Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
|
|
- Ησιοδ Ιωάννου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia IV
2 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Table of Contents 1 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati 3 Rezolvari de ecuatii vectoriale 4 Schimbari de baze ortonormate in spatiu 5 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia IV
3 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Orientarea spatiului Fie un triplet ordonat de vectori necoplanari (u, v, w). Consideram urmatoarea conventie: daca un observator care priveste din pozitia w vede unghiul α [0, π] de la u spre v in sensul opus acelor de ceas, tripletul ordonat (u, v, w) se numeste pozitiv, iar in caz contrar, negativ. Oana Constantinescu Lectia IV
4 Orientarea spatiului Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V se poate imparti in doua clase. Fie (i, j, k) o baza ortonormata xata si (i, j, k ) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i spre i si comparam perechile (j, k) si (j, k ), unde (j, k ) reprezinta pozitia pe care a atins-o perechea (j, k ) dupa rotire. Aceste perechi de vectori se aa in acelasi plan, ortogonal pe i. Daca ele apartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale de vectori (i, j, k ) si (i, j, k) vor puse in aceeasi clasa. (In caz contrar in clase diferite.) Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului, iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamna aorienta spatiul. Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori sunt schimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet se obtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasi orientare.
5 Orientarea spatiului Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V se poate imparti in doua clase. Fie (i, j, k) o baza ortonormata xata si (i, j, k ) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i spre i si comparam perechile (j, k) si (j, k ), unde (j, k ) reprezinta pozitia pe care a atins-o perechea (j, k ) dupa rotire. Aceste perechi de vectori se aa in acelasi plan, ortogonal pe i. Daca ele apartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale de vectori (i, j, k ) si (i, j, k) vor puse in aceeasi clasa. (In caz contrar in clase diferite.) Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului, iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamna aorienta spatiul. Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori sunt schimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet se obtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasi orientare.
6 Orientarea spatiului Ca si in cazul planului, multimea bazelor ortonormate din V se poate imparti in doua clase. Fie (i, j, k) o baza ortonormata xata si (i, j, k ) o baza ortonormata arbitrara. Rotim i spre i si comparam perechile (j, k) si (j, k ), unde (j, k ) reprezinta pozitia pe care a atins-o perechea (j, k ) dupa rotire. Aceste perechi de vectori se aa in acelasi plan, ortogonal pe i. Daca ele apartin aceleiasi clase din planul respectiv, tripletele initiale de vectori (i, j, k ) si (i, j, k) vor puse in aceeasi clasa. (In caz contrar in clase diferite.) Existenta acestor doua clase se numeste orientabilitatea spatiului, iar a alege una dintre ele drept clasa bazelor pozitive inseamna aorienta spatiul. Observatie: Daca doi vectori ai unui triplet ordonat de vectori sunt schimbati intre ei, semnul tripletului se schimba. Daca un triplet se obtine din altul printr-o permutare circulara, ele au aceeasi orientare.
7 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Produsul vectorial Denition Produsul vectorial al vectorilor u, v este un vector notat u v care satisface conditiile: 1) este perpendicular pe cei doi vectori (deci pe planul generat de u si v ); ) sensul este astfel incat tripletul (u, v, u v) este pozitiv; 3) marimea vectorului u v este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori: u v = u v sin(û, v). Oana Constantinescu Lectia IV
8 Produsul vectorial Theorem Fie n vectorul unitar (versor) perpendicular pe planul generat de u si v, astfel incat (u, v, n) este o baza pozitiva si θ unghiul orientat intre u si v. Atunci u v = u v (sin θ)n.
9 Unghi orientat In propozitia anterioara a aparut notiunea de unghi orientat a doi vectori. El se deneste astfel: Denition Fie u, v V. Consideram o baza pozitiva {i, j} in spatiul liniar generat de cei doi vectori. Presupunem ca u = x 1 i + x j si v = y 1 i + y j. Unghiul orientat al vectorilor u, v este dat de formulele: cos ϕ = < u, v > u v, x 1 x y 1 y sin ϕ = u v, ϕ [ π, π]. Se poate demonstra ca denitia anterioara nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt descompusi vectorii.
10 Unghi orientat In propozitia anterioara a aparut notiunea de unghi orientat a doi vectori. El se deneste astfel: Denition Fie u, v V. Consideram o baza pozitiva {i, j} in spatiul liniar generat de cei doi vectori. Presupunem ca u = x 1 i + x j si v = y 1 i + y j. Unghiul orientat al vectorilor u, v este dat de formulele: cos ϕ = < u, v > u v, x 1 x y 1 y sin ϕ = u v, ϕ [ π, π]. Se poate demonstra ca denitia anterioara nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt descompusi vectorii.
11 Proprietatile produsului vectorial Theorem Urmatoarele proprietati au loc pentru orice vectori si orice scalari reali: 1) u v = 0 u, v sunt vectori coliniari; ) v u = u v; (antisimetria sau anticomutativitatea) 3) : V V V este aplicatie biliniara: (αu + βv) w = α(u w) + β(v w), w (αu + βv) = α(w u) + β(w v).
12 Expresia in coordonate a produsului vectorial Theorem Fie B = {i, j, k}o baza ortonormata, pozitiva. Daca u = x 1 i + x j + x 3 k si v = y 1 i + y j + y 3 k, atunci i j k u v = x 1 x x 3 y 1 y y. 3 Observatie: Produsul scalar a doi vectori nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt date coordonatele lor.
13 Expresia in coordonate a produsului vectorial Theorem Fie B = {i, j, k}o baza ortonormata, pozitiva. Daca u = x 1 i + x j + x 3 k si v = y 1 i + y j + y 3 k, atunci i j k u v = x 1 x x 3 y 1 y y. 3 Observatie: Produsul scalar a doi vectori nu depinde de baza pozitiva in raport cu care sunt date coordonatele lor.
14 Proprietatile produsului vectorial Theorem (Formula dublului produs vectorial) u (v w) =< u, w > v < u, v > w. Corollary Produsul vectorial nu este asociativ. Intr-adevar u (v w) este un vector coplanar cu vectorii v, w, pe cand (u v) w = w (u v) este coplanar cu u, v. Theorem Are loc identitatea lui Jacobi: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0, u, v, w V.
15 Proprietatile produsului vectorial Theorem (Formula dublului produs vectorial) u (v w) =< u, w > v < u, v > w. Corollary Produsul vectorial nu este asociativ. Intr-adevar u (v w) este un vector coplanar cu vectorii v, w, pe cand (u v) w = w (u v) este coplanar cu u, v. Theorem Are loc identitatea lui Jacobi: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0, u, v, w V.
16 Aplicatie Aplicatie Determinati vectorul liber ū care satisface conditiile: i) este ortogonal pe vectorii ā = ī + 3 j k si b = ī j + 3 k; ii) formeaza un unghi obtuz cu ī; iii) ū = 138. Indicatii: Din conditiile ū coliniar cu ā b, deci u = α(ā b), α R, < ū, ī >< 0, ū = 138, se obtine ū = ā b = 8ī + 7 j + 5 k.
17 Aplicatie Aplicatie Determinati vectorul liber ū care satisface conditiile: i) este ortogonal pe vectorii ā = ī + 3 j k si b = ī j + 3 k; ii) formeaza un unghi obtuz cu ī; iii) ū = 138. Indicatii: Din conditiile ū coliniar cu ā b, deci u = α(ā b), α R, < ū, ī >< 0, ū = 138, se obtine ū = ā b = 8ī + 7 j + 5 k.
18 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala < a, x >= m Theorem Ecuatia vectoriala < a, x >= m, a V, a 0, m R are o innitate de solutii. Demonstratie: deoarece [a] [a] = V, vectorul necunoscut x se poate descompune in mod unic sub forma x = w + pr a x, w [a] x = w + αa, α R. Am notat cu [a] subspatiul liniar generat de a si cu [a] suplementul sau ortogonal in V. Din w a < x, a >= 0 + α a α = m. Deci solutia generala a a ecuatiei este x = w + m a, w a. a w este nedeterminat in [a] ecuatia are o innitate de solutii. Oana Constantinescu Lectia IV
19 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala < a, x >= m Theorem Ecuatia vectoriala < a, x >= m, a V, a 0, m R are o innitate de solutii. Demonstratie: deoarece [a] [a] = V, vectorul necunoscut x se poate descompune in mod unic sub forma x = w + pr a x, w [a] x = w + αa, α R. Am notat cu [a] subspatiul liniar generat de a si cu [a] suplementul sau ortogonal in V. Din w a < x, a >= 0 + α a α = m. Deci solutia generala a a ecuatiei este x = w + m a, w a. a w este nedeterminat in [a] ecuatia are o innitate de solutii. Oana Constantinescu Lectia IV
20 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala a x = b Theorem Dati vectorii ortogonali a b, a 0, ecuatia vectoriala a x = b are o innitate de solutii. Demonstratie: Presupunem ca b 0. Se stie ca {a, b, a b} este o baza pozitiva. Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza x = αa + βb + γa b, α, β, γ R. Deci a (αa + βb + γa b) = b βa b + γ(< a, b > a a }{{} b) = b =0 βa b (γ a +1) = 0. Deci β = 0 si γ = 1 a. Oana Constantinescu Lectia IV
21 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala a x = b Theorem Dati vectorii ortogonali a b, a 0, ecuatia vectoriala a x = b are o innitate de solutii. Demonstratie: Presupunem ca b 0. Se stie ca {a, b, a b} este o baza pozitiva. Descompunem vectorul necunoscut in aceasta baza x = αa + βb + γa b, α, β, γ R. Deci a (αa + βb + γa b) = b βa b + γ(< a, b > a a }{{} b) = b =0 βa b (γ a +1) = 0. Deci β = 0 si γ = 1 a. Oana Constantinescu Lectia IV
22 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Ecuatia vectoriala a x = b Solutia generala a ecuatiei este: x = αa 1 a b, α R. a Daca b = 0, atunci a x = 0 x = λa, λ R. Oana Constantinescu Lectia IV
23 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Schimbari de baze ortonormate in spatiu Date doua baze ortonormate in plan, {i, j} si {i, j }, am vazut ca putem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta, elementele acesteia ind functiile trigonometrice sin si cos ale unghiului orientat dintre i si i. Daca B = {i, j, k} si B = {i, j, k } sunt doua baze ortonormate in spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determina matricea de trecere de la B la B in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ, numite unghiurile lui Euler. Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata, nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed. Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa denirea intr-un curs ulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice se obtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu. Oana Constantinescu Lectia IV
24 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Schimbari de baze ortonormate in spatiu Date doua baze ortonormate in plan, {i, j} si {i, j }, am vazut ca putem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta, elementele acesteia ind functiile trigonometrice sin si cos ale unghiului orientat dintre i si i. Daca B = {i, j, k} si B = {i, j, k } sunt doua baze ortonormate in spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determina matricea de trecere de la B la B in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ, numite unghiurile lui Euler. Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata, nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed. Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa denirea intr-un curs ulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice se obtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu. Oana Constantinescu Lectia IV
25 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Schimbari de baze ortonormate in spatiu Date doua baze ortonormate in plan, {i, j} si {i, j }, am vazut ca putem usor determina matricea de trecere de la o baza la alta, elementele acesteia ind functiile trigonometrice sin si cos ale unghiului orientat dintre i si i. Daca B = {i, j, k} si B = {i, j, k } sunt doua baze ortonormate in spatiu, prima pozitiva si a doua arbitrara, putem determina matricea de trecere de la B la B in functie de trei unghiuri θ, ϕ, ψ, numite unghiurile lui Euler. Deoarece forma exacta a acestei matrici este destul de complicata, nu o vom da aici dar cei interesati pot consulta [I. Pop, Ghe. Neagu, Algebra liniara si geometrie analitica in plan si in spatiu, Ed. Plumb, Bacau, 1996]. In schimb, dupa denirea intr-un curs ulterior a rotatiei in spatiu, vom demonstra ca aceasta matrice se obtine din compunerea matricilor a trei rotatii in spatiu. Oana Constantinescu Lectia IV
26 Unghiurile lui Euler B = {i, j, k} si B = {i, j, k } doua baze in V. Daca k este coliniar cu k atunci planele vectoriale generate de i, j, respectiv i, j coincid, deci problema se reduce la schimbarea de baze ortonormate in plan. Vom trata in continuare cazul in care k si k sunt necoliniare.
27 Unghiurile lui Euler Aplicam planele generate de (i, j) si (i, j ) intr-un acelasi punct. Dreapta lor de intersectie se numeste linia nodurilor si notam cu n versorul ei. Denition Unghiurile lui Euler sunt: θ = (k, k ) [0, π], ϕ = o (i, n) [ π, π], ψ = o (n, i ) [ π, π]. Observam ca doua dintre ele sunt unghiuri orientate, iar unul neorientat.
28 Unghiurile lui Euler Vom determina aceste unghiuri astfel: n [i, j] n k, n [i, j ] n k, deci n = k k k k = k k sin θ. n [i, j], ϕ = o (i, n) n = i cos ϕ + j sin ϕ. n [i, j ], ψ = o (i, n) n = i cos ψ + j sin ψ. Pentru a determina θ folosim Pentru ϕ stim ca cos θ =< k, k >. cos ϕ =< i, n >, sin ϕ = i n. Aceleasi formule le folosim pentru ψ, dar trebuie sa avem grija sa exprimam n in functie de {i, j }.
29 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Aplicatii Example Vericati identitatea Lagrange: ū v + < ū, v > = ū v. Indicatii: Se utilizeaza relatiile ū v = ū v sin( ū, v), < ū, v >= ū v cos( ū, v). Oana Constantinescu Lectia IV
30 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Aplicatii Example Vericati identitatea Lagrange: ū v + < ū, v > = ū v. Indicatii: Se utilizeaza relatiile ū v = ū v sin( ū, v), < ū, v >= ū v cos( ū, v). Oana Constantinescu Lectia IV
31 Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Aplicatii Example Vericati identitatea Lagrange: ū v + < ū, v > = ū v. Indicatii: Se utilizeaza relatiile ū v = ū v sin( ū, v), < ū, v >= ū v cos( ū, v). Oana Constantinescu Lectia IV
32 Aplicatii Example Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii: a) ā = ū + 3 v si b = ū 4 v, unde ū, v sunt vectori unitari perpendiculari intre ei; b) ā = ī + j 3 k si b = 4ī + j + k, unde {ī, j, k} este o baza ortonormata pozitiva in V. Indicatii: a) ā b = 11ū v ā b = 11 ū v sin( ū, v) = 11. b) Se calculeaza a b, apoi norma sa si se obtine rezultatul 91.
33 Aplicatii Example Sa se calculeze aria paralelogramului construit pe vectorii: a) ā = ū + 3 v si b = ū 4 v, unde ū, v sunt vectori unitari perpendiculari intre ei; b) ā = ī + j 3 k si b = 4ī + j + k, unde {ī, j, k} este o baza ortonormata pozitiva in V. Indicatii: a) ā b = 11ū v ā b = 11 ū v sin( ū, v) = 11. b) Se calculeaza a b, apoi norma sa si se obtine rezultatul 91.
34 Aplicatii Example Demonstrati pe cale vectoriala teorema sinusului intr-un triunghi. Indicatii: Fie triunghiul ABC si notam BA = c, BC = a, AC = b. σ(abc) = BA BC = BA ( BA + AC) = BA Rezulta ca ac sin B = cb sin A a Analog se demonstreaza ca a = = sin A c. sin A sin C b. sin B AC.
35 Aplicatii Example Demonstrati pe cale vectoriala teorema sinusului intr-un triunghi. Indicatii: Fie triunghiul ABC si notam BA = c, BC = a, AC = b. σ(abc) = BA BC = BA ( BA + AC) = BA Rezulta ca ac sin B = cb sin A a Analog se demonstreaza ca a = = sin A c. sin A sin C b. sin B AC.
36 Aplicatii Example Fie A(1,, 3) un punct in spatiu ale carui coordonate sunt exprimate in raport cu un reper ortonormat pozitiv R = {O; ī, j, k} si o dreapta (d) care trece prin B(1,, 1) si este paralela cu ā = ī + j. Determinati distanta de la punctul A la dreapta (d). Indicatii: Fie C pe dreapta d astfel incat ā = BC si D astfel incat ABCD este paralelogram. Scriind in doua moduri aria acestuia, se 10 obtine d(a, d) =. 5
37 Aplicatii Example Fie A(1,, 3) un punct in spatiu ale carui coordonate sunt exprimate in raport cu un reper ortonormat pozitiv R = {O; ī, j, k} si o dreapta (d) care trece prin B(1,, 1) si este paralela cu ā = ī + j. Determinati distanta de la punctul A la dreapta (d). Indicatii: Fie C pe dreapta d astfel incat ā = BC si D astfel incat ABCD este paralelogram. Scriind in doua moduri aria acestuia, se 10 obtine d(a, d) =. 5
38 Aplicatii Example Fie baza artonormata pozitiva B = {i, j, k} si vectorii i = 1( i + j + k), j = 1(i j + k), k = 1 (i + j k) Vericati ca B = {i, j, k } este o baza ortonormata si determinati unghiurile lui Euler de trecere de la B la B. Indicatii: Prin calcul direct se verica i = j = k = 1 si < i, j >< i, k >=< j, k >= 0. θ = arccos( 1 k k ), n = 3 k k = ( i + j). ϕ = o (i, n) cos ϕ =, sin ϕ = ψ = o (n, i ). ϕ = 3π 4.
39 Aplicatii Example Fie baza artonormata pozitiva B = {i, j, k} si vectorii i = 1( i + j + k), j = 1(i j + k), k = 1 (i + j k) Vericati ca B = {i, j, k } este o baza ortonormata si determinati unghiurile lui Euler de trecere de la B la B. Indicatii: Prin calcul direct se verica i = j = k = 1 si < i, j >< i, k >=< j, k >= 0. θ = arccos( 1 k k ), n = 3 k k = ( i + j). ϕ = o (i, n) cos ϕ =, sin ϕ = ψ = o (n, i ). ϕ = 3π 4.
40 Aplicatii Pentru a calcula < n, i > si n i trebuie sa descompunem pe n in baza (i, j ). Matricea de trecere de la B la B este S = = S x y z, unde n = x i + y j + z k. Deci x y z = S t = Deci n = (i j ). Calculele conduc la cos ψ =, sin ψ = ψ = π 4.
Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραLectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber
Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi-seminar 1
Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραOANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n
CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραSpaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραUniversitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea
ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1
Διαβάστε περισσότερα7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI
Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότερα1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραX 2, Φ 2 doua K-spatii ane. O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X 1 X 2 sa e morsm an este:
CURS 4: IZOMETRIILE UNUI SPATIU AFIN EUCLIDIAN 1. Recapitulare morfisme afine In acest curs dorim sa studiem izometriile unui spatiu an euclidian. Vom vedea ca acestea sunt morsme ane cu anumite proprietati
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραNicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI
Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραa carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
Διαβάστε περισσότερα1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Διαβάστε περισσότεραCuprins. I Geometrie Analitică 9
Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA
GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan
CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραcateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC
.Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB
Διαβάστε περισσότεραAlgebră liniară CAPITOLUL 3
Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare
Διαβάστε περισσότεραGeometria diferenţială a curbelor în spaţiu
Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραb = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότερα