MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015"

Transcript

1 MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika Saila

2 6 GAIA: POLINOMIOAK Polinomioen eraztuna. Polinomio biren zatitzaile komunetatiko haundiena. Euclidesen Algoritmoa. Polinomioen faktorizazioa. Irreduzibilitateko irizpideak. Batugai soiletako zatikien deskonposizioa. 1 Polinomioen eraztuna Definizioa. Izan bedi K gorputza. (Normalean K bezala, Q zenbaki arrazionalen gorputza, R zenbaki errealen gorputza edo C zenbaki konplexuen gorputza hartuko ditugu. Azken gorputza hori hurrengoko gaian aztertuko da). K gorputzeko koefizientedun polinomio deitzen zaio ondoko adierazpen honi, f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, non a 0, a 1,..., a n, K gorputzeko elementuak diren. Eskalar hauek, (a 0,..., a n ), polinomioaren koefizienteak deitzen dira, eta x hizkia, polinomioaren ezezaguna, indeterminatua edo aldagaia deitzen da. Koefiziente berdinak dituzten bi polinomio berdinak direla esaten da, eta polinomio baten koefiziente guztiak zero direnean, polinomio honi polinomio hutsa deitzen zaio. Polinomio bat konstantea dela esaten da, baldin eta edozein i 1 indizerako, a i = 0 bada. Bestalde, K gorputzeko koefizientedun polinomioak osatzen duten multzoa, K[x] moduan adierazten da. Definizioa. Izan bedi f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] polinomioa. Definizioz, a i 0 baldintza betetzen duen i indize haundienari, polinomioaren maila deitzen zaio, eta dg(f(x)) ikurra bitartez adierazten da. Gainera, konbenioz, polinomio hutsak ez dauka mailarik eta zeroren desberdinak diren polinomio konstante guztien maila zero da. Gainera, kasu honetan, baldin eta a n koefizientea 1 bada, f(x) polinomio monikoa dela esaten da. Definizioa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] bi polinomio, hau da, f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n eta g(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n + + b m x m, eta demagun orokortasuna galdu gabe m > n dela, eta a n 0, b m 0 direla. Definitzen dira, K[x] multzoan ondoko bi eragiketa: (i) Polinomioen batuketa: f(x)+g(x) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 + +(a n +b n )x n +b n+1 x n b m x m 2

3 (ii) Polinomioen biderketa: f(x).g(x) = a 0 b 0 +(a 0 b 1 +a 1 b 0 )x+(a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 )x 2 + +(a n b m )x n+m n+m j = ( a k b j k )x j. j=0 k=0 Bestalde, dg(f(x)+g(x)) max{dg(f(x)), dg(g(x))}, eta dg(f(x)g(x)) = dg(f(x))+ dg(g(x)). Teorema. Izan bedi (K, +,.) gorputza. Orduan, (K[x], +,.) identitatedun eraztun trukakorra da. Bestalde, U(K[x]) = {Polinomio konstante ez nuluak} osatutako multzoa da, eta (U(K[x]),.) talde egitura du. Teorema. Zatiketa Algoritmoa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] bi polinomio, non dg(g(x)) = m > 0 eta dg(f(x)) dg(g(x)) diren. Orduan, existitzen dira q(x), r(x) K[x] bi polinomio bakarrak, non f(x) = g(x)q(x) + r(x) den, dg(r(x)) < dg(g(x)) edo r(x) = 0 izanik. Froga 1.1. Definitzen dugu ondoko P multzoa: P = {f(x) g(x)k(x) : k(x) K[x]}. Nola P multzoa ez hutsa den, definitzen dugu r(x) maila txikiena duen P multzoko elementu bat. Bereziki, r(x) = f(x) g(x)q(x), q(x) K[x] polinomioren batetarako. Orduan, f(x) = g(x)q(x) + r(x), q(x), r(x) K[x] izanik. Ondoren, ikus dezagun dg(r(x)) < dg(g(x)) edo r(x) = 0 dela. Demagun r(x) 0 dela eta dei diezaiogun dg(r(x)) = n 0. Ikus dezagun n < m dela. Absurdura eramanez, demagun n m edo n m 0 dela. Idatz dezagun r(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n eta g(x) = a 0 + a 1 x + + a m x m. Defini dezagun orain ondoko polinomioa, h(x) = f(x) g(x)q(x) b n a m x n m g(x) = r(x) b n a m x n m (a 0 + a 1 x + + a m x m ) = b b n x n b n x n m (a 0 + a 1 x + + a m 1 x m 1 ) b n x n m a m x m, a m a m n baino maila txikiagoa duen polinomioa izanik. Gainera, h(x) = f(x) g(x)(q(x) bn a m x n m ) P dago, eta hau ezinezkoa da, dg(r(x)) = n maila txikiena duen polinomio hartu dugulako baldintza horiek betez. Beraz, n < m. Bestalde, demagun orain existitzen direla polinomioen bi bikote (q 1 (x), r 1 (x)) eta (q 2 (x), r 2 (x)) non f(x) = g(x)q 1 (x) + r 1 (x), dg(r 1 (x)) < dg(g(x)) edo r 1 (x) = 0, eta f(x) = g(x)q 2 (x) + r 2 (x), dg(r 2 (x)) < dg(g(x)) edo r 2 (x) = 0 izanik. Orduan g(x)(q 1 (x) q 2 (x)) = r 2 (x) r 1 (x) dugu, eta alde bietan mailak hartuz ondokoa ondorioztatzen dugu: dg(g(x)) + dg(q 1 (x) q 2 (x)) = dg(r 2 (x) r 1 (x)) 3

4 max(r 2 (x), r 1 (x)) < m, eta aldi berean, ezker aldeko maila m + 0 = m. Ondorioz, q 1 (x) q 2 (x) = 0 eta r 1 (x) r 2 (x) = 0, hau da, q 1 (x) = q 2 (x) eta r 1 (x) = r 2 (x). Definizioa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] bi polinomio. f(x) polinomioak g(x) polinomioa zatitzen duela, edo g(x) polinomioaren zatitzailea dela esaten da, existitzen denean q(x) K[x] non g(x) = f(x)q(x) den. Aurreko adierazpen hori, f(x) g(x) edo f g bitartez adierazten da. Definizioa. Izan bitez f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] polinomioa eta α K. α-n, f(x) polinomioaren balioa deitzen zaio, f(x) polinomioan x aldagaia α-gatik ordezkatuz lortzen den K-ko elementuari, eta hori, f(α) bidez adierazten da. Bestalde, f(α) = 0 denean, α, f(x), polinomioaren erroa edo zeroa dela esaten da. Teorema. Izan bitez f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] polinomioa eta α K. α, f(x) polinomioaren erroa da baldin eta soilik baldin (x α) binomioak, f(x) polinomioa zatitzen badu. Honez gain, f(x) zati (x α) polinomioen zatiketaren hondarra f(α) da. Froga 1.2. = ) Demagun α, f(x) polinomioaren erro bat dela. Orduan, dg(f(x)) 1. Nola dg(x α) = 1 den, f(x) eta (x α) polinomioei zatiketa algoritmoa aplikatuz ondokoa dugu, f(x) = (x α)q(x)+r(x) non dg(r(x)) < dg(x α) edo r(x) = 0 den. Demagun orduan f(x) = (x α)q(x) + a 0 dela. Nola f(α) = (α α)q(α) + a 0 = 0 den, a 0 = 0 edo r(x) = 0 dela ondorioztatzen da. =) Baldin eta (x α) f(x) bada, orduan f(x) = (x α)q(x) eta ondorioz, f(α) = (α α)q(α) = 0 da, hau da, α, f(x)-ren erro bat da. Teorema. Izan bedi f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] polinomioa non dg(f(x)) = n den. Orduan, f(x) polinomioak K gorputzean, gehienez n erro ditu. Froga 1.3. Froga n gaineko indukzioz egingo dugu. Baldin eta dg(f(x)) = 0 bada, orduan f(x)-k ez dauka errorik. Baldin eta dg(f(x)) = 1 bada, orduan f(x) = ax + b eta x = b a, f(x)-ren erro bakarra da. Demagun orain dg(f(x)) = n > 1 dela, eta demagun teoremaren tesia egia dela n baino maila txikiagoa duten polinomio guztietarako. Orain, demagun f(x) polinomioak gutxienez a K erro bat duela. Kontrako kasuan, teorema jadanik frogatuta egongo litzateke. Orain f(x) eta (x a) polinomioei zatiketa algoritmoa aplikatuz ondokoa dugu, f(x) = (x a)q(x) + r(x) non dg(r(x)) = 0 < dg(x a) edo r(x) = 0 diren. Nola a, f(x) polinomioaren erro bat den, aurreko teoremagatik x a f(x) dela dakigu, eta ondorioz r(x) = 0. Beraz, f(x) = (x a)q(x) dugu, q(x) K[x] eta dg(q(x)) = n 1 izanik. Beraz, q(x) polinomioari hipotesi induktiboa aplikatuz, badakigu polinomio honek gehienez n 1 erro dituela K gorputzean, eta nola f(x) polinomioaren erroak K gorputzean, a eta q(x)- ren K gorputzeko erroak diren, orduan f(x) polinomioak gehienez 1+(n 1) = n erro ditu K gorputzean. 4

5 Adibidea. f(x) = x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) polinomioak erro bakarra du R gorputzean. 2 Polinomio biren zatitzaile komunetatiko haundiena. Euclidesen Algoritmoa Definizioa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] {0} bi polinomio. Polinomio bi hauen zatitzaile komunetatiko haundiena deitzen zaio ondoko baldintzak betetzen dituen d(x) polinomio bati: (i) d(x) f(x) eta d(x) g(x) (ii) Existituko balitz l(x) K[x] non l(x) f(x) eta l(x) g(x), orduan l(x) d(x) (iii) d(x) polinomio monikoa hartzen da. Gainera, d(x) = zkh(f(x), g(x)) edo d(x) = zkh(f, g) = (f, g) denotatzen da. Teorema. Beti existitzen da hutsak ez diren f(x), g(x) K[x] edozein bi polinomioen d(x) zatitzaile komunetatiko haundiena, eta honelako beste bat d (x), existituko balitz, bi hauek proportzionalak dira. Gainera, Bezòut-en identitateren bidez, existitzen dira α(x), β(x) K[x] non zkh(f(x), g(x)) = d(x) = α(x)f(x) + β(x)g(x) den. Froga 2.1. Definitzen dugu ondoko P multzoa: P = {α(x)f(x) + β(x)g(x) α(x), β(x) K[x]}. Ohartu α(x) = 0 eta β(x) = 1 hartuta, 0f(x) + 1g(x) = g(x) P ; bestalde, α(x) = 1 eta β(x) = 0 hartuta, 1f(x)+0g(x) = f(x) P, eta α(x) = 0 eta β(x) = 0 hartuta, 0f(x)+0g(x) = 0 P daudela. P multzoan hutsak ez diren polinomioak existitzen direnez gero, horretatik maila txikiena duen polinomio bat aukeratzen dugu, d 0 (x) izenekoa (eta orokortasuna galdu gabe, suposa genezake d 0 (x) monikoa dela). Orduan, d 0 (x) polinomio honentzako e- xistitzen dira α 0 (x), β 0 (x) K[x] zeinentzat, d 0 (x) = α 0 (x)f(x) + β 0 (x)g(x). Froga dezagun d 0 (x) = zkh(f(x), g(x)) = (f, g) dela. (i) Lehenengo eta behin ikus dezagun d 0 (x) f(x) dela. (Ondoren, modu berdinean ikus daiteke d 0 (x) g(x) dela.) f(x) eta d 0 (x) polinomioei zatiketa algoritmoa a- plikatuz, existitzen dira q(x), r(x) K[x] non f(x) = d 0 (x)q(x) + r(x), dg(r(x)) < dg(d 0 (x)) edo r(x) = 0 izanik. 5

6 Orain, suposatzen baldin badugu r(x) 0 dela, orduan r(x) = f(x) (α 0 (x)f(x)+β 0 (x)g(x))q(x) = f(x) α 0 (x)f(x)q(x) β 0 (x)g(x)q(x) = f(x)(1 α 0 (x)q(x)) + g(x)( β 0 (x)q(x)) P, eta hau ezinezkoa da, dg(r(x)) < dg(d 0 (x)) delako, eta kontutan harturik d 0 (x)-ren definizioa. Beraz, r(x) = 0 da eta ondorioz, d 0 (x) f(x). (ii) Demagun orain existitzen dela l(x) K[x] non l(x) f(x) eta l(x) g(x) diren. Ikus dezagun l(x) d 0 (x) dela. Nola l(x) f(x), orduan l(x) α 0 (x)f(x), eta nola l(x) g(x), orduan l(x) β 0 (x)g(x) dugu. Ondorioz, l(x) α 0 (x)f(x) + β 0 (x)g(x) = d 0 (x), nahi genuen bezala. (iii) Aukeratu dugu d 0 (x) polinomio monikoa. Demagun existitzen dela beste d (x) K[x], f(x) eta g(x)-ren zatitzaile komunetako haundienaren propietate berdinak betetzen dituen polinomio bat. Orduan, d 0 (x)-k (i) propietatea betetzeagatik, d 0 (x) f(x) eta d 0 (x) g(x). Bestalde, d (x)-k (ii) propietatea betetzeagatik, d 0 (x) d (x) dugu. Analogoki, d (x)-k (i) propietatea betetzeagatik, d (x) f(x) eta d (x) g(x). Orain, d 0 (x)-k (ii) propietatea betetzeagatik, d (x) d 0 (x) dugu. Hau da, d (x) = d 0 (x)c 1 (x) eta d 0 (x) = d (x)c 2 (x), c 1 (x), c 2 (x) K[x] izanik. Orduan, d (x) = d (x)c 2 (x)c 1 (x), eta c 1 (x) = k 0 K eta c 2 (x) = 1/k 0 K izan behar dute. Azkenik, d (x) eta d 0 (x) biak monikoak direnez gero, derrigorrez, k 0 = 1 = 1/k 0 dugu, hau da, d (x) = d 0 (x). Propietateak. (i) Baldin eta f(x) g(x) bada, orduan zkh(f(x), g(x)) = f(x). (ii) Baldin eta f(x) = g(x)q(x) + r(x) bada, dg(r(x)) < dg(g(x)) izanik, orduan zkh(f(x), g(x)) = zkh(g(x), r(x)). Froga 2.2. (ii) atalaren froga. Deitu d(x) = zkh(f(x), g(x)) eta ikusi dezagun ere d(x) = zkh(g(x), r(x)) dela. Nola d(x) g(x), orduan d(x) g(x)q(x), eta nola baita ere d(x) f(x), d(x) (f(x) g(x)q(x)) = r(x) ondorioztatzen da. Bereziki, d(x) g(x) eta d(x) r(x). Demagun orain existitzen dela l(x) K[x] non l(x) g(x) eta l(x) r(x) diren. Orduan, l(x) g(x)q(x) eta l(x) (g(x)q(x) + r(x)), hau da, l(x) f(x). Orain, nola l(x) f(x) eta l(x) g(x), eta nola d(x) = zkh(f(x), g(x))-k bigarren propietatea betetzen duen, l(x) d(x) dela ondorioztatzen da. Azkenik, d(x) monikoa denez, d(x) = zkh(g(x), r(x)) dela ondorioztatzen da. Teorema. Euklidesen Algoritmoa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] {0}, dg(f(x)) dg(g(x)) = m > 0 izanik, eta izan bitez c 1 (x), c 2 (x),..., c n (x), c n+1 (x) K[x] eta r 1 (x), r 2 (x),..., r n (x) K[x] {0}, ondoko baldintzak betetzen dituzten polinomioak, f(x) = c 1 (x)g(x) + r 1 (x), dg(r 1 (x)) < dg(g(x)) 6

7 g(x) = c 2 (x)r 1 (x) + r 2 (x), dg(r 2 (x)) < dg(r 1 (x)) r 1 (x) = c 3 (x)r 2 (x) + r 3 (x), dg(r 3 (x)) < dg(r 2 (x)).. r n 2 (x) = c n (x)r n 1 (x) + r n (x), dg(r n (x)) < dg(r n 1 (x)) r n 1 (x) = c n+1 (x)r n (x) + r n+1 (x) = c n+1 (x)r n (x) + 0 = c n+1 (x)r n (x). Orduan, behin eta berriz, arinago ikusitako (ii) propietatea aplikatuz, zkh(f(x), g(x)) = (f(x), g(x)) = (g(x), r 1 (x)) = (r 1 (x), r 2 (x)) = (r 2 (x), r 3 (x)) = = (r n 1 (x), r n (x)) = (r n (x), 0) = r n (x) dugu. Adibidea. zkh(x 5 1, x 3 +x 2) = (x 3 +x 2, 2x 2 +x 3) = (2x 2 +x 3, 11x ) = 11x = x 1 3 Polinomioen faktorizazioa Definizioa. Izan bedi f(x) K[x] {0}. Definizioz f(x) polinomioa K gorputzaren gainean irreduziblea edo laburtezina dela esaten da, existitzen ez badira g(x), h(x) K[x] halakoak, non f(x) = g(x)h(x) eta 1 dg(g(x)), dg(h(x)) < dg(f(x)) baldintzak betetzen dituzten. Kontrako kasuan, f(x) polinomioa erreduziblea edo laburgarria K gorputz gainean dela esaten da. Propietateak. dira. (i) Edozein K gorputzean 1go mailako polinomio guztiak irreduzibleak (ii) Baldin eta f(x) K[x] irreduziblea bada, dg(f(x)) 2 izanik, orduan f(x)-k ez du zerorik K gorputzean. (iii) Ez edukitzeak zerorik K gorputzean, ez du derrigortzen f(x) polinomioa irreduziblea izatera. Kontsideratu adibidez, f(x) = (x 2 + 1) 2 = (x 2 + 1)(x 2 + 1) polinomioa, eta ohartu ez duela errorik R-n. Aurreko atalaren alderantzizkoa bakarrik betetzen da, dg(f(x)) = 2 edo 3 denean. (Frogapena ariketa bezala uzten dugu.) Teorema. Izan bedi f(x) K[x] polinomio ez konstantea. Orduan, existitzen dira f 1 (x),..., f t (x) K[x] polinomio irreduzibleak, non f(x) = f 1 (x)... f t (x) den. Gainera, f(x)-ren beste faktorizazio bat existituko balitz, hau da, f(x) = g 1 (x)... g s (x) balitz, non g 1 (x),..., g s (x) K[x] polinomio irreduzibleak diren, orduan s = t da, eta ordena eta proportziozko konstanteak salbu, edozein i baliorako, f i (x) = g i (x) betetzen da. 7

8 Definizioa. Izan bedi f(x) K[x] polinomio ez konstantea. Orduan f(x), lehenengo mailako K[x]-ko polinomioen biderketa bezala faktorizatzen denean, f(x), K[x] e- raztunean guztiz zatitzen dela esaten da. Definizioa. Izan bitez f(x) K[x] polinomioa eta α K, f(x)-ren erroa. Demagun existitzen dela m N, non (x α) m f(x) den, baina (x α) m+1 polinomioak ez duelarik f(x) zatitzen. Orduan, definizioz α erroaren anizkoiztasuna m dela esaten da. Gainera, m = 1 denean, α erro bakuna deitzen da, eta m > 1 denean, α erro anizkoitza dela esaten da. Definizioa. Izan bedi f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n K[x] polinomioa. Definizioz, f(x) polinomioaren, polinomio deribatua deitzen diogu ondoko adierazpenari: f (x) = a 1 + 2a 2 x + + na n x n 1. Modu berdinean definitzen dira beste orden bateko polinomio deribatuak. Teorema. Izan bitez f(x) K[x] polinomioa eta α K, f(x)-ren erro bat. K[x] eraztunean, f(x) polinomioarekiko α erroaren anizkoiztasuna m da baldin eta soilik baldin f(α) = f (α) =... = f (m 1) (α) = 0 eta f (m) (α) 0 betetzen bada. Froga 3.1. Ariketa bezala uzten dugu. 4 Irreduzibilitateko irizpideak Proposizioa. Proposizio honetan polinomio bat irreduziblea den ala ez jakiteko irizpide batzuk aztertuko edo enuntziatuko ditugu. Izan bedi f(x) K[x]. (i) Izan bedi f(x) K[x] eta demagun dg(f(x)) = 2 edo 3 dela. Orduan, f(x), K gainean irreduziblea da baldin eta soilik baldin f(x) polinomioak ez baditu errorik K-n. Arinago aipatutako irizpide bat da. Adibidez, x laburtezina da R gainean. (ii) Izan bedi f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x] eta demagun dg(f(x)) 2 dela. Orduan, Q gorputzaren gainean f(x) polinomioaren erroren bat egotekotan, erro hori r s motatakoa da, non r a 0, s a n, r, s Z eta zkh(r, s) = 1 diren. (Irizpide honen froga ariketa bezala uzten da.) Ondorioz, f(x) = 2x 3 x 2 + 8x + 1 Z[x] polinomioak erro arrazional bat izatekotan, hori, 1, 1, 1/2 eta 1/2 izan daiteke, eta nola f(1) 0, f( 1) 0, f(1/2) 0, f( 1/2) 0 diren, f(x)-k ez duela erro arrazionalik ondorioztatzen da. 8

9 (iii) Gauss-en Lema. Izan bedi f(x) Z[x]. Orduan Q[x] eraztunean f(x) polinomioa, g(x) eta h(x) Q[x] polinomioen biderketa gisa adieraz daiteke, 1 dg(g(x)), dg(h(x)) < dg(f(x)) izanik, baldin eta soilik baldin Z[x] multzoan, f(x) polinomioa aurreko polinomio biren maila berdineko Z[x]-ko bi polinomioen biderketa bezala adierazten bada. Adibidez, f(x) = x 4 2x 2 + 8x + 1 Z[x] polinomioak ez du onartzen erro arrazionalik, eta Z[x]-ko bigarren mailako bi polinomioen deskonposaketa onartuko balu, f(x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) izango litzateke, ondoko baldintzak betez, bd = 1, bc + da = 8, d + b + ac = 2 eta a + c = 0. Nola aurreko sistema bateraezina den, f(x), Q gorputz gainean laburtezina edo irreduziblea dela ondorioztatzen da. (iv) Einseinstein-en iripizde orokortua Izan bitez p N (zenbaki lehena) eta f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z[x]. Demagun, (a) p a 0, p a 1,..., p a r 1, non 1 r n den, (b) p 2 a 0, (c) p a r. Orduan, f(x) polinomioak Z[x] eraztunean r edo r baino maila haundiagoko faktore irreduzible bat onartzen du. Bereziki, r = n denean, f(x) irreduziblea da Q[x] gainean. Har dezagun f(x) = x 6 25x 5 +3x Z[x] polinomioa, eta p = 3 zenbaki lehena ondoko baldintzak betetzen dituena, (a) 3 12, 3 0, 3 3, 3 0, 3 0, (b) 9 12 (c) Beraz, f(x) polinomioak onartzen du Z[x] multzoan 5 edo 6 mailako faktore i- rreduzible bat. Bestalde, 5 mailako faktore irreduzible bat onartuko balu, orduan f(x) polinomioak erroren bat izango luke Q-n, eta badakigu froga daitekeela f(x)-k ez duela erro arrazionalik. Ondorioz, f(x)-k 6 mailako faktore irreduzible bat onartzen du, hau da, f(x) irreduzible da Q gainean. 9

10 5 Batugai soiletako zatikien deskonposizioa Teorema. Izan bitez f(x), g(x) K[x] halakoak, non g(x) faktorizatu egiten den elkarrekiko lehenak diren faktore bitan: g(x) = p(x)q(x), (p(x), q(x)) = 1, eta demagun dg(f(x)) dg(g(x)) dela. Orduan, f(x)/g(x) zatikia modu bakar batez adieraz daiteke ondoko eran, f(x) g(x) = h(x) + u(x) q(x) + v(x) p(x), h(x), u(x), v(x) K[x], dg(u(x)) < dg(q(x)), dg(v(x)) < dg(p(x)). Froga 5.1. Froga dezagun badagoela horrelako adierazpena. Hasteko, zatiketa euklidearra erabiliz, badaude h(x), r(x) K[x] polinomioak, non f(x) = h(x)g(x) + r(x), eta dg(r(x)) < dg(g(x)) diren. Bereziki, f(x) r(x) g(x) = h(x) + g(x). Orain, zkh(p(x), q(x)) = 1 denez, Bezòuten identitateagatik, existitzen dira ρ(x), φ(x) K[x] polinomioak non ρ(x)p(x) + φ(x)q(x) = 1 den. Beraz, aurreko adierazpena r(x)-gatik biderkatuz, r(x)ρ(x)p(x) + r(x)φ(x)q(x) = r(x) dugu. Orain, aplika diezaiogun Euclidesen algoritmoa r(x)ρ(x) eta q(x) polinomioei. Orduan, r(x)ρ(x) = α(x)q(x) + u(x), non dg(u(x)) < dg(q(x)) eta α(x), u(x) K[x] diren. Orain, (α(x)q(x)+u(x))p(x)+r(x)φ(x)q(x) = u(x)p(x)+(α(x)p(x)+r(x)φ(x))q(x) = r(x) dugu, eta hemendik v(x) = α(x)p(x)+r(x)φ(x) definituz, u(x)p(x)+v(x)q(x) = r(x) lortzen dugu. Ikus dezagun ondoren, dg(v(x)) < dg(p(x)) dela, eta ondoren ohartu dena frogatuta dugula. Izan ere, dg(v(x)q(x)) = dg(r(x) u(x)p(x)) max(dg(r(x)), dg(u(x)p(x))) < dg(q(x)p(x)) = dg(g(x)). Ohartu aurreko desberdintzan, dg(u(x)) < dg(q(x)), g(x) = p(x)q(x) eta dg(r(x)) < dg(g(x)) baldintzak erabili izan ditugula. Orain, bakartasuna frogatzeko, demagun horrelako bigarren adierazpen bat dugula. Lehenengo kasuan egin ditugun eraikuntzak funtsean bakarrak direnez, horrelako adierazpena bakarra da. Bestela, horrelako biren diferentziak hartuta, aski da frogatzea, 0 polinomioaren adierazpen bakarra, h(x) = u(x) = v(x) = 0 polinomioen bitartez lortzen dela. Korolarioa. Izan bitez f(x), g(x) K[x] halakoak, non g(x) 0 den. Izan bedi g(x) = p 1 (x) e1 p t (x) et, g(x) polinomioaren faktore irreduzible desberdinetako faktorizazioa. Orduan f(x)/g(x) zatikia modu bakar batez adieraz daiteke era honetan, f(x) g(x) = h(x) + u 11(x) p 1 (x) + + u 1e 1 (x) p 1 (x) e + + u t1(x) 1 p t (x) + + u te t (x) p t (x), et 10

11 u ij K[x], dg(u ij (x)) < dg(p i (x)). Proposizioa. Izan bitez u(x), p(x) K[x] non p(x) 0 den. Orduan, u(x) modu bakar batez adieraz daiteke p(x) oinarriarekiko ondoko eran, u(x) = u 0 (x) + u 1 (x)p(x) + u 2 (x)p(x) u t (x)p(x) t, dg(u i (x)) < dg(p(x)). Froga 5.2. Ariketa bezala uzten da. 11

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )

DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( ) DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak

Διαβάστε περισσότερα

1 Aljebra trukakorraren oinarriak

1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,

Διαβάστε περισσότερα

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n

(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n 5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S

Διαβάστε περισσότερα

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala

Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza

Διαβάστε περισσότερα

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna

ANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x

Διαβάστε περισσότερα

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i

7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i 7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela

Διαβάστε περισσότερα

Aldagai Anitzeko Funtzioak

Aldagai Anitzeko Funtzioak Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x

Διαβάστε περισσότερα

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.

= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. 1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi

Διαβάστε περισσότερα

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos

3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak

4. GAIA: Ekuazio diferenzialak 4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia

MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK

Διαβάστε περισσότερα

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK

4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK 4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN

Διαβάστε περισσότερα

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA

2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten

Διαβάστε περισσότερα

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean

Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten

Διαβάστε περισσότερα

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa

I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua

Διαβάστε περισσότερα

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.

Mate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L. Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...

Διαβάστε περισσότερα

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak

Inekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak 5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen

Διαβάστε περισσότερα

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa

Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................

Διαβάστε περισσότερα

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak

1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)

Διαβάστε περισσότερα

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA

EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra

Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................

Διαβάστε περισσότερα

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten

Διαβάστε περισσότερα

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.

Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea. Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia

Διαβάστε περισσότερα

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea

Hirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste

Διαβάστε περισσότερα

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20

Proba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen

Διαβάστε περισσότερα

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak

Poisson prozesuak eta loturiko banaketak Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune

Διαβάστε περισσότερα

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea

ERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa

Διαβάστε περισσότερα

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa

Hasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa 1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten

Διαβάστε περισσότερα

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko

9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko 9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua

Διαβάστε περισσότερα

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.

1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore

Διαβάστε περισσότερα

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.

9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da. 9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak

Διαβάστε περισσότερα

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a

10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral

Διαβάστε περισσότερα

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k

7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k 7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a

Διαβάστε περισσότερα

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md

LOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,

Διαβάστε περισσότερα

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana

6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana 6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak

Διαβάστε περισσότερα

5 Hizkuntza aljebraikoa

5 Hizkuntza aljebraikoa Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun

Διαβάστε περισσότερα

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika

Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1

Διαβάστε περισσότερα

6. GAIA: Oinarrizko estatistika

6. GAIA: Oinarrizko estatistika 6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................

Διαβάστε περισσότερα

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:

3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA: 3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak

Διαβάστε περισσότερα

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa

7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa 7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak

Antzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak 6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten

Διαβάστε περισσότερα

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK

Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien

Διαβάστε περισσότερα

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu

ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo

Διαβάστε περισσότερα

4. Hipotesiak eta kontraste probak.

4. Hipotesiak eta kontraste probak. 1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA Indar zentralak

4. GAIA Indar zentralak 4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:

Διαβάστε περισσότερα

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak

9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak 9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin

Διαβάστε περισσότερα

Ekuazioak eta sistemak

Ekuazioak eta sistemak 4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste

Διαβάστε περισσότερα

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7

AURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa

Διαβάστε περισσότερα

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak

TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:

MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren

Διαβάστε περισσότερα

10. GAIA Ingurune jarraituak

10. GAIA Ingurune jarraituak 10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,

Διαβάστε περισσότερα

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA

DBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK

Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Διαβάστε περισσότερα

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak

3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak 3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:

Διαβάστε περισσότερα

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c

Antzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE

Διαβάστε περισσότερα

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.

Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. 2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar

Διαβάστε περισσότερα

5. GAIA Solido zurruna

5. GAIA Solido zurruna 5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)

Διαβάστε περισσότερα

2. GAIA Higidura erlatiboa

2. GAIA Higidura erlatiboa 2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko

Διαβάστε περισσότερα

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:

Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: 1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta

Διαβάστε περισσότερα

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA

SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu

Διαβάστε περισσότερα

Oxidazio-erredukzio erreakzioak

Oxidazio-erredukzio erreakzioak Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/

Διαβάστε περισσότερα

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.

KANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,

Διαβάστε περισσότερα

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043

Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043 KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;

Διαβάστε περισσότερα

2011 Kimikako Euskal Olinpiada

2011 Kimikako Euskal Olinpiada 2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu

Διαβάστε περισσότερα

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA

IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA IRAKASKUNTZA GIDA: MATEMATIKARAKO SARRERA 1. HELBURUAK Kurtso honetarako prestatu den materialarekin, irakurlearentzat ohikoak diren matematikako sinboloak, notazioak, lengoaia matematikoa eta aritmetikako

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa

Διαβάστε περισσότερα

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E

Batxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak

1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak 1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta

Διαβάστε περισσότερα

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...

1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren

Διαβάστε περισσότερα

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK

EREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,

Διαβάστε περισσότερα

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa

LANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa PROGRAMAZIO-TEKNIKAK Programazio-teknikak LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA LANBIDE EKIMENA Proiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak LANBIDE HEZIKETAKO ZUZENDARITZA DIRECCION DE FORMACION PROFESIONAL Hizkuntz

Διαβάστε περισσότερα

Zirkunferentzia eta zirkulua

Zirkunferentzia eta zirkulua 10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak

Διαβάστε περισσότερα

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK

4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK 4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa) PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:

Διαβάστε περισσότερα

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK

EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK 1. GAIA 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 EGITURAREN ANALISIA ETA SINTESIA. KONTZEPTU OROKORRAK Definizioak 1.1.1 MakinaetaMekanismoa 1.1.2 MailaedoElementua 1.1.3 PareZinematikoa 1.1.4 KateZinematikoa

Διαβάστε περισσότερα

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2

Fisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2 Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK

1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK http://thales.cica.es/rd/recursos/rd98/fisica/01/fisica-01.html 1. MATERIAREN PROPIETATE OROKORRAK 1.1. BOLUMENA Nazioarteko Sisteman bolumen unitatea metro kubikoa da (m 3 ). Hala ere, likido eta gasen

Διαβάστε περισσότερα

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak

Jose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak

Διαβάστε περισσότερα

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK

0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK 1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas

Διαβάστε περισσότερα

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.

Elementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa. Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Estatistika deskribatzailea.

6.1. Estatistika deskribatzailea. 6. gaia Ariketak. 6.1. Estatistika deskribatzailea. 1. Zerrenda honek edari-makina baten aurrean dauden 15 bezerok txanpona sartzen duenetik edaria atera arteko denbora (segundotan neurtuta) adierazten

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:

Dokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren

Διαβάστε περισσότερα

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA

UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK ATOMOAREN EGITURA ETA SISTEMA PERIODIKOA. LOTURA KIMIKOA 1. (98 Ekaina) Demagun Cl - eta K + ioiak. a) Beraien konfigurazio elektronikoak idatz itzazu, eta elektroi

Διαβάστε περισσότερα

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei,

Deixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei, Deixia Jardunera edo gogora ekarritako erreferente bat (izaki, leku zein denbora) seinalatzen duen elementu linguistiko bat da deixia. Perpausaren ia osagai guztiek dute nolabaiteko deixia: Orduan etxe

Διαβάστε περισσότερα

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?

1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia

Διαβάστε περισσότερα

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Jakintza-arloa: Fisika Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL Urtea: 2003 Zuzendaria: Unibertsitatea: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-139-6 Hitzaurrea

Διαβάστε περισσότερα

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA

OREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en

Διαβάστε περισσότερα

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK

PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK ASTRONOMIA PLANETENTZAKO AURKITZAILEAK Jesus Arregi Ortzean planetak ezagutzeko, eskuarki, bi ohar eman ohi dira. Lehenengoa, izarrekiko duten posizioa aldatu egiten dutela, nahiz eta posizio-aldaketa

Διαβάστε περισσότερα

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06

Mikel Lizeaga 1 XII/12/06 0. Sarrera 1. X izpiak eta erradiazioa 2. Nukleoaren osaketa. Isotopoak 3. Nukleoaren egonkortasuna. Naturako oinarrizko interakzioak 4. Masa-defektua eta lotura-energia 5. Erradioaktibitatea 6. Zergatik

Διαβάστε περισσότερα

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK

Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK

Διαβάστε περισσότερα

Konposatu Organikoak

Konposatu Organikoak 6. Ikasgaia. HIDRKARBURE MEKLATURA ETA FRMULAZIA ERRADIKALAK ETA FUTZI-TALDEAK Konposatu organikoen sailkapena Kate karbonoduna eta funtzio-taldeak Segida homologoak I.U.P.A.C. MEKLATURA-SISTEMA Izen arruntak,

Διαβάστε περισσότερα

Kojineteak. Eskuarki, forma zilindrikoa izaten dute; jasan ditzaketen kargen arabera, bi motatan bereiz daitezke:

Kojineteak. Eskuarki, forma zilindrikoa izaten dute; jasan ditzaketen kargen arabera, bi motatan bereiz daitezke: KOJINETEAK Kojineteak Marruskadura-kojineteak Eskuarki, "kojinete" bakarrik esaten zaie. Haien helburua da ardatzei eta transmisio-ardatzei eustea eta biratzen uztea. Horretarako, ardatzetan ahokatzen

Διαβάστε περισσότερα

GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK)

GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) Recart Barañano, Federico Pérez Manzano, Lourdes Uriarte del Río, Susana Gutiérrez Serrano, Rubén EUSKARAREN

Διαβάστε περισσότερα

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA

UNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA 1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa

Διαβάστε περισσότερα

1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k

1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k 1. K a p itu lu a Zeb a ki ko p lex u a k 1 1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.1 Z e b a ki ko p le x u a re ko tzep tu a. Iku s d itza g u a d ibid e ba tzu k o a g ertze d e ze ba

Διαβάστε περισσότερα