Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του"

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 ο : Εισαγωγή στο δέντρο επιθεµάτων (Suffix Tree) και στις Εφαρµογές του Στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζουµε δυο ευέλικτες δενδρικές δοµές: το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree) και το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), που επιτρέπουν την αποδοτική αποθήκευση και διαχείριση συµβολοσειρών. Στο τέλος του κεφαλαίου περιγράφουµε τις βασικές εφαρµογές τους σε προβλήµατα Μοριακής Βιολογίας και ειδικότερα στην ανάλυση Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων µε σκοπό την αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων. 3.1 Το έντρο Επιθεµάτων Πριν ξεκινήσουµε την περιγραφή του έντρου Επιθεµάτων (Suffix Tree), θυµίζουµε ότι για µια συµβολοσειρά x = wv, όπου w, v Σ +, η υποσυµβολοσειρά, v, ονοµάζεται κανονικό επίθεµα του x. Εποµένως µια συµβολοσειρά S, µήκους S =m, έχει m δυνατά µη κενά επιθέµατα που είναι τα ακόλουθα: S[1 m], S[2 m],. S[m-1 m] και S[m]. Για παράδειγµα για τη συµβολοσειρά "sequence", τα δυνατά επιθέµατα είναι: sequence, equence, quence, uence, ence, nce, ce, e. Το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree), αποθηκεύει όλα τα δυνατά επιθέµατα της συµβολοσειράς S, όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήµα. x w b x c c 1 c x b c u c 4 b x c Σχήµα 1: Το έντρο Επιθεµάτων για τη συµβολοσειρά S=xbx Ορισµός-1: Το έντρο Επιθεµάτων (Suffix Tree), Τ, µιας συµβολοσειρά S µεγέθους m ( S =m) ορίζεται ως η κατευθυνόµενη δενδρική δοµή µε ακριβώς m φύλλα τα οποία είναι αριθµηµένα από το 1 µέχρι το m. Κάθε εσωτερικός κόµβος,ο οποίος δεν είναι η ρίζα, έχει τουλάχιστον δύο παιδιά και κάθε πλευρά - 1 -

2 αντιστοιχίζεται σε µία µη-µηδενική υπο-συµβολοσειρά του S. Οι υποσυµβολοσειρές των πλευρών που εξέρχονται από τον ίδιο κόµβο δεν επιτρέπεται να έχουν κοινό τον πρώτο τους χαρακτήρα. Τέλος κύριο χαρακτηριστικό του δένδρου επιθεµάτων είναι το γεγονός ότι αν ενώσουµε τις ετικέτες µονοπατιών (pth lbels) που συναντάµε σε µια διαδροµή από τη ρίζα προς κάποιο από τα φύλλα, (έστω το φύλλο µε αριθµό i), σχηµατίζουµε το επίθεµα της συµβολοσειράς S που ξεκινά από την θέση i, δηλαδή το S[i..m]. Από τον παραπάνω ορισµό δεν εξασφαλίζεται ότι υπάρχει έντρο Επιθεµάτων για κάθε συµβολοσειρά S. Για παράδειγµα αν από την συµβολοσειρά S=xbxc που είδαµε στο προηγούµενο παράδειγµα αφαιρέσουµε το τελικό χαρακτήρα c προκύπτει η συµβολοσειρά S =xbx για την οποία το επίθεµα S[4 5]=x δεν καταλήγει σε κάποιο φύλλο αλλά σε εσωτερικό κόµβο, αφού αποτελεί ταυτόχρονα και πρόθεµα της συµβολοσειράς. Για να αποφύγουµε αυτό το πρόβληµα κάνουµε την ακόλουθη θεώρηση: σε κάθε συµβολοσειρά, S, προσθέτουµε έναν επιπλέον τελικό χαρακτήρα (τερµατικό χαρακτήρα), ο οποίος δεν ανήκει στο αλφάβητο της συµβολοσειράς, άρα δεν εµφανίζεται πουθενά αλλού στην συµβολοσειρά. Συνήθως προστίθεται ως τερµατικός χαρακτήρας (termintion symbol) ο χαρακτήρας "". Ορισµός-2: Ορίζουµε ως Ετικέτα Μονοπατιού (Pth Lbel), από τη ρίζα του δέντρου σε κάποιο κόµβο, τη συµβολοσειρά που προκύπτει από τη συνένωση των υπο-συµβολοσειρών που συναντάµε από τη ρίζα στον αντίστοιχο κόµβο. Μια απλοϊκή θεώρηση για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, για µια συµβολοσειρά S, περιλαµβάνει τα ακόλουθα βήµατα: 1. Ένθεση µιας πλευράς στο δέντρο για το επίθεµα S[1 m], 2. ιαδοχική ένθεση των επιθεµάτων S[i m], για i=2 m. Στο πρώτο βήµα ο αλγόριθµος θεωρεί ότι το δέντρο αποτελείται µόνο από τη ρίζα και εισάγει σε αυτό το επίθεµα S[1..m], (ολόκληρη δηλαδή τη συµβολοσειρά και τον τερµατικό χαρακτήρα), µε αποτέλεσµα το δέντρο Ν 1 να αποτελείται από µια πλευρά µε ετικέτα "S" και ένα φύλλο αριθµηµένο µε τον αριθµό "1". Σε κάθε επόµενο βήµα δηµιουργούµε το δέντρο N i+1, από το δέντρο N i, ως εξής: ξεκινώντας από τη ρίζα του δέντρου N i, βρίσκουµε το µέγιστο σε µήκος µονοπάτι από τη ρίζα, για το οποίο η ετικέτα µονοπατιού ταιριάζει µε κάποιο πρόθεµα του S[i+1..m], (συγκρίνοντας διαδοχικά τους χαρακτήρες). Έστω ότι στο χαρακτήρα S[k], µε k i, έχουµε µη-ταίριασµα. Σε αυτή τη θέση υπάρχουν δύο δυνατές καταστάσεις: είτε βρισκόµαστε σε κάποιο κόµβο w του δέντρου N i είτε στο µέσο κάποιας πλευράς, µεταξύ των κόµβων (u,v). Στη δεύτερη περίπτωση χωρίζουµε την πλευρά στη µέση εισάγοντας ένα νέο εσωτερικό κόµβο, έστω w, αµέσως µετά τον τελευταίο - 2 -

3 χαρακτήρα του δέντρου που ταίριαζε σε κάποιον χαρακτήρα στο S[i+1 m]. H νέα πλευρά (u, w), έχει ως ετικέτα µονοπατιού το τµήµα της πλευράς (u,v), που ταιριάζει στην υπο-συµβολοσειρά S[i+1 m], ενώ η πλευρά (w, v), αποκτά ως ετικέτα µονοπατιού το υπόλοιπο της πλευράς (u,v). Στη συνέχεια (το βήµα αυτό είναι κοινό και στην 1 η και στη 2 η περίπτωση), ο αλγόριθµος δηµιουργεί µια νέα πλευρά (w, i+1), η οποία εκτείνεται από τον κόµβο w, σε ένα νέο φύλλο µε αριθµό "i+1". H νέα αυτή πλευρά έχει ως ετικέτα µονοπατιού από τη ρίζα στο φύλλο "i+1", το επίθεµα S[i+1..m]. Η απλοϊκή θεώρηση κατασκευής του έντρου Επιθεµάτων στοιχίζει O(m 2 ) χρόνο, για ένα αλφάβητο πεπερασµένου µεγέθους. υο διαδοχικά βήµατα του αλγορίθµου φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα. κοινό πρόθεµα x b x c 1 x w b x c c 1 c x b b x c c x b 4 b x c Σχήµα 2: Κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων µε την απλοϊκή προσέγγιση. Από το δέντρο Ν3 µεταβαίνουµε στο Ν4 εισάγοντας το επίθεµα S[4 6]=xc. Ξεκινώντας από τη ρίζα, παρατηρούµε ότι το S[4 5] αποτελεί κοινό πρόθεµα και µετά τον τελευταίο κοινό χαρακτήρα προσθέτουµε το νέο κόµβο w. Πιο αποδοτικοί αλγόριθµοι για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, έχουν προταθεί στη σχετική βιβλιογραφία, ξεκινώντας µε τον αλγόριθµο που παρουσίασε ο Weiner το 1973 [1], ο McCreight [2] τo 1976 και τέλος το 1995 ο Ukkonen [3], ο οποίος απαιτεί γραµµικό χρόνο O(n). 3.2 Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), αποτελεί ένα Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων το οποίο αποθηκεύει όλα τα δυνατά επιθέµατα ενός συνόλου συµβολοσειρών S={S 1,S 2, S n }, (σχήµα 3). Ορισµός-3: Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), GSΤ, ενός συνόλου συµβολοσειρών S ορίζεται ως η κατευθυνόµενη - 3 -

4 δενδρική δοµή µε ακριβώς S 1 + S 2 + S n. Κάθε µονοπάτι από την ρίζα προς κάποιο φύλλο αναπαριστά ένα επίθεµα το οποίο µπορεί να ανήκει σε µία ή παραπάνω συµβολοσειρές. Γι αυτό τον λόγο σε κάθε φύλλο σηµειώνονται οι συµβολοσειρές (ή συµβολοσειρά) στις οποίες ανήκει το αντίστοιχο επίθεµα καθώς και οι θέσεις που αρχίζει αυτό σε κάθε µία από αυτές. Για να κατασκευάσουµε το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων (Generlized Suffix Tree), ενός συνόλου συµβολοσειρών {S 1,S 2,,S m }, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οποιονδήποτε από τους αλγορίθµους που ήδη αναφέραµε για την κατασκευή του έντρου Επιθεµάτων, µία φορά για κάθε µία από τις συµβολοσειρές. Το µόνο που πρέπει να διευκρινιστεί είναι ότι κάθε εκτέλεση του αλγορίθµου πέραν της πρώτης δεν εισάγει τα επιθέµατα σε κάποια νέο δένδρο επιθέµατος αλλά σ αυτό που σχηµατίσθηκε από την πρώτη εκτέλεση. Επίσης ενηµερώνονται κατάλληλα οι πληροφορίες που υπάρχουν στα φύλλα. Συνολικά ο χρόνος που απαιτείται µέχρι την ολοκλήρωση της δηµιουργίας είναι γραµµικός στο άθροισµα των µηκών των συµβολοσειρών. 1,3 2,3 x b b 2,5 b x x b x 1,5 2,6 b x b b 2,2 2,4 1,1 1,4 1,2 2,1 Σχήµα 3: Το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για τις συµβολοσειρές S={xbx, bbxb} 3.3 Εφαρµογές στη Ανάλυση Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Σε αυτή την παράγραφο θα αναφέρουµε Εφαρµογές του έντρου Επιθεµάτων σε προβλήµατα ανάλυσης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων

5 Ακριβής Εύρεση Προτύπου Στο προηγούµενο κεφάλαιο, αναφερθήκαµε σε 3 βασικούς αλγορίθµους Ακριβούς Εύρεσης Προτύπου σε ακολουθίες, των οποίων η πολυπλοκότητα χρόνου είναι γραµµική ως προς το µήκος της ακολουθίας. Σε αυτή την παράγραφο θα περιγράψουµε πώς το έντρο Επιθεµάτων επιλύει µε αποδοτικό τρόπο το ίδιο πρόβληµα σε γραµµικό χρόνο ως προς το µήκος του προτύπου. Ας υποθέσουµε ότι η ακολουθία εισόδου T ( Τ = m), είναι εκ των προτέρων γνωστή και αναζητούµε το πρότυπο P, µεγέθους n. Το έντρο Επιθεµάτων επιλύει το πρόβληµα σε O(n+k) χρόνο, όπου k: το πλήθος των εµφανίσεων του P στο T. Όπως παρατηρούµε η πολυπλοκότητα είναι ανεξάρτητη από το µήκος της ακολουθίας, την οποία έχουµε αναπαραστήσει σε ένα προ-επεξεργαστικό βήµα, σε ένα έντρο Επιθεµάτων (θυµίζουµε ότι ο χρόνος κατασκευής του δέντρου επιθεµάτων είναι O( T )). Η µεθοδολογία είναι η εξής: 1. ηµιούργησε το έντρο Επιθεµάτων Τ, για την ακολουθία εισόδου Τ. 2. Στη συνέχεια ξεκινώντας από τη ρίζα, σύγκρινε έναν προς έναν τους χαρακτήρες του Ρ, ακολουθώντας το κατάλληλο µονοπάτι. Εάν εµφανιστεί κάποιο µη-ταίριασµα, τότε το πρότυπο δεν εµφανίζεται στην ακολουθία, διαφορετικά το πρότυπο εµφανίζεται και η λίστα των εµφανίσεων περιλαµβάνει όλα τα φύλλα του Τ, που βρίσκονται κάτω από τον κόµβο του τελευταίου χαρακτήρα του P. Ένα παράδειγµα φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. Το πρότυπο P=w, εµφανίζεται 3 φορές στα σηµεία 1,4,7.... y w x. z Σχήµα 4: Αναζήτηση του pttern P=w, στο δέντρο T=wywxwxz. Στην προηγούµενη προσέγγιση, η χρήση του έντρου Επιθεµάτων, είναι αποδοτική εφόσον η ακολουθία είναι εκ των προτέρων γνωστή οπότε για - 5 -

6 κάθε νέο πρότυπο που αναζητούµε δε χρειάζεται κάποιο βήµα προεπεξεργασίας. Στην αντίθετη περίπτωση, όταν το πρότυπο είναι γνωστό εκ των προτέρων οι αλγόριθµοι που παρουσιάσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, απαιτούν O(n) χρόνο προ-επεξεργασίας του προτύπου και Ο(m) χρόνο για την αναζήτηση Ακριβής Εύρεση Πολλαπλών Προτύπων Στο προηγούµενο κεφάλαιο, παρουσιάσαµε και τον τρόπο κατασκευής του Aho- Corsick αυτοµάτου για την αναζήτηση ενός συνόλου προτύπων P ( Ρ =n) σε µια ακολουθία T, ( T =m) σε χρόνο O(n+m+k P ), όπου k P : το πλήθος των εµφανίσεων όλων των προτύπων. Στην περίπτωση που η ακολουθία είναι εκ των προτέρων γνωστή, όπως και στην προηγούµενη εφαρµογή, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το έντρο Επιθεµάτων, το οποίο επιλύει το πρόβληµα Ακριβούς Εύρεσης ενός συνόλου προτύπων σε συνολικό χρόνο O(n+m+k P ). Η µεθοδολογία που περιγράψαµε στην προηγούµενη περίπτωση για ένα πρότυπο ακολουθείται για το σύνολο των προτύπων. Ποια είναι όµως τα πλεονεκτήµατα της χρήσης του έντρου Επιθεµάτων σε σχέση µε το αυτόµατο Aho- Corsick και πότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί η κάθε µέθοδος. Συγκρίνοντας τις 2 µεθόδους παρατηρούµε ότι η πολυπλοκότητα χρόνου, είναι η ίδια. Παρόλα αυτά στην περίπτωση που το σύνολο των προτύπων έχει µεγαλύτερο µέγεθος από την ακολουθία, n > m, το έντρο Επιθεµάτων χρησιµοποιεί λιγότερο χώρο. Σε προβλήµατα Μοριακής Βιολογίας το σύνολο των προτύπων που αναζητούµεβιβλιοθήκη δοσµένων DNA ακολουθιών-, είναι συνήθως µεγαλύτερο σε σχέση µε την ακολουθία εισόδου. Στην αντίθετη περίπτωση µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το αυτόµατο Aho- Corsick, αν και το έντρο Επιθεµάτων απαιτεί λιγότερο χρόνο. Οπότε σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένας συµβιβασµός στον απαιτούµενο χώρο και χρόνο, που µας καθοδηγεί ως προς ποια λύση θα χρησιµοποιήσουµε, ανάλογα µε τα δεδοµένα εισόδου Μέγιστη Κοινή Υπο-συµβολοσειρά 2 Ακολουθιών Ένα επίσης σηµαντικό πρόβληµα στην ανάλυση ακολουθιών είναι η εύρεση της µέγιστης σε µήκος κοινής υπο-συµβολοσειράς των ακολουθιών S 1 και S 2, που ονοµάζεται "longest common substring problem" στη διεθνή βιβλιογραφία. Για παράδειγµα οι ακολουθίες S 1 =superiorclifornilives και S 2 = seliver, έχουν ως µέγιστη κοινή υπο-συµβολοσειρά τη λέξη live. Ένας αποδοτικός τρόπος επίλυσης του παραπάνω προβλήµατος είναι η κατασκευή ενός Γενικευµένου έντρου Επιθεµάτων για τις ακολουθίες S 1 και S 2,, όπου κάθε φύλλο του δέντρου αναπαριστά είτε ένα επίθεµα µιας ακολουθίας είτε ένα κοινό επίθεµα που εµφανίζεται και στις 2 ακολουθίες. Σηµειώνουµε κάθε εσωτερικό κόµβο του δέντρου u, µε "1" ή "2", αν - 6 -

7 εµπεριέχει στο υπόδεντρο του u, κάποιο φύλλο που αναπαριστά κάποιο επίθεµα της ακολουθίας S 1 ή S 2. Η ετικέτα µονοπατιού - pth lbel, κάθε εσωτερικού κόµβου που σηµειώνεται ταυτόχρονα µε "1" και "2", αποτελεί µια κοινή υπο-συµβολοσειρά των δυο ακολουθιών S 1 και S 2,. Εντοπίζουµε όλες τις κοινές υπο-συµβολοσειρές και η µεγαλύτερη σε µήκος, αποτελεί την απάντηση στο πρόβληµα της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς. Η κατασκευή του Γενικευµένου έντρου Επιθεµάτων, στοιχίζει γραµµικό χρόνο ως προς το συνολικό µήκος των ακολουθιών S 1 και S 2, (Ο( S 1 + S 2 ), ενώ η διαπέραση των εσωτερικών κόµβων µε γνωστές τεχνικές γραµµικού επίσης χρόνου. Άµεση εφαρµογή της εύρεσης της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς δυο ακολουθιών στη Βιοπληροφορική αποτελεί το DNA Contmintion Problem. DNA Contmintion Problem: Για µια δοσµένη ακολουθία DNA S 1, που έχει πρόσφατα αποµονωθεί και ταυτοποιηθεί και µια ήδη γνωστή ακολουθία S 2, (επιµέρους τµήµατα που πιθανά έχουν µολυνθεί), αναζητούµε όλες τις υποσυµβολοσειρές της S 2 που εµφανίζονται στην S 1, µε µήκος µεγαλύτερο από l. To DNA Contmintion Problem, µπορεί να λυθεί σε γραµµικό χρόνο, επεκτείνοντας τη µεθοδολογία που περιγράψαµε για την εύρεση της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς δυο ακολουθιών. Αρχικά κατασκευάζουµε το Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για τις ακολουθίες S 1 και S 2. Σηµειώνουµε κάθε εσωτερικό κόµβο του δέντρου u, που εµπεριέχει στο υπόδεντρο του, κάποιο φύλλο που αναπαριστά κάποιο επίθεµα των ακολουθιών S 1 και S 2 και σε ένα τελευταίο βήµα αναφέρουµε όλους τους κόµβους µε βάθος string-depth(u) l. Αν δεν υπάρχουν τέτοιοι κόµβοι, τότε µε µεγάλη πιαθνότητα αλλά όχι µε απόλυτη σιγουριά, η ακολουθία DNA S 1 δεν έχει µολυνθεί από τα επιµέρους τµήµατα. Μια ευρύτερη θεώρηση του DNA Contmintion Problem είναι η ακόλουθη. Ας υποθέσουµε ότι διαθέτουµε ένα σύνολο συµβολοσειρών DNA P, που έχουν µολυνθεί (DNA string contminnts), και θέλουµε να εξετάσουµε αν µια πρόσφατα ταυτοποιηµένη ακολουθία DNA S 1, είναι µολυσµένη. Για να επιλύσουµε αυτό το πρόβληµα δηµιουργούµε ένα Γενικευµένο έντρο Επιθεµάτων για το σύνολο των προτύπων Ρ και την ακολουθία S 1, και αναζητούµε τους εσωτερικούς κόµβους που έχουν ως φύλλα στα υπόδεντρά τους κοινά επιθέµατα της ακολουθίας S 1 και ενός τουλάχιστον από τις συµβολοσειρές του συνόλου Ρ. Όλοι οι κόµβοι µε βάθος µεγαλύτερο του l, εµπεριέχουν ύποπτες υπο-συµβολοσειρές

8 Εύρεση Κοινών Μοτίβων σε 2 ή περισσότερες Βιολογικές Ακολουθίες Η αναζήτηση κοινών µοτίβων σε 2 ή περισσότερες ακολουθίες βιολογικών δεδοµένων (DNA, RNA, ή πρωτεϊνών) παρουσιάζει αρκετό ενδιαφέρον καθώς έχει µεγάλη βιολογική σηµασία. Η µετάλλαξη ακολουθιών του DNA, κατά την εξέλιξη 2 διαφορετικών ειδών, επηρεάζει τα τµήµατα των DNA και πρωτεϊνών, που είναι λιγότερο υπεύθυνα για τη λειτουργία των ζωντανών οργανισµών. Αντίθετα τα τµήµατα που επηρεάζουν τις βασικές λειτουργίες σε µοριακό επίπεδο, εµφανίζουν υψηλή σταθερότητα και σπάνια διαφοροποιούνται λόγω κάποιας µετάλλαξης. Εποµένως η εύρεση επαναλαµβανόµενων µοτίβων σε 2 ή περισσότερες ακολουθίες στοχεύει στην ανακάλυψη αυτών των υπο-συµβολοσειρών που ευθύνονται για τα δοµικά και λειτουργικά χαρακτηριστικά των βιολογικών µορίων (καθώς αυτά παραµένουν αναλλοίωτα). Ας δούµε πώς ορίζεται στο πρόβληµα. Το Πρόβληµα της Εύρεσης κοινών µοτιβων: Για ένα σύνολο Κ ακολουθιών µε συνολικό µήκος Σ( Κ )= n, και έναν ακέραιο k, (2<k<K), ορίζουµε ως l(k), το µήκος του µέγιστου µοτίβου που εµφανίζεται σε τουλάχιστον k υπο-συµβολοσειρές. Το πρόβληµα ανάγεται στον υπολογισµό όλων των δυνατών τιµών του l(k) και λύνεται σε γραµµικό χρόνο Ο(n), ως προς το µήκος των ακολουθιών εισόδου. Ας δούµε ένα παράδειγµα. Έστω Κ={sndollr, sndlot, hndler, grnd, pntry}. Οι τιµές του l(k), φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα, παρουσιάζοντας και τα αντίστοιχα κοινά µοτίβα. k l(k) µοτίβο 2 4 snd 3 3 nd 4 3 nd 5 2 n Το πρόβληµα µπορεί να λυθεί γενικεύοντας τη µεθοδολογία που παρουσιάσαµε για την επίλυση της µέγιστης κοινής υπο-συµβολοσειράς 2 ακολουθιών για περισσότερες ακολουθίες Εύρεση Επαναλήψεων σε Βιολογικές Ακολουθίες Σε αυτή την παράγραφο θα περιγράψουµε ορισµένα επαναληπτικά µοτίβα σε ακολουθίες Βιολογικών εδοµένων. Την εύρεση - 8 -

9 επαναλαµβανόµενων µοτίβων- επαναλήψεων, διαδέχεται η µελέτη της λειτουργίας που επιτελούν στην εξέλιξη των ζωντανών οργανισµών. Οι επαναλήψεις σε βιολογικές ακολουθίες κατηγοριοποιούνται στις εξής 3 βασικές κατηγορίες: α) επαναλήψεις περιορισµένου µήκους που εµφανίζονται σε τοπικό επίπεδο, και των οποίων η λειτουργία είναι γνωστή, β) επαναλήψεις περιορισµένου µήκους που εµφανίζονται σε όλο το µήκος της ακολουθίας, και των οποίων η λειτουργία δεν είναι απόλυτα γνωστή, γ) δοµηµένες επαναλήψεις µεγάλου µήκους των οποίων η λειτουργία δεν έχει προσδιοριστεί. Αρχικά θα ορίσουµε ορισµένες από τις σηµαντικότερες επαναλήψεις σε βιολογικές ακολουθίες: Ορισµός-4: Ένα παλίνδροµο- plindrome αποτελεί την επαναλαµβανόµενη εµφάνιση της υπο-συµβολοσειράς που διαβάζεται ως ίδιο και προς τις 2 κατευθύνσεις (από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά). Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: xyyx αποτελεί ένα παλίνδροµο. Ορισµός-5: Ένα παλίνδροµο σε µια ακολουθία DNA ή RNA, ονοµάζεται συµπληρωµατικό παλίνδροµο- complemented plindrome, αν προκύπτει από την αντικατάσταση όλων των χαρακτήρων από την αρχή έως τη µέση µε τις αντίστοιχες συµπληρωµατικές βάσεις. Για το DNA οι βάσεις Α & C είναι συµπληρωµατικές των Τ & G αντίστοιχα, ενώ για το RNA οι βάσεις Α & C είναι συµπληρωµατικές των U & G αντίστοιχα. Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: Χ= gctcgcggct αποτελεί ένα συµπληρωµατικό παλίνδροµο, αφού προκύπτει µε την αντικατάσταση των χαρακτήρων Χ[1..6] µε τις συµπληρωµατικές βάσεις που τοποθετούνται στις θέσεις Χ[7 12]. Στην πρώτη κατηγορία επαναλήψεων ανήκουν: τα συµπληρωµατικά παλίνδροµα σε ακολουθίες DNA & RNA, που ρυθµίζουν τη µετεγγραφή του DNA, τα εµφωλευµένα συµπληρωµατικά παλίνδροµα σε ακολουθίες trna, µικρού µήκους απλές επαναλήψεις στο DNA (παλινδροµικές και µη), κ.α. Στη δεύτερη κατηγορία επαναλήψεων ανήκουν: οι συνεχόµενες επαναλήψεις- tndem repets, σε ακολουθίες DNA. Για παράδειγµα η συµβολοσειρά: ttggg εµφανίζεται στις άκρες κάθε ανθρώπινου - 9 -

10 χρωµοσώµατος. Μεγαλύτερου µήκους συνεχόµενες επαναλήψεις είναι και τα δορυφορικά τµήµατα DNA- stellite DNA, που υποδιαιρούνται σε micro & mini stellite DNA, και εµφανίζονται στα γονιδιώµατα των θηλαστικών. Τέλος στην τρίτη κατηγορία επαναλαµβανόµενων µοτίβων ανήκουν τα: SINE-Short Interspersed Nucler Sequences και LINE-Long Interspersed Nucler Sequences. Τυπικό παράδειγµα SINE, αποτελεί η Alu fmily, η οποία επαναλαµβάνεται φορές µέσα στο ανθρώπινο γονιδίωµα και καλύπτει σε µήκος το 5% περίπου του ανθρώπινου DNA και άλλων γονιδιωµάτων θηλαστικών. Η αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων, αποτελεί σηµαντικό υπολογιστικό πρόβληµα στη Βιοπληροφορική, ειδικά µετά τη χαρτογράφηση του ανθρώπινου γονιδιώµατος, αφού στοχεύει στην αναγνώριση δεικτώνmrkers, που υποδεικνύουν σηµαντικές θέσεις ή λειτουργικά τµήµατα στις βιολογικές ακολουθίες. Επίσης η αναζήτηση επαναλαµβανόµενων µοτίβων, µπορεί να στηρίζεται είτε στην ακριβή είτε στην προσεγγιστική προσέγγιση. Βιβλιογραφικές Αναφορές 1. P.Weiner. Liner pttern mtching lgorithms. Proc. of the 14 th IEEE Symp. on Switching nd Automt Theory, E.M. McCreight. A spce-economicl suffix tree construction lgorithm. Journl of ACM, E. Ukkonen. On-Line construction of suffix trees. Algorithmic, Ιssue 14, D.Gusfield. Algorithms on strings, trees nd sequences. Cmbridge University Press,

Ερώτημα 1. Μας δίνεται μια συλλογή από k ακολοθίες, k >=2 και αναζητούμε το πρότυπο Ρ, μεγέθους n.

Ερώτημα 1. Μας δίνεται μια συλλογή από k ακολοθίες, k >=2 και αναζητούμε το πρότυπο Ρ, μεγέθους n. Πρώτο Σύνολο Ασκήσεων 2014-2015 Κατερίνα Ποντζόλκοβα, 5405 Αθανασία Ζαχαριά, 5295 Ερώτημα 1 Μας δίνεται μια συλλογή από k ακολοθίες, k >=2 και αναζητούμε το πρότυπο Ρ, μεγέθους n. Ο αλγόριθμος εύρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Συμβολοσειρές. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Συμβολοσειρές Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Συμβολοσειρές Συμβολοσειρές και προβλήματα που αφορούν συμβολοσειρές εμφανίζονται τόσο συχνά που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τεχνικές κατασκευής δένδρων επιθεµάτων πολύ µεγάλου µεγέθους και χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων

Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Κεφάλαιο 5 ο : Αλγόριθµοι Σύγκρισης Ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουµε 2 βασικούς αλγορίθµους σύγκρισης ακολουθιών Βιολογικών εδοµένων τους BLAST & FASTA. Οι δυο αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο : Αλγόριθµοι προσεγγιστικής εύρεσης προτύπου και στοίχισης συµβολοσειρών.

Κεφάλαιο 4 ο : Αλγόριθµοι προσεγγιστικής εύρεσης προτύπου και στοίχισης συµβολοσειρών. Κεφάλαιο 4 ο : Αλγόριθµοι προσεγγιστικής εύρεσης προτύπου και στοίχισης. Στα πλαίσια αυτού του κεφαλαίου παρουσιάζουµε τους βασικούς αλγορίθµους προσεγγιστικής εύρεσης προτύπου και στοίχισης. Όπως ήδη

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΙΣΤΟΣΕΛΙ ΑΣ ΣΤΟ MICROSOFT WORD Σε ορισµένες περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιµη η δηµιουργία ιστοσελίδων ενηµερωτικού περιεχοµένου οι οποίες στη συνέχεια µπορούν να δηµοσιευθούν σε κάποιο τόπο

Διαβάστε περισσότερα

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree)

Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εργαστήριο 7 Ισοζυγισµένο έντρο (AVL Tree) Εισαγωγή Εκτός από τα δυαδικά δέντρα αναζήτησης (inry serh trees) που εξετάσαµε σε προηγούµενο εργαστήριο, υπάρχουν αρκετά είδη δέντρων αναζήτησης µε ξεχωριστό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (Οι ερωτήσεις µε κίτρινη υπογράµµιση είναι εκτός ύλης για φέτος) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Q1. Οι Πρωταρχικοί τύποι (primitive types) στη Java 1. Είναι όλοι οι ακέραιοι και όλοι οι πραγµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο

Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο Κατακερµατισµός 1 Οργάνωση Αρχείων (σύνοψη) Οργάνωση αρχείων: πως είναι τοποθετηµένες οι εγγραφές ενός αρχείου όταν αποθηκεύονται στο δίσκο 1. Αρχεία Σωρού 2. Ταξινοµηµένα Αρχεία Φυσική διάταξη των εγγραφών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (4) - έντρα Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς έντρα 1 / 27 έντρα έντρο είναι απλό συνδεδεµένο µη

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 20 Huffman codes 1 / 12 Κωδικοποίηση σταθερού μήκους Αν χρησιμοποιηθεί κωδικοποίηση σταθερού μήκους δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 εκαδικό και υαδικό

3.1 εκαδικό και υαδικό Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Προτάσεις. έντρα. υαδικά έντρα Αναζήτησης ( Α) Ισοζυγισµένα έντρα και Υψος. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές.

Βασικές Προτάσεις. έντρα. υαδικά έντρα Αναζήτησης ( Α) Ισοζυγισµένα έντρα και Υψος. Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n 1 ακµές. Βασικές Προτάσεις έντρα Ορέστης Τελέλης Κάθε δέντρο µε n κόµβους έχει n ακµές. ικαιολόγηση: Με επαγωγή στο πλήθος των κόµβων, n. έντρο µε k εσωτερικούς κόµβους και l ϕύλλα έχει n = k + l κόµβους. tllis@unipi.r

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης. Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 8-1

ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 8-1 B-Δένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: 2-3 Δένδρα, Υλοποίηση και πράξεις Β-δένδρα ΕΠΛ 231 Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι 8-1 2-3 Δένδρα Γενίκευση των δυαδικών δένδρων αναζήτησης.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή ισχύει ότι S i S j =, για κάθε i,j µε i j και S 1 S k = U. Λειτουργίες q MakeSet(X): επιστρέφει

Διαβάστε περισσότερα

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing

Σε αυτό το µάθηµα. Εισαγωγή στις Μηχανές Turing. Μηχανή Turing (Turing Machine - TM) Μηχανές Turing. Παραδείγµατα Μηχανών Turing Σε αυτό το µάθηµα Εισαγωγή στις Μηχανές Turing Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Παραδείγµατα Μηχανών Turing Παραλλαγές: Πολυταινιακές, Μη ντετερµινιστικές

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Χειρισµός Βεβαρηµένων Ακολουθιών µε Χρήση Ανεστραµµένων Αρχείων και Δέντρων Επιθεµάτων ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 23: οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Ενδιάµεση Εξέταση Ηµεροµηνία : ευτέρα, 3 Νοεµβρίου 2008 ιάρκεια : 2.00-4.00 ιδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοµατεπώνυµο: ΣΚΕΛΕΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναµικός Προγραµµατισµός (ΔΠ)

Δυναµικός Προγραµµατισµός (ΔΠ) Δυναµικός Προγραµµατισµός (ΔΠ) Περίληψη Δυναµικός Προγραµµατισµός Αρχή του Βέλτιστου Παραδείγµατα Δυναµικός Προγραµµατισµός ΔΠ (Dynamic Programming DP) Μέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων Είναι µια γενική µεθοδολογία

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις

Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Στοιχειώδεις Κανονικές Εκφράσεις Κανονικές Εκφράσεις Γλώσσες που περιγράφονται από Κανονικές Εκφράσεις ηµιουργία Κανονικών Εκφράσεων Παραδείγµατα Κανονικών Εκφράσεων Τις Κανονικές εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος.

Σύνοψη Προηγούµενου. Κανονικές Γλώσσες (1) Προβλήµατα και Γλώσσες. Σε αυτό το µάθηµα. ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Σύνοψη Προηγούµενου Κανονικές Γλώσσες () ιαδικαστικά του Μαθήµατος. Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Εισαγωγή: Υπολογισιµότητα και Πολυπλοκότητα. Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D

Insert (P) : Προσθέτει ένα νέο πρότυπο P στο λεξικό D. Delete (P) : Διαγράφει το πρότυπο P από το λεξικό D Dynamic dictionary matching problem Έχουμε ένα σύνολο πρότυπων D = { P1, P2,..., Pk } oπου D το λεξικό και ένα αυθαίρετο κειμενο T [1,n] To σύνολο των πρότυπων αλλάζει με το χρόνο (ρεαλιστική συνθήκη).

Διαβάστε περισσότερα

Initialize each person to be free. while (some man is free and hasn't proposed to every woman) { Choose such a man m w = 1 st woman on m's list to

Initialize each person to be free. while (some man is free and hasn't proposed to every woman) { Choose such a man m w = 1 st woman on m's list to Κεφάλαιο 2 Δοµές Δεδοµένων Ι Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 Δοµές Δεδοµένων Ι Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε.

Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών. Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Ψηφιακά Δένδρα Μελετάμε την περίπτωση όπου αποθηκεύουμε ένα (δυναμικό) σύνολο στοιχειών τα οποία είναι ακολουθίες συμβάλλων από ένα πεπερασμένο αλφάβητο Ένα στοιχείο γράφεται ως, όπου κάθε. Μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΥΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΑΘΗΜΑ ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ 2012-13 Ι ΑΣΚΟΝΤΕΣ Ιωάννης Βασιλείου Καθηγητής, Τοµέας Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 6. Δυαδικά Δέντρα 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 18/11/2016 Εισαγωγή Τα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ισοδυναµία CFG και PDA. Σε αυτό το µάθηµα. Αυτόµατα Στοίβας Pushdown Automata Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Αυτόµατα Στοίβας Pushdown utomata Ισοδυναµία µε τις Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα:

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55 ΑΝΑ ΡΟΜΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μια µέθοδος είναι αναδροµική όταν καλεί τον εαυτό της και έχει µια συνθήκη τερµατισµού π.χ. το παραγοντικό ενός αριθµού Ν, µπορεί να καλεί το παραγοντικό του αριθµού Ν-1 το παραγοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Ψηφιακά Λεξικά

Κεφάλαιο 10 Ψηφιακά Λεξικά Κεφάλαιο 10 Ψηφιακά Λεξικά Περιεχόμενα 10.1 Εισαγωγή... 213 10.2 Ψηφιακά Δένδρα... 214 10.3 Υλοποίηση σε Java... 222 10.4 Συμπιεσμένα και τριαδικά ψηφιακά δένδρα... 223 Ασκήσεις... 225 Βιβλιογραφία...

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Φεβρουαρίου 0 / ένδρα Ενα δένδρο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε

Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν να σταµατούν να εκτελούνται σε Οµοφωνία σε σύστηµα µε αϖοτυχίες διεργασιών Παναγιώτα Φατούρου Κατανεµηµένα Συστήµατα 1 Το Πρόβληµα Οµοφωνίας Σύγχρονα Συστήµατα Μεταβίβασης Μηνύµατος Μοντέλο Κατάρρευσης (crash model) Οι διεργασίες µπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Το εσωτερικό ενός Σ Β

Το εσωτερικό ενός Σ Β Επεξεργασία Ερωτήσεων 1 Εισαγωγή ΜΕΡΟΣ 1 Γενική Εικόνα του Μαθήµατος Μοντελοποίηση (Μοντέλο Ο/Σ, Σχεσιακό, Λογικός Σχεδιασµός) Προγραµµατισµός (Σχεσιακή Άλγεβρα, SQL) ηµιουργία/κατασκευή Εισαγωγή εδοµένων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 11: Δέντρα Ι Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων

Διάλεξη 11: Δέντρα Ι Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων Διάλεξη 11: Δέντρα Ι Εισαγωγή σε Δενδρικές Δομές Δεδομένων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή σε δενδρικές δομές δεδομένων, Ορισμοί και πράξεις Αναπαράσταση δενδρικών δομών

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1.

Σύνοψη Προηγούµενου. Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα (2): Αυτόµατα Στοίβας. Παραδείγµατα Σχεδιασµού CFG. Παράδειγµα 1. Σύνοψη Προηγούµενου Γλώσσες χωρίς Συµφραζόµενα 2): Αυτόµατα Στοίβας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μη Κανονικές Γλώσσες Το Λήµµα της Αντλησης για τις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικη ιαχειριση Κειµενικης Πληροφοριας εικτοδοτηση, Αποθηκευση, Επεξεργασια και Εφαρµογες

Αποδοτικη ιαχειριση Κειµενικης Πληροφοριας εικτοδοτηση, Αποθηκευση, Επεξεργασια και Εφαρµογες Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων και Πληροφορικης Πανεπιστηµιο Πατρων Αποδοτικη ιαχειριση Κειµενικης Πληροφοριας εικτοδοτηση, Αποθηκευση, Επεξεργασια και Εφαρµογες Ευάγγελος Θεοδωρίδης Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων

771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων Σηµειώσεις Μέρος 2 ο ιδάσκων: Το παρόν αποτελεί σηµειώσεις που αντιστοιχούν σε µέρος των διαλέξεων για το µάθηµα 771 Η - Θεωρία Υπολογισµών και Αλγορίθµων του

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 11: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (2.3) Το Λήμμα της Άντλησης για ασυμφραστικές γλώσσες (2.3.1) Παραδείγματα 1 Πότε μια

Διαβάστε περισσότερα

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Πολίτη Όλγα Α.Μ. 4528 Εξάµηνο 8ο Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,

ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, B- ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: 2-3 ένδρα, Υλοποίηση και πράξεις Β-δένδρα ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου, 2006 8-1 2-3 ένδρα Γενίκευση των δυαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή.

Η NTM αποδέχεται αν µονοπάτι στο δέντρο που οδηγεί σε αποδοχή. Μη ντετερµινιστικές Μηχανές Turing - NTMs (1/6) Μηχανές Turing: Μη ντετερµινισµός, Επιλύσιµα Προβλήµατα Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς 10 εκεµβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές δοµές δεδοµένων. Ορολογία λιστών. 8.1 Βασικές έννοιες δοµών δεδοµένων 8.2 Υλοποίηση δοµών δεδοµένων 8.3 Μια σύντοµη υπόθεση εργασίας

Βασικές δοµές δεδοµένων. Ορολογία λιστών. 8.1 Βασικές έννοιες δοµών δεδοµένων 8.2 Υλοποίηση δοµών δεδοµένων 8.3 Μια σύντοµη υπόθεση εργασίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Αφηρηµένοι τύποι δεδοµένων 8.1 οµές δεδοµένων (data structures) 8.1 Βασικές έννοιες δοµών δεδοµένων 8.2 Υλοποίηση δοµών δεδοµένων 8.3 Μια σύντοµη υπόθεση εργασίας Αδόµητα δεδοµένα οδός Ζέας

Διαβάστε περισσότερα

Εξωτερική Αναζήτηση. Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή. Εξωτερική Μνήμη. Εσωτερική Μνήμη. Κρυφή Μνήμη (Cache) Καταχωρητές (Registers) μεγαλύτερη ταχύτητα

Εξωτερική Αναζήτηση. Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή. Εξωτερική Μνήμη. Εσωτερική Μνήμη. Κρυφή Μνήμη (Cache) Καταχωρητές (Registers) μεγαλύτερη ταχύτητα Ιεραρχία Μνήμης Υπολογιστή Εξωτερική Μνήμη Εσωτερική Μνήμη Κρυφή Μνήμη (Cache) μεγαλύτερη χωρητικότητα Καταχωρητές (Registers) Κεντρική Μονάδα (CPU) μεγαλύτερη ταχύτητα Πολλές σημαντικές εφαρμογές διαχειρίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Μεταγλωττιστών

Θέματα Μεταγλωττιστών Θέματα Μεταγλωττιστών Γιώργος Δημητρίου Ενότητα 1 η : Parsers Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας - Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Συντακτική Ανάλυση για ΓΧΣ Οι τεχνικές συντακτικής ανάλυσης κατηγοριοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί);

Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοί οι εγγενείς περιορισµοί των υπολογιστών ; Τί µπορούµε και τί δε µπορούµε να υπολογίσουµε (και γιατί); Μοντελοποίηση του Υπολογισµού Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ποιές οι θεµελιώδεις δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές

Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισµού (1): Τυπικές Γλώσσες, Γραµµατικές Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Υπολογισµού 1 /

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων

Πληροφορική 2. Δομές δεδομένων και αρχείων Πληροφορική 2 Δομές δεδομένων και αρχείων 1 2 Δομή Δεδομένων (data structure) Δομή δεδομένων είναι μια συλλογή δεδομένων που έχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη σχέση Παραδείγματα δομών δεδομένων Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #10 εικτοδότηση και Αναζήτηση Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Ανάκτηση Πληροφορίας 1 Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων. 18η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα. Ε. Μαρκάκης

Δοµές Δεδοµένων. 18η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα. Ε. Μαρκάκης Δοµές Δεδοµένων 18η Διάλεξη Ισορροπηµένα δέντρα Ε. Μαρκάκης Περίληψη Επανάληψη των Τυχαιοποιηµένων ΔΔΑ, Στρεβλών ΔΔΑ, Δέντρων 2-3-4 Δέντρα κόκκινου-µαύρου Λίστες Παράλειψης Χαρακτηριστικά επιδόσεων - συµπεράσµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα?

h/2. Άρα, n 2 h/2-1 h 2log(n+1). Πως υλοποιούµε τη LookUp()? Πολυπλοκότητα? Κόκκινα-Μαύρα ένδρα (Red-Black Trees) Ένα κόκκινο-µαύρο δένδρο είναι ένα δυαδικό δένδρο αναζήτησης στο οποίο οι κόµβοι µπορούν να χαρακτηρίζονται από ένα εκ των δύο χρωµάτων: µαύρο-κόκκινο. Το χρώµα της

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015

Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015 ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ B- Trees Δομές Δεδομένων Μπαλτάς Αλέξανδρος 21 Απριλίου 2015 ampaltas@ceid.upatras.gr Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ορισμός B- tree 3. Αναζήτηση σε B- tree 4. Ένθεση σε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων

Βασικές Έννοιες Δοµών Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Δοµές Δεδοµένων Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουµε ορισµένες Δοµές Δεδοµένων και θα τις χρησιµοποιήσουµε για την αποδοτική επίλυση του προβλήµατος του ευσταθούς ταιριάσµατος Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree)

υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εργαστήριο 6 υαδικό έντρο Αναζήτησης (BSTree) Εισαγωγή Οι περισσότερες δοµές δεδοµένων, που εξετάσαµε µέχρι τώρα (λίστες, στοίβες, ουρές) ήταν γραµ- µικές (ή δοµές δεδοµένων µιας διάστασης). Στην παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα