ιαφορικές εξισώσεις και εξισώσεις διαφορών για μη μαθηματικούς Α. Πουλιέζος Α. Πουλιέζος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαφορικές εξισώσεις και εξισώσεις διαφορών για μη μαθηματικούς Α. Πουλιέζος Α. Πουλιέζος"

Transcript

1 ιαφορικές εξισώσεις και εξισώσεις διαφορών για μη μαθηματικούς Α. Πουλιέζος Εκδοχή. Χανιά 7

2

3 Στους φοιτητές μου περασμένους και μελλοντικούς.

4

5 Περιεχόμενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΕΩΣ 9. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 9. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΕΩΣ. ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 9. ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5.5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΜΟΡΦΗ 6.6 ΑΚΡΙΒΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΓΙΑΤΙ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΛΥΣΟΥΜΕ ΠΑΡΑ ΠΟΛΛΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 8.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 8 Α. ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8 Β. ΈΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΠΟΡΡΙΨΗΣ ΠΥΡΗΝΙΚΩΝ ΑΠΟΒΛΗΤΩΝ Γ. ΠΡΟΤΥΠΑ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ 5 α H δυναμική της αύξησης των καρκινικών όγκων 5 β Ανθρώπινοι πληθυσμοί 7.8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ 5. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΛΥΣΕΩΝ 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ 59 Α. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΚΕΚΡΙΜΕΝΕΣ ΡΙΖΕΣ 6 Β. ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ 6 Γ. ΊΣΕΣ ΡΙΖΕΣ ΥΠΟΒΙΒΑΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΑΞΕΩΣ 6. ΛΥΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΜΕ ΔΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 68. Η ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ 75.5 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ «ΣΥΝΕΤΗΣ ΕΙΚΑΣΙΑΣ» 77.6 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 85.7 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ: ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 88 Α ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ 89 Β ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ 9 Γ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 9 Δ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΔΥΝΑΜΗΣ 96.8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 98 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΤΑΞΕΩΝ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΛΥΣΕΩΝ ΚΑΙ Ο E AT. ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 5 Α. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 5 Β. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΤΗΣ ΕΙΚΑΣΙΑΣ

6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ LAPLACE. ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΡΧΙΚΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ LAPLACE. ΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥΣ LAPLACE 5 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 8 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 8 5. ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΗΣ Ν 9 5. H ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ Α. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΤΗΣ ΕΙΚΑΣΙΑΣ B. ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 6 5. Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΖΗΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Z ΤΥΠΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 6 ΠΙΝΑΚΑΣ Π. ΕΥΘΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE 6 ΠΙΝΑΚΑΣ Π. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LAPLACE 66 ΠΙΝΑΚΑΣ Π. IΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z 7 ΠΙΝΑΚΑΣ Π. ΕΥΘΕΙΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Z 7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ 75 ΠΗΓΕΣ 76 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 76 ΔΙΚΤΥΑΚΕΣ ΠΗΓΕΣ 76

7 Πρόλογος Οι σημειώσεις αυτές πρωτογράφτηκαν το καλοκαίρι του 985. Το Σεπτέμβριο του ίδιου χρόνου θ άρχιζε η ακαδημαϊκή μου πορεία στο Πολυτεχνείο Κρήτης μια πορεία που συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Για το Πολυτεχνείο Κρήτης ήταν η δεύτερη χρονιά με φοιτητές του Τμήματος Μηχανικών Παραγωγής και Διοίκησης και το έμψυχο δυναμικό λίγο. Ανέλαβα να διδάξω το μάθημα των Διαφορικών Εξισώσεων και παρ όλο που υπήρχαν μερικά βοηθήματα στα Ελληνικά και πάμπολλα Αγγλικά έκρινα ότι η ύλη που θα διδασκόταν στους συγκεκριμένους φοιτητές θα έπρεπε να ήταν «κομμένη και ραμμένη» στα μέτρα τους. Έτσι προέκυψε ο τίτλος και η δομή του συγγράμματος που ακολουθεί. Η πρώτη έκδοση του βιβλίου ήταν χειρόγραφη απόσπασμα της πρώτης σελίδας στην Εικ... Ακολούθησαν διάφορες ηλεκτρονικές μορφές μέσω των εκάστοτε επεξεργαστών κειμένων Worr WorPrfc κλπ. για να καταλήξει στη σημερινή εκδοχή γραμμένη σε Microof Wor και αναρτημένη στο δίκτυο. Το συγκεκριμένο σύγγραμμα δεν διεκδικεί δάφνες πρωτοτυπίας κάτι που ούτως ή άλλως θα ήταν δύσκολο για το θέμα που πραγματεύεται. Αντίθετα είναι εν πολλοίς βασισμένο στο εξαιρετικό βιβλίο του Brow και επίσης χρησιμοποιεί και σκόρπιο υλικό από τα υπόλοιπα βιβλία που αναφέρονται στις «πηγές». Ελπίζω η έκδοση αυτή να φανεί όσο χρήσιμη ήταν και η πρώτη. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τη κυρία Στέλλα Μουντογιαννάκη που δακτυλογράφησε μεγάλο τμήμα των σημειώσεων καθώς επίσης και τους βοηθούς μου Δρ. Μάγδα Μαρινάκη και Νεκτάριο Αρναουτάκη για τη δακτυλογράφηση μικροτέρων τμημάτων. Επίσης να ευχαριστήσω εκ των προτέρων όλους όσοι συνεισφέρουν με τις διορθώσεις και επισημάνσεις τους. Εικόνα εξωφύλλου: Βακτηριακές αποικίες από προσομοίωση προτύπων διαφορικών εξισώσεων που διέπουν την υδροδυναμική τους συμπεριφορά hp://mh.rio.u/~lg/rrch.hml.

8 Εικόνα. 8

9 ιαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως. Εισαγωγή Στο πρώτο τμήμα των σημειώσεων αυτών θα πραγματευτούμε τις διαφορικές εξισώσεις και τις εφαρμογές τους. Ως διαφορική εξίσωση ορίζουμε μία σχέση μεταξύ μιας συνάρτησης του χρόνου και των παραγώγων της. Οι εξισώσεις: και ημ.. είναι παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων η εξάρτηση της εξαρτημένης μεταβλητής από την ανεξάρτητη μεταβλητή Α. Πουλιέζος θα παραλείπεται συνήθως από δω και στο ε- ξής χάρη συντομίας. Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η τάξη της μεγαλύτερης παραγώγου της συνάρτησης που εμφανίζεται στην εξίσωση. Έτσι η. είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως και η. τρίτης τάξεως. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνεχής συνάρτηση η οποία μαζί με τις παραγώγους της ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση. Για παράδειγμα η συνάρτηση ημ συν είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξεως συν αφού ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν συν 9

10 Οι διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε πολλές περιοχές των θετικών αλλά και ανθρωπιστικών επιστημών. Στις σημειώσεις αυτές παραθέτουμε μερικά ωραία παραδείγματα εφαρμογών των διαφορικών εξισώσεων σε πολύ διαφορετικά πεδία όπως στη διάγνωση του διαβήτη στο πολλαπλασιασμό καρκινικών κυττάρων και στην α- νάπτυξη διαφόρων πληθυσμών. Ο σκοπός μας είναι να δείξουμε πώς η θεωρία των διαφορικών εξισώσεων εφαρμόζεται για να λύσει ή για να προσπαθήσει να λύσει πραγματικά προβλήματα από την ζωή.. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Αρχίζουμε με τη μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως και υποθέτουμε ότι η εξίσωση μας είναι ή μπορεί να τεθεί στη μορφή Το πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε είναι: f. Δοθείσης της συνάρτησης f ποιες είναι οι συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση.; Το προσεγγίζουμε ως εξής: για να λύσουμε ένα καινούργιο πρόβλημα προσπαθούμε να το ανάγουμε με κάποιο τρόπο σ ένα πρόβλημα που το έχουμε ήδη λύσει. Αυτό σημαίνει πρακτικά ότι απλοποιούμε διαδοχικά το πρόβλημα για να μοιάζει με κάποιο που ξέρουμε να επιλύουμε. Εφ όσον προσπαθούμε να βρούμε λύσεις σε γενικές διαφορικές εξισώσεις φαίνεται λογικό να απαριθμήσουμε όλες τις διαφορικές εξισώσεις που μπορούμε να λύσουμε χρησιμοποιώντας τη θεωρία του στοιχειώδους λογισμού. Δυστυχώς η μόνη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως που μπορούμε να λύσουμε έτσι είναι η g. όπου g. είναι οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη συνάρτηση του χρόνου. Για να λύσουμε την. απλά ολοκληρώνουμε και τις δυο πλευρές ως προς για να πάρουμε g c όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης και είναι μια συνάρτηση που έχει σαν παράγωγο την g αντιπαράγωγος της g. Φαίνεται έτσι ότι για να λύσουμε ο- g

11 ποιαδήποτε διαφορική εξίσωση πρέπει να την ανάγουμε κατά κάποιο τρόπο στη μορφή.. Όπως θα δούμε αργότερα αυτό είναι αδύνατο στις περισσότερες περιπτώσεις. Δεν θα μπορέσουμε λοιπόν να λύσουμε τις περισσότερες διαφορικές εξισώσεις χωρίς τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Φαίνεται λογικό λοιπόν ότι για να βρούμε ποιές διαφορικές εξισώσεις μπορούμε να λύσουμε θα πρέπει ν αρχίσουμε με πολύ απλές εξισώσεις και όχι π.χ. με την ημ 7 η οποία παρεπιπτόντως δεν λύνεται ακριβώς. Η πείρα μας έχει διδάξει ότι οι α- πλούστερες εξισώσεις είναι αυτές που είναι γραμμικές ως προς την εξαρτημένη μεταβλητή. Ορισμός. Η γενική γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως είναι η b.5 όπου οι συναρτήσεις και b θεωρούνται συνεχείς συναρτήσεις του χρόνου. Ξεχωρίζουμε την εξίσωση Α. αυτή και Πουλιέζος την ονομάζουμε γραμμική γιατί η εξαρτημένη μεταβλητή εμφανίζεται μόνο με γραμμικούς όρους δηλαδή δεν υπάρχουν όροι της μορφής ημ κλπ. Για παράδειγμα οι εξισώσεις ημ συν είναι μη γραμμικές εξαιτίας των όρων και συν αντίστοιχα. Ακόμη δεν είναι προφανές πώς θα λύσουμε την εξίσωση.5. Γι αυτό την απλοποιούμε περισσότερο θέτοντας b. Ορισμός. Η εξίσωση.6 καλείται ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως ενώ η.6 καλείται μη ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Ευτυχώς η ομογενής εξίσωση.6 μπορεί να λυθεί αρκετά απλά. Πρώτον διαιρούμε τις δυο πλευρές με και έχουμε:

12 / Δεύτερον παρατηρούμε ότι / l Επομένως η.6 γίνεται l.7 Αλλά αυτή είναι «ουσιαστικά» η. αφού ολοκληρώνοντας και τις δύο πλευρές παίρνουμε l c όπου η c η σταθερά της ολοκλήρωσης. Α. Πουλιέζος Παίρνοντας αντιλογαρίθμους ή p p { c } c p{ } { } c { } c p.8 αφού p.>. Η εξίσωση.8 μας λέει ότι η απόλυτη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης του χρόνου είναι σταθερή. Αλλά αν η απόλυτη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης g είναι σταθερή τότε και η ίδια η συνάρτηση είναι σταθερή. Για να το δείξουμε αυτό παρατηρούμε ότι αν η συνάρτηση g δεν είναι σταθερή τότε υπάρχουν δύο διαφορετικοί χρόνοι και για τους οποίους g cg c. Σύμφωνα με το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής η συνάρτηση g θα πρέπει τότε να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ c και c πράγμα αδύνατο αφού g c. Επομένως { } p c

13 ή c p{ }.9 Η εξίσωση.9 καλείται γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης επειδή κάθε λύση της.6 πρέπει να είναι αυτής της μορφής. Παρατηρούμε ότι στην.9 εμφανίζεται η αυθαίρετη σταθερά c. Το γεγονός αυτό δεν πρέπει να μας εκπλήσσει. Η αυθαίρετη σταθερά c θα εμφανίζεται στην γενική λύση κάθε διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξεως. Παρατηρούμε επίσης ότι η εξίσωση.6 έχει άπειρες λύσεις. μία για κάθε τιμή του c. Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης. Λύση: Εδώ έτσι { } c p{ } c p Παράδειγμα. Να προσδιοριστεί η συμπεριφορά όλων των λύσεων της εξίσωσης όταν α σταθερά. Λύση: Η γενική λύση είναι { } c p{ } c p Άρα αν < όλες οι λύσεις εκτός της τείνουν στο άπειρο ενώ αν > όλες οι λύσεις τείνουν στο. Στην πράξη δεν ενδιαφερόμαστε συνήθως για όλες τις λύσεις της.6. Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι η ιδιαίτερη λύση η οποία σε κάποιον αρχικό χρόνο έχει την τιμή. Θέλουμε λοιπόν να βρούμε την συνάρτηση έτσι ώστε. Η εξίσωση. αναφέρεται σαν πρόβλημα αρχικής τιμής επειδή απ όλες τις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης ενδιαφερόμαστε για την μία λύση η οποία αρχικά στον χρόνο έχει την τιμή. Για να βρούμε αυτή τη λύση ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της.7 μεταξύ και. Έτσι l

14 l l l p { } Η συνάρτηση μέσα στην απόλυτη τιμή είναι συνεχής συνάρτηση του χρόνου. Άρα σύμφωνα με τα προηγούμενα είναι ταυτόσημη με ή. Για να βρούμε ποιο από τα δύο βρίσκουμε την τιμή της στο σημείο. Επειδή πρέπει p { } p { } Άρα { } p{ } p Παράδειγμα. ημ Λύση: Εδώ ημ άρα Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής. p { } συν ημ Παράδειγμα. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής. Λύση: Εδώ άρα p { }

15 Με μία πρώτη ματιά το πρόβλημα αυτό φαίνεται να παρουσιάζει μία πολύ σοβαρή δυσκολία επειδή δεν μπορούμε να ολοκληρώσουμε την συνάρτηση άμεσα. Παρ όλ αυτά η λύση είναι εξίσου ισχυρή και χρήσιμη όσο και η λύση στο Παράδειγμα.. Ο λόγος είναι διπλός: πρώτον υπάρχουν απλές αριθμητικές μέθοδοι για την ε- κτίμηση του παραπάνω ολοκληρώματος. Δεύτερον ακόμη κι αν η λύση του Παραδείγματος. δινόταν αναλυτικά δεν μπορούμε να βρούμε την αριθμητική της τιμή την χρονική στιγμή χωρίς την βοήθεια πινάκων ή κάποιου άλλου υπολογιστικού μέσου. Ας γυρίσουμε τώρα στην μη ομογενή εξίσωση: b Είναι φαvερό από την μέχρι τώρα προσέγγιση μας ότι για να λύσουμε την μη ομογενή εξίσωση θα πρέπει να την εκφράσουμε σαν κάποια συνάρτηση b και κατόπιν να ολοκληρώσουμε και τις δύο πλευρές λύνοντας για την «κάποια συνάρτηση». Όμως η παράσταση δεν φαίνεται να είναι η παράγωγος κάποιας απλής συνάρτησης. Το επόμενο «λογικό» βήμα που πρέπει να κάνουμε είναι το εξής: μπορούμε να κάνουμε την αριστερή πλευρά την παράγωγο «κάποιας συνάρτησης»; Ας το προσπαθήσουμε πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της.5 με κάποια συνεχή συνάρτηση μ οπότε παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση μ μ μ b. με τον όρο ισοδύναμη εξίσωση εννοούμε ότι κάθε λύση της. είναι λύση της.5 και αντίστροφα. Τώρα μπορούμε να επιλέξουμε την μ έτσι ώστε η μ μ να είναι η παράγωγος κάποιας απλής συνάρτησης; Η απάντηση είναι ναι και συνάγεται παρατηρώντας ότι 5

16 μ μ μ Επομένως μ μ μ αν και μόνον αν μ Αλλά αυτή είναι μία ομογενής διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως που ξέρουμε να λύνουμε και επειδή μία οποιαδήποτε συνάρτηση αρκεί θέτουμε στην.9 c και παίρνουμε { } p μ Γι αυτή την μ η. γράφεται b μ μ. Για να βρούμε την γενική λύση της.5 ολοκληρώνουμε τα δύο μέρη της. παίρνοντας c b c b μ μ μ μ { } c b p μ. Αν θέλουμε τώρα μία ιδιαίτερη λύση της.5 που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη δηλαδή θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα αρχικής τιμής b 6

17 τότε παίρνουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα των δύο μελών της. μεταξύ και για να βρούμε b μ μ μ [ ] b μ μ μ. Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση { } p μ καλείται παράγοντας ολοκλήρωσης της μη ομογενούς εξίσωσης επειδή μετά τον πολλαπλασιασμό και των δύο μελών της με τη μ μπορούμε αμέσως να ολοκληρώσουμε την εξίσωση και να βρούμε όλες τις λύσεις. Ο αναγνώστης δεν θα πρέπει να απoστηθίσει τους τύπους. και.. Όλες οι μη ομογενείς εξισώσεις θα λύνονται πολλαπλασιάζοντας πρώτα και τα δύο μέλη με την μ γράφοντας μετά το αριστερό μέλος σαν παράγωγο της μ και τέλος ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης. Ένας εναλλακτικός τρόπος για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικής τιμής είναι να βρούμε την γενική λύση. της.5 και μετά να χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη για να βρούμε την σταθερά c. Αν όμως η συνάρτηση μb δεν ολοκληρώνεται ευθέως τότε πρέπει να πάρουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα της. που δίνει την. η οποία μπορεί να προσεγγισθεί αριθμητικά. Παράδειγμα.5 Να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης. Λύση: Εδώ άρα ο παράγοντας ολοκλήρωσης { } { } p p μ Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με μ έχουμε την ισοδύναμη εξίσωση c c c 7

18 Παράδειγμα.6 Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής. Λύση: Εδώ άρα { } { } p p μ Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της εξίσωσης με μ έχουμε Άρα Παράδειγμα.7 Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής. Λύση: Εδώ άρα { } { } p p μ. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με μ έχουμε Ολοκληρώνοντας μεταξύ 8

19 . Χωριζόμενες εξισώσεις Λύσαμε την ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως.6 διαιρώντας και τα δύο μέλη με για να πάρουμε την ισοδύναμη εξίσωση Α ζος. Πουλιέ ή l.7 Κατόπιν ολοκληρώσαμε και τα δύο μέρη της.7 για να βρούμε την. M έναν ακριβώς ανάλογο τρόπο μπορούμε να λύσουμε την πιο γενική διαφορική εξίσωση f g.5 όπου f και g είναι συνεχείς συναρτήσεις των και αντίστοιχα. Η εξίσωση αυτή όπως και κάθε άλλη εξίσωση που μπορεί να τεθεί σ αυτή τη μορφή καλείται χωριζόμενη. Για να λύσουμε την.5 πολλαπλασιάζουμε πρώτα και τα δύο μέλη με f για να πάρουμε την ισοδύναμη εξίσωση g f.6 Μετά παρατηρούμε ότι η.6 μπορεί να γραφτεί σαν 9

20 g F.7 όπου F είναι κάποια αντιπαράγωγος της f δηλαδή. Επομένως f F c g F.8 όπου c είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Λύνοντας την.8 ως προς βρίσκουμε την γενική λύση της.5. Παράδειγμα.8 Να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης. Λύση: Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με έχουμε ή c c Παράδειγμα.9 Να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης. Λύση: Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφτεί Άρα c

21 Παίρνοντας λογαρίθμους c l Επιπλέον της διαφορικής εξίσωσης.5 θα υπάρχουν επίσης αρχικές συνθήκες της μορφής. Η διαφορική εξίσωση.5 μαζί με την αρχική της συνθήκη καλείται πρόβλημα αρχικής τιμής. Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα αυτό με δύο διαφορετικούς τρόπους: ή να χρησιμοποιήσουμε την αρχική συνθήκη για να βρούμε την σταθερά c της.8 ή να ολοκληρώσουμε και τα δύο μέρη της.7 μεταξύ και για να πάρουμε Τώρα αν παρατηρήσουμε ότι F F F g.9 F f rr. μπορούμε να γράψουμε την.9 στην απλούστερη μορφή f rr. Παράδειγμα. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής. Λύση η μέθοδος: Απο το Παράδειγμα.9 ξέρουμε ότι η γενική λύση είναι c l Αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες l/c c/. Άρα η μέθοδος: Από την. l r r

22 l Παράδειγμα. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής. Λύση: Διαιρούμε και τα δύο μέλη με για να πάρουμε την ισοδύναμη εξίσωση Από την. r r τοξεφ εφ Η λύση αυτή έχει την ανησυχητική ιδιότητα ότι πηγαίνει στο ± όταν ±π/. Το γεγονός αυτό δεν είναι καθόλου προφανές ούτε από την ίδια την διαφορική εξίσωση ούτε από την αρχική Α. της συνθήκη. Πουλιέζος Συμβαίνει όμως οι λύσεις μερικών καθ όλα «ωραίων» διαφορικών εξισώσεων να πηγαίνουν στο άπειρο σε πεπερασμένο χρόνο. Στις περιπτώσεις αυτές οι λύσεις συνήθως ισχύουν για ένα πεπερασμένο α- νοιχτό διάστημα α<<b. Ακόμη όπως θα δούμε παρακάτω διαφορετικές λύσεις της ίδιας διαφορικής εξίσωσης συνήθως πηγαίνουν στο άπειρο σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Παράδειγμα. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής. Λύση: Από την. Επομένως r r τοξεφ τοξεφ εφ Η λύση αυτή ισχύει στο ανοιχτό διάστημα π<<π/. π / Παράδειγμα. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής

23 ημ. Λύση: Διαιρώντας και τα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης με παίρνουμε ημ Επομένως r r r l ημ l συν Λύνοντας ως προς : ημ / ± / Επειδή το είναι θετικό διαλέγουμε τη θετική ρίζα. Άρα ημ / / Η λύση αυτή ισχύει αν ημ / ή ημ /. Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνει μονοτονικά μπορούμε να πάρουμε τους λογαρίθμους και των δύο μελών της.: ή ημ / l τοξ ημ Επομένως η ορίζεται στο ανοιχτό διάστημα α α όπου τοξ ημ[ l/] l.

24 Εδώ φαίνεται ν' αντιμεπωτίζουμε μία καινούργια δυσκολία που σχετίζεται με τις μη γραμμικές εξισώσεις αφού η «εξαφανίζεται» όταν ±α και δεν πηγαίνει απλώς στο άπειρο. Όμως η φαινομενική αυτή δυσκολία μπορεί να εξηγηθεί αρκετά εύκολα και ακόμη περισσότερο μπορεί να προβλεφθεί αν γράψουμε την διαφορική εξίσωση στην κανονική μορφή ημ Παρατηρούμε ότι η διαφορική εξίσωση δεν ορίζεται όταν. Άρα αν κάποια λύση έχει την τιμή μηδέν σε κάποιο χρόνο * τότε δεν θα πρέπει να περιμένουμε ότι θα ορίζεται για >*. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και στο παράδειγμα μας αφού ±α. Παράδειγμα. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής συν π/. Λύση: Από την. r r συν π / ημ Η εξίσωση αυτή δεν μπορεί να λυθεί ως προς αναλυτικά. Είναι δε γεγονός ότι οι περισσότερες χωριζόμενες εξισώσεις δεν μπορούν να δώσουν αναλυτική λύση για την. Αυτό όμως δεν δημιουργεί προβλήματα στην πράξη αφού μπορούμε πάντα να βρούμε την με αριθμητικές μεθόδους. Παράδειγμα.5 Να βρεθούν όλες οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης Λύση: Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με παίρνουμε:. άρα c. Οι καμπύλες που ορίζονται από την. είναι κλειστές και δεν μπορούμε να λύ-

25 σουμε ως προς μονοσήμαντα. Ο λόγος γι αυτή τη δυσκολία είναι ότι η διαφορική εξίσωση δεν ορίζεται για. Παρ όλα αυτά οι κύκλοι. ορίζονται ακόμη κι όταν. Καλούμε τους κύκλους. καμπύλες λύσεων της διαφορικής εξίσωσης.. Ομογενείς εξισώσεις Αν μία διαφορική εξίσωση μπορεί να γραφτεί στη μορφή f. καλείται ομογενής. Δηλαδή η παράγωγος / είναι συνάρτηση τους λόγου /. Μια εξίσωση τέτοιου τύπου μπορεί να μετασχηματισθεί σε χωριζόμενη εξίσωση αν κάνουμε την αντικατάσταση: v.5 Τότε ή v v f v v f v v v v f v v v l l c.6 f v v όπου ως συνήθως η σταθερά της ολοκλήρωσης c υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες. Παράδειγμα.6 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση ημ π /. Λύση: Θέτοντας v παίρνουμε v v ημv v v l c ημv 5

26 ή lεφv l c Θέτοντας v/ Οι αρχικές συνθήκες δίνουν Άρα l εφ π l εφ c l c l εφ l εφ εφ.5 Εξισώσεις που ανάγονται σε ομογενή μορφή Η διαφορική εξίσωση b c.7 b c όπου α b c α b c είναι σταθερές μπορεί να αναχθεί στην ομογενή μορφή. με τον μετασχηματισμό Αντικαθιστώντας τις.8 στην.7 παίρνουμε Th Y.8 Y T T by h b c.9 T b Y h b c Αν οι σταθερές h επιλεγούν έτσι ώστε το σύστημα των εξισώσεων αhbc 6

27 α hb c να έχει λύση τότε η.9 είναι ομογενής και μπορεί να λυθεί με την προηγούμενη μέθοδο. Για να συμβεί αυτό bc h b c c c b b. Προφανώς αν αb α b για κάποιο συγκεκριμένο πρόβλημα η μέθοδος μας δεν οδηγεί στη λύση. Στην περίπτωση αυτή όμως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μετασχηματισμό αb αντί του.8. Αν η. ισχύει η.9 γίνεται Y T T T by b Y Y b T b Y T Y f T που είναι ομογενής. Παράδειγμα.7 Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής Λύση: Αντικαθιστώντας Th Y παίρνουμε 55. Y T T Y h T Y h Για να βρούμε τις σταθερές h λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων που δίνει h5 5. Άρα πρέπει να λύσουμε την h h Y T T T Y Y Y T Y T 7

28 Θέτοντας T Y v παίρνουμε v v v T v T ή c T v v v l Αντικαθιστώντας Τh/ / / h T Y v παίρνουμε [ ] c l εφ Θέτοντας την οριακή συνθήκη έχουμε τελικά c [ ] l εφ Παράδειγμα.8 Να λυθεί η διαφορική εξίσωση. Λύση: Εδώ αb α b γι αυτό χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό αb. Άρα c ή c.6 Ακριβείς εξισώσεις και γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε πά- 8

29 ρα πολλές διαφορικές εξισώσεις Όταν αρχίσαμε την σπουδή μας πάνω στις διαφορικές εξισώσεις η μοναδική εξίσωση που μπορούσαμε να λύσουμε ήταν η g Κατόπιν μεγαλώσαμε το ρεπερτόριο μας συμπεριλαμβάνοντας όλες τις γραμμικές και χωριζόμενες εξισώσεις. Πιο γενικά μπορούμε να λύσουμε όλες τις διαφορικές εξισώσεις που είναι ή μπορούν να τεθούν στη μορφή φ. για κάποια συνάρτηση φ αφού ολοκληρώνοντας και τα δύο μέλη της. παίρνουμε φ σταθερά. και κατόπιν λύνουμε ως προς για να βρούμε την. Παράδειγμα.9 Η εξίσωση συν συν μπορεί να γραφτεί Άρα [ ημ ] φ ημc τοξημc γράφεται Παράδειγμα. Η εξίσωση συν [ συν ] [ ημ ] Άρα 9

30 φ ημc Η λύση πρέπει να δοθεί στη μορφή αυτή αφού δεν μπορούμε να λύσουμε ως προς αναλυτικά. Η εξίσωση. είναι φανερά η πιο γενική μορφή διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξεως που μπορούμε να λύσουμε. Γι αυτό είναι σημαντικό να μπορούμε να ξεχωρίζουμε πότε μία διαφορική εξίσωση μπορεί να τεθεί στην μορφή αυτή. Για να βρούμε όλες τις διαφορικές εξισώσεις που μπορούν να τεθούν στη μορφή. παρατηρούμε ότι από τον κανόνα της αλυσιδωτής παραγώγισης φ φ φ Άρα η διαφορική εξίσωση N M μπορεί να γραφτεί στη μορφή φ αν και μόνον αν υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια που να ισχύει N M φ φ. Η διαπίστωση αυτή μας οδηγεί στην ακόλουθη ερώτηση: αν μας δοθούν δύο συναρτήσεις M N υπάρχει κάποια συνάρτηση φ τέτοια που να ισχύουν οι.; Δυστυχώς η απάντηση στην ερώτηση αυτή είναι σχεδόν πάντα όχι όπως δείχνει και το ακόλουθο θεώρημα που παραθέτουμε χωρίς απόδειξη. Θεώρημα. Έστω ότι οι συναρτήσεις Μ και Ν είναι συνεχείς και έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους ως προς και στο ορθογώνιο που ορίζεται από τα σημεία α<<b c<<. Τότε υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια που να ι- σχύει: N M φ φ αν και μόνον αν N M

31 Στη περίπτωση αυτή M N M φ Ορισμός. Η διαφορική εξίσωση N M. καλείται ακριβής αν N M. Παρατήρηση: Συνηθίζεται να λέγεται ότι η λύση μίας ακριβούς διαφορικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση φ σταθερά. Αυτό που πραγματικά εννοούμε είναι ότι η εξίσωση φc πρέπει να λυθεί ως προς σαν συνάρτηση των c. Δυστυχώς οι πιο πολλές από τις ακριβείς διαφορικές εξισώσεις δεν μπορούν να λυθούν αναλυτικά ως προς μπορούμε όμως να βρούμε προσεγγιστικές λύσεις οποιασδήποτε επιθυμητής ακρίβειας με την χρήση αριθμητικών μεθόδων. Για να λύσουμε μία ακριβή διαφορική εξίσωση μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: ουλιέζο Α. Π ς Από το Θεώρημα. αν N φ τότε αναγκαστικά N φ όπου κάποια συνάρτηση του. Επειδή N M φ προκύπτει ότι N M Εναλλακτικά από τις εξισώσεις. προκύπτει ότι h M φ και

32 φ N Συνήθως μπορούμε να υπολογίσουμε τα h με απλή παρατήρηση. Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης συν. Λύση: Εδώ Μ N συν. Η εξίσωση αυτή είναι ακριβής αφού M N. Άρα υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια που να ισχύει φ.5 φ συν.6 Aπό την.5 Από την.6 h φ h φ h h συν συν h ημ Aπό την.6 φ ημ. Παραγωγίζοντας ως προς η.6 μας δίνει '. Άρα και φ ημ. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται από τη σχέση ημc η οποία όμως δεν μας επιτρέπει να εκφράσουμε την αναλυτικά. Εναλλακτικά από τις.5.6 φ h και φ ημ Συγκρίνοντας τις δύο αυτές σχέσεις που ισχύουν για την ίδια συνάρτηση φ είναι προφανές ότι hημ. Άρα φ ημ. Παράδειγμα. Να βρεθεί η λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής

33 8 8. Λύση: Από την.5 8 φ 8 h h φ Από την h φ h h και φ Από την.6 φ. Παραγωγίζοντας ως προς 8 8 Άρα και φ c. Η σταθερά c δίνεται από την φ 8. Εναλλακτικά από τις.5.6 φ h και φ Συγκρίνοντας βλέπουμε ότι h. Παρατήρηση: Στις περισσότερες περιπτώσεις η δεύτερη μέθοδος είναι η απλούστερη. Αν όμως είναι ευκολότερο να ολοκληρώσουμε την Μ ως προς από ότι την Ν ως προς θα χρησιμοποιήσουμε την πρώτη και αντίστροφα. Παράδειγμα. Να βρεθεί η λύση στο πρόβλημα αρχικής τιμής.

34 Λύση: Η εξίσωση είναι ακριβής αφού Άρα υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια ώστε i φ ii φ Σύμφωνα με την παρατήρησή μας χρησιμοποιούμε τη δεύτερη μέθοδο. Απο την ii φ. Παραγωγίζοντας ως προς και χρησιμοποιώντας την i Άρα και η γενική λύση είναι: φ c φ c Άρα η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής δίνεται από τη σχέση: Έστω τώρα ότι μας δίνεται η διαφορική εξίσωση N M. που δεν είναι ακριβής. Μπορούμε να την κάνουμε ακριβή; Ειδικότερα μπορούμε να βρούμε μία συνάρτηση μ τέτοια ώστε η ισοδύναμη διαφορική εξίσωση N M μ μ.7 να είναι ακριβής; Η ερώτηση αυτή είναι απλή να απαντηθεί κατά κανόνα. Η συνθήκη για να είναι η.7 ακριβής είναι:

35 N M μ μ ή N N M M μ μ μ μ.8 όπου έχουμε παραλείψει τις ανεξάρτητες μεταβλητές για απλούστευση. Άρα η εξίσωση.7 είναι ακριβής αν και μόνο αν η μ ικανοποιεί την.8. Ορισμός. Η συνάρτηση μ που ικανοποιεί την.8 καλείται παράγοντας ολοκλήρωσης της διαφορικής εξίσωσης.. Η συνάρτηση μ καλείται παράγοντας ολοκλήρωσης γιατί αν η μ ικανοποιεί την.8 τότε μπορούμε να γράψουμε την.7 στη μορφή φ που μπορεί στη συνέχεια να ολοκληρωθεί για να μας δώσει την λύση φ c. Δυστυχώς υπάρχουν μόνο δύο ειδικές περιπτώσεις που δίνουν αναλυτικές λύσεις της.8. Αυτό συμβαίνει όταν ο παράγοντας ολοκλήρωσης της διαφορικής εξίσωσης. είναι συνάρτηση μόνο του ή συνάρτηση μόνο του. Στην πρώτη περίπτωση παρατηρούμε ότι η.8 γίνεται N M N μ μ μ μ N N M Η εξίσωση αυτή όμως δεν μας οδηγεί πουθενά εκτός αν η παράσταση N N M.9 είναι συνάρτηση μόνο του δηλαδή R N N M 5

36 Στην περίπτωση αυτή η R p μ είναι ο παράγοντας ολοκλήρωσης για την.8. Στην δεύτερη περίπτωση που η μ είναι συνάρτηση μόνο του η.8 γίνεται N M M μ μ μ μ μ M N M Η παράσταση αυτή δεν έχει νόημα εκτός εάν Q M N M οπότε Α. Πουλιέζος { } Q p μ Παρατήρηση: Πρέπει να τονισθεί ότι η παράσταση.9 είναι σχεδόν πάντα συνάρτηση και του και του και μόνο για ειδικά ζευγάρια συναρτήσεων Μ και Ν είναι συνάρτηση μόνο του ενός. Αυτός είναι o λόγος που δεν μπορούμε να λύσουμε πάρα πολλές διαφορικές εξισώσεις. Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης Λύση: Εδώ Μ / N. Η εξίσωση δεν είναι ακριβής α- φού N M. Όμως N M N Άρα η εξίσωση έχει παράγοντα ολοκλήρωσης την p μ. Αυτό σημαίνει ότι η ισοδύναμη διαφορική εξίσωση 6

37 είναι ακριβής. Άρα υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια ώστε i φ ii φ που σημαίνει i h φ ii φ Άρα h και η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι c φ Λύνοντας ως προς ±[ c ] / Παράδειγμα.5 Χρησιμοποιήσετε τις μεθόδους της ενότητας αυτής για να βρείτε την γενική λύση της γραμμικής εξίσωσης b. Λύση: Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή N M όπου Μb και Ν. Η εξίσωση αυτή δεν είναι ακριβής αφού N M. Όμως N M N 7

38 Άρα p μ είναι παράγοντας ολοκλήρωσης για την γραμμική εξίσωση πρώτης τάξεως. Επομένως υπάρχει συνάρτηση φ τέτοια ώστε i μ [ b ] ii μ φ φ Από την ii φ μ φ μ. Από την i μ μμb. Αλλά μ μ μb. Άρα και φ μ μ b. και η γενική λύση είναι μ μ b c που είναι η ίδια με αυτή που βρήκαμε στην Ενότητα...7 Εφαρμογές Α. Ηλεκτρικά κυκλώματα Τμήμα κάποιου ηλεκτρονικού κυκλώματος αποτελείται από ένα πυκνωτή C και αντίσταση R συνδεδεμένα εν σειρά όπως φαίνεται και στο Σχ... Α V o Β R C V i Σχήμα. Εάν εφαρμόσουμε μία τάση V i μεταξύ των σημείων Α Β ποιά θα είναι η συμπεριφορά της τάσης V ο ; Για το ρεύμα που περνάει από την αντίσταση R έχουμε 8

39 V Vo i. R i ενώ για τον πυκνωτή Vo i C. Απαλείφοντας το ρεύμα i μεταξύ των δύο εξισώσεων V i V R o V C o V Vo CR o Vi CR. Η διαφορική εξίσωση εξίσωση. είναι μία μη ομογενής γραμμική διαφορική ε- ξίσωση πρώτης τάξεως που μπορούμε να λύσουμε με την μέθοδο του παράγοντα ολοκλήρωσης. Έχουμε λοιπόν: Επομένως μ p CR / CR / CR / CR Vo Vi CR ή V o / CR Vi CR / CR A /CR {V i /CR A} V i Ap CR Για να υπολογίσουμε την σταθερά Α υποθέτουμε ότι σε χρόνο το σύστημα είναι σε ηρεμία και άρα V ο. Άρα V i A AV i. Τελικά 9

40 V o Vi p. CR Η. μας δίνει την απόκριση του συστήματος για διάφορα είδη εισόδων V i. Αν υποθέσουμε ότι V i η. γίνεται V o p CR και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο Σχ... v i CR Σχήμα. c Βλέπουμε ότι η τάση V ο αυξάνεται εκθετικά και πλησιάζει ασυμπτωτικά την τιμή της τάσης εισόδου V i. Μπορούμε επίσης να επισημάνουμε κάποια φυσική σημασία στην σταθερά CR. Παρατηρούμε ότι στον χρόνο CR V ο 6 δηλαδή μετά από διάστημα CR η απόκριση έχει φθάσει στο 6% της τάσης εισόδου V i. Άρα η σταθερά CR είναι κάποιο μέτρο της ταχύτητας με την οποία αντιδρά το σύστημα σε κάποια είσοδο και γι αυτό καλείται χρονική σταθερά του συστήματος. Επίσης συστήματα που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση. καλούνται συ-

41 στήματα εκθετικής καθυστέρησης. Β. Ένα πρόβλημα απόρριψης πυρηνικών αποβλήτων Για αρκετά χρόνια η Επιτροπή Ατομικής Ενέργειας των Η.Π.Α. ξεφορτωνόταν τα συμπυκνωμένα ραδιενεργά απόβλητα τοποθετώντάς τα σε καλά σφραγισμένα βαρέλια τα οποία μετά έριχναν στην θάλασσα σε βάθος περίπου ποδών Εικ... Εικόνα. Όταν ορισμένες ομάδες - οικολόγοι επιστήμονες - ανησύχησαν για την μέθοδο αυτή διαβεβαιώθηκαν από την Ε.Α.Ε. ότι τα βαρέλια δεν θα παρουσιάζουν διαρροές. Ε- ξαντλητικές δοκιμές απόδειξαν ότι αυτό ήταν πράγματι σωστό. Όμως στη συνέχεια ορισμένοι επιστήμονες διερωτήθηκαν μήπως τα βαρέλια παρουσιάσουν ρωγμές κατά την πρόσκρουση στον πυθμένα του ωκεανού. Η απάντηση της Ε.Α.Ε. ήταν: «Ποτέ». «Αυτό θα το δούμε» ήταν η απάντηση των επιστημόνων οι οποίοι στην συνέχεια πειραματιζόμενοι βρήκαν ότι τα βαρέλια θα ράγιζαν κατά την πρόσκρουση αν η ταχύτητά τους την στιγμή εκείνη ήταν μεγαλύτερη από πόδια/δευτερόλεπτο. Το πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στον υπολογισμό της ταχύτητας των βαρελιών κατά την πρόσκρουση.ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα μας λέει ότι η επιτάχυνση ενός σώματος μάζας m είναι ανάλογη με την συνισταμένη δύναμη F που ενεργεί πάνω στο κέντρο βάρους του σώματος δηλαδή F. m Η μάζα ενός σώματος συνδέεται με το βάρος του με τη σχέση wmg όπου g η επιτάχυνση εξαιτίας της βαρύτητας.

42 Τώρα κατά την κάθοδο του βαρελιού επενεργούν σ αυτό τρεις δυνάμεις: το βάρος του w η δύναμη άνωσης Β και η αντίσταση του νερού D. Χρησιμοποιώντας το Εγγλέζικο σύστημα μέτρησης τα μεγέθη των δυνάμεων αυτών είναι: i w576 lb ii το μέγεθος της δύναμης άνωσης είναι ίσο με το βάρος του νερού που εκτοπίζεται από το βαρέλι δηλαδή Β75 f 699 lb77 lb όγκος βαρελιού 75f βάρος f θαλασσινού νερού699 lb. iii Η αντίσταση του νερού είναι ανάλογη με την ταχύτητα του κινούμενου βαρελιού DcV. Μετά από πειράματα D 8V lb f Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι στην επιφάνεια της θάλασσας και ότι το αυξάνει προς τα κάτω. Τότε η w είναι θετική και οι Ε D αρνητικές. Άρα από την. w B cv m g w w B cv Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτή την εξίσωση σαν πρώτης τάξεως θέτοντας Έτσι V V cg V w g w B w Αρχικά η ταχύτητα του βαρελιού είναι άρα ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικής τιμής V cg g V w B V w w.5 που έχει λύση την cg / w [ ] w B V.6 c Η εξίσωση.6 μας δίνει την ταχύτητα σαν συνάρτηση του χρόνου. Για να βρούμε την ταχύτητα πρόσκρουσης πρέπει να υπολογίσουμε τον χρόνο της διάρκειας της

43 πτώσης. Δυστυχώς από την.6 δεν μπορούμε να βρούμε τον χρόνο σαν συνάρτηση της απόστασης. Επομένως από την.6 δεν μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα πρόσκρουσης. Όμως η Ε.Α.Ε. μπορεί να χρησιμοποιήσει την.6 για να προσπαθήσει να αποδείξει ότι τα βαρέλια δεν θα ραγίσουν κατά την πρόσκρουση. Πραγματικά από την.6 παρατηρούμε ότι η V είναι μονοτονικά αύξουσα συνάρτηση του χρόνου με ασυμπτωτικό όριο V T w B c Η τιμή V T oνομάζεται τελική ταχύτητα του βαρελιού. Προφανώς V V T επομένως η ταχύτητα πρόσκρουσης είναι σίγουρα μικρότερη από w B c f/ που όμως είναι ανεπίτρεπτα μεγάλη. Για να λύσουμε λοιπόν το πρόβλημα μας θα πρέπει να εκφράσουμε την ταχύτητα σαν συνάρτηση της απόστασης. Η συνάρτηση v είναι πολύ διαφορετική από την V αλλά συνδέονται με την σχέση: Vv αν εκφράσουμε την απόσταση σαν συνάρτηση χρόνου. Παραγωγίζοντας αλυσιδωτά V v Επομένως w g v w B cv Αλλά V v. Άρα η v ικανοποιεί την w g v v w B cv v v w B cv g w

44 Επιπλέον vvv. Άρα Τώρα Επειδή v<wg/c r r v r r w B cr r w B / c g w g w w B v v v r r w B cr w B cr c w B v w B v r r c c w B cr v w B w B cv l c c w B g w v w g w B cv l.7 c c w B Σ αυτό το σημείο θα έπρεπε να απογοητευτούμε αφού δεν μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα σαν συνάρτηση της απόστασης από την.7. Χρησιμοποιώντας όμως αριθμητικές μεθόδους μπορούμε να υπολογίσουμε το v αρκεί να βρούμε μία καλή αρχική προσέγγιση. Την προσέγγιση αυτή βρίσκουμε ως εξής: θέτοντας c στην διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί η v παίρνουμε cr w u u g w B u.8 όπου έχουμε αντικαταστήσει το v με το u για να αποφύγουμε την σύγχυση. Oλοκληρώνοντας την.8 κατευθείαν παίρνουμε w g u g w B u w B w / Ειδικότερα g u w B w / 9 57f/

45 Ισχυριζόμαστε τώρα ότι η τιμή u είναι μία πολύ καλή προσέγγιση στην v. H απόδειξη του ισχυρισμού μας είναι ως εξής: Κατ αρχή παρατηρούμε ότι η ταχύτητα του βαρελιού είναι μεγαλύτερη αν δεν υπάρχει αντίσταση. Άρα v u. Δεύτερον η ταχύτητα αυξάνεται όσο αυξάνεται η απόσταση και άρα v v για. Επομένως η αντίσταση D είναι πάντα μικρότερη από 8 u που είναι περίπου 7 lb και η συνισταμένη wb που τραβάει το βαρέλι προς τα κάτω είναι περίπου 57 lb που είναι πολύ μεγάλη σε σχέση με την D. Φαίνεται λογικό λοιπόν ότι η u είναι πολύ καλή προσέγγιση στην v. Και πραγματικά αυτό επιβεβαιώνεται και από τον αριθμητικό υπολογισμό της ταχύτητας που είναι: v5 f/ Άρα τα βαρέλια μπορούν να σπάσουν κατά την πρόσκρουση και οι επιστήμονες είχαν δίκιο. Σαν αποτέλεσμα η Ε.Α.Ε. απαγόρευσε έκτοτε την απόρριψη των ραδιενεργών αποβλήτων στη θάλασσα. Γ. Πρότυπα πληθυσμών α H δυναμική της αύξησης των καρκινικών όγκων Έχει παρατηρηθεί πειραματικά ότι τα «ελευθέρως ζώντα» διαιρούμενα κύτταρα ό- πως τα βακτήρια αυξάνονται με ρυθμό ανάλογο του όγκου των διαιρούμενων κυττάρων εκείνη την στιγμή. Έστω v ο όγκος των διαιρουμένων κυττάρων σε χρόνο. Τότε v λv.9 για κάποια θετική σταθερά λ. Η λύση της.9 είναι λ vv.5 όπου v είναι ο όγκος των διαιρούμενων κυττάρων στον αρχικό χρόνο. Επομένως τα ελευθέρως ζώντα διαιρούμενα κύτταρα αυξάνονται εκθετικά. Ένα σημαντικό ε- πακόλουθο της.5 είναι ότι ο όγκος των κυττάρων διπλασιάζεται κάθε χρονικό διάστημα μήκους l/λ αφού στην περίπτωση αυτή λ v v v λ v v λ λ λ 5

46 λ lλ l/λ Από την άλλη μεριά οι στερεοί όγκοι δεν αυξάνονται εκθετικά. Όσο οι όγκοι μεγαλώνουν ο χρόνος διπλασιασμού του συνολικού όγκου των όγκων μειώνεται συνεχώς. Διάφοροι ερευνητές έχουν δείξει ότι τα δεδομένα για πολλούς στερεούς όγκους ταιριάζουν αξιοσημείωτα καλά στην εξίσωση λ v v p p.5 όπου λ α θετικές σταθερές. Η εξίσωση.5 συνήθως αναφέρεται σαν σχέση Gompri. Λέει ότι οι όγκοι αυξάνονται όλο και πιο αργά και τελικά πλησιάζουν τον οριακό όγκο v λ/α. Οι ιατρικοί ερευνητές από πολύ καιρό ενδιαφέρονται για τα αίτια της παρέκκλισης αυτής από την εκθετική αύξηση. Μπορούμε να πλησιάσουμε την απάντηση του προβλήματος αυτού βρίσκοντας μία διαφορική εξίσωση που να ικανοποιείται από την v. Παραγωγίζοντας την.5 παίρνουμε v λ vλ p p p Α. Πουλιέζος λ v.5 Δυο αντικρουόμενες θεωρίες έχουν προωθηθεί για την δυναμική της αύξησης των όγκων. Αντιστοιχούν στις δύο διατάξεις v λ v.5α v λ v.5β της διαφορικής εξίσωσης.5. Σύμφωνα με την πρώτη θεωρία η επιβράδυνση της αύξησης των όγκων οφείλεται στην αύξηση της μέσης ηλικίας γενεών των κυττάρων χωρίς αλλαγή στο ποσοστό των αναπαραγομένων κυττάρων. Όσο προχωράει ο χρόνος τα αναπαραγόμενα κύτταρα ενηλικιώνονται και έτσι διαιρούνται βραδύτερα. Η θεωρία αυτή αντιστοιχεί στην.5α. Η.5β υποδηλώνει ότι η μέση ηλικία γενεών παραμένει σταθερά και ότι η επιβράδυνση της αύξησης οφείλεται στην απώλεια αναπαραγομένων κυττάρων των όγκων. Μια πιθανή εξήγηση αυτού είναι ότι στο κέντρο των όγκων δημιουργείται μία νεκρωμένη περιοχή. Η νέκρωση αυτή πα- 6

47 ρουσιάζεται όταν οι όγκοι έχουν φθάσει σε κάποιο κρίσιμο μέγεθος διαφορετικό για κάθε τύπο όγκου και στην συνέχεια «ο πυρήνας» αυτός αυξάνεται ταχύτατα καθώς αυξάνεται η συνολική μάζα των όγκων. Σύμφωνα με την θεωρία αυτή η νεκρωμένη περιοχή δημιουργείται γιατί σε πολλούς όγκους η παροχή αίματος και επομένως ο- ξυγόνου και τροφής περιορίζεται στην επιφάνεια τους και σε μικρή απόσταση κάτω από αυτή. Καθώς οι όγκοι μεγαλώνουν η παροχή οξυγόνου στον πυρήνα με διάχυση γίνεται όλο και δυσκολώτερη με αποτέλεσμα την δημιουργία της νεκρωμένης περιοχής. β Ανθρώπινοι πληθυσμοί Ο εκθετικός νόμος της αύξησης των πληθυσμών δεν δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα όταν εφαρμόζεται σε ανθρώπινες ή παρόμοιες κοινωνίες. Στις περιπτώσεις αυτές το πρότυπο της γραμμικής εξίσωσης ισχύει όσο οι πληθυσμοί είναι μικροί. Όταν όμως ο πληθυσμός αυξάνεται τα μέλη του συναγωνίζονται μεταξύ τους για τον περιορισμένο χρόνο φυσικούς πόρους και τροφή. Επομένως πρέπει να προσθέσουμε κάποιον όρο που να αντανακλά τον περιορισμό αυτό. Μια κατάλληλη εκλογή είναι ο bp όπου b σταθερά. Επομένως η διορθωμένη εξίσωση είναι p p bp p p.5 Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή σαν λογιστικός νόμος και οι συντελεστές α b καλούνται ζωτικοί συντελεστές του πληθυσμού. Λύνοντας την.5 παίρνουμε r br p r p.55 Επειδή b από την.55 r br r br l p p bp bp p p bp bp p p.56 bp bp σημ.: κάποιες ενδιάμεσες πράξεις έχουν παραλειφθεί. Παρατηρούμε ότι 7

48 p ορ p bp b Δηλαδή ανεξάρτητα από την αρχική τιμή ο πληθυσμός πάντα πλησιάζει την οριακή τιμή α/b. Η καμπύλη της p φαίνεται στο Σχ... Βλέπουμε ότι αν <p <α/b η p αυξάνεται μονοτονικά. Επίσης επειδή p p p bp bp p bp η p αυξάνεται όταν η p<α/b και μειώνεται όταν p>α/b. Για να εφαρμόσουμε τα αποτελέσματα αυτά στον ανθρώπινο πληθυσμό στην γη πρέπει να υπολογίσουμε τους ζωτικούς συντελεστές α και b. Ορισμένοι οικολόγοι έχουν εκτιμήσει ότι η φυσική τιμή του α είναι 9. Ξέρουμε επίσης ότι ο ανθρώπινος πληθυσμός αυξάνονταν με ρυθμό % ετησίως όταν ο πληθυσμός ήταν 6 9. Επειδή p bp p α6 9 b b9 Επομένως σύμφωνα με τον λογιστικό νόμο η οριακή τιμή του ανθρώπινου πληθυσμού στην γη είναι: b δισεκατομμύρια Για να δούμε πόσο καλά απεικονίζει την εξέλιξη του ανθρώπινου πληθυσμού η συνάρτηση αυτή. Στο Σχ.. βλέπουμε το γράφημα της όπου ως αρχική τιμή πήραμε p95 5 δισ/ρια. 8

49 9 8 p Όπως φαίνεται p Σχήμα. Γράφημα του ανθρώπινου πληθυσμού Από τον ιστότοπο hp://www.cu.gov/ipc/www/worl.hml διαβάζουμε ότι ο πληθυσμός το 6 ήταν περίπου Επομένως οι συγκεκριμένες τιμές ταιριάζουν αρκετά καλά με τα δεδομένα. Για περαιτέρω συγκρίσεις στο Σχ..5 μπορούμε να δούμε το σύνολο των πραγματικών τιμών. Σχήμα.5 Παγκόσμιος πληθυσμός από την Αμερικανικό Γραφείο Απογραφής Σημείωση: Ο αναγνώστης δεν θα πρέπει να υπερτιμήσει το προηγούμενο υπόδειγμα καθώς έχει δεχτεί πολλές αρνητικές κριτικές. Οι κυριότερες είναι: α οι παράμετροι b δεν είναι σταθεροί β ο πληθυσμός δεν είναι ομογενής και γ έχει παρατηρηθεί ότι κάποιοι πληθυσμού ταλαντώνονται γύρω από μία μέση τιμή. 9

50 .8 Ασκήσεις. Να λυθούν οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις: α συν β ημ γ δ. Να λυθούν τα προβλήματα αρχικής τιμής: α β Α. Πουλιέζος γ M N M. Δείξτε ότι αν Q η διαφορική εξίσωση M N έχει παράγοντα ολοκλήρωσης της μορφής p Q.. Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις: α β τεμ τεμ εφ εφ 5. Η διαφορική εξίσωση τεμ εφ έχει ένα παράγοντα ολοκλήρωσης της μορφής α συν για κάποια σταθερά α. Να βρεθεί η α και να λυθεί η διαφορική εξίσωση. 6. Να υπολογισθεί η συμπεριφορά όλων των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης 5

51 όταν. 7. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής b b > και να βρεθεί το πεδίο ορισμού των λύσεων. 8. Σώμα μάζας m εκτοξεύεται με ταχύτητα V από την επιφάνεια της γης. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει αντίσταση αέρος αλλά θεωρώντας ότι το πεδίο βαρύτητας αλλάζει με το ύψος βρίσκεται ότι m όπου R η ακτίνα της V mgr R γης και η απόσταση από την επιφάνεια. α β Έστω Vv. Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί η v. Να βρεθεί η μικρότερη αρχική ταχύτητα V για την οποία το σώμα δεν θα γυρίσει στην γη. 9. Να υπολογισθεί η σταθερά Α. α ώστε Πουλιέζος η εξίσωση να είναι ακριβής και στη συνέχεια να λυθεί η διαφορική εξίσωση. 5

52 ιαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως. Αλγεβρικές ιδιότητες των λύσεων Η διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως είναι μία εξίσωση της μορφής f. Για παράδειγμα η εξίσωση ημ είναι μία διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως. Η συνάρτηση είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης. αν ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση δηλαδή αν: ς Α. Πουλιέζο f Έτσι η συνάρτηση συν είναι λύση της διαφορικής εξίσωσης δευτέρας τάξεως: αφού συν συν. Οι διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως ανακύπτουν πολύ συχνά σε εφαρμογές. Η πιο φημισμένη διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως είναι ο δεύτερος νόμος της κίνησης του Νεύτωνα F m η οποία διέπει την κίνηση ενός σώματος μάζας m που κινείται κάτω από την επίδραση δύναμης F. Στην εξίσωση αυτή m είναι η μάζα του σώματος είναι η θέση 5

53 στον χρόνο / είναι η ταχύτητα και F είναι η ολική δύναμη που επενεργεί στο σώμα. Η δύναμη F μπορεί να εξαρτάται από την θέση και την ταχύτητα του σώματος όπως επίσης και από τον χρόνο. Επιπλέον της διαφορικής εξίσωσης. συχνά θα υπάρχουν αρχικές συνθήκες στην της μορφής όπου ο τόνος δηλώνει παραγώγιση δηλαδή /.. Η διαφορική εξίσωση. μαζί με τις αρχικές συνθήκες. συνθέτουν το γνωστό πρόβλημα αρχικής τιμής. Για παράδειγμα έστω η θέση ενός σώματος που κινείται υπό την επίδραση της βαρύτητας. Τότε η ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικής τιμής g όπου είναι η αρχική θέση του σώματος και η αρχική του ταχύτητα. Οι διαφορικές εξισώσεις δευτέρας Α. τάξεως Πουλιέζος είναι εξαιρετικά δύσκολο να λυθούν. Αυτό δεν θα πρέπει να μας εκπλήσσει μετά την εμπειρία μας με τις εξισώσεις πρώτης τάξεως. Το μόνο που θα κατορθώσουμε θα είναι να λύσουμε την ειδική διαφορική εξίσωση b q g. Ευτυχώς όμως πολλές από τις διαφορικές εξισώσεις δευτέρας τάξεως που εμφανίζονται στις εφαρμογές είναι αυτής της μορφής. Η διαφορική εξίσωση. καλείται γραμμική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως επειδή οι εμφανίζονται μόνες τους. Για παράδειγμα οι διαφορικές εξισώσεις ημ και είναι γραμμικές ενώ η 5

54 είναι μη γραμμική λόγω του όρου /. Ας θεωρήσουμε κατ αρχή την ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως p q. η οποία προκύπτει από την. αν θέσουμε g. Δεν είναι καθόλου προφανές στο σημείο αυτό πώς να βρούμε όλες τις λύσεις της. ή πώς να λύσουμε το πρόβλημα αρχικής τιμής p q.5 Για τον λόγο αυτό πριν αναπτύξουμε κάποια λεπτομερή διαδικασία για να λύσουμε την. θα πρέπει πρώτα να δούμε αν υπάρχει κάποια λύση. Η πληροφορία αυτή περιέχεται στο ακόλουθο Θεώρημα που παρατίθεται χωρίς απόδειξη. Θεώρημα. Ύπαρξης και μοναδικότητας Έστω ότι οι συναρτήσεις p και q είναι συνεχείς στο ανοικτό διάστημα α<<β. Τότε υπάρχει μία και μόνο μία συνάρτηση που ικανοποιεί το πρόβλημα αρχικής τιμής.5 στο διάστημα α<<β. Ειδικότερα οποιαδήποτε λύση της. που ικανοποιεί τις για κάποιο χρόνο πρέπει να είναι ταυτόσημη με. Το θεώρημα αυτό είναι εξαιρετικά χρήσιμο για δύο λόγους: πρώτον μας επιτρέπει να ψάξουμε για την μοναδική λύση της.5 και δεύτερον μας βοηθάει να βρούμε όλες τις λύσεις της.. Αρχίζουμε την ανάλυση της εξίσωσης. με την σημαντική παρατήρηση ότι το α- ριστερό μέλος p q της διαφορικής εξίσωσης μπορεί να ιδωθεί σαν ορισμός μίας «συνάρτησης συναρτήσεως»: για κάθε συνάρτηση που έχει δύο παραγώγους ορίζουμε μία άλλη συνάρτηση που καλούμε D[] με τη σχέση D[] p q 5

55 Σε μαθηματική γλώσσα ο D είναι ένας τελεστής που επιδρά σε συναρτήσεις: υπάρχει δηλαδή κάποιος προδιαγεγραμμένος κανόνας που σχετίζει κάθε συνάρτηση με μία νέα συνάρτηση D[]. Παράδειγμα. Έστω p q. Τότε D[]. Αν συν τότε και αν D[]συν συνσυν D[] 6 Βλέπουμε δηλαδή ότι ο τελεστής D ταιριάζει την συνάρτηση α συν στην συνάρτηση συν και την 6 στην. Η έννοια ενός τελεστή που επιδρά πάνω σε συναρτήσεις ή με άλλα λόγια της «συνάρτησης συναρτήσεως» είναι ανάλογη με την έννοια της συνάρτησης μίας μεταβλητής. Ας θυμηθούμε τον ορισμό μίας συνάρτησης f σ ένα διάστημα I: για κάθε αριθμό στο I σχετίζουμε ένα νέο αριθμό που καλούμε f. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο σε κάθε συνάρτηση που έχει δύο παραγώγους σχετίζουμε μία νέα συνάρτηση που καλούμε D[]. Η έννοια αυτή είναι εξαιρετικά εκλεπτυσμένη γιατί κατά κάποιο τρόπο μεταχειριζόμαστε μία συνάρτηση όπως ένα σημείο. Πρέπει να παραδεχτούμε ότι η έννοια αυτή είναι αρκετά δύσκολο να κατανοηθεί. Γι αυτό δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι η έννοια της «συνάρτησης συναρτήσεως» αναπτύχθηκε στις αρχές αυτού του αιώνα και ότι πολλά από τα «δυνατά» θεωρήματα της μαθηματικής ανάλυσης αποδείχθηκαν μετά την τελειοποίησή της. Θα συνάγουμε τώρα ορισμένες ιδιότητες του τελεστή D που θα χρησιμοποιήσουμε προς όφελός μας σύντομα. Ιδιότητα. D[c]cD[] για οποιαδήποτε σταθερά c. Απόδειξη: D[c] c pc qc Για παράδειγμα έστω c cp cq c[ p q] cd[] 55

56 D[] 6 Ο τελεστής D ορίζει για την συνάρτηση την συνάρτηση: 6 Επομένως ο D πρέπει να ορίζει για την συνάρτηση 5 την 5. Ιδιότητα. D[ ]D[ ]D[ ] Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη. Για παράδειγμα αν D[] ο τελεστής αυτός ορίζει για την συνάρτηση συν την και για την ημ την D[συν]συν συν συνσυνημ D[ημ]ημ ημ ημσυνημ Επομένως ο D ορίζει για την συνάρτηση ημσυν την συνημσυνημημ Ορισμός. Ένας τελεστής D που σχετίζει συναρτήσεις σε συναρτήσεις και ο ο- ποίος ικανοπoιεί τις Ιδιότητες. και. καλείται γραμμικός τελεστής. Όλοι οι άλλοι τελεστές είναι μη γραμμικοί. Ένα παράδειγμα μη γραμμικού τελεστή είναι ο D[] [] Ο τελεστής αυτός ορίζει για την συνάρτηση την συνάρτηση 56

57 και για την συνάρτηση c την c c c c Άρα για c { } δεν ισχύει D[c]cD[]. Η χρησιμότητα των Ιδιοτήτων. και. έγκειται στο γεγονός ότι οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. είναι ακριβώς οι συναρτήσεις για τις οποίες: D[] p q Με άλλα λόγια οι λύσεις της. είναι ακριβώς οι συναρτήσεις αυτές για τις οποίες ο τελεστής D υσχετίζει την μηδενική συνάρτηση δηλαδή την συνάρτηση που έχει την τιμή μηδέν για οποιοδήποτε. Επομένως αν είναι μία λύση της. τότε και η c είναι λύση αφού D[c]cD[]. Αν και είναι λύσεις Α. της. Πουλιέζος τότε η είναι επίσης λύση της. αφού D[ ]D[ ]D[ ]. Συνδυάζοντας τις Ιδιότητες. και. βλέπουμε ότι όλοι οι γραμμικοί συνδυασμοί c c λύσεων της. είναι επίσης λύσεις της. Το σκεπτικό αυτό δείχνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη γνώση δύο λύσεων της. για να παράγουμε απείρως πολλές λύσεις. Η δήλωση αυτή έχει μερικές ενδιαφέρουσες προεκτάσεις. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την διαφορική εξίσωση.6 Δύο λύσεις της.6 είναι οι συν ημ. Άρα c συνc ημ.7 είναι επίσης λύση της.6 για κάθε c c. Τώρα η.7 περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές. Είναι φυσικό λοιπόν να υποψιαζόμαστε ότι η παράσταση αυτή αντιπροσωπεύει την γενική λύση της.6 δηλαδή κάθε λύση της.6 πρέπει να είναι της μορφής.7. Πραγματικά έτσι συμβαίνει όπως θα δείξουμε αμέσως. 57

58 Έστω ότι είναι κάποια λύση της.6. Από το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας η υπάρχει για κάθε. Έστω και θεωρούμε την συνάρτηση φ συν ημ. Η συνάρτηση αυτή είναι λύση της.6 αφού είναι γραμμικός συνδυασμός λύσεων της.6. Επιπλέον φ φ. Άρα η και η φ ικανοποιούν την ίδια γραμμική ομογενή διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως και τις ίδιες αρχικές συνθήκες. Επομένως σύμφωνα με την ιδιότητα της μοναδικότητας η πρέπει να είναι ταυτόσημη με την φ έτσι ώστε συν ημ Άρα η εξίσωση.7 είναι πράγματι η γενική λύση της.6. Ας γυρίσουμε τώρα στην γενική γραμμική εξίσωση.. Ας υποθέσουμε ότι με κάποιο τρόπο καταφέρνουμε να βρούμε δύο λύσεις και της.. Τότε κάθε συνάρτηση c c.8 είναι πάλι λύση της.. Αντιπροσωπεύει όμως η.8 την γενική λύση της.; Το ακόλουθο θεώρημα μας δίνει την απάντηση. Θεώρημα. Έστω και δύο λύσεις της. στο διάστημα α<<β και στο διάστημα αυτό. Τότε η c c είναι η γενική λύση της.. Απόδειξη: Έστω κάποια λύση της.. Πρέπει να βρούμε σταθερές c c τέτοιες ώστε c c. Για τον σκοπό αυτό διαλέγουμε κάποια χρονική στιγμή στο διάστημα α β και έστω. Οι σταθερές c c αν υ- πάρχουν πρέπει να ικανοποιούν τις δύο εξισώσεις που δίνουν c c c c c και 58

59 c αν. Τώρα έστω φc c όπου c c οι τιμές που βρήκαμε παραπάνω. Ξέρουμε ότι η φ ικανοποιεί την.. Επιπλέον εκ κατασκευής φ και φ. Άρα οι και φ ικανοποιούν την ίδια διαφορική εξίσωση και αρχικές συνθήκες και γι αυτό πρέπει να είναι ταυτόσημες στο α β δηλαδή c c α<<β Το Θεώρημα. είναι εξαιρετικά χρήσιμο γιατί ανάγει το πρόβλημα της εύρεσης όλων των λύσεων της. στο απλούστερο πρόβλημα της εύρεσης μόνο δύο λύσεων. Ο μοναδικός περιορισμός στις λύσεις αυτές είναι η παράσταση να είναι διάφορη του μηδενός στο α<<β. Οι λύσεις αυτές καλούνται θεμελιώδες σύνολο λύσεων αφού όλες οι άλλες είναι γραμμικοί συνδυασμοί τους. Ορισμός. Η παράσταση καλείται Wroi των και συμβολίζεται με ww[ ]. Το Θεώρημα. απαιτεί η w σε όλα τα σημεία του διαστήματος α β. Στην πραγματικότητα η Wroi οποιονδήποτε δύο λύσεων της. είναι ή ταυτόσημη με μηδέν ή ποτέ μηδέν όπως δηλώνουν και τα επόμενα θεωρήματα που παραθέτουμε χωρίς απόδειξη. Θεώρημα. Έστω p q συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα α<<β και έστω δύο λύσεις της.. Τότε η w[ ] είναι ή ταυτόσημη με μηδέν ή ποτέ μηδέν στο διάστημα α<<β. Θεώρημα. Έστω δύο λύσεις της. στο διάστημα α<<β και έστω ότι w[ ] για κάποιο α β. Τότε μία από τις λύσεις είναι σταθερό πολλαπλάσιο της άλλης.. Γραμμικές ομογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές Θεωρούμε τώρα την ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως με σταθερούς συντελεστές D [ ] b c.9 59

60 όπου α b c είναι σταθερές με α. Το Θεώρημα. μας λέει ότι αρκεί να βρούμε δύο οποιεσδήποτε λύσεις και της.9. όλες οι άλλες λύσεις προέρχονται από γραμμικούς συνδυασμούς των. Δυστυχώς το Θεώρημα. δεν μας λέει πώς να βρούμε δύο λύσεις της.9. Επομένως θα προσπαθήσουμε να τις μαντέψουμε. Για τον σκοπό αυτό παρατηρούμε ότι κάποια συνάρτηση είναι λύση της.9 αν το άθροισμα σταθερά δεύτερη παράγωγοσταθερά πρώτη παράγωγο σταθερά συνάρτηση. Με άλλα λόγια οι τρεις όροι πρέπει να απαλείφονται μεταξύ τους. Αυτό μπορεί να συμβεί γενικά αν οι τρεις συναρτήσεις είναι του «ίδιου τύπου». Για παράδειγμα η συνάρτηση 5 δεν μπορεί ποτέ να είναι λύση της.9 αφού οι τρεις όροι α 5b και c 5 δεν μπορούν να απαλειφθούν μεταξύ τους. Η συνάρτηση r r σταθερά όμως έχει την ιδιότητα οι και να είναι πολλαπλάσια της. Αυτό μας προτρέπει να δοκιμάσουμε την r σαν λύση της.9. Υπολογίζοντας την D[ r ]α r b r c r αr brc r βλέπουμε ότι η r είναι λύση της.9 αν και μόνο αν αr brc. H εξίσωση. καλείται χαρακτηριστική εξίσωση της.9. Έχει δύο ρίζες r r που δίνονται από τον γνωστό τύπο r b b c / r b b c / Α. Πραγματικές διακεκριμένες ρίζες Αν b αc> τότε οι r r είναι πραγματικές και διάφορες μεταξύ τους. Στην περίπτωση αυτή r r είναι δύο λύσεις της.9 που είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού w [ r r ] r r r r 6

61 Παράδειγμα. Να βρεθεί η γενική λύση της εξίσωσης 5. Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι r 5rrr. Άρα οι αποτελούν ένα θεμελιώδες σύνολο λύσεων και η γενική λύση είναι της μορφής c c. Παράδειγμα. Να βρεθεί η λύση του προβλήματος αρχικής τιμής Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση r r έχει τις ρίζες r 6 r 6. Άρα c 6 c 6. Από τις αρχικές συνθήκες c c 6 c 6c απ όπου μετά από μερικές πράξεις βρίσκουμε και c c Α. Πουλιέζ 6 6 ος Β. Μιγαδικές ρίζες Αν b αc< τότε η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τις μιγαδικές ρίζες r b ic b / r b ic b / r r Θα θέλαμε να πούμε ότι οι και είναι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης.9. Όμως οι λύσεις αυτές είναι μιγαδικές συναρτήσεις ενώ εμείς ψάχνουμε για συναρτήσεις με πραγματικές τιμές. Ξεπερνάμε την δυσκολία αυτή ως εξής: ας υποθέσουμε ότι uiv είναι μία μιγαδική λύση της.9 που σημαίνει 6

62 α[u iv ]b[u iv ]c[uiv] αu bu cui[αv bv cv] Αλλά αν ένας μιγαδικός αριθμός είναι ίσος με μηδέν τότε και το πραγματικό και το φανταστικό του μέρος είναι ίσα με μηδέν. Άρα που σημαίνει ότι αu bu cu v bv cv u v είναι λύσεις της.9. Απομένει να εκφράσουμε τις συναρτήσεις για μιγαδικά r στη μορφή uiv. Ως γνωστόν iβ συνβiημβ. Άρα αν rαiβ r i r iβ συνβ iημβ α συνβi α ημβ Γυρίζοντας πίσω στην διαφορική εξίσωση.9 βρίσκουμε ότι η / [ b icb ] / b / / συνc b / / [ iημ c b / ] είναι μία μιγαδική λύση της.9. Επομένως b/α συνβ b/α ημβ / c b όπου β είναι δύο πραγματικές λύσεις της.9 γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αφού w[ ]w[ b/α συνβ b/α ημβ]β α Τελικά η γενική λύση της.9 για b αc< δίνεται από την: b c b [ cσυνβ cημβ] β / Παρατήρηση : Θα έπρεπε κανονικά να είχαμε δείξει ότι / 6

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα:

Σχήμα Χαμηλοδιαβατά φίλτρα: ΦΙΛΤΡΑ 6.. ΦΙΛΤΡΑ Το φίλτρο είναι ένα σύστημα του οποίου η απόκριση συχνότητας παίρνει σημαντικές τιμές μόνο για συγκεκριμένες ζώνες του άξονα συχνοτήτων. Στο Σχήμα 6.6 δείχνουμε την απόκριση συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα.

ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1. Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. ΘΕΜΑ Α Παράδειγμα 1 Α1. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ονομάζεται και α. μετατόπιση. β. επιτάχυνση. γ. θέση. δ. διάστημα. Α2. Για τον προσδιορισμό μιας δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα απαιτείται να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft:

ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: Specisoft ΑΡΘΡΟ: Επισκεφθείτε το Management Portal της Specisoft: NPV & IRR: Αξιολόγηση & Ιεράρχηση Επενδυτικών Αποφάσεων Από Αβραάμ Σεκέρογλου, Οικονομολόγo, Συνεργάτη της Specisoft Επισκεφθείτε το Management

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζεται μια διάταξη που αποτελείται από ένα σύνολο ηλεκτρικών στοιχείων στα οποία κυκλοφορεί ηλεκτρικό ρεύμα. Τα βασικά ηλεκτρικά στοιχεία είναι οι γεννήτριες,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙ- ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΟΜΑΔΑ Α Α1. Για τις ημιτελείς προτάσεις Α1.1 και Α1. να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ 7 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ Δρ. Γιωργος Μαϊστρος Παράγοντας ης τάξης (+jωτ) Αντιστοιχεί σε πραγματικό πόλο: j j j Έτσι το μέτρο: ιαγράμματα χρήση ασυμπτώτων τομή τους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες

Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος ελαττώνεται με το χρόνο και τελικά μηδενίζονται λέγονται φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ελάττωση του πλάτους (απόσβεση)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0.

i C + i R i C + i R = 0 C du dt + u R = 0 du dt + u RC = 0 0 RC dt ln u = t du u = 1 RC dt i C = i R = u R = U 0 t > 0. Α. Δροσόπουλος 6 Ιανουαρίου 2010 Περιεχόμενα 1 Κυκλώματα πρώτης τάξης 2 1.1 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RC πρώτης τάξης.................................. 2 1.2 Εκφόρτιση κυκλωμάτων RL πρώτης τάξης...................................

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α.1. Κάθε οικονομία παράγει πάντοτε τους συνδυασμούς των προϊόντων που βρίσκονται πάνω στην καμπύλη των παραγωγικών της δυνατοτήτων. ΟΜΑΔΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Στις παρακάτω προτάσεις, από Α.1 μέχρι και Α.5 να γράψετε τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα του την ένδειξη: Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α )

Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Κατασκευάστε ένα απλό antenna tuner (Μέρος Α ) Του Νίκου Παναγιωτίδη (SV6 DBK) φυσικού και ραδιοερασιτέχνη. Ο σκοπός του άρθρου αυτού είναι να κατευθύνει τον αναγνώστη ραδιοερασιτέχνη να κατασκευάσει το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι. Σημειώσεις Εργαστηριακών Ασκήσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρικών Βιομηχανικών Διατάξεων και Συστημάτων Αποφάσεων ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Ι Σημειώσεις Εργαστηριακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 ) Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 Α) Τί είναι µονόµετρο και τί διανυσµατικό µέγεθος; Β) Τί ονοµάζουµε µετατόπιση και τί τροχιά της κίνησης; ΘΕΜΑ 2 Α) Τί ονοµάζουµε ταχύτητα ενός σώµατος και ποιά η µονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1 H θέση ενός κινητού που κινείται σε ένα επίπεδο, προσδιορίζεται κάθε στιγμή αν: Είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κινητού (x,y) ως συναρτήσεις του χρόνου Είναι γνωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα