Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του Στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζουµε δυο ευέλικτες δενδρικές δοµές: το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree) και το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), που επιτρέπουν την αποδοτική αποθήκευση και διαχείριση συµβολοσειρών. Στο τέλος του κεφαλαίου περιγράφουµε τις βασικές εφαρµογές τους σε προβλήµατα Μοριακής Βιολογίας και ειδικότερα στην ανάλυση Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων µε σκοπό την αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων. 3.1 Το έντρο Επιθεµάτων Πριν ξεκινήσουµε την περιγραφή του έντρου Επιθεµάτων (Suffix Tree), θυµίζουµε ότι για µια συµβολοσειρά x = wv, όπου w, v Σ +, η υποσυµβολοσειρά, v, ονοµάζεται κανονικό επίθεµα του x. Εποµένως µια συµβολοσειρά S, µήκους S =m, έχει m δυνατά µη κενά επιθέµατα που είναι τα ακόλουθα: S[1 m], S[2 m],. S[m-1 m] και S[m]. Για παράδειγµα για τη συµβολοσειρά "sequence", τα δυνατά επιθέµατα είναι: sequence, equence, quence, uence, ence, nce, ce, e. Το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree), αποθηκεύει όλα τα δυνατά επιθέµατα της συµβολοσειράς S, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήµα. x w b x c c 1 c x b c u c 4 b x c Σχήµα 1: Το έντρο Επιθεµάτων για τη συµβολοσειρά S=xbx Ορισµός-1: Το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree), Τ, µιας συµβολοσειρά S µεγέθους m ( S =m) ορίζεται ως η κατευθυνόµενη δενδρική δοµή µε ακριβώς m φύλλα τα οποία είναι αριθµηµένα από το 1 µέχρι το m. Κάθε εσωτερικός κόµβος,ο οποίος δεν είναι η ρίζα, έχει τουλάχιστον δύο παιδιά και κάθε πλευρά - 1 -

2 αντιστοιχίζεται σε µία µη-µηδενική υπο-συµβολοσειρά του S. Οι υποσυµβολοσειρές των πλευρών που εξέρχονται από τον ίδιο κόµβο δεν επιτρέπεται να έχουν κοινό τον πρώτο τους χαρακτήρα. Τέλος κύριο χαρακτηριστικό του δένδρου επιθεµάτων είναι το γεγονός ότι αν ενώσουµε τις ετικέτες µονοπατιών (pth lbels) που συναντάµε σε µια διαδροµή από τη ρίζα προς κάποιο από τα φύλλα, (έστω το φύλλο µε αριθµό i), σχηµατίζουµε το επίθεµα της συµβολοσειράς S που ξεκινά από την θέση i, δηλαδή το S[i..m]. Από τον παραπάνω ορισµό δεν εξασφαλίζεται ότι υπάρχει έντρο Επιθεµάτων για κάθε συµβολοσειρά S. Για παράδειγµα αν από την συµβολοσειρά S=xbxc που είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα αφαιρέσουµε το τελικό χαρακτήρα c προκύπτει η συµβολοσειρά S =xbx για την οποία το επίθεµα S[4 5]=x δεν καταλήγει σε κάποιο φύλλο αλλά σε εσωτερικό κόµβο, αφού αποτελεί ταυτόχρονα και πρόθεµα της συµβολοσειράς. Για να αποφύγουµε αυτό το πρόβληµα κάνουµε την ακόλουθη θεώρηση: σε κάθε συµβολοσειρά, S, προσθέτουµε έναν επιπλέον τελικό χαρακτήρα (τερµατικό χαρακτήρα), ο οποίος δεν ανήκει στο αλφάβητο της συµβολοσειράς, άρα δεν εµφανίζεται πουθενά αλλού στην συµβολοσειρά. Συνήθως προστίθεται ως τερµατικός χαρακτήρας (termintion symbol) ο χαρακτήρας "". Ορισµός-2: Ορίζουµε ως Ετικέτα Μονοπατιού (Pth Lbel), από τη ρίζα του δέντρου σε κάποιο κόµβο, τη συµβολοσειρά που προκύπτει από τη συνένωση των υπο-συµβολοσειρών που συναντάµε από τη ρίζα στον αντίστοιχο κόµβο. Μια απλοϊκή θεώρηση για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, για µια συµβολοσειρά S, περιλαµβάνει τα ακόλουθα βήµατα: 1. Ένθεση µιας πλευράς στο δέντρο για το επίθεµα S[1 m], 2. ιαδοχική ένθεση των επιθεµάτων S[i m], για i=2 m. Στο πρώτο βήµα ο αλγόριθµος θεωρεί ότι το δέντρο αποτελείται µόνο από τη ρίζα και εισάγει σε αυτό το επίθεµα S[1..m], (ολόκληρη δηλαδή τη συµβολοσειρά και τον τερµατικό χαρακτήρα), µε αποτέλεσµα το δέντρο Ν 1 να αποτελείται από µια πλευρά µε ετικέτα "S" και ένα φύλλο αριθµηµένο µε τον αριθµό "1". Σε κάθε επόµενο βήµα δηµιουργούµε το δέντρο N i+1, από το δέντρο N i, ως εξής: ξεκινώντας από τη ρίζα του δέντρου N i, βρίσκουµε το µέγιστο σε µήκος µονοπάτι από τη ρίζα, για το οποίο η ετικέτα µονοπατιού ταιριάζει µε κάποιο πρόθεµα του S[i+1..m], (συγκρίνοντας διαδοχικά τους χαρακτήρες). Έστω ότι στο χαρακτήρα S[k], µε k i, έχουµε µη-ταίριασµα. Σε αυτή τη θέση υπάρχουν δύο δυνατές καταστάσεις: είτε βρισκόµαστε σε κάποιο κόµβο w του δέντρου N i είτε στο µέσο κάποιας πλευράς, µεταξύ των κόµβων (u,v). Στη δεύτερη περίπτωση χωρίζουµε την πλευρά στη µέση εισάγοντας ένα νέο εσωτερικό κόµβο, έστω w, αµέσως µετά τον τελευταίο - 2 -

3 χαρακτήρα του δέντρου που ταίριαζε σε κάποιον χαρακτήρα στο S[i+1 m]. H νέα πλευρά (u, w), έχει ως ετικέτα µονοπατιού το τµήµα της πλευράς (u,v), που ταιριάζει στην υπο-συµβολοσειρά S[i+1 m], ενώ η πλευρά (w, v), αποκτά ως ετικέτα µονοπατιού το υπόλοιπο της πλευράς (u,v). Στη συνέχεια (το βήµα αυτό είναι κοινό και στην 1 η και στη 2 η περίπτωση), ο αλγόριθµος δηµιουργεί µια νέα πλευρά (w, i+1), η οποία εκτείνεται από τον κόµβο w, σε ένα νέο φύλλο µε αριθµό "i+1". H νέα αυτή πλευρά έχει ως ετικέτα µονοπατιού από τη ρίζα στο φύλλο "i+1", το επίθεµα S[i+1..m]. Η απλοϊκή θεώρηση κατασκευής του έντρου Επιθεµάτων στοιχίζει O(m 2 ) χρόνο, για ένα αλφάβητο πεπερασµένου µεγέθους. υο διαδοχικά βήµατα του αλγορίθµου φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα. κοινό πρόθεµα x b x c 1 x w b x c c 1 c x b b x c c x b 4 b x c Σχήµα 2: Κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων µε την απλοϊκή προσέγγιση. Από το δέντρο Ν3 µεταβαίνουµε στο Ν4 εισάγοντας το επίθεµα S[4 6]=xc. Ξεκινώντας από τη ρίζα, παρατηρούµε ότι το S[4 5] αποτελεί κοινό πρόθεµα και µετά τον τελευταίο κοινό χαρακτήρα προσθέτουµε το νέο κόµβο w. Πιο αποδοτικοί αλγόριθµοι για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, έχουν προταθεί στη σχετική βιβλιογραφία, ξεκινώντας µε τον αλγόριθµο που παρουσίασε ο Weiner το 1973 [1], ο McCreight [2] τo 1976 και τέλος το 1995 ο Ukkonen [3], ο οποίος απαιτεί γραµµικό χρόνο O(n). 3.2 Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), αποτελεί ένα Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων το οποίο αποθηκεύει όλα τα δυνατά επιθέµατα ενός συνόλου συµβολοσειρών S={S 1,S 2, S n }, (σχήµα 3). Ορισµός-3: Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), GSΤ, ενός συνόλου συµβολοσειρών S ορίζεται ως η κατευθυνόµενη - 3 -

4 δενδρική δοµή µε ακριβώς S 1 + S 2 + S n. Κάθε µονοπάτι από την ρίζα προς κάποιο φύλλο αναπαριστά ένα επίθεµα το οποίο µπορεί να ανήκει σε µία ή παραπάνω συµβολοσειρές. Γι αυτό τον λόγο σε κάθε φύλλο σηµειώνονται οι συµβολοσειρές (ή συµβολοσειρά) στις οποίες ανήκει το αντίστοιχο επίθεµα καθώς και οι θέσεις που αρχίζει αυτό σε κάθε µία από αυτές. Για να κατασκευάσουµε το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), ενός συνόλου συµβολοσειρών {S 1,S 2,,S m }, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οποιονδήποτε από τους αλγορίθµους που ήδη αναφέραµε για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, µία φορά για κάθε µία από τις συµβολοσειρές. Το µόνο που πρέπει να διευκρινιστεί είναι ότι κάθε εκτέλεση του αλγορίθµου πέραν της πρώτης δεν εισάγει τα επιθέµατα σε κάποια νέο δένδρο επιθέµατος αλλά σ αυτό που σχηµατίσθηκε από την πρώτη εκτέλεση. Επίσης ενηµερώνονται κατάλληλα οι πληροφορίες που υπάρχουν στα φύλλα. Συνολικά ο χρόνος που απαιτείται µέχρι την ολοκλήρωση της δηµιουργίας είναι γραµµικός στο άθροισµα των µηκών των συµβολοσειρών. 1,3 2,3 x b b 2,5 b x x b x 1,5 2,6 b x b b 2,2 2,4 1,1 1,4 1,2 2,1 Σχήµα 3: Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για τις συµβολοσειρές S={xbx, bbxb} 3.3 Εφαρµογές στη Ανάλυση Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Σε αυτή την παράγραφο θα αναφέρουµε Εφαρµογές του έντρου Επιθεµάτων σε προβλήµατα ανάλυσης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων

5 Ακριβής Εύρεση Προτύπου Στο προηγούµενο κεφάλαιο, αναφερθήκαµε σε 3 βασικούς αλγορίθµους Ακριβούς Εύρεσης Προτύπου σε ακολουθίες, των οποίων η πολυπλοκότητα χρόνου είναι γραµµική ως προς το µήκος της ακολουθίας. Σε αυτή την παράγραφο θα περιγράψουµε πώς το έντρο Επιθεµάτων επιλύει µε αποδοτικό τρόπο το ίδιο πρόβληµα σε γραµµικό χρόνο ως προς το µήκος του προτύπου. Ας υποθέσουµε ότι η ακολουθία εισόδου T ( Τ = m), είναι εκ των προτέρων γνωστή και αναζητούµε το πρότυπο P, µεγέθους n. Το έντρο Επιθεµάτων επιλύει το πρόβληµα σε O(n+k) χρόνο, όπου k: το πλήθος των εµφανίσεων του P στο T. Όπως παρατηρούµε η πολυπλοκότητα είναι ανεξάρτητη από το µήκος της ακολουθίας, την οποία έχουµε αναπαραστήσει σε ένα προ-επεξεργαστικό βήµα, σε ένα έντρο Επιθεµάτων (θυµίζουµε ότι ο χρόνος κατασκευής του δέντρου επιθεµάτων είναι O( T )). Η µεθοδολογία είναι η εξής: 1. ηµιούργησε το έντρο Επιθεµάτων Τ, για την ακολουθία εισόδου Τ. 2. Στη συνέχεια ξεκινώντας από τη ρίζα, σύγκρινε έναν προς έναν τους χαρακτήρες του Ρ, ακολουθώντας το κατάλληλο µονοπάτι. Εάν εµφανιστεί κάποιο µη-ταίριασµα, τότε το πρότυπο δεν εµφανίζεται στην ακολουθία, διαφορετικά το πρότυπο εµφανίζεται και η λίστα των εµφανίσεων περιλαµβάνει όλα τα φύλλα του Τ, που βρίσκονται κάτω από τον κόµβο του τελευταίου χαρακτήρα του P. Ένα παράδειγµα φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Το πρότυπο P=w, εµφανίζεται 3 φορές στα σηµεία 1,4,7.... y w x. z Σχήµα 4: Αναζήτηση του pttern P=w, στο δέντρο T=wywxwxz. Στην προηγούµενη προσέγγιση, η χρήση του έντρου Επιθεµάτων, είναι αποδοτική εφόσον η ακολουθία είναι εκ των προτέρων γνωστή οπότε για - 5 -

6 κάθε νέο πρότυπο που αναζητούµε δε χρειάζεται κάποιο βήµα προεπεξεργασίας. Στην αντίθετη περίπτωση, όταν το πρότυπο είναι γνωστό εκ των προτέρων οι αλγόριθµοι που παρουσιάσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, απαιτούν O(n) χρόνο προ-επεξεργασίας του προτύπου και Ο(m) χρόνο για την αναζήτηση Ακριβής Εύρεση Πολλαπλών Προτύπων Στο προηγούµενο κεφάλαιο, παρουσιάσαµε και τον τρόπο κατασκευής του Aho- Corsick αυτοµάτου για την αναζήτηση ενός συνόλου προτύπων P ( Ρ =n) σε µια ακολουθία T, ( T =m) σε χρόνο O(n+m+k P ), όπου k P : το πλήθος των εµφανίσεων όλων των προτύπων. Στην περίπτωση που η ακολουθία είναι εκ των προτέρων γνωστή, όπως και στην προηγούµενη εφαρµογή, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το έντρο Επιθεµάτων, το οποίο επιλύει το πρόβληµα Ακριβούς Εύρεσης ενός συνόλου προτύπων σε συνολικό χρόνο O(n+m+k P ). Η µεθοδολογία που περιγράψαµε στην προηγούµενη περίπτωση για ένα πρότυπο ακολουθείται για το σύνολο των προτύπων. Ποια είναι όµως τα πλεονεκτήµατα της χρήσης του έντρου Επιθεµάτων σε σχέση µε το αυτόµατο Aho- Corsick και πότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί η κάθε µέθοδος. Συγκρίνοντας τις 2 µεθόδους παρατηρούµε ότι η πολυπλοκότητα χρόνου, είναι η ίδια. Παρόλα αυτά στην περίπτωση που το σύνολο των προτύπων έχει µεγαλύτερο µέγεθος από την ακολουθία, n > m, το έντρο Επιθεµάτων χρησιµοποιεί λιγότερο χώρο. Σε προβλήµατα Μοριακής Βιολογίας το σύνολο των προτύπων που αναζητούµεβιβλιοθήκη δοσµένων DNA ακολουθιών-, είναι συνήθως µεγαλύτερο σε σχέση µε την ακολουθία εισόδου. Στην αντίθετη περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το αυτόµατο Aho- Corsick, αν και το έντρο Επιθεµάτων απαιτεί λιγότερο χρόνο. Οπότε σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένας συµβιβασµός στον απαιτούµενο χώρο και χρόνο, που µας καθοδηγεί ως προς ποια λύση θα χρησιµοποιήσουµε, ανάλογα µε τα δεδοµένα εισόδου Μέγιστη Κοινή Υπο-συµβολοσειρά 2 Ακολουθιών Ένα επίσης σηµαντικό πρόβληµα στην ανάλυση ακολουθιών είναι η εύρεση της µέγιστης σε µήκος κοινής υπο-συµβολοσειράς των ακολουθιών S 1 και S 2, που ονοµάζεται "longest common substring problem" στη διεθνή βιβλιογραφία. Για παράδειγµα οι ακολουθίες S 1 =superiorclifornilives και S 2 = seliver, έχουν ως µέγιστη κοινή υπο-συµβολοσειρά τη λέξη live. Ένας αποδοτικός τρόπος επίλυσης του παραπάνω προβλήµατος είναι η κατασκευή ενός Γενικευµένου έντρου Επιθεµάτων για τις ακολουθίες S 1 και S 2,, όπου κάθε φύλλο του δέντρου αναπαριστά είτε ένα επίθεµα µιας ακολουθίας είτε ένα κοινό επίθεµα που εµφανίζεται και στις 2 ακολουθίες. Σηµειώνουµε κάθε εσωτερικό κόµβο του δέντρου u, µε "1" ή "2", αν - 6 -

7 εµπεριέχει στο υπόδεντρο του u, κάποιο φύλλο που αναπαριστά κάποιο επίθεµα της ακολουθίας S 1 ή S 2. Η ετικέτα µονοπατιού - pth lbel, κάθε εσωτερικού κόµβου που σηµειώνεται ταυτόχρονα µε "1" και "2", αποτελεί µια κοινή υπο-συµβολοσειρά των δυο ακολουθιών S 1 και S 2,. Εντοπίζουµε όλες τις κοινές υπο-συµβολοσειρές και η µεγαλύτερη σε µήκος, αποτελεί την απάντηση στο πρόβληµα της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς. Η κατασκευή του Γενικευµένου έντρου Επιθεµάτων, στοιχίζει γραµµικό χρόνο ως προς το συνολικό µήκος των ακολουθιών S 1 και S 2, (Ο( S 1 + S 2 ), ενώ η διαπέραση των εσωτερικών κόµβων µε γνωστές τεχνικές γραµµικού επίσης χρόνου. Άµεση εφαρµογή της εύρεσης της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς δυο ακολουθιών στη Βιοπληροφορική αποτελεί το DNA Contmintion Problem. DNA Contmintion Problem: Για µια δοσµένη ακολουθία DNA S 1, που έχει πρόσφατα αποµονωθεί και ταυτοποιηθεί και µια ήδη γνωστή ακολουθία S 2, (επιµέρους τµήµατα που πιθανά έχουν µολυνθεί), αναζητούµε όλες τις υποσυµβολοσειρές της S 2 που εµφανίζονται στην S 1, µε µήκος µεγαλύτερο από l. To DNA Contmintion Problem, µπορεί να λυθεί σε γραµµικό χρόνο, επεκτείνοντας τη µεθοδολογία που περιγράψαµε για την εύρεση της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς δυο ακολουθιών. Αρχικά κατασκευάζουµε το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για τις ακολουθίες S 1 και S 2. Σηµειώνουµε κάθε εσωτερικό κόµβο του δέντρου u, που εµπεριέχει στο υπόδεντρο του, κάποιο φύλλο που αναπαριστά κάποιο επίθεµα των ακολουθιών S 1 και S 2 και σε ένα τελευταίο βήµα αναφέρουµε όλους τους κόµβους µε βάθος string-depth(u) l. Αν δεν υπάρχουν τέτοιοι κόµβοι, τότε µε µεγάλη πιαθνότητα αλλά όχι µε απόλυτη σιγουριά, η ακολουθία DNA S 1 δεν έχει µολυνθεί από τα επιµέρους τµήµατα. Μια ευρύτερη θεώρηση του DNA Contmintion Problem είναι η ακόλουθη. Ας υποθέσουµε ότι διαθέτουµε ένα σύνολο συµβολοσειρών DNA P, που έχουν µολυνθεί (DNA string contminnts), και θέλουµε να εξετάσουµε αν µια πρόσφατα ταυτοποιηµένη ακολουθία DNA S 1, είναι µολυσµένη. Για να επιλύσουµε αυτό το πρόβληµα δηµιουργούµε ένα Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για το σύνολο των προτύπων Ρ και την ακολουθία S 1, και αναζητούµε τους εσωτερικούς κόµβους που έχουν ως φύλλα στα υπόδεντρά τους κοινά επιθέµατα της ακολουθίας S 1 και ενός τουλάχιστον από τις συµβολοσειρές του συνόλου Ρ. Όλοι οι κόµβοι µε βάθος µεγαλύτερο του l, εµπεριέχουν ύποπτες υπο-συµβολοσειρές

8 Εύρεση Κοινών Μοτίβων σε 2 ή περισσότερες Βιολογικές Ακολουθίες Η αναζήτηση κοινών µοτίβων σε 2 ή περισσότερες ακολουθίες βιολογικών δεδοµένων (DNA, RNA, ή πρωτεϊνών) παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον καθώς έχει µεγάλη βιολογική σηµασία. Η µετάλλαξη ακολουθιών του DNA, κατά την εξέλιξη 2 διαφορετικών ειδών, επηρεάζει τα τµήµατα των DNA και πρωτεϊνών, που είναι λιγότερο υπεύθυνα για τη λειτουργία των ζωντανών οργανισµών. Αντίθετα τα τµήµατα που επηρεάζουν τις βασικές λειτουργίες σε µοριακό επίπεδο, εµφανίζουν υψηλή σταθερότητα και σπάνια διαφοροποιούνται λόγω κάποιας µετάλλαξης. Εποµένως η εύρεση επαναλαµβανόµενων µοτίβων σε 2 ή περισσότερες ακολουθίες στοχεύει στην ανακάλυψη αυτών των υπο-συµβολοσειρών που ευθύνονται για τα δοµικά και λειτουργικά χαρακτηριστικά των βιολογικών µορίων (καθώς αυτά παραµένουν αναλλοίωτα). Ας δούµε πώς ορίζεται στο πρόβληµα. Το Πρόβληµα της Εύρεσης κοινών µοτιβων: Για ένα σύνολο Κ ακολουθιών µε συνολικό µήκος Σ( Κ )= n, και έναν ακέραιο k, (2<k<K), ορίζουµε ως l(k), το µήκος του µέγιστου µοτίβου που εµφανίζεται σε τουλάχιστον k υπο-συµβολοσειρές. Το πρόβληµα ανάγεται στον υπολογισµό όλων των δυνατών τιµών του l(k) και λύνεται σε γραµµικό χρόνο Ο(n), ως προς το µήκος των ακολουθιών εισόδου. Ας δούµε ένα παράδειγµα. Έστω Κ={sndollr, sndlot, hndler, grnd, pntry}. Οι τιµές του l(k), φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα, παρουσιάζοντας και τα αντίστοιχα κοινά µοτίβα. k l(k) µοτίβο 2 4 snd 3 3 nd 4 3 nd 5 2 n Το πρόβληµα µπορεί να λυθεί γενικεύοντας τη µεθοδολογία που παρουσιάσαµε για την επίλυση της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς 2 ακολουθιών για περισσότερες ακολουθίες Εύρεση Επαναλήψεων σε Βιολογικές Ακολουθίες Σε αυτή την παράγραφο θα περιγράψουµε ορισµένα επαναληπτικά µοτίβα σε ακολουθίες Βιολογικών εδοµένων. Την εύρεση - 8 -

9 επαναλαµβανόµενων µοτίβων- επαναλήψεων, διαδέχεται η µελέτη της λειτουργίας που επιτελούν στην εξέλιξη των ζωντανών οργανισµών. Οι επαναλήψεις σε βιολογικές ακολουθίες κατηγοριοποιούνται στις εξής 3 βασικές κατηγορίες: α) επαναλήψεις περιορισµένου µήκους που εµφανίζονται σε τοπικό επίπεδο, και των οποίων η λειτουργία είναι γνωστή, β) επαναλήψεις περιορισµένου µήκους που εµφανίζονται σε όλο το µήκος της ακολουθίας, και των οποίων η λειτουργία δεν είναι απόλυτα γνωστή, γ) δοµηµένες επαναλήψεις µεγάλου µήκους των οποίων η λειτουργία δεν έχει προσδιοριστεί. Αρχικά θα ορίσουµε ορισµένες από τις σηµαντικότερες επαναλήψεις σε βιολογικές ακολουθίες: Ορισµός-4: Ένα παλίνδροµο- plindrome αποτελεί την επαναλαµβανόµενη εµφάνιση της υπο-συµβολοσειράς που διαβάζεται ως ίδιο και προς τις 2 κατευθύνσεις (από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά). Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: xyyx αποτελεί ένα παλίνδροµο. Ορισµός-5: Ένα παλίνδροµο σε µια ακολουθία DNA ή RNA, ονοµάζεται συµπληρωµατικό παλίνδροµο- complemented plindrome, αν προκύπτει από την αντικατάσταση όλων των χαρακτήρων από την αρχή έως τη µέση µε τις αντίστοιχες συµπληρωµατικές βάσεις. Για το DNA οι βάσεις Α & C είναι συµπληρωµατικές των Τ & G αντίστοιχα, ενώ για το RNA οι βάσεις Α & C είναι συµπληρωµατικές των U & G αντίστοιχα. Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: Χ= gctcgcggct αποτελεί ένα συµπληρωµατικό παλίνδροµο, αφού προκύπτει µε την αντικατάσταση των χαρακτήρων Χ[1..6] µε τις συµπληρωµατικές βάσεις που τοποθετούνται στις θέσεις Χ[7 12]. Στην πρώτη κατηγορία επαναλήψεων ανήκουν: τα συµπληρωµατικά παλίνδροµα σε ακολουθίες DNA & RNA, που ρυθµίζουν τη µετεγγραφή του DNA, τα εµφωλευµένα συµπληρωµατικά παλίνδροµα σε ακολουθίες trna, µικρού µήκους απλές επαναλήψεις στο DNA (παλινδροµικές και µη), κ.α. Στη δεύτερη κατηγορία επαναλήψεων ανήκουν: οι συνεχόµενες επαναλήψεις- tndem repets, σε ακολουθίες DNA. Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: ttggg εµφανίζεται στις άκρες κάθε ανθρώπινου - 9 -

10 χρωµοσώµατος. Μεγαλύτερου µήκους συνεχόµενες επαναλήψεις είναι και τα δορυφορικά τµήµατα DNA- stellite DNA, που υποδιαιρούνται σε micro & mini stellite DNA, και εµφανίζονται στα γονιδιώµατα των θηλαστικών. Τέλος στην τρίτη κατηγορία επαναλαµβανόµενων µοτίβων ανήκουν τα: SINE-Short Interspersed Nucler Sequences και LINE-Long Interspersed Nucler Sequences. Τυπικό παράδειγµα SINE, αποτελεί η Alu fmily, η οποία επαναλαµβάνεται φορές µέσα στο ανθρώπινο γονιδίωµα και καλύπτει σε µήκος το 5% περίπου του ανθρώπινου DNA και άλλων γονιδιωµάτων θηλαστικών. Η αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων, αποτελεί σηµαντικό υπολογιστικό πρόβληµα στη Βιοπληροφορική, ειδικά µετά τη χαρτογράφηση του ανθρώπινου γονιδιώµατος, αφού στοχεύει στην αναγνώριση δεικτώνmrkers, που υποδεικνύουν σηµαντικές θέσεις ή λειτουργικά τµήµατα στις βιολογικές ακολουθίες. Επίσης η αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων, µπορεί να στηρίζεται είτε στην ακριβή είτε στην προσεγγιστική προσέγγιση. Βιβλιογραφικές Αναφορές 1. P.Weiner. Liner pttern mtching lgorithms. Proc. of the 14 th IEEE Symp. on Switching nd Automt Theory, E.M. McCreight. A spce-economicl suffix tree construction lgorithm. Journl of ACM, E. Ukkonen. On-Line construction of suffix trees. Algorithmic, Ιssue 14, D.Gusfield. Algorithms on strings, trees nd sequences. Cmbridge University Press,

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Συμβολοσειρές Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Συμβολοσειρές Συμβολοσειρές και προβλήματα που αφορούν συμβολοσειρές εμφανίζονται τόσο συχνά που

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree)

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εργαστήριο 7 Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εισαγωγή Εκτός από τα δυαδικά δέντρα αναζήτησης (inry serh trees) που εξετάσαµε σε προηγούµενο εργαστήριο, υπάρχουν αρκετά είδη δέντρων αναζήτησης µε ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D Dynamic dictionary matching problem Έχουμε ένα σύνολο πρότυπων D = { P1, P2,..., Pk } oπου D το λεξικό και ένα αυθαίρετο κειμενο T [1,n] To σύνολο των πρότυπων αλλάζει με το χρόνο (ρεαλιστική συνθήκη).

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Στοιχειώδεις Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις ηµιουργία Κανονικών Εκφράσεων Παραδείγµατα Κανονικών Εκφράσεων Τις Κανονικές εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55 ΑΝΑ ΡΟΜΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μια µέθοδος είναι αναδροµική όταν καλεί τον εαυτό της και έχει µια συνθήκη τερµατισµού π.χ. το παραγοντικό ενός αριθµού Ν, µπορεί να καλεί το παραγοντικό του αριθµού Ν-1 το παραγοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα? Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree)

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εργαστήριο 6 υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εισαγωγή Οι περισσότερες δοµές δεδοµένων, που εξετάσαµε µέχρι τώρα (λίστες, στοίβες, ουρές) ήταν γραµ- µικές (ή δοµές δεδοµένων µιας διάστασης). Στην παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών

Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών 1 Αλγόριθµοι δροµολόγησης µε µέσα µαζικής µεταφοράς στο µεταφορικό δίκτυο των Αθηνών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ της Κωτσογιάννη Μαριάννας Περίληψη 1. Αντικείµενο- Σκοπός Αντικείµενο της διπλωµατικής αυτής εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Θέµα 1 ο Α. Να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις τύπου Σωστό Λάθος (Σ Λ) 1. Σκοπός της συγχώνευσης 2 ή περισσοτέρων ταξινοµηµένων πινάκων είναι η δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015 Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2 Διδάσκων: E. Μαρκάκης Ταξινόµηση και Ουρές Προτεραιότητας Σκοπός της 2 ης εργασίας είναι η εξοικείωση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΕΣ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ Μία από τις πιο σηµαντικές υπηρεσίες που προσφέρει το διαδίκτυο στην επιστηµονική κοινότητα είναι η αποµακρυσµένη πρόσβαση των χρηστών σε ηλεκτρονικές βιβλιοθήκες

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων.

Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Εσόδων Εξόδων. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΜΣ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ 2006-2007 2η Σειρά Ασκήσεων ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. ίνεται το γνωστό πρόβληµα των δύο δοχείων: «Υπάρχουν δύο δοχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο

Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο Ουρές προτεραιότητας Πελάτες φθάνουν στο ταμείο μιας τράπεζας Eνα μόνο ταμείο είναι ανοικτό Κάθε πελάτης παρουσιάζεται με ένα νούμερο - αριθμός προτεραιότητας Όσο ο αριθμός είναι μεγάλος, τόσο οι πελάτες

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 10 ο. Γράφοι. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 10 ο Γράφοι Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Γράφοι Ορισµός Αφηρηµένος τύπος δεδοµένων Υλοποίηση Αναζήτηση έντρο

Διαβάστε περισσότερα

ηµιουργία Β.. ανειστική Βιβλιοθήκη Μάθηµα 5 Ορισµός σχέσεων - Σύνδεση πινάκων

ηµιουργία Β.. ανειστική Βιβλιοθήκη Μάθηµα 5 Ορισµός σχέσεων - Σύνδεση πινάκων Μάθηµα 5 ηµιουργία Β.. ανειστική Βιβλιοθήκη - Ορισµός σχέσεων - Σύνδεση πινάκων ηµιουργία Β.. ανειστική Βιβλιοθήκη Η ανειστική Βιβλιοθήκη θα αποτελέσει ένα απλό, αλλά ολοκληρωµένο παράδειγµα δηµιουργίας

Διαβάστε περισσότερα

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία.

Θα συµπληρώσετε τα απαραίτητα στοιχεία που βρίσκονται µε έντονα γράµµατα για να δηµιουργήσετε την νέα εταιρεία. Αρχίστε αµέσως το πρόγραµµα xline Γενική Λογιστική. Βήµα 1 ο ηµιουργία Εταιρείας Από την Οργάνωση\Γενικές Παράµετροι\ ιαχείριση εταιρειών θα δηµιουργήσετε την νέα σας εταιρεία, επιλέγοντας µέσω των βηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα

Περιεχόμενα. Περιεχόμενα Περιεχόμενα xv Περιεχόμενα 1 Αρχές της Java... 1 1.1 Προκαταρκτικά: Κλάσεις, Τύποι και Αντικείμενα... 2 1.1.1 Βασικοί Τύποι... 5 1.1.2 Αντικείμενα... 7 1.1.3 Τύποι Enum... 14 1.2 Μέθοδοι... 15 1.3 Εκφράσεις...

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Μοντελοποίηση Υπολογισμού. Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Μοντελοποίηση Υπολογισμού Γραμματικές Πεπερασμένα Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις Προβλήματα - Υπολογιστές Δεδομένου ενός προβλήματος υπάρχουν 2 σημαντικά ερωτήματα: Μπορεί να επιλυθεί με χρήση υπολογιστή;

Διαβάστε περισσότερα

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν

4. ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galerkin δεν . ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΕ ΜΟΝΟ ΙΑΣΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η επιλογή των συναρτήσεων βάσης ( ) φ για την εφαρµογή της µεθόδου Galrkn δεν είναι τόσο απλή, και στην γενική περίπτωση είναι µία δύσκολη διαδικασία.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1

Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Δυναμικά Πολυεπίπεδα Ευρετήρια (Β-δένδρα) Μ.Χατζόπουλος 1 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ.Χατζόπουλος 2 Δένδρο αναζήτησης είναι ένας ειδικός τύπος δένδρου που χρησιμοποιείται για να καθοδηγήσει την αναζήτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 450 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ. Παύλος Αντωνίου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 450 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ. Παύλος Αντωνίου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΕΠΛ 450 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Παύλος Αντωνίου Με μια ματιά: Εισαγωγή στη Βιολογία Ευθυγράμμιση Ακολουθιών Αναζήτηση ομοίων ακολουθιών από βάσεις δεδομενων Φυλογενετική πρόβλεψη Πρόβλεψη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης

Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης Δημιουργία Δυαδικών Δέντρων Αναζήτησης Τα Δυαδικά δέντρα αναζήτησης είναι διατεταγμένα δυαδικά δέντρα όπου έχει σημασία η διάταξη των παιδιών κάθε κόμβου. Συγκεκριμένα για τα Δυαδικά δέντρα αναζήτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

Δομές Δεδομένων. Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Δομές Δεδομένων. Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 8: Γραμμική Αναζήτηση και Δυαδική Αναζήτηση-Εισαγωγή στα Δέντρα και Δυαδικά Δέντρα-Δυαδικά Δέντρα Αναζήτησης & Υλοποίηση ΔΔΑ με δείκτες Καθηγήτρια Μαρία Σατρατζέμη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. 5)

Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. 5) ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Red- black δέντρα Εκτενείς Δομές Δεδομένων (Κεφ. ) Δομές Δεδομένων Μπαλτάς Αλέξανδρος 4 Μαρτίου 0 ampaltas@ceid.upatras.gr Περιεχόμενα. Εισαγωγή. Ορισμός red- black

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη 2012 2 Περιεχόµενα 1 υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Συσχετίσεις

Κεφάλαιο 9 Συσχετίσεις Κεφάλαιο 9 Συσχετίσεις Το κεφάλαιο αυτό διαπραγµατεύεται τη δηµιουργία και διαχείριση των συσχετίσεων που υφίστανται ανάµεσα στους πίνακες µιας σχεσιακής βάσης δεδοµένων. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Αρχείων και Καταλόγων

Σύστηµα Αρχείων και Καταλόγων ΕΠΛ 003 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σύστηµα Αρχείων και Καταλόγων ιάλεξη 7 (Κεφάλαιο 11 του βιβλίου) Στόχοι Κεφαλαίου Περιγραφή της έννοιας του αρχείου, συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 19 Hashing - Κατακερματισμός 1 / 23 Πίνακες απευθείας πρόσβασης (Direct Access Tables) Οι πίνακες απευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων

Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Μηχανές Επεξεργασίας Πληροφοριών Μηχανές Πεπερασµένων Καταστάσεων Είναι µηχανές που δέχονται ένα σύνολο από σήµατα εισόδου και παράγουν ένα αντίστοιχο σύνολο σηµάτων εξόδου Σήµατα Εισόδου Μηχανή Επεξεργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα)

Ενότητα 10 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ενότητα 10 Γράφοι (ή γραφήµατα) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Γράφοι (ή Γραφήµατα) Ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο από σηµεία (που λέγονται κόµβοι) και ένα σύνολο από γραµµές (που λέγονται ακµές)

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 14: Δέντρα IV B Δένδρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: 2 3 Δένδρα, Εισαγωγή και άλλες πράξεις Άλλα Δέντρα: Β δένδρα, Β+ δέντρα, R δέντρα Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ231

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 9-1 Σωροί Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ουρές Προτεραιότητας Σωροί υλοποίηση και πράξεις Ο αλγόριθµος ταξινόµησης HeapSort Παραλλαγές Σωρών ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2012 ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2012 ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΤΕΤΑΡΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2012 ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 α Α2 γ Α3 δ Α4 β Α5 γ ΘΕΜΑ Β Β1. Σελ. 120 σχολ. βιβλίου: «Για την επιλογή οργάνων

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικες µεταβλητού µήκους

Κώδικες µεταβλητού µήκους 6 Κώδικες µεταβλητού µήκους Στο κεφάλαιο αυτό µελετώνται οι κώδικες µεταβλητού µήκους, στους οποίους όλες οι λέξεις δεν έχουν το ίδιο µήκος και δίνονται οι µέ- ϑοδοι Fano-Shannon και Huffman για την κατασκευή

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας

Ενότητα 7 Ουρές Προτεραιότητας Ενότητα Ουρές Προτεραιότητας ΗΥ4 - Παναγιώτα Φατούρου Ουρές Προτεραιότητας Θεωρούµε ένα χώρο κλειδιών U και έστω ότι µε κάθε κλειδί Κ (τύπου Key) έχει συσχετισθεί κάποια πληροφορία Ι (τύπου Type). Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Manual Prolink. Αυτόµατη Απενεργοποίηση. Για να ενεργοποιήσετε το πεδιόµετρο, φυσικά πατάτε το πλήκτρο

Manual Prolink. Αυτόµατη Απενεργοποίηση. Για να ενεργοποιήσετε το πεδιόµετρο, φυσικά πατάτε το πλήκτρο Manual Prolink Το παρόν manual αναφέρεται συγκεκριµένα για το Prolink-4. Όµως παρουσιάζοντας τις βασικές µόνο λειτουργίες του πεδιοµέτρου, το εγχειρίδιο αυτό θα φανεί χρήσιµο και στους χρήστες των Prolink-2

Διαβάστε περισσότερα

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους.

Μια οµάδα m σηµείων προσφοράς. Μια οµάδα n σηµείων ζήτησης. Οτιδήποτε µετακινείται απο σηµείο προσφοράς σε σηµείο ζήτησης είναι συνάρτηση κόστους. Να βρεθεί ΠΓΠ ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος µεταφοράς (το πρόβληµα βασίζεται σε αυτό των Aarik και Randolph, 975). Λύση: Για κάθε δυϊλιστήριο i (i=, 2, ) και πόλη j (j=, 2,, 4), θεωρούµε την µεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ουρά Προτεραιότητας: Heap

Ουρά Προτεραιότητας: Heap Ουρά Προτεραιότητας: Heap ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ομές εδομένων (Αναπαράσταση,) οργάνωση και διαχείριση συνόλων αντικειμένων για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΡΟΣ ΤΡΙΤΟ Ένταξη των Τ.Π.Ε. στην διδασκαλία και τη µάθηση I) ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Παύλος Γ. Σπυράκης (google: Paul Spirakis) Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα