x x x2 n

Transcript

1 Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol α, π, tak je ich skalárny súčin u v = u v cos α = u v + u v + u v. Skalárny súčin má veľmi užitočné zovšeobecnenia na mnohé lineárne priestory nad poľom R aj C. Tu sa budeme zaoberať len skalárnym súčinom v priestore R n : Definícia. Nech x = x, x,..., x n, y = y, y,..., y n R n. Potom sa číslo nazýva skalárny súčin vektorov x, y, číslo x, y = x y + x y + + x n y n x, x = x = x + x + + x n sa nazýva norma vektora x, hovoríme, že vektory x, y sú ortogonálne na seba kolmé, u v, ak x, y =. Skalárny súčin môžeme vyjadriť pomocou maticového násobenia x, y = x y = y x. Ako prvú aplikáciu zovšeobecníme tvrdenie, že najbližším bodom v rovine ρ k bodu a ρ je kolmý priemet bodu A do roviny ρ: Veta. Nech {} = M R n je netriviálny podpriestor priestoru R n a a R n \ M. Potom existuje Bod b = a min M, ktorý má najmenšiu vzdialenosť a min a od bodu a. Ak M = span{b, b,..., b k }, tak b = a min a b b i, i =,,..., k. Dôkaz. Dokážeme tu len, tvrdenie o minimálnosti normy, nech b M, a b b i i: Ak u M, tak u b M = u b a b, t.j. u b, b a =. Potom u a, u a = u b+b a, u b+b a = u b, u b+ u b, b a +b a, b a }{{} Teda u a = u b + b a b a. Použili sme očividné tvrdenie: Ak u b i, i =,,..., k, tak u v pre v span{b,..., b k }. Metóda najmenších štvorcov.. Meraním sa získali hodnoty veličiny y = yx: x i y i, 4, 5, 8 Úlohou je nájsť rovnicu priamky p y = kx + tak, aby bola čo najbližšie k nameraným hodnotám, t.j. aby bola minimálna odchýlka yx i y i, t.j. druhá mocnina normy i= rozdielu namenarej pätice a pätice bodov na hľadanej priamke: y, y, y, y, y k +, k +, k +, k +, k +

2 LINEÁRNA ALGEBRA Riešenie hľadáme ako keby sme hľadali priamku na ktorej ležia namerané body, t.j. neznáme čísla k, spĺňajú rovnice: k + = k + =, 4 =, 5 k + =, 8 k + = Napíšeme túto sústavu v maticovom tvare: A =, x = k, b =, 4, 5, 8 Ax = b. Rovnica Ax = b nemá riešenie, ak by ale riešenie existovalo, tak by vyhovovalo aj rovnici Vypočítame Riešime teda sústavu A A k b = A A = A b = A Ax = A b, ktorá riešenie má. 5 k =, 4, 7 =, 4, 5 =, 8 = k =, 4 = 5, 4., 5, 4, 7 ka + A b span{a, A } Gramm-Schmidtov ortogonalizačný proces. Štandardná báza E = {e, e,..., e n } R n má nasledovnú vlastnosť Definícia. Množina vektorov {e, e,..., e k } R n sa nazýva ortogonálna, ak e i, e j =, ak i j ; e i, e i i, j {,,..., k}. Ortogonálna množina sa nazýva ortonormálna, ak, navyše, e i = for i. Ak k = n, tak je táto množina ortogonálna ortonormálna báza priestoru R n. Ľahko sa ukáže, že ortogonálna množina je lineárne nezávislá, naopak každú lineárne nezávislú množinu môžeme ortogonalizovať pomocou nasledujúceho algoritmu:

3 LINEÁRNA ALGEBRA Veta Gramm-Schmidtov ortogonalizačný proces. Nech {f, f,..., f k } R n nezávislá množina. Potom existujú vektory g, g,..., g k, ktoré spĺňajú i span{g, g,... g m } = span{f, f,..., f m } pre m =,,..., k ii Množina {g, g,..., g k } je ortogonálna. Dôkaz. Hľadané ortogonálne vektory sa dajú vypočítať rekurzívne je lineárne g = f g = f f, g g, g g g = f f, g g, g g f, g g, g g. g k = f k k i= f k, g i g i, g i g i Ak ešte položíme e i = g i g i, dostaneme ortonormálnu množinu. Kvadratické plochy a symetrické matice. Kvadratickou plochou v R sa nazýva množina bodov [x, y, z], ktoré spĺňajú rovnicu a x + a y + a z + a xy + a xz + a yz + a x + a y + a z + a = Táto rovnica sa dá napísať pomocou matice a a a a x a x y z a a a y = a a a a z a a a a Teda kvadratická plocha je určená symetrickou maticou a a a a A = A a = a a a a a a a a a a a Na určenie tvaru kvadratickej plochy je dôležité najmä poznať vlastnosti kvadratickej časti matice A, t.j. matice, ktorá vznikne z A vynechaním A 4 a A 4. Klasifikáciou kvadratických plôch sa tu zaoberať nebudeme, uvdiem len príklad: Ak A =, tak x y z A x y z = je rovnica guľovej plochy r so stredom v počiatku súradníc a polomerom r. Ak by sme vedeli vhodnou zmenou bázy zmeniť túto maticu na diagonálnu, vedeli by sme lepšie určiť tvar tejto kvadratickej plochy. Vhodná zmena bázy je taká, ktorá nemení dĺžku vektorov ani uhly medzi vektormi, teda iba vektory otáča. Stačí na to, aby zachovávala skalárny súčin, t.j. u, v = P u, P v. To bude zaručené ak matica zmeny bázy je ortogonálna v zmysle nasledujúcej definície. Definícia. Matica P R n n sa nazýva ortogonálna, ak jej stĺpce tvoria ortonormálnu bázu.

4 4 LINEÁRNA ALGEBRA Veta. Matica P R n n je ortogonálna vtedy a len vtedy, ak P = P, ekvivalentne vtedy a len vtedy, keď aj jej riadky tvoria ortonormálnu množinu. Veta. Ak je matica P R n n ortogonálna a u, v R n, tak u, v = P u, P v. Dôkaz. Pripomenieme, že ak je definovaný súčin matíc AB, tak AB = B A. Okrem toho si všimnime, že x y R x, y R n a preto x y = x y, z toho vyplýva P u, P v = P v P u = P v P u = P u P v = u P P v = u P P v = u v }{{} I Teda dostávame P u, P v = u v = u, v. Definícia. Matice A, B R n n sa nazývajú unitárne podobné, ak existuje ortogonálna matica P, pre ktorú platí A = P BP = P BP. Veta. Ak A = A R n n t.j. A je reálna symetrická matica, tak. Všetky vlastné čísla matice A sú reálne.. Ak λ λ sú vlastné čísla matice A a v, v sú príslušné vlastné vektory, tak v v. Ak v, λ σa a A λi v =, tak aj A λiv =, t.j. všetky zovšeobecnené vlastné vektory matice A sú aj jej vlastné vektory. 4. Matica A je unitárne podobná diagonálnej matici. Dôkaz. Dokážem druhé, tretie a štvrté tvrdenie. Pre ľubovoľné v, v platí Av, v = v Av = v Av = v A v = v Av = Av, v. Ak Av = λ v, Av = λ v, λ λ, tak odtiaľ dostaneme Av, v = v, Av = λ v, v = λ v, v = v, v = Tým je dokázané tvrdenie. Pretože aj A λi je symetrická matica A λi v = = A λiv = A λiv, A λiv = v, A λi v = t.j. A λiv = a teda A λiv = Z tretieho tvrdenia vyplýva, že Jordanov tvar matice A je diagonálna matica D, A = P DP. Stĺpce matice P sú vlastné vektory matice A. Pre rôzne vlastné čísla sú aj navzájom kolmé a pre viacnásobné vlastné čísla použijeme Gramm-Schmidtov proces na ich ortogonalizáciu. Nakoniec, keď nahradíme P i násobkom P i P i vznikne matica ktorej stĺpce tvoria ortonormálnu množinu teda P je ortogonálna a platí A = P DP. Príklad. A = Nájdite diagonálnu maticu D a ortogonálnu maticu P, pre ktorú A = P DP, urobte skúšku správnosti. Riešenie. Najprv nájdeme vlastné čísla: λ λ λ = λ λ λ R R R R λ λ = λ λ S +S +S 6 λ = λ = λ 6 λ = σa =..6.

5 LINEÁRNA ALGEBRA 5 Teraz nájdeme vlastné vektory, dva lineárne nezávislé k vlastnému číslu, tretí k vlastnému číslu 6: λ = v =,,, v =,, a pomocou Gramm-Schmidtovho ortogonalizačného procesu nájdeme dva iné vlastné vektory f, f tak, aby f f, t.j. f = v, f = v v, f f, f f =,,,, =,, Po vydelení normou vektorov f, f, dostaneme prvé dva stĺpce matice P. Tretí stĺpec bude vlastný vektor patriaci k λ = 6: R+R+R 4 4 R R Aj v vydelíme normou v = a dostaneme maticu P D = / / 6 /, P = / 6 / 6 / / 6 / = v = Skúška: / / 6 / P DP = / 6 / / / 6 / / / / 6 / 6 / 6 6 / / / = 6/ = 6/ / / 6/ / 6 / 6 / 6 / / / =.