Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
|
|
- Γώργος Μπότσαρης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 6 ΕΠΙΠΕΔΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος
2 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ Σύνδεσε όλα τα σπίτια με τις παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις 2
3 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 3
4 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 4
5 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 5
6 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα Σπίτι 2 με ΟΤΕ; 6
7 Εφαρμογές Θεωρίας Γραφημάτων Επιπεδικότητα Μπορεί ένα γράφημα να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές; 7
8 Εισαγωγή Γνωστό παιχνίδι του γραφήματος ανέσεων. Άλυτο. Άλυτο!! ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ Κ 3,3 Α1 Α2 Α3 Ορισμός επιπέδου και επιπεδικού (ενσωματωμένος στο επίπεδο) γραφήματος. 8
9 Εισαγωγή Κάθε απλό επίπεδο γράφημα μπορεί να παρασταθεί με ευθείες γραμμές. 9
10 Εισαγωγή Καμπύλη Jordan: συνεχής γραμμή του επιπέδου που δεν αυτοτέμνεται. Περιοχή = όψη = παράθυρο (r or f) r 2 r 3 r 1 r 4 Κλειστή Καμπύλη Jordan του G που περιέχει το σημείο x είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που μπορούν να ενωθούν με το x μέσω μιας Jordan που δεν τέμνει τις ακμές του G Εξωτερική, άπειρη, απεριόριστη, εξώτερη περιοχή. r 4 Εξωτερικός επιπεδικός γράφος: όλες οι κορυφές εφάπτονται στην άπειρη περιοχή. Περιθώριο ή ή r 4 10
11 Εισαγωγή Δοθείσης μιας μέγιστης καμπύλης Jordan L και δύο σημείων της, έστω v i και v j, κάθε καμπύλη Jordan που ενώνει τα σημεία αυτά πρέπει: α) να βρίσκεται εντός της L, ή β) να βρίσκεται εκτός της L, ή γ) να τέμνει την L σε κάποια σημεία διαφορετικά από τα v i και v j. v i v j v i v j v j v i 11
12 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Θεωρήματα Euler (1752): n + r = m + 2 (επαγωγή). Πόρισμα: n + r = m + k + 1 Μέγιστος εξώτερος (τριγωνοποιημένος ή outerplaner) εξωτερικός επίπεδος γράφος τέτοιος ώστε εισάγοντας μια νέα ακμή γίνεται μη επίπεδος). 12
13 Θεώρημα Euler: n + r = m
14 Θεώρημα Euler: n + r = m + 2 Πόρισμα: G επίπεδο γράφημα με k συνιστώσες n+r = m+k+1 14
15 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Λήμμα: Για κάθε απλό επίπεδο συνδεδεμένο γράφημα ισχύει: 2m = Σ i=1..m-n+2 d(r i ) = Σ j=d(g)..d(g) j n(j) d(r i ) = # ακμών που περικλείουν ή ορίζουν την i-th περιοχή Πόρισμα: Για κάθε μέγιστο επίπεδο γράφο ισχύει: m = 3n-6 n(j) = # κόμβων βαθμού j Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο γράφο ισχύει: m 3n-6 15
16 Θεωρήματα Euler & Kuratowski 16
17 Θεωρήματα Euler & Kuratowski r = 2m/3 n + r = m + 2 n + 2m/3 = m + 2 m = 3n
18 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Άρα m m = 3n -6 = 3n-6 18
19 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Πόρισμα: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο διμερές γράφημα ισχύει: m 2n-4 Σd(ri) 4r 2m 4(m+2-n) 2m n 4m 2m 4n - 8 m 2n - 4 Πόρισμα: Κάθε επίπεδο γράφημα έχει μία κορυφή με d(v) 5. Θεώρημα: Το γράφημα Κ 5 δεν είναι επίπεδο. Θεώρημα: Το διγράφημα Κ 3,3 δεν είναι επίπεδο. 19
20 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Πόρισμα: Κάθε επίπεδο γράφημα έχει κόμβο με d(v) 5 20
21 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Πόρισμα Απόδειξη 2 21
22 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Θεώρημα: Το Κ 5 δεν είναι επίπεδο 22
23 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Θεώρημα: Το Κ 3,3 δεν είναι επίπεδο 23
24 Θεωρήματα Euler & Kuratowski Ορισμός ομοιομορφικών/συστελώσιμων γράφων. G, G ομοιμορφικοί => ο ένας προκύπτει από τον άλλου με μία η περισσότερες υποδιαιρέσεις ακμών Θεώρημα Kuratowski (1930): Ένας γράφος είναι επίπεδος εαν ν δεν περιέχει υπογράφο ισομορφικό ή ομοιομορφικό προς τους Κ 5 και Κ 3,3 Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος αν δεν περιέχει υπογράφο συστελώσιμο προς τους Κ 5 και Κ 3,3 Θεώρημα: Ένας γράφος είναι ενσωματώσιμος στην επιφάνεια σφαίρας, αν είναι ενσωματώσιμος στο δάπεδο. 24
25 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Πάχος (thickness): ελάχιστος αριθμός επιπέδων για την ενσωμάτωση του γράφου. Χρησιμότητα σε εκτύπωση κυκλωμάτων. Ισχύουν: t(επίπεδο G) = 1, t(k 5 ) = t(k 3,3 ) = 2, t(k 9 ) = 3. 25
26 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Πόρισμα: t(g) m/(3n-6) Πόρισμα: t(διγράφου G) m/(2n-4) Πόρισμα: t(kn) (n+7)/6 Θεώρημα: t(kn) = 3 αν n = 9, 10 = (n+7)/6 αλλιώς Πόρισμα: t(km,n) mn/2(m+n-2) 26
27 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Αριθμός διασταυρώσεων (crossing number): ελάχιστος αριθμός τομών μη επίπεδου γράφου (όχι συνάντηση τριών ακμών σε μια διασταύρωση). Ισχύει: cr(επίπεδο G) = 0 cr(k 5 ) = t(k 3,3 ) = 1 Λύση Tarjan σε κυκλώματα 27
28 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Θεώρημα: cr(k 6 ) = 3 Θεώρημα: cr(k n ) 1/4 n/2 (n-1)/2 (n-2)/2 (n-3)/2 Θεώρημα: cr(k n1.n2 ) 1/4 n 1 /2 (n 1-1)/2 n 2 /2 (n 2-1)/2 28
29 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Αριθμός διάσπασης (splitting number): ελάχιστος αριθμός διασπάσεων μέχρι να γίνει ο γράφος επίπεδος. Ισχύει: s(k 5 ) = 1, s(k 6 ) = 2, s(k 7 ) = 3. 29
30 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Θεώρημα: s(k n ) = (n-3)(n-4)/2, n>=10 s(k n1,n2 ) = (n 1-3)(n 2-4)/2, n>=2 Ενσωμάτωση σε σαμπρέλα (torus). Τι είναι η σαμπρέλα; Ο K 5 ενσωματώνεται στη σαμπρέλα, ενώ ο K 3,3 ενσωματώνεται στη ζώνη (band) του Moebius. Χρησιμότητα σε τυπωμένα κυκλώματα (ανοίγουμε τρύπα και τυπώνουμε στις δύο επιφάνειες). Η σαμπρέλα μπορεί να θεωρηθεί σαν μια σφαίρα με λαβή Έτσι στη γενική περίπτωση έχουμε σφαίρα με πολλές λαβές. Ο αριθμός των λαβών γίνεται γένος (genus). 30
31 Ενσωμάτωση σε Πολλαπλές Επιφάνειες Θεώρημα: n+r = m+2-2g Θεώρημα: g(g) cr(g) Πόρισμα: g(g) 1+(m-3m)/6 Θεώρημα: g(k n ) = (n-3)(n-4)/12 Θεώρημα: g(k n1,n2 ) = (n 1-2)(n 2-2)/12 31
32 Γεωμετρικά Δυαδικά Γραφήματα 32
33 Δυαδικότητα Επεξήγηση κατασκευής γεωμετρικού δυαδικού. Από ένα γράφο μπορεί να προκύψουν πολλοί γεωμετρικοί ανάλογα με τους ισομορφικούς αρχικούς και την ενσωμάτωση. Συνδυαστικοί δυαδικοί είναι οι γράφοι στους οποίους υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ κύκλων αφενός και αποκοπτουσών ακμών αφετέρου. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος έχει αντίστοιχο επίπεδο συνδυαστικό. Θεώρημα: Ο γεωμετρικός του γεωμετρικού είναι ο αρχικός (G*)* = G. 33
34 Δυαδικότητα Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος αν έχει συνδυαστικό δυαδικό. Αυτοδυαδικός Κ 4 34
35 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας Εκτός από το Θεώρημα Euler και το Θεώρημα Kuratowski υπάρχουν άλλα δύο κριτήρια. Πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S (complete set of basic circuits) είναι ένα σύνολο κύκλων όπου: Κάθε κύκλος του συνόλου S μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου μερικών ή όλων των κύκλων του συνόλου S, και Κανείς κύκλος του συνόλου S δεν μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου άλλων κύκλων εκτός S Θεώρημα (MacLane 1937): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνον αν υπάρχει ένα πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S, τέτοιο ώστε καμιά ακμή του γράφου να μην εμφανίζεται σε περισσότερους από δύο κύκλους του S. 35
36 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας Τα τρία θεωρήματα δεν δίνουν αποτελεσματικούς αλγόριθμους ούτε επίπεδες αναπαραστάσεις. Έστω γράφος G και υπογράφος G 1. Ένα κομμάτι (piece) P ονομάζεται σχετικό (relative) προς το γράφο G 1 αν είναι: Μια ακμή e που δεν ανήκει στον G 1 αλλά ανήκουν οι κορυφές της. Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του G-G 1 συν οποιεσδήποτε ακμές προσπίπτουσες σε κορυφές της συνιστώσας. Ένα κομμάτι με δύο κοινές κορυφές λέγεται τμήμα (segment). Δύο τμήματα είναι ασυμβίβαστα (incompatible) αν τέμνονται ενσωματούμενα στην ίδια περιοχή του G 1 36
37 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας Ο βοηθητικός (auxiliary) γράφος έχει κορυφές που αντιστοιχούν στα ασύμβατα τμήματα και ακμές που ενώνουν τις κορυφές αν τα τμήματα είναι ασύμβατα. 37
38 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας κομμάτια και τμήματα κύκλος ασύμβατα 38
39 Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας Θεώρημα: Ένας γράφος είναι επίπεδος, αν για κάθε κύκλο C του G ο βοηθητικός γράφος P(C) είναι διμερής. K 5 A Β Γ A Β Γ K 3,3 39
40 Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας Demoucron, Malgrange, Peruiset 1964 Προεπεξεργασία: 1. Αν n < 5, m < 9, τότε ο γράφος είναι επίπεδος 2. Αν m > 3n-6, τότε ο γράφος δεν είναι επίπεδος 3. Θεωρούμε συνδεδεμένους γράφους 4. Θεωρούμε 2-συνδεδεμένους γράφους (block) 5. Θεωρούμε απλούς γράφους 6. Παράγουμε ομοιομορφικούς γράφους χωρίς κορυφές βαθμού 2 40
41 Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας Στρατηγικού αλγορίθμου DMP: να βρούμε μια ακολουθία ενσωματώσιμων υπογράφων σταδιακά μεγαλύτερων, ξεκινώντας από έναν κύκλο και προσθέτοντας τμήματα. Με βάση τον κύκλο προκύπτουν τμήματα. Για κάθε τμήμα βρίσκουμε τον αριθμό των περιοχών που μπορεί να ενσωματωθεί. Αν κάποιο τμήμα ενσωματώνεται σε μία μόνο περιοχή, τότε έχει προτεραιότητα. Σε περίπτωση ισοπαλίας, τότε διαλέγουμε στην τύχη. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται το πολύ m-n+1 φορές. 41
42 Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας r2 r2 r2 42
43 Αλγόριθμος Εύρεσης Επιπεδικότητας Ο αλγόριθμος DMP έχει πολυπλοκότητα Ο(n 4 ). Υπάρχει και ο αλγόριθμος Hopcroft-Tarjan (1974) με πολυπλοκότητα Ο(n) που στηρίζεται στον dfs, αλλά είναι σύνθετος.
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 8 η Διάλεξη Επιπεδότητα (ή επιπεδικότητα γράφων) Βασικές εννοιες και ιδιότητες Θεώρημα Kuratowski Δυαδικότητα (Δυϊκότητα) επίπεδων γράφων Αλγόριθμοι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 9: Επιπεδικότητα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα ΔΕΝΔΡΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Ένα γράφημα G είναι δένδρο αν: 1. Είναι συνδεδεμένο και δεν έχει κύκλους.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ
Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 5 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Συνεκτικότητα Έννοια της συνδεσμικότητας: «Ποσότητα συνδεσμικότητας»...
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο
Διάλεξη 13: 25.11.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη & Σ. Κ. 13.1 Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 13.1 Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 3: Εισαγωγή (Πράξεις) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
Διαβάστε περισσότεραS A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από
Διαβάστε περισσότεραΣημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 9 Απριλίου 2009 1 / 0 Παραδείγµατα γράφων
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 4 η Διάλεξη Κύκλοι και μονοπάτια Hamilton Ικανές ή αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλων Αλγόριθμος κατασκευής μονοπατιών Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Συνεκτικότητα. 25 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Συνδεσμικότητα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής
Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.1 Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγοριθμική Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότερα(elementary graph algorithms)
(elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016
Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων
Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 6 Αναπαράσταση & Απλοποίηση Μοντέλων Εισαγωγή Οι 3Δ εικόνες στα Γραφικά αποτελούνται από διάφορα σχήματα & δομές: Γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες) Μαθηματικές επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Θεωρία Γράφων
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εισαγωγή στη Θεωρία Γράφων Υλικό βασισμένο στις εξής πηγές: Βιβλίο «Μαθήματα Θεωρίας Γράφων», Γιάννη Μανωλόπουλου, Εκδόσεις Νέων
Διαβάστε περισσότεραΘέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα
Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 6: Δένδρα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή
Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Αρχικά ας δούμε ορισμένα σημεία που αναφέρονται στο έργο, στη δυναμική ενέργεια και στη διατήρηση της ενέργειας. Πρώτον, όταν μια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Διαβάστε περισσότεραΔρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026
Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε
Διαβάστε περισσότεραV (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}
1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7
Επίπεδα Γραφήματα 197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 7.1 Εισαγωγή 7.2 Τύπος του Euler 7.3 Αναπαράσταση Επίπεδου Γραφήματος 7.4 Δυϊκό Γράφημα ενός Επίπεδου Γραφήματος 7.5 Εξωεπίπεδο Γράφημα 7.6 Έλεγχος Επιπεδότητας
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους
Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΟρατότητα σε απλά πολύγωνα
Ορατότητα σε απλά πολύγωνα Πολύγωνο, απλό πολύγωνο, πολύγωνο με τρύπες: Το σημείο a βλέπει τα σημεία b και c, όχι όμως το d: d c R d b R1 R2 a R3 a b R c Το πρόβλημα φύλαξης της αίθουσας τέχνης Victor
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 17/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 17-May-18 1 1 Θεωρία γράφων/ γραφήματα 17-May-18 2 2 Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.
ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.
Διαβάστε περισσότεραm = 18 και m = G 2
Διάλεξη 11: 2.11.201 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 11.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 11.1 (Τύπος του Eulr, 172) Αν ένα συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα έχει n κορυφές,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΟΜΒΩΝ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΟΜΒΩΝ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Θεωρία Γραφημάτων Θεωρία Κόμβων ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Ένα γράφημα G είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V, όπου το σύνολο
Διαβάστε περισσότερα