PRVI IZVOD. f x0 x f x0. y x. ) lim lim ( ) ( ) x. Neka je y f(x) funkcija definisana na intervalu [a,b], x 0
|
|
- Ἰωάννης Βέργας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . y PRVI IZVOD Neka je y f() funkcija definisana na intervalu [a,b], 0 unutrašnja tačka tog intervala, Δ ( 0) priraštaj argumenta i Δy odgovarajući priraštaj funkcije. Ako postoji granična vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta, kad priraštaj argumenta teži nuli, onda za funkciju y = f() kažemo da je diferencijabilna u tački 0. Graničnu vrijednost količnika priraštaja funkcije Δy i priraštaja argumenta Δ, kad Δ0, zovemo (prvim) izvodom funkcije u tački 0 i označavamo sa ili sa f ( 0) 0 y f 0 f 0 y f ( 0 0 ) lim lim ( ) ( ) 0 0 1
2 Primjer 1. Naći izvod funkcije f( ) u tačkama a) 0 3, b) 0 c, c > 0. Rješenje: Kako je a) y f( 0 ) f( 0 ) y( 3) f ( 3) lim lim Na isti način dobijamo da je b): f ( c) 2 1 c 2
3 Ako funkcija ima izvod u svakoj tački nekog intervala, kažemo da je diferencijabilna na tom intervalu. U tom slučaju svakoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara vrijednost prvog izvoda f'() date funkcije, pa je prvi izvod funkcije y f() na tom intervalu (na kome je diferencijabilna) takođe neka funkcija. Tu funkciju zovemo izvodnom ili marginalnom funkcijom funkcije f() i označavamo sa y' ili f'(), tj. f f y' f' ( ) lim ( ) ( ) 0 Operaciju nalaženja izvoda date funkcije zovemo diferenciranje, a dio matematike čiji je predmet diferenciranje i primjena izvoda - diferencijalni račun. 3
4 NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST T: Ako je funkcija diferencijabilna, tada je ona neprekidna Dokaz: y y y lim y lim lim y' Dakle, Δ0 Δy 0 4
5 Obrnuto tvrđenje - da iz neprekidnosti slijedi diferencijabilnost - nije tačno. Primjer.. Funkcija f() je neprekidna za svako R. Međutim, u tački 0, data funkcija nema izvod, jer je f( 0 ) f( 0) y lim 00 1 lim
6 Tablica izvoda y y 1. c log 5. ln n ln a 1 6. a a ln a 7. e n a n e 6
7 Tablica izvoda y y 8. sin cos 9. cos sin 10. tg 11. ctg 12. arcsin 1 2 cos 1 - sin arccos arctg arcctg
8 IZVOD ZBIRA, PROIZVODA I KOLIČNIKA f( ) g( ) f' ( ) g' ( ) f( ) g( ) f' ( ) g( ) g' ( ) f( ) f( ) g( ) f' ( ) g( ) g' ( ) f( ) g( ) 2 8
9 Primjer. Naći izvode a) y e, y e e e e b) y e ln, y e ln e ln e ln c) y, y e
10 IZVOD SLOŽENE FUNKCIJE ( f ( g( ))) f ( g( )) g( ) Primjer. Naći izvod funkcije y ln(sin). y je složena funkcija (kompozicija) funkcija f() ln i u() sin, tj. y lnu, u sin. Otuda je 1 1 cos y u sin ctg u sin sin 10
11 GEOMETRIJSKO TUMAČENJE IZVODA Prvi izvod funkcije y = f() u tački 0 geometrijski predstavlja koeficijent pravca tangente grafika u tački M 0 ( 0,y 0 ). 11
12 Ako je k t koeficijent pravca tangente i k s koeficijent pravca sječice M 0 M, onda je, prema definiciji tangente, k t lim MM 0 k s y k 0 s, a M M 0 k t lim 0 0 y Određivanje koeficijenta pravca tangente se, dakle, svodi na određivanje gornje granične vrijednosti
13 PRIMJER 1. Naći koeficijent pravca tangente grafika funkcije y = u tački čija je apscisa 0 = 1. RJEŠENJE: Kako je koeficijent k() pravca tangente jednak prvom izvodu, to je k() = y' = i, za = 1, k(1) = 5. 13
14 DIFERENCIJAL FUNKCIJE Neka je y f() funkcija diferencijabilna na intervalu (a,b) i neka je na tom intervalu njen izvod neprekidna funkcija. Proizvod prvog izvoda y ' i priraštaja argumenta u tački (a,b) zovemo diferencijalom funkcije y f() u tački i označavamo sa dy ili df(), tj. dy df() y ' Specijalno, diferencijal funkcije y je dy d 1 ili d, pa iz dy y', dobijamo dy y' d y' dy d 14
15 IZVODI VIŠEG REDA Pretpostavimo da funkcija y f() ima izvod na intervalu (a,b) i označimo taj izvod sa g(), tj. f'() g(). Ako funkcija g() ima izvod g'() u svakoj tački intervala (a,b) onda se taj izvod zove drugi izvod funkcije f() na intervalu (a,b). Za drugi izvod funkcije y f() koristimo neku od sledećih oznaka: 2 ( 2 d y y ), y,, f ( ) 2 d Analogno se definišu i označavaju izvodi n-tog reda funkcije y f(), n > 3: y n d y n,, f ( ) n d ( n) ( ) 15
16 ELASTIČNOST FUNKCIJE. Neka je y f() data funkcija - pravilo po kome veličina y zavisi od veličine. Ta zavisnost veličine y od veličine postaje očiglednija ako znamo koliku procentualnu promjenu veličine y izaziva promjena veličine za, na primjer, 1%. U cilju procjene takve zavisnosti uvodimo pojam elastičnosti funkcije u tački. Prethodno ćemo definisati relativni priraštaj argumenta i relativni priraštaj funkcije u tački kao količnike priraštaja argumenta i samog argumenta, odnosno priraštaja funkcije i same funkcije, tj.: f( ) y i f( ) y 16
17 Elastičnošću diferencijabilne funkcije y f() u tački zovemo izraz E ( ) y y dy y y d y Ako uzmemo da je y dobija se E y ( ) y y Ako pretpostavimo da je, y y y y., E 1% dobija se y y y ( ) E ( )% y 17
18 Tumačenje Elastičnost funkcije u nekoj tački kazuje koliki je približno releativni priraštaj funkcije u procentima ako relativni priraštaj argumenta iznosi 1%. Drugim riječima: ako se argument sa vrijednosti 0 poveća na 0 + 1% 0, onda se funkcija y() sa vrijednosti y( 0 ) promijeni (poveća ili smanji) približno za Ey( 0 )%y 0 tj. na y 0 + Ey( 0 )%y 0. Apsolutnu vrijednost elastičnosti zovemo koeficijentom elastičnosti i označavamo sa η: η() = Ey(). Ako je η () > 1 kažemo da je u tački funkcija elastična, ako je η () < 1 - neelastična. 18
19 TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI Rolova teorema: Ako je y = f() funkcija neprekidna na intervalu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b) i ako je f(a) = f(b) = 0, onda postoji bar jedna tačka c (a,b) takva da je f'(c) = 0. Dokaz: (nije obavezan!) f diferencijabilna f neprekidna postojanje najmanje i najveće vrijednosti m i M funkcije f() na intervalu [a,b]. Ako je m = M funkcija je konstantna: f() = k, (a,b) pa je za svako (a,b), f'() = 0, tj. za tačku c možemo uzeti proizvoljnu tačku iz (a,b). 19
20 Neka je m M. Tada je M 0 ili m 0. Neka je M 0. Označimo sa c onu vrijednost argumenta za koju je f() M. Kako je f(a) f(b) 0 i M 0, to je c a i c b, dakle c (a,b). U tački c funkcija ima najveću vrijednost na intervalu [a,b], pa je, za c (a,b), f(c) f(c), i, ako je > 0: f ( c ) f ( c ) 0 Prema pretpostavci, postoji granična vrijednost izraza na lijevoj stani kad 0 i ta granična vrijednost je f'(c). Iz osobina granične vrijednosti slijedi da je f'(c) 0 (1). Za < 0 isti količnik nije negativan pa nije negativna ni njegova granična vrijednost, tj. f'(c) 0 (2) Iz (1) i (2) slijedi tvrđenje, tj. postojanje tačke c u kojoj je f'(c) 0. 20
21 Geometrijsko tumačenje Rolove teoreme je sledeće: U bar nekoj tački grafika funkcije y = f() koja se anulira u tačkama a i b i koja je neprekidna na intervalu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b) tangenta je paralelna -osi. NAPOMENA: Rolova teorema važi i ako se u pretpostavci uslov f(a) = f(b) = 0 zamijeni uslovom f(a) = f(b). 21
22 Lagranžova teorema: Ako je y f() funkcija neprekidna na intervalu [a,b] i diferencijabilna na intervalu (a,b), onda postoji tačka c (a,b): f ( c) f( b) f( a) b a Dokaz: (nije obavezan!) Označimo sa g() sledeću funkciju: g() [f() f(a)](b a) [f(b) f(a)]( a). Funkcija g() je diferencijabilna na intervalu (a,b) (kao zbir proizvoda diferencijabilnih funkcija) i još je g(a) g(b) 0, što znači da ispunjava uslove Rolove teoreme. Postoji, dakle, tačka c (a,b) takva da je f( b) f( a) g'(c) f'(c)(b a) [f(b) f(a)] 0, tj. f ( c) b a 22
23 Geometrijski: U bar jednoj tački c (a,b) tangenta grafika funkcije neprekidne na intervalu [a,b] i diferencijabilne na intervalu (a,b) paralelna je sječici određenoj tačkama (a, f(a)) i (b, f(b)) 23
24 Košijeva teorema: Ako su f() i g() funkcije neprekidne na intervalu [a,b] i diferencijabilne na intervalu (a,b) i ako je g'() 0, onda postoji tačka c (a,b) takva da je f ( b) f ( a) g( b) g( a) f ( c) g( c) Primjer. Primjenom Lagranžove teoreme, lako se dokazuje da ako je prvi izvod f-je jednak 0, tada je ta funkcija konstantna! (lijeva strana relacije na slajdu 20 je 0, pa je f()=f(a)- const, za svako sa intervala (a,b)). 24
25 Tajlorova formula (bez dokaza): f ( ) f ( a) f ( a) ( a) 1! f ( a) ( a) 2!... f ) ( a) ( a) n! ( n1) f ( c) ( a) ( n 1)! ( n 2 n n1, gdje je c neki broj iz intervala (a,). Izraz G f ( n1 ) ( c ) a ( n 1)! ( ) n1 zove se ostatak. Primjer. Primjenjujući Tajlorovu formulu na funkciju f() e, za a 0 i n 7, imaćemo 2 7 c e e ! 2! 7! 8! Za 1, odbacujući poslednji sabirak, dobijamo da je e 1 2, ! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
26 f ( ) f (0) f (0) 1! f (0) 2! 2... f ( n) n! (0) n G Maclaurinov red- prikazuje razvoj funkcije f() oko nule (a=0) 26
27 Lopitalovo pravilo (bez dokaza): Neka su f() i g() diferencijabilne funkcije čija je granična vrijednost, kad a, nula i neka količnik njihovih izvoda ima granicu A kad a. Tada je f ( ) f ( ) lim lim A a g( ) a g( ) Napomena. Pravilo se primjenjuje i na oblik /. Ostali neodređeni izrazi se svode na 0/0 ili /.. Primjer. Primjenjujući Lopitalovo pravilo ( oblik 0(- ) sveli smo na - /!) dobijamo da je 1 lim ln lim ln lim
28 Monotonost funkcije Već smo vidjeli da rastuća f-ja (iz Δ>0 slijedi Δy>0) ima prvi izvod pozitivan ili jednak nuli (tj. koefic. pravca tangente je pozitivan ili 0 - vidjeti grafik na slajdu 9). Analogno, za opadajuću f-ju (kod nje iz Δ>0 slijedi Δy<0) izvod je negativan ili 0. Kod crtanja grafika f-ja trebaće nam obrat tog tvrđenja. Pokazuje se da se ispitivanje monotonosti diferencijabilne funkcije svodi se na ispitivanje znaka prvog izvoda (formalan dokaz se izvodi korišćenjem Lagranžove teoreme i pretpostavke monotonosti): Na intervalu na kome je prvi izvod pozitivan funkcija raste; na intervalu na kome je prvi izvod negativan funkcija opada Primjer. y=ln je stalno rastuća, jer je u domenu prvi izvod (1/) stalno pozitivan. 28
29 ODREĐIVANJE INTERVALA MONOTONOSTI Za funkciju y = f() kažemo da raste, oznaka y, na intervalu (a,b)d ako je za svako 1 < 2, 1, 2 (a,b) ispunjena nejednakost f( 1 ) < f( 2 ) Ako je, uz iste pretpostavke f( 1 ) f( 2 ), kažemo da, na intervalu (a,b) D, funkcija f() ne opada. Analgono se definišu opadanje (y) i nerašćenje funkcije na nekom intervalu. Intervale rašćenja i intervale opadanja zovemo intervalima monotonsosti funkcije. Određivanje intervala monotonosti zovemo još i ispitivanje toka funkcije. 29
30 Neka je y f() funkcija diferencijabilna na intervalu [a,b] i neka na tom intervalu raste. Tada uz uslove, 0 (a,b), 0 > 0 i 0 0 (a,b) važi jednakost f( 0 0 ) > f( 0 ), odnosno y 0 f( 0 0 ) f( 0 ) > 0. No, tada je i količnik y vrijednost kad 0 0 nenegativna, tj. y. 0 lim f ( 0 ) pozitivan, a njegova granična Iz pretpostavke da diferencijabilna funkcija raste, 30 slijedi nenegativnost izvoda.
31 Geometrijski: Tangenta grafika diferencijabilne funkcije koja raste na intervalu [a,b] je ili paralelna -osi ili sa njom gradi oštar ugao (slika 1). Slika 1. 31
32 Pretpostavimo, sada, da je na intervalu [a,b] funkcija f() diferencijabilna i da je f'() > 0, [a,b]. Ako su 1 i 2, 1 < 2 proizvoljne tačke intervala [a,b], onda, prema Lagranžovoj teoremi, postoji tačka c ( 1, 2 ) takva da je f( 2 ) - f( 1 ) = f'(c)( 2-1 ). Kako je, po pretpostavci, f'(c) > 0 i 2 > 1, to je f( 2 ) > f( 1 ) za svako 1, 2 iz intervala [a,b], što znači da na intervalu [a,b] funkcija raste. Geometrijski: Ako tangenta grafika funkcije y = f() u proizvoljnoj tački [a,b] gradi sa -osom oštar ugao, onda na intervalu [a,b] funkcija raste (slika 1). 32
33 Na intervalu na kome je prvi izvod pozitivan funkcija raste; na intervalu na kome je prvi izvod negativan - funkcija opada. 33
34 EKSTREMNE VRIJEDNOSTI FUNKCIJE Važnu ulogu u ispitivanju funkcije imaju one tačke iz intervala definisanosti u kojima funkcija prelazi iz rašćenja u opadanje ili iz opadanja u rašćenje. Na slici 2. su to tačke 1 i 3 odnosno 2 i 4. Slika 2. 34
35 Kažemo da u tački = a D f funkcija f() ima maksimum ako postoji neka okolina tačke a u kojoj je f(a) najveća vrijednost. Tako, funkcija čiji je grafik dat na sl. 2 za = 3 ima maksimum jer je na intervalu ( 2, 4 ) koji sadrži tačku 3, f( 3 ) najveća vrijednost. Vrijednost f(a) se zove maksimum funkcije. Simbolički: funkcija y = f() za = a ima maksimum f(a), ako postoji neka okolina tačke a takva da je f(a) > f() za svako a iz te okoline (sl. 3.). Slika 3. 35
36 Analogno se definiše i minimum funkcije sl. 4. Minimum i maksimum zovemo ekstremnim vrijednostima. Slika 4. Teorema (potreban uslov): Ako u tački = a diferencijabilna funkcija ima ekstremnu vrijednost, onda je u toj tački prvi izvod jednak nuli. Teorema (dovoljan uslov): Ako je u stacionarnoj tački =a drugi izvod različit od 0, onda u toj tački f-ja ima ekstremnu vrijednost, i to: ako je drugi izvod u stacionarnoj tački pozitivan- minimum, u 36 suprotnom (drugi izvod negativan)- maksimum
37 POTREBAN I DOVOLJAN USLOV: Diferencijabilna funkcija u tački = a ima ekstremnu vrijednost ako i samo ako je = a nula prvog izvoda i ako, prolazeći kroz tu tačku, prvi izvod mijenja znak. Pritom, ako prvi izvod mijenja znak sa + na - funkcija ima maksimum, ako mijenja sa - na + ima minimum. Nule prvog izvoda zovu se stacionarne ili kritične tačke. Primjer. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije y Rešenje: Nule prvog izvoda (stacionarne-kritične tačke) su rješenja jednačine , tj. 1 1 i 2 1. Prolazeći kroz tačku 1 prvi izvod mijenja znak (i to sa na pa u toj tački data funkcija ima maksimum: y ma y(1) (1) 3 3(1) 1 3. Prolazeći kroz tačku 1 prvi izvod mijenja znak i to sa na, pa u ovoj tački data funkcija ima minimum: 37 y min y(1) 1.
38 KONVEKSNOST I KONKAVNOST. PREVOJNE TAČKE Ako su ordinate proizvoljne tačke grafika funkcije y f() čije apscise pripadaju intervalu (a,b) manje ili jednake od odgovarajućih ordinata tangente t, onda kažemo da je na intervalu (a,b) grafik funkcije y f() konkavan (sl. 5.). Ako su, uz iste pretpostavke, ordinate tangente manje ili jednake od odgovarajućih ordinata grafika funkcije, kažemo da je na intervalu (a,b) grafik funkcije konveksan (sl. 6.). Slika 5. Slika 6. 38
39 Ako je grafik funkcije konkavan y = f(), drugi izvod je nepozitivan; ako je drugi izvod negativan, grafik je konkavan. Na intervalu konveksnosti drugi izvod funkcije y = f() je nenegativan; na intervalu na kome je drugi izvod pozitivan, grafik funkcije je konveksan. Tačka P(a,f(a)) je prevojna tačka (tj. tačka koja razdvaja konveksan od konkavnog dijela) grafika f-je y akko je drugi izvod u toj tački jednak 0, i prolazeći kroz tu tačku drugi izvod mijenja znak. 39
40 Brzina rasta neprekidne funkcije: F-ja y = f() koja raste na intervalu (a,b) kažemo da, na tom intrvalu, raste sve brže ili da raste progresivno, ako jednakim priraštajima argumenta odgovaraju sve veći priraštaji funkcije. Iz definicije slijedi da, za funkciju koja raste sve brže: 0 < Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 =... Δy 1 < Δy 2 < Δy 3 <... Na intervalu (a,b) funkcija y = f() koja ima drugi izvod raste sve brže ako i samo ako je f'() > 0 i f"() > 0, za svako (a,b). 40
41 Za funkciju y = f() koja raste na intervalu (a,b) kažemo da, na tom intervalu, raste sve sporije (degresivno) ako jednakim priraštajima argumenta odgovaraju sve manji priraštaji funkcije, tj.: 0 < Δ 1 = Δ 2 = Δ 3 =... Δy 1 > Δy 2 > Δy 3 >... na intervalu (a,b), funkcija y = f() raste sve sporije ako i samo ako je f'() > 0 i f"() < 0. 41
42 KARAKTERISTIKE FUNKCIJE. GRAFIK Ispitati funkciju znači odrediti: 1. Oblast definisanosti D f 2. Parnost, neparnost, periodičnost 3. Nule funkcije 4. Neprekidnost, ponašanje u prekidnim tačkama, vertikalne asimptote 5. Horizontalne i kose asimptote 6. Znak funkcije 7. Tok, ekstremne vrijednosti 8. Konveksnost, konkavnost, prevojne tačke 9. Grafik. 42
TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI
TEOREME O SREDNJOJ VRIJEDNOSTI Rolova teorema: Ako je y f(x) fnkcija neprekidna na interval [a,b] i diferencijabilna na interval (a,b) i ako je f(a) f(b) 0, onda postoji bar jedna tačka c (a,b) takva da
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραNa grafiku bi to značilo :
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα8 Funkcije više promenljivih
8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραPrimena izvoda funkcije
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3(1) (2015), 17-40 Primena izvoda funkcije Mirjana Dimitrijević student prve godine na Departmanu
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραy x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.
73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραUPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα3.1. Granične vrednosti funkcija
98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009.
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2 P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2008/2009. godini) Budite zahvalni na savjetima, a ne na pohvalama..2.2. Neka svojstva
Διαβάστε περισσότεραDiferencijabilnost funkcije više promenljivih
Matematiči faultet Beograd novembar 005 godine Diferencijabilnost funcije više promenljivih 1 Osnovne definicije i teoreme, primeri Diferencijabilnost je jedan od centralnih pojmova u matematičoj analizi
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα1. Funkcije više promenljivih
1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότερα