ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ. Εμμανουήλ Αντ. Δρης από τη Νάξο Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Πολυτεχνείο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ. Εμμανουήλ Αντ. Δρης από τη Νάξο Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Πολυτεχνείο"

Transcript

1 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Εμμανουήλ Αντ. Δρης από τη Νάξο Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Πολυτεχνείο

2

3 iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1.1 Συντεταγμένες θέσης 1.2 Δεσμοί 1.3 Είδη μετατοπίσεων 1. Πραγματική μετατόπιση (Actual displacement) 2. Πιθανή μετατόπιση (Possible displacement) 3. Δυνατή μετατόπιση (Virtual displacement) 1.4 Παραλλαγή ή μεταβολή (Variation) 1.5 Δυνατό έργο 1.6 Μηδενικό δυνατό έργο δυνάμεων μερικών δεσμών Παραδείγματα Προβλήματα 2. ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LAGRANGE 2.1 Αρχή D Alembert 2.2 Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς 2.3 Φορμαλισμός με δεσμούς Α. Δυνάμεις δεσμών Β. Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες Γ. Αρχή D Alembert σε γενικευμένες συντεταγμένες 2.4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες

4 iv 2.5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη - Αδρανειακές δυνάμεις. 2.6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές 2.7 Μη ολόνομοι δεσμοί -Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών 2.8 Διερεύνηση 2.9 Εξισώσεις Lagrange με γενικούς δεσμούς 2.10 Ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων 2.11 Ταλαντώσεις A) Ελεύθερες ταλαντώσεις Β) Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 2.12 Το Αντίστροφο Πρόβλημα της Μηχανικής - Περί μη μοναδικότητας της λαγκρανζιανής Παραδείγματα 1. Δυνάμεις απωλειών 2. Από την άμεση ενσωμάτωση δεσμευτικής σχέσης στη λαγκρανζιανή, μετάβαση στην τροποποίηση λαγκρανζιανής με παράθεση δεσμευτικής σχέσης. 3. Ενσωμάτωση και παράθεση δεσμευτικών σχέσεων 4. Συζευγμένα εκκρεμή 5. Εφαρμογή της λαγκρανζιανής μεθόδου στην ηλεκτροτεχνία 6. Μηχανική ομοιότητα Προβλήματα 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ 3.1 Αρχή (του) Hamilton 3.2 Πιθανές τροχιές

5 3.3 Εξισώσεις του Lagrange από την αρχή του Hamilton για διακριτά συστήματα Α) Λαγκρανζιανό σύστημα χωρίς δεσμούς B) Λαγκρανζιανό σύστημα με ανολόνομους δεσμούς 3.4 Διευκρινίσεις για την Αρχή Hamilton 3.5 Εισαγωγή για εφαρμογές στη Γενική Σχετικότητα 3.6 Θεωρία μεταβολών με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές 3.7 Θεωρία μεταβολών με με μια ανεξάρτητη και μια εξαρτημένη μεταβλητή και με ανώτερες παραγώγους 3.8 Συνοριακές συνθήκες 1. Φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες ελεύθερου συνόρου 2. Ισοπεριμετρικά προβλήματα 3.9 Εξάλειψη συντεταγμένων Παραδείγματα 1. Διαφορετικός τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος της θεωρίας μεταβολών 2. Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων στο επίπεδο 3. Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου 4. Το πρόβλημα της ελαστικής ράβδου 5. Μελέτη της ταλάντωσης χορδής με χρήση της θεωρίας μεταβολών 6. Το παράδειγμα 3 του Κεφαλαίου 2 με θεωρία μεταβολών 7. Μελέτη της ανάκλασης του φωτός με χρήση της θεωρίας μεταβολών Προβλήματα v

6 vi 4. ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ 4.1 Ενεργειακή συνάρτηση Διατήρηση της ενέργειας 4.2 Θεώρημα της Noether για διακριτά συστήματα Παραδείγματα 1. Διατήρηση ενεργειακής συνάρτησης 2. Θεώρημα του κέντρου μάζας 3. Κίνηση σε πεδίο Schwarzschild 4. Διάνυσμα Laplace Runge - Lenz 5. Θεώρημα του Bertrand 6. Θεώρημα virial 7. Εισαγωγή στα βαρυτικά κύματα και την ανίχνευσή τους με συμβολομετρία Προβλήματα 5. ΛΑΓΚΡΑΝΖΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΣΤΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 5.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής 5.2 Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός 6. ΧΑΜΙΛΤOΝΙΑΝΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ 6.1 Εξισώσεις του Hamilton 6.2 Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης 6.3 Η διαδικασία του Routh 6.4 Εξισώσεις του Hamilton από μια αρχή παραλλαγών (μεταβολών)

7 vii 6.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης 6.6 Πότε τα στάσιμα σημεία είναι σημεία ελάχιστου 6.7 Γενικά χαρακτηριστικά της κίνησης συστήματος 6.8 Το απλό εκκρεμές στο χώρο των φάσεων 6.9 Λαγκρανζιανές με ανώτερες παραγώγους και το θεώρημα του Ostrogradsky 6.10 Από τo λαγκρανζιανό φορμαλισμό στον χαμιλτονιανό χωρίς το μετασχηματισμό Legendre Παράδειγμα Προβλήματα 7. ΚΑΝΟΝΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ 7.1 Εύρεση της γεννήτριας συνάρτησης από τις εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού 7.2 Ένα άλλο κριτήριο για το αν ένας μετασχηματισμός είναι κανονικός 7.3 Αγκύλες του Poisson 7.4 Συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού Παράδειγμα 7.5 Αναλλοίωτο των αγκύλων του Poisson σε κανονικούς μετασχηματισμούς στο συμπλεκτικό φορμαλισμό 7.6 Αναλλοίωτα ολοκληρώματα (του) Poincare 7.7 Εξισώσεις κίνησης με αγκύλες του Poisson 7.8 Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί και θεωρήματα διατήρησης

8 viii 7.9 Το Θεώρημα του Liouville 7.10 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός με δεσμούς. Αγκύλες του Dirac. Προβλήματα 8. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ HAMILTON-JACOBI 8.1 Χωρισμός μεταβλητών της εξίσωσης Hamilton-Jacobi Παραδείγματα 1. Εφαρμογή της μέθοδο Hamilton-Jacobi στον αρμονικό ταλαντωτή 2. Κίνηση σωματίου υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης, σε σφαιρικές πολικές συντεταγμένες 8.2 Γωνίες και δράσεις ως κανονικές συντεταγμένες 1. Κυκλικά συστήματα 2. Γωνίες και δράσεις ως μεταβλητές Παραδείγματα 1. Αρμονικός ταλαντωτής. 2. Κίνηση υλικού σημείου σε ελκτικό κεντρικό δυναμικό της μορφής k k V() r, 0, 0 2 r r Προβλήματα 9. ΣΥΝΕΧΗ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 9.1 Ο τανυστής μηχανικής τάσης-ενέργειας και θεωρήματα διατήρησης 9.2 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός 9.3 Σχετικιστική θεωρία πεδίου

9 ix 9.4 Θεωρήματα της Noether για πεδία Α. Πρώτο θεώρημα της Noether για πεδία Β. Δεύτερο θεώρημα της Noether για πεδία 9.5 Η χορδή ως όριο συζευγμένων σωματίων 9.6 Αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας Παραδείγματα 1. Νευτωνικό πεδίο βαρύτητας 2. Συνήθης πυκνότητα ρεύματος στην κβαντομηχανική του Schroedinger Προβλήματα 10. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ 10.1 Θεωρία διαταραχών με εξάρτηση από το χρόνο Παράδειγμα 10.2 Θεωρία διαταραχών χωρίς εξάρτηση από το χρόνο Παράδειγμα 10.3 Αδιαβατικά αναλλοίωτα Παράδειγμα Προβλήματα 11. ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 11.1 Ισορροπία 11.2 Παραμετρικός συντονισμός

10 x 1) Ορθό διαταραγμένο εκκρεμές 2) Αντεστραμμένο διαταραγμένο εκκρεμές 11.3 Κλασικό χάος 1) Μερικά χρήσιμα εργαλεία για την μελέτη της χαοτικής συμπεριφοράς 2) Περιοδική κίνηση 3) Ολοκληρωσιμότητα δυναμικών συστημάτων 4) Διαταραχές και το θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser (ΚΑΜ) 5) Το σύστημα Henon- Heiles 6) Η εξίσωση van der Pol 7) Το σύστημα του διαταραγμένου εκκρεμούς 8) Εκθέτες Liapunov 9) Διαγράμματα διακλάδωσης 10) Διαστατικότητα 11) Λογιστική απεικόνιση Προβλήματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Π1. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π2. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Π3. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ

11 xi Π4. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ-ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ NOETHER Π4.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών Π4.2 Θεωρήματα της Noether Π4.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether Π4.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether Π5. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ Π6. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LEGENDRE Π7. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI Π8. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ Βιβλιογραφία

12

13 ANALYTICAL DYNAMICS Manolis A. Dris from Naxos Professor Emeritus N.T.U. of Athens

14

15 xv CONTENTS 1. INTRODUCTORY 1.1 Position Coordinates 1.2 Constraints 1.3 Classification of Displacements 1. The Actual Displacement 2. The Possible Displacement 3. The Virtual Displacement 1.4 The Variation 1.5 The Virtual Work 11.6 Zero Virtual Work of Some Constraints Examples Problems 2. LAGRANGE FORMULATION 2.1 D Alembert s Principle 2.2 Formulation without Constraints 2.3 Formulation with Constraints A. The Forces of the Constraints B. Transition to Generalized Coordinates C. D Alembert s Principle in Generalized Coordinates 2.4 Velocity Dependent Potentials

16 xvi 2.5 Electromagnetic Force - Inertial Forces 2.6 Equivalent Lagrangians 2.7 Non Holonomic Constraints Calculation of Constraint Forces 2.8 Further Investigation 2.9 Lagrange Equations with General Constraints 2.10 Embedding of Virtual Displacements 2.11 Oscillations A) Free Oscillations B) Forced Oscillations 2.12 The Inverse Problem of Mechanics - Non Uniqueness of the Lagrangian Examples 1. Dissipative Forces 2. From the Direct Embedding of a Constraint Equation to the Lagrangian, Transition to a Modified Lagrangian with the Constrained Equation Adjoined 3. Embedding and Adjoining of Constrained Equations 4. Coupled Pendula 5. Application of the Lagrangian Method in Circuit Theory 6. Mechanical Similarity Problems 3. INTRODUCTION TO VARIATIONAL THEORY 3.1 Hamilton s Principle 3.2 Possible Paths

17 xvii 3.3 Lagrange s Equations from Hamilton s Principle for Discrete Systems A) Lagrangian System without Constraints B) Lagrangian System with Constraints 3.4 Further Explanations for Hamilton s Principle 3.5 Introduction to Applications in General Relativity 3.6 Variational Theory for Many Independent Variables 3.7 Variational Theory with One Independent and One Dependent Variable with Higher Derivatives 3.8 Boundary Conditions 1. Natural Boundary Conditions for Free Boundaries 2. Isoperimetric Problems 3.9 Coordinate Elimination Examples 1. Different Approach to the Variational Problem 2. Minimum Distance Between two Points on a Plane 3. The Brachistochrone Problem 4. The Problem of the Elastic Bar 5. Study of the String Vibration with the Variational Method 6. Study of Example 3 of Chapter 2 with Variational Method 7. Study of Light Reflection with the Use of the Variational Method Problems

18 xviii 4. SYMMETRIES AND CONSERVATION THEOREMS 4.1 Energy Function and Conservation of Energy 4.2 Noether s Theorem for Discrete Systems Examples 1. Energy Function Conservation 2. Center of Mass Theorem 3. Motion in the Schwarzschild Field 4. Laplace Runge Lenz Vector 5. Bertrand Theorem 6. Virial Theorem 7. Introduction to Gravity Waves and their Detection with Intereferometry Problems 5. THE LAGRANGIAN FORMULATION OF THE DYNAMICS OF SPECIAL RELATIVITY 5.1 A Simple Procedure to the Relativistic Lagrangian 5.2 Covariant Lagrangian Formulation 6. HAMILTONIAN FORMULATION 6.1 The Hamilton Equations 6.2 Ignorable Coordinates and Conservation Theorems 6.3 Routh s Procedure 6.4 Derivation of Hamilton s Equations from a Variational Principle

19 xix 6.5 The Principle of Least Action 6.6 When the Stationary Points are Minima Points 6.7 General Characteristics of a System s Motion 6.8 The Simple Pendulum in the Phase Space 6.9 Lagrangians with Higher Derivatives and the Ostrogradsky Theorem 6.10 From the Lagrangian to the Hamiltonian Formalism with no Use of the Legendre Transform Example Problems 7. CANONICAL TRANSFORMATIONS 7.1 Finding a Generating Function from the Canonical Transformation Equations 7.2 Another Test for a Transformation to be Canonical 7.3 Poisson Brackets 7.4 Symplectic Form of the Hamiltonian Formalism Examples 7.5 Poisson Bracket Invariance to Canonical Transformations in the Symplectic Approach 7.6 Invariant Integrals of Poincare 7.7 The Equations of Motion with Poisson Brackets 7.8 Infinitesimal Canonical Transformations and Conservation Theorems

20 xx 7.9 The Liouville Theorem 7.10 Hamiltonian Formalism with Constraints Dirac Brackets Problems 8. THE HAMILTON JACOBI METHOD 8.1 Separation of Variables in the Hamilton Jacobi Equation Examples 1. Application of the Hamilton Jacobi Method in the Harmonic Oscillator 2. Particle Motion in a Central Field of Force, in Spherical Polar Coordinates 8.2 Angles and Actions as Canonical Coordinates (Action - Angle Variables) 1. Cyclic Systems 2. Angles and Actions as Variables Examples 1. Harmonic Oscillator 2. Motion of a Particle inside a Potential of the Form k V() r, k 0, 0. 2 r r Problems

21 xxi 9. CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS 9.1 Tension-Energy Tensor and Conservation Theorems 9.2 Hamiltonian Formalism 9.3 Relativistic Field Theory 9.4 Noether s Theorems for Fields A. First Noether s Theorem for Fields B. Second Noether s Theorem for Fields 9.5 The String as a Limit of Infinite number of Coupled Particles 9.6 Spontaneous Symmetry Breaking Examples 1. Newtonian Gravity Field 2. The Usual Current Density in the Schroedinger Quantum Mechanics Problems 10. CANONICAL PERTURBATION THEORY 10.1 Time Dependent Perturbation Theory Example 10.2 Time - Independent Perturbation Theory Example 10.3 Adiabatic Invariants Example Problems

22 xxii 11. NON LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS 11.1 Equilibrium 11.2 Parametric - Resonance 1) The Normal Perturbed Pendulum 2) The Inverted Perturbed Pendulum 11.3 Classical Chaos 1) Some Useful Tools for Studying Chaotic Behavior 2) Periodic Motion 3) Integrability of Dynamical Systems 4) Disturbances and the Kolmogorov Arnold Moser Theorem (KAM) 5) The Henon Heiles System 6) The van der Pol Equation 7) The System of Perturbed Pendulum 8) The Liapunov Exponents 9) Bifurcation Diagrams 10) Dimensionality 11) The Logistic Map Problems APPENDICES A1. INTEGRAL OF A SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS A2. THE KINETIC ENERGY IN GENERALIZED COORDIANETS

23 xxiii A3. VARIOUS TYPES OF FORCE COMPONENTS A4. VARIATIONAL THEORY NOETHER S THEOREMS A4.1 The Euler Lagrange Equations from a Variational Theory A4.2 Noether s Theorems A4.2.1 The First Noether s Theorem A4.2.2 The Second Noether s Theorem A5. MATHEMATICAL AID FOR SPECIAL RELATIVITY A6. THE LEGENDRE TRANSFORM A7. THE PROOF OF JACOBI S IDENTITY A8. ELEMENTS OF THE THEORY OF DIFFERENTIAL FORMS Bibliography

24

25 xxv ΠΡΟΛΟΓΟΣ Timeo hominem unius libri. Thomas Acquinas Φοβού τον άνθρωπο του ενός βιβλίου. Θωμάς Ακινάτης Αυτό το βιβλίο μπορεί να είναι βοήθημα για φοιτητές που παρακολουθούν σχετικό μεταπτυχιακό μάθημα που μπορεί να έχει τίτλο Κλασική Μηχανική ή κάτι παρόμοιο, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και από προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές. Μέρος από αυτό το βοήθημα διδάχτηκε από τον γράφοντα στο Μεταπτυχιακό: Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές, ΕΜΠ/Δημόκριτος, στα πλαίσια του μαθήματος Κλασική Μηχανική. Είναι καλό οι φοιτητές που παρακολουθούν ένα τέτοιο μάθημα να έχουν γνώση Μηχανικής επιπέδου Γενικής Φυσικής και κάποια γνώση πιο προχωρημένης Μηχανικής προπτυχιακού επιπέδου, καθώς και γνώση Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Η Μηχανική γενικώς και ειδικότερα η Αναλυτική Μηχανική ή η Αναλυτική Δυναμική, είναι κλάδοι της επιστήμης, που μπορεί να ισχυριστεί κάποιος, αποτελούν το αλφάβητο, το βασικό εργαλείο, που είναι χρήσιμο για τη μετάβαση σε άλλους κλάδους της φυσικής και της επιστήμης του μηχανικού. Το περιεχόμενο είναι, κυρίως, κλασική Αναλυτική Δυναμική. Επίσης περιλαμβάνονται και τα βασικά για τη Μη Γραμμική Δυναμική και το Χάος. Επίσης περιλαμβάνεται και ο παραμετρικός συντονισμός. Ακόμη περιλαμβάνονται θέματα κλασικής Θεωρίας Πεδίου και τα θεωρήματα της Noether. Δίνονται στοιχεία από τη θεωρία μεταβολών για συστήματα με φυσικές συνοριακές συνθήκες. Εξετάζονται οι περιπτώσεις όπου η λαγκρανζιανή εξαρτάται από ανώτερες παραγώγους και επίσης το θεώρημα Ostrogradsky. Αναλύονται διάφορα θέματα που σχετίζονται με τη Γενική Σχετικότητα. Ακόμη εξετάζεται το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής, δηλαδή αν από τις εξισώσεις κίνησης μπορεί να βρεθεί λαγκρανζιανή που να περιγράφει το σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μην ισχύει η «συνταγή» L T V. Η Αναλυτική Δυναμική είναι το θεμέλιο πολλών κλάδων της Φυσικής και του κλάδου των Μηχανικών. Οι προχωρημένες θεωρίες σωματιδίων, σχετικότητας, αστροφυσικής κτλ στηρίζονται στην Αναλυτική Δυναμική. Επίσης σε θέματα της επιστήμης του Μηχανικού γίνεται μεγάλη χρήση της Αναλυτικής Μηχανικής, π.χ. κύματα, ταλαντευόμενες κατασκευές, ρευστά, χαοτικά συστήματα κτλ. Κατά τη συγγραφή αυτού του πονήματος θεωρήσαμε καλό να εξετάζονται και θέματα που μπορεί να συσχετιστούν με την παλαιότερη ή σημερινή έρευνα διαφόρων κλάδων της Φυσικής, όπως αυτοί που αναφέραμε παραπάνω. Το βιβλίο απευθύνεται σε όσους θέλουν να αποκτήσουν μια γεύση από τα αντικείμενα που πραγματεύονται στις σελίδες του. Για περισσότερες γνώσεις κάποιος μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία που παρατίθεται εδώ και σε άλλα συγγράμματα που είναι πιο εξειδικευμένα. Η βιβλιογραφία περιέχει βιβλία και

26 xxvi δημοσιεύσεις που χρησιμοποιήσαμε σε μικρό ή μεγάλο βαθμό για τη συγγραφή αυτού του πονήματος και άλλα για παραπάνω μελέτη. Το βιβλίο δε μπορεί να διδαχτεί ολόκληρο σε ένα ή ακόμη και σε δυο εξάμηνα, ο διδάσκων πρέπει να κάνει κατάλληλη επιλογή της ύλης που διδάσκει. Τέλος, ας μη ξεχνούμε τον Θωμά Ακινάτη με τον οποίο ξεκινήσαμε αυτόν τον πρόλογο, κανένα βιβλίο δεν είναι αρκετό από μόνο του. Το κάθε βιβλίο έχει την αξία του, μπορεί να εξηγεί καλύτερα κάτι που κάποιο άλλο δεν το κάνει. Αυτό εξαρτάται και από τον αναγνώστη ο οποίος μπορεί να καταλάβει κάτι όταν του δίνεται με τρόπο που εκείνος καταλαβαίνει καλύτερα. Εμμανουήλ Αντ. Δρης

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog

The kinetic and potential energies as T = 1 2. (m i η2 i k(η i+1 η i ) 2 ). (3) The Hooke s law F = Y ξ, (6) with a discrete analog Lecture 12: Introduction to Analytical Mechanics of Continuous Systems Lagrangian Density for Continuous Systems The kinetic and potential energies as T = 1 2 i η2 i (1 and V = 1 2 i+1 η i 2, i (2 where

Διαβάστε περισσότερα

Relativistic particle dynamics and deformed symmetry

Relativistic particle dynamics and deformed symmetry Relativistic particle dynamics and deformed Poincare symmetry Department for Theoretical Physics, Ivan Franko Lviv National University XXXIII Max Born Symposium, Wroclaw Outline Lorentz-covariant deformed

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Διατύπωσε την αρχή της διατήρησης της ορμής σε ένα (κλειστό) σύστημα N-σωμάτων. Στη συνέχεια διατύπωσε τους νόμους των κρούσεων μεταξύ σωμάτων. Υπολόγισε

Διαβάστε περισσότερα

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών

3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών 3. Περιγράμματα Μαθημάτων Προγράμματος Σπουδών Στην ενότητα αυτή παρουσιάζονται τα συνοπτικά περιγράμματα των μαθημάτων που διδάσκονται στο Πρόγραμμα Σπουδών, είτε αυτά προσφέρονται από το τμήμα που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Κλασική Μηχανική 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Κλασική Μηχανική 1 Διδάσκων: Κώστας Τάσσης, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1: Νόμοι Νεύτωνα 1.1: Θεμελίωση θεωρίας Νόμοι Νεύτωνα V1.1.1 Ορισμός και όρια της Κλασικής Μηχανικής V1.1.2

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Μηχανική. ΦΥΣ 211 Άνοιξη 2015. Διδάσκων: Φώτης Πτωχός. e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής

Κλασική Μηχανική. ΦΥΣ 211 Άνοιξη 2015. Διδάσκων: Φώτης Πτωχός. e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής Κλασική Μηχανική ΦΥΣ 211 Άνοιξη 2015 Διδάσκων: Φώτης Πτωχός e-mail: fotis@ucy.ac.cy Τηλ: 22.89.2837 Γραφείο: B235 ΘΕΕ02 Τμήμα Φυσικής ΦΥΣ 211 - Διαλ.01 2 Γενικές Πληροφορίες Ώρες/Αίθουσα διδασκαλίας: Δευτέρα/Πέμπτη

Διαβάστε περισσότερα

Fundamentals of Signals, Systems and Filtering

Fundamentals of Signals, Systems and Filtering Fundamentals of Signals, Systems and Filtering Brett Ninness c 2000-2005, Brett Ninness, School of Electrical Engineering and Computer Science The University of Newcastle, Australia. 2 c Brett Ninness

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Βαθμοί ελευθερίας : (,) γενικευμένες θέσεις (p,p ) : γενικευμένες ορμές Απλά Μηχανικά συστήματα ΒΕ α) κίνηση υλικού σημείου μάζας m στο επίπεδο υπό την επίδραση δυναμικού Κινητική

Διαβάστε περισσότερα

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)

L = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3) ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν

Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).

Διαβάστε περισσότερα

Space-Time Symmetries

Space-Time Symmetries Chapter Space-Time Symmetries In classical fiel theory any continuous symmetry of the action generates a conserve current by Noether's proceure. If the Lagrangian is not invariant but only shifts by a

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΑΜΙΛΤΟΝΙΑΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Βαθμοί ελευθερίας : (,) γενικευμένες θέσεις (p,p) : γενικευμένες ορμές Απλά Μηχανικά συστήματα ΒΕ α) κίνηση υλικού σημείου μάζας m στο επίπεδο υπό την επίδραση δυναμικού Κινητική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Analytical Mechanics ( AM )

Analytical Mechanics ( AM ) Analytical Mechanics ( AM ) lecture notes part 10, Summary Olaf Scholten KVI, kamer v3.008 tel. nr. 363-355 email: scholten@kvi.nl Web page: http://www.kvi.nl/~scholten Book Classical Dynamics of Particles

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq.

6.1. Dirac Equation. Hamiltonian. Dirac Eq. 6.1. Dirac Equation Ref: M.Kaku, Quantum Field Theory, Oxford Univ Press (1993) η μν = η μν = diag(1, -1, -1, -1) p 0 = p 0 p = p i = -p i p μ p μ = p 0 p 0 + p i p i = E c 2 - p 2 = (m c) 2 H = c p 2

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ)

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΙΟΥΝΙΟΣ 2013 ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΑΕΜ: (ΠΤΥΧΙΟ) 1. (α) Περιγράψτε συνοπτικά το πείραμα των Michelson και Morley (όχι απόδειξη σχέσεων). Ποιό ήταν το βασικό αποτέλεσμα του πειράματος; (β)

Διαβάστε περισσότερα

ADVANCES IN MECHANICS Jan. 25, Newton ( ) ,., Newton. , Euler, d Alembert. Lagrange,, , Hamilton ( )

ADVANCES IN MECHANICS Jan. 25, Newton ( ) ,., Newton. , Euler, d Alembert. Lagrange,, , Hamilton ( ) 39 1 Vol. 39 No. 1 2009 1 25 ADVANCES IN MECHANICS Jan. 25, 2009 *, 100081. 5 3. Noether, Lie,, Lagrange,,.,,, 1 1.1 1687 Newton (1642 1727), 3,., Newton. 1743 d Alembert (1717 1783), Newton, d Alembert.

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΦΑΣΗ της από 3/4/2012 Συνεδρίασης του Δ.Σ. του Τμήματος Φυσικής. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Για το 5ο εξάμηνο

AΠΟΦΑΣΗ της από 3/4/2012 Συνεδρίασης του Δ.Σ. του Τμήματος Φυσικής. ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Για το 5ο εξάμηνο ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΦΥΣΙΚΗΣ ΙΙΙ (ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ) Ι. Ηλεκτρικό φορτίο-διατήρηση φορτίου-κβάντωση φορτίου-νόμος Coulomb-Ενέργεια συστήματος φορτίων-ηλεκτρικό πεδίο-κατανομές φορτίου-ροή, Νόμος Gauss. ΙΙ. Ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: "" r ) δ r! i i. m i. ! r i

Ανακεφαλαίωση. T!q i. Q i δ q i q i. d T. ! r j. F j = V. r j. δ q j. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά:  r ) δ r! i i. m i. ! r i Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε την προηγούμενη φορά: N Αρχή D Alembert: ( F i m i "" r ) δ r i i = 0 i=1 για σύστημα με k ολόνομους δεσμούς και n=n-k γενικευμένες συντεταγμένες q i : d r i = θεωρώντας δυνητικές

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο

Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Ένα εκκρεμές σε επιταχυνόμενο αμαξίδιο Το πρόβλημά μας είναι να προσδιορίσουμε την περίοδο των ταλαντώσεων του εκκρεμούς στο πρόβλημα που απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα υπό την προϋπόθεση ότι η δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός των Μεταβολών και Αναλυτική Μηχανική Περιεχόμενα των Διαλέξεων Σταύρος Αναστασίου Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πάτρα 2016 Πολύ πρόχειρες σημειώσεις για τους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

DiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation

DiracDelta. Notations. Primary definition. Specific values. General characteristics. Traditional name. Traditional notation DiracDelta Notations Traditional name Dirac delta function Traditional notation x Mathematica StandardForm notation DiracDeltax Primary definition 4.03.02.000.0 x Π lim ε ; x ε0 x 2 2 ε Specific values

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ ΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ ΙΩΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ 1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών ΠΜΣ οµοστατικός Σχεδιασµός και Ανάλυση Κατασκευών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία ΣΤΑΤΙΚΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΛΩ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4 Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες.............................

Διαβάστε περισσότερα

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες

Ανακεφαλαίωση. q Εισήγαμε την έννοια των δεσμών. Ø Ολόνομους και μή ολόνομους δεσμούς. Ø Γενικευμένες συντεταγμένες ΦΥΣ 211 - Διαλ.06 1 Ανακεφαλαίωση Τι είδαμε μέχρι τώρα: q Συζητήσαμε συστήματα πολλών σωμάτων Ø Εσωτερικές και εξωτερικές δυνάμεις Ø Νόμους δράσης-αντίδρασης Ø Ορμές, νόμους διατήρησης (γραμμική ορμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 ΤΟΜΟΣ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1 ΟΙ ΒΑΣΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ 7 1.1 Μονάδες και σύμβολα φυσικών μεγεθών..................... 7 1.2 Προθέματα φυσικών μεγεθών.............................. 13 1.3 Αγωγοί,

Διαβάστε περισσότερα

Spherical Coordinates

Spherical Coordinates Spherical Coordinates MATH 311, Calculus III J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2011 Spherical Coordinates Another means of locating points in three-dimensional space is known as the spherical

Διαβάστε περισσότερα

Symmetric Stress-Energy Tensor

Symmetric Stress-Energy Tensor Chapter 3 Symmetric Stress-Energy ensor We noticed that Noether s conserved currents are arbitrary up to the addition of a divergence-less field. Exploiting this freedom the canonical stress-energy tensor

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος

Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος Κβαντομηχανική Ι Εισαγωγικά Θέματα - Λειτουργία Μαθήματος Διδάσκων: Λ. Περιβολαρόπουλος Στοιχεία Διδάσκοντα Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής-Κοσμολογίας Γραφείο Φ2-303 Ώρες Γραφείου:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ

11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ xx ΤΟΜΟΣ ΙI 11 ΧΡΟΝΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΑ ΠΕΔΙΑ 741 11.1 Διαφορική και ολοκληρωτική μορφή των εξισώσεων Maxwell Ρεύμα μετατόπισης...................................... 741 11.2 Οι εξισώσεις Maxwell σε μιγαδική

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x) Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 7/5/000 Μηχανική ΙI Μετασχηματισμοί Legendre Έστω μια πραγματική συνάρτηση f (x) Ορίζουμε την παράγωγο συνάρτηση df (x) της f (x) : ( x) (η γραφική της παράσταση δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου

Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης. Απόστολος Σ. Παπαγεωργίου Μονοβάθμια Συστήματα: Εξίσωση Κίνησης, Διατύπωση του Προβλήματος και Μέθοδοι Επίλυσης VISCOUSLY DAMPED 1-DOF SYSTEM Μονοβάθμια Συστήματα με Ιξώδη Απόσβεση Equation of Motion (Εξίσωση Κίνησης): Complete

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 403 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Βοηθοί Διδασκαλίας:

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACEG

Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACEG Lecture 4 Material behavior: Constitutive equations Field of the game Print version Lecture on Theory of lasticity and Plasticity of Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACG 4.1 Contents

Διαβάστε περισσότερα

Τα μαθήματα του 2 ου έτους

Τα μαθήματα του 2 ου έτους Χειμερινό εξάμηνο (Γ εξάμηνο) ΚΩΔ. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Τα μαθήματα του 2 ου έτους Μονάδες ΕCTS Θεωρία (ώρες/εβ δ.) Φροντιστήριο (ώρες/εβδ.) Εργαστή ριο 1 ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 6 2 2-2 33 38 4 5 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (Ηλεκτρομαγνητισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018

ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΔΕ: Αναλυτικό πρόγραμμα - Ύλη Μαθήματος 2018 Αντικείμενο του μαθήματος είναι η μελέτη Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική Διαφορική Εξίσωση θα συμβολίζουμε με (ΜΔΕ). Η ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης

( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης Hamiltonian φορμαλισμός q Πριν αρκετό καιρό, είδαµε τον φορµαλισµό Hamilton: Ø Για ένα σύστηµα µε βαθµούς ελευθερίας και Lagrangian ² Ορίσαµε p i = L! ² και την hamiltonian: H = και ² Λύσαµε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική

Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική Θεωρητική Μηχανική Tεύχος ΙI Αναλυτική Μηχανική Φωκίωνας Χατζηϊωάννου Αθήνα, 1974 Περιεχόμενα 5 Εξισώσεις Lagrange 1 5.1 Γενικευμένες συντεταγμένες................. 1 5.2 Αρχή των δυνατών έργων...................

Διαβάστε περισσότερα

Second Order Partial Differential Equations

Second Order Partial Differential Equations Chapter 7 Second Order Partial Differential Equations 7.1 Introduction A second order linear PDE in two independent variables (x, y Ω can be written as A(x, y u x + B(x, y u xy + C(x, y u u u + D(x, y

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Φεβρουάριος 2003 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία. Καλή σας επιτυχία. Θέμα 1 (25 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

Fundamentals of Probability: A First Course. Anirban DasGupta

Fundamentals of Probability: A First Course. Anirban DasGupta Fundamentals of Probability: A First Course Anirban DasGupta Contents 1 Introducing Probability 5 1.1 ExperimentsandSampleSpaces... 6 1.2 Set Theory Notation and Axioms of Probability........... 7 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3

Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 Lecture 2: Dirac notation and a review of linear algebra Read Sakurai chapter 1, Baym chatper 3 1 State vector space and the dual space Space of wavefunctions The space of wavefunctions is the set of all

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

1 Classical Mechanics

1 Classical Mechanics From Classical to Quantum Field Theory 1 D. E. Soper 2 University of Oregon Physics 665, Quantum Field Theory 13 October 2010 1 Classical Mechanics Let φ J (t), J = 1, 2, 3, be the position of a particle

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΕΤΑΛΛΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Μεταπτυχιακή Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.

Απόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action

Διαβάστε περισσότερα

S dt T V. Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής

S dt T V. Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής Μελέτη της κίνησης μηχανικού ταλαντωτή που προκαλεί διάδοση ελαστικού κύματος σε μονοδιάστατο ελαστικό μέσο Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής Κεντρική ιδέα Στην εργασία αυτή, γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS

CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS CHAPTER 48 APPLICATIONS OF MATRICES AND DETERMINANTS EXERCISE 01 Page 545 1. Use matrices to solve: 3x + 4y x + 5y + 7 3x + 4y x + 5y 7 Hence, 3 4 x 0 5 y 7 The inverse of 3 4 5 is: 1 5 4 1 5 4 15 8 3

Διαβάστε περισσότερα

Constitutive Relations in Chiral Media

Constitutive Relations in Chiral Media Constitutive Relations in Chiral Media Covariance and Chirality Coefficients in Biisotropic Materials Roger Scott Montana State University, Department of Physics March 2 nd, 2010 Optical Activity Polarization

Διαβάστε περισσότερα

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός

Βιβλιογραφία Λ.Τσίτσα -Εφαρμοσμένος Απειροστικός Λογισμός ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ στο μάθημα ANAΛΥΣΗ Ι 1) Πραγματικοί και φυσικοί αριθμοί -Αξιώματα του συνόλου R των πραγματικών αριθμών -Τέλεια Επαγωγή 2) Ακολουθίες -Ορια ακολουθιών -Κριτήρια σύγκλισης -Ακολουθίες Cauchy

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Κλασικές Τεχνικές Βελτιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 2 η /2017 Μαθηματική Βελτιστοποίηση Η «Μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Eulerian Simulation of Large Deformations

Eulerian Simulation of Large Deformations Eulerian Simulation of Large Deformations Shayan Hoshyari April, 2018 Some Applications 1 Biomechanical Engineering 2 / 11 Some Applications 1 Biomechanical Engineering 2 Muscle Animation 2 / 11 Some Applications

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Διδάσκων: Γεώργιος Μήτσης, Λέκτορας, Τμήμα ΗΜΜΥ Γραφείο: 401 Πράσινο Άλσος Ώρες γραφείου: Οποτεδήποτε (κατόπιν επικοινωνίας) Ηλ. Ταχ.: : gmitsis@ucy.ac.cy Ιωάννης Τζιώρτζης

Διαβάστε περισσότερα

NonEquilibrium Thermodynamics of Flowing Systems: 2

NonEquilibrium Thermodynamics of Flowing Systems: 2 *Following the development in Beris and Edwards, 1994, Section 9.2 NonEquilibrium Thermodynamics of Flowing Systems: 2 Antony N. Beris Schedule: Multiscale Modeling and Simulation of Complex Fluids Center

Διαβάστε περισσότερα

ADVANCED STRUCTURAL MECHANICS

ADVANCED STRUCTURAL MECHANICS VSB TECHNICAL UNIVERSITY OF OSTRAVA FACULTY OF CIVIL ENGINEERING ADVANCED STRUCTURAL MECHANICS Lecture 1 Jiří Brožovský Office: LP H 406/3 Phone: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Διαβάστε περισσότερα

D Alembert s Solution to the Wave Equation

D Alembert s Solution to the Wave Equation D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique

Διαβάστε περισσότερα

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013

Jesse Maassen and Mark Lundstrom Purdue University November 25, 2013 Notes on Average Scattering imes and Hall Factors Jesse Maassen and Mar Lundstrom Purdue University November 5, 13 I. Introduction 1 II. Solution of the BE 1 III. Exercises: Woring out average scattering

Διαβάστε περισσότερα

THE ENERGY-MOMENTUM TENSOR IN CLASSICAL FIELD THEORY

THE ENERGY-MOMENTUM TENSOR IN CLASSICAL FIELD THEORY THE ENERGY-MOMENTUM TENSOR IN CLASSICAL FIELD THEORY Walter Wyss Department of Physics University of Colorado Boulder, CO 80309 (Received 14 July 2005) My friend, Asim Barut, was always interested in classical

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΕ01030 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 1 ο ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ I ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η

Διαβάστε περισσότερα

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7)

Integrals in cylindrical, spherical coordinates (Sect. 15.7) Integrals in clindrical, spherical coordinates (Sect. 5.7 Integration in spherical coordinates. Review: Clindrical coordinates. Spherical coordinates in space. Triple integral in spherical coordinates.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εισαγωγή στη Σχετικότητα και την Κοσμολογία Διδάσκων: Θεόδωρος Τομαράς, Πανεπιστήμιο Κρήτης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εβδομάδα 1 Σχετικότητα 1.1 Η ανεπάρκεια της μηχανικής του Νεύτωνα V1.1.1 Σύντομη εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ (1) ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΚΩΔΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ M126 ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΠΟΥΔΩΝ 2 ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΕΔΙΟΥ ΑΥΤΟΤΕΛΕΙΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Reminders: linear functions

Reminders: linear functions Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα

Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έντυπο Καταγραφής Πληροφοριών και Συγκέντρωσης Εκπαιδευτικού Υλικού για τα Ανοικτά Μαθήματα Έκδοση: 1.0102, Απρίλιος 2014 Πράξη «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθημάτων» Σύνδεσμος: http://ocw-project.gunet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα

Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Lecture 21: Scattering and FGR

Lecture 21: Scattering and FGR ECE-656: Fall 009 Lecture : Scattering and FGR Professor Mark Lundstrom Electrical and Computer Engineering Purdue University, West Lafayette, IN USA Review: characteristic times τ ( p), (, ) == S p p

Διαβάστε περισσότερα

PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική

PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική PP #1 Μηχανικές αρχές και η εφαρµογή τους στην Ενόργανη Γυµναστική Σηµαντικοί παράγοντες στην εκτέλεση από µηχανικής απόψεως ικανότητα απόκτησης ύψους ικανότητα περιστροφής ικανότητα αιώρησης ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ*

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ* ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΦΥΣΙΚΗ, Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ* διατυπώνουν τον ορισμό του μαγνητικού πεδίου διατυπώνουν και να εφαρμόζουν τον ορισμό της έντασης του μαγνητικού πεδίου διατυπώνουν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένες συντεταγμένες

Γενικευμένες συντεταγμένες Γενικευμένες συντεταγμένες Έστω ένα σύστημα n-υλικών σημείων. Η θέση του συστήματος ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, καθορίζεται την τυχαία χρονική στιγμή t από τα διανύσματα θέσης των υλικών σημείων:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ σε περιοδικά με κριτές

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ σε περιοδικά με κριτές ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΕΙΣ σε περιοδικά με κριτές 1. Patsis, P. A. & Zachilas, L.: 1990, Complex Instability Of Simple Periodic-Orbits In A Realistic 2-Component Galactic Potential, Astron. & Astroph., 227, 37 (ISI,

Διαβάστε περισσότερα

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)

Phys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required) Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts

Διαβάστε περισσότερα

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι (Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η)

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι (Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η) Λ. Α Π Ε Κ Η Σ, Κ. Χ Ρ Ι Σ Τ Ο Ο Υ Λ Ι Η Σ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Σ Ε Ι Σ Τ Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς

Περιεχόμενα. Λίγα λόγια για τους συγγραφείς Περιεχόμενα Λίγα λόγια για τους συγγραφείς xii Εισαγωγή xiii 1 Συναρτήσεις 1 1.1 Ανασκόπηση των συναρτήσεων 1 1.2 Παράσταση συναρτήσεων 12 1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις 26 Ασκήσεις επανάληψης 34 2 Όρια

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI Ιουνίου 202 Απαντήστε και στα 4 Θέματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.

Διαβάστε περισσότερα

1 String with massive end-points

1 String with massive end-points 1 String with massive end-points Πρόβλημα 5.11:Θεωρείστε μια χορδή μήκους, τάσης T, με δύο σημειακά σωματίδια στα άκρα της, το ένα μάζας m, και το άλλο μάζας m. α) Μελετώντας την κίνηση των άκρων βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται. στη μνήμη των γονέων μου. Νικολάου και Ζαχαρώς

Αφιερώνεται. στη μνήμη των γονέων μου. Νικολάου και Ζαχαρώς Αφιερώνεται στη μνήμη των γονέων μου Νικολάου και Ζαχαρώς ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σελίδα 1 1.1 ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ ΕΝΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 2 1.1.1 Εύρεση περιοχών στις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 31 Μαρτίου 2019 1 Δυνάμεις μάζας και επαφής Δυνάμεις μάζας ή δυνάμεις όγκου ονομάζονται οι δυνάμεις που είναι

Διαβάστε περισσότερα