n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "n x 2 i x i x 2 i 1 x i A n = אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף."

Transcript

1 סיכומים בחדו"א 2 שירי ארטשטיין 22 co כל הזכויות שמורות לשירי ארטשטיין. אין להעתיק, לשכפל, לצלם, לתרגם, להקליט, לשדר, לקלוט ו/או לאכסן במאגר מידע בכל דרך ו/או אמצעי מכני, דיגיטלי, אופטי, מגנטי ו/או אחר חלק כלשהו מן המידע ו/או המאמרים ו/או התמונות ו/או האיורים ו/או כל תוכן אחר שצורף ו/או נכלל במסמך זה, בין אם לשימוש פנימי ו/או לשימוש מסחרי. co א. אינטגרלים הקדמה. שטח של מלבן בעל צלעות,b הוא כמובן.b נאמר שרוצים לחשב את השטח מתחת לגרף של f : [, ] R, f(x) = x 2 נבחר נקודות = n = x < x < < x ונסמן i. x i = x i x כאן.i =,..., n נביט בשני הסכומים A n = n x 2 i x i A n = i= n x 2 i x i i= אשר מייצגים את השטח של איחוד של מלבנים, במקרה אחד החוסמים את הגרף מבחוץ, ובמקרה השני אשר חסומים בתוך הגרף. השטח האמיתי A מקיים, אינטואיטיבית לפחות,.A n A A n x i = i n ועבורן נחשב את הסדרות הללו נבצע בחירה קונקרטית של הנקודות: A n = n i= (i ) 2 n 2 n = n 3 n (i ) 2 = n n 3 i= i= i 2 A n = n i= i 2 n 2 n = n 3 n i= i 2

2 אפילו לפני שניגש לחישוב הסכום, אנו רואים כי = n A n A כך שלפי כלל הסנדוויץ, שני n הגבולות יהיו שווים ל A. את החישוב עצמו נבצע על פי נסחא לסכום סופי של ריבועי המספרים הטבעיים, נסחה שנלמדה בתיכון ושניתן להוכיח בקלות באינדוקציה m i 2 = i= m(m + )(2m + ) 6 הערה: את הנסחא לסכום של חזקות שלישיות אתם זוכרים? m i= i 3 = m2 (m + ) 2 4 כדאי לכם לחשוב על הוכחה גיאומטרית של אי שווינים אלה (התחילו בסכום המספרים עצמם). נקבל אם כך כי ) + )(2n A n = (n + וכך גם הגבול השני. 6n 2 3 ביצוע תהליך זהה עבור הפונקציה f : [, ] R, f(x) = 4 x3 תתן את הערך. דברים אלה נעשו על ידי פרמה בשנת 636, אבל כבר ארכימדס השתמש בשיטה של "מיצוי" כדי לחשב שטח של מעגל בקירוב טוב כרצוננו (אפילו המושג של "טוב כרצוננו" קיים אצל ארכימדס), כך שהרעיון הבסיסי היה מצוי. אם רוצים לבצע תהליך דומה עבור f(x) = x α R, f : [, ] כאשר >,α יותר קל לעבוד עם סדרת נקודות אחרת, שאיננה שוות מרחקים. (התוצאה, כפי שניתן לנחש, היא תמיד הבה נדגים זאת..( α+ לשם יצירת סדרת הנקודות, נבחר מספר < θ <, כאשר עליכם לחשוב עליו כעל קרוב ל. נגדיר את y i = θ i כאשר n i =,,..., ואז את x i נגדיר להיות אותה סדרה אבל בסדר הפוךת זאת אומרת = n.x =, x = y n, x 2 = y n 2,, x n = y, x שימו לב שאף על פי שהסדרה סופית, על ידי בחירה של n הולך ועולה, ניתן למעשה לעבוד עם הסדרה האינסופית y i = θ i ואז הסדרה יורדת מ ועד ל ואין דרך "לסדר" אותה כעולה. הדבר לא צריך להפריע לכם כהוא זה, מה גם שעוד לא הגדרנו דברים במדויק אלא אנו עוסקים בדוגמא בלבד. 2

3 עבור כל מספר < θ < נחשב שני סכומים A θ = (θ i θ i+ )θ iα i= A θ = (θ i θ i+ )θ (i+)α i= שני הביטויים ניתנים בקלות לחישוב, שכן המדובר בסדרות הנדסיות. למשל A θ = (θ i θ i+ )θ iα = i= θ i(α+) ( θ) = i= θ θ α+ כעת ניקח את הגבול כאשר θ דהיינו המרווחים שואפים לגודל אפסי. שימו לב המרווח הגדול ביותר כאן הוא הראשון, שאורכו. נקבל ששני הגבולות שווים ל α+ נעיר שהשיטה עובדת לכל > α אבל צריך הרבה "אומץ" כדי לעבור מתחום חסום, כמו של α לתחום לא חסום, כמו של < α <. למשל, עבור הפונציה f(x) = / x נקבל שני שטחים ריבוע ששטחו אחד, וצורה לא חסומה שעל פי החישוב גם ה"שטח" שלה הוא. כאשר מיישמים את השיטה עבור הפונקציה f(x) = x/ או חזקות אחרות הקטנות מ ( )מקבלים שהגבול הוא. 3

4 2 פונקציה קדומה עבור = α, גם השטח מתחת לגרף של f(t) = t/ בקטע (,] יוצא אינסופי, שכן מדובר בדיוק באותו השטח עליו דיברנו בסעיף הקודם, מסובב ב 9. אבל אם נחשב את השטח הכלוא מתחת לגרף ומעל לקטע [x,], נאמר, כאשר > x, נקבל מספר סופי. המספר הזה, מפתיע או לא יוצא בדיוק.ln(x) איך יוצא דבר כזה? נסמן את השטח הנ"ל ב ( A(x. נחשב את A(x + x) = A(x) + x x + o( x) לכן A (x) = x/ וזה אומר ש A(x) = ln(x) + c שכן כבר יש לנו בנמצא פונקציה שנגזרתה x/ וכל שתי פונקציות כאלה (בעלות נגזרת זהה) נבדלות בקבוע. משום שעל פי בחירתנו, = ()A, אנו רואים כי = c. זה כמובן חלק של עקרון יותר כללי שנלמד אותו בהקדם, ושנקרא משפט ניוטון לייבניץ (סוף המאה ה 7 ). הוא אומר שלפונקציה שהיא השטח תחת גרף של פונקציה אחרת (בעלת תכונות מסוימות) יש נגזרת, שהיא ערך הפונקציה בנקודה. לכן אנו רואים שכדאי לפתח שיטות למציאת פונקציה כך שנגזרתה שווה לפונקציה נתונה. התהליך הזה נקרא "מציאת פונקציה קדומה". הגדרה 2. תהיינה.F, f : (, b) R נאמר ש F היא קדומה של f אם F גזירה בכל b),(, ומתקיים.F (b) = f(b) וכן ש F +() = f() נדרוש גם ש [, b] בקטע סגור.x (, b) לכל F (x) = f(x) לאוסף כל הקדומות של פונקציה קוראים לפעמים "האינטגרל הלא מסויים שלה". הערות. 2.2 קבועים לא משנים 2. כל שתי קדומות נבדלות בקבוע (חדו"א ) 3. למצוא אותן כעקרון קשה יותר מלגזור והשיטות הקיימות תלמדנה בתירגולים 4. יש פונקציות אלמנטריות (ולמעשה לרובן) כך שהפונקציה הקדומה שלהן איננה אלמנטרית. אחת הדוגמאות החשובות היא הקדומה של הגאוסיין. e x2 2/ מסמנים אותה (מנורמלת) Φ(x) = 2π x 4 e t2 /2 dt

5 שזהו סימון לאינטגרל מסויים (שנלמד עוד מעט) אבל אפשר להוכיח שלא ניתן להציג ותהי באמצעות הפונקציות האלמנטריות ללא שימוש בגבולות. 3 אינטגרל רימן בקטע סופי וסגור 3. הגדרות וסימונים אזי הגדרה 3. [חלוקה] בהנתן קטע b],[, קבוצה סופית של נקודות } n Π = {x,..., x תקרא חלוקה של הקטע אם. = x < x < < x n < x n = b שימו לב שהקבוצה מראש איננה מסודרת, אבל אנחנו רושמים אותה לפי סדר עולה וללא כפילויות כדי להקל על הכתיבה. לקטע ] i x] i, x נקרא תת הקטע הi י, כך שמדובר ב n תת קטעים כאלה, כל שניים עוקבים נחתכים בנקודה, והם ממצים את הקטע כולו. Π מסומנת λ(π) ומוגדרת להיות אורך תת הקטע הגדול ביותר, דהיינו, אם נסמן i x i = x i x λ(π) = mx i=,...,n x i ששימו לב שהחלוקות שלנו תמיד סופיות כאן. בפרט, המקרה למעלה עם =i θ} i } איננו חלוקה. כעת נגדיר מהו עידון של חלוקה הגדרה 3.2 [עידון] בהנתו שתי חלוקות של הקטע [b Π,, Π 2,], נאמר ש Π 2 היא עידון של Π אם מתקיים שכקבוצות Π. Π 2 בפרט מכאן נובע שמדד העדינות של Π גדול יותר משל Π, 2 זאת אומרת.λ(Π 2 ) λ(π ) הגדרה 3.3 [נקודות מתאימות] בהנתן חלוקה } n Π = {x,..., x נאמר שהנקודות } n {t,, t הן נקודות מתאימות לחלוקה אם מתקיים ש ] i t i [x i, x לכל.i =,..., n t, i = x i +x i או כל דבר אחר בתוך הקטע (ולא צריכה 2 למשל, ניתן לבחור t i = x i או i t i = x או להיות חוקיות בבחירה). הגדרה 3.4 [סכום רימן] בהנתן f :,] [b R חלוקה Π ונקודות מתאימות t i נגדיר את סכום רימן שלהם להיות S(f, Π, {t i }) = i f(t i ) x i גרפית ניתן לצייר זאת כך 5

6 ונראה לנו (אנטואיטיבית) שכאשר העדינות תשאף ל, הסכום הנ"ל יתקרב בערכו לשטח שמתחת לגרף. כאשר זה המקרה, נאמר שהפונקציה אינטגרבילית לפי רימן ("אינטגרבילית רימן"): הגדרה 3.5 [אינטגרביליות רימן] תהי. f : [, b] R נאמר שהיא אינטגרבילית רימן בקטע b] [, והאינטגרל שלה שווה למספר I אם לכל > ε קיימת > δ כך שלכל חלוקה Π המקיימת λ(π) < δ ולכל בחירה של נקודות המתאימות ל t}, i } Π, מתקיים S(f, Π, t i ) I < ε במקרה כזה נסמן I = b f(t)dt = b f את אוסף כל הפונקציות שהן אינטגרביליות רימן בקטע [b,] נסמן ([b.r([, דוגמא: f(x) = c לכל חלוקה ולכל נקודות מתאימות הסכום תמיד יוצא (.c(b עוד דוגמא: D(x) f(x) = פונקציית דיריכלה x Q D(x) = x Q אז עבור, נאמר, 2/( ε = b) לא קיימת אף δ מתאימה כי תמיד תהיינה נקודות מתאימות (לכל חלוקה) רציונליות, וגם נקודות מתאימות אירציונאליות, כך שסכומי רימן יצאו ו ( b) בהתאמה, ובפרט לא יהיו ε קרובים לאותו מספר. 3.2 אינטגרביליות 3.2. אינטגרביליות גוררת חסימות משפט 3.6 תהי. f : [, b] R אם b]) f R([, אזי f פונקציה חסומה. 6

7 הוכחה: נשתמש בהגדרת האינטגרל עבור = ε. קיים > δ כך שלכל חלוקה עם λ(π) < δ מתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות } i.i < S(f, Π, {t i }) < I +,{t נבחר חלוקה אחת כזו. אילו הפונקציה לא חסומה, יש תת קטע מן החלוקה ] i x] i, x כך שעליו הפונקציה אינה חסומה. מצד שני, נבחר נקודות מתאימות t} i } i i בכל שאר תת הקטעים. לכל נקודה t בתת הקטע הזה מתקיים ש I i i f(t i ) x i < f(t) x i < I + + i i f(t i ) x i כך שקיבלנו חסימות, וזו סתירה. הערה: הדבר לכאורה לא מתיישב עם החישוב שלנו של אינטגרל של הפונקציה הלא חסומה = f(x) x / בקטע [,]. אכן, לשם כך נידרש להגדרה יותר כללית של אינטגרל, האינטגרל הלא אמיתי, שיופיע בסעיף סכומי דרבו ראינו בסעיף הקודם שיש המון כמתים (לכל חלוקה, לכל נקודות) וזה מקשה על הבדיקה. הנה הגדרה נוספת ושקולה לאינטגרביליות רימן. הגדרה 3.7 [סכום דרבו עליון ותחתון] תהי f : [, b] R חסומה ותהי } n Π = {x,..., x חלוקה. נסמן M i = sup [xi,x i ] f ו f.m i = inf [xi,x i ] ונגדיר את סכום דרבו העליון להיות Σ(f, Π) = Σ(f, Π) = n M i x i i= n m i x i i= ואת התחתון להיות כמובן, כאן מדובר במלבנים חוסמים וחסומים, כמו בדוגמא הראשונה שראינו בפרק. נובע באופן טריוויאלי שלכל בחירה של נקודות מתאימות יתקיים Σ(f, Π) S(f, Π, t i ) Σ(f, Π) ולמעשה עובדה זאת מתארת אותם במדוייק, כפי שמסבירה הלמה הבאה למה 3.8 תהי f : [, b] R חסומה ו } n Π = {x,..., x חלוקה. אזי Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {t i }) {t i } 7

8 Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {t i }) {t i } כאשר ה inf וה sup הם ביחס לכל האופנים של בחירת נקודות מתאימות לחלוקה Π. הוכחה: אכן, אי שויון אחד ברור בכל שוויון, למשל ראינו Σ S לכל בחירת נקודות מתאימות. כעת i f(t i ) M ואז הסכום יקיים יהי > ε ונבחר בכל קטע נקודה t b i כך ש ε S(f, Π, {t i }) = n f(t i ) x i i= n M i x i i= n i= ε b x i = Σ(f, Π) ε את הכיוון השני לבד למה 3.9 [מונוטוניות] תהי f : [, b] R חסומה ו Π Π 2 שתי חלוקות. אזי Σ(f, Π ) Σ(f, Π 2 ), Σ(f, Π ) Σ(f, Π 2 ) הוכחה: נראה את אי השוויון השמאלי. מספיק להראות שתוספת של נקודה אחת אינה מגדילה את.Σ נניח שהחלוקה הנתונה היא } n Π = {x,..., x ותהי ) i.p (x i, x נסמן {p}.π = Π תת הקטעים שהחלוקות מגדירות הם זהים, למעט הקטע ] i [x i, x שמוחלף בזוג הקטעים ] i.[x i, p], [p, x Σ(f, Π) Σ(f, Π ) = x i sup [x i,x i ] לכן ההפרש בין סכומי דרבו העליונים המתאימים הוא f (x i p) sup f (p x i ) sup f = [p,x i ] [x i,p] = (x i p)[ sup f sup f] + (p x i )[ sup f sup f] [x i,x i ] [p,x i ] [x i,x i ] [x i,p] באינדוקציה על פני הוספת נקודות, ההוכחה הושלמה. הוכחת אי השוויון השני מאד דומה. ניתן גם לתאר את ההוכחה בצורה גרפית, בכל שלב השטח הכחול גדול מהשטח האדום בציור הבא 8

9 מסקנה 3. תהי f : [, b] R חסומה ו Π, Π 2 שתי חלוקות. אזי Σ(f, Π ) Σ(f, Π 2 ) הוכחה: אכן, ניקח חלוקה שלישית Π 3 = Π Π 2 שהיא עידון של שתיהן ועבורה יתקיים Σ(f, Π ) Σ(f, Π 3 ) Σ(f, Π 3 ) Σ(f, Π 2 ). מהמסקנה נובע שניתן להגדיר את המספרים I(f) = inf Π Σ(f, Π) I(f) = sup Σ(f, Π) Π ולכל חלוקה יתקיים Σ(f, Π) I(f) I(f) Σ(f, Π) כעת ניתן להגדיר אינטגרביליות באופן ישיר יותר, שבעצם דורש ש I(f).I(f) = למעשה לא נדרוש בדיוק את זה, אך בתרגיל הבית תראו שאכן ההגדרה מטה שקולה לכך. משפט 3. [קריטריון דרבו לאינטגרביליות רימן] תהי f : [, b] R חסומה. b]) f R([, ניתן להסיק כי > ε קיימת > δ כך שלכל Π המקיימת λ(π) < δ מתקיים.Σ(f, Π) Σ(f, Π) < ε הערה 3.2 הייתרון כאן הוא כמובן שאין צורך לדעת את ערכו של I על מנת לוודא את התנאי הנ"ל. הוכחה: נניח אם כן כי ([b f R([, ויהי > ε. נבחר, על פי ההגדרה של אינטגרביליות, את > δ כך שלכל חלוקה המקיימת λ(π) < δ יתקיים שלכל בחירה של נקודות מתאימות ε/2. I S(f, Π, {t i }) < נובע לכן על פי הלמה ש Σ(f, Π) = sup S(f, Π, {t i }) < I + ε/2 וכן Σ(f, Π) = inf S(f, Π, {t i }) > I ε/2. ובפרט, לכל חלוקה המקיימת λ(π) < δ יתקיים.Σ(f, Π) Σ(f, Π) < ε להוכחת הכיוון השני נניח ש f מקיימת את קריטריון דרבו. לכן בהכרח מתקיים כי לכל > ε קיימת חלוקה (ולמעשה לכל חלוקה מעדינות קטנה מספיק) כך ש Σ(f, (Π Σ(f, (Π Σ(f, (Π + ε. בפרט, I(f) I(f) ε. משום ש ε הוא שרירותי, נקבל I(f).I(f) = נסמן מספר זה ב I. יהי > ε ו > δ הנתון על פי הקריטריון. לכל חלוקה המקיימת λ(π) < δ ולכל בחירת נקודות מתאימות מתקיים I ε Σ(f, Π) ε Σ(f, Π) S(f, Π, {t i }) Σ(f, Π) Σ(f, Π) + ε I + ε 9

10 הערה 3.3 ברגע שיודעים ש b]) f R([, אפשר לבחור כל סדרת חלוקות שמקיימת ) n λ(π (n).s(f, Π n, {t הערה תמימה זו תסייע לנו i } Mn i= ) b וכל סדרת נקודות מתאימות ובהכרח יתקיים f מאוד בהוכחת כללי אינטגרציה. גרפית, המובן של קריטריון דרבו מאוד פשוט: מכסים את הגרף עם מלבנים (מאוזנים) ומבקשים Σ(f, Π) Σ(f, Π) = n i= ( sup [x i,x i ] שסכום שטחי המלבנים הללו יהיה קטן כרצוננו f inf f) x i < ε [x i,x i ] הגובה של כל מלבן כזה הוא ההפרש בין הערך הסופרימלי של הפונקציה בקטע לבן הערך האינפימלי. ω(f, J) = sup f inf J J מספר זה מוגדר להיות תנודת הפונקציה בקטע: הגדרה 3.4 [תנודה] התנודה של f על קטע J מוגדרת להיות f = sup (f(x) f(y)) x,y J למשל, = (J ω(d, לפונקציית דיריכלה, לכל קטע שאיננו נקודה. לפונקציה רציפה במ"ש מתקיים ש (J ω(f, כאשר אורך הקטע שואף ל (ללא תלות במיקום שלו)..Σ(f, Π) Σ(f, Π) = n זה גורם לנו להגדיר נשים לב גם ש i= ω(f, [x i, x i ]) x i הגדרה 3.5 [תנודה של פונקציה ביחס לחלוקה] תהי f : [, b] R חסומה ו{ Π = {x,, x n.ω(f, Π) = n חלוקה. נגדיר i= ω(f, [x i, x i ]) x i בשפה זו אפשר לנסח את קריטריון דרבו כך: לכל > ε קיימת > δ כך שלכל Π המקיימת λ(π) < δ מתקיים.ω(f, Π) < ε לפני שנמשיך נציין עוד שתי עובדות לגבי חלוקות, עידון, וקריטריון דרבו. המסקנה היא שימושית ביותר. למה 3.6 תהי f : [, b] R חסומה ו Π Π {p} = שתי חלוקות (כך שהאחת מתקבלת מהשנייה על ידי הוספת נקודה). אזי Σ(f, Π) Σ(f, Π ) + λ(π)ω(f, [, b]), Σ(f, Π) Σ(f, Π ) λ(π)ω(f, [, b])

11 ואם Π Π {p,..., p m } = אזי Σ(f, Π) Σ(f, Π ) + mλ(π)ω(f, [, b]), Σ(f, Π) Σ(f, Π ) mλ(π)ω(f, [, b]) הוכחה: מספיק להוכיח את הא"ש העליונים ואז להשתמש באינדוקציה על פני הוספת נקודות (נשים לב שהעדינות רק קטנה בכל שלב אינדוקטיבי). נוכיח את השמאלי Σ(f, Π) Σ(f, Π ) = (x i p)[ sup f sup f] + (p x i )[ sup f sup f] [x i,x i ] [p,x i ] [x i,x i ] [x i,p] ω(f, [x i, x i ]){(x i p) + (p x i )} λ(π)ω(f, [, b]) טענה 3.7 תהי f : [, b] R חסומה אזי לכל > ε קיימת > δ כך שלכל חלוקה Π המקיימת λ(π) < δ יתקיים Σ(f, Π) I(f) Σ(f, Π) ε, Σ(f, Π) I(f) Σ(f, Π) + ε הוכחה: שוב, נוכיח רק אחד מהם. מהגדרת I(f) כאינפימום נובע שקיימת חלוקה כלשהי, נסמן אותה Π כך ש 2/ε.I(f) Σ(f, Π ) לחלוקה זו יש מספר סופי של נקודות, נאמר m נקודות. נבחר ε את = δ. כעת תהי חלוקה כלשהי עם עדינות Π.λ(Π) < δ לקבלת חלוקה חדשה, עדינה יותר 2m λ(π ) משתיהן, Π. = Π Π בחלוקה החדשה יש לכל היותר m נקודות יותר מאשר ב Π ולכן מתקיים על פי למה, Σ(fץ Π) Σ(f, Π ) + m λ(π)ω(f, [, b])=)x(f$ lumrof3.6 מצד שני, משום ש Π היא עידון של,Π אנו יודעים גם כי ) Σ(f, Π ) Σ(f, Π ומבחירת δ נקבל כי Σ(f, Π) Σ(f, Π ) + m λ(π)ω(f, [, b]) I(f) + ε/2 + ε/2 = I(f) + ε מסקנה 3.8 תהי f : [, b] R חסומה ונניח ש I(f).I(f) = אזי b]).f R([, הוכחה: אכן, נשתמש בטענה 3.7 על מנת לבחור δ כך שלכל חלוקה עם λ(π) < δ יתקיים Σ(f, Π) ε/2 I(f) = I(f) Σ(f, Π) + ε/2 ולכן יתקיים קריטריון דרבו.Σ(f, Π) Σ(f, Π) < ε

12 מסקנה 3.9 [קריטריון דרבו משופר] תהי f : [, b] R חסומה ונניח שלכל > ε קיימת Π המקיימת.f R([, b]) אזי.Σ(f, Π) Σ(f, Π) < ε הוכחה: אכן, הנתון הנ"ל מבטיח ש I(f) I(f) = כמו בהוכחת משפט 3.. כעת נשתמש בטענה הקודמת רציפות גוררת אינטגרביליות משפט 3.2 תהי f : [, b] R רציפה. אזי b]).f R([, הוכחה: ממשפט קנטור של חדו"א, f רציפה במ"ש. יהי >.ε לכן קיים > δ כך ש x y < δ גורר ). f(x) f(y) < ε/(b לכן, אם J < δ (כאן J מסמל את אורך הקטע) מתקיים ),ω(f, J) ε/(b ולכן לכל חלוקה המקיימת λ(π) < δ יתקיים ω(f, Π) = n ω(f, [x i, x i ]) x i i= n i= ε b x i = ε. נעיר שכמובן שרציפות איננה תנאי הכרחי לאינטגרביליות, שכן קל לבדוק ישירות שהפונקציה הבאה: x [, ] = f(x), אינטגרבילית רימן על תחום הגדרתה ואיננה רציפה. x [, 2] מונוטוניות גוררת אינטגרביליות משפט 3.2 תהי f : [, b] R מונוטונית. אזי b]).f R([, ההסבר האינטואיטיבי הוא כדלהלן: היזכרו בקריטריון דרבו המנוסח בצורה גרפית. כשהפונקציה מונוטונית, ניתן להזיז את כל המלבנים החוסמים כך שיהיו זה מעל זה, ללא חפיפות למעט בקצוותיהם. מתקבל אם כן מגדל אשר מוכל במלבן גבוה שגובהו כהפרש ערכי הפונקציה בקצוות, ואילו רוחבו הוא עדינות החלוקה. 2

13 הוכחה: נניח שהפונקציה עולה ואת המקרה היורד נשאיר לכם. קל לוודא ש = ([y ω(f,,x] f(x) f(y) ולכן בחירה של f()) δ = ε/(f(b) תבטיח שלכל חלוקה המקיימת λ(π) < δ יתקיים ω(f, Π) = n n ω(f, [x i, x i ]) x i = (f(x i ) f(x i )) x i i= i= n ε (f(x i ) f(x i )) f(b) f() = ε i= כמה משפטים מבניים שלושת המשפטים בסעיף זה מתאימים לאיחוד קטעים זרים, להכלה בין שני קטעים, ולאיחוד של כל תת הקטעים השמאליים המוכלים בקטע נתון. במשפט הבא, כדי להיות ממש פורמאליים, צריך להניח ש b]) f [,b] R([, וש c]),f [b,c] R([b, אבל אנחנו מסכימים שכאשר אומרים על f : [, c] R שהיא מקיימת b]) f R([, עבור c), b (, הכוונה היא ש b]). f [,b] R([, משפט 3.22 [איחוד קטעים זרים] תהיינה < b < c ותהי f : [, c] R חסומה. נניח שמתקיים.f R([, c]) אזי מתקיים.f R([b, c]) וכן f R([, b]) הוכחה: יהי > ε ונבחר חלוקה Π של b] [, כך ש ε/2 ω(f [,b], Π ) < וחלוקה Π 2 של c] [b, כך ש ε/2.ω(f [b,c], [b, c]) < נסמן.Π = Π Π 2 זוהי חלוקה של c] [, ומקיים ω(f, Π) = ω(f [,b], Π ) + ω(f [b,c], Π 2 ) ε על פי מסקנה,3.9 c]).f R([, משפט 3.23 [תת קטע] תהיינה < b < c ותהי f : [, c] R חסומה. נניח שמתקיים c]) f R([, אזי מתקיים b]).f R([, באופן דומה מתקיים c]).f R([b, הוכחה: תהי פונקציה חסומה כנ"ל. יהי >.ε נבחר חלוקה Π של c] [, כך ש.ω(f, Π ) < ε נוסיף לה נקודה, {b} Π = Π ועדיין ω(f, Π ) < ε כי זה עידון שלה. כעת נצמצם את החלוקה לקטע b] [, ונסמן.Π 2 = [, b] Π מתקיים ש ω(f [,b], Π 2 ) ω(f, Π ) ε על פי מסקנה,3.9 b]).f [,b] R([, משפט 3.24 [כל תת הקטעים השמאליים] תהי f : [, c] R חסומה. נניח שמתקיים b]) f R([, לכל. < b < c אזי מתקיים c]).f R([, 3

14 הוכחה: אכן, יהי > ε ונבחר את (([c b. = c ε/(2ω(f,,] על פי הנתון, מאינטגרביליות הפונקציה ω(f, Π) = ω(f [,b], Π ) + בקטע זה, קיימת חלוקה Π של b] [, כך ש ε/2. ω(f [,b], Π ) < נביט בחלוקה {c} Π = Π של הקטע c].[, מתקיים ε ω(f, [b, c]) ε/2 + ε/2 = ε 2ω(f, [, c]) ושוב לפי מסקנה,3.9 c]).f R([, הערה 3.25 משפט זהה כמובן תקף עבור כל תת הקטעים הימניים. שינוי פונקציה בנקודה בודדת אינו משפיע על האינטגרביליות שלה. הוכחה: אכן, נניח שהפונקציה f היא אינטגרבילית בקטע [c,], תהי < b < c ונגדיר את g להיות אותה הפונקציה, למעט בנקודה b שם ניתן לה ערך אחר. החסימות נשמרת כמובן. הפונקציה g היא אינטגרבילית בכל קטע [x,] עבור x < b (כי היא זהה ל f שאינטגרבילית שם לפי 3.23) ולכן גם על [b,] כולו, ובדומה עבור [c,b] (שם משתמשים בטענה הזהה למשפט 3.24 עבור תת קטעים ימניים) ולכן, על פי משפט 3.22, g אינטגרבילית על כל [b,]. sin x x = f(x) בקטע [, ], אף שאיננה רציפה מסקנה 3.26 באופן דומה, הפונקציה x = (ולא משנה איזה ערך היינו נותנים לה בראשית), עודנה אינטגרבילית רימן. לבסוף, נקבל קריטריון התקף למשפחה גדולה של פונקציות מסקנה 3.27 כל f :,] [b R שהיא חסומה וכן מונוטונית למקוטעין או רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית עוד משפטים מבניים בסעיף זה נראה שתכונת האינטגרביליות סגורה תחת סכום, כפל בסקלר, ומכפלה. משפט 3.28 תהיינה b]) f, g R([, ו c R אזי cf R([, b]),f + g R([, b]) () f R([, b]) (2) f 2 R([, b]) (3) f g R([, b]) (4) הוכחה: () אכן נשים לב לשתי עובדות פשוטות: לכל חלוקה Π מתקיים (Π ω(cf, (Π = c ω(f, וגם Π).ω(f + g, Π) ω(f, Π) + ω(g, העובדה הראשונה מיידית והשנייה מתקיימת משום שלכל תת קטע,.inf J (f + g) inf J f + inf J g ובדומה sup J (f + g) sup J f + sup J g 4

15 (2) מתקיים Π) ω( f, Π) ω(f, שכן לכל תת קטע.ω( f, J) = sup J ( f(x) f(y) ) sup J ( f(x) f(y) ) = ω(f, J) (3) כעת נניח שהפונקציה חסומה על ידי M, אזי.ω(f 2, J) = sup J f 2 (x) f 2 (y) = sup J (f(x) f(y))(f(x) + f(y)) 2Mω(f, J) (4) לבסוף, נשים לב ש ] 2 g) f g = [(f + 4 g)2 (f ומהסעיפים הקודמים, סיימנו. הערה 3.29 למעשה, בסעיף (3) העובדה היא כללית יותר לכל H : R R רציפה b]),h f R([, אבל לזה לא נתנו כרגע הוכחה. ההוכחה שנתנו בסעיף (3) מתאימה למקרה של, למשל, H שהיא גזירה ברציפות, שכן אז ניתן לחסום את H(f(y)) H(f(x)) על ידי קבוע כפול f(y) f(x) (תוך שימוש בכך שהטווח של f חסום). ישנו עקרון כללי יותר שאומר שפונקציה היא אינטגרבילית רימן אם ורק אם המידה של נקודות אי הרציפות שלה היא אפס. קבוצה A R נקראת ממידה אפס אם לכל > ε קיימת סדרה (אולי אינסופית) של קטעים פתוחים ) i A i = ( i, b כך ש A i A i וכן i A i = i (b i i ) < ε. כל קבוצה סופית או בת מניה היא ממידה אפס, אבל יש גם דוגמאות (כמו קבוצת קנטור) לקבוצות מעוצמה ℵ שהן ממידה אפס. לא נדון בו כעת, אך בעזרתו (כאשר מכירים את מושג המידה) ההוכחות של ארבעת הסעיפים נעשות קלות מאוד, וגם של העובדה בתחילת המסקנה. הערות 3.3 הערה נוספת היא שכדאי לכם לנסות להראות ישירות את (4) ללא ה"טריק", פשוט על ידי שימוש בחסמים שלהן והפרדת g(y)). f(x)g(x) f(y)g(y) = (f(x) f(y))g(x) + f(y)(g(x) הערות 3.3 הערה אחרונה שוב כדאי לבדוק שאתם יכולים להראות שאם > c g אינטגרבילית אז גם g/ אינטגרבילית. שוב, חיסמו את ההשתנות של g/ בקטע אחד על ידי מספר התלוי ב c ובהשתנות של g וסכמו על פני הקטעים. 3.3 על ערך האינטגרל שימו לב, במשפט 3.22 למשל, רק הראינו שהפונקציה המוגדרת על איחוד קטעים, שהיא אינטגרבילית בכל אחד מהם, היא אינטגרבילית גם על האיחוד. לא הראינו, אף על פי שזו התכונה המרכזית והשימושית, שהאינטגרל על האיחוד הינו סכום האינטגרלים. תכונות דומות קשורות לאינטגרל של סכום, ולכפל בסקלר. בסעיף זה נדון בתכונות המתייחסות לערך המיספרי עצמו של האינטגרל שתי פונקציות שמזדהות על קבוצה צפופה יהי I R קטע כלשהו (סופי או לא). קבוצה A I תקרא צפופה ב I אם לכל קטע פתוח J I מתקיים J.A למשל: הרציונאליים צפופים בממשיים. גם N} { p : p Z, i צפופה בממשיים. 2 i טענה 3.32 תהיינה f, g : [, b] R המקיימות b]) f, g R([, ונניח שהן מזדהות על קבוצה צפופה. 5

16 b f(x)dx = (דהיינו: קיימת b] A [, כך ש ( f A = g A אזי b g(x)dx (n) {t שהן i } Mn הוכחה: נבחר חלוקות Π n כך ש (n.λ(π לכל חלוקה כזו נבחר נקודות מתאימות =i בתוך הקבוצה A. זה אפשרי מצפיפות. על פי הנתון מתקיים.g ובדומה עבור S(f, Π, {t (n) i S(f, Π, {t (n) i }) = S(g, Π, {t (n) i }) }) n b ועל פי הגדרת אינטגרביליות מתקיים f(x)dx כמה משפטים פשוטים מסקנה 3.33 שינוי פונקציה במספר סופי של נקודות אינו משפיע על אינטגביליות, וגם לא על ערך האינטגרל שלה. הוכחה: אכן, העובדה שהיא נשארת אינטגרבילית נובעת ממסקנה 3.27 ואילו העובדה שערך האינטגרל נשמר היא בדיוק הטענה הקודמת. למעשה, אם משנים פונקציה במספר בן מניה של נקודות, עדיין ערך האינטגרל נשמר, אבל רק בהנחה שהפונקציה החדשה גם היא אינטגרבילית, דבר שלא בהכרח נכון (כמו בפונקציית דיריכלה, ששונה מהפונקציה הזהותית אפס רק במספר בן מניה של נקודות). משפט 3.34 [ליניאריות האינטגרל באינטגרנד] תהיינה f, g : [, b] R המקיימות b]) f, g R([, α β b. αf + βg = b f + b ויהיו.α, β R מתקיים g הוכחה: אכן, אנו כבר יודעים שהפונקציה הנ"ל אינטגרבילית. נבחר סדרת חלוקות עם עדינות שואפת לאפס, סכומי רימן המתאימים מקיימים }) i S(αf + βg, Π, {t i }) = αs(f, Π, {t i }) + βs(g, Π, {t ולכן גם בגבול, שהוא האינטגרל, יישמר השוויון. הערה 3.35 שימו לב לעובדה שיש נסחא לאינטגרל של סכום במונחי האינטגרלים המקוריים, אין כזו נסחא לאינטגרל של מכפלה, יש רק שיטות לקבל ביטויים שקולים אליו, וזה נלמד בפרק "אינטגרציה בחלקים", סעיף האינטגרל כשטח כאשר עוסקים בפונקציה חיובית, אנו חושבים על האינטגרל כעל השטח התחום מתחת לגרף. (זו למעשה דרך להגדיר למה אנו מתכוונים במילה "שטח"). המשפט הפשוט הבא מראה שכמצופה, שטח הוא אי שלילי. b משפט 3.36 [חיוביות] תהי f : [, b] R אינטגרבילית המקיימת.f אזי f(x)dx. 6

17 הוכחה: לכל סכום רימן שנחשב יתקיים ({ i S(f,,Π t} ולכן גם בגבול. שאלה למחשבה: האם ייתכן f < g ושוויון באינטגרל? מסקנה 3.37 [מונוטוניות האינטגרל] תהיינה f, g : [, b] R אינטגרביליות המקיימות.f g אזי. b f(x)dx b g(x)dx b הוכחה: מהמשפט הקודם נובע (g f) וממשפט 3.34 ניתן להסיק כי. b f(x)dx b g(x)dx b הערה 3.38 את השטח הכלוא בין שני גרפים של פונקציות,f g אינטגרביליות נגדיר להיות g f. זה מאפשר, כעקרון, להגדיר מושג של "שטח" כללי יותר במישור, אבל בקורס הזה אנחנו לא מעמיקים בנושא זה, ולא מראים שההגדרה הזו לשטח תחום הכלוא בין שני גרפים מקיימת תכונות טבעיות הנדרשות משטח (אם כי תלמדו בחדו"א 3 שזו ההגדרה היחידה שמקיימת כמה תכונות פשוטות כמו b c אינוריאטיות להזזות, סיבובים וכדומה). משפט 3.39 [ליניאריות האינטגרל בתחום האיטגרציה] תהי c]) f R([, ויהי c).b (, אזי c f + f = b f. הוכחה: העובדה ש b]) f [,b] R([, וש c]) f [b,c] R([b, נובעת ממשפט.3.23 נבחר סדרת חלוקות Π n של הקטע כולו המקיימת ) n λ(π ונדרוש בנוסף ש b Π n לכל n. נבחר עבורה סדרת נקודות (n) t}. נצמצם את החלוקה לתת הקטעים, ואת הנקודות המתאימות גם כן. i } Mn מתאימות =i 2,(n) t}. עדיין העדינות שואפת לאפס, i }, Π 2 n וב {t (n), נסמן את הצימצומים הנ"ל ב i }, Π n (n) S(f, Π n, {t ולכן גם i }) = S(f [,b], Π n, {t (n), i }) + S(f [b,c], Π 2 n, {t (n),2 וסכומי רימן מקיימים ({ i בגבול השוויון נשמר. b ללא f + c b f = c f כך יתקיים השוויון. b f להיות הערה 3.4 עבור < b נגדיר את f b תלות בסדר של., b, c משפטי ערך ביניים תכונה ראשונה פשוטה הנובעת ממסקנה 3.37 היא b טענה 3.4 [אי שוויון שימושי] תהי b]) f R([, ונניח m f M אזי M(b ) m(b ) f. b f b וכמוכן ) f sup [,b] f (b הוכחה: העובדה הראשונה נובעת מאינטגרציה של אי השוויון על פי 3.37 והחלק השני נובע כי. f f f sup f 7

18 f min [,b] נובע שקיימת נקודה b b b f = f(x ) כך ש x [, b] הערה 3.42 אם הפונקציה רציפה, מאי השוויון f mx [,b] f, וזו הקשר לכותרת תת הפרק. b משפט 3.43 [ערך ביניים ראשון] תהי f :,] [b R רציפה ותהי ([b g R([, אי שלילית. אזי קיים b f(x)g(x)dx = f(x ) b g(x)dx b] x [, כך ש הוכחה: נסמן M mx [,b] f = M ו.min [,b] f = m מחיוביות g מתקיים mg fg Mg ולכן גם b m g b ולכן, אחרי חלוקה באינטגרל של g ותוך שימוש fg b אחרי אינטגרל. נקבל ש g b fg כרצוי. יש מקרה קצה שצריך לדון בו מה קורה ברציפות f, קיימת נקודה בה מתקיים ( = f(x b g b g אכן, אם =. b fg ואז אי אפשר לחלק בו. אנו טוענים שבמקרה כזה גם = b אם = g עבור g נובע שבכל תת קטע [b J,] מתקיים = g.inf J זה תנאי הכרחי וגם מספיק, שכן סכומי רימן המתאימים יהיו (על ידי בחירת נקודות מתאימות מסויימות) קטנים כרצוננו. מחסימות f. b נקבל שגם = fg infלכל J תת קטע b],j [, ולכן גם = fg משפט 3.44 [הלמה של בונה גרסא [ תהיינה f, g : [, b] R ונניח כי f מונוטונית ו g b x b f(x)g(x)dx = f() g(x)dx + f(b) g(x)dx x b]). R([, אזי קיימת b] x [, כך ש הערות 3.45 ראשית נעיר שלמעשה ההוכחה תסתמך על משפט שטרם הוכחנו, לגבי רציפות האינטגרל המסויים, זהו משפט מפרק בכל זאת אנו משתמשים בו כאן גם כמוטיבציה להוכחתו בפרק הבא. הוכחה: (הנסמכת על משפט 3.3.5) כמו בהוכחת משפט ערך הביניים הראשון (משפט 3.43) אנו רואים f() b g(x)dx b f(x)g(x)dx f(b) b שאם f מונוטונית עולה, למשל, g(x)dx בכל מצב בו יש לנו שלושה מספרים ו x < y < z מתקיים ש y הוא צירוף קמור של x ו z דהיינו קיימת ] [, λ כך ש. y = ( λ)x + λz (חשבו את ערכה של λ זו!). במקרה שלנו נקבל b f(x)g(x)dx = ( λ)f() b g(x)dx + λf(b) b g(x)dx 8

19 x. אם נצליח בזאת, נקבל כמובן גם ש b g(x)dx = ( λ) g(x)dx כך שיתקיים x אנו נבחר את b. לכן יתקיים x g(x)dx = λ g(x)dx b x b f(x)g(x)dx = f() g(x)dx + f(b) g(x)dx x כיצד נראה שקיימת כזו x? לשם כך נשים לב שעבור x = מתקיים x עבור x = b מתקיים ואילו g(x)dx b = ( g(x)dx λ) x. הפונקציה של x הזו היא עולה (מחיוביות ( g ורציפה b g(x)dx = g(x)dx ( b g(x)dx (ממשפט 3.3.5) ולכן ממשפט ערך הביניים מחדו"א, קיימת נקודה x שבה היא מקבלת את ערך. x b הביניים הרצוי, g(x)dx = ( λ) g(x)dx משפט 3.46 [הלמה של בונה גרסא [2 תהיינה, fראינו g : [, b] R כברg רציפה ו b) f C (, (גזירה ברציפות) ורציפה ב b] [, ומתקיים שלכל b).f (x),x (, (או: לכל b),x (, b f(x)g(x)dx = f() x g(x)dx + f(b) b (x) (.f אזי קיימת b] x [, כך ש x g(x)dx ההוכחה של המשפט האחרון דורשת עוד כלים שעדיין אין לנו, אבל יהיו לנו בקרוב. נוכיח אותו בסעיף נשתמש בן בפרק המשפטים היסודיים x [רציפות האינטגרל המסויים] תהי f : [, b] R אינטגרבילית. אזי הפונקציה F (x) = f(t)dt המוגדרת בקטע [b,], היא רציפה. הוכחה: הפונקציה f אינטגרבילית ולכן חסומה, נאמר f M. F (x + h) F (x) = x+h x f(t)dt hm h נחשב את 9

20 הערה 3.47 הנה הוכחה אחרת של משפט רציפה על פי משפט ומקיימת t : 3.44 נגדיר את. G(t) = (f(b) f()) g(x)dx היא G() = b (f(b) f(x))g(x)dx G(b) כאשר השתמשנו חזק מאוד במונוטוניות f ובחיוביות g. לכן קיימת x כך ש b G(x ) = (f(b) f(x))g(x)dx ונעביר אגפים לקבלת המשפט. נעבור למשפטים החשובים ביותר בפרק זה. משפט 3.48 [המשפט היסודי של החדו"א] תהי b]),f R([, ותהי b] x [, נקודה שבה f היא.F x רציפה. אזי הפונקציה F (x) = f(t)dt היא גזירה בנקודה x ומתקיים ) (x ) = f(x המשפט הבא הוא אולי השימושי ביותר עבורנו מבחינת חישובי אינטגרלים. הוא מאוד דומה למשפט הקודם, אך איננו זהה לו. משפט 3.49 [משפט ניוטון ולייבניץ] תהי b]),f R([, ותהי F : [, b] R קדומה של f בקטע b] [, כולו. אזי b f(x)dx = F (b) F () לפני ההוכחות, נעיר על הדמיון בין המשפטים. כאשר f היא אינטגרבילית ורציפה, הפונקציה = (x) F x f(t)dt היא תמיד קדומה שלה, וכל שתי קדומות שלה נבדלות בקבוע. הענין הוא שפונקציה לא רציפה עדיין יכולה להיות אינטגרבילית. במקרה כזה יתכן שלמשל F הנ"ל איננה גזירה (ולכן איננה קדומה x < /2 שלה, על פי הגדרתנו). דוגמה פשוטה לכך היא = f(x) למשל, שכמובן אינטגרבילית x /2 אבל האינטגרל שלה אינו גזיר ב /2 (זאת אומרת, אין לה קדומה). ייתכן גם שיש לפונקציה לא רציפה פונקציה קדומה, אבל זה רק אם אי הרציפות שלה היא מסוג שני, שכן אנו יודעים שפונקציה שהיא נגזרת של פונקציה אחרת, מקיימת תמיד את תכונת דרבו (חדו"א ) זה מקרה (נדיר) בו המשפט השני שימושי והראשון לא רלוונטי כי אין רציפות. לבסוף, במשפט הראשון ניתן להשתמש גם בנקודה בודדת, זאת אומרת גם אם אין רציפות של f בכל הקטע. הערה 3.5 עוד הערה חשובה היא שלמעשה אין צורך ש F תהיה קדומה ל f בכל הקטע הסגור, מספיק שהיא תהיה קדומה ב ( b,) ורציפה ב [ b,]. זאת משום שניתן לעבור לתת קטע, ואז להשאיף את הגבולות לצדדים. באופן דומה, מספיק ש F = f פרט למספר סופי של נקודות, וכן x < /2 t = f(x) תוך שימוש בקדומה F רציפה. כך נוכל לדעת גם את f(x)dx עבור x /2 x < /2 = (x) F שמקיימת את הדרוש למעט נקודה אחת. ננסח זאת במסקנה הבאה. (x /2) x /2 2

21 מסקנה 3.5 [משפט ניוטון ולייבניץ כללי יותר] תהי b]),f R([, ותהי F : [, b] R רציפה, המקיימת שלמעט מספר סופי של נקודות בקטע, f(x) F. (x) = אזי b f(x)dx = F (b) F () נעבור להוכחות של המשפטים המרכזיים הללו. x הוכחה: [הוכחת המשפט היסודי] נחשב את הביטוי שמופיע בחישוב נגזרת: F (x + h) F (x ) = +h +h ( ) f(t) f(x ) f(x)dx = f(x ) + dt h h x h משום שבנקודה x הפונקציה רציפה, בהנתן > ε קיימת > δ כך שאם t x < δ מתקיים ש F (x + h) F (x ) h f(x ) x x f(t) f(x ) < ε. נניח ש h < δ. אזי מתקיים x +h f(t) f(x ) x h dt ε נשים לב ששמנו ערך מוחלט רק על החלק העליון בשבר כדי שגם אם < h הביטוי יצא חיובי שכן אז גבולות האינטרל הם בסדר יורד. x > x + h קיבלנו על פי הגדרת הגבול ש ).F (x ) = f(x הערה 3.52 נעיר שכאשר הפונקציה f בתוך האינטגרל איננה רציפה, אין שום הכרח שיתקיים האמור, שכן אינטגרציה אינה מבחינה בין פונקציות ששונות למשל רק בנקודה אחת. הוכחה: [הוכחת משפט ניוטון לייבניץ] נתונה ([b f. R([, בהנתן חלוקה כלשהי Π נוכל להשתמש במשפט ערך הביניים של לגרנז מחדו"א על מנת למצוא נקודות מתאימות ] i t i x] i, x שתקיימנה ) i. F (t i ) = F (x i) F (x עבור נקודות אלה נחשב את סכום רימן של החלוקה ונקבל x i x i (במדוייק!) S(f, Π, {t i }) = n f(t i ) x i = i= n F (t i ) x i = i= n (F (x i ) F (x i )) = F (b) F () i= ומשום ש f אינטגרבילית, סכום רימן זה (שהוא קבוע) צריך להתכנס, כשעדינות החלוקה שואפת לאפס, לאינטגרל של f והמשפט הוכח. תרגילים למחשבה (שייעשו בתירגול): h(x) G(x) = b ו H(x) = f(t)dt (תניחו נאמר ש f רציפה וש איך גוזרים את הפונקציות f(t)dt g(x) x,g h שתיהן גזירות)? 2

22 3.3.6 שיטות אינטגרציה (בחלקים ושינוי משתנה) השיטות שנדון בהן בפרק זה תתורגלנה, והרבה, בתירגולים ובתרגילי הבית. שם גם תכירו שיטות נוספות. כאן אנו רק נותנים את הבסיס התיאורטי לשימושים הללו, שניתן לבצע אותם גם (כפי שעושים בקורסי חדו"א אחרים, לא לתלמידי מתמטיקה) ללא הידע התיאורטי. יתר על כן, אנו לרוב נניח תנאים יחסית מחמירים על מנת להוכיח את הטענות בצורה מדוייקת ולא ארוכה מידי. הרבה פעמים הן תקפות גם בהנחות מחמירות הרבה פחות. כאשר התנאים שהנחנו לא מתקיימים, עדיין ניתן לנסות ולהשתמש בשיטה, אבל אז כשמתקבלת התוצאה יש למצוא צידוק לנכונותה (למשל אם החישוב מייצר לכם מועמדת לפונקציה קדומה ניתן פשוט לגזור את התוצאה!). משפט 3.53 [אינטגרציה בחלקים] תהיינה f, g : [, b] R גזירות, ונניח ש b]). f, g R([, אזי b f g = [f g] b. b f (t)g(t)dt = f(b)g(b) f()g() b וביתר דיוק, הסימון למעלה אומר ש f(t)g (t)dt הוכחה: b fg מהנתון, הפונקציות,f g הן גזירות ובפרט רציפות ולכן אינטגרביליות רימן בקטע, וכך גם מכפלתן. מחוק גזירה של חדו"א מתקיים fg (f g) = f g + זאת אומרת מצאנו פונקציה קדומה לפונקציה fg, f g + שגם היא על פי הנתונים מכפלה וסכום של אינטגרביליות ולכן אינטגרבילית (נשים לב שלא נתון שהיא רציפה). כעת נפעיל את משפט ניוטון לייבניץ (משפט 3.49) שתנאיו מתקיימים b שכן הקדומה רציפה, ונקבל כי f()g() (f g + fg ) = f(b)g(b). על פי שימוש בליניאריות האינטגרל והעברת אגפים, המשפט הוכח. הערה 3.54 נזכיר את הסימון ([b f C,]) שאומר כי f גזירה ונגזרתה רציפה. (הסימון f ([b C n,]) יאמר שהיא גזירה n פעמים והנגזרת ה n ית רציפה). נובע בפרט שהמשפט האחרון תקף כאשר b]).f, g C ([, כעת אנו יכולים להוכיח את משפט 3.46 [הלמה של בונה: גרסא 2]. נזכיר את המשפט: תהיינה,t (, b) ברציפות) ורציפה ומתקיים שלכל (גזירה f C (, b) רציפה ו g ונניח כי f, g : [, b] R b (t).f (או: לכל b).f (t),t (, תהי קיימת b] x [, כך ש f(t)g(t)dx = f() x g(t)dt + f(b) b x g(t)dt x הוכחה: [של הלמה של בונה גרסא 2, משפט 3.46]: נסמן G(x) = g(t)dt ואז, מרציפות g, מתקים (f רציפה וגם G לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים (שכן.x (, b) לכל G (x) = g(x) b f(t)g(t)dt = b G (t)f(t)dt = G(b)f(b) G()f() b G(t)f (t)dt 22

23 b כעת ממשפט ערך הביניים הראשון, משפט 3.43, האינטגרל הימני ביותר ניתן לכתיבה כ G(x ) f (t)dt שכן G רציפה ו (t) f אי שלילית. קיבלנו, על פי ניוטון לייבניץ, b f(t)g(t)dt = G(b)f(b) G()f() G(x ) b b f (t)dt = G(b)f(b) G()f() G(x )(f(b) f()) b = ) G(b) G(x וכשנציב זאת במשוואה נקבל בדיוק x כעת נשים לב ש = G() וגם ש g(t)dt f(t)g(t)dt = (G(b) G(x ))f(b) + G(x )f() = f() x g(t)dt + f(b) b x g(t)dt כעת נציג שימוש אחר למשפט על אינטגרציה בחלקים, והוא נסחא אינטגראלית לשארית בטור טיילור. טענה 3.55 [שארית אינטגראלית בטיילור] תהי f : [, b] R ונניח שהיא גזירה ברציפות ) + (n פעמים. יהי b]. x [, אזי f(x) = f() + f ()(x ) + f () (x ) f (n) 2! n! (x )n + R n (, x) R n (, x) = n! x f (n+) (t)(x t) n dt כאשר הוכחה: נבצע אינדוקציה על. n עבור = n הנוסחא גורסת f(x) = f() + x f (t)dt שאכן נכון על פי משפט ניוטון לייבניץ שכן נתונה רציפות f. כעת נניח נכונות עבור. n נחשב את השארית הבאה: n+ R n+ (, x) = f(x) f (k) ()(x ) k k! x x k= = R n (, x) f (n+) ()(x ) n+ (n + )! = f (n+) (t)(x t) n dt f (n+) ()(x ) n+ n! (n + )! ( = d f (n+) (t) ( (x ) dt t)n+ ) dt f (n+) ()(x ) n+ n! n + (n + )! [ ( )] (x t) = n! f (n+) n+ x x (t) + f (n+2) (t)(x t) n+ dt n + (n + )! x = f (n+2) (t)(x t) n+ dt (n + )! 23 f (n+) (x )n+ () (n + )!

24 ובזאת הסתיימה ההוכחה. בתרגיל או בתירגול: הראו מדוע נסחא זאת גוררת את הנוסחא לשארית לגרנז במקרה שבו הפונקציה מקיימת b]). f C n+ ([, בהמשך הסעיף נציג שימוש נוסף של אינטגרציה בחלקים, להוכחת משפט ואליס (Wllis) אך ראשית נדון בשיטה השניה העיקרית לחישוב אינטגרלים. משפט 3.56 [שינוי משתנה] תהי f : [, b] R רציפה ותהי b] ϕ : [α, β] [, המקיימת ϕ(α) = ו.ϕ(β) = b נניח גם ש ϕ גזירה ברציפות. אזי f(ϕ(t))ϕ (t)dt b f(x)dx = β α על פי רוב משתמשים ב ϕ שהיא מונוטונית, ובפרט שהיא חח"ע ועל בקטע. לפונקציה הזו קוראים "שינוי המשתנה". S x הוכחה: תהי F (x) = f(t)dt קדומה של f (שקיימת מהנחת הרציפות) כך שעל פי המשפט היסודי מתקיים f(x) F (x) = לכל b].x [, נסמן G = F ϕ זאת אומרת (ϕ(y)).g(y) = F מכלל השרשרת (שכן כולן גזירות) מתקיים (y) G (y) = F (ϕ(y))ϕ (y) = f(ϕ(y))ϕ ולכן לאחר ביצוע אינטגרל נקבל β α (f ϕ) ϕ = G(β) G(α) = F (b) F () = b f הערות 3.57 כמובן, אף על פי שמבחינתנו הסימונים dx ו dt הם רק הגדרה או סימון של אינטגרל רימן, מאחוריהם מסתתר משהו שהוא מעבר לסימון הדבר יילמד באופן מעמיק יותר בקורס "תורת המידה", שם תדברו על נגזרת של מידה אחת ביחס לאחרת. בכל זאת, נוכל לומר כמה מילים שתפרשנה את ה"אינטואיציה" העומדת מאחורי שינוי המשתנה x = ϕ(t) dx = ϕ (t)dt ובכן, הניחו לשם פשטות ששינוי המשתנה שלכם ϕ(t) הוא מונוטוני עולה. מהגדרת האינטגרל, b x i מקיימות x i כל עוד החלוקה מעדינות שואפת לאפס והנקודות f ישאף ל n i= f( x i) x i x i = ϕ(t i ) בחלוקה נציג כ x i נרשום את סכום רימן של הפונקציה באופן אחר: כל נקודה x]. i, x i ] וכל נקודה ) i x. i = ϕ( t סכום רימן הקודם שרשמנו הינו, בסימונים החדשים n n f( x i ) x i = f(ϕ( t i )) (ϕ(t i ) ϕ(t i )) i= i= 24

25 ומשום שהנחנו גזירות ניתן לרשום n f(ϕ( t i )) (ϕ(t i ) ϕ(t i )) = i= n f(ϕ( t i ))ϕ ( t i ) (t i t i ) i= כל שנותר להסביר הוא שניתן לבחור מראש נקודות מתאימות x i כך שיתקיים t, i = t i והדבר כמובן אפשרי שכן הבחירה של x i הייתה שרירותית. כעת אנו רואים בצורה מעט בהירה יותר מדוע, x i ϕ (t i ) t i דבר שניתן לכתוב באופן לא ממש פורמלי כ dx = ϕ (t)dt (הדבר אינו פורמלי רק משום שלא הגדרנו את האובייקט "dx" כעומד בפני עצמו אם מדובר בשימוש במשפט הקודם זה כמובן מאוד פורמלי). נדגיש כי יש להזהר מחילופי משתנה שהם פורמליים בלבד שכן זהו מתכון לבלבול וטעויות, ודוגמאות תובאנה בתירגול ובתרגילי הבית. נמשיך בדוגמא (אחת! בתרגילים המון) לשימוש בשינוי משתנה לשם חישוב אינטגרל מסויים. נחשב את שטחו של רבע מעגל היחידה. זה השטח הכלוא תחת הגרף f(x) = x 2 מעל הקטע [,] ולכן נתון על ידי האינטגרל. נשתמש בשינוי המשתנה ϕ(t) = sin t כאשר ] [, π/2] ϕ : [, גזירה ברציפות x2 dx כמובן ו. ϕ (t) = cos t ממשפט שינוי המשתנה נקבל π/2 x2 dx = cos 2 tdt = π/2 π/2 sin 2 t cos tdt = π/2 cos 2 tdt = π 4 כאשר את השוויון האחרון ניתן לקבל או בעזרת נוסחא וביצוע אינטגרציה + cos(2t) dt = [ t sin(2t)] π/2 = π/4 π/2 cos 2 π/2 או, מה שיותר אלגנטי, השתכנעות (על ידי שינוי משתנה דומה) שמתקיים tdt tdt = sin 2 π/2. cos 2 t + sin 2 π/2 ואז סכימה של שניהם לקבלת 2/π tdt = dt = 25

26 כעת נראה שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים, יותר "תיאורטי", שהוא גם רמז לדברים שנראה בהמשך בהקשר של טורי פונקציות וטורי פורייה. טענה 3.58 [דעיכת מקדמי פורייה בהנתן גזירות] תהי ([2π f C,]) ונסמן. אזי לכל n טבעי יתקיים 2π f(x) cos(nx)dx 2πM n 2π f(x) cos(nx)dx = [f(x) sin(nx) ] 2π n 2π הוכחה: נשתמש בנסחא לאינטגרציה בחלקים על מנת לחשב f (x) sin(nx) n = 2π f (x) sin(nx) n וכעת נעריך את האינטגרל על פי ערך הפונקציה המקסימלי בקטע כפול אורך הקטע (2n 2) (2n 2) 2n lim n (2n ) (2n ) נסחת Wllis נציג שימוש נוסף לאינטגרציה בחלקים. הנסחא עצמה היא כדלהלן = π 2 I m = π/2 π/2 (sin(x)) m dx = I m = π/2 π (m )!! 2 m!! (m )!! m!! על מנת להוכיח אותה נצטרך טענת עזר (cos(x)) m dx = I m m even m odd טענה 3.59 נסמן מתקיים כאן השתמשנו בסימון k!! למכפלה 4) 2)(k k(k שיש בה [k/2] איברים. הוכחה: ראשית נמצא נסחא רקורסיבית לאינטגרל, תוך שימוש באינטגרציה בחלקים. (sin(x)) m dx = π/2 = [ ( cos(x))(sin(x)) m ] π/2 = + (m ) π/2 = (m )I m 2 (m )I m ( cos(x)) (sin(x)) m dx π/2 ( cos(x)) ( (sin(x)) m ) dx (cos(x)) 2 (sin(x)) m 2 dx = (m ) π/2 ( (sin(x)) 2 )(sin(x)) m 2 dx 26

27 I = π/2.i m = m I נחשב את I, I ישירות וקיבלנו לכן את הנסחא 2 m m (sin(x)) dx = π/2 I = π/2 sin(x)dx = [ cos(x)] π/2 = ונקבל לכן באינדוקציה את הנסח הכללית: כשאר m = 2n (זוגי), I m = m m I m 2 = m m 3 m m 2 I m 4 = = (m )!! I = m!! (m )!! π m!! 2 וכאשר 2n m = (איזוגי), I m = m m I m 2 = m m 3 m m 2 I m 4 = = (m )!! I = m!! (m )!! m!! כעת נפנה להוכחת נסחת Wllis עצמה. הוכחה: [של נסחת ואליס] עבור 2/π x מתקיים (sin(x)) 2n+ (sin(x)) 2n (sin(x)) 2n π/2 (sin(x)) 2n+ dx π/2 (sin(x)) 2n dx π/2 ולכן גם לאחר אינטגרציה (sin(x)) 2n dx לכל > n. יש לנו ערכים מדוייקים לאינטגרלים אלה, נציב אותם ונקבל אי שוויון (2n)!! (2n + )!! n := ( ) (2n)!! = (2n)!! 2n + (2n )!! (2n )!! b n n = (2n )!! π (2n)!! 2 (2n 2)!! (2n )!! נחלק במקדם של 2/π ונקבל (2n)!! (2n + )!! π 2 (2n)!! (2n 2)!! (2n )!! (2n )!! = נשים לב שההפרש בין אגף שמאל לאגף ימין מתקיים (תוך שמוש בנסחא הקודמת) ( ) 2 [ (2n)!! (2n )!! 2n ] ( ) 2 (2n)!! = 2n + (2n )!! 2n(2n + ) π 2n 2 ולכן הסדרות שתיהן מתכנסות, ל 2/π. כעת נשים לב שהסדרה b n היא בדיוק הסדרה עליה הצהרנו ( ) 2 (2n)!! (2n )!! 2n =: b n בניסוח נסחת ואליס. 27

28 4 אינטגרל לא אמיתי 4. הקדמה והגדרה ראינו כבר שבמובן מסוים "שטחי המלבנים מתחת ל x /" בקטע f C חסומים, אבל הדבר לא מתאים להגדרה שלנו של אינטגרל רימן בקטע סגור (גם אם נמשיך את הפונקציה שרירותית ב היא לעולם לא תהיה אינטגרבילית לפי הגדרתנו, שכן היא איננה חסומה). באופן דומה, אם נביט בפונקציה x/ 2 בקטע האינסופי (,] אף על פי שגיאומטרית מדובר באותו שטח כמו מתחת ל x / בקטע [,) ולכן, שוב לפי שיעור ההקדמה, השטח "אמור" להיות סופי, ההגדרות שלנו לא מאפשרות אינטגרציה של פונקציה על קטע אינסופי. את העוול הקטן הזה נתקן בפרק זה. הרעיון הוא פשוט. נצמצם את הפונקציה לקטע סופי (או במקרה הלא חסום לקטע סגור בו היא חסומה), נחשב את האינטגרל, ואז נשאיף את קצוות הקטע לאינסוף (או, לקצה התחום שלה). כמובן, משום שמדובר בגבולות, יש לדרוש התכנסות, ולהזהר קמעה. הגדרה 4. [כשהקטע אינסופי מצד אחד] תהי. f : [, ) R נניח שלכל ) (, b מתקיים,] ( בקטע f אז הוא נקרא האינטגרל הלא אמיתי של lim b b f אם קיים הגבול. f R([, b]) ומסמנים f(x)dx = f אם הגבול הוא סופי נאמר שהאינטגרל מתכנס. הערה 4.2 בדומה, נגדיר את g(x)dx עבור.g : (, ] R דוגמאות: N e x dx = lim e x dx = lim N N [ e x ] N = lim N e N = ˆ N dx = lim xα N dx = lim x [ x α+ α N α + ]N = α lim N α N α = עבור α + α < α > α N dx = lim x N dx = lim x [ln N x]n = lim ln(n) = + N ˆ עבור = α 28

29 הגדרה 4.3 [כשהקטע דו אינסופי] תהי. f : R R נניח שלכל < b R מתקיים b]). f R([, נאמר שהאינטגרל הדו אינסופי מתכנס אם יש לפונקציה אינטגרל לא אמיתי בקטעים (,] ו [, ) f(x)dx = והם סופיים, או אינסופיים אך לא אחד + והשני. נגדיר f(x)dx + f(x)dx N,M lim וזה אינו שקול N הערה 4.4 שימו לב שהדבר שקול לדרוש את קיום הגבול f(x)dx M N lim שיכול להתכנס גם אם הגבול הכפול איננו מתכנס (חישבו על קוסינוס!) N לקיום f(x)dx N + x dx = 2 = lim N + + x dx x dx 2 N dx + lim + x2 M M + x 2 dx = lim [rctn N x] N + lim [rctn M x]m = lim rctn( N) + lim rctn M = π N M דוגמא: שאלה למחשבה: האם כדי שהאינטגרל יתכנס צריך שהפונקציה תשאף ל? תהיה חסומה? הגדרה 4.5 [כשהקטע פתוח ו/או הפונקציה לא חסומה] תהי f : (, b] R ונניח שלכל < c < b b מתקיים ([b f. R([c, נגדיר, במידה והגבול קיים, b b f(x)dx = lim f(x)dx = lim f(x)dx ε + +ε r + r אם הגבול סופי, נאמר שהאינטגרל מתכנס. בדומה נגדיר עבור f. :,] (b R דוגמאות: ln(x)dx = lim r + r ln(x)dx = lim r +[x ln x x] r = lim r +(r ln r r) = dx = lim dx = lim xα r + r xα r α ] r = [ lim α r α ] = r + +[ x α ˆ עבור α α α < + α > 29

30 dx = lim dx = lim x r + r x r +[ln x] r = lim ln r = + r + ˆ ועבור = α הערה 4.6 נעיר שכאשר הפונקציה אינטגרבילית, המושגים מזדהים בגלל רציפות האינטגרל שהוכחה במשפט לכן אנחנו משתמשים גם באותו סימון עבור האינטגרל הרגיל ועבור הלא אמיתי. הערה נוספת היא שעל מנת להיות אינטגרבילית במובן "לא אמיתי" (ואפילו שהאינטגרל יתכנס למספר סופי) אין צורך להיות חסומה, כפי שמעידות הדוגמאות. למעשה, זה המקרה היחיד שבו האינטגרל הלא אמיתי הזה רלוונטי שכן אם יש חסימות ויש אינטגרביליות על כל תת קטע, ממילא יש אינטגרביליות רגילה בקטע כולו לפי משפט משפטים בסיסיים רב המשפטים שתקפים לאינטגרלים רגילים תקפים גם כאן, וההוכחות זה סה"כ לקחת גבול במשפטים שכבר הוכחנו. לשם פשטות בכתיבה, נביט ב f :,] (ω R כאשר ω יכול להיות מספר סופי או +.. ניוטון לייבניץ: R f, F : [, ω) ונניח שלכל b < ω מתקיים b]). f R([, נניח גם שלכל ω f(x)dx = lim b ω F (b) F () x < ω מתקיים f(x).f (x) = אזי ההוכחה היא פשוט לעבור על ההגדרות ולהשתמש במשפט ניוטון לייבניץ על כל קטע [b,]. ליניאריות: באותו אופן, יהיו f, g : [, ω) R ו α, β R ונניח b]) f, g R([, לכל ω).b (, נניח ω גם ששני האינטגרלים הלא אמיתיים (הן של f והן של g) בקטע [ω,] מתכנסים. אזי (αf + βg) = α ω f + β ω g. ליניאריות נוספת: תהי f : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים b]). f R([, אזי לכל ω f = c f + ω c ω) c (, מתקיים f במובן החזק, זאת אומרת שאגף ימין קיים אם ורק אם אגף שמאל קיים, והוא מתכנס אם ורק אם אגף שמאל מתכנס. ההוכחה, שוב, מיידית על פי ההגדרות והמשפט על איחד של קטעים לאינטגרלים רגילים. 3

31 .2 מונוטוניות: תהיינה f g : [, ω) R ונניח b]) f, g R([, לכל ω).b (, אזי, אם שני ω f ω האינטגרלים קיימים, מתקיים g 3. אינטגרציה בחלקים: גם שיטות האינטגרציה הרגילות עובדות, רק צרך לשים לב שהכל מוגדר באמת כמו שצריך. נניח ש,,f g :,] (ω R הן גזירות, ונגזרותיהם אינטגרביליות ב [b,] לכל ω b fg = fg b b f g ω).b (, אז לכל b כזה יתקיים ולכן בגבול נקבל שאם בביטוי הבא שני האינטגרלים והגבול כולם מתכנסים מתקיים fg = lim b ω f(b)g(b) f()g() ω f g 4. שינוי משתנה: כעת נניח לשם פשטות ששינו המשתנה ϕ הוא עולה, להימנע ממצבים פתולוגיים של אוסילאציות כל מיני. תהי f : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים b]). f R([, תהי η) ϕ : [, ω) [c, גזירה ברציפות, עולה, וכך ש.lim b ω ϕ(b) = η,ϕ() = c מתקיים, אם שני ω f(ϕ(s))ϕ (s)ds = lim = lim b ω b d η d f(ϕ(s))ϕ (s)ds = lim f(t)dt = η c c f(t)dt b ω ϕ(b) c הצדדים מתכנסים, ש f(t)dt יתר על כן, אם צד אחד מתכנס, אז גם השני. 4.3 קריטריונים להתכנסות כאן הטענות מזכירות מאוד טענות שראיתם על טורים מספריים. משום שנעסוק בקרוב בטורי פונקציות, התזכורת חשובה לנו. חלק מתוצאות הפרק מסוכמות בטבלה הבאה 3

32 אינטגרלים לא אמיתיים טורים מספריים ε B ω > b b 2 > b > B, 2 b f(x) < ε ε M n > m > M, n m k < ε f < = f n < = n < קושי בהחלט שינוי מקומי שינוי מספר סופי של אברים לא משנה שינוי בתחום סופי וסגור לא משנה לחיוביים: חסימות ה"קדומה" התכנסות שקולה לחסימות של התכנסות שקולה לחסימות של x הפונקציה F (x) = f(t)dt S N = N n= n השוואה f g = f g n b n = n b n x dx = x s dx < s > = s n = n s < s > = s דוגמאות דומות אבל\דיריכלה ועוד קושי טענה 4.7 [קריטריון קושי להתכנסות אינטגרל לא אמיתי] תהי f :,] (ω R ונניח שלכל מתקיים ω (למספר סופי) אם ורק אם לכל > ε קיים ω) B (, כך שלכל b]). f R([, אזי f מתכנס b. 2 b f(x)dx < ε מתקיים b, b 2 [B, ω) b הוכחה: זה פשוט קריטריון קושי לקיום גבול כאשר b ω של הפונקציה F. (b) = f(x)dx אם הדבר מבלבל אתכם הפרידו לשני מקרים, < ω ואז מדובר בגבול משמאל של F בנקודה ω כך שאתם כנראה רגילים לסמן B, = ω δ והמקרה האינסופי, גבול של פונקציה F כאשר x התכנסות בהחלט הגדרה 4.8 [התכנסות בהחלט] תהי f : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים b]). f R([, נאמר ω מתכנס (לערך סופי). כאשר האינטגרל מתכנס אבל לא בהחלט, f מתכנס בהחלט אם ω ש f אומרים שהוא "מתכנס בתנאי". טענה 4.9 [התכנסות בהחלט גוררת התכנסות] תהי f : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים ω. f ω f מתכנס בהחלט. אזי הוא מתכנס ומתקיים ω f נניח ש. f R([, b]) הוכחה: נשתמש בקריטריון קושי של טענה 4.7, ובאי השוויון מטענה 3.4. אכן, בהנתן > ε נבחר את b2 b2 f f ε b, b 2 [B, ω) b b B על פי קריטריון קושי עבור f ואז יתקיים 32

33 ומקריטריון קושי גם האינטגרל ללא ערך מוחלט מתכנס. כעת את אי השיוויון נקבל לכל b < ω וניקח גבול של אי שוויונים. הערה 4. נשים לב שאם f אינטגרבילית בכל תת קטע של (ω,], אז האינטגרל הלא אמיתי קיים, והשאלה היחידה היא לגבי ההתכנסות שלו (כמו בעולם הטורים). זאת אומרת שהתכנסות בהחלט היא עניין של סופיות, ולא של "קיום גבול כשייתכנו ביטולים" עניין פשוט יותר קונספטואלית ויישומית ω אם כאחד פונקציות חיוביות : חסימות הקדומה, השוואה, השוואה לטורים טענה 4. תהי f : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים b]). f R([, אזי < f b ורק אם הפונקציה F (b) = f(x)dx חסומה על ω) [, הוכחה: זו פונקציה עולה, ולכן יש לה גבול סופי אם ורק אם היא חסומה. מסקנה 4.2 [השוואת אינטגרלים] תהיינה f, g : [, ω) R ונניח שלכל b < ω מתקיים g f, ω ω ולהפך, אם = f אז גם f < אז גם ω g < אם. f g נניח גם. R([, b]) ω. g = b F (b) = b ו G(b) = g(x)dx והטענה הוכחה: זה נובע ישירות מהעובדה ש F G עבור f(x)dx הקודמת.. +x 2 ולכן = dx +x +x 2 דוגמא: מתקיים x.( מתקיים e x > e x2 בקטע ) [, ולכן < dx e x2 (למעשה יש לו ערך יפה: π/2 משפט 4.3 [השוואה לטורים] תהי f : [, ) R יורדת, f. אזי האינטגרל הלא אמיתי מתכנס. יתר על כן, מתקיים אם ורק אם הטור f(n) =n f < f(n) n=2 f f(n) n= הוכחה: מהנתונים f אינטגרבילית בכל תת קטע סגור. אפשר להסתכל גרפית, ואפשר פשוט לרשום n+ f(n) f(nהאם + ( f נכון לכל t בקטע ואז לעשות אינטגרל, הקטע מאורך ) ולסכום על n פני n. מדובר בטורים חיוביים ולכן יש קריטריון השוואה לטורים. 33

34 f(n) n=2 N+ f(t)dt f(n) n= קיבלנו שלכל N N מתקיים lim N N מתכנס, משום שהטורים חיוביים, גם הגבול f(t)dt n= במיליים אחרות אם הטור f(n) x מתכנס (כאן הגבול רץ רק על טבעיים) ובפרט הפונקציה העולה F (x) = f(t)dt חסומה ולכן האינטגרל הלא אמיתי מתכנס.[חסימותם האינטגרל הלא אמיתי מתכנס אז הסכומים החלקיים = N S N חסומים ולכן הטור מתכנס. n= f(n). שכן = dx x n= n המשפט הזה מאוד שימושי, למשל זו דרך ישירה לראות ש = הבה נשחק מעט עם הדוגמא של פונקציית זטה של רימן. ζ(s) = n= n s (רימן מגדיר המשכה שלה לכל המישור המרוכב, אבל בזה לא הגדרה 4.4 עבור > s נגדיר את זהו מספר סופי מהקריטריון הקודם. נעסוק בקורס שלנו). דהיינו s lim ζ(s)(s ) = s + טענה 4.5 הגבול של הפונקציה באחד מתבדר כמו s = x s dx n s + n= הוכחה: יהי > s אזי על פי קריטריון ההשוואה x s dx = + s ונכפול את שני הצדדים ב s כדי לקבל (s )ζ(s) s וכעת נשאיף את.s 34

35 ( lim s +[ζ(s) N ) s ] = γ = lim N n ln(n) n= תרגיל למחשבה: (ואם סיימתם לחשוב) פתרון התרגיל: נבצע השוואה דומה לכל N ונקבל שעבור > s מתקיים (N + ) s s = N+ x s dx n=n+ n s N x s dx = N s s כעת נביט בהפרש בין הטור האינסופי לסופי על מנת להעריך ζ(s) N ( s = ) n s + n s s n= n=n+ לפי האי שוויון למעלה נקבל ( ) (N + ) n s s + ζ(s) N s s ( ) N n s s + s n= וניקח בנפרד (עבור N קבוע) lim ו lim של החסם העליון והתחתון כאשר + s. נשתמש בכך ש ( lim sup ζ(s) s + lim inf s + ]+ s lim שכן זו הנגזרת של הפונקציה N x בנקודה. נקבל s ( N s )] = ln(n) ) s ) ( ζ(s) s lim sup s + lim inf s + n= ( ) N n s s + = n ln(n) =: N s n= n= ( ) (N + ) n s s + = n ln(n + ) =: b N s n= N+ b N C C 2 N b N +ln ובפרט שתי הסדרות N n= לאחר מכן ניקח גבול כאשר n. נקבל מתכנסות, לאותו גבול, השווה גם ל C. = C למכפלה: קריטריון אבל ודיריכלה ω בתת פרק זה אנו דנים בהתכנסות של האינטגרל הלא אמיתי. fg אם היינו דנים "רק" בהתכנסות בהחלט, אז התנאי למשל ש חסומה ו < g מספיקים כמובן. התכנסות בתנאי היא כעקרון הרבה sin(x) x dx יותר מסובכת. הנה מקרה לדוגמא: משום שניתן להעריך את האינטגרל מלמטה על ידי אינטגרל על תחום sin(x) x כאן ברור ש = dx חלקי בו sin(x) חסומה מלמטה על ידי, נאמר, /2, ואז להשתמש בכך ש x מתבדר גם בתחום 35 חלקי זה. t

36 מצד שני, אינטגרציה בחלקים מראה שהאינטגרל כן מתכנס בתנאי sin x x dx = ( cos(x) x ) cos(x) x 2 dx מהתכנסות במ"ש קיים נס בהחלט, ולביטוי הראשון יש משמעות (הגבול סופי). העובדה שמותר לעשות "בחלקים" מיידית, שכן את החישוב כולו ניתן לבצע עבור אינטגרל עד N ורק אז להשאיף אותו ל. המקרה הפרטי הזה עובד גם באופן כללי יותר, וזה נקרא קריטריון אבל דיריכלה. אלה בעצם שני משפטים מאוד דומים. למדתם בסמסטר א ולכן נוכיח אותו כאן. אחרי ההוכחה נצטט גם את הקריטריון המתאים לו מטורים, שמסתבר שלא משפט 4.6 [משפט אבל] תהיינה.,f g :,] (ω R נניח ש f מונוטונית ו g רציפה. נניח גם ש ω) f C [, גזירה ברציפות.. ω. fg < אזי ω נניח גם ש f חסומה, ו < g המשפט השני דומה מאוד, רק "מחליפים בו את התפקידים". משפט 4.7 [משפט דיריכלה] תהיינה,f. g :,] (ω R נניח ש f מונוטונית ו g רציפה. נניח גם ש, sin(x) ושל dx ln(x) ω) f C [, גזירה ברציפות. ω. fg < אזי. lim x נניח גם ש g חסום כפונקציה של x וש = f(x) x ω sin(x) לפני ההוכחה נציין שלמשל מקבלים (נאמר על פי דיריכלה) התכנסות של dx x מיידית. הוכחה: [הוכחת משפט אבל] מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור. נראה שמתקיים קריטריון קושי. משימוש בקריטריון קושי עבור האינטגל של g נקבל שיש B < ω כך שלכל (ω b, b 2,B] b כאשר M הוא החסם של f. נשתמש בלמה של בונה גרסא 2 (משפט 3.46) 2 b מתקיים g < ε 2M שמבטיח קיום x בין b לבין b 2 (ובפרט, גם הוא גדול מ B) כך ש b2 x fg = f(b ) g + f(b 2 ) b b b2 x g M x b g + M b2 x g ε y x הוכחה: [הוכחת משפט דיריכלה] מהנתונים כולן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור. נשים לב ש g x חסומה גם היא כי אם נסמן ב G(x) את g והיא חסומה על ידי M אז הביטוי הקודם הוא פשוט G(y) G(x) וחסום על ידי. 2M שוב לפי הלמה של בונה נרשום b2 x fg = f(b ) g + f(b 2 ) b b b2 x g [ f(b ) + f(b 2 ) ]2M כעת נבחר את B כך שלכל b > B יתקיים ε 4M < f(b), ולכן קריטריון קושי יתקיים. 36

37 נזכיר את קריטריון אבל דיריכלה לטורים לשם השוואה: מדובר בטורים n b n והתנאים שמבטיחים התכנסות הם: S N = N חסומה קריטריון דיריכלה: () n מונוטונית ו ( 2 ) n= b n מתכנסת קריטריון אבל: () } n { מונוטונית וחסומה ו ( 2 ) < n n= b כאן אני מצרפת את הוכחת שני הקריטריונים לטורים (לוגית היא מתאימה בחדו"א ). שימו לב לדמיון להוכחות לאינטגרלים זו סוג של "סכימה בחלקים" לטורים. הוכחה: [הוכחת קריטריון דיריכלה לטורים מספריים] נניח בה"כ ש n יורדת, ואת החסם של N S נסמן ב M. נרצה להשתמש בקריטריון קושי לטורים ולכן נרשום n+p n+p k b k = k (S k S k ) = k=n k=n n+p k=n S k [ k k+ ] + S n+p n+p S n n כעת נחסום, על פי מונוטוניות n את הביטוי על ידי n+p k b k k=n n+p k=n S k [ k k+ ] + S n+p n+p + S n n M[2 n ] כך שקריטריון קושי מתקיים והטור של המכפלות מתכנס. הוכחה: [הוכחת קריטריון אבל לטורים מספריים] נניח בה"כ ש n יורדת. לכן, מחסימות שלה, יש לה בפרט סדרת גבול, נאמר. n נביט ב c n = n גם היא יורדת. משום ש < n n= b הסכומים החלקיים שלה חסומה. לכן מקריטריון דיריכלה נקבל כי < n c n b. כעת נוסיף לו את הטור המתכנס גם הוא < n b ונקבל בחזרה את הטור המקורי כסכום של שני טורים מתכנסים, לכן מתכנס. שאלה למחשבה: האם המשפט על השוואת טורים ואינטגרלים יכול לתת הוכחה של אבל ודיריכלה לטורים על פי המפשט של פונקציות, או להפך? כדאי להיזכר בעוד קריטריונים להתכנסות טורים ולמצוא להם אנלוגים באינטגרלים לא אמיתיים. לייבניץ יכול למשל להתאים ל f(x) והתכנסות. f(x) sin(x)dx מה עם קריטריון העיבוי, מבחן המנה? שורש? נעיר כי בהוכחות של אבל ודיריכלה היה כדאי להיזכר בכל אופן כי נזקק להן בפרק על טורי פונקציות סטירלינג נוסחת סטרילינג היא אחת הנוסחאות השימושיות ביותר שתלמדו בקורס. היא משמשת על פי רוב להערכה של המספר!n על ידי הביטוי 2πn +n 2 e n. כשאומרים "הערכה" אז מתעניינים למשל בשגיאה. 37

38 הבה נראה מה מקבלים בפשטות מהשוואת טורים ואינטגרלים. אחר כך נעבוד קצת יותר כדי לקבל j ln(x)dx ln(j) j j j+ הערכה טובה יותר. נשים לב שממונוטוניות ln מתקיים ln(x)dx [x ln(x) x] n = n ln(x)dx n ln(j) = j=2 n ln(j) j= n+ ולכן הסכום מקיים ln(x)dx = [x ln(x) x] n+ וקיבלנו n ln(n) n + ln(n!) (n + ) ln(n + ) n בעצם כאן מסתיים החלק שבגללו הראינו עכשיו את סטירלינג. זו כמובן הערכה לא מי יודע מה, רק n n e n+ n! (n + ) n+ e n הנה הטענה המדויקת שאנחנו מראים טענה 4.8 [נסחת סטירלינג] מתקיים שלכל n טבעי 2πn n+ 2 e n n! 2πn n+ 2 e n e 2n ובפרט lim n n!e n n n+ 2 = 2π ניקח לוגריתם כדי לכתוב זאת יותר בפשטות. רוצים להראות ln( 2π) + (n + 2 ) ln(n) n n j= ln(j) ln( 2π) + (n + 2 ) ln(n) n + 2n את ההוכחה עצמה נבצע בשיטות של חדו"א דווקא. הוכחה: כעת נגדיר את הסדרה = n d ln(n!) (n + ) ln(n) + n שזו הסדרה שאנו טוענים מקיימת + 2π).ln( 2π) d n ln( נראה 2n 2 זאת בשלושה שלבים: ראשית נראה ש d n d n+ ( 2 n ) n + 38

39 הדבר יוכיח שהסדרה מונוטונית יורדת ואילו n d עולה, ובפרט לכן שתיהן מתכנסות לגבול משותף 2n שנסמן אותו C. זה בפרט יראה ש d n = C + θn עבור איזשהו [,] n θ. כל שנותר יהיה לבדוק 2n וזאת נעשה על ידי נסחת ואליס מהו C. נתחיל בהוכחה ההערכה של d. n נשתמש בטור טיילור של ln( + t) = t t2 2 + t3 3 t4 4 + t (, כפי שמדתם בחדו"א ].F ln( + t) ועבור כל ) (, t ln( t) = t t2 2 t3 3 t4 4 2 ln( + t כעת נחשב + 5 t ) = t + t3 3 + t5 לכן d n d n+ = ln(n!) (n + 2 ) ln(n) + n ln((n + )!) + (n + 3 ) ln(n + ) n 2 = (n + 2 )[ ln(n) + ln(n + )] = (n + 2 )[ln(n + n )] = (n + 2 )[ln(2n + + 2n + )] = (n + 2 )[ln( + 2n+ )] 2n+ ונשתמש בנוסחא שלנו כדי לקבל d n d n+ = (2n + )[ 2n ( 2n + )3 + 5 ( 2n + )5 + ] d n d n+ 3 ( 2n + )2j = ( 2n+ )2 3 ( = 2n+ )2 3 4n 2 + 4n = 2 j= כך רואים כי n+ d n d וגם ( n ) n + כך קיבלנו את השלב הראשון. כעת נסיק, כמוסבר מעלה, שלסדרה d n יש גבול C. כדי לחשב אותו π 2 = lim n [(2n)!!] 2 [(2n )!!] 2 (2n + ) = lim n נשתמש בנוסחת ואליס. הנוסחא היא כזכור [2 n n!] 2 [(2n)!/(2n)!!] 2 (2n + ) = lim n [2 n n!] 4 [(2n)!] 2 (2n + ) ולכן, היות שאנו יודעים שלכל n קיים [,] n θ עבורו n! = e C n n+ 2 e n e θn 2n 39

40 π 2 = lim n [2 n n!] 4 [(2n)!] 2 (2n + ) = lim n = lim n e 2C 2 4n n 4n+2 2n + 2 4n+ n 4θn θ2n e 2n 4n+ אפשר פשוט להציב אותו בנסחת ואליס ולקבל [ ] 4 2 n e C n n+ 2 e n e θn 2n [ e C (2n) 2n+ 2 e 2n e θ 2n 24n ] 2 (2n + ) = e2c 4 זאת אומרת (2π C. = ln( קיבלנו את אי השוויון הרצוי ln( 2π) ln(n!) (n + 2 ) ln(n) + n ln( 2π) + 2n ב. סדרות וטורי פונקציות 5 סדרות וטורי פונקציות כלליים 5. הקדמה ומוטיבציה עד היום עסקנו בנפרד בסדרות, ובפונקציות. כעת עוברים לדבר על סדרות של פונקציות. f n : [, b] R, n =,, 2,... (כמובן התחום לא חייב להיות קטע סגור). למשל,. הקטע ] [, הסדרה f n (x) = x n f n (x) = sin(nx) n 2. קטע לבחירתכם f n (x) = + x + x2 2 + x3 3! + + xn n! 3. על R הסדרה.4 הקטע ] [, הסדרה f n (x) = nx( x 2 ) n הגדרה 5. יהיה I R קטע (מוכלל) ותהיינה f n : I R סדרת פונקציות. נאמר שהסדרה שואפת לפונקציה f : I R נקודתית ב I אם לכל x I מתקיים lim f n(x) = f(x) n 4

41 שאלות טבעיות שצצות הן למשל (א) האם גבול נקודתי של רציפות הוא רציף? (ב) האם גבול נקודתי של אינטגרביליות רימן הוא אינטגרבילי רימן? (ג) האם האינטגרל של הגבול נקודתי (אם הוא אינטגרבילי) הוא גבול האינטגרלים? (ד) מה הקשר בין נגזרת הגבול וגבול הנגזרות? התשובות של כל השאלות הללו מעידות שמושג הגבול הנקודתי הוא חלש מידי כדי להסיק משהו על הפונקציה הגבולית. לכן נעבור, מייד אחרי התשובות לשאלות, למושג חזק יותר של התכנסות סדרת פונקציות. תשובות: (א) לא. הגבול של הסדרה בדוגמא (שכולה פונקציות רציפות) הוא הפונקציה הלא רציפה x [, ) f(x) = x = (ב) לא. אפשר בקלות ליצור סדרה של פונקציות שכולן אינטגרביליות והן מתכנסות נקודתית לפונקציית דיריכלה. כדי לבנות אותן ניקח מנייה של הרציונלים בקטע [,], נאמר Q [, ] = {r, r 2,...} x {r,..., r n } = (x). f n כולן רציפות למקוטעין ולכן ונגדיר את f n : [, ] R להיות otherwise אינטגרביליות, קל לראות שיש שאיפה נקודתית לפונקציית דיריכלה, אך פונקציית דיריכלה כמובן אינה אינטגרבילית רימן. ג) לא. נביט בדוגמא 4 למשל, קל לראות ש n f נקודתית. מצד שני f n (x)dx = nx( x 2 ) n dx = n 2 ( y) n dy = n 2 y)n+ [ ( ] = n + n 2(n + ) 2 (ד) אין קשר מיידי, כמו שמעידה דוגמא 2 נאמר בקטע [,], הסדרה שואפת נקודתית ל אבל סדרת הנגזרות היא cos(nx) f n(x) = שאיננה מתכנסת לשום דבר ב x כללי. נעיר כאן שסעיף ד' הוא העיקרי שבו אין התנהגות טובה גם אם ההתכנסות שמניחים היא חזקה יותר כמו בסעיף הבא. 5.2 התכנסות במ"ש 5.2. הגדרה ועובדות פשוטות הגדרה 5.2 יהיה I R קטע (מוכלל) ותהיינה f n : I R סדרת פונקציות. נאמר ש f n f במידה שווה (במ"ש) על (או ב ) I אם מתקיים lim sup f n (x) f(x) = n x I 4

42 ומסמנים גם על ידי f u n f (האות u מעל החץ) או המילה "במ"ש" מעל החץ. באופן שקול ניתן לומר: לכל > ε קיים N כך שלכל x I ולכל,n > N מתקיים. f n (x) f(x) < ε נעיר שאין הדבר דומה לרציפות במ"ש, ובפרט ההגדרה תקפה גם לכל קבוצה אבסטרקטית במקום I (אין שימוש ב"מרחק" על I). נשים לב שהתכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית (לאותה פונקציה), אך להפך לא נכון. לכן תמיד המועמדת להיות גבול במ"ש של סדרה מסויימת זו הפונקציה שהיא הגבול הנקודתי. x [, ), f(x) = דוגמא: נחזור לקטע ] [, ולסדרה. f n (x) = x n יש התכנסות נקודתית ל x = אבל לכל n קיימת נקודה ) (, n x בה = /2 ) n f n (x ובפרט /2 f(x) sup x f n (x) לכל.n אם נדמה לכם שהבעיה היתה בעובדה שפונקציית הגבול לא הייתה רציפה אין זה נכון. קל לוודא שבדוגמא של הקטע ] [, והסדרה f n (x) = nx( x 2 ) n הפונקציה הגבולית היא זהותית אפס ובפרט רציפה, אבל הפונקציות אינן חסומות ולכן התנאי של התכנסות במ"ש לא מתקיים. אפשר ממש לבחור x n = n ולראות זאת. עוד דוגמא נחמדה היא.f n (x) = x n x 2n שואפת לאפס נקודתית, אבל יש לה מקסימום (השווה לרבע) לכל n, ובפרט לא שואפת לאפס במ"ש. sin(nx) במ"ש? כמובן. n האם האם x, ](כן), 9 או בתחום n במ"ש? תלוי באיזה תחום שואלים. בקטע סגור, למשל ] j= xj (, ](לא). ההפרש בין הסדרה לפונקציה הוא לאפס, אבל בקטע הפתוח (,] אינו חסום. נוסיף כאן מספר הערות והגדרות שיהיו לנו שימושיים בהמשך. xn+ ולכן בכל קטע סגור המוכל ב (,] שואף במ"ש x הערה 5.3 תהי f n : I R סדרת פונקציות ונניח f n u f אזי גם לכל תת סדרה מתקיים f nj u f ובפרט לתת סדרה שהיא הזזה באינדקסים. לא משפיעה על התכנסות.. n = sup x I f n (x) f(x) לכן מספר סופי של איברים מתוך סדרת הפונקציות ההסבר הוא שפשוט מדובר על התכנסות לאפס של סדרת המספרים הגדרה 5.4 [חסימות במידה אחידה] סדרת פונקציות f n תיקרא חסומה במידה אחידה אם קיים M כך שלכל n ולכל x מתקיים. f n (x) M הערות 5.5 ראשית נשים לב שגבול נקודתי (ולכן גם גבול במ"ש) של חסומות במידה אחידה יהיה גם חסום על ידי אותו M. נשים לב גם שאם f u n f והפונקציה f חסומה אז החל מאינדקס מסוים, הסדרה f} n } n N חסומה במידה אחידה. שנית, אם f u n f ו f איננה חסומה, נובע שקיים N כך שלכל n N גם f n איננה חסומה. (כי הן במרחק נקודתי קטן ממנה, בכל הנקודות בו זמנית) לכן, אם נתון ש f n חסומות (ולא נתון "במידה אחידה") והן שואפות במ"ש לפונקציה אז נובע שהפונקציה חסומה, ולכן שהן חסומות במידה אחידה. זאת אומרת, חסימות יחד עם התכנסות במ"ש למשהו גורר חסימות במידה אחידה. 42

43 לעניין מכפלה של פונקציות: נשים לב שאם f u n f ו g u n g זה לא גורר f n g u n fg למשל x f סדרה קבועה ו = n g סדרה בה כל איבר הוא פונקציה קבועה (אחרת x n n(x) = x = לאינדקסים שונים) ששואפת כמובן ל במ"ש. המכפלה שואפת לאפס נקודתית אך לא במ"ש. למה 5.6 תהיינה f n, g n, f, g : I R פונקציות ונניח ש f n u f ו.g n u g כמוכן נניח שכל הפונקציות חסומות במידה אחידה על ידי.M אזי.f n g n u fg הוכחה: אכן, הטריק הרגיל של מכפלות עובד sup f n (x)g n (x) f(x)g(x) sup f n (x)g n (x) f(x)g n (x) + sup f(x)g n (x) f(x)g(x) x x x ( ) M sup f n (x) f(x) + sup g n (x) g(x) n x x כמובן שעל פי ההערה מעלה מספיק היה להניח חסימות של,f g והחסימות במידה אחידה נובעת מהתכנסות במ"ש קריטריון קושי להתכנסות במ"ש משפט 5.7 [קריטריון קושי] תהיינה f. n : I R הן מתכנסות במ"ש אם ורק אם לכל > ε קיים N ε כך שלכל n, m > N ε מתקיים שלכל x I f n (x) f m (x) < ε. f n יהיה הוכחה: הכיוון הקל: נניח שיש התכנסות במ"ש זאת אומרת שקיימת f : I R כך ש u f > ε ונבחר את N כך שלכל n > N ולכל x יתקיים f n (x) f(x) < ε/2 לכן לכל n, m > N יתקיים f n (x) f m (x) f n (x) f m (x) + f n (x) f m (x) < ε בכיוון שני: נניח ש תנאי קושי מתקיים. בפרט לכל x מתקיים ש (x) f n סדרת קושי, ולכן יש לה גבול שאותו נסמן ב.f(x) כעת עלינו להראות ש. f u n f יהיה > ε ונבחר את N על פי הקריטריון. לכן לכל n > N ולכל m > N מתקיים. f m (x) ε < f n (x) < f m (x) + ε לכן כשניקח m אי השוויון עדיין יתקיים (אם כי אולי חלש), זאת אומרת שעבור n > N מתקיים f(x) ε f n (x) f(x) + ε וזו בדיוק התכנסות במ"ש. 43

44 5.2.3 גבול במ"ש של רציפות ראינו דוגמאות של התכנסות נקודתית של פונקציות רציפות לפונקציה שאינה רציפה. כאשר ההתכנסות היא במ"ש זה דווקא כן עובד. f אזי. f n משפט 5.8 [גבול במ"ש של רציפות הוא רציף] תהיינה f n : I R רציפות ונניח ש u f רציפה. הוכחה: תהי x I יהי >.ε מהתכנסות במ"ש קיים N כך שלכל n > N ולכל y מתקיים x x < δ כך שאם δ מתקיים שקיים f n ומרציפות n > N נבחר איזשהו. f n (y) f(y) < ε/3 אז ε/3. f n (x) f n (x ) < נרשום f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) ε וקיבלנו את הגדרת רציפות בנקודה. f n ונקודה הערה 5.9 נעיר שניתן להוכיח משפט כללי יותר על נקודה בודדת. נניח שנתונה סדרה u f x כך שקיים lim x x f n (x) = α n לכל.n אזי קיים הגבול f(x).lim n α n = lim x x ההוכחה זהה למה שכתוב מעלה. יתר על כן ההוכחה תקפה גם עבור x שהוא ±. בידקו זאת בעצמכם משפט דיני משפט Dini שימושי מאוד כדי להראות שיש התכנסות במ"ש. משפט 5. [דיני] תהיינה f n : [, b] R רציפות ונניח ש f n f נקודתית. נניח גם ש (א) (x) f n סדרה יורדת לכל x נתון (ב) f רציפה אזי. f u n f הוכחה: השאיפה הנקודתית גוררת כי לכל x ב [b,] קיים מספר n(x) כך ש f n(x) (x) f(x) < ε (למעשה יכולנו לדעת שהדבר מתקיים מ ( n(x ואילך, אך כרגע זה לא נחוץ). משום ש (x) f n רציפה וגם f רציפה, אי השוויון הנ"ל נכון לא רק ב x אלא גם בסביבה פתוחה כלשהי שלו, שנסמן b] U x [, המקיימת.x U x משום שהסדרה יורדת, נסיק שלכל y U x ולכל n(x) n > מתקיים f n (y) f(y) f n(x) (y) f(y) < ε 44

45 הקבוצות U x הן כיסוי פתוח של [b,] ומהלמה של היינה ובורל קיים תת כיסוי סופי, דהיינו קיימים n נקבל שלכל M j=u xj ולכן אם נסמן )) M = mx(n(x ),..., n(x x,..., x M כך ש b] [, n > ולכל n y [, b] f n (y) f(y) < ε וזו התכנסות במ"ש (מלמעלה). הערה 5. כמובן ניתן לנסח משפט דומה עבור התכנסות של סדרה עולה של רציפות המתכנסות לפונקציה רציפה. השימוש הסטנדרטי למשפט דיני הוא להתכנסות במ"ש של טור של פונקציות חיוביות. נתונות פונקציות.S n (x) = n נביט בגבול הנקודתי רציפות (x) u n ובונים את סדרת הסכומים החלקיים j(x) j= u של (x) S, n ונאמר שהוא מתכנס לפונקציה נתונה.S(x) נניח שפונקציה זו היא רציפה. אזי ההתכנסות u n (x) = xn בקטע הסגור [,] יתן התכנסות במ"ש של הסדרה n! של הטור חייבת להיות במ"ש. למשל.e x לפונקציה n j= מדוע זה שימושי לדעת שגבול הוא במ"ש? למשל אם אנחנו מעוניינים לבצע מה שנקרא "אינטגרל איבר איבר", דהיינו להחליף אינטגרל עם סכום אינסופי, או עם גבול (זה אותו הדבר). על כך הסעיף x j j! הבא גבול תחת האינטגרל ומזורנטה משפט 5.2 [החלפת גבול ואינטגרל] תהיינה b] f n R[, ותהי f : [, b] R ונניח שמתקיים.f n u f b f(x)dx = lim n b f n (x)dx אזי [b f R[, ויתר על כן הוכחה: על מנת להראות אינטגרביליות, נוכיח שמתקיים קריטריון דרבו, זאת אומרת שלכל > ε קיימת חלוקה המקיימת.ω(f, Π) = Σ(f, Π) Σ(f, Π) < ε נשתמש בהתכנסות במ"ש על מנת לבחור את n מספיק גדול כך ש )) f n (x) f(x) < ε/(4(b לכל.x בפרט לכל קטע J יתקיים )) ω(f, J) ω(f n, J) < ε/(2(b.משום ש f n היא אינטגרבילית, היא מקיימת את קריטריון דרבו b f(x)dx ויש לה חלוקה עבורה ε/2. Σ(f n, Π) Σ(f n, Π) < כעת נחשב ω(f, Π) = ω(f, [x i, x i ]) x i ω(f n, [x i, x i ]) x i + ε/2 ε b f n (x)dx b וסיימנו. כדי להראות התכנסות של האינטגרל עצמו פשוט נחשב f(x) f n (x) dx (b ) sup f(x) f n (x) n x 45

46 הערה 5.3 כשמדובר באינטגרל לא אמיתי, אפילו אם יש התכנסות במ"ש עדיין יכול להיות שלא תהיה התכנסות של האינטגרלים. אפשר לקרוא לתופעה זו "מאסה בורחת לאינסוף", והנה דוגמא של u f n בה זה קורה: /n x [, n] f n (x) = o/w זה לא אומר שאין מה לעשות עבור אינטגרלים לא אמיתיים, המשפט הבא אומר שאם יש גם "שליטה" על כל הפונקציות בו זמנית, הדבר אפשרי. נסמן כרגיל ω להיות הקצה הימני של הקטע הפתוח, שיכול גם להיות +. משפט 5.4 [מזורנטה] תהיינה f n :,] (ω R ונניח שהן אינטגרביליות בכל תת קטע סגור ושלכל f u ω בכל תת קטע n f ונניח שמתקיים f : [, b] R קיים). תהי (ובפרט f n < מתקיים n קומפקטי. נניח שבנוסף קיימת Ψ :,] (ω R אינטגרבילית על כל תת קטע סגור, כך שלכל n מתקיים ω. אזי [b f R[, לכל תת קטע סגור, האינטגרל הלא אמיתי שלה מתכנס Ψ < וכך ש, f n Ψ ω ω ω f(x)dx = lim f n (x)dx Ψ(x)dx n ויתר על כן זאת אומרת, אין בריחה של מאסה ל"אינסוף". b הוכחה: מהמשפט הקודם לכל (ω b,) מתקיים f n b f ω קיים וסופי שכן הוא מתכנס בהחלט, כי f Ψ על פי לקיחת גבול נקודתי ויש משפט כמוכן, f השוואה לפונקציות חיוביות. כדי לקבל את גבול האינטגרלים יהי > ε ונבחר x מספיק גדול כך ש ω. נבחר את n מספיק גדול כך ש sup x [,x ] f n (x) f(x) < ε/2x לכל.n > n כעת x Ψ < ε/4 ω ω x x f n f f n f + x sup f n f + 2 [,x ] 46 ω x ω x f n Ψ ε ω x f נחשב ולפי הגדרת הגבול סיימנו.

47 נראה דוגמא לשימוש במשפט האחרון. חישוב האינטגרל. e x2 dx := I זה חישוב שעשיתם בצורה מודרכת בשיעורי הבית על ידי שימוש באי שוויון, כעת אפשר בעזרת המשפט האחרון להסתפק f n (x) = ( + x2 n ) n e x2 בחישוב יחיד ובהתכסנות האינטגרלים. נביט בסדרת הפונקציות הגבול הזה הוא יורד ) n f) +n f והפונקציה הגבולית רציפה לכן על פי משפט דיני (משפט 5.) הגבול הוא במ"ש על כל אינטרואל חסום [,]. יתר על כן, משום שהסדרה יורדת כולה חסומה על ידי האיבר שיכול לשמש לה מזורנטה (ושחישבנו לו כבר את האינטגרל הלא אמיתי, והוא מתכנס). הראשון +x 2 על פי המשפט האחרון, משפט 5.4 מתקיים lim n ( + x2 n ) n dx = I לשם כך נבצע שינוי משתנה קלאסי x = x(ϕ) = n tn ϕ שמקיים dx = n ונקבל dx dϕ שרושמים גם כ = n cos 2 ϕ dϕ cos 2 ϕ [ π I = lim n n 2 I = lim n ] (2n 3)!! π = lim (2n 2)!! n 2 ( + x2 n ) n dx = lim n π/2 עלינו לחשב אינטגרל זה. +.( כמובן x2 n ) = + tn2 ϕ = cos 2 ϕ cos 2n 2 ϕ ndϕ על פי הטענה המקדימה לנוסחת ואליס והנוסחא עצמה ניתן לרשום [(2n ] 2 3)!! n (2n ) (2n 2)!! 2n = π π = π/ על גזירה וגבול נחזור על כמה דוגמאות המדגימות את הבעייתיות בהחלפת נגזרת וגבול. ˆ n f n (x) = x בקטע ].[, f n אבל cos(nx) f n(x) = אין לו גבול נקודתי ברוב הנקודות u בכל קטע. f n (x) = sin(nx) n ˆ f n(x) = 2 2n2 x 2 ולכן = 2 n() f לכל n ואילו (+n 2 x 2 אבל ) 2 f n u בכל קטע. f n (x) = 2x +n 2 x 2 ˆ n(x) f לכל x אחר כאשר n. בפרט אין שאיפה במ"ש של הנגזרות. המשפט העיקרי על החלפת גבול ונגזרת ((n ((lim f n ) = lim(f לכן דורש הרבה תנאים. נוכל להחליף אם הנגזרות בעצמן מתכנסות במ"ש (למשהו ואז ינבע שזו נגזרתה של הפונקציה הגבולית) ובנוסף הדרישה היא שהן רציפות ושיש נקודה בה הסדרה המקורית מתכנסת. לרב ההתכנסות הנקודתית ידועה בכל הנקודות ולא רק באחת, אבל משום שאחת מספיקה אנו מנסחים זאת כך. 47

48 משפט 5.5 [על החלפת נגזרת וגבול] תהיינה g, f n : [, b] R כך ש b] f n C [, ונניח שמתקיים (א) קיימת נקודה b] x [, כך ש ) f n (x מתכנסת (לגבול סופי) u (ב) מתקיים g אזי קיימת f : [, b] R כך ש f = g וכן. f n u f.f n (x) = n סדרת הנגזרות היא נראה דוגמא לשימוש לפני ההוכחה: נביט בקטע ],] בסדרה =k xk 2 n. המשפט יאמר לנו מדוע השוויון האמצעי בשורה הבאה תקף k= kxk kx k = lim f n = (lim f n ) = k= ( x) 2 הסדרה f x n מתכנסת נקודתית לפונקציה לכן תנאי (א) מתקיים בכל נקודה. כמוכן, קיימת g כך ש f u משום שסדרת הנגזרות מקיימת ) (n f n ואפשר להשתמש בבוחן של וירשטראסס 2 n n g שיופיע מיד (משפט 5.6), או פשוט להראות שמתקיים קריטריון קושי במ"ש: n n f k(x) (k ) 2 k n>m sup x [,/2] k=m k=m מכאן נובע על פי המשפט האחרון השוויון ) n lim f n = (lim f ויתר על כן, הגבול הזה הוא במ"ש (דבר שניתן היה גם להסיק ישירות מוירשטראסס, אך ללא הנסחא המדויקת לגבול). הוכחה: [של משפט [5.5 נסמן ). c = lim n f n (x נגדיר את f : [, b] R באופן הבא: f(x) = c + x x g(t)dt נראה ראשית שנקודתית f. n f מרציפות f n ומשפט ניוטון לייבניץ לשיוויון השמאלי, משפט 5.2 על f n (x) f n (x ) = x x f n(t)dt x החלפת גבול ואינטגרל לגבול השני, והגדרת f נקבל x g(t)dt = f(x) f(x ) משום שידוע ) f n (x ) f(x נקבל שנקודתית f(x) f n (x) לכל.x (זה החלק שעל פי רוב ידוע מראש). משום שכל n f רציפות, לפי (ב) גם g רציפה ולכן על פי המשפט היסודי של החדו"א f. = g כל שנותר לראות הוא כי f. u n f ואכן x f n (x) f(x) f n (x) f n (x ) (f(x) f(x )) + f n (x ) f(x ) = [f n(t) f (t)]dt + f n (x ) f(x ) x x x sup f n g + f n (x ) f(x ) [,b] (b ) sup f n g + f n (x ) f(x ) [,b] עבור n מספיק גדול, שני האברים קטנים כרצוננו, נאמר יהיה > ε אז ניתן לבחור את n כל שלכל f n n > n שניהם קטנים מ ε/2 וסיימנו. 48

49 5.2.7 ועכשיו טורי פונקציות. הבוחן של וירשטראס. אולי כבר שמתם לב שחלק הדוגמאות היותר שימושיות הן של סדרות שהן בעצם סכומים חלקיים של טורים של פונקציות. כל מה שעשינו כמובן תקף גם שם משום שבסה"כ מדובר על סדרות סדרות הסכומים החלקיים. לומר שטור מתכנס במ"ש לפונקציה מסויימת הכוונה היא שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסים אליה במ"ש. מבחינת סימון יש בעיה כי אין לנו "מעל מה" לרשום את האות u. לכן פשוט נרשום במקרה כזה " f u n = במ"ש". הנה הגרסאות הטוריות של משפטים נבחרים שראינו עד כה: ˆ רציפות, החלפת סכום אינסופי ואינטגרל (משפט 5.8 ומשפט 5.2) תהיינה [b u n C[, ונניח ש במ"ש. אז b] f C[, ומתקיים n= u n = f b f(t)dt = n= b u n (t)dt ˆ משפט דיני לטורים (משפט (5. תהיינה b] f, u n C[, כך ש n u ונניח שנקודתית.f = u n אזי f = u n במ"ש. (משום ש S n מונוטונית עולה). ˆ החלפת נגזרת וסכום אינסופי נקרא גם "גזירה איבר איבר" (משפט 5.5). נניח כי [b u n C,] ונניח כי g = u n במ"ש וכן שקיימת נקודה בה < ) u n (x מתכנס. אזי קיימת,f = u n במ"ש, וכן u n ) = f = u n.( משפט שייחודי לטורים הוא ה M בוחן של ויירשטראסס (ניתן לנסח אותו לסדרות אך הדבר אינו טבעי שכן הוא עוסק בסדרת ההפרשים, שבטורים זה פשוט אברי הטור). משפט 5.6 [ה M בוחן של וירשטראסס] תהיינה u n : [, b] R ונניח שקיימת סדרת מספרים M n כך שלכל x ולכל n מתקיים. u n (x) M n אזי u n מתכנס בהחלט המקיימת < n n= M ובמ"ש. n ( היא סדרת קושי במ"ש, j= u j(x) הסדרה (וגם S n (x) = n הוכחה: נשים לב שהסדרה j(x) =j u ונשתמש במשפט 5.7. אכן קיים n כך ש sup x [,b] m j=n u j (x) sup x [,b] m u j (x) j=n m M j < ε n, m > n j=n אבל ודיריכלה לטורי פונקציות זהו סעיף שידונו בו איתכם בתירגול שכן הדמיון לטורי מספרים הוא גדול מאוד. מצד שני אנו נזדקק לתוצאות האלה בפרק הבא של טורי חזקות. 49

50 משפט 5.7 [קריטריון אבל] תהיינה k (x), b k (x) : [, b] R סדרות של פונקציות. נניח כי מתכנסת במ"ש ב [b,] וכן כי הסדרה {(x) } n מונוטונית ב n לכל x קבוע, וחסומה n= b n(x) במידה אחידה (הזכרו בהגדרה 5.4). אזי הטור (x) n (x)b n מתכנס במ"ש בקטע [b,]. משפט 5.8 [קריטריון דיריכלה] תהיינה k (x), b k (x) : [, b] R סדרות של פונקציות. נניח כי חסומה במידה אחידה ב [b,] וכן כי הסדרה {(x) } n מונוטונית ב n לכל x קבוע, n= b n(x) ושואפת ל במ"ש. אזי הטור (x) n (x)b n מתכנס במ"ש בקטע b].[, הוכחה: [הוכחת קריטריון אבל לטורי פונקציות] הוכחה: [הוכחת קריטריון דיריכלה לטורי פונקציות] כדוגמא, נרצה לדון בטור sin(nx) n כאשר n מונוטונית. כדי להשתמש בקריטריון sin(α) sin(β) = [cos(α β) חסום. אכן, תוך שימוש בכך ש N 2 n= דיריכלה, נבדוק כי sin(nx) β)] cos(α + נקבל B N (x) sin( x 2 ) = sin(x) sin(x 2 ) + sin(2x) sin(x 2 ) + sin(nx) sin(x 2 ) = [ cos( x 2 2 ) cos(3x 2 ) + cos(3x 2 ) cos(5x 2 ) cos(2n x) cos( 2N + ] x) 2 2 = 2 [cos(x 2 ) cos(2n + x)] 2 B N (x) = cos( x 2N+ ) cos( x) sin( x) = 2 sin( N+ 2 x) sin( N 2 x) sin( x 2 ) ולכן ובכל תת קבוצה בה B N חסומה (למשל ב [4/3π,4/π]) יש התכנסות במ"ש. האם יש התכנסות במ"ש בקטע שמכיל אפסים של sin(x/2)? בתירגול. 5.3 בניית פונקציה רציפה ולא גזירה באף נקודה בסעיף זה נבנה פונקציה שהיא רציפה אך איננה גזירה באף נקודה. לשם כך נגדיר פונקציית מסור חיובית בעלת מחזור ובעלת אמפליטודה על ידי 2 5

51 u (x) = u (x + ) = u (x) x x /2 x /2 x u k (x) = u (4 k x)/4 k ונגדיר פונקציות מסור נוספות על ידי. ובעלות אמפליטודה 4 2 k שהן חיוביות, בעלות מחזור 4 k ציור:. על פי הבוחן של וירשטראסס הוא מתכנס במ"ש בכל R ובפרט מגדיר נביט בטור j(x) j= u פונקציה רציפה על R. נסמן אותה ב f. משפט 5.9 הפונקציה שהוגדרה מעלה איננה גזירה באף נקודה. הוכחה: נקבע נקודה x. R נשים לב שכל פונקציה u j היא ליניארית על אינטרואלים מאורך 2 j 4 שמתחילים במספר מהצורה m ל m. N נסמן את המספר הטבעי המשוייך לפונקציה ה nית ב s, n 2 4 j n = [ sn, sn+ ] נסמן גם את תת הקטע המתאים ב. sn x 2 4 n 2 4 n 2 4 n sn ומקיים s דהיינו ] 2 4 n n = [2 4 n x. מתקיים = n וכן 2 4 n 2 n nd j = {x } ניתן לבחור בכל n נקודה x n שנמצאת במרחק n 2 מהנקודה.x ממחזוריות של u j עבור f(x n ) f(x ) x n x = j > n יתקיים לכל j > n ש ). u j (x n ) = u j (x לכן n j= u j (x n ) u j (x ) x n x אבל עבור j n מתקיים כי x n ו x נמצאים באותו אינטרואל j ולכן השיפוע של הגרף של u j הוא או + או. מדובר אם כן בכל שלב בסדרה בסכום סופי שאיבריו הם ±. סכום כזה נותן מספר זוגי כאשר n איזוגי ולמספר איזוגי כאשר n זוגי, ובפרט הסדרה לא יכולה להתכנס כאשר n. הערות 5.2 נעיר כמה הערות היסטוריות. 86 רימן מנחש את הדוגמא R(x) = n= sin(n 2 x) n 2 ללא הוכחה. 5

52 872 ויירשטראסס נתן דוגמא אחרת של פונקציה בעלת התכונות הללו, כולל הוכחה. הוא בחר ) (, ו < b N כך ש b > + 3π ולקח את 2 W (x) = k cos(b k πx) 96 הארדי מוכיח ש R(x) איננה גזירה בכפולות אירציונליות של π ובכפולות מסוימות רציונלאיות שלו. Grever 969 מוכיח ש R(x) גזירה רק ב p π עבור,p q Z אי זוגיים. לא נדון בדוגמאות אלה לעומק, q אך מאנליזת פורייה כן נוכל להראות כי 2 αn cos(2 n x) איננה גזירה באף נקודה עבור < α <. 5.4 משפט ויירשטראסס על צפיפות הפולינומים ברציפות משפט 5.2 [ויירשטראסס] לכל b] f C[, ולכל > ε קיים פולינום (x) P כך ש mx f(x) P (x) < ε [,b] הערות 5.22 באופן שקול ניתן לומר שלכל פונקציה רציפה יש סדרה של פולינומים P n כך ש P. n u f לכן ברור שלא כל תכונה טובה כמו גזירות למשל תעבור תחת לקיחת גבול במ"ש, אחרת לא היתה אפשרות לדוגמא שבנינו בפרק האחרון. נעיר גם שהפולינומים הללו לא תמיד יהיו טור טיילור של הפונקציה, ובפרט ישנם מקרים בהם טור טילור סביב נקודה מסויימת יוצא כל הזמן אף כי הפונקציה רציפה וניתן לקרב אותה עם פולינומים. זה אפילו לא מבטיח שהקירוב הוא "טור חזקות" שכן ייתכן שצריך לשנות את האיברים בכל שלב, נדון על כך בפרק הבא עלינו לטובה של טורי חזקות. הערה נוספת היא שהמקרה ] [, = b] [, הוא כללי שכן ניתן לבצע שינוי משתנה ליניארי b)),f (t) = f( + t( לקרב את F על ידי Q פולינום ואז להגדיר ) t.p (x) = Q( b הוכחה: על פי ההערה, מספק להוכיח עבור f :,] [ R רציפה. נגדיר את B n (x) = n f( k ( ) n n ) x k ( x) n k k k= זו כמובן נוסחה שצריכה להזכיר לכם את הבינום מהסתברות. ליתר דיוק, אם (x X i,)b בלתי X = X + +X n אז אז תלויים זאת אומרת כל אחד מקבל ערך בהסתברות x ו אחרת ומסמנים n (x).ef(x) = B n נזדקק לשתי נוסחאות פשוטות שודאי נתקלתם גם בהן במבוא להסתברות: n k= ( ) n x k ( x) n k = (x + ( x)) n = k 52

53 n ( ) n ( k k n x)2 x k ( x) n k = k= f(x) B n (x) = n k= x( x) n 4n [ f(x) f( k ] ( ) n n ) x k ( x) n k k כעת נחשב את k: k n x <δ ונפרק לשני גורמים כתלות בפרמטר δ שנבחר מייד: [ f(x) f( k ] ( ) n n ) x k ( x) n k + [ f(x) f( k ] ( ) n k n ) x k ( x) n k k k: k n x δ מרציפות במ"ש קיימת > δכך שאם x k < δ אז ε/2, f(x) f( k ) < ולכן הסכום הראשון חסום n n על ידי 2/ε. הסכום השני מקיים, עבור M החסם של f, k: k n x δ [ f(x) f( k n ) ] ( n k )x k ( x) n k 2M ( k n x)2 δ 2 ( ) n x k ( x) n k 2M k δ 2 4n כך שעבור n גדולים מספיק, גם סכום זה חסום על ידי 2/ε. את ההוכחה של הנוסחאות, מי שלא מכיר הראשונה זה פשוט הבינום והשנייה נובעת או מהסתברות סטנדרטית (שונות של סכום של משתנים בינומיים בלתי תלויים) או מחשבון פשוט של סכומים. הנה תקציר ההוכחות הללו: S n = n n X i ולכן אם V r(x) = E(X EX) = x( x) ו EX = x אז X B(, x) V r(s n ) = מצד שני חישוב ישיר יתן.V r(s n ) = x( x) ו ES n סכום עותקים בת"ל יתקיים n = x. ( ) n k ( k n x)2 x k ( x) n k ללא ידע בהסתברות: הבינום הרגיל נותן n n n ( ) n p k q n k = (p + q) n k ( ) n kp k q n k = p( d k dp (p + q)n ) = np(p + q) n ונגזור לפי p ואז נכפול ב pלקבל נעשה זאת שנית ונקבל ( ) n k 2 p k q n k = p( d k dp np(p+q)n ) = n(n )p 2 (p+q) n 2 +np(p+q) n = np(p+q) n 2 [np+q] 53

54 n ( n k n ( n k n ( n k ) kx k ( x) n k = nx ) k 2 x k ( x) n k = nx( + (n )x) ולאחר הצבת p = x ו q = x נקבל ) (k nx) 2 x k ( x) n k = nx( + (n )x) 2nx(nx) + n 2 x 2 = nx( x) 6 טורי חזקות 6. הגדרה טור חזקות סביב = x זהו הסכום הפורמאלי k x k k= וטור חזקות סביב נקודה x כללית זהו הסכום הפורמאלי k (x x ) k k= על פי רוב, משום שניתן לבחע שינוי משתנה x, = x x נדון בטורי חזקות סביב = x. בעצם טור כזה הוא סדרת מספרים. המעניין הוא כמובן כאשר הטור הזה מתכנס, ולכן איננו סתם סכום פורמאלי. נציין את העובדה הטריויאלית שבנקודה x = x הטור תמיד מתכנס, שכן מדובר בסכום של אפסים. נציין גם שקל לייצר טור שלא מתכנס באף נקודה אחרת, למשל אם נבחר!k, k = שבן האיבר הכללי לא שואף ל. נעיר גם שקל לבנות טור שיתכנס בכל R, למשל על ידי בחירת = k שנותן את טור k! טיילור של e. x 6.2 רדיוס התכנסות של טור חזקות קבוצת כל ה x ים עבורם טור חזקות מסויים (סביב נאמר) מתכנס היא קטע סימטרי, למעט ההתנהגות בקצוות הקטע שלא חייבת תהיות זהה. (למעשה כשמדובר במשתנה מרוכב, קבוצת ההתכנסות תהיה "דיסק", אך בקורס אנחנו דנים בעיקר בתחום ממשי.). אם הטור מתכנס בנקודה x כך ש, x = r אז למה 6. [התכנסות בדיסק] נביט בטור =k kx k לכל r < r הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש קטע ] r.[ r, 54

55 מתכנס, האיבר הכללי שלו שואף לאפס ובפרט חסום. נאמר הוכחה: משום שהטור k= kx k r < r = x ונסמן r q = אז < q ומתקיים עבור x כך ש r יהי.sup k k x k = M < ( ) k x k x k = k x k Mq k x x r אבל משום שהטור < k Mq מהבוחן של ויירשטראסס הטור המקורי מתכנס בהחלט ובמ"ש על הקטע ] r.[ r, נעיר שבפרט מקבלים שהגבול רציף בקטע (r,r ), ושניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר בתחום ] r r ], לכל r < r ולכן גם בתחום כולו אם האינטגרלים מתכנסים. מסקנה 6.2 [משפט אבל] לכל טור חזקות k x k קיים מספר ] [, R כך שבתחום < x {x : { Rהטור מתכנס ובתחום {R x} : x > הטור מתבדר. הוכחה: נסמן } < k R = sup{ x : k x ועל פי הלמה סיימנו. נעיר של ההתנהגות בקצוות לא אמרנו בינתיים דבר, זה יעשה בתת הפרק הבא. מה שנחמד הוא שיש נוסחא סגורה למספר הזה (שנקרא רדיוס ההתכנסות של הטור) במונחים של המקדמים. הנוסחא נתונה במשפט הבא.. רדיוס ההתכנסות שלו נתון על ידי הנסחא משפט 6.3 [משפט קושי הדמרד] נביט בטור =k kx k R = lim sup k /k k הבאה: ו =. כאשר = /k) R = ( lim sup k k ונראה התכנסות ב R) ( R, והתבדרות מחוץ לקטע הוכחה: נסמן הסגור. x < q זאת אומרת lim sup k (א) נניח ש. x < R לכן קיים < q כך ש. x < qr לכן /k k k מתקיים. k /k q לכן כך שלכל x קיים k lim sup לפי הגדרת.lim sup k k /k < q x k x k ( k /k x ) k q k ומשום ש < q אנו עומדים בבוחן של ויירשטראסס ויש התכנסות < k k x. (ב) נניח ש x > R. אזי לאיזשהו > Q מתקיים. x > QR ולכן. lim sup k k /k > Q לפי x kj k/ j ולכן האיבר הכללי של הטור לא ישאף לאפס הגדרת lim sup קיימת תת"ס כך ש Q/ x kj x k j (Q) k j 55 שכן על תת סדרה זו

56 ובפרט לא תיתכן התכנסות. לכן, על פי המסקנה הקודמת, R. = R הדיון עד כה לא נתן לנו כלים להחליט מה קורה בקצות תחום ההתכנסות, דהיינו ב ± רדיוס ההתכנסות. ראשית שימו לב שעבור טור חזקות קונקרטי ניתן לרשום במפורש את הטור בקצות ולהשתמש בכלים של טורים מספריים על מנת לחקור התכנסות. נפתח בכמה דוגמאות:.R = ולכן lim sup /k k k! k = ולכן = x k כאן k! ˆ הטור.R ולכן = lim sup /k k ˆ הטור k!x k כאן k! k = ולכן = x מה קורה בקצוות? ב =.R ולכן = lim sup /k k כאן k = k ולכן = ˆ הטור k xk הטור מתבדר וב = x מתכנס. ניתן לשאול, למשל, האם במידה ונתון (או גיליתם על פי קריטריון מסוים) שבקצה הטור יש התכנסות, האם נובע שהגבול יהיה רציף? מסתבר שכן, ונדון בכך עוד מעט. 6.3 גזירות של טור חזקות העובדה שאפשר לעשות אנטגרציה איבר איבר נובעת מהתכנסות במ"ש בכל תת קטע. מה שיותר מפתיע הוא שניתן לגזור גם איבר איבר, דבר שלא נובע ישירות מהתכנסות במ"ש כפי שכבר ראינו. נשים לב שלטור k x k יש טור של נגזרות k k k x אם כי בשלב זה הוא עדיין רק טור פורמלי כי עוד לא אמרנו כלום על התכנסות ועל גזירות איבר איבר, זאת אומרת האם הטור הזה מתכנס לפונקציה שהיא אכן הנגזרת של הפונקציה אליה מתכנס הטור השני. נשים לה גם לעובדה הבאה טענה 6.4 לטור k x k ולטור הנגזרות k k k x יש את אותו רדיוס התכנסות. הוכחה: מיידי: lim sup ((k + ) k+ ) /k = lim sup (k k ) /k = lim sup k /k x n n מתכנס ב מצד שני, ההתכנסות בקצוות יכולה להיות שונה בין טור לטור הנגזרות, למשל הטור ) [, ואילו הנגזרות n x מתכנס ב ).(,, ונסמן את רדיוס ההתכנסות שלו ב R, ואת הפונקציה אליה הוא מסקנה 6.5 נביט בטור k= kx k מתכנס ב.f(x) בכל נקודה בקטע (R,R ) מתקיים k k x k = f (x) k= 56

57 הוכחה: לפי הטענה הקודמת יש לטורים את אותו רדיוס התכנסות. לכן בכל תת קטע סגור [r,r ] (R,R ) יש התכנסות במ"ש הן של הטור והן של טור הנגזרות. לכן ניתן להפעיל את משפט 5.5 על גזירות איבר איבר וחסל. באינדוקציה, הדבר נכון גם לנגזרות מסדר יותר גבוה, ונקבל את המשפט הבא:, ונניח שהוא מתכנס ל f(x) בקטע R).( R, אזי לכל m N ולכל משפט 6.6 נביט בטור k= kx k f (m) (x) = k k(k ) (k m + )x k m = k=m j= R) x ( R, מתקיים ש (j + m)! j+m x j j! כי.f (m) () = m! m ובפרט, טור טיילור של f סביב הוא =k kx k המסקנה המעניינת שנובעת מכאן היא שלא כל פונקציה ניתן להציג כטור של חזקות, כי טורי חזקות יוצאים גזירים אינסוף פעמים בפנים של תחום ההתכנסות שלהם. אפילו פונקציות שהן כן גזירות אינסוף פעמים ייתכן שלא ניתן להציג אותן כטור חזקות, למשל אפשר לראות ש e x 2 x f(x) = x = היא בעלת טור טיילור ששווה לאפס זהותית, ובפרט לא מקיימת את המסקנה של המשפט האחרון, ולכן בהכרח לא עומדת בתנאים שלו. עוד דוגמא יכולה להיות sin(x) x [, ] f(x) = g(x) x [, ] כאשר g(x) לבחירתכם, שונה מ.sin(x) אפשר לבחור את g כך ש f תהיה גזירה אינסוף פעמים. ברור שטור טיילור של f (סביב אפס) יהיה כמו זה של sin(x) ולכן לא יהיה שווה לה בכל תחום ההגדרה. רואים אם כן שטורי חזקות ניתנים יחסית למניפולציות בקלות, וחלק מהדברים שעשיתם בטור טיילור בחדו"א הם עכשיו יותר מדוייקים ופורמליים. מתכנס ב (, ) נגזור: x = k= xk ˆ מתכנס ב (, ) ( x) 2 = k= kxk ˆ = x) ln( מתכנס ב ) [, (נחזור אליו בקרוב) k= k xk מתכנס ב (, ) נעשה אינטגרציה: +x 2 = k= ( x2 ) k = k= ( )k x 2k ˆ 57 ˆ = rctn(x) השוויון נכון מיידית ב (, ) ואילו הטור מתכנס בכל k= ( )k 2k+ x2k+ ˆ [, ] נחזור אליו אח"כ כדי להראות שהשוויון נשמר גם בקצוות הקטע.

58 6.4 קצה רדיוס ההתכנסות. ראינו דוגמאות להתנהגות בקצוות. ראשית טענה פשוטה. כעת נדון בכמה תכונות שימושיות הקשורות בהתכנסות בקצוות. טענה 6.7 נביט בטור k x k, ונסמן את רדיוס ההתכנסות שלו ב R. נניח שהטור לא מתכנס ב,R ). (R אזי אין התכנסות במ"ש של הטור ב x. = R הוכחה: אילו הייתה התכנסות במ"ש בקטע (R,R ) אז קריטריון קושי במ"ש היה מתקיים בקטע זה זאת אומרת לכל > ε היה n כך שלכל m, n > n sup x ( R,R) k=n m k x k < ε ומרציפות (מדובר בסכום סופי של רציפות) היינו מקבלים שגם m k R k ε k=n ולכן בנקודה R הטור (המספרי) היה מקיים את קריטריון קושי ובפרט מתכנס. המשפט הבא הוא בכיוון ההפוך, זאת אומרת שאם יש התכנסות בקצה התחום של ההתכנסות נאמר ב R+, יש התכנסות במ"ש בקטע [R,] כולו, ובפרט נובע שהפונקציה שהיא סכום הטור רציפה. משפט דומה תוכלו לנסח ולהוכיח עבור [,R ]. משפט 6.8 [משפט אבל על קצה תחום ההתכנסות] תהי f(x) = k x k ונניח שיש התכנסות ב x. = R אזי הטור מתכנס במ"ש ב [R,]. הוכחה: נשתמש בקריטריון אבל למכפלת טורי פונקציות, משפט 5.7. נשכתב f(x) = k x k = k= ( x k R k R k= ) k מדובר בטור שהוא מכפלה (x) c k (x)d k כאשר c k (x) = k R k (לא תלוי ב x, ומתכנס, בפרט במ"ש) ואילו d k (x) = ( x R k( חסומה במידה אחידה (על ידי ) יורדת ל. לכן מקריטריון אבל להתכנסות במ"ש של טורים שהם מכפלות, סיימנו. טענה 6.9 [תחום ההתכנסות לא גדל כשגוזרים] נניח שלטורים k k x k, k k x רדיוס התכנסות אזי הטור המקורי מתכנס גם הוא ב x. x. = R כך ש ונניח שטור הנגזרות מתכנס ב x R הוכחה: נובעת מהמשפט על אינטגרציה איבר איבר כשיש התכנסות במ"ש, כשההתכנסות במש נובעת ממשפט 6.8. (תרגיל!) 58

59 מסקנה 6. [טור סכים הוא גם סכים לפי אבל והסכומים שווים] נניח שנתונה סדרת מספרים המקיימת. אזי השוויון הבא מתקיים k= k < lim r k r k = k= k= k הוכחה: מיידית ממשפט 6.8 של אבל על קצה רדיוס ההתכנסות ומכך שגבול של רציפות הוא רציף, על. ידי סימון f(r) k= kr k = לדוגמא, נדון בטור טיילור של (x.ln( + כולכם יודעים לחשב אותו ולקבל x x2 2 + x3 3 x4 4 + = k= k+ xk ( ) k על פי משפטי שארית ניתן לראות שהוא מתכנס, ל (x, ln( + לכל < x. על פי לייבניץ יודעים מתכנס. כעת, לפי המשפט האחרון, יש התכנסות במ"ש בקטע [,] ולכן גם שהטור k= ( )k+ /k מתקיים k= ( ) k+ /k = lim ln( + x) = ln(2) r בדומה נוכל לחשב עבור rctn(x) שראינו קודם, משום שיש התכנסות בקצוות נקבל ש π 4 = rctn() = lim x k= ( ) k 2k + x2k+ = k= ( ) k 2k סוגי סכימות המסקנה האחרונה מאפשרת לנו להגדיר שיטה אחרת לסכום טור חזקות, שיכולה להתכנס גם כשהשיטה הרגילה מתבדרת. למעשה, יש שיטה שלישית נוספת. הגדרה 6. נביט בטור המספרי k. נאמר שהוא מתכנס לפי אבל (סכים לפי אבל) אם קיים הגבול lim r k r k = (A) k= k= k r.lim נסמן k= kr k מסקנה 6. משמעה שאם טור מתכנס, אז הוא מתכנס גם לפי אבל, ולאותו המספר. נשים לב שטור יכול להתכנס לפי אבל ולא להתכנס "רגיל", למשל הטור ( ) k 59

60 כמובן לא מתכנס (שכן האיבר הכללי לא שואף ל ) אבל (A) k= ( ) k = lim r k= ( ) k r k = lim r + r = 2 זאת אומרת, הטור כן מתכנס לפי אבל. ישנה הגדרה לגבול של סדרה לפי צזארו, שהיא יותר כללית מהגדרת הגבול הרגילה, (אך פחות כללית מההגדרה לפי אבל, כפי שנראה מייד) ובהתאמה יש גם הגדרה של סכימות של טור לפי צזארו..lim N N n= cn N+ הגדרה 6.2 תהי c n סדרה. נאמר שיש לה גבול לפי צזארו אם קיים יהי טור החזקות k x k. נאמר שהוא מתכנס לפי צזארו (סכים לפי צזארו) אם לסדרת הסכומים N.lim נסמן N+ N n= n החלקיים יש גבול לפי צזארו, זאת אומרת אם קיים הגבול =k k (C) k= k = lim N N + n n= k= k נגדיר גם סימון עבור האיבר הכללי בגבול זה, סימון שיהיה לנו שמושי אח"כ: σ N ( k ) = N + k= n n= k= k.σ N = N דבר אחרון שכדאי לשים N+ n= S n אז S n = n שימו לב שאם מסמנים, כרגיל, =k k לב אליו שכן הוא שימושי בתרגילים הוא ש σ N = N + n= k= n k = k= [ ] N + k k = N + k= [ k k ] N + כמובן שלא היה טעם בסכימה כזו ללא המשפט הפשוט (שלעיתים מוכיחים אותו בחדו"א ) שאומר שאם יש לסדרה גבול, אז יש לה גם גבול על פי צזארו, והם מזדהים. (ובדומה, אם טור מתכנס רגיל, הוא מתכנס לפי צזארו). שוב, כמו במקרה של אבל, גבול על פי צזארו הוא מושג כללי יותר, ויש סדרות ללא גבול אבל עם גבול על פי צזארו, ובדומה טורים. דוגמא טובה היא שוב הטור ( ) k, שסכים על פי צזארו (בידקו!). אפשר לעשות קורס שלם על שיטות סכימה, ולכן רק נראה שני דברים נוספים: דוגמא של טור שסכים על פי אבל ולא על פי צזארו, ומשפט שאומר שכל טור שסכים על פי צזארו הוא סכים גם על פי אבל. הדוגמא היא: = ( ) k (k + ) k= 6

61 כמובן שהטור לא מתכנס שכן האיבר הכללי לא שואף לאפס. גם לפי צזארו הוא לא מתכנס שכן האיבר lim r S n = הכללי בסדרת הסכומים החלקיים הוא n n ( ) k (k + ) = + n even 2 n+ n odd 2 k= S + S + + S N + S N N + S = S 2 = 2 S 4 = 3 S = S 3 = 2 S 5 = 3 S 5 = 4 S 6 = 4 ולכן כאשר נמצע את + N הראשונים נקבל, N odd = N even N+2 2N ולכן אין לסדרה גבול. לעומת זאת, כדי לבדוק סכימות לפי אבל נחשב ( ) k (k + )r k = lim [( r) k+ ] = lim [ r r + r ] = lim k= k= r ( + r) 2 = 4 כאשר השוויון האמצעי נכון על פי גזירה איבר איבר של טור חזקות. משפט 6.3 [סכימות על פי צזארו גוררת סכימות על פי אבל] יהי טור החזקות k x k ונניח שהוא k= מתכנס לפי צזארו. אזי הוא סכים על פי אבל ומתקיים (C) k = (A) k= k S =, S n = n אז הוכחה: ראשית שימושי לשים אליו לב שכשנסמן =k k k x k = k= (S k S k )x k = k= S k x k S k x k+ = ( x) S k x k k= k= k= ודבר נוסף שטוב לשים אליו לב הוא שבדומה S k x k = k= ((k+)σ k kσ k )x k = k= (k+)σ k x k (k+)σ k x k+ = ( x) (k+)σ k x k k= k= k= 6

62 ההנחה שלנו היא שהטור סכים על פי צזארו זאת אומרת שקיים.lim N σ N = C ראשית נניח בה"כ ש = C ואת זה ניתן לעשות על ידי שינוי. כעת בהנתן > ε אפשר למצוא N כך שלכל k x k = ( x) S k x k = ( x) 2 k= k= k= N > N יתקיים. σ N < ε לכן (k + )σ k x k N = ( x) 2 (k + )σ k x k + ( x) 2 (k + )σ k x k lim sup x lim sup x. ( x) 2 k= k=n נשים לב שכאשר N קבוע ו x הגורם הראשון שואף כמובן לאפס. לכן k= k= k x k = lim sup x ( x) 2 (k + )σ k x k k=n וכעת נשתמש בנתון ונאמר כי משום ש N > N k x k ε lim sup( x) 2 (k + )x k ε x k=n לפונקציה כאן השתמשנו בהתכנסות המונוטונית של הטור =k k) + )xk נסיים במשפט מסוג הפוך, שנקרה "משפט טאובריאני", שאומר שאם בנוסף יש תנאי דעיכה על המקדמים, אז סכימות על פי אבל כן גוררת את התכנסות הטור. ונניח שהוא סכים על פי אבל, דהיינו קיים עבור = f(r) משפט 6.4 [טאובר] נביט בטור =k k הגבול.lim r f(r) = ρ נניח בנוסף כי o(/k). k = אזי מתקיים k= kr k k = ρ k= x m = m כך ש m.x נביט בסדרה הוכחה: נסמן B N = k k x k N k= k= ונראה שכאשר N היא מתכנסת לאפס. משום שהאיבר הימני הוא ) N f(x ואנו יודעים ששואף ל ρ, זה יסיים את ההוכחה. אכן, k k x k N = k= k= k ( x k N) k x k N := A N + B N k= k=n+ 62

63 A N k ( x k N) = ( x N ) k= N k k N k= k=n+ k= k [ ] + x N + x 2 N + + x k N ומתקיים והשאיפה לאפס הנ"ל נובעת מכך ש k k (ובפרט ממוצעי צזארו שלהם). בנוסף נחשב B N k k ( ) k xk N sup k k x k N = k N+ N + = ( sup k k k N+ ) x N+ ( N N + x N k=n+ sup k k k N+ ) N ולכן שני הגורמים אכן שואפים לאפס כרצוי, והטור המקורי מתכנס ל ρ. נעיר שיש משפט חזק יותר של ליטלווד האומר כי מספיק לדרוש חסימות של k k אך הוכחתו קשה יותר. 6.6 כפל של טורי חזקות ראשית נדון בכפל של טורים מספריים. ראיתם את משפט רימן שאומר ששינוי בסדר הסכימה יכול לשנות את ההתכנסות ואת הסכום. כאשר כופלים שני טורים n ו b k, מקבלים למעשה טור שמכיל את כל המכפלות k,n nb k, אך הסדר לפיו נבחר לסכום את הזוגות הללו (האינדקס הוא ב N) N יכול להשפיע על הסכום. מצד שני, כאשר נתונה התכנסות בהחלט של הטור (עם סדר סכימה מסויים), אין זה משנה אם נשנה את סדר הסכימה. ראיתם בתירגול את המשפט הבא: שמתכנס בהחלט, לכל p : N N חח"ע ועל יתקיים משפט 6.5 בהנתן טור מספרים =j r j r j = j= j= r p(j) לכן מתקיים שאם שני הטורים n ו b k מתכנסים בהחלט, אז לכל סידור של האברים n b k כסדרה j= r j = lim N j= r j lim N n N k= m N k b k k= n= r j עם 2, =, j יתקיים n b k < לכן הטור r j מתכנס בהחלט ולכן סדר הסכימה לא חשוב ולכן אפשר לסדר לפי ריבועים (ראו ציור N 2 S N 2 = r j = j= n= n 63 N k= b k n= n b k k= k= מטה) ואז

64 b b 2 b 3... b j... 2 b 2 b 2 2 b b j... 3 b 3 b 2 3 b b j i b i b 2 i b 3... i b j r = b r 2 = b 2, r 3 = 2 b 2, r 4 = b 2 r 5 = b 3, r 6 = 2 b 3, r 7 = 3 b 3 r 8 = 3 b 2, r 9 = 3 b איור : סידור של המכפלות } k { j b לפי ריבועים כעת נעבור לדון בכפל של טורי חזקות. יש דרך טבעית לבחור סדר על פיו סוכמים את טור החזקות, וזו נקראת מכפלת קושי l j x j b k x k = k b l k x l j= k= l= k= = g(x) טורי חזקות ונניח ששניהם k= b kx k ו f(x) = טענה 6.6 [מכפלות קושי] יהיו k= kx k c k = k מתכנס מתכנסים בהחלט בתחום.I אזי גם טור החזקות h(x) = c k x k כאשר j= jb k j בהחלט בתחום זה ומתקיים f(x)g(x).h(x) = b b 2 b 3... b j... 2 b 2 b 2 2 b b j... 3 b 3 b 2 3 b b j i b i b 2 i b 3... i b j איור :2 סידור קושי של המכפלות } k { j b ההוכחה מיידית על פי המשפט האחרון. 64

65 ( x )2 = x לדוגמא, נכפול את טור החזקות של בעצמו. נקבל x x = ( l ) x k x j = x l = (l + )x l k= j= l= m= l= ואכן, זה בדיוק מסתדר עם היותו טור הנגזרות ועם גזירה איבר איבר. 6.7 נגיעה ראשונה במרוכבים טורי חזקות 6.7. טורים של מספרים מרוכבים של מספרים מרוכבים, נתייחס אליו כאל סכום של שני טורים כאשר נתון טור k= u k + iv k = z k ממשיים שלאחד מהם מקדם,i דהיינו u k +i v k כאשר ) k u k = Re(z k ), v k = Im(z ונאמר שהוא מתכנס אם כל אחד מהטורים הממשיים יתכנס. (באופן יותר כללי, סדרה מכוכבת מתכנסת למספר מרוכב אם הדבר מתקיים בנפרד לחלק הממשי בסדרה ולחלק המדומה בה). מבחני התכנסות וכדומה אפשר לעשות (למשל) לכל טור בנפרד. נאמר שהטור מתכנס בהחלט אם הטור הממשי < k z. משום שמספר מרוכב z = + ib מקיים, z = 2 + b 2 ולכן b, b z +, מתקיים שהטור מתכנס בהחלט אם ורק אם כל אחד משני הטורים מתכנס בהחלט. בפרט, אם טור מרוכבים מתכנס בהחלט אז הוא מתכנס. עוד עובדה שימושית הנובעת בקלות מאי שוויונים אלה היא שאיבר כללי בטור מרוכב שמתכנס, חייב לשאוף לאפס (גם החלק המדומה וגם החלק הממשי, שזה כמו לומר.( z k טורי חזקות מרוכבים כאשר z מספר מרוכב, החזקות שלו מוגדרות כרגיל כך: z = + ib אז = ib) z 2 = ( + ib)( + i(2b) 2 b 2 + ובאינדקוציה n.z n = ( + ib)z כאמור טור של מרוכבים זה פשוט לסכום בנפרד את כסכום של uk +i v k החלק הממשי ואת החלק המדומה, כך שלמעשה אם נציג את אברי =k c kz k 65

66 יש צורך ששני הטורים יתכנסו. כמובן שכאן לא מדובר בשני טורי חזקות ממשיים, כי ל u k ול v k מבנה יותר מעניין. (בנוסף, במקרה כללי גם המקדמים c k עשויים להיות מרוכבים אבל בכך לא נדון כעת). המשפט על התכנסות בדיסק (למה 6.) עובד גם כאן כלשונו, שכן ההוכחה משתמשת בערכים מוחלטים, ואכן z n = z n וזה מעביר אותנו לטורים ממשיים מייד. הבה ננסח אותו: כאשר נאפשר ל z לקבל ערכים ב C. נניח שהטור מתכנס ב z כך משפט 6.7 נביט בטור k= c kz k ש z = R ויהיה.r < R אזי הטור מתכנס בהחלט ובמ"ש בתחום r}.d r = {x : x דהיינו, קיימת n > N כך שלכל N קיים ε ולכל > f : D r C sup S n (z) f(z) ε z r.s n (z) = n כאשר k= c kz k ההוכחה זהה להוכחה הממשית, הדבר היחיד שדורש הסבר הוא העובדה שאיבר כללי בטור מרוכב שמתכנס גם צריך לשאוף לאפס (וזה די ברור) וכן שטור מרוכב שמתכנס בהחלט, מתכנס, כפי שציינו. בנוסף, השימוש במשפט ויירשטראסס להתכנסות במ"ש יהי כאן לפונקציות שערכיהן מרוכבים, וגם הוא תקף שכן בהוכחתו משתמשים בקריטריון קושי במ"ש שתקף גם הוא במקרה המרוכב. נדון עוד די לעומק במרוכבים הנחוצים לנו לטורי פורייה, אבל אנו מציינים את המעט הזה כאן כי יש פה הסבר לתופעות "מפתיעות" שראינו, למשל, בעוד שהיה ברור לנו מדוע הטור של (הנתון על x ( מתבדר ב, מדוע הטור של שזו פונקציה חביבה, רציפה וחסומה, הנתון של ידי ידי +x 2 k= xk, לא מתכנס מעבר ל (, ) x? התשובה היא שאמנם הפונקציה ללא קטבים ב R, k= ( )n x 2n אבל במרוכבים יש לה קוטב ב z = i שהוא מרדיוס. לכן, משום שההתכנסות היא תמיד בדיסק, הטור שלה לא יכול להתכנס באף נקודה הרחוקה מהראשית יותר מ. "צילם של המרוכבים", כמו במערה של אפלטון, נראה גם בעולם הממשיים! הגדרת e z ונסחת אוילר גם רדיוס ההתכנסות של טור חזקות מרוכב נתון על ידי אותה נסחא של קושי הדמר (במקרה של מקדמים מרוכבים יש לקחת כמובן lim sup k k/ למקדמים המרוכבים) וההוכחה עובדת כלשונה. לכן למשל k! zk יתכנס בכל C. ועכשיו זה אך טבעי להגדיר את הביטוי הזה כ e. z כעת הנסחאות הבאות ברורות מההגדרה (ומהאפשרות לכפול טורים) e iθ = = (iθ) k = k! k= k= ( ) k (θ) 2k + i (2k)! k= (iθ) 2k (2k)! + k= k= (iθ) 2k+ (2k + )! ( ) k (θ) 2k+ (2k + )! = cos θ + i sin(θ) 66

67 זו נקראת נסחת אוילר. בנוסף e z e w = = k= l= k! zk l! l k= j! wj = l= ( ) l z k w l k = k j= l k! (l k)! zk w l k k= l= l! (z + w)l = e z+w ולכן למשל אם z = + ib זאת אומרת Im(z), = Re(z), b = אז b) e z = e (cos b + i sin כמובן שגם מתקיימת הנוסחא e). z ) k = e kz אכן, ניתן להוכיח זאת באינדוקציה על k. עבור = k (e z ) k = (e z ) k e z = e (k )z e z = e (k )z+z = e kz זה טריוויאלי. נניח נכונות עבור k ורשום ולכן גם מתקיים שאם z = Re iθ (R = z, θ = rg(z)) אז מקומוטטיביות הכפל z k = R k e ikθ וכמוכן z z 2 = R e iθ R 2 e iθ 2 = (R R 2 )e i(θ +θ 2 ) זאת אומרת רדיוס נכפל וזויות נסכמות בכפל מרוכבים. שימו לב שלמשל נקבל את השוויון cos(2θ) + i sin(2θ) = e i2θ = e iθ e iθ = (cos θ + i sin θ) 2 = cos 2 θ sin 2 θ + 2i cos θ sin θ וממנו הנסאות הטריגונומטריות cos(2θ) = cos 2 θ sin 2 θ sin(2θ) = 2 cos θ sin θ 67

68 מי צריך דפי נוסחאות! נזכיר גם את הפעולה המרוכבת של "צמוד", אם z = +ib אז z = ib כשבקואורדינטות פולריות z = Re iθ אז. z = Re iθ כמובן z + z = 2 = 2Re(z) z z = 2ib = 2iIm(z) הוא למעשה הטור כעת שוב נחזור לטורי חזקות: בכתיבה פולרית נקבל שהטור =k c kz k c k R k e ikθ k= ולכן אם דנים בהתכנסות בהחלט עוסקים למעשה בטור הממשי c k R k. החלק e ikθ נקרא הפאזה (של הגורם ה kי), והוא בסה"כ המספר המרוכב (בעל ערך מוחלט ) cos(kθ) + i sin(kθ) זה היה ממש הערות קטנות על מרוכבים, כי הפרק הבא על טורי פורייה דורש עבודה צמודה איתם. 7 טורי פורייה 7. הקדמה על פונקציות עם ערכים מרוכבים כל פונקציה f : [, b] C ניתן לרשום כ f = u + iv כאשר.u, v : [, b] R מבחינות רבות אפשר לעבוד כביכול עם "זוג פונקציות", אולם המבנה של כפל של מרוכבים מוסיף עניין. בתת פרקים הבאים נעבור בקצרה על הפעולות הבסיסיות שעושים עם פונקציות (גזירה, אינטגרציה וכו) כאשר הפונקציות מחזירות ערכים מרוכבים. 7.. אינטגרציה תהי f : [, b] C ונרשום f = u + iv כאשר.u, v : [, b] R נאמר ש b]) f R([, אם b b]) u, v R([, ובמקרה כזה נגדיר את b b f(x)dx = u(x)dx + i v(x)dx נשים לב שהתוצאה גם היא מספר מרוכב. נשים לב שהשתמשנו באותו סימון ([b R([, גם עבור פונקציות ממשיות וגם עבור פונקציות עם ערכים מרוכבים. דוגמא: 68

69 3 2 x( + ix)dx = 3 2 xdx + i 3 2 x 2 dx = x i x = i9 3 i 7..2 כללים פשוטים הכללים שלמדנו על אינטגרציה עובדים יפה. למשל b = + (f + g) b f b g ˆ b = + f c f b f ˆ c c b cf = b ברור עבור c R אבל גם תקף עבור c C פשוט כי (u + iv) = v + i u = i(u + iv) f ˆ b f = b u i b v = b f ˆ 7..3 גזירה את הנגזרת של פונקציה עם ערכים מרוכבים נגדיר כרגיל כגבול, אך נקבל מייד f (x) = lim h o f(x + h) f(x) h = u (x) + iv (x) כך שאין כאן משהו מיוחד. (לא לבלבל עם פונקציות שמוגדרות על תחום מרוכב, ואז גם h מרוכב והמצב f(t) = e it אז sin(t) f(t) = cos(t) + i ולכן f (t) = sin(t) + i cos(t) = i(cos(t) + i sin(t)) = ie it הרבה יותר מעניין). דוגמא:. גם הנוסחא של נגזרת של מכפלה עובדת שהרי (fg) = [(u + iv)(q + ip)] = [uq vp] + i[vq + up] = u q + uq v p vp + i[v q + vq + u p + up ] = [u + iv ](q + ip) + (u + iv)[q + ip ] = f g + fg 69

70 7..4 ניוטון לייבניץ והמשפט היסודי גם כאן, העובדה שהמשפטים נכונים עבור u ו v בנפרד וליניאריות האינטגרל גורמות להכל לעבוד. b g(x)dx = f(b) f() למשל, אם f = g אז נשים לב שהמשפט שימושי כי מונע את הצורך לפרק לחלק מדומה וחלק ממשי. לדוגמא, משום ש b e it dt = i b ie it = i[e it ] b = i[cos t + i sin t] b (e it ) = ie it נוכל לבצע ישירות 2π e it dt = π e it = i[e iπ e i ] = 2i, π/2 ולמשל e it = i[e iπ/2 e i ] = i(i ) = i בחלקים כמובן שכשיש נסחא כמו fg (fg) = f g + ויש משפט ניוטון לייבניץ, אז יש גם אינטגרציה בחלקים (fg) b = b (fg) = b f g + b fg π π π te int dt = t eint e int in π π π in dt = π [ e inπ + e in( π)] eint in (in) 2 π π = i π n 2 cos(nπ) + n 2 [einπ e inπ ] = 2i π n ( )n+ ואפשר להשתמש למשל במקופ זה כמובן שניתן היה להשתמש בפירוק לסינוס וקוסינוס ולכל אחד לעשות בנפרד אינטגרציות בחלקים פשוט ושימושי למה 7. תהי f : [, b] C ונניח b].f R[, אזי גם b] f R[, ומתקיים b f(x)dx b f(x) dx 7

71 הוכחה: אינטגרביליות מיידית כי נשמרת תחת,u. v u 2 + v 2 כאשר הפונקציה מקבלת ערכים ממשיים, מדובר פשוט בהשוואת אינטגרלים. כעת הערכים מרוכבים, וגם האינטגרל הוא מרוכב, אז נסמן. b נסמן גם λ = z z אז מתקיים = λ וכן λz R כי z.λz = זה פשוט לסובב f(x)dx = z C אותו, אם z = Re iθ אז.λ = e iθ נקבל b f(x)dx = z = λz = b λf = Re( b λf) = b Re(λf) b λf = b f 7.2 פונקציות מחזוריות נאמר שפונקציה f : R C היא מחזורית בעלת מחזור T אם f(x) f(x + T ) = לכל.x כמובן שאם f(x) בעלת מחזור T אז x) g(t) = f(t היא בעלת מחזור. לדוגמא, הפונקציה e n (t) = e int היא בעלת מחזור.2π/ n אבל בפרט, אם n, N גם בעלת מחזור 2π. על פי רוב נזהה פונקציות מחזוריות בעלות מחזור 2π נאמר, עם פונקציות על (2π,], או עם פונקציות על [2π,] כך ש f(2π) ()f. = מבחינת תורת הקבוצות מדובר באותו אובייקט, אולם מבחינת חדו"א יש הבדלים מינוריים, למשל כשנרצה לדבר על רציפות, בהגדרה האמצעית יהיה צורך לבקש ()f.lim t 2π f(t) = בהגדרה האחרונה אם נרצה לדבר על גזירות בנקודה = 2π יהיה צורך לדרוש שהנגזרת משמאל ב 2π תזדהה עם הנגזרת מימין ב, ולכן נוח יותר לעבוד עם פונקציות 2π מחזוריות על R שזה כמו פונקציות על המעגל T = R/2πZ כאשר הדבקנו בעצם את הנקודות ו 2π יחדיו ליצירת מעגל (טורוס חד מימדי מכאן האות T). נגדיר את R(T) להיות אוסף הפונקציות f : R R בעלות מחזור 2π שהן אינטגרביליות בקטע [2π,]. הגדרה 7.2 נסמן e n (t) = e int עבור n. N פולינום טריגונומטרי זהו צרוף ליניארי סופי של פונקציות כאלה עם מקדמים מרוכבים, P (t) = c n e n n= N והדרגה של הפולינום היא N. (אם c N או c N לא מתאפסים.) נשים לב שכל פולינום כזה ניתן להצגה כ P (t) = c n e int = c n (cos(nt) + i sin(nt)) n= N n= N 7

72 זאת אומרת כצרוף ליניארי של סינוסים וקוסינוסים. ואם c n = n + ib n נקבל P (t) = c + = c + +i (c n + c n ) cos(nt) + i(c n c n ) sin(nt) n= ( n + n ) cos(nt) + (b n b n ) sin(nt) n= (b n + b n ) cos(nt) + ( n n ) sin(nt) n= כך שיש הצגה מפורשת של החלק הממשי והחלק המרוכב. גם את ההתאמה ההפוכה קל לבצע, דהיינו אם נתונה פונקציה מהצורה Q(t) = α k cos(nt) + iβ k sin(nt) k= אז קל למצוא את ההצגה המתאימה כפולינום טריגונומטרי, זאת אומרת לפתור α k = c k +c k,α = c ו.β k = c k c k 7.3 מכפלה פנימית על מרחב הפונקציות R[T] יש מבנה של מכפלה פנימית. (זהו כמובן מרחב וקטורי, מעל המרוכבים אם כי די ברור שהמימד שלו כמרחב וקטורי הוא אינסוף נדון בכך בקרוב). נגדיר את המכפלה הפנימית f, g := 2π f(x)g(x)dx 2π באופן הבא לכל זוג פונקציות מותאם על כן מספר מרוכב באופן זה. הפנימית הסטנדרטית ב R n המוגדרת על ידי זה כמובן צריך להזכיר לכם את המכפלה x y = n x i y i i=. x y = n נגדיר גם את ומי שמכיר במרחב C n מגדירים i= x iy i f 2 = f, f /2 = ( 2π 2π ) /2 f(x) 2 dx. x = n שכמובן מזכיר לנו אורך של וקטור i 2 =i x 72

73 7.3. תכונות פשוטות ישנן תכונות שהן האקסיומות של מרחב מכפלה פנימית, וכדאי לוודא שמתקיימות g, f = f, g. f + f 2, g = f, g + f 2, g.2 λf, g = λ f, g.3 2π ולכן בכל נקודת f 2 dx אם ורק אם = ( f = ) f, f ממשי) ו = (ובפרט f, f.4 רציפות קל לראות ש = f(x). אם מצטמצמים לפונקציות רציפות, קיבלנו שפשוט f. לפונקציות כלליות לא דנו כל כך בנושא של מידה אפס, ולא הוכחנו שלפונקציה אינטגרבילית יש מידה אפס של נקודות אי רציפות, אם כי הדבר נכון. מה שעושים במקרה כללי הוא לקחת מרחב מנה תחת יחס השקילות f g אם = 2 g f ולעבוד שם. אחרת החלק החסר של תכונה 4 שאומר ש = f רק לפונקציית האפס לא תקף. או שאפשר באמת להצטמצם לפונקציות רציפות. או להצטמצם לרציפות למקוטעין ומשמאל, או כל מיני אפשרויות אחרות. ישנם דברים רבים שנובעים אוטומטית מהתכונות הללו, ללא צורך בידע על ההגדרה המסויימת של הממ"פ שלנו. נעיר שהעובדה ש,f f R נובעת מהתכונה הראשונה מיידית. ליניאריות במשתנה השני נובעת גם היא מתכונות ו 2, כמוכן מתכונות ו 3 נובע כי g,f. λg = λ f, קל לראות לכן גם ש. λf = λ f מושג האורתוגונליות היתרון הגדול במבנה של מכפלה פנימית (שנקרא גם מבנה אוקלידי) הוא שיש מושג של להיות "מאונך". כשנעבוד רק עם התכונות האבסטרקטיות ולא עם המרחב הקונקרטי שלנו, נסמן את מרחב המכפלה הפנימית ב V. הגדרה 7.3 תהיינה.f, g V נאמר שהן אורתוגונליות אם = g f, ונסמן.f g למה 7.4 [משפט פיתגורס] יהיו f, g V ונניח.f g אזי g 2. f + g 2 = f 2 + f + g 2 = f + g, f + g = f, f + f, g + g, f + g, g = f 2 + g 2 הוכחה: אכן e n, e m = 2π e int e 2π imt dt = 2π e i(n m)t dt = 2π לדוגמא, כשנסמן כרגיל e n = e int עבור n Z בממ"פ שלנו, e i(n m) 2π i(n m) 2π m n n m = m = n n = m 73

74 זאת אומרת שמדובר במערכת אורתונורמלית של פונקציות. היא מזכירה במידה מסויימת את המערכת האורתונורמלית הסופית i= {e i } n ב R n או ב C n המוגדרת על ידי ),,,,, (, = i e כשהאחד הוא במקום ה iי. אם נתרגם את העובדה האחרונה למנחים של סינוסים וקוסינוסים, נראה שלמעשה n ±m = /2 n = ±m n = m = 2π cos(nt) cos(mt) = 2π e n + e n e m + e m 2π 2π 2 2 2π sin(nt) sin(mt) = 2π e n e n e m e m 2π 2π 2i 2i n ±m or n = m = = /2 n = +m /2 n = m 2π cos(nt) sin(mt) = 2π e n + e n e m e m 2π 2π 2 2i = f, g f g אי שוויון קושי שוורץ למה 7.5 יהיו f, g V אזי מתקיים.cos( f, g) = f g f,g לעיתים מגדירים את הזוית ביניהם על ידי f λg, f λg = f 2 λ g, f λ f, g + λ 2 g 2 הוכחה: לכל λ C מתקיים f,g λ = ונקבל כעת נציב את g 2 f 2 f, g 2 f, g g 2 g 2 = f 2 f, g 2 g 2 74

75 אפשר לתת עוד הרבה הוכחות (זה אי שוויון שימושי ביותר) למשל ניתן הוכחה לממ"פ הספציפי שלנו A B CA2 + C B2 לכל > C.A, B, לכן הוכחה: מאי שויון הממוצעים 2 2π f(x)g(x)dx 2π f(x) g(x) dx 2π ( C f 2 + ) C g 2 dx 2π 2π 2π 2 = C f 2 + g 2 2 C 2 נבחר את g / f C = וסיימנו. f + g f + g אי שוויון המשולש למה 7.6 יהיו f, g V אזי מתקיים הוכחה: מיידית מקושי שוורץ f + g 2 = f 2 + g 2 + f, g + g, f = f 2 + g 2 + f, g + f, g = f 2 + g 2 + 2Re f, g f 2 + g f, g f 2 + g f g = ( f + g ) 2 וניקח שורשים בשני הצדדים. 7.4 פורייה למתחילים נביט בפונקציות e. n (t) = e int הן פורשות את המרחב הוקטורי של פולינומים טריגונומטריים צרופים ליניאריים סופיים שלהן. אם נתונה f = c n e n n= N מתקיים ˆf(m) := f, e m = c n e n, e m = c m n= N ולכן יתקיים f = n= N ˆf(n)e n 75

76 g = N וכן n= N ĝ(n)e n אזי גם עבורה יתקיים g = N ובנוסף, אילו n= N d ne n 2π 2π fg = f, g = n= N ˆf(n)ĝ(n) f 2 = 2π f 2 = 2π n= N ˆf(n) 2 ובפרט 7.5 פורייה למתקדמים הגדרה 7.7 [מקדמי פורייה] תהי R(T) f. נגדיר ˆf(n) = f, e n = 2π f(t)e int dt 2π ונקרא למספר מרוכב זה "מקדם פורייה ה nי של f". נגדיר את S N f = n= N ˆf(n)e n (S N f) (t) = n= N ˆf(n)e int קצת היסטוריה: החבר'ה (אוילר, ברנולי, לגרנז') ידוע באופן "ניסיוני" שלפונקציות פשוטות כאשר N מתקיים S N f(t) f(t) ופורייה היה הראשון שטען שהדבר מתקיים בצורה יותר כללית. מה שיותר חשוב הוא הראה שעובדה זו יכולה לפתור בעיות פיסיקליות המתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות שהיו נפוצות במאה ה 9. דיריכלה היה הראשון שהראה באופן ריגורוזי ומדוייק שאכן עבור למשל פונקציות גזירות ברציפות ומחזוריות 2π הדבר מתקיים. התנאי של הגזירות ברציפות היה נראה די עקרוני, שכן היתה דוגמא (של דו בואה ריימונד) של פונקציה רציפה בה = ()f.lim sup N S N עדיין ניתן היה לשאול האם אפשר לשחזר את f(t) בעזרת מקדמי פורייה, והתשובה לכך (במקרה הרציף) היא כן כפי שהראה פייר, אבל במקום לקחת גבול צריך לקחת גבול במובן של צזארו, ובכך נדון גם כן על קצה המזלג. 2π בשלב הראשון נדון בכלל לא בהתכנסות נקודתית אלא רק בהתכנסות בנורמה: S N (x) f(x) 2 dx ורק אחר כך נעבור לדון בהתכנסות נקודתית. 76

77 הערה 7.8 הרבה פעמים אנחנו מצטמצמים ל f, :,] [2π R ואז זה נשמע מצחיק לקרב אותן עם S N f שיכול להחזיר ערכים בכלל מרוכבים. דרך מלאכותית היא לומר פשוט שניקח את (f Re(S N בתור 2π 2π הקירוב. אבל אין צורך בכך! נשים לב שלפונקציה ממשית [ ˆf(n)e int = 2π [ + i 2π ˆf(n) = 2π ˆf( n) = 2π 2π 2π 2π f(t) cos(nt)dt i 2π f(t) cos(nt)dt + i 2π ] [ f(t) cos(nt)dt cos(nt) + 2π ] f(t) cos(nt)dt sin(nt) i 2π 2π 2π [ 2π f(t) sin(nt)dt f(t) sin(nt)dt ] f(t) sin(nt)dt sin(nt) ] f(t) sin(nt)dt cos(nt) ולכן ˆf( n)e int = [ 2π [ i 2π 2π 2π ] [ f(t) cos(nt)dt cos(nt) + 2π ] f(t) cos(nt)dt sin(nt) + i 2π 2π [ 2π ] f(t) sin(nt)dt sin(nt) ] f(t) sin(nt)dt cos(nt) ˆf(n)e int + ˆf( n)e int = [ 2π ] [ 2π f(t) cos(nt)dt cos(nt) + f(t) sin(nt)dt π π כך שנקבל ממילא ] sin(nt) R זו כמובן היתה דרך ארוכה ומסורבלת לומר ש ˆf(n) ˆf( n) = f, e n = f, e n = f, e n = ˆf(n)e int + ˆf( n)e int = ˆf(n)e int + ˆf(n)e int R ולכן ולכן גם עבור הסכום כולו, כאשר f מחזירה ערכים ממשיים, גם S N f מחזירה רק ערכים ממשיים הזנב מאונך לקירוב טענה 7.9 תהי 2π]) f R([, אזי מתקיים S N f S N וביתר כלליות S N f e k לכל. k N 77

78 f S N f, e k = f, e k N אז עבור הוכחה: פשוט נחשב = ˆf(k) n= N ˆf(n)e n, e k = ˆf(k) f S N f, S N f = f S N f, ˆf(n)e n = n= N f S N f, S N f = f, S N f S N f, S N f = f, = n= N ˆf(n) ˆf(n) n= N n= N ˆf(n) 2 = n= N ˆf(n) f S N f, e n = ˆf(n)e n n= N ˆf(n)e n, הסכום כולו או במפורש ˆf(n)e n n= N f 2 = S N f 2 + f S N f 2 מסקנה 7. תהי 2π]) f R([, אזי מתקיים אי שוויון בסל טענה 7. תהי 2π]) f R([, אזי מתקיים f 2 S N f 2 לכל N וגם בגבול ˆf(n) 2 f 2 n= ובפרט הטור של ערך מוחלט של מקדמי פורייה בריבוע, מתכנס. הוכחה: הדבר מייד מהטענה הקודמת f 2 = S N f 2 + f S N f 2 S N f 2 = ˆf(n) 2 n= N ועל ידי לקיחת גבול כאשר N סיימנו. lim ˆf(n) = n ± הלמה של רימן ולבג טענה 7.2 תהי 2π]) f R([, אזי מתקיים הוכחה: זהו איבר כללי בטור מספרי שמתכנס לפי הטענה הקודמת. 78

79 7.5.4 התכנסות ב.L 2 הגדרה 7.3 תהי סדרת פונקציות 2π] f n R[, ותהי 2π].f R[, נאמר שהן מתכנסות אליה lim f n f n L f אם מתקיים 2 בנורמת,L2 ונסמן n f נשים לב שגבול במובן זה איננו יחיד, שכן שינוי של f למשל במספר סופי של נקודות לא משנה. L. f 2 n f אזי.fn למה 7.4 תהי סדרת פונקציות 2π] f n R[, ותהי 2π] f R[, ונניח u f n lim וזה נובע מיידית משפט 5.2 על החלפת 2π f הוכחה: עלינו להראות = dx n (x) f(x) 2 איטגרל וגבול יחד עם העובדה שגם f n f 2 u (כי מדובר בפונקציות חסומות במידה אחידה שהרי הן מתכנסות במ"ש לחסומה). מסקנה 7.5 פולינומים צפופים ברציפות גם במובן L. 2 לכל f :,] [b C רציפה קיימים פולינומים lim P n(x) + iq n (x) f(x) n (x) P n (x), Q n כך ש אנו נזדקק למשפט דומה העוסק בפולינומים טריגונומטריים משפט 7.6 תהי f : [, 2π] C רציפה עם f(2π) f() = ויהי > ε אזי קיים פולינום טריגונומטרי P n (t) = n כך ש k= n c ke k (t) sup P n (t) f(t) < ε x [,b] הוכחה. אנו נראה הוכחה ישירה של משפט זה בהמשך שתסתמך על גרעין פייר, וכרגע רק נשתמש בו ללא הערה 7.7 הוכחה נוספת שתראו בתירגול או בתרגיל הולכת ככה:... (יפתח אחרי שהתרגיל יסתיים) משפט 7.8 תהי 2π] f R[, אזי לכל > ε קיים פולינום טריגונומטרי P כך ש P f < ε ובפרט L.P 2 קיימת סדרת פולינומים טריגונומטריים (t) Pn כך ש n f הוכחה: ראשית נראה שכל פונקציה אינטגרבילית ניתנת לקירוב L 2 על ידי פונקציות רציפות. אכן, בהנתן פונקציה אינטגרבילית נבחר חלוקה שמקיימת 3/ε ω(f, (Π ונגדיר פונקציה g שעל תת הקטע ה i י של החלוקה היא ליניארית ומזדהה עם f בנקודות x i של החלוקה. זו פונקציה רציפה שמקרבת 79

80 את f במובן הבא: בכך תת קטע ] i [x i, x מתקיים f(x).ω(f, [x i, x i ]) g(x) ולכן אם נסמן 2π f(x) g(x) 2 2M 2π f g M 2π 2π π ΣK i=ω(f, [x i, x i ]) x i = M ω(f, Π) ε/3 π את החסם של f ב M אז ומשום ש ε היה כלשהו, קרבנו את f על ידי רציפה בנורמה. לא קיימנו את התנאי g(2π) ()g = ולשם כך נגדיר g המזדהה עם g בקטע δ],[, 2π מקיימת g(2π) g() = ולינארית (נאמר) על 2π].[2π δ, ברור שכאשר δ קטן מספיק היא קרובה בנורמה ל g (לא במ"ש! רק בנורמה) g g 2 = 2π 2π 2π δ g g 2 4M 2 2π δ < ε2 /9 מקיימת את תנאי משפט 7.6 לכן נוכל לקרב את g במ"ש (ובפרט ב L) 2 על ידי פולינום טריגונומטרי P f P g + g g + g f < ε P עד כדי 3/ε, ונקבל את המשפט: נעיר שאילו הנחנו מראש ש f היא 2π מחזורית לא היה צורך בתיקון g כי מראש f(2π) ()f = ולכן גם g(2π).g() = משפט 7.9 תהי 2π]) f R([, אזי מתקיים = f lim N S N f דהיינו 2π lim N n= f(x) S N (x) 2 dx = ˆf(n) 2 = f 2 ובפרט מתקיים שוויון פרסבל בשביל המשפט נראה טענת עזר שגם היא שימושית בתורת הקירובים: טענה 7.2 תהי 2π]. f R[, אזי הפולינום הטריגונומטרי מדרגה N הקרוב ביותר L 2 ל f הוא c k C זאת אומרת שמתקיים לכל,S N f = N n= N ˆf(n)e n c n e n f 2 n= N n= N ˆf(n)e n f 2 8

81 הוכחה: נחשב, תוך שימוש בכך ש S N f f e n לכל n N (טענה (7.9 ומשפט פיתגורס c n e n f 2 = c n e n ˆf(n)e n + ˆf(n)e n f 2 n= N = n= N n= N n= N c n e n n= N n= N ˆf(n)e n f 2 n= N ˆf(n)e n 2 + n= N ˆf(n)e n f 2 כרצוי הוכחה: [של טענה 7.9] על פי משפט 7.8 קיימת סדרה Q N של פולינומים טריגונומטריים (כאשר L S N f = אך על פי הטענה האחרונה, עבור הפולינום Q, 2 N f כך ש (N הוא מדרגה QN n= N S N f f Q N f הפולינום N מתקיים n= N ˆf(n)e n ולכן בפרט = f. lim N S N f שוויון פרסבל נובע גם הוא שכן ˆf(n) 2 = S N f 2 = f 2 S N f f 2 N f דוגמא חישובית נרצה לקרב את f(t) = t (נדון דווקא בקטע [π,π ]) על ידי פולינומים טריגונומטריים, עד כמה שאפשר במ"ש (היא לא מחזורית, אז אי אפשר ממש), זה כיוון אחר לנסות ולהוכיח בעזרתו את משפט 7.6 בעזרת משפט ויירשטראסס (משפט 5.2), אך בגלל עניין המחזוריות זה לא עובד ישירות. בתת פרק זה נחשב בדיוק את טור פורייה של פונקציה זו. נעיר שוב שהיא לא פונקציה רציפה על T שכן יש לה ערכים שונים ב π וב π, אולם יש לה רק נקודת אי רציפות אחת כזו בכל קטע מאורך 2π. כמובן שנמשיך אותה מחזורית, כך שנקבל פונקצייה הדומה למסור. 8

82 למה 7.2 תהי f : [ π, π] R מוגדרת על ידי,f(t) = t ונמשיך אותה מחזורית לכל.R מקדמי פורייה שלה נתונים על ידי ˆf(n) = i( ) n /n עבור n ו = ˆf(). פולינום פורייה מסדר N שלה,π ), (π הוא מתכנס במ"ש בכל תת קטע סגור של S. N f(t) = N n= 2( )n+ sin(nt) נתון על ידי n לפונקציה f. בפרט הוא מתכנס נקודתית ל f בקטע הפתוח. הערה 7.22 הבעייתיות בנקודות π± נובעת כמובן מחוסר הרציפות שם. הטור עצמו יתכנס כמובן לאפס בנקודות אלה, שכן זה פשוט טור אפסים. אבל ההתכנסות בקטע כולו לא תהיה במ"ש. נעיר גם שבקרוב נראה כי הטור מתכנס (בכל נקודת רציפות) בדיוק לפונקציה f עצמה. הוכחה: משום שהפונקציה איזוגית, ברור ש = ()fˆ. נחשב עבור n נסכום אותם לקבלת S N f(t) = = ˆf(n) = 2π n= N n= N = π π te int dt = 2π t i n e int π π i 2πn π2einπ = i n ( )n ˆf(n)e int = n= N n ( )n+ sin(nt) = i n ( )n e int = n= n= N π 2 n ( )n+ sin(nt) π i n e int dt i n ( )n [cos(nt) + i sin(nt)] את הביטול של הגורם עם קוסינוס אפשר היה לבצע ללא מחשבה על פי הערה 7.8. ההתכנסות של הטור 2 עבור it e נובעת ממשפטי אבל דיריכלה. לשם כך יש לבדוק שסדרת n= n ( )n+ sin(nt) הסכומים החלקיים חסומה במידה אחידה. יותר נוח לסכום בהצגה המרוכבת. נשים לב שלא השתמשנו בנוסאות מיוחדות, רק בטלסקופיות של הטור שהיא עובדה אלגברית. n= ( ) n e int = lim N n= N ( e it ) n ( ) N e int ( ) N+ e i(n+)t = lim N + e it אם אנו מצטמצמים לנקודות t עבורן נאמר + e it > δ אז ניתן לחסום ( ) n e int 2 δ n= ולכן על פי משפט 5.8, (שניתן להפעיל אותו בנפרד על החלק הממשי או המדומה של הטור המדובר, הלא אנו יודעים שהתוצאה ממשית לבסוף) שהרי 2 שואפת לאפס מונוטונית (ובמ"ש היא לא תלויה n בכלל ב t) גם הטור כולו מתכנס במ"ש בכל קטע שאינו מכיל סביבות של t. = π± כדי לראות שההתכנסות היא ל f עצמה אפשר להשתמש במשפט 7.9. אכן, בכל תת קטע סגור כנ"ל יש התכנסות במ"ש ולכן ההתכנסות היא לפונקציה רציפה בקטע (π,π ), נסמן אותה ב g. לפי המשפט על התכנסות בנורמה, = 2 g f, אך מכיוון ששתיהן רציפות, נובע פשוט f g בקטע. בהמשך נראה הוכחה נוספת ללא שימוש במשפט על התכנסות בנורמה. 82

83 הערה 7.23 שוויון פרסבל עבור הפונקציה הספציפית הזו נותן לנו גם שוויון מספרי: 2π π π t 2 dt = n= 2π [ 3 π3 3 ( π3 )] = π 2 /6 = n= ˆf(n) 2 ואת אחד משני הצדדים אנו יודעים לחשב n= n 2 n 2 כך שקיבלנו אם לא ידענו זאת קודם. המון חישובים מסוג זה בטורי פורייה מניבים נסחאות יפות לסכומי טורים אינסופיים. אפילו ללא פרסבל, מרגע שאנו יודעים התכנסות נקודתית אנו יכולים להציב בפונקציה ערכים כלשהם, נאמר נציב 2/π t = ונקבל π/2 = f(π/2) = n= n+ sin(nπ/2) 2( ) n = 2 ( ) k= (2k )+ ( )k 2k = 2 k= ( ) k 2k k ( ). זהו הטור ההרמוני האלטרננטי אבל רק על האיזוגיים. k= 2k = π 4 זאת אומרת למה 7.24 תהי f : [, 2π] R מוגדרת על ידי t)2,f(t) = 4 (π ונמשיך אותה מחזורית לכל.R N פולינום פורייה מסדר. ˆf() = ו π2 n עבור ˆf(n) = 2 2n 2.f,[, לפונקציה הוא מתכנס נקודתית ובמ"ש ב[ 2π.S N f(t) = π2 + N 2 ˆf() = 8π 2π ˆf(n) = 8π. n 4 (π t)2 dt = 2π = π4 9 8π (π t) 2 e int dt = 8π 2π = i 4πn. שוויון פרסבל נותן π2 2 + n= מקדמי פורייה שלה נתונים על ידי n= cos(nt) n 2 cos(nt) שלה נתון על ידי n 2 טור פורייה שמתקבל הוא (π t)3 [ ] 2π הוכחה: החישוב פשוט, שימוש באינטגרציה בחלקים. = 3 2π3 = π2 וכן 24π 2 e int (π t)2 in 2π 8π te int dt = i te int 4πn in 2π + i 4πn 2π 2π ( 2(π t)) e int in dt e int in dt = 2n 2 וקיבלנו את מקמי פורייה האמורים. הסכימה והזוגיות של קוסינוס נותנת את הביטוי לפולינום פורייה, ולטור. נשים לב שהטור מתכנס בהחלט (הפונקציה עצמה רציפה, שזה שיפור לעומת הקודמת) ובמ"ש על פי הבוחן של ויירשטראסס. בפרט, הפונקציה הגבולית רציפה, וגם f רציפה, ומשום ש f f S N 83

84 π 2 2 נקבל שהפונקציה הגבולית היא f עצמה. פרסבל ייתן לנו (נרשום את הטור באופן מלא כך + ( e int +e int n= 2n 2 2π 2π (π t) 4 dt = π n 4 n= π 4 [ 8 44 ] = (π t) 5 2π 5 6 2π dt π4 44 = 2n 4 n=. n 4 = π4 9 זאת אומרת קיבלנו מההתכנסות הנקודתית נובע שמותר להציב כל מיני t ולקבל שוויונות. בנקודה נציב ונקבל π n = π2 2 4 n= שמסתדר עם החישוב הקודם. בנקודה 2/π t = נציב, עבור n איזוגי הקוסינוס יתאפס, ועבור n = 2k זוגי, הסימן תלוי בזוגיות של π k= cos(kπ) (2k) 2 = π2 2 + k= ( ) k 4k 2 = π2 6 ( ) k. למעשה נוסחא זו יכולנו להסיק גם כן מהקודמות באופן הבא: k= k 2 k= ( ) k k 2 + k= k = 2 2 k= (2k) 2 = 2 k= k 2 = π2 2 = π2 2 k. נקבל שהופך לנוסחא ועל ידי העברת אגפים נקבל את הנסחא מעלה. בגומה נוכל להציב t = π ולקבל π n= ( ) n = n 2 שוב לא דבר חדש (אבל טוב שהכל מסתדר). 7.6 התכנסות נקודתית של טור פורייה 7.6. דעיכת המקדמים הלמה של רימן ולבג, משפט 7.2, אומרת שמקמי פורייה תמיד דועכים, שואפים לאפס, פשוט משום שהטור של הריבועים שלהם מתכנס. זה למעשה אומר קצת יותר מסתם שאיפה לאפס, כי זה לא יכול לשאוף יותר מידי לאט. אולי שמתם לב לכך שכשהפונקציה לה עשינו פורייה הייתה לא רציפה (t f(t) = ב [π,π ] ומחזורית 2π) המקדמים דעכו כמו n/ ואילו בפונקציה השנייה שכן הייתה רציפה, הם דעכו מהר יותר, בקצב של n/. 2 הדבר איננו מקרי, ואולי מזכיר לכם טענה מהעבר הרחוק: טענה 3.58, שאפילו קראנו לה "דעיכת מקדמי פורייה" אם כי עוד לא עסקנו אז במרוכבים כך שניסחנו אותה רק על סינוסים וקוסינוסים. 84

85 למה 7.25 תהי (T) f C זאת אומרת,f : R C מחזורית, 2π וגזירה ברציפות. אזי = (n) ˆf.n ˆf(n) ובפרט in ˆf(n) 2π 2π f (t)e int dt = f(t)e int 2π 2π f(t)( ine int )dt = in 2π 2π ˆf(n) הוכחה: נחשב כרצוי. נעיר שלמעשה לא היה צורך ברציפות f כי אינטגרציה בחלקים אפשר לעשות גם אם, נאמר, f רציפה, גזירה למקוטעין ו f רציפה למקוטעין. לבסוף, השאיפה לאפס נובעת מרימן לבג עבור f. אפשר כמובן להכליל לנגזרות מסדר k, ולקבל באינדוקציה (יאמר בתירגול) למה 7.26 תהי (T) f C k זאת אומרת,f : R C מחזורית, 2π וגזירה ברציפות k פעמים. אזי.n k ˆf(n) ובפרט ˆ f (k) (n) = i k n k ˆf(n) הוכחה: באינדוקציה. המקרה = k ראינו, וכעת 2π f (k) (t)e int dt = f (k ) (t)e int 2π 2π f (k ) (t)( ine int )dt 2π 2π 2π = inf (k ) ˆ (n) = in(in) k f (k ) ˆ (n) כרצוי. שוב השאיפה לאפס מרימן לבג, הפעם עבור (k) f. ובפרט S N f f במ"ש. מסקנה 7.27 תהי (T) f C כמו בלמה. אזי < ˆf(n) n=. אולם מאי שוויון הוכחה: לפי הלמה ˆf(n) 2 ˆf (n) 2 = n 2 ולכן לפי בסל < 2 ˆf(n) n= n2 הממוצעים לכל n ˆf(n) = ˆf(n) n n 2 [ ˆf(n) 2 n 2 + n 2 ] ולכן אחרי סכימה נקבל n= ˆf(n) 2 n= n 2 ˆf(n) 2 + ˆf() + π2 6 < כעת לפי הבוחן של ויירשטראסס, הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש. בפרט הוא מתכנס לפונקציה רציפה, ולכן בהכרח ל f עצמה. במסקנה האחרונה למעשה השתמשנו בטיעון מעט יותר כללי ושימושי טענה 7.28 תהי י C(T) f זאת אומרת f : R C רציפה ומחזורית 2π.אם < ˆf(n) n= אזי S N f f במ"ש על 2π] [, ובפרט נקודתית. הוכחה: לפי הבוחן של ויירשטראסס, הטור הרלוונטי של הפונקציות מתכנס בהחלט ובמ"ש. בפרט הוא מתכנס לפונקציה רציפה, ולכן בהכרח ל f עצמה. 85

86 7.6.2 קונבולוציה הגדרה 7.29 תהיינה R(T) f, g זאת אומרת f, g : R C מחזוריות 2π ואינטגרביליות על 2π].[, (f g)(x) = 2π 2π f(t)g(x t)dt נגדיר את הפעולה הזאת היא, במובן מסויים, שומרת את התכונות הטובות של שתי הפונקציות. הדרך העיקרית בה אנו נשתמש בה היא כאשר g תנסה לקרב לנו את "הזהות" על.R(T) תראו בתרגיל שלא יקיימת g שפועלת "כמו הזהות", זאת אומרת ש f g = f לכל f, אבל אפשר לנסות ולהתקרב לכך. (בידקו (f g n )(x) = π f(t)g(x t)dt = 2n 2π π לעצמכם: מה קורה כשעושים קונבולוציה עם פונקציה קבועה?). 4πn x [ /n, /n] g n (x) = לדוגמא, אם x T \ [ /n, /n] x+/n x /n f(t)dt f(x) כאשר השוויון האחרון הוא בגבול כאשר n, ותקף למשל אם f רציפה ב x. הרעיון הוא על פי רב "להחליק" את f, למצע את ערכיה סביב x על פי פונקציית "משקל" המגולמת על ידי g. ברור בדוגמא זו שהפונקציה g n f רציפה לכל.n עו דוגמא שרלוונטית אלינו: נזכיר e, k (t) = e ikt אזי (f e k ) (x) = π f(t)e ik(x t) dt = e ikx f, e k = e ikx ˆf(k) 2π π זאת אומרת שאת הסוכם ה kי בטור פורייה אפשר להציג כקונבולוציה עם המונומים הטריגונומטריים. קונבולוציה היא כלי מאוד שימושי במתמטיקה, ויש לה תכונות נהדרות שרק את חלקן נודא כאן. s() = x, s(2π) =,ds = dt,t = x s,s = x t אכן על ידי שינוי משתנה :g f = f g ˆ 2π x 2π,x 2π 2π(g f)(x) = = x g(t)f(x t) = g(x s)f(s)ds = x 2π x 2π g(x s)f(s) f(s)g(x s)ds כשהשתמשנו במחזוריות על מנת להזיז את תחום האינטגרציה. ˆ h f (g + h) = f g + f :קל לבדוק לפי ליניאריות האינטגרל. ˆ g) (cf) g = c(f :קל לבדוק לפי הגדרות ותכונות האינטגרל 86

87 ˆ h) (f g) h = f (g [לא בחומר]: נסמן לכל s קבוע את r(t) = t s ונבצע שינוי משתנה. π בדרך גם החלפנו סדר אינטגרציה ללא תירוצים, אותם תוכלו לקבל בקורס חדו"א 3. ((f g) h) (x) = (f g)(t)h(x t)dt = π 2π π (2π) 2 [ π π π = (2π) 2 f(s)[ g(t s)h(x t)dt]ds = = 2π π π (2π) 2 f(s)[ π π π π π π g(r)h(x s r)dt]ds π π f(s)[(g h)(x s)]ds = (f (g h))(x) f(s)g(t s)ds]h(x t)dt ˆ g f תמיד רציפה : עשוי להיות בתירגול, לפחות למקרה שאחת מהן רציפה. ˆ ĝ(n) f) ˆ g)(n) = ˆf(n) [שוב לא בחומר]: אם נרשה החלפת סדר אינטגרציה באינטגרל כפול 2π(f ˆ g)(n) = π π π π π π π π π (מותר למשל אם כולן רציפות, ואח"כ ניתן לקרב על ידי רציפות) נקבל זאת כי = 2π = 2π = 2π (f g)(t)e int dt = π f(s)[ π π π [ 2π π π f(s)g(t s)e in(t s) e ins dsdt π g(t s)e in(t s) dt]e ins ds f(s)ĝ(n)e ins ds = ˆf(n)ĝ(n) f(s)g(t s)ds]e int dt ˆ קונבולוציה עם פולינום ממעלה n תמיד מחזירה פולניום ממעלה n: הבה נחשב דוגמא קלה (f g)(x) = 2π π π f(t)(x t) 2 dt = x 2 [ 2π π ואת המקרה הכללי תעשו באינדוקציה: נסמן.g(t) = t 2 אזי π f(t)dt]+x[ 2π π π f(t)( 2t)dt]+ 2π π π f(t)t 2 dt הרעיון הכללי בשימוש שלנו יהיה לעשות קונבולוציה עם משהו שמרוכז סביב ולקבל קירוב של הפונקציה 2π π π f(x t)g(t)dt = 2π δ עצמה. ראינו את זה בדוגמא הראשונה, ובאופן כללי זה נעשה כך δ f(x t)g(t)dt + 2π x >δ f(x t)g(t)dt ועבור g המרוכזת היטב סביב ובעלת אינטגרל כולל, הגורם הראשון הוא בערך f(x) והגורם השני בערך, ל δ קטן מספיק. למשל, אפשר להוכיח את המשפט על קירוב כל פונקציה רציפה על [π,π ] בעזרת פולינומים אם עושים קונבולוציה של הפונקציה עם C N ( π x 2 ) N (מנורמל להיות מאינטגרל כללי ) כאשר N מאוד גדול. פרטים בתירגול. 87

88 7.6.3 גרעין דיריכלה הגדרה 7.3 נגדיר את הפונקציה המחזורית הבאה, שנקראת גרעין דיריכלה: D N (x) = e inx = n= N n= N e n מהן תכונותיה? (אולי לנסח כלמה) הכי חשוב:,D N f = S N f כי ראינו כבר e n f = ˆf(n)e int ויש ליניאריות של קונבולוציה. בנוסף: ˆ + 2N D N () = וזה הערך המקסימלי. ˆ אם y אז D N (y) = e iny e i(n+)y = e i(n+/2)y e i(n+/2)y e iy e iy/2 + e iy/2 = sin((n + /2)y) sin(y/2) ˆ מתאפס כאשר.(N + /2)y = πk נגזור אותו: D N(y) = (N + ) cos((n + )/2)y) sin(y/2) sin((n + /2)y) cos(y/2) 2 sin 2 (y/2) מתי הנגזרת מתאפסת? כאשר cos(y/2),(n +) cos((n +)/2)y) sin(y/2) = sin((n +/2)y) בפרט ל = y וגם כאשר cot(y/2) cot((n + (y(/2 = ולפי משפט ערך הביניים (ציירו N+ את שתי הפונקציות הללו) הדבר קורה בדיוק + 2N פעמים בקטע. (מתוכם + N מקסימום מקומי ו N מינימום מקומי). ˆ זוגי. בציר החיובי, חסום על ידי הפונקציה sin(y/2) /. (ולכן, היות ש sin(y/2) y בקטע π.π/y חסום על ידי,], [π 88

89 ˆ לא תמיד חיובי ˆ D N (n) = n N n > N ˆ מתקיים π ˆ ובפרט = N(y)dy D 2π π (זאת אומרת הוא "גרעין") π שזה חיסרון (לא "גרעין טוב"). לא נחשב זאת, אם כי הדבר איננו מסובך, π D N(x) dx ˆ וניתן כתרגיל מודרך. לסיכום, את הסכומים שחקרנו S N f אפשר להציג כקונבולוציות עם "גרעין" שמרוכז סביב והאינטגרל הכללי שלו הוא אחד, אבל לא מקבלים משפט התכנסות טוב במיוחד (אם כי לא רע, נראה מייד שתחת ליפשיץ מקומי וכולי הכל עובד) משום שהגרעין איננו חיובי ומשום שהאינטגרל של הערך המוחלט של הגרעין גדל ומתבדר כאשר N גדל התכנסות נקודתית תחת ליפשיץ מקומי משפט 7.3 תהי R(T) f ותהי x T ונניח ש f מקיימת תנאי ליפשיץ מקומי ב x זאת אומרת שקיים δ וקיים M כך שלכל δ) x (x δ, x + מתקיים. f(x) f(x ) M x x אזי מתקיים S N f(x ) N f(x ) בפרט, אם f גזירה ברציפות, אז יש התכנסות נקודתית של S N f ל. f π π π π π הוכחה: נחשב (S N f)(x ) f(x ) = (D N f)(x ) f(x ) = = [f(x t) f(x )]D N (t)dt 2π π = π sin((n + /2)t) [f(x t) f(x )] dt 2π π sin(t/2) = π sin(nt) cos(t/2) + sin(t/2) cos(nt) [f(x t) f(x )] dt 2π sin(t/2) = ( [f(x t) f(x )] cos(t/2) ) sin(n t)dt 2π sin(t/2) + 2π π [f(x t) f(x )] cos(nt)dt 89

90 שני הביטויים הם מהצורה של מקדמי פורייה לפונקציות שונות, הימנית זו הזזה (ושיקוף) של f, ולכן מקדם פורייה שלה על פי רימן לבג שואף לאפס. השמאלית על פי ההנחות שלנו היא חסומה עבור t (באפס היא מוגדרת להיות כי הגרעין מוגדרת להיות ( + 2N) ואילו הכפול שלו מתאפס). אכן [f(x t) f(x )] cos(t/2) sin(t/2) [f(x t) f(x )] t t tn(t/2) Mπ והיא אינטגרבילית גם כן לכל t זאת אומרת שהיא אינטגרבילית, ושוב על פי רימן לבג, מקדם פורייה שלה שואף לאפס. כאן לא מדובר בדיוק על מקדמי פורייה, אלא על הסינוסים והקוסינוסים. כאשר הפונקציות מקבלות ערכים ממשיים, אלה פשוט החלק הממשי והחלק ) המדומה שלהם בהתאמה, וגם אלה ו /2 ĥ( N).(ĥ(N) (ĥ(n) + ĥ( N)) שואפים כמובן לאפס. באופן כללי אלה פשוט 2/ גרעין פייר הגדרה 7.32 תהי R(T) f נגדיר את סכומי פייר שלה להיות ממוצעי צזארו של פולינומי פורייה שלה (σ N f)(x) = N + n= S n f(x) = N + F N (y) = N + D n (y) n= n n= k= n ˆf(k)e ikx ואת גרעין פייר להיות ( F N (y) = sin( N+ )y) 2 N + sin(y/2) ) 2 למה 7.33 מתקיים ˆ F N (n) = וכן עבור R(T) f מתקיים.σ N f = f F N בנוסף, n n N N+ n > N F N (y) = = = N + N + N + n= m= N m= N D n (y) = N + הוכחה: ההוכחה היא חישוב. אכן לפי הגדרה n n= k= n e iky e imy #{k [, N] : m [ k, k]} e imy (N + m ) = m= N e imy ( m N + ) 9

91 ומכאן מקדמי פורייה שלו הם כפי שנטען. מצד שני אם נכפול ונשנה אינדקסים m = k N ( N ) 2 e iky = 2 (N + k N )e iky = k= k= m= N (N + m )e i(m+n)y = e iny (N + )F N (y) נקבל, אחרי סכימת טור הנדסי, F N (y) = = N + e iny N + ( e i(n+)y ) 2 e iy ( e i(n+)y/2 e i(n+)y/2 e iy/2 e iy/2 ) 2 ( = sin( N+ N + 2 y) sin( 2 y) ) 2 דרך נוספת F N (y) = = = = = = = N + n= D n (y) = N + n n= k= n e iky e iny e i(n+)y N + e iy n= [ N ( ) ] N+ e iy n (e iy ) n N + e iy n= n= [ ] e iy(n+) eiy e iy(n+2) N + e iy e iy e iy [ e iy(n+) + ] eiy(n+) N + e iy e iy e iy N + (e iy/2 e iy/2 ) [2 2 e iy(n+) e iy(n+) ] [e iy(n+)/2 e iy(n+)/2 ] 2 N + (e iy/2 e iy/2 ) 2 f F N = N + n= f D n = N + לבסוף, קונבולוציה היא דבר לינארי ולכן S n f n= נראה ציור שלו ונמנה תכונות שלו 9

92 ˆ חיובי (ברור מהנוסחא) ˆ אינטגרל כולל 2π. δ π ˆ לכל > δ ולכל > ε קיים N כך שלכל N N מתקיים F N (x)dx + π δ F N (x)dx ε δ. הוכחה: מהלמה נובע או באופן שקול δ F N(x)dx 2π ε F N (x) N + sin 2 (x/2) F N (x) N + sin 2 (δ/2) ולכן על הקטעים π] [ π, δ] [δ, מתקיים ובפרט N + כך ש שואפת במ"ש לאפס בקטעים אלה. כל שנותר הוא לבחור את N F N.2π sin 2 (δ/2) מסקנה מכך הוא המשפט הבא של פייר: משפט 7.34 [פייר] תהי C(T), f אזי.σ N f u f הוכחה: משום ש f רציפה היא גם רציפה במ"ש. נניח שחסומה על ידי M. יהי > ε אזי קיים > δ כך שאם x y < δ אז ε/2. f(x) f(y) < נבחר את N כך שלכל N N δ π F N (x)dx + π δ F N (x)dx ε/m 92

93 σ N f(x) f(x) = F N f f = 2π δ π π F N (y)[f(x y) f(x)]dy F N (y)[ε/2]dy + 2M δ 2π δ 2π [ F N (y) + π ε/2 + ε/2 = ε ואז יתקיים לכל x T π δ F N (y)dy] כרצוי. באופן דומה ניתן להראות, אם כי לא נבצע זאת כאן משיקולי זמן, כי משפט 7.35 [פייר] תהי R(T), f אזי בכל נקודה בה f רציפה מימין ומשמאל מתקיים f(x) σ N ) )+f(x. f(x+ בפרט יש שאיפה נקודתית ל f בכל נקודת רציפות. 2 הוכחה: משום ש f אינטגרבילית היא חסומה על ידי נאמר M. יהי x T עבורו קיימים הגבולות החד צדדיים. יהי > ε אזי מקיום הגבולות נובע שקיים > δ כך שאם x < y < x + δ אז נבחר את N. f(x ) f(y) < מתקיים ε/2 x δ < y < x ובדומה אם f(x + ) f(y) < ε/2 δ π כך שלכל N N F N (x)dx + π δ F N (x)dx ε/4m π ואז יתקיים עבור x שלנו σ N f(x) f(x+ ) + f(x ) 2 π δ δ F N (y)[f(x y) f(x+ ) ]dy + 2 F N (y)[ε/2]dy + 2M[ ε/2 + ε/2 = ε δ π F N (y) + F N (y)[f(x y) f(x ) ]dy 2 π δ F N (y)dy] והסתיימה ההוכחה. הערות 7.36 ההוכחה תקפה עבור גרעין פייר, אבל למעשה עבור גרעין כללי שמקיים את התכונות של חיוביות, של אינטגרל כללי אחד ושל שאיפה במ"ש לאפס על כל קטע סגור שלא מכיל את הראשית. n= r n e int = P r (y) = n= r n e iny = ( ) re it n + (re it ) n = n= n= למשל, כזה הוא גרעין פואסון הנתון על ידי r 2 2r cos(y) + r 2 re it + reit re = r 2 it r[e it + e it ] + r 2 אכן, 93

94 קל לחשב כי (f P r )(x) = n= ˆf(n)e inx r n ולכן lim r +(F P r)(x) = (A) n= ˆf(n)e inx וגם לא קשה לבדוק שהגרעין הזה הוא גרעין "טוב"..c = f(x+ )+f(x ) 2 מסקנה 7.37 תהי R(T) f עם גבולות חד צדדיים ב x ונניח ש S. N f(x) c אזי הוכחה: מכך שהסדרה מתכנסת נובע שגם סדרת הממוצעים שלה מתכנסת לאותו c, אך ממשפט פייר אנו יודעים כעת מהו c. מסקנה 7.38 הפולינומים הטריגונומטריים e} inx } n Z צפופים במ"ש ב.C(T).N הוא פולינום טריגונומטרי לכל σ N f σאך N f u הוכחה: תהי C(T),f אזי f מסקנה 7.39 [יחידות] תהינה C(T) f, g ונניח שלכל n Z מתקיים ĝ(n) ˆf(n) =. אזי.f = g שני חישובים אחרונים לפני שנסיים את הפרק. sin x x dx = π 2 טענה 7.4 = π D N (t)dt = π 2π π 2π π sin((n + /2)t) dt = sin(t/2) הוכחה: = π 2π π sin((n + /2)t) dt + π (t/2) 2π π sin((n + /2)t)[ sin(t/2) t/2 ]dt π 2π π ולכן dt t/2 = ds s/2 sin((n + /2)t) dt = (t/2) 2π כעת נעשה לאינטגרל הראשון שינוי משתנה s = N) + t(/2 ונקבל (N+/2)π (N+/2)π sin(s) s/2 ds = π (N+/2)π (N+/2)π sin(s) ds s 94

95 כך שבגבול נקבל כפולה של האינטגרל אותו רצינו לחשב. בסוגריים המרובעים כפונקציה של t מתנהג לא רע. הוא מסדר גודל באשר לאינטגרל השני נשים לב שהגורם h(t) = [ sin(t/2) sin(t/2) ] = [t/2 t/2 sin(t/2)t/2 ] = /48 + O(t 5 ) [t3 t 2 /4 + O(t 4 ) ] = t/2 + O(t2 ) ובפרט הוא פונקציה אינטגרבילית (רציפה למעט נקודת אי הגדרה אחת וחסומה) ולכן האנטגרל הרלוונטי שלה שואף לאפס. זה נובע מרימן לבג על אף שמדובר ב sin(n + x(/2 שהוא לא באמת מקדם פורייה, וזה משום שאפשר לפתוח אותו ולקבל (עד כדי כפל בעוד שתי פונקציות רציפות) את הביטוי π sin((n + /2)t)h(t)dt = π sin(n t)h(t) cos(t/2) + h(t) sin(t/2) cos(n t)dt 2π π 2π π כעת נציב ונקבל בגבול כאשר N כי כרצוי. π sin(s) ds = s n= (n + α) 2 = π 2 sin 2 (πα) טענה 7.4 יהי α Z אזי הוכחה: נחשב את טור פורייה של.f(x) = e i(π t)α נקבל ˆf(n) = 2π eiπα 2π e i(n+α)t dt = eiπα 2π [ e i(n+α)t i(n + α) ]2π = e iπα i 2π(n + α) [ e 2πiα ] = i 2π(n + α) sin(πα) כעת נשתמש בשוויון פרסבל ונקבל וחסל. n Z sin 2 (πα) π 2 (n + α) 2 = 2π 2π dt = דברים רבים שלא נלמד אם כי יכלו להיות בחומר: תופעת גיבס כשאין רציפות אך יש גבולות חד צדדיים, מובן שלא תיתכן התכנסות במ"ש (נאמר על הקטע הפתוח שאינו מכיל את הנקודה הבעייתית), זאת אומרת שמתקיימת השלילה שלה, דהיינו קיים > ε כך שלכל N קיימת x עם. S N f(x) f(x) > ε לא קשה להשתכנס שזה אותו ε לכל הפונקציות (אותו יחס מהקפיצה) כי שתיים שונות ניתן לקחת הפרש שיתאפס. לכן אפשר לחשב אותו על פונקציה ספציפית נאמר מדרגה. ובאמת מתקבל בערך.9 מהקפיצה בכל צד. 95

96 7.7 רקע מה פתאום טורי פורייה? [לא בחומר] המשוואה, עבור,y : [, ) [, ] R שמתארת תנועה של מיתר: 2 y t = 2 y 2 c2 x 2 מיתר מתנועע עם קצוות קבועים. מתקבל על ידי שימוש בחוקי ניוטון לשרשרת עם n חרוזים ואז n והמאסה הכוללת קבועה. (הקבוע c הוא T/M כאשר T הוא המתח). בידקו שהפונקציה הבא היא פתרון y(x, t) = f(x + ct) + f(x ct) 2 כאשר f איזוגית ובעלת מחזור 2. כיוון שיש צורך בגזירות פעמיים של y על מנת להגדיר את המשוואה, נראה שתנאי ההתחלה צריך להיות גזיר פעמיים גם הוא, וזה קצת חבל אם רוצים לנגן מה שנקרא "פיציקאטו". המיתר הוא l) ברנולי חשב על מיתרים, על טונים ואוברטונים, והציע פתרון כללי מהצורה (כאן אורך y(x, t) = n= A n sin( nπx l ) cos( nπct ) l ואז בזמן כמובן מתקבלת הפונקציה y(x, ) = f(x) = n= A n sin( nπx ) l אוילר, שהיה אולי המתמטקאי החשוב של המאה ה 8, אמר שאין מצב שזו צורה כללית של תנאי התחלה, ושזה יהיה פתרון של מקרה מאוד פרטי (שהוא כבר חשב עליו בעבר), ודלאמבר הסכים איתו ואמר שפונקציות כאלה תמיד תצאנה גזירות למשל. אז הגיע תורו של פורייה. הוא דווקא עבד על משוואת החום. בכלל הוא התעניין בפיזור של חום (כדה"א כולו גם) הוא היה זה שהטביע את השם "אפקט החממה". הוא התייחס לפלטה חצי אינסופית ברוחב, נאמר שמרכזה על ציר x החיובי, וערכי y שלה רצים ב [, ]. ששפה אחת שלה (השפה הסופית, [, ] {}) בטמפרטורה קבועה ושאר השפה שלה בטמפרטורה קבועה, (זו אי רציפות קטנטונת בפינה). הוא רצה לדעת מה המצב היציב שבו הטמפרטורה מפולגת כך שאיננה משתנה בזמן. המשוואה שקיבל היא 2 u x u y 2 = על מנת לפתור אותה הוא עשה הפרדת משתנים, ϕ(x)ψ(y),u(x, (y = וקיבל משוואות ϕ(x) ϕ (x) = ψ(y) ψ (y) = A 96

97 והפתרונות שקיבל עם תנאי השפה הללו הם כמובן כאשר u(x, y) = e nx cos(ny) A. = n 2 לכן גם כל קומבינציה ליניארית שלהם תתן פתרון. כדי לפתור עם תנאי ההתחלה שלו הוא היה צריך לרשום את הפונקציה הקבועה כטור = cos πy cos 3πy cos 5πy 2 + cos 7πy 2 + וזה אמור להיות תקף לכל [, ] y. הוא היה צריך לפתור משוואה כזו עם אינסוף משתנים. הוא עשה זאת על ידי גזירה הרבה פעמים. (כיצד אתם יכולים לעשות זאת כעת?). הוא הסביר לאן הפונקציה מתכנסת לשאר ה yים (חישבו לאן?). הוא חישב את "טור פורייה" לעוד תנאי התחלה, משפחות שלמות להן אוילר אמר שלא יוכל להימצא פירוק כטור טריגונומטרי. ואז פנה למקרה הכללי והראה דברים רבים שתקפים גם עליו (למה התכוונו ב"פונקציה כללית" אז גם אפשר לדון, לא הייתה ההגדרה של "התאמה" כמו היום, זו היתה הצעה של דיריכלה ב 837 ). לורד קלווין: בנה מכונה לחזות גאות ושפל בעזרת חישוב מקדמי פורייה של הפונקציה,h(t) הגובה בזמן t (נקרא "אנליזטור הרמוני"). מיכלסון בנה מכונה כזו, וכדי לבדוק אותה הכניס לתוכה את 8 מקדמי פורייה הראשונים של פונקציית המסור. להפתעתו הוא קיבל מסור כמעט מדוייק אבל ליד אי הרציפות היו בליטות, שגובהן כ 8% מהקפיצה. כשהוסיף מקדמים המשיך לקבל בליטות צרות יותר ויותר אך באותו גובה. גיבס הוא זה שהסביר תופעה זו (שנובעת כפי שהסברנו מכך שאין התכנסות במ"ש). זה נקרא "אובר שוט" (overshoot) וחשוב מאוד היום לחישובים, אם כי כשזה התגלה עוד לא היה כזה כוח חישוב ולכן נחשב לקוריוז. המרתף של פורייה: באיזה עומק לבנות מרתף כך שהפרשי הטמפרטורה בו יהיו לא יותר מחמש מעלות בין החורף לקיץ? גם את זה פותרים עם פורייה ויש גם "פאזה" כך שבעומק של 4.5 מטרים החורף והקייץ מתחלפים (כמו שהמים בים התיכון שלנו חמים ביותר בספטמבר דווקא ולא ביולי אוגוסט) ויש דעיכה של ההפרש (האמפליטודה) של בערך :6. בשביל בכלל לחוש בהבדל (נאמר :6) בין יום ללילה המרתף צירך להיות בעומק 23cm בלבד effect).(skin אם כבר בחישוב עסקינן יש מושג דומה של טרנספורם פורייה דיסקרטי שהוא זה שמשתמשים בו כיום ברוב המערכות. יש נושא של כיצד לחשב אותו מהר חישוב בסדר גודל N log N במקום N 2 בעזרת טריק של Colley nd Tuckey ממעבדות IBM שנת 965 שלאחר מכן הסתבר שגאוס בכלל המציא אותו והשתמש בו על מנת לנבא את מיקומו של האסטרואיד Ceres בשנת 8. ועוד ועוד ועוד. 97

98 ג. פונקציות בכמה משתנים 8 טופולוגיה של R n 8. מבנה כללי אנחנו מדברים על המרחב R n שהוא מרחב וקטורי. יש לנו את כל הכלים של אלגברה ליניארית מעברי בסיס וכדומה, אז נקבע לנו את הבסיס הסטנדרטי ונעבוד עם קואורדינטות, = ) n x = (x,..., x n כאשר ),,.e i = (,,, i, חיבור וכפל בסקלר מוגדים באופן טבעי וניתן לבצע i= x ie i אותם קואורדינטה קואורדינטה x + y = (x + y,, x n + y n ) λx = (λx,, λx n ) בפרק זה נדון בפונקציות שתחום ההדגרה שלהן הוא R n או תת קבוצה שלו, בשונה ממה שעשינו עד עכשיו שם דנו בעצם במקרה = n. כאשר הטווח של הפונקציה הוא R, נאמר שמדובר בפונקציה ממשית f : R n R או f : A R כש.A R n מושג כללי יותר הוא של פונקציה וקטורית, דהיינו f : R n R m או כשהתחום הוא A. R n אתם מכירים דוגמא מאוד חשובה של פונקציות כאלה: פונקציות ליניאריות (המיוצגות למשל על ידי מטריצה). כדאי כבר לשים לב שפונקציה כזו היא בסך הכל m יה של פונקציות ממשיות f(x) = (f (x),..., f m (x)) f i : R n R כך שלהרבה צרכים יספיק לנו לחקור את המקרה הפרטי = m. יש מקרה פרטי דומה שנדון בו והוא כאשר f. :,] [b R m למשל אם מזהים את C עם R 2 אז אפשר לחשוב על הפונקציות עם הערכים המרוכבים מפרק ב כעל פונקציות מסוג זה. אם מדובר על פונקציה f כזו רציפה (וטרם הגדרנו מה זה אומר רציפה לתוך R, m אם כי תוכלו לנחש מה ההגדרה) נאמר שזו "מסילה", "עקומה" (או "עקם ") ונצייר משהו כזה 98

99 8.2 מרחק x, y = את המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב R n מסמנים n x i y i i= והיא לא משתנה תחת שינוי בסיס אורתונורמלי. היא מקיימת את כל התכונות הטובות של ממ"פ, שהן x, y = y, x. λ x, y = λx, y = x, λy.2 x + z, y = x, y + z, y, x, y + z = x, y + x, z.3.x אם ורק אם = x, x =, x, x.4 מייצרים בעזרתה את פונקציית הנורמה על R n המוגדרת להיות x = n (לפעמים אסמן אותה בלי לשים לב ב x, כך שאם אתם רואים ערך מוחלט של וקטור, הכוונה לאורכו, לנורמה שלו) שמקיימת בתורה i= x 2 i 99

100 .x אם ורק אם = x =, x. λx = λ x.2 3. y x + y x + (ההוכחה למשל מהעלאה בריבוע ואז אי שוויון קושי שוורץ שנראה מייד) וכן מתקיים אי שוויון קושי שוורץ x, y x y כדי להוכיח אותו אפשר או להעלות בריבוע ולפתוח סוגריים, או להעביר קצת אגפים באי השוויון x x, y x, y y, x y 2 y y 2 או לכתוב שהדיסקרימיננטה של הביטוי הריבועי ב λ: Q(λ) = x λy, x λy חייבת להיות אי חיובית שכן אין לוערכים שליליים. בעזרת הנורמה מגדירים מרחק בין שני וקטורים ב R n על ידי d(x, y) = x y והוא מקיים את האקסיומות של להיות מרחק (אבל הוא גם הומוגני שזה יתרון על פני פונקציית מרחק.x = y אם ורק אם d(x, y) =,d(x, y). d(x, y) = d(y, x).2.3 y) d(x, y) d(x, z) + d(z, (אי שוויון המשולש) כללית) נשים לב שנובע מייד גם אי שוויון המשולש "ההפוך" הבא d(x, y) d(x, z) d(y, z) ושניהם יחד שימושיים מאוד. (בכך שאומרים שאם z קרוב ל y אז לכל x שלא קרוב מידי לשניהם, המרחק y) d(x, דומה למרחק z) (d(x, אי השוויון הבא יהיה לנו שימושי למה 8. מתקים לכל x, y R n ולכל n] j [,..., x j y j x y n x i y i n x y i=

101 הוכחה: שני האי שוויונים השמאליים נובעים מיידית על ידי העלאה בריבוע של כל האגפים. אי השוויון x i y i w i = הימני ביותר נובע מקושי שוורץ על הוקטורים z = x y והווקטור w הנתון על ידי x i < y i שכן אורכו n ואילו המכפלה שלו עם z נותנת את הביטוי השני מימין. x m = (x (m),..., x (m) n ) ונסמן m N ואילו i =,... n כאשר x (m) מסקנה 8.2 תהינה סדרות i R lim m x m מתקיים y = (y,..., y n ) אם ורק אם עבור i לכל lim m x (m) i = y i אזי מתקיים.R n.y = (m) x נובע גם הוכחה: אכן, נניח ש = y lim m x m אז משום ש y i y i x m (m) lim m x אז גם i y i מתקיים = i כרצוי. להפך, אם לכל lim m x (m) i y i = lim m x m y ולכן על פי השוואת סדרות חיוביות (סנדוויץ) גם = lim n m i= x(m) i y i =. הערה 8.3 למעשה כל שתי נורמות המוגדרות על R n הן שקולות במובן זה, דבר שניתן להוכיח אך עוד R. n גם הוא נורמה על n אין לנו הכלים. הביטוי i =i w בשלב זה אנו כבר יכולים להתחיל לעשות קצת חדו"א, לדבר על גבולות של סדרות x m y אם = y x m וכולי. אנחנו נמתין עם זה קצת מהסיבה הבאה: כשנרצה לדבר על רציפות, נרצה גם קריטריוני ε δ ולא רק "רציפות סדרתית", ובשביל זה צריך לדעת מה האנלוג של "קטע פתוח" או "סביבת אפסילון" של נקודה, במקרה הרב מימדי. 8.3 קבוצה פתוחה, פנים הגדרה 8.4 [כדור פתוח, כדור סגור וספירה] תהיה x R n ו > r נגדיר כדור פתוח סביב x מרדיוס r כך B(x, r) = {x R n : x x < r} כדור סגור יוגדר r} B(x, r) = {x R n : x x וספירה מרדיוס r סביב x תוגדר כך S(x, r) = {x R n : x x = r} = B(x, r) \ B(x, r) הגדרה 8.5 [נקודה פנימית, פנים, קבוצה פתוחה] תהי A R n ונקודה x. A נאמר שהיא נקודה פנימית של A אם קיים > r כך ש.B(x, (r A אוסף כל הנקודות הפנימיות של A נקרא ה"פ נים" שלה, ומסומן int(a) או לפעמים A. קבוצה נקראת "פתוחה" אם int(a) A = או, באופן שקול, אם לכל x A קיים כדור קטן r) B(x, שכולו בתוך.A נקבל כמובן.int(A) A

102 לדוגמא, כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה, שכן אם r) y B(x, אז y x = s < r ואם נבחר את ε = r s אז r).b(y, ε) B(x, אכן, לכל ε) z B(y, מתקיים z x z y + y x < ε + s = r כרצוי. דוגמא זו חשובה שכן היא מראה ש int(a) בעצמה תמיד פתוחה, כי כל נקודה בה מוכלת בכדור פתוח סביבה (נאמר מרדיוס r) שכולו ב A, ולכן לכל נקודה בכדור זה יש כדור (קטן יותר) סביבה שכולו ב A ולכן הכדור (r B(x, כולו בעצם נמצא ב.int(A) קיבלנו את העובדה הבאה למה 8.6 לכל A R n מתקיים int(a).int(int(a)) = הערה 8.7 אפשר להגדיר "פתוחה" עם קבוצה אחרת, למשל קוביה, במקום כדור. מהצורה קוביה זו קבוצה Q(x, r) = {x : x i (x ) i < r i =,..., n} ומשום שמתקיים (בידקו) r),b(x, r) Q(x, r) nb(x, להיות "פתוחה לפי קוביות" או "פתוחה לפי כדורים" זה בדיוק אותו הדבר. כדורים מעט יותר נוחים לנו כי הם כל כך סימטריים (לא אכפת להם משינוי קואורדינטות אורתונורמלי). משפט () 8.8 איחוד של קבוצות פתוחות הוא פתוח. (2) חיתוך של מספר סופי של פתוחות הוא פתוח (3) ו R n הן פתוחות הוכחה: מיידי לפי ההגדרות, כשב( 2 ) נבחר את הרדיוס המינימלי מבין מספר סופי. נשים לב ש (2) לא נכון עבור חיתוך אינסופי, ניתן בקלות לבנות חיתוך אינסופי של פתוחות שאיננו פתוח, למשל ).(, n n טענה 8.9 תהי A R n אזי int(a) = A כאשר האיחוד הוא על פני כל A A כך ש A פתוחה. הוכחה: אגף ימין מוכל כמובן באגף שמאל שכן כל A A שהיא פתוחה מקיימת שכל נקודה בה היא בפנים של A ובפרט בפנים של A. לכן גם האיחוד כולו מוכל. מצד שני int(a) בעצמה היא קבוצה פתוחה ולכן משתתפת באיחוד, כך שאגף שמאל מוכל באגף ימין וסיימנו. באופן דומה קל להראות (בתרגיל) שכל קבוצה פתוחה ניתן לכתוב כאיחוד של כדורים, וגם, לכל r, כאיחוד של כדורים מרדיוסים קטנים מ r. (איננו טוענים כמובן שהאיחוד הוא של מספר סופי של כדורים, אם כי לא קשה להראות שניתן לכתוב אותה כאיחוד בן מניה של כדורים). 2

103 8.4 קבוצה סגורה, סגו ר הגדרה 8. נאמר ש A R n היא סגורה אם R n \ A היא קבוצה פתוחה. לדוגמא בידקו שכדור סגור הוא אכן קבוצה סגורה, וגם ספירה היא קבוצה סגורה. גם ה"אלכסון" D = {(x, x) : x R} R 2 קבוצה סגורה. כל קבוצה סופית היא גם סגורה. נעיר שישנן (המון) קבוצות שאינן פתוחות ואינן סגורות. ההגדרה לעיל של "סגירות" היא לא בהכרח ההגדרה שתמצאו בספרות, ואותה נביא כמשפט ממש מיד. לשם כך עלינו להגדיר הגדרה 8. [נקודת סגור, סגור] תהי A R n ונקודה x. R n נאמר שהיא נקודת סגור של A אם לכל > r מתקיים B(x, r) A ונסמן A את אוסף כל נקודות הסגור של A. מתקיים כמובן A. A לדוגמא, קל לוודא ש (r.b(x, (r = B(x, כיוון שכבר הגדרנו מעלה מהי קבוצה סגורה, התכונה שלקבוצה סגורה A = A היא כבר משפט משפט A R n 8.2 היא סגורה אם ורק אם.A = A הוכחה: נניח ש A סגורה ותהי x. A נניח בשלילה ש x A אז x R n \ A ואז יש כדור שלם R n \ A ונראה ש A = A בסתירה להנחה. כעת נניח ש B(x, r) A = ולכן B(x, r) R n \ A פתוחה. אכן, כל x A מקיימת x A זאת אומרת יש כדור כך ש = A B(x, (r וזאת אומרת B(x, r) R n \ A כרצוי. למה 8.3 תהי A R n אזי A).A = R n \ int(r n \ הוכחה: בתרגיל. כמובן שבקרוב נאמר שנקודות סגור הן גבולות של סדרות של אברים ב A. A = A R n \ A = A \ int(a) 8.5 שפה הגדרה 8.4 [שפה] תהי A R n ונגדיר 3

104 זאת אומרת שבכל סביבה של A יש הן נקודה מ A והן נקודה מ R. n \ A דוגמאות: האלכסון ב R 2 הוא השפה של עצמו (כך גם כל קבוצה סגורה ללא פנים). הספירה היא השפה של הכדור = ((r (B(x, (r.s(x, השפה של אינטרואל ב R היא שתי נקודות {b},]. [b = {} נשים לב שכששולאים מהי השפה של קבוצה, מאוד חשוב לציין מהו "העולם" ביחס אליו לוקחים "פנים", כי למשל אם לוקחים שתי נקודות, b R n עבור > n ומגדירים את הקטע ]} [, λ,[, b] = {( λ) + λb : אז כתת קבוצה של R n יתקיים [b,] [b =,] בשונה מהמקרה החד מימדי. 8.6 קבוצה קמורה וקבוצה קשירה פוליגונלית נסמן עבור,x y R n את הקטע המחבר אותן [x, y] = {( λ)x + λy : λ [, ]} נשים לב שאפשר לחשוב על הקטע גם כעל התמונה של הפונקציה הפשוטה הבאה: f, :,] [ R n המוגדרת על ידי. f(t) = ( t)x + ty הגדרה 8.5 קבוצה A R n נקראת קמורה אם לכל x, y A גם.[x, y] A למשל, כדור הוא קמור אבל ספירה לא. האדומות קמורות (כל אחת בנפרד, האיחוד של שתיים כבר לא), הכחולות לא קמורות. 4

105 נגדיר גם קו פוליגונלי המחבר בין שתי נקודות,x y באופן די דומה, נאמר עם קדקדים x, = x t = < המוגדרת באופן הבא. בוחרים f : [, ] R n נביט בפונקציה,x N = y,x,..., x N = N t < < t N < t חלוקה של הקטע ואז { t f(t) = i+ t t i+ t i x i + t t i t i+ t i x i+ t [t i, t i+ ] זאת אומרת שבקטע ה"זמן" ] +i t] i, t הפונקציה עוברת על הקטע ] +i x]. i, x אפילו שעוד לא הגדרנו רציפות, קל להשתכנע שההגדרה שנתנו משרטטת קו ללא "קפיצות" ב R. n משהו כזה למשל 5

106 הגדרה 8.6 [קבוצה קשירה פוליגונלית] נאמר שקבוצה A R n היא קשירה פוליגונלית אם לכל A. שכולו נמצא ב y ו x קיים קו פוליגונלי המחבר את,x y A בפרט, כל קבוצה קמורה היא קשירה פוליגונלית. גם איחוד של שתי קבוצות קירות פוליגונלית שנחתכות, נותן קבוצה קשירה פוליגונלית. בקרוב נגדיר מושג של קשירות מסילתית (שזו האפשרות להעביר קו "כללי" שיחבר את שתי הנקודות וישאר בקבוצה, לא דווקא קו פוליגונלי) ונראה שבמקרה של קבוצה פתוחה, המושגים מזדהים. 8.7 סדרות ב R n הגדרה 8.7 תהי k= {x k } סדרה של וקטורים. נאמר ש x R n הוא הגבול שלה ונסמן x = lim k x k אם lim x x k = k באופן שקול, אם לכל > ε קיים k כך שלכל k k מתקיים ε). x k B(x, 6

107 ראינו כבר במסקנה 8.2 שמתקיים טענה x k x 8.8 אם ורק אם (x k ) i x i לכל.i =,..., n מכאן נסיק ישירות את העובדות הבאות טענה 8.9 אם x k x וגם x k y אז x = y (אפשר גם להוכיח זאת ישירות כי y ( x y x x k + x k טענה 8.2 [ליניאריות הגבול] אם {x k }, {y k } R n ו {α k } R ומתקיים y k y, x k x ו.α k x k + y k αx + y אזי מתקיים α k α הוכחה: קואורדינטה קואורדינטה. טענה 8.2 אם {x k }, {y k } R n ומתקיים y k y, x k x אזי מתקיים y. x k, y k x, (נאמר אח"כ שמשמעות הדבר הוא שהפונקציה : R n R n R, היא רציפה.) הוכחה: לפי הגדרה וטענות קודמות, (x k ) i x i וגם (y k ) i y i ולכן גם (x k ) i (y k ) i x i y i. הגדרה 8.22 [סדרת קושי] סדרה x} k } R n נקראת סדרת קושי אם לכל > ε קיים N כך שלכל. x k x m ε מתקיים k, m N טענה 8.23 סדרה {x k } R n היא סדרת קושי אם ורק אם קיים x R n כך ש.lim k x k = x {(x k ) i הוכחה: אי שוויון מלמה 8. גורר ש } k x} היא סדרת קושי אם ורק אם לכל i הסדרה R } היא סדרת קושי וזה אם ורק אם כל סדרה ממשית כזו מתכנסת (ממשפט קושי חדו"א ) וזה, ממסקנה 8.2, אם ורק אם הסדרה הוקטורית מתכנסת. כמובן שניתן גם להוכיח ישירות אך אין צורך. 8.8 נקודות הצטברות הגדרה 8.24 [נקודת הצטברות] תהי A R n ונקודה.x R n נאמר שהיא נקודת הצטברות של A אם לכל > r מתקיים (B(x, r) \ {x }) A זאת אומרת יש נקודה הקרובה r ל x בתוך A שאיננה x עצמו. כמובן שכל נקודת הצטברות היא גם נקודת סגור, אך להפך לא נכון, ונקודת סגור שאיננה נקודת הצטברות חייבת להיות ב A בעצמה, והיא נקראת נקודה מבודדת של A. ברור גם שכל נקודות הפנים של A הן נקודות הצטברות. 7

108 טענה 8.25 תהי A. R n נקודה x R n היא נקודת הצטברות של A אם ורק אם קיימת סדרה {x} x k A \ כך ש. x k x יתר על כן, ניתן לבחור את } k x} כך שכל איבריה שונים זה מזה. בפרט, A אינסופית. הוכחה: זו כמעט ההגדרה. אכן, בכל סביבה של x קיימות נקודות מ {x} A, \ אז נביט בכדור /k) B(x, ונבחר נקודה ממנו שהיא ב A ואיננה k.x, x,..., x אילו אין כזו, בכדור מרדיוס ) k r = min( x i x ; i =,..., לא היתה אף נקודה בסתירה לבגדרת נקודת הצטברות. כך בנינו סדרה שלפי הגדרתה מתכנסת ל x. להפך, אם x הוא גבול של סדרה כזו, אז בכל כדור סביב A נמצאים כל אברי הסדרה החל ממקום מסוים, ובפרט x היא נקודת הצטברות. 8.9 קבוצה חסומה, וקבוצה קומפקטית הגדרה 8.26 [חסימות] תהי A R n נאמר שהיא חסומה אם קיים R כך ש (R A.,)B למשל, כל קבוצה סופית היא חסומה. נוח גם להגדיר קוטר של קבוצה על ידי dim(a) = sup { x y : x, y A} ולא קשה לבדוק שקבוצה היא חסומה אם ורק אם הקוטר שלה סופי. טענה 8.27 תהי x} k } R n סדרה חסומה. אזי יש לה תת סדרה מתכנסת. הוכחה: תהי סדרה כלשהי x}. k } A כל קואורדינטה שלה היא סדרה ממשית חסומה. נבנה ראשית תת סדרה עבורה הקואורדינטה הראשונה מתכנסת, לתת סדרה זו נבנה תת סדרה עבורה הקואורדינטה השניה מתכנסת, וכן הלאה. אחרי מספר סופי (n בדיוק) של שלבים, נקבל תת סדרה של הסדרה המקורית עבורה כל הקואורדינטות מתכנסות. מסקנה 8.28 לקבוצה חסומה ואינסופית יש נקודת הצטברות. הוכחה: מאינסופיות הקבוצה נבנה סדרה של איברים שכולם שונים זה מזה. מהטענה הקודמת ניקח לסדרה תת"ס מתכנסת. הגבול שלה הוא נקודת הצטברות (שכן האיבר הגבולי מופיע כאיבר בסדרה לכל היותר פעם אחת). הגדרה 8.29 [קומפקטיות] תהי A R n נאמר שהיא קומפקטית אם היא סגורה וחסומה. הערה 8.3 ההגדרה ה"אמיתית" של קבוצה קומפקטית היא "אם לכל כיסוי פתוח יש תת כיסוי סופי". ההגדרה של "קומפקטית סדרתית" היא "אם לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת". במקרה של R n ההגדרות הללו מזדהות עם ההגדרה הפשוטה שנתנו למעלה. אז זה יהיה משהו שנצטרך להוכיח (למשל שלכל סדרה יש תת"ס מתכנסת) אבל משום שאנחנו עוסקים במרחב מאוד פשוט,, R n זה יהיה לא קשה בכלל. גם ההוכחות עם הכיסויים אינן קשות (ודומות למשפט של קנטור מחדו"א על חיתוך של קטעים סגורים 8

109 הולכים וקטנים). בכל מקרה לצרכים שלנו ההגדרה שנבחרה היא זו שכתובה מעלה, אך כדאי לזכור שזו לא ההגדרה של קבוצה קומפקטית במקרה כללי של מרחב טופולוגי. משפט 8.3 [קומפקטיות זו שקולה לקומפקטיות סדרתית] קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם לכל סדרה של איברים בקבוצה יש תת סדרה מתכנסת לאיבר בקבוצה (זו נקראת "קומפקטיות סדרתית"). הוכחה: [של משפט 8.3] תהי קבוצה בה לכל סדרה יש תת"ס מתכנסת לאבר בקבוצה. ברור לכן שהיא סגורה וחסומה, אחרת אפשר לבנות סדרה שתתכנס לנקודת סגור שאיננה בקבוצה במקרה הלא סגור (זה מהגדרת נקודת סגור כשהיא יננה בקבוצה היא בהכרח נקודת הצטברות), או סדרה שלא תתכנס כלל במקרה הלא חסום. להפך תהי קבוצה סגורה וחסומה A. תהיה סדרה כלשהי x}. k } A לפי טענה 8.27 יש לה תת סדרה מתכנסת, נאמר מתכנסת ל y. מטענה 8.25, y נמצא בסגור של A ומסגירות הקבוצה, A גם,y A וסיימנו. המשפט הבא יזכיר לכם את משפט קנטור (אולי) מחדו"א. אם הניסוח לא יזכיר זאת, ההוכחה ודאי כן. משפט 8.32 קבוצה A היא קומפקטית אם ורק אם לכל כיסוי של A על ידי קבוצות פתוחות U} α } α I (זאת אומרת (A α I U α קיים N וקיימות α,..., α N כך ש.A N i=u αi (זו ההגדרה הטופולוגית של קבוצה קומפקטית). משפט עזר ששימושי באופן כללי הינו טענה 8.33 סדרה יורדת של קבוצות קומפקטיות i= {K i } (דהיינו שלכל i מתקיים (K i+i K i מקיימת. K i הוכחה: [של הטענה] תהי סדרה כנ"ל. נבנה סדרת נקודות על ידי בחירה של נקודה מכל קבוצה. הסדרה היא חסומה שכן הקבוצה K בעצמה חסומה. לכן יש לה תת סדרה מתכנסת. כעת מסגירות K, i ומשום שכל אברי הסדרה החל מהמקום ה iי שייכים ל K, i נקבל שגם האיבר הגבולי שייך ל K. i היות ש i היה כללי, קיבלנו שהאיבר הגבולי נמצא בחיתוך לכן החיתוך איננו ריק. הוכחה: [של משפט 8.32] נניח ש A איננה קומפקטית, ונמצא לה כיסוי אינסופי ללא תת כיסוי סופי. אם היא איננה קומפקטית, או שהיא לא חסומה או שהיא לא סגורה (או שניהם). נניח שאיננה חסומה. נכסה אותה על ידי כדורים פתוחים ברדיוס ( B(x, הממורכזים בנקודות של A (זה אוסף ענקי, שכן לקחנו כדור לכל נקודה ב A). ברור שזה כיסוי פתוח. אבל כל אוסף סופי שלו (נאמר עם מרכזים =i x}) i } N בהכרח יהיה חסום בכדור מרדיוס ( + i mx i=,...,n x ) ולכן לא יכול לכסות את A כולה שאיננה חסומה. נניח שאיננה סגורה לכן יש נקודת סגור של A שאיננה איבר של. A נניח שזו הנקודה x. נביט בכיסוי הפתוח הבא של A. לכל נקודה x A ניקח כדור פתוח ברדיוס 2/.r(x) = x x כמובן שזה כיסוי פתוח. אילו היה לו תת כיסוי סופי, נאמר על ידי ) i, N i=b(x i, r הוא לא היה מכיל סביבה מרדיוס min r i של x. זו סתירה לכך ש x נקודת סגור של. A כעת נוכיח את הכיוון החשוב אם A קומפקטית אז לכל כיסוי פתוח שלה יש תת כיסוי סופי. נעשה זאת על דרך השלילה. משום ש A חסומה ניתן לחסום אותה בתוך קוביה מאורך צלע סופי כלשהו R. 9

110 נבנה סדרה של קבוצות קומפקטיות A i כך ש A +i A i וכך שכל אחת מהקבוצות אי אפשר לכסות על ידי מספר סופי של איברי U, α ויתר על כן, נדאג ש ) i. dim(a קל לעשות זאת על ידי חלוקה חוזרת של הקוביה ל 2 n תת קוביות שאורך צלע מחצית מהקודם, נסמן אותן Q, j ונביט ב A. i Q j אילו לכולן היה תת כיסוי סופי היה גם תת כיסוי סופי לכיסוי כולו. לכן לפחות לאחת אין תת כיסוי סופי, ואותה נגדיר כ +i A. היא גם קומפקטית כחיתוך של שתי קומפקטיות. אנו טוענים כי {x} A. i = אכן, החיתוך איננו ריק מטענת העזר, אך הקוטר שלו קטן שווה לקוטרה של A i לכל i וזה בתורו שואף ל ולכן קוטר החיתוך אפס, זאת אומרת הוא נקודה אחת בלבד. כעת, משום שנקודה זו היא איבר של,A ישנה קבוצה פתוחה U α אליה x שייך. מפתיחות, קיים כדור קטן.B(x, r ) U α נבחר i מספיק גדול כך ש dim(a i ) r אז מתקיים,A i B(x, r ) U α וזאת בסתירה לכך שאין תת כיסוי סופי של A i לאף i. 9 פונקציות וקטוריות של משתנה וקטורי בפרק זה נדון בפונקציות מהצורה f : R n R m או ביתר כלליות f : A R m כאשר.A R n על פי רוב נוכל להצטמצם למקרה = m אם נסמן.f = (f,..., f m ) 9. הגדרת רציפות, גבולות, דוגמאות הגדרה 9. [גבול של פונקציה] תהי x R n,f : R n R m ו.l R m נאמר כי lim x x f(x) = l אם לכל סדרה x k x כך ש x k x לכל,k מתקיים.f(x k ) l באופן יותר כללי, עבור A R n ו f : A R m ועבור x שהיא נקודת הצטברות של A נגדיר את lim x x x A f(x) = l אם לכל סדרה {x k } A כך ש x k x וכן x k x לכל,k מתקיים.f(x k ) l הגדרה 9.2 תהי A R n ו,f : A R m נאמר ש f רציפה בנקודה x A אם x נקודה מבודדת או ש x נקודת הצטברות ו lim x x x A f(x) = f(x ) נאמר ש f פונקציה רציפה אם היא רציפה בכל x. A

111 דוגמאות פשוטות לפונקציות רציפות, למשל y).f : R 3 R 6,f(x, y, z) = (cos(x), xyz, e z x, y, y, כמו במשתנה אחד, גם כאן לעיתים נוח לעבוד עם רציפות אפסילון דלתא במקום רציפות סדרתית. לכן נוכיח משפט 9.3 תהי A R n ו,f : A R m מתקיים ש f רציפה בנקודה x A אם לכל > ε קיים > δ כך שלכל x B(x, δ) A מתקיים f(x) B(f(x ), ε) (ובאפן שקול, x x < δ גורר.( f(x) f(x ) < ε הוכחה: נניח רציפות סדרתית ונניח בשלילה שהתנאי של המשפט לא מתקיים. זאת אומרת שעבור x k לא יתאים, זאת אומרת שניתן למצוא δ = k המספר k מתאים. לכן לכל δ מסוים אין ε f(x k ) f(x ) אבל לא מתקיים x k x מתקיים. f(x k ) f(x ) כך ש ε B(x, /k) A בסתירה. בכיוון השני, נניח שמתקיים התנאי במשפט ותהי סדרה ב A עם x. k x נביט בסדרה ) k f(x ויהי >.ε עלינו למצוא N כך שלכל k > N מתקיים. f(x k ) f(x ) < ε נשתמש בתנאי המשפט על מנת למצוא δ כך שלכל,x B(x, δ) A מתקיים ε).f(x) B(f(x ), משום ש,x k x קיים N כך שלכל k N מתקיים x k B(x, δ) A ולכן בפרט ε) f(x k ) B(f(x ), כרצוי. טענה 9.4 תהי A R n ופונקציה f : A R m ונניח ) m. f = (f,..., f היא רציפה אם ורק אם f i רציפה לכל.i =,..., m f i (x) f i (x ) f(x) f(x ) הוכחה: מיידית מאי השוויון m f i (x) f i (x ) i= והשאפת x ל x (בתוך.(A עוד דוגמא נחמדה לפונקציה רציפה זו פשוט הפונקציה f : R n R f(x) = x כי מתקיים f(x) f(y) x y מאי שוויון המשולש, לכן אם x y < ε אז f(x) f(y) < ε וזו אפילו רציפות במ"ש. למעשה כל x = n x i e i i= n i= פונקציה שמקיימת את התכונות של נורמה תהיה רציפה שכן יתקיים n x i e i mx e i x i mx e i n x = c x i=,...,n i=,...,n i= x y c x y ומהומוגניות זאת אומרת שוב יש רציפות ואפילו במ"ש. (שנגדיר עוד רגע)

112 9.2 משפטים בסיסיים סגירות לחיבור, כפל, הרכבה משפט 9.5 תהי A R n ו f, g : A R m רציפות ויהיו α, β R אזי αf + βg : A R m רציפה וגם f, g : A R רציפה. הוכחה: חוקי גבולות של סדרות, אין קל מזה. משפט 9.6 תהי x A R n ו f : A R m ותהי B R m כך ש.f(A) B תהי.g : B R l נניח ש f רציפה ב x ונניח ש g רציפה ב ).y = f(x אזי h = g f : A R l רציפה ב.x הוכחה: שוב מדובר בחוקי גבולות של סדרות, ושוב אין קל מזה. 9.3 תכונות גלובאליות 9.3. קנטור: על קומפקט רציף במ"ש הגדרה 9.7 [רציפות במ"ש] נאמר שפונקציה f : A R m רציפה במ"ש ב A אם לכל > ε קיים. f(x) f(y) < ε מתקיים x y < δ המקיימים x, y A כך שלכל δ > משפט 9.8 [משפט קנטור] תהי A R n קומפקטית ו f : A R m רציפה. אזי f רציפה במ"ש. הוכחה: ניתן לשחזר בקלות את ההוכחה של משפט קנטור המקורי. אכן, אם נניח בשלילה שf איננה רציפה במ" ש אז קיים ε שמעיד על כך, לכן לכל δ k = /k קיימים x k, y k כך ש x k y k δ k x kj ולכן גם ואילו. f(x k ) f(y k ) > ε מקומפקטיות A יש ל } k {x תת"ס מתכנסת, נאמר x y kj x אבל מרציפות נקבל ) f(x kj ) f(x וגם ) f(y kj ) f(x וזו כבר סתירה כי עבור j מספיק גדול נקבל. f(x kj ) f(y kj ) < ε ויירשטראסס: חסום, מקביל מינ ומקס משפט 9.9 תהי K R n קבוצה קומפקטית ותהי f : K R פונקציה ממשית רציפה. אזי f חסומה ומשיגה את חסמיה, דהיינו קיימים x M K ו x m K כך שלכל x K מתקיים f(x) f(x min ).f(x MAX ) הוכחה: ראשית היא חסומה שכן אילו היינו יכולים למצוא f(x k ( > k היינו בונים תת"ס מתכנסת של,x k נאמר x kj x K ומרציפות f(x kj ) f(x) R בסתירה לאי חסימות ) kj.f(x כעת נסמן x MAX ניקח לה תת"ס מתכנסת.f(x k ) > M /k עבורה x k ונבנה סדרה M = sup x K f(x) x kj ומרציפות M f(x MAX ) = lim f(x kj ) lim M /k = M וקיבלנו את הדרוש. בדומה נמצא את.x min הערה 9. ניתן להראות באופן דומה: אם f : A R m כאשר A R n קומפקטית, אזי f(a) B = R m גם היא קומפקטית. 2

113 לדוגמא, נוכל להשתמש במשפט זה על מנת להראות שכל נורמה (פונקציה (,] n : R שמקיימת את אי שוויון המשולש, x λx = λ ומתאפסת רק ב ) שקולה לנורמה הרגילה, זאת אומרת קיימים,c C כך ש C x c x x לכל x. זה יעשה בתרגיל. הרעיון הוא ראשית שמספיק להראות זאת על הספירה בגלל ההומוגניות, שנית שראינו כבר רציפות, לכן על הספירה שהיא קומפקטית יש חסם מלעיל ומלרע, ולבסוך החסם מלרע מתקבל על הספירה ולכן איננו אפס תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית משפט 9. [תכונת דרבו על קשירה פוליגונלית] תהי f : A R ונניח כי A קבוצה קשירה פוליגונלית וכי f רציפה. יהיו x, y A וR c כך ש f(y).f(x) < c < אזי קיים z A כך ש. f(z) = c הוכחה: הרעיון הוא לבנות עקום פוליגונלי המחבר את הנקודות, וכך להפוך את השאלה לחד מימדית. אכן, אם נסמן γ(t) : [, ] A את העקום, הוא רציף ומקיים,γ() = y,γ() = x וכעת נרכיב t זו פונקציה רציפה ולכן מקיימת את משפט ערך הביניים מחדו"א, ולכן קיים g = f γ :,] [ R כך ש,g(t) = c ועבור γ(t) z = נקבל f(z) = c כרצוי. 9.4 גבול בשני משתנים לעומת גבול חוזר כמו שבפרקים קודמים עסקנו לא מעט בשאלות כמו החלפת גבול ואינטגרל, החלפת גבול ונגזרת, החלפת גבול וסכום אינסופי, כאשר אנו עוסקים בשני משתנים אפשר לעשות גבול ביחס למשתנה אחד וגבול ביחס למשתנה אחר, וניתן לשאול מתי הדבר זהה ללקחת גבול ביחס לשני המשתנים גם יחד. יהיה קל להבין את ההבדלים על ידי דוגמאות. דוגמא ראשונה: xy (x, y) (, ) x f(x, y) = 2 +y 2 (x, y) = (, ) lim lim x y f(x, y) = lim x lim y xy x 2 + y 2 = lim x x x 2 + = נחשב את ובאופן דומה lim lim f(x, y) = y x ומצד שני לא קיים lim f(x, y) (x,y) (,) משום שלמשל אם ניקח את t) (x, y) = (t, אז לכל t יתקיים /2 = ) 2 f(t, t) = t 2 /(2t זאת אומרת הפונקציה לא רציפה כפונקציה של שני משתנים. 3

114 x + y sin( f(x, y) = ) x x x = דוגמא שנייה: נשים לב שיש דווקא רציפות ב ) (, שכן אם ) (, ) k (x k, y מתקיים f(x k, y k ) x k + y k lim f(x, y) = lim x + y sin( x x x ) מצד שני לכל y לא קיים הגבול ובפרט לא קיים הגבול החוזר x.lim y lim מצד שני כן קיים הגבול lim lim x y f(x, y) = lim x x = x 2 y (x, y) (, ) x f(x, y) = 4 +y 2 (, ) דוגמא שלישית: כאן קל לבדוק שלכל t מתקיים tx 3 lim f(x, tx) = lim x x x 4 + t 2 x = 2 זאת אומרת בכל כיוון "ליניארי" בו נתקדם לעבר (,) הגבול יהיה קיים ושווה לאפס. האם זה גורר רציפות? לא ולא. למשלת f(x, x 2 ) = 2 לכל x וגם כאשר x, לכן אין רציפות, שהרי בכל סביבה של (,) יש נקודה מצורה זו. כאן אנו למדים שגבול בשני משתנים הוא מורכב הרבה יותר מגבול במשתנה אחד, ובמילים אחרות אי אפשר לעבוד תמיד "קואורדינטה קואורדינטה", אפילו לא "כיוון כיוון", לפעמים צריך עקומות יותר כלליות כדי להבין מה קורה. נזכיר שאם לכל סדרה x k השואפת לנקודה יש גבול ל ) k,f(x (השווה ל ) (f(x אז יש רציפות, כך שאם נלך על "כל המסילות" (דבר שעוד לא ממש הגדרנו) ונקבל שעל כל אחת מהן יש גבול, יהיה גם גבול בנקודה. 4

115 9.5 העתקות ליניאריות ומטריצות מושג הנגזרת אליו נגיע בקרוב ידרוש מאיתנו הבנה בסיסית של העתקות ליניאריות. משום שהן בעצמן גם פונקציות מ R n ל R m כדאי שנדון בהן קצת. העתקה (פונקציה) A : R n R m נקראית ליניארית אם היא מקיימת לכל λ, µ R,x, y R n A(λx + µy) = λa(x) + µa(y) ואז מסמנים.A(x) = Ax אוסף כל ההעתקות הליניאריות הללו מסומן ) m,l(r n, R והוא בעצמו מרחב לינארי עם חיבור (של פונקציות) וכפל בסקלר. מרגע שקבענו בסיסים e,..., e n של R n ו f,... f m של x = n j= x je j שכן אז לכל Ae j = m =j i,jf i כזו על ידי כך שנסמן A יש לנו ייצוג מטריציוני של R m Ax = n x j Ae j = j= n j= m x j ij f i = i= m n ( ij x j )f i i= j= נקבל לכן בעצם יש התאמה חח"ע ועל בין ) m L(R n, R לבין R. nm נהוג לרשום התאמה זו באופן של מטריצה, עם הגדרת כפל מטריצה בווקטור המתאימה: 2 n Mt(A) =... m m2 mn (לצורך זה יש להתייחס לוקטור כוקטור עמודה). כמובן, הרכבה של העתקות (נאמר ) m A L(R n, R עם ) k (B L(R m, R מתאימה לכפל מטריצות (כאן,(BA כפי שלומדים בליניארית. טענה 9.2 תהי ) m,a L(R n, R אזי היא רציפה. הוכחה: נסמן את עמודותיה בוקטורים,i =,..., m,v i R n אז מספיק להראות שההעתקה i f i (x) = x, v היא רציפה לפי טענה 9.4 כי.f i (x) = (Ax) i הרציפות של פונקציה כזו (שנקראת גם f i (x) f i (y) = x y, v i x y v i "פונקציונל ליניארי) נובעת ישירות משום ש לכן יש רציפות במ"ש. השתמשנו בקושי שוורץ כמובן. הערות 9.3 על ) m L(R n, R יש כמה נורמות טבעיות (שכולן שקולות כי כולן נורמות על R nm למעשה). Ax N(A) = A op = sup x x בתרגיל תראו כי היא נורמה (שנקראת הנורמה האופרטורית) ותשוו אותה לנורמה ה"רגילה" עך R nm שהיא 5

116 m A = A HS = n i= j= 2 ij נשתמש בנורמה זו מייד. משפט 9.4 לכל ) n A L(R n, R מוגדרת העתקה e A : R n R n על ידי הגבול e A (x) = k! Ak x k= והיא רציפה. נזדקק לטענת העזר הבאה טענה 9.5 יהיו ) n A, B L(R n, R אזי B. AB A בפרט A k A k לכל.k N הוכחה: נסמן ב u j את וקטורי העמודות של B וב v i את וקטורי השורות של.A לכן j.(ab) i,j = v i, u. B 2 = n נקבל j= u ובדומה j 2 A 2 = n כמובן i 2 i= v n n n n AB 2 = v i, u j 2 v i 2 u j 2 = A 2 B 2 j= i= j= i= כרצוי. כעת באינדוקציה. A k A k A A k מסקנה 9.6 תהי ) n A L(R n, R ונגדיר את המטריצה e A = k! Ak k= אזי כל קואורדינטה (מבין ה n) 2 מתכנסת ומתקיים עבור המטריצה הגבולית e A ש e A k! A k e A k= הוכחה: [של המסקנה, ושל משפט 9.4] אכן, על פי אי שוויון המשולש והטענה הקודמת, הזנב שזו סדרה מספרית חסום בנורמה ולכן גם בכל קואורדינטה על ידי k=n!k A k k=n k! Ak השואפת לאפס. לכן הסדרה מתכנסת, ואי השוויון נובע על פי אי השויון הסופי ולקיחת גבול שהרי N לכל N. בפרט קיבלנו שהמטריצה e A מוגדרת. לכן ההעתקה המשוייכת אליה ik= k! Ak e A היא רציפה, כי היא ליניארית וכל העתקה ליניארית היא רציפה. הערות 9.7 [יעשה בתירגול כנראה] חשבו לעצמכם את e A עבור מטריצה אלכסונית, ועבור מטריצה המצויה בצורת זורדן. בידקו כיצד ההתאמה נ A e A מתנהגת עם הצמדה. נסו להראות שההתאמה A e A היא העתקה רציפה בין R n2 לעצמו. המקרה = n זו כמובן ההעתקה.x e x הדבר יהיה לכם קל יותר כאשר תעריכו את B e A e כשהן מתחלפות, אך לא קשה מידי גם במקרה כללי. 6

117 9.6 עקום רציף, עקום פוליגונלי, קשירות מסילתית הגדרה 9.8 [מסילה] פונקציה רציפה γ :,] [b R m נקראת מסילה. היא נקראת סגורה אם,). [b או אם היא סגורה וחח"ע על,] [b היא נקראת פשוטה אם היא חח"ע על.γ() = γ(b) הגדרה 9.9 בהנתן מסילה γ : [, ] R m נגדיר את γ : [, ] R m על ידי γ(t) = γ( t) כל העתקה רציפה חח"ע ועל d] ϕ : [, b] [c, מגדירה מסילה חדשה ϕ.γ 2 = γ זהו יחס שקילות על מסילות שנקרא גם רה פרמטריזציה. דוגמאות חשובות למסילות אלה למשל הפוליגונליות שראינו, אבל גם γ(t) = (cos(t), sin(t)) γ : [, 3 π] R2 2 או γ(t) = (cos(t), sin(t), t) γ : [, 25] R 3 7

118 הגדרה 9.2 [קשירות מסילתית] תהי A R n קבוצה כלשהי. נאמר שהיא קשירה מסילתית אם לכל.γ() = y ו γ() = x כך ש γ : [, ] A קיימת עקומה (רציפה) x, y A הגדרה 9.2 [תחום] קבוצה A R n נקראת תחום אם היא פתוחה וקשירה מסילתית. טענה 9.22 כל קבוצה פתוחה וקשירה מסילתית היא גם קשירה פוליגונלית. הוכחה: נניח ש A קשירה מסילתית ופתוחה, יהיו,x, y A נביט בעקום המחבר אותן γ, :,] [ A ונביט בקבוצה.,])γ ([ A זוהי קבוצה קומפקטית כי היא תמונה רציפה של [,] שגם היא קומפקטית. אנו טוענים שקיים > ε כך שלכל ] [,,t ולכל z A מתקיים γ(t) z ε. אכן, אם נניח בשלילה שלא זה המקרה נוכל למצוא סדרות מתאימות t k ו z k עם k γ(t k ) z ולהן תת"ס מתכנסות, ובגבול נקבל [,] t ו z A (שכן A פתוחה) עם γ(t) = z וזו סתירה. כעת נכסה את ([,])γ על ידי מספר סופי של כדורים ברדיוס ε כך שכל שניים עוקבים נחתכים, נבחר נקודה בכל חיתוך, ונחבר אותן על ידי קו פוליגונלי. כולו יהיה ב A. מסקנה 9.23 קבוצה A R n היא קשירה אם ורק אם כל f קבועה מקומית עליה היא קבועה ממש, אם ורק אם כל f רציפה עליה מקיימת את תכונת דרבו. 9.7 עקום פיאנו [העשרה: לא בחומר] נגדיר את γ peno : [, ] [, ] [, ] שיהיה עקומה רציפה הממלאת את הריבוע כולו. לשם כך נגדיר איטראציות של עקומה נתונה באופן הבא. תהי γ(t) = (x(t), y(t)) : [, ] [, ] [, ] 8

119 (y(t 2 ), x(t )) t t 4 = 4t (Φγ) (t) = (x(t 2 2), y(t 2 )) + (, ) t t = 4t (x(t 2 3), y(t 3 )) + (, ) t 3 t = 4t 2 ( y(t 2 4), x(t 4 )) + (, ) 3 t t = 4t 3 ונגדיר את זו תהיה איטראציה אחת של העקומה המקורית. נגדיר סדרת עקומות על ידי n. γ n = Ψγ נצייר לדוגמא מה קורה כשמתחילים עם עקומה t t /2 γ (t) = t /2 t יפה, לא? תעשו גוגל "עקום פיאנו" curve) (Peno ותקבלו תמונות יותר יפות ממה שאני ייצרתי כאן. ואם נתחיל מעקומה אחרת, נקבל למשל את הציור 9

120 אנו רואים שככל שמתקדמים באיטראציות, העקומות "מכסות" יותר ויותר מהריבוע. בכל שלב, עדיין, מדובר באיחוד סופי של עקומות שאנחנו מבינים (במקרה הראשון ממש של אינטרואלים) ולכן בשום שלב סופי לא נוכל לומר שכיסינו את כל הריבוע. לשם כך עלינו לקחת גבול של ההעתקות הללו. כדי לעשות זאת נגדיר נורמה על עקומות וכך נוכל גם למדוד מרחק בין שתי עקומות γ := mx t [,] γ(t) γ µ = mx γ(t) µ(t) t [,] נשים לב שמתקיים עבור ההעתקה שלנו Φ (שמתאימה לעקומה עקומה חדשה) כי לכן מתקיים שלכל m > k המרחק Φγ Φµ = 2 γ µ γ m γ k 2 k γ m k γ 2 k 2 2

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.

פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך

Διαβάστε περισσότερα

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers".

Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers. Prerequisites for the MBA course: Statistics for managers". The purpose of the course "Statistics for Managers" is to get familiar with the basic concepts required for statistical reasoning: Types of Analyses,

Διαβάστε περισσότερα

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק.

מושגים: קשיר. o בעל 1 קשתות בדיוק. 1 גרפים / חזרה כללית: סיכומים למבחן בקורס אלגוריתמים סמסטר א' 2008-9 (פרופ' מיכה שריר) מושגים: גרף: גרף,, V קבוצת קודקודים, קבוצת קשתות. מכוון: הקשתות הן זוגות סדורים, לא מכוון: הקשתות הן קבוצה בת שני

Διαβάστε περισσότερα

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity

מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת. Query Optimization ארכיטקטורה של אופטימייזר (המשך) סיבוכיות נתו נים Data Complexity אופטימיזציה ש ל ש איל תו ת Query Optimization מדוע אופ טימיזציה נחו צ ה? נתונה שאילתה בגודל m, מהו גודל התוצאה? לדוגמה: יחס n R(A) ומסד נ ת ונים בגודל עם 2 שורות, שבא חת מהן יש את הע רך 0 ובשניה יש א ת

Διαβάστε περισσότερα

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1]

מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [1] מבוא לאקונומטריקה ב' החוג לכלכלה [] תוכן עניינים מבחני ספציפיקציה- מבחן LM (כופלי לגרנג')... 4 טעויות ספציפיקציה... ) הוספת משתנה לא רלוונטי.... ) השמטת משתנה רלוונטי... מולטיקוליניאריות... 4 ) מולטיקוליניאריות

Διαβάστε περισσότερα

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï

אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï אך ורק בהתפשטות חכמת הקבלה ברוב עם נזכה ל אולה השלמה Â È ÌÏÂÒ ÏÚ Ï Ò כולנו יחד - מתחברים לטוב יליון מסß אר ון קבלה לעם תשרי תשע א ספטמבר ± מחג לחג: יומן מסע פנימי חינוך עמß עמß µ מהי קבלה? עמß עמß הנה

Διαβάστε περισσότερα

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה*

1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* 1. התכונות המכניות של הבטון והפלדה* מבוא 1.1 התכונות המכניות של החומרים המרכיבים את הבטון המזוין, ובעיקר הבטון על כל מרכיביו, הינם נושא רחב ומורכב ומהווה התמחות בפני עצמה. ספרות רחבה ביותר קיימת על הנושא

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית פברואר 00 כל הזכויות שמורות למרכז ארצי לבחינות ולהערכה )ע"ר( אין להעתיק או להפיץ בחינה זו או קטעים ממנה בכל צורה ובכל אמצעי, או ללמדה - כולה או חלקים ממנה - בלא אישור בכתב

Διαβάστε περισσότερα

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010

ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE תחרות WFF שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... גיליון 392 פברואר 2010 ביטאון אגודת חובבי הרדיו בישראל ISRAEL AMATEUR RADIO CLUB MAGAZINE גיליון 392 פברואר 2010 בגיליון: תורן השידור בברלין תחרות WFF לוויינים שידורים דיגיטאליים ועוד, ועוד... הכל על הכל - מידעון לחובבי הרדיו

Διαβάστε περισσότερα

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית

בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית בחינה פסיכומטרית להתנסות עברית דצמבר 0 ת וכן עניינים מועד דצמבר 0 חשיבה מילולית מטלת כתיבה... חשיבה מילולית פרק ראשון... חשיבה מילולית פרק שני... חשיבה כמותית פרק ראשון... 0 חשיבה כמותית פרק שני... אנגלית

Διαβάστε περισσότερα

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 )

HLM H L M טבלת עומסים לעוגן בודד (בטון ב- 30 ) HM HM מאפיינים טכנולוגיה: עוגן נקבה סוג פלדה העוגן נקבה: Cold Formed steel D62 סוג פלדה הבורג :. Steel f uk = 0 N/mm 2 ; f yk = 6 N/mm 2 גלוון: 5µ Zn HM Bolt HM Eye European Approval ETA01/00 ETAG001 option

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use

Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use Blom-Singer Nasal Septal Perforation Prosthesis MEDICAL PROFESSIONAL Instructions For Use R5 37805-05B נכנס לתוקף במרץ 37805-05B Effective March 2015 / Σε ισχύ από το Μάρτιο 2015 / 2015 Blom-Singer is

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 17 38 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME

Coaching for psychomotor Empowerment Coach ME ד"ר אורלי יזדי-עוגב המרכז לקידום השליטה המוטורית ותפקודי למידה ; 050-5382160050-6930972 נייד : 04 -רח' הדקל 10 חדרה 38220 טלפקס: 6344476 ; אתר: ; yazdi@macam.98.ac.il ; y_orly@netvision.net.il אלקטרוני:דואר

Διαβάστε περισσότερα

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά

User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ. תירבע English Ελληνικά User's Guide Οδηγός χρήσης שמתשמל ךירדמ תירבע English Ελληνικά www.parrot.biz www.parrot.biz English Ελληνικά עברית 5 15 34 Warning : The manufacturer Parrot S.A. and it s affiliates should not be held

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון פרופ' המרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון הפקולטה למדעי הטבע, המחלקה לכימיה ביולוגית חיים כהן,, טל. 03-9066623, פקס. 08-9200749, email:hcohen@ariel.ac.il דו"ח מסכם בדיקת היתכנות - קיבוע פסולות רדיואקטיביות

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

CD/MP3 Hands-free Receiver

CD/MP3 Hands-free Receiver CD/MP3 Hands-free Receiver RHYTHM N BLUE User manual For Bluetooth Mobile Phone ENG GRE P.3 P.15 HEB P.38 Warning The manufacturer Parrot S.A. and its affiliates should not be held liable towards end users

Διαβάστε περισσότερα

"רבי, מה אני לחיי העולם הבא"? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליט"א

רבי, מה אני לחיי העולם הבא? מתוך דרשותיו של הרב אמנון יצחק שליטא בס"ד 152 קובץ שבועי בעניני יהדות מהוצאת להזמנת עלונים ולפרסום טל: 03-6762226 מופץ בכל הארץ ב- 90,000 עותקים "ו לא ת ח לּ לוּ א ת שׁ ם ק דשׁ י ו נ קדּ שׁ תּ י בּ תוֹ ך בּ נ י י שׂ רא ל א נ י ה' מ קדּ שׁ כ ם" "רבי, מה

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05C 37728-05C Effective March 2014 Blom-Singer is a registered trademark in the United States of Hansa Medical Products. / InHealth Technologies

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts

Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran. Texts Early Rabbinic Midrash Between Philo and Qumran Texts 1. Ben Sira 51:23 (MS B): Turn aside to me, you untutored, and lodge in my house of study. 2. 1QS (Community Rule) 8.12-15: פנו אלי סכלים ולינו בבית

Διαβάστε περισσότερα

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity

טונוס : Modified Ashworth Scale. Associated Reaction Rating Scale תחושה: Fugl -Meyer Assessment of the Upper extremity כלי ערכת מדידה בטיפול באדם פגיעה עם נוירולוגית פברואר תוכן עניינים 8 7 8 6 7 8 9 6 מבוא לשימוש בכלי מדידה ליקויים פיזיקליים - Functions Body Structures and תנועות אקטיביות: טופס הערכת תנועות אקטיביות טונוס

Διαβάστε περισσότερα

Blom-Singer Showerguard

Blom-Singer Showerguard Blom-Singer Showerguard USER Instructions For Use R5 37728-05D / 2016 ראונימ ףקותב / 2016 37728-05D Effective January Με ισχύ από τον Ιανουάριο του 2016 Blom-Singer and InHealth Technologies are registered

Διαβάστε περισσότερα

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard

תוכן העניינים. The Talmudic discussion on building a porter's lodge and a door for the courtyard אוקימתא מחקרים בספרות התלמודית והרבנית שנה א (תשע"ג) תוכן העניינים 1 25 71 93 105 133 195 243 293 319 369 421 שלמה גליקסברג מוטי ארד גלעד ששון אפרים בצלאל הלבני מנחם בן שלום שמא יהודה פרידמן רבין שושטרי

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז

החינוך וסביבו שנתון המכללה לז החינוך וסביבו שנתון המכללה ל"ז תשע"ה 2015 1 החינוך וסביבו כרך ל ז, תשע ה - 2015 עורכת: ד ר אסתי אדיבי-שושן מערכת: פרופ נמרוד אלוני פרופ ליאורה גביעון ד ר חיים חיון ד ר מעין מזור פרופ דן סואן פרופ אלי צור

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

"מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה"

מנהיגות פדגוגית בישראל הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דוח מסכם עבור מכון אבני ראשה מטרות המחקר מטרת המחקר "מנהיגות פדגוגית בישראל" הערכה וניבוי של הישגי תלמידים דו"ח מסכם עבור מכון "אבני ראשה" פרופ' שאול אורג וד"ר יאיר ברזון הייתה לבדוק את הקשר בין מנהיגות מדד של "מנהיגות פדגוגית בישראל"

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ - ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Τµ. Επιστήµης των Υλικών Συνάρτηση Κατανοµής Ορισµός F(x) = P(X x) = f(t) x t x f(t)dt, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Ιδιότητες 0 F(x). 2 F είναι αύξουσα συνάρτηση. 3 F είναι συνεχής εκ δεξιών. 4 lim

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειρµαµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 9 εκεµβρίου 203 Μη Πεπερασµένο Οριο Συναρτησεων στο x 0. Το Μη-πεπερασµένο Το Απειρο Ορισµός.

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα

Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Το Ορισµένο Ολοκλήρωµα Λυγάτσικας Ζήνων Πρότυπο Πειραµατικό Γ.Ε.Λ. Βαρβακείου Σχολής 3 Μαρτίου 4 Εισαγωγή Ο δρόµος της ϑεωρίας της ολοκλήρωσης ξεκινά απο τον Αρχιµήδη, αλλά η πραγµατική ιστορία αρχίζει

Διαβάστε περισσότερα

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן

מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן 33 אקולוגיה וסביבה ;12 :)1(3 42-33 מיתון עומס חום בערים מדבריות באמצעות צמחים - באר שבע כמקרה בוחן עודד פוצ'טר ]1, 2[*, ירון יעקב ]1[, לימור בר )שעשוע( ]3[, ]5[ שבתאי כהן ]4[, יוסי טנאי ]4[ ופועה בר )קותיאל(

Διαβάστε περισσότερα

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á

ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á Ï È ÁÏ ÌÈÏ Â È ÔÂÎÓ המרכז למדיניות סביבתית מייסודה של קרן צ'רלס ה' רבסון ÌÈÁÏÂ ÊÂÁ ÂÓÈ Â ÌÈÎÙ ÏÂÙÈËÏ Î ÚÓ È Ú È ÙÎ Ê Ó ÈÓÂ Ó Â Ï Á ÏÂÚÙ Â ÏÂ Èapple Ï ÂÓ Ô È ÏÏ Ú Á Ò Ì ÒÈÚ תשס"ז 2007 פרסומי המרכז למדיניות

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2

x E[x] x xµº λx. E[x] λx. x 2 3x +2 ¾ λ¹ ÐÓÒ Ó ÙÖ ½ ¼ º õ ¹ ¹ ÙÖ ¾ ÙÖ º ÃÐ ¹ ½ ¼º ¹ Ð Ñ ÐÙÐÙ µ λ¹ λ¹ ÐÙÐÙ µº λ¹ º ý ½ ¼ ø λ¹ ÃÐ º λ¹ ÌÙÖ Ò ÌÙÖ º ÌÙÖ Ò ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ¹ ÇÊÌÊ Æ Ä Çĺ ý λ¹ ¹ º Ö ÙØ ÓÒ Ñ Ò µ Ø ¹ ÓÛ ÓÑÔÙØ Ö µ ¹ λ¹ º λ¹ ÙÒØ ÓÒ Ð

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x.

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Ορισμός (Συνάρτηση Κατανομής Πιθανότητας). Ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) της τ.μ. Χ την: F(x) = P(X x), x. ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Ορισός (Τυχαία Μεταβλητή). Οοάζουε τυχαία εταβλητή (τ..) κάθε απεικόιση Χ: Ω για τη οποία το σύολο { ω Ω : Χ(ω) x} έχει προσδιορίσιη πιθαότητα για κάθε x. Τούτο σηαίει ότι η ατίστροφη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No.

, P bkc (c[0, 1]) P bkc (L p [0, 1]) (1) 2 P bkc (X) O A (2012) Aumann. R. J., [3]. Feb Vol. 28 No. 212 2 28 1 Pure and Applied Mathematics Feb. 212 Vol. 28 No. 1 P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]) (1) ( (), 364) (G, β, u),,, P bkc (c[, 1]) P bkc (L p [, 1]),. ; ; O174.12 A 18-5513(212)1-99-1 1, [2]. 1965,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την

Διαβάστε περισσότερα

שיווק מכונות בע"מ מכשיר סימון נייד. מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת

שיווק מכונות בעמ מכשיר סימון נייד.  מכשירים מבוקרי מומנט לסגירת ברגים עיתון לענף המתכת גיליון מס 184 פברואר מרץ 25 2014, ש ח כולל מע מ עיתון לענף המתכת בהוצאת מירב-דסקלו הפקות בע מ עיבוד שבבי l עיבוד פח l יציקות תבניות l ריתוך l ציפוי וגימור מתכות וחומרים l תיב מ www.benygrinding.co.il 36

Διαβάστε περισσότερα

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô

wayücaw et- ášer `al-bêtô lë mör mallë et- amtühöt hä ánäšîm öºkel Ka ášer yûklûn Sü ët wüsîm Ke sep- îš Büpî amtahtô GENESIS 44 1 And he commanded the steward of his house, saying: 'Fill the men's sacks with food, as much as they can carry, and put every man's money in his sack's mouth. 1 ויצו את אשר על ביתו לאמר מלא

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α A Να απνδείμεηε όηη αλ νη ζπλαξηήζεηο f, g είλαη ζπλερείο ζε έλα δηάζηεκα Δ θαη f () g () γηα θάζε εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ Δ, ηόηε ππάξρεη

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ

ΑπαντησηΙσχύει α+βi = γ +δi α = γκαι β = δ 1πτ È Ö Ñ Ø ÓÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ ô º Ò ÑÓÒØ Û ÕÓÙÒ Ó ÙÒØ Ø ØÓÙ Ò Ö Ñ Ù Ò ØÙÕ ÒÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÓÙ Ã Ø Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ ºÅÔÓÖÓ ÒÒ Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö ½¼ ÔÖ ÐÓÙ¾¼½¾

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός ΟΡΙΣΜΟΣ Συνάρτηση ονομάζεται μια διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Συχνά συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Το ορισµένο ολοκλήρωµα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα Εισαγωγή Ο Ολοκληρωτικός Λογισµός γεννήθηκε από την ανάγκη ανάπτυξης µιας γενικής µεθόδου υπολογισµού όγκων εµαδών και κέντρων άρους Οι αρχές ολοκλήρωσης ανάγονται στη

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΘΗΝΑ 996 Πρόλογος Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν για τους φοιτητές του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου και καλύπτουν πλήρως το µάθηµα των

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς.

Exodus 20:1-4, 7-9, (rcl Year a, Proper 22) LXX Vulgate MT. καὶ ο«σα ε ν τοι^ς υ«δασιν υ ποκα' τω τη^ς γη^ς. Exodus 20:1-4, 7-9, 12-20 (rcl Year a, Proper 22) 20:1 Καὶ ε λα' λησεν κυ' ριος πα' ντας τοὺς λο' γους του' τους λε'γων 20:2 Εγω' ει μι κυ' ριος ο θεο' ς σου, ο«στις ε ξη' γαγο' ν σε ε κ γη^ς Αι γυ' πτου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Κολουντζάκης & Χρήστος Παπαχριστόδουλος. Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER

Μιχάλης Κολουντζάκης & Χρήστος Παπαχριστόδουλος. Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER Μιχάλης Κολουντζάκης & Χρήστος Παπαχριστόδουλος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΜΙΧΑΛΗΣ ΚΟΛΟΥΝΤΖΑΚΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ Ανάλυση Fourier Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x

β) Αν υπάρχουν τα limf (x), και είναι γ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε ισχύει: ( f g ) (x) = f (x) g (x), x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3)

Παρατηρήσεις, Συµπληρώσεις και Ασκήσεις στο πρώτο µέρος του 1 ου κεφαλαίου της Ανάλυσης (ενότητες 1.1, 1.2, 1.3) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος I. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa

a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa. a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 2 1 2 3 4 5 0.24 0.24 4.17 4.17 6 a m a -80.6MPa, m =49.4MPa a =80.6MPa, m =-49.4MPa a =49.4MPa, m =-80.6MPa a =-49.4MPa, m =-80.6MPa 1 7 max min m a r 8 9 1 ] ] S [S] S [S] 2 ] ] S [S] S [S] 3 ] ] S

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר

גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר גישות לטיפול בסוכר ת בעזרת צמחים סיניים אביב מסי נגר Dip.Ac. www.aviv-clinic.co.il נושאי ההרצאה דגשים כיצד בוחרים את הפורמולות והצמחים הכרה של הגישה הטיפולית בסוכרת הרפואה הסינית כשפה טיפולית ספרות ומחקרים

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

ISBN , 2009

ISBN , 2009 .... 2009 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 367.. 367 : -. :.., 2009. 419.:.,. ISBN 978-5-88874-943-2. :. -,.,. (2006 2009),,,,.. 11-, -. matsievsky@newmail.ru. 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 ISBN 978-5-88874-943-2..,

Διαβάστε περισσότερα

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet.

1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. EXODUS 7 1 And Yahowah said unto Moses: 'See, I have set thee in Elohim's stead to Pharaoh; and Aaron thy brother shall be thy prophet. 1 ויאמר יהוה אל משה ראה נתתיך אלהים לפרעה ואהרן אחיך יהיה נביאך vai

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος

ΣΥΝΟΨΗ 2 ου Μαθήματος Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα