Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων

Transcript

1 Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Εισαγωγή Μου τη δίνουν τα δίκτυα και οι συνορθώσεις!! Ουφ.. όλο γκρίνια είσαι! Μελέτησε υπομονετικά αυτά που θα σου πω και θα δεις τι εύκολα που είναι...

3 Γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc x x δx Στην ενότητα αυτή θα δούμε τις διάφορες παραλλαγές του παραπάνω αλγορίθμου ανάλογα με τον τύπο των επιλεγμένων δεσμεύσεων (Η) & του πίνακα βάρους τους (W) που χρησιμοποιείται στη συνόρθωση του δικτύου.

4 Γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc x x δx Θα εξετασθούν οι εξής περιπτώσεις: χρήση ελάχιστων ή πλεοναζουσών δεσμεύσεων χρήση απόλυτων δεσμεύσεων (W ) διατήρηση σταθερών προσεγγιστικών συντεταγμένων τμηματική εισαγωγή πλεοναζουσών δεσμεύσεων (διαχωρισμένος αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου)

5 Χρήση ελάχιστων δεσμεύσεων T 1 T ( ) ( ) δx N H H u H c x x δx Θα ισχύει: Hδx c Nδx u Η παραπάνω λύση είναι ισοδύναμη με αυτή που προκύπτει από τον γενικό αλγόριθμο συνόρθωσης δικτύου. (αυτό ισχύει μόνο για ελάχιστες δεσμεύσεις) Να θυμάστε ότι: - οι λύσεις ελάχιστων δεσμεύσεων δεν επηρεάζονται από τον πίνακα βάρους W. - οι ελάχιστες δεσμεύσεις συμπεριφέρονται πάντα ως απόλυτες δεσμεύσεις χωρίς να παραμορφώνουν το δίκτυο.

6 Χρήση ελάχιστων δεσμεύσεων T 1 T ( ) ( ) δx N H H u H c x x δx Θα ισχύει: Hδx c Nδx u (*) όταν Η = Ε τότε λαμβάνουμε τη λύση συνόρθωσης δικτύου με τις λεγόμενες εσωτερικές δεσμεύσεις. (βλέπε επόμενο μάθημα)

7 Εναλλακτικός αλγόριθμος για ελάχιστες δεσμεύσεις Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ο παρακάτω ισοδύναμος αλγόριθμος: T 1 T T 1 ( ) δx NH H u E ( HE ) c x x δx Θα ισχύει: όπου Ε είναι ο πίνακας των εσωτερικών δεσμεύσεων. Hδx c Nδx u

8 Αλγόριθμος για πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις 1 1 T T 1 δx ( R R H S HR ) u R H S c x x δx Hδx Θα ισχύει: Βοηθητικοί πίνακες: c Nδx T u RNH H 1 T SHR H Ο παραπάνω αλγόριθμος αντιστοιχεί στη λύση του γενικού αλγορίθμου συνόρθωσης δικτύου T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc όταν ο πίνακας βάρους W

9 Εναλλακτικός αλγόριθμος για πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις Από πρακτική σκοπιά, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί και ο γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου: T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc x x δx με πολύ μεγάλες τιμές για τον πίνακα βάρους των πλεοναζουσών δεσμεύσεων (σταθερών συντ/νων), π.χ. 1 W I 0.01 mm 2 ακρίβεια γνωστών σταθμών αναφοράς

10 Διαχωρισμένος αλγόριθμος για πλεονάζουσες απόλυτες δεσμεύσεις (σελ. 245 βιβλίου) Λύση ελαχίστων δεσμεύσεων: H δx c 1 1 Λύση πλεοναζουσών δεσμεύσεων: H1 c1 δx H c ( ) ( ) δx N H H u H c T T δx δx KH ( H KH ) ( H δx c ) T T βοηθητικός πίνακας: 1 1 K ( NH H ) N( NH H ) T T

11 Απλός αλγόριθμος για σταθερές προσεγγιστικές συντεταγμένες Nδx u N11 N 12 δx 1 u1 T ( 12) N N δx u ( ) 11 1 δx N u N δx N u N11 N 12 δx 1 u1 T ( 12) N N δx u δx 0 (*) Διαγραφή γραμμών και στηλών από το αρχικό σύστημα Κ.Ε! x2 x x δx x δx N u

12 Απλός αλγόριθμος για σταθερές προσεγγιστικές συντεταγμένες Εξισώσεις παρατηρήσεων δικτύου δx b A A v δx v ~ ( 0, P ) Η διαγραφή στηλών από τον πίνακα σχεδιασμού υπονοεί τη χρήση των παρακάτω απόλυτων δεσμεύσεων: δx 0 2 Σύστημα κανονικών εξισώσεων και λύση: T T ( A PA ) δx A Pb δx N u x 2 x x x δx

13 Σχόλια Ο προηγούμενος απλός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου αντιστοιχεί στον κλασσικό τρόπο επίλυσης απλών ασκήσεων συνόρθωσης που έχετε μελετήσει στο 4 ο εξάμηνο. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος μπορεί εύκολα να εφαρμοσθεί για την λύση μικρών προβλημάτων συνόρθωσης με το χέρι, αλλά είναι αρκετά περιοριστικός για γενικευμένη χρήση. Αντίθετα, ο γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης είναι αυτός που κατεξοχήν εφαρμόζεται σε όλα τα λογισμικά επίλυσης δικτύων. Ο απλός αλγόριθμος δεν παρέχει προγραμματιστική ευκολία για την επιλογή εναλλακτικών σετ σταθερών συντεταγμένων, και αποτρέπει τη χρήση σημαντικών τύπων δεσμεύσεων για τον ορισμό του ΣΑ (π.χ. εσωτερικές δεσμεύσεις, δεσμεύσεις με βάρη).

14 Παρατήρηση Ο γενικός αλγόριθμος συνόρθωσης δικτύου T 1 T ( ) ( ) δx N H WH u H Wc x x δx (1) δx δx δx 1 2 για την περίπτωση σταθερών προσεγγιστικών συντ/νων μπορεί να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας: H 0 I c 0 W W 0, 1 Σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται αναλυτικά ότι: Εξ. (1) δx N u δx 0 2

15 Αλγόριθμος συνόρθωσης με χρήση πίνακα βάρους για όλα τα σημεία του δικτύου δx ( NW) 1 u x x δx Διαχωρισμός σημείων δικτύου σε 2 ομάδες: δx δx δx όπου W είναι διαγώνιος πίνακας βάρους με γενική μορφή: 1 2 W 1 0 W 0 W 2 (*) αν W 1 << W 2 τότε το ΣΑ του δικτύου υλοποιείται ουσιαστικά από τις προσεγγιστικές συντ/νες των σημείων της 2 ης ομάδας.

16 Υπολογισμός συνορθωμένων παρατηρήσεων και σφαλμάτων

17 Υπολογισμός συνορθωμένων παρατηρήσεων και σφαλμάτων Μέσω του αυστηρού θεωρητικού μοντέλου: y f( x) f( x δx) v y y y f( x ) Μέσω του γραμμικοποιημένου μοντέλου: y y Aδx f( x ) Aδx v y y b Aδx

18 Υπολογισμός συνορθωμένων παρατηρήσεων και σφαλμάτων Μέσω του αυστηρού θεωρητικού μοντέλου: y f( x) f( x δx) v y y y f( x ) Μέσω του γραμμικοποιημένου μοντέλου y y Aδx f( x ) Aδx v y y b Aδx Ισοδύναμα αποτελέσματα όταν εφαρμόζεται επαναληπτικός αλγόριθμος συνόρθωσης (για την ελαχιστοποίηση των σφαλμάτων γραμμικοποίησης)

19 Υπολογισμός συνορθωμένων παρατηρήσεων και σφαλμάτων (όταν συμμετέχουν και πρόσθετες παράμετροι) Μέσω του αυστηρού θεωρητικού μοντέλου: y f( x, q) f( x δx, q δq) v y f( x, q ) Μέσω του γραμμικοποιημένου μοντέλου: y f( x, q ) Aδx Bδq v b Aδx Bδq

20 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Από συνόρθωση δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις σ 2 T v Pv f Δεν εξαρτάται από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ. Η τιμή της επηρεάζεται από συστηματικά/χονδροειδή σφάλματα στις μετρήσεις δικτύου και από την ορθότητα του πίνακα βάρους Ρ. Μπορεί να αξιοποιηθεί για τον ολικό έλεγχο αξιοπιστίας του δικτύου και την ποιοτική αξιολόγηση των μετρήσεων.

21 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Από συνόρθωση δικτύου με πλεονάζουσες δεσμεύσεις σ 2 T v Pv f Επηρεάζεται από τον τρόπο ορισμού του ΣΑ. Η τιμή της επηρεάζεται από συστηματικά/χονδροειδή σφάλματα στις μετρήσεις και στις ψευδο-παρατηρήσεις, και από την ορθότητα του πίνακα βάρους Ρ. Μπορεί να αξιοποιηθεί για τον έλεγχο αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων (π.χ. έλεγχος ένταξης δικτύου) αλλά όχι για την ποιοτική αξιολόγηση των μετρήσεων.

22 Σχόλιο (1) Τα παρακάτω μεγέθη παραμένουν αναλλοίωτα κατά τη συνόρθωση ενός δικτύου με ελάχιστες δεσμεύσεις! Συνορθωμένες παρατηρήσεις και συνορθωμένα σφάλματα ŷ v Βαθμοί ελευθερίας συνόρθωσης A psteriri εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς f σ 2 Αντίθετα, η λύση δx και οι τελικές συντεταγμένες των κορυφών του δικτύου εξαρτώνται από την επιλογή των ελαχίστων δεσμεύσεων.

23 Συνόρθωση του ίδιου δικτύου με διαφορετικές ελάχιστες δεσμεύσεις (x) (x,y) (x,y) (x)

24 Σχόλιο (2) Στην περίπτωση συνόρθωσης με πλεονάζουσες δεσμεύσεις όλα τα χαρακτηριστικά μεγέθη που απαρτίζουν τη λύση δικτύου, δηλαδή: δx x ŷ v σ 2 εξαρτώνται τόσο από την επιλογή των δεσμεύσεων (c, H) όσο και από τον πίνακα βάρους (W) με τον οποίο αυτές εισάγονται στην συνόρθωση του δικτύου.

25 Συνόρθωση του ίδιου δικτύου με ελάχιστες και πλεονάζουσες δεσμεύσεις (x) (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) (x,y)

26 Ελάχιστες ή πλεονάζουσες δεσμεύσεις ; Πλεονεκτήματα ελάχιστων δεσμεύσεων η γεωμετρική μορφή του συνορθωμένου δικτύου δεν επηρεάζεται από τον ορισμό του συστήματος αναφοράς. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον ποιοτικό έλεγχο των μετρήσεων (ανίχνευση μη-τυχαίων σφαλμάτων, έλεγχος στοχαστικού μοντέλου, κ.λπ.). Πλεονεκτήματα πλεοναζουσών δεσμεύσεων βελτιώνει τη λύση ελάχιστων δεσμεύσεων σε περιπτώσεις δικτύων με μετρήσεις μέτριας ή κακής ποιότητας. μπορεί να ενδυναμώσει την ένταξη του δικτύου σε κάποιο προυπάρχον πλαίσιο αναφοράς συντεταγμένων.

27 Εισαγωγή επιπλέον γεωμετρικών δεσμεύσεων στη συνόρθωση δικτύων

28 Εισαγωγή γεωμετρικών δεσμεύσεων Σε ορισμένες εφαρμογές, εκτός από τις απαιτούμενες ψευδο-παρατηρήσεις για τον ορισμό του ΣΑ κατά τη συνόρθωση ενός δικτύου: b Aδx v 2 1 v ~ ( 0, P ) c Hδx v v ~ ( 0, C v ) μπορεί να υπάρχει και η ανάγκη εισαγωγής πρόσθετων δεσμεύσεων καθαρά γεωμετρικού χαρακτήρα: d Kδx π.χ. συνθήκη συγγραμικότητας σημείων, συνθήκη καθετότητας ευθειών, κ.λπ.

29 Εισαγωγή γεωμετρικών δεσμεύσεων Οι πρόσθετες γεωμετρικές δεσμεύσεις μπορούν γενικά να εισαχθούν στη συνόρθωση ενός δικτύου με δύο εναλλακτικούς τρόπους: ταυτόχρονα με τις δεσμεύσεις του ΣΑ χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους αλγόριθμους συνόρθωσης πλεοναζουσών δεσμεύσεων. μετά από τις δεσμεύσεις του ΣΑ χρησιμοποιώντας το διαχωρισμένο αλγόριθμο εισαγωγής πλεοναζουσών δεσμεύσεων.

30 Συμπερασματικά Μου κάνεις πλάκα ότι όλα αυτά ήταν εύκολα ; Εμ, εντάξει..ίσως όχι και τόσο! Αλλά για να τα μάθεις πρέπει να σταματήσεις τη γκρίνια και να στρωθείς στο διάβασμα!