Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III-

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III-"

Ανδρομέδη Μοσχοβάκης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Capitolul 3 NELINIARITĂŢI ALE COMPORTAMENTULUI MATERIALELOR - III Criterii de plasticitate Criteriile de plasticitate au apărut din necesitatea de a stabili care sunt factorii de care depinde trecerea materialului în starea plastică. Cu alte cuvinte, ce condiţii trebuie să fie satisfăcute pentru ca deformaţiile produse într-un element al unei structuri să se menţină şi după înlăturarea încărcării. Criteriul de plasticitate reprezintă o condiţie care indică la ce nivel al tensiunii se iniţiază deformaţii plastice. În cazul unei solicitări monoaxiale, ce poate fi studiată prin teste de tipul celor descrise în 3.3.3, iniţierea deformaţiilor plastice are loc în punctul A din Fig. 3.5,a, având coordonatele ε c ; σ c. În cazul unei solicitări complexe, triaxiale, criteriul de plasticitate defineşte o suprafaţă limită a plasticităţii, reprezentând o generalizare a punctului de iniţiere a curgerii din solicitarea uniaxială în cazul spaţiului tridimensional al tensiunilor. În cazul unui corp aflat într-o stare spaţială de tensiune se acceptă că există o funcţie F σ ij, k, depinzând de componentele tensorului tensiunilor şi de un parametru de material k, astfel încât comportamentul materialului să fie elastic dacă F σ ij, k < 0 şi plastic dacă F σ ij, k = 0. În forma generală, un criteriu de plasticitate de curgere se poate scrie astfel: F σ ij, k = f σ ij k = 0, 3.34 unde f σ ij este o funcţie numai de tensiuni, numită funcţie de curgere de plasticitate. Parametrul de material k se poate obţine pe bază de studii experimentale. Există mai multe criterii de plasticitate, asociate cu teoriile de rezistenţă, care descriu condiţiile de producere a curgerii în cazul metalelor şi al materialelor ductile. Cele mai cunoscute sunt următoarele: Criteriul Rankine, al tensiunii normale maxime; Criteriul Tresca, al tensiunii tangenţiale maxime; Criteriul von Mises, al energiei de distorsiune maxime; Criteriile Mohr-Coulomb, Drucker-Prager, având la bază teoria dislocaţiilor. În continuare vor fi prezentate cele două criterii mai des utilizate în activitatea inginerească, în special pentru piese din materiale metalice.

2 a Criteriul Tresca Acest criteriu a fost enunţat de Saint-Vénant şi se bazează pe experienţele lui H.Tresca, cu privire la scurgerea metalelor prin orificii. Se enunţă astfel: Pentru o stare spaţială de tensiune curgerea se produce atunci când tensiunea tangenţială maximă din orice punct al materialului depăşeşte valoarea tensiunii tangenţiale corespunzătoare curgerii în cazul solicitării la tracţiune monoaxială. Planele pe care tensiunile tangenţiale au valori maxime se numesc plane de lunecare. Există două astfel de plane, care trec printr-una din direcţiile principale şi împart în două părţi egale unghiurile diedre respective ale triedrului 3, aşa cum s-a arătat în Cum tensiunea tangenţială maximă este valoarea absolută a uneia dintre cele trei tensiuni tangenţiale principale: τ = σ σ3 ; τ = σ 3 σ ; τ3 = σ σ, 3.35 condiţia de plasticitate enunţată mai sus se poate exprima astfel: sau τ τ c test uniaxial ; τ τ c test uniaxial ; sau τ3 τc test uniaxial. În cazul unui test uniaxial, σ = σ c ; σ corespunzătoare începerii curgerii este τ max = τ c 3.36 test uniaxial = = σ 3 = 0 şi deci tensiunea tangenţială σ = σ c Având in vedere relaţiile de mai sus, criteriul de plasticitate Tresca poate fi exprimat matematic sub forma: σ σ σ c; sau σ σ 3 σ c ; 3.38 sau σ 3 σ σ c. În cazul unei stări plane de tensiune unde σ 3 = 0 criteriul de plasticitate Tresca capătă forma: σ σ sau σ σ c; σ c; 3.39 sau σ σ c. Reprezentarea grafică a relaţiei 3.39 este dată în figura 3.9.

3 Dacă o stare plană de tensiune se află în interiorul hexagonului haşurat, se produc numai deformaţii elastice. Curgerea începe când starea de tensiune se află pe conturul hexagonului. OBSERVAŢIE: În cazul unei stări spaţiale de tensiune, criteriul de plasticitate Tresca poate fi reprezentat sub forma unei prisme cu şase feţe, prezentată în figura 3.0. Analog cu figura 3.9, toate punctele de pe această suprafaţă reprezintă stări limită de tensiune plastică iar cele din interior corespund stărilor elastice. Fig.3.9 Fig.3.0 b Criteriul von Mises Acest criteriu are la bază consideraţii energetice. Energia specifică de deformaţie se poate descompune în două părţi, una asociată variaţiei volumului corpului efect al tensorului sferic, având componentele σ = σ = σ 3 = σ m şi alta asociată schimbării formei corpului efect al tensorului deviator care are drept componente tensiunile normale principale reduse si - relaţia 3.8. Experimental s-a dovedit că deformaţiile plastice sunt determinate de tensorul deviator. Criteriul de plasticitate von Mises se poate enunţa astfel: În cazul unei stări spaţiale de tensiune curgerea se produce atunci când energia specifică de schimbare a formei corpului energia specifică de distorsiune depăşeşte valoarea energiei specifice de distorsiune corespunzătoare curgerii la solicitarea la tracţiune monoaxială. În concordanţă cu această condiţie de plasticitate, curgerea începe când: U f stare spatiala = U f test uniaxial

4 Energia specifică de schimbare a formei unui corp dintr-un material izotrop caracterizat de constantele elastice E şi ν, aflat într-o stare spaţială de solicitare, are forma: U f = [ + ν σ σ 6E + σ ] σ 3 + σ 3 σ. În cazul unui test uni-axial tracţiune mono-axială σ = σ c ; σ energia specifică de schimbare a formei corpului este U f test uniaxial = 6+Eν σ = + ν σ c. 6E 3.4 = σ 3 = 0, iar 3.4 Ţinând seamă de relaţiile , rezultă expresia matematică a criteriului de plasticitate von Mises: [σ ] σ + σ σ 3 + σ 3 σ = σ c Comparând 3.43 cu 3.34, rezultă că în cazul criteriului de plasticitate von Mises funcţia de plasticitate este f σ ij = σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ, 3.44 iar parametrul de material este k= σ c Ţinând seamă de 3., criteriul de plasticitate von Mises se poate exprima în funcţie de intensitatea tensiunilor tangenţiale S astfel: 3 S = σ c, 3.46 adică S= k 6 = cons tan t În concluzie, criteriul de plasticitate von Mises este echivalent cu condiţia de constanţă a intensităţii tensiunilor tangenţiale τ + τ + τ 3 = const.. În cazul stărilor plane de tensiune σ 3 = 0, condiţia de plasticitate se scrie sub forma 3.48 σ σ σ + σ = σ c, care este ecuaţia unei elipse având forma din figura 3.. 4

5 Cele opt puncte marcate pe elipsă s-au obţinut astfel: Test uniaxial: σ = 0; σ = ± σ c ; σ = 0; σ = ± σ c. Tracţiune bi-axială: σ = σ ; σ = σ = ± σ c. Torsiune forfecare pură: σ = σ ; σ = ± 3 ± 0,577 σ c. În figura 3. se prezintă interpretarea geometrică, în spaţiul tensiunilor principale, a suprafeţei limită de plasticitate pentru o stare spaţială de tensiune. Punctele din interiorul elipsei în cazul stării plane de tensiune, respectiv cele din interiorul cilindrului în cazul stării spaţiale reprezintă deformaţii elastice. Fig.3. Fig.3. Pentru a face o comparaţie între cele două criterii, în figura 3.3,a se prezintă, pe aceeaşi figură, interpretările geometrice ale acestora pentru stări plane de tensiune. Se poate constata că diferenţa este foarte mică. De exemplu, în cazul stării de forfecare pură, criteriul von Mises dă o valoare a tensiunii de forfecare corespunzătoare curgerii cu aprox.5% mai mare decât valoarea determinată cu criteriul Tresca. În figura 3.3,b s-au reprezentat, pe aceeaşi figură, în spaţiul tridimensional al tensiunilor principale, suprafeţele limită corespunzătoare celor două criterii. Axa OP, egal înclinată faţă de direcţiile principale, este normală la planul octaedric numit şi planul π, de ecuaţie σ + σ + σ 3 = 0 şi are cosinusurile directoare / 3 ; / 3 ; / 3. Starea de tensiune dintr-un punct al corpului poate fi descrisă de un vector OA punctul A se află pe suprafaţa limită, ce poate fi descompus în două componente: OH, în lungul axei OP, reprezentând componenta hidrostatică σ = σ = σ 3 = σ m şi componenta OD, perpendiculară pe direcţia OP, aflată în planul π, reprezentând componenta tensorului deviator cu componentele s, s, s3. Curbele L, care reprezintă intersecţia suprafeţelor limită cu planul π, se numesc curbe de curgere. 5

6 a b Fig.3.3 Teste la tracţiune bi-axială au demonstrat o mai bună concordanţă cu rezultatele experimentale a criteriului von Mises decât a criteriului Tresca, mai ales în cazul materialelor metalice. 6

Σχετικά έγγραφα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe