφηκαν. 3

4

5 εξϋταςα όλουσ 16 τουσ 17 πρώτουσ αριθμούσ που 25 εύναι 26 μικρότεροι ό 29 ύςοι από Πόριςμα Αν ϋνασ φυςικόσ αριθμόσ α > 1 δεν διαιρεύται από κανϋνα πρώτο αριθμό p α τότε ο α εύναι πρώτοσ αριθμόσ. ϋτςι εξετϊζω αν ϋνασ αριθμόσ εύναι πρώτοσ ό ςύνθετοσ Τύποι εύρεςησ πρώτων αριθμών Fermat: F ν = 2 2 ν 1 δύνει πρώτουσ αριθμούσ για ν = 0, 1, 2, 3, 4, ενώ ο αριθμόσ που προκύπτει για ν = 5 εύναι ςύνθετοσ: F 5 = = που διαιρεύται με το

6 Τύποι εύρεςησ πρώτων αριθμών Euler: f(ν) = ν 2 ν + 41 Τύποι εύρεςησ πρώτων αριθμών Mersenne: Μ ν = 2 ν 1 με το ν πρώτο αριθμό. δύνει πρώτουσ αριθμούσ για ν = 0, 1, 2,, 40, ενώ ο αριθμόσ που προκύπτει για ν = 41 εύναι ςύνθετοσ: f(41) = 41 2 Για ν = 2, 3, 5, 7 προκύπτουν πρώτοι αριθμού ενώ ο αριθμόσ που προκύπτει για ν = 11 εύναι ςύνθετοσ: Μ 11 = = 2047 που διαιρεύται με το 23. (Πολύ) μεγϊλοι πρώτοι αριθμού Ο μεγαλύτεροσ πρώτοσ αριθμόσ που ϋχει βρεθεύ εύναι ο ο οπούοσ ϋχει ψηφύα! (GIMPS) Εικαςύα του Goldbach Κϊθε ϊρτιοσ ακϋραιοσ μεγαλύτεροσ του 2 μπορεύ να γραφεύ ωσ ϊθροιςμα δύο πρώτων. 4 = = = 3+5 6

7 Θεώρημα 4 Αν p αβ και p πρώτοσ αριθμόσ τότε: p α ό p β. Αν ο p δεν εύναι πρώτοσ αριθμόσ δεν ιςχύει το θεώρημα! π.χ αλλϊ 15 5 και 15 9 Θεώρημα 5 Θεμελιώδεσ Θεώρημα τησ Αριθμητικήσ Κϊθε ακϋραιοσ αριθμόσ α>1 μπορεύ να αναλυθεύ κατϊ ϋνα και μοναδικό τρόπο ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων (αν δεν λϊβουμε υπόψη τη διϊταξη). Ανϊλυςη ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων Ανϊλυςη του αριθμού Εξετϊζω αν ο αριθμόσ διαιρεύται με 2, 3 ό 5: 1275:3 = Εξετϊζω αν ο 425 διαιρεύται με 2, 3 ό 5: 425:5 = Ανϊλυςη ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων Ανϊλυςη του αριθμού επομϋνωσ: 1275 =

8 Άςκηςη Βρεύτε την πρωτογενό ανϊλυςη του Ανϊλυςη ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων Ανϊλυςη του αριθμού επομϋνωσ: 2010 = Άςκηςη Βρεύτε την πρωτογενό ανϊλυςη των 1204, 1989, 2012, Πρωτογενόσ ανϊλυςη αριθμού Θεώρημα 6 α1 α2 αν Έςτω α p1 p2... pν η πρωτογενόσ ανϊλυςη ενόσ φυςικού αριθμού α>1. Ο φυςικόσ αριθμόσ δ εύναι διαιρϋτησ του α, δηλαδό δ α αν και μόνο αν ο δ εύναι τησ μορφόσ β1 β2 βν δ p p... με 0 β i α i 1 2 pν 8

9 Πρωτογενόσ ανϊλυςη αριθμού Μϋγιςτοσ κοινόσ διαιρϋτησ Βρεύτε την πρωτογενό ανϊλυςη του = Διαιρϋτεσ του αριθμού εύναι όλοι οι β φυςικού τησ μορφόσ: 1 β όπου 0 β 1 3, 0 β 2 2. Ποιοι εύναι αυτού; Πόςοι εύναι; Ο αριθμόσ δ λϋγεται μέγιςτοσ κοινόσ διαιρέτησ των α 1, α 2,, α ν αν: 1. δ α 1, δ α 2,, δ α ν 2. Αν υπϊρχει d: d α 1, d α 2,, d α ν, τότε: d δ. Αριθμού πρώτοι μεταξύ τουσ Οι ακϋραιοι αριθμού α 1, α 2,, α ν λϋγονται πρώτοι μεταξύ τουσ αν ο μϋγιςτοσ κοινόσ τουσ διαιρϋτησ εύναι το 1, δηλαδό αν (α 1, α 2,, α ν ) = 1. Εύρεςη Μ.Κ.Δ. 1 οσ τρόποσ: Παύρνοντασ από τισ πρωτογενεύσ τουσ αναλύςεισ τουσ κοινούσ παρϊγοντεσ ςτον μικρότερο εκθϋτη. Προςοχό: εύναι δυνατόν να ϋχουμε (α 1, α 2,, α ν ) = 1 και οι ακϋραιοι α 1, α 2,, α ν να μην εύναι πρώτοι μεταξύ τουσ ανϊ δύο. Παράδειγμα (6, 14, 21) = 1 ενώ (6, 14) = 2, (6, 21) = 3 και (14, 21) = 7. 9

10 Εύρεςη Μ.Κ.Δ. 1 οσ τρόποσ Βρεύτε τον (120, 150) 1. Αναλύω και τουσ δύο αριθμούσ ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων 2. Γρϊφω τουσ κοινούσ παρϊγοντεσ 3. Υψώνω καθϋνα από τουσ κοινούσ παρϊγοντεσ ςτον μικρότερο εκθϋτη που εμφανύζεται. Εύρεςη Μ.Κ.Δ. 1 οσ τρόποσ Εύρεςη του (120, 150) = = (120, 150) = Άςκηςη Βρεύτε τουσ: (15, 225) (130, 200) (2006, 130) 10

ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη.

ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ. ΠΑΡΑΜΕΣΡΟ λϋγεται το ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, του οπούου το πεδύο οριςμού ορύζεται ϋτςι ώςτε να ιςχύει κϊποια προώπόθεςη. ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΣΑΒΛΗΣΗ λϋγεται ϋνα ςύμβολο, ςυνόθωσ γρϊμμα, το οπούο παύρνει τιμϋσ μϋςα από ϋνα ςύνολο Α. Σο Α λϋγεται πεδύο οριςμού. Αν το πεδύο οριςμού εύναι υποςύνολο του ςυνόλου των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ

Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Μαύροσ Γιϊννησ Μαθηματικόσ Ποιοσ εύναι ο οριςμόσ του ςυνόλου; Γιατύ μαθαύνουμε οριςμούσ; Αν ςκεφτεύ κανεύσ ότι τα μαθηματικϊ εύναι μια γλώςςα, όπωσ τα ελληνικϊ ό τα αγγλικϊ, και ο ςκοπόσ τησ εύναι να διευκολύνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΘΕΜΑ A Α. Μονάδεσ 10 Μονάδεσ 5 Μονάδεσ 4 4 Ε. 1 Μονάδεσ 2 Ε. 2 Μονάδεσ 5 ΣΕΛΟ 1Η ΕΛΙΔA

ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΘΕΜΑ A Α. Μονάδεσ 10 Μονάδεσ 5 Μονάδεσ 4 4 Ε. 1 Μονάδεσ 2 Ε. 2 Μονάδεσ 5 ΣΕΛΟ 1Η ΕΛΙΔA ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΔΙΑΓΨΝΙΜΑΣΑ Β ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΤΡΙΑΚΗ 17 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΕΥΑΡΜΟΓΨΝ Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΠΟΤΔΨΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΨΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνύα (1) Επικοινωνύα (2) Επικοινωνύα (3) Ανακοινώςεισ μαθήματοσ: κλειδύ: math2009.

Επικοινωνύα (1) Επικοινωνύα (2) Επικοινωνύα (3)  Ανακοινώςεισ μαθήματοσ: κλειδύ: math2009. Ειςαγωγό ςτισ βαςικϋσ ϋννοιεσ των Μαθηματικών 1 ο Μάθημα Ειςαγωγή Μαθηματική Λογική Επικοινωνύα (1) ktatsis@uoi.gr twitter: tatsis_kostas Τηλϋφωνο: 2651005870 Ώρεσ ςυνεργαςύασ (3 οσ όροφοσ): Τετϊρτη 17:00-19:00

Διαβάστε περισσότερα

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων

Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων Ειςαγωγή ςτην Πληροφορική των Επιχειρήςεων υςτόματα Αρύθμηςησ Γκϊμασ Βαςύλειοσ, Οικονομϊκοσ Μιχϊλησ Συςτήματα Αρίθμηςησ (I) Δεκαδικό ςύςτημα: Έχει βϊςη το 10 και χρηςιμοποιεύ 10 ψηφύα (0-9) για την αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Ρητοί Αριθμοί Πρόσθεση και αφαίρεση Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Στόχοσ : Αθρούςμα δύο ρητών αριθμών Αςκόςεισ 1. Να βρεύτε τα αθρούςματα : α. (+ 5 ) + (+ 19) β. 2) + ( 12) γ. ( ) ( ) δ. ( ) ε. ( ) Βαςικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ

Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ Τρίγωνα -Κφρια και δευτερεφοντα στοιχεία τριγώνου Μεθοδολογύα & Λυμϋνεσ Αςκόςεισ τόχοσ 1 : Κύρια ςτοιχεύα τριγώνου Αςκόςεισ 1. Να ςχεδιϊςετε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ. Να ορύςετε τα κύρια ςτοιχεύα του. Να βρεύτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΟ ΔΗΜΟΣΙΚΟ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών που ϋρχονται από το Δημοτικό ςτο Γυμνϊςιο. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 5 ΠΙΝΑΚΕΣ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 5 1 Περιεχόμενα Πύνακεσ Αλφαριθμητικϊ Σκοπόσ μαθόματοσ: Να αναγνωρίζετε πότε είναι απαραίτητη η χρήςη του τύπου του πίνακα, Να δώςετε παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ

ΚΟΙΛΑ-ΚΤΡΣΑ-ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ Πληκτρολογόςτε την εξύςωςη εδώ. ΚΤΡΣΟΣΗΣΑ ΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έςτω ςυνϊρτηςη f ςυνεχόσ ςε ϋνα διϊςτημα Δ και παραγωγύςιμη ςτο εςωτερικό του Δ. Θα λϋμε ότι : Η ςυνϊρτηςη f εύναι κυρτό ό ςτρϋφει τα κούλα

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Ειδικά Θέματα Μαθηματικών Μαθηματικά στην εκπαίδευση: Επίλυση προβλήματος - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης

Διαβάστε περισσότερα

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4

Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4. Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 Βαγγϋλησ Οικονόμου Διϊλεξη 4 Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 1 Περιεχόμενα Προτϊςεισ επανϊληψησ Προτϊςεισ Διακλϊδωςησ Δομ. Προγραμ. - Διϊλεξη 4 2 Προτάςεισ επανάληψησ Οι προτϊςεισ επανϊληψησ (iterative ό loop

Διαβάστε περισσότερα

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ;

Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ. Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Παθήςεισ του θυροειδή ςε άτομα με ςύνδρομο Down: Πληροφορίεσ για γονείσ και δαςκάλουσ Τι είναι ο θυροειδήσ αδένασ; Dr. jennifer Dennis, Ιατρική Σύμβουλοσ του Συλλόγου για το Σύνδρομο Down (1993) Ο αδϋνασ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Μονάδες 10 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Μονάδες 10 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΔΙΑΓΨΝΙΜΑΣΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΤΡΙΑΚΗ 17 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2016 ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΣΤΞΗ ΕΥΑΡΜ. Ε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΣΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΠΟΤΔΨΝ OIKONOMIA ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΨΝ:

Διαβάστε περισσότερα

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries)

19/10/2009. Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations. Σήμερα... Τφποι ερωτήςεων (Queries) Γεωγραφικά Συςτήματα Πληροφοριϊν Spatial Operations Δημότρησ Μιχελϊκησ Τμόμα Εφαρμοςμϋνησ Πληροφορικόσ και Πολυμϋςων Σχολό Τεχνολογικών Εφαρμογών Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κρότησ dimmihel@epp.teicrete.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΟΤ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΤ ΣΙ ΚΡΤΠΣΑΝΑΛΤΣΙΚΕ ΕΠΙΘΕΕΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΟΤ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΤ ΣΙ ΚΡΤΠΣΑΝΑΛΤΣΙΚΕ ΕΠΙΘΕΕΙ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΨΝ ΠΟΤΔΨΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΟΤ ΔΙΑΚΡΙΣΟΤ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΤ ΣΙ ΚΡΤΠΣΑΝΑΛΤΣΙΚΕ ΕΠΙΘΕΕΙ Διπλωματικό Εργαςύα τησ ιϊτρα Ανδριϊνασ Θεςςαλονύκη, 03/2014

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ

ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ ΠΡΩΣΟ ΕΣ ΑΚΗΕΩΝ ΓΙΑ ΣΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΟΟΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΙΚΩΝ ΑΠΟΥΑΕΩΝ Τμθμα: Χρηματοοικονομικθς και Τραπεζικθς Διοικητικθς Εξάμηνο: Γ Μ. Ανθρωπέλοσ. Άςκηςη 1 α) Γρϊψτε το πρόβλημα ςτην τυποποιημϋνη του μορφό.

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ

4.4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ 158 44 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Έστω α, β δύο ακέραιοι Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α και β, όταν είναι διαιρέτης και του α και του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Άζθεζε 21.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Άζθεζε 21. 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Άζθεζε 21. Σην ζύλνιν Z ησλ αθεξαίσλ αξηζκώλ ζεσξνύκε ηηο ζρέζεηο R 1 R 5 πνπ νξίδνληαη σο εμήο: (α) (x, y) R 1 x > y. (β) ( x, y) R 2 < n Z x y = 2n + 1 >. (γ) (x, y) R 3 x + y = 4. (δ) (x,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies):

Ποιοτικές μεταβλητές με δύο κατηγορίες- Διχοτομικές (dichotomies): Ποιοτικϋσ μεταβλητϋσ με δύο κατηγορύεσ-διχοτομικϋσ (dichotomies): ΕΙΔΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Κατηγορικϋσ Κατηγορικές ό ή ποιοτικϋσ ποιοτικές μεταβλητές μεταβλητϋσ (nominal): Η απλούςτερη απλούστερη μορφή μορφό κωδικοποίησης κωδικοπούηςησ τιμών τιμών χωρίς χωρύσ τις τισ έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Ειδικά Θέματα Μαθηματικών. Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Ειδικά Θέματα Μαθηματικών Περί δημιουργικότητας (συνέχεια) Διδάσκων : Επίκουρος Καθηγητής Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου

Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών Διαχείριςη και Αςφάλεια Δικτύων Επιςκόπηςη Τεχνολογιών Διαδικτύου Αρχιτεκτονικέσ δικτύωςησ: OSI & TCP/IP Επύπεδο Εφαρμόγόσ Επύπεδο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΟΤ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΔΙΟΙΚΗΗ & ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι 6 Δεκεμβρύου 2015 ΕΙΑΓΩΓΗ Με την παραγώγιςη μιασ ςυνϊρτηςησ ϋςτω F(x) παύρνουμε μια ϊλλη ςυνϊρτηςη,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΡΩΣΟ ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΧΗΜΕΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Θϋμα Α. Για τισ ερωτόςεισ -5 να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη.. Σο ϊτομο του 3 a αποτελεύται από: Α. πρωτόνια,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού

Μαθηματικϊ. Β' Ενιαύου Λυκεύου. (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Μαθηματικϊ Β' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κοινού κορμού) Υιλοςοφύα - κοπού Η διδαςκαλύα των Μαθηματικών Κοινού Κορμού επιδιώκει να δώςει ςτο μαθητό τα εφόδια για την αντιμετώπιςη καθημερινών αναγκών ςε αριθμητικϋσ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ.

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ. Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 1 Ειςαγωγό & Βαςικϋσ Έννοιεσ. Ειςαγωγό των mid-terms exams (Για το τμόμα μασ 22/11/2016 και ώρα 10.00-11.00).Προςοχή είναι υποχρεωτική η ςυμμετοχή ςασ (ποςοςτό 20%).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Σελίδα 1 ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Α' ΣΑΞΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 3 Διϊγνωςη των γνώςεων και ικανοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ

Διαβάστε περισσότερα

22/11/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ. Αυτή την βδομάδα...

22/11/2009. Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ. Αυτή την βδομάδα... Προηγοφμενη βδομάδα... Δεδομζνα απο Δευτερεφουςεσ πηγζσ Πρωτογενό δεδομϋνα Αρχϋσ και τεχνικϋσ που χρηςιμοποιούνται ςτην ςυλλογό γεωγραφικών δεδομϋνων Πωσ χρηςιμοποιούμε το GPS και την Τηλεπιςκόπηςη ςαν

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 2 από Ένα γινόμενο με ύδιουσ παρϊγοντεσ μπορεύ να γραφεύ ωσ δύναμη, π.χ =

Σελίδα 2 από Ένα γινόμενο με ύδιουσ παρϊγοντεσ μπορεύ να γραφεύ ωσ δύναμη, π.χ = Γ ηα λα κπνξέζεη, έλαο καζεηήο, λα πξννδεύζεη ζην κάζεκα ησλ καζεκαηηθώλ, πξέπεη από κηθξόο λα δηδαρηεί ηνλ ζσζηό ηξόπν αληηκεηώπηζεο ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ αληηθεηκέλνπ αιιά θαη ηελ αλάινγε κεζνδνινγία ζε

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά

Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά Εγχειρίδιο Χρήσης των Εργαλείων Αναγνώρισης Χαρισματικών Μαθητών στα Μαθηματικά ΕΓΦΕΙΡΙΔΙΟ ΦΡΗΗ ΕΡΓΑΛΕΙΨΝ ΑΝΑΓΝΨΡΙΗ ΕΙΑΓΨΓΗ Η ύπαρξη ϋγκυρων και αξιόπιςτων εργαλεύων αναγνώριςησ χαριςματικών μαθητών κρύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2

Οριςμόσ προβλήματοσ. Θεωρία Γράφων 2 Θεωρία Γράφων 1 Οριςμόσ προβλήματοσ Οποιοδόποτε επιφϊνεια που χωρύζεται ςε περιοχϋσ, όπωσ ϋνασ πολιτικόσ χϊρτησ των νομών ενόσ κρϊτουσ, μπορούν να χρωματιςτούν χρηςιμοποιώντασ λιγότερα από τϋςςερα χρώματα

Διαβάστε περισσότερα

Δείκτες Επιτυχίας και Επάρκειας

Δείκτες Επιτυχίας και Επάρκειας Δείκτες Επιτυχίας και Επάρκειας εμινϊρια επτεμβρύου 2015 ΕΜΕ Υιλολογικών Μαθημϊτων χολικό χρονιϊ 2015 2016 Μαύρη Κουτςελύνη (διαςκευό) Οι Δεύκτεσ ωσ απόρροια τησ Αξιολόγηςησ των ΑΠ τη βϊςη τησ Αξιολόγηςησ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών. Λειτουργικά Συςτήματα Προγραμματιςμόσ Συςτήματοσ. Μνήμη

Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών. Λειτουργικά Συςτήματα Προγραμματιςμόσ Συςτήματοσ. Μνήμη Πανεπιςτήμιο Πελοποννήςου Τμήμα Επιςτήμησ και Τεχνολογίασ Τηλεπικοινωνιών Λειτουργικά Συςτήματα Προγραμματιςμόσ Συςτήματοσ Μνήμη Διαχείριςη Μνήμησ Σε ϋναν ιδανικό κόςμο... Η μνόμη θα όταν ϊπειρη ςε μϋγεθοσ

Διαβάστε περισσότερα

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών

Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών Το παζάρι των λοιμώξεων ςτον 'κατεχόμενο' κόςμο των χρηςτών "Η κρυμϋνη και ξεχαςμϋνη μϊςτιγα". Αυτόσ όταν ο τύτλοσ του εξαιρετικού ντοκυμαντϋρ που φτιϊχτηκε από το ουηδικό ωματεύο χρηςτών για να φϋρει

Διαβάστε περισσότερα

Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry

Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry Διομότιμα Συςτόματα (P2P systems) To ςύςτημα Pastry Η ζννοια του δικτφου επικάλυψησ Θεώρηςη των P2P ςυςτημϊτων ωσ ΚΣ που λειτουργούν ςτο επύπεδο εφαρμογόσ και ςτα οπούα κϊθε ζεύγοσ ομότιμων κόμβων επικοινωνεύ,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ κατεύθυνςησ ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) Στισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη

Διαβάστε περισσότερα

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών

Οι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της

Διαβάστε περισσότερα

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r

ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΔΙΑΓΩΝΙΜΑ ΥΤΙΚΗ B ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΗΛΕΚΣΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονάδεσ) τισ ερωτόςεισ 1-5 να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ ςτο τετρϊδιό ςασ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα

Διαβάστε περισσότερα

Επιταχυντϋσ Σωματιδύων

Επιταχυντϋσ Σωματιδύων 3 ο Λύκειο Γαλατςύου Σχ.Έτοσ 2011-2012 Επιταχυντϋσ Σωματιδύων Συντονιςτϋσ - Υπεύθυνοι Καθηγητϋσ: Μαραγκουδϊκησ Ε. & Φαρϊκου Γ. Επιταχυντήσ ςωματιδίων Eπιταχυντόσ ςωματιδύων ονομϊζεται μια ειδικό

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων Ρ (ν), όταν Α. ν R Β. ν Q Γ. ν R*. ν N Ε. κανένα από τα προηγούµενα 2. * Για τους ακεραίους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ.

Θϋμα: Άνιςη μεταχεύριςη των ανθρώπων με τετραπληγύα, απώλεια ακοόσ ό ϐραςησ ςτο νϋο νομοςχϋδιο ΕΑΕ. Αθόνα, 15 Μαύου 2014 Η παρακάτω επιςτολή, εςτάλη μέςω φαξ και μέςω email ςτον Προΰςτάμενο τησ Διεύθυνςησ Ειδικήσ Αγωγήσ κο Λολίτςα, την Τρίτη 14 Μααου 2014. Παρακαλούμε να ςτηρίξετε με την υπογραφή ςασ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΕΩΝ

ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΕΩΝ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΣΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΕΩΝ ΣΤΕΦΑΝΟΣ Γ. ΓΙΑΚΟΥΜΑΤΟΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ορισμός και εφαρμογζς Στατιςτική εύναι η επιςτόμη που αςχολεύται με τη ςυλλογό, επεξεργαςύα, παρουςύαςη και ανϊλυςη δεδομϋνων

Διαβάστε περισσότερα

ημειώςεισ των αςκόςεων του μαθόματοσ Κεφαλαιαγορϋσ- Επενδύςεισ Ενότητα: Χρηματοοικονομικόσ Κύνδυνοσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ

ημειώςεισ των αςκόςεων του μαθόματοσ Κεφαλαιαγορϋσ- Επενδύςεισ Ενότητα: Χρηματοοικονομικόσ Κύνδυνοσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ημειώςεισ των αςκόςεων του μαθόματοσ Κεφαλαιαγορϋσ- Επενδύςεισ Ενότητα: Χρηματοοικονομικόσ Κύνδυνοσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ υνεργϊτησ :ιώπη Ευαγγελύα Κίνδυνοσ Ωσ κύνδυνο θα µπορούςαµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ. Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη

Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Αρχϋσ του NCTM. Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ. Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη Διδακτικό Μαθηματικών ΙΙ Μϊθημα 9 ο Αξιολόγηςη 1. Μαθηματικϊ: περιεχόμενο ςχολικών Μαθηματικών διϊρθρωςη «ύλησ» η αξιολόγηςη ςυνόθωσ επικεντρώνεται ςε ανϊκληςη αςύνδετων πληροφοριών και λεπτομερειών. Αντύ

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.

* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p. Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Υποχρεώςεισ των μαθητών κατϊ τη διϊρκεια τησ εξϋταςησ

Υποχρεώςεισ των μαθητών κατϊ τη διϊρκεια τησ εξϋταςησ Υποχρεώςεισ των μαθητών κατϊ τη διϊρκεια τησ εξϋταςησ Προςϋρχονται ςτισ αύθουςεσ μϋχρι τισ 8.00 Κατϊ την εύςοδο ςτην τϊξη, οι μαθητϋσ δεν επιτρϋπεται να ϋχουν: Βιβλύα Τετρϊδια Σημειώςεισ Blanco Κινητό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΕΦ Τ ΣΗΜΑΣΑ ΑΡΙΘΜΗ Η ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 425 = 4 εκατοντϊδεσ 2 δεκϊδεσ 5 μονϊδεσ 4 * 2* 5* 4 * 2* 5* 4 *2 2* 5* 94257 = 9* 4* 2* 5* 7* * 9*5 4*4 5*2 7* * 2*3 Για τον προηγούμενο αριθμό Θϋτοντασ β= (η βϊςη

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ ΑΜΘ-χολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Σμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ. Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : ιώπη Ευαγγελύα

ΣΕΙ ΑΜΘ-χολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Σμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ. Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : ιώπη Ευαγγελύα ΣΕΙ ΑΜΘ-χολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Σμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : ιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 1 Ειςαγωγικζσ ζννοιεσ Για την

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικϊ Γ' Ενιαύου Λυκεύου (μϊθημα κατεύθυνςησ) : 1. ΤΝΑΡΣΗΕΙ Ορύζουν και να αναγνωρύζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη 2 1.1 Επανϊληψη Εκφρϊζουν μια ςύνθετη ςυνϊρτηςη ωσ ςύνθεςη ϊλλων ςυναρτόςεων Ορύζουν και

Διαβάστε περισσότερα

Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1

Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1 Αναφορά Προγραμματιστικής Άσκησης μαθήματος Τεχνητής Νοημοσύνης 1 Κοφινϊσ Νύκοσ Α.Μ.: 2007030111 Σε αυτό την εργαςύα υλοποιόςαμε ϋναν πρϊκτορα ο οπούοσ παύζει το παιχνύδι othello. Η γλώςςα την όποια προτιμόςαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις Επαναληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις Επαναληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015/nt015.html Τρίτη Ιουνίου 015 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί η γραµµική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ

Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ. 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Θέμα Α Α.1 γ Α.2 β Α.3 γ Α.4 γ Πανελλήνιεσ Εξετάςεισ 2011 Φυςική Θετικήσ & Τεχνολογικήσ Κατεύθυνςησ Α.5 α Σ, β Λ, γ Σ, δ Λ, ε Λ Θέμα Β Β.1 20 Μαΐου 2011 Πρόχειρεσ Απαντήςεισ Στην θϋςη ιςορροπύασ τησ m1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικοπούηςη. Μαθηματικοπούηςη. Μαθηματικϋσ δεξιότητεσ. Κατακόρυφη

Μαθηματικοπούηςη. Μαθηματικοπούηςη. Μαθηματικϋσ δεξιότητεσ. Κατακόρυφη Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Μάθημα 10 ο Αξιολόγηςη Είδη ερωτήςεων Μαθηματικϋσ δεξιότητεσ Μαθηματικό ςκϋψη Μαθηματικό δικαιολόγηςη Επύλυςη προβλόματοσ Επικοινωνύα Χρόςη εργαλεύων Αναπαραςτϊςεισ Συμβολικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γάμος, Διαζύγιο και Τάντρα

Γάμος, Διαζύγιο και Τάντρα Γάμος, Διαζύγιο και Τάντρα SAMAEL AUN WEOR 2 Γάμος, Διαζύγιο και Τάντρα SAMAEL AUN WEOR 3 4 Γάμος, Διαζύγιο και Τάντρα Εύναι αξιοθρόνητη, η παρακμό των καλών εθύμων ςτισ χώρεσ που καυχώνται ότι εύναι πολιτιςμϋνεσ.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 Θεωρία χαρτοφυλακίου Η θεωρύα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Θέμα 4 (Πανελλήνιες 2001) Λύση Θέμα 4 (Πανελλήνιες 2001) Αλγόριθμοσ Ανακύκλωςη Γ 0 Χ 0 Α 0 Για i από 1 μϋχρι 20 Διϊβαςε Γυαλύ Γ Γ + Γυαλύ Διϊβαςε Χαρτύ Χ Χ + Χαρτύ Διϊβαςε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνύα. twitter: tatsis_kostas Τηλϋφωνο: Ώρεσ ςυνεργαςύασ: κλειδύ: did2009

Επικοινωνύα. twitter: tatsis_kostas Τηλϋφωνο: Ώρεσ ςυνεργαςύασ:  κλειδύ: did2009 Διδακτική Μαθηματικών ΙΙ Μάθημα 1 ο Εισαγωγή Περιεχόμενο μαθόματοσ Επανϊληψη Παρϊγοντεσ που επιδρούν ςτο διδακτικό ςχεδιαςμό 2-3 προαιρετικϋσ εργαςύεσ Σχϋδια διδαςκαλύασ Εργαςύα ςε ομϊδεσ 2-4 ατόμων Βαθμόσ:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΟΝΕΜΒΑΣΙΑΣ 2016-17 Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑΣ-λύσεις Άσκηση 1. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις α) 80 = 9 8 +8 β)

Διαβάστε περισσότερα

HCO γ) Χημεία Γ 3/1/2013. H CO δ) CO. Ζήτημα 1 ο

HCO γ) Χημεία Γ 3/1/2013. H CO δ) CO. Ζήτημα 1 ο ΕΠΩΝΤΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΣΙΜΙΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΤ ΝΣΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 7077 9 ΑΡΣΑΚΗ - Κ. ΣΟΤΜΠΑ THΛ: 99 99 ΣΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:... Χημεία Γ //0 Ζήτημα ο Α. Πόςα ηλεκτρόνια από το ιόν 6Fe + ςτη θεμελιώδη κατϊςταςη ϋχουν

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 41 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ)

Μαθηματικά. Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ) Μαθηματικά Β' Ενιαίου Λυκείου (μάθημα κατεύθυνςησ) Α. ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Επανϊληψη ύλησ τησ Α' Λυκεύου (5 περύοδοι). Απόλυτη τιμό πραγματικού αριθμού (5 περύοδοι) 3. υναρτόςεισ, πεδύο οριςμού, πεδύο τιμών, ιςότητα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; Τι ονομάζουμε νιοστή δύναμη του άλφα; Ποια είναι η βάση και ποιος ο εκθέτης; Ποια είναι η προτεραιότητα των πράξεων

Διαβάστε περισσότερα

Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX

Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX Παράδειγμα Δζνδρου Συστήματος Αρχείων Εντολζς του Λειτουργικοφ Συστήματος UNIX Στα παραδεύγματα που ακολουθούν υποθϋτουμε την παρακϊτω δενδρικό δομό Τμόμα Τεχνολογύασ Πληροφορικόσ και Τηλεπικοινωνιών ΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

και Νομοθετικό Πλαίςιο Προφορικήσ Εξέταςησ Δρ.Καββαδά Ευρυρδίκη Εκπαιδευτικόσ Α ΚΕΔΔΤ

και Νομοθετικό Πλαίςιο Προφορικήσ Εξέταςησ Δρ.Καββαδά Ευρυρδίκη Εκπαιδευτικόσ Α ΚΕΔΔΤ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ και Νομοθετικό Πλαίςιο Προφορικήσ Εξέταςησ Δρ.Καββαδά Ευρυρδίκη Εκπαιδευτικόσ Α ΚΕΔΔΤ Μαθητϋσ που εξετϊζονται προφορικϊ 1. Μαθητϋσ με ειδικϋσ μαθηςιακϋσ δυςκολύεσ: (δυςλεξύα, δυςγραφύα,

Διαβάστε περισσότερα

Αιτίεσ - Συνέπειεσ - Τρόποι αντιμετώπιςησ. Χριστίνα Μαυροϊδάκη Κωνσταντίνα Μαρκάκη

Αιτίεσ - Συνέπειεσ - Τρόποι αντιμετώπιςησ. Χριστίνα Μαυροϊδάκη Κωνσταντίνα Μαρκάκη Αιτίεσ - Συνέπειεσ - Τρόποι αντιμετώπιςησ Χριστίνα Μαυροϊδάκη Κωνσταντίνα Μαρκάκη Αιτίεσ Η αιτύα δημιουργύασ του φαινομϋνου εύναι η εκπομπό χημικών ενώςεων ςτην ατμόςφαιρα όπωσ για παρϊδειγμα οι χλωροφθοράνθρακες

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Επίλυση προβλήματος (συνέχεια) Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΧΗ ΑΠΟ ΣΗΝ ΤΛΗ ΣΗ Β'ΣΑΞΗ 4 Διϊγνωςη των γνώςεων και δεξιοτότων των παιδιών με ςκοπό τη ςυμπλόρωςη κενών. Ο καθηγητόσ με διαγνωςτικϊ δοκύμια, φύλλα εργαςύασ, αςκόςεισ

Διαβάστε περισσότερα

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων

Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων Ενημερωτικό ημείωμα Θεςμική Αναμόρφωςη τησ Προ-πτωχευτικήσ Διαδικαςίασ Εξυγίανςησ Επιχειρήςεων -Σι προβλέπει η νομοθετική ρύθμιςη για την προ-πτωχευτική διαδικαςία εξυγίανςησ επιχειρήςεων; Με την προτεινόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Υπεριώδεισ ακτίνεσ: ωφέλεια και βλάβη από αυτέσ

Υπεριώδεισ ακτίνεσ: ωφέλεια και βλάβη από αυτέσ Υπεριώδεισ ακτίνεσ: ωφέλεια και βλάβη από αυτέσ από την μαθήτρια Κοττέ Αγγελική Εργαςία ςτη Φυςική Γενικήσ Παιδείασ Γ Λυκείου Υπεύθυνοσ Καθηγητήσ: Αλέξανδροσ Κατέρησ Η ηλιακό υπεριώδησ ακτινοβολύα (UV)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνύα: Ονοματεπώνυμο: ΘΕΜΑ 1 0 : (25μονάδεσ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ A ΛΥΚΕΙΟΥ τισ ερωτόςεισ 1-4, να γρϊψετε τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα ςε κϊθε αριθμό το γρϊμμα που αντιςτοιχεύ ςτη ςωςτό απϊντηςη:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5)

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5) ΘΕΜΑ Ο ΟΚΙΜΑΙΑ- (ΜΟΝΑΕ 6) (α) Να αποδεύξετε ότι οι αριθμού -3 3-3 7 = -+ και = - 4-4 6 εύναι αντύςτροφοι. (β) Αριθμότοιχοσ: Αν κϊθε αριθμόσ εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των δύο αριθμών που βρύςκονται κϊτω

Διαβάστε περισσότερα

Η Χρυσόκαρδη Ξανθομαλλούσα

Η Χρυσόκαρδη Ξανθομαλλούσα Η Χρυσόκαρδη Ξανθομαλλούσα Πϋρα ςτο μεγϊλο δϊςοσ κατοικούςε μια μεγϊλη νερϊιδα μαζύ με τισ κόρεσ τησ που εύχαν όλεσ κατϊμαυρα μαλλιϊ. Όλεσ εκτόσ από την μικρότερη που όταν ξανθομαλλούςα και που τα μαλλιϊ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ.

ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. ΔΙΑΣΡΟΦΗ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΣΟΤ ΘΗΛΑΜΟΤ ΣΖΕΛΑΛΗ ΑΝΑΣΑΙΑ ΜΑΙΑ ΙΠΠΟΚΡΑΣΕΙΟ Γ.Π.Ν.Θ. Σϐςο κατϊ τη διϊρκεια τησ εγκυμοςϑνησ ϐςο και κατϊ τη διϊρκεια του θηλαςμοϑ οι γυναύκεσ δϋχονται πολλϋσ ςυμβουλϋσ για τη

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Πρόσθεση-αφαίρεση. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Πρόσθεση-αφαίρεση Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κρεκούκιασ Στοιχεύα τησ υποκειμενικόσ και κλινικόσ αξιολόγηςησ Επεξόγηςη και αναζότηςη του τελικού αιςθόματοσ Αξιολόγηςη ενεργητικού και παθητικού εύρουσ τροχιϊσ Γωνιομϋτρηςη Από τη φόρμα υποκειμενικόσ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5)

ΔΟΚΙΜΑΙΑ-1 (ΜΟΝΑΔΕ 60) εύναι αντύςτροφοι. (Μονϊδεσ 5) ΘΕΜΑ Ο (α) Να αποδεύξετε ότι οι αριθμού ΟΚΙΜΑΙΑ- -3 (ΜΟΝΑΕ 60) 3-3 7 = -+ και = - 4-4 6 εύναι αντύςτροφοι. (β) Αριθμότοιχοσ: Αν κϊθε αριθμόσ εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των δύο αριθμών που βρύςκονται κϊτω

Διαβάστε περισσότερα

Στο λογιςμικό (software) περιλαμβϊνονται όλα τα προγράμματα του υπολογιςτό. Το Λογιςμικό χωρύζετε ςε δύο μεγϊλεσ κατηγορύεσ:

Στο λογιςμικό (software) περιλαμβϊνονται όλα τα προγράμματα του υπολογιςτό. Το Λογιςμικό χωρύζετε ςε δύο μεγϊλεσ κατηγορύεσ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο Στο λογιςμικό (software) περιλαμβϊνονται όλα τα προγράμματα του υπολογιςτό. Το Λογιςμικό χωρύζετε ςε δύο μεγϊλεσ κατηγορύεσ: ςτο Λογιςμικό Συςτήματοσ (System Software), ςτο Λογιςμικό Εφαρμογών

Διαβάστε περισσότερα

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη.

Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε τη ςωςτό απϊντηςη. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 0 : (25 μονϊδεσ) ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Για τισ παρακϊτω 6 ερωτόςεισ, να μεταφϋρετε ςτο τετρϊδιό ςασ τον αριθμό τησ ερώτηςησ και δύπλα από αυτόν να ςημειώςετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη

ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη ΤΕΙ ΑΜΘ-Σχολό Διούκηςησ και Οικονομύασ-Τμόμα Λογιςτικόσ και Χρηματοοικονομικόσ Διδϊςκων : Αγγελϊκησ Γιώργοσ Εργαςτηριακόσ ςυνεργϊτησ : Σιώπη Ευαγγελύα Καβϊλα Οκτώβριοσ 2018 Είδη Παραγώγων 1.Προθεςμιακ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι.

ΦΡΟΝΣΙΣΗΡΙΟ ΠΟΛΤΣΕΧΝΙΚΩΝ ΧΟΛΩΝ ΣΡΙΑΝΣΑΦΤΛΛΟΤ ΓΡΗΓΟΡΗ ΚΑΣΑΣΑΚΣΗΡΙΕ Δ.Ο.Α.Σ.Α.Π. ΠΟΛΤΣΕΧΝΕΙΟ Α.Σ.Ε.Ι. 1 Ε.Μ.Π. - ΠΟΛΙΣΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ - ΣΑΣΙΚΗ Ι - ΠΡΟΟΔΟ 06/05/2011 ΘΕΜΑ 1 ο τον παρακϊτω φορϋα ζητούνται να ςχεδιαςτούν τα διαγρϊμματα M,Q,N. Λύςη: Ο φορϋασ αποτελεύται από ϋνα δευτερεύων τριαρθρωτό τόξο που

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ

«ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ «ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΣΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΙΜΟ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ 1 2 3.1 Συμβολοςειρζσ Ένασ πολύ χρόςιμοσ τύποσ εύναι η κλάςη String, του πακϋτου java.lang, η οπούα χρηςιμεύει ςτην αναπαρϊςταςη

Διαβάστε περισσότερα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα

Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα ελύδα1 Το Νέο Εκπαιδευηικό Σύζηημα Από το ςχολικό ϋτοσ 2013-2014 και για τουσ μαθητϋσ που φοιτούν ςτην Α Λυκεύου ϋχει τεθεύ ςε ιςχύ το νϋο αναλυτικό πρόγραμμα. τόχοσ των αλλαγών εύναι να ενδυναμωθούν τα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα Ικανότητα ανταλλαγόσ κατιόντων Οξύτητα εδϊφουσ (ph)

Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα Ικανότητα ανταλλαγόσ κατιόντων Οξύτητα εδϊφουσ (ph) Το έδαφοσ εύναι το ανώτατο ςτρώμα του φλοιού τησ γησ, δηλαδό το καλλιεργόςιμο επιφανειακό ςτρώμα ςε πϊχοσ 35 ωσ 50 εκατοςτϊ. Κϊποιεσ από τισ ιδιότητεσ του εδϊφουσ εύναι: Περιεκτικότητα ςε θρεπτικϊ ςτοιχεύα

Διαβάστε περισσότερα