Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Transcript

1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se arate că 6a1 6b1 6c1 3 Problema Să se rezolve ecuaţia: x 1 x x x 016 Î Δ ABC se cosideră puctele M, N şi P pe laturile AB, AC respectiv BC astfel îcât 1 MA MB, NC NA, PC PB a) Exprimaţi BN î fucţie de BA şi BC b) Arătaţi că puctele M, N şi P sut coliiare Arătaţi că: , Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

2 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a X-a M 1 Arătați că fucția f: R R, f x xx este ijectivă, ude x, îtreagă, respectiv partea fracțioară a umărului real x x reprezită partea Problema Fie z 1, z, z 3 C, cu z1 z z3 1 şi z1z z3 1 Să se arate că: z = z 1+z +z 3 +z 1 z +z 1 z 3 +z z 3 1+z 1 z z 3 a) Să se verifice egalitatea: N, b) Să se demostreze că: a, a,, a 1, 1 R log a log a log a log a 1, ude a i R + \ 1, i = 1,, a1 a 3 a3 4 a loga a 1 loga a 3 loga a1, ude a, a,, a 0,1 1 sau Să se rezolve î mulțimea umerelor reale ecuaţia: x1 x1 x 4x3 4 5 Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

3 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a XI-a M 1 Î sistemul cartezia de coordoate xoy se cosideră puctele A + 1, + 1, N și O 0,0 miimă a) Calculați aria triughiului OA A 1 b) m cu f aria triughiului 1 OA A Să se determie N petru care f este Problema Să se calculeze lim 1, ude x reprezită partea fracţioară a umărului real x a 1 0 Fie A şi 0 1 a a) Calculați AB și BA 1 a 1 1 a 1 B a a a b) Arătaţi că A B A B, N şi a R Să se studieze mootoia și mărgiirea șirului x x1 0, x 1 1 x a x, defiit pri:, N, a 0 şi să se determie limita şirului (dacă aceasta există) Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

4 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a XII-a M 1 Arătați că valoarea itegralei Problema x 1 x 1 x 009 dx este u umăr iraţioal Să se calculeze itegralele I x e 4x 10x 4 x e 8x 4x 4 dx si J 4x 6x x e 8x 4x 4 dx Fie a > 0 și G a, a a) Arătați că G, este grup abelia Pe G se defiește legea de compoziție x a y a x y xy b) Se defiește fucțiaf: G R, f(t)=f(t)-f(0), x R,ude F este primitiva a fucției g : G R, 1 g( x) a x, x G și R, + Demostrați că f este izomorfism ître grupurile G, Fie H = A M R A t A = I,ude a) A H det A 1,1 b), t A este traspusa matricei A Demostrați că : H este subgrup al grupului M,, ude M = X M R deta 0 Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

5 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M Rezolvați sistemul : x y + 3 x + 1 = 7 3 x y + x + 1 = 8 Problema a) Demostrați că umerele 5, 13, 1 u pot fi termeii cosecutivi ai uei progresii aritmetice b) Să se determie progresia aritmetică, cu proprietatea că suma primilor termei ai săi este dată de formula : S 5 6 a) Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției : Numărul Justificați răspusul b)demostrați pri iducție matematică următoarea egalitate : = , N 41este prim petru N Se cosideră paralelogramul ABCD și puctele E și F astfel îcat AE= EB, DF = FE Să se demostreze că puctele A, F si C sut coliiare Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

6 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a X-a M log 5 a) Arătați că umerele p log9 5 log310 log318 și q 8 3 b) Să se arate că următoarea expresie este costată : 1 1 A log log 4 log 4log 8 3 log x x x x x sut îtregi Problema a) Determiați umărul real m petru care umărul z 5i 4mi 3mi i mi este real b) Să se determie z C știid că z 7i 6 z g x m 1 x 3 a) Fie fucțiile f, g: R R, f x = 3x + 9 și Să se determie m R, astfel îcât g f 1, ude 1 f este iversa fucției f b) Să se determie fucția putere f: R R, f x = x ude N, știid că f f a) Arătați că dacă p R și p 6 4, atuci 5p + R b) Să se rezolve î R ecuația irațioală : 3 x x Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

7 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a XI-a M Determiați umerele reale a și b astfel îcât să avem: lim x x 1 ax b x Problema 3 Să se calculeze determiatul: aritmetică a 1 a a 3 a 4 a 1 a 5 a 1 a 6, știid că umerele a 1 a 1,a,,a 9 sut î progresie Fie fucția f: R R, f x = x 3 ax +bx +1, a, b R a) Determiați a, b R, astfel îcât dreapta de ecuație yx să fie asimptota spre la graficul fucției f b) Petru a 1 și b, stabiliți dacă graficul fucției admite și alte asimptote Se cosideră matriceaa a = a a) Determiați matricele A 1 și A 3 1, a R b) Determiați iversa matricei C A 1 Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte

8 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0) Fax: +40 (0) Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală Clasa a XII-a M a b Fie M = (0, ) și ab, M Defiim legea de compoziție a b l e e 1 a) Să se arate că M este parte stabilă a lui R î raport cu legea b) Arătați că legea este asociativă Problema Fie G = x 3y y x x, y R, 4x 3y = 1 Să se arate că G este grup comutativ î raport cu îmulţirea matricelor FieI = 1 0 x x +1 dx, N a) Calculați I 1 și I b) Arătați că I + + I = 1 +1, N a) Determiați a, b R, astfel îcât fucția F: R R, F x = x + ax + 1, x 1 x 3 + x 4x + b, x > 1 primitivă petru o fucție f: R R să fie o b) Aflați fucția f Toate subiectele sut obligatorii Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte