ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης των σωµάτων και επίλυση (ΣΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Παράειµα ο (αρµονική ταλάντωση: Επί (σηµειακού σώµατος εφαρµόζεται ύναµη επαναφοράς της µορφής: =. Να προσιοριστεί η κίνηση του σώµατος, λαµβάνοντας υπόψη και τις εξωτερικές τριβές που ασκούνται πάνω στο σώµα (παρεµπιπτόντως, υπάρχουν και εσωτερικές υνάµεις τριβής. Recittin, Physics I By M. Velgis

2 Στο σύστηµα καρτεσιανών συντεταµένων: ιάνυσµα θέσης του σώµατος: ( t = i + yj+ z (, y,z ( t y z Ταχύτης του σώµατος: υ = i + j+ ( υ,υy,υz Επιτάχυνση του σώµατος: υ( t υ υy = i + j+ υ z = i + y j+ z (, y, z Ο ος νόµος του Nεύτωνα: Η επιτάχυνση ενός σώµατος είναι ανάλοος της (συνολικής ύναµης που ρα πάνω στο σώµα, ηλ. καρτεσιανές συντεταµένες: =, η οποία αναλύεται σε y z = = = y z ή y z = = = z y (α (β ( Οι εξισώσεις (α, (β, ( είναι ακριβώς ίιες [απλά η εξηρτηµένη µεταβλητή στην (α συµβολίζεται µε, στην (β µε y, και στην ( µε z]. Άρα ουλεύουµε µόνο την (α, η οποία ράφεται: = ( τριβής ιακρίνουµε ιάφορες περιπτώσεις ια τη ύναµη τριβής τριβής : Recittin, Physics I 008-9

3 α Μπορεί η ύναµη τριβής να είναι σταθερά, ηλ. τριβής =α, οπότε η ( ράφεται: =, και η οποία µπορεί να πάρει τη µορφή = (3 Θεωρώντας την αλλαή µεταβλητών: παρατηρούµε ότι: ράφεται: = +, = και =, οπότε η (3 + = 0 (4 Η εξίσωση (4 καλείται οµοενής ιαφορική εξίσωση ας τάξεως. Επιλύουµε την (4 παρακάτω και βρίσκουµε τη λύση: = Asin( ωt+ φ, όπου ω=, ω R, και ω>0, και Α,φ είναι σταθερές ολοκλήρωσης, ο οποίες µπορούν να υπολοιστούν από τις αρχικές συνθήκες, εοµένων των ποσοτήτων =(t=0 και υ ο =υ(t=0 ια t=0. Η λύση αυτή παριστάνει ταλάντωση (ή απλή αρµονική κίνηση. α Αξίζει να σηµειωθεί η περίπτωση =0, ηλ. όταν εν εφαρµόζεται καµιά ραµµική ύναµη επαναφοράς. Τότε η λύση της (3 θα έχει τη µορφή (µετά από απλή ολοκλήρωση: Recittin, Physics I

4 = + υοt t, η νωστή µας σχέση ια την οµαλώς επιβραυνόµενη µεταφορική κίνηση, µε επιβράυνση α/. Οι σταθερές ολοκλήρωσης, =(t=0 και υ ο =υ(t=0 υπολοίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. β Μπορεί η ύναµη τριβής να είναι ανάλοος της ταχύτητας, ηλ. τριβής =-αυ [όπου η σταθερά α καλείται σταθερά απόσβεσης. Το µείον εώ σηµαίνει ότι η ύναµη τριβής έχει αντίθετη φορά µε εκείνη της ταχύτητας, αλλά να µην αντικαταστήσουµε στη ( το µείον ύο φορές!! ]. Η ( λοιπόν ράφεται: υ =, ή + + = 0 (5 Η εξίσωση (5 καλείται (οµοενής ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξεως, την οποία θα επιλύσουµε παρακάτω. Θα βρούµε ότι η λύση της (5 έχει τη µορφή: = Ae t cs( ωt+ φ, όπου ω= (, ω R, και ω>0, και Α,φ σταθερές ολοκλήρωσης, ο οποίες µπορούν να υπολοιστούν από τις αρχικές συνθήκες, εοµένων των ποσοτήτων =(t=0 και υ ο =υ(t=0 ια t=0. Η λύση αυτή παριστάνει ταλάντωση µε απόσβεση (pe scilltin. β Για να κλείσουµε τη παράραφο αυτή, θεωρούµε τη περίπτωση της εξανακασµένης ταλάντωσης, κατά την οποίαν πάνω στο σώµα ρα και µια εξωτερική περιοική Recittin, Physics I

5 ύναµη, ας πούµε της µορφής: = sin ωt. Τώρα η εξίσωση κίνησης (5 θα έχει τη µορφή: ή + + υ= sin ωt, + + = sin ωt (6 Η εξίσωση (6 καλείται µη-ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξης, την οποία θα επιλύσουµε παρακάτω [Θα ξανασυναντήσουµε την εξίσωση (6 στις ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωµάτων που ιεείρονται από εξωτερική εναλλασσόµενη τάση]. Θα βρούµε παρακάτω ότι οι λύσεις της (6 είναι το άθροισµα των λύσεων της οµοενούς ιαφ. εξίς. (5 συν µια µερική λύση (pticul slutin, µερική (t, την οποίαν θα προσιορίσουµε, ηλ. ( t = Ae t cs( ω t+ φ + µερική ( t, όπου ω ( =. Κατ αρχήν, η λύση της οµοενούς (5 (η οποία λέεται και µεταβατική λύση µηενίζεται µέσα σε πολύ σύντοµο χρονικό ιάστηµα (είαµε ότι ια t>5τ η λύση αυτή είναι αµελητέα. Άρα, στην ουσία µας ενιαφέρει η λύση που θα επιζεί ια πεπερασµένους χρόνους t και αυτή είναι µόνο η µερική λύση, µερική (t, η οποία όπως θα βρούµε έχει τη µορφή, ή( t = A sin( ωt, µερικ + όπου tn ω / = και ( ω ω A= ( ω ω / + ( ω / Recittin, Physics I

6 ηλαή στην εξανακασµένη ταλάντωση το σώµα εκτελεί ίια ταλάντωση (µε κάποια ιαφορά φάσης µε εκείνη του εξωτερικού ιεέρτη (µε την ίια συχνότητα, αλλά µε πλάτος ταλάντωσης Α=f(ω, του οποίου η συµπεριφορά απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήµα. Όταν ω ω ο, λέµε ότι το σύστηµα συντονίζεται µε τον εξωτερικό ιεέρτη και καθώς οι εσωτερικές τριβές α 0, το πλάτος ταλάντωσης του συστήµατος µεαλώνει ( Αναλυτικοί υπολοισµοί : Επίλυση της (4: Σηµειώνουµε ότι ο είκτης- στην εξηρτηµένη µεταβλητή εξ. (4 εν παίζει κανένα ρόλο, εποµένως τον παραλείπουµε στη συνέχεια. Πολλαπλασιάζοµε και τα ύο µέλη της (4 επί (όπου υποηλώνει τη παράωο, οπότε έχουµε: =-/, η οποία ράφεται: (' ( ' = ή [ + ] = 0, που σηµαίνει ότι η ποσότης µέσα στην ακύλη είναι σταθερά, ηλ. ( ' + = c, όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Λύνοµε τη τελευταία σχέση ως προς : c ' = ± c ή, οπότε η προηούµενη σχέση ράφεται: ' c = ±. Ορίζουµε τις σταθερές: ' = ± ή ω ω και = ±. Η ω σχέση αυτή ολοκληρώνεται ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές: =± ω = ± ω, απ όπου παίρνοµε sin ( =± ωt+, όπου είναι η νέα σταθερά ολοκλήρωσης. Η τελευταία συνάρτηση αντιστρέφεται και παίρνουµε: = sin( ± ωt+ =± sin( ωt± = Α sin( ωt+ φ, όπου Α= και φ=. Βρήκαµε λοιπόν ή Recittin, Physics I

7 τη λύση: = Α sin( ωt+ φ, όπου ω= µια σταθερά που καλείται συχνότητα ταλάντωσης, οι ε σταθερές ολοκλήρωσης Α,φ προσιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. Επίλυση της (5: Η εξίσωση (5 οµοενής ιαφορική εξίσωση ας τάξεως (αλλά εν λύνεται τόσο λt = Ae, οπότε εύκολα µε απλή ολοκλήρωση. Για να λυθεί οκιµάζουµε λύσεις της µορφής: λt υπολοίζουµε τις παραώους:. Αντικαθιστώντας στην (5 παίρνουµε: ή H λύση του τριωνύµου αυτού είναι: ' = λae και είναι πολύ µικρός (συνήθως, η ιακρίνουσα ω λ '' = Ae λt λ α λ + λ+ = 0 α λ + λ+ = 0. α α ± (, =. Επειή ο όρος της τριβής ( > 0, οι λύσεις λ, ράφονται: λ, ± iω µονάα. Εποµένως οι ύο λύσεις της (5 θα είναι: = ( είναι αρνητική (συνήθως. Καλώντας =, όπου i είναι η φανταστική λt = A e και λt = A e, όπου Α, Α οι ύο σταθερές ολοκλήρωσης. Συνεπώς, η ενική λύση της (5 θα είναι το άθροισµα των ύο επιµέρους λύσεων (θεωρία ιαφορικών εξισώσεων, ηλ. λ t λ t t + iωt iωt = + = A e + A e = e ( A e + A e. (α Η παρένθεση µπορεί να ραφεί ισούναµα ως εξής: A cs( ωt+ φ (ιατί;. Οπότε, η ενική λύση της (5 θα έχει τη µορφή: = Ae t cs( ωt+ φ, όπου ω (. Ακολουθεί η απόειξη του προηούµενου ισχυρισµού: Πράµατι, θεωρούµε την παρένθεση στο ο ± µέρος της (α. Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα του Eule: e i ε = cs ε ± i sin ε (όπου ε είναι το όρισµα της τρι. συνάρτησης, η παρένθεση στην (α ράφεται: + iωt iωt Ae + Ae = A (cs ωt+ i sin ωt + A (cs ωt i sin ωt A + Α cs ωt+ i( Α A sinωt = ( (β Βάζουµε κοινό παράοντα στο ο µέρος της (β τη ποσότητα (Α +Α, οπότε η (β ισούται i( Α A = ( A + Α {cs ωt+ sin ωt }. ( ( A + Α Καλούµε το κλάσµα µέσα στη ακύλη tnφ (ή ctnφ, ιατί;, ηλ. ισούται tn φ i( Α ( A A + Α =, οπότε η ( τότε θα προέκυπτε η τριωνοµετρική συνάρτηση sin(ωt+φ! Recittin, Physics I

8 = A + Α {cs ωt tnφ sin ωt } ( ( Αναπτύσσοντας την εφαπτοµένη σε ηµίτονο και συνηµίτονο, παίρνοµε: {cs ωt cs φ sin φ sin ωt } ( A + Α = ( A + Α = cs( ωt+ φ (ε cs φ cs φ ( A Α Α + cs φ Καλούµε το σταθερό παράοντα στην (ε Α, ηλ. = Ae b t cs( ωt+ φ, όπου ω, οπότε τελικά η (α ράφεται: (. Οι σταθερές Α,φ είναι οι σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες υπολοίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. Η ποσότης ω καλείται ιιοσυχνότητα του συστήµατος και η ποσότης εκθέτη (που έχει µονάες χρόνου καλείται σταθερά χρόνου. Για t 5τ, ο εκθετικός παράοντας, ηλ. τότε 0 και το σώµα σχεόν ηρεµεί!! ισούται µε e 5 = τ = στον Στη περίπτωση α η ιακρίνουσα <0 (αποσβενόµενη ταλάντωση, στη περίπτωση b είναι =0 (κρίσιµη αποσβεννόµενη κίνηση, και στη περίπτωση c είναι >0 (υπερ-αποσβεννόµενη κίνηση Επίλυση της (6: Η εξίσωση (6 είναι µη-ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξεως. Επειή ο µηραµµικός όρος στην (6 έχει τριωνοµετρική µορφή, οκιµάζουµε ως µερική λύση τριωνοµετρική συνάρτηση της µορφής: Recittin, Physics I

9 ή ( t = A sin( ωt µερικ + (στ Αντικαθιστώντας την (στ στην (6 παίρνουµε, Aω sin( ωt+ + Aωcs( ωt+ + Asin( ωt+ = sin ωt Αναπτύσσουµε τις τριωνοµετρικές συναρτήσεις: sin( ωt = sin ωt cs + cs ωt sin +, κλπ ( ω ( sin ωt cs ω + cs ωt sin + ( cs ωt cs sin ωt sin = sin ωt Α Μετά από αναωή ίιων όρων, λαµβάνουµε, ( ω ω ω cs sin sin ωt+ ( ω sin + cs cs ωt = 0 (ζ Α Επειή οι συναρτήσεις sinωt, csωt είναι ραµµικώς ανεξάρτητοι, θα πρέπει οι συντελεστές τους στην εξίσωση (ζ να µηενίζονται, ηλ. προκύπτει το σύστηµα: ω ( ω cs sin = 0 (η Α ω ( ω sin + cs = 0 (η Η εξίσωση (η ίει αµέσως: tn ω / ( ω = ή tn ω / ( ω ω =, όπου ω. Υπολοίζουµε πρώτα τις συναρτήσεις sin, cs, συναρτήσει της tn: sin = tn + tn = ( ω ω / ω + ( ω cs = + tn = ( ω ( ω ω ω + ( ω τις οποίες αντικαθιστώντας στην (η, λαµβάνουµε, ή ω ( ω + Α ω ω + ( = ( ω ω ( Θα µπορούσαµε να είχαµε επιλέξει ισούναµα τριωνοµετρικές συναρτήσεις της µορφής: Α cs(ωt+ ή Α sinωt + Β csωt Recittin, Physics I

10 A= ( ω ω / + ( ω Η µερική λύση λοιπόν της (6 έχει τη µορφή: ή ( t = A sin( ωt, όπου µερικ + tn ω / ( ω ω =, A= ( ω ω / + ( ω Παράειµα ο (επιβραυνόµενη µεταφορική κίνηση Να υπολοιστεί η ταχύτητα ενός σώµατος συναρτήσει του χρόνου, το οποίο κινείται µέσα σε ιξώες ρευστό, ηλ. η ύναµη της αντίστασης του ρευστού έχει τη µορφή: f = Kηυ, όπου Κ είναι σταθερά που εξαρτάται από το σχήµα του σώµατος (π.χ. ια σφαιρικό σχήµα Κ=6πR, υ είναι η ταχύτητα του σώµατος, και η µια σταθερά που καλείται συντελεστής ιξώους του ρευστού (π.χ. ια το νερό ισούται µε Pise στους 0 C, ια το καστορέλαιο Pise, Σηµ.: Pise=0 - Pscl sec. Λύση: Οι υνάµεις που έχεται το σώµα είναι το βάρος του (µε κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα κάτω, η άνωση από το ρευστό Α=ρ ρευ gv (µε φορά κατακόρυφα προς τα πάνω, όπου ρ ρευ είναι η πυκνότητα του ρευστού και η αντίσταση που έχεται το σώµα κατά τη κίνηση από το ρευστό f = Kηυ (το µείον απλά τονίζει το εονός ότι ο φορά της ύναµης είναι πάντοτε αντίθετη προς τη ταχύτητα (Υποθέτουµε ότι το σώµα πέφτει προς τα Recittin, Physics I

11 κάτω, χωρίς να χάνεται η ενικότητα. Θα µπορούσαµε να εξετάζουµε τη κίνηση ενός µπαλονιού στον αέρα, πότε η κίνηση θα ήταν προς τα πάνω. Η εξίσωση κίνησης (β ράφεται ια τη περίπτωση, y = g Kηυ ρ gv (7 ρευ [Στο σηµείο αυτό πρέπει να κάνουµε µια αυτοκριτική, αν έχουµε ιαλέξει σωστά τα πρόσηµα στη σχέση (7. Πριν όµως ξεκινήσουµε τη λύση, θα έπρεπε να έχουµε αποφασίσει πού ορίζουµε την αρχή των συντεταµένων 0, ει υνατόν µε κάποιο παρατιθέµενο σχήµα. Ορίζουµε λοιπόν την αρχή των αξόνων πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού, όπου υποθέτουµε ότι αφήνουµε το σώµα να πέσει ( αφήνουµε σηµαίνει ότι η αρχική ταχύτης: υ ο =0! Σηµαίνει ακόµη ότι µε αυτή την επιλοή της αρχής συντεταµένων που κάναµε: y =0!. Οπότε η φορά της ταχύτητας είναι θετική προς τα κάτω, το βάρος g είναι θετικό προς τα κάτω, και οι υπόλοιπες υνάµεις κατευθύνονται προς τα πάνω, άρα είναι αρνητικές, άρα τελικά, τα πρόσηµα στην (7 είναι σωστά!]. Όµως η επιτάχυνση του ου µέρους της (7 µπορεί να είναι θετική ή αρνητική, ανάλοα µε το πρόσηµο του ου µέρους]. Η (7 µπορεί να ραφεί, y Kη y ( ρ ρρευ gv + = 0 (8 όπου χρησιµοποιήσαµε τη σχέση: =ρgv, όπου ρ η πυκνότητα του σώµατος. Για ν απλουστεύουµε την (8, θέτοµε: ρευ = Kη / >0 και = ( ρ ρ gv / = ( g. Αν ισχύει ρ>ρ ρευ, τότε >0. Οπότε η ιαφορική εξίσωση (8 ράφεται, y y + = 0 (9 Η λύση της ιαφορικής εξίσωσης (9 υπολοίζεται παρακάτω. Βρίσκουµε ότι η ταχύτητα έχει τη µορφή: ρευ ρ ρ υ t = υ ( e τ, όπου ορ τ =, Kη υ ορ = ( ρ ρευ ρ g Kη Recittin, Physics I 008-9

12 Επίλυση της (9: Η (9 µπορεί να ολοκληρωθεί αµέσως. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη ταχύτητα υ=y/, η (9 ράφεται: υ = 0 ( υ = υ υ υ +, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές έπεται: = υ ( υ = έχοµε: υ. Ολοκληρώνοντας ln( υ =t+ c, (θ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ=0, οπότε αντικαθιστώντας στην (θ έχοµε: ln = 0+ c, ή c= ln. Εποµένως η (θ υ υ t ράφεται: ln( υ =t+ ln, ή ln( = t. Η σχέση αντιστρέφεται, = e, και λύνοντας ως προς υ: t υ= ( e, (ι όπου ( ρ ρ ρευ gv ρρευ g = = (. Παρατηρούµε ακόµη στην (ι ότι ια t=0 πράµατι Kη ρ Kη προκύπτει υ=0, ενώ ια t παίρνοµε ορική ταχύτητα, ηλ. υ ορ υ=. Η ποσότης έχει ιαστάσεις ταχύτητος και καλείται ρ ρευ g = (. Ακόµη, η σταθερά έχει ιαστάσεις ρ Kη Nt Kg / sec sec [ ] = sec/ Kg = =, οπότε εισάοντας τη σταθερά τ = (η Kg sec Kη οποία καλείται σταθερά χρόνου ή χρόνος αποκατάστασης, τελικά η ταχύτητα (ι ράφεται: t υ= υ ( e τ, (ια ορ ρ ρευ g όπου τ = και υορ = (. Η σχέση (ια µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να Kη ρ Kη υπολοιστεί η συνάρτηση: y=f(t, που όµως εν ζητείται στην εκφώνηση., ή Παράειµα 3 ο (πλάια βολή µε τριβές Να µελετηθεί η κίνηση σώµατος που βάλλεται µέσα στον αέρα µε αρχική ταχύτητα υ ο = υ ο i + υ οy j+ υ οz της αντίστασης του αέρα ( υ f,υy,υz Kηυ, λαµβανοµένης υπόψη και =, όπου Κ είναι σταθερά που εξαρτάται από το σχήµα του σώµατος (π.χ. ια σφαιρικό σχήµα Κ=6πR και υ η ταχύτητα του σώµατος. Λύση. Το επίπεο µέσα στο οποίο κινείται το σώµα λαµβάνεται σαν επίπεο -y (βλέπε σχήµα και πρόσεξε τη φορά των αξόνων. Στο σώµα ασκείται επί πλέον η Recittin, Physics I 008-9

13 ύναµη του βάρους του, B= g j. Οι εξισώσεις κίνησης (α και (β ράφονται ια τη περίσταση, όπου K y =, (0α f = g, (0β f = ηυ και fy Kηυy fy = είναι οι συνιστώσες της αντίστασης του αέρα κατά τους άξονες και y, αντίστοιχα. [Το µείον, όπως επισηµάναµε, υποηλώνει το εονός ότι οι υνάµεις τριβών ή αντιστάσεις έχουν αντίθετη φορά µε εκείνη της ταχύτητας, αλλά χρειάζεται προσοχή όταν ίνεται αντικατάστασή τους στις (α και (β να µην εισάουµε το µείον ύο φορές!! ]. Αναλυτικότερα οι εξισώσεις κίνησης (0 ράφονται, = Kηυ, y = Kηυy g, ή Recittin, Physics I

14 + = 0 (α y y + + g = 0 (β όπου = Kη / >0. Οι ιαφορικές εξισώσεις (, αν και είναι ίιες µε την (9, εν τούτοις ξανα-επιλύονται ια εξάσκηση. Βρίσκουµε λοιπόν παρακάτω τις εξής λύσεις: υο t = ( e, y= t Kη { gt+ υ ( e }, όπου. οy Επίλυση της (α: Η (α ολοκληρώνεται εύκολα. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη ταχύτητα υ υ υ = /, η (α ράφεται: + υ = 0, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές έπεται, =. υ υ Η σχέση αυτή ολοκληρώνεται: = ή ln( υ = t + c, (ιβ υ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ =υ ο =υ ο csθ ο, οπότε αντικαθιστώντας στην (ιβ έχοµε: ln( υο = 0+ c, ή c= ln( υο, και υ αντικαθιστώντας στη (ιβ: ln( υ = t+ ln( υο, ή ln( = t. Η σχέση αντιστρέφεται και ίει: υο υ t t = e, άρα υ = υοe, (ι υο όπου Kη /. Παρατηρούµε ακόµη στην (ι ότι ια t=0 πράµατι βρίσκουµε υ =υ ο, ενώ ια t ισχύει υ 0 (βέβαια πριν συµβεί αυτό, το σώµα πολύ πιθανόν να έχει κτυπήσει το έαφος!. Η σχέση (ι µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να υπολοιστεί η συνάρτηση: =f(t. Πράµατι, η (ι ράφεται: υ t ο e t =, ή = υοe, ή υ ο t = e + c (ι όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 υο υο έχοµε =0. αντικαθιστώντας στην (ι έχοµε: 0 = + c, άρα c=. Συνεπώς, η (ι ράφεται: υο t = ( e, (ιε η οποία ια t=0 πράµατι ίει: =0. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, ηλ. ια Κ==0, η (ι ίει: υ = υ 0 = cnst., ενώ η (ιε ίει (χρησιµοποιώντας και τον κανόνα e l Hspitl: t t e te li = υ li = υ li = υ t, ηλ. καταλήουµε σε νωστές µας σχέσεις Recittin, Physics I

15 Επίλυση της (β: Η (β µπορεί να ολοκληρωθεί αµέσως. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη υ y ταχύτητα υ y = y /, η (β ράφεται: + υy + g= 0, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές υ y υy υ y έπεται, =, ή =. Ολοκληρώνοντας = παίρνοµε: υy υ y υ y ln( g + + υ y =t c, (ιστ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ y =υ οy =υ ο sinθ ο, οπότε αντικαθιστώντας στην (ιστ έχοµε: ln υοy =0+ c, ή c = ln υοy. Εποµένως η (ιστ ράφεται: ln υ y =t+ ln υοy, ή υy υy t ln( =t. Η σχέση αντιστρέφεται και ίει: = e, η οποία λύνεται ως προς υ y : υοy υοy t ( υ e υ y = οy, (ιζ όπου Kη /. Η (ιζ ια t=0 πράµατι ίει: υ y =υ οy. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, ηλ. ια Κ==0, η (ιζ ίει (χρησιµοποιώντας τον κανόνα e l Hspitl: t t t υοy e 0 t υοy e + υοye li υ y = li = li = υοy gt!! Τέλος, η σχέση (ιζ µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να υπολοιστεί η συνάρτηση: y=f(t. y t t Πράµατι, η (ιζ ράφεται: = [ υοy e ], ή y= [ υοy e ], ή t y = gt+ υοy e + c όπου c 3 η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε y=0. Πράµατι, αντικαθιστώντας στην (ιη έχοµε: 0 = 0+ υοy + c3, άρα υοy c3 =. Συνεπώς, η (ιη ράφεται: t y= { gt+ υοy ( e }, (ιθ η οποία όντως ίει y=0 ια t=0. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, Κ==0, η (ιθ ίει (χρησιµοποιώντας και τον κανόνα e l Hspitl ις: t t t gt+ υοy ( e gt+ υοy( e + υοy te li y= li = li υ = li 0 οy te t + υ οy te t υ οy t e t = υ οy t gt 3 (ιη!!, ηλ. καταλήουµε σε νωστές σχέσεις. Recittin, Physics I

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως η κυµατοσυνάρτηση είναι η λύσης της κυµατικής εξίσωσης, που περιγράφει το µέγεθος της ιαταραχής, ( rt, ) r. Ψ= σε κάθε χρονική στιγµή, t, και σε κάθε θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε αρχικά µε ένα µεµονωµένο σύστηµα δύο σωµάτων στα οποία ασκούνται µόνο οι µεταξύ τους κεντρικές δυνάµεις, επιτρέποντας ωστόσο και την

Διαβάστε περισσότερα

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Στερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνολο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους. Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης στερεών σωµάτων και επίλυση (ΠΕΡΙΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΗ, ΚΥΛΙΗ, ) τερεό σώµα (διάκριτη κατανοµή): ορίζεται ως ένα σύνο σηµειακών µαζών που διατηρούν σταθερές αποστάσεις µεταξύ τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΥΝΑΜΕΙΣ Οι σηµαντικότερες αντιπρόσποι της κατηγορίας αυτής τν δυνάµεν είναι οι δυνάµεις βαρύτητος και οι ηλεκτροστατικές δυνάµεις, που είναι ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Τρίτη 5 Ιανουαρίου 016 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας

Διαβάστε περισσότερα

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y

δ 2 s Το είναι η προσφορά από τον παίχτη ΙΙ στον παίχτη Ι. Παίρνει ο Ι y Κεφάλαιο 1 Το τελευταίο που κάναµε ήταν µια ιαπραγµάτευση στην οποία υπάρχουν ύο παίκτες, κάνει ο ένας µια προσφορά, ο άλλος τη έχεται ή όχι. Αν εν την εχτεί κάνει αντιπροσφορά την οποία ο πρώτο παίχτης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος.

Ταλαντώσεις σώματος αλλά και συστήματος. σώματος αλλά και συστήματος. Μια καλοκαιρινή περιπλάνηση. Τα δυο σώµατα Α και Β µε ίσες µάζες g, ηρεµούν όπως στο σχήµα, ό- που το ελατήριο έχει σταθερά 00Ν/, ενώ το Α βρίσκεται σε ύψος h0,45 από το έδαφος.

Διαβάστε περισσότερα

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004)

4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: 10-5-2004) Άσκηση (Μονάδες ) 4 η Εργασία (Ηµεροµηνία Παράδοσης: -5-4) Α) Αστροναύτης µάζας 6 Κg βρίσκεται µέσα σε διαστηµόπλοιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα προς τον Άρη. Σε κάποιο σηµείο του ταξιδιού βρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1

Τηλ./Fax: , Τηλ: Λεωφόρος Μαραθώνος &Χρυσοστόµου Σµύρνης 3, 1 . 1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση: α. ευθύγραµµη οµαλή β. ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη γ. οµαλή κυκλική δ. ευθύγραµµη περιοδική. Η φάση της αποµάκρυνσης στην απλή αρµονική ταλάντωση: α. αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ. Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 12 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 07 Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη Απριλίου 07 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α - Α4 να γράψετε να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4

T 4 T 4 T 2 Τ Τ Τ 3Τ Τ Τ 4 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 29 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση χ από τη θέση ισορροπίας του είναι: α. ανάλογη του χρόνου. β. αρµονική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις 1-4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α1. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται

Διαβάστε περισσότερα

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1

k c (1) F ελ f ( t) F απ http://www.didefth.gr/mathimata/ 1 Την παρακάτω ανάλυση στο θέµα των Εξαναγκασµένων Ταλαντώσεων έκαναν οι : ρ. Μιχάλης Αθανασίου ρ. Απόστολος Κουιρουκίδης Φυσικοί, Επιστηµονικοί Συνεργάτες ΤΕΙ Σερρών, στα Τµήµατα Πληροφορικής -Επικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση..

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i.

( ) ( ) ( )! r a. Στροφορμή στερεού. ω i. ω j. ω l. ε ijk. ω! e i. ω j ek = I il. ! ω. l = m a. = m a. r i a r j. ra 2 δ ij. I ij. ! l. l i. Στροφορμή στερεού q Η στροφορµή του στερεού γράφεται σαν: q Αλλά ο τανυστής αδράνειας έχει οριστεί σαν: q H γωνιακή ταχύτητα δίνεται από: ω = 2 l = m a ra ω ω ra ω e a ΦΥΣ 211 - Διαλ.31 1 r a I j = m a

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες

Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες Μερικές ερωτήσεις στις φθίνουσες και στις εξαναγκασμένες Α) Φθίνουσα Ταλάντωση λόγω ύναµης ίστασης F =-bυ Θεωρούµε ότι ο ταλωτής εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση υπό την επίραση ύναµης επαναφοράς F επ =- Dx

Διαβάστε περισσότερα

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ- ΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2014 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ σύγχρονο Φάσµα Group προπαρασκευή για Α.Ε.Ι. & Τ.Ε.Ι. µαθητικό φροντιστήριο Γραβιάς 85 ΚΗΠΟΥΠΟΛΗ 50.51.557 50.56.296 25ης Μαρτίου 111 ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗ 50.27.990 50.20.990 25ης Μαρτίου 74 Πλ.ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ 50.50.658

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4) ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 22 ΜΑΪΟΥ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÓÕÃ ÑÏÍÏ Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β ΜΑΪΟΥ 03 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α-Α να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση, η οποία συµπληρώνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/12/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30/12/11 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 0-0 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 30// ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό κάθε µίας από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις

Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις Ασκήσεις Εμπέδωσης Μηχανικ ές ταλαντώέ σέις Όπου χρειάζεται, θεωρείστε ότι g = 10m/s 2 1. Σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας είναι Α = 30cm. Ο χρόνος που χρειάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 14 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ελατηρίου Απλή αρµονική κίνηση Ενέργεια απλού αρµονικού ταλαντωτή Σχέση απλού αρµονικού ταλαντωτή και κυκλικής κίνησης Το απλό εκκρεµές Περιεχόµενα 14 Το φυσικό εκκρεµές

Διαβάστε περισσότερα

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α 3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 014 Ταλαντώσεις - Πρόχειρες Λύσεις Θέµα Α Α.1. Ηλεκτρικό κύκλωµα LC, αµελητέας ωµικής αντίστασης, εκτελεί η- λεκτρική ταλάντωση µε περίοδο T. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις 1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: Επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Οµάδα Α Στις ηµιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Το θεώρηµα του Τέηλορ Το θεώρηµα του Τέηλορ (Tayl) µάς δίνει τη δυνατότητα να αναπτύσσουµε συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Μηχανικές Ταλαντώσεις.

1.1. Μηχανικές Ταλαντώσεις. 1.1. Μηχανικές. 1) Εξισώσεις ΑΑΤ Ένα υλικό σηµείο κάνει α.α.τ. µε πλάτος 0,1m και στην αρχή των χρόνων, βρίσκεται σε σηµείο Μ µε απο- µάκρυνση 5cm, αποµακρυνόµενο από τη θέση ισορροπίας. Μετά από 1s περνά

Διαβάστε περισσότερα

Kεφ. 1 TAΛANTΩΣEIΣ (part 1, pages 1-9)

Kεφ. 1 TAΛANTΩΣEIΣ (part 1, pages 1-9) Mάθημα: Φυσική, Ακαδ. Ετος: 000-00 Tμήμα: Πολιτικών Mηχανικών, Πανεπιστήμιο Πάτρας Eγχειρίδιο: Mαθήματα Φυσικής Παν. Berkeley, τόμος 3: Kυματική Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Μ. Βελγάκης Kεφ. TAΛANTΩΣEIΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11. Παγκόσµια έλξη ΚΕΦΑΛΑΙΟ Παγκόσµια έλξη ύναµη µεταξύ υλικών σηµείων Σε ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες και Η µάζα είναι ακίνητη στην αρχή των αξόνων και η µάζα βρίσκεται στη διανυσµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 25/09/6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ 0 ΕΚΦΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α τις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της πρότασης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συµπληρώνει σωστά. Α. Κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μερικοί µύθοι για την ΤΡΙΒΗ.

Μερικοί µύθοι για την ΤΡΙΒΗ. Μερικοί µύθοι για την ΤΡΙΒΗ. Πρώτος µύθος: Η τριβή αντιστέκεται στην κίνηση. Η αλήθεια είναι ότι η τριβή αντιστέκεται στην δύναµη που τείνει να το κινήσει ή έχει αντίθετη φορά από την ταχύτητα που έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 15 Νοέµβρη 2015 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 15 Νοέµβρη 2015 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Ενδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α 1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 15 Νοέµβρη 2015 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1 Μια σφαίρα ϐάλλεται από ένα ύψος µε αρχική οριζόντια ταχύτητα υ o. Στο σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3-0-0 ΘΕΡΙΝ ΣΕΙΡ ΘΕΜ ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής και το πηνίο

Ο πυκνωτής και το πηνίο Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις 1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: Επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Οµάδα Β Στις ηµιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos. Άρα. Άρα. sec. Άρα ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε

Physics by Chris Simopoulos. Άρα. Άρα. sec. Άρα ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε . ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Από την εξίσωση του πλάτους για τη φθίνουσα ταλάντωση έχουμε n Άρα t t, t,8,,8 n n n n n n,7 n t,8 ( n t,8 n n (,8,8,8 n,8,. Από την εξίσωση του

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Σύνολο Σελίδων: επτά (7) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Σάββατο 24 Σεπτέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1

ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ιαγώνισµα στις Ταλαντώσεις ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 ΘΕΜΑ 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Το

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ

Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ÈÅÌÅËÉÏ Ζήτηµα ο Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν.Κατ/νσης Γ Λυκείου Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος κανόνας

Διαβάστε περισσότερα

ιδακτική Ενότητα: Μηχανικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως

ιδακτική Ενότητα: Μηχανικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Τίτλος Κεφαλαίου: Μηχανικές & Ηλεκτρικές Ταλαντώσεις ιδακτική Ενότητα: Μηχανικές Αρµονικές Ταλαντώσεις Ερωτήσεις που δόθηκαν στις εξετάσεις των Πανελληνίων ως Θέµα ο: (Ηµερήσιο Μάιος 0) ύο όµοια ιδανικά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων

ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών Α.Μ.: 403. Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΛΙΒΑΘΙΝΟΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ LIBATI@CEIDUPATRASGR Επιστήµη και Τεχνολογία των Υπολογιστών ΑΜ: Πρώτη Οµάδα Ασκήσεων 8// Να βρεθούν οι OGF για καθεµία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση ΙΙ - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η απλή αρµονική ταλάντωση είναι κίνηση : (δ) ευθύγραµµη περιοδική Α.2. Σώµα εκτελεί απλή αρµονική

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με περίοδο Τ και πλάτος Α. Αν διπλασιάσουμε το πλάτος της ταλάντωσης τότε η περίοδος της θα : α. παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 01 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Σελίδα από ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ () ΘΕΜΑ Α Α. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Β ΦΑΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις από -4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

υναµική στο επίπεδο.

υναµική στο επίπεδο. στο επίπεδο. 1.3.1. Η τάση του νήµατος, πού και γιατί; Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες Μ=3kg και m=2kg αντίστοιχα, τα οποία συνδέονται µε ένα νήµα. Σε µια στιγµή

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Αγαπητοί μαθητές Η λύση των ασκήσεων της Φυσικής είναι ένα εύκολο παιχνίδι για σας. Μπορείτε να λύσετε οποιαδήποτε άσκηση σας δοθεί αρκεί να ακολουθήσετε τα βήματα που αναφέρονται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3-0-0 ΧΕΙΜΕΡΙΝΑ ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Α ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής και το πηνίο

Ο πυκνωτής και το πηνίο Πυκνωτής, ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Ο πυκνωτής και το πηνίο Αποτελείται από ύο οπλισµούς, µονωµένους µεταξύ τους, που µπορούν να αλληλεπιρούν. Κατά τη φόρτιση η πηγή µετακινεί φορτίο από τον ένα οπλισµό στον

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ι - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ι - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ι - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Μια µικρή σφαίρα προσκρούει ελαστικά στην επίπεδη επιφάνεια ενός κατακόρυφου τοίχου. Αν η σφαίρα κτυπήσει

Διαβάστε περισσότερα

Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου

Η διάταξη εξαναγκασμένων ταλαντώσεων του σχολικού βιβλίου Η ιάταξη εξαναγκασμένν ταλαντώσεν του σχολικού βιβλίου Εισαγγή Κατά την μαθηματική μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντσης με αρμονικό ιεγέρτη θερούμε ένα σώμα στο οποίο, εκτός από την ύναμη επαναφοράς Dx

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τα

Διαβάστε περισσότερα

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις

3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις 3ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 19 Οκτώβρη 2014 Ταλαντώσεις Σύνολο Σελίδων: έξι (6) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό.

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις

3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3 Φθίνουσες Ταλαντώσεις 3.1 Μηχανικές Ταλαντώσεις Οι ταλαντώσεις των οποίων το πλάτος µειώνεται µε τον χρόνο και τελικά µηδενίζεται λέγονται Φθίνουσες ή Αποσβεννύµενες. Ολες οι ταλαντώσεις στην ϕύση είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. (αποστολή µέχρι ευτέρα 1/4/ βδοµάδα)

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. (αποστολή µέχρι ευτέρα 1/4/ βδοµάδα) ΕΡΓΑΣΙΑ η (αποστολή µέχρι ευτέρα /4/ + βδοµάδα) Άσκηση (5 µονάδες): Να βρεθεί η συνισταµένη των δυνάµεων που ενεργούν πάνω στο σώµα µάζας Kg, όπως φαίνεται στο σχήµα. Ποιό είναι το µέτρο και η διεύθυνσή

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2016 Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ε_3.Φλ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Απριλίου 6 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α Α4 να γράψετε στο απαντητικό φύλλο τον αριθµό της πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος

Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής, Σωστό-Λάθος 1. Ένα σώµα εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση. Ποιες από τις επόµενες προτάσεις είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ί) Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θ Ε Μ Α 1 ο Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Ο μηχανισμός της ταλάντωσης ενός μηχανικού συστήματος είναι η συνεχής ιακίνηση ενέργειας μεταξύ των ελαστικών

Διαβάστε περισσότερα

ίσκος µάζας Μ = 2Kg ισορροπεί σε κατακόρυφο ελατήριο k = 100 N/m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Από ύψος h = 60 cm πάνω από το

ίσκος µάζας Μ = 2Kg ισορροπεί σε κατακόρυφο ελατήριο k = 100 N/m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Από ύψος h = 60 cm πάνω από το ΦΥΣΙΚΗ ΆΣΚΗΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΕ ΚΑΤΑ- ΚΟΡΥΦΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ίσκος µάζας Μ = Kg ισορροπεί σε κατακόρυφο ελατήριο k = 00 N/m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Από ύψος

Διαβάστε περισσότερα

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση:

Διάρκεια 90 min. Στις ερωτήσεις 1-4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση: 2ο ΓΕΛ ΠΕΙΡΑΙΑ Α Οµάδα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ονοµατεπώνυµο: Τµήµα: Ηµεροµηνία: 2/2/200 Διάρκεια 90 min Ζήτηµα ο Στις ερωτήσεις -4 να επιλέξετε το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης

Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης Πρακτική µε στοιχεία στατιστικής ανάλυσης 1. Για να υπολογίσουµε µια ποσότητα q = x 2 y xy 2, µετρήσαµε τα µεγέθη x και y και βρήκαµε x = 3.0 ± 0.1και y = 2.0 ± 0.1. Να βρεθεί η ποσότητα q και η αβεβαιότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s.

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. ενέργεια είναι ίση µε την κινητική ενέργεια. Σε αποµάκρυνση θα ισχύει: 1 της ολικής ενέργειας. t π cm/s. Ονοµατεπώνυµο: ιάρκεια: 3 ώρες ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Έστω ένα σωµα

Διαβάστε περισσότερα

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού.

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού. 1. Μια μικρή μπίλια εκσφενδονίζεται με οριζόντια ταχύτητα u από την άκρη Ο ενός τραπεζιού ύψους h=8 cm. Τη στιγμή που φθάνει στο δάπεδο το μέτρο της ταχύτητας της μπίλιας είναι u=5 m/sec. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Στις προτάσεις 1.1 έως 1.4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 13 Νοέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α

Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 13 Νοέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 13 Νοέµβρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

Περι-Φυσικής. Θέµα 1ο. 2ο ιαγώνισµα - Απλή Αρµονική Ταλάντωση. Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία %

Περι-Φυσικής. Θέµα 1ο. 2ο ιαγώνισµα - Απλή Αρµονική Ταλάντωση. Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % 2ο ιαγώνισµα - Απλή Αρµονική Ταλάντωση Ηµεροµηνία : Σεπτέµβρης 2012 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση (4 5 = 20 µονάδες ) 1.1. Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ;

1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός κυλάει χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές ; 45 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪ Η-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Χρυσ Σµύρνης 3 : Τηλ.: 107601470 ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 006 ΘΕΜΑ 1 1) Πάνω σε ευθύγραµµο οριζόντιο δρόµο ένας τροχός

Διαβάστε περισσότερα

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο

Ã. ÁÓÉÁÊÇÓ ÐÅÉÑÁÉÁÓ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΘΕΜΑ 1 ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Στι ερωτήσει - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα τον αριθµό των ερώτηση και δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Τροχό κυλίεται πάνω σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

[ Απ. α) , β) µατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0,5 m και το αφήνουµε ελεύθερο.

[ Απ. α) , β) µατος. Εκτρέπουµε το σύστηµα προς τα κάτω κατά x=0,5 m και το αφήνουµε ελεύθερο. 47. Σώµα (Σ 1 ) είναι τοποθετηµένο πάνω σε σώµα (Σ ) και το σύστηµα εκτελεί Α.Α.Τ. κατακόρυφα µε περίοδο Τ. α) Να εκφράσετε τη δύναµη αντίδρασης F του σώµατος (Σ ) στο σώµα (Σ 1 ), σε συνάρτηση µε την

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Για να περιγράφουν οι εξισώσεις ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα, θα πρέπει να ισχύει

Για να περιγράφουν οι εξισώσεις ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα, θα πρέπει να ισχύει ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 07/06/005 ΘΕΜΑ ο α, γ, 3 δ, 4 γ 5. α Σ, β Λ, γ Σ, δ Σ, ε Σ ΘΕΜΑ ο 0 E= 300ηµ π( 6 0 t 0 x) ( S. I.). Σωστή απάντηση είναι η: β. B = ηµ π( t

Διαβάστε περισσότερα